Структура низкоэнергетического эффективного действия суперполевых теорий на неантикоммутативном суперпространстве тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

□030БТ038

На правах рукописи

Азоркина Олеся Демидовна

Структура низкоэнергетического эффективного действия суперполевых теорий на неантикоммутативном суперпространстве

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Томск 2006

003067038

Работа выполнена на кафедре теоретическом физики Томского государственного педагогического университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Бухбиндер Иосиф Львович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Галажинский Антон Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор Федосов Николай Иосифович

Ведущая организация: Объединенный Институт Ядерных

Исследований, Лаборатория теоретической физики им. Н.Н.Боголюбова (г. Дубна)

Защита состоится «__»января 2007г. в_часов на заседании диссертационного

совета К 212.266.01 при Томском государственном педагогическом университете по адресу: 634041, г.Томск, пр.Комсомольский, 75.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Томского государственного педагогического университета по адресу: 634041, г.Томск, пр.Комсомольский, 75.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета

Е.А. Румбешта

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации.

Одним из ведущих направлений развития современной теоретической физики высоких энергий является построение объединенной теории всех фундаментальных взаимодействий. В настоящее время в качестве основного кандидата на роль такой объединенной теории рассматривается теория суперструн, в основе которой лежит идея суперсимметрии и идея о том, что фундаментальные объекты природы представляют собой не точечные элементарные частицы, а элементарные одномерные протяженные объекты - струны.

В низкоэнергетическом пределе при компактификации высших измерений теория суперструн ведет к четырехмерным суперсимметричным полевым моделям, структура которых зависит от деталей компактификации и особенностей суперструнного вакуума. По этой причине, вытекающие из теории суперструн четырехмерные полевые теории могут обладать различными свойствами.

В 1999 году Зайберг и Виттен показали, что при н&чичии постоянного фонового антисимметричного тензорного поля теория суперструн ведет в низкоэнергетическом пределе к четырехмерным полевым теориям в пространстве с некоммутирующими пространственно - временными координатами. В 2003 году Зайберг установил, что при наличии фонового гравифотонного поля постоянной напряженности, теория суперструн имеет в качестве низкоэнергетического предела суперсимметричную четырехмерную полевую модель в N=1 суперпространстве, в котором половина спинорных координат перестает строго антикоммутировать. Соответствующее суперпространство получило название деформированного или N=1/2 суперпространства.

Открытие новых четырехмерных суперсимметричных полевых моделей делает актуальным исследование классических и квантовых аспектов таких моделей. По существу, в последние три года возникло новое направление в теории поля -неантикоммутативная суперсимметричная теория поля. Такое направление вызвало значительный интерес исследователей, о чем свидетельствует большое количество публикаций по неантикоммутативной суперсимметричной теории поля. Данная диссертационная работа выполнена в рамках этого нового научного направления.

Неантикоммутативная суперсимметричная теория поля может быть сформулирована в N=1 суперпространстве, а все аспекты, связанные с деформацией суперсимметрии, включены в специальное модифицированное произведение суперполей. Это означает, что в принципе, структура классического и эффективного действия в рассматриваемых теориях может быть изучена на основе суперполевых методов, адаптированных с учетом модифицированного произведения суперполей. Эффективное действие является центральным объектом квантовой теории поля, позволяющим решать разнообразные конкретные задачи. Таким образом, возникает актуальная проблема развития методов исследования классического и эффективного действия в неантикоммутативной суперсимметричной теории поля.

Цель работы

Построение общей неантикоммутативной модели кирального - антакирального суперполей, нахождение компонентной структуры действия такой модели и исследование свойств компонентного действия. Вычисление однопетлевого эффективного действия в общей неантикоммутативной модели кирального -антакирального суперполей. Нахождение однопетлевых расходимостей и ведущих низкоэнергетических вкладов в однопетлевое эффективное действие в секторе кэлерова

потенциала и киралыюго суперпотенциала. Развитие метода нахождения однопетлевого эффективного действия в неантикоммутативной теории поля Янга - Миллса с материей. Вычисление однопетлевых расходимостей. Нахождение конечной части эффективного действия на фоне абелева суперкалибровочного поля, отвечающего постоянной напряженности.

Научная новизна.

В диссертации впервые получены следующие результаты:

1. Предложена общая 0=4, N=1/2 суперсимметричная модель кирально -антикирального суперполей сформулированная в терминах произвольного кэлерова потенциала и произвольных суперпотенциалов, с учетом модифицированного произведения суперполей. Проведено построение компонентного лагранжиана неантикоммутативной модели путем перехода от модифицированного произведения суперполей к их обычному умножению. Получена явная компонентная форма полного лагранжиана, представленная в виде бесконечного разложения в ряд по деформационным параметрам суперпространства. Произведено суммирование полученных рядов и дано представление компонентного лагранжиана в виде интегралов по вспомогательной переменной.

2. Найдено однопетлевое эффективное действие общей модели кирального и антикирального суперполей на N=1/2 суперпространстве. Развита * - инвари-антная техника построения эффективного действия теории, позволяющая сохранять на всех этапах вычисления * - структуру неантикоммутативного умножения суперполей. Получены расходящиеся и конечные вклады в однопетлевой эффективный потенциал на постоянном и медленно изменяющемся фоне. Найдена новая расходящаяся структура в киральном секторе, явно включающая в себя неантикоммутативный параметр деформации.

3. Предложен ковариантный метод построения калибровочно инвариантного однопетлевого эффективного действия для суперсимметричных калибровочных теорий поля на деформированном суперпространстве. Определено эффективное действие суперсимметричной полевой теории Янга - Миллса с киральной материей в фундаментальном и присоединенном представлениях калибровочной группы.

4. Получены вклады калибровочных и духовых полей в низкоэнергетическое эффективное действие теории поля Янга-Миллса с калибровочной группой 8и(2) спонтанно нарушенной до 1Д1) на постоянном абелевом фоне.

Научная и практическая значимость работы.

Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты связаны с решением актуальных научных задач современной теоретической физики и ведут к более глубокому пониманию свойств новых суперсимметричных теорий поля, возникающих в низкоэнергетическом пределе из теории суперструн, а также способствуют выяснению структуры низкоэнергетического действия суперсимметричных теорий поля на деформированном неантикоммутативном суперпространстве. Практическая значимость результатов обусловлена возможностью их применения для решения следующих важных проблем суперсимметричной квантовой теории поля:

1. Изучение компонентной структуры неантикоммутативных суперсимметричных полевых моделей и описания особенностей их динамики.

2. Исследование квантовых аспектов деформированных суперсимметричных теорий используя * - инвариантную технику вычисления одкопетлевого эффективного действия.

3. Вычисление низкоэнергетического эффективного действия суперполевых калибровочных теорий, сформулированных на N=1/2 суперпространстве на основе явно ковариантных суперполевых методов.

4. Нахождение вкладов в эффективное действие неантикоммутативных суперсимметричных теорий поля вне рамок однопетлевого приближения.

Апробация работы.

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на международном семинаре «Суперсимметрии и квантовые симметрии», Объединенный Институт Ядерных Исследований, Дубна, 2005 г. и на семинаре кафедры теоретической физики Томского государственного педагогического университета. Исследования проведенные в диссертационной работе поддерживались грантами РФФИ, проект № 06-02-16345 и ИНТАС, проект № 03-51-6346, а также Президентским грантом для Ведущих Научных Школ РФ, проект №4489.2006.2.

Положения, выносимые на защиту:

1. Установлена компонентная структура неантикоммутативной суперполевой модели киралъного - антикирального суперполей, сформулированной в терминах произвольного кэлерова потенциала и суперпотенциалов, после перехода от модифицированного произведения суперполей к их обычному умножению. Получена явная форма компонентного лагранжиана теории со всеми вспомогательными полями. Получена интегральная форма компонентного лагранжиана. Как частный случай, установлена компонентная форма лагранжиана деформированной суперсимметричной сигма - модели.

2. Найдено однопетлевое эффективное действие общей модели кирального -антикирального суперполей на деформированном суперпространстве в приближении медленно меняющихся фоновых суперполей.. Получены однопетлевые вклады кэлерова потенциала и суперпотенциалов в эффективное действие теории. Предложен явно * - инвариантный метод нахождения однопетлевого эффективного действия, позволяющий сохранять структуру модифицированного произведения суперполей на всех этапах квантового анализа.

