Базисы люстига и фильтрация Шуберта в квантовых супералгебрах Серра типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Супералгебры Дринфельда-Джимбо типа I

§1. Супералгебры Ли типа I

§2. Супералгебра Uq(g)

§3. Классический предел супералгебры Uq(g)

§4. Свободность треугольного разложения супералгебры U

§5. Модули со старшим весом

ГЛАВА 2. Корневые векторы и базисы Люстига в квантовых. супералгебрах Серра типа I

§1. Малая квантовая группа Вейля Wq(Q'Q).

§2. Корневые векторы и базисы Люстига

§3. Доказательство теоремы 2.29 при g = А(т,п)

§4. Доказательство теоремы 2.29 при g = С(п)

§5. Контрагредиентные супералгебры Ли рангов 1, с неразложимыми матрицами Картана

§6. Доказательство предложений 2.15, 2.

ГЛАВА 3. Стандартные базисы Люстига и фильтрация Шуберта в квантовых супералгебр Серра типа I

§1. Супералгебра Dq(o).

§2. Стандартные базисы Люстига

§3. Фильтрация Шуберта

§4. Доказательство стандартности систем (г = 0,. ,3) при g = А(т,п)

§5. Доказательство стандартности системы ТТй g = С(п)

Актуальность работы. Теория представлений алгебр и супералгебр Ли шраи! принципиальную роль в решении тех или иных топологических задач. Например, задача классификации неприводимых представлений комплексной полупростой группы Ли в банаховых пространствах сводится к задаче классификации простых модулей Хариш-Чандры над алгеброй Ли этой группы. Помимо этого, супералгебры Ли имеют фундаментальное значение для современной физики, использующей их для описания статистики Бозе-Ферми в квантовой теории поля. В последние годы список математических объектов, применяемых в физике, пополнился квантовыми оболочками сим-метризуемых алгебр Каца-Муди, т.е. алгебрами Дринфельда-Джимбо. Использование этих алгебр связано с надеждой преодоления проблемы расходимости в квантовой теории поля.

Исследование квантовых алгебр можно рассматривать как часть общей проблемы построения универсального "д-анализа", состоящего в описании "квантовых деформаций" основных объектов классического анализа, в том числе групп и алгебр Ли, однородных многообразий, специальных функций, связанных с этими многообразиями, и т.д. Несмотря на то, что эта идеология имеет определенное отношение к квантовой физике, первые работы по ^-анализу появились еще в начале века. В настоящее время имеется большое число работ по д-анализу, в том числе по теории квантовых групп. Достаточно отметить монографии [1]-[7], справочник [8] по теории ^-деформированных гипергеометрических функий.

В теории квантовых групп существенную роль играют алгебры Дринфельда-Джимбо ия(д), где д — полупростая комплексная алгебра Ли или (в более общем контексте) симметризуемая алгебра Каца-Муди. Структура алгебры 11д(д), определяемой как "квантовая оболочка" алгебры Ли 0, в известной степени подобна структуре универсальной обертывающей алгебры и(д). В частности, алгебра ид(д) обладает "треугольным разложением" с компонентами Серра Более того, в алгебре ид(д) существуют аналоги базисов ПБВ (Пуанкаре-Биркгофа-Витта), ассоциированные с треугольным разложением и называемые базисами Люстига алгебры ид(д). Известно также, что алгебра 11д(о) однозначно восстанавливается по своей компоненте Серра как модифицированный квантовый дубль, определенный В. Дринфельдом (см. [9], [4]).

В данной работе рассматривается вопрос о построении аналогичной теории для квантовых оболочек простых комплексных супералгебр Ли. В частности, для супералгебр Ли типа I (т.е. типов А(т,п), С(п)) удается построить специальные аналоги базисов ПБВ, названные "стандартными базисами Люстига". Кроме того, изучается связь между этими базисами и фильтрацией Шуберта, определяемой посредством ядер некоторых "дифференциальных операторов". Подобная конструкция хорошо известна в теории алгебр Дринфельда-Джимбо, ассоциированных с полупростыми комплексными алгебрами Ли. Для этого случая в работах [1], [10] (см. также [11]) введено понятие фильтрации Шуберта в квантовых алгебрах Серра, отмечена связь этой фильтрации с базисами Люстига в терминах "дифференциальных операторов", действующих в квантовой алгебре Серра. Использование фильтрации Шуберта представляет собой естественный инструмент в теории кристаллических модулей для алгебр

Дринфельда-Джимбо (см. [12]). Существенную роль в этой конструкции играет квантовая группа Вейля, действующая автоморфизмами в алгебре Дринфельда-Джимбо. Отсутствие аналога этой группы в суперслучае приводит к известным трудностям, которые удается преодолеть для квантовых супералгебр Серра типа I.

