Низкоэнергетическое эффективное действие в моделях N=2 гипермультиплетена и N=3 калибровочного суперполя тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Самсонов Игорь Борисович

НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ЭФФЕКТИВНОЕ ДЕЙСТВИЕ В МОДЕЛЯХ N = 2 ГИПЕРМУЛЬТИПЛЕТА И М = 3 КАЛИБРОВОЧНОГО СУПЕРПОЛЯ

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск - 2003

Работа выполнена ка кафедре теоретической физики Томского государственного университета

Научные руководители:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической физики физико-математического факультета Томского государственного педагогического университета Бухбиндер Иосиф Львович

Доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Лаборатории теоретической физики Объединенного Института Ядерных Исследований Зупник Борис Моисеевич

Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией математической физики факультета естественных наук и математики Томского политехнического университета Галажинский Антон Владимирович

Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа физико-математического факультета Томского государственного педагогического университета Лавров Петр Михайлович

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск

Защита состоится 30 октября 2003 г. в 14.30 часов на заседании Диссертационного совета Д 212.267.07 при Томском государственном университете по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан 5 сентября 2003 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета, доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник Ивонин И.В.

А

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Исследование суперсимметричных полевых теорий занимает важное место в современной теоретической физике высоких энергий. Во многом это обусловлено наличием тесной связи концепции суперсимметрии с проблемой объединения фундаментальных взаимодействий. В настоящее время считается, что наиболее подходящим кандидатом на роль единой теории является теория струн. Примечательно, что суперсимметрия естественно возникает в теории струн и необходима для ее самосогласованности. Кроме того, суперсимметричные полевые теории появляются в низкоэнергетическом пределе теории струн и поэтому их изучение оказывается очень важным для прояснения различных аспектов теории струн.

Одной из наиболее важных задач в области суперсимметричных полевых теорий является проблема построения эффективного действия. Эффективное действие является центральным понятием квантовой теории поля, определяющим общую структуру полевой теории в квантовой области. В суперсимметричной теории эффективное действие обладает рядом замечательных свойств, обусловленных тем, что суперсимметрия накладывай^ достаточно жесткие ограничения на форму эффективного действия, в силу чего некоторые величины, характеризующие квантовую теорию, могут быть найдены точно. Широко известным примером является теория N — 2 калибровочного мультиплета (так называемая теория Сайберга-Виттна), в которой низкоэнергетическое эффективное действие может быть точно вычислено с учетом как пертурбативных так и непертурбативных вкладов. Этот результат оказался очень важным для понимания свойств суперсимметричных теорий с N = 2 расширенной суперсимметрией и стал основой для множества исследований в этом направлении, в которых рассматривались обобщения данной задачи для N = 2 теорий с различным набором полей материи. В связи с этим достаточно актуальной является общая задача о нахождении голоморфного эффективного действия в теории гипер-мультиплета во внешнем калибровочном суперполе для случая различных калибровочных групп.

Другим важным направлением в квантовой теории поля, возникшем сравнительно недавно, является изучение квантовых аспектов в некоммутативных теориях. В этих теориях подразумевается, что канонические операторы четырехмерных координат пространства Минковского не коммутируют между собой, что приводит возникновению некоторых специфических свойств, таких кале частичное изменение характера ультрафиолетовых расходимостей без нарушения свойств причинности и унитарности. Возможность нарушения коммутативности координат вытекает из теории струн, рассмотренной на фоне постоянного В-поля являющимся 2-формой Навье-Шварца в теории О = 10 супергравитации. В этой связи, некоммутативные суперсимметричные модели возникают естественным образом в низкоэнергетическом пределе теории струн и их изучение оказывается актуальной задачей как для понимания феноменологических свойств этих теорий, так и для развития теории струн.

В рамках суперсимметричных полевых теорий с расширенной супер-

симметрией важное место занимает проблема построения явно суперсимметричной (суперполевой) формулировки классических и квантовых действий таких моделей. Для Я = 2 и Я = 3 суперсимметричных теорий решение этой проблемы связало с использование метода гармонического суперпространства, а для Л/" = 4 теории адекватного суперполевого описания в терминах неограниченных суперполей до сих пор не существует. Однако, теории сЛГ=ЗиЛ/" = 4 суперсимметрией описывают один и тот же мультиплет физических полей и имеют эквивалентную динамику на массовой поверхности. Поэтому изучение квантовых аспектов N = 3 суперкалибровочной теории может быть полезно как само по себе, так и для более глубокого понимания N = 4 теории поля Янга-Миллса. Это приводит к актуальной проблеме построения квантового эффективного действия в модели N = 3 супер Янга-Миллса в терминах суперполей в гармоническом суперпространстве.

Целью работы является исследование структуры низкоэнергетического эффективного действия в теории коммутативного и некоммутативного ги-пермультиплета во внешнем калибровочном суперполе, а также в теории N = 3 калибровочного суперполя.

Научная новизна. В диссертации впервые получены следующие результаты.

1. Вычислено низкоэнергетическое (голоморфное) эффективное действие гипермультиплета взаимодействующего с векторным суперполем для случая, когда гипермультиплет находится в произвольном представлении любой полупростой калибровочной группы, а векторное суперполе лежит в подалгебре Картана соответствующей калибровочной алгебры. В частности, найдены голоморфные эффективные действия для моделей гипер-мультиплетов в фундаментальном и присоединенном представлении калибровочных групп £>и(п), 30(п), 5р(2п).

2. Построены модели некоммутативного гипермультиплета и некоммутативного N = 2 векторного суперполя в гармоническом суперпространстве. Получены правила Фейнмана для этих моделей и вычислены простейшие однопетлевые диаграммы Фейнмана. Установлено, что в рассматриваемых квантовых вкладах наблюдается эффект XIV/Ш-смсшивания, который заключается в том, что ультрафиолетовые расходимости переходят в инфракрасные особенности импульсных интегралов. Изучена конкретная структура иV/Щ-смешивания в рассматриваемых моделях. Получено также голоморфное эффективное действие модели некоммутативного гипермультиплета во внешнем векторном суперполе для случае абелевой и неабелевой калибровочной группы.

3. Найден ведущий низкоэнергетический вклад в эффективное действие в N = 3 суперсимметричной модели Янга-Миллса, записанный в N = 3 гармоническом суперпространстве. Данное эффективное действие вычислено на основе анализа требований масштабной и И-инвариантности, которые являются следствием суперконформной инвариантности рассматриваемой теорией поля. Получена компонентная структура такого эффективного действия и вычислены соответствующие эффективные уравнения

движения. Найдена группа преобразований, оставляющая данное эффективное действие инвариантным.

Научная и практическая значимость работы. Полученные в диссертации результаты посвящены решению актуальных научных задач и ведут к более глубокому пониманию структуры эффективного действия в Л/" = 2 и Л/" = 3 суперсимметричных теориях поля. Практическая значимость результатов обусловливается возможным их применением для решения следующих проблем в области суперсимметричной квантовой теории поля:

• Изучение структуры полного эффективного действия в N = 2 суперсимметричных теориях включающего голоморфные и неголоморфные вклады.

• Исследование квантовых аспектов в некоммутативных Л/" = 2 суперсимметричных теориях с использованием явно суперполевой формулировки на основе метода гармонического суперпространства.

• Вычисление низкоэнергетического эффективного действия в N = 3 суперкалибровочной модели в терминах неограниченных Л/" = 3 суперполей.

Положения, выносимые на защиту:

1. Получено низкоэнергетическое эффективное действие гипермульти-плета взаимодействующего с внешним векторным суперполем для случая, когда гипермультиплет находится в произвольном представлении любой полупростой калибровочной группы.

2. Найдены голоморфные эффективные действия для моделей гипер-мультиплетов в фундаментальном и присоединенном представлении калибровочных групп ,5С/(п), 50(п), 5р(2п).

3. Сформулированы модели некоммутативного гипермультиплета и некоммутативного N = 2 векторного суперполя в гармоническом суперпространстве.

4. Квантовые ультрафиолетовые расходимости однопетлевых диаграммах в некоммутативных моделях гипермультиплета и N = 2 векторного суперполя частично изменяют свою структуру и выглядят как ультрафиолетовые особенности соответствующих функций Грина (так называемый эффект иУ/Ш-смешивания).

5. Голоморфное эффективное действие модели некоммутативного гипермультиплета во внешнем векторном суперполе для случае абе-левой и неабелевой калибровочной группы в низкоэнергетическом приближении разбивается в сумму двух слагаемых, одно из которых отвечает за эффект иУ/Щ-смешивания, а второе совпадает с голоморфным эффективным действием соответствующей коммутативной теории.

6. Низкоэнергетическое эффективное действие действие в N = 3 суперкалибровочной теории имеет вид функционала от суперполей напряженности, записанного в полном N = 3 суперпространстве. Этот функционал получается в результате масштабно инвариантного обобщения суперполевого действия, отвечающего слагаемому четвертого порядка в действии Борна-Инфельда.

