Формальная геометрия и алгебраические инварианты геометрических структур тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Хорошкин Антон Сергеевич

ФОРМАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СТРУКТУР

Специально сть: 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва- 2006

ш

003067049

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета Московского государственного университета вмени М. В. Ломоносова

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор Михаил Владимирович Зайцев

доктор физико-математических наук Борис Львович Фейгин

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Максим Эдуардович Ка-зарян

доктор физико-математических наук, профессор Георгий Борисович Шабат

Ведущая организация: Санкт-Петербургское отделение маг тематического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук

Защита диссертации состоится « 9 » февраля 2007 г. в 16^ на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет (Главное здание, 14 этаж)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Автореферат разослан «9» января 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 в МГУ доктор физ.-мат. наук, профессор

В. Н. Чубариков

Общая характеристика работы Актуальность темы.

Работа посвящена вычислению когомологий различных бесконечномерных алгебр Ли, являющихся подалгебрами Ли алгебры Ли формальных векторных полей. Принципы формальной геометрии позволяют интерпретировать когомологические классы рассмотренных алгебр Ли как характеристические классы различных геометрических структур: расслоений, слоений, флагов слоений и т. п.

Когомологии алгебр Ли рассматривались ещё в работах Шевал-ле1. Когомологии полупростых алгебр Ли с коэффициентами в конечномерных модулях оказалось вычислить довольно просто (например, это можно сделать с помощью теории инвариантов). Эти вычисления имеют множество применений как в алгебре, так и в геометрии; например, один из класических способов построения характеристических классов расслоений с компактной структурной группой использует когомологии соответствующей алгебры Ли с коэффициентами в симметрических степенях коприсоединённого представления. Другой способ, который мы хотим здесь упомянуть, использует вычисления когомологий бесконечномерных алгебр Ли.

И. М. Гельфанд и Д. Б. Фукс2 предложили изучить кольцо когомологий бесконечномерной алгебры Ли Wn формальных векторных полей на n-мерном пространстве. Одной из мотивировок этого рассмотрения является понятие "формальной геометрии", появившееся в работах тех же авторов сразу после3. Замена n-мерного комплексного многообразия М на гомотопное ему многообразие формальных аффинных систем координат на М позволяет сопоставить классам относительных когомологий алгебры Ли W„ некоторые классы когомологий многообразия М. Было показано, что кольцо относительных когомологий алгебры Ли Wn по модулю подалгебры Ли линейных векторных полей порождено классами £21 степени 2i (где 1 ^ i < п), которые при

'Например, Chevalley С, Eilenberg S. Cohomology theory of Lie groups and Lie Algebras // Hans-actions of the American Mathematical Society, — 1948.

2Гельфанд И.М., Фукс Д. Б. Когомологии алгебры Ли формальных векторных полей // Изв. Акад. Наук СССР. — Сер. Мат - 1970. — Т.34, вып 2 — С. 322-337

3Гельфанд И. М, Каждан Д. А., Фукс Д Б. Действия бесконечномерных алгебр Ли // Функд.

анализ и его прил. — 1972. — Вып. 1. — С. 10-15.

этом сопоставлении переходят в характеристические классы касательного расслоения. Следующим естественным шагом является обобщение этой конструкции на случай произвольных главных G-расслоений. В случае G = GL„ подобные соображения были существенно использованы в доказательствах локальной теоремы Римана-Роха4. В диссертации приведена общая конструкция с доказательствами, а также вычислены когомологии алгебры Ли формальных векторных полей, расширенной формальными g-значными функциями для произвольной (не обязательно редуктивной) алгебры Ли g.

Интерес к вычислению когомологий бесконечномерных алгебр Ли возрос в 70-х годах XX века в связи с построением характеристических классов слоений. В частности, характеристический класс Годбийона -Вея5 для слоений коразмерности один был обобщён на случай слоений с большими коразмерностями Бернштейном и Розен-фельдом6 и независимо Боттом и Хефлигером7. Эти классы также связаны с когомологиями алгебр Ли. Например, классы абсолютных когомологий алгебры Ли Wn отвечают характеристическим классам слоений коразмерности п с тривиальным нормальным расслоением (такиё слоения принято называть оснащёнными).

Большое количество применений когомологий алгебр Ли привело к тому, что было проделано множество вычислений в этой области. Одной из интересных и важных задач была задача о вычислении когомологий алгебры Ли Wn формальных векторных полей с коэффициентами в симметрических степенях коприсоединённого представления. Технически трудное вычисление с gin-инвариантами позволило Гель-фанду, Фейгину и Фуксу вычислить когомологии W„ с коэффициентами в коприсоединённом представлении8. Ответ для коэффициентов

*Feigin В. L , Т.чудап В. L. Riemann-Roch theorem and Lie algebra cohomology I // Proc. Winter Sch. Geom. Phys., Smi, 1988. — Suppl. Rend Circ. Mat. Palermo, П. — Ser. 21. — 1989. — P. 15-52; Feigm В., Felder G., Shoikhet В. Hochschild cohomology of the Weyl algebra and traces in deformation quantization // arxiv:math.QA/0311303.— 30 pp.

bGodbMon С, Vey J Un invariant des feuilletages de codimenâion 1 // CR Acad Sei. Paris. — 1971. — P. 92-95

"Бернштейн И. H., Розенфелъд Б. И. О характеристических классах слоений // Функц. анализ и его прил — 1972. — Выл 6. — jVI. — С. 68-69, Бернштейн И. И., Розенфелъд Б. И.. Однородные пространства бесконечномерных алгебр Ли и характеристические классы слоений // Успехи математических наук — 1973. — Вып. 4. — С. 103-138.

