Деформированные модели суперсимметричной квантовой механики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

2-2015-85 На правах рукописи

СИДОРОВ Степан Сергеевич

ДЕФОРМИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ СУПЕРСИММЕТРИЧНОЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Специальность: 01.04.02 —теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

11 НОЯ 2015

Дубна 2015 005564253

005564253

Работа выполнена в Лаборатории теоретической физики имени Н. Н. Боголюбова Объединённого института ядерных исследований.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Иванов Евгений Алексеевич.

Официальные оппоненты: Галажинский Антон Владимирович.

доктор физико-математических наук, Национальный исследовательский Томский политехнический университет;

Григорьев Максим Анатольевич,

кандидат физико-математических наук, Физический институт имени П. Н. Лебедева Российской академии наук, Отделение теоретической физики имени И. Е. Тамма.

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

учреждение «Государственный научный центр Российской Федерации - Институт физики высоких энергий».

Защита состоится -2-3 2015 г. в /¿> •' ¿V на заседании

диссертационного совета Д 720.001.01 при Объединённом институте ядерных исследований (Лаборатория теоретической физики) по адресу: 141980, г. Дубна, Московской области, ул. Жолио-Кюри, д. 6.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке и на сайте Объединённого института ядерных исследований (http://wwwinfo.jinr.ru/annou nce_disser.htm).

Автореферат разослан «.

(^ОГЛ-'С^Л 2015 г.

Учёный секретарь диссертационного совета Д 720.001.01, д. ф.-м. н.

Арбузов Андрей Борисович

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Суперсимметрия интенсивно исследуется в современной теоретической физике в связи с её значительной ролью в физике элементарных частиц как гипотетической симметрии между бозонными и фермионными полями. В настоящее время именно с суперсимметрией связаны надежды на построение единой теории всех взаимодействий. Кандидатом на такую теорию является теория суперструн [1].

Суперсимметричная квантовая механика - простейшая (I = 1 суперсимметричная теория [2, 3], соответствующая с£ = 1 супералгебре Пуанкаре,

которая состоит из N действительных суперзарядов Q" и гамильтониана Н. Суперсимметрия в одном измерении играет важную роль в исследовании свойств многомерных суперсимметричных теорий, которые порождают различные виды суперсимметричной механики через размерную редукцию. Эффективным инструментом построения суперсимметричных инвариантных действий является суперполевой формализм. Суперполе - это обобщение понятия поля на суперпространство, расширение пространства-времени той или иной размерности антикоммутирующими грассмано-выми координатами.

В последнее время возрос интерес к суперснмметричным теориям поля на искривлённых пространствах с жёсткой (rigid) суперсимметрией [4-7], основанной на искривлённых аналогах супергруппы Пуанкаре в различных измерениях. Существует надежда, что изучение нового класса теорий приведёт к дальнейшему прогрессу в понимании AdS/CFT соответствия. Поэтому естественный интерес вызывают суперсимметричные модели, которые основываются на некоторых искривлённых версиях d = 1 суперсимметрии Пуанкаре. Их можно рассматривать в качестве d, = 1 аналогов многомерных суперсимметричных моделей, а в некоторых случаях они следуют из многомерных теорий через размерную редукцию [8|. Независимо от вопроса размерной редукции, они могут представлять очевидный интерес сами по себе как нетривиальные самосогласованные деформации стандартных моделей суперсимметричной квантовой механики с большим количеством возможных применений.

Один из возможных способов определения таких моделей следует из вида простейшей нетривиальной N = 2, d = 1 супералгебры Пуанкаре. Вводя комплексные генераторы

{Qk,Qn} = 25кпН, [H,Qk ]=0, к,п= 1,...Л/\

(1)

V2

супералгебру (1) для JV = 2 можно переписать в виде

{■Q,Q} = 2H, Q2 = Q2 = О, [Я, Q] = [Я, 0] = 0. (3)

С одной стороны, (анти)коммутаторы (3) определяют Af = 2, ci = 1 супералгебру Пуанкаре. С другой стороны, эти же (анти)коммутационные отношения определяют супералгебру su(l|l), с Я в качестве генератора центрального заряда. Эта двойственная интерпретация Л/* = 2, d = 1 супералгебры Пуанкаре предполагает две возможности её расширения на d, = 1 суперсимметрии более высокого ранга. Первый способ - это прямое расширение

(JV = 2, d = 1) {Я >2, d=l Poincare), (4)

где Af, d = 1 супералгебра Пуанкаре определяется соотношениями (1). Другая, менее очевидная возможность соответствует следующей цепочке вложений:

(Я = 2, d = l) = u(l|l) С sm(2|1) С su(2|2) С .... (5)

Характерной особенностью этого вида расширения является то, что соответствующая супералгебра обязательно содержит, помимо аналога гамильтониана Я, также дополнительные бозонные генераторы. Эти генераторы появляются в замыкании суперзарядов и образуют внутренние симметрии, коммутирующие с гамильтонианом и имеющие определённые ненулевые коммутаторы с суперзарядами. Цепочка (5) не уникальна в том смысле, что можно было бы предложить некоторые другие расширения и(1|1). Супералгебры su(2| 1) и ви(2|2) в цепочке (5) являются простейшими нетривиальными деформациями М = 4 и М = 8 одномерных супералгебр Пуанкаре.

Ранее, модели суперсимметричной механики с альтернативной суперсимметрией 5i7(2|l), известной также как слабая суперсимметрия ("Weak supersymmetry"), были рассмотрены в [9-12]. Однако систематические методы построения новых моделей такой деформированной суперсимметричной квантовой механики не были предъявлены. Одной из основных целей настоящей работы является разработка таких методов, которые были бы применимы не только к 5(/(2|1), но и к аналогичным суперсимметриям более высокого ранга с Л/" > 4. Универсальным методом построения таких моделей является суперполевой подход, в котором суперполя определены на фактор-пространствах соответствующей супергруппы, т. е. на искривлённом суперпространстве.

