Эллиптические алгебры тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ имени Л.Д.ЛАНДАУ

На правах рукописи

Одесский Александр Владимирович Эллиптические алгебры

Специальность 01.01.03—математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2004

Работа вьшолнена в Институте теоретической физики им.Л.Д.Ландау РАН. Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени Стеклова.

Защита состоится "24"июня 2004 г. в 11.00 на заседании Диссертационного совета Д.002.207.01 при Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН (142432, Черноголовка Ногинского района Московской области, проспект Академика Семёнова 1 А).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической физики им. Л. Д. Ландау.

Автореферат разослан "19"мая 2004 г.

доктор физ.-мат. наук А. М. Вершик доктор физ.-мат. наук П. Г. Гриневич доктор физ.-мат. наук Б. А.Дубровин

Ученый секретарь Диссертационного совета,

Л. А. Фальковский

доктор физ.-мат. наук

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ имени Л.Д.ЛАНДАУ

На правах рукописи

Одесский Александр Владимирович

Эллиптические алгебры

Специальность 01.01.03—математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математическихнаук

Москва 2004

Работа выполнена в Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН. Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук А. М. Вершик доктор физ.-мат. наук П. Г. Гриневич доктор физ.-мат. наук Б. А.Дубровин

Ведущая организация:

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени Стеклова.

Защита состоится "24"июня 2004 г. в 11.00 на заседании Диссертационного совета Д.002.207.01 при Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН (142432, Черноголовка Ногинского района Московской области, проспект Академика Семёнова 1 А).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической физики им. Л. Д. Ландау.

Автореферат разослан "_"мая 2004 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук

Л. А. Фальковский

Общая характеристика работы

Актуальность исследования

Один из основных методов при изучении точно решаемых моделей в квантовой и статистической физике это метод обратной задачи теории рассеяния. В основе этого метода лежит изучение представлений так называемой алгебры L-операторов, которая строится по каждому фиксированному решению квантового уравнения Янга-Бакстера (квантовой R-матрице). Известны различные классы решений этого уравнения, которые, в соотвествии с характером зависимости от спектральных параметров, называются рациональными, тригонометрическими и эллиптическими. Наиболее сложными и интересными являются эллиптические решения; рациональные и тригонометрические часто можно рассматривать как вырождения эллиптических.

Изучение алгебраических структур, связанных с рациональными и тригонометрическими R-матрицами привело в 80-х годах к появлению бурно развивающейся области математики: теории квантовых групп. Эту теорию можно охарактеризовать как q-аналог обычной теории групп и алгебр Ли и их представлений: используются аналогичные методы (подалгебра Картана, операторы рождения и уничтожения), но все формулы q-деформируются. При q — 1 новая теория переходит в классическую теорию групп и алгебр Ли.

Эллиптические решения уравнения Янга-Бакстера устроены сложнее тригонометрических и рациональных: кроме появления эллиптических функций, соответствующая R-матрица имеет гораздо больше ненулевых элементов. Последнее обстоятельство приводит к тому, что классические методы не работают и соответствующие алгебраические структуры имеют принципиально другое

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

устройство.

Первый шаг к пониманию этих структур был сделан Скляниным в начале 80-х годов. Он рассмотрел простейшую эллиптическую Я-матрицу — так называемую Я-матрицу Бакстера. Исследование соответствующей алгебры Ь-операторов привело к построению семейства ассоциативных алгебр, заданных 4 образующими и 6 квадратичными соотношениями. Алгебра этого семейства зависит от 2 комплексных параметров: т и г}, причем 1тг > 0. При ц = 0 алгебра вырождается в кольцо многочленов. Склянин предположил, что при любых т,т} алгебра имеет те же размеры, что и алгебра многочленов. Кроме того, алгебры, отвечающие парам изоморфны. Поэтому класс изоморфизма алгебры зависит от эллиптической кривой £ = С/Гт (гдЕдСЪчисленная решетка, порожденная 1 тфи образа

В дальнейшем выяснилось, что более общие эллиптические Я-матрицы приводят к аналогичным алгебрам с любым числом образующих. Эти алгебры получили название эллиптических, поскольку их структурные константы являются эллиптическими функциями параметра (с модулярным параметром т). Теория эллиптических алгебр тесно связана с различными областями математики и математической физики: интегрируемые системы, многообразия модулей расслоений на эллиптической кривой, некоммутативная геометрия и др. Настоящая работа посвящена теории эллиптических алгебр и ее приложениям.

(т, т]), (т,Т] + 1),(т,Г1 + т), (т + 1,7?),

т т

Цели работы

Целью настоящей работы является построение и изучение эллиптических алгебр. Особое внимание уделяется описанию методов, которые используются при их изучении, поэтому мы начинали с простейшего нетривиального случая: алгебры с тремя образующими. Мы также строим и изучаем представления эллиптических алгебр. Другая важная задача: описание связей эллиптических алгебр с различными областями математики, в том числе описаны приложения к изучению эллиптических R-матриц.

Научная новизна

Построен широкий класс эллиптических алгебр с любым числом образующих. Развиты методы, позволяющие исследовать их структуру. В частности, гипотеза Склянина о размерах его алгебры с четырьмя образующими доказана для эллиптических алгебр с любым числом образующих. Описана структура симплектических листов эллиптических алгебр в квазиклассическом пределе. Также построены семейства бесконечномерных представлений «квантовых алгебр», отвечающие этим листам. Изучен случай, когда т) £ £ = С/Г есть точка конечного порядка. Оказалось, что этот случай аналогичен случаю qN = 1 в теории квантовых групп.

В качестве приложения к теории точно решаемых моделей построен аналог классического соответствия между XYZ и RSOS моделями (vertex-face correspondence) для произвольных эллиптических R-матриц.

Практическая ценность

О приложении к теории интегрируемых систем и точно решаемых моделей уже было сказано выше. Другая важная область: деформационное квантование, для которого эллиптические алгебры являются важным источником примеров. Упомянем также приложения к некоммутативной геометрии: явное построение широкого класса некоммутативных многообразий. Весьма интересными представляются связи с теорией многообразий модулей голоморфных расслоений на эллиптической кривой. Оказалось, что квазиклассический предел эллиптических алгебр и соответствующая структура симплектических листов имеет естественную интерпретацию в терминах многообразий модулей.

Аппробация работы

Результаты работы многократно докладывались на международных конференциях, в том числе:

International NATO Conference "Integrable structures of exactly solvable two-dimensional models of quantum field theory", Kiev, 2000

Colloque-Workshop "Developpements recents en theorie de Lie et Poisson", Universite de Reims, 27-28 juin 2001

Workshop "Classification Problems in the theory of Integrable Systems", SISSA, Triest, October 1-5, 2002

Universite de Saint-Etienne, Journees d'algebre, 31 janvier-1 fevrier 2003 "Recent Advances in the Theory of Quantum Integrable System", International Workshop, 25-28 March 2003, LAPTH, Annecy-le-Vieux, France

XV Coloquio Latinoamericano de Algebra, Ex-Hacienda Cocoyoc, Мог. Mexico,

July 20-26, 2003

Colloque CNRS (GDR SG-MAT), Universite de Bourgogne, Universite Blaise Pascal (Clermont-Ferrand II) "Quantification par deformation et algebres elliptiques", Dijon, 8-12 mars 2004

Workshop "Hopf Algebras, Quantification (in the largest sense), bialgebras, associators, topological invariants", CIRM (Marseille, Luminy), March 29th- April 3rd, 2004,

а также на семинарах и в университетах. Публикации

По теме диссертации опубликован один обзор и двадцать одна статья (в том числе двадцать в рецензируемых изданиях).

Структура и объем работы

Диссертация состоит из Введения, пяти глав, Приложений (А, В, С, D, Е, F, G) и Заключения. Объем диссертации 126 страниц, список литературы содержит 56 наименований

Содержание работы

Во Введении обосновывается актуальность темы, формулируются цели исследования и кратко излагается содержание работы.