7Вott R., Haefitger A. On characteristic classes of Г-foliations // Bull. Amer. Math. Soc. — 1972 — Vol 78, № 6. — P. 1039-1044.

sГельфанд И. M., Фейгин Б. Л, Фукс Д Б. Когомологии алгебры Ли формальных векторных полей с коэффициентами в сопряжённом с ней пространстве и вариации характеристических классов слоений // Функц. анализ и его прил. — 1974. — Вып 2 - С. 13-29

в произвольной симметрической степени коприсоединённого представления был сформулирован только в качестве гипотезы (сложность вычислений с соответствующими комплексами ц1п-инвариантов растёт экспоненциально с ростом п). Если ограничиться случаем n = 1, то в явных вычислениях циклов в этой задаче, как и во многих других вычислениях, связанных с когомологиями алгебры Ли W\, удаётся продвинуться существенно дальше. Явный набор представителей классов гомологии в симметрических степенях присоединённого представления был выписан В. Доценко9. В диссертации предложен метод, позволяющий решить эту задачу в полной общности (то есть для всех значений п и произвольной симметрической степени), не углубляясь в явную комбинаторику (ко)цепных комплексов. Более того, оказывается возможным выписать набор коциклов, представляющих классы когомологий.

Задачи классификации многообразий естественно приводят к вопросу о когомологиях алгебры Ли Vect(M) векторных полей на многообразии М. Явное вычисление кольца когомологий алгебры Ли Vect(51) не потеряло своей актуальности и по сей день10. Конечномерность пространств когомологий алгебры Ли Vect(M) для произвольного многообразия M была доказана в работе Гельфанда и Фукса11, где также определены и вычислены диагональные когомологии алгебры Ли Vect (M). Общее вычисление когомологий с тривиальными коэффициентами для алгебры Ли векторных полей на многообразии было проделано сначала Хефлигером12, а затем, другим способом, Bottom и Сигалом13. Оба доказательства существенно используют локальные вычисления, то есть вычисление когомологий алгебры Ли формальных векторных полей, а после этого по-разному решают задачу глобализации. В частности, это показывает, что вычисления в когомологиях алгебры Ли формальных векторных полей помогают решать анало-

9Доценко В. В. Гомологии алгебры Ли векторных полей на прямой с коэффициентами в симметрических степенях её присоединённого представления // Функц. анализ и его прял. — 2006. — Т. 40 , вып 2. — С. 13 -19

10См. Гельфанд И. M, Фукс Д Б. Когомологии алгебры Ли векторных полей на окружности // Функц анализ и его прил. — 1968. — Вып. 2, №4 — С 92-93.

11 Гелыфанг) И. М., Фукс Д. Б. Когомологии алгебры Ли касательных векторных полей гладкого многообразия// Функц анализ и его прил. — 1969. — Вып 3, №3. -- С. 32 52.

"Haefltger A Sur la cohomologie de Gelfand-Fuchs // Lect.Notes Math. — 1975. — Vol 484. — P. 121-152, Haefliger A. Sur la cohomologie de l'algèbre de Lie des champs de vecteurs // Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. — 1976 — №9 — P. 503-532.

nBott R., Segal G. The cohomology of vector fields on a manifold // Topology — 1977. — Vol 16. — P. 285-298

гичные задачи для произвольных многообразий, что способствует пониманию геометрии многообразий.

Ещё одна задача, связанная с вычислениями когомологий бесконечномерных алгебр Ли, состоит в построении характеристических классов флагов слоений. Б. Л. Фейгин заметил, что относительные когомо-логии алгебры Ли формальных векторных полей, сохраняющих флаг слоений фиксированных коразмерностей, отвечают за непрерывные характеристические классы флагов слоений тех же коразмерностей14. Была выдвинута гипотеза, что предъявленные классы совпадают со вторичными характеристическими классами. Однако доказательство приводилось только в случае пары вложенных слоений, большее из которых имеет коразмерность 1. В диссертации приводится полное доказательство данной гипотезы.

Цель работы.

Основной целью диссертационной работы является вычисление когомологий различных бесконечномерных алгебр Ли: вычисление когомологий алгебры Ли формальных векторных полей, расширенных формальными g-знaчными функциями; алгебры Ли формальных векторных полей с коэффициентами в симметрических степенях коприсоеди-нённого представления; а также описание непрерывных характеристических классов флагов слоений.

Основные методы исследования.

Для вычисления когомологий алгебр Ли использовались методы гомологической алгебры, такие как метод спектральных последовательностей (в частности, спектральные последовательности Серра-Хохшильда для алгебры и её подалгебры), метод трансгрессий, метод вычисления спектра оператора Лапласа. Кроме этого, были использованы методы теории представлений матричных алгебр Ли и теории инвариантов, а также методы коммутативной алгебры.

14 Фейгин Б. Л. Характеристические классы флагов слоений // Функц. анализ и его прил — 1975. — Вып 4. — С 49-56

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1) Вычислены когомологии алгебры Ли формальных векторных полей, расширенных формальными g-знaчными функциями.

2) Вычислены когомологии алгебры Ли формальных векторных полей с коэффициентами в симметрических степенях коприсоеди-нённого представления; выписан явный набор коциклов, представляющих соответствующие классы когомологии.

3) Получены ограничения на носитель когомологии алгебры Ли формальных векторных полей с коэффициентами в тензорных степенях коприсоединённого представления.

4) Вычислены когомологии алгебры Ли формальных векторных полей, сохраняющих флаг слоений. Построены характеристические классы флагов слоений.

Практическая и теоретическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в различных задачах гомологической алгебры, алгебраической топологии, некоммутативной геометрии и теории представлений.

Апробация результатов.

Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

1) Семинар по алгебраической топологии под руководством Г. И. Ша-рыгина, мех-мат МГУ (2003).

2) Семинар "Математическая физика и гармонический анализ" под руководством Ю. А. Неретина, ИТЭФ (2004).

3) Семинар по математической физике и теории представлений под руководством А.А.Герасимова, А.М.Левина, М.А.Олыпанецко-го, ИТЭФ (2004).

4) Семинар "Группы Ли и теория инвариантов" под руководством Э. Б. Винберга и А. Л. Онищика, мех-мат МГУ(2005).