Цель диссертационной работы состоит в исследовании квантовых супералгебр Серра д), где д — простая супералгебра Ли типа I (т.е. типов А(т,п), С(п)). Основная часть работы состоит в построении специальных базисов (аналоги базисов ПБВ) в алгебре ^(д), в исследовании связи этих базисов с фильтрацией Шуберта в Зд{д), в описании этих объектов в терминах проекционных операторов алгебры ^(д).

Научная новизна и результаты, выносимые на защиту, для квантовых супералгебр Серра 59(д) типа I состоят в следующем:

1. Предложена общая конструкция систем корневых векторов и базисов Люстига для квантовых супералгебр Серра типа I.

2. Предложена специальная конструкция стандартных систем корневых векторов, определяемых квазидифференциальными соотношениями в 59(д).

3. Доказана теорема существования и единственности стандартных систем корневых векторов для всех нормальных порядков в системе положительных корней супералгебры д = .4(0, п), А{п, 0), С(п), а также для некоторого класса нормальных порядков при д = А(т, п), т,п ^ 0.

4. Введено понятие фильтрации Шуберта для супералгебр 59(д), отмечена связь этой фильтрации с базисами Люстига, получено ее описание в терминах проекционных операторов.

5. Получены соотношения биортогональности между сопряженными стандартными базисами Люстига.

6. Все эти результаты получены также для квантовых супералгебр Серра рангов 1, 2 с неразложимыми матрицами Картана.

Методы исследования. В диссертационной работе применяются в основном методы теории квантовых групп и так называемый метод экстремальных веыироь, заключающийся в систематическом исследовании ядер некоторых квазидифференциальных операторов.

Обоснованность научных положений. Полученные в диссертации результаты обоснованы строгими математическими доказательствами.

Теоретическая и практическая ценность работы. Диссертация имеет теоретический характер. Полученные результаты могут быть полезны для дальнейшего развития теории квантовых супералгебр Дринфельда-Джимбо и их приложений в теоретической физике.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались ежегодно на XXX-XXXV научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов (РУДН) (Москва, 1994-1999), а также на научном семинаре по теории представлений кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа РУДН.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 10 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 49 наименований. Диссертация содержит 125 страниц текста и 3 таблицы. Каждая глава состоит из параграфов; пункты и формулы нумеруются внутри

1. Желобенко Д.П. Представления редуктивных алгебр Ли. М.: Наука, 1994.

2. Касселъ К. Квантовые группы. М.: Фазис, 1999.

3. Lusztig G. Introduction to quantum groups. Boston, MA: Birkhauser, 1993. (Progr. Math., 110).

4. Joseph A. Quantum groups and their primitive ideals. Springer, 1995.

5. Chari V., Pressley A. A guide to quantum groups. Camb. Univ. Press. Cambrige, 1995.

6. Shinder S., Sternberg S. Quantum groups from coalgebras to Drinfeld algebras (guided tour). Bar Han University, Harvard University 1994.

7. Демидов E.E. Квантовые группы. M: Факториал, 1998.

8. Gasper G., Rahman M. Basic hypergeometric series. Cambridge Univ. Press, 1990.

9. Drinfeld V. G. Quantum groups // In: Proc. of Intern. Congress of Mathematicians (Berkeley, 1986). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1987. P. 798-820.

10. Желобенко Д.П. Алгебра квантовых бозонов, фильтрация Шуберта и базисы Лю-стига // Известия РАН. 1993. Т. 57. № 6. С. 3-28.

