Квантовая динамика в суперсимметричных моделях теории поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ



На правах рукописи

Плетнев Николай Гаврилович

Квантовая динамика в суперсимметричных моделях теории поля

01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Л 1 АВГ 2011

Новосибирск - 2011

4852031

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения РАН

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Бухбиндер Иосиф Львович

Официальные оппоненты:

член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор Хриплович Иосиф Бенционович,

доктор физико-математических наук, профессор Казаков Дмитрий Игоревич, доктор физико-математических наук, профессор Лавров Петр Михайлович

Учреждение Российской академии наук Петербургский институт ядерной физики им. Б.П.Константинова

Ведущая организация:

Защита состоится 29 сентября 2011 г. в 14 — 30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.267.07 при ГОУ ВПО "Томский государственный университет "по адресу: 634050, Томск, пр. Ленина, 36. Автореферат разослан У-^'ОЗ-_ 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Современная теория элементарных частиц демонстрирует значительные успехи в описании всего многообразия наблюдаемых частиц и их взаимодействий в терминах нескольких фундаментальных взаимодействий и элементарных объектов. Эта теория, основанная на формализме релятивистской квантовой теории поля и калибровочной симметрии в качестве динамического принципа, известна как Стандартная Модель (СМ). Как математическая конструкция, СМ опирается на ряд положений, хотя и основанных на экспериментальных данных, которые являются частью ее определения, а не следствиями ее предсказаний. Естественно возникает вопрос, могут ли некоторые, если не все, параметры, произвольные в пределах СМ, иметь динамическое происхождение в более фундаментальной теории. Кроме того, при отсутствии до сих пор критического компонента СМ, хиггсовского бозона, механизм нарушения электрослабой симметрии остается все еще не выясненным и поэтому сегодня является самым важным вопросом физики элементарных частиц. Есть, однако, серьезные основания подозревать, что физика далее СМ должна играть ключевую роль в динамике электрослабого нарушения. Радиационный вклад в массу хиггсовского бозона растет линейно с масштабом, на котором обрезается интегрирование по квантовым модам на коротких расстояниях. В этом вкладе доминирует эффект виртуальных пар топ-антитоп кварков, которые очень сильно взаимодействуют с хиггсовским бозоном из-за большой массы топ-кварка. Эта проблема известна как проблема иерархии СМ и ее решение возможно путем введения новых состояний, вклады которых в собственную энергию хиггсовского бозона сокращают ведущую линейную расходимость. Среди моделей расширения СМ, которые решают проблему иерархии, отметим суперсимметрию, где расходимости становятся логарифмическими, которые не требуют точной подстройки параметров. Если комбинация квантовой механики и специальной теории относительности потребовала удвоения спектра частиц - каждой частице соответствовала античастица - то суперсимметрия требует введения суперпартнера для каждой фундаментальной частицы СМ. Косвенный намек на то, что такой сценарий может оказаться реальностью, состоит в том, что вычисление эволюции констант электрослабого и сильного взаимодействия с учетом новых виртуальных частиц позволяет достичь точного объединения.

