Методы суперсимметрии в описании бозонных систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

Лаборатория теоретической физики им. H.H. Боголюбова

На правах рукописи УДК 539.12.01

ЦУЛАЯ Мириан Мурманович Методы суперсимметрии в описании бозонных систем

Специальность: 01.04.02 - теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

научные руководители:

кандидат физ — мат. наук Е.Е. Донец

кандидат физ — мат. наук А.И. Пашнев

Дубна 1999

СОДЕРЖАНИЕ

Введение....................................................4

Глава 1 ЛАГРАНЖЕВО ОПИСАНИЕ ЧАСТИЦ С ВЫСШИМИ СПИНАМИ В ПРОСТРАНСТВЕ -

ВРЕМЕНИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ 12

1.1 Массивные приводимые представление группы Пуанкаре 17

1.1.1 Связи во вспомогательном пространстве..........17

1.1.2 Безмассовый случай и размерная редукция .... 18

1.1.3 Примеры..............................................23

1.2 Безмассовые неприводимые представления группы Пуанкаре......................................................25

1.2.1 Игрушечная Модель.....................25

1.2.2 Неприводимые безмассовые высшие спины .... 30

1.3 О различных БРСТ конструкциях для данной алгебры

Ли..............................................................39

1.3.1 Описание связей ...... . .......................39

1.3.2 Общий метод . . . .. . . .........................43

1.3.3 Построение вспомогательных представлений данной алгебры ..........................................46

1.3.4 Пример................................................48

1.3.5 Заключение............................................49

Глава 2 СКРЫТАЯ "СУПЕРСИММЕТРИЯ" КРУГОВОГО

ОСЦИЛЛЯТОРА 51

2.1 Преобразование Болина......................................53

2.2 Обобщение....................................................56

2.3 Заключение....................................................58

Глава 3 N = 2 СУПЕРСИММЕТРИЧНАЯ КВАНТОВАЯ КОСМОЛОГИЯ; СИСТЕМЫ ЭЙНШТЕЙНА - ЯНГА -

МИЛЛСА 60

3.1 N = 2 суперсимметричная квантовая механика..........64

3.2 N = 2 суперсимметризация 5?7 (2) космологических моделей Эйнштейна - Янга - Миллса......................70

3.3 Квантование и нарушение суперсимметрии янг - милл-совыми инстантонами.................... 76

3.4 Примеры...........................

3.5 Заключение.......................... 83

Заключение........................813

Литература........................

Введение

Суперсимметрия - симметрия между бозонными и фермион-ными степенями свободы физической системы - имеет множество разнообразных проявлений в современной теоретической физике.

Сама по себе идея суперсимметрии привлекательна тем, что она объединаяет частицы с различной статистикой в супермультиплеты, что позволяет рассматривать бозоны и фермионы как частицы, имеющие одинаковую природу. Однако симметрия между четными и нечетными переменными, описывающими соответственно бозоны и фермионы, рассматривается не только в физике элементарных частиц. В квантовой теории поля суперсимметрия оказалась удобным инструментом при доказательстве перенормируемости теории Янга -Миллса. В статистической физике, также как и в квантовой теории поля, фиктивные нечетные степени свободы применяются при вычислении якобианов при замене переменных интегрирования в континуальных интегралах. Имеется много примеров суперсимметрии и в нерелятивистской квантовой механике. В различных квантовомехани-ческих моделях суперсимметрия является либо реально наблюдаемой симметрией, либо мощным вспомогательным инструментом для решения физических проблем.

Одним из наиболее распространенных и интенсивно изучаемых примеров суперсимметрии является расширение группы Пуанкаре спинорными (нечетными) генераторами, которые подчиняются антикоммутационному соотношению

{ЯаьЯ'р} = (В.1)

где Рц генератор трансляций в четырехмерном пространстве - времени [1] - [6]. Супералгебра Пуанкаре - пример градуированных алгебр, то есть алгебр, которые наряду с коммутаторами содержит также и антикоммутаторы. Генераторы супергруппы Пуанкаре реализуются на суперпространстве, которое кроме координат в обычном пространстве - времени хсодержит грассмановые кооординаты 9аг и Щ. Подобное расширение группы Пуанкаре является единственным

исключнием из теоремы запрета [7], согласно которой группа Пуанкаре может быть нетривиальным образом расширена только в виде прямого произведения на группу внутренних симметрий.

