Квантовые свойства N = 1 суперсимметричных калибровочных теорий тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

00344

На правах рукописи

Пименов Александр Борисович

КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА N = 1 СУПЕРСИММЕТРИЧНЫХ КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2008

з О СЕН 2008

003447383

Работа выполнена на кафедре теоретической физики физического факультета Московского Государственного Университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель, кандидат физико-математических наук,

доцент П.И. Пронин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

В.А. Ильин,

кандидат физико-математических наук А А Солошенко

Ведущая организация: Ярославский Государственный Университет, г.Ярославль

Защита состоится на заседании

Диссертационного Совета Д 501 002.10 при Московском Государственном Университете им. М.В. Ломоносова (119992, г. Москва, Ленинские горы, физический факультет МГУ, ауд. ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан " 008

Ученый секретарь

Диссертационного Совета Д 501.002 10

доктор физико-математических наук Ю.В Грац

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Суперсимметричные теории являются в настоящее время весьма привлекательными Модели теории поля, инвариантные относительно преобразований суперсимметрии, предсказывают объединение констант связи электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий при больших энергиях, что следует из теорий Великого Объединения. Они автоматически решают проблему, связанную с отсутствием экспериментальных данных о распаде протона Поэтому суперсимметричные модели в настоящее время рассматриваются как одни из наиболее вероятных кандидатов для построения единой теории поля Суперсимметрия особенно интересна еще и потому, что она существенно улучшает ультрафиолетовое поведение полевых теорий. В частности, даже в теориях с нерасширенной суперсимметрией можно сделать предположение о виде ^-функции точно во всех порядках теории возмущений. Впервые оно было сделано на основе исследования структуры инстантонных вкладов. В случае N = 1 суперсимметричной теории Янга-Миллса с полями материи, такая /3-функция, которая называется точной /3-функцией Новикова, Шифмана, Вайнштейна и Захарова, имеет вид'

где 7(а) - аномальная размерность суперполя материи, описываемой дираковским спинором, С2 и С(Я) - инварианты, которые определяются представлением калибровочной группы.

Тем не менее остается проблема строгого вывода точной /^-функции пертурбативными методами. При использовании регуляризации с помощью размерной редукции выражение (1) при специальном выборе перенормировочного предписания совпадает с результатами явного вычисления величины

где а(^) - перенормированная константа связи, ад- точка нормировки, вплоть до четырехпетлевого приближения Однако величина (2) является схемно зависимой. Физическая /3-функция получается из нее только если производящий функционал не зависит от точки нормировки и наложены некоторые специальные граничные условия, которые требуют знания конечных частей функций Грина. Тем не менее, в размерной редукции, как правило, вычисляется только расходящаяся часть эффективного действия

(1)

2тг (1 - С2 а/2тг)

в МБ-схеме. При этом точная /^-функция может быть получена, если специальным образом подобрать схему вычитаний

Для получения точной ¡5-функции в N = 1 суперсимметричной электродинамике наиболее удобно использовать регуляризацию высшими ковариантными производными, при которой оказалось возможным достаточно легко получить схемно независимую функцию Гелл-Манна-Лоу. В этом случае перенормировка оператора \¥аСаЪ\Уь оказывается чисто однопетлевой, а функция Гелл-Манна-Лоу имеет поправки во всех порядках теории возмущений и совпадает с точной /3-функцией Новикова, Шифмана, Вайнштейна и Захарова Более того, при использовании этой регуляризации в N = 1 суперсимметричной электродинамике все интегралы, которые возникают при вычислении функции Гелл-Манна-Лоу, сводятся к интегралам от полных производных Частично эту закономерность можно объяснить с помощью применения метода, основанного на подстановке решений тождеств Славнова-Тейлора в уравнения Швингера-Дайсона. Однако для полного доказательства оказывается необходимым предположить существование некоторого дополнительного тождества для функций Грина, причина происхождения которого пока остается неясной. Оно не следует из калибровочной инвариантности или суперсимметрии теории, и пока не удается доказать его в общем виде из первых принципов.

Уже в электродинамике получение точной /?-функции является достаточно нетривиальной задачей. Указанные закономерности позволяют предположить, что применение регуляризации высшими ковариантными производными может выявить интересные закономерности в структуре квантовых поправок неабелевых N = 1 суперсимметричных калибровочных теорий Однако применение этой регуляризации в неабелевых теориях, как правило, оказывается сложным с технической точки зрения.