Ответы на часть из этих вопросов естественно было бы ожидать в

рамках некоторых моделей объединения СМ с теорией гравитации. Однако гравитация, которая не может быть сформулирована как простая калибровочная теория, все еще не находит полностью удовлетворительного понимания на квантовом уровне и пребывает вне системы исходных принципов СМ. Тот факт, что гравитационное взаимодействие не вписывается в общую схему, вероятно означает, что локальная квантовая теория поля имеет ограниченную применимость и должна быть заменена на более общую конструкцию. Она может быть нелокальной, как в теории струн, или многомерной подобно теории бран мирового объема. Однако, в любом случае, в пределе низких энергий имеют место локальные квантовые теории поля, возможно и выходящие за рамки СМ. Предмет, так называемого АсЗБ / СРТ соответствия, за последние десять лет становится очень важным для теоретической физики высоких энергией. Одной из причин интереса к этому подходу является то обстоятельство, что это соответствие может быть использовано для понимания теоретико-полевых моделей в области сильной связи путем сопоставления их с классической гравитацией. В этом сценарии различные конформные теории поля соответствуют теориям гравитации с различным набором полей материи и с различными действиями в объеме. В таких теориях суперсимметрия играет ключевую роль. Характерная энергетическая шкала теории суперструн задается планков-ским масштабом. Конечно, на доступных в настоящее время энергиях суперсимметрия не проявляет себя, что должно означать ее нарушение на некотором масштабе. Его величина является интригующей загадкой для перспективы многих исследований. При переходе к энергиям, много меньшим планковской, мы имеем дело с эффективной (низкоэнергетической с точки зрения теории суперструн) суперсимметричной теорией поля. Поэтому изучение различных (супер)полевых пределов суперструнных теорий привлекает большое внимание, поскольку это направление позволяет изучать струнные эффекты методами теории поля и полевые эффекты методами теории суперструн, а также открывает возможности построения новых (супер)полевых моделей с интересными свойствами, в том числе и с внутренними механизмами нарушения суперсимметрии. В связи с этим изучение именно низкоэнергетических квантовых аспектов суперсимметричных моделей теории поля должно представлять особый интерес с точки зрения возможных феноменологических проявлений существования на некотором масштабе энергий суперсимметрии. Изучение квантовой структуры моделей теории поля с расширенным числом суперсимметрий одно из главных направлений исследований в совре-

менной теоретической физике. Особый интерес представляют струнно -инспирированные модели квантовой теории поля, которые возникают в низкоэнергетическом пределе теории струн / М-бран.

Независимо от конкретной мотивации, проблема визуализации структуры теории на недостижимых для эксперимента масштабах приводит к задаче рассмотрения низкоэнергетических свойств в легком секторе теории, индуцированных специфическими особенностями квантовой динамики тяжелого сектора. Фундаментальным объектом квантовой теории поля, позволяющим описывать всю совокупность квантовых процессов является эффективное действие. При этом легкие поля используются как инструмент изучения структуры вакуума полной квантовой теории. Проблема построения эффективного действия тесно связана с решением таких фундаментальных задач квантовой теории поля, как определение структуры вакуума и его низколежащих возбуждений, нахождения квантовых поправок к классическим уравнениям движения, исследования фазовых переходов и динамического нарушения симметрии, изучения квантовой динамики в сильных фоновых полях. Наиболее плодотворным подходом к построению эффективного действия в квантовой теории поля является метод фонового поля, основы которого заложены Де Виттом. Этот метод является обобщением метода производящих функционалов в квантовой теории поля для случая неисчезающих классических фоновых полей и наличия неабелевой калибровочной симметрии. Точное нахождение эффективного действия означало бы точное решение в соответствующей модели квантовой теории поля, что в общем случае представляется невозможным. В этой связи используются различные приближенные подходы такие как разложение по числу петель и разложение по степеням производных своих функциональных аргументов. При этом, в ведущем низкоэнергетическом приближении, эффективное действие содержит только первые неисчезающие члены в указанном приближении. Очевидно, что именно первые члены низкоэнергетического эффективного действия позволяют исследовать структуру вакуума полевой модели и динамику ее низколежащих возбуждений. В теориях, обладающих глобальными и локальными симметрия-ми, не нарушенными аномалиями, эффективное действие также должно обладать этими симметриями. Оказывается, что вЛ/"=2иЛ/" = 4 расширенных суперсимметричных теориях Янга-Миллса требования суперсимметрии и суперконформной инвариантности так сильны, что низкоэнергетическое эффективное действие (голоморфный и неголоморфный потенциалы) может быть установлено точно. Поэтому конструкция сле-