5) Математический семинар Королевского Технологического Института (Стокгольм, Швеция) под руководством Т. Эйкедаля (2006).

6) Семинар по алгебре университета города Трондхейма (Норвегия, 2006).

7) Научно-исследовательский семинар по алгебре им. О. Ю. Шмидта . (Мехмат МГУ, 2006).

8) Конференция "Journées des jeunes en cotutelle" в Лаборатории Ж.-В. Цонселе (НМУ и CNRS), Москва (24.04.2006-26.04.2006).

Публикации

Основное содержание диссертации опубликовано в трёх работах, список которых приведен в конце автореферата [1-3].

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа изложена на 106 страницах и состоит из введения и трёх глав. Библиография включает 41 наименование.

Краткое содержание работы

Диссертация состоит из введения и трёх частей.

Во введении мотивируются исследования, проведённые в диссертации, кратко излагается содержание работы и формулируются основные результаты.

Первая часть содержит напоминание классических результатов о когомологиях алгебр Ли. В ней приведены важнейшие классические определения и конструкции, связанные с исследуемыми алгебрами Ли и когомологиями алгебр Ли. Приведена классическая конструкция дифференциально-градуированной алгебры Вейля W'{g) алгебры Ли g. Алгебра W'(g) порождена нечётным и чётным пространствами, изоморфными g*, гомологические степени которых полагаются равными 1 и 2 соответственно; дифференциал определяется как сумма

отображения, двойственного скобке Ли, и кошулевского дифференциала. Стандартная убывающая фильтрация на алгебре Вейля вводится по степеням чётных переменных. Если алгебра Ли д является алгеброй Ли компактной группы Ли в, то выбор связности в в-расслоении эквивалентен выбору морфизма фильтрованных БС-алгебр из алгебры Вейля И'Хё) в алгебру форм на тотальном пространстве в-расслоения с фильтрацией Лере-Серра. Единственное условие состоит в том, чтобы ограничение данного отображения на множество образующих нечётного пространства было вложением. Кроме классических результатов, в части 1 сформулированы результаты основных проведённых в диссертации вычислений. Эти вычисления позволяют связать когомологии различных бесконечномерных алгебр Ли и когомологии некоторых подалгебр в факторалгебрах алгебр Вейля, построенных по "маленьким" подалгебрам в исходных бесконечномерных алгебрах Ли. Приведём результаты некоторых вычислений.

Пусть обозначает алгебру Ли формальных векторных полей на п-мерном пространстве, а 1Уп к g <Е> Оп обозначает её расширение с помощью формальных степенных рядов от п переменных со значениями в алгебре Ли g. Определим БС-алгебру IV© как фактор алгебры Вейля й) по члену стандартной фильтрации степени

(2п + 1)- Имеет место следующая теорема, доказанная в разделе 6.

Теорема 2. ОС-алгебра И^Че^пФв) квазиизоморфна коцепному комплексу алгебры Ли \Уп кg®On с постоянными коэффициентами. Более того, существует квазиизоморфизм, согласованный со стандартной фильтрацией -Р" на И^'^пФЦ») и фильтрацией Серра-Хохшильда Ф' на С'(1¥п к ё <3> Оп; к), отвечающей подалгебре Ли §1П ф g.

Для произвольной подалгебры Ли Ь С glr¡©g сформулированы и доказаны относительные варианты этой теоремы, которые существенно используются в других главах диссертации.

В качестве g в теорему 2 можно подставить бесконечномерную алгебру Ли формальных векторных полей от другого числа переменных. Полученная алгебра Ли будет алгеброй Ли формальных векторных полей, сохраняющих структуру слоения коразмерности п. Одним из центральных результатов является вычисление когомологий данной алгебры Ли, проделанное в разделе 7. Аналоги этой алгебры Ли для большего числа групп переменных, для которых мы и сформулируем результат вычисления когомологий, определяется следующим образом.

Пусть фиксирован набор положительных индексов п = (по,. -. Рассмотрим подалгебру Ли алгебры Ли формальных векторных полей в (по +... + П]ь)-мерном пространстве, состоящую из векторных полей, инфинитезимально сохраняющих флаг слоений в окрестности точки 0, для которого коразмерность г-го слоения в (г — 1)-ом равна

Пусть = §1По ф... ф glnfc » \ЧГ1 — максимальная редуктивная подалгебра алгебры Ли линейных векторных полей. Рассмотрим идеал I в симметрической алгебре З'^, порождённый набором подпространств 5«о+...+пг+1(е|по ф... ф д^ г — 0,..., к. Имеют место

Теорема 4. Относительные когомологии алгебры Ли И^ по модулю подалгебры Ли glíт отличны от нуля только е чётных степенях и совпадают с ^-инвариантами в факторалгебре 5^1^//:

Теорема 5. Кольцо когомологий алгебры Ли Шщ формальных векторных полей, сохраняющих структуру флага слоения, имеет нулевое умножение и совпадает с кольцом когомологий урезанной алгебры Вейля:

Важным следствием и одной из мотивировок этих теорем является описание алгебры Вейля алгебры Ли и, в частности, вычисление когомологий алгебры Ли И7,, с коэффициентами в симметрических степенях коприсоединённого представления.

Теорема 1. Для любого натурального к имеет место равенство

= И^ к О*, ® (И^ к 0П1 <8> (• ■ • <8 УУПк).. •)•

следующие теоремы.

[5П+*^1„]8Ч если г = 2п, 0, если г ф 2гг.

Вторая часть посвящена геометрическим применениям. В ней показано, как использовать вычисленные когомологии для построения различных инвариантов геометрических структур. Глава 4 посвящена

конструкциям формальной геометрии. Конструкция характеристических классов расслоений при помощи формальной геометрии изложена в разделе 4.1. В теореме 7 объясняется, что полученные таким образом коциклы на многообразии совпадают с классическими характеристическими классами. В разделе 4.2 предложена модификация конструкции характерстических классов, приспособленная для флагов слоений. Также вычислены производящие функции чисел характеристических классов полных15 флагов слоений.

