Расширенные суперсимметричные модели в бигармоническом суперпространстве тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

2-2005-199

На правах рукописи УДК 51-7:530.145

СУТУЛИН Антон Олегович

РАСШИРЕННЫЕ СУПЕРСИММЕТРИЧНЫЕ МОДЕЛИ В БИГАРМОНИЧЕСКОМ СУПЕРПРОСТРАНСТВЕ

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Дубна 2005

Ц

Работа выполнена в Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук

Е.А. ИВАНОВ

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор И.Л. БУХБИНДЕР (ТГПУ, Томск)

доктор физико-математических наук

А.П. ИСАЕВ (ЛТФ ОИЯИ)

Ведущая организация:

Физический институт им. П. Н. Лебедева РАН, г. Москва.

Защита диссертации состоится "_"_2006 г. в 15— на заседании диссертационного совета К 720.001.01 при Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований, г. Дубна Московской области.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Объединенного института ядерных исследований.

Автореферат разослан "_"_2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

С.И. ФЕДОТОВ

■Щб-У 20.62914

Актуальность темы. Одной из главных мотивировок введения суперсимметрии было желание обойти известную теорему Коулмена - Мандулы о невозможности объединения группы Пуанкаре и группы внутренней симметрии в классе групп Ли, чтобы получающаяся при этом физическая теория была бы нетривиальной. Обобщение понятия группы Ли до супергруппы Ли, которая наряду с коммутирующими генераторами алгебры группы Пуанкаре содержит новые антикоммутирующие генераторы, позволило объединить преобразования внутренней и пространственно-временной симметрии. Из структуры алгебры суперсимметрии следует новый принцип симметрии в физике, согласно которому частицы, подчиняющиеся разным статистикам, связаны между собой преобразованиями суперсимметрии и объединяются в единый набор - суперполе. Важным свойством алгебры суперсимметрии является то, что локализация преобразований суперсдвигов приводит к локальным преобразованиям обычных координат, т.е. к общековариантной группе пространства-времени. Иными словами, теория с локальной суперсимметрией - супергравитация - содержит в качестве составной части обычную теорию гравитации. В расширенных теориях супергравитации естественным образом возникают локальные преобразования группы внутренних симметрий, что приводит в конечном счете к объединению гравитационного взаимодействия с остальными типами взаимодействий, в основе которых лежит калибровочный принцип Янга-Миллса.

Подходящим объектом для реализации группы Пуанкаре является пространство Минковского:

к4 = •

Введение суперсимметрии привело к его обобщению - концепции суперпространства. Суперпространство является расширением пространства Минковского за счет введения дополнительных антикоммутирующих координат:

И414 = (х™АЛ)-

Функциями на суперпространстве являются суперполя. Суперполе содержит

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ I БИБЛИОТЕКА I

' ..................ниш-»*

как бозонные, так и фермионные поля, которые возникают в качестве компонент в разложении суперполя по грассмановым координатам. В общем случае, суперполя реализуют приводимые представления алгебры суперсимметрии. Неприводимые представления выделяются наложением дополнительных условий на суперполе.

В простейшем случае Л/" = 1 суперсимметрии неприводимое представление, отвечающее полям материи, описываются киральным суперполем, которое есть комплексное суперполе Ф(х, в, в), удовлетворяющее связи в, в) = 0. Эта

связь, записанная в комплексном киральном суперпространстве:

С4'2 = (х™, 0а) ,

в котором дифференциальный оператор имеет вид частной производной по грассмановой координате ва, имеет простой смысл: она просто означает, что суперполе Ф(:г, 9, в) не зависит от ва и является произвольной функцией на С4'2:

Д*Ф(х,М) = 0 Ф = Ф(х£,<у.

Этот простой пример показывает, что выбор подходящего суперпространства является существенным при описании неприводимых представлений алгебры суперсимметрии в терминах неограниченных суперполей.

Нахождение адекватного суперпространства в теориях с расширенной суперсимметрией представляет собой сложную задачу. Оказывается, что описание расширенной Л/" = 2 суперсимметриичной теории в рамках вещественного N = 2 суперпространства или какого-либо его подпространства не может быть достигнуто на языке неограниченных суперполей. Решение вопроса о существовании подходящего суперпространства для формулировки теорий с Л/* = 2 суперсимметрией привело к открытию гармонического суперпространства. Главной особенностью гармонического суперпространства является введение новых бозонных координат в качестве независимых переменных в дополнение к стандартному координатному набору N = 2 суперпространства:

Н114+218 = (хт , вт, вк& , и?) .

Изучение структуры гармонического суперпространства выявило в нем аналитическое подпространство, которое имеет вдвое меньший набор грассмановых координат и замкнуто относительно преобразований N = 2 суперсимметрии:

Это позволило определить новый тип грассмановой аналитичности - гармоническую грассманову аналитичность, которая обобщает понятие комплексной аналитичности в обычном смысле или киральности в случае N = \ суперсимметрии. Именно в аналитическом суперпространстве удается получить описание супермультиплета материи на языке неограниченных аналитических суперполей. Кроме того, в подходе гармонического суперпространства оказалось возможным дать адекватное описание как N = 2 суперсимметричной теории Янга-Миллса, так и N = 2 теории супергравитации в четырех измерениях. Исследование этих теорий в рамках гармонического суперпространства позволило установить тесную связь их внутренней структуры с геометрией комплексных многообразий гипер-Кэлерова и кватернион-Кэлерова типа. Многообразия такого типа отвечают нелинейным сигма-моделям без кручения.

Изучение двумерной теории поля привело к открытию более широкого класса нелинейных сигма-моделей, а именно, двумерных нелинейных сигма-моделей, которые включают обобщенный член Весса-Зумино-Новикова-Виттена (ВЗНВ) или кручение. В последствие было показано, что суперобобщения ВЗНВ сигма-моделей описывают нетривиальные фоновые многообразия в теории суперструн, требующих конформной инвариантности.

Расширенные N = (4,4) суперсимметричные теории, приводящие к сигма-моделям с кручением, рассматривались ранее в разных суперпространственных подходах, в частности, в N = (2,2) суперпространстве в терминах кирального суперполя и кирального суперполя с твистом, в стандартном и проективном N = (4,4) суперпространствах на языке обычных суперполей. С другой стороны, учитывая значение гармонического суперпространства в расширенных суперсимметричных теориях в четырех измерениях, было бы важно иметь опи-

сание двумерных суперсимметричных теорий, включая теории с кручением, на языке гармонических суперполей. Как оказалось, стандартное гармоническое суперпространство не является подходящим для этих целей. Наиболее просто это можно понять, если рассмотреть размерную редукцию к двум измерениям общей N = 2 суперсимметричной нелинейной сигма-модели, действие которой имеет произвольную зависимость от неограниченного комплексного аналитического суперполя . Такое действие приводит на бозонном уровне к общей гипер-Кэлеровой сигма-модели. Очевидно, что и в случае двух измерений это действие будет описывать нелинейную гипер-Кэлерову сигма-модель, т.е. теорию без кручения. Эти рассуждения приводят к тому, что необходимо найти некоторый новый тип гармонического суперпространства, которое оказалось бы адекватным объектом для описания двумерных расширенных N = (4,4) суперсимметричных теорий, включающих класс нелинейных сигма-моделей с кручением.

Целью работы является развитие методов гармонических суперпространств и их применение для суперполевого описания двумерных N = (4,4) суперсимметричных сигма-моделей с кручением и N = 8 суперсимметричной квантовой механики.

Научная новизна и практическая ценность. Предложен новый тип гармонического суперпространства - бигармоническое суперпространство, содержащее два независимых набора гармонических переменных. Показано, что бигармоническое суперпространство имеет замкнутое относительно преобразований N = (4,4) суперсимметрии аналитическое подпространство, содержащее вдвое меньший набор грассмановых переменных. Найдена реализация двумерной суперконформной группы в аналитическом суперпространстве.

Дано описание различных N = (4,4) супермультиплетов материи в терминах аналитических суперполей с подходящим набором гармонических связей. Построены общие суперсимметричные и суперконформные действия вне массовой оболочки для этих мультиплетов. Показано, что эти действия приводят на компонентном уровне к двумерным нелинейным сигма-модели с кручением.

Найдена неизвестная ранее дуальная форма для общих и суперкоформных действий в терминах пары неограниченных аналитических суперполей. Показано, что дуальные действия обладают нетривиальной калибровочной инвариантностью.