дующих вкладов в низкоэнергетическое эффективное действие N = 4 и Я — 2 суперкалибровочных моделей и их свойства (не)ренормируемости оказалась очень важной для изучения взаимосвязи между суперсимметричной квантовой теорией поля и теорией струн. При этом возникает проблема развития методов конструкции эффективного действия и технических приемов его вычисления, явно обеспечивающих проявление симметрий классического действия на всех этапах исследования. Однако в теориях с расширенным количеством суперсимметрий возникают определенные проблемы с построением квантовой теории. Дело в том, что алгебра расширенной суперсимметрии является замкнутой только на уравнениях движения. В суперполевых подходах требование неприводимости суперполевого представления супералгебры приводит к дифференциальным условиям связей на суперполя, что, в свою очередь, приводит к трудностям в построении теории возмущений и исследовании квантовых свойств наиболее интересных теоретико-полевых моделей с расширенным числом суперсимметрий. Но, к сожалению, на современном этапе адекватные формулировки в терминах неограниченных связями суперполей известны только для четырехмерных N = 1 суперсимметричных теорий и N = 2 теорий на гармоническом суперпространстве. Все другие (супер)симметрии являются скрытыми и именно поэтому развитие общих методов для ковариантного построения эффективного действия вЛГ=1иЛ/" = 2 суперсимметричных квантовых теориях калибровочных полей и материи, является актуальной областью исследований.

Цели диссертационной работы. Развитие суперполевого формализма фонового поля в том или ином, внутренне присущим рассматриваемой модели, суперпространстве, для конструкции эффективного действия. Построение математического аппарата, позволяющего в рамках определенных приближений последовательно вычислять ведущие и следующие за ними вклады в разложение эффективного действия по числу петель и степени производных. Применение развитой техники к задачам прямого вычисления квантовых поправок в широком круге актуальных задач современной суперсимметричной квантовой теории поля.

Диссертация ставит своей целью:

• Исследование проблемы построения однопетлевых контрчленов для феноменологических сигма-моделей на общем кэлеровом многообразии.

• Изучение классических и квантовых свойств суперсимметричных моделей теории поля с частичным нарушением ЛГ = 1 /2 суперсимметрии.

• Доказательство квантовой эквивалентности теории массивного тензорного поля 2- и 3-го ранга теориям массивного псевдовекторного и скалярного поля, соответственно.

• Построение калибровочно инвариантной процедуры квантования АГ = 2 суперсимметричной теории массивного поля Янга-Миллса и анализ ренормализационных свойств этой модели.

• Исследование структуры эффективного действия N = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса и суперконформных ЛГ = 2 конечных калибровочных моделей теории поля в секторе гипермультиплетов.

• Формулировка ВЗ,ЛГ = 6 и 1)3, Л/" = 8 суперконформных моделей в рамках £>3,ЛГ = 3 гармонического суперпространства и изучение геометрических и квантовых свойств таких теорий.

При решении поставленных задач использовались суперполевые формулировки на суперпространствах, где некоторое число суперсимметрий реализованы явно. Для квантования и конструкции эффективного действия использовались суперполевые модификации метода фонового поля Швингера - Де Витта, обеспечивающие проявление явных симметрии классического действия и позволяющие в одном шаге суммировать бесконечный набор диаграмм Фейнмана с произвольным количеством внешних линий.

Научная новизна диссертации

• Впервые развита процедура систематического вычисления квантовых поправок для общих АО суперсимметричных кэлеровых сигма-моделей с киральными и антикиральными суперпотенциалами. Используя явно репараметризационно ковариантные методы (фоново-квантовое расщепление и представление собственного времени) в N = 1 суперпространстве показано, как однозначно определить однопетлевое эффективное действие. Показано, что на общем кэлеровом многообразии однопет-левые контрчлены имеют структуру суперсимметричного члена Весса-Зумино-Новикова-Виттена. Ведущий конечный вклад в разложении по степеням ковариаптных производных однопетлевого эффективного действия вычислен.