Основываясь на требовании инвариантности теории относительно супергруппы Пуанкаре построено множество теоретико - полевых суперсимметричных версий Стандартной Модели [8] - [10] и Моделей Великого Объединения [11] - [13]. Привлекательнось суперсимметричных реалистических физичесих моделей обусловлена в основном тем, что суперсимметрия естественным образом устраняет проблему квадратичных расходимостей, которая возникает в несуперсимметрич-ных теориях [14]. Это обстоятельство существенно упрощает рассмотрение проблемы "иерархии масс", так как, введя различные массовые парметры для различных полей в исходный лагранжиан, не нужно проводить "тонкую настройку" массовых параметров в каждом порядке теории возмущений из - за сокращения квадратичных расходимостей. Кроме того, суперсимметричные теории дают множество интересных экспериментальных предсказаний, в частности на величину массы частицы Хиггса, поиски которой в настоящее время интенсивно ведутся.

Тем не менее, суперсимметричнные стандартные модели и модели Великого Объединения не лишены недостатков. Из рассмотрения представлений алгебры суперсимметрии следует, что каждая элементарная частица обладает суперпартнером - частицей с теми же самыми квантовыми числами (электричесий заряд, гиперзаряд, масса и т.д.) но с противоположной статистикой [14]. Однако на эксперименте существование подобных частиц пока не обнаруженно. Это означает, что суперсимметрия Пуанкаре должна быть спонтанно нарушена, причем таким образом, чтобы не портилось ультрафиолетовое поведение теории. Механизм спонтанного нарушения суперсимметрии на сегодняшний день до конца не выяснен и остается открытым.

Для того, чтобы лучше изучить суперсимметричную теорию поля, основанную на расширении обычного пространства - времени нечетными координатами, удобно рассмотреть её упрощенную модель - суперсимметричную квантовую механику [15] - [20]. Помимо того, что она дает ясное понимание многих эффектов релятивистской теории,

суперсимметричная квантовая механика адекватно описывает различные физические задачи, возникающие в обычной квантовой механике.

Математическая основа суперсимметрии - суперматематика была разработана в работах [21] - [22]. В дальнейшшем был построен формализм классической механики для бозонных и фермионных степеней свободы [23]. Квантовомеханичесое описание подобных систем строится аналогично квантовому описанию систем, которые содержат только бозонные переменные путем замены классических величин на квантовые операторы и обобщенных канонических скобок Пуассона на градуированные коммутаторы, согласно принципу соответствия.

Суперсимметричная квантовомеханическая система без центральных зарядов состоит из N операторов которые коммутируют с гамильтонианом Н и удовлетворяют соотношениям

= (¿ = 1,2...Л0 (В.2)

Примеры суперсимметрии в квантовой механике известны давно: рассмотрение движения электрона в магнитном поле приводит к наличию "нечетного " интеграла движения

(¿^«(р-еА), (В.З)

что соответсвует сохранению угла между спином и скоростью электрона во время прецессии. Если магнитное поле направлено вдоль одной из координатных осей и произвольным образом зависит от двух других координат, например Вх = Ву = 0 и Вг = В2(х,у), или магнитное поле обладает определенной четностью (В(х) = В(—х)) то существует еще один интеграл движения

д2 = »*(£-еА)<73, (В.4)

который вместе с величиной 0,\ является суперзарядом N = 2 суперсимметричной квантовой механики.

Из алгебры (В.2) можно сделать важный вывод, что энергия в суперсимметричной квантовой механике неотрицательна, так как гамильтониан является квадратом эрмитовых операторов. Последнее обстоятельство дает также возможность линеаризовать уравнение

Шредингера с нулевой энергией и заменить его на систему уравнений первого порядка на вектор состояния \ф)

Яг\ф) = 0. (В.5)

Таким образом задача о нахождении основного состояния для систем, которые обладают суперсимметрией, сильно упрощается.