7. Низкоэнергетическое эффективное действие в N = 3 суперкалибровочной теории в кулоновой фазе является инвариантным относительно подгруппы jV = 3 суперконформной группы, состоящей из дила-таций, 75-преобразований, SU(3) автоморфизмов, а также N = 3 супергруппы Пуанкаре. Симметрии относительно конформных бустов и дополнительных суперконформных суперсимметрий оказываются нарушенными.

Апробация работы. Результаты, положенные в основу диссертации, докладывались на международных конференциях: "XXIII международный коллоквиум по методам теории групп в физике", г. Дубна, ОИЯИ, 31 июля - 5 августа 2000 г.; "IX международная конференция по суперсимметрии и объединению фундаментальных взаимодействий" г. Дубна, ОИЯИ, 1117 июня 2001 г.; "11-я международная конференция по теоретическим и экспериментальным проблемам общей теории относительности и гравитации", г. Томск, 1-7 июля 2002 г; "Суперсимметрии и квантовые симметрии", г. Дубна, 24-29 июля 2003 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 печатных работах, перечисленных в заключительной части автореферата. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы. Диссертация изложена на 115 страницах и содержит список литературы из 105 наименований.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертации и сформулированы цели работы, сделан краткий обзор по проблематике выбранного направления, приведены структура и содержание диссертации.

В первой главе собраны обзорные сведения, касающиеся метода Я = 2 гармонического суперпространства и формулировки моделей суперполей материи и калибровочных полей в рамках этого метода. Эти сведения используются в последующих главах для проведения квантовых вычислений в теориях, сформулированных в гармоническом суперпространстве.

В разделе 1.1 вводится понятие гармонического суперпространства, как Я — 2 суперпространства, дополненного гармоническими переменными, которые являются координатами на фактор-пространстве SÍ/(2)/C/(l) ~ S2. Вводятся гармонические ковариантные производные в этом суперпространстве и правила интегрирования по гармоническим переменным. Рассматривается также понятие суперполя заданного на гармоническом суперпространстве.

В разделе 1.2 приводятся гармонические ¿-функции и гармонические распределения, которые будут необходимы в дальнейшем при формулировке классических действий и пропагаторов.

Далее, в разделе 1.3 вводится понятие аналитического подпространства, которое играет ключевую роль в методе гармонического суперпространства. Это подпространство параметризуется (помимо бозонных переменных) четырьмя фермионными координатами в, то время как полное суперпространство содержит 8 фермионных переменных. Такое аналитическое подпространство является инвариантным относительно преобразований суперсимметрии, и поэтому суперполя, заданные на нем реализуют неприводимые представления N = 2 супергруппы Пуанкаре.

В разделе 1.4 приведены классические свободные действия модели ги-пермультиплета Файе-Сониуса (д-гипермультиплета) и гипермультиплета Хау-Стелле-Таунсенда (ш-гипермультиплета) в гармоническом суперпространстве. Они имеют вид

= / 1+, (1)

= (2)

где мера на аналитическом суперпространсве, - аналитиче-

ские суперполя, - ковариантная гармоническая производная. Здесь же приводится вычисление свободных функций Грина для этих моделей, которые записываются следующим образом:

сГм = (3)

4°'0)(1|2) = -р^№+)4 - **)) ■ (4)

Ы1 \ и2 ) /

^пйГц 1 /(__. рат^лстийл 1гла полппогтлтгйима опйпйиила & ппот?1.тлхмтто»*

I I* ^ , > , »д X ! и<2 / 1 и^/шиии ^ и^Ци*/ 2 ии^^Ч/ИКУ/Ч^ и ¿^^УУ/^ЦЛЛ^! * »

разделе.

В разделе 1.5 приводится формулировка модели Н = 2 супер Янга-Миллса в гармоническом суперпространстве. Классическое действие N = 2 векторного мультиплета имеет вид

(5>

где У++ - калибровочное N = 2 суперполе. Отметим, что данное действие записывается в полном N = 2 гармоническом суперпространстве, в

отличии от действий гипермультиплетов (1,2), которые являются функционалами на аналитическом подпространстве. Здесь же показано, что взаимодействие векторного суперполя с д-гипермультигглетом описывается действием.

Обсуждается также вопрос о введении массы в теории гипермультиплета.

Во второй главе проводится вычисление низкоэнергетического эффективного действия для моделей гипермультиплетов во внешнем калибровочном суперполе, соответствующем различным калибровочным группам.

В разделе 2.1 приводится выражение для голоморфного эффективного действия в моделях д и аьгипермультиплетов во внешнем абелевом калибровочном суперполе:

Здесь Ш — суперполе N = 2 напряженности, которое выражается через векторное суперполе У++ по правилу Ш(г) = /(1иВ&П~аУ++(2,и).

В разделе 2.2 проводится обобщение действия (7) на случай, когда суперполя гипермультиплетов находятся в произвольном представлении любой полупростой калибровочной группы и взаимодействуют с калибровочным суперполем, принадлежащем подалгебре Картана калибровочной алгебры. Классические действия этих моделей имеют вид

где е/ - базисные векторы в пространстве представления, Г< - генераторы представления (соответствующие подалгебре Картана). Основная идея дальнейших вычислений состоит в выборе базисных векторов е\ так, чтобы они лежали в весовых подпространствах пространства представления. В этом случае оказывается, что классические действия (8,9) представляются в виде сумм по весам калибровочной алгебры от одномерных независимых классических действий. В результате, голоморфные эффективные действия для этих моделей записываются следующим образом:

(6)

Здесь

д+, у++] = I <*с(-4)<Э+(£>++ + (8)

д+ = д+е,, П = аде,, У++=

с.с.,

где напряженности Wi построены по весам калибровочной алгебры.

Далее, в разделах 2.3, 2.4, 2.5 выражение для эффективного действия (10) применяется для частных случаев, когда рассматриваются калибровочные группы 5?7(п), 50(п), 5р(п) как в фундаментальном так и в присоединенном представлении. Все полученные результаты можно представить в виде следующей таблицы

группа представление голоморфный потенциал ТЧ1ы

БЩп) фундаментальное »=1

БЩп) присоединенное

50(2п) Фунд.

50(2п) присоед.

50(2п +1) Фунд. »=1

50(2п +1) присоед. + ¿(V ><> V, + \¥>)21п + £ ЦТ? 1п Щ .

5р(п) Фунд. *=1

5р(п) присоед. п + 1 •<3

Отметим, что калибровочные группы 50(2п) и вО(2п + 1) рассматриваются отдельно, поскольку они принадлежат разным классам согласно классификации полупростых групп по методу схем Дынкина. Голоморфные потенциалы для различных групп отличаются как значением коэффициента, стоящего перед суммой, так и структурой членов под знаком суммы, что объясняется различием в строении подалгебры Картана рассматриваемых алгебр.

Результаты данной главы опубликованы в работах [1-3].

В третьей главе рассматриваются квантовые аспекты некоммутативных N = 2 суперсимметричных теорий в гармоническом суперпространстве.

В разделе 3.1 дается краткий обзор о введении некоммутативной теории поля. Показывается, что, как правило, некоммутативные полевые модели

получаются из обычных моделей с помощью замены обычного умножения полей на так называемое ^-умножение, которое определяется следующей формулой:

(Фх *Ф2)(ж) = + + . (11)

I -I €=»7=0

Здесь 0М„ - параметры некоммутативности. Приводятся также свойства такого умножения, которое является ассоциативным, но некоммутативным.

В разделе 3.2 вводятся классические действия для моделей некоммутативного гипермультиплета и векторного суперполя в гармоническом суперпространстве. Эти действия получаются заменой обычного умножения суперполей на *-умножение в соответствующих суперполевых действиях коммутативных теорий. В частности, классическое действие д-гипермуль-типлета со взаимодействием четвертой степени имеет вид

где а,/3 - константы связи. Важно отметить, что у теории некоммутативного д-гипермультиплета (12) имеются две константы связи в отличи от теории обычного гипермультиплета благодаря различному способу упорядочения полей относительно операции *-умножения. В коммутативном пределе (©,,„ -> 0) две константы связи а, /3 сводятся к одной, как должно быть в теории ^-гипермультиплета.

Классическое действие N = 2 векторного мультиплета определяется выражением

5[Г++] = У (Iй г £ у*,!... <1ипх

„ У++(г, щ) * У++(г~и2) *...* У++(г, ип) ...

Действие (13) инвариантно относительно некоммутативных калибровочных преобразований

6У++ = -Л++А - г[У++, А]*, (14)

где А - аналитическое калибровочное суперполе, в коммутаторе подразумевается *-умножение суперполей.

При введении взаимодействия д-гипермультиплета с калибровочным суперполей возможны два способа упорядочения суперполей и соответственно возникают две константы связи:

вш = »I ¿С(~4) И+ * У++ * + 0<г+ * У++ * $+]. (15)

(13)

I

Для всех введенных в данном разделе теорий получены правила Фейн-мана, то есть вычислены вершины взаимодействий в импульсном пространстве (пропагаторы в некоммутативных теориях имеют такой же вид как и в соответствующих коммутативных моделях, поскольку введение некоммутативности не изменяет вид квадратичного действия).