Изучен вопрос о взаимодействии разных N = (4,4) мультиплетов с твистом. Показано, что общие сигма-модельные действия, которые включают зависимость от мультиплетов с твистом разного типа и инвариантные относительно Я = (4,4) суперсимметрии, распадаются в сумму сигма-модельных действий для каждого мультиплета. Также показано, что существуют смешанные массовые члены, посредством которых возможно взаимодействие для мультиплетов из самодуальных пар.

Дано описание (4,8,4) мультиплета Af = 8 суперсимметричной квантовой механики в гармоническом суперпространстве со скрытой N = 4 суперсимметрией и в бигармоническом суперпространстве. Построено общее сигма-модельное действие для этого мультиплета и потенциальные члены типа Файе-Илиопулоса.

Найдено суперсимметричное расширение двумерной алгебры Гейзенберга h(2), и построены суперполевые действия, инвариантные относительно частных преобразований полученной супералгебры. Сформулирована одномерная N = 8 супергравитация в терминах аналитических супертетрад, и для ее усеченной версии построено Н = 8 локально-суперсимметричное действие для (4,8,4) мультиплета.

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на научных семинарах Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова Объединенного Института Ядерных Исследований, представлялись и докладывались на международном семинаре "Кварки '94" (Владимир 1994), международных рабочих совещаниях "Суперсимметрия и квантовые симметрии" (Дубна, 1994, 1998), на зимней школе по суперсимметричной механике (INFN, Фраскати, Италия, 2005), на научных семинарах (ФИРАН), (SISSA, Триест, Италия), (INFN, Падуя, Италия).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 7 работ.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения общим объемом 166 страницы, включая список цитированной литературы из 179 наименований.

Содержание работы

Во введении обсуждаются основные идеи и принципы построения суперсимметричных теорий, излагаются мотивировки проведенных в диссертации исследований, а также дается краткое содержание диссертации по главам.

В первой главе основным моментом является введение нового типа гармонического суперпространства - бигармоническое суперпространство Его отличительной особенностью является наличие двух независимых наборов гармонических переменных, которые описывают прямое произведение двух двумерных сфер в2 х Бд.

Вначале рассматривается двумерная N = (4,4) супералгебра Пуанкаре, которая получается при размерной редукции 41), N = 2 супералгебры Пуанкаре. При переходе к координатам светового конуса становится явной ее структура: она представляет собой прямую сумму двух одномерных супералгебр. Группа внутренних автоморфизмов 811(2), которой обладает 4£>, N = 2 супералгебра, становится после редукции общей группой симметрии для одномерных супералгебр. С другой стороны, полной группой автоморфизмов двумерной М = (4,4) супералгебры Пуанкаре является группа 50(4)/, х 50(4)я. Тем самым, общая группа 2), сохраняющаяся при размерной редукции, отвечает случаю, когда входящие в качестве подгрупп в 50(4)ь и 50(4)д группы 5(7(2)/. и Б11(2)д отождествляются. В диссертации группы 5Г/(2)/, и 5{7(2)я рассматриваются как независимые, и именно это приводит к концепции бигармонического суперпространства.

Далее, на основе применения общих методов реализаций (супер)групп в (су-пер)фактор пространствах, вводится бигармоническое суперпространство. Оно представляет собой расширение стандартного суперпространства И^'Ч4'4) и со-

держит два дополнительных набора независимых бозонных координат м* и г/ц , которые параметризуют двумерные сферы Б2Ь ~ 51/(2)¿/С/(1)£, и ~ 5[/(2)д/[/(1)д, соответственно:

НК(1+2,1+214,4) =[2и^)= К(1,1|4,4) ^ >

иииГ1 = 1,

В бигармоническом суперпространстве определяются центральный и аналитический базисы и находятся с использованием методов форм Картана явные выражения для спинорных и гармонических ковариантных производных. В аналитическом базисе бигармонического суперпространства Н1{,'1+2,1+2'4'4) выделяется аналитическое подпространство А11/1+2'1+2'2'2', которое содержит вдвое меньший набор грассмановых координат и является замкнутым относительно преобразований N = (4,4) суперсимметрии:

АК(Х+2,1+2|2,2) = (С) = ( х++ г х— , 0Ш и±1 >1Г±1).

В аналитическом суперпространстве АНЯ+2,1+2'2'2) определяется понятие бигармонического аналитического суперполя, и устанавливается его связь со стандартными N = (4,4) суперполями. Приведены также основные формулы гармонического исчисления, необходимые для описания гармонических суперполей и построения соответствующих инвариантных суперсимметричных действий.

Показано, что в обоих координатных секторах аналитического суперпространства

АК(1+2,1+2,2,2)

реализуются две разные N = 4 5С/(2) суперконформные группы, которые являются подгруппами в так называемой "большой" N = 4 суперконформной группе, содержащей аффинную подгруппу Каца-Муди йО(4) х Е/(1) в бозонном секторе. Реализация одной тМ = 4 5[/(2) суперконформных групп в аналитическом суперпространстве имеет явное сходство с реализацией соответствующей 4.0, N = 2 суперконформной группы в стандартном гармоническом подходе и определяется требованием сохранения понятия гармонической грассмановой аналитичности. Другая Л/" = 4 5£/(2) суперконформная группа не имеет прямого аналога в четырехмерном случае.

Во второй главе дано описание четырех различных типов Л/* = (4,4) супер-мультиплетов с твистом:

q", д,й, д'-а, <71й,

тензорного и нелинейного мультиплетов в аналитическом суперпространстве AR(i+2,i+2|2,2) qhh Представляются вещественными аналитическими суперполями, ограниченными набором гармонических связей. В обычном Л/" = (4,4), 2D суперпространстве эти мультиплеты описываются Л/* = (4,4) суперполями со связями, которые определяют неприводимый состав вне массовой оболочки соответствующих мультиплетов Гармонические связи имеют такое же предназначение - они выделяют неприводимый конечный набор компонентных полей в общем аналитическом суперполе:

(тм) хя-у-1 = 0, z?0'^11 = 0,

(TENS) P2V° = 0, Z)°V,2 = 0 D2'°q0,2 - D°V'° = 0,

(NONL) d2'°N2'0 + N2'°N2'0 = 0, D°'2№'2 + №'2№'2 = 0, D2fiNo,2 _ Do,2^2,0 = 0

Построены общие суперсимметричные действия для всех рассмотренных супер-мультиплетов в аналитическом суперпространстве и показано, что они отвечают N = (4,4) суперсимметричным нелинейным сигма-моделям с кручением вне массовой оболочки. Бозонные многообразия этих сигма-моделей определяются матричной функцией от физических бозонных полей, которая удовлетворяет многомерному уравнению Лапласа. Такие многообразия называются гипер-Кэлеровым многообразиям с кручением. В бигармоническом суперпространстве условие на метрику типа уравнения Лапласа возникает естественным образом в силу ее конструктивного определения. Существенным отличием бигармонического суперпространства от гармонического суперпространства с одним набором гармонических переменных является невозможность построения в терминах одного единственного неограниченного аналитического суперполя действия, из которого следовали бы уравнения движения для неприводи-

мого супермультиплета.

Для рассмотренных мультиплетов найдены суперконформно-инвариантные действия, отвечающие сигма-моделям типа Весса-Зумино-Новикова-Виттена на групповых многообразиях 311(2) х 11(1), и их массивные деформации, описывающие модели типа ВЗНВ-Лиувилля. Метод построения инвариантных действий в двумерном случае оказывается аналогичным процедуре построения суперконформно-инвариантного действия для тензорного мультиплета в гармоническом суперпространстве в четырех измерениях.

Посредством преобразования дуальности, найдено новое описание ЛГ = (4,4) суперсимметричных сигма-моделей с кручением в терминах пары неограниченных аналитических суперполей о)1'-1 . Характерной особенностью дуального действия является наличие калибровочной инвариантности 5и>1~1 = £>2,0^-1,-1 ^ — £)0,2^-1,-1 ^ КОТОрая восстанавливает правильное число физических степеней свободы. Показано, что все супермультиплеты с конечным набором компонентных полей допускают дуальное описание через неограниченные аналитические суперполя. и найдены для них дуальные действия в терминах неограниченных суперполей. Получена также неизвестная ранее дуальная форма суперконформного действия.