В случае N = 1 суперсимметричной теории Янга-Миллса с полями материи, регуляризованной высшими ковариантными производными, имеет место похожая ситуация: метод, основанный на использовании тождеств Славнова-Тейлора и уравнений Швингера-Дайсона, позволяет вычислить вклад суперполей материи в /^-функцию точно во всех порядках теории возмущений. При этом также требуется предположить справедливость аналогичного тождества для функций Грина

Таким образом, исследование квантовых свойств суперсимметричных калибровочных теорий, регуляризованных непротиворечивым способом, на сегодняшний день являются актуальной задачей.

Целью диссертационного исследования является изучение квантовых свойств суперсимметричных калибровочных теорий, регуляризованных непротиворечивым образом методом высших ковариантных производных, на примере N = 1 суперсимметричной электродинамики и N = 1 суперсимметричной теории Янга-Миллса, что подразумевает исследование вопроса о справедливости нового тождества для функций Грина в конечных порядках теории возмущений, а также анализ двухпетлевых квантовых поправок и вычисление функции Гелл-Манна-Лоу N = 1 суперсимметричной теории Янга-Миллса.

Научная новизна. В диссертационной работе впервые регуляризация методом высших ковариантных производных применена для вычисления квантовых поправок в неабелевых суперсимметричных калибровочных теориях; впервые при использовании регуляризации высшими ковариантными производными проведено двухпетлевое вычисление ренормгрупповых функций в N = 1 суперсимметричной теории Янга-Миллса; впервые проведены четырехпетлевое в N = 1 суперсимметричной электродинамике и трехпетлевое в N = 1 суперсимметричной теории Янга-Миллса вычисления, позволяющие судить о справедливости нового тождества для функций Грина.

Научная и практическая ценность работы. Полученные результаты могут быть использованы для исследования структуры квантовых поправок в различных суперсимметричных калибровочных теориях В частности, при исследовании поведения констант связи методом ренормгруппы в МССМ и моделях Великого Объединения.

Результаты могут быть использованы в НИИЯФ МГУ, ИЯИ, ЛТФ ОИЯИ, ФИАН, ИТЭФ, МИАН, МГПУ им Ленина.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научной ломоносовской конференции (Москва - 2005), конференции форума "Всемирный год физики" (Москва - 2005), 13-ой ломоносовской конференции по физике элементарных частиц (Москва -2007), Международной конференции БС}8-07 (Дубна), а также на кафедре теоретической физики МГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав основного текста, двух приложений, заключения и списка цитируемой литературы. Объем диссертации составляет 149 страниц текста, набранного в издательской системе К-Т^К.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении производится обзор литературы по тематике диссертации, формулируются цели исследования и описывается построение диссертационной работы.

В главе 1 приведены основные сведения о суперсимметричных калибровочных теориях, которые исследуются в диссертации: N = 1 суперсимметричная электродинамика и N = 1 суперсимметричная теория Янга-Миллса

В параграфе 1.1 в суперполевом формализме описывается N = 1 суперсимметричная электродинамика Рассматривается действие, его симметрии, дается компонентное представление суперполей теории, а также вид их суперсимметричных калибровочных преобразований, оставляющих действие инвариантным (подпараграф 1.1.1). В подпараграфе 1 1.2 проводится квантование N = 1 суперсимметричной электродинамики. Вводится регуляризация высшими производными и осуществляется фиксация калибровки, которые не нарушают ни суперсимметричную, ни калибровочную инвариантности. Здесь формулируются правила Фейнмана.

В параграфе 1.2 описывается N = 1 суперсимметричная теория Янга-Миллса. В частности, в подпараграфе 1.2.1 представлены действие модели в суперпространстве и его симметрии. В подпараграфе 1 2.2 рассматривается формализм фонового поля для суперсимметричных калибровочных теорий Здесь действие модели записывается в методе фонового поля, а также указаны его фоновая и квантовая инвариантности Квантование проводится в подпараграфе 1.2 3 при использовании формализма фонового поля в суперпространстве Производится фиксация калибровки, вводятся духовые поля Фаддеева-Попова и Нильсена-Каллош В этом подпараграфе рассматриваемая модель регуляризуется методом высших ковариантных производных и описывается дополнительная регуляризация Паули-Вилларса для ликвидации остаточных однопетлевых расходимостей. Так же здесь осуществляется построение производящего функционала для функций Грина и эффективного действия

Определение ренормгрупповых функций, интересующих нас, вынесено в подпараграф 1.2 4. Вводится /3-функция, определяемая по расходимости и функция Гелл-Манна-Лоу. Показывается, что в случае, если производящий функционал не зависит от точки нормировки, обе функции являются эквивалентны ми.

