Представления и инварианты унитреугольной группы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

005010755

СЕВОСТЬЯНОВА Виктории Владимировна ¿к^,

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ИНВАРИАНТЫ УПИТРЕУГОЛЬПОЙ ГРУППЫ

01.01.06 - Математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации иа соискание ученой степени кандидата фпзпко-матсыатичсскнх паук

1 (ЛАР Ш2

Санкт-Петербург 2011

005010755

Работа выполнена на. кафедре алгебры и геометрии мсхапико-ма.тематичсекого факультета Самарского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

' профессор ПАНОВ Александр Николаевйч

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор ВАВИЛОВ Николай Александрович (Санкт-Петербургский государственный университет)

Защита диссертации состоится «_ . _____ча-

сов на заседании совета Д 212.232.29 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9-11, литер «А», здание 12 коллегий, ауд. 133.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

доктор физико-математических наук, доцент АРЖАНЦЕВ Иван Владимирович (Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова)

Ведущая организация: Ульяновский государственный университет

Автореферат разослан «_ i»¿Уу . 20JA года.

Ученый секретарь диссертационного совета

/

V/

Нежинский В. М.

Общая характеристика работы

Актуальность исследования.

Теория инвариантов сформировалась как самостоятельная алгебраическая дисциплина почти два века назад иод влиянием ряда задач геометрии, алгебры и теории чисел. Еще в ХХ-м веке она оказала большое влияние на развитие многих разделов алгебры, таких как алгебраическая геометрия и теория представлений. В настоящее время теория инвариантов имеет обширные приложения и служит основой многих исследований в коммутативной алгебре, гомологической алгебре, теории алгебр и групп Ли, теории представлений алгебраических групп, алгебраической геометрии.

Основной задачей теории инвариантов принято считать проблему построения образующих алгебры инвариантов произвольной алгебраической группы, действующих на аффинном алгебраическом многообразии, нахождение определяющих соотношений между этими образующими, указание канонических представителей орбит. В настоящее время, наряду с этими вопросами решаются задачи вычисления стабилизаторов, изучение алгсбро-геометричсских свойств самих орбит и их взаимного расположения, построение различного рода "сечений" и "факторов". Для того, чтобы явно описать все инварианты заданной алгебраической группы достаточно указать систему образующих алгебры инвариантов. Задача отыскания системы образующих произвольной группы сводится к вопросу о конечной порожденное™ алгебры инвариантов. В 1890 г. Гильберт доказал теорему конечности для алгебры инвариантов действия редуктивиой линейной группы. ..

Для передуктивпых линейных групп проблема конечной порожденное™ алгебры инвариантов не имеет удовлетворительного решения и представляется чрезвычайно трудной. Ключевым моментом в ее решении является случай унипотентных групп. Действительно, пусть G С GL(V) — алгебраическая линейная группа и U — се унинотентпый радикал. Тогда если алгебра k[V]u конечно порождена, то и алгебра &[V]G конечно порождена1. В 1958 г. H агата построил пример унипотентной группы, алгебра инвариантов которой не является конечно порожденной. Вопрос о том, является ли алгебра инвариантов для произвольной алгебраической линейной группы конечно порожденной,

!Винберг Э.Б., Попов В.Л. Теории инвариантов // Итоги пауки и техники. Coup. проб, математики, фунд. исследовании, М.: ВИНИТИ, т. 55, 1989, с. 137-309.

называется 14-й проблемой Гильберта (сам Гильберт, правда., сформулировал ее в 1900 году иначе2, но после появления контрпримера Нагаты она стала рассматриваться именно в такой форме). В более широкой постановке 14-ую проблему Гильберта рассматривают как проблему конечной порожденное™ алгебр инвариантов произвольных действий алгебраических групп на аффинных многообразиях. В этом плане интересен результат В.Попова3, являющийся в некотором смысле обращением теоремы конечности Гильберта. Некоторые положительные результаты по 14-й проблеме Гильберта получил Гросс-ханс4. Оказалось, что вопрос о конечной порожденное™ алгебры инвариантов некоторой подгруппы Я редуктивной группы G па векторном пространстве сводится к вопросу о конечной порожденное™ алгебры k{G/H]. Д. Хаджиев показываег', что когда Я — максимальная унипотентная подгруппа связной алгебраической группы G и G-алгебра конечно порождена, алгебра инвариантов действия группы Я также конечно порождена. Также можно отметить результат Вайцспбскка о конечной порожденное™ любой одномерной унипо-тентной линейной группы.

Ряд положительных результатов имеется в случае, когда параболическая подгруппа Р редуктивной алгебраической группы G действует сопряжением на своем унипотентоном радикале и присоединений на нильрадикале в соответствующей параболической подалгебре. В частности, Ричардсон показал0, что это действие имеет плотную Р-орбиту, называемую орбитой Ричардсона. Количество Р-орбит вообще говоря не является конечным, а проблема описания Р-орбит кажется очень трудной. Случай, когда Р имеет конечное множество орбит в нильрадикале, был поднят в работе Попова и Рорлс7. Для классических групп, если основное поле нулевой характеристики или характеристика хорошая, Хилле и Рорле классифицировали8 параболические иод-

2Проблсмы Гильберта, М.: Наука., 1969.

•'Ионов П.л. к теореме Гильберта об ишшршштах // ДЛИ СССР, т. 249, №3, 1979, к. 551-555.

■•Grosshaiis F., Observable groups anil Hilbert's fourteenth problem. Amer. ■). Mat.li, v. 95, №1, 1073, p. 229-253.

'Хаджиев Д. Некоторые вопросы теории векторных иниариантов. Мат. сб., т. 72, №3, 1967, г.. 420—435.

''Richardson R.W. Conjugacy classes in parabolic subgroups of scmisimplo algebraic groups. Bull. London Math. Soc., v. 6, 1974, p. 21 24.

7V.Popov, G.Rohrle. On the number of orbils of a, parabolic subgroup on its imipot.cnt. radical, in: G. Lehrer

((alitor), Algebraic groujis and Lie Groups, Australian Mathematical Society Lecture Series, v. 9, 1997.

