Бесконечномерные алгебры и комплексные многообразия тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Ц :-.

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Ы.В.ЛОиОНОСОВА

Ыеханико-иатематическиЙ факультет

На правах рукописи

ОДЕССКИЯ АЛЕКСАНДР ВЛАДИМИРОВИЧ

УДК Ы7.9

БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ АЛГЕБРЫ И КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ

( 01.01.01. - математический анализ )

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1991

.Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор А.А.Кириллов

Официальные оппоненты: (¡осгор физико-математических наук '/¡.Г. {о£анаси£ доктор физико-математических наук, ст.научный сотрудник

А.Н.Рудаков. .

Ведущая органЛтцкя - Институт теоретической физики АН СССР

Защита состоится я*/й " 1991_г. в

16 час. на заседании специализированного Совета ( Д.053.Сб.04 ) при Московском государственном университете имени Н.В.Ломоносова по адресу: 119099. ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан " (Ь&^ксЛ^Ч. 1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета

Д.063.Об.04 при МГУ, доцент Т.П.Лукашенко

' ОНДАЯ XAPAKTERiCT.lKA РАБОТУ

'

г Актуальность темы. В последнее время интенсивно раэва-

•.--■Л'Л! )

вавтса теория квантовых групп и связанная с ней теория квантовых R - матриц. Эти объекты изучается как сами по себе, так я в лридзкешм к точно реааешгы моделям статистической физики я методу обратная задачи в квантовом варианте. Определение квантовой Л - матрацу впервые появилось в работах [l, 2] . При изучении квантовой & - матрицы возникла задача изучения связанных с ними ассоциативных градуированных алгебр с единицей, функция Гильберта которых есть " т.е. такая,

как у алгебры многочленов от И переменных. Впервые задача изучения таких алгебр поставлена в работе Е.К.Склянина [з} , гдэ изучен конкретный пример - алгебра с четырьмя образущими. В работе И.В.Чередника £4] изучено более обцее семейство таких алгебр с РЧ образупцими. Все эти алгебры зависят от двух непрерывных параметров: эллиптической кривой и точки на ней. Если эллиптическая кривая выроядается в некоторое рациональное многообразие, го эти алгебры выроядаются в тривиальные дефор-цацан универсальных обертывавшие алгебр алгебр Ли (при о{ = /

1. Скляшн Е.-{., Тахтадяян Л.А., Фаддэв Л.Д. Квантовый метод обратнсЗ задача.t-Teop. и кат.(физика, 1979.т.40, JS2,0.194-220

2. F^cid** tf L. «0. Quantum comffet ety Ln-Lt$ta€ee in /¿e€d trfeoi#.-fn : Maifm/noticoe PfySc'cS fa View. feci. C.iMait t Pkg&. fcv.t. Hnx\i00«f ActfemU, /9^0, 1r, ftp. fO?~iSS.

- I -

ото деформация U Ivjlp] ). G другой стороны эти алгебры являются деформациями алгебр многочленов, что позволяет изучить их симплектические листы и получить информ&рго о них в геометрических терминах. В большинстве работ оти алгебры изучались с использованием квантовых Я - матриц. В данной работе развиваются геометрические методы изучения таких алгебр, что позволяет не только получить информацию об известных примерах, >ю и находить новые алгебры.

Цель работы: I) Обобщить результаты Е.К.Склянина [ з] , построив аналогичные алгебры с любым числом образущих.

2) Изучить представшийл и сиыплектичоские листы этих алгебр.

3) Изучить рациональные пределы отих алгебр npi вырождении эллиптической криво».

Новизна результатов. Сдедусцио основные результаты работы являются новыми:

1) построено семейство алгебр Оп,к(£Л). где 6 - эллиптическая.кривая, (5 , П и К - взаимно простые натуральные числа, причем 3 , 1{<П . В случае р1 с( , K-p<Î~i отн .алгебры изоморфны известные ранее [з, 4] .

2) при полностью описана структура симплектических листов

/ г~у

алгебры Построены представления, соглвогст¡е

этим листам, изучены их гомоморфизмы.

3 СкЛлнин Е.К. О некоторых алгебраических структурах, связанных с уравнениями Янга-Бакстерп. Функциональный анализ и его приложения. 19Б2.Т.16,вып.4 - С.22-34

4 Чередиик И.В. Об К -матричном квантовании (¡юрмальной группы токов. Теоретико-групповые методы в физике. Труды Юрмальской конференция. Май 195 Т.2.1.1. : Наука, 1986, С.218-232

3) получена обширная информация о сииплектических листах алгебрып обцеы случае, позволявшая в принципе, описать их. НаЯдсш! ясные форцули для образуп^их этих алгебр, вырагап^ие их э геометрических таранах.