3. Найдены расходящаяся и конечная части эффективного потенциала при постоянных значениях фоновых суперполей и показано, что зависимость однопетлевой поправки в секторе кэлерова потенциала от параметра деформации обусловлена только модифицированном произведением суперполей. Показано, что на N=1/2 суперпространстве кроме стандартных расходимостей в секторе кэлерова потенциала появляется новая расходящаяся структура (в киральном секторе), явно включающая параметр неантикоммутативности.

4. Развита техника построения калибровочно инвариантного эффективного действия для суперсимметричных калибровочных неантикоммутативных теорий поля. При вычислениях используются явно ковариантные

суперполевые методы (фонового поля и собственного времени), сформулированные на деформированном суперпространстве.

5. Получено точное низкоэнергетическое эффективное действие для суперсимметричной теории поля Янга - Миллса с калибровочной группой 8и(2) спонтанно нарушенной до Щ1) на абелевом фоне, отвечающим постоянной напряженности.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 4 печатных работах, перечисленных в заключительной части автореферата.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав основного текста, заключения, содержащего основные результаты работы и списка цитируемой литературы. Диссертация изложена на 120 страницах и содержит список литературы из 138 наименований.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, приведен обзор основных проблем и достижений в данном направлении исследований, сформулированы основные задачи и цель работы, а также кратко изложены структура и содержание диссертации.

Первая Глава является обзорной и посвящена краткому обзору основных понятия N=1 суперсимметрии и N=1 суперсимметричных полевых моделей, краткому описанию деформированного суперпространства и суперсимметричных моделей на таком суперпространстве.

В разделе 1.1 рассмотрено понятие суперачгебры Пуанкаре включающей генераторы, подчиняющихся не только коммутационным, но и антикоммутационным соотношениям. Обсуждается суперпространство, как специальным образом «расширенное»

пространство - время путем добавления новых спинорных координат 0а и 0^ ,

принадлежащих алгебре Грассмана. Заданы функции на этом суперпространстве -суперполя. Сформулированы основные суперполевые модели: модель Весса - Зумино и суперсимметричная теория поля Янга - Миллса.

В разделе 1.2 обобщаются основные понятия суперсимметрии на случай деформированного неантикоммутативного суперпространства. Определяется деформация теории за счет антикоммутатора грассмановых координат суперпространства, удовлетворяющих апгебре Клиффорда

{ва,0р}=сар (1)

СаП Ва

— С - постоянная симметричная матрица, элементы которой являются параметрами деформации. Также приведены (анти)коммутационные соотношения остальных координат суперпространства.

Далее, в разделе 1.3 вводится модифицированное * - произведение суперполей при помощи экспоненциального оператора

(рх *<р2=<рх ехр=

= <Р\

V

__д_

2 два двр

2 два двр (ЫС

(2)

\

д2 д2

двв двв

р2>

являющегося обобщенной фермионной версией ассоциативного произведения Мойяла, а также приведены основные свойства операции'модифицированного произведения.

Во второй части главы, изложенной в разделах 1.4 - 1.5, сформулированы основные суперсимметричные полевые модели, обобщенные на случай N=1/2 суперпространства. Рассмотрена модель Весса - Зумино с действием

+

—-Ф*ф+-^ф*ф*ф

2 3!

(3)

описывающее динамику кирального Ф и антикирального Ф суперполей. Здесь произведена замена точечного умножения суперполей на их * - произведение, включающее в себя всю структуру деформации суперпространства.

Также, обсуждается неантикоммутативная суперсимметричная теория поля Янга -Миллса с киральной - антикиральной материей

= * (<г*г I *Ф] +—- ¡¿'г Iг Ша * Жа +

2ё

(4)

где киральный суперпотенциал определен разложением в ряд Тейлора, в котором обычное произведение суперполей заменено их модифицированным произведением. Например

w,[ф1) = imyФ' *Ф] *ф> *Фк.

Здесь YYljj и g^ - константы связи. В последующих главах изучается классические и

квантовые аспекты основных неантикоммутативных суперполевых моделей

Во Второй Главе проводится исследование компонентной структуры общей модели кирального - антикнрального суперполей на неантикоммутативном суперпространстве. В разделе 2.1 рассматривается деформированная суперполевая модель,

сформулированная в терминах произвольного кэлерова потенциала кирального W, (ф) и антикнрального W, (ф) суперпотенциалов

5.[ф,ф] = ¡¿*гК,( ф,ф)+ 1¥.{ф)+ ¡¿6Ш.(ф). (5)

Здесь индекс (*) означает, что в разложении этих потенциалов по своим аргументам

все произведения суперполей понимаются в смысле их * - произведений. Очевидно, что действие деформированной модели можно представить в виде суммы действий недеформированной модели на N=1 суперпространстве и некоторого числа вкладов более высокого порядка, обусловленных деформацией суперсимметрии

При этом действие сохраняет локальность.

Основные вычисления и анализ структуры компонентного действия проводятся в разделе 2.2, а в 2.3 приводится полный компонентный лагранжиан суперполевой модели в виде бесконечного разложения в ряд по деформационным параметрам

4 =

^ = (?)

п гр2п

рп р^п , \

Ьтг-л, {кЦгпА1К Я + Хтчгтттт i К2(2^)к')

СО пп т?2/7 + 1

+

+ h (2п)\ 2

[2п +1 '(2л+,> '(2«) I 8

со 2" /г-п+| Г 9п 1 1 _ _

л=0

(2и + 1)!"^2я+1>

где - параметр деформации, а , - коэффициенты

разложения определенные в точках ф и ф , которые являются скалярными компонентами киратьного и антикирального суперполей.

Компонентная форма лагранжиана (7) имеет достаточно сложную структуру, однако в разделе 2.4 показано, что есть возможность просуммировать бесконечные ряды, определяющие компонентный лагранжиан и представить их в достаточно простой и компактной интегральной форме.

Как частный случай, в разделе 2.5 рассматривается четырехмерная де-формированная неантикоммутативная сигма - модель. Показано, что компонентная форма действия в

этом случае сильно упрощается. В линейном приближении по Л, компонентное действие совпадает с лагранжианом Зумино для недеформированной суперсимметричной сигма -модели с метрикой

8 = е +

Здесь £ - кэлерова метрика, отвечающая кэлерову потенциалу К.

В контексте проблемы исследования структуры классического вакуума в разделе 2.6 обсуждается возможность исключения вспомогательных полей их компонентного

лагранжиана общей киральной модели. Явно найдена первая по параметру Л поправка к скалярному потенциалу недеформированной теории.

В Третей Главе исследуется структура однопетлевого эффективного действия обобщенной модели кирального и антикирального суперполей на N=1/2 суперпространстве.

В 3.1 дано определение однопетлевого эффективного действия и рассмотрены его свойства. Представлен вывод однопетлевого действия и правила вычисления квантовых поправок для неантикоммутативного случая.

В разделе 3.2 обсуждается построение дифференциального оператора Нг, отвечающего однопетлевому эффективному действию

д=

<5Ф<5Ф"

-ш

(8)

Здесь определено выражением (5). В разделах 3.2.2 и 3.2.3 находятся вклады кэлерова потенциала и (анти)киратьного

суперпотенциалов в дифференциальный оператор Ц. Получена матричная форма записи для оператора Н. , определенного выражением (8)

// =

Г \

—К, И1 И2 16^

—щп2

. 4

-ЖЕ? 4 2

-к-Ъ2Б? 16 11

(9)

д2ф,ф) -где К„~-у--, а П - 1, П = 1 .

" дФ'дФ"

Раздел 3.3 посвящен вычислению однопетлевого эффективного потенциала киральной модели с учетом * - деформации. Рассматривается однопетлевая поправка к классическому действию в виде суммы двух слагаемых, отвечающих за разные типы вкладов

(10)

Изучается вклад в кэлеров потенциал при постоянных значениях фоновых суперполей. В рамках размерной регуляризации выделяется расходящаяся составляющая эффективного действия

Г^ - 1 |>7— *Ш*—

*щ

(11)

и конечная часть

=

к. А»

1

ъъ?

1ц

Ки I

^ ¡г 1 и.1' '

+У

/ У (12)

содержащая зависимость от регуляризационного параметра ¡Л. Здесь у - константа

Эйлера. При переходе к недеформированной теории, где с=о, полученные результаты полностью совпадают с результатами известными из литературы.

Далее исследуется вклад в эффективное действие, требующий выхода за рамки приближения постоянных фоновых полей, считая тем не менее фоновые поля медленно изменяющимися. Это ведет к расходящейся

и конечной части

1IV. ¿/V

т2

М2

(13)

— 2

2(8тг)

í — \ Т)1

— Ж

2 2

(14)

эффективного действия в киральном секторе. Здесь = О"О,а. 0,а - генераторы

суперсимметрии, а }П — И^ = СОШ( .