Теорема 8.

N

а1тН*(Ж(1(...д);к) = 1 + Х>2"+1(1 + д)»-1С(п),

д<0 Ь= 1

где С(п) = С") — п'е число Каталана.

Кроме этого, разобран случай проекций, слоем которых над каждой точкой является компактное комплексное многообразие. В главе 5 показано, как с помощью когомологий алгебр Ли можно вычислять сизигии квадратичных вложений. Полученная нами теорема 9 о сизигиях грассманиана двумерных плоскостей является новой.

Часть 3 посвящена доказательствам сформулированных теорем. Методы, используемые в доказательствах, важны сами по себе, поскольку могут быть применены в похожих задачах. Доказательство теоремы 2 устроено следующим образом. Сначала мы подробно изучаем относительный коцепной комплекс алгебры Ли к ё ® Оп по модулю подалгебры Ли gln. Из технической леммы 7, доказательство которой основано на подробном изучении glп-инвapиaнтoв и вынесено в отдельный раздел 6.2, следует, что этот комплекс совпадает с фактором относительной алгебры Вейля IV" (д^ gln). Простые соображения трансгрессии показывают совпадение дифференциалов в этих комплексах, что завершает доказательство теоремы.

Теорема 4 доказывается сложнее, поскольку использует более тонкую технику работы с gl?rинвapиaнтaми. Мы показываем, что все относительные коциклы алгебры Ли 1¥ц происходят из вложения в алгебру Ли И/По+...+П(. всех формальных векторных полей на пространстве той же размерности; соответствующая каноническая проекция коцепных комплексов обозначается через </?. Любой ориентированный

15Флаг называется полным, если (ко)размерности соседних слоении отличаются на единицу.

граф, рёбра которого раскрашены в (&+1) цвет и из каждой вершины которого выходит ровно одно ребро, задаёт gliГинвapиaнтнyю коцепь комплекса С'(\¥Па+.. к). Если граф удовлетворяет дополнитель-

ным условиям на цвета входящих и выходящих рёбер в каждой вершине, то он задаёт glfrинвapиaнтнyю коцепь комплекса С'(\¥п, glг¡; к). Таким образом каноническая проекция (р обладает естественным левым обратным отображением, которое мы обозначим через ф. Когомологии алгебры Ли ШПа+_+Пк могут быть вычислены с помощью спектральной последовательности Серра-Хохшильда относительно подалгебры ё1По+..

■+пк1 которая вырождается в первом члене. Существенно, что фильтрацию Серра-Хохшильда можно усилить (в результате чего образ присоединённого градуированного дифференциала от коцепи задаваемой графом, содержит существенно меньше слагаемых), однако соответствующая спектральная последовательность всё равно будет вырождаться в первом члене. Мы вводим аналогичную фильтрацию на коцепном комплексе алгебры Ли Шц и показываем, что естественное вложение векторных пространств ф является расщеплением комплексов, если в качестве дифференциалов в коцепных комплексах рассмотреть присоединённые градуированные дифференциалы относительно введённых фильтраций. Следовательно, (р является сюръекцией на когомологиях. Более того, удаётся явно описать коциклы, представляющие когомологии; главным образом представляют интерес коциклы, представляющие когомологии алгебры Ли \Уп с коэффициентами в симметрических степенях коприсоединённого представления (раздел 7.3.2). Для п = 1 эти формулы удаётся сильно упростить. Это проделано в разделе 7.3.3.

В разделе 8.1 показано, что аналогичный результат можно получить для когомологий алгебры Ли формальных векторных полей, сохраняющих набор коммутирующих слоений с постоянными размерностями пересечений слоёв. Результаты вычислений когомологий приводят к сильной верхней оценке на носитель когомологий алгебры Ли формальных векторных полей с коэффициентами в тензорных степенях коприсоединённого представления (раздел 8.2). В разделе 8.3 приведено доказательство нижней оценки на носитель, которая имеет место для любого {^„-модуля, свободного как модуль над подалгеброй постоянных векторных полей. Результаты оценок подытожены в следующей теореме.

Теорема 6. Для любого натурального к и г ^ [п,2п] имеет место

равенство Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность д. ф.-м. н. Б. Л. Фейгину и д.ф.-м.н., профессору М.В.Зайцеву за мудрое научное руководство, постановку задач и постоянное внимание к моей работе. Автор также благодарен к.ф.-м.н. А.Л.Городенцеву, В.В.Доценко, д.ф.-м.н. М. Э. Казаряну, д. ф.-м. н. А. С. Лосеву, д. ф.-м. н. А. Н. Рудакову, профессорам М. В. Финкельбергу и Б. Л. Цыгану, к. ф.-м. н. Б. Б. Шойхету и А. К. Шрамову за полезные обсуждения на различных этапах подготовки диссертации.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Хорошкин А. С. Сизигии некоторых квадратичных многообразий и их связь с когомологиями алгебр Ли // Успехи Математических Наук. — 2006. — Т.61, вып.5. — С. 189-190.

[2] Хорошкин А. С. Алгебра Ли формальных векторных полей, расширенных формальными g-знaчными функциями // Труды семинаров ПОМИ РАН. — 2006. — Т. 335, серия: Вопросы квантовой теории поля и статистической физики. 19. — С. 205-230.

[3] Хорошкин А. С. Алгебра Ли формальных векторных полей, сохраняющих структуру слоения // Деп. в ВИНИТИ РАН —2006. — № 1376-В2006. — 2006. — 38 с.

Подписано к печати 22.12.06 г. Формат 60x90 1/16

Усл. печ. л. 0,8 Уч.-изд. л. 0,53 Тираж 100 экз. Заказ 528

Отпечатано в ИТЭФ, 117218, Москва, Б. Черемушкинская, 25

0 Введение

0.1 История вопроса.

