Автоморфизмы конечномерных алгебр и аффинных многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова»

На правах рукописи УДК 512.745

Перепечко Александр Юрьевич

Автоморфизмы конечномерных алгебр

и аффинных многообразий

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

13 кчН ,;;14

Москва - 2013

005546047

005546047

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет имели М.В. Ломоносова».

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Аржанцев Иван Владимирович,

доктор физико-математических наук, профессор

Гордеев Николай Леонидович

доктор физико-математических наук, профессор (ФГБОУ ВПО Российский государственный педагогический университет им. А.И. Герцена) Смирнов Евгений Юрьевич кандидат физико-математических наук, доцент (ФГАОУ ВПО Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»)

ФГБУН Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения РАН

Защита диссертации состоится 28 марта 2014 г. в 16 ч. 45 м. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84, созданного на базе ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова», по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д.1, ФГБОУ ВПО МГУ имени М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке ФГБОУ ВПО МГУ имени М.В. Ломоносова по адресу: Москва, Ломоносовский проспект, д.27, сектор А.

Автореферат разослан 28 февраля 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Д.501.001.84, созданного на базе //> л ,

ФГБОУ ВПО МГУ имени М.В. Ломоносова, /ЪЖМУ доктор физико-математических наук,

профессор Иванов Александр Олегович

Общая характеристика работы Актуальность темы

Диссертация посвящена группам автоморфизмов конечномерных алгебр и аффинных многообразий.

Зарождение понятия группы автоморфизмов произошло в конце 1860-х годов, когда Феликс Клейн и Софус Ли провели совместное исследование «геометрических и аналитических объектов, которые переходят в себя под действием групп преобразований». Клейн был сосредоточен на дискретных группах, а Ли изучал непрерывные группы преобразований. Комплексные линейные алгебраические группы являются наиболее изучаемым семейством групп Ли. В 1940-х годах Клод Шевалле дополнил и обобщил методы теории групп и алгебр Ли. Наконец, после работ Бореля и Колчина теория линейных алгебраических групп приобрела упорядоченный вид.

Другим направлением исследований, порождённых работами Ли, стало изучение бесконечномерных групп преобразований. В первую очередь, бесконечномерные группы возникают при изучении преобразований дифференцируемых, комплексно-аналитических и алгебраических многообразий.

Аффинные алгебраические многообразия изучаются с середины XIX века. Теоремы Гильберта о базисе и о нулях связали аффинные многообразия с коммутативной алгеброй. В начале XX века итальянская школа алгебраической геометрии занималась вопросами классификации алгебраических многообразий. Её наиболее яркие представители — это Кастельнуово, Эн-риквес, Бертини, Севери, дель Пеццо, Сегре, Веронезе, Фано и другие. Ван дер Варден, Вейль и Зарисский разработали основы алгебраической геометрии в терминах идеалов и дискретных нормирований. В начале второй половины XX века Серр и Гротендик переработали их в терминах пучков и схем.

В диссертации исследуются актуальные вопросы из различных областей:

• Автоморфизмы конечномерных алгебр. Эту область исследовали и исследуют такие известные математики, как Джекобсон, Кошуль и другие. Во-первых, мы отметим исследование Гордеевым и Поповым соответствия между группами автоморфизмов конечномерных алгебр и аффинными алгебраическими группами. Во-вторых, в 1980-х годах С. Гальперин выдвинул гипотезу о спектральной последовательности Серра и предложил её вариацию о разрешимости группы автомор-

физмов конечномерной алгебры. Эти гипотезы изучаются в работах X. Крафта и К. Прочези1, Люптона, Маркла, Аманна и ряде других.

• Теория особенностей. Изолированные особенности комплексно-аналитических многообразий являются классическим объектом математики, они изучались Маниным, Милнором и многими другими. В частности, для гиперповерхностей Мазер и Яу2 установили соответствие изолированных особенностей и их алгебр модулей, также Яу3 доказал разрешимость алгебр дифференцирований алгебр модулей, названных позже алгебрами Яу. Алгебры Яу простых особенностей были изучены в работе Элашвили и Химшиашвили4.

• Автоморфизмы аффинных многообразий. Структурная теорема о группе автоморфизмов аффинной плоскости была получена впервые получена Юнгом и обобщена Ван дер Кульком на поля положительной характеристики. В дальнейшем различные доказательства этой теоремы появлялись в работах Абьянкара и Мо, Гурвида, Макар-Лиманова, Нагаты, Шафаревича и других. Более сильный результат об амальгамированном произведении также называется теоремой Шафаревича-Нагаты-Камбаяши. Аналогичные теоремы доказывались для других поверхностей Гизатуллиным, Аржанцевым и Зайденбергом, Коваленко. Действия однопараметрических унипотентных групп исследовались в работах Макар-Лиманова, Дерксена, Винкельманна, Фройден-бурга. Наконец, в работе Аржанцева, Зайденберга, Калимана, Кутче-бауха и Фленнера5 была введена подгруппа специальных автоморфизмов и изучалась бесконечная транзитивность действия этой группы на аффинном многообразии.

lH. Kraft, С. Procesi, Graded morphisms of G-modules, Annales do l'institut Fourier 37 (1987), no. 4, 161-166.

2J. Mather, S. S.-T. Yau, Classification of isolated hypersurface singularities by their moduli algebras, Inventiones Mathematicae 69 (1982), 243-251.

