Исследование динамики физических систем методами суперсимметричной квантовой механики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Томский государственный университет

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ МЕТОДАМИ СУПЕРСИММЕТРИЧНОЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

2 7 АЫ 20№

Пупасов Андрей Михайлович

АВТОРЕФЕРАТ

Томск - 2009

□ □34758 Ш

003475810

Работа выполнена на кафедре квантовой теории поля ГОУ ВПО «Томский государственный университет» и на кафедре ядерной и математической физики Свободного брюссельского университета

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор

Самсонов Борис Федорович; профессор

Жан-Марк Спаренберг

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Бухбиндер Иосиф Львович; кандидат физико-математических наук, Шамшутдинова Варвара Владимировна

Ведущая организация: ФГОУ ВПО

«Санкт-Петербургский государственный университет»

Защита состоится 24 сентября 2009 г. в 14-30 на заседании диссертационного совета Д 212.267.07 при ГОУ ВПО «Томский государственный университет» по адресу: 634050, Томск, пр. Ленина, 36

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке ГОУ ВПО «Томский государственный университет»

Автореферат разослан ¿¿V 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.267.07 доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник

Ивонин И. В.

1 Общая характеристика работы

1.1 Актуальность темы исследований

В настоящий момент, в основном благодаря экспериментальному прогрессу в таких областях, как физика конденсированного состояния (исследование сверхохлаждешшх газов, получение Бозе-Эйнштейновского конденсата), ядерная физика (низко энергетические ядерные столкновения, исследование структуры экзотических ядер, астрофизика звезд), квантовая оптика и квантовые вычисления, возрос интерес к изучению низко-энергетических квантовых систем, в основпом, конечно, многочастичных. Исследование таких систем зачастую требует решения вспомогательных двухчастичных задач, причем взаимодействующие частицы могут обладать сложной внутренней структурой. Поскольку в рассматриваемой области релятивистские эффекты малы, для описания двухчастичного взаимодействия может быть использовано уравнение Шредипгера. Внутренняя структура взаимодействующих частиц приводит к различным асимптотическим (в пределе отстутствия взаимодействия) состояниям, или каналам. При низких энергиях, лишь несколько каналов (в частном случае - один) и парциальных волн существенны. Динамика таких систем зачастую может быть описана системой N связанных радиальных уравнений Шредипгера.

Одна из важных теоретических задач - изучение динамики таких систем, например эволюции волновых пакетов, сводится к решению задачи Коши для нестационарного уравнения Шредипгера, или к вычислению пропагатора. Иногда столь детальное описание излишне, достаточно знать решение задачи рассеяния, которое дается матрицей рассеяния. Другая важная задача - обратная задача рассеяния, возникающая при анализе экспериментальных данных, заключается в восстановлении характера взаимодействия но имеющимся данным рассеяпия. Кроме того, точные аналитические результаты в квантовой механике важны для детального понимания явлений. Отметим также, что для существующих численных методов решения подобных задач, аналитические результаты представляют значительный интерес с точки зрения тестовых моделей, особенно в многоканальном случае.

Таким образом, получение новых точных аналитических результатов, связанных с задачей Коши и задачей рассеяния для (многоканального) уравнения Шредипгера, является актуальной задачей. Среди наиболее востребованных методов исследования уравнения Шредингера следует отметить метод преобразования Дарбу, в зарубежной литературе более известный как суперсимметричпая квантовая механика.

Многие аспекты преобразования суперсимметрии в квантовой механике являются хорошо изученными. Однако, некоторые задачи, связанные с нахождением замкнутых аналитических выражений для фундаментальных решений - функции Грина стационарного и пропагатора нестационарного уравнений Шредингера, оставались нерешенными как для эрмитовых, так и для неэрмитовых гамильтонианов. Отметим, что в случае неэрмитовых гамильтониапов, изучение эволюции таких систем (открытых или диссипативных) приводит к задаче вычисления нропагаторов для нестационарного уравнепня Шредингера с неэрмитовыми гамильтонианами.

Более существенные пробелы имеются в случае преобразования суперсимметрии в применении к многоканальным задачам (матричное уравпение Шредипгера). По сравнению с одпоканальным случаем, известно значительно меньше точно решаемых матричных потенциалов, которые могли бы выступать в роли исходных потенциалов. Поэтому, исходный потенциал практически всегда является диагональным. Возникает во-

прос - может ли преобразование суперсимметрии приводить к недиагональному потенциалу с нетривиальной связью между каналами рассеяния? Во-вторых, поведение спектра многоканального уравнения Шредингера при преобразованиях суперсимметрии может существенно отличаться от одноканального случая. В-третьих, преобразования таких важных объектов как матрица рассеяния и матрица Иоста не были в достаточной степени изучены. Именно возможность управлять изменением матрицы рассеяния позволяет решать обратную задачу рассеяния с помощью преобразования сулерсимметрии. ~ '

1.2 Основные цели и задачи работы

В соответствии с наиболее актуальными областями применения метода суперсимметричной квантовой механики и имеющимися нерешенными проблемами, в данной диссертации были поставлены следующие основные цели:

1. Исследование фундаментальных решений стационарного и нестационарного уравнений Шредипгера в суперсимметричной квантовой механике. Установление соотношений между функциями Грина и пропагаторами для гамильтонианов, связанных преобразованием суперсимметрии. Получение новых точных пропагаторов для многоямных, нестационарных и неэрмитовых потенциалов, генерируемых преобразованием суперсимметрии.

2. Исследование многоканальной задачи рассеяния методами суперсимметричной квантовой механики. Изучение свойств матрицы рассеяния и матрицы Иоста, установление спектральных свойств и свойств рассеяния для преобразованных гамильтонианов. Применение полученных аналитических результатов для описания двухканального рассеяния в атомной и ядерной физике (рассеяния атомов в с верх- ох л ажде е ш ы х газах щелочных металов, нейтрон-протонное рассеяние).

1.3 Научная новизна и практическая значимость работы

Все основные результаты работы являются оригинальными и получены впервые. Найдены соотношения, связывающие функции Грина и пропагаторы для исходной и преобразованной систем. Используя эти соотношения вычислены новые точные пропагаторы. Для многоканальных задач изучено изменение спектра и матрицы рассеяния под действием преобразования суперсимметрии. Полученные результаты используются для построения точпо решаемых моделей, описывающих резонанс Фешбаха при рассеянии сверхохлажденных паров 85ЯЬ в магнитном поле и нейтрон-протонное рассеяние.

Материалы диссертации представляют интерес для специалистов в области квантовой механики, атомной, ядерной и математической физики. Новые точные пропагаторы могут использоваться при моделировании процессов эволюции в квантовых системах. Результаты, полученные при применении преобразования суперсимметрии к многоканальному уравнению Шредингера могут найти практическое применение для эффективного решения обратной задачи рассеяния. Полученный феноменологический нейтрон-протонный потенциал может использоваться при построении кластерных моделей ядра.

1.4 Достоверность научных выводов и результатов

Достоверность сформулированных в диссертации положений и выводов контролируется их внутренней согласованностью и совпадением в ряде частных случаев с результатами других авторов.

1.5 Личный вклад автора

Все без исключения результаты научных исследований, вошедшие в диссертацию, по-лучепы лично автором, либо при его непосредственном участии в постановке задач и обсуждении результатов.

1.6 Основные положения выносимые на защиту

1. Получены соотношения, связывающие пропагаторы и функции Грина двух одномерных уравнений Шредингера, сплетаемых преобразованием супсрсимметрии. Вычислены новые точные пропагаторы для серии многоямных потенциалов, а также для некоторых нестационарных и неэрмитовых потенциалов.

2. Для многоканального уравнения Шредингера с различными порогами изучено неконсервативное преобразование суперсимметрии. Найден спектр (связанпые, виртуальные состояния и резоналсы) неконсервативпого суперпартнера нулевого потенциала.

3. Построена точно-решаемая модель резонанса Фешбаха. Модель апробирована па экспериментальных данных для НЬ85.

4. Для многоканального уравпения Шредингера с совпадающими порогами изучены консервативные преобразования первого и второго порядка. Найдены условия, при которых преобразование суперсимметрии сплетает гамильтонианы с несвязанными и связанными каналами рассеяния.

5. Для парциальных волн разной четности найдено смешивающее преобразование суперсимметрии первого порядка, сохраняющее фазовые сдвиги. Для парциальных волн одной четности найдено преобразование второго порядка, с неэрмитовым промежуточным гамильтонианом, сохраняющее фазовые сдвиги.

6. С помощью цепочки одноканальных и матричных преобразований суперсимметрии получен феноменологический нейтрон-протоипый потенциал для а5х —3 каналов.

1.7 Апробация работы

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на семинарах кафедр теоретической физики и квантовой теории поля Томского государственного университета. Основные результаты работы были представлены на следующих международных конференциях и семинарах:

1. 6-ая международной конференции "Симметрия в нелинейной математической физике", (Киев, Украина, 2005),

2. International Workshop "Pseudo-Hermitian Hamiltonians in Quantum Physics", (Istanbul, Turkey, 2005),

3. Международная школа-семинар "Современные методы теоретической и математической физики, Волга-15", (Казань, 2000),

4. Международная школа-семинар "Квантовая теория поля и гравитация" (Томск, 2007),

5. International Conference on Inverse Quantum Scattering Theory (Siofok, Hungary, 2007),

6. Конференция ВШХ Workshop (Мол, Бельгия, 2008),

7. XXVII-ый международный коллоквиум по групповым методам в физике (Ереван, Армения, 2008),

8. Ежегодная конференция бельгийского физического сообщества "BPS general scientific meeting" (Hasselt, Belgium, 2009).

1.8 Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав основного содержания, заключения и списка цитируемой литературы из 156 наименований. Материал изложен на 168 страницах, пабранных в издательской системе ЮЩХ, и иллюстрирован 40 рисунками.

Во введении приводится краткий литературный обзор использования метода суперсимметричной квантовой механики и формулируются основные цели и задачи работы. Изложены краткое содержание диссертации и выносимые на защиту положения. Охарактеризована апробация научных работ автора.

Глава I. Суперсимметрия уравпения Шредингера

Суперсимметричная квантовая механика предложена Виттеном как тестовая модель для изучения спонтанного нарушения суперсимметрии. Как известно, суперсимметричная квантовая механика тесно связана с преобразованием Дарбу и методом факторизации, который был предложен Шредингером и развит Инфельдом и Холлом. Цепочки преобразований Дарбу позволяют конструировать модели с полиномиальной алгеброй суперсимметрии. Метод суперсимметричной квантовой механики привел к целому ряду новых точно решаемых квантовых моделей.

Первая глава посвящена обзору преобразований суперсимметрии (одноканального) уравнения Шредингера и содержит хорошо известные результаты. Преобразование суперсимметрии вводится в рамках стандартного подхода, заключающегося в использовании дифференциальных операторов преобразования. Такой подход наиболее удобен при рассмотрении полиномиальных обобщений суперсимметрии, которые эквивалентны преобразованиям Дарбу высших порядков.

В первом разделе вводится преобразование Дарбу стационарного уравнения Шредингера. Рассмотрим пару одномерных уравнений Шредингера

с гамильтонианами ко и такими, что существует дифференциальный оператор Я-го порядка Ь удовлетворяющий следующим свойствам 1. Соотношение сплетения

2 Краткое содержание диссертации

ЛодФ = ЯФ , /10,„ = -д2х + Ko.jvtz),

(1)

Lha = hffL, haL+ = L+h,

iN.

(2)

2. Свойство факторизации

Ь+Ь ■--. Ры{ка) ЬЬ*=Р„(к„) (3)

Рн{х) = (х - о0). . . (I - алг-1)

1т(а4) = 0 а{факф1 ¿,/г = 0,... ,ЛГ - 1. (4)

Здесь "+" обозначает операцию формального сопряжения, удовлетворяющую свойствам 0+ = -дх, (ЛВ)+ = В+А+, г+ = -г и (Л+)+ = А. Корни аи полинома Рм(г) называются постоянными факторизации. Если это ие оговорено особо, предполагается, что полином Р,ч (х) не имеет кратных и комплексных корней. Оператор преобразования полностью определяется набором N функций преобразования ип(х), которые являются решениями стационарного уравнения Шредингера с гамильтонианом /го:

НоПп = а„ип , п = 0,...,N — 1.