Глава 2 посвящена пертурбативным вычислениям в суперсимметричных калибровочных теориях В параграфе 2.1

рассматривается стандартная техника суперграфов. Здесь она иллюстрируется явным вычислением однопетлевых диаграмм, определяющих двухточечную функцию Грина калибровочного поля N = 1 суперсимметричной электродинамики, регуляризованной высшими производными. Производится вычисления однопетлевых константы перенормировки заряда, /^-функции, определяемой по расходимости, и функции Гелл-Манна-Лоу. Эти результаты используются в дальнейшем при анализе квантовых поправок в N = I суперсимметричной теории Янга-Миллса, регуляризованной высшими ковариантными производными

Суперполевая техника вычисления диаграмм Фейнмана, являясь достаточно непростой даже в низших порядках теории возмущений, тем не менее, может быть значительно упрощена при вычислении диаграмм, определяющих двухточечную функцию Грина калибровочного поля (последняя, в свою очередь, позволяет вычислить /?-функцию) Параграф 2 2 посвящен рассмотрению предложенного в диссертационной работе упрощенного метода вычисления суперграфов.

В подпараграфе 2.2.1 новый метод формулируется для произвольной суперсимметричной калибровочной теории. Он может быть использован как для абелевых, так и для неабелевых моделей и не чувствителен к регуляризации теории В подпараграфе 2 2 2 осуществляется сравнительный анализ упрощенного метода со стандартной техникой суперграфов на примере явного двухпетлевого вычисления в N = 1 суперсимметричной электродинамике.

Глава 3 посвящена вопросу о построении перенормированного действия и нахождении ренормгрупповых функций в N = 1 суперсимметричных калибровочных теориях с полями материи. В этой главе освещается один из результатов, представленных в диссертации

В параграфе 3 1 приводится вывод уравнений Швингера-Дайсона и тождеств Славнова-Тейлора на примере суперсимметричной теории Янга-Миллса Подставляя решения последних в первые, удается получить /3-функцию точно во всех порядках теории возмущений. Но при этом оказывается необходимым предположить выполнение некого тождества для функций Грина Гипотеза о его справедливости играет в данном случае ключевую роль. И поскольку доказать его в общем виде пока не удается, проверить новое тождество можно только явными пертурбативными вычислениями в высших петлях В параграфе 3 2 формулируется сама гипотеза. Пертурбативная проверка нового тождества в N = 1 суперсимметричной электродинамике, регуляризованной высшими производными, в четырехпетлевом приближении производится в параграфе 3 3. В параграфе 3.4 осуществляется анализ тождества в

N = 1 суперсимметричной теории Янга-Миллса, регуляризованной высшими ковариантными производными, на уровне трех петель

Глава 4 посвящена исследованию квантовых поправок к эффективному действию N = I суперсимметричной теории Янга-Миллса. Этот анализ при использовании регуляризации высшими ковариантными производными осуществляется впервые. Здесь демонстрируется, что применяемый в работе подход ко введению регуляризации высшими ковариантными производными позволяет провести анализ квантовых поправок достаточно несложным образом. В этой главе вычислена двухпетлевая функция Гелл-Манна-Лоу. Показано, что расходимости присутствуют только в однопетлевом приближении, а сама функция Гелл-Манна-Лоу имеет поправки во всех порядках теории возмущений и совпадает с точной /3-функцией Новикова, Шифмана, Вайнштейна и Захарова Существенным является то, что причиной отличия функции Гелл-Манна-Лоу от /3-функции, определяемой по расходимости, которая оказывается определяемой только однопетлевым приближением, является зависимость производящего функционала от точки нормировки, что явно демонстрируется в работе. Она возникает из-за способа регуляризации диаграмм с контрчленными вставками