3S. S.-T. Yau, Solvability of Lie algebras arising from isolated singularities and nonisolatcdness of singularities defined by sl(2, C) invariant polynomials, American Journal of Mathematics 113 (1991), no. 5, 773-778.

4A. Elashvili, G. Khimshiashvili, Lie Algebras of Simple Hypersurface Singularities, Journal of

Lie Theory 16 (2006), 621-649.

6I.V. Arzhantsev, H. Flenner, S. Kaliman, F. Kutzschcbauch, and M. Zaidenberg, Flexible varieties and automorphism groups, Duke Mathematical Journal 162 (2013), no. 4, 767-823.

Цель работы

Изучение автоморфизмов конечомерных алгебр и аффинных многообразий. Перед автором стояли следующие задачи:

• Исследовать вопрос представимости произвольного аффинного алгебраического моноида в качестве моноида эндоморфизмов конечномерной алгебры.

• Изучить, при каких условиях группа автоморфизмов конечномерной алгебры разрешима.

• Найти семейства аффинных многообразий, обладающих свойством гибкости.

Научная новизна

Представленные в диссертации результаты являются новыми, полученными автором самостоятельно. Основные результаты диссертации следующие:

• предъявлена явная конструкция, реализующая произвольный аффинный алгебраический моноид в качестве моноида эндоморфизмов конечномерной алгебры;

• получен признак разрешимости связной компоненты единицы группы автоморфизмов конечномерной коммутативной алгебры, получена полная характеризация экстремальных алгебр с неразрешимой группой автоморфизмов;

• доказана гибкость аффинных конусов над поверхностями дель Пеццо степени 4 и 5.

Основные методы исследования

В диссертации используются методы алгебраической геометрии, теории представлений, теории алгебраических групп преобразований и алгебраической теории локально нильпотентных дифференцирований.

Теоретическая и практическая ценность работы

Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты могут быть полезны специалистам в теории алгебраических групп, теории инвариантов, алгебраической геометрии и теории особенностей.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах

(1) семинар «Группы Ли и теория инвариантов» кафедры высшей алгебры Механико-математического факультета МГУ (2010-2013, неоднократно);

(2) семинар «Бесконечномерные алгебраические группы» кафедры высшей алгебры Механико-математического факультета МГУ (2013);

(3) семинар «Algebra and geometry» под руководством профессора X. Крафта, университет Базеля, Швейцария (2013);

а также на всероссийских и международных конференциях

(1) Летняя школа-конференция «Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов», Самара, 8-15 июня 2009;

(2) Конференция «Мальцевские чтения», Новосибирск, 2-6 мая 2010;

(3) Вторая школа-конференция «Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов», Москва. 31 января - 05 февраля 2011;

(4) Школа-конференция «Swiss-French workshop on algebraic geometry», Энней, Швейцария, 20-24 февраля 2012;

(5) Международная конференция «Алгебра и геометрия», приуроченная к 65-летию Аскольда Хованского, Москва, 4-9 июня 2012;

(6) Третья школа-конференция «Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов», Тольятти, 24 июня - 1 июля 2012.

Публикации

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в трёх работах, список которых приводится в конце автореферата [1-3].

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, 3 глав и списка литературы. Общий объём диссертации составляет 63 страницы. Список литературы содержит 42 наименования.

Краткое содержание работы

Во введении изложена история вопроса, показана актуальность темы, сформулированы основные результаты. Также описаны краткое содержание и структура диссертации.

Первая глава

В первой главе изучается связь между эндоморфизмами конечномерных алгебр и линейными алгебраическими моноидами.

Хорошо известно, что группа автоморфизмов конечномерной алгебры А является аффинной алгебраической группой, а именно изоморфна замкнутой но Зарисскому подгруппе общей линейной группы GL(A). Возникает естественный вопрос, верно ли обратное утверждение, т.е. верно ли, что любая аффинная алгебраическая группа может быть реализована как группа автоморфизмов конечномерной (возможно, некоммутативной и неассоциативной) алгебры. Н.Л. Гордеев и B.J1. Попов6 рассматривали эту задачу над произвольным полем достаточно большого порядка. В частном случае алгебраически замкнутого поля результат Гордеева и Попова формулируется так:

Теорема (Гордеев-Попов). Пусть К — алгебраически замкнутое поле. Тогда для любой аффинной алгебраической группы G над К найдется такая простая конечномерная К-алгебра А, что G изоморфна группе К-автоморфизмов Aut А.

В диссертации рассматривается аналогичная проблема для аффинных алгебраических моноидов.

В первом разделе вводятся определения, формулируется основной результат, приводится план доказательства и разбираются примеры моноидов эндоморфизмов алгебр. Основным результатом является реализация произвольного аффинного алгебраического моноида M как моноида эндоморфизмов некоторой конечномерной алгебры Л, дающая следующую теорему:

Теорема 1.1.1. Пусть К — алгебраически замкнутое поле. Для всякого аффинного алгебраического моноида M над К существует такая конечномерная алгебра А над К, что

End(.A) = M U {¿},

6N.L. Gordeev and V.L. Popov, Automorphism groups of finite dimensional simple algebras, Annals of Mathematics 158 (2003), 1041-1065.

где пулевой элемент 3 образует изолированную компоненту алгебраического моноида End(yl).

Здесь возникают следующие два отличия от результата Гордеева-Попова. Во-первых, мы не можем требовать, чтобы алгебра А была простой, поскольку ядро всякого эндоморфизма является идеалом А. Во-вторых, моноид End (Л) всегда содержит нулевой элемент 3 е End(A), т.е. 3(<z) = 0 для любого а G А, в то время как М может не содержать нуля.