В этом случае действие оператора преобразования Ь записывается с помощью формулы Крама-Крейна

. 1У(ио,Ц1,...,илг-1,/) м

Ь] - -ТТТ7-\ ■ (5)

Здесь IV обозначает вронскиан

(6)

Вронскианы 1У„, которые будут часто использоваться в дальнейшем, не содержат одну из функций преобразования, 1У„ = И^п(и0,иь ...,«„,... ,илг-1). Там, где это не вызовет путаницы, будет использоваться сокращенная запись \¥п(х), не указывающая явно функции преобразования от которых вычисляется вронскиан.

Преобразования первого и второго порядков являются базовыми элементами для преобразований высших порядков, поэтому эти два случая рассмотрены более подробпо. Оператор преобразования первого порядка имеет следующий вид

£:=-(Ьи)' + а1 = -ш + аг:. (7)

Для цепочек преобразования вычислено действия оператора преобразования на решения уравпепия Шредингера, соответствующие константам факторизации и не являющиеся волновыми функциями. С точностью до постоянного множителя, полученые формулы совпадают с формулами Крама-Крейна. Этот вспомогательный результат, впоследствии используется в главе IV при вычислении пропагаторов.

Во втором разделе рассматривается преобразование Дарбу нестационарного уравнения Шредингера. В третьем разделе приводятся следующие известные примеры точно решаемых моделей, генерируемых с помощью преобразования Дарбу: многосолитошше потенциалы, нестационарный односолитонный потенциал, многоямные потенциалы с квазиэквидистантым спектром, полученные из потенциала гармонического осциллятора. На основе полученных в последующих главах соотношений между пропагаторами исходного и преобразованного уравнения Шредингера, для данных потенциалов будут вычислены пропагаторы.

«о

«1

Цдг.

(ДГ_ 1) ш-1)

Глава II. Суперсимметричная функция Грина

Вторая глава посвящена преобразованию суперсимметрии для функции Грина (3 стационарного уравнения Шредингера, (Ъ^ — Е)ва{х,у, Е) = 5{х-у). В первом разделе установлены выражения для преобразованой функции Грина в случае суперсимметрии первого и второго порядков.

Теорема 1. Пусть гамильтониан /н связан преобразованием суперсимметрии первого порядка с гамильтонианом Ье- Тогда функция Грина у; Е) задачи Штурма-Лиувилля на интервале (о, 6) стационарного уравнения Шредингера с гамильтонианом Ь,х выражается через функцию Грина исходного уравнения Оо(х,у;Е) следующим образом:

в1{х,у,Е) = ~^—1х1„С<>{х,у,Е), Е^а = Е0, (8)

Е — а

°1[х'у'п) ^ ^Щу) I и2{1)Л I х<у' (9)

Здесь через Ьх обозначен оператор преобразования первого порядка (7), а через Ьу тот же оператор после замены х —» у.

Теорема 2. Пусть гамильтониан /¡2 связан преобразованием суперсимметрии второго порядка с гамильтонианом Ъ,0. Функция Грина задачи Штурма-Лиувилля 62(1, у, Е) стационарного уравнения Шредингера с гамильтонианом выражается через функцию Грина исходного уравнения Со(х,у,Е) следующим образом:

С2(х, = —-^-гЬхЬуО0(х,у,Е), х< у, Ефаиа2, (10)

где действие оператора Ь определено в (5).

Случаи Е = а и Е = «1,2 проанализированы отдельно. На основе полученных соотношений во втором разделе вычисляется ряд точных функций Грина для задачи Штурма-Лиувилля на интервале (о, 6).

В третьем разделе рассматриваются гамильтонианы с дискретным и непрерывным спектрами. Соотношения между функциями Грина гамильтопнанов с полностью дискретным спектром, связанных преобразованием суперсимметрии, изучались Сукума-ром. В частности им была получена "следовая" формула, которую Сукумар обобщил и для случая присутствия непрерывного спектра. В диссертации показано, что в присутствии непрерывного спектра выражение полученное Сукумаром является неправильным. Необходимо учитывать дополнительный вклад, который вычислен в нашей работе. Таким образом, для рассеивающих потенциалов (задача на всей оси) найдена поправка к "следовой формуле" Суку мара.

Рассмотрим разность между следами функций Грина исходного и преобразованного уравнений (формула для этой разности и называется "следовой" формулой):

1Ь[О0(х,х,Е)-О1(х,х,Е)]с1х = А(Е). (11)

Установлен следующий результат.

Теорема 3. Пусть потенциалы V0,i(x), являющиеся суперпартнерами, удовлетворяют условию

,оо

J (l + |x|)|V&,i(a:)|£te<oo1 (12)

то есть, являются "рассеивающими" потенциалами. Тогда разность (11) для функций Грина, которые связаны преобразованиш суперсимметрии дается выраоюением:

(13)

где Е = к2, а = —а2; <5 = 1 в случае а = Е0, ö = —1 в случае а < Ей и S = О.е случае изоспектрального преобразования суперсимметрии.

Глава III. Супсрсимметричный пропагатор

Пропагатор является матричным элементом оператора эволюции U(t) в координатном представлении K(x,y\t) — (x\U(t)\y) и удовлетворяет уравнению Шредингера как по х, так и по у, с начальпым условием в виде дельта-функции Дирака

[idt-h]K(Xly,t)=0, К{х,у;0)=5(х-у). (14)

В силу унитарности оператора эволюции, пропагатор обладает следующим свойством симметрии: K*(x,y\—t) — K(y,x-,t). Решение задачи Кошя записывается следующим образом:

ф(х, i) = J К{х, у, t)ip(y, 0)dy.

В первом разделе установлены соотношения между пропагаторами для гамильтонианов, связанных преобразованиями суперсимметрии первого порядка.

Теорема 4. Пусть гамильтонианы Ь.\ и Но связаны преобразованием суперсимметрии первого порядка (7). Тогда пропагатор К^х,у;¿) нестационарного уравнения Шредингера с гамильтонианом /н выражается через функцию Грина Сц(х,у,а) (либо через вспомогательную функцию С0(г,у,Е0)) и исходный пропагатор К0(х,у;1) следующим образом:

а = Е~ К-!* « Л = Т. Т, [ К-<-г г tv5.fr к Р.Мг

У а

а < Еа =ф Кг{х,у,€) = Ка{х,г,г)Оа{2,у,а)йг + ф.1{х)ф.1(у)С-*а*, (15)

а — Е0,врсс.к0 = вресН1=>К1(х,у,1)=ЬхЬу1 К0(х,г,1)О0(г,у,а)с1г. (17)

3 а

Здесь используется вспомогательная функция

фо{х)ф0(у)

rt,„W\ Фт(х)фт(у) . Со = =J«no

771 = 1

G0(z,y,E)-

Еа-Е

В случае, если а = В0 данный результат может быть упрощен.

Теорема 5. Пусть функция преобразования совпадает с волновой функцией основного состояния и(х) = фо(х), тогда пропагатор для преобразованного уравнения Шрединге-ра имеет следующий вид:

К-

у о

{х,у\1) = --^Ъх ! К0(х,г\Ь)и(г)ёг = ^^^ К0[х,г-,Ь)и{г)<1г (18)

Далее рассматриваются цепочки преобразований Дарбу и устанавливаются соответствующие соотношения для пропагаторов. Для задачи на всей оси получен следующий результат:

Теорема 6. Пусть функции преобразования Пп(х) обращаются в нуль только на одной из бесконечностей, х —> —оо или х —* со. Тогда пропагаторы у,£) и К0(х,у\Ь) уравнений Шредингера с гамильтонианами Нц и ка связаны следующим образом: ип(х —> —оо) —> 0 :

= щ/^" (19)

и„(х —> оо) —> 0 :

п=0

и^(х —♦ —оо) —» 0 к = 0,...,М ит(х —» оо) -+ 0 .т = М + 1,....ЛГ — 1 :

+(-1)"-% £ Гк0(х,г-,Ь)ит№. (21)

Кроме того, полученные выше результаты обобщаются на случай нестационарных, либо неэрмитовых потенциалов, генерируемых преобразованием Дарбу.

Глава IV. Явные выражения для пропагаторов

В четвертой главе приведены примеры вычисления пропагаторов с использованием развитой техники. Вычислена серия пропагаторов для солитонных (безотражательных) потенциалов, для. ряда потенциалов с квазиэквидистантным спектром, для частицы в ящике. Пропагаторы для безотражателышх потенциалов были известны лишь для определенным образом фиксированных констант факторизации щ. С помощью метода преобразования суперсимметрии удается вычислить соответствующий пропагатор для произвольных параметров потенциала.

Теорема 7. Пропагатор для произвольного N солитонного потенциала имеет вид

г(х ~ У)2

п-0 \ ¡=\(&п) ) Х >

где

сг{±(а) — сг{ |'а\/й± 0е ~~ У)^

В качестве функций преобразования выбрана последовательность гиперболических синусов и косинусов:

и%-1(х) = сивЬ(ау-!Х + (22)

иу (1) = ¡аи1»(а2^х + > = 1,2,... N/2.

Постоянные факторизации а; = —а? соответствуют уровням дискретного спектра Е3- = «_,-< 0 гамильтониана Иц = + Уц(х).

Предложенная методика позволяет вычислять также пропагаторы для неэрмитовых и нестационарных гамильтонианов, что и демонстрируется на примере комплексного, либо нестационарного солитонпого потенциала и комплексной изоспектральной деформации потепциала гармонического осциллятора.

Глава V. Преобразовании суперсимметрии и обратная задача рассеяния для многоканального уравнения Шредингера

Почти все низкоэнергетические процессы столкновения микрочастиц с внутренней структурой (то есть, атомов, ядер и т.д.) включают пеупругое рассеяние, связанное с возбуждением внутренних степепей свободы или перестановками их составных частей. Такие процессы могут быть описаны с помощью матричного (точнее, многоканального) уравнения Шредингера с локальным матричным потепциалом и различными (либо совпадающими) порогами каналов рассеяния. Решение прямой и обратной задач рассеяния для такого уравнения представляет интерес как с математической точки зрепия, так и для различных приложений в атомной и ядерной физике.

В первом разделе рассмотрено некопсервативпое преобразование Дарбу матричного уравнения Шредингера с различными порогами, впервые введенное в работах Самсоно-ва, Бейа и Спаренберга. Основной результат первого раздела - установление необходимого и достаточного условия регулярности преобразованного потенциала, полученного с помощью некопсервативного преобразования нулевого потепциала с функцией преобразования

и(г) = соэЬ(Гг) + К'1 кш11(К>)и.'0. (23)

Здесь ¡С диагональная матрица констант факторизации, связанных условием порогов, ашц- симметричн: в пуле, и>о = ш(0).

Теорема 8. Матричная функция преобразования (23) приводит к регулярному потенциалу тогда и только тогда, когда матрица параметров

К. + и) о > О

(24)

положительно определена.

В последующих разделах исследован спектр модели, определяемой функцией преобразования (23) при произвольном числе каналов. Отметим, что данный потенциал рассматривался ранее в работах Кокса, однако условие регулярности потенциала и факторизация с помощью функции преобразования (23) не были указаны. Более того, в случае произвольного числа каналов, спектр модели не был найден, а в двухканаль-ном случае ошибочно утверждалось отсутствие связанных состояний. В основе анализа полученных многоканальных потенциалов лежит аналитическое выражение для преобразованной матрицы Иоста и матрицы рассеяния. В результате, установлена связь между матрицей Иоста при нулевой энергии (которая определяется суперпотенциалом в начале координат) и числом связанных состояний.

Теорема 9. Число связанных состояний неконсервативного суперпартнера нулевого N-канального потенциала с различными порогами совпадает с числом отрицательных собственных значении матрицы Иоста (гоа + \/Д, где Д - диагональная матрица порогов) при нулевой энергии

Возможное число резонансов для данной модели ограничено следующим образом: О ^ пТ ^ (.№ - 1)2"~2. В случае приближения малой связи, которое соответствует малым отклонениям от диагонального суперпотенциала, предложен метод приближенного вычисления пулей детерминанта Иоста.

Для N — 2 спектр потенциала Кокса найден в замкнутом виде. Для заданных положений нулей детерминанта Иоста, разработана методика нахождения параметров потенциала.