В параграфе 4.1 вычисляются однопетлевые квантовые поправки в N = 1 суперсимметричной теории Янга-Миллса, регуляризованной высшими ковариантными производными. Используемый нами способ введения регуляризации позволяет привести структуру однопетлевых квантовых поправок теории Янга-Миллса к соответствующим известным результатам в N = 1 суперсимметричной электродинамике, что дает возможность путем непосредственного обобщения найти однопетлевые константу перенормировки заряда, /^-функцию, определяемую по расходимости, и функцию Гелл-Манна-Лоу

Параграф 4 2 посвящен двухпетлевым квантовым поправкам Здесь производится анализ вклада всех двухпетлевых диаграмм, определяющих двухточечную функцию Грина калибровочного поля в методе фонового поля. Вклад диаграмм с петлей духовых полей Фаддеева-Попова исследуется в подпараграфе 4.2 1, вклад диаграмм с петлями калибровочного поля - в подпараграфе 4.2 2. На основе этого анализа становится возможным нахождение двухпетлевой /3-функции Гелл-Манна-Лоу (подпараграф 4.2.3) Учет вклада диаграмм с контрчленными вставками осуществляется в подпараграфе 4.2.4.

В приложении А осуществляется проверка алгоритма суммирования диаграмм Фейнмана в суперсимметричных калибровочных теориях с полями материи на примере N = 1 суперсимметричной электродинамики

в четырехпетлевом приближении. Метод, основанный на подстановке решений уравнений Швингера-Дайсона в тождества Славнова-Тейлора, позволяет найти точное выражение для двухточечной функции Грина калибровочного поля. Оно выражается через ряд функций, определяющих вид вершинной функции взаимодействия полей матери с калибровочным полем и двухточечную функцию Грина поля материи. Непосредственными вычислениями демонстрируется, что алгоритм позволяет найти сумму диаграмм определенного класса с двумя внешними линиями калибровочного поля в заданном порядке теории возмущений, явно не анализируя вклад каждой из них по-отдельности. Сумма диаграмм вычисляется двумя независимыми способами: первый основан на технике суперграфов, второй подразумевает использование алгоритма суммирования, что позволяет сравнить полученные результаты

В приложении В воспроизводятся вычисления суммы диаграмм с контрчленными вставками и аномального вклада в ^-функцию для N = 1 суперсимметричной электродинамики, регуляризованной высшими производными, точно во всех порядках теории возмущений. Результат этого приложения используется в главе 4 при исследовании вклада диаграмм с контрчленными вставками в N = 1 суперсимметричной теории Янга-Миллса.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Разработан метод, упрощающий вычисления диаграмм Фейнмана, которые определяют вклад в двухточечную функцию Грина калибровочного поля, в суперсимметричных калибровочных теориях в суперполевом формализме, применимый для любой регуляризации

2. Предложен внутренне непротиворечивый метод вычисления квантовых поправок в неабелевых N = 1 суперсимметричных калибровочных теориях с использованием регуляризации высшими ковариантными производными, который не нарушает суперсимметричную инвариантность (в том числе и в высших петлях), а также позволяет самосогласованным образом проводить пертурбативныё вычисления в суперсимметричных теориях.

3. Впервые регуляризация высшими ковариантными производными применена для вычисления квантовых поправок в неабелевых суперсимметричных калибровочных теориях.

4. С помощью регуляризации высшими ковариантными производными и формализма фонового поля вычислена двухпетлевая функция Гелл-Манна-Лоу в N = 1 суперсимметричной теории Янга-Миллса.

5. Явным вычислением доказано, что в двухпетлевом приближении расходимости являются чисто однопетлевыми, тогда как функция Гелл-Манна-Лоу совпадает с точной /^-функцией Новикова, Шифмана, Вайнштейна и Захарова.

6. Показано, что в рассматриваемых случаях при использовании регуляризации высшими ковариантными производными интегралы, которые определяют квантовые поправки в эффективное действие, сводятся к полным производным и могут быть легко вычислены аналитически.

7. Произведена пертурбативная проверка нового тождества, возникающего при получении /^-функции точно во всех порядках теории возмущений, методом, основанным на подстановке решений тождеств Славнова-Тейлора в уравнения Швингера-Дайсона, в четырехпетлевом приближении в N — 1 суперсимметричной электродинамике и в трехпетлевом приближении в N — 1 суперсимметричной теории Янга-Миллса

8 Проверено совпадение результата для вклада четырехпетлевых диаграмм Фейнмана в N = 1 суперсимметричной электродинамике, полученного при помощи алгоритма суммирования, с результатом, даваемым стандартной техникой суперграфов

ПУБЛИКАЦИИ

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах'

1. Андрияш Е.А., Пименов А.Б., Степанъянц К.В , Упрощенный метод вычисления суперграфов, определяющих двухточечную функцию Грина калибровочного поля.// Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астр. - 2005. - 4. - с. 7.