В разделе 3.2 вычислены простейшие квантовые диаграммы Фейнмана для рассматриваемых некоммутативных теорий в гармоническом супер-пространсте. Типичным примером является двухточечная однопетлевая диаграмма модели некоммутативного д-гипермультиплета взаимодействующего с калибровочным суперполем

r-(p) гм

(16)

где

Показано, что вклад в эффективное действие от данной диаграммы может быть записан в виде

= / + Г*(р)), (17)

J (2*Т (ЩЩ)

/Ми

/»*<,) = laß [(19)

J (к2 + т2)((р - к)2 + тп2)

Интеграл по импульсам (18) (который называют планарным) имеет такой же вид, как и в соответствующей коммутативной теории, а интеграл (19) (который называют непланарным) содержит осциллирующий фактор cos(pQk), который изменяет ультрафиолетовое поведение интеграла. При малых импульсах справедлива аппроксимация

I»Pi~2aß , (20)

т^рор

следовательно непланарная часть диаграммы (16) имеет следующую структуру (в низкоэнергетическом приближении)

f i » * 4 V++(p,6,U)y++(-p,0,u)

r„pi[y++] = ^ß f ¿ptfOduMn^— (2ir)8 J m?pop

(«М)а

(21)

где ро р — В результате, в непланарной части данной диа-

граммы ультрафиолетовая расходимость выглядит как инфракрасная особенность интеграла по импульсам. Это свойство, характерное для многих

некоммутативных полевых теорий, принято называть эффектом иV/ГО,-смешивания. Наличие эффекта 1Л//Щ-смешивания отмечено также в теории некоммутативного (^-гипермультиплета со взаимодействием четвертого порядка и в модели некоммутативного N = 2 калибровочного суперполя.

В разделе 3.4 исследована структура низкоэнергетического эффективного действия модели некоммутативного д-гипермультиплета во внешнем калибровочном суперполе соответствующего абелевой и неабелевой калибровочной группе. В случае абелевой калибровочной группы обнаружено, что эффективное действие состоит из двух слагаемых (в низкоэнергетическом приближении): одно слагаемое имеет вид (21), а другое совпадает со стандартным голоморфным потенциалом в модели коммутативного ц~ гипермультиплета (7). Для неабелевой калибровочной группы II (п) показано, что низкоэнергетическое эффективное действие также представляется в виде суммы двух слагаемых, причем одно слагаемое отвечает за эффект иУ/Ш-смешивания, а другое соответствует голоморфному потенциалу в модели коммутативного гипермультиплета во внешнем суперполе калибровочной группы 51/(п), который был вычислен в предыдущей главе.

Результаты данной главы опубликованы в работах [4-6].

В четвертой главе исследуется структура низкоэнергетического эффективного действия в N = 3 суперкалибровочной модели, сформулированной в Л/" = 3 гармоническом суперпространстве.

В разделе 4.1 проводится краткий обзор базовых конструкций N = 3 гармонического суперпространства и приводится суперполевое выражение для классического действия данной теории.

В разделе 4.2 производится построение низкоэнергетического эффективного действия в Л/" = 3 суперкалибровочной теории, отвечающего требованиям суперсимметричной, калибровочной и масштабной инвариантности. Это действие получается в результате масштабно-инвариантного обобщения суперполевого действия, отвечающего члену четвертого порядка в действии Борна-Инфельда. Действие четвертого порядка записывается в аналитическом подпространстве и имеет вид

= (22)

где к - некоторая константа размерности —4. Для масштабно инвариантного обобщения действия (22) необходимо заменить константу к суперполевым выражением такой же размерности. Для этой цели можно использовать следующую комбинацию суперполей напряженности

= Ш12\¥12 + + (23)

которая среди низших компонент содержит квадрат скалярных полей

= Ф%. (24)

В результате, переписывая действие (22) в полном суперпространстве и вставляя под интегралом суперполе (23) в подходящей степени, получаем

действие

= а I (25)

Действие (25) является явно суперсимметричным, калибровочно и масштабно инвариантными выражением вне массовой оболочки. Поэтому оно может рассматриваться как низкоэнергетическое эффективное действие в N = 3 суперкалибровочной теории. Константа а является произвольной и не фиксируется на основе свойств симметрии.

В разделе 4.3 исследована компонентная структура эффективного действия (25) и показано, что в бозонном секторе оно содержит слагаемое вида

(2б)

где РаР, РаР - напряженности электромагнитного поля, ф{, ф' - скалярные поля, «о = Ца. Выражение (26) является ведущим членом в низкоэнергетическом эффективном действии Я = 4 теории суперполя Янга-Миллса, что подтверждает предположение о связи этих теорий не только на классическом, но и на квантовом уровнях.

В разделе 4.4 вычислены суперполевые уравнения движения, которые получаются при варьировании эффективного действия (25) по полям пре-потенциалов.

В разделе 4.5 найдены симметрии эффективного действия (25). Показано, что оно является инвариантным относительно подгруппы N = 3 суперконформной группы, включающей в себя N = 3 супергруппу Пуанкаре, дилатицию, 75-преобразования и группу 5[/(3) автоморфизмов. При этом симметрии относительно специальных конформных бустов и дополнительных суперконформных суперсимметрий оказываются нарушенными в силу того, что эффективное действие (25) имеет смысл только в кулоновой фазе теории, когда скаляры приобретают отличные от нуля вакуумные средние.

Основные результаты данной главы представлены в работе [7].

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации и выносимые на защиту.

В приложении приведены формулы для Л/* = 3 суперконформных преобразований в гармоническом суперпространстве.

Основные результаты работы

1. Вычислено низкоэнергетическое (голоморфное) эффективное действие гипермультиплета взаимодействующего с векторным суперполем для случая, когда гипермультиплет находится в произвольном представлении любой полупростой калибровочной группы, а векторное суперполе лежит в подалгебре Картана соответствующей калибровочной алгебры. Показано, что голоморфное эффективное действие записывается в виде суммы

по корням (весам) калибровочной алгебры от слагаемых, каждое из которых является голоморфным эффективным действием абелева гипермуль-типлета, взаимодействующего с векторным суперполем, лежащем в одномерном корневом (весовом) подпространстве калибровочной алгебры. Найдены голоморфные эффективные действия для моделей гипермультипле-тов в фундаментальном и присоединенном представлении калибровочных групп вЩп), 50(п), 5р(2п).

2. Построены модели некоммутативного гипермультиплета и некоммутативного Л/" = 2 векторного суперполя в гармоническом суперпространстве. Получены правила Фейнмана для этих моделей и вычислены простейшие однопетлевые диаграммы Фейнмана. Каждая из таких диаграмм состоит из двух частей, которые называют "планарной" и "непланарной". Для планарных вкладов этих диаграмм характерно, что они имеют такой же вид, как и диаграммы в соответствующих коммутативных теориях. В непланарных частях проявляется эффект иУ/Ш-смешивания, который заключается в том, что ультрафиолетовые расходимости переходят в инфракрасные особенности импульсных интегралов.

3. Исследована структура голоморфного эффективного действия модели некоммутативного гипермультиплета во внешнем векторном суперполе для случае абелевой и неабелевой калибровочной группы. Показано, что для калибровочной группы {/(1) низкоэнергетическое эффективное действие гипермультиплета состоит из двух слагаемых, одно из которых отвечает за эффект иУ/Ш-смешивание, а второе является стандартным голоморфным эффективным действием абелева гипермультиплета (это справедливо в низкоэнергетическом приближении, когда мы пренебрегаем всеми производными суперполей). Для случая неабелевой калибровочной группы и(п) показано, что низкоэнергетическое эффективное действие также состоит из двух слагаемых, соответствующие и(1) и 5Е/(п) подгруппам. Часть эффективного действия, соответствующая [/(1) подгруппе отвечает за иУДИ-смешивание, а в 5?7(п) слагаемом эффекта иУ/Ш-смешивания не наблюдается и ведущие вклады в эффективное действие соответствуют голоморфному потенциалу для коммутативного гипермультиплета во внешнем калибровочном суперполе группы 311(п).

4. Найден наиболее общий вид низкоэнергетического эффективного действия в Я = 3 суперсимметричной модели Янга-Миллса, сформулированной в Я = 3 гармоническом суперпространстве. Данное эффективное действие получено на основе анализа требований масштабной и II-инвариантности, которые являются следствием того, что данная модель является суперконформной теорией поля. Исследована компонентная структура такого эффективного действия и показано, что в компонентном составе всегда присутствует слагаемое вида / d4xF4/04, которое является ведущим в низкоэнергетическом приближении. Получены эффективные уравнения движения, генерируемые низкоэнергетическим эффективным действием.