Исследовано поведение матрицы рассеяния для двухканального потенциала Кокса. Используя аналитические выражения для матрицы рассеяния и длины рассеяния построена точно решаемая модель рассеяния атомов щелочных металов помещенных в магнитном поле, в режиме большой длины рассеяния. Рассмотрено взаимодействие магнитного резонанса Фешбаха с подпороговым связанным или виртуальным состоянием, которые приводят к большой фоновой длине рассеяния.

В седьмом, восьмом и девятом разделах исследованы преобразования суперсимметрии между диагональными и недиагональными потенциалами для многоканальных потенциалов с совпадающими порогами (парциальные волны в каждом канале выбираются произвольно). Установлены необходимые условия на выбор функции преобразования для того, чтобы получить нетривиальную связь между каналами в матрице рассеяния. Получено семейство изо-фазных потенциалов, генерируемых смешивающим преобразованием суперсимметрии. Это семейство параметризуется симметричной М х М невырожденной матрицей Ха. Анализ нулей детерминанта Иоста показал, что такое преобразование суперсимметрии приводит к М-кратно вырожденному уровню связанного состояния с энергией Еь = —к2 и N — М кратно вырожденному виртуальному состоянию с энергией Е„ = —к2.

N

(25)

В наиболее важном для приложений двухканальном случае проанализировано поведение суперпотспциала и преобразованного потенциала на больших расстояниях. 06-наружеп эффект переворота парциальных волн. Установлена связь между фазовыми сдвигами исходного и преобразованного потенциалов. Для разных парциальных волн вычислен параметр смешения для преобразованного потенциала.

Рассмотрено несколько схематических примеров демонстрирующих возможности однократного смешивающего преобразования. Получен пример недиагональиого потенциала, который пе диагонализуется пе зависящим г преобразованием, но соответствующая матрица рассеяния, может быть диагонализовапа постоянным преобразованием. Данный пример демонстрирует, что требование нетривиальной связи между каналами имеет более сильный характер на уровне 5-матрицы, чем на уровне потенциала и матрицы Поста.

Рассмотрены примеры точно-решаемых потенциалов с нетривиальной связью между каналами рассеяпия вв - я, в — риз — й каналах. Для а — я и з — р парциальных волн было показано, как управлять свойствами рассеяния при низких энергиях, выбирая параметры преобразования суперсимметрии. В нефизическом в —р примере оказалось, что однократное преобразование суперсимметрии сохраняет поведение фазовых сдвигов без изменения, и таким образом содержит все необходимые ингридиенты для удобного алгоритма построения потенциала с заданными свойствами рассеяния.

Для более интересного с точки зрения приложений в ядерной физике в — ё случая, установлено, что однократное преобразование не позволяет решить проблему введения связи без дополнительных ограничений (обязательно наличие связанного состояния с нулевой энергией). И даже при выполнении этих условий, фазовые сдвиги полученного з—Л потенциала не удовлетворяют приближению эффективного радиуса, что указывает па патологию в потенциале.

Предложенное двухкратное преобразование с комплексными константами факторизации позволило спять лишние ограничение в э — <1 случае, а также воспроизвести наиболее интересное свойство сохранения фазовых сдвигов при однократном смешивающем преобразовании в 5 — р каналах.

Теорема 10. Рассмотрим двухканалъное уравнение Шредингера с совпадающими порогами, потенциалом и парциальными волнами Ь — ¿1то(12 с совпадающей четностью. Выберем в качестве функций преобразования щ = и и и2 = и* матричные решения уравнение Шредингера, соответствующие мнимым (комплексно сопряженным) энергиям факторизации Ег = = 2гх2, X > 0. Если функция преобразования и(г) состоит из двух векторных решений исходного уравнения Шредингера

„-(^>1 ¡1 V

¥>2 Ь )' ' ' Г '

со следующим асимптотическим поведением:

/(г-»о6)=е-*(1-и>(1,1)Г, <р(г —* сю) = е*'1+*'г(1, —г)т, (27)

причем векторное решение уз является регулярным, у>(0) = 0, то такая цепочка из двух преобразований

А. приводит к вещественному, симметричному потенциалу ■

У2 = У0-2И^(г), (28)

игг{г) = (Ех - Е2) (ги(г) - . (29)

Здесь используется суперпотенциал т — и/и'1.

B. Матрица рассеяния выражается через исходную матрицу рассеяния ¿о следующим образом:

= (30)

где

и,о=(^2 ) ■ 1 = йЫк,к), diasCi2.il)- (31)

C. Фазовые сдвиги матрицы рассеяния не меняются: 6а;1{к) = ¿г12[к), ¡ор{к) = ^2,1(к), а параметр смешения преобразуется следующим образом:

к2

е2{к) = ео(к) Т агскап —(32)

В последнем разделе с помощью цепочки однокаиальных, смешивающих и фазово-эквнвалентпых преобразований суперсимметрии получен феноменологический потенциал взаимодействия между протоном и нейтроном, воспроизводящий фазовые сдвиги и параметр смешения в —3 £>1 каналах рассеяния. В заключении кратко сформулированы основные результаты диссертационной работы.

3 Основные результаты работы

Изучены пропагаторы и функции Грина для гамильтонианов, связанных преобразованием суперсимметрии, найдены общие формулы, связывающие компоненты суперсимметричного пропагатора и функции Грина. Получена серия точных пропагаторов для солитонных потенциалов, и серия пропагаторов для потенциалов генерируемых двукратным преобразованием Дарбу из потенциала гармонического осциллятора.

Предложенная методика обобщена для нестационарных и неэрмитовых потенциалов, генерируемых преобразованием Дарбу. Вычислен точный пропагатор для нестационарной и комплекной деформации солигонного потенциала.

В случае многоканального уравнения Шредингера с различными порогами, получено компактное выражение для А^-канального .потенциал Кокса в терминах преобразования суперсимметрии нулевого потенциала, сформулировано и доказано необходимое и достаточное условие его регулярности. Установлена структура дискретного спектра (число связанных состояний, при заданных параметрах), а также максимально возможное число резонансов и виртуальных состояний в случае произвольного числа каналов. В случае приближения малой связи предложен метод приближенного вычисления нулей детерминанта Иоста. Для N = 2 в замкнутом виде найден спектр потенциала Кокса. Для заданных положений нулей детерминанта Иоста разработана методика нахождения параметров потенциала.

Матрица рассеяния для потенциала Кокса найдена в явном виде. Исследовано ее поведение при низких энергиях и найдена длина рассеяния, в случае, когда открыт только один канал. Используя эти аналитические выражения построена точно решаемая модель рассеяния атомов щелочных металлов, помещенных в магнитном поле, в режиме большой длины рассеяния. Рассмотрено взаимодействие магнитного резонанса

Фешбаха с оодпороговым связанным шш виртуальным состоянием, которые приводят к большой' фоновой длине рассеяния.

Для многоканальных потенциалов с совпадающими порогами (парциальные волны в каждом канале выбираются произвольно) изучены преобразования суперсимметрии первого и второго порядков. Установлена возможность связывания каналов рассеяния с помощью преобразования суперсимметрии. Найден новый тип матричного преобразования суперсимметрии, сохраняющего фазовые сдвиги матрицы рассеяния, но изменяющего параметр смешения контролируемым образом. С помощью цепочки однока-нальных и матричных преобразований суперсимметрии построен феноменологический нейтрон-протонный потенциал, воспроизводящий данные рассеяния в 3Si~3Di каналах.

Список публикаций

1. Самсонов Б. Ф., Пупасов А. М. Преобразование Дарбу функции Грина регулярной зада-чи Штурма-Лиувилля// Известия Вузов. Физика. 2005. Том 48. N10. 20-27.

2. Samsonov B.F., Sukumar C.V. and Pupasov A.M. SUSY transformation of the Green function and a trace formula// Journal of physics A: Mathematical and Theoretical. 2005. 38. 7557-7565; quant-ph/0507160.

3. Pupasov A. M. and Samsonov B. F. Exact propogators for soliton potentials// Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. 2005.1. 020 (7pp); quant-ph/0511238.

4. Samsonov B. F. and Pupasov A. M. Exact propagators for complex SUSY partners of real potentials// Physics Letters A. 2006. 356. 210-214; quant-ph/0602218.

5. Pupasov A.M., Samsonov B.F. and Guenther U. Exact propagators for SUSY partners// Journal of physics A: Mathematical and Theoretical. 2007. 40.10557-10587; math-ph/0702088.

6. Pupasov A.M., Samsonov B.F. and Sparenberg J.-M. Exactly-solvable coupled-channel potential models of atom-atom magnetic Feshbach resonances from supersymmetric quantum mechanics// Physical Review A. 2008. 77. 012724 (14pp); quant-ph/0709.0343.

7. Pupasov A. M., Samsonov B. F. and Sparenberg J.-M. Spectral properties of non-conservative multichannel SUSY partners of the zero potential// Journal of physics A: Mathematical and Theoretical. 2008. 41.175209 (17pp).

8. Sparenberg J.-M., Pupasov A.M., Samsonov B.F. and Baye D. Exactly-solvable coupledchannel models from supersymmetric quantum mechanics// Modern Physics Letters B. 2008. 22 № 23. 2277-2286.

9. Pupasov A.M., Samsonov B.F., Sparenberg J.-M. and Baye D. Coupling between scattering channels with SUSY transformations for equal thresholds// Journal of physics A: Mathematical and Theoretical. 2009. 42. 195303 (19pp).

А/>

Отпечатано в ООО «НИП» г. Томск, ул. Советская, 47, тел.: 53-14-70 заказ № 5389, тираж 70 экз.

Введение

Суперсимметричная квантовая механика.

Пропагатор в квантовой механике.

Задача рассеяния для многоканального уравнения Шредингера.

Структура диссертации.

1 Суперсимметрия уравнения Шредингера

1.1 Преобразование Дарбу стационарного уравнения

Шредингера

1.1.1 Преобразование Дарбу первого порядка.

1.1.2 Преобразование Дарбу второго порядка.

1.1.3 Приводимые и неприводимые преобразования Дарбу высших порядков

1.2 Преобразование Дарбу нестационарного уравнения Шредингера.

1.3 Потенциалы, генерируемые преобразованием Дарбу.

1.3.1 Потенциалы солитонпого происхождения

1.3.2 Потенциалы с эквидистантным и квазиэквидистантным спектрами

2 Суперсимметричная функция Грина [120, 121]

2.1 Преобразования суперсимметрии первого и второго порядков для функции Грина

2.2 Функция Грина для суперпартнеров нулевого потенциала на конечном интервале

2.3 Рассеивающие потенциалы, связанные преобразованием Дарбу, следовая формула.

2.4 Преобразование нормировки функций непрерывного спектра.

3 Суперсимметричный пропагатор [133, 134, 135]

3.1 Преобразование первого порядка для пропагатора.

3.2 Порождение уровней

3.3 Удаление уровней.

3.4 Изоспектральные преобразования

3.5 Полиномиальная суперсимметрия общего вида.

3.6 Нестационарные потенциалы

3.7 Неэрмитовы суперпартнеры.

4 Явные выражения для пропагаторов

4.1 Пропагатор для суперпартнеров на конечном интервале

4.2 Пропагаторы для потенциалов с квазиэквидистантным спектром.

4.3 Пропагаторы для солитонных потенциалов

4.4 Пропагаторы для деформаций односолитонного потенциала.

5 Преобразование суперсимметрии и обратная задача теории рассеяния для многоканального уравнения Шредингера [108, 141, 142, 143]

5.1 Неупругое рассеяние

5.2 Спектральные свойства ^-канального потенциала Кокса.

5.2.1 Число связанных состояний.

5.2.2 Виртуальные состояния.

5.2.3 Резонансы.

5.2.4 Приближение слабой связи

5.3 Общие свойства двухканального потенциала Кокса.

5.3.1 Явное выражение для потенциала.

5.3.2 Спектр двухканального потенциала Кокса

5.4 Матрица рассеяния для потенциала Кокса, N = 2.

5.5 Примеры потенциала Кокса.

5.5.1 Один резонанс.

5.5.2 Два связанных состояния.

5.6 Точно-решаемая модель резонанса Фешбаха

5.6.1 Магнитный резонанс Фешбаха.

5.6.2 Взаимодействие между связанным состоянием и резонансом Фешбаха

5.6.3 Взаимодействие между виртуальным состоянием и резонансом Фешбаха

5.7 Суперсимметрия многоканальной задачи с совпадающими порогами

5.7.1 Смешивающее преобразование

5.7.2 Асимптотика преобразованного потенциала на больших расстояниях

5.7.3 Матрица Иоста, матрица рассеяния, фазовые сдвиги и параметр смешения.