2 А.Пименов, К.Степанъянц Четырехпетлевая проверка алгоритма суммирования диаграмм Фейнмана в N = 1 суперсимметричной электродинамике.// ТМФ - 2006. - 147. - с 290

A.B.Pimenov, K.V.Stepanyantz, Four-loop verification of algorithm for Feynman diagrams summation in N = 1 supersymmetric electrodynamics.// hep-th 0603030.

3 А.Пименов, К.Степанъянц, Двухпетлевая функция Гелл-Манна-JIoy N = 1 суперсимметричной теории Янга-Миллса, регуляризованной высшими ковариантными производными.// ТМФ - 2008 - 155 - с. 398

А.В Pimenov, К V.Stepanyantz, Two-loop Gell-Mann-Low function of N = 1 supersymmetric Yang-Mills theory, regularized by higher covanant derivatives.// hep-th 0707 4006

4. А.Пименов, К.Степанъянц, Проверка нового тождества для функций Грина в N = 1 суперсимметричной неабелевой теории Янга-Миллса с полями материи.// ТМФ - 2008. - 156 - с. 292.

A.B.Pimenov, K.V.Stepanyantz, Verification of new identity for the Green functions in N = 1 supersymmetric non-Abelian Yang-Mills theory with the matter fields // hep-th 0710.5040.

Подписано к печати Ч. 09. ОI? Тираж -<00.. Заказ 99

Отпечатано в отделе оперативной печати физического факультета МГУ

Введение

1 N — 1 суперсимметричные калибровочные теории

1.1 N = 1 суперсимметричная электродинамика.

1.1.1 Функционал действия и симметрии

1.1.2 Квантование

1.2 N — 1 суперсимметричная теория Янга-Миллса.

1.2.1 Функционал действия и симметрии

1.2.2 Метод фонового поля

1.2.3 Квантование

1.2.4 Ренормгрупповые функции.

2 Пертурбативные вычисления в суперсимметричных калибровочных теориях

2.1 Техника суперграфов

2.2 Упрощенный метод вычисления диаграмм Фейнмана

2.2.1 Формулировка метода.

2.2.2 Сравнительный анализ метода со стандартной техникой вычисления суперграфов.

3 Перенормированное действие и ренормгрупповые функции в N = 1 суперсимметричных калибровочных теориях с полями материи

3.1 Уравнения Швингера-Дайсона, тождества Славнова и точная /^-функция.

3.2 Гипотеза о существовании нового тождества.

3.3 Пертурбативная проверка тождества в абелевой N = 1 суперсимметричной теории.

3.4 Пертурбативная проверка тождества в неабелевой N = суперсимметричной теории.

4 Квантовые поправки к эффективному действию в N = суперсимметричной теории Янга-Миллса

4.1 Одиопетлевая функция Грина калибровочного поля.

4.2 Двухпетлевая функция Грина калибровочного поля.

4.2.1 Вклад диаграмм с петлей духовых полей.

4.2.2 Вклад диаграмм с петлями калибровочного поля

4.2.3 Точная функция Гелл-Манна-JIoy.

4.2.4 Учет вклада диаграмм с контрчленными вставками

А Суммирование диаграмм Фейнмана в N = 1 суперсимметричной электродинамике в четырехпетлевом приближении