Доказательство осуществляется в два этапа. На первом этапе мы для каждого конечномерного пространства U и подпространства S в L(СО-модуле специального вида строим такую конечномерную алгебру А, что End (Л) = L(i/)s U {}}, где L(U)s обозначает нормализатор S в моноиде L({/) линейных операторов на U. При этом мы отказались от большей части техники, использованной при доказательстве теоремы Гордеева-Попова, напрямую построив таблицу умножения алгебры. На втором этапе, следуя доказательству Гордеева и Попова, мы представляем произвольный аффинный алгебраический моноид М в виде L(U)s для подходящих U и 5.

Во втором разделе осуществляется первый этап доказательства, а именно определяются промежуточные алгебры A(V, S) и D(U, 5,7) Э А (V, S) следующим образом:

• Векторное пространство V есть прямая сумма пространства U, наделённого естественной структурой Ь([/)-модуля, и двумерного пространства Р = (рьрг), являющегося тривиальным Ь(£/)-модулем.

• Алгебра

A{v, s) = v © у®2 е • • • © Ver-1 © (v^/s)

является фактором тензорной алгебры V © У®2 © ... по идеалу, порождённому подпространством S С V®r.

• Наконец,

D(U, S, 7) = (е) ® (Ъ) ф (с) ®(d)®A (V, S),

где е — левая единица, каждое слагаемое прямой суммы является собственным подпространством относительно оператора умножения справа на е, таблица умножения элементов Ь, с, d задаётся некоторой константой 7 € К \ {0,1}:

Ь с в,

ь 0 с + ^уЪ 0

с —с Ь е

й VI й Р2,

а также (Ь, с, с1) ■ А(У, 5) = А(У, 5) • {Ь, с, в) = 0.

С помощью следующих предложений описана структура эндоморфизмов этих алгебр.

Предложение 1.2.1. ЦУ)В = {ст <Е Епс1(Л(У,5)) | а(У) С V}.

Предложение 1.2.3. Мы имеем

ЕпВДР,СЛЗ,7)) = Ц£/)5и{з},

где {3} — изолированная компонент,а алгебраического моноида Епй(0(Р, II, 5',7)), состоящая из нулевого элемента.

В третьем разделе осуществляется второй этап доказательства — приводится реализация произвольного аффинного алгебраического моноида в виде нормализатора Ь({/)£.

Предложение 1.3.1. Пусть М — аффинный алгебраический моноид. Найдутся такие конечномерное векторное пространство С/ и целое число г > 1, чт,о справедливо следующее. Пусть Р —двумерное векторное пространство с тривиальным Ь(Г/)-действием. Тогда Ь(и)-модуль (Рфи)®* содероюит такое линейное подпространство 5, что Ь(и)$ — М.

Предложения 1.2.3 и 1.3.1 позволяют завершить доказательство теоремы 1.1.1.

Вторая глава

Вторая глава посвящена проблеме разрешимости групп автоморфизмов конечномерных коммутативных ассоциативных алгебр. Основное поле К является алгебраически замкнутым характеристики нуль.

В первом разделе приводятся основные определения, формулируются результаты предшественников и результаты автора. Мотивировкой для исследования проблемы разрешимости послужила следующая гипотеза, выдвинутая С. Гальпериным на конференции в честь Ж.-Л. Кошуля.

Гипотеза 2.1.2 (Гальперин). Пусть конечномерная алгебра

S=C[xb...,xn]/{fu...,fn)

является полным пересечением. Тогда связная компонента единицы Aut° S группы автоморфизмов алгебры S разрешима.

Заметим, что разрешимость связной компоненты единицы Aut° S эквивалентна разрешимости алгебры Ли Der 5.

Через R обозначается алгебра, формальных степенных рядов К[жь... ,2,г], а через m — максимальный идеал (х\,...,хп) < R. Пусть идеал Í с ш таков, что алгебра S = R/I является конечномерной (или артиновой) и локальной с максимальным идеалом ш = т/1. В 2009 году М. Шульце7 доказал следующий признак разрешимости.

Теорема 2.1.1 (Шульце). Пусть S = R/I — конечномерная локальная алгебра, где I С ш'. Если выполняется неравенство

dim(//m/) < п +1 - 1, (2.1)

то алгебра дифференцирований Der S разрешима.

В случае локальной алгебры S гипотеза Гальперина является прямым следствием признака Шульце.

Рассмотрим теперь изолированные особенности гиперповерхностей. Пусть многочлен р € K[xi,... ,£,,] таков, что гиперповерхность {р = 0} С К" имеет изолированную особенность Н = ({р = 0}, 0) в начале координат. Факторалгебра

конечномерна и называется локальной алгеброй или алгеброй модулей изолированной особенности Н.

Дж. Мазер и С.С.-Т. Яу1 доказали, что две изолированные особенности гиперповерхностей биголоморфно эквивалентны тогда и только тогда, когда их алгебры модулей изоморфны. Для того, чтобы установить, какие конечномерные локальные алгебры могут являться алгебрами модулей некоторых особенностей, Яу8 ввёл алгебру дифференцирований L(H) =

7М. Schulze, A solvability criterion for the Lie algebra of derivations of a fat point, Journal of Algebra 323 (2010), no. 10, 2916- 2921.

