Низкоэнергетическое эффективное действие в расширенных и неантикоммутативных суперсимметричных полевых теориях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

на правах рукописи

Бакии Александр Тихонович

НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ЭФФЕКТИВНОЕ ДЕЙСТВИЕ В РАСШИРЕННЫХ И НЕАНТИКОММУТАТИВНЫХ СУПЕРСИММЕТРИЧНЫХ ПОЛЕВЫХ ТЕОРИЯХ

01.04.02 - Теоретическая финика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискание ученой степени кандидата фитико-матоматичоских паук

Томск 2004

Работа выполисиа в Томском государственном педагогическом университете

Научный руководитель: доктор физико-математических паук,

профессор Бухбивдср Иосиф Львович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Галажинский Аптоп Владими[ювич

доктор физико-математических паук, профессор Сербо Валерий Георгиевич

Ведущая организация:

Объедипеппый Институт Ядерпых Исследований, Лаборатория теоретической физики им. H.H. Боголюбова

Зашита roc тоится ^ ^ ¥ 2004 г. в IЪ часов

па заседании диссертационного совета К 212.266.01 при Томском государственном педагогическом университете (634041, Томск, Комсомольский пр 75, ауд. 335).

С диссертацией можно ознакомиться в Научпой библиотеке Томского государственного педагогического университета.

Автореферат разослал "Iß " OKijfa 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат педагогических паук, доцент

дй

РумбештаЕ. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

В настоящее время наиболее вероятным кандидатом па роль объединенной теории фундаментальных взаимодействий рассматривается теория суперструп, которая в низко-шсрготичес ком переделе п1>иводит либо к теории гравитации (замкнутые струны) либо к теории поля Янга-Миллса (открытые струны) В рамках теории возмущений теория суперструп, как теория протяженных объектов, снимает проблему ультрафиолетовых раеходпмос.тей, присущую теории точечных фундаментальных объектов, и позволяет но( троить свободную от расходимостей кванте тую теорию гравитации. Однако, по-

< кольку существует несколько вариантов теории суперструн, также как и способов их компактификации, то непонятно какой И1 них является более "щ>авилышш"и, еледо-ватслыю, проблема построения единой теории в таком подходе остается открытой.

Попытки выхода за рамки теории возмущений в теории супорструп привели к появлению Л/-теории, в рамках которой различные типы суперструн рассматриваются как во!мущепия п окрестности различных вакуумов М-теории, а связь между различными теориями супе1>ст1)ун обеспечивается щх-обр&зовапиями дуальпости. Низкозпсргсти-ческим пределом Л^-геораи является теория й = 11 супергравитации. При размерной редуктгип этой теории вошикаст О — 10 супергравитааяя, которая является половым предстой теории < перструп типа ПА. Основными объектами М-теорин являются бра-11ы и струны. Согласно М-теории векторные поля локализованы па гиперповерхностях О-бран, а азаимодействие между Д-брапами осуществляется посредством открытых (труп Такой симбиоз между открытыми и замкнутыми струнами позволяет описывать один и те же л]>фскты как с помощью открытых струп (поле Япга-Миляся) так и помощью замкнутых сI.рун (гравитация) Подобное свойство называется АсШ/СИТ соответствием, и благодаря ему устанавливается связь между ощюдслонным образом компактифицированной к'орией IIВ с упер! трупы (супрегравитацией в £> = 5 AdS) иАС = 4

< уперсимметричпой конформной теорией поля Яша-Миллса Таким образом, исследование квантовых расширенных С}переимметричпых теорий по тя Янга-Миллса приобретает особую актуальность В частности, изучение .-к|х|)октивиого действия М = 4 супере имметричпой теории поля Янга-Мпллса является важным для понимания взаимосвязи между квантовой теорией поля и теорией < хруп. Для получения четырехмерной теории можно изучать ОЗ-браны. что приводит к И ~ 4 суперсимметричной калибровочной теории Потенциал взаимодействия набора из п параллельпых £>3-брап описывается в низкоэпоргстическом пределе действием Борна-Ипфельда и совпадает с пижоэнергетичссшш 'и[к])ективпым действием N = 4 суперсимметричпой теории Яига-Миллса с калибровочной группой спонтанно нарушенной до ¡/(I)"-1

Максимально расширенная М = 4 суперсимметричпая теория поля Япга-Миллса обладает ¡амсчатсльпьши свойствами как па классическом, так и па кваптовом уровпе Опд является ультрафполетопо-копечпой, копформно-ипвариаптной квантовой теорией н предполагается, что опа еамодуальпа относительно пепертурбативных преобразова-

«

пий, портводящих область слабой 1 вя щ в область сильпой сияли и наоборот Таким образом иеподопяпио всех квантовых свойств этой теории является очень актуальной и важпой задачей.

К настоящему момент}- не существует строго описания упомянутой выше М-теории В качестве альтернативного подхода к струпной иптсрп1>етации М-теории существует матричный подход, основанный па идее, что с точки зрения Директивной калибровочной теории поля координаты пабора О-бран можно рассматривать как с обствспные отачепия матрицы скалярного поля Подобное наблюдение позволяет интерпретировать пскоммутативпость матриц как щотявлепис пекоммутативпости координат, что приводит к необходимости изучения нс(апти)комчутативпых теорий поня

Особеппый интерес привлекают теории па пространствах с пеаптикоммутатнвпыми почетными координатами Например, введение неаптикоммутативпооти для граегм,чиповых координат в N = 1 супсрсимметричпых калибровочных теорий в четырепшгр-пом ирос транстве показало наличие взаимодействия с гравифотоппым суперполсм возникающим из амплитуд высшего рода в топологический теории супсретрун. Зай-берг предложи! расширить пскоммутативпость как в е.екто})« четных так и нечет-пых коордипат, по с условием коммутативности киральных коордипат Такая дс<]х>1>-мация приводит к тому, что нечетные! координата формируют алгебру Клиффорда, а обычные простраштвоппо-времешшс координаты уже пс коммутируют. Это деформация сохраняет часть супе[>симмстрий и имеет иптереслше свойства в точки зрения теории поля Заменяя и известных теориях все обычные произведения па звездочка-произведепия, мы получим новые суперсиммстричпыо теории па пеаптикоммутативпоч супсрпрострапствс Поскольку алгебра деформированной еупс]>симметрии имей хорошо определенные представлепия, в новых теориях сохраняются понятия киральных и векторных супсрполей Для исследования квантовых свойств таких теорий необходимо научится вычислять з<}х|>ектив1гоо действие. Специфика пс(апти)коммутативпости приводит усложнению «ой 1адачи поскольку такие теории являются пелокальпыми и содержат много вершин с производными, что ведет к проблеме пеперепормируемо-сти такой квантовой теории. Это означает что некоммутативная геометрия приводит к с пецифической структуре членов в 1аимодействия, которые содержат высшие производ-пые Подобная структура приводит к смешиванию ультрафиолетовых и инфракрасных ■}ф<1>ектоп, а иптегрщювапие высокоэпсргстичсских степепей свободы приводит к появлению пизкоэпергстических раеходимоетей Таким образом разработка методов вычисления эффективного действия для пскоммутативпых теорий является актуальной задачей.

Цель настоящей работы состоит в изучении новых свойств однопол левого эффективного действия М = 4 суперсиммотричной теории поля Япга-Миллса, а также в исследовании структуры голоморфных квантовых вкладов в эффективное действие нсаптикоммухативпой модели Вееса-Зумипо, обладающей Н — \ супе]« имметрией.

В диссертации строится разложение по производным однопетлевого эффективного

действия Ai = 4 с.уцерс иммстричпой теории поля Япга-Миллса, содержащей все поля M — 4 векторного мучьтиплета. Для этого рассматривается формулировка ЛГ = 4 (уперсимметричпой теории поля Япга-Миллса в термипах N — 1 супсрполсй и получеп-пое одпопстлсвос эффективное действие, используя приближение постояппых абелевых папряженпостей F„„,, входящих в состав калибровочного N — 1 векто!шого мультипле-та, и постоянных полей гипермультиплетов, выражается в термипах N = 1 суперпочей ( Анализируется возможность восстановления N = 4 формы полученных результатов

С этой цсчыо используется (формализм .V = 2 гармонического супернрострапстпа, с помошыо которого можно воеегаповить скрытую N — 2 супсхнпшмстршо M = 4 cynci>-симмстричпой теории поля Янга-Миллса и восстановить отсутствующие, зависящие от ' гипермультиплетов, члены.

Кроме того, в диссертации исследуется обшая структура голоморфных квантовых вкладов в эффективное действие пеалтикоммутативпой M — \ ( упс|>симметрич1Шй модели Вссса-Зумшю Изучается разложение одпопетлевого эффективного нотешшала в ряд по степеням киралыюго суперполя Ф, его щюизводным Х)2Ф и формулируется процедура последовательного вычисления коэффициентов этого ряда Строится точное иптегралыгос представление одпопетчевого э<ф<1>сктивпого потенциала

Научная иови-зпа. В диссертации впервые получены следующие резузьтаты:

Дчя .V = 4 суперсимметричной теории поля Япга-Миллса впервые получено разложение по производным одпопетлевого эффективного действия, зависящего от всех полей векторного H — 4 мультиплета. Несколько первых членоп этого разложения получепы в явно M = 2 супсрсиммстрпчной форме. Предложен метод восстановления M — 4 cjпереимметрии подученных вкзадоп Показало, что для восстановления N = 4 супс|>-симметрии требуется квантовая деформация исходпых классичмких преобразований. Предложена самоеопдсовалная процедура вьсчисчепия квантовых деформаций и восстановления N = 4 супе) ¡симметрии

В неалтикоммутативпой N = \ с.уперсимметричпой модели Весса-Зумипо одпопет-левой киразьпый эффективный потепциаз получен в двух (¡юрмах: в виде точного интегрального представления по собственному вухтепи и d виде разложения по сниноряым производным (¡юповых полей. Продемонстрировано, что вычисление теплового яд1>а в I интегральном щюдетав. кчгии сводится к нахождению следа оператора эвочюции для

осциллятора с аптикомму тирующими коорди патами фазового щюстранстиа

Получепы все расходящиеся и несколько конечпых вкладов Показало, что вычисление конечных вкладов в киралыгый эффективный потенциал связано с представлением I Мсллипа-Барнса гипергеометричееккх (функции нескольких переменных, которые для

антикоммутирующих переменных являются конечными починочный, и их всегда можно выразить через некоторое лвс.здочка-п1>оизвсдгнис

В( е новые ре гульюты для одпопетяевых поправок к эффективному действию, рае-i мотренные в диссе[)тации, впервые получены на основе метода символов операторов,

еформузированпого в N — 1 супсрщюстраигтвс

Научная и практическая цепность результатов работы Полученные в диссертации результаты связаны с решением актуальных научных проблем в рамках фундаментальных направлений современной теоретической физики высоких энергий Они ведут к более глубокому полимдпию структуры эффективного действия п супорсиммстричпых полевых теориях и развитию общих методов исследования эффективного действия Практическая значимость результатов обусловлена ш> i-мпя1Шм их применениям к решению следующих важных щюблем суперсимметричной кваптовой теории поля и теории суперструн:

1. Изучение структуры эффективного действия в высших порядках петлевого разложения п моделях кваптовой теории поля с расширенной суперсиммстрией, включая N — 4 супсрсимметричпую теорию поля Янга-Миллга.

2. Построение эс]к|>сктивпогс> действия в Н = 4 суперсиммстричной теории поля Лига- Миллса, зависящего от всех полей Л/" = 4 векторного мультипзета. на непостоянном фоне с учетом высших порядков по напряженности И — 1 векторного мультиплега

3 Исследование взаимосвязей между взаимодействием £>3-брап в теории суперструн и '»ффектшшьш действием N — 4 супе]>симметричпой теории поля Яша-Мил к а вне рамеж ведущего пизкоэпергстичсского п])иблажения

4. Вычисление квантовых дос)юрмаций преобразований iупереимметрии в расширеп-иых еупечкимметричпых теориях поля

о Нахождение киральпого эс|х|>сктивпого потенциала в Н = 1,2 супсрсимметрич-цых калибровочпых теориях с деформированными в фермионпом сектор суперпрострап ствах, ведущими к моделям с N = 1/2,1 суперсимметриями соответственно

На защиту выносятся следующие положения: 1 Получено разложение однопетлевого эс1к|>ективпого действия N = 4 супсрсиммет-ричпой теории Яигл-Миллеа с учетом вклада полей как N — 1 векторпого мультлплп а гак и гипермульгивлета. Вычислепы несколько членов разложения в явно N = 2 еупер-симчетричпой с|юрме. Сравпение [>езу штатов вычисления с известными результатами показывает их непротиворечивость.

2. Выяснено, что получеппые члепы 1)азложения пе обладают Ы = 4 супертиммстрией и указаны причины этого Подложен способ посстаповтения М 4 суперс имметрип в члепах разложения эффективного действия. Показало, что для этого требуется учитывать дополпите шные члены. В явном виде вычислепы несколько дополнительных членов ^«демонстрировало, что иепротиво1>ечивая самосогласованная процедура восстановления N = 4 суперсиммстрии с необходимостью т!>сбуот кваптовой деформации классических преобразований супсрсимметрии. Несколько квантовых поправок к классическим щюобразовапиям вычислены явно.

3. На основе процедуры восстановления М = 4 гупеух:имяетрии в членах раиоже-пия -н^фективпого действия получен способ вычисления высших понравок в ,*|>фск-

гивпос действие, игполы)'я поправки низшего порядка и деформированные квантовые преобразования N = 4 суперсимметрии

4 Ичучена структура одпопетлевых поправок к киралыюму эффективному действию М — 5 модели Всеса-Зуиипо Предложен метод вычисления одпопе-певого киралыю-го эффективного потецциала Получено точное интегральное. представление для одтт-петлепого киралыюго потенциала.