В Сумма диаграмм с контрчленными вставками и аномальный вклад в /^-функцию

Суперсимметричные теории, инвариантные относительно преобразований, которые перемешивают между собой бозонные и фермионпые поля, безусловно относятся к наиболее выдающимся достижениям физики высоких энергий. Такие модели исходно рассматривались [1] как некоторые чисто теоретические конструкции, которые никак не связаны с экспериментом, поскольку в них каждой бозонной частице должен соответствовать ее суперпартнер - ферми-частица, а каждому фермиону — бозонный сунерпартнер. В экспериментах при низких энергиях таковые не наблюдаются. Однако оказалось, что ситуация в точности противоположная: суперсимметричные модели теории поля могут описывать физику взаимодействия элементарных частиц. Выполненные в последнее время точные измерения констант связи в Стандартной Модели [2, 3], описывающей сильные и электрослабые взаимодействия, и исследования их дальнейшей эволюции с помощью уравнений ренормгруппы, показали, что все эти взаимодействия могут рассматриваться как низкоэнергетический остаток некоторой единой теории поля только в случае, если все частицы Стандартной Модели имеют суперпартнеры. Их массы достаточно велики, благодаря чему эти частицы пока не удается наблюдать в прямых экспериментах на современных ускорителях. Тем самым теоретические идеи получили косвенное экспериментальное подтверждение. Кроме того, в суперсимметричных теориях Великого Объединения Взаимодействий автоматически решается проблема, связанная с отсутствием экспериментальных данных о распаде протона [2, 4]. Поэтому такие модели в настоящее время рассматриваются как одни из наиболее вероятных кандидатов для построения единой теории поля, которая, как полагают, должна единым образом описывать все типы взаимодействий элементарных частиц. Исследование свойств таких теорий, в частности на квантовом уровне, представляет собой значительный интерес. Особенно привлекательными кажутся теории с нерасширенной суперсимметрией, поскольку, по-видимому, физика на масштабах энергий порядка 103 ГэВ является N = 1 суперсимметричной.

С теоретической точки зрения, суперсимметрия особенно привлекательна, поскольку она существенно улучшает ультрафиолетовое поведение теории [5, 6]. Уже вскоре после ее открытия было, к примеру, обнаружено, что благодаря ряду теорем о неперенормировке, в теории Янга-Миллса с N — 4 суперсимметрией расходимости вообще отсутствуют, а в теориях с N = 2 суперсимметрией расходимости присутствуют только в однопетлевом приближении теории возмущений. Даже в теориях с нерасширенной суперсимметрией можно сделать предположение о виде /^-функции точно во всех порядках теории возмущений. Впервые оно было сделано в работе [7] на основе исследования структуры инстантонных вкладов. В случае N = 1 суперсимметричной теории Янга-Миллса с полями материи, такая /^-функция, которая называется точной (3-функцией Новикова, Шифмана, Вайнштейна и Захарова, имеет вид: а2

3C2-2C(R) (1-7Ы)

1)

2тг(1 - С2 ct/lir) где 7(a) - аномальная размерность суперполя материи1, величина С2 определяется равенством facdfbcd 5ab> fabc - структурные константы калибровочной группы. Через R обозначено представление, в котором лежит одно из суперполей материи, а величина C(R) определяется следом генераторов группы в представлении Я: tr (TaTb) = C(R)5ab. (3)

В случае N = 1 суперсимметричной квантовой электродинамики /?-функцией Новикова, Шифмана, Вайнштейна и Захарова принимает более простой вид [8]:

0(a) = 7(a)). (4)

1 Заметим, что здесь приведен результат для теории с дираковскими фермионами, каждому из которых соответствует два киральных суперполя.

Несмотря на то, что многие вопросы уже были детально исследованы в течение длительного времени [9] - [18], до сих пор остается ряд проблем, которые так и не нашли своего решения [19] - [28]. К ним относится, например, строгий вывод точной во всех порядках /^-функции (1).

При использовании регуляризации с помощью размерной редукции [36, 37, 38] выражение (1) при специальном выборе переиормировочного предписания совпадает с результатами явного вычисления величины

•> - Ш- (б) где - перенормированная константа связи, ад- точка нормировки, вплоть до четырехпетлевого приближения [29] - [33]. Однако величина (5) является схемно зависимой. Физическая /^-функция получается из нее только если производящий функционал не зависит от точки нормировки и наложены некоторые специальные граничные условия, которые требуют знания конечных частей функций Грина [34, 35]. В размерной редукции [39] - [42], как правило, вычисляется только расходящаяся часть эффективного действия в MS-схеме [22, 43]. При этом точная (3-функция может быть получена, если специальным образом подобрать схему вычитаний [44, 45, 46, 47]. Тем не менее, вопрос о том, в какой схеме получается эта /^-функция, остается невыясненным. Двухпетлевая /^-функция вычислялась также и при использовании дифференциальной перенормировки [48, 49].

Важным аспектом исследования квантовых свойств суперсимметричных теорий является регуляризация [32]. Дело в том, что размерная регуляризация [41] явно нарушает суперсимметрию и не удобна при исследовании суперсимметричных теорий. Представляя собой некоторую модификацию размерной регуляризации, размерная редукция [39], не нарушающая суперсимметрию, как оказалось, является внутренне противоречивой [40], благодаря чему ее использование может приводить к тем или иным артефактам.