5. Получено представление N = 3 суперконформной алгебры на суперполях в Я = 3 гармоническом суперпространстве. Рассмотрено преобразо-

вание предложенного эффективного действия J\i = 3 суперкалибровочной модели относительно N = 3 суперконформной группы. Установлено, что данное эффективное действие остается инвариантным только относительно подгруппы N — 3 суперконформной группы, образованной преобразованиями дилатации, 75-симметрии и SU(3) подгруппы автоморфизмов, а преобразования специальных конформных бустов и дополнительных суперконформных суперсимметрий нарушают инвариантность данного эффективного действия. Это обусловливается тем, что данное эффективное действие существует только в кулоновой фазе теории, когда суперконформная группа нарушается за счет нетривиальных вакуумных средних значений скалярных полей.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1. Buchbinder I.L., Samsonov I.B. On Holomorphic Effective Actions of Hy-permultiplets Coupled to External Gauge Superfields // Mod. Phys. Lett. A.- 1999.- V. 14.- N 36,- P. 2537-2544.

2. Бухбиндер И.Л., Самсонов И.Б. О голоморфном эффективном действии в Л/" = 2 D=4 суперкалибровочных теориях с различными калибровочными группами // Теор. Мат. Физ.- 2000.- Т. 122.- N 3.- С. 444-455.

3. Samsonov I.B. Low Energy Effective Action of Hypermultiplet in Arbitrary Representation of Any Gauge Group // XXIII International Colloquium on Group Theoretical Methods in Physics: Proceedings of International Conference, Dubna July 31-August 5, 2000. Eds A.N. Sissakian, G.S. Pogosyan and L.G. Mardoyan.- JINR, Dubna, 2002. V 1. P. 171-175.

4. Buchbinder I.L., Samsonov I.B. Noncommutative Я = 2 Supersymmetric Theories in Harmonic Superspace // Gravitation and Cosmology.- 2002.-V. 8.- N 1-2 (29/30).- P. 17-30.

5. Samsonov I.B. On Low-Energy Effective Action of Noncommutative Hypermultiplet Model // Mod. Phys. Lett. A.- 2001.- V. 16.- N. 40.- P. 2591-2603.

6. Samsonov I.B. Quantum Aspects of Noncommutative M = 2 Theories in Harmonic Superspace //IX International Conference on Supersymmetry and Unification of Fundamental Interactions: Proceedings of International Conference, Dubna, 11-17 June 2001. Eds D.I. Kazakov, A.V. Gladyshev.-World Scientific, Singapore, 2002. P. 388-390.

7. Samsonov I.B. On Superconformal Invariance of jV = 3 Super-Yang-Mills Model // Gravitation and Cosmology.- 2003.- V. 9.- N 1 (33).- P. 87-90.

I

Отпечатано в ООО "Графика" 634050, г.Томск, ул.Беленца, 17, тел. 526-515 лиц. 12-0061 от 27.02.01 Тираж 100 экз. Заказ № 1280 от 02.09.03

Tff&L » 13 9 62

Введение

1 Метод гармонического суперпространства для N = 2 суперсимметричных моделей

1.1 Гармоническое суперпространство.

1.2 Гармонические ^-функции и гармонические распределения

1.3 Аналитическое подпространство, аналитические суперполя

1.4 Безмассовые гипермультиплеты

1.5 Формулировка модели N = 2 супер Янга-Миллса в гармоническом суперпространстве.

2 Низкоэнергетическое эффективное действие модели гипер-мультиплета в во внешнем калибровочном суперполе

2.1 Голоморфное эффективное действие в моделях q- и ш-гипер-мультиплетов во внешнем калибровочном суперполе группы

U( 1).

2.2 Голоморфное эффективное действие в моделях q- и си-гипер-мультиплетов во внешнем калибровочном суперполе произвольной калибровочной группы.

2.3 Голоморфные эффективные потенциалы гипермультиплетов с калибровочной группой SU(п)

2.4 Голоморфные эффективные потенциалы для калибровочной группы SO{n).

2.5 Sp(n) калибровочная группа

3 N = 2 Суперсимметричные теории и некоммутативная геометрия

3.1 Введение некоммутативного умножения в теории поля

3.2 Формулировка классических действий некоммутативных N =

2 суперсимметричных моделей.

3.2.1 Некоммутативный д-гипермультиплет.

3.2.2 Некоммутативный векторный мультиплет

3.2.3 Взаимодействие гипермультиплета с векторным суперполем

3.3 Примеры квантовых вычислений в некоммутативных N = 2 суперсимметричных моделях в гармоническом суперпространстве

3.3.1 Модель некоммутативного ^-гипермультиплета

3.3.2 Векторное суперполе.

3.3.3 Гипермультиплет во внешнем калибровочном суперполе

3.4 Голоморфное эффективное действие некоммутативного д-ги-пермультиплета во внешнем калибровочном суперполе

3.4.1 Абелев гипермультиплет.

3.4.2 Неабелев гипермультиплет

4 Низкоэнергетическое эффективное действие в JV = 3 суперкалибровочной теории

4.1 Формулировка теории N = 3 супер Янга-Миллса в гармоническом суперпространстве.

4.2 Масштабно-инвариантный N = 3 суперсимметричный эффективный функционал.

4.3 Компонентная структура эффективного действия.

4.4 Эффективные уравнения движения.

4.5 Симметрии эффективного действия.

Суперсимметрия - это специфическая симметрия полевых теорий, которая переводит бозонные и фермионные поля друг в друга, делая их равноправными для описания с точки зрения суперсимметричных действий (см., например, [1]-[4]). В этом смысле использование принципов суперсимметрии позволяет достичь единого описания как бозонных так и фермионных систем. Поэтому очевидно, что суперсимметрия должна рассматриваться как элемент любой теории, претендующей на роль объединенной теории фундаментальных взаимодействий.

Современное изучение суперсимметричных полевых теорий главным образом стимулируется достижениями в теории суперструн. В низкоэнергетическом'пределе эффективное действие струнной теории воспроизводит классическое действие теории супергравитации, которое обычно записывается в 10 или 11-мерном пространстве (см.,например, [5, 6]). Очевидно, что с помощью компактификации шести измерений можно из 10-мерной теории получить различные четырехмерные полевые теории. Оказывается, все суперсимметричные полевые теории воспроизводятся естественным образом в результате такой процедуры из моделей супергравитации при подходящем способе компактификации (о связи теории струн и супергравитации с суперсимметричными полевыми моделями см., например, книги [5, 6], а также обзоры [7, 8, 9]).

Наиболее хорошо изученным примером такой взаимосвязи между теорией суперструн и суперсимметричными полевыми теориями является так называемое AdS/CFT-соответствие [10, 11], согласно которому устанавливается связь между теорией IIB суперструны, компактифицированной на пространство AdS$ х где AdS$ - пятимерное пространство анти Де-ситтера и S5 - пятимерная сфера, и N = 4 суперсимметричной теорией поля (обзоры по теме AdS/CFT-соответствия даны, например, в работах [8, 9]). В частности, в рамках этого соответствия было обнаружено, что потенциал взаимодействия D3-6paH (протяженных объектов, являющихся решениями классических уравнений IIB-супергравитации), описываемый действием Борна-Инфельда [12], совпадает с низкоэнергетическим эффективным действием в N — 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса с калибровочной группой SU(n) (для больших п), спонтанно нарушенной до максимальной абелевой подгруппы [16, 17,18, 47]. Таким образом, нахождение низкоэнергетического эффективного действия в N — 4 суперкалибровочной модели оказалось очень важным для изучения взаимосвязи между квантовой теорией поля и теорией струн и стало существенным шагом в понимании этих теорий.

В настоящее время активно изучаются и другие подходы (см.,. например, [9, 19]), в которых эффективные действия в теориях с N = 2,1,0 t суперсимметрией могут быть редуцированы из теории суперструн (однако такие примеры менее тривиальны). В этой связи получение точных ответов для низкоэнергетических эффективных действий в суперсимметричных полевых теориях является очень актуальной проблемой, поскольку каждый точный результат в теории поля является новым основанием для проверки теории струн.

Проблема построения квантовой теории и в частности нахождения эффективного действия для суперсимметричных моделей является одной из основных задач в этой области. По определению, эффективное действие является производящим функционалом для одночастично-неприводимых связных диаграмм Фейнмана (см.,например, [3]), оно содержит практически полную информацию о квантовой структуре теории. Часто оказывается, что суперсимметрия способствует нахождению точных ответов для эффективного действия, так как она является дополнительной симметрией теории, которая не должна разрушаться и при квантовании, а любая дополнительная симметрия лишь ограничивает возможную структуру эффективного действия. Другими словами, требование суперсимметричной инвариантности сильно ограничивает возможный вид функционала низкоэнергетического действия, а в некоторых случаях даже позволяет получить его точно. Например известно, что требование суперсимметрии в сочетании с требованием масштабной инвариантности позволяет получить низкоэнергетическое эффективное действия в модели Л/* = 4 супер Янга-Миллса с точностью до произвольного числового коэффициента [16]. Для модели N — 2 супер Янга-Миллса голоморфное эффективное действие может быть найдено точно на основе анализа свойств суперсимметрии и дуальности этой теории, причем с учетом как пертурбативных так и неперту рба-тивных вкладов. Этот результат был впервые получен в известных работах Сайберга и Виттена [22] и стал крупным достижением в области расширенных суперсимметричных теорий, поскольку он показывает на сколько ) может быть продуктивным использование свойства суперсимметрии (о теории Сайберга-Виттена см., например, обзоры [23, 24, 25]).