• Впервые проведено исследование классических и квантовых аспектов суперполевых моделей на неантикоммутативном N = 1/2 суперпространстве с сохранением структуры деформированного произведения. Получены ведущие однопетлевые квантовые поправки и показано, что для кэлерова потенциала они совпадают с результатами для неде-формированной модели, а к киральному суперпотенциалу добавляются

члены, явно содержащие параметр деформации. Подробно рассмотрены голоморфные однопетлевые квантовые поправки к эффективному суперпотенциалу в модели Af = 1/2 Весса-Зумино. Точный непертурба-тивный результат представлен в форме интеграла по собственному времени. Проанализировано разложение этой интегральной формы в ряд по киральным полям Ф и их производным D2<P и предложена процедура вычисления коэффициентов разложения, основанная на Фурье преобразованиях грассмановых переменных. Исследовано однопетлевое эффективное действие для деформированной суперсимметричной теории калибровочного поля. Используя метод фонового поля, адаптированный для работы в Af = 1/2 суперпространстве, построено эффективное действие для полей материи, взаимодействующих с фоновым калибровочным суперполем. В качестве примера, точно вычислено однопетлевое эффективное действие для мультиплета полей материи на абелевом фоне, а также для суперсимметричной теории поля Янга-Миллса с калибровочной группой SU(2), нарушенной до U( 1).

• Впервые изучено эффективное действие для моделей массивного антисимметричного поля второго и третьего ранга на фоне гравитации. Эти модели классически эквивалентны массивному векторному полю и массивному скаляру, соответственно, минимально связанными с гравитацией. Доказано, что эффективное действие массивного антисимметричного поля второго ранга точно эквивалентно эффективному действию массивного векторного поля и эффективное действие массивного антисимметричного тензорного поля третьего ранга точно совпадает с эффективным действием массивного скаляра.

• Впервые рассмотрены квантовые аспекты Af = 2 суперсимметричной калибровочно инвариантной теории массивного поля Янга-Миллса, сформулированной в JV = 2 гармоническом суперпространстве. Развита калибровочно инвариантная и явно суперсимметричная схема разложения суперполевого эффективного действия по числу петель и степеням ковариантных производных вне массовой оболочки. В рамках этой схемы вычисляются калибровочно инвариантные и явно А/ = 2 суперсимметричные однопетлевые контрчлены, включая контрчлены, зависящие от штюкельбергова суперполя. Анализируется компонентная структура таких контрчленов.

• Впервые построено разложение по производным однопетлевого эффективного действия АГ = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса, содержащей как Af = 1 суперполя векторного мультиплета, так и суперполя материальных мультиплетов. Полученное действие перепи-

сывается в терминах разложения по степеням ЛГ = 2 суперконформных инвариантов, где ведущим членом является Л/" = 4 суперсимметричный эффективный потенциал, ранее построенный в работе Бухбиндера И.Л. и Иванова Е.А., и найдены следующие за ведущими вклады к этому действию. Отмечено, что все полученные явно Я = 2 суперсимметричные вклады, кроме ведущего, не должны обладать инвариантностью относительно классических высших N — 2 суперсимметрий, что обусловлено выбором фона и процедурой фиксации калибровки. Используя формулировку теории в терминах М = 2 гармонического суперпространства, анализируются возможные самосогласованные деформации скрытых N = 2 суперсимметрий и сублидирующие члены эффективного действия вне массовой поверхности N = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса и построено, зависящее от суперполей гипермультиплетов, дополнение для двухпетлевого члена ос F6 в разложении Швингера-Де Витта эффективного действия.

• Впервые развит систематический подход для конструкции одно-петлевого эффективного действия Л/" = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса, зависящего как от полей N = 2 векторного мультипле-та, так и фоновых полей гипермультиплета. С использованием техники ковариантных А* = 2 гармонических суперграфов построено однопетле-вое эффективное действие, и развит метод символа операторов для его вычисления в терминах Л/" = 2 гармонических суперполей. Гипермуль-типлетно - зависимое эффективное действие для постоянной абелевой напряженности Ртп и постоянных полей гипермультиплета построено и представлено в виде интеграла по полному N — 2 суперпространству.