5.8 Примеры точнорешаемых матричных потенциалов с разными парциальными волнами и совпадающими порогами.

5.8.1 Связанные потенциалы с несвязанной ^-матрицей.

5.8.2 Связанные s — s каналы

5.8.3 Связанные s — р парциальные волны.

5.8.4 Связанные s — d парциальные волны.

5.9 Преобразование суперсимметрии второго порядка

5.9.1 Смешивающее преобразование, сохраненяющее фазовые сдвиги

5.9.2 Феноменологический нейтрон-протонный потенциал взаимодействия.

В настоящий момент, в основном благодаря экспериментальному прогрессу в таких областях, как физика конденсированного состояния (исследование сверхохлажденных газов, получение Бозе-Эйнштейновского конденсата [1, 2, 3, 4, 5]), ядерная физика (низко-энергетические ядерные столкновения, исследование структуры экзотических ядер [6, 7, 8, 9]), квантовая оптика [10], квантовые вычисления [11], возрос интерес к изучению низко-энергетических квантовых систем, в основном, многочастичных. Исследование таких систем зачастую требует решения вспомогательных двухчастичных задач, причем взаимодействующие частицы могут обладать сложной внутренней структурой. Поскольку в рассматриваемой области релятивистские эффекты малы, для описания двухчастичного взаимодействия может быть использовано уравнение Шрсдинге-ра. Внутренняя структура взаимодействующих частиц приводит к различным асимптотическим (в пределе отстутствия взаимодействия) состояниям, или каналам [12, 13]. При низких энергиях, лишь несколько каналов (в частном случае - один) и парциальных волн существенны. Динамика таких систем описывается системой N уравнений Шредингера [12, 13].

Одна из важных теоретических задач - описание эволюции квантовых систем из заданного начального состояния, например эволюции волновых пакетов [14, 15], которое сводится к решению задачи Коши для нестационарного уравнения Шредингера, или к вычислению пропагатора [16, 17]. Иногда столь детальное описание излишне, достаточно знать решение прямой задачи рассеяния, которое дается матрицей рассеяния [12, 13]. Другая важная задача - обратная задача рассеяния, возникающая при анализе экспериментальных данных, заключается в восстановлении характера взаимодействия по имеющимся данным рассеяния [18]. Отметим также, что для существующих численных методов решения подобных задач [19, 20], аналитические результаты представляют значительный интерес с точки зрения тестовых моделей [21], особенно в многоканальном случае.

Таким образом, получение новых точных аналитических результатов, связанных с задачей Коши и задачей рассеяния для (многоканального) уравнения Шредингера, является весьма актуальной задачей. Один из бурно развивающихся методов исследования уравнения Шредингера связан с преобразованием Дарбу [22] и суперсимметричной квантовой механикой [22]-[46].

Суперсимметричная квантовая механика

Суперсимметричная квантовая механика была предложена Виттеном [27] как тестовая модель для изучения спонтанного нарушения суперсимметрии в квантовой теории поля. В наиболее непосредственной форме суперсимметрия проявляется при формулировке теории в суперпространстве R1'2, которое параметризуется одной бозонной перемениой t и двумя фермионными переменными 9, в (см. например [28, 29]). Отметим, что данный подход позволяет строить многомерные обобщения суперсимметричной квантовой механики [30, 31].

Как известно, суперсимметричная квантовая механика [32] тесно связана с преобразованием Дарбу [22] и методом факторизации [31, 33, 34, 35]. Цепочки преобразований Дарбу позволяют конструировать модели с полиномиальной алгеброй суперсимметрии [36, 37, 38, 39]. Метод суперсимметричной квантовой механики привел к целому ряду новых точно решаемых квантовых моделей [36, 40, 41]. Отметим также работы, посвященные различным деформациям алгебры суперсимметрии в контексте суперсимметричной квантовой механики [42, 43, 44, 45].

Преобразования суперсимметрии сохраняют форму уравнения Шредингера, изменяя потенциал. Дополнительные условия, ограничивающие возможное изменение потенциала, приводят к концепции форм-инвариантных потенциалов, которая была введена Генденштейном в 1983 г. [46]. Потенциал Ц)(х,а0) является форм-инвариантным, если его суперпартнер Vn(x) (потенциал, связанный с исходным преобразованием суперсимметрии) точно так же зависит от пространственных координат, входящих в выражение для потенциала, и отличается лишь сдвигом параметров У^(х) — Уо(х,а^). В настоящее время известно десять форм-инвариантных потенциалов [28].

Некоторые свойства преобразования суперсимметрии в квантовой механике [48, 49] могут быть установлены при рассмотрении когерентных состояний [47]. Связь между когерентными состояниями исходной и преобразованной систем была установлена в работе [48]. Кроме того, для конкретных систем (солитонные потенциалы, сингулярный осциллятор) была вычислена мера, реализующая разложение единицы по когерентным состояниям. Наличие разложения единицы по когерентным состояниям позволяет получить голоморфное представление пространства состояний и операторов, действующих в нем. Далее используя технику ковариантных символов Березина [50], можно получить классическую механическую систему, соответствующую данной квантовой системе (см., например, [47]). Эти результаты позволяют построить классические аналоги квантовых систем генерируемых преобразованием суперсимметрии.

В последнее время возрос интерес к изучению квантовых моделей с неэрмитовыми гамильтонианами [51]. Комплексные потенциалы находят применение в различных моделях ядерной физики (оптические потенциалы) в качестве эффективных потенциалов [52]. С другой стороны, неэрмитовы гамильтонианы с вещественным спектром используются в так называемом комплексном расширении квантовой механики [51, 53, 54].

Спектральная задача для несамосопряженных дифференциальных операторов интенсивно исследовалась советскими математиками в период между 50-и и 70-и годами прошлого века. Результаты этих исследований содержатся в монографиях [55, 56]. В частности, там можно найти строгое определение спектра, собственных функций, присоединенных функций, областей определения операторов, порожденных неэрмитовым дифференциальным выражением, и много других свойств дифференциальных уравнений связанных с неэрмитовыми операторами.

Один из первых существенных результатов в данной области, заключающийся в доказательстве полноты набора собственных и присоединенных функций для несамосопряженного оператора, был получен Келдышем [57]. Лидский [58] провел детальный анализ условий на потенциал Vc, при которых оператор hc единственным образом определяется своим замыканием и имеет полностью дискретный спектр, а набор собственных и присоединенных функций является полным.

Особую роль среди всех несамосопряженных операторов играют псевдо-эрмитовы операторы, введенные Дираком и Паули, и позднее используемые в работах Ли и Вика [59] для того, чтобы обойти трудности, связанные с использованием гильбертовых пространств с индефинитной метрикой. Современные обобщения (слабая псевдо-эрмитовость) [60] связаны с неэрмитовыми расширениями квантовой механики [60, 61]. Более подробно познакомиться с использованием биортогональных систем для изучения свойств псевдо-эрмитовых гамильтонианов можно в [59, 60, 61] и [63].

Метод преобразования суперсимметрии оказался весьма эффективным для генерации неэрмитовых гамильтонианов с вещественным спектром [65, 66, 67, 68]. Более того, в некоторых случаях преобразование суперсимметрии позволяет устранить особенности, присутствующие в спектрах неэрмитовых гамильтонианов, например, спектральные сингулярности. В частности, возможно преобразование суперсимметрии между недиагонализуемыми и диагонализуемыми гамильтонианами [66, 69, 70, 71].

Преобразование суперсимметрии оказалось чрезвычайно мощным инструментом в квантовой теории рассеяния [12, 13], поскольку преобразование матрицы рассеяния, индуцированное преобразованием суперсимметрии, заключается в умножении исходной матрицы рассеяния на соответствующую рациональную функцию импульса |72, 73, 74, 75]. Таким образом возможно управление не только положением связанных состояний квантовой системы, но и ее свойствами рассеяния. Столь простой вид преобразования матрицы рассеяния, а также возможность итераций преобразований суперсимметрии открывает интересную возможность для применения суперсимметрии в обратной задаче рассеяния. Впервые эта возможность была рассмотрена в работах Сукумара [72]. Идея заключается в том, чтобы приблизить заданную матрицу рассеяния рациональной функцией, которая может быть получена последовательным применением преобразований суперсимметрии. Эффективность этого метода в применении к конкретным физическим моделям была продемонстрирована в [74, 75]. Применение метода суперсимметричных преобразований к многоканальным задачам, более интересным с точки зрения приложений в атомной и ядерной физике практически не рассматривалось (более подробное обсуждение см. ниже ).

Отправной точкой для изучения многоканальных задач естественно рассматривать метод преобразования Дарбу, применяемый к системам дифференциальных уравнений. Например в работе [76] изучалось преобразование Дарбу системы типа Дирака, а в [77] цепочки преобразований Дарбу для матричного уравнения Шредингера.

Даже этот неполный обзор применения преобразования суперсимметрии в квантовой механике демонстрирует эффективность данного метода. Заметим, что хотя свойства преобразования суперсимметрии изучались многими авторами, ряд вопросов, связанный с фундаментальными решениями - функцией Грина стационарного и пропагато-ром нестационарного уравнений Шредингера, оставался открытым, как для эрмитовых так и для неэрмитовых гамильтонианов. Отметим, что в случае неэрмитовых гамильтонианов, изучение эволюции таких систем [53] (зачастую открытых или диссипа-тивных) приводит к задаче вычисления пропагаторов для нестационарного уравнения Шредингера с неэрмитовыми гамильтонианами.

Более существенные пробелы имеются в случае многоканальной задачи (матричное уравнение Шредингера). Во-первых, по существу, исходный потенциал всегда является диагональным, поэтому возникает вопрос - может ли преобразование сунерсимметрии приводить к недиагональному потенциалу? Во-вторых, поведение спектра многоканального уравнения Шредингера при преобразованиях суперсимметрии может существенно отличаться от одноканального случая. В-третьих, преобразования таких важных объектов как матрица рассеяния и матрица Иоста не были в достаточной степени изучены. Именно возможность управлять изменением матрицы рассеяния позволяет решать обратную задачу рассеяния с помощью преобразования суперсимметрии.

Целью данной диссертационной работы является исследование пропагаторов в одноканальной суперсимметричной квантовой механике и исследование многоканальной задачи рассеяния методами суперсимметричной квантовой механики.

Пропагатор в квантовой механике

Пространственно-временная эволюция квантовомеханической системы подчиняется уравнению Шредингера и в наиболее компактной форме содержится в тгропагаторе. Пропагатор определяет амплитуду вероятности перемещения частицы из одной точки пространства в другую за фиксированное время. Отметим, что в фейнмановском подходе к квантовой механике, пропагатор, выраженный в терминах интеграла по траекториям, является фундаментальным объектом [16, 17].

Обширный список литературы, посвященной рассмотрению пропагаторов в квантовой механике, содержится например в [78], где представлены явные выражения для пропагатора одномерного уравнения Шредингера в случае, когда уравнение может быть сведено к гипергеометрическому дифференциальному уравнению. Метод суперсимметричной квантовой механики приводит к более широкому классу точно-решаемых уравнений Шредингера. В этом случае решения, в частности, могут выражаться через линейную комбинацию гипергеометрических функций [40].

Ясно, что соотношения между гамильтонианами связанными преобразованием суперсимметрии (преобразованием Дарбу) должны индуцировать соотношения между соответствующими пропагаторами. Одна из целей данной работы заключается в получение и последующем анализе этих соотношений, а также в поиске наиболее удобного алгоритмического способа генерации новых классов точных пропагаторов.

Интерес к новым точным пропагаторам связан не только с возможностью их получения методами суперсимметричной квантовой механики, но и с конкретными физическими проблемами. Например, распространение лазерного импульса в параксиальном приближении формально может быть описано с помощью нестационарного уравнения Шредингера [79, 80]. Также, нестационарная функция Грина (пропагатор) используется для изучения явлений связанных с распространением света в метаматериалах [15]. В классических работах Манько и Додонова точные пропагаторы для квадратичных систем применялись к изучению эволюции многомерных систем и магнитных свойств идеальных газов заряженных частиц [81, 82].