Показано, что ни на каком из этапов вычислений нет необходимости переходить от модифицированного произведения суперполей к их обычному точечному произведению.

В Четвертой Главе рассматривается проблема построения калибровочно инвариантного однопетлевого эффективного действия для суперсимметричных калибровочных теорий, с учетом неантикоммутативной деформации геометрии суперпространства.

В разделе 4.1 введены символы операторов, зависящих от антикоммутирующих координат и приведены свойства модифицированного произведения суперполей. Введены операторы

Г=сЬ

/ Ъ (ур д л дв" свр

(15)

80" двр

играющие важную роль при нахождении однопетлевого эффективного действия полей в присоединенном представлении.

Деформированная суперсимметричная теория поля Янга - Миллса с присоединенной киральной материей рассмотрена в разделе 4.2.

В разделах 4.3 и 4.4 сформулированы явно ковариантные методы (фонового поля и собственного времени) для определения эффективного действия неантикоммутативной теории.

Вычислению однопетлевой квантовой поправки для теории поля Янга - Миллса индуцированного материей в фундаментальном представлении посвящен раздел 4.5. Определены и вычислены тепловые ядра теории с использованием техники символов операторов в импульсном представлении. Получен конечный однопетлевой вклад в калибровочно инвариантное эффективное действие на фоне абелева калибровочного суперполя постоянной напряженности в виде

+

1 00

у \rfss ехр(-тшл')^и:2 *фнм),

где

у2 *( со$, х-\ )-Х2 *( СО$, у-1) х1 *у2 *( со^ х-со^ у)

ф,у)= , 2

Здесь Л - регуляризационный параметр, а Ш = \¥фф (Ф) , ТП — IV-- (Ф ) .

В разделе 4.6 вычислены конечные однопетлевые вклады калибровочных и духовых полей в эффективное действие теории Янга - Миллса с калибровочной группой 5£/(2)

спонтанно нарушенной до и(1) на фоне абелева калибровочного суперполя постоянной напряженности

1 00 [Щ О

Эффективное действие в рассматриваемой теории дается суммой вкладов (17) и (18).

В Заключении сформулированы основные результаты работа:

1. Предложена общая четырехмерная суперсимметричная полевая модели кирального - антикиратьного суперполей на деформированном суперпространстве. Данная теория сформулирована в терминах произвольного кэлерова потенциала и кирального и антикирального суперпотенциалов. Получена форма компонентного лагранжиана теории со всеми вспомогательными полями в виде ряда по параметрам деформации, произведено суммирование этого ряда и построена компактная форма лагранжиана в виде интеграта по вспомогательной переменной. В качестве частного случая найден компонентный лагранжиан четырехмерной неантикоммутативной суперсимметричной сигма - модели. Проведено исключение вспомогательных полей из компонентного лагранжиана и получена первая поправка по параметрам деформации к скалярному потенциалу недеформированной теории.

2. Найдено однопетлевое эффективное действие в общей модели киратьного -антикирального суперполей на деформированном суперпространстве в приближении медленно меняющихся фоновых суперполей. Получены однопетлевые квантовые вклады в эффективное действие теории от кэлерова потенциала и суперпотенциалов. Развит явно * - инвариантный метод вычисления эффективного действия, позволяющий сохранять структуру модифицированного произведения суперполей на всех этапах квантового анализа.

3. Найдены расходящаяся и конечная части эффективного потенциала при постоянных значениях фоновых суперполей и показано, что зависимость однопетлевой поправки в секторе кэлерова потенциала от параметра деформации обусловлена только модифицированным произведением суперполей. Выяснено, что на неантикоммутативном суперпространстве кроме стандартных расходимостей (в секторе кэлерова потенциала) появляется новая расходящаяся структура (в киральном секторе) явно включающая деформационный параметр. Получен конечный однопетлевой вклад в киральный эффективный потенциал.

4. Развита техника построения калибровочно инвариантного однопетлевого эффективного действия для суперсимметричных калибровочных теорий, заданных на N=1/2 суперпространстве. Предложены явно ковариантные методы нахождения эффективного действия (фонового поля и собственного времени), обобщенные на случай неантикоммутативного суперпространства. Найдено эффективное действие моделей киральных суперполей в фундаментапьном и присоединенном представлениях катибровочной группы, взаимодействующих с фоновым абелевым капибровочным суперполем, в приближении фонового суперполя с постоянной напряженностью.

5. Получено однопетлевое эффективное действие суперсимметричной теории

поля Янга - Миллса с калибровочной группой

81/(2) спонтанно

нарушенной до 11(1) в приближении фонового суперполя с постоянной напряженностью.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Azorkina O.D., Banin А.Т., Buchbinder I.L., Pletnev N.G. Generic chiralsuperfield model on nonanticommutative N=1/2 superspace. // Modern Physics Letters A. -2005, - Vol.20,-p.l423- 1436.

2. Azorkina O.D., Banin A.T., Buchbinder I.L., Pletnev N.G. Construction of the effective action in nonanticommutative supersymmetric field theories. // Physics Letters B, - 2006, - Vol.633, - p.389 - 396.

3. Azorkina O.D., Banin A.T., Buchbinder I.L., Pletnev N.G. One - loop effective potential in N=1/2 generic chiral superfield model. // Physics Letters B, - 2006, -Vol.635,-p.50-55.

4. Азоркина О.Д. Классические и квантовые аспекты общей модели кирального - антикирального суперполей на деформированном суперпространстве. // Вестник ТГПУ, - вып. 6 (57), - 2006, - серия: естественные и точные науки, -с. 39-45.

Подписано в печать: 15.12.2006 Бумага офсетная

Тираж 80 экз. Заказ:

Печать: трафаретная Формат; 60x84/16

Издательство Томского государственного педагогического университета 634041, г.Томск, пр. Комсомольский, 75 Отпечатано в типографии Издательства ТГПУ Г. Томск, ул. Герцена, 49, Тел.(3822) 52-12-93

Введение

Глава 1. Суперсимметрия, суперполя и деформированное суперпространство

1.114—1 суперсимметрия

1.2 Деформированное суперпространство

1.3 Модифицированное произведение супернолей

1.4 Теория кирального и антикирального суперполей на деформированном суперпространстве

1.5 Неантикоммутативная суперсимметричная модель Янга - Миллса

Глава 2. Общая модель кирального - антикирального суперполей на N=1/2 суперпространстве

2.1 Действие неантикоммутативной общей модели кирального - антикирального суперполей

2.2 Структура компонентного действия

2.3 Полный компонентный лагранжиан

2.4 Компактная форма записи компонентного лагранжиана

2.5 Деформированная суперсимметричная сигма - модель

2.6 Исключение вспомогательных нолей и деформированной теории

Глава 3. Однопетлевой эффективный потенциал в общей модели кирального и антикирального суперполей на N=1/2 пространстве

3.1 Однопетлевое эффективное действие

3.2 Вычисление оператора Я*

3.2.1 Однопстлевая поправка в деформированной теории

3.2.2 Вклад кэлерова потенциала в оператор Я*

3.2.3 Вклад суперпотенциалов в оператор Я*

3.3 Вычисление одноиетлевого эффективного потенциала

Глава 4. Эффективное действие суперсимметричной калибровочной теории

4.1 Свойства * - произведения суперполей и символы операторов, зависящих от антикоммутирующих координат

4.2 Деформированная суперсимметричная теория поля Янга - Миллса с присоединенной киральной материей,

4.3 Метод фонового поля для деформированной теории

4.4 Метод собственного времени и С - функция

4.5 Калибровочно - инвариантное эффективное действие Янга - Миллса индуцированное материей

4.5.1 Вычисление однопетлевой квантовой поправки в фундаментальном представлении

4.5.2 Вычисление тепловых ядер

4.6 Эффективное действие деформированной суперсимметричной теории ноля Янга - Миллса

4.6.1 Однопетлевые вклады калибровочных и духовых полей

4.6.2 Вычисление теплового ядра на постоянно - ковариантном фоне

4.6.3 Эффективное действие 104 Заключение 108 Список литературы

Объединение всех фундаментальных взаимодействий на основе небольшого количества общих принципов или даже одного единого общего принципа является ведущей тенденцией современной теоретической физики. Достижения, полученные в физике высоких энергий укрепляют представления о том, что все разнообразие явлений природы обусловлено взаимодействующими элементарными частицами. Эксиеремен-тальные исследования свидетельствуют о существовании четырех типов различных взаимодействий элементарных частиц: - гравитационного, электромагнитного, слабого и сильного. Данные взаимодействия являются фундаментальными, то есть лежащими в основе всех явлений природы. При этом, все более актуальной становится идея, что существует единое фундаментальное взаимодействие, расщепляющееся при наблюдаемых низких энергиях на четыре известные разновидности. Именно в рамках этой тенденции были достигнуты значительные успехи в построении стандартной модели электро-слабого взаимодействия, квантовой хромодинамики и их обобщений - моделей великого объединения (см., например, [1], [2]). В основе всех таких моделей лежит перенормируемая квантовая теория поля, свободная от аномалий (см., например, [3] - [б]). Объединение гравитации с другими фундаментальными взаимодействиями в рамках той же системы идей, что привели к единой теории электрослабого и сильного взаимодействий, представляется в настоящее время невозможным в силу неперенормируемости квантовой теории гравитационного ноля.