5 Представлено разложение однопетлевого киральпого потенциала Вычислены расходящиеся п некоторые конечные вклады Найдено значение одпопетлевого киралыто-го потенциала па фопе постоянных полей. На непостоянном фоне вычислено пссколько членов разложения и показано, что любой член разложения выражается чере? гигго[>-геомстричсс кую (функцию песко льких переменных Проанализирована (груктура вкладов в секторе скалярных полей.

Апробации работы.

Ро1\льтаты, изложенные в диссертации, докладывались на международных конференциях и совещаниях- "11 Международная конференция "Тсорегичее кис и экспериментальные проблемы общей юории относительности н гравитации"(Томск, 2002 г ), Международное совещание "Супс^-иммстрии и квантовые си\шотрии"(Объсдипсппый Институт Ядерных Исследований, Дубна, 2003 г.); Международное совещание "Квантовая теория поля во внешних полях"(Оклахомский университет, Норман, США, 2003 г)

Осгювпые |>еэультаты диссертации опубликованы в 7 печатных работах, перечи-( лонных в заключительной части автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав осповпого текста и Заключения. соде|>-жащего основные результаты работы, а также списка цитируемой литературы из 332 наименований. Объем диссертации составляет 167 страниц текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении дапо обоснование актуальности темы диссертации, приведен исторический обзор основных достижений и существующих проблем в данной области исследований, а также сформулированы основные задачи и кратко изложено содержание диссертационной работы.

Первая Глава представляет собой обзор необходимого математического апнарала. Структурно она состоит из двух частей К первой части относятся разделы 1.1-1 4 в которых приведепо опрелсление эффективного действия и рассмотрим его свойства Показано как возникает петлевое разложение Представлен вывод формулы одпопет-левого эффективного действия и проанализированы основные методы его вычисления Во второй части, шложеппой в разделах 1 5-1 6, дан разворпутый обзор основных конструкций метода символов операторов. Приводятся основные понятия метода деыонстри-

руотся связь с другими методами, имеются рецепты конкретных вычислопий.

Во второй Главе рассматривается формулщювка М = 4 суперсимметричной теории пот я Янга-Милл<а в терминах Л/"= 1 суперполей с классическим действием

5 = 1ц У ¿хсРбТУ* ^ ^Л^Ф/Ф'е-Ч

+ 11Мвгс,)кФ<{&,Ф*] + ¿у Л^гс^Ф.'Ф,, Фк)) , (1)

где V/, V/ папряжепиость N - 1 калибровочпого суперполя, Ф киралыше М = 1 суперполя, образующие гипермультиплст

Для этой модели вычисляется одпопетловое чффоктивпое действие, используя приближение постоянных абслепых папряженностей Ртп и постоянных полей гипормульти-п ютов выражается в терминах N = 1 суперполей. Получепное действие представляется в виде разложения по еуперковариаптпым производным и переписывается в терминах N = 2 суперно ней В частности, таким образом можно получить полное N ~ Л супер-с иммотричпое пизксипергетическое эффективное действие, впервые установленное И Л. Бухбиндером и Е.А. Ивановым и найти следующие за ведущими вклады к этому действию.

В ра 7ДСЛО 2 1 обосновывается необходимость изучения эффективного действия N = 4 супе[х имметричпой теории поля Янга-Миглса пс только секторе N = 2 векторного мультиплста, а с учетом всех полей N = 4 векторного мультиплотя, поскольку предполагается, что полное N = 4 оупорсичмстричнос эффективное действие данной теории, порученное суммированием всех кваптовых поправок, должно воспроизводить действие Бориа-Инфельда Приводится простейшая конфигурация фоповых полей, которая позволяет учесть вклады всех полей и обладающая N = 2 супорсиммотрией.

В раздело 2 2 рассматриваются известные на настоящее вртмя с|н>рмули])Овки N = 4 супе1>симметричпой теории поля Япга-Миллса, анализируются их п[>еимущества и педостатки. Используя метод фопового поля в N = 1 суперпространстве и суперсимметричное обобщение калиб[ювки й^-типа, находится «формальное выражение для одно-печлового эффективного действия.

Вычисление одиопетлевого эффективного действия щюводигся в разделе 2.3, где выполняются необходимые преобразования и показывается, что полный однонетлепой вклад в эффективное действие даете я щкк тым выражешием, зависящим только от векторных полей, а вся зависимость от фона спрятана в матрице, которая иивариаптпа при преобра ювапиях группы й-симметрии

В речультате однопетлевое эффективное действие можно записать как разложение по степепям безразмерных комбинаций Ф, Ф суперполой гинермультиплета

= = (2) В приближении постоянного фона однопетлевое эффективное действие с у ммирустся в

выражение

1 г „ /•"» №2№2

где ш(х,у) (функция двух пе^меиных. Степенному разложению функции ш(х,у) в бозошюм еекто[>е соответствует разложение по степеням напряженности а именно Г(п) ~ Ьм+2п/М2+2п, М = (ФФ + /"7*,), где Ф,Ф и /<й физические Готюнпые поля М =1 векторного мультиплетя и гипермультиплета

В разделе 2 4 дается рецепт восстановления N = 2 формы чтенои разложения од-нопетчевой поп1>авки в жффективпос действие и проводится вычисчснис явного N = 2 () перс иммегричпого вида неско тьких первых ч ченов раз южепия Первый чтец раз чожения, содержащий па массовой поверх ногти векторные почя УУ и почя гнпермупьти-пзетов ц** имеет известную в литературе форму

А -{(*- + №Ы]}, X - (4)

где Ь^Х) дилагорифм Эйлера, а с постоянная

В 1рстьей Главе анализируется структура N = 4 формы получеппых членов рлыо-жения эффективного действия Для ->того используется формализм N = 2 гармопи-чеч кого суперпрострапства с помощью которого проверяется скрытая N — 2 супсрсим-метрия N - 4 (уперсиыыетричпой теории и находятся необходимые зависящие ог ги-нерчультипчеюв члены Требование сохранения скрытой N — 2 супе[)симметрии по1-ш> 1яет получить ведущую по производным гипермулыипчетов часть точного N - 4 I \персиыыстричпого функционала, содержащего С1хуш компонентных ночей ччепы ги-па^8

В разделе 3 1 анали шруется возможная N -- 4 (|юрма членов эффективного действия. содержащих супериоля гипермультиплета и их спипорныс производные О q+. Показывается, что N = 4 форма каждого члена должна явчяться конечным рядом по степеням Вычисляется первый, по зависящий от производных ччеп этого

ряда для У"

Раздел 3 2 касается иыяснения структуры N — 4 супс!>симмотрич1ШХ вкладов в *ф-фскгивпос действие вне рамок низкоэпергсчичесхого П1)иблнжсния. Предлагается алгоритм вех становления N — 4 суперсимметрии и доказывается необходимость квашо-вой деформации класс ичеческих п1>еобразованвй N = 4 с у переимметрви На примере восстановления N - 4 супсрсимметрии вычисленного в предыдущем раздече члена Г(в) в явном виде вычисляются пескочько первых квантовых поправок к классическим преобразованиям N = 4 супсримметрии

Гчава четыре посвящена иссчсдовапию структуры гопоморфных квантовых вкладов в эффективное действие пеаптикоммутатишюй N — \ модели Весса-Зумипо. С

помощью техники символов операторов одпопстлсвой эффективный киральпый потен циал вы|)ажается черт интеграл по собственному времени от соответствующего теплового ядра Тепловое ядро можно вычислить точно В результате будет предъявлено точное интегральное представление однопетлевого эффективного потенциала Также будет изучено разложение эффективного потенциала в ряд по степеням киральпого супсрполя Ф, его производным £>гФ и сфорчулщювапа процедура послсдовате шного вычис ления коэффициентов этого ряда. Не содержащие производных члены ряда мо"\ I быть просуммированы и запис аны в замкнутой форме

В разделе 4 1 дается определение неангикоммутативпого N — | суперпростраисгва и вводятся генераторы преобразований суперсимметрии

(6)

Далее делается исторический обзор, касающийся исследованию теорий в некоммутативных п])0страпетвах, и приводится известные резузым Кроме того, в этом разделе приводятся ссылки па основпую лшературу.

Раздел 4 2 посвящен оппсапию исследуемой модели и анализу ее классических с войс тв Действие неаптикоммутативпой N — \ модели Весса-Зумипо имеет вид

/ЛгФ*Ф + |^г(^Ф^Ф + |тФ*Ф*Ф) + у>.г(уФ*Ф + |ф*ф*ф) , (7) где Ф киральпос суперполе, а *-произведепис определяется как

т*в№ = /ОТ «Р (-5 д{в) .

Основные вычисления одпопеттевого киральпого эффективного действия проводятся в разделе 4 3. в котором приводиться вывод общей формулы

, (8)

где А = к{С}Ч)С? + ±<32 = М£2 и т + дф = т + $Ф - Д.

Да юс в рамках метода с обе гвонпого времени проиодигся вычис лепие однопетлевого киральпого потенциала

г - * Г« - " *

(9)

и находится точное выражение для теплового ядра

Р-0гФ,М = Н(<2Ч) + ^ (11)

где

Затем выводиться <|>ормула для последовательного вычисления членов Я„ разложения киралыюго эффективного потенциала Г(1) = У^о Д,

В разделе 4.4 вычисляются расходимости одпопетлевого ки]>ального эффективною потепциала Результат имеет вид

И"*, = + , (12)

где 6 — -£>2Ф = ф2Ф Докалывается, что общая структура конечных вкладов имеет вид

Д, -= /<?х<ее ¿С|£,я(М,(г,т)Ф"-,1(— [?Ф)к , Ф -= Ф(у>0) (13)

■> к. о т

)дес1, А/ = /1<32ф + ^,Д = т+гФи С^п(М, Д, т) некоторые функции Затем находятся кпнечпые вклады Й2 и йз для случая произвольных фоновых полей Показано, что все конечные вклады с п > 1 выражаются черт гипергиометрические (функции нескольких переменных Для постоянного (фона все конечные вклады суммируются и приводиться результат

г"> ■ щя1*х*вп{*+++(1+? >1п(1+£>) (14)

В конце раздела проводился анализ структуры эффективного потенциала в бо юнпом секторе суперполей и находиться поп]>авка к клас.сичес,кому потенциалу

В Заключении сформьшрованы основные [хмулшати работы:

1. Изучена структура одпопетлевого эффективного действия для N = 4 супс1>сим-мстричпой теории поля Япга-Миллса, зависящего от супе-рполей N = 2 векторного мультиилега н типермультштлотов. Доказано, что эффективное действие, завис яше.е си всех полей N - 4 векторного мультиплела, получается поертдетвом специальной лмены функциональных аргументов в *]хфсктивном действии в секторе векторного мультиплела. Найдено однопол левое нилкознорютичоскоо эффективное действие А/' = 4 (упсрс имметричной теории поля Янга-Миллса, зависящее от суперполей N — А вектор-нога мультиплета

2 Подложен метод, во толяющий щк'дс тавитз. найденное Цкрсктивпое дсжтиис в нвно Ы = 2 супсрсимметричпом виде Показано, что члены разложения эффекгявио-го действия выражаются черо ицтегралы от функций пл. N — 2 суперпрострапстве, ывисящих от АГ — 2 папряжешюслей, их спинорных производных и суперполей гинер-мультиплетов Получены поправки к ведущему низко-энергетическому вкладу, зависящие от производных сулерполсвых напряжмшостсй.

3. Продиализщюиапа структура членов разложения тпкоэппргстичос кого эф<|х:к-тивното действия по щхшзводпым в ¿V = 2 суперпрогтрапстве. Рассмотри нервый но-( ле ведущего член в раитожешш эффективного действия в секторе Л/" = 2 векторного

м\льлипчпа и доказано, что он может быть дополпоп выражением, которое обеспечивает потную А/" = 4 еупсрсимметрию на массовой поверхности Показано что дополнение завие.ит от суперполей гипермультиплета и представляет собой потипом по степеням П1ЮИ1ВОДНЫХ от суперполей гипермультиплета. Первый, ведущий член этою цолпномл по ia висит от прои)водпых еуперполей гипермультиплета и пайдеп точно

4 Предложен метод вычис лепия однопетлепосо эфе[>сктиппого потенциала для И

1 пеапликочмутативпой модели Веееа-Зумино. Точпо вычислено тепловое ядро кирачь-ного эффективного потенциала N = | неаптикоммугативной модели Весеа-Зучино на специальном фоне Показано что данный эффективный потенциал содержит все ранее прсдсхавлеппыс в ,1итсрагу5>о результаты как частпыс случаи.

5 Подложена систематическая щюцедура разложения киральпого эффективного потенциала для N — | поаптикеммутативной модели Весса-Зумипо в ряд по етепеиям Ф и степеням производных D2Ф

6 Вычислены все расходящиеся и несколько конечных вкладов в однопетлевой ки-рачышй эффективный потенциал для N = \ псапитикоммутативпой модели Весса-Зумипо Показано что все конечные вклады выражаются череп гипергсометричеекие функции нескольких переменных Получен первый член разложения киральпого эфе^ск-тивного потенциала по степеням производных £>2Ф.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1) Bauin А Т , Buchbiudor I L , Pletncv N.G Low-energy effective action m extended siipersyrnnietric gauge theories // Gravity and Cosmology - 2003 - v 9. - p 2-10

2) Banin A.T , Pleuiev N.G , Calculation of traces and special representation of differential operators. // Gravity and Cosmology - 2003. - v.9. - p. 11-14 ;

3) Banin A T , Biichbinder I L , Pletncv N.G One-loop effective ac tion for Af = 4 SYM theory in titc iiypcrmnlfiplot. sector - loading low-eueigy approximation arid bcvoricl ■'/ Physical Review D - 2003 - v 68 - p.065024-1 - 065024-13

4) Banin \ T . Buchbinder IL., Pletncv N.G. Chira! effective potential in Я ■= 1/2 non-commutative Wcss-Ziimino model // Journal of High Energy Physics - 2001 - v 07 -p.011-1 - 011-30

5) Bauin A T , Pletncv N G. Low-energy next-to-leadmg contributions to the cffectne action ш N — 4 SYM theory //Proceedings of International Workshop Supcrsyinmetries and Quantum symmetries SQS'03(Dubna Russia, July 24-29 2003). Edited by Evgeny Ivanov, Anatoly Paslmcv. - Dubna - 2004 - p 271-270

6) Baiiin A T , Plctnev N G On the construction ofM - 4 SYM effecti-ie action beyond loading low-energy appioximatiori. //Proceedings of International Workshop Supcrsyiimietrioi, and Quantum symmetries SQS'03 (Dubna, Ruftsia, July '24-29, 2003), Edited by Evgeuy Ivanov, Anatoly Pashriev - Dubna - 2004 - p 277-282

7) Barim AT , Biiehbinder I L , Pletncv N.G. Low-energy effecitn'e action m extended supcrsyrnnictrie gauge theories // Proceedings of the 6th Woikshop on Quantum Field Theory Under the Influence of External Conditions, ed K A Milton Rinton Picht, Princeton, NJ - 2004 - p 205-270

s /

A

T

■b У

#198 16

РНБ Русский фонд

2005-4 17908

Бапин Александр Тихонович

Эффективное действие в расширенных и пеаптикоммутативпых суперсимметричпых теориях поля

Автореферат диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Подписало в печать OMO.OXf. Формат 60x84 1/16. Печать о<[>сстпая. Усл. печ. л. 1.3. Уч.-изд. л. 1.1. Тираж 100 экз.