4) изучены рационально пределы Qn,npi вырождении £ в рациональнее iwcrooSpaane.

Прялодетт. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты позволяет применять иетоды алгебраической геометрии в теор*и ассоциативных алгебр, а также при изучении квантовых R. - матриц. Результаты могут такхе наЯти применение в алге'раичесгоЛ геометрии.

Апробация работы. Результат« диссертации догадывались на специальных се.-.зшарах кафедры теории функций и функционального анализа МГУ, а такха в Киевском университете и з институте теоретической физики АН УССР.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [l"j], список которых приводится в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глаз, а также из списка литературы, вклсчащего нования.

Содержание работы.

Во введении дается определение основного объеста, изучаемого в работе: алгебры Склянина с Я образует,¡rsi. Это, по определении, ассоциативная градуированная алгебра с единицей, заданная Я образующими и - ^^ квадратичные сооткошения-ш, функция Гильберта которой есть П , т.о. раг^зрности

градуированных компонент такие, как у алгебры многочленов от " переменных. В частности сама алгебра многочленов является алгеброй Склянина. В работе изучается алгебры Склянина, явля-щиеся деформацией кольца многочленов. Поэтому со введении , напоминается определения квазиклассичсского предела и симплек-тического листа для деформации кольца многочленов. Приводятся некоторые простые примеры алгебр Склянина. В частности, пусть V" П -мерное линейное пространство, Епс( (V).

Алгеброй косых многочленов (С [ VМ] называется алгебра е пространством образущих V и соотнесениями | МгГИ/ = = М\У 1/»* гГ,\"/£. V ] «и* Ясно, что алгебра косых многочленов есть алгебра Склянина, если Д/ ^ О,

Затеи пр(водится пример алгебры Склянина с 3 образупцими и показывается ее связь с эллиптической кривой, заданной куби-кой в СР* . На этом примере иллюстрируются некоторые методы, применяемые в работе, а именно, понятие характеристического многообразия. Пусть 9? - алгебра Склянина с пространством образущих V" и пространством соотношений с Vе V. Назовем градуированный - модуль ОА/^линейным,

если сШч М[- / , /г» / ; М порожден М{ . Пусть V; ~ /чге V, ЧГМС =0] С у тогда с&сСип /4 Пусть Ее «В р (У*) такио, что ^ " ^ у С ^ (V) =0}. Из соотношений^следуот, что 2[ лежит на некотором подмногообразии ъ'Р ( V*) , которое-называется характеристическим ино-гообразиец алгебры $ . При этой связаны соответ- '

ствием, заданным на характеристическом многообразии с помощью I» рассматриваемых как система уравнений ка ¡Р

В работе изучается случай, когда на характеристическом ыногооб-

разни деПствуст без неподзигних точек эллиптическая кривая , а соответствие является сдвигом па некоторьЗ! элемент £ ^ . При Т.' О такал алгебра преврсдается в алгебру гшсгочленоз, так;и образом маги алгебры является деформацией кольца многочленов, что позаоляг;;' изу-ить их синплектическив листы. В частности, объединении однородных двухмерных стклектических .гнетов ^сть конус над характеристически« многообразием. Алгебри Скляшша изучаемое в работе, таковы, что характеристическое многообразно влогдено з р (У*) с поцоцьз полноЯ лчнзЯ-ноЯ систем. Так им образом, пространство обраэупцих отождествляется с пространство« сечекнЯ ликеПного рассгсешл на характеристическое г.'иогообрлзии. В г.гавэ I стрсится и ^зух'азтел семеЛстяо алгебр Склянина С}¡у где п.г»3 , характеристи-

ческое ююгооЗразпе которых есть эллиптическая крязап £ , влоаенмая в ' с помочь» расслоения с Л сечениями.

Доказано, что порождена образующими ; ¿£. -¿п.)

и соотнопенияыи:

<?£. <£ п

Здссь [9^(2)', г\ ] ~ тета-функции порядка ^ , уннфоркч-

зущио СР 17 * при . Основам сведения о них и

соответствует обозначения приводятся в начала глапи. Основным результатом главы I является явная формула для обра-аугдга алгебра (£,Т) , Еисадгяцзд их в геометрических термина)::

Теорема. Пусть ,

сцсе образ уггрю с соотношениями

- б -

[eL ejl - [ZL 2>7 " 0, zi£L = £L (2i+ (п-г) 1), Zi ej =ej(ZL-2<L). ыу

Положим: XT -*L (Zp\_ £p (2)

где

- тета-функция первого порядка. Тогда ¡^¿¡Ы удовлетворяет соотношениям (I) для При /V

формула (2) полностью определяет соотношения (I).

