Уравнения и аппроксимация в алгебрах Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РЗ о:,*.ский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ШАНТАЕЕНКО Валерий Георгиевич

УРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ В АЛГЕБРАХ ЛИ

01.01.ОБ - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ОМСК 1992

Работа выполнена в.Омском государственном университете.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор

Ремесленников Владимир Никанорович

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор Бокуть Л.А. - кандидат физико-математических наук,доцент Агалаков С.А.

Ведущее учреждение- Иркутский государственный университет

лА*? ("у.^-,. о Яя £ <6 Защита состоится 1 1 ^ 'у'" 1992 г. в "_" часов

на заседании специализированного совета К 064.36.02 при

Омском государственном университете по адресу: 644077, Омск,

пр.Мира, 55-а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского государственного университета^

Автореферат разослан 1дд2 г#

Ученый_секретарь (^¿/^

специализированного совета£1^'/< .

кандидат физ.-мат.наук -—/ В.А.Романьков

• м---,.' 1 >

'►¡5 ' ' ' ' к- ■ ■ . ■ | ■

' и;,.) I ,,;,

Актуальность темь В теории групп извостно большое число результатов о разрешимости уравнений в группах (см.например [9-12])о С другой стороны, в теории алгебр Ли проблема разро-шимости уравнешШ в алгебрах Ли мало разработана, и в данной работе получены одшг из первых результатов в этом направлении. В диссертации рассматривается покоторые вопросы, связашшо с разрешимостью системы уравнений Ч = О в свободной алгебре ли и свойства ассоциированной с системой алгебры Ли А (¥)• Такке в ней изучаются некоторые классы алгебр Ли, близких к свободным (алгебры Ли, аппроксимируемые и о) -аппрокси.ыруе-'мые свободными, 3 -свободше алгебры Ли, парасвободнио алгебры Ли).

А.А'.Разборов [13] показал, что множество всех решений системы ^ «= I уравнений в свободной группа взак.шо однозначно соответствует некоторому множеству гомоморфизмов группы

), ассоциированной с этой системой. Разрешимость системы = I оказалась связанной со свойством аппроксимируемости группы Ог () свободным группами. Аппроксишруемость группы свободными группа1.ш изучалась Б.Баумслагом [14], в частности, им установлены .связи мекду свойствами аппроксимируемости и со —аппроксимируемости (вполне аппроксимируемости) группы свободными группами, построены примеры несвободных групп, которые

& -аппроксимируются свободными группами. В.Н.Ремесленников [15], продолжив изучение класса групп, аппроксимируемых свободны:,ш группами, доказал, что конечно-порожденная группа

О) -аппроксимируется свободными группами тогда и только тогда, когда она 3 -свободная, то есть ее 3 -теория совпадает с 3 -теорией свободной неабелевой группы, кроме того, в [15] указаны примеры несвободных 3 -свободных групп. Аналогичные проблемы рассматриваются в диссертации для алгебр Ли, з частности, вычисляются ранги некоторых боскоэффициентных уравнений в свободных алгебрах Ли, устанавливается условия, при которых алгебра Ли, аппроксимируемая свободными алгебрами Ли, будет и) -аппроксимироваться свободными, изучаются 3 -теории алгебр Ли (метабелевых алгебр Ли) и их связи со свойством

£»> -аппроксимируемости свободными алгебрами Ли (свободами метабелевыми алгебрами Ли). Танке построен приглор уразнеш'л 0 в свободной ашгебре Ли, для которого ассоциированная ал-

гобра Ли А (1) является несвободной, СО -аппроксимируемой свободными алгебрами Ли, кроме того, А ("£ ) - 3 -свободна.

В работах [20, 21] Г.Баумслаг ввел понятие парасвободной группы и построил некоторые примеры парасвободных несвободных групп, в частности, такой парасвободной группы , для которой фактор-группа в / & является свободной метабелевой группой. В диссертации изучаются парасвободные алгебры Ли, в частности, доказан результат о парасвободности свободного произведения парасвободных алгебр Ли, построена счетная серия парасвободных несвободных алгебр Ли.