Отметим, что хотя преобразование Дарбу и позволяет находить решения преобразованного уравнения по решениям исходного, задача вычисления пропагатора оказывается несколько сложнее. Действительно, ведь пропагатор, являясь матричным элементом (ядром) оператора эволюции, несет в себе максимально возможную информацию о поведении квантовой системы. Знание пропагатора позволяет решить задачу Коши для нестационарного уравнения Шредингера.

Переход в пропагаторе к мнимому времени t —» i/З приводит к статистической сумме для рассматриваемой квантовой системы. Кроме того, используя формулы, связывающие ядра и символы операторов для различных квантований могут быть получены pq, qp или вейлевский символ для оператора эволюции [50].

Задача вычисления пропагаторов для потенциалов, генерируемых преобразованием суперсимметрии рассматривалась в [83], где приведено общее выражение, связывающее пропагаторы для двух квантовых систем, являющихся суперпартнерами. Однако, в связи с трудоемкостью вычислений, практическое применение этого выражения для вычисления пропагаторов, по-видимому, ограничивается случаем преобразования первого порядка. Приблеженные методы вычисления пропагаторов в суперсимметричной квантовой механике, основанные на континуальном интегрировании, рассмотрены в [84, 85].

В данной работе будет предложен другой подход к вычислению пропагаторов для преобразованных систем. Предложенный подход также обобщается для нестационарных и неэрмитовых потенциалов, генерируемых преобразованием суперсимметрии. Полученные результаты могут представлять интерес для исследования распадающихся квантовых систем [86].

Пропагатор нестационарного уравнения Шредингера связан преобразованием Фурье с функций Грина соответствующего стационарного уравнения, поэтому логично изучить также и суперсимметричное преобразование функций Грина. Кроме того, функция Грина задачи Штурма-Лиуввиля играет важную роль в ряде задач квантовой механики. Введение функции Грина связано с необходимость решения неоднородного уравнения Шредингера. К неоднородным уравнениям сводятся два очень важных класса задач. Во-первых, это задачи теории возмущений, когда ищутся поправки к волновой функции, возникающие из-за малого возмущения гамильтониана системы. При этом, неоднородный член в уравнении Шредингера пропорционален невозмущенной волновой функции. Во-вторых, это задачи связанные с реакциями, то есть с рождением частиц. Неоднородность в таких уравнениях играет роль источника (стока) частиц [87].

Для работы с неоднородными уравнениями существует хорошо разработанный аппарат функций Грина, который применяется и в более сложных задачах, нежели решение уравнения Шредингера, например для решения уравнений квантовой теории поля. В настоящее время функции Грина широко используются во многих областях теоретической физики. В данной работе рассмотрение ограничено функцией Грина стационарного уравнения Шредингера.

Соотношения между функциями Грина квантовых систем, связанных преобразованием суперсимметрии изучались ранее в работе Сукумара [88]. Основываясь на методе функций Грина, Сукумар [88] рассматривает главным образом условия, при которых определенные матричные элементы гамильтониана могут обратиться в нуль, связывая это свойство с наличием суперсимметрии в системе. Вопрос о преобразовании функций Грина им не обсуждается, кроме того, при вычислении "следовой формулы" неправильно учтен вклад непрерывного спектра.

Задача рассеяния для многоканального уравнения Шредингера

Почти все низко энергетические процессы столкновения микрочастиц с внутренней структурой (то есть, атомов, ядер и т.д.) включают неупругое рассеяние, связанное с возбуждением внутренних степеней свободы или перестановками их составных частей. Такие процессы могут быть описаны с помощью матричного (точнее, многоканального) уравнения Шредингера с локальным матричным потенциалом и различными (либо совпадающими) порогами каналов рассеяния [12, 13]. Решение прямой и обратной задач рассеяния для такого уравнения представляет интерес как с математической точки зрения, так и для различных приложений в атомной и ядерной физике [89]-[94].

Метод преобразования Дарбу нашел применение в решении обоих типов задач для одноканального уравнения Шредингера [72, 74, 73]. Обзор использования метода суперсимметричной квантовой механики для решения обратной задачи одноканального рассеяния можно найти в [75]. В многоканальном случае преобразование суперсимметрии рассматривалось в работах [95, 96, 97, 98, 99]. Фазово-эквивалентные преобразования суперсимметрии для многоканального уравнения Шредингера были получены в [100, 101]. Однако все эти результаты не позволяют построить с помощью цепочки преобразований потенциал с заданной матрицей рассеяния, то есть задача контролируемого управления фазовыми сдвигами и матрицей рассеяния с помощью преобразований суперсимметрии, для многоканального случая полностью не решена до сих пор. В данной работе получены некоторые новые результаты в этом направлении.

По сравнению с однокапальным случаем, число известных точно решаемых многоканальных потенциалов (которые могли бы выступать в роли исходных потенциалов) очень мало. Одна из причин этого связана с недостаточно развитым методом обратной задачи рассеяния (то есть, построения потенциала, исходя из данных рассеяния и спектра) [18]. В работе [102], однако, был получен многоканальный аналог баргмановского потенциала и найдена соответствующая матрица Иоста. Поскольку матрица Иоста полностью определяет свойства дискретного спектра и состояний рассеяния [13, 103], такой точно решаемый потенциал, подобно баргмановским [104], является важным звеном в методе обратной задачи рассеяния.

К сожаленью, работа Кокса [102] не привлекла должного внимания, вероятно, по следующим причинам. Во-первых, способ получения потенциала выглядит весьма туманно. Статья в основном посвящена довольно трудоемкой проверке того, что предъявленное решение удовлетворяет уравнению Шредингера с данным потенциалом. Никакой информации о том, как это решение и потенциал получены не приводится. Вторая проблема состоит в том, что даже несмотря на довольно простой вид матрицы Иоста, нахождение связанных состояний и резонансов является нетривиальной задачей даже для двух каналов. В частности, в работе [102] ошибочно утверждается, что в случае двух каналов, потенциал Кокса не имеет связанных состояний.

Что касается первой причины, недавно потенциал Кокса, для простейшего случая (q — 1 в [102]), был получен с помощью преобразования суперсимметрии нулевого потенциала [105, 106]. Как следствие, получено более простое выражение для потенциала и решений. Кроме того, данное преобразование суперимметрии может быть обобщено путем использования произвольного исходного потенциала.

Следует отметить, что в работах [105, 106] введен новый класс так называемых неконсервативных преобразований суперсимметрии, которые изменяют граничное поведение решений (в отличии от подхода, рассматриваемого в [95, 96]). Главное достоинство таких преобразований заключается в возможности генерации многоканальных потенциалов с нетривиальной связью между каналами из несвязанных потенциалов, в частности из нулевого потенциала.

Преобразования суперсимметрии нового типа, не сохраняющие граничное поведение решений, приводят к более сложной связи между дискретными спектрами и свойствами рассеяния суперпартнеров. В частности, спектры исходного и преобразованного гамильтонианов существенно отличаются. Исследование спектральных свойств и свойств рассеяния таких суперпартнеров, а также построение новых точно решаемых многоканальных моделей с заданными свойствами на их основе, в контексте возросшего интереса к многоканальным задачам является актуальной задачей, которая рассматривается в данной диссертации.

Для анализа состояний рассеяния используется ^-матрица, а для анализа спектра - матрица Иоста, которая в нерелятивистской теории рассеяния играет фундаментальную роль, наравне с матрицей рассеяния [107]. Нули детерминанта матрици Иоста (детерминанта Иоста) определяют положение связанных/виртуальных состояний и резо-нансов [12, 13]. Аналитические выражения для матриц Иоста и потенциалов, получаемых с помощью неконсервативных преобразований суперсимметрии нулевого потенциала найдены в [105]. Спектральные свойства для таких потенциалов не были изучены до сих пор, несмотря на тот факт, что подобная матрица Иоста хорошо известна [102].

В данной диссертационной работе исследуется качественный характер спектра (число и взаимное расположение нулей детерминанта Иоста в комплексной плоскости) для случая произвольного числа каналов, N. Даже для случая N = 2 полный анализ спектра является весьма сложной задачей [102, 108]. Основная причина заключается в чрезвычайно быстром увеличении порядка алгебраического уравнения, определяющего спектр, при увеличении числа каналов. Для случая двух каналов, построение потенциала Кокса, по заданному положению нулей матрицы Иоста было выполнено в [108].

По-видимому, в частном случае совпадающих порогов можно обойтись лишь консервативными преобразованиями суперсимметрии [96].

Интересной задачей является получение недиагональных многоканальных потенциалов, являющихся суперпартнерами диагональных. В этом случае преобразование суперсимметрии ведет к возникновению связи между каналами. Эта связь может быть тривиальной (потенциал диагонализуется преобразованием, не зависящим от координат) и нетривиальной. Кроме того, связь между каналами, возникшая благодаря недиа-гональности потенциала взаимодействия, все еще может быть тривиальной на уровне матрицы рассеяния (диагональная, либо диагонализуемая преобразованием, не зависящим от энергии, матрица рассеяния). Оказывается, хотя однократные преобразования суперсимметрии позволяют получить нетривиальную связь между каналами, для случая разных парциальных волн преобразованный потенциал не всегда будет удовлетворять разумным физическим требованиям. В ходе исследования свойств консервативных преобразований в случае совпадающих порогов будет установлено, что существует особое двукратное преобразование, позволяющие ввести связь между каналами без изменения фазовых сдвигов. Это преобразование допускает итерации и, возможно, является ключевым ингредиентом для установления эквивалентности между суперсиммегрич-ной квантовой механикой и методом обратной задачи рассеяния в многоканальном случае.

На защиту выносятся следующие основные положения

Получены соотношения, связывающие пропагаторы и функции Грина двух одномерных уравнений Шредингера, сплетаемых преобразованием суперсимметрии. Вычислены новые точные пропагаторы для серии многоямных потенциалов, а также для некоторых нестационарных и неэрмитовых потенциалов.

Для многоканального уравнения Шредингера с различными порогами изучено неконсервативное преобразование суперсимметрии. Найден спектр (связанные, виртуальные состояния и резонансы) неконсервативного суперпартнера нулевого потенциала.

Построена точно-решаемая модель резонанса Фешбаха. Модель апробирована на экспериментальных данных для Rb85.

Для многоканального уравнения Шредингера с совпадающими порогами изучены консервативные преобразования первого и второго порядков. Найдены условия, при которых преобразование суперсимметрии сплетает гамильтонианы с несвязанными и связанными каналами.

Для парциальных волн разной четности найдено смешивающее преобразование суперсимметрии первого порядка, сохраняющее фазовые сдвиги. Для парциальных волн одной четности найдено преобразование второго порядка, сохраняющее фазовые сдвиги и установлены причины, по которым не существует преобразования первого порядка с указанными свойствами.

С помощью цепочки преобразований суперсимметрии получен феноменологический нейтрон-протонный потенциал для 35'i —3 D\ каналов.

Структура диссертации

Вторая глава посвящена обзору преобразований суперсимметрии (однокапального) уравнения Шредингера. Преобразование суперсимметрии вводится в рамках стандартного подхода, заключающегося в использовании дифференциальных операторов преобразования. Такой подход наиболее удобен при рассмотрении полиномиальных обобщений суперсимметрии, которые эквивалентны преобразованиям Дарбу высших порядков.

Преобразования первого и второго порядков являются базовыми элементами для преобразований высших порядков, поэтому эти два случая рассмотрены более подробно.

В заключении второй главы приводятся примеры точно решаемых моделей, генерируемых с помощью преобразования Дарбу, для которых в последующих главах будут вычислены пропагаторы.

Третья глава посвящена преобразованию суперсимметрии для функции Грина стационарного уравнения Шредингера. Приводятся выражения для преобразованой функции Грина в случае суперсимметрии первого и второго порядков. На основе полученных соотношений вычисляется ряд точных функций Грина. Для рассеивающих потенциалов (задача на всей оси) найдена поправка к "следовой формуле" Сукумара [88].

В четвертой главе в виде ряда теорем сформулированы и доказаны основные результаты данной работы, позволяющие вычислять пропагаторы для потенциалов (в частности нестационарных и комплексных), генерируемых преобразованием суперсимметрии.

В пятой главе приводятся примеры вычисления пропагаторов с использованием развитой техники. Вычислена серия пропагаторов для солитонных потенциалов, для ряда потенциалов с квазиэквидистантным спектром, для частицы в ящике. Предложенная методика позволяет вычислять также пропагаторы для неэрмитовых и нестационарных гамильтонианов, что и демонстрируется на примере комплексного, либо нестационарного солитопного потенциала и комплексной изоспектральной деформации потенциала гармонического осциллятора.