Современный прогресс в построении объединенных теорий связан с концепцией суперсимметрии (см., например, монографии [7] - [13]) Суперсимметрия представляет собой расширение симметрий специальной теории относительности. Известно, что релятивистская симметрия формулируется в терминах группы Пуанкаре с генераторами пространственно-временных сдвигов Ра и лоренцевских вращений ,Jab (а, Ь — 0,1,2,3), удовлетворяющих коммутационным соотношениям соответствующей алгебры Ли. Суперсимметрия достигается путем расширения алгебры Ли группы Пуанкаре добавлением новых генераторов Qq¿ и Qái (где индексы принимают значения i — 1,2,. ЛГ; а = 1,2, а = 1,2), имеющих фермионную природу и подчиняющихся антикоммутационным соотношениям. При N = 1 суперсимметрия называется простой, а при N > 1 - расширенной. Суперсимметрия обеспечивает естественный механизм объединения бозонов и фермионов. В силу этого представляется, что суперсимметрия должна быть одним из обязательных принципов, лежащих в основе единой теории.

Разработка суперсимметричной теории поля привела к необходимости усовершенствовать математический аппарат, который бы позволял работать с антикоммутиру-ющими переменными. Было развито обобщение дифференциального и интегрального исчисления для таких величин. Потребовалось обобщить понятие группы и алгебры Ли при наличии новых генераторов, подчиняющихся антикоммутационным соотношениям и, следовательно, были сформулированы понятия супергруппы и супералгебры. Это привело к введению понятия суперпространства как пространства на котором реализована эта группа [14]. Оно определяется как расширение обычного пространства Минковского за счет введения антикоммутирующих координат 9 и в, принадлежащих алгебре Грассмана (см., например, [7], [9] и [10]). В работе [14] было введено понятие суперполя как функции на таком суперпространстве (см., также [9], [10], [15], [16]).

Поскольку суперсимметрия объединяет бозоны и фермионы, то любая модель суперсимметричной теории поля содержит бозонные и фермионные поля, переходящие друг в друга при преобразованиях суперсимметрии. Эти ноля принято называть компонентными полями. Суперсимметричные модели теории поля можно сформулировать двумя эквивалентными способами. Во - первых, это формулировка непосредственно в терминах компонентных полей, где суперсиммстрия не является явной. Такая формулировка называется компонентной и содержит, вообще говоря, достаточно большое число бозонных и фермионных полей, лагранжиан взаимодействия которых имеет специальную структуру, обеспечивающую суиерсимметричность теории. Во многих случаях, в частности в четырехмерном пространстве и при N = 1, все компонентные поля можно объединить в единое суперполе, что ведет к сунерполевой формулировке суперсимметричных моделей. Суперполевая формулировка позволяет существенным образом упростить все вычисления при работе с квантовыми, суперсимметричными моделями из-за ее компактности, так как оперирует целыми мульти-плетами полей в явно ковариантной форме. При этом обычные бозонные и фермионные поля возникают как соответствующие коэффициенты в раложении суперполей по спинорным координатам суперпространства. Достоинствами супериолевого подхода являются не только наличие явной инвариантности относительно преобразований сунерсимметрии, но и значительное упрощение промежуточных расчетов по сравнению с компонентным подходом и автоматическое сокращение некоторых расходимос-тей (уменьшение индекса расходимости и сокращение числа возможных контрчленов, благодаря взаимному уничтожению бозонных и фермионных вкладов, что в конечном итоге ведет к теореме о неперенормировках (см. [8] - [12])).

На данный момент наиболее приемлемый кандидат на роль объединенной "теории всего" является теория суперструн (см. монографии [17] - [22]). В период своего развития теория струн вобрала в себя многие фундаментальные достижения квантовой теории поля, такие как калибровочная инвариантность, сокращение аномалий, квантовая трактовка гравитации и ряд теоретических представлений, которые до этого воспринимались как несколько "надуманные" ( например, старая идея Калуца - Клейна - Фока о многомерном физическом пространстве - времени, в последствии вошедшая в теорию струн как составляющий элемент). Идея рассматривать суперструнную теорию как теорию объединения возникла в работах Дж.Шварца и Дж.Шерка, обратившими внимание, что безмассовая частица спина 2 может быть только гравитоном и, следовательно, возникает естественная возможность включить в объединение и гравитацию. Наличие же высших измерений воспринималось теперь как существенное достоинство, позволяющее учитывать внутренние симметрии теории. Суперсимметрия включена в теорию суперструн как один из основополагающих принципов. Исходя из общих принципов суперсимметрии, что бозоны и фермионы являются суперпартнерами, решается проблема тахиона, в виду отсутствия его суперпартнера. Базовая идея теории суперструн состоит в том, что фундаментальными объектами Природы являются не точечные элементарные частицы, а элементарные кривые - струны с характерными размерами порядка планковской длины ~ 1.6 • 10~33см. При этом элементарная частица понимается как специфическая вибрация струны. В рамках теории суперструн было показано, что условия непротиворечивости на квантовом уровне приводят к десятимерному пространству - времени и фиксированным калибровочным группам Е%хЕ& или ¿'0(32). Кроме того, в модели замкнутой суперструны гравитонная 5 - матрица, вычисляемая по теории возмущений, будет конечной. В низкоэнергетическом пределе эффективное действие теории суперструн эквивалентно классическому действию супергравитации с материей, записанному в десяти - или одиннадцатимерном пространстве - времени (см., например, |17|). Компактификация шести или семи измерений позволяет перейти к различным четырехмерным суперсимметричным полевым теориям. Таким образом, суперсимметричные полевые теории можно естественным образом трактовать как результат некоторой компактификации в теории сунерструн (см., например, [23]-[25]). Теория суперструн предсказывает существование нового типа протяженных объектов, так называемых, £)-бран, причем низкоэнергетическая динамика р- мерных £) - бран описывае тся N = 4 суперсимметричной калибровочной теорией поля в пространстве с размер-ностиью р + 1. Следовательно, исследование сунерсимметричных полевых теорий имеет принципиальное значение как для более глубокого понимания взаимосвязи между суперсимметричной квантовой теорией поля и теорией суперструи, так и для понимания самой теории.

Центральным понятием квантовой теории поля является эффективное действие. Знание эффективного действия теории полностью определяет квантовое поведение полевых моделей вне массовой оболочки и тесно связано с решением таких фундаментальных вопросов квантовой теории поля, как нахождение 5 - матрицы, определение структуры вакуума, нахождение квантовых поправок к классическим уравнениям движения, исследование фазовых переходов, динамического нарушения симметрии и изучение квантовой динамики в сильных фоновых полях. Понятие эффективного действия является чрезвычайно удобным при рассмотрении многих аспектов квантования и перенормировки калибровочных теорий. При этом оказывается, что построение эффективного действия для решения разнообразных задач в различных полевых моделях основывается на использовании ряда общих или аналогичных методов.

Естественно ожидать, что в суперсимметричных моделях теории поля, сформулированных в терминах суперполей, эффективное действие также может быть сформулировано в терминах суперполей, что обеспечит явную суперсимметрию и определенную универсальность при нахождении квантовых поправок. Обсудим кратко достоинства суперполевого подхода для вычисления эффективного потенциала в суперсимметричных моделях со скалярными полями. В обычной теории поля эффективный потенциал определяется как эффективное действие при постоянных значениях скалярных полей, и его вычисление может быть осуществлено известными методами (см., например, [26]). Если попытаться найти суперсимметричное эффективное действие при постоянных значениях киральных и антикиральиых полей, то очевидно, что оно исчезает вследствие известных свойств интеграла Березина (см., например, [27] и [28]). Следовательно, требуется вычислять суперполевое эффективное действие для скалярных сунсрполей, постоянных в пространстве - времени, но сохраняющих произвольную зависимость от грассмановых координат (см. работы [29] и [30]). Таким образом, возникает необходимость развивать методы нахождения эффективного действия в суперсимметричных моделях, которые позволили бы оперировать непосредственно с суперполями.