8S. S.-T. Yau. Continuous family of finite dimensional representations of a solvable Lie algebra arising from singularities, Proceedings of the National Academy of Sciences 80 (Dec. 1983\ 7694— 7696.

Der А(П), которую иногда называют алгеброй Яу. Он получил следующий результат.

Теорема 2.1.5 (Яу). Алгебра Der(А(Н)) изолированной особенности Н гиперповерхности является разрешимой.

М. Шульце выводит теорему 2.1.5 из своего признака. Для её доказательства он использует глубокий результат Дж. Кемпфа9 и ставит вопрос, можно ли без него обойтись.

Мы вводим понятие экстремальных алгебр, которое позволяет получить прямое самодостаточное доказательство теоремы 2.1.5.

Определение 2.1.9. Мы называем локальную конечномерную алгебру S экстремалыюй, если в терминах теоремы 2.1.1 выполнено равенство dim I/ml = I + п — 1.

Наконец, с помощью понятия узкой алгебры мы формулируем новый признак разрешимости.

Определение 2.1.10. Пусть I — однородный идеал. Обозначим через Ik его к-ю однородную компоненту. Мы называем градуированную локальную конечномерную алгебру S = R/I узкой, если неравенство

dim Ik — dim(m/)fc ^ k (2.2)

выполняется для всех к = 1,2— Иначе говоря, алгебра S узкая, если существует такой набор однородных образующих идеала I, что число образующих степени к не превосходит к для всех к

Теорема 2.1.12. Предположим, что градуированная алгебра grS, ассоциированная с локальной конечномерной алгеброй S, является узкой. Тогда алгебра дифференцирований Der 5 разрешима.

Во втором разделе приводится упрощённое доказательство признака Шульце, доказывается теорема 2.1.12 и рассматриваются примеры алгебр, удовлетворяющих различным признакам разрешимости.

В третьем разделе проводится полное описание экстремальных алгебр с неразрешимой алгеброй дифференцирований и с его помощью доказывается теорема 2.1.5.

9G.R. Ivempf, Jacobians and Invariants, InvenHones Mathematicae 112 (1993), 315-321.

Теорема 2.3.1. Экстремальная алгебра S им,еет неразрешимую алгебру диференцирований Der S тогда и только тогда, когда она имеет вид S — Si g> S2, где

S\ = К[ж1,х2]/(жг1,х'1~1х2,..., x\xl2l, х[) для некоторого I ^ 2,

S2 = К[ж3,..., xn]/(w2,wn-1),

и где иц 6 гпг П К[хз,..., х„] образуют регулярную последовательность.

В четвёртом разделе исследуется группа автоморфизмов нелокальной конечномерной алгебры и доказывается гипотеза 2.1.2 в общем случае.

Наконец, в пятом разделе приводится нижняя оценка размерности группы автоморфизмов и приводится пример алгебры с унипотентной группой автоморфизмов. Напомним, что сумма всех минимальных идеалов конечномерной алгебры S называется цоколем Soc S.

Теорема 2.5.4. Пусть S — локальная конечномерная алгебра с максимальным идеалолг т. Тогда

dim Aut £ > dim(m/m2) - dim Soc S.

Третья глава

В третьей главе изучаются аффинные многообразия с бесконечномерной группой автоморфизмов, действующие бесконечно транзитивно на множестве гладких точек.

В первом разделе приводятся определения, связанные с действием аддитивной группы поля на аффинном многообразии.

Действие группы G на множестве А называется тп-транзитивным, если для любых двух наборов из ш попарно различных точек (а\,...,ат) и (a'j,..., а'т) из А существует такой элемент g € G, что g ■ щ = a!i для г = 1,..., т. Действие, m-транзитивное для всех ш G N, называется бесконечно транзитивным.

Пусть X — алгебраическое многообразие размерности ^ 2, определённое над алгебраически замкнутым полем К. Рассмотрим регулярное действие Ga х X ->■ X аддитивной группы поля Gtt = (К, +). Образ группы в группе автоморфизмов Aut X является однопараметрической унипотентной подгруппой. Через SAut X мы обозначаем подгруппу в Aut Л", порождённую всеми однопараметрическими унипотентными подгруппами. Она называется группой специальных автоморфизмов. Очевидно, SAut X является нормальной подгруппой Aut-X.

Теперь предположим, что К имеет характеристику нуль. Аффинное алгебраическое многообразие X называется гибким, если касальное пространство к X в любой гладкой точке порождено касательными векторами к орбитам однопараметрических унипотеитпых подгрупп. Следующая теорема объясняет значение понятия гибкости.

Теорема (Аржанцев-Зайденберг-Калиман-Кутчебаух-Фленнер5). Пусть X — аффинное алгебраическое многообразие размерности ^ 2 над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль. Тогда следующие условия эквивалентны:

1. многообразие X является гибким;

2. группа SAut X действует транзитивно на множестве гладких точек Xlcg многобразия X;

3. группа SAut X действует бесконечно транзитивно на XIcg.

Во втором разделе формулируется и доказывается признак гибкости аффинного конуса над проективным многообразием.

Определение 3.2.1 (Зайденберг-Кишимото-Прохоров10). Будем говорить, что открытое подмножество U многообразия У является цилиндром, если U = Z X А1, где Z — гладное многообразие и Pic Z = 0. Пусть теперь дан дивизор H с Y. Цилиндр U будем называть Н-полярным, если U = Y \ suppD для некоторого эффективного дивизора D € \dH\, где d> 0.