В третьей главе рассматривается вопрос о возможности взаимодействия между различными типами N — (4,4) супермультиплетов с твистом д,а, </'а, <7!", . Изучение общих сигма-модельных действий, инвариантных относительно N = (4,4) суперсимметрии и включающих зависимость как от любой пары, так и от любого числа неэквивалентных мультиплетов, привело к заключению о том, что взаимодействие между мультиплетами разного типа посредством действия сигма-модельного типа невозможно. Требование N = (4,4) суперсимметрии в применении к таким сигма-модельным действиям приводит к тому, что они распадаются в сумму сигма-модельных действий для каждого мультиплета:

(«" .<Га) => (я") + (я,&) ■

Тем не менее установлено, что в случае, когда мультиплеты с твистом принадлежат самодуальным парам, существуют инвариантные смешанные массовые выражения, посредством которых мультиплеты из таких пар могут нетривиально взаимодействовать. Включение лагранжиана для смешанных массовых выражений в общее сигма-модельное действие приводит к появлению наиболее общей формы для скалярного потенциала на массовой оболочке.

Этот анализ проведен как в бигармоническом суперпространстве, так и в обычном N = (2,2) суперпространстве, в котором только половина суперсим-метрий реализована явно.

В четвертой главе рассматривается один из супермультиплетов М = 8 суперсимметричной квантовой механики, содержащий конечный набор компонентных полей - (4,8,4) супермультиплет. Такой мультиплет может быть получен размерной редукцией из N = (4,4) супермультиплетов с твистом. Описание этого мультиплета дано сначала в N = 4 гармоническом суперпространстве:

с одним набором гармонических переменных в терминах N = 4 аналитических суперполей (д+а, £+а), которые удовлетворяют гармоническим связям и на которых реализуется дополнительная N = 4 суперсимметрия:

£>++д+а = о, £>++£+а = 0, ¿д+а = -еоа£, <5£+а = 2геаад1Ч+.-

В аналитическом суперпространстве N = 4 гармонического суперпространства построено общее суперполевое действие для (4,8,4) мультиплета, которое наряду с явной Л/* = 4 суперсимметрией обладает скрытой N = 4 суперсимметрией. Получено компонентное действие и наиболее общая форма потенциала в виде члена Файе-Илиопулоса. Изучен вопрос о возможности описания в терминах N — 4 аналитических суперполей мультиплета N = 9 суперсимметричной квантовой механики и построения для него инвариантного действия. Показано, что требование инвариантности действия относительно N = 9 суперсимметрии, приводит к тому, что суперполевое действие описывает свободную теорию.

Затем определяется бигармонического суперпространства в одном измерении:

нк(1+2+2|8) = (г,и,у) = бЯ8) ® ().

Далее, дается Л/" = 8 суперсимметричное описание (4,8,4) мультиплета в би-гармоническом суперпространстве в терминах ограниченного аналитического суперполя д1'1, и строится для произвольного набора этих мультиплетов общее суперполевое действие вне массовой оболочки:

= С2'2 и, ь) , М = 1,2, ...п,

Г>2'°91Д = О, Г)0-2?1-1 = 0.

Рассмотрение преобразований координат аналитического суперпространства, совместное с требованием сохранения бигармонической грассмановой аналитичности и сохранением плоского вида гармонических производных:

6Б2'0 = -А2'0И0/, <Ш0'2 = -Л0'2О°>°,

привело к тому, что полученная в результате супергруппа преобразований является суперсимметричным расширением двумерной группы Гейзенберга Ь(2) и содержит при этом оператор цетрального заряда. Показано, что инвариантное относительно всех преобразований полученной супергруппы, за исключением масштабных преобразований, суперполевое действие имеет единственный вид, а также получено однопараметрическое семейство масштабно-инвариантных суперполевых действий. Для обоих случаев найдены компонентные действия и вычислены выражения для метрических скалярных функций.

Изучена супергруппа диффеоморфизмов координат аналитического суперпространства. Сформулирована одномерная конформная N = 8 супергравитация в терминах аналитических супертетрад, которые обеспечивают ковариантность гармонических производных относительно преобразований этой супергруппы. Показано, что полученный супермультиплет гравитации является чисто калибровочным супермультиплетом Вейля. Найдено обобщение понятия (4,8,4) мультиплета на фоне конформной супергравитации. Построено для ее

усеченной версии суперполевое свободное действие для (4,8,4) мультиплета, обладающие локальной N = 8 суперсимметрией, и найдена его компонентная форма. Показано, что эта конструкция допускает обобщение на случай произвольного набора взаимодействующих аналитических суперполей, описывающих (4,8,4) мультиплет.

В заключении перечислены основные результаты, выносимые на защиту

На защиту выдвигаются следующие результаты.

1. Построено бигармоническое суперпространство для теорий с расширенной Я = (4,4) суперсимметрией в двух измерениях и для М = 8 суперсимметричной квантовой механики.

2. Дано описание четырех разных типов N = (4,4) супермультиплетов с твистом, тензорного и нелинейного супермультиплетов в бигармоническом суперпространстве. Показано, что эти супермультиплеты описываются аналитическими суперполями, ограниченными набором гармонических связей, и содержат конечный набор компонетных полей. Для рассмотренных мультиплетов построены общие суперполевые действия вне массовой оболочки, которые отвечают нелинейным сигма-моделям с кручением. Получены инвариантные выражения для массовых членов.

3. Получена реализация двумерной суперкоформной группы в бигармоническом суперпространстве. Построены для всех изученных мультиплетов суперконформно-инвариантные действия, отвечающие сигма-моделям Весса-Зумино-Новикова-Виттена на групповых многообразиях 5{/(2) х и( 1), и найдены их массивные деформации, описывающие модели типа ВЗНВ-Лиувилля.

4. Найдено новое описание N = (4,4) суперсимметричных сигма-моделей с кручением в терминах пары неограниченных аналитических суперполей, которые содержат бесконечный набор компонентных полей. Характерной

особенностью этого описания является наличие калибровочной инвариантности, которая восстанавливает правильное число физических степеней свободы.

5. Детально изучена возможность взаимодействия различных Л/" = (4,4) муль-типлетов с твистом. Показано, что общие сигма-модельные действия, которые зависят от произвольного числа неэквивалентных мультиплетов, и инвариантные относительно N = (4,4) суперсимметрии, распадаются в сумму сигма-модельных действий для каждого мультиплета. Показано, что различные мультиплеты могут взаимодействовать только через смешанные массовые члены, которые возможны лишь для мультиплетов, принадлежащих самодуальным парам, и найдена наиболее общая форма скалярного потенциала на массовой оболочке для мультиплетов, входящих в самодуальную пару. Этот вопрос также рассмотрен в стандартном Л/" = (2,2) суперпространстве в терминах N = (2,2) суперполей, на которых реализована скрытая N = (2,2) суперсимметрия.

6. Дано описание (4,8,4) мультиплета N = 8 суперсимметричной квантовой механики в гармоническом суперпространстве в терминах ограниченных N = 4 аналитических суперполей, на которых реализована дополнительная N = 4 суперсимметрия. Построено общее N — 8 суперполевое действие для этого мультиплета, которое обладает явной и скрытой N = 4 суперсимметрией, и получено общее выражение для потенциального члена Файе-Илиопулоса. Показано, что требование инвариантности действия относительно N = 9 суперсимметрии приводит к свободной теории.

7. Дано описание (4,8,4) мультиплета в бигармоническом суперпространстве в терминах ограниченного .А/" = 8 аналитического суперполя. Получено наиболее общее суперполевое действие вне массовой оболочки для произвольного набора взаимодействующих (4,8,4) мультиплетов. Найдено суперсимметричное расширение двумерной алгебры Гейзенберга Ь(2), которое содержит оператор цетрального заряда. Получена единственная

форма суперполевого действия, инвариантного относительно всех преобразований полученной супералгебры, за исключением масштабных преобразований, а также построено семейство масштабно-инвариантных действий. В бигармоническом суперпространстве сформулирована одномерная Я = 8 супергравитация в терминах аналитических супертетрад. Для ее усеченной версии построено Я = 8 локально-суперсимметричное суперполевое действие для (4,8,4) мультиплета.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Е. Ivanov, A. Sutulin. Sigma models in (4,4) harmonic superspace. Nucl. Phys. B, 1994, v. 432, pp. 246-280, Erratum-ibid. B, 1997, v. 483, p. 531

2. E. Ivanov, A. Sutulin. Sigma models in (4,4) harmonic superspace. in Proceedings of the International Seminar "Quarks'94", Vladimir, May 11-18, 1994, pp. 399-408

3. E. Ivanov, A. Sutulin. Tensor and nonlinear (4,4) supermultiplets in SU(2) x SU(2) harmonic superspace. Class. Quantum Grav., 1997, v. 14, pp. 843-863

4. E. Ivanov, A. Sutulin. Diversity of off-shell (4,4) multiplets in SU(2) x 51/(2) harmonic superspace. Phys. Rev. D, 2004, v. 70, pp. 045022-045044

5. E. Ivanov, A. Sutulin. Разные Я — (4,4) мультиплеты с твистом в Я = (2,2) суперпространстве. ТМФ, 2005, т. 145, н. 1, 14, стр. 66-86

6. S. Bellucci, S. Krivonos, A. Sutulin. Я — 8 super symmetric quaternionic mechanics. Phys. Lett. B, 2005, v. 605, pp. 406-412

7. S. Bellucci, E. Ivanov, A. Sutulin. Я = 8 mechanics in SU(2) x SU(2)

harmonic superspace. Nucl. Phys. B, 2005, v. 722, pp. 297-327

Получено 9 декабря 2005 г.

