Метод суперсимметрии в квантовой механике и многомерные квантовые системы с эквивалентными спектрами тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

я?

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ИОФФЕ Михаил Вульфович

МЕТОД СУПЕРСИММЕТРИИ В КВАНТОВОЙ

МЕХАНИКЕ И МНОГОМЕРНЫЕ КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ С ЭКВИВАЛЕНТНЫМИ СПЕКТРАМИ

(01.04.02 - теоретическая физика)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 1995 г.

Работа выполнена в отделе теоретической физики Научно-исследовательского института физики Санкт-Петербургского государственного университета.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук М.А.Браун,

доктор физико-математических наук Г.П.Пронько,

доктор физико-математических наук М.А.Салль,

Ведущая организация - Научно-исследовательский институт ядерной физики Московского государственного университета

Защита состоится " !Ь 1996г.

в/_2_ час. на заседании диссертационного совета Л 063.57.15 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан 1995г.

Ученый секретарь специализированного совета

доктор физико-математических наук А.Н.Васильев

о

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Среди новых идей, появившихся в теоретической физике в последние два десятилетия, идея суперсимметрии оказалась одной из наиболее популярных и плодотворных. Впервые она была введенав теорию элементарных частиц в конце 1970-х годов независимо и примерно одновременно в работах Ю.Гольфанда, Е.Лихтмана, изучавших новые возможности объединения пространственных и внутренних симметрии, и Ж.Жерве, Б.Сакиты, в рамках дуальной струнной модели адро-нов, описываемой фермионными и бозонными полями на двумерной мировой струнной поверхности. Широкую известность среди теоретиков суперсимметрия приобрела после появления работ Л.Волкова, В.Акулова и Д.Весса, Б.Зумино, которые открыли перспективы использования идей суперсимметрии для решения целого ряда самых фундаментальных проблем квантовой теории поля. Термином "суперсимметрия" называют свойство инвариантности системы при преобразованиях, которые смешивают бозонные (коммутирующие) и фермионные (анти-коммутнрующие) степени свободы, описывающие эту систему. При этом вместо обычных алгебр Ли симметрия системы описывается так называемой супералгеброй (градуированной алгеброй), которая содержит не только коммутационные, но и антикоммутационные соотношения между элементами алгебры.

Среди причин необычайно широкого распространения идей и методов суперсимметрии в теоретической физике следует отметить как эстетические, так и прагматические. К первым нужно отнести очень красивый математический аппарат теории, который развивался и до, и после введения понятия суперсимметрии в физике для описания классических систем с коммутирующими и антикоммутируюгцими (грассмановыми) переменными и их квантования. С суперсимметрией связывают надежды на решение многих серьезных проблем теории элементарных частиц и, в конечном счете, на создание единой суперсимметричной теории всех фундаментальных взаимодействий, включая гравитационное. В супер симметричной теории впервые удается объединить в один мультиплет как поля материи (фермионы),

так и поля - переносчики взаимодействия (бозоны). Именно суперсимметрия позволяет, в принципе, преодолеть последствия известной "no-go"' теоремы и нетривиальным образом объединить пространственно-временную группу Пуанкаре и группу внутренней симметрии.

Свойство суперсимметрии, регулируя вклад бозонных и фер-мионных петлевых диаграмм, ведет к резкому сокращению, или даже уничтожению, ультрафиолетовых расходимостей квантово-полевых моделей. Именно по этой причине идею суперсиммме-трии начали активно использовать для построения квантовой теории гравитации — супергравитации. Дальнейшее развитие суперсимметрии связано с созданием различных моделей взаимодействующих суперструн, призванных реализовать единую теорию, объединяющую все известные фундаментальные взаимодействия элементарных частиц, в том числе, гравитационное.

Несмотря на все вышеперечисленные теоретические достижения и даже экспериментальные поиски частиц-суперпартнеров, до сих пор не обнаружено прямых доказательств наличия суперсимметрии в физике элементарных частиц. Тем не менее, эстетическая привлекательность идеи суперсимметрии и уже полученные результаты побуждают не только продолжать поиск ее проявлений в физике элементарных частиц, но и развивать суперсимметричный подход в других областях теоретической и математической физики: в ядерной физике, в статистической физике, в акустике, в теории нелинейных дифференциальных уравнений.