Определение 3.2.2. Подмножество W С Y будем называть инвариантным, относительно цилиндра U = Z х А1, если W П U = •?rf1(7Ti(Wr)), где Tri : U" —Z — проекция на первую компоненту прямого произведения. Иначе говоря, каждый Ах-слой цилиндра либо содержится в W, либо не пересекается с W.

Определение 3.2.3. Будем говорить, что многообразие Y трансе ер сально покрывается цилиндрами £/¿, i = 1,..., s, если Y = [J J7¡ и не существует собственного подмножества W С Y, инвариантного относительно всех í/¡.

Теорема 3.2.7. Предположим, что для некоторого очень обильного дивизора H на нормалънолг проективном многообразии Y существует транс-версальное покрытие Н-полярными цилиндрами. Тогда аффинный конус X = AffCone.tf Y является гибким.

10Т. Kishimoto, Yu. Prokhorov, and M. Zaidcnberg, Group actions on affine cones, Montreal Ccnt.ro do Recherches Mathématiques, CRM Proceedings and Lecture Notes 54 (2011), 123-163.

В третьем и четвёртом разделах доказывается гибкость аффинных конусов над поверхностями дель Пеццо степени 5 и 4 соответственно:

Теорема 3.3.1. Пусть Н — произвольный очень обильный дивизор на поверхности дель Пеццо Y степени 5. Тогда соответствующий аффинный конус AffConCtf Y является гибким.

Теорема 3.4.1. Пусть Y — поверхность дель Пеццо степени 4- В пространстве Нерона-Севери Nq(Y) существует такой открытый конус С, что для всякого очень обильного дивизора Н 6 С аффинный конус AffCone# У является гибким. Более того, конус С содержит класс антиканонического дивизора Н = — Ку.

В работе присутствует описание конуса С в явном виде. Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Ивану Владимировичу Аржанцеву и профессору Михаилу Григорьевичу Зайденбергу за постановку задач и внимание к работе.

Автор благодарен профессору Эрнесту Борисовичу Винбергу и доценту Дмитрию Андреевичу Тимашёву за полезные дискуссии и за прекрасные семинары и лекции, а также всему коллективу кафедры высшей алгебры МГУ имени М.В. Ломоносова за доброжелательное отношение и поддержку-

Публикации автора по теме диссертации

[1] А.Ю. Перепечко, Гибкость аффинных конусов над поверхностями дель Пеццо степени 4 и 5, Функциональный анализ и его приложения 47, вып. 4, 2013, 45-52.

[2] A. Perepechko, Affine algebraic monoids as endomorphisms' monoids of finite-dimensional algebras, Proceedings of the American Mathematical Society 137 (2009), 3227-3233.

[3] А.Ю. Перепечко, О разрешимости группы, автоморфизмов конечномерной алгебры, МГУ — М., 2013 - 25 с. Депонировано в ВИНИТИ 15.01.2014 №21-В2014.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж 10 0 экз. Заказ № 13>

ФГБОУ ВПО «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА» МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

04201458475

ПЕРЕПЕЧКО АЛЕКСАНДР ЮРЬЕВИЧ

АВТОМОРФИЗМЫ КОНЕЧНОМЕРНЫХ АЛГЕБР И АФФИННЫХ МНОГООБРАЗИЙ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор И.В. Аржанцев

Москва - 2013

Содержание

Введение 3

1 Моноиды эндоморфизмов конечномерных алгебр 15

1.1 Введение................................15

1.2 Некоторые специальные алгебры .................17

1.2.1 Алгебра А(У, 5) .......................18

1.2.2 Алгебра В{Р) V, 5,7).....................19

1.3 Аффинные моноиды как нормализаторы линейных подпространств ................................22

2 Разрешимость групп автоморфизмов 26

2.1 Введение................................26

2.2 Признаки разрешимости.......................31

2.3 Экстремальные алгебры и теорема Яу...............35

2.4 Глобальный случай и гипотеза Гальперина............38

2.5 Подгруппы автоморфизмов и ограничения на размерность ... 40

3 Автоморфизмы аффинных конусов 45

3.1 Общие сведения ...........................45

3.2 Гибкость аффинных конусов....................48

3.3 Поверхность дель Пеццо степени 5 ................52

3.3.1 Цилиндры...........................53

3.3.2 Условие полярности.....................54

3.4 Поверхности дель Пеццо степени 4.................55

3.4.1 Цилиндры...........................55

3.4.2 Условие полярности.....................56

Введение

Данная диссертация посвящена изучению преобразований алгебро-геометри-ческих структур, а именно конечномерных алгебр и аффинных алгебраических многообразий.

В конце 1860-х годов Феликс Клейн и Софус Ли провели совместное исследование «геометрических и аналитических объектов, которые переходят в себя под действием групп преобразований». Фактически, произошло зарождение понятия группы преобразований. Клейн был сосредоточен на дискретных группах, а Ли изучал непрерывные группы преобразований. Он понял, что эти группы являются мощным инструментом в геометрии дифференциальных уравнений. Основной идеей Ли было изучение инфинитезимальных образующих действий группы преобразований. Подобные инфинитезималь-ные образующие лежат в касательной алгебре, из которой выросло понятие абстрактной алгебры Ли.