1

!

«S

г

t

A

«

¿2 5 9 5 i

РНБ Русский фонд

2006-4 29702

Отпечатано методом прямого репродуцирования с оригинала, предоставленного автором.

Подписано в печать 12.12.2005. Формат 60 X 90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. /ч

Усл. печ. л. 0,87. Уч.-изд. л. 0,94. Тираж 100 экз. Заказ № SS142.

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований й

141980, г. Дубна, Московская обл., ул. Жолио-Кюри, 6. E-mail: publish@pds.jinr.ru www.jinr.ru/publish/

Введение

1 Суперпространство в 2И

1.1 Двумерная супералгебра Пуанкаре.

1.1.1 Редукция N = 2, 41) супералгебры Пуанкаре к N = (4,4), 2В супералгебре Пуанкаре.

1.1.2 Фактор-пространство: общие методы.

1.1.3 Двумерное М = (4,4) суперпространство.

1.2 Бигармоническое суперпространство в 2В.

1.2.1 Центральный базис в бигармоническом суперпространстве.

1.2.2 Аналитическое суперпространство.

1.3 Суперконформная группа.

2 Суперсимметричные М = (4,4) сигма—модели в бигармоническом суперпространстве

2.1 Описание супермультиплетов N = (4,4) материи в бигармоническом суперпространстве.

• 2.1.1 Супермультиплет с твистом (¡га.

2.1.2 Другие супермультиплеты с твистом.

2.1.3 Тензорный мультиплет.

2.1.4 Нелинейный мультиплет.

2.2 Сигма-модельные действия для мультиплетов.

2.2.1 Общие действия для мультиплетов с твистом.

2.2.2 Общие действия для тензорного и нелинейного мультиплетов.

2.2.3 Суперконформные действия.

2.2.4 Массивные деформации общих и суперконформных действий

2.2.5 Дуальные действия.

Взаимодействие между разными типами мультиплетов с твистом

3.1 Описание с явной суперсимметрией.

3.1.1 Общие действия для разных мультиплетов с твистом

3.1.2 Взаимодействие самодуальных мультиплетов с твистом

3.2 Описание со скрытой суперсимметрией.

3.2.1 Связи в суперпространстве П/1»1!2-2).

3.2.2 Общее действие для мультиплета с твистом цга в

3.2.3 Действие для пары мультиплетов с твистом.

Суперсимметрия, как новый принцип симметрии в физике частиц, была открыта в работах Гольфанда и Лихтмана [1], Волкова и Акулова [2], [3], [4], Весса и Зумино [5], [6]. Главной особенностью этого нового принципа симметрии является объединение частиц разной статистики в обобщенные мультиплеты - супермультиплеты, что позволяет рассматривать суперсимметрию как симметрию между бозонными и фермионными полями. Подобное объединение означает следующее: существуют определенные преобразования, которые переводят бозонные поля в фермионные и наоборот, причем эти преобразования носят групповой характер. В свою очередь, это означает, что параметры соответствующих преобразований должны быть антикоммутирующими числами, т. е. принадлежать алгебре Грассмана. Кроме того, из свойства лоренц-инвариантности вытекает, что они также являются спинорными величинами. В математике объекты, обладающие групповыми свойствами, в которых в качестве параметров используются грассмановы числа, были уже известны [7, 8, 9], и носят теперь название супергрупп. Таким образом, преобразования суперсимметрии представляет собой пример супергруппы.

Простейшая суперсимметрия в четырехмерном пространстве-времени Минковского представляет собой Пуанкаре-суперсимметрию и образует супергруппу Пуанкаре. Ее супералгебра содержит наряду с генераторами группы Пуанкаре дополнительные спинорные генераторы фа , , которые преобразуются по неприводимым представлениям группы Лоренца (1/2, 0) и (0,1/2) и удовлетворяют антикоммутационному соотношению:

Эа,6а} = 2о?йРт, (В.1) где Рт - генератор трансляций.

Изучение моделей теории поля, обладающих А/" = 1 суперсимметрией, показало их улучшенные квантовые свойства, в частности, сокращение числа возможных расходимостей в модели Весса-Зумино [6, 10]. Отсутствие в этой модели квантовых поправок во всех порядках теории возмущений к таким величинам, как масса и заряд, составило основу содержания теорем о неперенормировках. Дальнейшее развитие феноменологического направления привело к построению суперсимметричных версий Стандартной Модели [11, 12, 13] и Моделей Великого объединения [14, 15, 16]. В моделях последнего типа становится возможным решение проблемы иерархии масс. В суперсимметричных моделях возникают новые частицы - суперпартнеры стандартных частиц, которые имеют одинаковые с ними квантовые числа (массу, заряд и т.п.), но противоположную статистику. С другой стороны, из алгебры суперсимметрии следует равенство масс частиц, входящих в один и тот же супермультиплет. Однако суперпартнеры с массами известных частиц не обнаружены. Это приводит к тому, что в реалистичной физической теории, обладающей суперсимметрией, суперсимметрия должна быть спонтанно нарушена при чем таким образом, чтобы сохранялись ее свойства перенормируемости. Несмотря на существование разных механизмов нарушения суперсимметрии [17, 18], вопрос об адекватном методе спонтанного нарушения пока не выяснен.

В теориях сМ = 1 суперсимметрией объединение внутренних симметрий и суперсимметрий носит структуру прямого произведения. В расширенных суперсимметриях становится возможным нетривиальное их объединение [4, 19, 20]. Для этого рассматривается обобщение соотношения (В.1):

С&,&у} = 2 (В.2) в котором на сшшорных генераторах реализуется некоторая группа внутренних симметрий. При этом входящие в супермультиплеты расширенной суперсимметрии частицы обладают разными изоспинами.

Важным свойством соотношений (В.1) (В.2) алгебры суперсимметрии является то, что локализация преобразований суперсдвигов приводит к локальным преобразованиям обычных координат, т.е. к общековариантной группе пространства-времени. Иными словами, в теории с локальной суперсимметрией естественным образом возникает супергравитация [21, 22]. В расширенных теориях супергравитации естественным образом возникают локальные преобразования группы внутренних симметрий, что приводит в конечном счете к объединению гравитационного взаимодействия с остальными типами взаимодействий.

Отметим, что одной из основных мотивировок введения расширенной суперсимметрии было желание выйти за пределы известной теоремы Коулмена - Мандулы [23], согласно которой объединение группы Пуанкаре и группы внутренней симметрии в классе групп Ли такое, что получающаяся при этом физическая теория была бы нетривиальной, невозможно. Обобщение понятия группы Ли до супергруппы Ли позволило объединить преобразования внутренней и пространственно-временной симметрий в теориях с расширенной суперсимметрией нетривиальным образом. В последствие была доказана теорема Хаага-Лопушанского-Сониуса [24], согласно которой алгебра расширенной суперсимметрии (В.2) является единственной возможной градуированной алгеброй Ли, совместной с принципами релятивистской квантовой теории поля.

Принцип суперсимметрии был распространен и на многомерные теории, из которых методами размерной редукции или компактификации типа Калуца-Клейна [25, 26, 27] возникают четырехмерные расширенные суперсимметричные теории Янга-Миллса и расширенные теории супергравитации. Размерность таких пространств определяется требованием, чтобы после редукции не возникали поля слишком высоких спинов (не выше спина 1 в теории Янга-Миллса, и не выше спина 2 в теории гравитации). Так, максимально расширенная суперсимметричная калибровочная теория может быть сформулирована в Л/" = 1, 10 - мерном пространстве-времени [28, 29], а максимально расширеннаяя супергравитация - в Л/* = 1, 11- мерном пространстве-времени [25, 30]. При редукции или компактификации к четырем измерениям им будут соответствовать Л/* — 4 теория Янга-Миллса иЛ/" = 8 супергравитация.