Поль таботь;. Целью работы является изучение некоторых проблем, связанных с разрешимостью систем уравнений в свободных алгебрах Ли, исследование свойств алгебры Ли, ассоциированной с системой уравнений. Кроме того, рассматриваются связи мозду свойствами аппроксимируемости и СО -аппроксимируемости ачгебры Ли свободными алгебрами Ли, отношения между классами 3 -свободных алгебр Ли и СО -аппроксимируемых свободными алгебр Ли. Также в диссертации проведено исследование парасвободных алгебр Ли.

Методщса исследования. Основные методы исследования восходят к методам, разработанным А.И.Ширшовым при изучении свободных алгебр Ли. Доказательства основных утверждений и свойств построенных алгебраических объектов используют результаты теории свободных алгебр Ли и теории относительно свободных алгебр Ли многообразий нильпотентных и метабелевых алгебр Ли. В частности, применяются результаты А.И.Ширшова: о 'вложении свободной алгебры Ли со счетным множеством свободных по-роздающпх в свободную алгебру Ли о двумя свободными порояда-щими [з], теорема о свободе подалгебр свободной алгебры Ли [2]; результаты о композиции, введенной в [4], изложенные в [5]. Кроме того, результаты о базах свободных метабелевых апгобр Ли [6], о примитивных элементах в свободной алгебре Ли

[7], о вломешш свободных метабелевых алгебр Ли в сплетения

[8]. В работе также применяются некоторые методы теории моделей.

Научнач новизна. Всо основные результаты диссертации яв-лтотся новыми. Они получены автором за период с 1988 по 1992 г.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы исследований могут найти применение в дальнейших исследование проблем, связанных с разрешимостью систем уравнений в свободных алгзб-рах Ли, использоваться при алгебраическом описании класса Э -свободпих алгебр Ли. Также работа дает маториачы для учебных специальных курсов по теории алгебр Ли, близких к свободным.

Апробация работн. Рззультатц, изложенные в диссортгиуш, неоднократно докладывались на алгебраическом семинаре Омского государственного университета, на международной конференции по алгебре (Барнаул, 1991 г.), на семинаре "Алгебра и логика" Новосибирского государственного университета, а таккэ в Иис-титуте Математики СО РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликовали в пяти работах автора, список которых приведен в конце азто-рефератас

Структура работы. Текст диссертации состоит из введения, восьми параграфов и списка цитируемой литературы, содержащего 28 наименований. Работа изложена на 74 страницах машинописного текста.

Краткое содержание диссертации. Пусть далее F обозначает основное поле, LLX1 > ЬСХпЛ - свободшо ачгобрц Ли со мнокествами свободных пороздаищих X

} « Xn. = ixi # -.4xrv} соответственно, скобки на произведении элементов в алгебре Ли расставляются слова направо, то есть а&е ... cL = С--С(а,&)с,)...) А, = здесь х повторяется L раз, ЬгО . _

В § I вводятся понятия системы уравнений V ( * , с ) s ■= { Ч'а , . -., fm. ) = О в свободной алгебре Ли с неизвестными * = ( , ..., ), коэффициента!®: Z = ( Ci., ..., с к ) и ассоциированной с ней алгебры Ли с*,..., ск |

l^t-Ov.^'"0) • Решения ж0 = ) системы 4 = 6

ищутся в свободной алгебре Ли LLC] , тогда множество М 5 всех решений взаимно однозначно соответствует множеству Рд всех отмеченных гомоморфизмов . Если

)^LCXh.UC.], 1(4)- идеал L (Ч ), порождошшй элементами Чч , т. , то A("f ) -LC*?J/IC^P). Под ноизпестгаялп

, и коэффициентами с* , Ск в фактор-ал-

гебре 1-. <4 )/Т по идеалу J< ) понимаем_их соответствующие образы при естественном эпиморфизме отмеченным гомоморфизмом £ называем гомоморфизм, сохраняющий коэффициенты, то есть рСс)=(р(.С1),-..,р(^с.к))=с.