Комплексные линейные алгебраические группы являются наиболее изучаемым семейством групп Ли. Одним из первых тщательное изучение этих групп и их касательных алгебр провёл Людвиг Маурер в 1888-1899 годах. В частности, он исследовал разложение Жордана, оболочку однопарамет-рических подгрупп и ряд других вопросов. В своей последней работе этого периода Маурер пытался доказать ложное утверждение о том, что инварианты связной группы Ли конечно порождены. Тем не менее, его доказательство оказалось верным для однопараметрических унипотентных групп, см. теорему Вейценбека.

С развитием понятия пространства и оснований геометрии, где наиболее заметные преобразования были произведены Бернхардом Риманом в XIX веке и Александром Гротендиком в XX веке, также развивалась и теория групп Ли.

В 1940-х годах Клод Шевалле дополнил и обобщил методы теории групп и алгебр Ли. Опираясь на работы Маурера, он применил эти методы к теории алгебраических групп над произвольным полем нулевой характеристики. В случае поля положительной характеристики методы теории алгебр Ли оказались не столь эффективными, поэтому общее исследование линейных алгебраических групп было проведено Эмилем Борелем с помощью методов алгебраической геометрии. После работ Бореля и Колчина теория линейных алгебраических групп приобрела упорядоченный вид.

Другим направлением исследований, порождённых работами Ли, стало изучение бесконечномерных групп преобразований. Например, в 1900-х годах Эли Картан изучал бесконечномерные обобщения простых групп Ли. Также в 1960-х годах Виктор Кац и Роберт Муди независимо друг от друга положили начало изучению нового типа бесконечномерных алгебр Ли, называемых теперь алгебрами Каца-Муди. Однако общая теория бесконечномерных групп Ли далека от завершения.

В диссертации изучаем как алгебраические, т.е. конечномерные, группы преобразований, так и бесконечномерные. В первой главе диссертации мы изучаем связь между эндоморфизмами конечномерных алгебр и линейными алгебраическими моноидами. Во второй главе мы рассматриваем проблему разрешимости групп автоморфизмов конечномерных алгебр. В третьей главе мы исследуем аффинные многообразия с бесконечномерной группой автоморфизмов, действующей бесконечно транзитивно на подмножестве гладких точек, и описываем несколько семейств таких многообразий.

Всюду в работе К — алгебраически замкнутое поле, причём в главе 1 его характеристика может быть любой, а в главах 2 и 3 предполагается, что характеристика поля нулевая.

Хорошо известно, что каждая аффинная алгебраическая группа изоморфна замкнутой по Зарисскому подгруппе общей линейной группы СЬ(У) некоторого конечномерного векторного пространства V. Аналогично, каждый аффинный алгебраический моноид изоморфен замкнутому подмоноиду моноида Ь(V) всех эндоморфизмов конечномерного векторного пространства У, см. например [31, теорема 3.8] или [8, лемма 1.11].

Пусть А — конечномерная алгебра над полем К. т.е. конечномерное векторное пространство А вместе с билинейным отображением а: А х А —у А. Заметим, что ассоциативность или коммутативность умножения а не предполагаются. Мы будем обозначать через vect(A) векторное пространство алгебры А. Группа автоморфизмов Aut А алгебры А — это замкнутая подгруппа группы GL(vect(A)), значит, она является аффинной алгебраической группой. Аналогично, моноид эндоморфизмов End Л является аффинным алгебраическим моноидом.

Возникает естественный вопрос, верно ли обратное утверждение, т.е. верно ли, что любая аффинная алгебраическая группа может быть реализована как группа автоморфизмов конечномерной алгебры. H.JI. Гордеев и B.JI. Попов рассматривали эту задачу над произвольным полем достаточно большого размера. В частном случае алгебраически замкнутого поля результат Горде-ева и Попова формулируется так:

Теорема [18, теорема 1]. Пуст,ъ К — алгебраически замкнутое поле. Тогда для, любой аффинной алгебраической группы G над К найдётся такая, простая, конечномерная, Ж,-алгебра А, что G и,зом,орфна группе Ж-автоморфи,зм,ов Aut А.

Нашим первым результатом является аналог теоремы Гордеева-Попова для аффинных алгебраических моноидов, т.е. реализация произвольного аффинного алгебраического моноида М как моноида эндоморфизмов некоторой конечномерной алгебры А. Здесь возникают следующие два отличия. Во-первых, мы не можем требовать, чтобы алгебра А была простой, поскольку ядро всякого эндоморфизма является идеалом А. Во-вторых, моноид End(A) всегда содержит нулевой элемент 3 £ End(A), т.е. 3(a) = О для любого а Е А, в то время как М может не содержать нуля. В этих обстоятельствах мы получаем следующий результат.

Теорема 1.1.1. Пусть К — алгебраически замкнутее пол,е. Для, всякого аффинного алгебраического моноида М над К существует такая конечномерная, алгебра А над К, что

End(A) = М U {з},

где нулевой элемент 3 образует, изолированную компоненту алгебраического моноида End(A).

Доказательство теоремы 1.1.1 осуществляется в два этапа. На первом этапе мы для каждого конечномерного пространства U и подпространства S в Ь([/)-модуле специального вида строим такую конечномерную алгебру А, что End(A) = L(U)s LI {3}) гДе L(U)s обозначает нормализатор S. При этом мы отказались от большей части техники, использованной при доказательстве теоремы Гордеева-Попова, напрямую построив таблицу умножения алгебры. На втором этапе, повторяя логику доказательства Гордеева и Попова, мы представляем произвольный аффинный алгебраический моноид М в виде L(U)s для подходящих U и S.