Другим основным результатом главы I является описание симплектических листов алгебры Qn (S/l) . Существуют однородные сииплектические листы fiffCtfzC... , где <£ijn П (заметим, что для удобства используем несколько модифицированное определение симплектического листа, чтобы лист был замкнутым алгебраическим многообразием). При отом Mi есть многообразие особенностей

MUi . Mi

есть конус над

есть конус над многообразием хорд £ и вообще, Mi, 2i< П есть конус над объединением С -мерных проективных подпространств £}Рп 1 , проходящих через 1*1 точку <5 . Таким образом, если Л нечетно, то коразмерность максимального однородного симплектического листа Мй.zl есть I и он задается как множество нулей некоторого однородного многочлена степени И . При четном Л максимальный однородный симплектнческий лист имеет коразмерность 2 и задается двумя однородными

многочленами степени Л/2 . Другие сииплектические листы ал-бры Qn (£,Т) есть другие линии уровня этих многочленов. В главе I строятся модули над Qn (¿, I} связанные с Мы . Для каждого существует семейство модулей ffpt,..., р^ ,

где Р1.....Рн € £ , С базисом а 0 }

и действием

^......'"'Л* -'««-.й <3,

г* г '

Это утверждение является квантовым аналогом существования листа Мы • Более подробно изучается оти модули при нечетном П и //- , т.к. они связады с обцим неоднородным листом

алгебри (£,*£)• Описани гомоморфизмы таких модулей друг в

друга при обцлх параметрах. ЬсятаЯ такой гомоморфизм имеет ЕИД ' ^.....

^Рь +~(п} г- * - ** Т- • Л. Р*

причем ; О* Цг.-уа*/, яЦо-^'гл! > Р

имеет степень \ •" + I р . Дана процедура полу-

чения выражения для векторов ; ре. р3- рп+< ,

которые названы особьа« вектора;.«. ^

Б заключение главы I строится новая алгебра Схлянина

с пятью образующими, как подалгебра алгебры ('бД), порожденная некоторыми пятью квадратичными элементами. При этом Qs(¿,1) в свою очередь порсздается пятьи кубичкчам элементами и вкладывается в эту алгебру. Композиция

этих вложения есть умножение на центральный элемент пятой степени. .

В главо 2 вводятся алгебры Склянина

где

/I ^ 3, п, Это алгебра с образующими ¿£

14

и соотнопениями:

В частности (^^((¿Л) = Q'^ Алгебра

есть кольцо многочленов; ~ при

КК'з {тос1 Л . При л алгебра косых

многочленов с соотношениями ^ где £ ЧXП .

фиксировании и зависят от ^ . Первый основной результат главы 2 - описание характеристического многообразия для

# Пусть Я7- " ^ где

Такое разложение в цепную дробь существует и единственно, пр1-

л ' < __ *

чем — ^-----"ГГр , где ** 1 тод.

На С?1'' строится линейное расслоение с Л сечениями ^ , причем ограничение ^ на £ -тый сомножитель в £ имеет сечения. Отображение

с помощью / имеет Г -мерный образ, который и является характеристическим многообразием для Если П.1 > 2 при всех С Р , то характеристическое многообразие есть ^^ . Другим основным результатом главы 2 является связь мезду алгебрами

МЫ)

являющаяся обобщением результатов (изучаемые там алгебры есть, в наших обозначениях Ор*с<,/><с-г {£, ?) • где #0$) (Р> с) » (). Существуют градуированные гомоморфизмы алгебр:

где £--'.¿т(£Х)-

- градуированная ассоциативная алгебра с образующими

(г)€, ¿г 2т] и соотношениями Л £ = 2 ■*• £) и следствия;«! из него. Формула (5) справедлива и в'том случае, если = ■/ при некоторых I , в отом случае характеристическое многообразие имеет размерность < р . Формула (5) позволяет, в принципе, найти все симплектические листы алгебры • 3 частности, при + существует лист

Х(£Р*"*£*СРе"/2% гдо К (И) ес7ькснус нал А?с £/>*"/

В качестве примера описан:! псе однородные симплектические листы слгебри , (<?,Т) при .

В глапо 3 развивается техника, необходимая для доказательства результатов главы 2. В начале главы даны новые формулы квантовой /I - матриц?! Белавина (ср. [4] ).

Соответствующая алгебра Замолодчикова 2 (б,£0 определяется как алгебра с образущими (ч) Iе- "^п, соотношениями

•¿&71я (.4

гдо в*-!(0)йо (IГ-и + ?)... Эп-н

Затем новыо алгебры, которые не являются ни алгебрами Склянина,-ни алгебрами Замолодчикова, но представляет, по-видимому самостоятельный интерес. Это алгебры образующими { ССР> '</<}, ; р> <} ь Щ } и соотношениями вру Хр г-^Х^ёру.,

X?=с<;[хРеП)еп¿у ^¿у ^, еР}

где ^ ^ , а коммутаторы других пар образующих равны 0.