"Hille L., R-öhrle G. A classification of parabolic subgroups of classical gronjw with a finite number of orbits

on the unipotent radical. Transformation Groups, v. 4, №1, 1999, p. 35-52.

группы, имеющие конечное множество орбит па соответствующем нильрадикале. С помощью компьютера Юргенс и Рорле расширили классификацию до исключительных групп9. Более того, для параболических подгрупп в SLn имеется точное описание Р-орбит8'10. До настоящего времени не известно сколько-нибудь полное описание Р-орбит на нильрадикале для других классических типов. Специальный случай Р = В присоединенных орбит боре-левской группы в нильпотентной алгебре Ли рассматривали Бюргетейн и Хесселиик11. В настоящей работе мы рассматриваем присоединенное действие максимальной унинотентной подгруппы в G на нильрадикале в соответствующей Р параболической подалгебре.

Здесь представляет интерес вопрос о том, как устроены классы сопряженности унипотентных групп. Над конечным полем в ряде работ рассматривались сопряженные классы группы U(q) строго верхнетрсугольпых матриц. Томпсон и Хигман изучали12'13 число классов сопряженности для U(q). Вера-Лопес и Арреджи показали14, что число классов сопряженности для п ^ 13 — многочлен от q с целыми коэффициентами. Другой подход к изучению присоединенных орбит максимальной унинотентной группы состоит в том, чтобы рассматривать некоторый их класс, орбитальное многообразие, являющееся неприводимой компонентой пересечения нильпотентной орбиты и алгебры Ли строго верхнетрсугольпых матриц. Орбитальные многообразия изучались в ряде работ Р.Стейнберга, Н.Спалтенстейна, Э.Жозефа, Э.Бенлоло, А.Мель-пиковой и др. В настоящей работе среди прочего мы описываем орбиты максимальной размерности присоединенного действия максимальной унинотентной группы в нильрадикале параболической подалгебры.

Цель работы. Целями работы являются изучение алгебры и ноля инвариантов присоединенного действия унитреугольной группы в нильрадикале параболической подалгебры.

у Jürgens U., Röhrle G. MOP-algorithmic modality analysis for parabolic group actions, Experiment. Math, v. 11, №1, 2002, p. 57-67.

"Brüstle T., Hille L., Ringel C.M., Rubric G. The Д-liltered modules without self-extensions for the Ausländer Algebra of k[T]/(T"). Algebras arid Representation Theory, v. 2, 1Ш, p. 295-312.

^H.Burgstein, W.H. Hesselink, Algorithmic orbit classification for some Borel group actions, Corupositio Math., v. Gl, №. 1, l!l«7, p. Ml.

12Hi£man, G. Enumerating p-groups. I. Inequalities, Proc. London Math. Soc., v. 3, №10, 19ÍÍÜ, p. 24-30.

uThornpson, Л. k(Uii{Fq)). Preprint, http://www.math.uil.edu/fac/thompson.html, 2004.

14Vera Lope/ A., Arregi .J.M. Conjilgacy classes in imitriangiilar matrices. Linear Algebra Appl., v. 370, 2003, p. 85-124.

Методы исследования. В работе используются методы теории алгебраических групп, теории алгебр и групп Ли, теории инвариантов.

Основные результаты. В диссертации получены следующие результаты:

i. Получено полное описание поля инвариантов присоединенного действия унитреугольпой группы в нильрадикале параболической подалгебры, явно выписаны алгебраически независимые образующие поля инвариантов. Получена формула для размерности орбит общего положения, указаны представители орбит общего положения.

ii. Получено описание алгебры инвариантов присоединенного действия уии-треугольной группы в нильрадикале параболической подалгебры для некоторой серии параболических подалгебр, выписаны образующие алгебры инвариантов и соотношения между ними. '

iii. Доказана конечная порожденпость алгебры инвариантов присоединенного действия унитреугольной группы в нильрадикале параболической подалгебры для некоторой серии параболических подалгебр.

Личный вклад автора. В диссертации изложены результаты, полученные автором лично.

Научная новизна. Все основные результаты, представленные в диссертации, являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть применены в теории инвариантов передуктивных групп; они могут представлять интерес для специалистов Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, Санкт-Петербургского государственного университета, Самарского государственного университета и Математического института им. В.Л. Стеклова РАМ и Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стек-лова РАН.

Апробация результатов. Основные результаты исследований по теме диссертации докладываяись на научных семинарах кафедры алгебры и геометрии Самарского государственного университета (рук. проф. В.Е. Воскресенский), па Санкт-Петербургском алгебраическом семинаре им. Д.К. Фаддее-ва ПОМИ им. В.А. Стеклова. (рук. проф. A.B. Яковлев), на семинаре "Алгеб-

раичсские группы" кафедры высшей алгебры и теории чисел Санкт-Петербургского государственного университета (рук. проф. H.A. Вавилов), на Международной конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 80-лстию В.Е. Воскресенского (2007, Самара), на Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Д.К. Фадеева (2007, Санкт-Петербург), на Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора А.Г. Куроша (2008, Москва), па Летней школе-конференции "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов" (2009, Самара), на Международной алгебраической конференции, посвященной 70-летию A.B. Яковлева (2010, Санкт-Петербург), па Второй школе-конференции "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов" (2011, Москва).

Публикация результатов. Основные результаты исследований отражены в работах 1-8. Статьи 1-3 опубликовань; в журналах, входящих в перечень рецензируемых научных журналов и изданий. В работе 1 соискателю принадлежат доказательства теорем и предложений, а соавтору — формулировки теорем, постановка задач и выбор методов решений.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка используемой литературы, содержащего 46 наименований. Первая глава состоит из 5 параграфов, вторая и третья — из 4 и 2 параграфов соответственно. Общий объем диссертации 105 страниц.

Содержание диссертации

Во введении излагается история вопроса, обосновывается актуальность диссертационной работы, формулируются цели и задачи работы и дастся обзор используемых методов и основных результатов диссертации.