Среди таких направлений использования идей суперсимметрии, не связанных непосредственно с физикой высоких энергий, нерелятивистская квантовая механика занимает особое место, т.к. именно здесь найдены многочисленные примеры суперсимметричных систем. В определенном смысле, именно в суперсимметричной квантовой механике дается положительный ответ на вопрос о существовании суперсимметрии в реальном мире.

Одномерная нерелятивистская модель, называемая суперсимметричной квантовой механикой (ССКМ), была предложе-

на Е.Виттеном в качестве модельной системы для исследования механизмов спонтанного нарушения суперсимметрии, которые чрезвычайно важны при попытках использовать суперсимметрию в теории элементарных частиц. Именно в рамках ССКМ был сформулирован и исследован известный критерий Виттена спонтанного нарушения суперсимметрии, связанный с числом нормируемых нуль-мод генераторов суперпреобразований, которое, в свою очередь, определяется топологическими свойствами суперпотенциала. Однако, ССКМ оказалась весьма полезной не только в качестве модельной системы для изучения суперсимметричных моделей квантовой теории поля, но и сама по себе для исследования различных моделей нерелятивистской квантовой механики. ^

Стандартная одномерная суперсимметричная квантовая-ме-ханика Виттена задается гамильтонианом системы Н, который будем называть супергамильтонианом, и парой взаимно сопряженных генераторов суперпреобразований 0|±. Они должны удовлетворять градуированной алгебре ССКМ:

[#,<^1 = 0; {<?-,<?"} = Я; т2 = 0, ' (1)

с нильпотентными (степени 2) дифференциальными операторами линейными по пространственным производным, и эрмитовым супергамильтонианом Н Шредиягеровского типа. Из этих соотношений следует, что супергамильтониан инвариантен относительно суперпреобразований, все его собственные значения неотрицательны, а все положительные собственные значения, по крайней мере, двукратно вырождены. Волновые функции, соответствующие одинаковым значениям энергии, связаны друг с другом операторами и принадлежат, соответственно, "бозонному" и "фермионному" секторам модели.

С помощью суперсимметричной квантовой механики исследовались различные проблемы, и среди них следует отметить классификацию одномерных гамильтонианов, спектры которых могут быть найдены алгебраически ("потенциалы инвариантной формы"), модифицированное квазиклассическое приближение, которое для ряда потенциалов позволяет получать точные

собственные значения энергии, другие приближенные методы, такие, как 1/ЛГ—разложение и вариационный метод.

Другое направление исследований в ССКМ, -которое уже упоминалось выше - спонтанное нарушение супер симметрии и топологические свойства ССКМ-моделей. Особое внимание уделяется индексу Виттена (Лкг = пв - пр, где пв,пр - число бозонных и фермионных собственных состояний с нулевой энергией супергамильтониана Н). который устойчив относительно непрерывных изменений суперпотенциала и других параметров модели, что позволяет вычислять его в простых моделях и затем использовать в более сложных. Полезным оказалось наблюдение, что индекс Виттена в ССКМ совпадает с индексом оператора : Д)г = 1псК2~ н сНткегф- — <Иткег<2+. Оно позволило развить новый подход к доказательству и исследованию известной теоремы Атьи - Зингера об индексе с помощью континуального интеграла по коммутирующим и антикоммути-рующим переменным.

Цель диссертационной работы. Основная цель диссертационной работы состоит в разработке и развитии суперсимметричного метода анализа многомерных и многокомпонентных квантовомеханических систем, а также его обобщений, для исследования более широкого класса одномерных систем.

■Практически, всем различным реализациям и обобщениям алгебры ССКМ свойственна одна общая черта: суперсимметрия кваятово-механической системы означает, что в ней присутствуют две подсистемы, "бозонная" и "фермионная", спектры которых эквивалентны, а волновые функции выражаются друг через друга с помощью определенных дифференциальных операторов. Эквивалентными называются системы, спектры которых могут отличаться положением нескольких (часто одного) дискретных уровней энергии. Обе эти подсистемы могут иметь достаточно сложную внутреннюю структуру, что и про-являетсяв различных реализациях ССКМ. Таким образом, для ССКМ и ее обобщений характерно наличие нетривиальных ди-

б

намических связей между компонентами супергамильтониана. Обнаружение и анализ этих связей представляется одним из главных направлений исследований в ССКМ. Они, в частности, могут использоваться для построения новых модельных систем с известными свойствами, на базе которых можно развивать те или иные процедуры аппроксимаций. Скрытые динамические симметрии, соответствующие суперсимметрии, позволяют анализировать спектральные свойства систем, а также конструировать системы с заранее заданными свойствами. .Действительно, зная спектральные характеристики исходного гамильтониана, методом суперсимметрии можно строить семейства других гамильтонианов (суперпартнеров} с эквивалентными спектральными характеристиками.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются оригинальными и получены впервые.