0.2 Основные результаты

0.3 Краткое описание диссертции.

0.4 Благодарности.

1 Когомологии алгебр Ли и алгебра Вейля

1 Когомологии алгебр Ли

1.1 Примеры гюполо1ических ajiie6p Ли.

1 2 Когомологии абсолютные и относительные.

2 Алгебра Вейля

2.1 Определение DG-алгебры Вейля.

2 1.1 Относительная алгебра Вейля

2 2 Связности и морфизмы из алгебры Вейля.

2.2 1 Построение характеристических классов. Гомоморфизм Черна-Вейля.

2.2.2 Главное однородное h-пространсгво и плоская связность.

2.2.3 Алгебра Вейля и спектральная последовахельносгь

Серра Хохшильда.

2 3 Алгебра Вейля алгебры Ли gln

2.4 Алгебра Вейля шпебры Ли Wn (формулировка результатов)

3 Когомологии некоторых алгебр Ли и связь с алгебрами Вейля

3.1 Алгебра Ли Wn к g ® Оп и её когомологии.

3.2 Векторные поля, сохраняющие флаг слоений.

II Геометрические инварианты и когомологии алгебр Ли

4 Формальная геометрия и характеристические классы

4 1 Характеристические классы расслоений.

4.2 Характеристические классы флагов слоений.

4.2.1 Случай полных флагов п = (1,., 1).

4.3 Характеристические классы семейств

5 Сизигии некоторых квадратичных многообразий

5.1 Сизигии и коюмологии алгебр Ли.

5.2 Кривая Веронезе.

5.3 Грассманиан Gr(2, N).

III Вычисления когомологий некоторых бесконечномерных алгебр Ли

6 Вычисление когомологий алгебры Ли Wn к g <8> Оп

6.1 Относительный коцепной комплекс.

6.2 gln-MHBapHaHibi

7 Когомологии H*(W„,SmW*)

7.1 Граф-комплексы.

7.2 Относительные когомологии R'(Wm+n, glm n; k).

7.3 Алгебра Вейля алгебры Ли Wn (вычисления).

7.3.1 Связь когомологии ал1ебр Ли Wm+n и Wm>n.

7.3.2 Формулы для коциклов.

7.3.3 Частный случай п = 1.

8 Когомологии W(WniW*®m) 93 8.1 Векюрные поля, сохраняющие набор коммутирующих слоений

8 2 Верхняя оценка когомологий.

8 3 Нижняя оценка когомологий.

0.1 История вопроса

Теория когомологий алгебр Ли рассматривалась ещё в работах Шевалле (см., например, [36]) в 1940-х годах. Им было дано определение (ко)цепного комплекса алгебры Ли, который впоследствии получил название комплекса Шевалле (определение см. в параграфе 1.2). Комплекс Шевалле имеет существенно меньшие размеры, чем комплекс Хохшильда универсальной обертывающей алгебры, который вычисляет те же самые пространства когомологий. Например, коцепной комплекс конечномерной алгебры Ли конечномерен в отличие от комплекса Хохшильда. Это позволяет продвигаться в вычислениях когомологий алгебр Ли существенно дальше, чем для произвольных ассоциативных алгебр

Методы вычисления когомологий бесконечномерных алгебр Ли активно разрабатывались в 70-х и 80-х годах 20 века в работах И.М.Гельфанда, Д.Б.Фукса, М.В.Лосика, Б.Л Фейгина и многих других. В монографии [31], которая не потеряла акхуальносгь и по сей день, изложены применения результатов вычислений пространств коюмологий к другим областям математики

Термин формальная геометрия возник в 1970-х i одах в работах И. М. Гель-фанда, Д. Каждана и Д. Б Фукса (см. например [11]). Основная идея формальной геоме!рии состоит в замене обычного n-мерного многообразия X на гомотопное ему бесконечномерное многообразие формальных аффинных систем координат — Xc-°or/GLn. На многообразии формальных систем координат Xсоог действует бесконечномерная алгебра Ли формальных векторных полей Wn, можно ввести понятие главного, однородного И^-просгранства (см. параграф 2.2.2), одним из примеров которого и являв! ся Xсоог Для конечномерной алгебры Ли g примеры главных однородных пространств исчерпывающи факторами соответсвующей группы G по дискретной подгруппе. В этом смысле каждое многообразие заменяется на фактор бесконечномерной группы по дискретной подгруппе, так что бесконечномерная группа одинакова для всех многообразий фиксированной размерности, а вот подгруппа, по которой происходит факторизация, зависит от многообразия. При этом все дифференциально-геометрические конструкции на конечномерном мноюобразии могут быть перенесены на где они могут быть построены исходя из алгебраических конструкций, связанных с алгеброй Ли Wn.

Одним из наиболее ярких применений данного метода является теория характеристических классов слоений. В качестве иллюстрации остановимся чуть более подробно на классическом примере трехмерного вещественного когомологического класса тотального многообразия, который строится но произвольному слоению F коразмерности 1 (класса Годбийона Вея [16]). Ориентированное слоение коразмерности 1 может быть задано глобальной

1-формой инигде не обращающейся в нуль. Форма и удовлетворяет условию интегрируемости, которое равносильно существованию 1-формы г] с d[)jiLJ = и Л г]. Можно показать, что, во-первых, форма г] Adr] замкнута, а, во-вюрых, когомологический класс этой формы определяется лишь кон-кордантным классом слоения (и не зависит от произвола в выборе форм и и rj). И.М.Гельфанду и Д.Б.Фуксу принадлежит следующее замечание. Если на X задано оснащенное1 слоение коразмерности п, то на X существует каноническая (с точностью до конкордантности2) гладкая 1-форма и со значениями в алгебре Ли формальных векторных полей Wn, коюрая удовлетворяет уравнению Маурера Картана 1 dDRu) + -\u,u]Wn = 0.