Закал огл/\\

Издательство Научной литературы Томского государствсппого педагогического университета 634041 Томск, пр. Комсомольский, 75.

Введение л

Глава 1. Вычисление эффективного действие и метод символов операторов

1.1 Производящие функционалы функций Грина и эффективное действие.

1.2 Петлевое разложение эффективного действия.

1.3 Общие свойства эффективного действия.

1.3.1 Расходимости и перенормировка эффективного действия.

1.3.2 Калибровочная зависимость эффективного действия.

1.4 Методы вычисления однопетлевого эффективного действия.

1.4.1 Метод дзета-функции.

1.4.2 Метод собственного времени.'.

1.4.3 Разложение Швингера - Де Витта.

1.4.4 Эффективное действие для суперсимметричных теорий.

1.5 Метод символов операторов.

1.5.1 Определение символов операторов

1.5.2 Когерентные состояния и символы операторов

1.5.3 Операция звездочка-произведения

1.5.4 Использование символов операторов для вычисления следов

1.5.5 Определение звездочка-оператора.

1.5.6 Специальное представление операторов как разложение 1 по нормальным координатам.

1.5.7 Связь с деформационным квантованием.

1.5.8 Примеры специального представления операторов.

•А?! '" -Г

1.5.8 Примеры специального представления операторов.

1.6 Использование метода символов операторов для вычисления однопетлевого эффективного действия.

Глава 2. Однопетлевое эффективное действие для Н — 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса

2.7 И — 4 суперсимметричная теория поля Янга-Миллса

2.8 Суперполевые формулировки М = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса

2.8.1 Формулировка JS = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса да, в N = 1 суперпространстве

2.8.2 Формулировка Af = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса в N — 2 гармоническом суперпространстве.

2.8.3 Метод фонового поля в М = 1 суперпространстве.

2.9 Вычисление функциональных следов и однопетлевого эффективного действия

2.10 Преобразование N = 1 .суперсимметричного эффективного действия к явно Я — 2 суперсимметричной форме.

Глава 3. Аспекты N = 4 суперсимметрии однопетлевого эффективного действия в N — 2 суперпространстве

3.11 Восстановление // = 4 суперсимметрии эффективного действия.

3.12 Структура эффективного действия N = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса вне рамок низкоэнергетйческого приближения

3.13 Инвариантность F6 члена в Л/" = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса при преобразованиях скрытой Af = 2 суперсимметрии.

Глава 4. Киральный эффективный потенциал nN — \ суперсимметричной модели Весса-Зумино

4.14 Некоммутативное Н —\ суперпространство.

4.15 Описание некоммутативной модели Весса-Зумино на N — \ суперпространстве

4.16 Схема вычисления однопетлевого эффективного потенциала.

4.16.1 Техника символов операторов и представление теплового ядра

4.16.2 Точное вычисление теплового ядра.

4.16.3 Разложение теплового ядра

4.17 Вычисление кирального эффективного потенциала.

4.17.1 Расходящаяся часть эффективного потенциала

4.17.2 Структура конечных вкладов.

4.17.3 Вклад в киральный эффективный потенциал на постоянном фоне

Значительная часть исследований в современной теоретической физике высоких энергий посвящена различным аспектам проблемы построения объединенной теории фундаментальных взаимодействий. Представляется, что безусловным атрибутом такой теории должна являться суперсимметрия [1]-[7], обеспечивающая единое описание бозонов и фермионов. В настоящее время наиболее вероятным кандидатом на роль объединенной I теории считается теория суперструн, которая в низкоэнергетическом переделе приводит либо к теории гравитации (замкнутые струны) либо к теории Янга-Миллса (открытые струны) (см., например [8]).

В рамках теории возмущений теория суперструн, как теория протяженных объектов, снимает проблему ультрафиолетовых (УФ) расходимостей, присущую теории точечных фундаментальных объектов, и позволяет построить свободную от расходимостей кван-1 товую теорию гравитации. Однако, поскольку существует несколько вариантов теории суперструн (не говоря уже о способах их компактификации), то непонятно какой из них является более ,,правильным"и, следовательно, проблема построения единой теории в таком подходе остается открытой.

Попытки выхода за рамки теории возмущений в теории суперструн привели к появлению М-теории [9, 10] (см. также [11, 12]). При этом различные типы теории суперструн рассматриваются как возмущения в окрестности различных вакуумов М-теории, а связь между различными теориями суперструн обеспечивается преобразованиями дуальности. Низкоэнергетическим пределом М-теории является теория D — 11 супергравитации [13]. При размерной редукции этой теории возникает D = 10 супергравитация, которая является полевым пределом теории суперструн типа IIA. Основными объектами М-теории являются браны и струны. Понятие Dp-бран естественным образов возникает при компактификации суперструн. Согласно М-теории векторные поля локализованы на гиперповерхностях Р-бран, а взаимодействие между D-бранами осуществляется пос I редством открытых струн [14]-[17].

М-теория объединяет "материю"(в виде открытых струн) и "гравитацию"(в виде замкнутых струн), при этом материя сосредоточена на гиперповерхностях Dp-бран, а замкнутые струны распространяются в пространстве между бранами [18, 19]. Такой симбиоз между открытыми и замкнутыми струнами позволяет описывать один и те же эффекты как с помощью открытых струн (Янг-Миллс) так и помощью замкнутых струн (гравитация). Подобное свойство называется AdS/CFT соответствием [20, 21], и благодаря ему устанавливается связь между определенным образом компактифицированной теорией IIB суперструны [20] (супрегравитацией в D = 5 AdS) и Я = 4 суперсимметричной конформной теорией Янга-Миллса. Таким образом, исследование квантовых расширенных суперсимметричных теорий Янга-Миллса приобретает особую актуальность. В частности, изучение эффективного действия N = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса является важным для понимания взаимосвязи между квантовой теорией поля (КТП) и теорией струн. Мировой объем .Ор-браны имеет размерность р + 1, поэтому для получения D = 4 теории можно изучать .ОЗ-браны, что приводит к Л/" = 4 суперсимметричной калибровочной теории (см. ниже). Потенциал взаимодействия набора из п параллельных £>3-бран описывается действием Борна-Инфельда [22] и совпадает с низкоэнергетическим эффективным действием J\f = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса с калибровочной группой SU(n) спонтанно нарушенной до f/(l)n1 (см, например [23]-[38]).

При изучении свойств КТП широко используется метод фонового поля (см.,например, [39]-[48]) при котором исходные поля классического действия рассматривается как комбинации классической и квантовой составляющей, и представляет собой обобщение метода производящих функционалов (см., например, [49]) на случай ненулевых фоновых полей. Основным объектом исследования при использовании метода фонового поля является функционал эффективного действия, который содержит всю квантовую информацию о теории, поскольку позволяет получить полный пропагатор, полные вершинные функции [39] и исследовать квантовые эффекты на фоне внешних полей [40]-| [43], [85]-[52]. В теориях со спонтанным нарушением симметрии эффективное действие является наиболее адекватным инструментом для изучения квантовых свойств [40], [41]-[43]. К сожалению для калибровочных теорий вычисление эффективного действия сталкивается с определенными сложностями. Исключение нефизических степеней свободы требует фиксации калибровки, что в свою очередь приводит к калибровочной зависимости эффективного действия и нарушению калибровочной инвариантности при преобразовании фоновых полей. Калибровочная зависимость эффективного действия (впервые определенного в работе [53]) замечена Джакивом [54,55]. Он поставил вопрос о физической значимости эффективного потенциала и пришел к заключению, что только предельная унитарная калибровка дает осмысленный результат для спонтанного нарушения симметрии. Решение проблемы калибровочной инвариантности эффективного действия предложено в работе [56]. С другой стороны попытки построить калибровочно независимое эффективное действие предпринимались неоднократно и привели к появлению понятия "единое эффективное действие" [47, 48]. Позже было показано, что во всех порядках теории возмущений, для скалярной КЭД и ЯМ теорий, единое эффективное действие точно совпадает с калибровочно инвариантным обычным эффективным действием, вычисленным в калибровке Ландау-Де Витта [57, 58]. Данное утверждение подтверждено на различных моделях. Среди других проблем конструкция Вилковыского - Де Витта зависит от выбранной точки отсчета в пространстве полей и требует выбора метрики на конфигурационном пространстве. С этой точки зрения конструкция единого эффективного действия не является решением проблемы калибровочной зависимости [59]. Тем не менее это не уменьшает ее значимости для анализа эффективного действия теории вне массовой поверхности. Имеется множество работ, посвященных построению и анализу единого эффективного для различных моделей теорий поля. В частности, конструкция единого эффективного действия для различных моделей Калуцы-Клейна и теорий гравитации изучалась, например, в работах [60]-[64].

В настоящее время единственным известным способом вычисления эффективного действия является пертурбативный, использующий петлевое разложение [49], разложение по производным (см., например, [65]-[79]) и разложение по большим массам. Для вычисления эффективного действия пертурбативным способом достаточно знать разложение классического действия по степеням квантовых полей. Коэффициенты этого разложения представляют собой псевдодифференциальные операторы, зависящие от фоновых полей и определяют классические пропагаторы и вершины взаимодействия.

Вычисление эффективного действия в кривых пространствах имеет свои сложности. Для этого обычно используется метод Швингера- де Витта [80, 81], который позволяет получать явно ковариантные выражения. Однако для случая сильных фоновых полей данный подход не применим и совершенно лишен смысла для безмассовых теорий и произвольно изменяющихся фоновых полей. Для изучения таких случаев требуются специальные методы (см., например, [65]). Получающиеся результаты имеют существенно нелокальную форму.

Проблема вычисления и перенормировки эффективного действия в ковариантных величинах породила отдельную область исследований. Распространение получил, например метод собственного времени (теплового ядра) [8 2]-[84], имеющий геометрическую интерпретацию [80]-[81]. Метод собственного времени является наиболее подходящим инструментом для анализа ультрафиолетовых расходимостей, поскольку позволяет получать разложение функций Грина в окрестности светового конуса. Основными схемами УФ-регуляризации являются размерная и ^-функции [85, 86].

Метод фонового поля в суперпространстве [2,3, 89] позволяет работать с векторными супермультиплетами и материальными суперполями калибровочно инвариантным способом. Однако в отличие от обычных калибровочных теорий, калибровочная связность не является независимым объектом а выражается через препотенциал. Общие свойства суперполевого эффективного действия изучались, например, в работах [60]-[64].

Среди последних исследований следует отметить метод символов операторов [70, 71, 72]. Он также позволяет получать поправки к эффективному действию в явно ковариантном виде. Специфика метода состоит в том, что для вычисления следов сложных операторов используются их символы [87, 88], что на практике приводит к разложению величин по нормальным координатам в фазовом пространства. Данный метод опробирован [70]-[72] , результаты полученные с его помощью полностью совпадают с результатами, полученными другим способом. Более того, для некоторых задач получены новые результаты [73]-[79]. Важно, что суперсимметричная и калибровочно инвариантная форма сохраняется на всех стадиях вычисления этим методом. В методе используется простая идея, использующая канонические преобразования, которые в итоге дают разложение по нормальным координатам. Эта процедура составляет хорошо известную реализацию принципа эквивалентности, который утверждает существование такой системы координат в каждой точке, что эффекты калибровочных полей локально отсутствуют.

Как уже было отмечено, исключительное место в моделях квантовой теории поля занимают N ='4 суперсимметричные теории поля Янга-Миллса. Максимально расширепная Af = 4 суперсимметричная теория поля Янга-Миллса обладает замечательными свойствами как на классическом, так и на квантовом уровне. Она является ультрафиолетово-конечной, конформно-инвариантной теорией и предполагается, что она само-дуальна относительно непертурбативных преобразований, переводящих область слабой связи в сильную. Первые исследования низкоэнергетического N = 4 эффективного действия можно найти в работах [38, 90, 91]. В этой теории ведущие квантовые поправки описываются неголоморфным потенциалом и доказано [38, 92], что поправки за счет высших петель и непертурбативных эффектов отсутствуют. Известно, что проблема определения суперполевого эффективного действия, согласованного с симметриями исходной теории может быть изучена в рамках суперполевой техники собственного времени [2, 93].

Формулировки N = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса с явной N = 4 суперсимметрией вне массовой поверхности в настоящее время не существует. Поэтому изучение конкретных квантовых аспектов этой теории обычно основывается на ее переформулировке либо в терминах физических компонентных полей (см., например, [94]) либо в терминах N = 1 суперпространства (см., например, [95]) либо в терминах N = 2 гармонического суперпространства [4]-[7], [96, 97].