В главе 1 получено полное описание поля инвариантов присоединенного действия уиинотептной группы в нильрадикале параболической подалгебры. Основные результаты главы сформулированы в теоремах 3, 4 и 5.

Пусть К — алгебраически замкнутое поле нулевой характеристики. Обозначим через G группу GL(n, К). Пусть Б (соответственно N) — ее борелев-ская (соответственно максимальная унипотентная) подгруппа треугольных матриц с ненулевыми элементами па диагонали (соответственно с единичными элементами по диагонали). Зафиксируем параболическую подгруппу Р, содержащую В. Обозначим через р, п подалгебры Ли в gl (п, К), соответствую-

щис подгруппам Ли Р, N. Представим параболическую подалгебру р в виде р = m ф г, где m — нильрадикал, а г — редуктивная подалгебра. Пусть размеры диагональных блоков в г равны (п, гг, ■ • •, rs), п = гг + тч +... + rs.

Определено присоединенное действие на подалгебре m группы N:

Adsx = дхд~\ х € m, д Е N.

Продолжим это действие до представления группы N в алгебре К[т] и поле К( т):

AdJ(x) = /(д-'хд), J(x) е К(т), д £ N.

Настоящая работа посвящена изучению структур алгебры ипвариантов'7<'[т]АГ и поля инвариантов J<"(m)w.

В параграфе 1 мы строим систему основных инвариантов и доказываем их алгебраическую независимость. Конструкция этой системы инвариантов базируется на следующих определениях. Через Д обозначим систему корней, определенную по максимальному тору n G, состоящему из диагональных матриц, а через Д+ и Д* — соответственно систему всех положительных корней и подсистему корней в Д+, соответствующую редуктивной подалгебре г. Мы отождествляем положительный корень 7 = е, — £j с парой (i,j) и множество положительных корней Д+ с множеством всех пар (i,j). Будем использовать также обозна1 iciihc Е^ для базисного элемента 23; j, если 7 = (г, j). Мы определяем отношение в Д+:

7' >- 7, если 7' — 7 £ Д+.

Пусть 7' V 7 или 7' -< 7, назовем корпи 7 и 7' сравнимыми. Обозначим через М множество корней 7 £ Д+, для которых 237 € т. Будем отождествлять алгебру с алгеброй многочленов от переменных Xij, (i,j) € М.

Определение. Подмножество S в М будем называть базой, если элементы S попарно не сравнимы и для любого 7 6 М \ S существует £ € S, такой, что у У С Заметим, что М имеет единственную базу S.

Упорядоченный набор положительных корней {71,..., 7„} будем называть цепочкой, если 71 = (аьа2), 72 = («2,аз), 7з = (03,01) и т.д.

Определение. Будем говорить, что два корня Ц' 6 S образуют допустимую пару q — (£,£')> если существует корень aq G Д|, такой, что корни {£><*<?>£'} образуют цепочку. Заметим, что aq находится по q однозначно.

По каждой допустимой парс q = (£, £') построим положительный корень <pq = а?+£'. Рассмотрим подмножество Ф = : q € Q}. Назовем множество корней S U Ф расширенной базой. По каждому корню из расширенной базы мы будем строить iV-инвариант. А именно, обозначим через X формальную матрицу, в которой па местах (г, j) е М стоят переменные Xij, а остальные элементы равны пулю. Для любого 7 = (п,Ь) £ М пусть Sy — множество тех £ = (i,j) в S, для которых г > а и j < b. Пусть 57 = {(ai, bi),..., (a^, b^)}. Для каждого корпя 7 GS мы определяем Л^ипвариантпый минор М7 = Xj матрицы X с упорядоченными системами строк / и столбцов J, где / = ord{a,ai,..., а^}, J = ord{&),..., i>}. По каждому ip 6 Ф, соответствующему допустимой паре q = (£,£'), строим ЛА-инвариаит

= ^ Mi+a,Ma2+('. о,,а2е д|и{0}

0i+02=a,

Предложение 1. Для произвольной параболической подалгебры система многочленов {Мj, (ES; уз S Ф} содероюится в алгебре /ifrnj^ и алгебраически, независим,а над К.

Параграф 2 посвящен альтернативному определению инварианта где ip £ Ф. Пусть / и /' — наборы номеров строк и J и J' — наборы номеров столбцов (наборы образованы идущими подряд натуральными числами), причем шах / < minJ' ^ min/' и maxJ' ^ max/' < min J. Предположим, что миноры Xf и Xji окаймлены нулями снизу и слева в матрица X. Пусть

|7| + |/'| = 1Л + |/|.

Назовем следующий определитель смешанным, минором,:

Х-7'

lÄ J/

0 X/,

Предложение 2. Смешанный минор является N-инвариантом. Предположим, что уз = (г, € Ф соответствует допустимой паре (£,£')> а и Ь — номера строк, в которых лежат корпи £ и £' соответственно, а р и <7 — количество корней соответственно в ¿"¡г и Обозначим

/ = {а,а+ 1,... ,а + р}, = {.7 - - <7 + 1,. • •, Л, /' = {Ь + 1, Ь + 2,..., Ь + <?}, / = {г - р, г - р + 1..., г - 1}.

Мы доказываем, что Ь1р совпадает со смешанным минором О/^ . Обозначим через У подмножество в ш, состоящее из матриц вида

где с^ ф 0, с'у ф 0. Будем называть матрицы из У каноническими.

Теорема 3. Существует непустое открытое по Зарискому подмножество I/ С т такое, что N-орбита любого х € V пересекает У в единственной точке.

Доказательству этой теоремы посвящены'параграфы 3-5 первой главы.

Пусть теперь 5 — множество знаменателей, порожденное минорами £ € 5. Образуем локализацию алгебры Л"[т] по 5. Поскольку миноры

М^ являются /^-инвариантами, то ^[т]^ = (/С[т]5)Л'.

Теорема 4. Кольцо является кольцом многочленов от М^ и Ь9,

где £ е 5 и <р € Ф.