Любая 1-форма со значениями в алгебре Ли g, удовлетворяющая уравнению Маурера-Картана, задаёт отображение коцепного комплекса C'(g;R) в комплекс форм на многообразии £У(Х). Следовательно, классы когомо-логий алгебры Ли Wn определяют характеристические классы оснащённых слоений коразмерности п, называемые также вторичными характеристическими классами. Класс Годбийона-Вея соответствует классу, происходящему из единственного нетривиального класса когомологий алгебры Ли W\. Более юго, все непрерывные характеристические классы оснащённых слоений должны исчерпываться данными характеристическими классами. Отметим, что описание дискретных характеристических классов слоений не известно и по сей день.

Плоение называется оснащенным, если его нормальное расслоение тривиализовано

2Если и, и' - две М^-структуры, отвечающие оснащенному слоению Т на X, то И^-структура S1, отвечающая слоению J7 х R на X х [0,1] и совпадающая с и на X х 0 и с и/ на X х 1, осуществляет конкордантность между и> и и/

Подобными методами могут быть получены харак!ерисгичекие классы слоений с различными дополни 1ельными структурами. Эти вопросы активно разрабатывались в 70-х и 80-х годах 20 века Одной из естественных задач является описание непрерывных характеристичеких классов флагов слоений. Методы формальной геометрии позволяют свести её к вычислению koi омологий некоторого семейства бесконечномерных алгебр Ли (см. раздел 1.1). В работе [25] было предложено гипотетическое описаниее непрерывных характеристических классов флагов слоений для произвольных коразмерностей. Однако доказательство приводилось только в случае пары вложенных слоений, большее из которых имеет коразмерность 1. Из недавних работ В. Доценко [17] и автора [39] легко получить ответ для пары слоений, если коразмерность меньшего в большем равна 1. В данной работе мы приведём полное описание непрерывных характеристических классов слоений.

Другое применение формальной геометрии связано с задачами алгебраической К-теории. В работах [28, 29] была обрисована программа действий в этом направлении. В работе [28] (и впоследствии в работе [27]) было приведено доказательство теоремы Римана-Роха, основанное на вычислениях в когомологиях Хохшильда алгебры дифференциальных опера юров и в кого-мологиях универсальной обёртывающей алгебры U(Wn). Кольцо когомоло-гий алгебры U(Wn) было извес:но лишь гипотетически, чю сильно увеличивало технические трудности в доказательствах в работе [28]. Проделанные в диссертации вычисления помогут упростить некоторые доказательства в pa6oie [28].

Задачи классификации многообразий естественно приводят к вопросу о когомологиях алгебры Ли Vect(M) векторных полей на многообразии М.

Явное вычисление кольца когомологий алгебры Ли Vect(5'1) не потеряло своей ак1уальнос1и и по сей день (см. [13]) Конечномерность пространств когомологий алгебры Vect(M) для произвольного многообразия М была доказана в pa6oie [14], где также определены и вычислены диагональные когомологии алгебры Ли Vect(M). Общее вычисление когомологий с тривиальными коэффициентами для алгебры Ли векторных полей на многообразии было проделано сначала Хефлшером [33, 34], а потом (другим способом) Bottom и Сигалом [6]. Оба доказательства существенно используют локальные вычисления, то есть вычисление когомологий алгебры Ли формальных векторных полей, а после этого по-разному решают задачу глобализации. Вычисление когомологий с коэффициентами в пространствах гладких 'тензорных полей принадлежит Цудзисита [35]. Возможные продолжения и применения вычислений когомологий алгебр Ли голоморфных векторных полей на многообразии были намечены в докладе Б.Л.Фейгина на математическом конгрессе в Киото [26]. Результаты локальных вычислений когомологий алгебры Ли формальных векторных полей с коэффициентами в симметрических степенях коприсоединённого представления позволят посчитать те же когомологии для алгебры Ли гладких векторных полей на многообразии.

Некоторые недавние применения формальной геометрии можно отнести скорее к неконструктивной технике доказательства различных теорем существования. Здесь следует упомянуть различные работы по деформационному квантованию, например, рабо:у М.Концевича [19] и работу Р. Безрукавникова и Д.Каледина [2], где вопросы глобализации формальности существенно используют аргументы формальной геометрии.

0.2 Основные результаты

В диссертации вычислены когомологии различных бесконечномерных алгебр Ли и показано, как эги результаты применяются к построению геометрических инвариантов.

Основная конструкция формальной геометрии каждому комплексному многообразию X сопоставляет отображение из кольца относительных когомологий H'(Wn,gln;k) в коюмологии де Рама При этом отображении образующие кольца H^H^gl^k) переходят в классы Черна касательного расслоения к многообразию. Мы предлагаем аналогичный метод построения характеристических классов g-расслоений на комплексных многообразиях (для произвольной алгебры Ли g). Для этого следует расширить алгебру Ли Wn формальными g-значными функциями, то есгь рас-смофегь алгебру Ли Wn к g 0 Оп формальных векторных полей, сохраняющих структуру g-расслоения. В диссертации показано, как вычислить относительные и абсолютные когомологии данной алгебры Ли. Определим DG-алгебру W'(gl®g) как фактор алгебры Вейля W'(gl®g) по (2п+ 1)-му члену стандартной фильтрации на ней. Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема 2. DG-алгебра W'(gln©g) квазиизоморфна коцепному комплексу алгебры JIu Wn к g ® Оп с постоянными коэффициентами. Более того, можно явно описать квазиизоморфизм, согласованный со стандартной фильтрацией F' на W'(gln(Bg) и фильтрацией Ссрра-Хохшильда Ф' на C'(Wn Kg® Оп; к) отвечающей подалгебре JIu gln©g.

Эха теорема имеет важные следсхвия. Например, для произвольной али гебры Ли g и её подал1ебры h С g получаем следующее утверждение.