В одномерном пространстве методом суперсимметрии проведен анализ ряда новых эквивалентных квантовых систем:

- предложена общая схема построения квантовых систем, обладающих обобщенной (полиномиальной) суперсимметрией с супергенераторами высших порядков по производным. Исследована роль индекса Внттена для таких систем, найдены следствия q - деформированной суперсимметричной алгебры для характеристик рассеяния:

- исследован класс двухканальных систем с сильной связью каналов, допускающих диагонализацию методами ССКМ с матричным суперпотенциалом.

Разработан супер симметричный метод исследования кванто-во - механических систем с размерностью пространства •! > 2:

- построено двумерное обобщение метода факторизации и преобразования Дарбу, получено семейстьо изоспектральных двумерных гамильтонианов и связь их собственных функций;

- предложено обобщение преобразований Дарбу и метода факторизации для произвольной размерности пространства. Найден класс многомерных гамильтонианов с взаимосвязанными

спектрами и волновыми функциями;

-получена связь характеристик рассеяния для компонент суперсимметричного гамильтониана в трехмерном пространстве с 0(3) - инвариантным суперпотенциалом. Найдены следствия суперсимметрии нуклон-нуклонного и нуклон-антинуклонного рассеяния в приближении однопионного обмена;

- построены двумерные суперсимметричные квантовые системы, обладающие операторами симметрии, получен явный вид этих операторов, а также исследован классический предел таких систем;

- найден класс внешних электромагнитных и скалярных полей, для которых уравнение Паули со спином э= 1/2 допускает диагонализацию методами двумерной суперсимметричной квантовой механики;

- построен ряд новых двумерных квантовых моделей, обладающих парасуперсимметрией. В рамках парасуперполевого формализма найдены многомерные реализации алгебры пара-суперсимметрии для осцилляторного царасуперпотенциала.

Научная и практическая ценность. Представленные в диссертации суперсимметричные методы исследования нерелятивистских квантовых систем могут быть использованы для поиска динамических связей, обусловленных скрытыми или обобщенными снмметриями между физическими характеристиками квантовых систем. Этот поиск необходим для разработки принципов отбора квантовых моделей, исследования их спектральных данных алгебраическими методами, для описания явлений, зависящих от глобальных свойств потенциалов в квантовом гамильтониане, для построения модельных систем с заданными свойствами, для разработки новых приближенных методов исследования в квантовой механике.

Апробация работы. Основные результаты диссертации в разные годы были представлены на :ессиях Отделения Ядерной физики АН СССР, на Международной конференции "Проблемы

квантовой теории поля и математической физики" в Либлице (Чехословакия), на Всесоюзном семинаре по суперсимметрии в Харькове (Украина), докладывались на научных семинарах Санкт-Петербургского государственного университета, Будапештского университета (Венгрия), Вроцлавского университета (Польша), Института Ядерной физики и Университета Болоньи (Италия). Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-20].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Полный объем диссертации - 195 стр., список литературы включает 149 ссылок.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ..

Во введении дается краткий обзор развития идеи суперсимметрии в физике, содержится обоснование актуальности, целей и задач диссертации и приводится краткое изложение ее содержания, определен круг вопросов, составляющих основной предмет дальнейшего расслготрения.