В ряде случаев для описания суперсимметирчных теорий удобно использовать суперполевую формулировку [1, 2, 3]. Любая суперсимметричная теория обязательно содержит не одно физическое поле, а целый набор (мультиплет) полей, как бозонной так и фермионной статистики, которые связаны между собой преобразованиями суперсимметрии. В рамках суперполевой формулировки такой мультиплет полей объединяется в одно суперполе, которое имеет тензорный закон преобразования относительно суперсимметрии (точнее супергруппы Пуанкаре). При этом действия суперсимметричных моделей могут быть записаны в виде функционалов от этих суперполей в соответствующих суперпространствах. Важно отметить, что суперполевая формулировка дает существенное преимущество при пер-турбативном суперполевом квантовании суперсимметричных теорий. Например, вычисление одной суперполевой фейнмановской диаграммы может соответствовать целому набору диаграмм для компонентных полей, что успешно применяется для изучения структуры расходимостей и перенормировки таких теорий, для доказательства теорем о неперенормируемости и вычисления вкладов в эффективное действие. В частности, в теориях с Л/* = 1 суперсимметрией методы пертурбативного квантования и структура эффективного действия в настоящий момент изучены достаточно хорошо (см., например, монографии [1, 3]). Изучение пертурбативных аспектов моделей с расширенной суперсимметрией возможно либо на основе N = 1 суперполевого подхода, либо с использованием метода гармонического суперпространства, который обеспечивает явную суперполевую формулировку для моделей cAf=2nJ\f = 3 суперсимметрией. Остановимся на идее данного метода более подробно, поскольку настоящая работа существенно основывается на его использовании.

Метод гармонического суперпространства был впервые введен в основополагающих работах [26, 27, 28, 29, 30] для построения явной суперполевой формулировки N = 2 и Л/* = 3 суперсимметричных моделей. К необходимости использования этого метода приводят следующие обстоятельства. Расширенное суперпространство снабжено, помимо бозонных координат хм на пространстве Минковского, также и антикоммутирующими (грассмано-выми) переменными вга,в^, где индекс г принимает значения от 1 до ЛЛ Если теперь рассмотреть произвольное суперполе на таком суперпространстве и изучить его компонентный состав, то можно увидеть (см., например, [2]), что такое суперполе будет содержать избыточное число компонентных полей помимо минимально необходимого набора, соответствующего неприводимому представлению суперсимметрии. Поэтому такие суперполя всегда будут реализовывать приводимые представления суперсимметрии и, чтобы их можно было использовать для построения действий, необходимо накладывать на такие поля суперполевые связи, уничтожающие лишние компонентные поля (см. работы [38, 39, 40], или монографию [2]).

Квантование таких теорий сталкивается с известными трудностями. Метод гармонического суперпространства предлагает эффективное разрешение этих связей таким образом, что все действия формулируются в терминах несвязанных (не подчиненных связям) суперполей с сохранением явной суперсимметрии. Гармоническое суперпространство получается из обычного суперпространства добавлением вспомогательных "гармонических" переменных, которые принадлежат фактор-пространству вида SU(2)/U( 1) для N = 2 суперсимметрии или SU(3)/U(1) х U( 1) для случая N = 3 (см., например, монографию [44]). Затем в таком расширенном суперпространстве выделяется инвариантное относительно суперсимметрии подпространство с меньшим числом грассмановых переменных, которые обычно называют "аналитическим" подпространством. В результате, суперполя на таком суперпространстве обладают явной суперсимметрией, но содержат меньшее число компонентных полей, что позволяет эффективно разрешить упомянутые выше суперполевые связи. Данная процедура аналогична рассмотрению киральных подпространств, играющих ключевую роль в N = 1 суперсимметричных теориях. Это позволяет развить методы суперполевого пертурбативного квантования [27, 28], сохраняющие явную суперсимметрию на всех этапах вычислений. В частности, на основе гармонического суперпространства для N = 2 суперсимметричных моделей гипермуль-типлета и векторного суперполя был построен метод фонового поля [45], который затем успешно применялся для изучения различных вкладов в низкоэнергетическое эффективное действие N = 2,4 суперкалибровочных теорий [46, 47] и для доказательства теоремы о неперенормируемости [48]. Техника пертурбативных вычислений в гармоническом суперпространстве была также успешно применена для суперполевого вывода голоморфного потенциала модели гипермультиплета [49, 50] и Af = 2 векторного мультиI плета [54], который был впервые получен Сайбергом [64] путем интегрирования С/(1)д-анамалии (о Л/* = 2 суперполевом вычислении голоморфного потенциалу в теории гипермультиплета и неголоморфного эффективного действия в теории N = 4 супер Янга-Миллса см., например, обзорную статью [53]).

Отметим еще одно важное направление в изучении суперсимметричных полевых теорий, которое получило активное развитие в последнее время. Это направление связано с введением некоммутативной геометрии в теории поля и изучением квантовых свойств некоммутативных полевых теорий. Идея заключается в том, чтобы при первичном квантовании (до построения классического полевого действия) подчинить пространственные координаты хм нетривиальным коммутационным соотношениям в аналогии с тем, как координаты и импульсы в квантовой механике имеют нетривиальные перестановочные соотношения (в качестве обзоров по этому вопросу см. работы [68, 69]). Для полевых теорий это эффективно приводит к тому, что обычное умножение полей необходимо заменить на так называемое i

-умножение, которое является ассоциативным, но некоммутативным [70]. Мотивацией к рассмотрению таких теорий является предположение, что на очень малых расстояниях возможно нарушение свойств пространственно-временных координат, которое можно учесть с помощью введения нетривиальных коммутационных соотношений операторов координат в квантовой механике. Основанием для такой гипотезы является наблюдение, что при подобной деформации пространственных переменных на малых масштабах можно частично решить проблему расходящихся импульсных интегралов, возникающих в квантовой теории поля, поскольку на малых масштабах (или, что тоже самое, при больших импульсах), некоммутативность начинает играть существенную роль и может являться эффективным регуля-ризатором расходящихся квантовых диаграмм (см., например, обзорную работу [71]). Следует отметить, что в последние годы эта идея получила некоторое новое развитие, связанное с тем, что было осознано, что некоммутативные полевые теории получаются естественным образом в низкоэнергетическом пределе теории струн, рассмотренной на фоне постоянного .В-поля 1 [72, 73]. Особый интерес с этой точки зрения представляют суперсимметричные полевые модели, поскольку именно они имеют тесную связь со струнными теориями и оказывается возможным сравнить результаты квантовых вычислений в таких моделях с соответствующими результатами в теории струн. Однако, изучение квантовых свойств некоммутативных полевых теорий актуально также с чисто полевой точки зрения, поскольку такие модели являются примером нелокальных теорий, в которых сохраняется причинность и унитарность и поэтому для них можно строить квантовую теорию обычными методами квантовой теории поля. В частности, методы пертурбативного квантования и некоторые квантовые вычисления для моделей скалярного и векторного поля были впервые проведены в работах [75]-[81], квантование N = 1 суперсимметричных моделей скалярного и векторного мультиплета было произведено в работах [82]-[85], N = 2 t суперсимметричные модели обсуждались в [8б]-[90], и N = 4 суперсимметричная теория Янга-Миллса интенсивно изучалась в [91]-[94]. В качестве обзора на эту тему см. статью [71]. Основные итоги изучения некоммутативных теорий можно сформулировать следующим образом. Благодаря введению некоммутативности часть квантовых ультрафиолетовых рас-ходимостей изменяет "свое поведение некоторым специфическим образом так, что они выглядят как инфракрасные особенности у импульсных интегралов. Этот эффект получил название UV/IR-смешивания [75] и был обнаружен практически во всех некоммутативных полевых теориях, обладающих ультрафиолетовыми квантовыми расходимостями. Таким образом, первоначальная гипотеза о том, что введение некоммутативности в теории поля может быть связано с регуляризацией расходящихся импульсных интегралов частично оправдалась, но было также осознано, что эта проблема не может быть полностью решена на таком пути. Для теорий

1В-поле - это антисимметричный тензор второго ранга, известный как 2-форма Невье-Шварца в теории супергравитации [5]. без квантовых расходимостей, например для Л/* = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса такого эффекта, естественно, не возникает. Поэтому конечные некоммутативные теории являются хорошим примером для изучения другой важной проблемы некоммутативных моделей - проблемы наблюдаемых и сохранения калибровочной инвариантности в калибровочных теориях. Этот вопрос интенсивно изучался в работах [92, 94], где было показано, что эта проблема имеет решение в терминах некоммутативных петель Вильсона и тесно связана с преобразованием Сайберга-Виттена для некоммутативных теорий [73].