Использование идей суперсимметрии в случае одного измерения привели к возникновению суперсимметричной квантовой механике [31, 32, 33, 34, 35, 36]. В ее рамках становится более ясным понимание некоторых вопросов релятивистской теории. В частности, изучение вопроса о динамическом нарушении суперсимметрии непертурбативными эффектами [37, 38, 39, 40], привело к исследованиям нарушения суперсимметрии в четырехмерном случае инстантонами Янга-Миллса [41, 42, 43]. В расширенной суперсимметричной квантовой механике был обнаружен механизм частичного спонтанного нарушения суперсимметрии при включении в алгебру генераторов центральных зарядов [44, 45, 46].

Суперсимметрия составляет играет важную роль в двумерной теории поля. В первую очередь это связано с развитием струнных и суперструнных теорий. Так, было установлено, что любая конформно-инвариантная модель в двумерном пространстве-времени может рассматриваться как модель некоторой струны или суперструны в калибровке светового конуса или конформной калибровке [47]. Важный класс двумерных теорий составляют нелинейные сигма-модели. Они представляют собой системы, в которых сами бозонные поля выступают в качестве координат некоторого многообразия. Суперсимметричые обобщения таких моделей имеют глубокую связь с геометрией комплексных многообразий. Так, в случае 2й, N = (2, 2) сигма-модельной теории (или 4£), Л/* = 1) соответствует Кэ-лерово многообразие [48], а в случае 21), Л/" = (4,4) (или 41), Л/* = 2) -гипер-Кэлерово многообразие [49].

Исследование двумерных теорий поля привело к открытию более широкого класса двумерных нелинейных сигма-моделей, а именно, нелинейных сигма-моделей, которые включают обобщенный член Весса-Зумино-Новикова-Виттена (ВЗНВ), или кручение[50, 51]. В последствие стали изучаться сигма-модели с кручением на групповых многообразиях - модели ВЗНВ типа [52]. Использование сигма-моделей подобного типа привело к созданию целого направления в теории струн и суперструн - так называемого сигма-модельного подхода [53, 54]. Как было показано, что суперобобщения ВЗНВ сигма-моделей описывают нетривиальные фоновые многообразия в теории суперструн, требующих конформной инвариантности [55]. Изучение суперсимметричных сигма-моделей дало основы для построения некоторых вполне интегрируемых систем, обладающих соответствующей суперсимметрией, в частности к N — 4 суперрасширению уравнения Лиу-вилля [56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63]. Было показано, что эти модели имеют также приложения к конформной теории поля и к индуцированной двумерной N = 4 супергравитации [64, 65].

Подходящим объектом для реализации группы Пуанкаре является пространство Минковского, которое параметризуется вещественными координатами хт:

114 = (хт), т = 0,1,2,3. (В.З)

Реализация генераторов этой группы в терминах дифференциальных операторов хорошо известна, а ее представлениями являются функции на К4 . Для того чтобы представить спинорные генераторы С}а, (5« алгебры су-персимметри как некоторые дифференциальные операторы, потребовалось введение концепции суперпространства [2, 3, 4, 66]. Суперпространство является обобщением обычного пространства Минковского за счет введения дополнительных антикоммутирующих координат. Простейшим примером суперпространства служит вещественное Л/* = 1 суперпространство: я4'4 = (хт, еа, ва) ■ (В.4)

Функции на суперпространстве называются суперполями. Их разложение по грассмановым переменным ввиду нильпотельтности последних всегда конечно, а коэффициентами этого разложения являются обычные поля, как физические, так и вспомогательные. Преобразования суперсимметрии реализуются в суперпространстве как сдвиги координат: дх = —г {£ - в аа6е ),

56° = еа, 59° = ^, (В.5) где еа , ё° - антикоммутирующие параметры суперсдвигов. Важное свойство суперполей состоит в том, что преобразования суперсимметрии замыкаются на них без использования уравнений движения. Таким образом, явная инвариантная формулировка суперсимметричных теорий вне массовой оболочки достигается в терминах суперполей.

Суперполя реализуют линейные представление алгебры суперсимметрии, которые в общем случае являются приводимыми. Неприводимые представления выделяются за счет наложения дополнительных условий на суперполе. В простейшем случае четырехмерной N = 1 суперсимметрии поля материи описываются киральным суперполем, которое есть комплексное суперполе Ф(ж, в, в), удовлетворяющее связи:

Д*Ф(ж,0,0) = 0. (В.6)

Эта связь, записанная в комплексном киральном суперпространстве:

С412 = (я? , 0а), (В.7) имеет простой смысл: она просто означает, что суперполе Ф(х,в,9) не зависит от соответствующей грассмановой координаты и является произвольным комплексным суперполем, определенным на С4'2. Этот простой пример показывает, что выбор адекватного суперпространства является существенным при описании неприводимых представлений алгебры суперсимметрии в терминах неограниченных суперполей. В случае N = 1 суперсимметрии таких суперпространств только два: вещественное К4'4 и киральное С4'2 суперпространства. Оба этих супериространства оказались важными для построения теорий с Л/* = 1 суперсимметрией, включая суперобобщение теории Янга-Миллса [67, 68, 69] и супергравитацию [70].

Нахождение адекватного суперпространства для теорий с расширенной суперсимметрией представляет собой сложную задачу. Прямым обобщением вещественного N = 1 суперпространства (В.4) является Л/* расширенное вещественное суперпространство:

К4"4ЛГ = (я:т,^Д). (В.8)

Подобным образом возникает и N расширенное киральное суперпространство:

В.9)

Оказывается, что описание расширенной Л/* = 2 суперсимметричной теории в рамках этих суперпространств (В.8) (В.9) (случай Л/" = 2) не может быть достигнуто на языке неограниченных суперполей, которые имеют не только разумную размерность, но и ясную и геометрическую интерпретацию.

Решение вопроса о существовании адекватного суперпространства для теорий с N = 2 суперсимметрией привело к открытию гармонического суперпространства [71]. Главной особенностью гармонического суперпространства является введение новых бозонных координат, называемых гармониками, в качестве независимых переменных, которые дополняют стандартный координатный набор (В.8) N = 2 суперпространства:

НК,4+218 = (хт , 9а1, в{ , и* , щ). (В. 10)

Гармоники ассоциируются с координатами двумерной сферы Э2, которая рассматривается как фактор-пространство группы внутренних автоморфизмов Би{2) по ее подгруппе II(1). Изучение структуры гармонического суперпространства показало существование в нем аналитическое подпространство :

АК4+214 = щ). (В.11) которое имеет вдвое меньший набор грассмановых координат и замкнуто относительно преобразований N = 2 суперсимметрии. Это позволило определить новый тип аналитичности - гармоническую грассманову аналитичность, которая обобщает понятие комплексной ананалитичности в обычном смысле или киральности в случае N = 1 суперсимметрии. Именно в аналитическом суперпространстве удается дать описание супермультиплета материи вне массовой оболочки (гипермультиплета Файе-Сониуса [73, 74]) в терминах неограниченного аналитического суперполя [71]. Это достигается благодаря тому, что общие гармонические суперполя с необходимостью содержат бесконечный набор вспомогательных полей, требуемых для вне массового описания теоремой "запрета" [75, 76]. Отметим также, что в подходе гармонического суперпространства было получено адекватное описание как N = 2 суперсимметричной теории Янга-Миллса, так и Л/* = 2 теории супергравитации в четырех измерениях, а также выявлена тесная связь с геометрией комплесных многообразий гипер-Кэлерова и кватернион-Кэлерова типа.

Расширенные N = (4,4) суперсимметричные теории в двух измерениях рассматривались ранее в разных суперпространственных подходах, в частности, в Л/" = (2,2) суперпространстве [77], в стандартном [59] и проективном N = (4,4) суперпространствах [78, 79, 80, 81] В этих подходах использовались N — (2,2) киральные и киральные суперполя с твистом суперполя, а также обычные N = (4,4) суперполя. С другой стороны, учитывая значение гармонического суперпространства в четырехмерных расширенных суперсимметричных теориях, было бы важно иметь описание двумерных теорий с Л/" = (4,4) суперсимметрией на языке гармонических суперполей.