Глава 1. Алгебры с тремя образующими

В этой главе изучаются простейшие эллиптические алгебры: алгебры с тремя образующими. Пусть p,q е С Определим алгебру Ар>д образующими xo,xi, Х2 и соотношениями:

х2х0 - qx0x2 = рх\ XQXI — <7X1X0 = рх\

Для изучения этой алгебры полезно использовать представления следующего вида:

Определение 1. Модуль над Z^o-градуированной алгеброй А называется линейным, если он Z^o-градуирован как A-модуль, порожден пространством степени 0 и размерности всех компонент равны 1.

Изучим линейные модули над алгеброй Ap<q. Ясно, что модуль имеет базис и действие образующих: где при всех Отсюда и из соотношений в легко

вывести, что

+ Уа + га + ^ -"®aí1а*а = 0 при ВСвХ а.

Далее, если точка лежит на этой кубике, то следующая

точка (xa+i : ya+i : za+i) однозначно определена и тоже лежит на этой кубике. Отсюда выводится, что ответ записывается в терминах 0-функций третьего порядка: x0va = 0о(и + ar¡)va+1, xiva =0i(u + aij)va+i, X2Va = в2(и + ai])va+i. Здесь r¡ Е С и эллиптическая кривая £ = С/Г строятся по р и q. Поскольку дают естественную параметризацию, изменим обозначения, именно

положим Полученное описание линейных модулей допускает

следующую переформулировку:

Пусть градуированная алгебра В{т}) = С ф © ..., где

Ва = {/(и)еа}, / — все голоморфные функции, а умножение задается формулой: /(и)еад(и)е^ = /(и)д(и — а1])еа+^. Тогда существует гомоморфизм алгебр <р: ц) -)• В(г)), такой что -> <^(и)е; г = 0,1,2.

Далее описывается образ алгебры (}з(£,т)) при гомоморфизме (р. Кроме того, оказывается, что ядро порождено кубическим элементом и элемент С центральный. Легко проверить, что образ т])) не имеет

центра при общем т] (т.е. при N1] ^ Г для всех N € Н). Отсюда следует, что при общем т] центр фз (£>»?) порожден С. Из полученного описания алгебры вытекает, что она естественно параметрризуется а ее простран-

ство образующих изоморфно 0з(Г) —пространству тета-функций порядка 3. Аналогичное описание допускает алгебра Склянина с четырьмя образующими: ее пространство образующих изоморфно ©4(Г). Возникает вопрос о построении аналогичных алгебр с любым числом образующих.

Глава 2. Алгебра 7)

1 .Конструкция

Как линейное пространство есть

пространство голоморфных симметричных функций а аргументов с условиями:

Умножение * Z>o-градуировано и задается формулой:

х

0(г<г,- ~ ^ - щ)

Проверяется, что эта формула определяет ассоциативное умножение в пространстве <?„(£, т?) = 5*(6„(Г)).

2. Основные свойства алгебры ¿2»» (£»*/)

По построению алгебра (дп(£,11) имеет такие же размерности градуированных компонент, как алгебра многочленов от п переменных. При т} = 0 алгебра <3п(£,0) коммутативна и изоморфна кольцу многочленов га переменных. При общем Т1 (т.е. Ыт) $ Г) алгебра £?п(£>»7) задана п образующими и ^

квадратичными соотношениями.

3. Бозонизация алгебры ф„(£,т))

Пусть ВргП(т]) есть 2р-градуированная алгебра, порожденная пространством мероморфных функций /(щ,... , ир) и элементами е\,... , ер с соотношениями:

е«/("ь... , иР) = /("1 - 2г},... ,иа + (п-2)г!,... ,ир-2ф,

1 • • • 1

еаер = ереа.

Пусть т} G S = С/Г — точка бесконечного порядка. Тогда существует гомоморфизм ipp : Qn(£,t]) Вр,п{ч), заданный формулой:

Здесь / € 0„(Г) образующая алгебры Qn{£,rj).

4.Представления алгебры Qn (£, 77)

Пусть vi,... ,vp € С такие что и* — Vj — \пт) £ Г при Л G Z. Мы строим представление MWIi...)|;j> алгебры Вр>п(т]) с базисом u»ail.„,aj>,ai,... ^ 0 и действием е < =wau...,ai+1.....(т. е. wai.....= е?1 .. .eppw0...0), а так-

же диагональным действием щ,... , ир, именно Ui-wo,... ,0 = (vi ~ {n—2)v)wo,... ,о-Легко видеть, что гомоморфизм ipp дает представление алгебры Qn(£,Tj) в

пространстве MVl.....Vp, которое в некотором базисе uai>... )Ctp записывается в

виде:

, _ v^ _f(vi + (2«i + ■ ■. + 2ap - ncti)Tf)_

V<XU 1 ii^p 0(Vi ~vi~ n(ai ~ «1)4) • • • - vp ~ "(«< - «p)»?)

Векторы пропорциональны гуа1,...,0р. В частности, при р = 1 имеем

линейный модуль М„ с действием fva = /(и — (п — 2)ai])va+i.

5. Симплектические листы

Гомоморфизмы ifip в квазиклассическом пределе т] 0 позволяют описать симплектические листы пуассоновой алгебры, отвечающей деформации Qn(£, 0) = S*0n(r) = C[xi,... ,х„]. Зададим вложение эллиптической кривой

£ С СР"-1 с помощью тэта-функций порядка п, именно ...: вп-1(2)).

Пусть Ср£ С СРп-1 многообразиер-хорд, т.е. объединение проективных пространств размерности р-1, проходящих через р точек £. Пусть К(СР£) С С" соответствующее однородное многообразие. При 2р <п имеем сПт К(СР£) = 2р.

п — 1

Имеем О С К(£) с К(С2£) С К(СРт^£), где ртах = —-— при нечетном п, и

¿1

п

Ртах = — — 1 при четном п. Многообразие К(СРтлх£) С С" определяется одним

АI

уравнением С = 0 при нечетном п и двумя уравнениями С\ = О, С% = 0 при чет-

ТЬ

ном п. Здесь degC = п, degCx = degC2 = —. Многочлен С (соответственно, С\

¿1

и С2) порождает центр пуассоновой алгебры при нечетном п (соответственно, четном п). Общие симплектические листы задаются уравнением С = А (соответственно, С\ = = Аг). Кроме того, многообразия К{Ср£)\К{Ср-\£) при р ^ Ртах являются симплектическими листами.

Свободные модули, образующие и соотношения

Пусть т]—точка бесконечного порядка. Легко проверить, что при VI,... в общем положении модуль МЩ1 есть свободный модуль над (}п(£>Т)) с одной

образующей «о.....о- Отсюда легко вывести, что алгебра <2пзадается п

образующими и ^ квадратичными соотношениями. Пусть {аг,-, г € 2/п2}

образующие, отвечающие базису (0»(;г),» € Z/nZ} в пространстве ©П(Г). Соотношения в алгебре С}п(£, т?) имеют вид:

Х]—гХ{-\-г — о,

где

Глава 3. Основные свойства алгебры С}п,к(£1'П)

Пусть £ = С/Г, »7 6 £. Пусть п и ¿—взаимно простые натуральные числа, причем 1 ^ к < п. Алгебра (¿п,к{£,Т1) определяется образующими {х*,г € Z/nZ} и соотношениями:

При общих £ и т] это ПБВ-алгебра. Центр алгебры С2п,к(£, т]) при общем г) есть кольцо многочленов от с = НОД(п, к + 1) элементов степени п/с. Если т/—точка конечного порядка, то алгебра (¿пМ^'Ч) конечномерна над своим центром. Кроме того:

1. <ЭП,*(М)=С[Х1 >••.,*»]

2. <2п,п-1 (£,*?) - С[хх,... ,х„] при любом Г]

3. <?„,*(£, т/) = <?„,*'(£>»?) при кк' = 1Мос1т1

4. Отображения х< е'х^ где е" = 1 задают автоморфизмы алгебры Яп,к(£,г]).