Суперсимметрия St/(2|1) в квантовой механике также возникает в различных вариантах суперсимметричных моделей Ландау [13-15], [А1]. В данных моделях суперсимметрия связана с преобразованиями полей пространства отображения. Тем не менее, исследование таких моделей позволяют выявить общие свойства, присущие 5[/(2|1) суперсимметрии. С другой стороны, модели Ландау могут обладать нестандартной скрытой мировой суперсимметрией, например, SU(2\2), как показано в [16].

В работе [17]-было показано* что конформная .механика [18] .может быть разделена на три класса, соответствующие параболическги.1, триг01юметрическил1 и ги-перболическим 'реализациям одномерной конформной группы 50(2,1) ~ 57.(2,?,). Ранее в основном изучались суперспмметричные расширения конформной механики/ отвечающие параболическим преобразованиям [19-21]. В недавней работе [22] классификация N' = 4 моделей суперконформной механики была дополнена. тригонометрическим/гиперболическим типам: Как оказалось; тригонометрические'модели могут рассматриваться как модели со слабой суперсимметрией. В отличие от параболических моделей, тригонометрические/гиперболические суперконформные лагранжианы деформированы дополнительным осцилляторным потенциалом. Один из примеров тригонометрического суперконформного N = 4 действия с потенциалом осциллятора рассматривался в [23].

Цель диссертационной работы. Основной целью диссертации является разработка суперполевого (211) формализма, который позволяет построить широкий класс моделей суперсимметричной квантовой механики как деформации стандартных ЛГ = 4, d = 1 моделей. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

• Построение деформированного сунерпростанства 5С/(2|1), а также его гармонического аналога;

• Определение и решение ковариантизованных связен для 5t/(2|l) супергюлей;

• Построение суперсимметричных лагранжианов;

• Изучение квантово-механнческих систем на простых примерах;

• Анализ структуры суперсимметричных волновых функций с точки зрения теории представлений супергруппы 5i/(2|l);

• Установление связи с ранее известными моделями с деформированной суперсимметрией 5i7(2|l) на мировой линии;

Научная новизна и практическая ценность. Суперполевой подход к суперсимметрии 5С/(2|1) позволяет построить новый класс деформированных моделей суперсимметричной квантовой механики и найти суперполевую формулировку лагранжианов вне массовой оболочки (off-shell) для ранее известных моделей [9, 11, 12, 23]. Заметим, что суперполевые St/(2|1) модели были также построены на фактор-пространствах супергруппы 5С/(2|1), включающих бозонные координатные подпространства размерности d = 2,3 [6, 7].

Существует проблема воспроизведения ££/(2|1)моделей суперсимметричной механики на основе размерной редукции многомерных теорий с искривлённой суперсимметрией. В недавней работе [8] для вычисления энергии вакуума была проведена размерная редукция с! = 4 , N = 1 суперсимметричных киральных моделей на искривлённом пространстве 53 х К, где соответствующая супералгебра деформирована до 5и(2|1). В результате, размерная редукция приводит к моделям 5С/(2|1) суперсимметричной механики. Это даёт ещё одно возможное направление исследований, имеющее целью установление связи этой конструкции с 5[/(2|1) суперсимметричной механикой, обсуждаемой в диссертации.

Основные результаты. В диссертационной работе предложен и исследован новый тип моделей N — 4, й = 1 суперсимметричной механики. Эти модели обладают мировой 5У(2|1) суперсимметрией, которая представляет собой деформацию стандартной N — 4, <1 = 1 суперснмметрии параметром т размерности массы. С использованием суперполей на фактор-пространствах супергруппы БИ(2| 1) построены классические и квантовые модели для супермультиплетов (1,4,3), (2,4, 2) и (4,4,0).

Показано, что ранее известные модели со слабой 5{/(2|1) суперсимметрией естественно воспроизводятся из суперполевого 5"С/(2| 1) описания. В частности, лагранжианы на массовой оболочке (оп-вЬеИ), рассмотренные в [9], основаны на 5[/(2|1) муль-типлете (1,4,3). Другой ранее известный тип 5£/(2|1) суперсимметричных моделей [11, 12] связан с обобщением стандартного кирального условия для 5'С/(2|1) мульти-плета (2,4,2).

Для описания мультиплетов (4,4, 0) (обычного и его зеркального аналога) было построено гармоническое 577(211) суперпространство. Как оказалось, модели для этих двух мультиплетов деформированы существенно по-разному, т. е. в деформированном случае мы имеем дело с 2 разными типами неэквивалентных моделей. Таким образом, зеркальность в 5"£/(211) случае «искривлена».

Построено гильбертово пространство суиерволновых функций для простых примеров рассматриваемых мультиплетов, и проанализирована структура соответствующих квантовых состояний. Некоторые особенности квантового спектра находят естественное объяснение в рамках теории 5(/(2|1) представлений. Показано, что собственные значения операторов Казимира играют определяющую роль в структуре суперволновых функций. Отличительным фактом является наличие нетривиальных атипических 5[/(2|1) представлений с неравным количеством бозонных и фермионных состояний, на которых операторы Казимира принимают нулевые значения.

Представлена реализация суперпространства тригонометрического типа для суперконформной суперсимметрии .0(2,1;а), с т = —ац. Эта реализация дана на суперпространстве 5У(2|1) при а Ф 0 и на и{ 1) деформированном N = 4, й = 1 суперпространстве при а = 0. Оказалось, что 56г(2|1) суперполя и их продолжения на

случай а = 0 идеально подходят для полного описания тригонометрических конформных Л/* = 4 действий. Гиперболические действия могут быть получены из тригонометрических простой заменой параметров. В пределе /г = О соответствующие суперконформные модели становятся моделями стандартной параболической суперконформной механики, построенными на основе стандартных N = 4, d = 1 суперполей. Общим свойством лагранжианов суперконформной механики является их зависимость от квадрата параметра деформации ц. Это позволяет представить суперконформные преобразования полей как замыкание двух видов деформированных £t/(2|l) преобразований с параметрами ¡J, и —ц.