Одним из таких методов, имеющих существенное значение при исследовании суперсимметричных калибровочных теорий, является суперполевой метод фонового поля, в основу которого положено разбиение исходных супернолей классического действия на фоновую и квантовую составляющие. Этот метод является обобщением метода фонового поля, развитого ранее в обычных не суперполевых теориях и широко используется для нахождения контрчленов, аномалий и построения приближенных схем в квантовой теории поля Янга - Миллса и квантовой гравитации (см., например, [9], [10], [31]-[42]).

Стандартное вычисление эффективного действия по теории возмущений основывается на процедуре петлевого разложения (см. работы [3] -]6]) и, при наличии калибровочной симметрии, метода фонового поля. В суперполевых теориях эта процедура предполагает задание фонового поля с помощью квантово - фонового расщепления исходных суперполей и последующим разложением классического действия (с учетом калибровки в случае калибровочных теорий) в ряд по степеням квантовых суперполей. В низшем, однопетлевом приближении достаточно ограничиться рассмотрением только квадратичных по квантовым суперполям членам данного разложения.

В методе собственного времени однопетлевое эффективное действие представляется интегралом по параметру, называемому собственным временем от определенной функции, являющейся ядром (швингеровским тепловым ядром ) и удовлетворяющей обобщенному уравнению теплопроводности (см., например, ]42]-[4б[).Суперполевая формулировка метода собственного времени дана в книге [9]. Суперсимметричные полевые модели, вытекающие из теории суперструн в низкоэнергетическом приближении обладают N = 1 суперсимметрией в секторе киральных Ф и антикиральных Ф суперполей, характеризуются кэлеровым потенциалом К(Ф, Ф) и киральным и антикиральным потенциалами И7(Ф) и IV(Ф) соответственно. Такая суперсимметричная теория обычно называется общей моделью кирального суперполя. Квантовые аспекты данной модели исследовались в работах [47] - [51].

Приведенное выше обсуждение суперполевых моделей касалось в основном только N = 1 суперсимметрии. В случае моделей с расширенной суперсимметрией достоинство суперполевых методов уже не столь очевидно. Дело в том, что непосредственное обобщение N = 1 суперпространства и формулировка в нем соответствующих суперсимметричных теорий ведет к необходимости использовать суперполя, удовлетворяющие определенным ограничениям. Такие суперполя нельзя рассматривать как произвольные функциональные аргументы действия, что затрудняет их использование в квантовой теории поля. Проблема формулировки N — 2,3 суперсимметричных теорий в терминах неограниченных суперполей была решена в работах [52| - [55| на основе гармонического суперпространства. Гармоническое супернространство - есть расширение обычного суперпространства путем добавления специальных доиолнительных переменных ( гармоник ). После чего на таком расширенном пространстве выделяют подпространство, с меньшим числом грассмановых координат, инвариантное относительно преобразований суперсимметрии. Данный подход имеет определенные аналогии с выделением в N — 1 суперсимметричных теориях киральных подпространств. При этом расширенная суперсимметрия явно сохраняется на любом этапе производимых вычислений. Эффективное действие N = 2,3 суперсимметричных теорий в гармоническом суперпространстве обсуждалось в статьях [56] - [67].

Низкоэнергетический предел теории суперструн и соответствующая эффективная четырехмерная суперсимметричная теория поля в значительной степени определяется структурой суперструнного вакуума. Как было отмечено Зайбсргом и Виттеном в 1999 году [68] низкоэнергетическим пределом теории струн в антисимметричном тензорном фоновом поле является теория поля, определенная в пространстве с неком-мутирующими пространственно - временными координатами. Модели некоммутативной теории поля можно сформулировать в обычном ( коммутативном ) пространстве Минковского, однако, в лагранжиане обычное произведение полей следует заменить на, так называемое, * - произведение, содержащее размерные параметры деформации (параметры некоммутативности) и обладающее свойством некоммутативности. Формулировка и свойства некоммутативных полевых моделей обсуждаются в обзорах [69] - [711.

Сравнительно недавно (в 2005 году) Зайбергом [72] было отмечено, что низкоэнергетический предел теории суперструны в фоновом ноле, отвечающей постоянной гравифотонной напряженности (см., например, [73[ и [74]), соответствует Б — 4 суперсимметричная теория ноля в деформированном суперпространстве, в котором нарушена строгая антикоммутативность грассмановых координат. Данная деформация носит совершенно специфический характер, в силу того, что координаты пространства Минковского оказываются некоммутирующими, но бозонные координаты в киральном секторе коммутируют. Таким образом, введенная неантикоммутативная деформация нарушает половину всех суперсимметрий теории и поэтому соответствующее суперпространство естественно называть N — | деформированным неантиком-мутативным суперпространством. Анализ полевых теорий на таком деформированном суперпространстве приводит к необходимости замены обычного умножения суперполей на, так называемое, модифицированное * - произведение, являющегося фермионным вариантом произведения Мойяла и содержащее в своем определение структуру соответствующей деформации. Это позволяет использовать стандартное N = 1 суперпространство при рассмотрении неантикоммутативной суперсимметричной нолевой теории, где параметр деформации включается в ★ - произведение суперполей.

Изучение различных свойств таких N — | суперсимметричных моделей рассматривалось многими авторами (см., например, [75]-[84] для £) = 4 моделей, а также [85] - [88] для И = 2 моделей и [89] - [93] для расширенных суперсимметричных моделей в деформированном гармоническом суперпространстве). Для интерпретации N — | суперсимметричных теорий как стандартных полевых моделей и для выяснения особенностей их динамики необходимо иметь компонентную форму этих моделей. Нахождение компонентной структуры неантикоммутативной теории является достаточно нетривиальной технической проблемой из-за более сложной структуры суперпространства по сравнению с N — 1 случаем и, следовательно, требует специального анализа. Компонентный вид действия для деформированной теории в дополнение к стандартным членам действия будем обязательно содержать члены, зависящие от параметра деформации суперпространства. Поскольку половина суперсимметрий нарушена, то симметрия между киральным и антикиральным пространственными координатами отсутствует и, следовательно, некоторые компонентные ноля могут войти в действие в очень громоздких комбинациях. В работе [72] было изучена компонентная структура И — 4, N — \ суперсимметричной модели Весса - Зумино и теории Янга - Миллса. Для этих случаев было показано, что деформированная теория будет перенормируема (см. [7б]-[84] и [94]), несмотря на присутствие в лагранжиане слагаемых высокой массовой размерности и сохраняет локальность (точнее перенормируемость может быть восстановлена во всех порядках теории возмущений после введения в классическое действие дополнительных членов, зависящих от деформации). Однако общая Б — 4, N = \ суперсимметричная кирально - антикираль-ная теория, которая формулируется в терминах произвольного кэлерова потенциала К(Ф, Ф) и произвольных кирального И^(Ф) и антикирального Й^Ф) суперпотенциалов в литературе не рассматривалась. Не исследовались и квантовые свойства такой модели (проблемы перенормировки и построения эффективного действия). Причем, общая киральная суперполевая модель (с N — 1 суперсимметрией), возникает в низкоэнергетическом пределе теории суперструн и широко используется в феноменологии (см., например, [49], [50] и [95]-[97]). Еще одна важная, ранее не рассматриваемая задача - исследование эффективного действия калибровочно - инвариантных суперсимметричных теорий, сформулированных на N = \ сунерпространстве на основе суперполевых методов. Таким образом, рассмотрение различных аспектов суперполевых моделей на деформированном N = | суперпространстве является актуальным, бурно развивающимся научным направлением тесно связанным с низкоэнергетическим пределом теории струн и заслуживает специального изучения.

Именно исследованию этих задач посвящена данная диссертационная работа. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Основные результаты данной работы опубликованы в статьях [119], [136], |137] и [138].

В заключении хочу выразить глубокую благодарность научному руководителю, доктору физико - математических наук, профессору И. Л. Бухбиндеру за постановку задач и помощь в работе. Автор также признателен кандидатам физико - математических наук Н. Г. Плетневу и А. Т. Ванину за плодотворное сотрудничество.