Для получения точной /^-функции (4) в N = 1 суперсимметричной электродинамике наиболее удобно использовать регуляризацию высшими производными [50, 51], при которой оказалось возможным достаточно легко получить схемно независимую функцию Гелл-Манна-JToy (последняя в силу своего определения не зависит от конкретного выбора схемы перенормировки). В этом случае перенормировка оператора WaCabWb оказывается чисто однопетлевой, что было подтверждено явными вычислениями в двух- [8, 52] и трехпетлевом [35] приближениях, а функция Гелл-Манна-Jloy при этом имеет поправки во всех порядках теории возмущений и совпадает с точной /3-функцией Новикова, Шифмана, Вайнштейна и Захарова.

Поскольку функция Гелл-Манна-Лоу является схемно независимой, то она, вообще говоря, может быть вычислена при использовании произвольной регуляризации. Однако наиболее удобной оказывается использование регуляризации с помощью высших ковариантных производных [50, 53]. Дело в том, что при использовании этой регуляризации в N — 1 суперсимметричной электродинамике все интегралы, которые возникают при вычислении функции Гелл-Манна-Лоу, сводятся к интегралам от полных производных. Впервые это было замечено в работе [35]. Поэтому, на самом деле, их аналитическое вычисление существенной сложности не представляет. Частично в электродинамике эту закономерность можно объяснить с помощью применения метода, основанного на подстановке решений тождеств Славнова-Тейлора в уравнения Швингера-Дайсона [54, 55]. Однако для полного доказательства оказывается необходимым предположить существование некоторого дополнительного тождества для функций Грина, причина происхождения которого пока остается неясной [56]. Его существование во многом связано с тем, что интегралы, определяющие двухточечную функцию Грина, сводятся к полным производным. Оно не следует из калибровочной инвариантности или суперсимметрии теории, и пока не удается доказать его в общем виде из первых принципов. Это тождество является нетривиальным в трех- и более петлях. Проверка справедливости нового тождества в суперсимметричной электродинамике в высших петлях является одной из целей диссертации.

Таким образом, уже в . электродинамике получение точной (3-функции является достаточно нетривиальной задачей. Указанные выше закономерности позволяют предположить, что применение регуляризации высшими ковариантными производными может выявить интересные закономерности в структуре квантовых поправок неабелевых N — 1 суперсимметричных калибровочных теорий. Однако применение этой регуляризации в неабелевых теориях, как правило, оказывается сложной с технической точки зрения. Поэтому такая регуляризация была применена лишь однажды, при проведении однопетлевого вычисления в несуперсимметричной теории Янга-Миллса [57]. С учетом замечаний, сделанных в последующих работах [51, 58, 59, 60], результат вычисления совпал со стандартным выражением для однопетлевой /^-функции (хотя в исходной работе [57] и утверждалось, что это не так).

В случае N = 1 суперсимметричной теории Янга-Миллса с полями материи, регуляризованной высшими ковариантными производными, имеет место ситуация, похожая на то, что характерно для суперсимметричной электродинамики: метод, основанный на использовании тождеств Славнова-Тейлора и уравнений Швингера-Дайсона, позволяет вычислить вклад суперполей материи в /^-функцию точно во всех порядках теории возмущений. При этом также требуется предположить справедливость аналогичного тождества [61, 62] для функций Грина. Однако его выполнение должно быть проверено с помощью явных вычислений в конечных петлевых порядках, что также является одной из целей диссертации.

Интересно заметить, что [35] при использовании регуляризации высшими ковариантными производными в JV = 1 суперсимметричной электродинамике расходимости в двухточечной функции Грина присутствуют только в однопетлевом приближении. (Однако расходящаяся часть двухточечной функции Грина не является физической величиной. Таковой является функция Гелл-Манна-Jloy, вклады в которую дают все порядки теории возмущений.) Этот факт в значительной степени подтверждает рассуждения, проведенные в работе [19], где предполагалось, что вильсоновское действие Sw является чисто однопетлевым, а эффективное действие Г имеет поправки во всех петлях. В данном случае роль Sw играет обычное перенормированное действие. При этом в N = 1 суперсимметричной электродинамике функция Гелл-Манна-Лоу не совпадает с функцией Ь(а), определенной по расходящейся части эффективного действия, благодаря аномалии масштабирования [22], которая приводит к тому, что определенный стандартным образом производящий функционал зависит от точки нормировки. В диссертации также проводится аналогичное исследование в неабелевом случае.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, двух приложений, заключения и списка используемой литературы.