Апробация работы. Результаты, выносимые на защиту, докладывались соискателем на следующих научных конференциях:

• Armenia-Dubna Workshop on Problems of (Supersymmetric) Integrable Systems, Дубна, 24 - 25 декабря, 2012, "Super Landau Models on Odd Cosets";

• Supersymmetries and Quantum Symmetries - SQS'2013, Дубна, 29 июля - 3 августа, 2013, "Deformed N=4, d=l Supersymmetry";

• Armenia-Dubna Workshop on Problems of (Supersymmetric) Integrable Systems, Дубна, 24 - 2G декабря, 2013, "Superfield Approach to Supersymmetric Káhler oscillator";

• Supersymmetry in Integrable Systems - SIS'13, Ганновер, 28 - 30 Декабря, 2013, "Deformation of the standard N = 4 supersymmetric mechanics";

• Integrable Systems and Quantum symmetries - ISQS-22, Прага, 23 - 29 июня, 2014, "Supersymmetric Mechanics in Deformed Superspace";

• Quantum Field Theory and Gravity - QFTG'14, Томск, 28 июля - 3 августа, 2014, "N = 4 Superconformal Mechanics in Deformed Superspace";

• Supersymmetry in Integrable Systems - SIS'14, Дубна, 11 - 13 сентября, 2014, "Deformed SU(2|1) Superfields and Superconformal Mechanics";

• Supersymmetry in Integrable Systems - SIS'15, Ереван, 9-13 сентября, 2015, "SU(2|1) mechanics and harmonic superspace".

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликованы 8 статей, 4 из них в реферируемых международных журналах [Al, А2, A3, A7j, 3 в сборниках трудов конференций [А4, А5, А6] и одна в виде препринта [А8]. Последняя работа [А8] направлена в журнал "Classical and Quantum Gravity".

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы и приложения. Объем диссертации - 92 страницы, в т. ч. 1 рисунок. Список литературы содержит 59 наименований.

Основное содержание работы

Во введении сформулированы актуальность и цель работы, кратко изложено содержание диссертации.

Первая глава посвящена построению суперпространства 57/(2|1) и его гармонического аналога. В этой главе показана процедура построения суперпространства 5[/(2|1) как фактор-пространства этой супергруппы, где супералгебра ви(2|1) определена как деформация Л/" = 4, й = 1 супералгебры Пуанкаре. Используя метод форм Картана, мы находим трансформационные свойства координат суперпространства и суперполей, а также ковариантные производные, соответствующие этому суперпространству. Аналогичным образом построено гармоническое суперпространство для супергруппы 5£/(2|1).

В разделе 1.1 обсуждается супералгебра зи(2|1) как деформация стандартной N = 4 , й = 1 супералгебры Пуанкаре массовым параметром т. Супералгебра зи(2|1) в стандартной форме записывается как

{О1, <2;} = 2т!\ + 28)Н, [/', 7*] = <5*7/ - 8\1? ,

(6)

Все остальные (анти)коммутаторы равны нулю. Безразмерные генераторы I' соответствуют симметрии 5£/(2)^, в то время как генератор Н с размерностью массы является внутренним генератором симметрии {7(1)1ы . В пределе т = О супералгебра ви(2|1) переходит в N = 4, <1 = 1 супералгебру Пуанкаре. При этом 77 становится каноническим гамильтонианом, а генераторы I' становятся генераторами внешних автоморфизмов 5С/(2). N = 4, й = 1 супергруппа, соответствующая «плоскому» случаю т = 0, обладает группой автоморфизмов 50(4) ~ 5(7(2) х Би'(2).

Супералгебру (6) можно расширить внешним [/(1)еХ1 генератором автоморфизмов Р [4], который вращает суперзаряды как

[*;<5|]=~<й, = (7)

Массовый параметр т. позволяет разделить внутренний генератор С(1)ш1 как Н = Н-тР. Это приводит супералгебру 5«(2|1)©и(1)ех1 к виду центрально-расширенной

супералгебры su(2|l):

{Q\Qj} = 2m{l)-8i]F)+25)H, ;7',/fj

= [lij,Qk]=6$Qi-±SijQk,

[F,Qi]=-\Qi, [F,Qk]=\Qk. (8)

Генератор F становится внутренним U{l)int генератором супералгебры Su(2|l). Таким образом, внутренние генераторы I' и F образуют симметрию U(2)int, в то же время новый оператор Н коммутирует со всеми остальными генераторами и может рассматриваться как центральный заряд. В случае т ф 0 из второй группы автоморфизмов SU'(2) в алгебре (8) выживает только генератор F.

В разделе 1.2 дан краткий обзор моделей Ландау на различных фактор-пространствах супергруппы 5[/(2|1). Супергруппа 5f/(2|l) была реализована левыми сдвигами на нескольких фактор-пространствах супергруппы SU(2|1), которые использовались в различных вариантах суперсимметричных моделей Ландау [13-15|, [А1], с суперсимметрией 5£/(2|1) в пространстве отображения. Простейший вариант такой модели описан в некоторых деталях в Приложении А.