Одной из рассматриваемых в диссертации задач является получение разложения по производным однопетлевого эффективного действия N = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса, содержащей как поля N = 2 векторного мультиплета так и гипермультиплетные поля. N = 4 суперсимметричная теория поля Янга-Миллса обладает рядом замечательных свойств которые позволяют прояснить некоторые вопросы, связанные с квантовой динамикой в суперполевых моделях и связать их с теорией струн и бран. Максимально расширенная глобальная суперсимметрия в N = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса накладывает жесткие ограничения на квантовую динамику. Это позволяет найти и изучить величины, характеризующие теорию в квантовой области (см., например, работы [98]-[107]).

К настоящему моменту не существует строго описания упомянутой выше М-теории. В качестве альтернативного подхода к струнной интерпретации М-теории был предложен матричный подход [108]. В рамках этого подхода поперечные координаты .DO-бран задаются N х iV-матрицами X,-, г = 1.9, которые являются основными объектами из которых строится лагранжиан теории. Таким образом девять поперечных Xi и две координаты светового конуса составляют D = 11 пространство матричной теории.

С точки зрения эффективной калибровочной теории поля координаты набора D-бран можно рассматривать как собственные значения матрицы скалярного поля в присоединенном представлении. Подобное наблюдение позволяет интерпретировать некоммутативность матриц как проявление некоммутативности координат, что приводит к необходимости изучения некоммутативных теорий поля. Более подробную аргументацию о связи между теорией струн некоммутативными теориями [109]-[111]. Некоторые матричные модели допускают непертурбативное определение некоммутативной теории Янга-Миллса [109, 112].

Идея использовать некоммутативное пространство при малых масштабах впервые реализована Снайдером в работе [113]-[115] где оно применялось для УФ регуляризации. Предполагалось, что использование некоммутативного пространства наилучшим образом подходит для УФ регуляризации, сохраняющей лоренцеву инвариантность. Эта; идея не получила широкого развития и вскоре забылась.

Фон Нейман впервые математически строго описал квантовые некоммутативные пространства чем вновь вызвал интерес к некоммутативной геометрии, ссылаясь на то, что понятие частицы в квантовом фазовом пространстве лишено смысла из-за принципа неопределенности Гейзенберга. Это привело к теории алгебр фон Неймана и появлению некоммутативной геометрии, т.е. к изучению пространств в которых обычные коммутативная алгебра функций заменена на некоммутативную алгебру [116]-[119].

В 80-х годах идея некоммутативной геометрии исследована математиками, которые обобщили понятие дифференциальных структур на некоммутативный случай [120]-[122]. После определения обобщенного интегрирования [123], это привело к операторному описанию некоммутативных пространств и позволило определить калибровочные теории для большого класса некоммутативных пространств. Одним из примеров калибровочной теории в некоммутативном пространстве является теория Янга-Миллса на некоммутативном торе [123]. Примерно в тоже время, проводились исследования геометрических интерпретаций стандартной модели на некоммутативном пространстве (модель Конпеса-Лотта) [124]-[126], изучение других квантовых теорий поля (см, например, [127]-[128]) и гравитации [129]-[133]. Общей идеей во всех этих исследованиях было использование модифицированного механизма Калуцы-Клейна, в котором скрытые размерности рассматривались некоммутативными [134]. Данный подход имел много недостатков и по этой причине потерял привлекательность. В частности существовала проблема того, что квантовые радиационные поправки не давали удовлетворительных результатов, хотя подтвердилась идея Снайдера о нарушении лоренцевой симметрии на планковских масштабах, поскольку пространство не являлось больше дифференцируемым многообразием [135]-[137]. При таких масштабах квантовые гравитационные флуктуации становятся большими и ими уже нельзя пренебречь [138]-[139].

Другое свидетельство пространственной некоммутативности происходит из теории струн. Поскольку струны имеют собственный масштабный параметр I, то при рассмотрении струнных состояний на малых масштабах невозможно наблюдать расстояния меньшие I. Основываясь на анализе высокоэнергетических амплитуд рассеяния струн [140]-[142], модифицированное для струн соотношение Гейзенберга постулируется в форме

При 1 = 0 это соотношение переходит в стандартное квантово-механическое соотношение. Но из этой-же формулы следует что размер струны растет с ростом энергии.

Таким образом меняя Ар невозможно уменьшить размер струны меньше определенной величины (Aa;)min = I2. Подобные рассуждения позволили постулировать соотношение неопределенности в виде [143]-[145]

AxiAxj = lp , где 1Р это планковская длина. Таким образом при высоких энергиях понятие точки в пространстве теряет смысл. При низких энергиях 1Р —> 0 восстанавливается обычное классическое коммутативное пространство.

Первые исследования классических теорий Янга-Миллса на некоммутативных торах появились в конце 80-х годов [123], [146]. Несмотря на то, что теории на некоммутативных пространствах изучались и раньше, последние исследования были обусловлены тем, что такие теории естественным образов возникают в теории струн [147]-[148] j Если D-брана [18, 19] находится в фоне некоторых ненулевых полей супергравитации, динамика некоторых низкоэнергетических состояний открытых струн, связанных с ней, описывается некоммутативной теорией поля. В некоммутативных теориях поля возникают нелокальности, присущие струнным теориям. Существует надежда, что некоммутативные теории помогут объяснить общие свойства теории струн. Последние, связанные с этой темой работы, обсуждаются в [149]-[151].

Изучение взаимосвязи между некоммутативными полевыми теориями и теориями струн оказалось плодотворным и позволило лучше понять как некоммутативные так и струнные теории. Часть усилий было направлена на изучение регуляризации и перенормируемости квантовых теорий, которые не обладают ни локальными ни лоренцевскими симметриями. Другая часть усилий была сконцентрирована на анализе классических и квантовых нелокальностей в некоммутативных теориях. Выяснилось, что некоммутативные теории обладают свойствами, присущими обычным (коммутативным) теориям.

Среди необычных свойств некоммутатиных теорий можно отметить то, что элементарными состояниями в них являются не точечные частицы а некоммутативные диполи — слабовзаимодействующие протяженные объекты [152]. В типичной некоммутативной теории всегда имеется специальный класс составных операторов: открытые вильсонов-ские линии И^Ф) и их потомки (ФИ^)к(Ф). ИК динамика некоммутативных диполей и, следовательно, открытых линий дуальна ультрафиолетовой динамике элементарных полей Ф.

Кроме связи со струнными теориями некоммутативные теории поля имеют самостоятельный интерес. Они являются нелокальными и содержат много вершин с производными, что ведет к неперенормируемости квантовой теории. Это означает что некоммутативная геометрия приводит к специфической структуре членов взаимодействия, которые содержат высшие производные. Изучение этой структуры затрудняется имеющимся смешиванием состояний с большими и малыми импульсами в петлевых диаграммах, что разрушает привычные представления о Вильсоновской схеме перенормировки, которая предполагает четкое разделение энергетической шкалы. Данный эффект полу^ чил название УФ/ИК-смешивание. В результате интегрирование высокоэнергетических степеней свободы приводит к появлению низкоэнергетических расходимостей. Наличие такого смешивания затрудняет перенормировку некоммутативных теорий и при этом до сих пор непонятно связан этот эффект с пертурбативным подходом к перенормировке или он присутствует на непертурбативном уровне.

Другое интересное свойство некоммутативных теорий заключается в том, что ряд теории возмущений не сводится гладким образом к своей коммутативной версии а содержит полюсы по некоммутативному параметру. В тоже время такое поведение может исчезать в полной квантовой теории. Эти открытые вопросы мотивируют исследования точно решаемых моделей на некоммутативных пространствах, что может пролить свет на вопрос являются ли эти свойства следствием пертурбативного подхода. Этот вопрос рассматривался в работе [153].

Значительный интерес вызывает изучение калибровочных теорий на некоммутативных пространствах [147, 154]. Эти симметрии перемешивают внутренние и пространственные степени свободы. Следствием этого, в частности, является то, что некоммутативная калибровочная теория не имеет локальных наблюдаемых в обычном понимании, поскольку операция взятия следа подразумевает интегрирование по пространству, иначе нарушается калибровочная инвариантность. В некоммутативных калибровочных теориях существует новый тип калибровочно-инвариантных объектов, локализованных в импульсном пространстве (см. [152], [155]-[158]). В дополнение к обычным наблюдаемым имеются калибровочно инвариантные вильсоновские операторы [159]-[161]. Из них можно построить калибровочно инвариантные операторы, имеющие определенный момент, которые в коммутативном пределе сводятся к обычным локально калибровочно инвариантным операторам обычной калибровочной теории [162]-[163]. С точки зрения D-бран эти калибровочно инвариантные операторы естественным-образом связаны с общими фоновыми полями супергравитации [164]-[167].

Построение калибровочно инвариантных наблюдаемых, связанных с открытыми вильсоновскими линиями, основывается на свойстве трансляционной инвариантности калибровочных теорий [162]-[163]. С точностью до глобальных преобразований симметрии, трансляции вдоль некоммутативных направлений эквивалентны калибровочным преобразованиям. Обсуждения связи некоммутативности с общей ковариантностью можно найти в [168]-[1б9]. Обобщение идеи некоммутативности на суперпространство и конструкция моялов-j ского звездочка-произведения как операции умножения на нетривиальных (супер)пуас-соновских многообразиях [170]-[173] привлекает большое внимание в качестве первого шага построения суперсимметричной струнной теории поля. В работе [174] показано, что на языке струнной теории поля мояловское произведение является простейшим описанием взаимодействия бозонных струн. В недавно опубликованных работах имеются другие фундаментальные исследования звездочка-произведения для некоторого класса квантовых теорий поля на некоммутативных пространствах Минковского, которые являются пределом Зайберга-Виттена открытых струн в присутствии внешних постоянного NS-NS В-поля [175]. Точнее говоря компактифицируя браны на фоне ненулевого постоянного антисимметричного поля Втп мы получаем соответствующее низкоэнергетическое эффективное действие калибровочной теории, которая является деформированной некоммутативной суперсимметричной калибровочной теорией с некоммутативными бозонными направлениями. Этот результат явился причиной современных исследований в квантовой теории поля на некоммутативных пространствах (см. [155, 156, 176, 177]).

Открытые вильсоновские линии определяются в терминах звездочка (*) произведений, а их разложение по степеням калибровочного потенциала использует обобщенное *п-произведение в каждом порядке по п. Обобщение ^-произведения возникает и в од-нопетлевом эффективном действии некоммутативных теорий [178* 179], во взаимодействии между закрытыми безмассовыми и открытыми струнными модами [180]. Найдено полное соответствие результатов вычислений, полученных в пределе Зайберга-Виттена мирового листа струн и стандартным вычислением фейнмановских диаграмм при низких энергиях и в пределе сильной некоммутативности [178, 179].

Главную тему диссертационной работы составляет задача исследования новых свойств эффективного действия в JV = 4 коммутативных и jV= 1/2 некоммутативных суперсимметричных моделях теории поля.

Диссертация состоит из Введения, четырех Глав, Заключения и Приложений. Глава 1 представляет собой обзор необходимого математического аппарата. Структурно она состоит из двух частей. В первой части дано определение эффективного действия и рассмотрены его свойства. Показано как возникает петлевое разложение. Представлен вывод формулы однопетлевого эффективного действия и проанализированы основные методы его вычисления. Во второй части дан развернутый обзор основных идей метода символов операторов. Даются основные понятия метода, демонстрируется связь с дру

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [75]-[79].

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук профессору И.Л. Бухбиндеру за постановку задач, сотрудничество в их решении и организационную поддержку. Автор очень признателен кандидату физико- математических наук Н.Г. Плетневу за плодотворное сотрудничество, многочисленные обсуждения и помощь в работе.

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертации.

1. Изучена структура однопетлевого эффективного действия для N = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса, зависящего от суперполей JV — 2 векторного мультиплета и гипермультиплетов. Вычисления проведены на фоне специальных N = 1 суперполей, который соответствует постоянной абелевой напряженности Fmn и постоянным суперполям гипремультиплетов. Доказано, что эффективное действие, зависящее от всех полей N = 4 векторного мультиплета, получается посредством специальной замены функциональных аргументов в эффективном действии в секторе векторного мультиплета. Установлена зависимость низкоэнергетического однопетлевого эффективного действия, содержащего все степени абелевой напряженности, от полей гипермультиплетов и тем самым найдено однопетлевое низкоэнергетическое эффективное действие J\f = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса, зависящее от суперполей N — 4 векторного мультиплета.

2. Предложен метод, позволяющий представить найденное эффективное действие в явно N = 2 суперсимметричном виде. Изучено разложение эффективного действия по степеням ковариантных производных и показано, что члены такого разложения выражаются через интегралы от функций на N = 2 суперпространстве, зависящих от J\f = 2 напряженностей, их спинорных производных и суперполей гипермультиплетов. Предложен альтернативный вывод полного Л/* = 4 суперсимметричного низкоэнергетического действия, впервые найденного в работе [185]. Получены поправки к ведущему низкоэнергетическому вкладу, зависящие от производных суперполевых напряженностей.

3. Используя формализм гармонического суперпространства и алгебраический анализ, описанный в работе [185], проанализирована структура членов разложения низкоэнергетического эффективного действия по производным в N = 2 суперпространстве. Рассмотрен первый после ведущего член в разложении эффективного действия в секторе N = 2 векторного мультиплета и доказано, что он может быть дополнен выражением, которое обеспечивает полную N = 4 суперсимметрию на массовой поверхности. Показано что дополнение зависит от суперполей гипермультиплета и представляет собой полином по степеням производных от суперполей гипермультиплета. Первый, ведущий член этого полинома не зависит от производных суперполей гипермультиплета и найден точно.

4. Предложен метод вычисления однопетлевого эффективного потенциала для N = | некоммутативной модели Весса-Зумино. Точно вычислено тепловое ядро кирального эффективного потенциала N = | некоммутативной модели Весса-Зумино на специальном фоне, что позволяет найти точную форму эффективного потенциала, содержащего полную зависимость от Ф и D2Ф. Показано что данный эффективный потенциал содержит все ранее представленные в лимтературе результаты как частные случаи.

5. Предложена систематическая процедура разложения кирального эффективного потенциала для N = | некоммутативной модели Весса-Зумино в ряд по степеням Ф и степеням производных £>2Ф. Показано что каждый член этого ряда можно вычислить I точно. Найдены несколько первых членов данного разложения.