Пространство образующих алгебры (¿п,к(£,ч) изоморфно пространству тэта-функций 6п/4(Г) (См. Приложение В).

Глава 4. Эллиптическая И-матрица Белавина и алгебра

Напоминается определение уравнения Янга-Бакстера и алгебры Замолод-чикова, которая строится по решению уравнения Янга-Бакстера (Я-матрице).

г®»+г — О

Эллиптическая R-матрица Белавина имеет вид:

Rn,k (£, п) (и ~ v): Xi {и) ® Xj (и)

-.Л ^ ви-МЙ, - xJ~rW®x'+rW>

p(u - v) rg^nZ вкг(т])в^-г(и - u) где

(0)... 0n_i (O)0o (t> - u + ч)... (t> - u + ч)

0O(J?) • • • вп-i (ч)*о(« - «) • • • On-i {v ~ «) '

г, j G

p(u — v) =

n(n - 1)

Этот оператор имеет ядро размерности--—- при u — v = —г/. Это ядро

¿1

и задает соотношения в алгебре Q«,*(£,»?)•

Глава 5. Алгебра и обменные алгебры

1. Гомоморфизмы алгебры Qn,k(£i V) в динамические обменные алгебры

Строятся гомоморфизмы алгебр Qn,k(.£,iт) в обменные алгебры, аналогичные гомоморфизмам (рр при к = 1. Пусть п/к = п\----j—.

п2- ...--

щ

Вместо алгебры Вр>п(т)) с образующими {ui,... ,ир\еi,... ,ер} строятся более сложные алгебры с образующими: {ya,0,eai,...,a,', 1 ^ ос ^ mp, 1 ^ ¡3 ^ q, 1 ^ ai ^ mi,... ,1 ^ ctq ^ тд} и обменными соотношенями. {уа,(з} играют роль динамических переменных. Существует гомоморфизм алгебры Qn,k(£>ч) в обменную алгебру, при котором

Zi-> J! т(Уаии---,Уа„д)еаи...,а,

l^ai^mi

1 ^ОСд^ТПд

Здесь — базис в пространстве тэта-функций ©„/* (Г). Доказательство использует соотношения между тэта-функциями, доказанные в Приложении В.

2. Гомоморфизм обменной алгебры в алгебру (£, ту)

Пусть -7 = п', —

п — к

1

. Строится гомоморфизм алгебры с обра-

зующими {е(их,... ... е С} с обменными соотношениями в алге-

бру фп./ьО^)7?)- Этот гомоморфизм имеет вид:

Доказательство использует соотношения в алгебре Си тождества между тэта-функциями из приложения В.

Приложения

А. Тэта-функции одной переменной

В этом приложении напоминается определение тэта-функций порядка п от одной переменной относительно решетки Г С С Именно, пространство 0П>С(Г) определяется как пространство целых функций одной переменной, удовлетворяющих соотношениям:

На пространстве ©п,с(Г) действует центральное расширение группы Г/пГ £ = (2/п2)2, что позволяет выбрать базис {0»(2),г € Z/тlZ}. Кроме того, доказываются некоторые тождества для тэта-функций.

а

/(г + 1) = /(г), /(* + т) = (-1)пе~2н(п2-с>/(г)

B. Некоторые тэта-функции нескольких переменных, ассоциированные со степенью эллиптической кривой.

Пусть к и п взаимно просты, причем 1 ^ к < п. Пусть п/к=П1----

п2-...--

пр

Обозначим через ©П/*(Г) пространство целых функций р переменных, удовлетворяющих соотношениям:

Здесь 1 ^ а ^ р,го = ¿р+г = 0. В пространстве 0„/*(Г) действует центральное расширение группы что позволяет выбрать базис

Кроме того, доказываются некоторые тождества.

C. Сопряженность пространств ©„^(Г) и ©т»/т»-ь(Г)

Строится канонический элемент в пространстве ©„/¿(Г) ® 0„/„_*(Г).

Э1. Интегрируемые системы, квантовые группы и Я-матрицы

Описываются результаты Склянина об алгебре L-операторов для R-мат-рицы Бакстера. В наших обозначениях это R-матрица Лъ^Е,!]). Существует гомоморфизм алгебры L-операторов в алгебру с четырьмя образующими. В наших обозначениях это алгебра Кроме того, мы кратко описываем

обобщение этих результатов для произвольной R-матрицы Белавина .йп,*(£, г)).

D2. Деформационное квантование

Напоминается постановка задачи деформационного квантования. Алгебры являются решением этой задачи для некоторых квадратичных Пуас-соновых структур на С".

D3. Многообразия модулей

Пусть PcG параболическая подгруппа полупростой группы Ли G. Пусть М{£, Р) — многообразие модулей голоморфных Р-расслоений на эллиптической кривой £. На каждой компоненте М(£,Р) существует естественная Пуассонова структура. Алгебры являются квантованием этой струк-

туры для G = GLk+1.

В приложениях D4 и D5 кратко описываются связи эллиптических алгебр с некоммутативной геометрией и теорией когомологий.

Б. Эллиптические R-матрицы Белавина и обменные алгебры

В этом приложении изучаются алгебры Замолодчикова для эллиптических R-матриц Белавина. Для них найдены гомоморфизмы в обменные алгебры и гомоморфизмы обменных алгебр в алгебры Замолодчикова. Формулы аналогичны результатам главы 5 для алгебр

F. Эллиптические деформации алгебр токов и их представления разностными операторами

Изучаются эллиптические алгебры более общего вида, чем Qn,k(£>4l)- Для системы корней Д полупростой алгебры Ли и доминантного веса п строится семейство алгебр ¿?П|Д (£,»?)• Эти алгебры являются деформацией некоторой

подалгебры универсальной обертывающей алгебры алгебры токов для алгебры Ли, отвечающей системе корней Д.

О. Случай точки конечного порядка

Изучаются алгебры (2П,в случае, когда г] — точка конечного порядка, т. е. N1} € Г для н е к о т орогМ В этом случае алгебра (?„,*(£» конечномерна как модуль над своим центром. Находятся образующие нового центра, а также Пуассонова структура на нем. Кроме того, строятся R-матрицы, являющиеся эллиптическим аналогом R-матриц киральной модели Потса. В Заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Основные результаты

Сформулируем основные результаты диссертации. Построено семейство эллиптических алгебр образующими, зависящих от эллиптической кривой £ (т. е. модулярного параметра т с 1т т > 0) и точки т] € £. Дана явная функциональная реализация алгебр как пространства функций с явной формулой для умножения. Построены семейства представлений алгебры

С}п(£, л), а также ее бозонизация. Доказано, что алгебра (£,т)) задана п обратно — 1)

зующими, —- квадратичными соотношениями и удовлетворяет свойству Пуанкаре-Биркгофа-Витта т. е. имеет те же размерности

градуированных компонент, что и кольцо многочленов от п переменных.

Изучены симплектические листы квазиклассического предела алгебры $„(£,«?) (при Т) 0).

Построено более широкое семейство эллиптических алгебр где

1 ^ к < п,НОД(тг,А;) = 1. Для них дана связь с обменными алгебрами, струк-

тура которых зависит от разложения чисел 2 и —в цепные дроби вида mi----j—. Аналогичная связь установлена для алгебр Замолодчико-

7712 — • • •--

тр

ва, отвечающих эллиптической R-матрице Белавина Rn,k(SjV)(u ~ u)i причем структура обменных алгебр также зависит от указанных цепных дробей. Этот результат является обобщением классического соответствия Бакстера между XYZ и RSOS моделями (vertex-face correspondence).

Кроме того, изучен случай, когда т]—точка конечного порядка (т. е. Nrf 6 Г), построен центр в этом случае и описана Пуассонова структура на нем, которая возникает из-за того, что при этих значениях т] центр алгебры ч) гораздо

больше, чем при общих т}.