В разделе 1.3 мы определяем суперпространство 5С/(2|1) как фактор-пространство супергруппы ¿>1/(2|1) с соответствующей центрально-расширенной алгеброй (8). Поля возникают как компоненты суперполей, определенных на этом фактор-пространстве. Расщепление i/(l)int генератора в алгебре (8) на Н и F позволяет отождествить гамильтониан с оператором центрального заряда. Мы помещаем генераторы f/(2)int в подгруппу стабильности, оставляя генераторы Н, Qi и Q} в фактор-пространстве

SU( 2|1) {Q^Qj^J^F}

SU{2)mt х t/(l)int ~ {7j, F} ■ (9)

Координаты суперпространства С = {£,#¿,<9-'} отождествляются с параметрами, связанными с генераторами фактор-пространства. Элемент фактор-пространства в экспоненциальной параметризации записывается как

д = ехр | (l - ^ 0кв^ + ejQj) | ехр {ПН}, Щ = в\ (10)

Для реализации 5[/(2|1) на координатах суперпространства £ = сле-

дует вычислить лево-ковариантные формы Картапа g~ldg. Используя метод форм Картана, легко найти е-преобразования суперпространственных координат

&ei = ei + 2m?0k0i, S9j = ? - 2теквк0\ St = i (ek§k + еквк), (И) и пассивные нечётные преобразования суперполей

6ФА = т [(^0* + ?вк) F - (1 - тв%) + е>9{) Jj] ФА. (12)

Матричные генераторы I' и Р действуют на суперполе Фл с внешним индексом А некоторого и{2)1М представления.

Мера интегрирования, определённая формулой

.¿С := М (Рв й2в (1 + 2т вквк) ,

инвариантна под действием преобразований (11), 5 (с?£) = 0 .

Ковариантные производные Т>', Т>]) вычисляются в виде:

(13)

V =

Т>1

3 тп2

1 + твквк-^-(в)2 {в)2

дв1

■ гв*дг

+ т ¥Р - т & (1 - т вквк) I) ,

1 +твквк^{в)2 (в)2 - тп + т вк (1 - т Ц

дШ

д ]двк

П

(О

= д.

(14)

Важной особенностью суперполевого 5[/(2|1) формализма является наличие дополнительных матричных и(2),м генераторов с нетривиальным действием на спинорные ковариантные производные:

1рк=\брк

■

I 2 ,

Рт>к = - - Т>к. 2

(15)

Раздел 1.4 посвящен построению гармонического й = 1 суперпространства для супергруппы 5{У(2|1). Используя обозначения

д1 = д+, я2 = д-, = д-, д2 = -д+,

= > Р = = (16)

мы можем соответственно переписать супералгебру (8). Мы можем также расширить эту супералгебру генераторами {Т°,Т++,Т } группы автоморфизмов 5[/(2)ех1, которые вращают суперзаряды как внутренние Би{2)^тЛ генераторы {7°,7++,7 }. Для согласованности, 2)ех( генераторы должны вращать таким же образом индексы генераторов 7] , т. е. эти группы 5(7(2) образуют полу-прямое произведение [Т, 7] ос 7 .

Затем мы вводим гармоническое фактор-пространство расширенной супергруп-

{7^, 7++, 7°,7— -Т—,Т°}--{Чл),в ,в ,и>{ } =:(н. (17)

Это суперпространство - деформация стандартного «плоского» N = 4, в. = 1 гармонического суперпространства [24]. Новые гармоники wf, подходящим образом выраженные через би-гармонический набор координат («*-, и^) [25], по-прежнему удовлетворяют стандартным условиям гу+'ш," = 1. Гармоническое суперпространство 5{7(2|1)

содержит замкнутое аналитическое гармоническое подпространство, параметризованное сокращенным набором координат £(.4) := (£<л), ги*)•

Далее, вычислены нечётные преобразования координат гармонического суперпространства 5^7(2|1) и гармонических суперполей, получены деформированные ковари-антные производные и определено условие аналитичности.

В Главе 2 мы определяем суперполя на 5'С/(2|1) суперпространстве, которые описывают соответствующие аналоги неприводимых линейных мультиплетов стандартной N = 4, <1 = 1 суперсимметрии вне массовой оболочки. Они обозначены как (п, 4,4 — п), п = 0,1,2,3,4. Мультиплет (п, 4,4 — п) состоит из 4 фермионных полей, п динамических бозонных полей и (4 — п) вспомогательных бозонных полей,

В разделе 2.1 рассматривается 5С/(2|1) аналог мультиплета (1,4,3) [26, 27]. Он описывается вещественным нейтральным суперполем X, удовлетворяющим 5(/(2|1) ковариантизации условий стандартного мультиплета (1,4,3),

е'Щ Т)5Х = еуХ>' ТУ X = 0, X = 4гп X -4с. (18)

Здесь с - произвольное действительное число. Эти условия имеют следующее решение: X = \\-твквк + т2{в)2 (0)2]1+|(0)2(0)2 + Р0{В} + сЩ(1-2тв*вк)

+ (1 - 2т вквк) (0{ ф1 - Р ФД - г 9кдк ф* + р . (19)

Используя определение (13), мы можем построить общий лагранжиан и действие для 5С/(2|1) мультиплета (1,4,3) в виде

ад =

(К/(Х) = -

сИй2в£е(\ + 2твквк) }{Х), 5 = |л£.

(20)

В частном случае с = 0, соответствующий лагранжиан переходит в лагранжиан модели со слабой суперсиммстрией, введённой в [9].

В качестве простой модели рассматривается квантование гармонического осциллятора, что соответствует выбору /(х) = х2/4. Гильбертово пространство волновых функций строится в терминах волновых функций бозонного гармонического осциллятора. Анализ структуры квантовых состояний показал нетривиальные вырождения уровней Ландау. Операторы Казимира принимают нулевые значения только на уровнях £ = 0 и £ = 1, так что эти уровни образуют атипические представления супергруппы 5[/(2|1). Из-за этого основное состояние (£ = 0) и первое возбужденное состояние (£ = 1) являются специальными, в том смысле, что их волновые функции включают неравное число бозонов и фермионов. На возбуждённых уровнях £ > 1 оба оператора Казимира не равны нулю, так что эти состояния принадлежат к типическим ,ЗС/(2) 1) представлениям, которые характеризуются равным числом бозонов и фермионов. Для наглядности, на рис. 1 показана картина вырождения уровней Ландау.