Глава 1 "Системы с эквивалентными спектрами в пространствах низших размерностей" состоит из двух разделов. В разделе 1.1., имеющем вспомогательный характер, приведены известные результаты по преобразованию Дарбу и методу факторизации Шредингера для одномерных систем. Здесь показано, что два этих подхода представляют, в разных формах, одно и то же свойство одномерных систем: каждому оператору типа оператора Шредингера можно сопоставить эквивалентный ему другой оператор такого же вида. Показано, что, в зависимости от выбора генератора преобразования, или, в другом подходе, от выбора функции ''суперпотенциала'Ч спектры двух гамильтонианов могут либо совпадать, либо отличаться лишним низшим собственным состоянием у одного из операторов. В разделе 1.2. построено обобщение метода факторизации на случай гамиль-

тонианов в двумерном пространстве. Для исходного скалярного гамильтониана Н^ с известным спектром, представленного в квазифакторизованном виде

2

я(0) = ]Г qUT +Ё\ д г = +Э, + %(£),

1=1

строится другой скалярный гамильтониан

Доказано, что спектр этой пары гамильтонианов совпадает (с точностью до основного состояния) со спектром 2x2 матричного гамильтониана

а соответствующие собственные функции связаны друг с другом операторами , ^ = ечЧк • Именно эти операторы сплетают гамильтониан нЦ' с гамильтонианами :

я<\+= ^'Г Я(2)^ = Р?н1р.

Таким образом, двумерное обобщение преобразования Дарбу и метода факторизацшт включает в себя матричный (в общем случае, недиагональный) гамильтониан, определенным образом зависящий от функции "суперпотенциала"

Этот рецепт можно развить и на случай трехмерного пространства, но для построения общей схемы многомерного метода факторизации полезным оказался метод суперсимметрии, разработанный в главе 2 "Суперсимметричная квантовая механика" для систем с размерностью с£ > 1. В разделе 2.1. построено обобщение одномерной стандартной ССКМ Виттена на двумерный случай. При этом супералгебра имеет тот же вид (1), но реализуется 4x4 матричными операторами: супергамильтонианом Н с компонентами Ни супергенераторами

/0 qt qt O \

Q~ = (Q+)f =

ООО p~ 0 0 0 pj \ o o o o /

Таким образом, конструкция предыдущей главы приобретает суперсимметричную форму, которая допускает обобщение на случай произвольной размерности c¿.

Для построения этого обобщения в разделе 2.2. используется известный своей конструктивностью суперполевой подход. Классический суперинвариантный функционал действия скалярного вещественного d - компонентного поля (pit,в,9), зависящего от времени t и грассмановых переменных 9,0,

9¡(í, 9,S) = ri(É) + iQi>\{t) - iv\(t)B + 9SD¡{t).

строится с помощью суперковариантной производной D и произвольного самодействия х{"3) '■

S = JdtL{$) = Jdt J dddd[-l-D^D^+x{v)}.

После исключения нединамических полей -Di(t) и канонического квантования системы, получены выражения для супергамильтониана

Н = -pipi + -(01л:)(%) + ^гйпхНй, V'm]

и квантовых генераторов суперпреобразований Q±, которые реализуют супералгебру (l). Для разных d требуются различные матричные реализации фермионных операторов что и

приводит к определенной размерности матриц Н и Q~.

В разделе 2.3. подробно исследована структура этих операторов, что дает общую схему реализации ССКМ в произвольной размерности пространства. Показано, что в пространстве чисел заполнения для фермионов супергамильтониан Н является блочно-диагональным оператором, а супергенераторы Q- содержат отличные от нуля блоки под диагональю или над ней. Таким образом, начиная с некоторого скалярного

а—мерного гамильтониана, можно построить цепочку гамильтонианов гг = 0,1,2,..., с1 (вообще говоря, матричных), спектры которых связаны друг с другом определенным образом, а собственные функции переводятся друг в друга операторами типа pf.

Раздел 2.4. посвящен анализу физической модели, в которой реализуется алгебра двумерной ССКМ, а именно, нерелятивистской частице со спином ¿' = 1/2 и произвольным магнитным моментом, движущейся в трехмерном пространстве во внешних электромагнитных и скалярных полях. Внешние поля предполагаются зависящими только от двух пространственных переменных, что позволяет, для достаточно широкого класса внешних полей, связать гамильтониан Паули х з

НР = + еЛа(?))2 ~ ¡¿<таВа(х)] + Ь'(х),

" о=1

описывающий эту систему, с матричной 2 х 2-компонентой Н^ супергамильтониана двумерной ССКМ . Наличие такой связи означает, что спектр и волновые функции для матричного уравнения Паули выражаются через спектр и волновые функции двух скалярных задач, соответствующих скалярным компонентам супергамильтониана.