Построено семейство эллиптических алгебр более общего вида,

где Д—система корней полупростой алгебры Ли, а п целочисленный доминантный вес. Для этих алгебр даны конструкции представлений и сплетающих операторов между ними.

Публикации автора по теме диссертации Обзор

Р] А. Одесский, Эллиптические алгебры, Успехи математических наук, Т.57 (2002) по. 6, С. 87-122.

Статьи

[1] А. В. Одесский, Б. Л. Фейгин, Эллиптические деформации алгебры токов и их представления разностными операторами. — Функц. анализ и его прилож. — 1997, Т. 31, вып. 3, С. 57-70.

[2] Feigin Boris, Jimbo Michio, Miwa Tetsuji, Odesskii Alexander, Pugai Yaroslav, Algebra of screening operators for the deformed Wn algebra. Comm. Math. Phys. 191 (1998), no. 3,501-541. (Reviewer: Junichi Shiraishi), q-alg/9702029

[3] Feigin Boris, Odesskii Alexander, A family of elliptic algebras. Internat. Math. Res. Notices 1997, no. 11, 531-539. (Reviewer: Michel Van den Bergh)

[4] А. В. Одесский, Б. Л. Фейгин, Эллиптические алгебры Склянина. Случай точки конечного порядка. — Функц. анализ и его прил. — 1995, Т. 29, вып. 2, С. 9-21.

[5] А. В. Одесский, Б. Л. Фейгин, Конструкции эллиптических алгебр Склянина и квантовых R-матриц. Функ. анал. и его приложения т. 27, вып. 1 (1993) с. 37-45.

[6] Odesskii Aleksander V., Rational degeneration of elliptic quadratic algebras. Infinite analysis, Part А, В (Kyoto, 1991), 773-779, Adv. Ser. Math. Phys., 16, World Sci. Publishing, River Edge, NJ, 1992. (Reviewer: Michel Van den Bergh)

[7] Одесский А.В., Фейгин Б.Л. Эллиптические алгебры Склянина. Функц. анализ и его прил. — 1989. — Т. 23, вып. 3. — 45-54.

[8] Одесский А.В. Об одном аналоге алгебр Склянина. Функц. анализ и его прил. —1986— Т. 20, вып. 2.

[9] AV.Odesskii and B.L.Feigin, Quantized moduli spaces of the bundles on the elliptic curve and their applications. Integrable structures of exactly solvable two-dimensional models of quantum field theory (Kiev, 2000), 123-137, NATO Sci. Ser. II Math. Phys. Chem., 35, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2001. (Reviewer: Zhenbo Qin), math.QA/9812059

[10] A.V.Odesskii and B.L.Feigin, Functional realization of some elliptic Hamil-tonian structures and bosonization of the corresponding quantum algebras., Integrable structures of exactly solvable two-dimensional models of quantum field theory (Kiev, 2000), 109-122, NATO Sci. Ser. П Math. Phys. Chem., 35, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2001. (Reviewer: Shao-Ming Fei), math.QA/9912037

[11] A.V.Odesskii and B.L.Feigin, Coordinate ring of the quantum grassmanian and intertwiners for the representations of Sklyanin algebras. Topics in quantum groups and finite-type invariants, 55-64, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 185, Amer. Math. Soc, Providence, RI, 1998. (Reviewer: Michel Van den Bergh)

[12] B.L.Feigin and A.V.Odesskii, Vector bundles on elliptic curve and Sklyanin algebras. Topics in quantum groups and finite-type invariants, 65-84, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2,185, Amer. Math. Soc, Providence, Ш, 1998. (Reviewer: Michel Van den Bergh), q-alg/9509021

[13] A.Odesskii and V.Rubtsov, Polynomial Poisson algebras with regular structure of symplectic leaves, Theoretical and Mathematical Physics V.133, no.l(2002), math.QA/0110032

[14] А. В. Одесский, Эллиптические R-матрицы Белавина и обменные алгебры. — Функц. анализ и его прил. 36 (2002), по. 1, 59-74.

[15] A.Belavin, A.Odesskii and R.Usmanov, New relations in the algebra of the Baxter Q-operators. (Russian) Teoret. Mat. Fiz. 130 (2002), no. 3, 383-413, hep-th/0110126

[16] A.Odesskii, Set-theoretical solutions to the Yang-Baxter Relation from factorization of matrix polynomials and ^-functions, Mosc Math. J. 3 (2003), no.

1, 97-103, math. QA/0205051

[17] B.Enriquez, A.Odesskii, Quantization of canonical cones of algebraic curves, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 52 (2002), no. 6, 1629-1663, math.AG/0112148

[18] H. Braden, A. Gorsky, A. Odesskii, V. Rubtsov, Double Elliptic Dynamical Systems From Generalized Mukai - Sklyanin Algebras, Nuclear Phys. В 633 (2002), no. 3, 414-442, hep-th/0111066

[19] A.Odesskii, Bihamiltonian elliptic structures, to appear in Moscow Mathematical Journal, math.QA/0212210

[20] A.Odesskii, Local action of the symmetric group and the twisted Yang-Baxter relation, math.QA/0110268

[21] Одесский А.В., Фейгин Б.Л. Алгебры Склянина, ассоциированные с эллиптической кривой. — Киев, Изд. Ин-та теор. физики АН УССР, 1988.

»-9712

Введение

§1. Алгебры с тремя образующими

§2. Алгебра

1. Конструкция.

2. Основные свойства алгебры £,)„(£, г?)

3. Бозонизация алгебры <3П

4. Представления алгебры (¿п(£, г/).

• 5. Симплектические листы

6. Свободные модули, образующие и соотношения.

§3.Основные свойства алгебр (¿„¿{£,7])

§4. Эллиптическая Д-матрица Белавина и алгебра С£п,к{£, V)

0 §5. Алгебры Цщк^-.'ц) и обменные алгебры

1. Гомоморфизмы алгебры &(£>??) в динамические обменные алгебры

2. Гомоморфизм обменной алгебры в алгебру Сдп,к{£-> V).

2. Д-матрица Белавина. 66

3. Динамические алгебры с обменными соотношениями. 68

4. Гомоморфизмы алгебры (Г, гу) в динамические алгебры с обменными соотношениями. 71

5. Полиспектральные алгебры с обменными соотношениями. 74

6. Гомоморфизм полиспектральной алгебры с обменными соотношениями в алгебру (Г, г}) . 75

Приложение Р. Случай точки конечного порядка 77

1. Введение .77

2. Алгебры Яп,к(£,'п) .80

3. Случай точки конечного порядка.85

4. Подкрученные алгебры С}п,к(£, V).

Приложение С. Эллиптические деформации алгебр токов и их представления разностными операторами 98

1. Введение . 98

2. Конструкция алгебр <3п,д(£, V).Ю5

3. Представления алгебры (2п,д(£> V) .108

4. Сплетающие операторы .110

5. Центр алгебры .116

Введение

Актуальность исследования

• Один из основных методов при изучении точно решаемых моделей в квантовой и статистической физике это метод обратной задачи теории рассеяния. В основе этого метода лежит изучение представлений так называемой алгебры Ь-операторов, которая строится по каждому фиксированному решению квантового уравнения Янга-Бакстера (квантовой 11-матрице). Известны различные классы решений этого уравнения, которые, в соотвествии с характером зависимости от спектральных параметров, называются рациональными, тригонометрическими и эллиптическими. Наиболее сложными и интересными являются эллиптические ф решения; рациональные и тригонометрические часто можно рассматривать как вырождения эллиптических.

Изучение алгебраических структур, связанных с рациональными и тригонометрическими 11-матрицами привело в 80-х годах к появлению бурно развивающейся области математики: теории квантовых групп. Эту теорию можно охарактеризовать как аналог обычной теории групп и алгебр Ли и их представлений: используются аналогичные методы (подалгебра Картана, операторы рождения и уничтожения), но все формулы <7-деформируются. При д I новая теория переходит в классическую теорию групп и алгебр Ли.