Заключение

Сформулируем основные результаты работы, выносимые на защиту.

1. Рассмотрена обобщенная четырехмерная структура неантикоммутативной суперполевой модели кирального - антикирального суперполей на деформированном сунериространстве. Произведен анализ компонентной структуры этой модели после перехода от модифицированного произведения суперполей к их обычному умножению и получена явная форма компонентного лагранжиана теории со всеми вспомогательными полями. Произведено переопределение компонент модели и построена компактная форма лагранжиан. Из компонентного лагранжиана общей кирально - антики-ральной модели устранены вспомогательные поля и получена пертурбативная поправка первого порядка по А для эффективного скалярного потенциала.

2. Исследованы квантовые аспекты общей модели кирального и антикирального суперполей на деформированном суперпространстве. Получены однопетлевые вклады в кэлеров потенциал и суперпотенциалы. Развита процедура вычисления эффективного действия, обладающая * - инвариантностью и сохраняющая структуру модифицированного произведения суперполей на всех этапах квантового анализа.

3. Найдены расходящаяся и конечная части эффективного потенциала при постоянных значениях фоновых суперполей и показано, что зависимость однопетлевой поправки в секторе кэлерова потенциала от параметра деформации обусловлена только модифицированным произведением суперполей. Показали, что на деформированном суперпространстве кроме стандартных расходимостей в секторе ведущего потенциала появляется новая расходящаяся структура, явно включающая неан гиком-мутативный параметр.

4. Развита техника построения калибровочного инвариантного одноиетлевого эффективного действия для суперсимметричных калибровочных теорий, заданных на N — ^ суперпространстве. При вычислениях используются явно ковариантные методы (фонового поля и собственного времени), сформулированные на неантикоммутати-вном супериространстве.

5. Разнит метод нахождения эффективных действий в моделях киральных суперполей в фундаментальном и нроисоединенном представлениях калибровочной группы, взаимодействующих с фоновым калибровочным суперполей и в модели неабелева векторного мультиплета. Получено точное низкоэнергетическое эффективное действие суперсимметричной теории поля Янга - Миллса с калибровочной группой 5[/(2) на постоянном ковариантном абеловом фоне.

1. Окунь А.Б. Физика элементарных частиц. Москва: Наука, - 1984, - 224сс.

2. Клейн Г. Современная физика элементарных частиц. Москва: Мир, - 1990, -358сс.

3. Ициксон Н., Зюбер Ж.- Б. Квантовая теория поля. Москва: Мир, - 1984, т.1,- 448сс., т.2, 400сс.

4. Райдер JI. Квантовая теория поля. Москва: Мир, - 1987, - 512сс.

5. Коллинз Дж. Перенормировка. Москва: Мир, - 1988, - 446сс.

6. Пескин М., Шредер Д. Введение в квантовую теорию поля. Москва: РХД,- 2001,-783сс.

7. Весс Ю., Беггер Дж. Суперсимметрия и супер гравитация. Москва: Мир,- 1986, -180сс.

8. Gates S.J., Grisary M.T., Rocek M., Siegel W. Superspace or One Thousand and One Lessons in Supersymmetry. Benjamin Cummings, Reading, M.A. - 1983,- 548pp.

9. Mohapatra R.N. Unification and Supersymmetry. Springer, - 1996, - 405pp.

10. Galperin A.S., Ivanov E.A., Ogievetsky V., Sokatchev E. Harmonic Superspace.- Cambridge University Press, 2001, - 303pp.

11. Dress M., Godbole R., Roy P. Theory and Phenomenology of Superparticles.- World Scientific, 2004, - 555pp.

12. Salarri A., Strathdee J. Supergauge transformations. // Nuclear Physics B, 1974,- Vol.76, -N.2, p. 477 - 482.

13. Salam A., Strathdee J. Supersyrrirrietry and superfields. // Fortshr. Phys. B,- 1978, Vol.26, - N.3, - p.057 - 124.

14. Fayet P., Ferrara S. Supersymmetry. // Physical Review, 1977, - Vol.32, - N.5,- p.249 334.

15. Грин M., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн. Москва: Мир, - 1990,- т.1, 518сс.; - т.2, - 656сс.

16. Бринк JL, Энно М. Принципы теории сунерструн. Москва: Мир, - 1991,- 296сс.

17. Каку М. Введение в теорию суперструн. Москва: Мир, - 1999, - 624сс.

18. Polchinski J. String Theory. Cambridge University Press, - 1998, -Vol.1, - 402pp.;- Vol.2, 531pp.

19. Johnson C.V. D branes. - Cambridge University Press, - 2003, - 548pp.

20. Zwiebach B. A First Course in String Theory. Cambridge University Press,- 2004,- 558pp.

21. Taylor W. Lectures On D Branes Gauge Theory and M(atrices). // High Enerhy Physics and Cosmology: Summer School Lectures. Trieste 1997, 02 June - 04 Jule.- p. 192 271.

22. Petersen J.L. Introduction to the Maldacena Conjecture on AdS/CFT. // Int. J. Modern Physics A, Vol.14, - p.3597 - 3672.

23. Coleman S., Weinberg E. Radiative corrections as the origin of spontaneous symmetry breaking. // Physical Review D, 1973, - Vol.7, - N.6, - p.1888 - 1910.

24. Березин Ф.А. Метод вторичного квантования. Москва: Наука, - 1986, - 318сс.

25. Березин Ф.А. Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными.- Москва: Изд во МГУ, - 1983, - 208сс.

26. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M. Yarovskaya J. Supersymmetric effective potential: superfield approach. // Nuclear Physics B, 1994, - Vol.411, - p.665 - 692.

27. Бухбиндер И.Л., Кузенко С.М., Яревская Ж.В. Суперсимметричный эффективный потенциал: суперполевой подход. // Ядерная Физика, 1993, - т.56,- выи.5, с.201 - 216.

28. Де Витт Б.С. Динамическая теория групп и полей. Москва: Наука, - 1987,- 288сс.

29. De Witt В. Quantum theory of gravity II. The manifestly covariant theory. // Physical Review, 1967, - Vol.162, - p.1195 - 1239.

30. Siegel W. Fields. 1999, - 796pp.

31. De Witt B. Quantum theory of gravity III. The application of covariant theory. // Physical Review, 1967, - Vol.162, - p.1239 - 1256.

32. Попов B.H. Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике. Москва: Атомиздат, - 1976, - 256се.

33. Попов В.Н. Квантовая теория калибровочных нолей. // Под редакцией Коно-илевой Н.П. Москва: Мир, - 1977, - 432сс.

34. Abbot L.F. The background field method beyond one loop. // Nuclear Physics B,- 1981, Vol.185, - p. 189 - 203.

35. Ichinose S., Omote M. Renormalization using the background field method. // Nuclear Physics B, 1982, - Vol.203, - p.221 - 267.

36. Jack I., Osborn H. Background field calculations in curved space time (I). General formalism and application to scalar fields. // Nuclear Physics B, - 1984, - Vol.234,- p.331 364.

37. Vilkovisky G.A. The Gospel according to De Witt. / Quantum Gravity. Ed. Christensen S. Bristol: Hilger, - 1983, - p. 169 - 209.

38. Vilkovisky G.A. The unique effective action in quantum field theory. // Nuclear Physics B, 1984, - Vol.234, - p.125 - 137.

39. Buchbinder I.L., Odintsov S.D., Shapiro I.L. Effective Action and Quantum Gravity. IOP Publishing, Bristol and Philadelphia, - 1992, - 413pp.

40. Боголюбов H.H., Ширков Д.В. Квантовые поля. Москва: Наука, - 1980,- 320сс.

41. Fock V.A. The proper time in classical and quantum mechanics. // Izvestiya of USSR Academy of Sciences, Physics, 1937, - N.4, 5, - p.554 - 568.

42. Schwinger J.S. On gauge invariance and vacuum polarization. // Physical Review,- 1951, Vol.82, - N.5, - p.664 -679.

43. Schwinger J.S. The theory of quantized fields V. // Physical Review, 1954,- Vol.93, N.3, - p.615 - 628.

44. Brignole A. One loop Kahler potential in non - renormalizable theories. // Nuclear Physics B, - 2000, - Vol.579, - p.101 - 116.

45. Buchbinder I.L., Petrov A.Yu. Holomorphic effective potential in general chiral superfield model. // Physics Letters B, 1999, - Vol.461, - p.209 - 217.