• Впервые изучено однопетлевое низкоэнергетическое эффективное действие в секторе гипермультиплета для N = 2 суперконформных калибровочных моделей. Найдено общее выражение для низкоэнергетического эффективного действия на массовой оболочке в форме интеграла собственного времени. Анализируется компонентная структура бо-зонного сектора ведущих вкладов в эффективное действие. Среди многих членов содержатся члены, с тремя и четырьмя пространственно-временными производными полей, имеющих Черн - Саймоне - подобную форму.

• Впервые построено классическое действие Аарони - Бергмана - Жа-фериса - Малдасены модели в А/=3, ¿=3 гармоническом суперпространстве- В такой формулировке три из шести суперсимметрий реализованы явно вне массовой оболочки, в то время как три другие перемешивают различные суперполя и замкнуты на уравнениях движения. Кроме

оригинальной и(А') х и (Л') А/=6 модели, построены Л/"=3 суперполевые формулировки некоторых обобщений с другими калибровочными сим-метриями. Для 811(2) х 811(2) случая дано простое суперполевое доказательство расширения до Л/=8 суперсимметрии и 80(8) П-симметрии.

• Впервые развит метод фонового поля для изучения квантовых аспектов Л/"=3, с1=3 теорий Черн-Саймонс с материей в N=3 гармоническом суперпространстве. Построены пропагаторы суперполей гипер-мультиплета и калибровочных суперполей на фоне суперполей Черна-Саймонса. В качестве одного из непосредственных применений, доказаны теоремы неренормируемости. Ведущие супердиаграммы с двумя и четырьмя внешними линиями калибровочных и материальных гипер-мультиплетов вычислены.

Научная и практическая ценность. Развитые в диссертации общие методы анализа низкоэнергетического эффективного действия и полученные конкретные научные результаты могут быть использованы в современных исследованиях, направленных на расширение стандартной модели фундаментальных взаимодействий. Проведенное рассмотрение квантовых аспектов суперсимметричных полевых теорий продемонстрировало высокую эффективность суперполевых формулировок суперсимметричных моделей при изучении квантовых эффектов. Эти результаты и методы могут найти применение в исследованиях по теоретической физике фундаментальных взаимодействий, квантовой теории поля, суперсимметрии, теории струн, проводимых в Физическом институте РАН (Москва), Объединенном Институте Ядерных Исследований (Дубна), Математическом институте РАН (Москва), Институте физики высоких энергий (Протвино), Институте теоретической и экспериментальной физики (Москва), Институте ядерных исследований РАН (Москва), Петербургском институте ядерной физики РАН (Гатчина), Институте математики СО РАН (Новосибирск), Институте ядерной физики СО РАН (Новосибирск), Томском государственном педагогическом университете, Томском государственном университете, Московском государственном университете, а также в других организациях, где ведутся работы по теоретической физике высоких энергий.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту:

В работе в рамках метода фонового поля развиты общие методы построения эффективного действия для различных моделей суперсимметричной квантовой теории поля и исследования его структуры.

• Подход к построению квантовых поправок для общих 4.0 суперсимметричных кэлеровых сигма-моделей с киральными и антикиральными суперпотенциалами.

Развит явно репараметризационно ковариантный метод фоново - квантового расщепления в ЛЛ=1 суперпространстве для изучения квантовых свойств и конструкции однопетлсвого эффективного действия общих 4£> суперсимметричных кэлеровых сигма-моделей. Исследована структура однопетлевых расходимостей эффективного действия в рассматриваемой модели и показано, что на произвольном кэлеровом многообразии однопетлевые контрчлены совпадают по структуре с действием, генерирующим неабелеву аномалию в Л/"=1 суперсимметричной теории КХД.

• Подход к исследованию классических и квантовых аспектов суперполевых моделей на неантикоммутативном Л/" = 1/2 суперпространстве.

Рассмотрен интересный, с точки зрения поиска механизмов нарушения суперсимметрии из первых принципов, класс суперполевых моделей на неантикоммутативном ЛГ=1/2 суперпространстве. Рассмотрены специфические особенности компонентной формулировки классических неантикоммутативных суперсимметричных моделей теории поля. В неантикоммутативной модели Весса-Зумино вычислен точный непер-турбативный суперпотенциал. Развиты методы вычисления эффективного действия в неантикоммутативной суперсимметричной теории Янга-Миллса и модели общего кирального суперполя с сохранением структуры ^-произведения.