Эллиптические решения уравнения Янга-Бакстера устроены сложнее тригонометрических и рациональных: кроме появления эллиптических функций, соот-^ ветствующая И-матрица имеет гораздо больше ненулевых элементов. Последнее обстоятельство приводит к тому, что классические методы не работают и соответствующие алгебраические структуры имеют принципиально другое устройство.

Первый шаг к пониманию этих структур был сделан Скляниным в начале 80-х годов. Он рассмотрел простейшую эллиптическую Я-матрицу — так называемую 11-матрицу Бакстера. Исследование соответствующей алгебры Ь-операторов привело к построению семейства ассоциативных алгебр, заданных 4 образующими и б квадратичными соотношениями. Алгебра этого семейства зависит от 2 комплексных параметров: г и ту, причем 1т г > 0. При г) = 0 алгебра вырождается в кольцо многочленов. Склянин предположил, что при любых т,г] алгебра имеет те же размеры, что и алгебра многочленов. Кроме того, алгебры, отвечающие

1 п парам (т,т]), (г, г) 4- 1), (т, 77 + г), (г + 1,97), (—, —) изоморфны. Поэтому класс т т изоморфизма алгебры зависит от эллиптической кривой £ = С/Гт (где Гт С С целочисленная решетка, порожденная 1 и т) и образа 77 е £.

В дальнейшем выяснилось, что более общие эллиптические Я-матрицы приводят к аналогичным алгебрам с любым числом образующих. Эти алгебры получили название эллиптических, поскольку их структурные константы являются эллиптическими функциями параметра г) (с модулярным параметром г). Теория эллиптических алгебр тесно связана с различными областями математики и математической физики: интегрируемые системы, многообразия модулей расслоений на эллиптической кривой, некоммутативная геометрия и др. Настоящая работа посвящена теории эллиптических алгебр и ее приложениям.

Цели работы

Целью настоящей работы является построение и изучение эллиптических алгебр. Особое внимание уделяется описанию методов, которые используются при их изучении, поэтому мы начинали с простейшего нетривиального случая: алгебры с тремя образующими. Мы также строим и изучаем представления эллиптических алгебр. Другая важная задача: описание связей эллиптических алгебр с различными областями математики, в том числе описаны приложения к изучению эллиптических 11-матриц.

Научная новизна

Построен широкий класс эллиптических алгебр с любым числом образующих. Развиты методы, позволяющие исследовать их структуру. В частности, гипотеза Склянина о размерах его алгебры с четырьмя образующими доказана для эллиптических алгебр с любым числом образующих. Описана структура симплектиче-ских листов эллиптических алгебр в квазиклассическом пределе. Также построены семейства бесконечномерных представлений «квантовых алгебр», отвечающие этим листам. Изучен случай, когда г) G £ — С/Г есть точка конечного порядка. Оказалось, что этот случай аналогичен случаю qN — 1 в теории квантовых групп.

В качестве приложения к теории точно решаемых моделей построен аналог классического соответствия между XYZ и RSOS моделями (vertex-face correspondence) для произвольных эллиптических R-матриц.

Практическая ценность

О приложении к теории интегрируемых систем и точно решаемых моделей уже было сказано выше. Другая Б З^ЖН ВгЯ область: деформационное квантование, для которого эллиптические алгебры являются важным источником примеров. Упомянем также приложения к некоммутативной геометрии: явное построение широкого класса некоммутативных многообразий. Весьма интересными представляются связи с теорией многообразий модулей голоморфных расслоений на эллиптической кривой. Оказалось, что квазиклассический предел эллиптических алгебр и соответствующая структура симплектических листов имеет естественную интерпретацию в терминах многообразий модулей.

Аппробация работы

Результаты работы многократно докладывались на международных конференциях, в том числе:

International NATO Conference "Integrable structures of exactly solvable two-dimensional models of quantum field theory", Kiev, 2000

Colloque-Workshop "Développements récents en théorie de Lie et Poisson", Université de Reims, 27-28 juin 2001

Workshop "Classification Problems in the theory of Integrable Systems", SISSA, Triest, October 1-5, 2002

Université de Saint-Etienne, Journées d'algèbre, 31 janvier-1 février 2003 "Recent Advances in the Theory of Quantum Integrable System", International Workshop, 25-28 March 2003, LAPTH, Annecy-le-Vieux, France

XV Coloquio Latinoamericano de Algebra, Ex-Hacienda Cocoyoc, Mor. México, July 20-26, 2003

Colloque CNRS (GDR SG-MAT), Université de Bourgogne, Université Blaise Pascal (Clermont-Ferrand II) "Quantification par déformation et algebres elliptiques", Dijon, 8-12 mars 2004

Workshop "Hopf Algebras, Quantification (in the largest sense), bialgebras, associators, topological invariants", CIRM (Marseille, Luminy), March 29th- April 3rd, 2004, a также на семинарах и в университетах. Публикации

По теме диссертации опубликован один обзор и двадцать одна статья (в том числе двадцать в рецензируемых изданиях).

Структура и объем работы

Диссертация состоит из Введения, пяти глав, Приложений (А, В, С, D, Е, F, G) и Заключения. Объем диссертации 126 страниц, список литературы содержит 56 наименований

Итак, основные результаты приложения содержатся в предложениях 6 и 7. В предложении 6 строятся гомоморфизмы из алгебры Замолодчикова ^¿(Г,?;) в алгебры с обменными соотношениями и с динамическими переменными. В пред-♦ ложении 7 строится гомоморфизм из аналогичной алгебры с обменными соотношениями, но без динамических переменных в алгебру Замолодчикова Zn!k(r, 77). Оба утверждения вытекают из тождества (31), которое доказывается в приложении В.

2. ^-матрица Белавина

Основные определения

Пусть V — линейное пространство размерности п, R(u,v) — мероморфная функция комплексных переменных и, V со значениями в линейных операторах в У<8>У, удовлетворяющая условию Щи, у)Щу, и) = 1. Пусть г;) — матричные элементы Щи, у) в некотором базисе пространства V.

Пусть Ая — ассоциативная алгебра с образующими {:га(и); а = 1,., п; и € С} и определяющими соотношениями:

7,6

Определение. Операторнозначная функция Щи, у) называется Л-матрицей, если для всяких общих и,у,т элементы алгебры Ар {ха^хр^х^ги)-, а, /3,7 = 1 , .,п} линейно независимы. В этом случае алгебра Ац называется алгеброй Замолодчикова для /¿-матрицы Щи, у).

Известно, что необходимым и достаточным условием этого является уравнение Янга-Бакстера на Щи, у), которое в матричных элементах записывается в виде:

К^у^иМ^М (41)

1,1/, Ь

Заметим, что это уравнение сохраняется, если оператор Щи, у) умножить на любую функцию <р(и, у).

В [54] Кричевер классифицировал решения этого уравнения при п = 2. При больших п классификация неизвестна. Л-матрица Белавина

В [2] Белавин построил семейство Л-матриц. В наших обозначениях соответствующие алгебры Замолодчикова записываются следующим образом. Пусть, как и раньше, пик — взаимно простые натуральные числа, 1 < к < п. Пусть Г С С — решетка, порожденная 1 и т, 1т т > 0. Пусть г) е С.

Определим алгебру rj) образующими {жа(м); а е Z/nZ, и £ С} и соотношениями:

0!(О) ■ ■ ■ gw-i(0)go(v ~ Ц + V) • • ■ вп-ijv ~ « + q) , ч / ч 0о(г>). • • 0ni(i7)0o(v - и). ^(t; - ti) WW rST-z OkrW^r{v-u) (42)

Здесь {0a(w); a G Z/nZ} — базис в пространстве 0 n i (Г).

Предложение 1. Алгебра Zn^(T, rj) является алгеброй Замолодчикова.