Заключение

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

• Предложен внутренне непротиворечивый метод вычисления квантовых поправок в неабелевых N — 1 суперсимметричных калибровочных теориях с использованием регуляризации высшими ковариантными производными, который не нарушает суперсимметричную инвариантность (в том числе и в высших петлях), а также позволяет самосогласованным образом проводить пертурбативные вычисления в суперсимметричных теориях.

• Впервые регуляризация высшими ковариантными производными применена для вычисления квантовых поправок в неабелевых суперсимметричных калибровочных теориях.

• С помощью регуляризации высшими ковариантными производными • и формализма фонового поля вычислена двухпетлевая функция Гелл

Манна-Лоу в N — 1 суперсимметричной теории Янга-Миллса.

• Явным вычислением доказано, что в двухпетлевом приближении расходимости являются чисто однопетлевыми, тогда как функция Гелл-Манна-Лоу совпадает с точной /^-функцией Новикова, Шифмана, Вайнштейна и Захарова.

• Показано, что в рассматриваемых случаях при использовании регуляризации высшими ковариантными производными интегралы, которые определяют квантовые поправки в эффективное действие, сводятся к полным производным и могут быть легко вычислены аналитически.

• Разработан метод, упрощающий вычисления диаграмм Фейнмана, которые определяют вклад в двухточечную функцию Грина калибровочного поля, в суперсимметричных калибровочных теориях в супер полевом формализме, применимый для любой регуляризации.

• Произведена пертурбативная проверка нового тождества, возникающего при получении /^-функции точно во всех порядках теории возмущений, методом, основанным на подстановке решений тождеств Славнова-Тейлора в уравнения Швингера-Дайсона, в четырехпетлевом приближении в N = 1 суперсимметричной электродинамике и в трехпетлевом приближении в N — 1 суперсимметричной теории Янга-Миллса.

• Проверено совпадение результата для вклада четырехпетлевых диаграмм Фейнмана в N = 1 суперсимметричной электродинамике, полученного при помощи алгоритма суммирования, с результатом, даваемым стандартной техникой суперграфов.

Работа была выполнена на кафедре теоретической физики Московского Государственного Университета имени М.В. Ломоносова.

Я глубоко признателен моему научному руководителю Пронину П.И. и доценту Степаньянцу К.В. (кафедра теоретической физики физического факультета МГУ) за постоянное внимание и помощь при выполнении данной работы.

1. В.М. Емельянов, Стандартная модель и ее расширения, М., Физматлит, 2007.

2. W. Siegel, Fields.// hep-th 9912205.

3. R.N. Mohapatra, Unification and supersymmetry: the frontiers of quark-lepton physics, Springer, third edition, 2003.

4. H. Nilles, Supersymmetry, supergravity, and particle physics.// Phys. Rep. 1984. - 110. - p. 1.

5. J. Lopuszanski, An introduction to symmetry and supersymmetry in quantum field theory, World Scientific Publishing, 1991.

6. Novikov V., Shifman M., Vainshtein A. and Zakharov V., The beta function in supersymmetric gauge theories. Instantons versus traditional approach.// Phys. Lett. В 1986. - 166. - p. 329.

7. Soloshenko A.A. and Stepanyantz К. V., Two-loop renormalization of N = 1 supersymmetric electrodynamics, regularized by higher derivatives.// hep-th 0203118.

8. Ferrara S. and Zumino В., Transformation properties of the supercur-rent.// Nucl. Phys. В 1975. - 87. - p. 207.

9. Clark Т.Е., Piguet O. and Sibold K., Supercurrents, renormalization and anomalies.// Nucl. Phys. В 1978. - 143. - p. 445.

10. Piguet O. and Sibold К., The supercurrent in N = 1 supersymmetric Yang-Mills theories. (I). The classical case.// Nucl. Phys. В 1982. -196. - p. 428.

11. Piguet О. and Sibold К., The supercurrent in N = 1 supersymmetric Yang-Mills theories. (II). Renormalization.// Nucl. Phys. В 1982. -196. - p. 447.13