Эта формула удовлетворяет аналогу уравнения Янга-Бакстера (здесь мы используем

О(г)

в мультипликативной записи, т.е. определена на <£* вЕ '&(?•)). Существует и болео общие алгебры Р , с^ (..., ^^^ с образупцими

' ^¿м] И аналогичными соотнозенияыи.

В частности , п 'У ( - /.' -г 1 а ^

? * ; ?/> * оЦ

Пусть - алгебра с образующими

и соотношениями в {(/,,..., Ор) -е ( У{ , Ур ) =

= .....(Я.**,-. +

в (лш)... (и?)

( р

Полагая юлу1111" соотношения в алгебре

Эти алгебры позволяют построить как олгеб-. ры Склянина С(п,к(б£), где "к"п "^^¡ТГГТ » так и алгобру Замолодчикова 2 л?,/

где ^ --1 ;

Т ,тг- - "' "

Например при Р-2. инеем дпл образующих 0. л, т (б, Т) где П - п1

где 1 *"л1_ сечения расслоении на (5" * <5 с

П = /7//7г- / сечениями ^ ^ г/, - Ч^ГЧг ^2гJ,

Для обралуп:;их ' ' я>/еем аналогично ^ р'/р

Аналогичное формулы рернм и для проипюльного р > 2- , обций

случаП отличается линь усложнением обозначений.

Наконец устанавливается связь между различи1.г!н алгебрами .

^ , что вместе с (7) дает гомоморфизмы Со). А именно, существует гомоморфизм:

.....(9)

порождена с соотношением € V ~ с/1 ^ и*

Он задан ({юрмулой:

.....щ] х¿1 я ^.....«.

В главе 4 изучается рагрюнальные вирозде.чия алгебр {¿, Для этого используется следующее хорспо известное выражение для еш: в(У= ( м.]( <)(!-'< (Ыф^хК/^'Я-Переходя к пределу ^¿-^О имеем © ) —"* / -£.

- 1Г -

Это позволяет построить алгебру.с образующими [Х[ ; ¿6 ~2.}

полагая ЗС/* ---7~ г гАе

-¿/--¿г '

21 ^ » в; ,

Ото алгебра Склянииа с бесконечно числом образующих и квадратичными соотношениями:

^¿^.♦-^«¿„эс))«^*^*^*^^);^^ 2. (ю)

Элементы — , } образуют базис в отой алгебре. Аналогично строится алгобра с образующими ; 1?) зависящая от Р*1 параметра ^ ^^ £ которая используется для построения рациональных вырождения алгебр где а п* ~ -~П .

В главе 4 подробно рассматривается случай Р-{ , т.е. К-1 •

Пусть Л,..., ¿м - гомологичные циклы на & . Стягивая их в

' л- ГХ

точки ¿'м получим рациональный пределе -объединение

экземпляров , пересекающихся как со стороны "7 - угольника (при Л»"/ получаем с двойной точкой). ^

В главе 4 строится рациональный предел алгебры Например, если , то этот предел есть алгебра Склянина,

порожденная ^Л) »-^.г, •-»**) где XI связаны соотношениями (10), причем " Алгебра Склянина, порожденная /ЛУ,«., ЗСгг}

отвечает случаю причем степени двух компонент рационального вырождения £ г /> |/ р^ , где /*, = /"г = ¿V, Р< Л Рг состоит из двух точек, таковы: рг Рг-?-

В заключение,результаты главы 4 иллюстрируются примером, когда 3 и дается явное описание коммутатора образующих в

кваэиклассическом пределе алгебры с образующими fxi ', it

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю проф. А.А.Кириллову.

Публикации по тема диссертации.

1. Одесский A.B. Об одноя аналоге алгебры Склянина. функциональный анализ и его приложения. - I9t36. Т.20, вып.2 - С.78-79.'

2. Одесский A.B., ФеПган Б.Л. Алгебры Склянина, ассоциированные с эллиптической кривой. Киев, изд. Ин-та теоретической физики АН УССР, 1988. С.1-33.

3. Одесский A.B., Фейгин Б.Л. Эллиптические алгебры Склянина. вункционалышй анализ и его приложения. 1909. Т.23, вш.З -

- С.45-54.

fc d. V. (Mwdi. [Uti*r*jL lu^^^K of Ш^Ли, (W^w^ RIMS3f

jftepas ¡Qr) экз. Зак. X IS'

Лэдаясаяа * пз-jaii /у. o< /./.

Отпечатало HS ротапринте з ССК1Б 107066, Уоск!э, ул.Нижяпп Красааовльскзя, д.13