При описание двумерных суперсимметричных теорий, которые могут быть получены размерной редукцией из четырехмерных N — 2 теорий, стандартное гармоническое суперпространство является вполне адекватным. Возникающие при этом теории, в частности, общие нелинейные сигма-модели, описываются двумерным аналогом аналитического суперполя д+ и приводят к общим гипер-Кэлеровым сигма-моделям соответствующего бозонного многообразия. В теориях, получающихся таким способом, отсутствует ВЗНВ член, или член кручения. С другой стороны, двумерные теории, обладающие суперсимметрией, допускают нетривиальные члены кручения. Таким образом, стандартное гармоническое суперпространство не является подходящим для описания теорий этого типа - суперсимметричных нелинейных сигма-моделей с кручением.

Другой интересной задачей в суперсимметрии является построение расширенных версий суперсимметричной квантовой механики [31]. Изучение ее различных вариантов с М = 8 суперсимметией, основанных на муль-типлетах с конечным компонентным составом вне массовой оболочки [82], представляет собой сложную задачу и требует развития суперпространственных методов. Особенностью одномерных суперсимметричных теорий является достаточно широкая свобода в построении их суперконформных расширений, которые связаны с разными суперконформными группами в одномерии [83]. Симметрии этих моделей отражают некоторые особенности многомерных квантовых теорий поля. Обобщение суперконформной группы на группу общих суперковариантных преобразований ведет к возникновению конформной теории супергравитации в одном измерении. При ее взаимодействии с суперконформным или общековариантным обобщением понятия супермультиплета материи, который используется в качестве компенсатора конформных преобразований и их суперсимметричных аналогов, возникает одномерная общековариантная супергравитация. Многие свойства таких моделей оказываются аналогичными свойствами многомерных теорий супергравитации. Изучение реализаций этих групп, и построение соответствующих суперконформных действий как и построение различных версий расширенной супергравитации, также нуждаются в поиске новых суперпространств.

Эти рассуждения приводят к тому, что необходимо найти некоторое обобщение стандартного гармонического суперпространства, которое бы представляло собой наиболее адекватный объект для построения двумерных расширенных Л/* = (4,4) суперсимметричных теорий, включающих класс нелинейных сигма-моделей с кручением. Его построению и применению к описанию этого класса моделей и посвящена настоящая диссертация.

Диссертация содержит введение, четыре главы, заключение и список литературы.

Основные результаты опубликованы в статьях [173] - [179].

В заключении мне бы хотелось выразить свою глубокую признательность научному руководителю Евгению Алексеевичу Иванову за постановку задач и помощь, оказанную при выполнении данной работы. Я благодарен моим друзьям и коллегам С. О. Кривоносу, Б. М. Зупнику, М. М. Цулая и ушедшему от нас А. И. Пашневу за многочисленные обсуждения вопросов, объединенных одним словом- суперсилшетприя.

Я также выражаю слова благодарности в адрес руководства и сотрудников Лаборатории теоретической физики, чья поддержка всегда была одной из составляющих успешной работы.

Заключение

Основной целью проведенных в диссертации исследований было нахождение адекватного формализма для описания расширенных суперсимметричных теорий в двух и одном измерениях. Введение нового типа гармонического суперпространства позволило наиболее эффективно исследовать различные свойства расширенных суперсимметричных сигма-моделей с кручением, а также дать явно суперсимметричное описание для одного из супермультиплетов расширенной суперсимметричной квантовой механики.

Перечислим основные результаты, полученные в диссертации.

1. Построено бигармоническое суперпространство для расширенной АГ = (4,4) суперсимметричной теории в двух измерениях и для Л/' = 8 суперсимметричной квантовой механики.

2. В рамках двумерного бигармонического супериространства.дано описание четырех разных типов Л/* = (4,4) супермультиплетов с твистом, а также тензорного и нелинейного супермультиплетов. Эти супер-мультиплеты представляются аналитическими супернолями, ограниченными гармоническими связями, и содержат конечный набор компо-нетных полей. Для всех супермультиплетов построены общие суперполевые сигма-модельные действия вне массовой оболочки, отвечающие нелинейным сигма-моделям с кручением, а также соответствующие инвариантные выражения для массовых членов.

3. Найдено новое описание Л/* = (4,4) суперсимметричных сигма-моделей с кручением в терминах пары неограниченных аналитических суперполей с бесконечным набором компонентных полей. Характерной особенностью этого описания является наличие калибровочной инвариантности, которая восстанавливает правильное число физических степеней свободы. Показано, что все суиермультиплеты с конечным набором компонентных полей допускают дуальное описание через неограниченные аналитические суперполя, и построены соответствующие ивариантные суперсимметричные действия в терминах неограниченных суперполей.

4. Получена реализация суперкоформной группы в двумерном бигармо-ническом суперпространстве и построены для всех изученных муль-типлетов как суперконформно-инвариантные действия, отвечающие сигма-моделям типа Весса-Зумино-Новикова-Виттена на групповых многообразиях 811(2) х /7(1), так и их массивные деформации, описывающие модели типа ВЗНВ-Лиувилля. Для всех суперконформных действий найдено посредством преобразования дуальности описание в терминах неограниченных аналитических суперполей.

5. Детально изучена возможность взаимодействия различных N = (4,4) мультиплетов с твистом и показано, что общие сигма-модельные действия, инвариантные относительно N = (4,4) суперсимметрии, включающие зависимость как от любой пары таких мультиплетов, так и от любого их числа, распадаются в сумму сигма-модельных действий для каждого мультиплета. Показано, что различные мультиплеты могут взаимодействовать только через смешанные массовые члены, которые возможны лишь для мультиплетов, принадлежащих самодуальным парам, и найдена наиболее общая форма скалярного потенциала на массовой оболочке для мультиплетов, входящих в самодуальную пару. Рассмотрение этого вопроса также дано в рамках стандартного N = (2, 2) суперпространства в терминах N = (2, 2) суперполей, обладающих скрытой Л/* = (2,2) суперсимметрией.

6. Дано описание (4,8,4) мультиплета N = 8 суперсимметричной квантовой механики в стандартном одномерном гармоническом суперпространстве в терминах N = 4 аналитических суперполей, ограниченных подходящими связями, на которых реализуется дополнительная скрытая А/* = 4 суперсимметрия. Построено Л/" = 8 инвариантное общее супернолевое действие, обладающее явной и скрытой Л/" = 4 суперсим-метриями, составляющими вместе Л/" = 8 суперсимметрию, а также получено наиболее общее выражение для потенциального члена типа Файе-Илиопулоса. Показано, что инвариантность действия относительно еще одрюй дополнительной суперсимметрии, делающей теорию 9 суперсимметричной, возможна только для случая свободного действия.

7. В одномерном бигармоническом суперпространстве дано явно N = 8 суперсимметричное описание (4,8,4) мультиплета в терминах ограниченного аналитического суперполя и получено наиболее общее суперполевое действие вне массовой оболочки для произвольного набора взаимодействующих (4,8,4) мультиплетов. Исходя из требования сохранения понятия аналитичности, найдено суперсимметричное расширение двумерной алгебры Гейзенберга 1т(2), которое содержит оператор цетрального заряда. Найдена единственная форма суперполевого действия, инвариантного относительно всех преобразований полученной супералгебры, за исключением масштабных преобразований, а также построено семейство масштабно-инвариантных действий. Основываясь на принципе сохранения грассмановой бигармонической аналитичности, сформулирована одномерная Л/* = 8 супергравитация в терминах аналитических супертетрад. Для ее усеченной версии, построены как суперполевые, так и компонентные действия для (4, 8,4) мультиплета, обладающие локальной N = 8 суперсимметрией. Показано, что эта конструкция допускает обобщение на случай произвольного набора взаимодействующих аналитических сунерполей.

1. Гольфанд Ю. А., Лихтман Е. П., Расширение алгебры генераторов Пуанкаре и нарушение Р-инвариантности, Письма в ЖЭТФ., 1971, 13, стр. 452 - 455.

2. Волков Д. В., Акулов В. П., О возможном универсальной взаимодействии нейтрино, Письма в ЖЭТФ., 1972, 16, стр. 621 624.

3. Volkov D. V., Akulov V. P., Is the neitrino a Goldstone partiicle?, Phys.Lett. В., 1973, v. 46, pp. 109 110.

4. Волков Д. В., Акулов В. П., Голдстоуновские поля со спином половина, ТМФ., 1972, 18, стр. 39 г 50. .