46. Buchbinder I.L., Petrov A.Yu., Cvetic M. One loop effective potential in N--1 supersymmetric theories and decoupling effects. // Nuclear Physics, - 2000,- Vol.571, p.358 - 418.

47. Buchbinder I.L., Petrov A.Yu., Cvetic M. Implications of decoupling effects for one loop corrected effective actions from superstring theory. / / Modern Physics Letters A, - 2000, - Vol.15, - p.783 - 790.

48. Nibberlink S.G., Nyawelo T.S. Two loop effective Kahler potential of (Non)- renormalizable Supersymmetric Models. // Journal of High Energy, Physics,- 2006, Vol.0601, - p.034 - .

49. Galperin A., Ivanov E., Kalitzin S., Ogievetsky V., Sokatchev E. Unconstrainedoff shell N - 3 supersymmetric Yang - Mills theory. / / Classic and Quantum Gravitty, - 1985, - Vol.2, - N.l, - p.155 - 166.

50. Galperin A., Ivanov E., Ogievetsky V., Sokatchev E. Harmonic supergraphs: Greenfunctions. // Classic and Quantum Gravitty, 1985, - Vol.2, - p.601 - 616.

51. Galperin A., Ivanov E., Ogievetsky V., Sokatchev E. Harmonic supergraphs: Feyn-man rules and examples. // Classic and Quantum Gravitty, 1985, - Vol.2, - p.617- 630.

52. Galperin A., Ivanov E., Kalitzin S., Ogievetsky V., Sokatchev E. Unconstrained

53. N=2 matter, Yang Mills and supergravity Theories in harmonic Superspace. // Classic and Quantum Gravitty, - 1984, - Vol.1, - p.469 - 498.

54. Buchbinder I.L., Buchbinder E.I., Ivanov E.A., Kuzenko S.M., Ovrut B.A. Effec tive Action of the N~2 Maxwell Multiplet in Harmonic Superspace. // Physics Letters B, 1997, - Vol.412, - p.309 - 319.

55. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M. Comments on the Background Field Method in Harmonic Superspace: Nonholomorphic Corrections in N—■4 Super Yang Mills. // Modern Physics Letters A, - 1998, - Vol.13, - p.1623 - 1636.

56. Buchbinder I.L., Buchbinder E.I., Ivanov E.A., Kuzenko S.M. Central Charge as the Origin of Holomorphic Effective Action in N—2 Gauge Theory. // Modern Physics Letters A, 1998, -Vol.13, - p. 1071 - 1082.

57. Buchbinder I.L., Buchbinder E.I., Kuzenko S.M. Non holomorphic effective potential in N-4 SU(n) Super Yang - Mills. // Physics Letters B, - 1999, - Vol.446,- p.216 223.

58. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M., Ovrut B.A. On the D-4, N-2 Non Renormal-ization Theorem. // Physics Letters B, - 1998, - Vol.443, - p.335 - 345.

59. Buchbinder I.L., Buchbinder E.I., Kuzenko S.M., Ovrut B.A. The Background Field Method for N—2 Super Yang Mills Theories in Harmonic Superspace.

60. Physics Letters B, 1998, -Vol.417, - p.061 - 071.

61. Бухбиндер И.Л., Бухбиндер Е.И., Иванов E.A., Кузенко С.М., Оврут B.A.

62. Низкоэнергетическое эффективное действие в N=2 суперсимметричных теориях поля. // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 2001, - т.32, - вып.5,- с. 1222 1290.

63. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M., Tseytlin A.A. On low energy effective actions, in N—2, N=4 superconformal theories in four - dimensions. // Physical Review D, - 2000, -Vol.62, - p.045001 - 045019.

64. Buchbinder I.L., Ivanov E.A. Complete N=4 structure of low energy effective action in N-4 Super Yang - Mills theories. // Physics Letters B, - 2002, -Vol.524,- p.208 216.

65. Buchbinder I.L., Ivanov E.A., Petrov A.Yu. Complete Low Energy Effective action in N—■4 Super Yang - Mills: a Direct N=2 Supergraph Calculation.

66. Nuclear Physics B, 2003, -Vol.653, - p.64 - 84.

67. Buchbinder I.L., Pletnev N.G. // Journal of High Energy, Physics, 2005,- Vol.0509, p.073 - .

68. Buchbinder I.L., Ivanov E.A., Samsonov I.В., Zupnic B.M. Scale Invariant, Low- Energy Effective Action in Super Yang Mills Theory. // Nuclear Physics B,- 2004, Vol.689, - p.108 - 126.

69. Seiberg N., Witten E. String Theory and Noncommutative Geometry. // Journal of High Energy, Physics, 1999, - Vol.9909, - p.032 - 132.

70. Douglass M.R., Nekrasov N.A. Noncommutative Field Theory. // Reviews of Modern Physics, 2002, -Vol.73, - p.0977 - 1029.

71. Arefeva I.Ya., Belov D.M., Giryavets A.A., Koshelev A.S., Medvedev P.B. Noncommutative field theories and (super)string field Theories. // Workshop "Non-commutative Geometry, Strings and Renormalization", Leipzig, Germany, September, 2001, - 160pp.

72. Ooguri H., Vafa C. The C Deformation of Gluino and Non - planar Diagrams. // Advances in Theoretical and Mathematical Physics, - 2003, - Vol.7, - p.53 - 85.

73. De Boer J., Grassi P.A. and van Nieuwenhuizen P. Non commutative superspace from string theory. // Physics Letters B, - 2003, - Vol.574, - p.098 - 104.

74. Klemm D., Penati S., Tamassia L. Non(anti)commutative superspace. // Classic and Quantum Gravity, 2003, - Vol.20, - p.2905 - 2916.

75. Grisaru M., Penati S., Romagnoni A. Two loop Renormalization for Non-anticommutative N=1/2 Supersymmetric WZ Model. // Journal of High Energy, Physics, - 2003, - Vol.0308, - p.003 - 039.

76. Roinagnoni A. Renormalizability of N—1/2 Wess Zumino model in superspace. // Journal of High Energy, Physics, - 2003, - Vol.0310, - p.016 - 023.

77. Berenstein D., Rey S.J. Wilsonian Proof for Renormalizability of N=1/2 Super-symmetric Field Theories. // Physics Review D, 2003, - Vol.68, - p.121701 -121711.

78. Britto R., Feng B., Rey S.J. Deformed Superspace, N—1/2 Supersymmetry and (Non)Renormalization Theorems. // Journal of High Energy, Physics, 2003,- Vol.0307, p.068 - 088.

79. Britto R., Feng B. N=1/2 Wess Zumino model is renormalizable. // Physics Review Letters, - 2003, - Vol.91, - p.201601 - 201609.

80. Banin A., Buchbinder I., Pletnev N. Chiral effective potential in N—1/2 non -commutative Wess -Zumino model. // Journal of High Energy, Physics, 2004,- Vol.0407, p.011 - 043.

81. Lunin O., Rey S. Renormalizability of Non(anti)commutat,ive Gauge Theories with N—1/2 Supersymmetry. // Journal of High Energy, Physics, 2003, - Vol.0309,- p.045 066.

82. Chandrasekhar B., Kumar A. D—2, N—2 Supersymmetric theories on Non(anti) commutative Superspace. // Journal of High Energy, Physics, 2004, - Vol.0403,- p.013 045.

83. Chandrasekhar B. D-2, N=2 Supersymmetric sigma models on Non(anti) commutative Superspace. // Physics Review D, 2004, - Vol.70. - p.125003125041.

84. Luis Alvarez Gaume, Miguel A. Vazquer - Mozo. On nonanticommutative N-2 sigma - model in two dimensions. // Journal of High Energy, Physics, - 2005.- Vol.0504, p.007 - 036.

85. Chandrasekhar B. N—2 sigma model Action on Non(anti)commutative Superspace. // Physics Letters B, - 2005, - Vol.614, - p.207 - 215.

86. Ivanov E., Lechtenfeld O., Zupnik B. Nilpotent deformations of N=2 superspace. // Journal of High Energy, Physics, 2004, - Vol.0402, - p.012 - 029.

87. Fcrrara S., Ivanov E., Lechtenfeld O., Sokatchev E., Zupnik B. Non anticom-mutative chiral singlet deformation of N=(1,1) gauge theory. // Nucliar Physics B, - 2005, - Vol.704, - p.154 - 180.

88. Ferrara S., Sokatchev E. Non anticommutative N=2 Super - Yang - Mills theory with singlet deformation. // Physics Letters B, - 2004, - Vol.579, - p.226 - 234.