В шестой главе рассматриваются многоканальные потенциалы, генерируемые преобразованием суперсимметрии. Исследуется как случай разных порогов между каналами, так и случай совпадающих порогов. Во-втором случае рассматриваются произвольные парциальные волны. В основе анализа полученных многоканальных потенциалов лежит аналитическое выражение для преобразованной матрицы Поста и матрицы рассеяния.

В заключении обсуждаются полученные результаты и возможные направления для дальнейших исследований.

Апробация работы

Результаты работы были представлены 6-ой международной конференции "Симметрия в нелинейной математической физике" (Киев, Украина, 2005), на международной конференции "Pseudo-Hermitian Hamiltonians in Quantum Physics", (Istanbul, Turkey, r

2005), на международной школе-семинаре "Современные методы теоретической и математической физики, Волга-15", (Казань, 2006) на международной школе-семинаре "Квантовая теория поля и гравитация" (Томск, 2007), на международной конференции International Conference on Inverse Quantum Scattering Theory (Siofok, Hungary, 2007), на конференции BRIX workshop (Мол, Бельгия, 2008), на XXVII-ом международном коллоквиуме по групповым методам в физике (Ереван, Армения, 2008), на ежегодной конференции бельгийского физического сообществе "BPS general scientific meeting" (Hasselt, Belgium, 2009).

6 Заключение

В данной работе изучены пропагаторы и функции Грина для гамильтонианов, связанных преобразованием суперсимметрии, найдены общие формулы, связывающие компоненты суперсимметричного пропагатора и функции Грина. В рамках предлагаемого подхода одинаково просто выглядят задачи вычисления пропагаторов как для преобразования первого порядка, так и для высших порядков.

Поскольку пропагатор может определяться с помощью континуального интеграла, полученный результат эквивалентен вычислению соответствующего континуального интеграла. Таким образом мы, пусть в одномерном случае, получили примеры точных негауссовых континуальных интегралов. В пятой главе вычислены пропагаторы для некоторых интересных моделей. Получена серия точных пропагаторов для солитон-ных потенциалов, и серия пропагаторов для потенциалов генерируемых двукратным преобразованием Дарбу из потенциала гармонического осциллятора. Солитонные потенциалы, в низкоэнергитическом приближении способны описывать многие квантовые системы, поскольку энергетические уровни могут быть расположены любым наперед заданным способом. Стоит отметить, что для рассмотренных моделей, обычные приближенные способы вычисления пропагаторов, например с помощью квазиклассического приближения, по-видимому не годятся. Это связано с тем, что потенциалы данных моделей являются многоямными. Соответственно, для учета туннелирования между ямами (различными классическими вакуумами) нужно использовать метод инстантонов. Поскольку в рассматриваемом подходе получено точное выражение для пропагатора, то инстантонный вклад учтен автоматически.

Явные выражения для пропагаторов рассмотренных моделей позволяют во-первых изучать из временную эволюцию, во-вторых могут использоваться для решения уравнения Фоккера-Планка (см. например [83]). Учитывая связь между пропагатором и статистической суммой, полученные результаты могут использоваться в статистической физике.

Предложенная методика обобщается на случай нестационарных и неэрмитовых потенциалов, генерируемых преобразованием Дарбу. В качестве примера, в пятой главе приводится точный пропагатор для нестационарной и комплекной деформаций солитонного потенциала.

В шестой главе рассмотрено преобразование суперсимметрии многоканального уравнения Шредингера. В случае задачи с различными порогами получено компактное выражение для iV-канального потенциал Кокса в терминах преобразования суперсимметрии нулевого потенциала, а также сформулировано и доказано необходимое и достаточное условие его регулярности. Установлена структура дискретного спектра (число связанных состояний, при заданных параметрах), а также максимально возможное число резонансов и виртуальных состояний в случае произвольного числа каналов. В случае приближения малой связи предложен метод приближенного вычисления нулей детерминанта Иоста. Для N = 2 в замкнутом виде найден спектр потенциала Кокса. Для заданных положений нулей детерминанта Иоста разработана методика нахождения параметров потенциала.

Матрица рассеяния для потенциала Кокса найдена в явном виде. Исследовано ее поведение при низких энергиях и найдена длина рассеяния, в случае, когда открыт только один канал. Используя эти аналитические выражения построена точно решаемая модель рассеяния атомов щелочных металов помещенных в магнитном поле, в режиме большой длины рассеяния. Рассмотрено взаимодействие магнитного резонанса Фешбаха с подпороговым связанным или виртуальным состоянием, которые приводят к большой фоновой длине рассеяния.

Для многоканальных потенциалов с совпадающими порогами (парциальные волны в каждом канале выбираются произвольно) исследованы преобразования суперсимметрии между диагональными и недиагональными потенциалами. Установлены необходимые условия на выбор функции преобразования для того, чтобы получить нетривиальную связь между каналами в матрице рассеяния. Получено семейство изофазных потенциалов, генерируемых смешивающим преобразованием суперсимметрии. Это семейство параметризуется симметричной М х М невырожденной матрицей Х0. Анализ нулей детерминанта Иоста показал, что такое преобразование суперсимметрии приводит к М кратно вырожденному уровню связанного состояния с энергией Еь = — к2 и N — М кратно вырожденному виртуальному состоянию с энергией Ev = —к2.

В наиболее важном для приложений двухканальном случае было проанализировано поведение суперпотенциала и преобразованного потенциала на больших расстояниях. Обнаружен эффект переворота парциальных волн. Установлена связь между фазовыми сдвигами исходного и преобразованного потенциала. Для разных парциальных волн вычислен параметр смешения для преобразованного потенциала.

Рассмотрено несколько схематических примеров демонстрирующих возможности однократного смешивающего преобразования. Получен пример недиагонального потенциала, который не диагонализуется независящим г преобразованием, но соответствующая матрица рассеяния, может быть диагонализована постоянным преобразованием. Данный пример демонстрирует, что требование нетривиальной связи между каналами имеет более сильный характер на уровне б'-матрицы, чем на уровне потенциала и матрицы Иоста.

Рассмотрены примеры точно решаемых потенциалов с нетривиальной связью между каналами рассеяния в s — s, s — pus — d каналах. Для s — s и s — p парциальных волн было показано, как управлять свойствами рассеяния при низких энергиях, выбирая параметры преобразования суперсимметрии. В нефизическом s—p примере оказалось, что однократное преобразование суперсимметрии сохраняет поведение фазовых сдвигов без изменения, и таким образом содержит все необходимые ингридиенты для удобного алгоритма построения потенциала с заданными свойствами рассеяния.

Для более интересного s — d случая, установлено, что однократное преобразование не позволяет решить проблему введения связи без дополнительных ограничений (обязательно наличие связанного состояния с нулевой энергией). И даже при выполнении этих условий, фазовые сдвиги полученного s — d потенциала не удовлетворяют приближению эффективного радиуса, что указывает на патологию в потенциале.

Предложенное двукратное преобразование с комплексными константами факторизации позволило снять лишние ограничение в s—d случае, а также воспроизвести наиболее интересное свойство сохранения фазовых сдвигов при однократном смешивающем преобразовании в s — р каналах. С помощью цепочки одноканальных, смешивающих и фазово-эквивалентных преобразований суперсимметрии получен феноменологический потенциал взаимодействия между протоном и нейтроном в 3S\ —3 каналах.

Дальнейшее развитие метода преобразования суиерсимметрии в многоканальном случае может привести к более удобному, чем известные обобщения интегральных уравнений Гельфанда и Левитана-Марченко, алгоритму решения обратной задачи рассеяния. В частности, цепочки преобразований должны приводить к матрице Иоста, с элементами, являющимися рациональными функциями импульса. Также, для акутальных физических приложений желательно включить в рассмотрение высшие парциальные волны в случае различных порогов и учесть кулоновское взаимодействие (что скажется на асимптотическом поведении суперпотенциала).

Результаты диссертации опубликованы в [108, 120, 121, 133, 134, 135, 141, 142, 143].

В заключение я выражаю глубокую признательность Б.Ф. Самсонову (Томский государственный университет) и Жан-Марку Спаренбергу (Свободный брюссельский университет) за научное руководство и всестороннюю помощь и поддержку. Я благодарен всем сотрудникам кафедр квантовой теории поля и теоретической физики за создание благоприятных условий для работы. Работа выполнена при поддержке фонда "Династия" и частично поддержана Свободным брюссельским университетом.

1. Anderson М. Н., Ensher J. R., Matthews M. R., Wieman С. E. and Cornell E. A. Observation of Bose-Einstein Condensation in a Dilute Atomic Vapor// Science. 1995. 269. 198-201.

2. Stoof H. Т. C., Houbiers M., Sackett C. A. and Hulet R. G. Superfluidity of Spin-Polarized 6£г// Phys. Rev. Lett. 1996. 76. 10-13.

3. Houbiers M., Ferwerda R., Stoof H. Т. C., McAlexander W. I., Sackett C. A. and Hulet R. G. Superfluid state of atomic 6Li in a magnetic trap// Phys. Rev. A. 1997. 56. 4864-4878.

4. Bartenstein M. Precise determination of 6Li cold collision parameters by radio-frequency spectroscopy on weakly bound molecules// Phys. Rev. Lett. 2005. 94. 103201 (4pp).

5. Moerdijk A. J., Verhaar B. J. and Axelsson A. Resonances in ultracold collisions of 6Li, 7Li and 23Na Phys. Rev. A 1995. 51 4852-4861.

6. Kamano H. , Julia-Diaz В., Lee T.-S. H., Matsuyama A., Sato T. Dynamical coupled-channels study of 7Г N 7Г7Г N reactions Phys. Rev. C. 2009. 79 025206 (llpp); Preprint nucl-th/0807.2273.

7. Esbensen H. Coupled-channels calculations of 10O+16O fusion Phys. Rev. C. 2008. 77 054608 (7pp); Preprint nucl-th/0805.1903.

8. Beck C., Keeley N., Diaz-Torres A. Coupled-channels effects in elastic scattering and near-barrier fusion induced by weakly bound nuclei and exotic halo nuclei Phys. Rev. C. 2007. 75 054605 (llpp); Preprint nucl-th/0703085.

9. Zagrebaev V.I., Samarin V.V. Near-barrier fusion of heavy nuclei: Coupling of channels// Physics of Atomic Nuclei. 2004. 67 (8). 1462-1477.

10. Scully M. O. and Zubairy M. S. Quantum Optics. Cambridge: Cambridge University Press, 1997.

11. Wu T.T. Quantum memory: Write, read, reset and decoherence// Proceedings of SPIE The International Society for Optical Engineering. 2003. 5105. 204-215.

12. Taylor J. R. Scattering Theory: The Quantum Theory on Nonrelativistic Collisions. New York: Wiley, 1972.

13. Newton R. G. Scattering Theory of Waves and Particles. New York: Springer, 1982.

14. Dum R. , Sanpera A., Suominen K.-A., Brewczyk M., Kus' M., Rzazewski K., Lewenstein M. Wave Packet Dynamics with Bose-Einstein Condensates// Phys. Rev. Lett. 1998. 80. Issue 18. 3899-3902.

15. Zhou L., Huang X., Chan C.T. A time-dependent Green's function approach to study the transient phenomena in metamaterial lens focusing// Photonics and Nanostructures Fundamentals and Applications. 2005. 3. 100Ц106.

16. Feynman R.P., Hibbs A.R. Quantum Mechanics and Path Integrals. New York: McGraw-Hill, 1965.

17. Feynman R.P. Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics// Rev. Mod. Phys. 1948. 20. 367 (36pp).

18. Chadan K. and Sabatier P. C. Inverse Problems in Quantum Scattering Theory. New York: Springer, 1989. 2nd edn.

19. Ledoux V., Van Daele M., Berghe G.V. CPM{P,N} methods extended for the solution of coupled channel Schrodinger equations// Computer Physics Communications. 2006. 174 (5). 357-370.

20. Ixaru L. Gr. Exactly solvable coupled-channel Schrodinger equation// Phys. Rev. A. 2008. 77. 064102 (4pp).

21. Darboux G. Sur une proposition relative aux equations lineaires//CR Acad. Sci. Paris. 1882.

22. Giinther U., Samsonov B. F. and Stefani F. A globally diagonalizable a2—dynamo operator, SUSY QM and the Dirac equation// J. Phys. A: Math. Theor. 2007. 40. F169-F176; math-ph/0611036.