5. Wess J., Zuiiiino В.,' Supergauge transformations in four dimensions, Nucl. Phys. В., 1974, v. 70, pp. 39 49.

6. VVess J., Zumino В., A Lagrangian Model Invariant under Gauge Transformations, Phys. Lett. В., 1974, v. 49, pp. 52 54.

7. Березин Ф. А., Метод вторичного квантования, M: Наука, 1965.

8. Березин Ф. А., Кад Г.И., Группы Ли с коммутирующими и антпком-мутирующими параметрами, Мат. сб., 1970, т. 82 (124), N 3 (7), стр. 343-356.

9. Березин Ф. А., Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными, М: МГУ, 1983.

10. Огиевецкий В. И., Мезинческу Л., Симметрии между бозонами и фермионами и супериоля, УФН., 1975, 117, стр. 637 684.

11. Nilles Н. P., Supersymmetry, supergravity and particle physics, Phys. Rep., 1984, v. 110, pp. 1 162.

12. Haber H. E., Kane G. L., The search for siipersymmetry: probing physics beyond the Standard Model, Phys. Rep., 1985, v. 117, pp. 75 451.

13. Barbieri R., Looking beyond the Standard model: the supersyinmetric option, Riv. Nuovo Cim., 1988, v. 11, pp. 1 45.

14. Ainaldi U., de Boer W., Fürstenau H., Comparison of grand unißed theories with electroweak and strong coupling constants measured at LEP, Phys. Lett. B., 1991, v. 260, pp. 447 455. .

15. Ellis J., Kelley S., Nanopoulos D. V., Probing the desert using gauge coupling unification, Phys. Lett. B., 1991, v. 260, pp. 131-137.

16. Giunti C., Kim C. W., Lee U. W., Running coupling constants and grand unilication models, Mod. Phys. Lett. A., 1991, v. 6, pp. 1745 1755.

17. Fayet P., Iliopoulos J., Spontaneously Broken Super gauge Symmetries and Goldstone Spinors, Phys. Lett. B, 1974, v. 51, pp. 461-464.

18. O'Raifeartaigh L., , Nucl. Phys. B., 1975, v. 96, p. 333.

19. Dondi P. H., Sohnius M., , Nucl. Phys. B., 1974, v. 81, p. 317.

20. Sal am A., Strathdee J., , Nucl. Phys. B., 1973, v. 74, p. 127.

21. Freedman D. Z., van Nieuwenhuizen P., Ferrara S., Progress towards a theory of supergravity, Phys. Rev. D., 1976, v. 13, pp. 3214-3218.

22. Deser S., Zumino B., Consistent Supergravity, Phys. Lett. B., 1976, v. 62, pp. 335-338.

23. Coleman S., Mandula J., All Possible Symmetries of S Matrix, Phys. Rev., 1967, v. 159, pp. 1251 1256.

24. Haag R., Lopuszanski J., Sohnius M., All Possible Generators of Super-symmetries of the S-Mcitrix, Nucl. Phys. B., 1975, v. 88, pp. 257-274.

25. Cremmer E., Julia B., Scherk J., Supergravity theory in 11 dimensions, Phys. Lett. B., 1978, v. 76, pp. 409-??.

26. Freedman D. Z., van Nieuwenhuizen P., Hidden dimensions of space-time, Sei. Amer., 1985, v. 252, N 1, pp. 26-36.

27. Duff M., Nilsson В. E. W., Pope C. N., Kaluza- Klein supergravity, Phys. Rep., 1986, v. 130, N 1 pp. 1-142.

28. Brink L., Scherk J., Schwarz J. II., Supcrsymmetric Tung-Mills theory, Nucl. Phys. В., 1977, v. 121, pp. 77-??

29. Gliozzi F., Olive D., Scherk J., Supersyrnmetry, supergravity theories and the dual spinor model, Nucl. Phys. В., 1977, v. 122, pp. 253-??.

30. Cremmer E., Julia В., The 50(8) supergravity, ?? Nucl. Phys. В., 1979, v. 159, N 1, pp. 141-212.

31. Witten E., Dynamical Breaking of Supresymmetry, Nucl. Phys. В., 1981, v. 188, pp. 513 554.

32. Witten E., Constraints on Supersyrnmetry Breaking, Nucl. Phys. В.,1982, v. 202, pp. 253 316.

33. Claudson M., Halpern M. В., Supersymmetric Ground State Wave Functions, Nucl. Phys. В., 1985, v. 250, pp. 689 715.

34. Лкулов В. П., Пашнев A. PL, Суперсиммтеричная Квантовая Механика и Спонтанное Нарушение Суперсиммтерии на Квантовом Уровне, ТМФ, 1985, т. 65, стр. 84 92.

35. Cooper F., Freedman В., Aspects of Supersymmetric Quantum Mechanics, Ann. Phys., (N.Y), 1983, v. 146, pp. 262 288.

36. Ivanov E., Krivonos S., Leviant V., Geometric Superfield Approach to Superconformal Mechanics, J. Phys. A. Math. Gen., 1989, v. 22, pp. 4201- 4222.

37. Salomonson P., van Holten J. W., Ferminic Coordinates and Supersyrnmetry in Quantum Mechanics, Nucl. Phys. В., 1982, v. 196, pp. 509 -531.

38. Abbott R. В., Estimating Ground State Energies in Supersymmetric Quantum Mechanics: (1) Broken Case, Z. Phys. C., 1983, v. 20, pp. 213- 225.

39. Abbott R., Zakrzewski W. J., Estimating Ground State Energies in Supersymmetric Quantum Mechanics: (2) Unbroken Case, Z. Phys. C.,1983, v. 20, pp. 227 236.

40. Khare A., Maharana J., Supersymmetry Breaking in Quantum Mechanics, Z. Phys. C., 1984, v. 23, pp. 191 194.

41. В айн штейн А. И., Захаров В. И., Шифман М. А., Иистантоны против суперсимметрии, УФН, 1985, т. 140, стр. 683 707.

42. Affleck I., Dine M., Seiberg N., Dynamical Supersymmetry Breaking in Chiral Theories, Phys. Lett В., 1984, v. 137, pp. 187 193.

43. Affleck I., Dine M., Seiberg N., Calculable Nonperturbative Supersymmetry Breaking, Phys. Rev. Lett., 1984, v. 52, pp. 1677 1680.

44. Pashnev A. I., One-dimensional Supersymmetric Quantum Mechanics with N¿=2, Theor. Math. Phys., 1986, v. 69, pp. 311-315.

45. Curtright T. L., Geometrostasis and Torsion in Covariant Superstrings, Phys. Lett В., 1985, v. 161, pp. 91 95.

46. Zumino В., Supersummetry and Kahller Manifolds, Phys. Lett В., 1979, v. 87, pp. 203.

47. Alvarez-Gaume L., Freedman D. Z., Geometrical structure and the ultraviolet fîniteness in the supersymmetric sigma models, Comm. Math. Phys., 1981, v. 80, pp. 443- 451.

48. Wess J., Zumino В., Consequences of anomalous Ward identities, Phys.Lett В., 1971, v. 37, pp. 95- 97.

49. Witten E., Global aspects of current algebra, Nucl. Phys., 1983, v. 223, pp. 422- 432.

50. Witten E., Non-Abelian bosonization in two dimensions, Comm. Math. Phys., 1984, v. 92, pp. 455-472.

51. Hull С. M., Lectures on non-linear sigma models and strings, Cambridge, England, 1987, Preprint/DAMPT, pp. 1-102.

52. Tseytlin A. A., Sigma model approach to string theory, Intern. Л. Mod. Phys. A., 1989, v. 4, pp. 1257-1318.

53. Callan C., Harvey J., Strominger A., World Sheet Approach to Heterotic Instantons and Solitons, Nucl. Phys. В., 1991, v. 359, pp. 611-634.

54. Ivanov E., Krivonos S., N=4 Superliouville Equation, J. Phys. A: Math, and Gen., 1984, v. 17, L671.

55. E. A. Ivanov, S. O. Krivonos, N=4 Superextension of the Liouville Equation with Quqternionic Structure, Teor. Mat. Fiz., 1985, v. 63, pp. 230243. Theor. Math. Phys., 1985, v. 63, p. 477].

56. Ivanov E., S. O. Krivonos S., Leviant V. A new class of superconformal sigma models with Wess-Zumino action, Nucl. Phys. В., 1988, v. 304, p. 601.