Е

—О х I х—О— —О—х \ х О—

—О—х-4-*-

—о—:--

Рис. 1. Вырождение уровней Ландау. Круги и кресты обозначают бозоиные и фермионные состояния.

В разделе 2.2 мы рассматриваем мультиплет (2,4,2), который описывается киральным суперполем Ф. Мы показали наличие у супергруппы 5[/(2|1) левого и правого киральных подпространств

а = {ьль с* = я,0*}. Соответствующие комплексные бозонные координаты связаны с координатой времени £ как

Ьь = 1Л-Л9квк-%-т{в)2 (в)2, и к.е.. (21)

Грассмановы координаты в; и в' такие же, как и в (11). Преобразования БП(2[ 1) на координатах {¿¿Д}, {¿я,0'} замкнуты и реализованы как

5в{ = и + 2т?вкв1, = 2г?вк, и к.е.. (22)

Условие киральности

= 0, /'Ф = 0, ЁФ = 2кФ, (23)

имеет решение

Ф(*ь,М) = (1 + 2тёЧГ"Ф^,0). (24)

Здесь суперполе обладает фиксированным внешним С/(1)шЬ зарядом. В принципе, мы могли бы приписать суперполю также нетривиальный внешний 5(/(2)1п1 индекс, но мы рассматриваем простейший случай.

Общий лагранжиан определяется через функцию / (Ф, Ф), которая является аналогом потенциала Кэлера стандартной Я = 4 механики для мультиплета (2,4, 2):

£ы„. = ^|^20(1 + 2тбЧ)/(Ф,Ф). (25)

Так как Ф преобразуется с нетривиальным и{1)ы весом,

¿Ф = 2кт(е# + ё^)Ф, (26)

то потенциал Кэлера должен удовлетворять условию / (Ф,Ф) = / (ФФ) для к / 0. Если к = 0 , то потенциал / (Ф,Ф) - произвольная действительная функция.

Когда к Ф 0, мы можем добавить к кинетическому лагранжиану £kin. потенциальный член

^pot.

d26U{ Фь)+к.с.. (27)

где 771 - дополнительный параметр размерности массы. В отличие от случая стандартной N = 4 механики [28], 5(7(2|1) инвариантный суперполевой потенциал Ы (Фь) строго ограничен требованием компенсации нетривиального преобразования кираль-иой меры = Мь сРв:

5(йСь) = -2т№а)скек. (28)

Единственной возможностью обеспечения инвариантности является следующий выбор потенциала:

М(Ф/,) = (Фь)А. (29)

Для к = 0, никакого суперпотенциала в принципе не существует. Для простоты в дальнейшем мы ограничили наше рассмотрение выбором т = 0.

В этом разделе мы также проквантовали суперзаряды и рассмотрели квантовую

модель на плоскости, которая соответствует простейшему выбору потенциала Кэлера / (ф,ф) = фф.

В разделе 2.3 рассматривается обобщённый киральный мультиплет (2,4, 2) с целью описать суперсимметричный осциллятор Кэлера. Мы имеем дело с другим фактор-пространством 51/(2|1):

шй —щ— ■ (30)

В новом фактор-пространстве гамильтониан Н является полным внутренним и(1)т1 генератором в супералгебре (6). Хотя Н не коммутирует с суперзарядами, соответствующие нётеровские заряды сохраняются из-за наличия в них явной зависимости от Ь. Такая же ситуация имеет место, например, в конформной и суперконформной механиках [21].

Применяя тот же метод форм Картана, легко найти соответствующие ковариант-

ные производные:

= е-Ф

1 + т вквк -

3 т2

{в? {в)*

■тР (1-тбЧ)/'}, (1

И-шёЧ-3"18 "н"3^

■ (в)2 (ву

авз

Щ) = д1

(31)

Объекты в квадратных скобках совпадают с ковариантными производными (14) без матричного генератора £/(1)1п1, который теперь лежит вне подгруппы стабильности. Киральное условие может быть обобщено как

(а) {cosшT>i-smLJ^Vi)^p = G, (Ь) (соя шТУ + апш V*) (р = 0.

(32)

Очевидно, что в подходе на основе суперпространства (9) условия (32) не ковари-антны по подгруппе 1/(1)^, генератор которой умножает Т>{ и Т>{ на сопряжённые фазовые факторы. В нашем случае Т>{ и Т>{ не подвергаются индуцированным суперсимметрией У(1)ш1 фазовым преобразованиям, т. е. киральные условия (32) 5[/(2|1) ковариантны для любого ш. Линейные комбинации можно интерпретировать как результат вращения дублета := (2>ь £>;) по однопараметрической подгруппе внешней группы Би'(2), действующий на индекс дублета г'. Так как эта подгруппа не является автоморфизмом супералгебры (8), зависимость от и не может быть удалена из (32) переопределением грассмановых переменных в{, вк. Это возможно только в пределе тп = 0, когда 5(/'(2) повороты становятся группой автоморфизмов М = 4, <1 = 1 супералгебры.

Условия (32) допускают существование киральных подпространств:

где левое подпространство ^ определяется как

(33)

4 = ¿ + ¿04,

вг= (-

i= (сояи/^е^"1' -Ьвшсс)

^.е-г"1') (1 ~~0%У (34)

В базисе {¿ьД,^} условие киральности (32а) решается в виде = ^(¿¿Д).

Наиболее общее ^С/(2| 1) инвариантное действие для обобщённого кирального суперполя ¥>(£¿,0;) задаётся произвольным потенциалом Кэлера /(<р,<р):

Соответствующий лагранжиан распознаётся как лагранжиан суперсимметричного осциллятора Кэлера [12], который зависит от напряжённости магнитного поля m eos 2üj и частоты осциллятора Кэлера (m sin 2ui) /2 .