Следствие 3. Урезанная относительная DG-алгебра Вейля изоморфна относительному коцепному комплексу бесконечномерной алгебры Ли Wm Kg® От по модулю подалгебры JIu (glm ф h) С (glm Ф g):

JT(gim е g, gim е h)/(A"(gim e g)* ® s>m(g\m © g)*) ~

В частном случае редуктивной алгебры Ли g с компактной группой Ли G путём несложного обобщения основной конструкции формальной геометрии можно получить следующий результат.

Теорема 7. Существует естественный морфием а, являющийся изоморфизмом колец в градуировках, не превосходящих 2п, для которого следующая диаграмма коммутативна.

Н'(BGLn) ® Н'(BG)------~ - - - E'(Wn к g <g> 0„, gln 0 g; k) н

В качестве алгебры Ли g имеет смысл рассмотреть алгебру Ли формальных векторных полей (ог, вообще говоря, другого числа переменных). Таким образом, мы приходим к рассмогрению алгебры Ли формальных векторных полей, сохраняющих флаг слоений. Вычисление колец относительных и абсолютных когомологий этой алгебры Ли, обозначаемой Wn = Wni iK Oni ® (Wn2 к Ori2 <g> (. <g> Wnk).), можно считать одним из центральных в диссертации.

Теорема 4. Относительные когомологии алгебры Ли Wn по модулю подалгебры Ли gl^ = glra 0 • ■ • ф gln отличны от 0 только в четных степенях и совпадают с gl^-инвариантами в факторалгебре S'gl^/I:

Где идеал I в симметрической алгебре порождён набором подпространств Sno+ +nr+1(gln0 Ф • • • Ф gl„r) для г = 0,., к.

Теорема 5. Кольцо когомологий алгебры Ли Wn формальных векторных полей, сохраняющих структуру флага слоения, с постоянными коэффициентами H'(W^;k) имеет нулевое умножение и совпадает с кольцом когомологий урезанной алгебры Вейля.

Данные теоремы доказываю 1ся одновременно с важным для формальной 1 еометрии вычислением когомологий алгебры Ли Wn с коэффициентами в симметрических С1епенях коприсоединённого представления.

Теорема 1. Для любого натурального к

Мы также опишем явно коцепи, представляющие ненулевые коциклы. В качестве иллюстрации к теореме о когомологиях алгебры Ли, сохраняющей флаг слоений посчитаны ряды Гильберта соответствующих колец и выписаны коцепи, представляющие нетрививильные классы когомологий для случая полных флагов, то есть в случае, когда коразмерности любых двух соседних слоений отличаются на 1.

Теорема 9.

El(Wn,glT-SkW*)

Sn+*gl„]g4 если( = 2п, О, если г ф 2п. n Чк dimНk(W{l, ,1); k) = 1 + £ q2n+\ 1 + q)n~lC(n) q> О k=l где С(п) = — ri-e число Каталана.

Проделанные локальные вычисления позволяют сформулировать гипотезу о когомологиях алгебры Ли векторных полей на многообразии Мы ожидаем, что её можно доказать методами, аналогичными использованным в статье [б], где разобран случай тривиальных коэффициентов. Рассмотрим классифицирующее расслоение 7Г : EUn BUn. Базой одной из удобных реализаций этого расслоения явялется грассманиан n-мерных плоскостей Gr(n, оо) со стандартным клеточным разбиением Шуберта. Обозначим через Х^ прообраз 2/г-мерною клеючного скелета BUn.

Гипотеза. Когомологии H'(Vect(M); Sm Vect(M)*) совпадают с когомоло-гиями пары W(secxn+m(M),sccxn+m-\(M)), где sec Xk{M) — пространство сечений расслоения со слоем Xk, ассоциированное с касательным расслоением над п-мерным многообразием М.

Методы диссертации позволяют вычислить когомологии алгебры Ли, сохраняющей репер слоений, что даёт возможность сформулировать и доказать существенные ограничения на расположение ненулевых когомологий алгебры Ли Wn с коэффициентами в тензорных степенях коприсоединённо-го представления.

Теорема 6. Для любого натурального к и i не принадлежащее промеэюут-ку [п, 2п] имеет место равенство mwn,g\n-,w:®k) = o.

В диссертции также приведён пример другого применения вычислений когомологий алгебр Ли для подсчёта геометрических инвариантов, называемых си шгиями. Так, мы вычисляем сизигии плюккерова вложения грас-сманиана 2-мерных плоскостей.

0.3 Краткое описание диссертации

Основной 1ексг диссертации разбит на три части. Часть I содержит напоминание классических резульчашв о когомологиях (бесконечномерных) алгебр Ли. Кроме того, приведены резулыагы основных проведённых в диссертации вычислений. Часть II посвящена геометрическим применениям. В ней показано, как использовать вычисленные когомологии для построения различных инвариантов геометрических структур. Часть III главным образом техническая и содержит в себе доказательства анонсированных результатов.

1. Bezrukavnikov R. Koszul Property and Frobenius Splitting of Schubert Varieties // arXiv.org/alg-geom/9502021. - 1995. - 8 pp.

2. Bezrukavnikov R., Kaledm D. Fedosov quantization in algebraic context // arxiv.org/rnath.AG/0309290. 2003. 46 pp.

3. Берштейи И.Н., Розенфельд Б.И. Однородные пространства бесконечномерных алгебр Ли и характеристические классы слоений // Успехи математических наук. 1973. Вып. 4. — С. 103-138.

4. Вorel A. Sur la cohomologie de& espaces fibres principaux et des espaces homogenes de groupes de Lie compacts // Annals of Mathematics. — Vol. 57 1953. - P. 115-207.Русский перевод Расслоенные пространства и их приложения, Москва. 1958. - С. 163-246.

5. Bott R. Lectures on characteristic classes and foliations. Notes by Lawrence Conlon, with two appendices by J.Stasheff. Lectures on algebraic and differential topology // Second Latin American School in Math., Mexico City. 1971. - P. 1-94.