В следствие того, что Гамильтониан коммутирует с генераторами суперсимметрии, каждое неприводимое представление алгебры (В.2) характеризуется его собственным значением. Размерность пространства физических состояний, которое инвариантно относительно преобразований суперсимметрии и обладает нулевой энергией, одномерно. Это означает, что сотояние с нулевой энергией является невырожденным. Кратность вырождения ненулевых энергетических уровней можно найти, перенормировав генераторы суперсимметрии дг- = Вновь введенные операторы q^ образуют алгебру Клиффорда, неприводимые представление которой хорошо изучены. В частности, размерность неприводимого представления алгебры Клиффорда для

N

четных N равна 2 "2". Для нечетных Ж имеются два неприводимых представления, каждое из которых имеет размерность 2^ [24].

Методы суперсимметричной квантовой механики существенно облегчают изучение механизма спонтанного нарушения суперсиметрии [15] - [16]. Для сохранения суперсимметрии в классическом приближении необходимо, чтобы минимальное значение классичесского потенциала равнялось нулю. Существование квадратично интегрируемого решения системы уравнений (В.5) означает, в свою очередь, отсутствие спонтанного нарушения суперсимметрии на квантовом уровне. Следовательно, в системе со спонтанно нарушенной суперсимметрией нет состояния с нулевой энергией. Спонтанное нарушение суперсимметрии на "древесном уровне" означает, что суперсимметрия останется нарушенной во всех порядках теории возмущения, так как кван-товомеханические поправки к энергии могут быть только положительными. С другой стороны, если суперсимметрия сохраняется на классическом уровне, то квантовомеханически она может быть динамически нарушена непертурбативными эффектами [15], [25] - [28]. Рассмотрение данного механизма в рамках квантовой теории поля положило

начало интенсивным исследованиям вопроса нарушения суперсимметрии инстантонами Янга - Миллса [35], [29] - [31].

Одной из наиболее интересных особенностей суперсимметричной квантовой механики является её связь с точно решаемыми квантово-механическими моделями. В работах [24], [33] - [34] было показано, что использование суперсимметрии как вспомогательного механизма дает возможность определить полный энергетический спектр для всех известных на сегодняшний день точно решаемых квантовомеханиче-ских моделей [32], а также был установлен широкий класс моделей, для которых можно найти энергетичесикй спектр с помощью суперсимметрии.

Еще одним важным примером использования фиктивных ферми-онных степеней свободы является метод Фаддеева - Попова [35] - [36] для квантования полей Янга - Миллса [37]. Он заключается в расширении конфигурационного пространства дополнительными переменными - "духами", с целью устранения интегрирования по полевым конфигурациям, которые связаны между собой калибровочными преобразованиями в функциональном интеграле, что ведет к его расходимости. Полный лагранжиан теории содержит наряду с обычным лагранжианом для полей Янга - Миллса Ьям, = ^^^ , член фиксирующий калибровку и член описивающий взаимодействие янг - милл-совых полей с "духами" Фаддеева - Попова.

£ = -^я.м. + Ьф.к. + Ьф.п. (В-6)

Несмотря на то, что последние два члена не являются по отдельности калибровочно - инвариантными, полный лагранжиан калибровочно инвариантен, что связанно с инварантностью Ь относительно преобразований суперсимметрии специального вида, которые называются проебразованиями Бекки, Рюэ, Сторы и Тютина (БРСТ). Преобразования Бекки, Рюэ, Сторы и Тютина [38] существенно упрощают доказательство тождеств Славнова - Тейлора и являются основой метода БРСТ квантования Баталина - Фрадкина - Вилковиского [41] -[43], суть которого состоит в следующем. Рассмотрим динамическую систему, которая описывается гамильтонианом Но(дл,рд) и связями первого рода Са(дАчРа)-,^ — 19 ...2т, где дА , рд- канонические коорди-

наты и импульсы, которые могут быть как четными, так и нечетными. Функции Са также могут быть как четными, так и нечетными и находятся в инволюции с гамильтонианом

{Оа,йь}р = ОсЩь, {Н0,Оа}р = ОъУ*. (В.7)

Затем фазовое пространство расширяется дополнительными степенями свободы (т]а, Т^а) с четностью, противоположной четности функций Сга. Динамика в расширенном фазовом пространстве определяется гамильтонианом

#ф = щ + еду - {ф, (в.8)

который зависит от произвольной нечетной функции Ф(да,ра, ЦаТ>а)-Выбор конкретного вида этой функции соответствует условию фиксации калибровки для теории Янга - Миллса. Гамильтониан Ну вместе с нильпотентным БРСТ зарядом