6. Вычислены все расходящиеся и несколько конечных вкладов в однопетлевой киральный эффективный потенциал для N = \ некоммутативной модели Весса-Зумино. Показано что все конечные вклады выражаются через гипергеометрические функции нескольких переменных. Доказано что разложение кирального эффективного потенциаI ла имеет простую структуру ряда по производным £)2Ф с коэффициентами, зависящими от Ф. Получен первый член этого разложения, который не содержит производных, но содержит степени Ф.

1. Весе Ю., Беггер Дж. Суперсимметрия и супергравитация.- Москва, Мир, 1986, -184с.

2. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M. Ideas and Methods of Supersymmetry and Supergravity or a Walk Through Superspace.- IOP Publishing, Bristol and Philadelphia, 1995, 607p.

3. Gates S.J., Grisaru M., Rodek M. and Siegel W. Superspace or Thousand and One Lessons in Supersymmetry.- Benjamin/Cummings, Reading, MA, 1983, 548p.

4. Galperin A.S., Ivanov E.A., Ogievetsky V.I., Sokatchev E.S. Harmonic Superspace.i

5. Cambridge University Press, 2001.

6. Ivanov E.A., Lechtenfeld O., Zupnik B.M., Nilpotent deformations of N = 2 superspace. // Journal of High Energy Physics, 2004, Vol.0402 p.012-026.

7. Ferrara S., Ivanov E.A., Lechtenfeld O., Sokatchev E., Zupnik B.M., Non-anticommutative chiral singlet deformation of N = (1,1) gauge theory. CERN-PHt TH-2004-032, ITP-UH-10-04, LAPTH-1041-04, hep-th/0405049.

8. Ivanov Е.А., Zupnik B.M., Nonanticommutative deformations of N = (1,1) supersym-metric theories., hep-th/0405185.

9. Грин M., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн.- Москва, Мир, 1990, Т.1, -518с.; Т.2. 656с.

10. Townsend Р.К. The eleven-dimensional supermembrane revisited. // Physics Letters B, 1995, Vol.350, p.184-187.

11. Witten E. String Theory Dynamics In Various Dimensions. // Nuclear Physics B, 1995, Vol.443. p.85-126.

12. Polchinski J. String Theory.- Cambridge, Cambridge University Press, 1998, Vol.I;~-~ 402p. j

13. C.V. Johnson, D-branes, Cambridge, Cambridge University Press, 2003. 548p.

14. Cremmer E., Julia В., Schrek J. Supergravity theory in eleven-dimensions. // Physics Letters B, 1978, Vol.76. p.409-445.

15. Polchinski J. Dirichlet-Branes and Ramond-Ramond Charges. // Physical Review Letters , 1995, Vol.75. p.4724-4727.

16. Polchinski J. Recent Results in String Duality. // Progress of Theoretical Physics Supplement, 1996, Vol.123. p.9-18.

17. Polchinski J. String Duality A Colloquium. // Reviews of Modern Physics, 1996, Vol.68. - p.1245-1258. '

18. Witten E. Bound States Of Strings And p-Branes. // Nuclear Physics B, 1996, Vol.459.- p.335-350.

19. Polchinski J. TASI lectures on D-branes. // NSE-TTP-96-145, hep-th/9611050;

20. Taylor W.I. Lectures on D-branes, gauge theory and M(atrices). // Lectures presented at Trieste summer school on particle physics and cosmology, 1997. 80p.

21. Maldacena J. The large N limit of superconformal field theories and supergravity. // Advances in Theroretical and Mathematical Physics, 1998, Vol.2. p.231-252.

22. Gubser S., Klebanov I., Polyakov A. Gauge Theory Correlators from non-critical string theory. // Physics Letters B, 1998, Vol.428. p.105-114.

23. Tseytlin A.A. Born Infeld action, Supersymmetry and String theory. // Yuri Golfand memorial volume. / ed. M. Shifman, World Scientific, 2000. p.417-452.

24. Lifschytz G. Comparing D-branes to Black-branes. // Physics Letters B, 1996, Vol.388.- p.720-726.

25. Banks Т., Fischler W., Shenker S. H. and Susskind L. M theory as a matrix model: A conjecture. // Physical Review D, 1997, Vol.55. p.5112-5128.

26. Lifschytz G. and Mathur S. D. Supersymmetry and membrane interactions in M(atrix) theory. // Nuclear Physics B, 1997, Vol.507. p.621-644."

27. Aharony O. and Berkooz M. Membrane dynamics in M(atrix) theory. // Nuclear Physics B, 1997, Vol.491. p.184-200. '

28. Douglas M. R., Kabat D., Pouliot P. and Shenker S. H. D-branes and short distances in string theory. // Nuclear Physics B, 1997, Vol.485. p.85-127.

29. Becker K., Becker M., Polchinski J. and Tseytlin A. Higher order graviton scattering in M(atrix) theory. // Physical Review D, 1997, Vol.56. p.3174-3178.

30. Chepelev I., Tseytlin A.A. Long-distance interactions of branes: Correspondence between supergravity and super Yang-Mills descriptions. // Nuclear Physics B, 1998, Vol.515. p.73-113.

31. Berenstein D., Corrado R. M(atrix)-theory in various dimensions. // Physics Letters B,1997, Vol.406. p.37-43. 1

32. Chepelev I. and Tseytlin A.A. Interactions of type IIB D-branes from the D-instanton matrix model. // Nuclear Physics B, 1998, Vol.511. p.629-646.

33. Taylor W. Lectures on D-branes, gauge theory and M(atrices). // PUPT-1762, hep-th/9801182. ;

34. Lifschytz G. Four-brane and six-brane interactions in M(atrix) theory. // Nuclear Physics B, 1998, Vol.520. p.105-116.

35. Maldacena J.M. Branes probing black holes. // Nuclear Physics Proceeding Supplement,1998, Vol.68. p. 17-27.i

36. Maldacena. J.M. Probing near extremal black holes with D-branes. // Physical Review . D, 1998, Vol.57. p.3736-3741.

37. Taylor. W. M(atrix) theory: Matrix quantum mechanics as a fundamental theory. // Reviews of Modern Physics, 2001, Vol.73. p.419-462.

38. Taylor. W. The M(atrix) model of M-theory. // MIT-CTP-2894, hep-th/0002016. '

39. Dine M., Seiberg N. Comments on higher derivative operators in some SUSY field theories. // Physics Letters B, 1997, Vol.409. p.239-244.

40. De Witt B. S. Quantum theory of gravity II. The manifestly covariant theory. // Physical Review, 1967, Vol.162. p.1195-1238. ----

41. De Witt B. S. Dynamical theory of groups and fields. New York: Gordon and Breach, 1965. - 230р., имеется перевод: Де Витт B.C. Динамическая теория групп и полей.- М. Наука, 1987. 288с.

42. De Witt В. S. Quantum theory of gravity III. The application of the covariant theory. // Physical Review, 1967, Vol.162. p.1239-1256.

43. Popov V.N. Functional integrals in quantum field theory and statistical physics. Moscow: Atomizdat, 1976. - 256p.

44. Popov V.N. Quantum theory of gauge fields. / Ed. Konopleva N.P. Moscow: Mir, 1977.- 432p.

45. Abbot L. F. The background field method beyond one loop. // Nuclear Physics B, 1981 j Vol.185. p. 189-203.

46. Ichinose S. and Omote M. Renormalization using the background field method. // Nuclear Physics B, 1982, Vol.203. p.221-267.

47. Jack I., Osborn H. Background field calculations in curved space- time (I). General formalism and application to scalar fields. // Nuclear Physics B, 1984, Vol.234. p.331-364.

48. Vilkovisky G.A. The Gospel according to De Witt / Quantum Gravity. Ed. Christensen S. Bristol: Hilger, 1983. - p. 169-209.

49. Vilkovisky G.A. The unique effective action in quantum field theory. // Nuclear Physics B, 1984, Vol.234. p.125-137.

50. Bogolyubov N.N., Shirkov D.V. Introduction to the theory of quantized fields. Moscow: Nauka, 1976. - 479p.

51. Itzykson C., Zuber J.B. Quantum field theory New York: McGraw-Hill, 1980.144 ' '

52. Ramond P. Field theory: A modern primer. Massachusetts: Benjamin. Reading, 1981.

53. FYolov V.P. Vacuum polarization near the black holes, in: Quantum theory of gravityj Proc. Ilnd Sem. Quantum Gravity, Moscow, 1981, (Moscow: Inst. Nuclear Research,1983) p. 176-187. .

54. Coleman S. and Weinberg E. Radiative corrections as the origin of spontaneous symmetry breaking. // Physical Review D, 1973, Vol.7. p.1888-1910.

55. Jackiw R. Functional evaluation of the effective potential. // Physical Review D, 1974, Vol.9. p.1686-1705.

56. Dolan L., Jackiw R. Gauge invariant signal for gauge symmetry breaking. // Physical Review D, 1974, Vol.9. p.2904-2921.

57. De Witt B. S., Gauge invariant effective action, / Quantum gravity II, Second Oxfordi

58. Symposyum 1980, Eds. Isham C. J., Penrose R. and Sciama D. W. Oxford: Oxford University Press, 1981. - p.449-487.

59. Fradkin E.S., Tseytlin A.A. On the new definition of off-shell effective action. // Nuclear Physics B, 1984, Vol.234. p.509-528.

60. Rebhan A. The Vilkovisky-De Witt effective action and its application to Yang-Mill^ theories. // Nuclear Physics B, 1987, Vol.288. p.832-864.

61. Kobes R., Kunstatter G., Toms D.J. The Vilkovisky-De Witt effective action: PANACEA OR PLACEBO?. // Print-88-0745 (WINNIPEG), Jun 1988. 37p.

62. Бухбиндер И.Л. Расходимости эффективного действия во внешнем суперкалибровочном поле. // Ядерная физика, 1982, Т.36, Вып.2(8). с.509-512.

63. Бухбиндер И.Л., Кузенко С.М. О структуре функций Грина кирального суперполя во внешнем поле супергравитации. // Ядерная физика, 1985, Т.41, Вып.6. с.1671-1677.i

64. Бухбиндер И.Л., Кузенко С.М. Вещественное скалярное суперполе в суперпространстве простой супергравитации. // Ядерная физика, 1986, Т.43, Вып.2. с.450-458.1.i

65. Бухбиндер И.Л., Кузенко С.М. Суперконформные аномалии в суперспространстве простой супергравитации. // Ядерная физика, 1986, Т.43, Вып.З. с.724-735.

66. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M., Matter Superfields in Extended Supergravity; Green Functions, Effective Action, Superconformal Anomalies. // Nuclear Physics, B, 1986,1 Vol.274, No.3-4. p.653-684.

67. Barvinsky A.O. and Vilkovisky G.A. The generalized Schwinger-DeWitt technique in gauge theories and quantum gravity. // Physical Reports C, 1985, Vol.119. p.1-74.

68. Avramidi I.G. The covariant technicue for calculation of one loop effective action. // Nuclear Physics B, 1991, Vol.355. p.712-754.

69. Barvinsky A.O., Gusev Yu.V. Covariant technique for nonlocal terms of one loop radiative currents. // Soviet Physics Journal, 1991, Vol.34, No.10. p.858-864.

70. Barvinsky O.A., Gusev Yu.V., Vilkovisky G.A. and Zhytnikov V.V. Asymptotic behaviors of the heat kernel ib covariant perturbation theory. // Journal of Mathematical Physics, 1994, Vol.35. p.3543-3559.

71. Avramidi I.G. Covariant techniques for computation of the heat kernel. // Reviews in Mathematical Physics, 1999, Vol.11. p.947-980.

72. Pletnev N.G., Banin A.T. Covariant technique of derivative expansion of one-loop effective action. // Physical Review D, 1999, Vol.60. p.105017-105037. !

73. Pletnev N.G., Banin A.T. Application of symbol operator technique for effective action computation. // International Journal of Modern Physics A, 2002, Vol.17. p.825-828.

74. Pletnev N.G., Banin A.T. Calculation of traces and special representation of differential operators. // Gratity and Cosmology, 2003, Vol.9. p.11-14.i i

75. Banin A.T., Buchbinder I.L., Pletnev N.G., Low energy effective action of N = 2 gauge multiplet induced by hypermultiplet matter. // Nuclear Physics B, 2001, Vol.598. -p.371-399.

76. Banin A.T., Buchbinder I.L., Pletnev N.G. On Low-Energy Effective Action in N = 2 Super Yang-Mills Theories on Non-Abelian Background. // Physical Review D, 2002, Vol.66. p.045021-045041.

77. Banin A.T., Buchbinder I.L., Pletnev N.G. One-loop effective action for Я = 4 SYMitheory in the hypermultiplet sector leading low-energy approximation and beyond. // Physical Review D, 2003, Vol.68. - p.065024-065050.

78. Banin A.T., Buchbinder I.L., Pletnev N.G. Chiral effective potential in M — 1/2 non-* commutative Wess-Zumino model. // Journal of High Energy Physics, 2004, Vol.07. -p.01101-01130.

79. De Witt B.S. Quantum field theory in curved spacetime. // Physical Reports C, 1975, Vol.19. p.296-357.I

80. Fock V.A. The proper time in classical and quantum mechanics. // Izvestiya of USSF^, Academy of Sciences, Physics, 1937, No.4,5. p.551-568.

81. Schwinger J.S. On gauge invariance and vacuum polarization. // Physical Review, 1951, Vol.82, No.5. p.664-679.

82. Schwinger J.S. The theory of quantized fields V. // Physical Review, 1954, Vol.93, No.3. p.615-628.

83. Grib A.A., Mamaev S. G. and Mostepanenko V.M. Quantum effects in strong external fields. Moscow: Atomizdat, 1980. - 295p.

84. Birrel N. D., Davies P. C. W. Quantum fields in curved space Cambridge: Cambridge University Press, 1982, имеется перевод: Биррелл H., Девис П. Квантованные поля в искривленном пространстве.- Москва, Мир, 1984. - 356с.