Для бескоэффициентной оистещ уравнений Ч" (*■) = = Ч1 ( , ..., к-п. ) в 0 ее решения *„ = < , )

ищем в свободной алгебре Ли ЬСХпЗ , рангом ъ («„) решения . а. называем число свободных порождающих свободной подалгебры В» порожденной компонентами решения ж/ , V.£ , тогда ранг ч- (Ч ) бескоэффициентной системы Ч> ) «= 0 - это максимум рангов всех решений системы. Множество всех решений Мч системы <?(«) = О взаимно-однозначно соответствует множеству Р^ всех гомоморфизмов ¡Ь: ) — -^ЬСХп] . Цусть 8(А(^))=ДКег/Ь , тогда алгебра АСО/БШн1)) аппроксимируется свободными алгебрами Ли. Реше1шю соответствует гомоморфизм £>= е. Р^ )

индуцированный гомоморфизмом «¿г. , продолжающим отображение х-,.-*«.}, , Ь в I, , при этом =

. Если_для = о = х » 10 все решения сис-

темы Ч* = О моано искать в алгебре .

В § 2 вычислены ранги некоторых бескоэффициентных уравнений в свободной алгебре Ли. Оказалось, что для уравнения = «а.... ^п. = О ранг 4/(9-0.) = П.-1, 1 > для уравнения ^ п.- "Х11Х± + — 0 ранг

П. , в случае однородного уравнения второй степени А-т." = Х(. = 0 с невырожденной кососимметрической

матрицей &х(= ( Ус;) , где У у = йс;, I>>, = «-¿¿с, 1<<Ь ^£=0, , ранг Ет-/2.1,

здесь Ст./23 - целая часть числа т./2., т^^.

В § 3 изучаются связи ыэзду понятиями аппроксимируемости и - аппроксимируемости алгебры Ли свободными алгебраиш Ли. Для фиксированного целого числа п Р1 алгебра Ли А И- -аппроксимируется свободными алгебрами Ли, если для любого набора ненулевых элементов ¿4 , ..., сс^е Д существует идеал К< А, такой, что А/К - свободная алгебра Ли, аА , ..., аа ^ К • Д со - аппроксимируется свободными, если она гг. -аппроксимируется для всякого п ? 1 ; говорим, что А аппроксимирует-

ся свободны™, если она I - аппроксимируется. Обозначаем далее через класс всех алгебр Ли, б которых центрачизатор каждого ненулевого элемента одномерен. Известно, что свободные алгебры Ли лежат в классе $ . Пусть алгебра Ли А над произвольным полем Р аппроксимируется свободными алгебрами Ли, тогда для А верны следующие утверждения. Если то А ^ - аппроксимируется свободными. Если А й) - ал- ' . проксимируется свободными, то в А коммутирование ненулевых элементов является транзитивным отношением, обратное утверждение верно в случае бесконечного поля р . Если А О)- аппроксимируется свободными, то А не содерядт подалгебр, изоморфных прямому произведению ЬС*1***]*!-.^! , обратное утверждение верно в случае бесконечного поля р .

В § 4 построена несвободная алгебра Ли, которая О) - аппроксимируется свободными алгебрами Ли. В групповом случае известны примеры несвободных групп, которые СО - аппроксимируется свободным группа!® (см. [14 , 15]). В частности, НИМ - расширения вида < = , где'

Рп, не является степенью другого элемента, а также группы с квадратичны;.! определяющим соотношением при и- ? 4 -В случае алгебр Ли аналогичные примеры были нэ-известны. Оказалось, что свободная конструкция типа Н^ -расширения для алгебр Ли не дает о) - аппроксимируемости, а именно, над конечным полем Р алгебра А(?) = ( |д = и,*п..1=0) для ненулевого иеЬСХоЛ не ш - аппроксимируется свободными, а над бесконечным полем р алгебра А(»> для ^=х1_хг.х3 датсе не алцроксимируется свободными. Однако над произвольным полем Р несвободная алгебра Ли АШ = <**>•'■>'4 :£ = 0> , ассоциированная о уравнением =

