Градуированные супералгебры Ли и алгебры Ли Каца-Муди тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Омский государственный университет

Го и

На правах рукописи

Рассказова Марина Николаевна

ГРАДУИРОВАННЫЕ СУПЕР АЛГЕБРЫ ЛИ и АЛГЕБРЫ ЛИ КАЦА-МУДИ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Омск - 1995

Работа выполнена на кафедре алгебры Омского государственного унт верситета

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Гршпков Александр Николаевич Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Бокуть Леонид Аркадьевич кандидат физико-математических нау! Кражовских Галина Васильевна.

Ведущая организаций - новосибирский государственный университет

Защита состоится "27" декабря 1995 г. на заседании диссертационного совета К 064.36.02 но защитам диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических нарт при Омском гос.университете в 16-30 час.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОмГУ. Автореферат разослан "27" ноября 1995 г.

•Ученый секретарь диссертационного совета кандидат фпз.-мат.наук

Беляев В.Я.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Диссертация посвящена изучению простых супералгебр Ли и алгебр Ли Капа-Муди.й те. и другие алгебры являются обобщением класса полупростых конечномерных алгебр Ли и встречаются во многих областях математи ки и физики.

Основное достижение теории простых супералгебр Ли - их классификация над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 - было получено В.Кацем. Эта классификация существенно опирается на понятие градуированной алгебры и весьма нетривиальна. Поиск альтернативных подходов к классификации простых супералгебр Ли актуален. так как позволил бы прояснить их природу п структуру, а может быть п помог в классификации этих алгебр над полем характеристики р > 0. В данной диссертации описаны все прюстые супералгебры Ли, допускающие градуировки специального вида. Отметим, что изложение не опирается на классификацию простых супералгебр Ли и " мало" зависит от характеристики поля.

Алгебры Ли Каца-Мудп являются бесконечномерным обобщением простых конечномерных алгебр Ли, что становится особенно явным,если вспомнить известное задание простой конечномерной алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 порождающими и соотношениями , данное Серром. Алгебры Ли Каца-Мудп распадаются на три класса: конечномерные, аффинные п неопределенные. В свою очередь аффинные алгебры делятся на два подкласса: скрученные, и нескрученные. Нескрученные аффинные алгебры строятся непосредственно по простым конечномерным алгебрам, а скрученные по паре: простая конечномерная алгебра Ли и ее внешний автоморфизм. Задача нахождения базиса скрученных аффинных алгебр, удобного п простого - остается актуальной.

Среди алгебр Каца-Муди наиболее сложно устроены неопределенные алгебры. Простейшим примером таких алгебр являются гиперболические алгебры ранга 2. Изучением структуры таких алгебр занимались В.Кац, Р.Муди, Дж.Леповски, С.Канг и другие. Этими авторами получены глубокие результаты по структуре группы автоморфизмов и корневых подпространств алгебр Ли Капа-Муди. Но ввиду сложности объекта поток работ по данной теме не прекращается по настоящее время, многие естественные вопросы еше ждут своего решения." В настоящей диссертации изучаются гиперболические алгебры Ли ранга 2

модули над своими корневыми подалгебрами. ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Изучение структуры алгебр Ли Када-Муди и про-тых конечномерных супералгебр Ли как модулей над своими подалге-ами. изоморфными простой 3-мерной алгебре Ли. НАУЧНАЯ НОВИЗНА и ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ/ Все основные результаты диссертации являются вовкми.габота носит те-■рстпчсскип характер, ее результаты йог}т быть использованы при дальнейшем изучении алгебр Ли Кала-Муда и простых супералгебр Ли.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ и ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертадии опубликованы в работах [1] и [2] п докладывались на 3-й международной конференции по неассоцнативной алгебре (Овнедо, Испания, 1993 г.), на Всероссийской научной студенческой ковферсндим (Новосибирск. НГУ, 1993 г.), на семинаре "АЛГЕБРА и ЛОГИКА" (НГУ), на семинаре "Теория колец" имени А.И.Ширшова, на алгебраических семинарах Московского и Омского государственных универ-пг: 'Тов. а также университетов Овиедо и Сарагосы (Испания).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Диссертация состоит из введения и трех глав. В первой главе изучаются гиперболические алгебры Ли Каца-Муди ранга 2, которые можно задать порождающими е),е2,^1,/г2,/ь/г и соотношениями е^- = впе''>/«А> = -a¡jfi,eifj ~ 0,г ф j,eifi — = 0., [е;е",,+1] =

= 0, где ац = а22 = 2,а12 = -а, а2) = -6, а, Ь - натуральные числа, причем аЬ > 4.. Матрица А с элементами а^ называется матрицей Картана вышеопределенной алгебры Ли, которую мы будем обозначать ¿(Л). Эта алгебра допускает стандартное корневое разложение относительно подалгебры Картана Н с базисом /¿ь Ь(А) = Ео€д&Ьа, Ьп — {х£ Ь(А) | х-И = а(11)х], Д С Я*. Множество корней Д инвариантно относительно группы Венля порожденной отражениями т\ и г?, где г,(а) = а — и(Л,•)«*,-, а - произвольный элемент пространства Н*. а сц, с*2 ~ простые корни алгебры Ь(А), определяемые равенствами а,-(Л,-) = г,^ = 1,2. Корни, сопряженные относительно грипы Вейля И7 простым корням называются действительными корнями, остальные - мнимыми.