85. Березин Ф.А., Шубин М.А. Уравнение Шредингера. М., МГУ, 1983. - 392с.

86. Berezin F.A. and Shubin М.А. Symbols of operators and quantization. // Hilbert spaceoperators and operator algebras, Proceedings of International Conference, Tihany, 1970.

87. Lindstrom U., Gonzalez-Rey F., RoCcek M., von Unge R. On Af = 2 low-energy effective action. // Physics Letters B, 1996, Vol.388. p.581-587.

88. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M., Ovrut B.A. On the D = 4, Af = 2 Non-Renormalization Theorem. // Physics Letters B, 1998, Vol.433. p.335-345.i

89. Buchbinder I., Kuzenko S., Yarevskaya J. Superfield effective action in Af = 1, D = 4 supersymmetric gauge theories. // Yadernaya Fizika, 1993, Vol.56. p.193-200.

90. Fradkin E.S., Tseytlin A.A. Quantum properties of higher dimensional and dimensio-nally reduced supersymmetric theories // Nuclear Physics B, 1983, Vol.227. p.252-308.

91. Gates J., Grisaru M., RoCek M. and Siegel W. Superspace. Benjamin/Cummings, Reading MA, 1983. , ;

92. Galperin A.S., Ivanov E.A., Kalitsin S., Ogievetsky V.I., Sokatchev E.S. Unconstrained Af =2 matter, Yang-Mills and supergravity theories in harmonic superspace. // Classical and Quantum Gravity, 1984, Vol.1. p.469-498.

93. Galperin A.S., Ivanov E.A., Ogievetsky V.I., Sokatchev E.S. Unconstrained off-shell J\f = 3 supersymmetric Yang-Mills theory. // Classical and Quantum Gravity, 1985, Vol.2. p.155-171.

94. Taylor W. Lectures on D-branes, gauge theory and M(atricies), hep-th/9801182.

95. Aharony O., Gubser S.S., Maldacena J., Ooguri H., Oz Y. Large N Field Theories, String Theory and Gravity. // Physical Reports, 2000, Vol.332. p.183-386.

96. D'Hoker E., Freedman D.Z. Supersymmetric Gauge Theories and ADS/CFT Correspondence. // TASI 2001, Lecture Notes, hep-th/0201253.

97. Бухбиндер E.JI., Бухбиндер И.Л., Иванов E.A., Кузенко С.М., Оврут Б.А. Низкоэнергетическое эффективное действие в М = 2 суперсимметричных теориях поля. // Физика элементарных частиц и атомоного ядра, 2001, Т.32, №5. с.1222-1290.

98. Erickson J.K., Semenoff G.W., Zarembo К. Wilson Loops in N = 4 Supersymmetric Yang-Mills Theory. // Nuclear Physics B, 2000, Vol.582. p. 155-175.

99. Drukker N., Gross D.J. An exact prediction of N = 4 SUSYM theory for string theory. // J.Math.Phys, 2001, Vol.42. p.2896-2914.

100. Bianchi M., Green M.B., Kovacs S. Instanton corrections to circular Wilson loops in N = 4 Supersymmetric Yang-Mills. // Journal of High Energy Physics, 2002, Vol.0204. p.040-088

101. Kotikov A.V., Lipatov L.V. NLO corrections the the BFKL equation in QCD and in supersymmetric gauge theories. // Nuclear Physics B, 2000, Vol.582. p.19-43.

102. Kotikov A.V., Lipatov L.V. DGLAP and BFKL equations in the Af = 4 supersymmetric gauge theory. // Nuclear Physics B, 2003, Vol.661. p.19-61. ;

103. Buchbinder I.L., Ivanov E.A.' Exact N = 4 supersymmetric low-energy effective action in Л/* = 4 super Yang-Mills theory, // Proceedings of the 3-rd Sakharov Conference on Physics. Moscow, May 2002, hep-th/0211067.

104. Banks Т., Fischler W., Shenker S.H., Susskind L. M theory as a matrix model: a conjecture. // Physical Review D, 1997, Vol.55. p.5112-5128.

105. Aoki H., Ishibashi N., Iso S., Kawai H., Kitazawa Y. and Tada T. Noncommutative Yang-Mills in IIB Matrix Model. // Nuclear Physics B, 2000, Vol.565. p.176-192.

106. Iso S., Kawai H. and Kitazawa Y. Bi-local Fields in Noncommutative Field Theory. // Nuclear Physics B, 2000, Vol.576. p.375-398.

107. Kimura Y. and Kitazawa Y. Supercurrent Interactions in Noncommutative Yang-Mills and IIB Matrix Model. // Nuclear Physics B, 2001, Vol.598. p.73-86.

108. Ambjorn J., Makeenko Y.M., Nishimura J. and Szabo R.J. Finite N Matrix Models of Noncommutative Gauge Theory. // Journal of High Energy Physics, 1999, Vol.9911. -p.029-046.

109. Snyder H.S. Quantized Spacetime. // Physical Review, 1947, Vol.71. p.38-41.

110. Snyder H.S. The. Electromagnetic Field in Quantized Spacetime // Physical Review, 1947, Vol.72. p.68-96.

111. Yang C.N. On Quantized Spacetime. // Physical Review, 1947, Vol.72. p.874-914.

112. Connes A. Noncommutative Geometry. Academic Press, 1994.

113. Landi G. An Introduction to Noncommutative Spaces and their Geometries. Springer-Verlag, 1997.

114. Madore J. An Introduction to Noncommutative Geometry and its Physical Applications. Cambridge University Press, 1999.

115. Gracia-Bondi'a J.M., Vdrilly J.C. and Figueroa H. Elements of Noncommutative Geometry. Birkhauser, 2000.

116. Connes A., Noncommutative Differential Geometry. // l'lnstitut des Hautes Etudes Scientifiques Publications Mathematiques, 1985, Vol.62, -.p.257-287.

117. Woronowicz S.L. Twisted SU(2) Group: An Example of a Noncommutative Differential Calculus. // Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences, 1987, Vol.23. p.117-145.

118. Woronowicz S.L. Compact Matrix Pseudogroups. // Communications in Mathematical Physics, 1987, Vol.111. p.613-660.

119. Connes A., Rieffel M.A. Yang-Mills for Noncommutative Two-Tori. // Comtemporary Mathematics, 1987, Vol.62. p.237-258.

120. Connes A., Lott J. Particle Models and Noncommutative Geometry. // Nuclear Physics B, 1990, Vol.18. p.29-47.

121. V&rilly J.C., Gracia-Bondia J.M., Connes A. Noncommutative Differential Geometry and the Standard Model. // Journal of Geometry and Physics, 1993, Vol.12 p.223-242.

122. Martin C.P., Gracia-Bondia J.M. and Vdrilly J.C. The Standard Model as a Noncommutative Geometry: The Low-Energy Regime. // Physical Reports, 1998, Vol.294. p.363-406.

123. Grosse H., Madore J. A Noncommutative Version of the Schwinger Model. // Physics Letters B, 1992, Vol.283. p.218-222.

124. Lizzi F., Mangano G., Miele G. and Sparano G. Constraints on Unified Gauge Theories from Noncommutative Geometry. // Modern Physics Letters A, 1996, Vol.11. p.2561-2572.

125. Chamseddine A.H., Felder G. and Frohlich J. Gravity in Noncommutative Geometry. // Communications in Mathematical Physics, 1993, Vol.155. p.205-218.

126. Kalau W., Walze M. Gravity, Noncommutative Geometry and the Wodzicki Residue; // Journal of Geometry and Physics, 1995, Vol.16. p. 327-344.

127. Kastler D. The Dirac Operator and Gravitation. // Communications in Mathematical Physics, 1995, Vol.166. p.633-644.

128. A.H. Chamseddine, Frohlich J. and Grandjean 0. The Gravitational Sector in the Connes-Lott Formulation of the Standard Model. // Journal of Mathematical Physics,' 1995, Vol.36. p. 6255-6275.

129. Chamseddine A.H., Connes A. The Spectral Action Principle. // Communications in Mathematical Physics, 1997, Vol.186 p. 731-750.

130. Dubois-Violette M., Kerner R. and Madore J. Gauge Bosons in a Noncommutative Geometry. // Physics Letters B, 1989, Vol.217. p.485-488.

131. Majid S. Hopf Algebras for Physics at the Planck Scale. // Classical and Quantum Gravity, 1988, Vol.5. p.1587-1606.

132. Coquereaux R. Noncommutative Geometry and Theoretical Physics. // Journal of Geometry and Physics, 1989, Vol.6. p.425-515.

133. Garay L.J. Quantum Gravity and Minimum Length. // International Journal of Modern Physics A, 1995, Vol.10. p.145-166.

134. Ahluwalia D.V. Quantum Measurements, Gravitation and Locality. // Physics Letters B, 1994, Vol.339. p.301-303.

135. Ahluwalia D.V. Wave-Particle Duality at the Planck Scale: Freezing of Neutrino Oscillations. // Physics Letters A, 2000, Vol.275. p.31-35.

136. Veneziano G. A Stringy Nature Needs Just Two Constants. // Europhysics Letters, 1986, Vol.2. p.199-211.

137. Gross D.J., Mende P.F. String Theory Beyond the Planck Scale. // Nuclear Physics B, 1988, Vol.303. p.407-473. ■

138. Amati D., Ciafaloni M. and Veneziano G. Can Spacetime be Probed Below the String Size? // Physics Letters B, 1989, Vol.216. p.41-55.

139. Doplicher S., Fredenhagen K. and Roberts J.E. Spacetime Quantization Induced by Classical Gravity. // Physics Letters B, 1994, Vol.331. p.39-44. j

140. Doplicher S., Fredenhagen K. and Roberts J.E. The Quantum Structure of Spacetime at the Planck Scale and Quantum Fields. // Communications in Mathematical Physics, 1995, Vol.172. p.187-220.

141. Yoneya T. String Theory and Spacetime Uncertainty Principle. // Progress of Theoretical Physics, 2000, Vol.103. p.1081-1125.

142. Rieffel M. A. Critical points of Yang-Mills for noncommutativi two tori. // Journal of Differential Geometry, 1990, Vol.31. p.535-546.

143. Connes A., Douglas M.R. and Schwarz A. Noncommutative Geometry and Matrix Theory: Compactification on Tori. // Journal of High Energy Physics, 1998, Vol.9802.- p.003-046.

144. Seiberg N., Witten E. String Theory and Noncommutative Geometry. // Journal of High Energy Physics, 1999, Vol.9909. p.032-132.

145. Konechny A., Schwarz A. Introduction to M(atrix) theory and noncommutative geometry. // Physical Reports, 2002, Vol.360. p.353-465.

146. Douglas M.R., Nekrasov N.A. Noncommutative Field Theory. // Reviews of Modern Physics, 2002, Vol.73. p.977-1029.

147. Szabo R.J. Quantum Field Theory on Noncommutative Spaces. // Physical Reports^ 2003, Vol.378. p.207-299, hep-th/0109162.

148. Rey S.-J. Exact answers to approximate questions: noncommutative dipoles, open Wilson lines and UV-IR duality. // Journal of Korean Physics Society, 2001, Vol.39.- p.S527-S535i

149. Paniak L.D., Szabo R.J. Lectures on Two-Dimensional Noncommutative Gauge Theory 1. Classical Aspects., hep-th/0302195.

150. Madore J., Schraml S., Schupp P. and Wess J. Gauge" Theory on Noncommutative Spaces. // European Physical Journal C, 2000, Vol.16. p.161-167.

151. Douglas M.R., Nekrasov N.A. Noncommutative field theory. // Reviews of Modern Physics, 2001, Vol.73. p.977-1029.

152. Szabo R.J. Quantum field theory on noncommutative .spaces. // Physical Reports, 2003, Vol.378. p.207-299.

153. Liu H. *-Trek II: *n Operations, Open Wilson Lines and the Seiberg-Witten Map. //^ Nuclear Physics B, 2001, Vol.614. p.305-329.

154. Ardalan F., Sadooghi N. Planar and Nonplanar Konishi Anomalies and Exact Wil-sonian Effective Superpotential for Noncommutative N = 1 Supersymmetric U( 1)., hep-th/0307155.

155. Ishibashi N., Iso S., Kawai H. and Kitazawa Y. Wilson Loops in Noncommutative Yang Mills.//Nuclear Physics B, 2000, Vol.573. p. 573-593.

156. Ambjorn J., Makeenko Y.M., Nishimura J. and Szabo R.J. Finite N Matrix Models of Noncommutative Gauge Theory. // Journal of High Energy Physics, 1999, Vol.9911. -p.029-046.

157. Ambjorn J., Makeenko Y.M., Nishimura J. and Szabo R.J. Lattice Gauge Fields and Discrete Noncommutative Yang-Mills Theory. // Journal of High Energy Physics, 2000, Vol.0005. p.023-062.

158. Gross D.J., Hashimoto A. and Itzhaki N. Observables of Non-Commutative Gauge Theories. // Advances in Theroretical and Mathematical Physics, 2000, VoL4, No.4 ->■ p.893-928.

159. Dhar A. and Wadia S.R. A Note on Gauge Invariant Operators in Noncommutative Gauge Theories and the Matrix Model. // Physics Letters B, 2000, Vol.495. p.413-417.

160. Das S.R., Rey S.-J. Open Wilson Lines in Noncommutative Gauge Theory and Toimography of Holographic Dual Supergravity. // Nuclear Physics B, 2000, Vol.590. -p.453-470.

161. Liu H. *-TVek II: *n Operations, Open Wilson Lines and the Seiberg-Witten Map. // Nuclear Physics B, 2001, Vol.614. p.305-329.

162. Das S.R., Trivedi S.P. Supergravity couplings to Noncommutative Branes, Open Wilson Lines and Generalised Star Products. // Journal of High Energy Physics, 2001, Vol.0102. p.046-69.