23. Baye D. Supersymmetry between deep and shallow nucleus-nucleus potentials// Phys. Rev. Lett. 1987. 58. 2738-41.

24. Andrianov A. A., Borisov N. V., Ioffe M. V. Scattering theory for supersymmetric Hamiltonian and supersymmetry of nuclear interactions// Theoretical and Mathematical Physics. 1987. 72(1). 748-758.

25. Andrianov A. A., Ioffe M. V., Nishnianidze D. N. Classical Integrable 2-dim Models Inspired by SUSY Quantum Mechanics// J. Phys. A: Math. Gen. 1999. 32. 4641 (19pp); preprint solv-int/9810006.

26. Andrianov A. A., Cannata F., Nishnianidze D.N. and Ioffe M.V. Matrix Hamiltonians: SUSY approach to hidden symmetries// J. Phys. A: Math. Gen. 1997. 30. 5037-5050; Preprint quant-ph/9707004.

27. Witten E. Dynamical breaking of supersymmetry// Nucl. Phys. B. 1981. 185. 513554.

28. Witten E. Constraints on supersymmetry breaking// Nucl. Phys. B. 1982. 202. 253316.

29. Cooper F., Khare A., Sukhatme U. Supersymmetry and quantum mechanics// Phys. Rep. 1995. 251. 267-385.

30. Bagchi B.K. Supersymmetry in classical and quantum mechanics. Monographs and surveys in pure and applied mathematics, 2001.

31. Andrianov A.A., Borisov N.V., Ioffe M.V., Eides M.I. Supersymmctric mechanics: A new look at the equivalence of quantum systems// Theoretical and Mathematical Physics. 1984. 61(1). 965-972.

32. Andrianov A.A., Borisov N.V., Ioffe M.V. Factorization method and Darboux transformation for multidimensional Hamiltonians// Theoretical and Mathematical Physics. 1984. 61(2). 1078-1088.

33. Sukumar С. V. Supersymmetric quantum mechanics of one-dimensional systems// J. Phys. A: Math. Gen. 1985. 18. 2917-36

34. Junker G. Supersymmetry method in quantum and statistical method Berlin: Springer, 1996.

35. Infeld L., Hull Т.Е. The factorization method// Rev. Mod. Phys. 1951. 23. 21-68.

36. Mielnik B. and Rosas-Ortiz O. Factorization: little or great algorithm?// J. Phys. A: Math. Gen. 2004 37. 10007-10035.

37. Andrianov A. A., Borisov N. V. and Ioffe M. V. The factorization method and quantum systems with equivalent energy spectra// Phys. Left. 1984. Ю5А. 19.

38. Bagrov V.G. and Samsonov B.F. Darboux transformation, factorization and supersymmetry in one-dimensional quantum mechanics// Theor. Math. Phys. 1995. 104. 1051-60.

39. Bagrov V.G. and Samsonov B.F. Darboux transformation of the Schrodinger equation// Phys. Part. Nucl. 1997. 28. 374-97.

40. Andrianov A.A. and Sokolov A.V. Factorization of nonlinear supersymmetry in one-dimensional Quantum Mechanics I: general classification of reducibility and analysis of third order algebra// Zapiski Nauchnyh Seminarov POMI. 2006 335. 22-49.

41. J. Math. Sci. 2007. 143. 2707-2722.

42. Andrianov A.A. and Sokolov A.V. Nonlinear Supersymmetry in Quantum Mechanics: Algebraic Properties and Differential Representation// arXiv:hep-th/0301062, 2003.

43. Andrianov A.A., Ioffe M.V., Nishnianidze D.N. Polynomial SUSY in Quantum Mechanics and Second Derivative Darboux Transformation// Phys. Lett. A. 1995. 201 103-110; Preprint hep-th/9404120vl.

44. Samsonov B.F. and Ovcharov I.N. Darboux transformations and non-classical orthogonal polynomials// Russ. Phys. J. 1995. 38/4. 58-65.

45. Aref'eva I., Fernandez D.J., Hussin V., Negro J., Nieto L.M. and Samsonov B.F. (eds) Progress in Supersymmetric Quantum Mechanics special issue of J.Phys. A: Math. Gen. 2004. 37. 10007-458.

46. Das A., Falomir H., Gamboa J. and Mendez F. Non-commutative supersymmetric quantum mechanics// Physics Letters B. 2009. 670. Issue 4-5. 407-415.

47. Klishevich S.M. and Plyushchay M.S. Nonlinear supersymmetry, quantum anomaly and quasi-exactly solvable systems// Nuclear Physics B. 2001. 606. Issue 3. 583-612.

48. Andrianov A.A., Ioffe M.V. and Cannata F. Higher-Order Derivative Susy in Quantum Mechanics with Large Energy Shifts// Mod. Phys. Lett. A. 1996. 11. 1417-1428; Preprint hep-th/9405051.

49. Cannata F., Ioffe M.V. and Nishnianidzeb D.N. Two-dimensional Schrodinger Hamil-tonians with effective mass in SUSY approach// Annals of Physics. 2008. 323. Issue 10. 2624-2632.

50. Гендеиштейн Л.Э. Нахождение точных спектров с помощью суперсимметрии// Письма в ЖЭТФ. 1983. 38 N.6. 299-302.

51. Переломов A.M. Обобщенные когерентные состояния и их применение. Москва: Наука, 1987.

52. Самсонов Б.Ф. Когерентные состояния потенциалов солитонного происхождения// ЖЭТФ. 1998. 114. вып. 6(12). 1930-1943.

53. Bagarelloa F. Extended SUSY quantum mechanics, intertwining operators and coherent states// Physics Letters A. 2008. 372. Issue 41. 6226-6231.

54. Березин Ф.А. Метод вторичного квантования. Москва: Наука, 1986.

55. Znojil М. Ed. Pseudo-Hermitian Hamiltonians in Quantum Physics// special issue of Czech. J. Phys. 2005. 55 No 9.

56. Baye D., Levai G. and Sparenberg J.-M. Phase-equivalent complex potentials// Nuclear Physics A. 1996. 599. Issues 3-4. 435-456.

57. Mostafazadeh A. Pseudo-Unitary Operators and Pseudo-Unitary Quantum Dynamics// J. Math. Phys. 2004. 45. 932-946.

58. Bender C.M., Chen J.-H., Milton K.A.// J. Phys. A: Math. Gen. 2006. 39. 1657.

59. Gohberg I. Ts. and Krein M. G. Introduction in the theory of linear non-selfadjoint operators. Moscow: Nauka, 1965.

60. Наймарк M.A. Линейные дифференциальные операторы. Москва: Наука, 1969.

61. Келдыш М. В.// Доклады академии наук СССР. 1951. 77. 11.

62. Лидский В.Б.// Труды московского математического общества. 1960. 9. 45.

63. Dirac Р.А.М.// Proc. Roy. Soc. А. 1942. 180. 1; Pauli W.// Rev. Mod. Phys. 1943. 15. 175;1.e T. D. and Wick G. C.// Nucl. Phys. B. 1969. 9. 209.

64. Solombrino L. Weak pseudo-Hermiticity and antilinear commutant// J. Math. Phys. A. 2002. 43. 5439;

65. Scolarici G. and Solombrino L. On the pseudo-Hermitian nondiagonalizable Hamiltonians// J. Math. Phys. A. 2003. 44. 4450.

66. Mostafazadeh A. Pseudo-Hermiticity versus PT symmetry: The necessary condition for the reality of the spectrum of a non-Hermitian Hamiltonian// J. Math. Phys. 2002. 43. 205.

67. Никольский H. К. Лекции об операторе сдвига. Москва: Наука, 1980.

68. Curtright Т. and Mezincescu L. Biorthogonal quantum systems// J. Math. Phys. 2008. 48. 092106. Preprint quant-ph/0507015.

69. Bender C.M., Brody D.C. and Jones H.F. Quantum Entanglement of Moving Bodies// Phys. Rev. Lett. 2002. 89. 270402 (4pp).

70. Andrianov A.A., Cannata F., Dedonder J.-P. and Ioffe M. SUSY quantum mechanics with complex superpotentials and real energy spectra // Int. J. Mod. Phys. A. 1999. 14. 2675-2688; Preprint quant-ph/9806019vl;

71. Cannata F., Junker G. and Trost J. Schrodinger operators with complex potential but real spectrum // Phys. Lett. A. 1998. 246. 219;

72. Milanovic V. and Ikonic Z. Supersymmetric generated complex potential with complete real spectrum // Phys. Lett. A. 2002. 293. 29;

73. Petrovic J.S., Milanovic V. and Ikonic Z. Bound states in continuum of complex potentials generated by supersymmetric quantum mechanics// Phys. Lett. A. 2002. 300. 595.

74. Samsonov B.F. SUSY transformations between digonalizable and non-diagonalizable Hamiltonians// J. Phys. A: Math. Gen. 2005. 38. L397-L403; Preprint quant-ph/0503075.

75. Cannata F., Junker G. and Ttost J. Schrodinger operators with complex potential but real spectrum// Phys. Lett. A. 1998. 246. 219-226.

76. Sokolov A. V., Andrianov A.A. and Cannata F. Non-Hermitian Quantum Mechanics of Non-diagonalizable Hamiltonians: puzzles with self-orthogonal states// J. Phys. A: Math. Gen. 2006. 39. 10207-10228; Preprint quant-ph/0602207.

77. Samsonov B.F. and Shamshutdinova V.V. Quadratic pseudosupersymmetry in two-level systems// J. Phys. A: Math. Gen. 2005. 38. 4715-4725.

78. Samsonov B.F. Spectral singularities of non-Hermitian Hamiltonians and SUSY transformations// J. Phys. A: Math. Gen. 2005. 38. L571IJL579.

79. Andrianov A.A., Cannata F., Sokolov A.V. Non-linear Supersymmetry for non-Hermitian, non-diagonalizable Hamiltonians: I. General properties// Nucl. Phys. B. 2007. 773. 107-136; Preprint math-ph/0610024.

80. Sukumar C.V. Supersymmetric quantum mechanics and the inverse scattering method// J. Phys. A: Math. Gen. 1985. 18. 2937-2955.

81. Andrianov A.A., Cannata F., Dedonder J.-P., Ioffe M.V. Second Order Derivative Supersymmetry and Scattering Problem// Int. J. Mod. Phys. A. 1995. 10. 2683-2702; Preprint hep-th/9404061.

82. Samsonov B.F. and Stancu F. Phase shifts effective range expansion from supersymmetric quantum mechanics// Phys. Rev. C. 2003. 67 054005 (6pp).

83. Baye D. and Sparenberg J.-M. Inverse scattering with supersymmetric quantum mechanics// J. Phys. A: Math. Gen. 2004. 37. 10223-49.

84. Nieto L.M., Pecheritsin A.A. and Samsonov B.F. Intertwining technique for the one-dimensional stationary Dirac equation// Annals of Physics. 2003. 305. Issue 2. 151-189.

85. Samsonov B.F. and Pecheritsin A.A. Chains of Darboux transformations for the matrix Schrodinger equation// J. Phys. A: Math. Gen. 2004. 37. 239-250

86. Grosche C. and Steiner F. Handbook of Feynman path integrals. Berlin: Springer, 1998.

87. A. del Campo and Muga J. G. Exact propagators for atom-laser interactions// J. Phys. A: Math. Gen. 2006. 39. 14079-14088; Preprint quant-ph/0607079.

88. Doumica M., Dubocb F., Golsec F. Simulation of laser beam propagation with a paraxial model in a tilted frame// Journal of Computational Physics. 2009. 228. Issue 3. 861-880.

89. Додонов В.В., Манько В.И. Эволюция многомерных систем. Магнитные свойства идеальных газов заряженных частиц.// Труды физического института им. Лебедева. 1987. 183. 182-286.

90. Dodonov V.V., Malkin I.A., Man'ko V.I. Integrals of the Motion, Green Functions, and Coherent States of Dynamical Systems// International Journal of Theoretical Physics. 1975. V.14. No. 1. 37-54.

91. Jauslin H.R. Exact propagator and eigenfunctions for multistable models with arbitrarily prescribed N lowest eigenvalues// J.Phys. A: Math. Gen. 1988. 21. 2337-2350.