Доказательство. Уравнение Янга-Бакстера (41) легко проверить непосредственно. Подставим R%(u,v) = 5а+рл+6^—u + rj) ^ ф (41) и сравним полюсы правой и левой частей. Пусть ip(u, v, w, rf) — разность между левой и правой частью. Легко убедиться, что функция <р(и, v, w, rf) голоморфна по и и удовлетворяет условиям: ip(u + 1, v, w, rf) = ip(u, v, w, rf), ip(u + r, v, w, rf) — e2nm^(p(u, v, w, rj), отсюда вытекает, что ip = 0. □

Замечание. Пусть nrt G Г, т.е. ?? = — + —г, где а, /3 G Z. Тогда соотношения (42) п п принимают вид:

2та

-(/З—а+к'и)fi xa(u)xp(v) = е П xp+k,w(v)xa-k>u(u).

Здесь к' = d(nx,., npi), ясно, что 1 < /г' < гг, /с/г' = 1 mod п.

3. Динамические алгебры с обменными соотношениями

Пусть р G N, /i, Ai,., Ар € С, mi,., тр £ N. Определим ассоциативную алгебру Х™1'",'тр(Г, ¡1-, Аь ., Ар) следующим образом. Алгебра Х^11'"''тр(Т, /х; Аь ., Ар) порождена коммутативной подалгеброй, состоящей из всех мероморфных функций переменных 1 < ] < р, 1 < а < т^, а,] 6 М} и образующими {еа1,.,ар(и); аъ.,ар € Н, 1 < а^ < т^и Е С}. Определяющие соотношения выглядят следующим образом: еа1,.,ар(и)ур,з = {у0,3 + ^)е*и.,ар(и), где $ ф

43) еа1,.,ар(и)Уч,э = (у^л + А,- ~ р)еа1,.,ар{и).

Это означает, что — динамические переменные. Оставшиеся соотношения квадратичны по еаи.^р(и). Напишем сначала соотношения «общего положения». Пусть £*1 ф 0и . , ар ф Рр, тогда: в(у - и + ц) , , . . д(ь .И ••,/?>) =

- ^)в(у-и + уа1Л-ур1Л)

- о77—-чдТГ---ч— еаи.,аР^)ери.,рр{и) +

У[у - иЩуаи1 - Ури1)

1<1?р в(Уа*>1 ~ У^ЩУаг+1.Н-1 - !/А+1,*+1) 0{уар!Р - у0р,р + ц) + 4.А(г,)е"."{и)

Соотношения необщего положения возникают, когда какие-то «„ = Пусть «х Ф А, • • • , а„ 1 ф о;^ = Д,, где 1 < ^ < р. Тогда ев1>аз>.,вр(и)ев1^а>.^р(г7) = еа1 ,а2,.,ар(ъ)еаир2>.,рр(и) при и = 1, в(у — и + ц) в(у - и)

- и + уаи1 - уР1 д) в(у - иЩУаи 1 - УКд) + ---------^^-----^ 0(Уа„-1,«'-1 - У/?„-1,«/-1 + „ / ч / ч при г/ > 1. Здесь в правой части переставляются индексы у еаь.>С1р(г')е/зь.1/зр(и) от первого до ^ — 1, а остальные остаются на месте.

Наконец, пусть а„ = ад = и оц Ф при V < % < А. Здесь 1 < у < р, ^ < А < р + 1 (случай X — р + 1 означает, что щ ф при всех г > р). Тогда имеются соотношения: е, ар(^)е/з1.{ц) ~ £

1/+1<4<Л в(Уо*,ь - ура)0Ыь+ь«+1 - г/А+ь«+1) %ал-1,Л-1 х

- У/Зл-ьА-О

Здесь переставляются индексы с номерами от^ + 1доА — 1, а остальные остаются на месте.

Замечание. Пусть р — 1. Тогда алгебра /л; Л) является алгеброй Замолодчикова для динамической Л-матрицы [47]. Это означает, что она является плоской деформацией кольца многочленов от бесконечного набора переменных {еа(и); 1 < а < т, и е С} над полем мероморфных функций переменных г/1,1, • • • , Ут,1- При деформации это поле функций становится полем квазиконстант (см. (9)).

При р > 1 алгебра Х^1''"'тр(Г,Л1,., Лр) устроена сложнее. Именно, при ¡л = — . — \р — 0 это коммутативная алгебра над полем мероморфных функций переменных {уа,и образующими еа1,.,ар(и)', 1 < Щ < ГЩ,и € С} и СООТНОШеНИЯМИ При аХ ф . , ф Ри—1'1 при аи = /3„, ал = и а{ ф $ для V < г < А.

Легко видеть, что эти соотношения допускают униформизацию: еа1,.,ар{и) = где {еа(и)>еа* 1,а;} ~~ независимые переменные. Алгебра Х™1'"''тр(Г, Ар) есть плоская деформация этой коммутативной алгебры.

4. Гомоморфизмы алгебры ZnJe(J?,r¡) в динамические алгебры с обменными соотношениями Предложение 2. Для любого набора т\,., тр е N существует гомоморфизм Ф: ЯМ(Г,»?) д; Аь ., Ар), который на образующих задается формулой:

Ф(жа(м)) = У)а(Уаи 1 + • ■ • , Уар,р + 1/ри)еа1,.1вр(пм). (44)

1<а1<т1 1<а:р<тр

Здесь ги^ух,. ,,ур) е Оп/к{ Г), ^ = <¿(«¿+1, . ,пр)г}, /х = ¿(щ,. ,пр)г] = щ,

Л^ = с/(пь . при 1<}<р;-^ = п1-п2 - .-пр

Замечание. Формула (44) показывает, что пространство образующих алгебры (Г, 77) при фиксированном и € С естественно изоморфно пространству ©п/а(Г). При этом базисный элемент ха(и) соответствует ыа(у1,., ур) е„А(г).

Доказательство. Надо доказать, что образ соотношений (42) относительно гомоморфизма Ф выполняется в алгебре X™1' ''тр(Г,/х; Ль ., Лр). Применяя Ф к разности между левой и правой частью соотношения (42) и используя соотношения в алгебре х™1''"'ТПр (Г, щ Лх,., Лр), получим выражение вида аь.,ар,/31,.,/3р(2/аьъ • • • , Уар,р, У/}и1, Урр,Р)еаи.,ар (гш). арфр<тр

Мы должны доказать, что фаи.,13р(Уаи1, • • ■, У/зр,Р) = 0 при всех ах,., ар, 01,., Рр. Проверим это в случае Ф /3\, . , ар ф ¡Зр. Вычис4 ление показывает, что в этом случае

Фаи.фр(Уаии ■ ■ -гУррф) = 0г(О). 9п-1(0)90(у - и + Г)). 0„1 (у -и + т]) 9{пу - пи + щ) ~ 90(Т]). 9п1{г))90(у -и). 0п1(ю - и) 0(гаи - пи) х ^гов(ув111 + Х/1М,., Уар,р + ^Ри)юр(ури 1 + 1/1« + Аь ., У/Зр,р + ирь + Хр) х

9(пг})9(пу -пи + уаи 1 - О

0(т> - 7ш)б(ув1,1 - У^д) ЧщЩУрд - У<*г,* + Уаь+д+1 - У&+1,«+1) х

1<КР - Уа^ЖУае+ьт - УА+ьН-г) х гоа(уА| 1 + 1/1«,., + г/<«, уа,+1,н-1 + ^+1«, • • •, Уар,Р + ири) х

X щ(Уаи 1 +1/1« + Ль . . . , Уа^ + 1/*« + А*, Ур1+иг+1 + + Ат,., урр<р + ири + Хр) + 0(УрР,р - УаР!р + Щ) х 0(УРр,Р - Уар,р)

X Юа(у0и1 +1/1«, • • •, У/З^р + Ъ>ри)и)р(уаъ1 + г/1« + Ль., уарф + иру + а+г(А;—1) {у -и + Г)

9кг(г))9/3-а^г(« - и)

Еи/3-а+г(к-1)(У - и + Г)) , . ч ^ а, (п\Йа-7—-Г-Щ-ЛУ»ь! + ^ • ■ •, УаР)Р + "рУ) х х гоа+Г(ул,1 + ихи + Ль ., уРр,р + рри + Лр).