163. Okawa Y., Ooguri H. How Noncommutative Gauge Theories Couple to Gravity. // Nuclear Physics B, 2001, Vol.599. p.55-82.i

164. Sochichiu C. Many] Vacua of IIB. //Journal of High Energy Physics, 2000, Vol.0005. p.026-043.

165. Azuma Т., Iso S., Kawai H. and Ohwashi Y. Supermatrix Models. // Nuclear Physics B, 2001, Vol.610. p.251-279.

166. Schwarz J.H., van Nieuwenhuizen P. Speculations Concerning a Fermionic Substructure of Space-Time. // Lettere al Nuovo Cimento, 1982, Vol.34. p.21-25.

167. Bars I. MSFT: Moyal star formulation of string field theory., hep-th/0211238.173. de Boer J., Grassi P.A. and van Nieuwenhuizen P. Non-commutative superspace from string theory. // Physics Letters B, 2003, Vol.574. p.98-104.

168. Witten E. Noncommutative Geometry And String Field Theory. // Nuclear Physics B, 1986, Vol.268. p.253-323.

169. Seiberg N., Witten E. String theory and noncommutative geometry. // Journal of High Energy Physics, 1999, Vol.9909. p.032-132.i

170. Alvarez-Gaume L., Vazquez-Mozo M.A. General properties of noncommutative field theories. //Nuclear Physics B, 2003, Vol.668. p.293-321.

171. Aref'eva I.Ya., Belov D.M., Giryavets A.A., Koshelev A.S., Medvedev P.B. Noncommutative geometry, Noncommutative field theories and string field theories., hep-th/0111208. '

172. Kiem Y., Rey S.J., Sato H.T., Yee J.T: Anatomy of One-Loop Effective Action in Noncommutative Scalar Field Theories. // European Physical Journal C, 2002, Vol.22. p.757-770.

173. Zanon D. Noncommutative perturbation in superspace. // Physics Letters B, 2001, Vol.504. p.101-108.

174. Garousi M.R. Non-commutative world volume interactions on D-brane and Dirac-Born-Infeld action. // Nuclear Physics B, 2000, Vol.579. p.209-228.

175. Madore J., Schaml S., Schupp P. and Wess J. Gauge theory on noncommutative spaces. // European Physical Journal C, 2000, Vol.16. p.161-167. '

176. Jur6o В., Moller L., Schraml S., Schupp P. and Wess J. Construction of non-Abelian gauge theories on noncommutative spaces. // European Physical Journal C, 2001, Vol.21.- p.383-388.

177. Mikulovic D. Seiberg-Witten Map for Superfields on Canonically Deformed Af = 1, D = 4 Superspace. // Journal of High Energy Physics, 2004, Vol.0401. p.063-087.

178. Mikulovic D. Seiberg-Witten Map for Superfields on Af = (±,0) and Af = () Deformed Superspace. // Journal of High Energy Physics, 2004, Vol.0405. p.077-100.

179. Buchbinder I.L., Ivanov E.A. Complete N=4 Structure of Low-Energy Effective Action in Af = 4 Super Yang-Mills Theories, j I Physics Letters B, 2002, Vol.524. p.208-216.

180. Buchbinder I.L., Odintsov S.D. and Shapiro I.L., Effective Action in Quantum Gravity.- IOP Publishing Ltd., Bristol, 1992.

181. Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля.- Москва, Мир, 1984, Т.1 с.448| Т.2 - с.400.

182. De Witt B.S. Quantum theory of gravity.I. The canonical theory. // Physical Review, 1967, Vol.160. p.1113-1148.

183. De Witt B.S. Relavity, Group and Topology II. / B.S. DeWitt and R. Stora (Eds.) -Elsevier: Amsterdam, 1984. p.381. »

184. Buchbinder I.L., Odintsov S.D. Effective potential and phase transitions induced by curvature in gauge theories in curved spacetime. // Classical and Quantum Gravity, 1985, Vol.2. p.721-731.

185. Бухбиндер И.Л., Гусынин B.H., Фомин П.Н. Функциональные детерминанты иiэффективное действие для конформных скалярного и спинорного полей во внешнем гравитационном поле. // Ядерная Физика, 1988, Т.44, Вып. 3(9). с.828-838.

186. Buchbinder I.L., Odintsov S.D. Asymptotical behaviour "of the effective potential in an external gravitational field. // Lettere al Nuovo Cimento, 1985, Vol.44, No.8. p.601-606.

187. Buchbinder I.L., Wolfengaut Yu.Yu., Renormalization group equations and effectivq action in curved spacetime. // Classical and Quantum Gravity, 1988, Vol.5. p.1127-1136. 11'156

188. Бухбиндер И.Л., Одинцов С.Д. Спонтанное нарушение суперсимметрии и эффективное действие в суперсимметричиых теориях Калуцы-Клейна. // Ядерная Физика, 1988, Т.48, Вып.4(10). с.1155-1164.

189. Buchbinder I.L., Lavrov P.M., Odintsov S.D. Unique Effective Action in Kaluza-Klein Quantum Theories and Spontaneous Compactification. // Nuclear Physics B, 1988, Vol.308. p.191-202.

190. Бухбиндер И.Л., Одинцов С.Д. Эффективное действие в многомерных супергравитациях и индуцирование эйнштейновской гравитации. // Ядерная Физика, 1987, Т.46, Вып.4(10). с.1233-1238.

191. Бухбиндер И.Л., Одинцов С.Д. Единое эффективное действие в теориях типа Калуца-Клейна и спонтанная компактификация. // Ядерная Физика, 1988, Т.47, Вып. 2. с.598-601.

192. Бухбиндер И.Л., Кириллова Е.Н., Одинцов С.Д. Эффективное действие Вилковыского в четномерных теориях квантовой гравитации. // Ядерная Физика,1 1989, Т.50, Вып. 1(7). с.269-277.

193. Бухбиндер И.Л., Дергалев В.П., Одинцов С.Д. Эффективное действие Вилковыского- Де Витта и антипериодические граничные условия. // Теоретическая и математическая физика, 1989, Т.80, №1. с.150-159.I

194. Бухбиндер И.Л., Одинцов С.Д., Фонарев О.А. Двухпетлевой эффективный потенциал в квантовой гравитации. // Ядерная Физика, 1990, Т.52, Вып. 6(12). с.1752-1762.

195. Buchbinder I.L., Odintsov S.D. Spontaneous supersymmetry breaking and effective action in supersymmetric Kaluza-Klein theories and strings. // International Journal of Modern Physics A, 1989, Vol.4. p.4337-4351.

196. Buchbinder I.L., Kirillova E.N., Odintsov S.D. The Vilkovisky effective action in the even-dimensional quantum gravity. // Modern Physics Letters A, 1989, Vol.4. p.633-644.

197. Buchinder I.L., Odintsov S.D., Fonarev O.A. Two-loop effective action in quantum garvity. // Physics Letters B, 1990, Vol.245. P.365-369.

198. Buchbinder I.L., Odintsov S.D., Fonarev O.A. Two-loop approach to the effective action in quantum gravity. // International Journal of Modern Physics A, 1992, Vol.7. p.3203-3233.

199. Buchbinder I.L., Odintsov S.D. Effective action in multidimensional (super)gravities and spontaneous compactification (quantum aspects of Kaluza-Klein theories). // Fort-schritte der Physik, 1989, Vol.37. p.225-259.

200. Elizalde E., Odintsov S.D., Romeo A., Bytsenko A.A. and Zerbini S. Zeta Regulari-zation Techniques with Applications.- World Scientific, Singapore-New Jersey-London-Hong Kong, 1994. 319p.i

201. Vilkovisky G.A. The Gospel according to DeWitt. / Quantum theory of gravity, ed. S.M. Christensen A.Hilger: Bristol, 1984. - 169p.

202. De Witt B.S. The effective action. / Quantum Field Theory and Quantum Statistics, ed. Batalin I.A., Isham C.J. and Vilkovisky G.A. Adam Hilger: Bristol, 1987.

203. Nielsen N.K. On the gauge dependence of spontaneous symmetry breaking in gauge theories. // Nuclear Physics B, 1975, Vol.101. p.173-176.

204. Aitchison I.J.R., Fraser C.M. Gauge invariance and the effective potential. // Annales de Physique 1984, Vol.156. p. 1-65.

205. Fukuda R., Kugo T. Gauge invariance in the effective action and potential. // Physical Review D, 1976, Vol.13. p.3469-3509.

206. Kunstatter G. The patch integral for gauge theories: A geometrical approach. // Classical and Quantum Gravity, 1992, Vol.9. p. 157-168.

207. Kobes R., Kunstatter G. and Rebhan A. Gauge dependence identities and their application at finite temperature. // Nuclear Physics B, 1991, Vol.355. p.1-37.

208. Del Cima O.M., Franco D.H.T. and Piguet O. Gauge independence of the effective potential revisited. // Nuclear Physics B, 1999, Vol.551. p.813-825.i )

209. Lin G.-L., Chyi T.-K. Vilkovisky-DeWitt Effective potential and the Higgs-Mass Bound., hep-ph/9811319.

210. Barvinsky A.O. and Vilkovisky G.A. The generalized Schwinger-DeWitt technique in gauge theories and quantum gravity. // Physical Reports C, 1985, Vol.119. p.1-74.i

211. Banin A.T., Pletnev N.G. Application of symbol-operator technique for effective action computation. // International Journal of Modern Physics A, 2002, Vol.17. p.825-828.

212. Weyl H. Quantum mechanics and group theory. // Zeitschrift fur Physik, 1927, Vol.46. p.1-262.

213. Березин Ф.А. Квантование. // Изв. АН СССР, 1974, Т.38. с.1116-1175.

214. Березин Ф.А. Общая концепция квантования. // Успехи математических наук, 1974, Т.29. с.200-201.

215. Berezin F.A. and Marinov M.S. Particle spin dynamics as the Grassmann variant of classical mechanics. // Ann.Phis., 1977, Vol.104. p.336-387.i

216. Стратонович P.JI. Калибровочно-инвариантный аналог распределения Вигнера. //Доклады АН СССР., Т.109. с.72-75.

217. Garcia-Bondia J.M., Vdrilly J.C., On the metaplectic represenattion in quantum filed theory. // Annales de Physique 1989, Vol.190. p.107-152.

218. Brif C., Mann A. Phase-space formulation of quantum mechanics and quantum state reconstruction for physical systems with Lie-group symmetries. // Journal of Physics A, 1998, Vol.31. p.L9-L31.

219. Osborn T.A., Molzahn F.H. Moyal quantum mechanics: The semiclassical Heisenberg dynamics. // Annales de Physique, 1995, Vol.241. p.79-127.i

220. Arratia O., Martn M. and Olmo M. Deformation in Phase space, math-ph/9805016.

221. Batalin I.A., Tyutin I.V. Quantum geometry of symbols and operators. // Nuclear. Physics B, 1990, Vol.345. p.645-658.

222. Wigner E.P. Quantum corrections for thermodynamics equilibrium. // Phys. Rev., 1932, Vol.40. p.749-756. '159

223. Moyal J.E. Quantum mechanics as a statistical theory. // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1949, Vol.45. p.99-124.

224. Miiller U., Schubert C. and Anton E. M. van de Ven. A Closed Formula for the Riemann Normal Coordinate Expansion. // General Relativity and Gravity, 1999, Vol.31. p.1759-1768.

225. Grisaru M.T., Knutt-Wehlau M.E., Siegel W. A Superspace Normal Coordinate Derivation of the Density Formula. // Nuclear Physics B, 1998, Vol.523. p.663-679.

226. Gates S. J., Grisaru M.T., Knutt-Wehlau M.E., Siegel W. Component Actions from Curved Superspace: Normal Coordinates and Ectoplasm. // Physics Letters B, 1998, Vol.421. p.203-210.

227. Grisaru M.T., Knutt M.E. Norcor vs the Abominable Gauge Completion. // Physics Letters B, 2001, Vol.500. p.188-198.

228. Fedosov B. Deformation Quantization and Index Theorem. Mathematical Topics 9. - Akademie Verlag: Berlin, 1996.

229. Kravchenko O. How to Calculate the Fedosov Star-product, math.SG/0008157.

230. Karasev M.V., Osborn T.A. Symplectic areas, quantization and dynamics in electromagnetic fields, quant-ph/0002041.

231. Yano K., Ishiara Sh. Tangent and Cotangent Buncles. Pure and Applied Mathematics: A Series of Monographs and Textbooks. - Marcell Dekker, Inc., New York, 1973.i

232. Antonsen F. Zeta function and star products., quant-ph/9802031. '

233. Gates S.J. Superspace formulation of new nonliner sigma models. // Nuclear Physics B, 1984, Vol.238. p.349-379.

234. Lowe D.A., von Unge R. Constraints on Higher Derivative Operators in Maximally Supersymmetric Gauge Theory. // Journal of High Energy Physics, 1998, Vol.9811. p.014-020.

235. Gonzalez-Rey F., Rocek M. Nonholomorphic Af = 2 terms in Af = 4 SYM: 1-Loop Calculation in Af = 2 superspace. // Physics Letters B, 1998, Vol.434. p.303-311.160

236. Periwal, von Unge R. Accelerating D-branes. // Physics Letters B, 1998, Vol.430 p. 71-76. 7I

237. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M. Comments on the Background Field Method in Harmonic Superspace: Non-holomorphic Corrections in Af = 4 SYM. // Modern Physics Letters A, 1998, Vol.13. p. 1623-1636.

238. Buchbinder E.L., Buchbinder I.L. and Kuzenko S.M. Non-holomorphic effective potential in M = 4 SU(n) SYM. // Physics Letters B, 1999, Vol.446. p.216-223.

239. De Giovanni A., Grisaru M.T., Ro5ek M., von Unge R., Zanon D. The Af = 2 Super Yang-Mills Low-Energy Effective Action at Two Loops. // Physics Letters B, 1997, Vol.409. p.251-256.

240. Yung A. Higher Derivative Terms in the Effective Action of Af = 2 SUSY QCD from Instantons. // Nuclear Physics B, 1998, Vol.512. p.79-102. 1

241. Bellisai D., Fucito F., Matone M., Travaglini G. Non-holomorphic terms in Af = 2 SUSY Wilsonian actions and RG equation. // Physical Review D, 1997, Vol.56. p.5218-5232.