Теорема 5. Поле инвариантов К(т)ы поле рациональных функций от £ € Б, и ц> е Ф.

Следствие 6. Максимальная размерность N-орбиты в ш равна

Выпишем все корни обобщенной базы: Б = {£ь... Ф = {<ри ..., <рч}. Рассмотрим отображение -ш : ш —* Кр+Я, действующее по правилу

Введем на обобщенной базе отношение частичного порядка <, для которого (а,Ь) < (с,(1), если а > с и Ь < (I. Пусть (сь,... ... 6 с(ш).

Для а е Я обозначим через са число П с/?! гДе произведение берется по всем корням /3 € 5, таким, что (3 < а и (3 — максимальный корень в смысле порядка <. Пусть II С т — непустое открытое по Зарискому множество из условия теоремы 3. Мы можем явно выписать канонический представитель //-орбиты любой матрицы из и.

Следствие 7. Пусть х € II и то(х) = (с^,...,с^,сп,... Канонический представитель N-орбиты элемента х имеет следующий вид:

сПтт- |5| - |Ф|.

х ь-»

[мь (х),..., Мф), Ь^х),..., ¿V,») •

где у?] £ Ф ппотпр.тг.твувт допустимой парк (т^.т]).

В главе 2 предлагается конструкция, позволяющая строить некоторые /^-инвариантные многочлены, дополнительные к построенным по обобщенной базе инвариантам. Мы показываем, что в ряде случаев эти дополнительные инварианты порождают алгебру инвариантов. Основные результаты настоящей главы — теоремы 8, 9 и 10.

В параграфе 1 мы приводим описание алгебры инвариантов в случае, когда редуктивпая подалгебра в р образована двумя блоками, а именно, показываем, что алгебра инвариантов — свободная алгебра с образующими £ £ 5. Этот результат не является новым и может быть выведен, например, из работы М. Бриона15. В параграфе 2 мы выписываем дополнительную серию /У-инвариаптов, которые не содержатся в алгебре, порожденной многочленами М^ и Ьу, где. £ € 5 и <р € Ф.

Пусть р — произвольная параболическая подалгебра. Для произвольного корня (г,.?) из обобщенной базы обозначим

Пусть теперь корни (т, г), (1,1), (тп,]) из Ф, (1^) е 5 и Ф, причем г < j и т < I, и корень (т, г) соответствует допустимой паре (£,£')• Предположим I = т + 1, в этом случае обозначим

Теперь предположим, что не существует номера к (ттг < к < I), такого, что (г, к) лежит в обобщенной базе, обозначим

15Brion M. Representations exceptionnelle« des groups semi-simple. Aim. Scient.. Ее. Norm. Sup., v. 18, 1985, p. 345-387.

¿(¿¿), если (г,;) б Ф;

М(01,;) • М^), если (г,€ 5 и существует число а, такое, что

(а, г) £

В силу алгебраической независимости М^ и Ь^ инварианты А1^, В71п ¡, С,'( не содержатся в алгебре К[М(, Ь^^з^еФ-

Теорема 8. А)^, В,п1,Сявляются многочленами на т и инвариантны относительно присоединенного действия N.

Пусть а и Ь — номера строк, в которых лежат корпи £ и соответственно, р ид — количество корней во множествах и соответственно. Тогда, взяв в качестве множеств

/ = [а,а + 1,... ,а + р), J = & - д,з + Г = {6 + 2,6 + 3,.. + 7' = {т -р + 1,т -р + 2... ,т - 1},

з з'

мы показываем, что инвариант С,1п совпадает со смешанным минором О^,.

В параграфе 3 мы рассматриваем случай параболической подалгебры, редуктивная часть которой состоит из трех блоков размерами (2, к, 2), где к > 3. Обобщенная база в этом случае состоит из корней & £ ^ 6 Ф, г = 1,... ,4, где

6 = (1,4), 6 = (2,3), й = (* + 1,Л + 4), & = {к + 2,к + 3),

<Р1 = (3,к + 3), <Р2 = (3, /с + 4), ^з = (4,А + 3), щ = (4, /с + 4).

Мы показываем, что инвариантов М^ и L^Pi не достаточно, чтобы образовать алгебру инвариантов, и доказываем теорему 9.

Теорема 9. Для. параболической подалгебры, редуктивная часть которой состоит из трех блоков размерами (2, к, 2), к > 3, алгебра инвариантов порождается многочленами Ь9 (£ € Я, <р € Ф) и элементом

Сз - —щЖГ~- (2)

Следствие 10. Алгебра инвариантов /^[ш]^ в случае (2, к, 2), к > 3, изоморфна фактор-алгебре

к[хи х2, х3, х4, у, у2, Уз, Уь г]/(х2х4г - у2у3 + угу4).

Параграф 4 посвящен изучению случая, когда редуктивная подалгебра г образована блоками (1,2,2,1). Обобщенная база образована корнями & € 5, г = 1,...,4, ^ € Ф, = 1,2, где

6 = (1,2), 6 = (3,4), & = (2,5), = (5,6), VI = (2,4), р2= (4,6).

Здесь мы также показываем, что инвариантов М^ и Ь^ недостаточно, чтобы образовать алгебру инвариантов Обозначим В ~ (Х3)^.

Теорема 11. В случае. (1,2,2,1) алгебра инвариантов порожда-

ется инвариантами М^ и Ь^, где г = 1,..., 4 и j = 1,2, и элементом О.

Кроме того, в параграфе 4 мы получаем соотношение, связывающее О и инварианты из основной серии:

МьО = М(, МьМь. (3)

Следствие 12. Алгебра инвариантов в случае, (1,2,2,1) изоморф-

на фактор-алгебре

К[ХиХ2, х3, УиУ2, гу{Х2г - У1У2 + ВДЛ).

В главе 3 мы изучаем два вопроса о структуре алгебры инвариантов /('[т]^: является ли алгебра инвариантов конечно порожденной и будет ли она свободной. Найдены достаточные условия для того, чтобы алгебра инвариантов не являлась свободной. Теоремы 13, 14 и 15 содержат результаты главы 3.