89. Araki T., Ito K., Ohtsuka A. N=2 Supersymmetric U(l) Gauge Theory in Non -commutative Harmonic Superspace. // Journal of High Energy, Physics, 2004,- Vol.0401, p.046 - 088.

90. Araki T., Ito K., Ohtsuka A. Deformed Supersymmetry in Non(anti)commutativc N-2 Supersymmetric U(l) Gauge Theory. // Physics Letters B, 2005, - Vol.606,- p.202 210.

91. Terashirna S., Yee J.T. Comments on Noncommutativc Superspace. // Journal of

92. High Energy, Physics, 2003, - Vol.0312, - p.053 - 072.

93. Clever G., Cvetic M., Espinosa J.R., Everett L., Langacker P. Classification of flat directions in perturbative heterotic superstring vacua with anomalous U(l).

94. Nuclear Physics B, 1998, - Vol.525, - p.03 - 26.

95. Clever G., Cvetic M., Espinosa J.R., Everett L., Langacker P. // Physical Review D, -1999, -Vol.59, -p.55

96. Cvetic M., Everett L., Wang J. Effects of heavy states on the effective N-l supersymmetric action. // Nuclear Physics B, 1999, - Vol.538, - p.52 - 66.

97. Гольфанд Ю.А., Лихтман Е.П. Расширение генераторов группы Пуанкаре и нарушение Р инвариантности. // Письма в ЖЭТФ, - 1971, -т.13, - вып.8,- с.452 455.

98. Волков Д.В., Акулов В.П. О возможном фундаментальном взаимодействии нейтрино. // Письма в ЖЭТФ, 1972, т.16, - вып.11, - с.621 - 624.

99. Wess J., Zumino В. Supergauge transformations in four dimensions. // Nuclear Physics B, 1974, - Vol.70, - N.l, - p.39 - 50.

100. P. van Nieuwenhuizen. Supergravity. // Physical Reports B, 1981, -Vol.68, N.4,- p.189 398.

101. Огиевецкий В.П., Мезинческу Л. Симметрия между бозонами и фермионами и суперполя. // УФН. 1975, - т.117, - вып.4, - с.637 - 683.

102. Konechny A., Schwarz A. Introduction to M(atrix) theory and noncoinmutative geometry. // Physical Reports. 2002, - Vol.360, - p.353 - 465.

103. Березин Ф.А., Шубин M.A. Уравнение Шредингера. Москва: Изд - во МГУ,- 1983, 392сс.

104. Weyl Н. Quantum mechanics and group theory. // Zeitschrift fur Physik. -1927,- Vol.46, p.001 - 262.

105. Wigner E.P.Quantum corrections for thermodynamics equilibrium. // Physics Review, 1932, - Vol.40, - p.749 - 756.

106. Moyal J.E. Quantum mechanics as a statistical theory. // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1949, - Vol.45, - p.099 - 124.

107. Berkovits N., Seiberg N. Superstring in Graviphoton Background and N—1/2 I 3/2 Supersymmetry. // Journal of High Energy, Physics, 2003, - Vol.0307,- p.010 .

108. Ferrara S., Lledo M.A., Macia O. Supersymmetry in noncommutative superspace. // Journal of High Energy, Physics, 2003, - Vol.0309, - p. 068 - 091.

109. Hatanaka Т., Ketov S.V., Sasaki S. Summing up Non anti - commutative Kachler potential. // Physics Letteers B, - 2005, - Vol.619, - p.352 - 358.

110. Zumino B. Supersymmetry and Kahler manifold. // Physics Letters B, 1979,- Vol.87, p.203 - 206.

111. Hatanaka Т., Ketov S., Kobayashi Y., Sasaki S. Non anticommutative Deformation of Effective Potentials in Supersymmetric Gauge Theories. // Nuclear Physical B, - 2005, - Vol.716, - p.088 - 104.

112. Henneaux M., Teitelboim C. Quantization of gauge systems. Prinston University Press, - 1992, - 540pp.

113. Zinn Justin J. Quantum field theory and critical phenomen. - Clarendon Press, Oxford, - 1994, - 914pp.

114. Weinberg S. The quantum theory of fields. // Modern applications, Cambridge University Press, Vol.2, - 1996, - 359pp.

115. Bertlmann R.A. Anomalies in quantum field theory. Clarendon Press, Oxford,- 1996,- 566pp.

116. Pletnev N.G., Banin A.T. Covariant technique of derivative expansion of one -loop effective action. // Physics Review D, 1999, - Vol.60, - p.105017 - 105037.

117. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M., Petrov A.Yu. Superfield chiral effective potential. // Physics Letters B, 1994, - Vol.321, - p.372 - 377.

118. Azorkina O.D., Banin A.T., Buchbinder I.L., Pletnev N.G. Construction of the effective action in nonanticommutative supersymmetric field theories. // Physics Letters B, 2006, - Vol.633, - p.389 - 396.

119. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.

120. Gargett T.D., McArthur I.N. A "Gaussian"Approach to Computing Supersymmetric Effective Actions. // Nuclear Physics B, 1997, - Vol.497, - p.525 - 540.

121. Banin A.T., Buchbinder I.L., Pletnev N.G. Low energy effective action of N 2 gauge multiplet induced by hypermultiplet matter. // Nuclear Physics B, - 2001,- Vol.598, p.371 - 399.

122. B.de Witt., Grisaru M.T., Rocek M. Nonholomorphic corrections to the one -loop N=2 super Yang Mills action. // Physics Letters B, - 1996, - Vol.374,- p.297 303.

123. Pickering A., West P. The One Loop effective Super Potential and Non -Holomorphicity. // Physics Letters B, - 1996, - Vol.383, - p.54 - 62.

124. Grisaru M.T., Rocek M., R. von Unge. Effective Kahler Potentials. // Physics Letters B, 1996, - Vol.383, - p.415 - 421.

125. Banin A.T., Buchbinder I.L., Pletnev N.G. On low energy effective action in N=2 super Yang - Mills theories on nonabelian background. // Physics Review D, - 2002, - Vol.66, - p.045021 - 045034.

126. Dijkgraaf R., Grisary M.T., Lam G.S., Vafa C., Zanon D. Perturbative Computation of Glueball Superpotentials. // Physics Letters B, 2003, - Vol.573, - p.138- 146.

127. Seiberg N. Naturalness Versus Supersyinmetric Non renormalization Theorems. // Physics Letters B, - 1993, - Vol.318, - p.469 - 475.

128. Britto R., Feng B., Rey S.J. Non(anti)commutative Superspace, UV/IR Mixing, Open Wilson Lines. // Journal of High Energy, Physics, 2003, - Vol.0308, - p.001- 021.

129. Vassilevich D.V. Non commutative heat kernel. // Lett. Math. Phys. - 2004,- Vol.67, p.185 - 194.

130. Vassilevich D.V. Heat kernel, effective action and anomalies in noncommutative theories. // Journal of High Energy, Physics, 2005, - Vol.0508, - p.085 - 106.

131. Araki T., Ito K., Ohtsuka A. Supersymmetric Gauge Theories on Non commutative Superspace. // Physics Letters B, - 2003, - Vol.573, - p.209 - 216.

132. B.de Witt B.S. Relavity, Group and Topology II. B.S.De Witt and R.Stora (Eds.), Elsevier, Amsterdam, 1984, - 381pp.

133. Kuzenko S.M., McArthur I.N. On the Background Field Method Beyond One Loop: A manifestly covariant derivative expansion in super Yang Mills theories. // Journal of High Energy, Physics, - 2003, - Vol.0305, - p.015 - 047.

134. Kuzenko S.M., McArthur I.N. Low energy dynamics in N—2 super QED: Two- loop approximation. // Journal of High Energy, Physics, 2003, - Vol.0310,- p.029 056.

135. Azorkina O.D., Banin A.T., Buchbinder I.L., Pletnev N.G. Generic chiral superfield model on nonanticommutative N=1/2 superspace. // Modern Physics Letters A. 2005, - Vol.20, - p. 1423 - 1436.

136. Azorkina O.D., Banin A.T., Buchbinder I.L., Pletnev N.G. One -loop effectivepotential in N—1/2 generic chiral superfield model. // Physics Letters B, 2006,- Vol.635, p.50 - 55.

137. Азоркина О.Д. Классические и квантовые аспекты общей модели киралыюго- антикирального суперполец на деформированном суперпространстве.

138. Вестник ТГПУ, 2006, - серия: естественные и точные науки, - вып. 6(57),- с.39 45.