Данная диссертация посвящена изучению следующих задач, которые связаны с описанными выше проблемами в суперсимметричной теории поля и которые могут быть разрешены с использованием метода гармонического суперпространства:

1. Нахождение эффективного действия в модели гипермультиплета, взаимодействующего с калибровочным векторным суперполем для случая, когда гипермультиплет принадлежит произвольному представлению калибровочной группы, а векторное суперполе лежит в подалгебре Картана калибровочной алгебры.

2. Разработка методов пертурбативного суперполевого квантования на основе подхода гармонического суперпространства для некоммутативных N = 2 суперсимметричных моделей гипермультиплета и век

1 торного мультиплета. Вычисление низкоэнергетического эффективного действия модели некоммутативного гипермультиплета, взаимодействующего с векторным мультиплетом, для случая калибровочных групп U(l) и и(п).

3. Исследование структуры эффективного действия в модели N = 3 су-. персимметричной теории Янга-Миллса и нахождение симметрий этого действия.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы. В первой главе дан подробный обзор метода гармонического суперпространства, поскольку этот подход лежит в основе пертурбативных вычислений, проводимых в модели гипермультиплета в двух последующих главах. Здесь вводится понятие гармонического суперпространства и рассматриваются гармонические распределения на нем. Затем приводится формулировка моделей гипермультиплетов и векторного суперполя в гармоническом суперпространстве и записываются правила Фейнмана для этих моделей.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [101]-[105].

В заключении я считаю своим приятным долгом выразить глубокую благодарность научным руководителям доктору физико-математических наук, профессору И.Л. Бухбиндеру и доктору физико-математических наук Б.М. .Зупнику за руководство работой, многочисленные обсуждения, всестороннюю помощь в работе и сотрудничество. Я также признателен доктору физико-математических наук Е.А. Иванову за стимулирующие обсуждения и сотрудничество.

Заключение

В настоящей диссертации получены следующие основные результаты.

1. Вычислено низкоэнергетическое (голоморфное) эффективное действие гипермультиплета взаимодействующего с векторным суперполем для случая, когда гипермультиплет находится в произвольном представлении любой полупростой калибровочной группы, а векторное суперполе лежит в подалгебре Картана соответствующей калибровочной алгебры. Показано, что голоморфное эффективное действие записывается в виде суммы по корням (весам) калибровочной алгебры от слагаемых, каждое из которых является голоморфным эффективным действием абелева гипермультиплета, взаимодействующего с векторным суперполем, лежащем в одномерном корневом (весовом) подпространстве калибровочной алгебры. Найдены голоморфные эффективные действия для моделей гипермультипле-тов в фундаментальном и присоединенном представлении калибровочных групп SU(n), SO(n), Sp(2n).

2. Построены модели некоммутативного гипермультиплета и некоммутативного N = 2 векторного суперполя в гармоническом суперпространстве. Получены правила Фейнмана для этих моделей и вычислены простейшие однопетлевые диаграммы Фейнмана. Каждая из таких диаграмм состоит из двух частей, которые называют "планарной" и "непланарной". Для пла-нарных вкладов этих диаграмм характерно, что они имеют такой же вид, как и диаграммы в соответствующих коммутативных теориях. В непланар-ных частях проявляется эффект UV/IR-смешивания, который заключается в том, что ультрафиолетовые расходимости переходят в инфракрасные особенности импульсных интегралов.

3. Исследована структура голоморфного эффективного действия модели некоммутативного гипермультиплета во внешнем векторном суперполе для случая абелевой и неабелевой калибровочной группы. Показано, что для калибровочной группы низкоэнергетическое эффективное действие гипермультиплета состоит из двух слагаемых, одно из которых отвечает за эффект UV/IR-смешивание, а второе является стандартным голоморфным эффективным действием абелева гипермультиплета (это справедливо в низкоэнергетическом приближении, когда мы пренебрегаем всеми производными суперполей). Для случая неабелевой калибровочной группы U(n) показано, что низкоэнергетическое эффективное действие также состоит из двух слагаемых, соответствующие С/( 1) и SU(п) подгруппам. Часть эффективного действия, соответствующая U( 1) подгруппе отвечает за UV/IR-смешивание, а в SU(n) слагаемом эффекта UV/IR-смешивания не наблюдается и ведущие вклады в эффективное действие соответствуют голоморфному потенциалу для коммутативного гипермультиплета во внешнем калибровочном суперполе группы SU(n).

4. Найден наиболее общий вид низкоэнергетического эффективного действия в Af = 3 суперсимметричной модели Янга-Миллса, сформулированной в Af = 3 гармоническом суперпространстве. Данное эффективное действие получено на основе анализа требований масштабной и R-инвариантности, которые являются следствием того, что данная модель является суперконформной теорией поля. Исследована компонентная структура такого эффективного действия и показано, что в компонентном составе всегда присутствует слагаемое вида f dAxFA/(j)A, которое является ведущим в низкоэнергетическом приближении. Получены эффективные уравнения движения, генерируемые низкоэнергетическим эффективным действием.

5. Получено представление Af — 3 суперконформной алгебры на суперполях в Af = 3 гармоническом суперпростр,анстве. Рассмотрено преобразование предложенного эффективного действия Af = 3 суперкалибровочной модели относительно Af = 3 суперконформной группы. Установлено, что данное эффективное действие остается инвариантным только относительно подгруппы М = 3 суперконформной группы, образованной преобразованиями дилатации, 75-симметрии и 5/7(3) подгруппы автоморфизмов, а преобразования специальных конформных бустов и дополнительных суперконформных суперсимметрий нарушают инвариантность данного эффективного действия. Это обусловливается тем, что данное эффективное действие существует только в кулоновой фазе теории, когда суперконформная группа нарушается за счет нетривиальных вакуумных средних значений скалярных полей.

1. Gates S.J., Grisaru M.T., Rocek M., Siegel W.- Superspace or One Thousand and One Lession in Supersymmetry.- Reading, Massachusets: Benjamin/Cummings, 1983.- 548 p.

2. Уэст П. Введение в суперсимметрию и супергравитацию.- М.: Мир, 1989,- 332 с.

3. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M. Ideas and Methods of Supersymmetry and Supergravity.- Bristol and Philadelphia: IOP Publishing, 1995.- 640 p.

4. Весс Ю., Беггер Дж. Суперсимметрия и супергравитация.- М.: Мир, 1986.- 184 с.

5. Грин М., Шварц Дж., Виттен Е. Теория суперструн.- Т. 1,2.- М.: Мир, 1991.

6. Каку М. Введение в теорию суперструн.- М.: Мир, 1999.- 624 с.

7. Taylor W. Lectures On D-Branes, Gauge Theory and M(atrices) // High Energy Physics and Cosmology: Summer School Lectures. Trieste 1997, 02 June 04 July.- P. 192-271; Preprint hep-th/9801182.

8. Petersen J.L. Introduction to the Maldacena Conjecture on AdS/CFT // Int. J. Mod. Phys. A.- 1999,- V. 14,- P. 3597-3672.

9. Maldaeena J. The Large N Limit of Superconformal Field Theories and Supergravity. // Adv. Theor. Math. Phys.- 1998,- V. 2,- P. 231-252.

10. Gubser S., Klebanov I., Polyakov A. // Gauge Theory Correlators from Non-Critical String Theory.- Phys. Lett. В.- 1998.- V. 428.- P. 105-114.

11. Tseytlin A.A. Born-Infeld Action, Supersymmetry and String Theory. -Yuri Golfand memorial volume, ed. M. Shifman.- World Scientific.- 2000.-P. 417-452.

12. Sohnius M., West P. Conformal Invariance in N = 4 Supersymmetric Yang-Mills Theory // Phys. Lett. В.- 1981,- V. 100.- P. 245-257.

13. Grisaru M., Siegel W. Supergraphity. 2. Manifestly Covariant Rules and Higher Loop Finiteness // Nucl. Phys. В.- 1982,- V. 201.- P. 292-301.

14. Howe P., Stelle K., Townsend P. Miraculous Ultraviolet Cancellations in Supersymmetry Made Manifest // Nucl. Phys. В.- 1984,- V. 236.- P. 125138.

15. Dine M., Seiberg N. Comments on Higher Derivative Operators in Some SUSY Field Theories // Phys. Lett. В.- 1997,- V. 409.- P. 239-244.

16. Chepelev I., Tseytlin A.A. Long Distance Interactions of Branes: Correspondence Between Supergravity and Super Yang-Mills Descriptions // Nucl. Phys. В.- 1998.- V. 515.- P. 73-113.