В параграфе 1 мы показываем конечную порожденность алгебры инвариантов для частного случая параболических подалгебр.

Теорема 13. Пусть размеры диагональных блоков (г\,г2,...,гя) в подалгебре г монотонно возрастают (убывают). Тогда алгебра инвариантов /^[т]^ является конечно порожденной.

Параболическую группу Р можно представить в виде полупрямого произведения подгруппы Леви Ь и унииотентного радикала ДПусть Л^ — максимальная уиипотептная подгруппа в Ь. Тогда N можно представить как полупрямое произведение ЛГГ и Им- Заметим, что алгебра инвариантов относительно присоединенного действия группы Л^ конечно порождена в силу результата Хаджиева5. Поэтому вопрос о конечной порожденное™ алгебры инвариантов относительно действия группы N удастся свести к вопросу о конечной порожденное™ алгебры инвариантов относительно присоединенного действия группы АГ^, что мы и делаем, попутно указывая алгебраически независимые образующие алгебры /^[ш]^.

В параграфе 2 поднимается вопрос о свободности алгебры инвариантов К[т]ы. Если параболическая группа Р совпадает с борелевской В или если

редуктивпая подалгебра г состоит из двух блоков, алгебра инвариантов является свободной. Мы показываем, что это верно далеко не всегда, а именно, для довольно большого класса параболических подалгебр не свободна.

Здесь мы опираемся на результаты 3 и 4 параграфов второй главы.

Теорема 14. Пусть параболическая группа Р такая, что существует номер к, для которого Гк-\ > 1, г> > 2, \ > 1. Тогда алгебра инвариантов /^[т]^ не является свободной.

Теорема 15. Пусть для некоторого номера к, 1 < к < в — 1, выполняется Тк — гк+\ — 2. Тогда алгебра инвариантов /^[т]^ не является свободной.

Доказательства теорем 14 и 15 проводятся от противного. Предполагая существование системы И, состоящей из алгебраически независимых образующих, мы показываем, что в список Ы можно включить все инварианты М^, £ 6 5, и € Ф, степени которых не выше третьей. Далее, опираясь

на соотношения (2) и (3) для теорем 9 и 11 соответственно, получаем алгебраическую зависимость элементов из системы Н.

Публикации автора по теме диссертации

Статьи в рецензируемых журналах и изданиях:

1. Панов, А.Н., Ссвостьянова, В.В. Регулярные ^-орбиты в нильрадикале параболической подгшгебры // Труды международной конференции но алгебре и теории чисел, посвященной 80-летию В.Е. Воскресенского. Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. №7 (57). 2007. С. 152-161.

2. Ссвостьянова, В.В. Поле инвариантов присоединенного действия уни-треугольной группы в нильрадикале параболической подалгебры // Зап. науч. семин. ПОМИ. Вопросы теории представлений алгебр и групп. Т. 375. 2010. С. 167-194.

3. Ссвостьянова, В.В. Алгебра инвариантов присоединенного действия упи-треугольной группы в нильрадикале параболической подалгебры // Вест-пик СамГУ. Естественнонаучная серия. №2 (76). 2010. С. 72-83.

Другие публикации:

4. Севостьянова, В.В. Нильнотентные орбиты треугольной группы // Тезисы докладов Международной конференции но алгебре и теории чисел, посвященной 80-лстию В.Е. Воскресенского, Самара, 2007. С. 46.

5. Ссвостьянова, В.В. Adjoint orbits of the unitriangular group // Тезисы докладов Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Д.К. Фаддссва, Санкт-Петербург, 2007. С. 157-158.

6. Ссвостьянова, В.В. Регулярные Л^-орбиты в нильрадикале параболической подалгебры // Тезисы докладов Международной алгебраической конференции, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша. М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2008. С. 208209.

7. Севостьянова, В.В. Поле инвариантов присоединенного представления унитрсугольной группы // Тезисы докладов летней школы-копфереп-ции "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов", Самара, 2009. С. 44-45.

8. Севостьянова, В.В. Поле и алгебра инвариантов присоединенного представления упитреугольиой группы в нильрадикале параболической подалгебры // Тезисы докладов Второй школы-конференции "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов", Москва, 2011. С. 60-61.

Подписано к печати 07.02.12. Формат 60x84 'А . Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л, 1,00. Тираж 100 экз. Заказ 5364.

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета С ПО ГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-4043, 428-6919 .

61 12-1/664

ГОУ ВПО Самарский государственный университет м ехан и ко-м атем ати ч ее к и й ф акул ьтет

На правах рукописи

Севостьянова Виктория Владимировна

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ИНВАРИАНТЫ УНИТРЕУГОЛЬНОЙ ГРУППЫ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-матсматичсских наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук Панов Александр Николаевич

Санкт-Петербург — 2011

Содержание

Введение..................................................................3

Глава 1. Поле инвариантов присоединенного действия уни-треугольной группы на нильрадикале параболической

подалгебры........................................................15

1.1. Основные определения........................................16

1.2. Другое определение инварианта Ь^..........................22

1.3. Вспомогательные утверждения о строении обобщенной базы 29

1.4. Система корней Т и главные миноры........................34

1.5. Канонические матрицы на А-орбитах общего положения . 45 Глава 2. Алгебра инвариантов присоединенного действия

унитреугольной группы на нильрадикале параболической подалгебры..............................................61

2.1. Алгебра инвариантов в случае двух блоков..................62

2.2. Дополнительная серия А-инвариантов......................64

2.3. Алгебра инвариантов в случае (2, к, 2) ......................72

2.4. Алгебра инвариантов в случае (1, 2, 2,1) ....................81

Глава 3. Структурные вопросы алгебры инвариантов .... 90

3.1. Конечная порождённость алгебры инвариантов............90

3.2. Свободность алгебры инвариантов............................93

Список литературы..........................102

Введение

Теория инвариантов сформировалась как самостоятельная алгебраическая дисциплина почти два века назад под влиянием ряда задач геометрии, алгебры и теории чисел. Еще в ХХ-м веке она оказала большое влияние на развитие многих разделов алгебры, таких как алгебраическая геометрия и теория представлений. В настоящее время теория инвариантов имеет обширные приложения и служит основой многих исследований в коммутативной алгебре, гомологической алгебре, теории алгебр и групп Ли, теории представлений алгебраических групп, алгебраической геометрии.