+ = О в свободной алгебре Ли, ^ - аппроксимируется свободными алгебрами Ли, здесь определяющее соотношение а о типа квадратичного. Точнее, алгебра А (■§■ ) аппроксимируется свободной алгеброй Ли ЬС*»^"] с двумя свободными порождающими с помощью гомоморфизмов : А )-*■ У 3 , соответствующих решениям уравнения $ « О в [х,^] из счетной серии хк , к?1 . Доказано также, что ДШеф » т0 0СТЬ класс Я пире класса всех свободных алгебр Ли. Таким образом, А ({ ) к) - аппроксимируется сво-

бодними алгебрами Ли в соответствии с результатами § 3. Алгебра А И ) является расширением свободной алгебры Ли'Ь[(^о] со счетным множеством 1\0 свободных порождающих при помощи свободной абелевой алгебры Ли с четырьмя свободными порождающими, прием ЬЕЯо^АВ')2"-коммутант А ^ ), АШ/АШ^ *Х:" • Алгебра Ли А к , ассоциированная с системой (Ч)к = «= ( чи ), где = $ ), I =

=1, .К , аппроксимируется свободными алгебрами Ли при к ^ 1.

В § 5 изучаются 3 - свободные алгебры Ли. Для линейной алгобры Д ее 3 - теорией Тз А называется множество всех 3 - предложений кольцевой сигнатуры ё = <-»-,•> , истинных на А . 3 - теории линейных алгебр можно изучать с помощью коночных подмоделей. Если (А) - множество всех абстрактных конечных подмоделей, реализуемых в линейной ал-гебро А » то для линейных алгебр А1 , А г. имеем ТэА^Тэ А г. тогда и только тогда, когдаЕсли алгебра Ал.

аппроксимируется алгеброй А г. , то Т3А1-ТзАг. . Известно , что свободная алгебра Ли = С X1 над полем р вкладывается в алгебру 1_[Х&] , следовательно, ТэЬ[Хл]=ТэЬ 1фи и можно говорить о 3 - теории Тз свобод-

ной неабеловой алгебры Ли. Называем алгебру Ли А свободной, 0слиТзА=Т3Ь. В.Н.Вэмесленников указал примеры несвободных

Э - свободных групп в [15]. Для алгебр Ли аналогичные примеры были неизвестны. Оказалось, что указанная выше алгебра Ли А(^)=<.Х1-»">хч|^ = 0) , ассоциированная с уравнением ^ = г^п-»^1! = О в свободной алгебре Ли, является несвободной 3 - свободной алгеброй Ли над произвольным полем р. Установлены такта некоторые связи 3 - тоорш: Тз Р основного по,ля Р с 3 - теорией Тз свободной алгебры Ли «ад р со счетным множеством свободных порождающих, а тонко, ос.та Тэ Я -Тз Ф для полей р , ф , то Тз " Тэ ; верны строгие включения Тз Ь4 ?Т31_. $7зЬ .

В § 6 изучаются 3 ~ теории метабелевых алгебр Ли и связь 3 - теории со свойством оз - аппроксимируемости мета-бслопой плгибры Ли свободными метабелевыми алгебрами Ли. Мета-болопи алгебры Ли рассматриваются над ассоциативно-коммутатив-И1П кольцам К характеристики нуль, здесь

обозначают свободные мотабелевы алгебры Ли со множествами свободных метабелевых порождающих X . Хп, соответственно. Метабелева алгебра Ли Мп.= Рп. А Ак. - полупрямое

произведение /\ г* — свободной абелевой алгебры Ли над К со свободными порождающими -С 1 , . I ,, Хп. г И г п. — свободного модуля над кольцом многочленов КО!,--»*«-!! со свободныг.1и порождающими , с нулевым умножением. Известно