92. Fine D.S. and Sawin S.F. A Rigorous Path Integral for Supersymmetic Quantum Mechanics and the Heat Kernel// Communications in Mathematical Physics. 2008. 284. 79-91; Preprint math-ph:0705.0638.

93. W. van Dijk and Nogami Y. Analytical approach to the wave function of a decaying quantum system// Phys. Rev. C. 2002. 65. 024608 (14pp).

94. Базь А.И., Зельдович Я.В., Переломов A.M. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. Москва: Наука, 1970.

95. Sukumar C.V. Green's function, sum rules and matrix element's for SUSY partners// J. Phys. A: Math. Gen. 2004. 37. 10287-10295.

96. Wang J., Champagne J.D. Simulation of quantum systems with the coupled channel. method// American Journal of Physics. 2008. 76. 493-497.

97. Chabanov V. M. Recovering the M-channel Sturm-Liouville operator from M+l spectra// Journal of Mathematical Physics. 2004. 45. 4255-4260.

98. Sakurai J. J. Modern quantum mechanics. Addison-Wesley: Reading, Ma, 1994 .

99. Buggle Ch., Leonard J., W. von Klitzing and Walraven J. Т. M. Interferometric Determination of the s and d-Wave Scattering Amplitudes in 87Rb// Phys. Rev. Lett. 2004. 93. 173202 (4pp).

100. Thomas N. R., Kjairgaard N., Julienne P. S. and Wilson A. C. Imaging of s and d Partial-Wave Interference in Quantum Scattering of Identical Bosonic Atoms// Phys. Rev. Lett. 2004. 93. 173201 (4pp).

101. Amado R.D., Cannata F. and Dedonder J.-P. Formal scattering theory approach to S-matrix relations in supersymmetric quantum mechanics// Phys. Rev. Lett. 1988. 61. 2901-4.

102. Amado R.D., Cannata F. and Dedonder J.-P. Coupled-channel supersymmetric quantum mechanics// Phys. Rev. A. 1988. 38. 3797-800.

103. Amado R.D., Cannata F. and Dedonder J.-P. Supersymmetric quantum mechanics coupled channels scattering relations// Int. J. Mod. Phys. A. 1990. 5. 3401-15.

104. Cannata F. and Ioffe M.V. Solvable coupled channel problems from supersymmetric quantum mechanics// Phys. Lett. B. 1992. 278. 399-402.

105. Cannata F. and Ioffe M. V. Coupled channel scattering and separation of coupled differential equations by generalized Darboux transformations// J. Phys. A: Math. Gen 1993. 26. L89-92.

106. Sparenberg J.-M. and Baye D. Supersymmetry between phase-equivalent coupled-channel potentials// Phys. Rev. Lett. 1997. 79. 3802-5.

107. Leeb H., Sofianos S.A., Sparenberg J.-M. and Baye D. Supersymmetric transformations in coupled-channel systems// Phys. Rev. C. 2000. 62. 064003 (5pp).

108. Cox J. R. Many-channel Bargmann potentials// J. Math. Phys. 1964. 5. 1065-9.

109. Vidal F. and LeTourneux J. Multichannel scattering with nonlocal and confining potentials. II. Application to a nonrelativistic quark model of the NN interaction// Phys. Rev. C. 1992. 45. 430-6.

110. Bargmann V. Remarks on the determination of a central field of force from the elastic scattering phase shifts// Phys. Rev. 1949. 75. 301-3.

111. Sparenberg J.-M., Samsonov B.F., Foucart F. and Baye D. Multichannel coupling with supersymmetric quantum mechanics and exactly-solvable model for Feshbach resonance// J. Phys. A: Math. Gen. 2006. 39. L639-45; Preprint quant-ph/0601101v2.

112. Samsonov B.F., Sparenberg J.-M. and Baye D. Supersymmetric transformations for coupled channels with threshold differences// J. Phys. A: Math. Theor. 2007. 40. 422540; Preprint math-ph/0612029.

113. Rakityanskyy S.A. and Sofianos S.A. Jost function for coupled partial waves// J. Phys. A: Math. Gen. 1998. 31. 5149Ц5175.

114. Pupasov A.M., Samsonov B.F. and Sparenberg J.-M. Exactly-solvable coupled-channel potential models of atom-atom magnetic Feshbach resonances from supersymmetric quantum mechanics// Phys. Rev. A. 2008. 77. 012724 (14pp); Preprint quant-ph/0709.0343.

115. Andrianov A.A. and Cannata F. Nonlinear supersymmetry for spectral design in quantum mechanics// J. Phys. A: Math. Gen. 2004. 37. 10297-10321; Preprint hep-th/0407077.

116. Sukumar С. V. Supersymmetric quantum mechanics of one-dimensional systems// J. Phys. A. 1985. 18. 2917.

117. Andrianov A.A., Ioffe M.V. and Spiridonov V.P. Higher-Derivative supersymmetry and Witten index// Phys. Lett. A. 1993. 174. 273-279; Preprint hep-th/9303005.

118. Левитан Б.М. Обратная задача Штурма-Лиувилля. Москва: Наука, 1984.

119. Berezin F. A. and Shubin М. A. The Schrodinger equation. Dordrecht: Kluwer, 1991.

120. Kostyuchenko A. G. and Sargsyan I. S. Distribution of eigenvalues. Selfadjoint ordinary differential operators. Moscow: Nauka, 1979.

121. Krein M.G. On a continual analogue of the Christoffel formula from the theory of orthogonal polynomials// DAN SSSR (Doklady Akademii Nauk SSSR). 1957. 113. 970973.

122. Crum M. Associated Sturm-Liouville systems// Quart. J. Math. Ser 2. 1955. 6. 121127.

123. Bagrov V. G. and Samsonov B. F. On irreducible second-order Darboux transformations// Russ. Phys. J. 2002. 45(1). 27-33.

124. Samsonov B. F. New features in supersymmetry breakdown in quantum mechanics// Mod. Phys. Lett A. 1996. 11. 1563-1567; quant-ph/9611012.

125. Соколов А. В. Квантовая механика с нелинейной суперсимметрией для одномерных эрмитовых и неэрмитовых гамильтонианов: диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Спб., 2008.

126. Samsonov В. F., Sukumar С. V. and Pupasov А. М. SUSY transformation of the Green function and a trace formula// J. Phys. A: Math. Gen. 2005. 38. 7557-65; quant-ph/0507160.

127. Самсонов Б. Ф., Пупасов А. М. Преобразование Дарбу функции Грина регулярной задачи Штурма-Лиувилля// Изв. Вузов Физика. 2005. Том 48. № 10. 20-27.

128. Cannata F., Ioffe М., Junker G. and Nishnianidze D. Intertwining relations of non-stationary Schrodinger operators// J. Phys. A: Math, and Gen. 1999. 32. 3583Ц3598.

129. Bagrov V. G. and Samsonov B. F. Supersymmetry of a nonstationary Schro"dinger equation// Phys. Lett. A. 1996. 210. 60.

130. Matveev V., Salle M. Darboux transformations and solitons. New York: Springer, 1991.

131. Итс A.P., Матвеев В.Б. Операторы Шредингера с конечнозонным спектром и N-солитонные решения уравнения Кортевега-Де-Фриза// Теор. и мат. Физ. 1975. 23. № 1. 51-68.

132. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны. Методы решения и исследования нелинейных эволюционных уравнений. М.: Мир, 1985.

133. Pershin Yu. V. and Samsonov В. F. Quantum dots created through spherically polarized nuclear spins// Physica E: Low-Dimensional Systems and Nanostructures. 2005. 28. 134-40; cond-mat/0401373

134. Дубровин Б.А., Маланюк T.M., Кричевер И.М., Маханьков В.Г.// Физ. элементар. частиц атом. ядра. 1988. 19 579.

135. Дубов С.Ю., Елеонский В.М., Кулагин Н.Е. Об эквидистантных спектрах ангармонических осцилляторов// ЖЭТФ. 1992 102. вып. 3. 814-825.

136. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. вып. 3., 814-825, 1992.

137. Morse P. and Feshbach Н. Methods of Theoretical Physics. Vol 1. New York: McGraw-Hill, 1953.

138. Левитан Б. M., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию: самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы. М: Наука, 1970.

139. Samsonov В. F. and Pupasov А. М. Exact propagators for complex SUSY partners of real potentials// Phys. Lett. A. 2006. 356. 210 (4pp); quant-ph/0602218.

140. Pupasov A. M. and Samsonov B. F. Exact propogators for soliton potentials// Symm. Integrabil. Geom.: Meth. Appl. 2005. 1. 020 (7pp); Preprint quant-ph/0511238.

141. Pupasov A.M., Samsonov B.F. and Guenther U. Exact propagators for SUSY partners// Journal of physics A: Mathematical and Theoretical. 2007. 40. 10557-10587; math-ph/0702088.

142. Samsonov B. F. New possibilities for supersymmetry breakdown in quantum mechanics and second-order irreducible Darboux transformations// Phys. Lett. A. 1999. 263. 274280; quant-ph/9904009.

143. Prudnikov A. P., Brychkov Yu. A. and Marichev О. I. Integrals and series, Vol. 1. Moscow: Nauka, 1981.

144. Abramowitz M. and Stegun I. A. Handbook of mathematical functions. Washington DC: National Bureau of standards, 1964.

145. Samsonov В. F. and Roy P. Is the CPT norm always positive?// J. Phys. A: Math. Gen. 2005. 38. L249.

146. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М. Наука, 1966; Erdelyi A. Higher Transcendental Functions, 2. New York: McGraw-Hill, 1953.

147. Pupasov A.M., Samsonov B.F., Sparenberg J.-M. Spectral properties of non-conservative multichannel SUSY partners of the zero potential// J. Phys. A: Math, and Theor. 2008. 41. 175209 (17pp).

148. Sparenberg J.-M., Pupasov A.M., Samsonov B.F. and Baye D. Exactly-solvable coupled-channel models from supersymmetric quantum mechanics// Modern Physics Letters В. B. 2008. 22 № 23. 2277-2286.

149. Pupasov A.M., Samsonov B.F., Sparenberg J.-M. and Baye D. Coupling between scattering channels with SUSY transformations for equal thresholds// J. Phys. A: Math. Theor. 2009. 42. 195303 (19pp).

150. Nygaard N., Schneider В. I., Julienne P. S. Two-channel R-matrix analysis of magnetic-field-induced Feshbach resonances// Phys. Rev. A. 2006. 73. 042705 (Юрр).

151. Stoof H. Т. C., Koelman J. M. V. A. and Verhaar B. J. Spin-exchange and dipole relaxation rates in atomic hydrogen: Rigorous and simplified calculations// Phys. Rev. B. 1988. 38, 4688.

152. H. Feshbach// Ann. Phys.(N.Y.) 1958. 5. 357.

153. H. Feshbach// Ann. Phys. (N.Y.) 1962. 19. 287.

154. Marcelis В., E. G. M. van Kempen, Verhaar B. J. and Kokkelmans S. J. J. M. F. Feshbach resonances with large background scattering length: Interplay with open-channel resonanc.es// Phys. Rev. A. 2004. 70. 012701 (15pp).

155. Zener C. // Proc. Roy. Soc. London A. 1934. 145. 523.

156. Leo P. J., Williams C. J. and Julienne P. S. Collision properties of ultracold 133Cs atoms// Phys. Rev. Lett. 2000. 85. 2721.

157. O'Hara К. M., Hemmer S. L., Granade S. R., Gehm M. E., Thomas J. E., Venturi V., Tiesinga E. and Williams C. J. Measurement of the zero crossing in a Feshbach resonance of fermionic 6Li// Phys. Rev. A. 2002. 66. 041401(4pp).

158. Arimondo E., Inguscio M. and Violino P.// Rev. Mod. Phys. 1977. 49 31.

159. Newton R. G. and Jost R. The constructions of potentials from the ^-matrix for systems of differential equations// II Nuovo Cimento. 1955. 1. 590-622.

160. Fulton Т. and Newton R. G. Explicit non-central potentials and wave functions for given ^-matrices// II Nuovo Cimento. 1956. 3. 677-717.

161. Delves L. M. Effective range expansion of the scattering matrix// Nuclear physics. 1958. 8. 358-73.

162. Samsonov B. F. and Stancu F. Phase equivalent chains of Darboux transformations in scattering theory// Phys. Rev. C. 2002. 66. 034001 (12pp).