Я = Сауа+1-(-1)п°ГсисаЬг1ьг]а, (в.9)

где

[ 0 для четных

Па = 1 1 ^

[ 1 для нечетных Оа,

образуют одномерную абелеву супералгебру:

{П,П}р = 0 {Ну,П}р = 0. (В.10)

Согласно теореме Баталина - Фрадкина - Вилковиского, производящий функционал в расширенном фазовом пространстве

= I dqdpdr]dVexp[i | dt(paqa + Vаг)а - Яф)] (В.11)

не зависит от функции Ф. Иными словами метод Баталина - Фрадкина - Вилковиского дает правильное выражение для Б - матрицы, сохраняя при этом произвол в выборе функции ф, что делает его применимым для квантования весьма широкого класса физических систем, в том числе и для квантования полей Янга - Миллса.

Различные квантовые операторы Гамильтона, которые соответствуют различным выборам функции Ф в производящем функционале, связаны между собой соотношением:

#' = # + { Ф,д}. (в.12)

Вследствии того, что матрица перехода не зависит от выбора оператора Ф, физичесикй сектор теории выделяется условием:

д|Физ) = о, (в.13)

Из - за нильпотентности БРСТ заряда любое состояние вида должно быть физическим. Однако, как следует из эрмитовости оператора О, подобные состояния обладают нулевой нормой, и должны быть исключены из физического сектора. Следовательно, физический сектор теории определяется с точностью до преобразования

|Физ) ~ |Физ) +Ф10, (В.14)

которое вместе с соотношением (В. 12) называется квантовыми калибровочными преобразованиями. Условие БРСТ (В. 13) квантования вместе с соотношением эквивалетности (В. 14) устраняют нефизические степени свободы из расширенного фазового пространства.

Заметим, что в тех случаях, когда в системе связей присутствуют связи второго рода, построение соответствующего БРСТ заряда не является непосредственным. В работах [44] - [47] были предложены различные способы решения этой проблемы. Однако систематического метода построения нильпотеного БРСТ заряда для систем связей второго рода на сегодняшшний день не существует.

Несмотря на то, что пока нет экспериментального подтверждения наличия суперпартнеров элементарных частиц, которые необходимы для построения суперсимметричных Стандартных Моделей и моделей Великого Объединения, суперсимметрия проявляет себя в других, не менее интересных физических моделях. Более того, описание различных физических систем с помощью нечетных, иногда даже фиктивных степеней свободы, оказывается очень эффективным.

Диссертация посвящена исследованию различных видов суперсимметрии в релятивистских и нерелятивистских системах.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах Лаборатории теоретической физики им. Н.Н.Боголюбова ОИЯИ, на международных рабочих совещаниях "Суперсимметрия и квантовые симметрии" (Дубна, 1995, 1998), "Суперсимметрия и квантовая терия поля" (Харьков, 1997) международном симпозиуме "Современные тенденции в физике элементарных частиц" (Тбилиси, 1998) и второй международной "Самосской конференции по геометрии, космологии и гравитации." (о.Самос, Греция 1998).

В первой главе рассмотрен БРСТ подход к описанию частиц с высшими целыми спинами в пространстве - времени произвольной размерности Б. Построенные теоретико - полевые лагранжианы, которые описывают представления группы Пуанкаре без взаимодействия, обладают калибровочной инвариантностью, необходимой для того, чтобы исключить духи - степени свободы, дающие отрицательный вклад в энергию. Получен лагранжиан для массивных приводимых представлений группы Пуанкаре с линейной зависимостью массы от спина. Для построения нильпотентного БРСТ заряда применен метод размерной редукции, показано, что с помощью БРСТ калибровочной инвариантности могут быть устранены все вспомогательные поля и условия массовой поверхности и попереч-ности являются следствием уравнений движения. Приведены явные примеры лагранжианов для частиц со спином 0,1,2. Аналогичным образом построен теоретико - полевой лагранжиан, который описывает неприводимые безмассовые представления группы Пуанкаре в пространстве - времени произвольной размерности. Нильпотентный БРСТ заряд построен по аналогии с методом размерной редукции после введения вспомогательной степени свободы. Как обобщение вышеприведенных примеров, был предложен общ