В разделах 2.4 и 2.5 мы рассматриваем суперсимметричную механику для мультигшетов (4,4,0) и зеркального (4,4,0) в рамках гармонического суперпространства 5[/(2|1). Для обоих мультиплетов мы построили соответствующие Sí/(2|1) инвариантные лагранжианы, применили гамильтонов формализм и подробно рассмотрели простейшие свободные модели.

Соответствующие модели для двух S[/(2|l) мультиплетов (4, 4, 0) имеют несколько серьёзных отличий. В частности, мы показали отсутствие действия Весса-Зумино для 5С/(2|1) мультиплета (4,4,0), в то же время как в зеркальном случае мы построили St/(2|1) инвариантные суперполевые действия Весса-Зумино. Это означает, что в деформированном случае определённые взаимодействия этих мультиплетов могут быть не эквивалентны.

На самом деле, стандартные мультиплеты (п,4,4-п) плоской M — 4, d = 1 суперсимметрии могут иметь свои «зеркальные» (или «твистованные») аналоги, которые обладают тем же набором полей, но для которых две коммутирующие SU(2) группы из группы автоморфизмов 5(7(2) х SU'(2) супералгебры И = 4, d = 1 меняются ролями. Поскольку эти автоморфизмы входят в расширенную ими супералгебру совершенно симметричным образом, разница между двумя взаимно зеркальными мультиплетами проявляется только в тех моделях суперсимметричной квантовой механики, где эти мультиплеты присутствуют одновременно. В 5í/(2|l) деформированном случае, симметрия между двумя бывшими группами автоморфизмов SU(2) и SU'(2) плоской супералгебры нарушена: первая группа SU(2) становится внутренней группой SU{2)¡nt, в то время как только генератор F из SU'(2) выживает в супералгебре (8). Таким образом, возникает существенная разница между 5(/(2|1) мультиплетами и их возможными зеркальными партнёрами.

В третьей главе мы рассматриваем подкласс моделей 5С/(2|1) .механики, которые обладают суперконформной симметрией D (2,1; а). Супералгебра D (2,1; а) содержит 8 суперзарядов и 9 бозонных генераторов со следующими ненулевыми (антикоммутаторами:

{Qcív, Q/3jf} = 2 + aeafi<LilyJij - (1+a) е^ецЬ^.] , ' (36)

[тар, <37ü'] = -i e7(aQ/3)«', [Tap, Tys] = i (ea-,Tps + £p¡Tai),

[Jij, Qaki'} = -i £k(iQaj)i' , [Jij, Jkl\ = i (UkJjl + £jiJik) ,

[¿¿'j', Qaik'} = -i tk'vQaij'), [Li'j>,Lk'i>\ = i (Wk'Lj'v + £¿'1 'Li'k') ■ (37)

Бозонная подалгебра есть сумма 3 взаимно коммутирующих алгебр su(2) © su'(2) ф

«о(2,1) с генераторами ^к , Ь^к> и Тар, соответственно. Перестановка а как а «-> — (1 + а) означает перестановку 811(2) генераторов как -Н- Ь^'к'.

N = 4 , й = 1 супералгебра Пуанкаре определяется как подалгебра О (2,1; а):

{Qu¡',Qijj'} = 2 eijei'fH.

(38)

Бозонный генератор Я является одним из генераторов стандартной конформной алгебры яо(2,1), которые определены как

Я:=Т„

К := 7V

... . ... -d;=T12 [Дя]=-гЯ, [£>, ЛГ] = гЛ",

[н,к]

= 2iD.

(39)

(40)

В разделе 3.2 рассмотрено вложение супералгебры sit(2|l) в D (2.1; а). Для этого мы переходим к новому базису в D (2,1; а) с помощью следующих линейных преобразований:

eikQiki' =: (S{ + Q*) ,

£ikQ2kV =■ ~ (Q¡ - S*) , ß

1

Qnr (Sj+Qj),

Q2]2, =:-i (Qj-Si),

T22

я

1

(T + T)

г„ =: \

n+-(T + T)

T12 = T21=:-(T-T);

Lyi',=: —iC, L2'2' ='■ iC, Ly 2' = ¿2'i' =: —iF,

Jj=: -il).

(41)

Параметр ¡1 является действительным параметром размерности массы.

В новом базисе суперконформная алгебра включает в качестве подалгебры супералгебру 5и(2)1), определённую как

Qj} = - Ц + 2Ь) [H + (l+a)ßF\,

1 Г/г Пк 1 = I

[F,<5í]=~0í, [F,Qk]=¿Qk, [H,Qk]=-^Qk,

2 2 . L-- --J 2

ß. Qi] = - 5\Qi - fö, Qfc] = - .

Эти соотношения совпадают с (8) при следующем отождествлении m(/t) = —Q/i, II(ß) —Н + ¡J.F.

(42)

(43)

Заметим, что замыкание 5С/(2|1) суперзарядов зависит от параметра а, поскольку Зи(2) и 5{/'(2) генераторы ^ = — ¿/¿_, и ~ {С, С} появляются в антикоммутаторах (36) с факторами а и 1 + а соответственно. Генератор Р в (42) происходит из алгебры ¿и'(2), в то время как алгебра зи(2) с генераторами является подалгеброй (42), зи(2) С зи(2|1).

Другое вложение яи(2[1) С ¿3(2,1; а) связано с суперзарядами 5* и Sj, которые генерируют супералгебру 5и(2|1), но с противоположным по знаку параметром /х по сравнению с (42). Все остальные генераторы Т ,Т, С, С появляются в антикоммутаторах суперзарядов Qj) с (5(, Ф'). Таким образом, супералгебра Б (2,1; а) может быть представлена в виде замыкания двух её ви(2|1) подалгебр, которые переходят друг в друга при отражении (1 —» —/г. Это наблюдение оказывается очень полезным для построения 73 (2,1;а) инвариантного подкласса 5{7(2|1) инвариантных действий.