242. Dorey N., Khoze V.V., Mattis M.P., Slater M.J., Weir W.A. Instantons, Higher-; Derivative Terms, and Nonrenormalization Theorems in Supersymmetric Gauge Theories. // Physics Letters B, 1997, Vol.408. p.213-221.

243. Chepelev I., Tseytlin A.A. Interactions of type IIB D-branes from D-instanton matrixmodel. // Nuclear Physics B, 1998, Vol.511. p.629-646. : i

244. Buchbinder I.L., Petrov A.Yu., Tseytlin A.A., Two-loop Af = 4 Super Yang Mills effective action and interaction between £>3-branes. // Nuclear Physics B, 2002, Vol.621. p.179-207.

245. Bilal A. Higher-Derivative Corrections to the Non-Abelian Born-Infeld Action. // Nuclear Physics B, 2001, Vol.618. p.21-49. ( ,

246. Koerber P., Sevrin A. Testing the a'3 term in the non-abelian open superstring effective action. // Journal of High Energy Physics, 2001, Vol.0109. p.009-021.

247. Refolli A., Santambrogio A., Terzi N. and Zanon D. Nonabelian Born-Infeld from Super-Yang-Mills effective action. // Fortschritte der Physik, 2002, Vol.50. p.952-958.

248. Grasso D.T. Higher order contributions to the effective action of Я = 4 super Yang-Mills. // Journal of High Energy Physics, 2002, Vol.0211. p.012-035.

249. Kuzenko S.M., McArthur I.N. On the Background Field Method Beyond One Loop: A manifestly covariant derivative expansion in super Yang-Mills theories. // Journal of High Energy Physics, 2003, Vol.0305. p.015-047.

250. Ivanov E. Towards higher-N superextensions of Born-Infeld theory. // Russ.Phys.J., 2002, Vol.45. p.695-708 ( Известия ВУЗов Физика, 2002, №7. - c.47-56).

251. Buchbinder I.L., Ivanov E.A., Petrov A.Yu. Complete Low-Energy Effective action in Я = 4 SYM: a Direct Я = 2 Supergraph Calculation. // Nuclear Physics B, 2003^ Vol.653. p.64-84.

252. Buchbinder E.I., Buchbinder I.L., Ivanov E.A., Kuzenko S.M., Ovrut B.A. Effective Action of the Я = 2 Maxwell Multiplet in Harmonic Superspace. // Physics Letters B, 1997, Vol.412. p.309-319.i

253. Buchbinder I.L., Buchbinder E.I., Kuzenko S.M., Ovrut B.A. The Background Field Method for Я = 2 Super Yang-Mills Theories in Harmonic Superspace. // Physics Letters B, 1998, Vol.417. p.61-71.

254. Buchbinder E.I., Buchbinder I.L., Ivanov E.A., Kuzenko S.M. Central Charge as the~ Origin of Holomorphic Effective Action in Я = 2 Gauge Theory. // Modern Physic^ Letters A, 1998, Vol.13. p.1071-1082.

255. Eremin S., Ivanov E. Holomorphic Effective Action of Я = 2 SYM Theory from Harmonic Superspace with Central Charges. // Modern Physics Letters A, 2000, Vol.15. p.1859-1878.

256. Shizuya K., Yasui Y. Construction of effective actions in superspace. // Physical Review D 1984. - v.29. - p.1160-1179.

257. Ohrndorf T. The effective lagrangian of supersymmetric-Yang-Mills theory. // Physics Letters B, 1986, Vol.176. p.421-433.

258. McArthur I.N., Gargett T.D. A Gaussian Approach to Computing Supersymmetric Effective Actions. // Nuclear Physics B, 1997, Vol.494. p.525-540.

259. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M., Tseytlin A.A. On Low-Energy Effective Actions in Af = 2,4 Superconformal Theories in Four Dimensions. // Physical Review D, 2000, Vol.62. p.045001-045019.

260. Kuzenko S.M., McArthur I.N. Effective action of Af = 4 super Yang-Mills: Af = 2 superspace approach. // Physics Letters B, 2001, Vol.506. p.140-146.

261. Kuzenko S.M., McArthur I.N. Hypermultiplet effective action: Af = 2 superspace approach. // Physics Letters B, 2001, Vol.513. p.213-222.

262. Sokatchev E. An off-shell formulation of Af = 4 supersymmetric Yang-Mills theory in twistor harmonic superspace. // Physics Letters B, 1989, Vol.217. p.489-495.

263. Hartwell G.G., Howe P.S. (N,p,q) Harmonic Superspace. // International Journal of Modern Physics A, 1995, Vol.10. p.3901-3920.

264. Andrianopoli L., Ferrara S., Sokatchev E., Zupnik B. Shortening of primary operators in //-extended SCFT.\ and harmonic-superspace analyticity. // Advances in Theroretical and Mathematical Physics, 1999, Vol.3. p.1149-1197. *

265. Zupnik B.M. Af = 4 Super-Yang-Mills Equations In Harmonic Superspace. // Nuclear" Physics Proceeding Supplement, 2001, Vol.102. p.278-282. ' i

266. Kuzenko S.M., McArthur I.N. Quantum metamorphosis of conformal symmetry in Af = 4 super Yang-Mills theory. // Nuclear Physics B, 2002, Vol.640. p.78-94.

267. Kuzenko S.M., McArthur I.N. On quantum deformation of conformal symmetry: Gauge dependence via field redefinitions. // Physics Letters B, 2002, Vol.544. p.357-366.1•■ . . . . . , ■ .163.'.'.,,. i ■ . . .

268. Kuzenko S.M., McArthur I.N. and Theisen S. Low energy dynamics from deformed conformal symmetry in quantum AD N = 2 SCFTs. // Nuclear Physics B, 2003, Vol.660. p.131-155.

269. Howe P., Stelle K.S. and Townsend P.K. Supercurrents. // Nuclear Physics B, 1981, Vol.192. p.332-364.

270. Ovrut B.A., Wess J. Supersymmetric Щ gauge and radiative symmetry breaking. // Physical Review D, 1982, Vol.25. p.409-466.

271. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M. and Yarevskaya J.V. Superfield approach to the calculation of the effective potential in supersymmetric field theories. // Physics of Atomic Nuclei, 1993, Vol.56. p.680-686.

272. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M. and Yarevskaya J.V. Supersymmetric effective potential: superfield approach. // Nuclear Physics B, 1994, Vol.411. p.665-692.

273. Pickering A., West P. The One Loop Effective Super-Potential and Non-Holomorphicity. // Physics Letters B, 1996, Vol.383. p.54-62.

274. Kuzenko S.M., Theisen S. Supersymmetric Duality Rotations. // Journal of High Energy Physics, 2000, Vol.0003. p.034-043. ,I

275. Kuzenko S.M., Theisen S. Nonlinear Self-Duality and Supersymmetry. // Fortschritte der Physik, 2001, Vol.49. p.273-309.

276. Gonzalez-Rey F., Kulik В., Park I.Y. and Rocek M., Self-Dual Effective Action of M = 4 Super-Yang Mills. // Nuclear Physics B, 1999, Vol.544. p.218-242. '

277. Grisaru M.T., Ro5ek M., von Unge R. Effective Kahler Potentials. // Physics Letters B, 1996, Vol.383. p.415-421. ;

278. Ivanov E.A., Zupnik B.M. N = 3 Supersymmetric Born-Infeld theory. // Nuclear Physics B, 2001, Vol.618. p.3-20.

279. Buchbinder I.L., Ivanov.E.A., Samsonov E.A., Zupnik B.M., Scale Invariant Low-] Energy Efective Action in SYM Theory. // Nuclear Physics B, 2004, Vol.689, No.1-2. -p.108-126.

280. Galperin A., Ivanov E., Kalitzin S., Ogievetsky V. and Sokatchev E. jV = 3 Super-symmetric gauge theory. // Physics Letters B, 1985, Vol.151. p.215-218.

281. Galperin A., Ivanov E., Kalitzin S., Ogievetsky V. and Sokatchev E. Harmonic super-graphs. Green functions. // Classical and Quantum Gravity, 1985, Vol.2. p.601-625.

282. Minwalla S., van Raamsdonk M. and Seiberg N., Noncommutative perturbative dy-mamics. // Journal of High Energy Physics, 2002, Vol.02. p.020-053.

283. Matusis A., Susskind L. and Toumbas N., The IR/UV connection in the noncommutative gauge theories. // Journal of High Energy Physics, 2000, Vol.12. p.002-019.

284. Ooguri H., Vafa C., The C-Deformation of Gluino and Non-planar Diagrams. // Ad-j vances in Theroretical and Mathematical Physics, 2003, Vol.7. p.53-85.

285. Ooguri H., Vafa C., Gravity induced C-deformaion. // Advances in Theroretical and Mathematical Physics, 2004, Vol.7. p.405-417.

286. Seiberg N., Noncommutative Superspace, N = \ Supersymmetry, Field Theory and String Theory. // Journal of High Energy Physics, 2003, Vol.0306. p.010-29.' 1

287. Grisaru M., Penati S. and Romagnoni A., Two-loop Renormalization for Nonanticom-mutative N = | Supersymmetric WZ Model. // Journal of High Energy Physics, 2003,1. Vol.0308. p.003-039.

288. Britto R., Feng В., N = \ Wess-Zumino model is renormalizable. // Physical Reviewj Letters, 2003, Vol.91. p.201601-201609.

289. Romagnoni A. Renormalizability of N = | Wess-Zumino model in superspace. // Journal of High Energy Physics, 2003, Vol.0310. p.016-023.

290. Lunin O., Rey S.-J., Renormalizability of Non(anti)commutative Gauge Theories with N = \ Supersymmetry. // Journal of High Energy Physics, 2003, Vol.0309. p.045-066.'

291. West P., Quantum corrections in the supersymmetric effective potential and resulting modification of patterns of supersymmetry breaking. // Physics Letters В -1991. v.261. - p.396-398.

292. Jack I., Jones D.R.T., West P. Not the no-renormalization theorem? // Physics Letters B, 1991, Vol.258. p.382-385.

293. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M., Petrov A.Yu. Superfield chiral effective potential! //Physics Letters B, 1994, Vol.321. p.372-377.

294. Buchbinder I.L., Petrov A.Yu. Superfield Effective Action in General Chiral Superfield Model. // Physics of Atomic Nuclei, 2000, Vol.63. p.1657-1670.

295. Buchbinder I.L., Petrov A.Yu. Holomorphic effective potential in general chiral super-field model. // Physics Letters B, 1999, Vol.461. p.209-217.

296. Buchbinder I.L., Cvetic M., Petrov A.Yu. One-loop effective potential in Af = 1 su-persymmetric theories and decoupling effects. // Nuclear Physics B, 2000, Vol.571. p. 358-418.

297. Ferrara S., Lledo M.A. and Macia O. Supersymmetry in noncommutative superspace! // Journal of High Energy Physics, 2003, Vol.0309. p.068-091.

298. Ivanov E., Lechtenfeld O., Zupnik B. Nilpotent deformations of Af = 2 superspace. // Journal of High Energy Physics, 2004, Vol.0402. p.012-029.

299. Ferrara S., Sokatchev E. Non-anticommutative Af = 2 Super Yang-Mills theory witlj singlet deformation. // Physics Letters B, 2004, Vol.579. p.226-234.

300. Araki Т., Ito K. and Ohtsuka A. Supersymmetric gauge theories on noncommutative superspace. // Physics Letters B, 2003, Vol.573. p.209-216.

301. Araki Т., Ito K. and Ohtsuka A. Af =2 Supersymmetric U(l) Gauge Theory in Non-, commutative Harmonic Superspace. // Journal of High Energy Physics, 2004, Vol.0401. p.046-088. .

302. Araki Т., Ito K. Singlet Deformation and Non(anti)cominutative Af = 2 supersymmetric /7(1) Theory, // Physics Letters B, 2004, Vol.595. p.513-520.

303. Ferrara S., Ivanov E., Lechtenfeld O., Sokatchev E., Zupnik B. Non-anticommutativq chiral singlet deformation of Af = (1,1) gauge theory., hep-th/0405049.i I

304. Buchbinder I.L., Gomes M., Petrov A.Yu., Rivelles V.O. Superfield effective potential in the noncommutative Wess-Zuminio model. // Physics Letters B, 2001, Vol.517. -p.191-202.

305. Berenstein D., Rey S.-J. Wilsonian Proof for Renormalizability of Af = \ Supersym-; metric Field Theories. // Physical Review D, 2003, Vol.68. p.121701-121711.

306. Britto R., Feng B. and Rey S.-J. Non(anti)commutative Superspace, UV/IR Mixing, Open Wilson Lines. // Journal of High Energy Physics, 2003, Vol.0308. p.001-021.

307. Terashima S., Yee J.-T. Comments on Noncommutative Superspace. // Journal of High Energy Physics, 2003, Vol.0312. p.053-072.

308. Finkelstein R., Villasante M. The Grassmann Oscillator. // Physical Review D, 1986, Vol.33. p.1666-1701.

309. Barvinsky A.O., Vilkovisky G.A. Covariant perturbation theory. 2: second order in thecurvature, general algorithms. // Nuclear Physics B, 1990, Vol.333. p.471-511. (i

310. Sako A., Suzuki T. Ring structure of SUSY ^-product and 1/2 SUSY Wess-Zumino model. // Physics Letters B, 2004, Vol.582; p.127-134.

311. Prudnikov A.P., Brychkov Yu.A., Marichev O.I. Integrals and serieses. Additional chapters. Moscow: Nauka, 1986.4

312. Erdelyi A., Bateman H. Higher transcendent functions. New York: McGraw-Hill! 1953:

313. Davydychev A.I. General results for massive Appoint Feynman diagrams with different masses. // Institute for Nuclear Physics of MSU Preprint 90-56/202, 1990.

314. Boos E.E., Davydychev A.I. A method of evaluating massive Feynman integrals. //t Theoretical and Mathematical Physics, 1991, Vol.89. p.1052-1063.i i