Через 5а обозначим корневую подалгебру, изоморфную алгебре Ли *Ь{К) с. базисом еа,/1а,/0,е0 £ Х0,/0 £ = ео/о € Н

Тогда основной результат первой главы можно сформулировав . виде следующей

Теорема 1 Пусть L(A) определенная выше гиперболическая алг^ири Ли ранга 2 uSa -ее корневая подалгебра, соответствующая мпи:\ корню а.

Тогда алгебра L[ А) как Sa-модуль имеет иту из следующих струг-тур:

1). L(A) = Sa® Kh ф f/ф S¡ © V\ где h € H - подалгебра Kapma-на, hSa — О, V' - неприводимый Ба-модулъ со старшим или младшим вектором, a U - приводимый модуль, имеющий конечный композиционный ряд.

2). L(A) = 5a ф S¡) ф Si ф Vi ® Ui ф SjVj Ъ Vj, гае Sg - корневая подалгебра, соответствующая действительному корню ¡3, Snd¡j = 0,Vi,Vj - конечномерные неприводимые S¡¡-модули, а .модули Ui и V'J -Sa-модули, типа модулей U.V в случае 1).

Случай 2 возможен тогда и только тогда, когда a G Ha{í(íüQi + 2а2)}Д € Q,WX - орбита множества X под действием группы Вей-ля W.

Если а - минимальный корень из множества W{t{aa\ + За?}. при котором реализуется случай 2, то cv = aaj + loti при а нечетном, н а = 5/2(aai + 2аз) при а четном.

Во второй главе диссертации строятся "модульные"' алгебры, соответствующие аффинным алгебрам Лп Каца-Муди. Понятие ''модульной" алгебры Н(А), соответствующей данной алгебре А было введено А.Гришковым и им же им же были описаны "модульные" алгебры, соответствующие простым конечномерным алгебрам Ли над полем характеристики 0. "Модульная" алгебра данной простой алгебры имеет существенно меньшую размерность, удобную для пользования таблиц}" умножения п, в то же врет, содержит всю информацию об исходной алгебре. Например, 248-мерной алгебре Лп типа соответствует о-мерная алгебра чисел Кэли. Поэтому построение "модульных;! алгеор для аффинных алгебр Ли поззоляет получить, в частности, для т. . удобные, компактные базы и таблицы умножения в них. Заметим, -случай нескрученных аффинных алгебр полностью аналогичен vr.. номерному, но для скрученных алгебр ситуация существенно сл-хг Для разрешения возникающих здесь проблем изучается соответот.г."

между автоморфизмами простой алгебры Ли и автоморфизмами ее "мо дульной" алгебры.

Последняя, третья глава посвящена изучению простых супералгеб] Ли, допускающих "хорошие" градуировки. Градуировка алгебры А на зывается "хорошей", если А = Еаед© А„, АиАр € Ла+1> и множество I является элементарной абелевой 2-грушюй относительно операции + Более того: Aq - прямая сумма идеалов Si,... ,Sn изоморфных алгебр> Ли sl^(K) й идеала с нулевым умножением'А0, а каждое подпростран ство Аа является лиевым Ао-модулем, изоморфным прямой сумме тен зорных произведений 2-мерных Si-модулей. Если в этом определенш идеал А0 равен сумме идеала типа slj(K) и идеала с нулевым умиоже нием, то такую градуировку назовем "почти хорошей".

Интерес к "хорошим" и "почти хорошим" градуировкам вызван то обстоятельством, что все простые конечномерные алгебры Ли. за не ключением алгебр типа и 1, имеют "хорошие" градуировки, < алгебры типа G-i и В2п+1 обладают "почти хорошими" градуировками Еще важнее, что по " почти хорошей" градуировке можно построит! "модульную" алгебру, сохраняющую всю информацию об исходной ал гебре, но имеющую меньшую размерность и более простую структуру

Теперь сформулируем основной результат третьей главы:

Теорема 2 Простая конечно мерная супералгебра Ли над алгебраи чески замкнутым полем характеристики 0, не являющаяся алгеброг Ли, допускает "хорошую" градуировку тогда и только тогда, когд( она изоморфна одной из алгебр типа (в стандартных обозначениях) Г(аьа2, аз), C(n), A(n,m),D(n,m) или В(п,тп).

Отметим,-что метод доказательства не опирается на классификацию простых супералгебр Ли над полем характеристики 0, даннук В.Кацем, и применим и в случае поля положительной характерпсти кп.

Работы автора по теме диссертации

1. Рассказова М.Н., Гиперболические алгебры Пи Каца-Муди ранга 2 Алгебра и Логика, 33,N3(1994), 286-300.

2. Рассказова МЛ.,Градуированные простые супералгебры Ли, Оме гос.ун-т., Омск,1994,34 е., Деп.в ВИНИТИ 13.10.94, N2362-bB94.

S