Связь между собственными функциями и собственными значениями компонент Л^ многомерного суперсимметричного гамильтониана/Г, которая установлена в предыдущей главе, справедлива, строго говоря, для растущих потенциалов с чисто дискретным спектром. В главе 3 "Суперсимметричная квантовая механика и задача рассеяния" подобные связи найдены для волновых функций непрерывного спектра, что является проявлением суперсимметрии 5 - матрицы, построенной по суперсимметричному трехмерному гамильтониану. При этом суперпотенциал \;(г) предполагается достаточно гладким и быстро убывающим при г = |£| — оо. В разделе 3.1. в рамках стационарного формализма задачи рассеяния для трехмерного сферически-симметричного суперпогенциада получены соотношения между

амплитудами рассеяния двух скалярных (5 = 0) Н^ и двух 3x3 матричных (5 = 1) гамильтонианов - компо-

нент супергамильтониана Н. Особенно просто эти соотношения выражаются в терминах парциальных амплитуд а'°^(/г), и спиральных парциальных амплитуд {и', и =

0,+,-):

&>'(*) = Ь[^(к) = 0;

Таким образом, по известным характеристикам рассеяния для гамильтонианов суперсимметрия полного гамильтони-

ана позволяет определить характеристики рассеяния для Л1к , , и наоборот. Возникает естественный вопрос о существовании таких физических систем, описываемых суперсимметричным гамильтонианом с убывающим суперпотенциалом. Размерность матричных компонент Н^ делает возможными попытки описания с помощью такого гамильтониана взаимодействия между собой двух не релятивистских частиц спина я = | в синглетном 5 = 0 и триплетном 5 = 1 каналах. В разделе 3.2. эти результаты используются в конкретном случае суперпотенциала х(г) = ехр(—цг)(г, который, оказывается, позволяет исследовать суперсимметрию нуклон-нуклонного и нуклон-антинуклонного потенциалов в приближении однопионного обмена. При этом скалярный, спин-спиновый и тензорный вклады в потенциал взаимодействия выражаются через одну функцию ,\(г), а суперсимметрия проявляется в компактном соотношении между фазовыми сдвигами рассеяния в разных каналах:

Раздел 3.3. посвящен использованию метода ССКМ для исследования двухканальных задач с сильной связью каналов. При

эхом потребовалось обобщение одномерной ССКМ, заданной на полуоси 0 < г < оо, на случай матричных суперпотенциалов (вместо функции х'(г))- Для таких систем эквивалентными являются пары 2x2 матричных гамильтонианов. Требование диагональности одного из этих операторов приводит к классу двухканальных систем (его суперпартнеров), которые допускают диагонализацию методом суперсимметрии. Этот же метод можно использовать для расцепления некоторых систем связанных дифференциальных уравнений второго порядка.

В главе 4 "Суперсимметрия с высшими производными" исследуются новые реализации операторов суперзаряда — операторы q±, сплетающие различные квантовые гамильтонианы, являются дифференциальными операторами второго (и более высоких) порядка по производным. При этом возникают обобщения одномерной алгебры ССКМ, в которых антикоммутатор суперзарядов является оператором четвертого порядка по производным - "квазигамильтонианом". Особый интерес в данной конструкции представляют случаи, когда этот квазигамильтониан может быть выражен (в виде полинома) через оператор второго порядка шредингеровского типа. Важна также возможность таких полиномиальных обобщений ССКМ (будем называть их — ВССКМ) в пространстве двух и более измерений. Другое направление поиска обобщений стандартной ССКМ связано с включением в операторы д± оператора растяжений (В.Спиридонов):

Тя = л/? ехр(1п9 хдх).

Соответствующая алгебра, образуемая такими суперзарядами и супергамильтонианом, оказывается ^-деформированной, а спектры систем - партнеров получаются друг из друга растяжением.

В разделе 4.1. построены в общем виде ВССКМ-обобщения одномерной стандартной ССКМ с компонентами супергенераторов

Я*=д2±{Пх),д} + ф).