[8], что Ьп, изоморфно вкладывается в Мп , оказалось, что над кольцом К характеристики нуль Мл Ш- аппроксимируется алгеброй Ьг. для , отсюда получается, чтоТзЬ= - Тз Ь к - Тз М п. при я- 2, , и можно говорить о 3 - теории Тэ 1_ свободной метабелевой неабелевой алгебры Ли над К . Называем метабелеву алгебру Ли М 3 - свободной, метабелевой, если Тз М = Тз Ь • Алгебры М п. , п ъ Z образуют счетную возрастающую цепочку Мг,еМзс...сМ„.с... несвободных 3 - свободных метабелевых алгебр Ля над К • Над полем 0 (кольцом "2. ) удалось доказать следующий результат: для конечно-порожденной метабелевой алгебры Ли М 3 - теория Тз М ^ Тэ Ь ■ тогда и юлько тогда, когда М - аппроксимируется свободны?,ш метабелевыми алгебрами Ли. Пусть свободная метабелева алгебра Ли над полем р со счетным множеством свободных метабелевых порождаю идах, тогда как и в случае абсолютно свободных алгебр Ли верны следующие утверждения: если ТэР = ТзФ для полей (— , Ф , то Тз1/=ТзЬ^ : ТзЬ^ТзЦЧТз^.

В § 7 вводится понятие парасвободной алгебры Ли и излагается доказательство результата о парасвободности свободного произведения парасвободных алгебр Ли. Алгебра Ли Р - пара-свободная, если она аппроксимируется свободными нильпотентными алгебрами Ли и содержит свободную подалгебру такую, что для всякого цолого числа Р/Р^-Ь/Ь"",

при этом X - множество парасвободных порождающих Р . Если А , В - парасвободные алгебры Ли над произвольным полем со множествами парасвободных порождающих Х,У соответственно, то их свободноо произведение А *В> является парасвободной алгеброй Ли со множеством парасвободных порождающих X и У.

В § 8 построена счетная серия парасвободных несвободных алгебр Ли Рк , к над произвольны:.! полем, где Рк-

г | гк=гх1Х+*Ь1с1-г.=0) } Жз_ ^ - парасвободные по-ровдающие Рк . Для доказательства падасвободности алгебры Рк строится вложение Р« в алгебру Ли |_,2.= Ь Сх»,хг.] формаль-1шх степенных рядов от переменных . Показано, что

алгебра Рк является расширением свободной алгебры Ли ЬС&Хг Рк2- 00 счетным множеством свободных порождающих

I ^ 0 } при помощи свободной абелевой алгебры Ли Рк/Рк*" о двумя свободными поровдающими х± , ЗСь, причем для хь] рк/рк"~ Ьа/Ьг,' -свободная

ыетабелева алгебра Ли. Если ОI - некоторая алгебра из указанной выше серии с парасвободными порождающими х.г.1-1,

, то О1*...* От.* ЬГУЗ - парасвободная несвободная алгебра Ли со множеством ларасвободных порождающих

После получения изложенных выше результатов о парасво-бодных алгебрах Ли автору стало известно, что в [23] построен другой пример парасвободной несвободной алгебры Ли. Указанная в [23] парасвободная алгебра Ли является расширением свободной алгебры Ли со счетным множеством свободных порождающих при помощи одномерной абелевой алгебры Ли; ее фактор - алгебра по второму коммутанту не является свободной метабелевой алгеброй Ли. Техника доказательств в [23] опирается на гомологические методы и существенно отличается от используемой наш техники, идущей от работ А.И.Ширшова.

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю, профессору в.Н.Вамеоленникову за постановку проблем, поотоянное внимание и поддержку в работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бахтурин Ю.А. Товдества в алгебрах Ли. - М.: Наука,

1985.

2. Ширшов А.И. Подалгебры свободных алгебр Ли // Матем.сб. - 1953. - Т.ЗЗ. - С.441-452.

3. Ширшов А.И. О свободных кольцах Ли // Матем.сб.

- 1958. - Т.45. - И 2. - C.II3-I22.

4. Ширшов А.И. Некоторые алгоритмические проблемы для алгебр Ли // Сиб.матем.к. - 1962. - Т.З. - И 2. - С.292-296.

5. Бокуть Л.А. Неразрешимость проблемы равенства и подалгебры конечно определенных алгебр Ли // Изв.АН СССР.

- 1972. - Т.36. - № 6. - C.II73-I2I9.

6. Бокуть Л.А. О базах свободных полинильпотентных алгебр Ли // Алгебра и логика. - 1963. - Т.2. - J5 4.

- С.13-20.