В главе 2 мы переходим к задаче разрешимости группы автоморфизмов. Пусть S — конечномерная коммутативная и ассоциативная алгебра над алгебраически замкнутым полем К характеристики нуль. Группа автоморфизмов Aut S является аффинной алгебраической группой, причём её касательная алгебра — это алгебра Ли дифференцирований Der 5; см. [4, гл. 1, §2.3, прим. 2]. Таким образом, разрешимость связной компоненты единицы Aut° S эквивалентна разрешимости алгебры Ли Der S.

В 1987 году С. Гальперин сформулировал гипотезу о разрешимости связной компоненты единицы группы автоморфизмов полного пересечения. Рассмотрим конечный набор многочленов /1,. . ., /п Е К[.тх,. .., хп]. Предположим, что факторалгебра S = ... ,xn]/(fi,..., fn) нетривиальна и конечномерна. Иначе говоря, S является полным пересечением, а ..., fn £ K[xi,..., хп) — регулярной последовательностью.

Гипотеза (Гальперин, 1987). Пусть конечномерная алгебра

S = C[x1,...,xn]/(f1,...Jn)

являет,ся пол,ним пересечением. Тогда связная компонента единицы, Aut° S группы автоморфизмов алгебры S разрешим,а.

В случае однородных многочленов эта гипотеза была доказана X. Краф-том и К. Прочези.

Теорема (Крафт-Прочези [26]). Пусть /1,..., /„ £ К[х\,..., хп] — то,кие однородные многочлены,, что алгебра,

конеч,ном,ерна. Тогда группа Аи1° $ разрешима,.

Обозначим через Я алгебру формальных степенных рядов ... ,хп}

и через гп — максимальный идеал (хх,... , хп) <1 И. Возьмём такой идеал I С ш, что Б = Я/1 — конечномерная (т.е. артинова) локальная алгебра с максимальным идеалом гп = т/1. В 2009 г. М. Шульце получил следующий признак, некоторые приложения которого разобраны ниже.

Теорема (Шульце [33]). Пусть Б = Я/1 — локальная конечномерная алгебра, причём I С т1. Если выполняется, неравенство

то алгебра, дифференцирований Der S разрешим,а.

Следует отметить, что алгебра S в теореме Крафта-Прочези является локальной. Таким образом, следующее следствие из теоремы Шульце является обобщением теоремы Крафта-Прочези.

Следствие (Шульце [33, следствие 2]). Пусть S = Ä/(/i,..., fn) — локальная, алгебра, являющаяся, полным пересечением,. Тогда, группа Aut° S разрешима.

Обратимся теперь к изолированным особенностям гиперповерхностей. Пусть р G ..., хп] — такой многочлен, что у гиперповерхности {р =

0} С Кп имеется изолированная особенность Н = ({р = 0},0) в начале координат. Следуя терминологии Дж. Кемпфа [21], мы называем подпространство J(p) = SpanK (j^, ■ ■ ■, Jjf-) С ..., хп] якобианом р. Факто-ралгебра А(Н) = K[xi,..., жп]/(р, J(jp)) называется локальной алгеброй или алгеброй модулей особенности Н. В теории особенностей А(Н) также известна как алгебра Тюрииой. Эта алгебра локальна и конечномерна.

5 = С[жь..., £„]/(/!,...,/„)

(1)

dim(//m/) <n + l- 1

(2)

Дж. Мазер и С.С.-Т. Яу доказали в работе [29], что две изолированные особенности гиперповерхностей биголоморфно эквивалентны тогда и только тогда, когда их алгебры модулей изоморфны. Таким образом, конечномерная локальная алгебра А(Н) определяет особенность Н с точностью до аналитического изоморфизма. Для того, чтобы установить, какие конечномерные локальные алгебры являются алгебрами модулей особенностей, Яу ввёл в [38] алгебру дифференцирований L(H) = Der А(Н), которую иногда называют алгеброй Яу. Он получил следующий результат.

Теорема (С.С.-Т. Яу [39]). Алгебра Ь(Н) изолированной особенности Н ги,-перповерхности разрешима.

Заметим, что вообще говоря, алгебра Яу не определяет соответствующую алгебру модулей. Но для прост,ых особенностей данное свойство выполняется лишь с одним исключением, а именно, для пары А§ и алгебры Яу изоморфны; см. [14, теорема 3.1].

В работе [33] М. Шульце выводит теорему 2.1.5 из своего признака. Он использует следующий результат Дж. Кемпфа и ставит вопрос, можно ли без него обойтись.

Теорема (Кемпф [21, теорема 13]). Пуст,ь р Е C[.xi,..., хп] — однородный многочлен степени d ^ 3. Предположим, что пространство Сп снабжено .линейным действием; полупростой группы G. Если, якобиан J(p) с C[xi,..., хп] является, G-инвариантным, т,о существует т,а,кой однородный G-инвариантный многочлен q степени, d, что J(p) = J(q).

Мы отвечаем на этот вопрос М. Шульце положительно. Для этого мы вводим понятие экстремальных алгебр. Они являются граничным случаем, где признак Шульце уже неприменим.

Определение 2.1.9. Назовём локальную конечномерную алгебру S экстремальной. если выполнено равенство dim//m/ = I + п — 1.

Описание экстремальных алгебр с неразрешимой алгеброй дифференцирований и позволяет вывести теорему Яу напрямую из признака Шульце, т.е. без использования теоремы Кемпфа.