6. Bott R., Segal G. The cohomology of vector fields on a manifold // Topology. 1977. Vol 16 - P. 285-298.

7. Ботгп Р, Ту Л. В. Дифференциальные формы в алгебраической топологии. // М. Наука. 1989 - 336 с.

8. Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления // М. ИЛ. 1947. - 408 с.

9. Винберг Э.Б., Попов В. Л. Некоторый класс квазиоднородных афин-ных многообразий // Известия академии наук СССР, Серия мат. — 1972. Т. 36. - С. 749-764.

10. Guillemin V. Notes on Gelfand-Fuks cohomology // M.I.T. 1973. -57 pp.

11. Гелъфанд И. M., Каждаи Д. А., Фукс Д. Б. Действия бесконечномерных алгебр Ли // Функц. анализ и его прил. 1972. Вып. 1. — С. 10 15.

12. Гелъфанд И М., Фукс Д. Б. Когомологии алгебры Ли формальных векторных полей // Изв. Акад Наук СССР. Сер. Мат. - 1970. - Т.34, вып. 2. С. 322 337.

13. Гелъфанд И. М., Фукс Д. Б. Когомологии алгебры Ли векторных полей на окружности// Функц. анализ и его прил. — 1968. — Выи. 2, №4 — С. 92-93.

14. Гелъфанд И. М, Фукс Д. Б. Когомологии алгебры Ли касательных векторных полей гладкого многообразия// Функц. анализ и его прил. — 1969. Вып. 3, №3. - С. 32-52.

15. Гелъфанд И. М., Фейгин Б. Л., Фукс Д. Б. Когомологии алюбры Ли формальных векторных полей с коэффициентами в сопряжённом сней пространстве и вариации характеристических классов слоений // Функц анализ и его прил. — 1974. Вып.2. — С. 13-29.

16. Godbillon С., Vey J. Un invariant des feuilletages de codimension 1// CR Acad. Sci. Paris. 1971. - P. 92-95.

17. Kontsevich M. Deformation quantization of Poisson manifolds, I // Letters in Mathematical Physics. 2003. - Vol 66, №3. - P. 157-216.

18. Macdonald I. G. Symmetric Functions and Hall Polynomials, Second edition // Oxford University Press, New York. — 1995. 475 pp.

19. Милнор Ж. В., Сташефф Ж. Д. Характеристические классы // М., Мир. 1979. 372 с

20. Pohshchuk A., Positselski L. Quadratic Algebras// University Lecture Series, Amer. Math. Soc.Providence. 2005. - №37. - 159 pp.

21. Стенли P. Перечислительная комбинаторика // M.: Мир. — 1990. — 440 с.

22. Уфнаровский В. А. Комбинаторные и асимиготические методы в алгебре.// Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, М.: ВИНИТИ. 1989. Т. 57., Алгебра 6. - С. 9-157.

23. Фейгип B.JI. Характерисхические классы флагов слоений // Функц. анализ и ею прил. — 1975. — Вып 4. — С. 49-56.

24. Feigm B.L. Conforinal field theory and Cohomologies of the Lie algebra of holomorphic vector fields on a complex curve. // Proceedings of international congress of Mathernatitians, Kyoto, Japan. 1990. — P. 7185.

25. Feigm В., Feldei G., Shoikhet B. Hochschild cohomology of the Weyl algebra and traces in deformation quantization // arxiv:math.QA/0311303.30 pp.

26. Feigin B.L., Tsygan В L Riemarm-Roch theorem and Lie algebra cohomology I // Proc. Winter Sch. Geom. Phys , Srni, 1988. Suppl. Rend. Circ. Mat. Palermo, II. - Ser. 21 - 1989. - P. 15 52.

27. Feigm В L., Tsygan В L. Additive K-theory // K-theory, Arithmetic, and Geometry, Lecture Notes Math. — 1987. 252 pp.

28. Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии // М.: Наука. 1989. - 528 с

29. Фукс Д. Б. Когомологии бесконечномерных алгебр Ли // М.: Наука. — 1984. 272 с.

30. Froberg R , Lowfal B. Koszul homology and Lie algebras with application to generic forms and points// Homology, Homotopy and Applications. — 2002. Vol.4(2). - P. 227-258.

31. Haefliger A Sur la cohomologie de Gelfand-Fuchs // Lect.Notes Math. — 1975. Vol. 484. - P. 121-152.

32. Haefliger A. Sur la cohomologie de l'algebre de Lie des champs de vecteurs // Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Superieure. — 1976. — №9. — P. 503-532.

33. Tsujishita T. On the continious cohomology of the Lie algebra of vector fields.// Proc. Jap. Acad. 1977. - A53, №4. - P. 134-138.

34. Chevalley C., Eilenberg S. Cohomology theory of Lie groups and Lie Algebras // Transactions of the American Mathematical Society. — 1948. №63. - P. 85-124.Публикации автора по теме диссертации

35. Goiodentsev A. L., Khoroshkin A.S., Rudakov А N. On syzygies of highest weight orbits // "Moscow Seminars in Mathematical Physics "American Mathematical Society Translations, American Mathematical Society, Providence, RI. 2007. - Series 2. 45 pp

36. Khoroshkin A. Another interpretation of syzygies of Koszul algebras.// Preprint ITEP-TH-91/04. 2004. - 4 pp.

37. Хорошкин А С. Алгебра Ли формальных векторных полей, расширенных формальными g-значными функциями // Труды семинаров ПОМИРАН. — 2006. Т. 335, серия: Вопросы квантовой теории поля и статистической физики. 19. С. 205-230

38. Хорошкин А. С. Алгебра Ли формальных векторных полей, сохраняющих структуру слоения // Деп. в ВИНИТИ РАН № 1376-В2006. -38 с.

39. Хорошкин А. С. Сизигии некоторых квадратичных многообразий и их связь с когомологиями алгебр Ли // Успехи Математических Наук. — 2006. Т.61, вып.5. С. 189 190.