для вещественных несингулярных функций /(г), (¿>(г). Найдены необходимые и достаточные условия на эти функции

при выполнении которых алгебра супергенераторов замыкается на полином второго порядка от супергамильтониана шрединге-ровского типа:

{Я+,<2~}={Н-а)2 + с1. При этом потенциалы-суперпартнеры также выражаются через функцию /(х) :

у™»=±2/-(,)+/»(,,+т - (Ш)2 - < + в.

2Дх) \2/(х)/ 4/2(г)

Построены два типа "приводимых" супергенераторов (преобразований Дарбу) второго порядка по производным, которые могут быть сведены к паре последовательных обычных супергенераторов (преобразований Дарбу), и "неприводимые" супергенераторы, не сводящиеся к обычным (они соответствуют положительным значениям константы (1 > 0. Тем самым, найдена полная классификация всех супергенераторов второго порядка по импульсам, что позволило получить общий вид полиномиальной ВССКМ произвольного порядка:

1+2 ¡=п

В этом же разделе особо исследуется критерий Виттена спонтанного нарушения суперсимметрии. Оказывается, в отличие от стандартной ССКМ, что в данном случае нулевое значение индекса Виттена, т.е. равное число нормируемых нуль-мод операторов <р, не указывает, вообще говоря, на спонтанное нарушение суперсимметрии. В результате, найдены конкретные условия на функцию /(х), при которых нулевое значение индекса Виттена не противоречит отсутствию спонтанного нарушения супер симметрии. В простейшем случае, для

/+оо

I¡{у)\йу < со

имеются бозоннаяи фермионная нормируемая нуль-мода: пв — пр = 1, а соответствующие волновые функции имеют вид:

Фв^(х) = /(у)^).

Раздел 4.2. посвящен исследованию ^-деформированной ВССКМ второго и более высоких порядков. Показано, что ее можно также представить в форме обычной (недеформиро-ванной) ССКМ, но с деформированным супергамильтонианом. В этом же разделе выведены следствия д-деформированной ССКМ для характеристик рассеяния, сформулировано понятие д— самоподобия характеристик рассеяния в импульсном пространстве и построена конкретная модель безотражательного потенциала, обладающего таким свойством самоподобия.

В разделе 4.3. проведена классификация двумерных обобщений ВССКМ второго порядка по производным. Поскольку приводимые двумерные супергенераторы связывают только узкий класс гамильтонианов с разделяющимися переменными, основное внимание уделено неприводимым конструкциям. Показано, что, в отличие от одномерного случая, антикоммутатор суперзарядов с компонентами

д+ = (д-у = да(х)д,ак + С, (5Щ + В{х),

не сводится к полиному от гамильтониана. Алгебра замыкается при помощи диагонального оператора динамической симметрии Л четвертого порядка по производным:

{<?+,<Г}= Л; [Л,Я]=0,

который иногда может быть сведен к оператору симметрии второго порядка (и возможно разделение переменных). Таким образом, в этом разделе показано, что суперсимметрия для таких систем оказывается тесно связана со скрытыми динамическими симметриями обеих компонент супергамильтониана. Явно построен целый ряд таких эквивалентных скалярных двумерных потенциалов для различных видов сплетающих операторов, построены соответствующие операторы динамической

симметрии. В заключение исследуется классический предел двумерной супералгебры второго порядка. Показано, что пары построенных эквивалентны."': гамильтонианов соответствуют одной и той же классической системе, имеющей интегралы движения четвертого порядка по импульсам. Таким образом, суперсимметричный метод открывает новые возможности поиска не только квантовых, но и классических интегрируемых двумерных систем.

В этом же разделе сформулирован "суперсимметричный" рецепт построения интегралов движения четвертого порядка по импульсам для классических систем. Лля данного классического гамильтониана А*^ ищется комплексная функция =

квадратичная по импульсам, и такая, что ее скобки Пуас-, (1)

сона с пс1 имеют вид:

= -''/ВД: = ¿ЯЭД. (2)

где /(/) - произвольная вещественная функция. В этом случае, очевидно, существует классический факторизуемый интеграл движения I = 7сг'7сг После квантования этой системы получается пара эквивалентных квантовых гамильтонианов - суперпартнеров.