Теорема 2.3.1. Пусть 5 — экстремальная алгебра. Группа Аи1° 5 неразрешима тогда и т,ол,ько тогда, когда 5 имеет: вид Б = ® ¿2, где

= К[£1, Х2~\/[х\,х111х2, • • •, ххх1^1, х12) для некоторого I ^ 2, (3) ^ Щх3, хпУ(т2, 1), (4)

и и>2, • • •, шп-\ £ шг П К[^з,..., хп} образуют регулярную последовательность.

Также мы приводим упрощённое доказательство признака Шульце и предлагаем ещё один признак разрешимости групп автоморфизмов. Для нового признака нам понадобится следующее определение.

Определение 2.1.10. Пусть / — однородный идеал. Будем обозначать через Д- его к-ю однородную компоненту. Мы называем градуированную локальную конечномерную алгебру Б = Я/1 узкой, если неравенство

сНтД — <Мт(т1)к ^ к (5)

выполняется для всех к = 1,2.... Иначе говоря, алгебра 5 узкая, если существует такой набор однородных образующих /, что количество образующих степени к не превосходит к для всех к ^ 1.

Напомним, что градуированной алгеброй, ассоциированной с локальной алгеброй 5. называется алгебра

gr 5 = К 0 (т/т2) е (т2/т3) © ...,

т.е. = т'/т?+1.

Теорема 2.1.12. Предположим,, что градуированная алгебра, grS', ассоциированная, с локальной конечномерной алгеброй 5, являет,ся узкой. Тогда, связная, компонента Аи^ 5 разрешима.

Данный признак основан на тех же принципах, что и признак Шульце. Однако эти признаки применимы к различным классам алгебр.

Чтобы завершить доказательство гипотезы Гальперина, мы получаем следующие два результата. Следствие 2.4.3 является обобщением признака Шульце.

Теорема 2.4.2. Пусть S — конечномерная алгебра с максимальными идеалами mi,...,mS; а к — целое число, большее или равное максимальной длине убывающих цепочек идеалов в S.1 В таком случае связная компонента Aut° S разрешима тогда и толнко тогда, когда связная компонента Aut° St локальной алгебры, Si = S/fh\ разрешим,а для, любого г = 1,..., s.

Следствие 2.4.3. Предположим,, что идеал, I С K.[xi,... ,хп] с т образующими и целое число I > 1 удовлетворяют следующим, условиям:

• факторалгебра, S = DC[a;i,..., хп]/1 конечномерна,

• для всякого максимального идеала m С Kjxi,..., хп] выполнено либо I т, либо I dm1,

• выполняется, неравенство т < п + I — 1. Тогда группа Aut° S разрешима.

Кроме того, мы доказываем следующую нижнюю оценку для размерности группы автоморфизмов. Напомним, что сумма всех минимальных идеалов конечномерной алгебры S называется цоколем Soc S.

Теорема 2.5.4. Пусть S — локальная, конечномерная, алгебра, с максимальным идеалом, т. Тогда,

dimAutS' ^ dim(m/m2) ■ dim Soc S.

В конце главы 2 мы приводим пример артиновой алгебры с унипотентной группой автоморфизмов, см. 2.5.6.

В главе 3 мы переходим к изучению автоморфизмов аффинных алгебр. Хорошо известно, что каждая аффинная алгебра является алгеброй регулярных функций некоторого аффинного многообразия. Тем самым, мы можем перейти к геометрической интерпретации и рассматривать группы автоморфизмов аффинных многообразий. Стоит отметить, что аффинные алгебры бесконечномерны, так что группы их автоморфизмов, вообще говоря, не являются аффинными алгебраическими группами. Мы используем следующие понятия и определения, введённые в [9] и [1].

'В частности, достаточно взять k = dim S.

и

Действие группы С на множестве А называется т-транзитивным, если для любых двух наборов из т попарно различных точек (ах,..., ат) и (а[,... ,а'т) из А существует такой элемент д Е С, что д ■ щ = а[ для г = 1,..., т. Действие, т-транзитивное для всех т £ М, называется бесконечно транзитивным.

Пусть X — алгебраическое многообразие размерности ^ 2, определённое над алгебраически замкнутым полем К. Рассмотрим регулярное действие Са х X —»■ X аддитивной группы поля = (К,+). Образ группы Са в группе автоморфизмов Аг^Х является однопараметрической унипотентт-юй подгруппой. Через БА^Х мы обозначаем подгруппу в Аг^Х, порождённую всеми однопараметрическими унипотентньтми подгруппами. Она называется группой специальных автоморфизмов. Очевидно. ЭАг^ X является нормальной подгруппой Аг^Х.

Теперь предположим, что К имеет характеристику нуль. Аффинное алгебраическое многообразие X называется гибким, если касальное пространство к X в любой гладкой точке порождено касательными векторами орбит од-нопараметрических унипотентных подгрупп. Следующая теорема объясняет значение понятия гибкости.

Теорема [9, теорема 0.1]. Пусть X — аффинное алгебраическое многообразие размерности ^ 2 над алгебраически замкнутым полем характеристики, нуль. Тогда следующие условия эквивалентны:

1. многообразие X является гибким;

2. группа, ЭА^ X действует транзитивно на множестве гладких тючек Х1Сё многообразия, X;

3. группа SAi.it X действует бесконечно транзитивно на ХТСё.

Следующие три класса гибких многообразий описаны в [1]: аффинные конусы над многообр