Основной задачей теории инвариантов принято считать проблему построения образующих алгебры инвариантов произвольной алгебраической группы, действующих на. аффинном алгебраическом многообразии, нахождение определяющих соотношений между этими образующими, указание канонических представителей орбит. В настоящее время, наряду с этими вопросами решаются задачи вычисления стабилизаторов, изучение алгебро-геометрических свойств самих орбит и их взаимного расположения, построение различного рода "сечений" и "факторов". Для того, чтобы явно описать все инварианты заданной алгебраической группы достаточно указать систему образующих алгебры инвариантов. Задача отыскания системы образующих произвольной группы сводится к вопросу о конечной порожденности алгебры инвариантов. В 1890 г. Гильберт доказал теорему конечности для

алгебры инвариантов действия редуктивной линейной группы (см. [Н] или обзоры [УРЦКЬрЗрЫМ]).

Для нередуктивиых линейных групп проблема конечной порождегшости алгебры инвариантов не имеет удовлетворительного решения и представляется чрезвычайно трудной. Ключевым моментом в ее решении является случай унипотентных групп. Действительно, пусть С С СЬ(У) — алгебраическая линейная группа и и — ее унипотентный радикал. Тогда если алгебра к\у]и конечно порождена, то и алгебра к[У}с конечно порождена [УР]. В 1958 г. Нагата построил [ГчГ],[Э^ 1 ] пример унипотентной группы, алгебра инвариантов которой не является конечно порожденной. Вопрос о том, является ли алгебра инвариантов для произвольной алгебраической линейной группы конечно порожденной, называется 14-й проблемой Гильберта (сам Гильберт, правда, сформулировал ее в 1900 году иначе [РН], но после появления контрпримера Нагаты она стала рассматриваться именно в такой форме). В более широкой постановке 14-ую проблему Гильберта рассматривают как проблему конечной порожденности алгебр инвариантов произвольных действий алгебраических групп на аффинных многообразиях. В этом плане интересен результат В.Л. Попова [Р], являющийся в некотором смысле обращением теоремы конечности Гильберта. Некоторые положительные результаты по 14-й проблеме Гильберта получил Гроссханс [С1]. Оказалось, что вопрос о конечной порожденности алгебры инвариантов некоторой подгруппы Н редуктивной группы С на векторном пространстве сводится к вопросу о конечной порожденности алгебры к[С/Н]. В работе [Нс1] Д.Хаджиев показывает, что когда Н — максимальная унипотентная подгруппа связной алгебраической группы С и С-алгебра конечно порождена, алгебра инвариантов действия группы Н также конечно порождена. Также можно отметить результат Вайценбёкка [V] о конечной порожденности любой одномерной унипотентной линейной группы.

Ряд положительных результатов имеется в случае, когда параболическая подгруппа Р редуктивной алгебраической группы С действует сопряжением на своем унипотеитоиом радикале и присоединенио па нильрадикале в соответствующей параболической подалгебре. В частности, Ричардсон показал (см. [Я]), что это действие имеет плотную Р-орбиту, называемую орбитой Ричардсона. Количество Р-орбит вообще говоря не является конечным, а проблема описания Р-орбит кажется очень трудной. Случай, когда Р имеет конечное множество орбит в нильрадикале, был поднят в работе Попова и Рорле [РЯ]. Для классических групп, если основное поле нулевой характеристики или характеристика хорошая, Хилле и Рорле классифицировали [ШИ],[НГ12] параболические подгруппы, имеющие конечное множество орбит на соответствующем нильрадикале. С помощью компьютера Юргенс и Рорле расширили классификацию до исключительных групп [Ж]. Более того, для параболических подгрупп в БЬ,, имеется точное описание Р-орбит [Н112], [ВН1Ш]. До настоящего времени не известно сколько-нибудь полное описание Р-орбит на нильрадикале для других классических типов. Специальный случай Р = В присоединенных орбит борелевской группы в нильпотент-ной алгебре Ли рассматривали Бюргстейн и Хесселинк [ВН]. В настоящей работе мы рассматриваем присоединенное действие максимальной унипо-тентной подгруппы в С на нильрадикале в соответствующей Р параболической подалгебре.

Здесь представляет интерес вопрос о том, как устроены классы сопряженности унипотентных групп. Над конечным полем в ряде работ рассматривались сопряженные классы группы и(д) строго верхнетреугольных матриц. Хигман и Томпсон изучали [Ы^],[Т] число классов сопряженности для группы Вера-Лопес и Арреджи показали [АУЬ], что число классов

сопряженности для п ^ 13 — многочлен от д с целыми коэффициентами. Другой подход к изучению присоединенных орбит максимальной унипотент-

ной группы состоит в том, чтобы рассматривать некоторый их класс, орбитальное многообразие, являющееся неприводимой компонентой пересечения нилыготентной орбиты и алгебры Ли строго верхиетреугольиых матриц. Орбитальные многообразия изучались в ряде работ Н.Спалтенстейна [8р1], Р.Стейнберга Э.Жозефа [Ло], Э.Бенлоло [Вп1], [Вп2], А.Мельниковой [М11],[М12] и др. В настоящей работе среди прочего мы описываем орбиты максимальной размерности присоединенного действия максимальной унипо-тентной группы в нильрадикале параболической подалгебры.

Целями настоящей работы являются изучение алгебры и поля инвариантов присоединенного действия унитреугольной группы в нильрадикале параболической подалгебры.

Основные результаты исследований отражены в работах [РБ], [81]-[87].