В предыдущей главе исследовались обобщения алгебры ССКМ, для которых характерно наличие полинома от гамильтониана в правой части антикоммутационного соотношения для супергенераторов. В главе о "Парасуперсимметричные кван-тово-механические модели" рассматриваются обобщения ССКМ, содержащие полиномы той или иной степени от "супергенераторов". Эти операторы, играющие роль, аналогичную супергенераторам в ССКМ. являются теперь нильпотентными операторами степени р > 2 (в обычной ССКМ р = 2). Одномерная модель такого рода, названная парасуперсимметричной квантовой механикой (ПССКМ). поскольку з ней роль фермионных степеней свободы стандартной" ССКМ играют так называемые лара-фермионные степени свободы, была предложена В.Рубаковым и В.Спиридоновым. В данной главе метод суперсимметрии в

многомерной квантовой механике используется для построения обобщений ПССКМ на случай моделей с размерностью больше единицы. В разделе 5.1. построен ряд двумерных квантовоме-ханических моделей, обладающих парасуперсимметричной алгеброй второго порядка р = 2 :

(<Г?3 = (<Г У' = 0; [Й, = 0; = 2д-я; + д-чд-)2 = 2$~й,

или ее модификациями.

Суперполевой подход был успешно использован ранее для анализа и обобщения одномерного преобразования Дарбу и одномерной ССКМ, в которой супергенераторы смешивают бозонные и фермионные (грассмановы) степены свободы. Аналогичный подход позволил построить в разделе 5.2. многомерные обобщения ПССКМ. В п. 1 этого раздела построен классический функционал действия (0+ 1)-мерной теории скалярного парасуперполя, обладающий, по построению, парасупер-инвариантностью. Для многомерного ¿-мерного осциллятор-ного парасуперпотенциала (самодействия) удается исключить все нединамические степени свободы и получить лагранжиан, включающий в себя одно бозонное вещественное ¿-компонентное поле, два грассмановых комплексных ¿-компонентных поля и одно комплексное поле смешанной природы. В п. 2 проведено каноническое квантование этой модели, выведены выражения для квантового гамильтониана и генераторов удовлетворяющих алгебре парасуперспмметрии. Таким образом, в этом разделе построены многомерные квантовые ПССКМ-модели с парасуперпотенциалом. квадратичным по координатам.

В заключении сформулированы основные результаты, которые автор выносит на защиту.

1. Разработано двумерное сообщение метода факторизации и

преобразования Дарбу, получено семейство изоспектраль-ных двумерных гамильтонианов и связь их собственных функций.

2. Предложен суперсимметричный метод обобщения преобразований Дарбу и метода факторизации для произвольной размерности пространства. Найден класс многомерных гамильтонианов с взаимосвязанными спектрами и волновыми функциями.

3. Найден класс внешних электромагнитных и скалярных полей, для которых уравнение Паули со спином б=1/2 допускает диагонализаиию методами двумерной суперсимметричной квантовой механики.

4. Получена связь характеристик рассеяния для компонент су п ер симметрично го гамильтониана в тр ехмерном пр о стр ан-стве с 0(3) - инвариантным суперпотенциалом. Найдены следствия супер симметрии нуклон-нуклонного и нуклон-антинуклоиного рассеяния в приближении однопионного обмена.

о. Исследован класс двухканальных систем с сильной связью каналов, допускающих диагонализашно методами ССКМ с матричным суперпотенциалом.

6. Предложена общая схема построения квантовых систем, обладающих обобщенной (полиномиальной) суперсимметрией с супергенераторами высших порядков по производным. Исследована роль индекса Виттена для таких систем, найдены следствия ч - деформированной суперсимметричной алгебры для характеристик рассеяния.

7. С помощью суперсимметричного метода построены двумерные квантовые системы, обладающие операторами симметрии. Найдены классы таких систем, построены соответствующие операторы симметрии, а также исследован их классический предел.

8. Построен ряд новых двумерных квантовых моделей, обладающих парасуперсимметрией. В рамках парасуперполе-вого формализма найдены многомерные реализации алгебры парасуперсимметрии для осцилляторного парасупер-потенциала.

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Андрианов А.А., Борисов Н.В., Иоффе М.В., Многомерные гамильтонианы с эквивалентными спектрами, Тезисы Все-союзн. конф. по теории систем неск. частиц с сильным вз-ем, ред.Л.Д.Фаддеев, Л-д, 1983, стр.69.