Заменим в этом выражении 90(ь — и + т]). 9п-— и + т/), 9о(г}). 9п-.\(г]), 90(у — и). 0П 1(« — и) с помощью тождества (27). После этого равенство фа1,.,рр — О сразу вытекает из тождества (31).

Случай, когда какие-то а, = рассматривается аналогично. □

5. Полиспектральные алгебры с обменными соотношениями

Пусть р' е М, /х, /х1;., /у € С. Определим ассоциативную алгебру /х; /XI,., /у) следующим образом. Алгебра /¿; /хь ., /хр<) порождена образующими {е(м,гу); и,и\,., гу Е С} и определяющими соотношениями:

- и + /х) . . .

-е(гх, гх1,.,гу)е(г>,г>1 +/хь ., гу + /у) = в(^)в(у — и + Щ — VI) е(ь, их,., гу)е(?х, «1 + /XI,., гу + /у) +

0(г> — — г>1) х е(и, Их + /хь ., щ + /х4, г><+1 + /хт,., гу + ¿у) +

0(гу — гу +/х) , . . \ --—г б(г>, «1,., гу )е(гх, щ + /хь ., гу + /у). (45) с/(гу — гу)

Замечание. При /х = /хх = . = /у = 0 алгебра У^,/ (Г, 0,., 0) есть кольцо многочленов от бесконечного набора переменных {е(м, щ,.,гу); гх,.,гу е С}. Можно проверить, что алгебра 1^><(Г, /х; цх,., /у) есть плоская деформация этой алгебры. Это означает, что Ур<(Г, /х; /Хх,., /у) есть алгебра Замолодчикова для /2-матрицы в пространстве функций переменных щ,., гу, т.е. для е(и, щ,., гу) и есть спектральный параметр, а щ,. ,ир/ нумеруют базис (являются аналогом г для жДгх) в конечномерной Я-матрице). Уравнение Янга-Бакстера проверяется непосредственно.

6. Гомоморфизм полиспектральной алгебры с обменными соотношениями в алгебру Zn¿(Г,r}) Предложение 3. Существует гомоморфизм

Ф: Ур, (Г, Цх,., /у) ->• гПук(Г,г}), который на образующих задается формулой:

Ф(е(тщ, их,. ■, гу)) = Е х1-а(и)^а(их + Ъи,. ,ир1 + ур<и). (46) аех/п% п 1 Здесь --- = п[--Г, /х = щ, ^ = 4(п[,.,п^1)т1, ц =

71 К / ■*■ щ-. —г пр>

-д,(п)+1,. ,п'р1)г1; 1 <з<р?.

Замечание. Формула (46) показывает, что пространство образующих алгебры %п,к{Г, 77) при фиксированном и естественно двойственно пространству @П/П^(Г) (см. приложение В).

Доказательство. Мы должны проверить образ соотношений (45) в алгебре (Г, г?) относительно гомоморфизма Ф. Применяя Ф к разности между левой и правой частями (45) и используя соотношения (42) в алгебре Zn¿(Y,r}), нетрудно преобразовать полученное выражение к виду ф-у,з(и,у,их, ■ ■. ,ир/,ух, ■ ■ ■ ,ур')хх-^(у)хх-з{и). Мы должны доказать, что

7,5ег/пХ

1/>7)г(г<.,. •, гу) = 0. Нетрудно вычислить, что фъ6(и, . ,гу) = в(пь — пи Л- щ) . . —-ч— > ги5-г{Щ +71«, V х

0(т; — пи)

X + /Хх + 7!«, . . . , -¡V + /V + 7р/г0 л / и -7-ч-

9кг(т])в3-у-г{у - и) 01(0) ■ ■ • 0п-1(О)0о(г> - Ц + т?). А-1 (г; - ц + г?) 00 • • -0п-1 (»7)00(и - И) • ■ -0п-1(и - И)

6(пГ])в(пУ — пи + — .

-т^т-г—гп^щ + 71«, .,ир,+ 7р/у) х

0(т> — пи)в(их — «х) х и)з(ь1 + + 71 и,., гу + /у + 7р/м) + у^ 0(пг?)0(^ - щ + «м-1 - «м-г) х х ь)у(ь1 + 71V,., ^ + 7^, мг+1 + 7t4.lV,., ир> + ^ю) х х гуг(гхх + ^и + ., щ + щ 4- 7*и, г><+1 + щ+х + 7т«>., ь'р + ¿у + 7р/м) +

0(гу — ир/ 4- щ) —-г,-с—ио^ь 1 + 7!«,., гу + 7Р'г;) х

0(гу-гхр<) х гиг(м1 + + 7хм,., мр/ + /у + .

Используя (27), заменим опять 0о(г> — и + г)). — и + 77), 0О(?7). 0П1 (ту),

0о(г> — гх). 0П1 (-у — гх). Кроме того, сделаем замену и^ и^ — 7;гх — 7,-г;, Vj н->• ^ — 7.7й — В результате снова получим тождество (31), но только для тета-функций из пространства &п/п-к(Г). □

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертации. Построено семейство эллиптических алгебр (Зп,л■,(£,'п) с п образующими, зависящих от эллиптической кривой £ (т. е. модулярного параметра т с 1т г > 0) и точки т] £ £. Дана явная функциональная реализация алгебр €}п(£,т)) как пространства функций с явной формулой для умножения. Построены семейства представлений алгебры С}п(£, т?), а также ьОп1) ее бозонизация. Доказано, что алгебра <3П (£>??) задана п образующими, -- квадратичными соотношениями и удовлетворяет свойству Пуанкаре-Биркгофа-Витта (при N1] ф Г, N £ Щ, т.е. имеет те же размерности градуированных компонент, что и кольцо многочленов от п переменных.

Изучены симплектические листы квазиклассического предела алгебры Qn(€,v) (при т] у 0).

Построено более широкое семейство эллиптических алгебр Qn,k{^iri)i гДе 1 ^ к < п, (п, к) = 1. Для них дана связь с обменными алгебрами, структура которых п п 1 зависит от разложения чисел — и-- в цепные дроби вида m,i--т—. к п — к т2 - ■ ■.-тр

Аналогичная связь установлена для алгебр Замолодчикова, отвечающих эллиптической Д-матрице Белавина Rn^{S,ri){u — v), причем структура обменных алгебр также зависит от указанных цепных дробей. Этот результат является обобщением классического соответствия Бакстера между XYZ и RSOS моделями (vertex-face correspondence).

Кроме того, изучен случай, когда г) — точка конечного порядка (т.е. Nr] £ Г), построен центр в этом случае и описана Пуассонова структура на нем, которая возникает из-за того, что при этих значениях гу центр алгебры Qn.k(£гораздо больше, чем при общих г).

Построено семейство эллиптических алгебр QnA^i7!) более общего вида, где А — система корней полупростой алгебры Ли, а п целочисленный доминантный вес. Для этих алгебр даны конструкции представлений и сплетающих операторов между ними.

1. Р. Бакстер, Точно решаемые модели в статистической механике. М.: Мир, 1985.

2. A. Belavin, Discrete groups and integrability of quantum systems. Func. Anal. Appl. 14 (1980) 18-26.

3. G. Felder, V. Pasquier, A simple construction of elliptic /¿-matrices. Lett. Math. Phys. 32 (1994) 167-171.

4. Д. Мамфорд, Лекции о тэта-функциях. Н.: ИО НФМИ, 1998.

5. Склянин Е.К. О некоторых алгебраических структурах, связанных с уравнениями Янга-Бакстера. Функцион. анализ и его прил. — 1982. Т. 16, вып. 4. — С. 22-34.

6. Склянин Е.К. О некоторых алгебраических структурах, связанных с уравнениями Янга-Бакстера И. Функцион. анализ и его прил. — 1983. Т. 17, вып. 4. С. 34-48.

7. Вершик A.M. Алгебры с квадратичными соотношениями. Спектральная теория операторов и бесконечномерный анализ. Киев, изд. Ин-та математики АН УССР, 1984.