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка используемой литературы, содержащего 52 наименования. В каждой главе применены одна нумерация для определений, теорем, следствий, предложений, замечаний и примеров и отдельная нумерация для формул. Для нумерации диаграмм используется сквозная нумерация. Общий объем диссертации составляет 107 страниц.

Дадим краткий обзор содержания диссертации по главам.

В главе 1 получено полное описание поля инвариантов присоединенного действия унипотентной группы в нильрадикале параболической подалгебры. Основные результаты главы сформулированы в теоремах 1.5.5, 1.5.6 и 1.5.7.

Пусть К — алгебраически замкнутое поле нулевой характеристики. Обозначим через С группу СЦп, К). Пусть В (соответственно А) — ее борелев-ская (соответственно максимальная унипотентная) подгруппа треугольных матриц с ненулевыми элементами на диагонали (соответственно с единичными элементами по диагонали). Зафиксируем параболическую подгруппу Р, содержащую В. Обозначим через р, п подалгебры Ли в $1(п, К), соответ-

ствующие подгруппам Ли Р, N. Представим параболическую подалгебру р в виде р = m0r, где m — нильрадикал, а г — редуктивная подалгебра. Пусть размеры диагональных блоков в г равны (г\, 7*2,..., rs), п = г\ +Г2 + ... + rs.

Определено присоединенное действие на подалгебре m группы N:

AdyX = gxg~l, х Е m, д Е N.

Продолжим это действие до представления группы N в алгебре К\т] и поле К(т):

Adgf(x) = f{g-lxg), f(x) E K(m), g E N.

Настоящая работа посвящена изучению алгебры инвариантов K[m]N и поля инвариантов K(xn)N.

В параграфе 1 мы строим систему основных инвариантов и доказываем их алгебраическую независимость. Конструкция этой системы инвариантов базируется на следующих определениях. Через Д обозначим систему корней, определенную по максимальному тору в G, состоящему из диагональных матриц, а через Д+ и — соответственно систему всех положительных корней и подсистему корней в Д+, соответствующую редуктивной подалгебре г. Мы отождествляем положительный корень 7 = е^ — £j с парой (г, j) и множество положительных корней Д+ с множеством всех пар (i,j). Будем использовать также обозначение Е1 для базисного элемента Eij, если корень 7 = {hi)- Мы определяем отношение в Д+:

7' >- 7, если 7' — 7 €

Пусть j' у 7 или У -< 7, назовем корни 7 и 7' сравнимыми. Обозначим через М множество корней 7 Е Д+, для которых Е7 6 т. Будем отождествлять алгебру Я"[тп] с алгеброй многочленов от переменных Xij, (i,j) Е М.

Определение 1.1.1. Подмножество S в М будем называть базой, если элементы S попарно не сравнимы и для любого 7 £ M\S существует £ Е S, такой, что 7 >- Заметим, что М имеет единственную базу S.

Определение 1.1.4. Будем говорить, что два корня £ = (а, 6), = (с, d) из базы образуют допустимую пару q = (£,£')> если корень а9 = (6, с) содержится в Д+. Заметим, что находится по q однозначно.

По каждой допустимой паре <? = (£, £') построим положительный корень

= aq + Рассмотрим подмножество Ф = {(fig : q G Q}. Назовем множество корней S U Ф расширенной базой. По каждому корню из расширенной базы мы будем строить iV-инвариант. А именно, обозначим через X формальную матрицу, в которой на местах (i,j) G М стоят переменные Xij, а остальные элементы равны нулю. Для любого 7 = (а, 6) G М пусть S1 — множество тех £ = (i,j) в 5, для которых i > а и j < Ъ. Пусть 57 = {(ai, &i), • ■ •, (tt/c, Для каждого корня 7 G 5 мы определяем А/"-ин-вариантный минор М7 = X'/ матрицы X с упорядоченными системами строк / и столбцов J, где / = ord{a, аь ..., а/J, J = ord{&i,..., bk, b}. По каждому ip G Ф, соответствующему допустимой паре q = (£,£'), строим Af-инвариант

аьа2еД+ U{0} Oj +0:2=07,

Теорема 1.1.9. Для произвольной параболической подалгебры система многочленов {М£ G 5; L«^, </? G Ф} содержится в алгебре и ал-

гебраически независима над К.

Параграф 2 посвящен альтернативному определению инварианта L^, где (р G Ф. Пусть / и /' — наборы номеров строк и J и J' — наборы номеров столбцов (наборы образованы идущими подряд натуральными числами), причем та х/ < min J' ^ min/' и max J' ^ max/' < min J. Предположим,

что миноры Xj' и X'/, окаймлены нулями снизу и слева в матрице X. Пусть

|/| + |/'| = |J| + |J'|.

Назовем следующий определитель смешанным минором:

X/' (X2)/

0 X/,

/J'

Лемма 1.2.2. Смешанный минор Оур является N-инвариантом.

Предположим, что = {ьз) £ Ф соответствует допустимой паре (£, £'), аиЬ — номера строк, в которых лежат корни £ и соответственно, а р и д — количество корней соответственно в и Обозначим

I = {а,а+ 1,...,а + р}, 3 = {з ~ Я, 3 ~ Ч + ■ ■ ■, з),

/' = {6 + 1, 6 + 2,..., 6 + д}, 7' = {г - р, г - р + 1..., г - 1}.

Мы доказываем, что совпадает со смешанным минором • Обозначим через У подмножество в т, состоящее из матриц вида

с'рЕц»

(,€3 ^е Ф

где ф 0, с^, ф- 0. Будем называть матрицы из У каноническими.

Теорема 1.5.5. Существует непустое открытое по Зарискому подмножество и С т такое, что N-орбита любого х Е II пересекает У в единственной точке.

Доказательству этой теоремы посвящены параграфы 3—5 первой главы. Пусть теперь £ — множество знаменателей, порожденное минорами М^, £ Е 5. Образуем локализацию Я^т^ алгебры К[т] по Поскольку миноры М$ являются ^-инвариантами, то [т]^ = (Х[ш]5)ЛГ.