После возвращения к первоначальным суперконформным генераторам, любая зависимость (анти)коммутационных соотношений от ¡1 исчезает, но она по-прежнему сохраняется в реализации 73 (2,1; а) на координатах 5(/(2|1) суперпространства. Беря предел /1 = 0в этом базисе, мы получаем стандартную параболическую реализацию 73 (2,1; а) в плоском Л/* = 4, <1 = 1 суперпространстве.

Ещё одна особенность связана с наличием композитного параметра деформации т = — ац в (42). Он обращается в ноль не только в стандартном пределе ц = 0, но также в пределе а = 0 с ц ^ 0. Супералгебра (42) при а = 0 переходит в N = 4 супералгебру

[г, <2<] = $1, [Р, Як] = \ [Н, 0/] =£<?/, [п, Як] = як. (44)

Эта алгебра всё ещё образует подалгебру в /3(2,1;а = 0). Тем не менее, она не совпадает со стандартной плоской Л/* = 4, й = 1 супералгеброй Пуанкаре в пределе ¡1 = 0, потому что антикоммутатор в (44) порождает сумму % 4- цр. Генераторы Ц становятся генераторами автоморфизмов алгебры (44) и супералгебры рви(1,112), в то время как генератор Т"1 остаётся внутренним 1/( 1) генератором. Вся супералгебра 73(2,1; а = 0) теперь может рассматриваться как замыкание супералгсбры (44) и её ¡1 —¥ —ц аналога.

Кроме суперпространств (9) и (30), мы можем рассмотреть ещё одно 5£/(2|1) суперпространство, которое определено как фактор-пространство 5У(2|1) * {О'.Ф.М.-Р'.Ф

5[/(2) х [/(1)1п1 ~ {/',74 • 1 ;

В случае а = —1, убирая генератор F из (45), мы получаем суперпространство (30) с параметром деформации т = д. В пределе а = 0 мы переходим к фактор-пространству

(М = 4,(1= 1) х Ц(1)ех1 Ц,*1} {ля,

Щ1и ~ {*■}

где (ЛГ = 4,(7 = 1) х и(1)ех1 соответствует алгебре (44). Подставляя а = 0 во все формулы, соответствующие выбору (45), мы приходим к суперпространству (46) и соответствующему суперполевому формализму.

В разделе 3.2 найдена тригонометрическая реализация суперконформных генераторов на координатах суперпространства 5£/(2|1). Суперконформные генераторы (41) могут быть реализованы на 5С/(2|1) суперпространстве (45). Элемент этого фактор-пространства определяется через (10) как

дх = дехр{-г^Р} . (47)

В частном случае а = 0 в (47), элемент фактор-пространства параметризуется координатами плоского суперпространства С(а=о) = На самом деле, элемент (47) совпадает с элементом фактор-пространства конформной супергруппы 73(2,1;а):

Ё^Н,Т,Т,Р,С,С,I}}

Генераторы, помещённые в знаменатель, действительно образуют замкнутую алгебру.

На координате £ тригонометрическая форма конформных генераторов {Ц, Т, Т} записывается в виде

П = 1Э1, Г = »е"^, (49)

Стандартные яо(2,1) генераторы (39), определённые в (41), выражаются как

г - 2г - г

Н = -{\ + о.о5)й)д1, К = —(1 — соэ/^) , 73 =-Бт/^а,. (50)

2 цг V

В пределе ц —» 0 эти генераторы превращаются в параболические генераторы

77 = г'3£, 73 Ид1, К = И2д(. (51)

Такие 'же свойства присущи всей совокупности 73(2,1; а) генераторов (41) для ц, ф 0.

В следующем разделе 3.3 показано, что после соответствующего переопределения координат 5С/(2|1) суперпространства весь набор суперконформных генераторов может быть построен в терминах деформированных суперзарядов (Ц(ц) и 5(/х) ее <ЭС—/*) •

В разделах 3.4 - 3.6 построены суперконформные лагранжианы для мульти-плетов (1,4,3), (2,4,2) и (4,4,0).

В Заключении приведены основные результаты диссертационной работы и обсуждаются направления возможных дальнейших исследований.

В Приложении А рассмотрена суперсимметричная модель Ландау на ферми онном фактор-пространстве 5'[/(2|1)/7/(2).

В Приложении Б дана классификация конечномерных неприводимых представлений супергруппы 5?7(2|1).

Список публикаций по теме диссертации

Al. М. Gcykhman, Е. Ivanov, and S. Sidorov, "Super Landau Models on Odd Cosets," Phys. Rev. D87, (2013) 025026, arXiv: 1208.3418 [hep-th].

A2. E. Ivanov and S. Sidorov, "Deformed Supersymmetric Mechanics," Class. Quant. Grav. 31 (2014) 075013, arXiv: 1307.7690 [hep-th],

A3. E. Ivanov and S. Sidorov, "Super Kahler oscillator from SU(2|1) superspace," J. Phys. A47 (2014) 292002, arXiv: 1312.6821 [hep-th],

A4. S. Sidorov, "Deformed ЛГ = 4, d = 1 supersymmetry," Phys. Part. Nucl. Lett. 11, (2014) 971-973.

A5. E. Ivanov and S. Sidorov, "New Type of M = 4 Supersymmetric Mechanics," Springer Proc. Math. Stat. Ill (2014) 51-66.

A6. E. Ivanov and S. Sidorov, "New type of AT = 4 supersymmetric quantum mechanics," AIP Conf. Proc. 1606 (2014) 374-385.

A7. E. Ivanov, S. Sidorov, and F. Toppan, "Superconformal mechanics in SU(2|1) superspace," Phys. Rev. D91, (2015) 085032, arXiv: 1501.05622 [hep-th],

A8. E. Ivanov and S. Sidorov, "SU(2|1) mechanics and harmonic superspace," arXiv:1507.00987 [hep-th].