17. Gonzalez-Rey F., Kulik В., Park I.Y., Rocek M. Selfdual Effective Action of Я = 4 Super Yang-Mills // Nucl. Phys. В.- 1999,- V. 544,- P. 218-242.

18. Bilal A., Chu C-S. D3 Brane(s) in AdSb x S5 and N = 4,2,1 SYM // Nucl. Phys. В.- 1999.- V. 547.- P. 179-200.

19. Dorey N., Khoze V.V., Mattis M.P., Slater M.J., Weir W.A. Instantons, Higher Derivative Terms, and Nonrenormalization Theoremsin Supersymmetric Gauge Theories // Phys. Lett. В.- 1997,- V. 408.- P. 213-221.

20. Bellisai D., Fucito F., Matone M., Travaglini G. Nonholomorphic Terms in Я = 2 SUSY Wilsonian Actions and RG Equation // Phys. Rev. D.-1997.- V. 56.- P. 5218-5232.

21. Seiberg N., Witten E. Electric-Magnetic Duality, Monopole Condensation, and Confinement in N = 2 Supersymmetric Yang-Mills Theory // Nucl. Phys. В.- 1994,- V. 426,- P. 19-52.

22. Bilal A. Duality mM = 2 SUSY SU(2) Yang-Mills Theory: a Pedagogical Introduction to the Work of Seiberg and Witten.- Cargese 1996, Quantum fields and quantum space time.- 1996.- P. 21-43.

23. Ketov S.V. Solitons, Monopoles and Duality: from Sine-Gordon to Seiberg-Witten // Fortsch. Phys.- 1997,- V. 45.- P. 237-292.

24. Alvarez-Gaume L., Hassan S.F. Introduction to S Duality in J\f = 2 Supersymmetric Gauge Theories: a Pedagogical Review of the Work of Seiberg and Witten // Fortsch. Phys.- 1997,- V. 45.- P. 159-236.

25. Galperin A., Ivanov E., Kalitzin S., Ogievetsky V., Sokatchev E. Unconstrained M = 2 Matter, Yang-Mills and Supergravity Theories in Harmonic Superspace // Class. Quant. Grav.- 1984.- V. 1.- N 2,- P. 469498.

26. Galperin A., Ivanov E., Ogievetsky V., Sokatchev E. Harmonic Superspace: Green Functions // Class. Quant. Grav. 1985.- V. 2.- N 3.-P. 601-616.

27. Galperin A., Ivanov E., Ogievetsky V., Sokatchev E. Harmonic Superspace: Feynman Rules and Examples // Class. Quant. Grav. 1985.-V. 2,- N 3.- P. 617-630.

28. Galperin A., Ivanov E., Kalitzin S., Ogievetsky V., Sokatchev E. Af = 3 Supersymmetric Gauge Theory // Phys. Lett. В.- 1985.- V. 151. P. 215218.

29. Galperin A., Ivanov E., Kalitzin S., Ogievetsky V., Sokatchev E. Unconstrained Off-Shell Af = 3 Supersymmetric Yang-Mills Theory // Class. Quant. Grav.- 1985.- V. 2,- P. 155-171.

30. Гальперин А.С., Иванов E.A., Огиевецкий В.И. Суперпространства для Af — 3 суперсимметрии // Яд. Физ.- 1987.- Т. 46. Вып. 3(9).- С. 948-960.

31. Ferber A. Supertwistors and Conformal Supersymmetry // Nucl. Phys. В.- 1978.- V. 132,- P. 55-66.

32. Delduc F., McCabe J. The Quantization of Af = 3 Super-Yang-Mills off-shell in Harmonic Superspace // Class. Quant. Grav.- 1989.- V. 6.- P. 233-269.

33. Ivanov E.A., Zupnik B.M. Af = 3 Supersymmetric Born-Infeld Theory // Nucl. Phys. В.- 2001.- V. 618,- P. 3-20.

34. Zupnik B.M. The Action of the Supersymmetric Af = 2 Gauge Theory in Harmonic Superspace // Phys. Lett. В.- 1987.- V. 183.- P. 175-176.

35. Зупник Б.М. Решение связей суперкалибровочной теории в гармоническом SU(2)/U(1) суперпространстве. // Теор. Мат. Физ.- 1986.- Т. 69.- С. 207-213.

36. Зупник Б.М. Шестимерные суперкалибровочные теории в гармоническом суперпространстве. // Яд. Физ.- 1986.- Т. 44.- С. 794-802.

37. Grimm R., Sohnius М., Wess J. Extended Supersymmetry and Gauge Theories // Nucl. Phys. В.- 1978,- V. 133.- P. 275-291.

38. Breitejilohner P., Sohnius M.F. An Almost Simple Off-Shell Version of SU(2) Poincare Supergravity // Nucl. Phys. В.- 1981.- V. 178.- P. 151162.

39. Sohnius M.F. Bianchi Identities for Supersymmetric Gauge Theories // Nucl. Phys. В.- 1978.- V. 136,- P. 461-474.

40. Sohnius M.F. Superfields, Auxiliary Fields, and Tensor Calculus for N = 2 Extended Supergravity // Nucl. Phys. В.- 1980.- V. 165,- P. 483-495.

41. How P., Stelle K., Townsend P. The Relaxed Hypermultiplet: an Unconstrained M = 2 Superfield Theory // Nucl. Phys. В.- 1983,- V. 214.- P. 519-530.

42. Henningson M. Extended Superspace, Higher Derivatives and SL(2, Z) Duality // Nucl. Phys. В.- 1996,- V. 458,- P. 445-457.

43. Galperin A., Ivanov E., Ogievetsky V., Sokatchev E. Harmonic Superspace,- Cambridge University Press, 2001.- 294 p.

44. Buchbinder I.L., Buchbinder E.I., Kuzenko S.M., Ovrut B.A. The Background Field Method for N — 2 Super Yang-Mills Theories in Harmonic Superspace // Phys. Lett. В.- 1998.- V. 417,- N 1,2.- P. 6171.

45. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M. Comments on the Background Field Method in Harmonic Superspace: Nonholomorphic Corrections in Л/* = 4 SYM // Mod. Phys. Lett. A.- 1998,- V. 13,- P. 1623-1636.

46. Buchbinder E.I., Buchbinder I.L., Kuzenko S.M. Nonholomorphic Effective Potential in N = 4 SU(N) SYM // Phys. Lett. В.- 1999.- V. 446.- P. 216-223.

47. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M., Ovrut B.A. On the D=4, Я = 2 Nonrenormalization Theorem // Phys. Lett. В.- 1998.- V. 433.- P. 335345.

48. Buchbinder I.L., Buchbinder E.I., Ivanov E.A., Kuzenko S.M., Ovrut B.A. Effective Action of the Я = 2 Maxwell Multiplet in Harmonic Superspace // Phys. Lett. В.- 1997,- V. 412,- P. 309-319.

49. Buchbinder E.I., Buchbinder I.L., Ivanov E.A., Kuzenko S.M. Central Charge as the Origin of Holomorphic Effective Action in Я = 2 Gauge Theory // Mod. Phys. Lett. A.- 1998.- V. 13. P. 1071-1082.

50. Banin А.Т., Buchbinder I.L., Pletnev N.G. Low-Energy Effective Action of Я = 2 Gauge Multiplet Induced by Hypermultiplet Matter // Nucl. Phys. В.- 2001,- V. 598,- P 371-399.

51. Banin А.Т., Buchbinder I.L., Pletnev N.G. On Low-Energy Effective Action in Я = 2 Super Yang-Mills Theories on Nonabelian Background // Phys. Rev. D.- 2002.- V. 66,- P. 045021-045021.

52. Бухбиндер Е.И., Оврут Б.А., Бухбиндер И.JI., Иванов Е.А., Кузенко С.М. Низкоэнергетическое эффективное дейтсвие в Я = 2 суперсимметричных теориях поля // Физика элементанных частиц и атомного ядра,- 2001,- Т. 32,- Вып. 5.- С. 1222-1290.

53. Eremin S., Ivanov Е. Holomorphic Effective Action of Я = 2 SYM Theory from Harmonic Superspace with Central Charges // Mod. Phys. Lett. A.-2000.- V. 15. P. 1859-1878.

54. Ivanov E., Ketov S, Zupnik B. Induced Hypermultiplet Selfinteraction // Nucl. Phys. В.- 1997,- V. 509,- N 1,- P. 53-82.

55. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M. On the Off-Shell Massive Hypermultiplets // Class. Quant. Grav.- 1997,- V. 14,- N 2,- P. L157-L162.

56. Klemm A., Lerche W., Yankielowicz S., Theisen S. Simple Singularities and Af = 2 Supersymmetric Yang-Mills Theory // Phys. Lett. В.- 1995.-V. 344.- P. 169-175.

57. Klemm A., Lerche W., Theisen S. Nonperturbative Effective Actions of Af — 2 Supersymmetric Gauge Theories // Int. J. Mod. Phys. A.- 1996.-V. 11.- P. 1929-1974.