57. Gorovoy O., Ivanov E., Superfield ¿ict.ions for N — 4 WZNW-Liouville systems, Nucl. Phys. В., 1992, v. 38, pp. 394-412.

58. Di Vecchia P., Ferrara S. Classical Solutions in Two-Dimensional Super-symmetric Field Theories, Nucl. Phys. В., 1977, v. 130, pp. 93-104.

59. Witten E., Supersymmetric Form of the Nonlinear а Model in Two Dimensions, Phys. Rev. D, 1977, v. 16, pp. 2991-2994.

60. Olshanetsky M. A., Supersymmetric Two-Dimensional Toda Lattice, Comm. Math. Phys., 1983, v. 88, pp. 63-76.

61. Савельев M. В. Интегрируемые супермногообразия и связанные .с ними нелинейные уравнения, ТМФ, 1984, т. 59, стр. 367-372.

62. Kounnas С., Porrati М., Rostand В. On N=4 Superliouville Theory, Phys. Lett. В., 1991, v. 258, pp. 61-69.

63. A. Sevrin, K. Thielemans, W. Troost Induced and Effective Gravity Theories in D=2, Nucl. Phys. В., 1993, v. 407, pp. 459-512.

64. Salain A., Strathdee J., Super-Gauge Tmnsformations, Nucl. Phys. В., 1974, v. 76, pp. 477-482.

65. Ivanov E. A., On the Geometric Meaning of the N = 1 Yung-Mills Prepotential, Phys. Lett. B., 1982, v. 117, pp. 59-63.

66. Ivanov E. A., Intrinsic Geometry of the N = 1 Supersymmetric Yang-Mills Theory, J. Phys. A., 1983, v. 16, pp. 2571-2586.

67. Rosly A. A., Geometry of N = 1 Yang-Mills Theory in Curved Superspace, J. Phys. A., 1982, v. 15, pp. 1663-1667.

68. Ogievetsky V. I., Sokatchev E. S., Structure of Supergravity Group, Phys. Lett. B., 1978, v. 79, pp. 222-224.

69. Galperin A., Ivanov E., Kalitzin S., V. Ogievetsky V., Sokatchev E., Unconstrained N = 2 Matter, Yang-Mills and Supergravity Theories in Harmonic Superspace, Class. Quant. Grav., 1984, v. 1, pp. 469-498.

70. A. Galperin, E. Ivanov, V. Ogievetsky, E. Sokatchev, "Harmonic Superspace", Cambridge University Press, Cambridge 2001, p. 306.

71. Sohnius M. F., Supersymmetry and Central Charges, Nucl. Phys. B., J 1978, v. 138, pp. 109-121.

72. Sohnius M. F., Stelle K. S., West P. C., Representations of Extended Supersymmetry, In: "Supergravity and Superspace" Ed-rs S. Howking, M. Rocek, Cambr. Univ. Press, 1981, pp. 283-330.

73. Siegel W., Rocek M., On Off-Shell Supermultiplets, Phys. Lett. B.,1981, v. 105, pp. 278-279.

74. Rivelles V. O., Taylor J. G., No-Go Theorems for Higher Dimensional Supersymmetries and Supergravities, Phys. Lett. B., 1983, v. 121, pp. 37-42.

75. Gates S. J. Jr., Hull C., Rocek M., Twisted Multiplets and New. Super-symmetric Non-Linear sigma models, Nucl. Phys. B, 1984, v. 248, pp. 157-186.

76. Rocek M., Schoutens K., Sevrin A., Off-shell WZW in Extended Superspace, Phys. Lett. B., 1991, v. 265, pp. 303-306.

77. Rocek M., Ahn C., Schoutens K., Sevrin A., Superspace WZW models and black holes, IASSNS-HEP-91/69, ITP-SB-91-49, LBL-31325,UCB-PTH-91/50, Oct. 1991, Published in Trieste HEP CosmoL, 1991, pp. 9951006.

78. BuscherT., LindstrômU., Rocek M., New Supersymmetric Sigma Models with Wess-Zumino Terms, Phys. Lett. B., 1988, v. 202, p. 94.

79. U. Lindstrôm, I.T. Ivanov, M. Rocek, New N=4 superûelds and sigma models, Phys. Lett. B., 1994, v. 328, pp. 49-54.

80. S. Bellucci, E. Ivanov, S. Krivonos, O. Lechtenfeld, ABC of N=8, d=l supermultiplets, Nucl. Phys. B., 2004, v. 699, pp. 226-252.

81. A. Van Proeyen, Tools for supersymmetry, Lectures in the spring school in Calimanesti, Romania, April 1998, hep—th/9910030].

82. Delduc F., Sokatchev E., Superparticle with Extended world-line Super-symmetry, Class. Quant. Grav., 1992, v. 9, pp. 361-376.

83. S.J. Gates Jr., S.V. Ketov, 2D (4,4) Hypermultiplets I, Phys. Lett. B., 1998, v. 418, pp. 111-118.

84. S.J. Gates Jr., S.V. Ketov, 2D (4,4) Hypermultiplets. II: Field Theory and Origins of Dimlities, Phys. Lett. B., 1998, v. 418, pp. 119-124.

85. E. A. Ivanov, SU(2) x SU(2) Harmonic Seperspace and (4,4) Sigma Models, Nucl. Phys. A. (Proc. Suppl.), 1997, v. 52, pp. 354-356.

86. S.J. Gates Jr., L. Rana, Manifest (4,0) Supersymmetry, Sigma Models and The ADHM Instaton Construction, Phys. Lett. B., 1995, v. 345, pp. 233-241.

87. R. Dhanawittayapol, S. J. Gates, Jr., L. Rana, A Canticle on (4,0) Supergravity-Scalar Multiplet Systems for a "Cognoscente", Phys. Lett. B., 1996, v. 389, pp. 264-272.

88. A. Galperin, E. Ivanov, V. Ogievetsky, Superspace Actions and Duality-Transformations for N=2 Tensor Multiplets, Yad. Fiz., 1987, v. 45, pp. 245-257.

89. Ph. Spindel, A. Sevrin, W. Troost, A. Van Proeyen, Complex Structures on Parallelized Group Manifolds and Supersyrnmetric Sigma Models, Phys. Lett. B., 1988, v. 206, p. 71.

90. Ph. Spindel, A. Sevrin, W. Troost, A. Van Proeyen, Extended Supersyrnmetric Sigma Models on Group Manifolds. 1. The Complex Structures, Nucl. Phys. B., 1988, v. 308, p. 662.

91. A. Sevrin, W. Troost, A. Van Proeyen, P. Spindel, Extended Supersyrnmetric Sigma Models on Group Manifolds. 2. Current Algebras, Nucl. Phys. B., 1988, v. 311, p. 465.

92. A. Sevrin, W. Troost, A. Van Proeyen, Superconformal algebras in two-dimensions with N=4, Phys. Lett. B., 1988, v. 208, p. 447.

93. M. Ademollo, L. Brink, A. D'Adda, R. D'Auria, E. Napolitano, S. Sciutto, E. Del Giudice, P. Di Vecchia, S. Ferrara, F. Gliozzi, R. Musto, R. Pet-torino, Dual String with U( 1) Color Symmetry, Nucl. Phys. B., 1976, v. Ill, pp. 77-110.

94. K. Schoutens, O(N) Extended Superconformai Field Theory in Superspace, Nucl. Phys. B., 1988, v. 295, p. 634.

95. E. A. Ivanov, S. O. Krivonos, V. M. Leviant, Quantum N=3N=4 Sii-perconformal WZW Sigma Models, Phys. Lett. B., 1989, v. 215, p. 689; Phys. Lett. B (Erratum)., 1989, v. 221, p. 432.

96. A. Galperin, E. Ivanov, V. Ogievetsky, E. Sokatchev, Conformai Invariance in Harmonic Superspace, Quantum Field Theory and Quantum Statistics, ed C. Isham , 1986 (Bristol: Adam Hilger), pp. 233-248.

97. W. Siegel, Some Extended Supersyrnmetric Two-Dimensional Scalar Multiplets, Class. Quant. Grav., 1985, v. 2, L41.

98. A. Galperin, E. Ivanov, V. Ogievetsky, E. Sokatchev, Gauged Field Geometry from Complex and Harmonic Analyticities. Hyperkahler Case, Ann. Phys., 1988, v. 185, p. 22.

99. F. Delduc, S. Kalitzin, E. Sokatchev, Geometry of Sigma Models with Heterotic Supersymmetry, Class. Quant. Grav., 1990, v. 7. pp. 1567-1582.2.