7. Кутан Г.П. Примитивные элементы свободных алгебр Ли // Алгебра и логика. - 1970. - Т.9. - Ji 4. - С.458-472.

8. Шмелькин А.Л. Сплетения алгебр Ли и их при:,многою в теории груш // Труды Моск.матем.общ-ва. - 1973. - Т.29.

- С.247-260.

9. Лиццон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. - М.: Мир, 1980.

10. Мельников О.В., Ремесленников В.Н., Романьков В.А., Скорняков Л.А., Шестаков И.П. Общая алгебра. - М.: Наука, ¿990.

11. Григорчук Р.И., Курчанов П.Ф. Некоторые вопросы теории групп, связанные с геометрией // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики, фундаментальные направления.

- Т.58. - М.: ВИНИТИ, 1990. - С.191-256.

12. Маканин Г.С. Уравнения в свободной группе // Изв.АН СССР. - 1982. - Т.46. - JS 6. - C.II99-I273.

13. Разборов A.A. О системах уравнений в груше: Дио'. ... канд. физ.-мат. наук. - M., 1987.

14. BAUM^LAO- В. Resisually PREE c-ROUPS // PROC. LONDON Math, Soe. - 196?. -V.3.N17.- P.AOZ-AlQ.

15. Ремэслеиннкоз В.Н. 3 - свободные группы // Сиб.матем. з. - 1989. - Т.30. - й 6. - С.193-197.

?

16. Маканин Г.С. Разрешимость универсальной и позитивной теорий свободной грушш // Изв.АН СССР. - 1984. - Т.48. -И. - С.735-749.

17. Ершов Ю.Л., Палатин Е.А. Математическая логика. -М.: Наука, 1979.

18. Лент С. Алгебра. - М.: Мир, 1968.

19. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1972.

20. BAUMSLAO G. G-POOPS wiTH THE SAME LOWER CENTRAL"'

SEQUENCE AS A RELATIVELY FREE йЛОиР. J. ТнЕ. O-HOUPS //

TRANS. AMER. MATH. SOC-. - 19 6?. - V. 1 Z 9. - P. 308 - 32 i .

21. Bawmslao G. Groups wi-гн the suhe. lovVe-R central.

iEQOENCe AS À RELATIVELY FREE &КОУ P. Д _ PftOPgRTibS //

Trans. Amer. Math.Soc.- 1969. - ViAZ.. - p. b~07- 53Ô .

22. BAVMSLAÛ G. Stamm«ach U- ON THE inverse LIMIT PF FREE NÎLPOTENT G-hovps // COMMENT. MATH. H£LVÊTici

- 147?.-V. 52 . - P. 213 -2 33 .

23. Baur h., Stammbach V. A note on parafreb. Lie AL0E6ftAS // Commun, ¡H Ai-S. - 19&0.-V. 8(iO).-P. -960. . .

Работы автора по теме диссертации:

24. Шантаренко В.Г. 3 -теории и OJ- аппроксимируемость метабелевых алгебр Ли и колец многочленов // Препринт 812, ВЦ СО АН СССР. - Новосибирск, 1988. - 16 с.

25. Шантаренко В.Г. О парасвободных алгебрах Ли // Международная конференция по алгебре. Тезисы докладов по теории колец, алгебр и модулей. - Новосибирск, 1989. - С.159.

26. Шантаренко В.Г. О парасвободных алгебрах Ли // Аннот.в Сиб.матем.ж. - 1990. - Т.31. - В 2. - С.208 (Депон. в ВИНИТИ. - № 2391. - В.90. - 22 е.).

27. Shantarehko V. G-. Ом THE EQUATION *<,xi+34*1 = 0 ¡n a free Lie AL&eaRA // Международная конференция по алгебре. Тезисы докладов по теории колец, алгебр и модулей.

- Барнаул, 1991. - С.176.

28. Шантаренко В.Г. Уравнения в свободной алгебре Ли и аппроксимируемость свободными алгебрами Ли // Црепринт 6, ИИТШ СО РАН. - Омск, 1992. - 24 с.

Ротапринт ОмИИТа. Зак. SO Тираж 100 пкз.