58. Argyres P.C., Ferrari A.E. The Vacuum Structure and Spectrum of Af = 2 Supersymmetric SU(N) Gauge Theory // Phys. Rev. Lett.- 1995,- V. 74.-P. 3931-3934.

59. Douglas M.R., Shenker S.H. Dynamics of SU(N) Supersymmetric Gauge Theory // Nucl. Phys. В.- 1995,- V. 447,- P. 271-296.

60. Danielsson U.H., Sundborg B. The Moduli Space and Monodromies of Af = 2 Supersymmetric SO{2R + 1) Yang-Mills Theory // Phys. Lett. В.- 1995.- V. 358.- P. 273-280.

61. Brandhuber A., Landsteiner K. On the Monodromies of Af = 2 Supersymmetric Yang-Mills Theory With Gauge Group SO(2N) // Phys. Lett. В.- 1995,- V. 358,- P. 73-80.

62. Hanany A. On the Quantum Moduli Space of Vacua Af = 2 Supersymmetric Gauge Theories // Nucl. Phys. В.- 1996.- V. 466.- P. 85-100.

63. Seiberg N. Supersymmetry and Nonperturbative Beta Functions // Phys. Lett. В.- 1988,- V. 206. P. 75-87.

64. Periwal V., von Unge R. Accelerating D-Branes // Phys. Lett. В.- 1998.-V. 430.- P. 71-76.

65. Gonzalez-Rey F., Rocek M. Nonholomorphic N = 2 Terms in J\f = 4 SYM: One Loop Calculation in N = 2 Superspace // Phys. Lett. B.-1998.- V. 434,- P. 303-311.

66. Gonzalez-Rey F., Kulik В., Park I.Y., Rocek M. Selfdual Effective Action of Я = 4 Superyang-Mills // Nucl. Phys. В.- 1999.- V. 544,- P. 218-242.

67. Connes A. A Short Survey of Noncommutative Geometry //J. Math. Phys.- 2000.- V. 41.- P. 3832-3866.

68. Landi G. An Introduction to Noncommutative Spaces and their Geometries.- Springer-Verlag, 1997.- 186 p.

69. Moyal J.E. Quantum Mechanics as a Statistical Theory // Proc. Cambridge Phil. Soc.- 1949.- V. 45.- P. 99-105.

70. Szabo R.J. Quantum Field Theory on Noncommutative Spaces // Phys. Rept.- 2003,- V. 378,- P. 207-299.

71. Douglas M.R., Hull C. D-branes and the Noncommutative Torus // JHEP.- 1998,- V. 9802,- P. 008-013.

72. Seiberg N., Witten E. String Theory and Noncommutative Geometry// JHEP.- 1999,- V. 9909,- P. 032-131.

73. Alvarez-Gaume L., Wadia S.R. Gauge Theory on a Quantum Phase Space // Phys. Lett. В.- 2001.- V. 501,- P. 319-325.

74. Minwalla S., Van Raamsdonk M., Seiberg N. Noncommutative Perturbative Dynamics // JHEP.- 2000,- V. 0002,- P. 020-032.

75. Van Raamsdonk M., Seiberg N. Comments on Noncommutative Perturbative Dynamics // JHEP.- V. 0003,- P. 035-055.

76. Aref'eva I.Ya., Belov D.M., Koshelev A.S. Two Loop Diagrams in Noncommutative ф\ Theory // Phys. Lett. В.- 2000.- V. 476. P. 431-436.

77. Aref'eva I.Ya., Belov D.M., Koshelev A.S. A Note on UV/IR for Noncommutative Complex Scalar Field.- Preprint hep-th/0001215.- 5 p.

78. Aref'eva I.Ya., Belov D.M., Koshelev A.S., Rytchkov O.A. UV/IR Mixing for Noncommutative Complex Scalar Field Theory. 2. (Interaction With Gauge Fields) // Nucl. Phys. Proc. Suppl.- 2001.- V. 102,- P. 11-17.

79. Aref'eva I.Ya., Belov D.M., Koshelev A.S., Rytchkov O.A. Renormalizability and UV/IR Mixing in Noncommutative Theories with Scalar Fields // Phys. Lett. В.- 2000.- V. 487.- P. 357-365.

80. Armoni A. Comments on Perturbative Dynamics of Non-Commutative Yang-Mills Theory // Nucl. Phys. В.- 2001.- V. 593,- P. 229-244.

81. Zanon D. Noncommutative Perturbation in Superspace // Phys. Lett. B.-2001,- V. 504. P. 101-108.

82. Zanon D. Noncommutative Я = 1, Я = 2 Super U(N) Yang-Mills: UV/IR Mixing and Effective Action Results at One Loop // Phys. Lett. В.- 2001,- V. 502,- P. 265-273.

83. Girotti И.О., Gomes M., Rivelles V.O., da Silva A.J. The Low-Energy Limit of the Noncommutative Wess-Zumino Model // JHEP.- 2002,- V. 0205,- P. 040-058.

84. Buchbinder I.L., Gomes M., Petrov A.Yu., Rivelles V.O. Superfield Effective Action in the Noncommutative Wess-Zumino Model // Phys. Lett. В.- 2001,- V. 517,- P. 191-202.

85. Bellisai D., Isidro J.M., Matone M. On the Structure of Noncommutative Я = 2 Super Yang-Mills Theory // JHEP.- 2000,- V. 0010.- P. 026-039.

86. Hollowood T.J., Khoze V.V., Travaglini G. Exact Results in Noncommutative Я = 2 Supeirsymmetric Gauge Theories // JHEP.-2001.- V. 0105.- P. 051-063.

87. Chu JC-S., Khoze V.V., Travaglini G. Dynamical Breaking of Supersymmetry in Noncommutative Gauge Theories // Phys. Lett. B.-2001,- V. 513. P. 200-206.

88. Khoze V.V., Travaglini G. Wilsonian Effective Action and the IR/UV Mixing in Noncommutative Gauge Theories // JHEP.- 2001.- V. 0101.-P. 026-041.

89. Ф 90. Armoni A., Minasian R., Theisen S. On Noncommutative Af = 2

90. Superyang-Mills // Phys. Lett. В.- 2001.- V. 513 .- P. 406-412.

91. Santambrogio A., Zanon D. One-Loop Four-Point function in Noncommutative Af = 4 Yang-Mills Theory // JHEP.- 2001.- V. 0101.-P. 024-038.

92. Pernici M., Santambrogio A., Zanon D. The One-Loop Effective Action of Noncommutative Af = 4 Super Yang-Mills Is Gauge Invariant // Phys.

93. Lett. В.- 2001.- V. 504,- P. 131-145.

94. Liu H., Michelson J. *-Trek: The One Loop Af = 4 Noncommutative SYM Action // Nucl. Phys. В.- 2001.- V. 614,- P. 279-304.

95. Liu H. *-Trek II: *n Operations, Open Wilson Lines and the Seiberg-Witten Map // Nucl. Phys. В.- 2001.- V. 614,- P. 305-329.

96. Seiberg N., Susskind L., Toumbas N. Space-Time Noncommutativity and » Causality // JHEP.- 2000,- V. 0006.- P. 044-058.

97. Gomis J., Mehen T. Space-Time Noncommutative Field Theories and Unitarity // Nucl. Phys. В.- 2000.- V. 591,- P. 265-276.

98. Ferrara S., Lledo M.A. Some Aspects of Deformations of Supersymmetric Field Theories // JHEP.- 2000,- V. 0005,- P. 008-020.

99. Klemm D., Penati S., Tamassia L. Non(anti)commutative superspace // ( Class. Quant. Grav.- 2003,- V. 20,- P. 2905-2916.

100. Наймарк М.А. Теория представлений групп.- М.: Наука, 1976.- 560 с.

101. Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения.-М.: Мир, 1980.- Т. 2,- 395 с.

102. Buchbinder I.L., Samsonov I.В. On Holomorphic Effective Actions of Hypermultiplets Coupled to External Gauge Superfields // Mod. Phys. Lett. A.- 1999.- V. 14,- N 36,- P. 2537-2544.

103. Бухбиндер И.Л., Самсонов И.Б. О голоморфном эффективном действии в J\f = 2 D==4 суперкалибровочных теориях с различными калибровочными группами // Теор. Мат. Физ.-2000.- Т. 122,- N 3.- С. 444-455.

104. Buchbinder I.L., Samsonov I.В. Noncommutative N = 2 Supersymmetric Theories in Harmonic Superspace // Gravitation and Cosmology.- 2002.-V. 8.- N 1-2 (29/30).- P. 17-30.

105. Samsonov I.B. On Low-Energy Effective Action of Noncommutative Hypermultiplet Model // Mod. Phys. Lett. A.- 2001,- V. 16,- N. 40.-P. 2591-2603.

106. Samsonov I.B. On Superconformal Invariance of N = 3 Super-Yang-Mills Model // Gravitation and Cosmology.- 2003,- V. 9.- N 1 (33).- P. 87-90.