Список цитируемой литературы

1. К. Becker, М. Becker, and J. Schwarz, String Theory and M-Theory: A Modern Introduction. Cambridge University Press, 2006.

2. E. Witten, "Dynamical Breaking of Supersymmetry," Nucl. Phys. B188 (1981) 513.

3. E. Witten, "Constraints on Supersymmetry Breaking," Nucl. Phys. B202 (1982) 253.

4. G. Festuccia and N. Seiberg, "Rigid Supersymmetric Theories in Curved Superspace," JHEP 06 (2011) 114, arXiv: 1105.0689 [hep-th].

5. Т. T. Dumitrescu, G. Festuccia, and N. Seiberg, "Exploring Curved Superspace," JHEP 08 (2012) 141, arXiv: 1205.1115 [hep-th].

6. I. B. Samsonov and D. Sorokin, "Superfield theories on S3 and their localization," JHEP 04 (2014) 102, arXiv: 1401.7952 [hep-th],

7. I. B. Samsonov and D. Sorokin, "Gauge and matter superfield theories on S2," JHEP 09 (2014) 097, arXiv: 1407.6270 [hep-th].

8. B. Assel, D. :Cassarii,'L.: Di Pietro, Z. Komargo3ski;':J.-Ldrenzen, ind:I>.'!Mkrtelli, "The Casimir Energy in Curved Space and its Supersymmetric Counterpart," JHEP 07 (2015); 043,. arXiy: 1503.05537 [hep-th], , ■ . '

9. A. V. Smilga, "Weak supersymmetry'," Phys. 'Lett: B585 (2004) 173-179, ; • arXiv:hep-th/0311023.

10. D. Robert and A. V. Smilga, "Supersymmetry vs ghosts " J. Math. Phys. 49 (2008) 042104, arXiv:math-ph/0611023.

11. S. Bellucci and A. Nersessian, "(Super)oscillator on CP**N and constant magnetic field," Phys. Rev. D67 (2003) 065013, arXiv:hep-th/0211070. [Erratum: Phys. Rev.D71,089901 (2005)].

12. S. Bellucci and A. Nersessian, "Supersymmetric Kahler oscillator in a constant magnetic field," in International Seminar on Supersymmetries and Quantum Symmetries SQS 03 Dubna, Russia, July 24-29, 2003. 2004. arXiv:hep-th/0401232.

13. E. Ivanov, L. Mezincescu, and P. K. Townsend, "A Super-Flag Landau model," arXiv:hep-th/0404108.

14. E. Ivanov, L. Mezincescu, A. Pashnev, and P. K. Townsend, "Odd coset quantum mechanics," Phys. Lett. B566 (2003) 175-182, arXiv :hep-th/0301241.

15. A. Beylin, T. L. Curtright, E. Ivanov, L. Mezincescu, and P. K. Townsend, "Unitary Spherical Super-Landau Models," JHEP 10 (2008) 069, arXiv:0806.4716 [hep-th],

16. V. Bychkov and E. Ivanov, "N=4 Supersymmetric Landau Models," Nucl. Phys. B863 (2012) 33-64, arXiv: 1202.4984 [hep-th],

17. G. Papadopoulos, "New potentials for conformal mechanics," Class. Quant. Grav. 30 (2013) 075018, arXiv: 1210.1719 [hep-th],

18. V. de Alfaro, S. Fubini, and G. Furlan, "Conformal Invariance in Quantum Mechanics," Nuovo Cim. A34 (1976) 569.

19. E. Ivanov, S. Krivonos, and O. Lechtenfeld, "New variant of N=4 superconformal mechanics," JHEP 03 (2003) 014, arXiv:hep-th/0212303.

20. E. Ivanov, S. Krivonos, and O. Lechtenfeld, "N=4, d = 1 supermultiplets from nonlinear realizations of D(2,1; a)" Class. Quant. Grav. 21 (2004) 1031-1050, arXiv:hep-th/0310299.

21. S. Fedoruk, E. Ivanov, and O. Lechtenfeld, "Superconformal Mechanics," J. Phys. A45 (2012) 173001, arXiv: 1112.1947 [hep-th],

22. N. L. Holanda and F. Toppan, "Four types of (super)conformal mechanics: D-module reps and invariant actions," J. Math. Phys. 55 (2014) 061703, arXiv: 1402.7298 [hep-th].

23. S. Bellucci and S. Krivonos, "Potentials in N=4 superconformal mechanics," Phys. Rev. D80 (2009) 065022, arXiv:0905.4633 [hep-th],

24. E. Ivanov and O. Lechtenfeld, "N=4 supersymmetric mechanics in harmonic superspace," JHEP 09 (2003) 073, arXiv:hep-th/0307111.

25. A. S. Galperin, E. A. Ivanov, V. I. Ogievetsky, and E. S. Sokatchev, Harmonic Superspace. Cambridge University' Press, 2001.

26. E. A. Ivanov, S. O. Krivonos, and V. M. Leviant, "Geometric Superfield Approach to Superconformal Mechanics," J. Phys. A22 (1989) 4201.

27. E. A. Ivanov, S. O. Krivonos, and A. I. Pashnev, "Partial supersymmetry breaking in N=4 supersymmetric quantum mechanics," Class. Quant. Grav. 8 (1991) 19-40.

28. V. Berezovoi and A. Pashnev, "On the structure of the N=4 supersymmetric quantum mechanics in D = 2 and D = 3," Class. Quant. Grav. 13 (1996) 1699, arXiv:hep-th/9506094.

riojiyneHO 01 OKT5i6pa 2015 r.

Отпечатано методом прямого репродуцирования с оригинала, предоставленного автором.

Подписано в печать 02.10.2015. Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,37. Уч.-изд. л. 1,65. Тираж 100 экз. Заказ № 58645.

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований 141980, г. Дубна, Московская обл., ул. Жолио-Кюри, 6. E-mail: publish@jinr.ru www.jinr.ru/publish/