2. Андрианов А.А., Борисов Н.В., Иоффе М.В., Квантовые системы с одинаковыми спектрами энергий, Письма в ЖЭТФ, 39 ( 1984 ) 78.

3. Андрианов А.А., Борисов Н.В., Иоффе М.В., Эйдес М.И., Суперсимметричная квантовая механика - новый взгляд на эквивалентность квантовых систем, Теор.мат.физ., 61 ( 1984 ) 17.

4. Андрианов А.А., Борисов Н.В., Иоффе М.В., Метод факторизация и преобразования Дарбу для многомерных гамильтонианов, Теор.мат.физ., 61 ( 1984 ) 183.

5. Andrîanov А.А., Borisov N.V., Ioffe M.V., Factorization Method and Quantum Systems with Equivalent Energy Spectra, Phys.Lett., A105 ( 1984 ) 19.

6. Andrianov A.A., Borisov N.V., Eides M.I., Ioffe M.V., Supersym-metric Origin of Equivalent Quantum Systems, Phys.Lett., АЮ9

( 1985 ) 143.

7. Andrianov A.A., Borisov N.Y., Ioffe M.V., Nonstationary Approach to Scattering Theory for Supersymmetric Hamiltomans in QM and Supersymmetry of Nuclear Interactions, Phys.Lett., B181 ( 1986 ) 141.

8. Андрианов A.A., Борисов H.B., Иоффе M.B., Теория рассеяния для суперсимметричного гамильтониана и суперсимметрия ядерных взаимодействий, Теор.мат.физ., 72 ( 1987 ) 97.

9. Andrianov A.A., Ioffe M.V., Pauli Fermions as Components of N=2 Supersymmetrical Quantum Mechanics, Phys.Lett., B205

( 1988 ) 507.

10. Ioffe M.V., Multidimensional Generalization of Darboux Transformation and SUSY QM, Proc.of V-th Intern.Conf."Selected Topics in QFT and Math.Phys.", Liblice, 1989, ed.J.Niederle,J.Fischer, World Sci., 1990, p.174.

11. Andrianov A.A., Ioffe M.V., From Supersymmetrical Quantum Mechanics to Parasupersymmetrical One, Phys.Lett., B255(1991)543.

1'2. Andrianov A.A., Ioffe M.V., Spiridonov V.P., VinetL., Parasuper-symmetry and Truncated Supersymmetry in Quantum Mechanics, Phys.Lett., B272 ( 1991 ) 297.

13. Cannata F., Ioffe M.V., Solvable Coupled Channel Problems from Supersymmetrical Quantum Mechanics, Phys.Lett., B278

( 1992 ) 399.

14. Cannata F., Ioffe M.V., Coupled Channel Scattering and Separation of Coupled Differential Equations by Generalized Darboux Transformations, Journ.of Phys., A26 ( 1993 ) L89.

15. Andrianov A.A., Ioffe M.V., Spiridonov V.P., Higher Derivative SUSY and the Witten Index, Phys.Lett., A174 ( 1993 ) 273.

16. Иоффе M.B., Нишнианидзе Д.Н., Парасуперсимметрич-ная квантовая механика как (О-Ц)-мерная теория парасуперпо-ля, Вестник СПбГУ, N18 ( 1993 ) 8.

17. Андрианов A.A., Иоффе М.В., Нишнианидзе Д.IL, Суперсимметрия высших порядков в квантовой механике и интегрируемость двумерных гамильтонианов, Записки научных семинаров ПОМИ РАН, ред.Л.Фаддеев,А.Изергин,П.Кулиш, 224 ( 1995 ) 68.

18. Andrianov A.A., Ioffe M.V., Nishnianidze D.N., Polynomial SUSY in Quantum Mechanics and Second Derivative Darboux Transformations, Phys.Lett., A201 ( 1995 ) 103.

19. Andrianov A.A., CannataF., Dedonder J.-P., Ioffe M.V., Second Order Derivative Supersymmetry, q-deformations and the Scattering Problem, Intern.Jour .of Mod.Phys., A10 ( 1995 ) 2683.

20. Андрианов A.A., Иоффе M.B., Нишнианидзе Д.Н., Полиномиальная суперсимметрия и динамические симметрии в квантовой механике, Теор.мат.физ., 104 ( 1995 ) 463.