8. Дринфельд В.Г. О квадратичных коммутационных соотношениях в квазиклассическом случае. Математическая физика, функциональный анализ. Сб. научн. трудов. Киев: Наукова думка, 1986. С. 24-34.

9. Чередник И.В. Об Ä-матричном квантовании группы токов. Теоретико-групповые методы в физике. Труды Юрмальской конференции, май 1985, Т. 2. М.: Наука, 1980, С. 218-232.

10. Одесский A.B., Фейгин Б.Л. Алгебры Склянина, ассоциированные с эллиптической кривой. — Киев, Изд. Ин-та теор. физики АН УССР, 1988.

11. Одесский A.B., Фейгин Б.Л. Эллиптические алгебры Склянина. Функц. анализ и его прил. — 1989. — Т. 23, вып. 3. — 45-54.

12. Одесский A.B. Об одном аналоге алгебр Склянина. Функц. анализ и его прил. -1986.— Т. 20, вып. 2.

13. Bergman G. The diamond lemma for ring theory. Adv. Math. — 1979. V. 29. - P. 175-218.

14. Priddy S. Koszul resolution. Trans. Amer. Math. Soc. — 1970. — V. 152. P. 39-60.

15. Odesskii A.V. Rational degeneration of elleptic quadratic algebras. Infinite analysis, Part А,В (Kyoto, 1991), 773-779, Adv. Ser. Math. Phys. 16, World Sei. Publishing, River Edge, NY, 1992.

16. А. В. Одесский, Б. Л. Фейгин, Конструкции эллиптических алгебр Склянина и квантовых Д-матриц. Функ. анал. и его приложения т. 27, вып. 1 (1993) с. 37-45.

17. А. В. Одесский, Б. Л. Фейгин, Эллиптические алгебры Склянина. Случай точки конечного порядка. — Функц. анализ и его прил. — 1995, Т. 29, вып. 2, С. 9-21.

18. В. Feigin and A. Odesskii, A family of elliptic algebras. Internat. Math. Res. Notice, 1997, no. 11, 531-539.

19. Feigin В., Jimbo M., Miwa Т., Odesskii A., Pugai Y., Algebra of screening operators for the deformed Wn algebra. Comm. Math. Phys. 191 (1998) no. 3, 501-541.

20. А. В. Одесский, Б. JI. Фейгин, Эллиптические деформации алгебры токов и их представления разностными операторами. — Функц. анализ и его при-лож. 1997, Т. 31, вып. 3, С. 57-70.

21. В. L. Feigin and А. V. Odesskii, Vector Bundles on Elliptic Curve and Sklyanin Algebras, RIMS-1032, September 1995, Kyoto, Japan, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 185, 1998.

22. B. L. Feigin and A. V. Odesskii, Coordinat ring of the quantum Grassmanian and intertwiners for the representations of Sklyanin algebras. Topics in quantum groups and finite-type invariants, 55-64, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 185, 1998.

23. Publ., Dordrecht, 2001. (Reviewer: Shao-Ming Fei), math.QA/9912037

24. А. В. Одесский, Эллиптические Д-матрицы Белавина и обменные алгебры. — Функц. анализ и его прил. 36 (2002), no. 1, 59-74.

25. Artin М., Tate J., Van der Bergh, Some algebras associated to automorphisms fe of elliptic curves. The Grothendieck Festschrift, Vol. I, 33-85, Progr. Math., 86.

26. Artin M., Tate J., Van der Bergh. Modules over regular algebras of dimension 3. Invent. Math. 106 (1991) no. 2, 335-389.

27. Van der Bergh, Michel, Blowing up of non-commutative smooth surfaces. Mem. Amer. Math. Soc. 154 (2001) no. 734.

28. Stafford J.Т., Van der Bergh M. Noncommutative curves and noncommutative surfaces. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 38 (2001) no. 2, 171-216.

29. Stafford J.Т., Zharg J.J., Examples in non-commutative projective geometry. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 116 (1994) no. 3, 415-433.

30. Smith S.P., Tate J. The center of the 3-dimentional and 4-dimensional Sklyaninalgebras. Proceeding of Conference on Algebraic Geometry and Ring Theory in honor of Michael Artin, Part I (Antwerp. 1992).

31. Kontsevich M., Rosenberg A., Noncommutative smooth spaces. The Gelfand Mathematical Seminar, 1996-1999, 85-108.

32. Bayen F., Flato M., Fronsdal C., Lichnerowicz A., and Sternheimer D.,

33. Deformation theory and quantization. I. Deformations of symplectic structures Ann. Physics 111 (1978), no. 1, 61-110.

34. Kontsevich M., Deformation quantization of Poisson manifolds, I, math/9709180.

35. J. Tate, Homology of Noetherian rings and local rings, Illinois J. Math. 1 (1957) 14-27.

36. J. E. Roots, On the characterization of Koszul algebras. Four counter-examples. C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I Math. 321 (1995) 15-20.

37. Sheltor, Brad; Tingey, Craig, On Koszul algebras and a new construction of Artin-Schelter regular algebras. J. Algebra 241 (2001) no. 2, 789-798.

38. S. B. Priddy, Koszul resolution, Frans. Amer. Math. Soc., 152, no. 1, 39-60 (1970).

39. Yu. I. Manin, Some remarks on Koszul algebras and quantum groups, Ann. Int. Fourier, Grenoble, 37, no. 4, 191-205 (1987).

40. A. Polishchuk and L. Positselski, Quadratic Algebras, Preprint, 1996.

41. Jimbo Michio, Topics from Representations of Uq(0). An Introductory Guide to Physicuts, Department of Mathematics, Faculty of Science, Kyoto University.

42. V. G. Drinfeld, A new realization of Yangians and quantized affine algebras, Soviet Math. Doklady 36 (1988) 212-216.

43. Braden, H. W., Gorsky, A., Odesskii, A., Rubtsov, V. Double-elliptic dynamical systems from generalized Mukai-Sklyanin algebras. Nuclear Phys. B 633 (2002), no. 3, 414-442.

44. Alain Connes, Michel Dubois-Violette. math.QA/0107070 Noncommutative finite-dimensional manifolds. I. Spherical manifolds and related examples

45. Feigin, Boris; Frenkel, Edward Quantum W^-algebras and elliptic algebras. Comm. Math. Phys. 178 (1996), no. 3, 653-678.

46. Felder, Giovanni. Elliptic quantum groups. Xlth International Congress of Mathematical Physics (Paris, 1994), 211-218, Internat. Press, Cambridge, MA, 1995.

47. Enriquez, B., Rubtsov, V. N. Quantum groups in higher genus and Drinfeld's new realizations method (s^ case). Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 30 (1997), no. 6, 821-846.

48. Atiyah, M. F. Vector bundles over an elliptic curve. Proc. London Math. Soc. (3) 7 1957 414-452.

49. A. Odesskii, V. Rubtsov. math.QA/0110032. Polynomilal Poisson algebras with regular structure of symplectic leaves; to appear in Teoreticheskaya i Matematicheskaya Fizika t.133, 2002.

50. M. Artin and W. Schelter,Graded algebras of global dimension 3, Adv. in Math. 66 (1987).

51. H. Ewen and O. Ogievetsky, Classification of quantum matrix groups in 3 dimensions, preprint MPI-Ph/94-1993.

52. О. Ogievetsky, Uses of quantum spaces, Contemporary Math 294 (2002).

53. И. M. Кричевер, Уравнения Бакстера и алгебраическая геометрия. Функ. анал. и его приложения т. 15, вып. 2 (1981) с. 22-35.

54. А. Одесский, Эллиптические алгебры, Успехи математических наук, Т.57 (2002) по. 6

55. Стояновский А. В., Фейгин Б. JI. Реализация модулярного функтора в пространстве дифференциалов и геометрическая аппроксимация пространства модулей G-расслоений. Функц. анализ и его прил., 28, вып. 4, 42-65 (1994).