Теорема 1.5.6. Кольцо [ш]^ является кольцом многочленов от и Ь^, где £ Е 5 и <р Е Ф.

Теорема 1.5.7. Поле инвариантов К(т)^ поле рациональных функций от М^, ( е 5, и Ьр, (р Е Ф.

Следствие 1.5.8. Максимальная размерность N-орбиты в ш равна

сПтт - |£| - |Ф|.

Выпишем все корни обобщенной базы: 5 = {£ь ..., Ф = {<£>1, ..., (рд}. Рассмотрим отображение ш : т —> Кр+<1, действующее по правилу

Введем на обобщенной базе отношение частичного порядка <, для которого (а, Ь) < (с, о?), если а > с и Ь < д. Пусть (с^,..., с^,..., с^) € ти(т). Для а Е Б обозначим через са число где произведение берется по всем

корням (3 Е 5, таким, что ¡3 < а и /3 — максимальный корень в смысле порядка <. Пусть 17 С т — непустое открытое по Зарискому множество из условия теоремы 1.5.5. Мы можем явно выписать канонический представитель А^-орбиты любой матрицы из II.

Следствие 1.5.9. Пусть х Е V и т(х) = (с^,..., с^,..., с^ ). Канонический представитель N-орбиты элемента х имеет следующий вид:

где (Р'1 Е Ф соответствует допустимой паре (т^Т?-)'

В главе 2 предлагается конструкция, позволяющая строить некоторые ЛГ-инвариантные многочлены, дополнительные к построенным по обобщенной базе инвариантам. Мы показываем, что в ряде случаев эти дополнительные инварианты порождают алгебру инвариантов. Основные результаты настоящей главы — теоремы 0.1, 2.3.1 и 2.4.2.

В параграфе 1 мы приводим описание алгебры инвариантов в случае, когда редуктивная подалгебра в р образована двумя блоками, а именно, показываем, что алгебра инвариантов — свободная алгебра с образующими

( 6 5. Этот результат не является новым и может быть найден, например, в работе [Вг]. В параграфе 2 мы выписываем дополнительную серию ЛГ-иивариа.итов, которые не содержатся в алгебре, порожденной многочленами М^ и Ьр, где £ Е 5 и <р Е Ф.

Пусть р — произвольная параболическая подалгебра. Для произвольного корня (г,]) из обобщенной базы обозначим

_ I если (г,з) Е Ф;

I ^ • если (г,^) Е 5 и существует число а, такое, что

(а, г) Е б1.

Пусть теперь корни (т,г), (/,г), (т, 7) из Ф, (1^) Е и Ф, причем г < ] и т < /, и корень (т, г) соответствует допустимой паре (£, £'). Предположим I = т + 1, в этом случае обозначим

Теперь предположим, что не существует номера к (т < к < /), такого, что (г, к) лежит в обобщенной базе, обозначим

BmJ = С, г, =

Щ'

Lm+\,iLmj Lmj-\jljr

В силу алгебраической независимости Мс и L^ инварианты В^^С^ не содержатся в алгебре L^^s^eф- Из предложений 2.2.5 и 2.2.6 следует

следующая теорема.

Теорема 0.1. Api, С.г'п являются многочленами на m и инвариантны относительно присоединенного действия N.

Пусть а и b — номера строк, в которых лежат корни £ и соответственно, pnq — количество корней во множествах и Sg соответственно. Тогда, взяв

в качестве множеств

I = (а, а + 1,... , а + р}, 3 = {] - д,з - д + 1,... ,.?'}, Г = {6 + 2,6 + 3, ...,6 + 9}, 3' = {т-р + 1,т-р + 2...,т- 1},

мы показываем, что инвариант С}п совпадает со смешанным минором .

В параграфе 3 мы рассматриваем случай параболической подалгебры, редуктивная часть которой состоит из трех блоков размерами (2, к, 2), где к > 3. Обобщенная база в этом случае состоит из корней ^ Е (р{ Е Ф, г = 1,... ,4, где

6 = (М), 6 = (2,3), £з = (* + 1,А: + 4), & = {к + 2, к + 3),

<Р1 = (3,/с + 3), = (3, к + 4), = (4, /с + 3), </?4 = (4, к + 4).

Мы показываем, что инвариантов М^ и Ь^ не достаточно, чтобы образовать алгебру инвариантов.

Теорема 2.3.1. Для параболической подалгебры, редуктивная часть которой состоит из трех блоков размерами (2, /с, 2), к > 3, алгебра инвариантов /^[т]^ порождается многочленами Ь^ (£ Е 5, </? Е Ф) и элементом

3 " л^

Следствие 2.3.2. Алгебра инвариантов К[т]ы в случае (2,/с, 2), к > 3, изоморфна фактор-алгебре

К[ХиХ2, Х3, Х4, Уь У2, У3, У4, - У2У3 + У^).

Параграф 4 посвящен изучению случая, когда редуктивная подалгебра г образована блоками (1,2,2,1). Обобщенная база образована корнями

& Е 5, г = 1,...,4, щ Е Ф, з = 1,2, где

6 = (1,2), 6 = (3,4), & = (2,5), £4 = (5,6), = (2,4), (р2 = (4,6).

12

2

Здесь мы также показываем, что инвариантов М^. и Ь(р1 не достаточно, чтобы образовать алгебру инвариантов К[т]м. Обозначим I) = (X3)®.

Теорема 2.4.2. В случае (1,2,2,1) алгебра инвариантов ^[ш]^ порождается инвариантами М^ и Ь^ , где г = 1,... ,4 и ] = 1,2, и элементом Б.

Кроме того, в параграфе 4 мы получаем соотношение, связывающее И и инварианты из основной серии:

= - (3)

Следствие 2.4.3. Алгебра инвариантов в случае (1,2,2,1) изо-

морфна фактор-алгебре

К[ХЪХ2, х4, уь у2, г\/{х2г - те + хххъхА).

В главе 3 мы изучаем два вопроса о структуре алгебры инвариантов К[хп]м\ является ли алгебра инвариантов конечно порожденной и будет ли он