11. Желобенко Д.П. Фильтрация Шуберта и квазидифференцирования в квантовых алгебрах Серра // Вестник РУДН, сер. матем., № 2(2). 1995 С. 3-13.

12. Zhelobenko D.P. Crystal bases and the problem of reduction in classical and quantum modules // Adv. in Math. Sci. AMS Transl. (2). 1995. V. 169. P. 183-202.

13. Kac V.G. Representations of classical Lie superalgebras // Lecture Notes in Math. V. 676. P. 597-626. Berlin, Heidelberg, New York: Springer 1978.

14. Kac V.G. Lie superalgebras // Adv. in Math. 26(1977). P. 8-96.

15. Kac V.G. A sketch of Lie superalgebra theory // Comm. Math. Phys. 1977. V. 53. P. 31-64.

16. Алъ-Натор M.C. Супералгебры Дринфельда-Джимбо A(m,n) // Тезисы докладов XXXI науч. конф. ф-та физ.-матем. и естеств. наук. М.: Изд-во РУДН, 1995. С. 107.

17. Алъ-Натор М.С. Супералгебры Дринфельда-Джимбо типа А(т,п). Вестник РУДН сер. матем. № 4,5(1). 1997-98. С. 3-22.

18. Abe Е. Hopf algebras. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1980.

19. Joseph A., Letzter G. Local finiteness of the adjoint action for quantized enveloping algebras // J. Algebra. 1992. T. 153. P. 289-318.

20. Zang R.B., Gould M.D. Universal -R-matrices and invariants of quantum supergroups // J. Math. Phys. 1991. V. 32. N 12. P. 3261-3267.

21. Concini de C., Kac V.G. Representations of quantum groups at roots of 1 // In: Operator Algebras, Unitary Reprasentations, Enveloping algebras, and Invariant Theory (Paris, 1989). Boston, MA: Birkhauser, 1990. P. 471-506. (Progr. Math., 92).

22. Truini P., Varadarajan V.S. Quantization of reductive Lie algebras: construction and university // Preprint. 1992.

23. Zang R.B. Finite dimensional irreducible representations of the quantum supergroup Uq{Ql(m/n)) // J. Math. Phys. 1993. V. 34. N 3. P. 1236-1254.

24. Алъ-Натор М.С. О базисах Люстига в квантовых супералгебрах типа А(т,п) // Вестник РУДН, сер. матем, 1997-98. № 4,5(1). С. 23-28.

25. Алъ-Натор М.С. Базис Люстига супералгебры Дринфельда-Джимбо типа А(т, п) // Вестник РУДН сер. физ. 1997. № 5(1). С. 11-20.

26. Алъ-Натор М.С. О корневых векторах и базисах Люстига для квантовых супералгебр Серра типа I // Вестник РУДН, сер. матем. 1999. № 6(1). С. 14-41.

27. Алъ-Натор М.С. Стандартные базисы Люстига и фильтрация Шуберта для квантовых супералгебр Серра типа I // Вестник РУДН, сер. матем. 1999. № 6(1). С. 44-57.

28. Алъ-Натор М.С. Вычисление экстремального проектора для супералгебры Ли д = А(1,1). Вопрос редуктивности в категории О // Тезисы докладов XXX науч. конф. ф-та физ.-матем. и естеств. наук. М.: Изд-во РУДН, 1994. С. 16.

29. Алъ-Натор М.С. Экстремальный проектор для супсралгсбры Дрипфсльда Джимбо Uq(A(l, 1)). Критерий редуктивности в категории О // Тезисы докладов XXXII науч. конф. ф-та физ.-матем. и естеств. наук. М.: Изд-во РУДН, 1996. С. 4.

30. Алъ-Натор М.С. Фильтрация Шуберта для квантовых супералгебр Серра типа А(т, п) // Тезисы докладов XXXIII научн. конфер. фак-та физ.-матем. и естеств. наук. М.: Изд-во РУДН, 1997. С. 4.

31. Алъ-Натор М.С. О стандартных базисах Люстига и фильтрации Шуберта для квантовых супералгебр Серра типа I // Тезисы докладов XXXV научн. конфер. фак-та физ.-матем. и естеств. наук. М.: Изд-во РУДН, 1999. С. 49-50.