• Подход для доказательства квантовой эквивалентности моделей массивного антисимметричного поля на фоне гравитации моделям массивного векторного поля и массивного скаляра минимально связанных с гравитацией.

Развита калибровочно инвариантная процедура квантования теории массивного антисимметричного тензорного поля, минимально связанного с гравитацией. Исследована общая структура эффективного действия гравитационного поля, индуцированного массивными антисимметричными полями второго и третьего ранга в произвольно искривленном пространстве-времени и доказано, что они в точности равны таковым для массивного векторного поля и массивного скалярного поля соответственно, минимально связанных с гравитационным полем , что доказывает квантовую эквивалентность классически дуальных теоретико-полевых описаний физических степеней свободы. Показано, что, если эффективное действие определено с учетом вкладов нулевых мод, разность между эффективными действиями классически эквивалентных

теорий является топологическим инвариантом Гаусса-Бонне. Этот факт означает совпадение эффективных тензоров энергии-импульса рассматриваемых дуальных теорий.

• Подход к исследованию квантовых свойств N = 2 суперсимметричной калибровочно инвариантной теории массивного поля Янга-Миллса.

Исследована структура эффективного действия М = 2 суперсимметричной массивной теории поля Янга-Миллса, построенной с использованием нелинейной сигма-модели штюкельберговского суперполя. Развит метод фонового поля, позволяющий получить разложение по числу петель и степеням ковариантных производных эффективного действия в явно калибровочно инвариантной и N = 2 суперсимметричной форме. Изучена структура однопетлевых расходимостей рассматриваемой теории.

• Систематический подход для конструкции однопетлевого эффективного действия N = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса и ультрафиолетово конечных М — 2 калибровочных моделей, зависящего как от полей векторного мультиплета, так и фоновых полей гипермульти-плета.

Построено разложение по производным однопетлевого эффективного действия N = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса, содержащей как поля N = 2 векторного мультиплета, так и поля гипермультиплетов. Рассмотрена формулировка N = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса в терминах N = 1 суперполей и получено калибровочно инвариантное однопетлевое эффективное действие в приближении постоянных абелевых напряжеиностей и постоянных полей гипермультиплетов. Найдено представление эффективного действия в виде разложения по суперковариантным производным ТУ = 2 векторного мультиплета. Развит самосогласованный способ получения, зависящих от гипермультиплетов дополнений и соответствующим образом деформированных преобразований скрытой суперсимметрии, обеспечивающих N = 4 суперсимметрию в следующих после ведущего членов эффективного действия N = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса.

Исследована структура гипермультиплетной зависимости низкоэнергетического эффективного действия в Л/" = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса, сформулированной ЛГ = 2 гармоническом суперпространстве. Проведена процедура квантования рассматриваемой модели и изучена структура теории возмущений. Развиты методы стягивания бесконечного набора N = 2 гармонических суперграфов в точку в прибли-

жении медленно меняющихся фоновых суперполей. Проведено суммирование бесконечной серии ковариантных гармонических суперграфов с произвольным числом внешних линий гипермультиплета на нетривиальном фоне N = 2 векторного мультиплета и установлена общая структура зависимости эффективного действия от суперполей гипермультиплета. Развит метод символов операторов в N = 2 гармоническом суперпространстве, в рамках которого вычислено однопетлевое эффективное действие в рассматриваемой теории и результат представлен в виде интеграла по аналитическому подпространству гармонического суперпространства. Показано, что каждый член разложения эффективного действия по спинорным ковариантным производным представляется как интеграл по полному N — 2 суперпространству.

Построено однопетлевое низкоэнергетическое эффективное действие в N = 2 суперконформных, ультрафиолетово конечных моделях, сформулированных в гармоническом суперпространстве. Изучено эффективное действие, зависящее от фонового абелевого N = 2 суперполя векторного мультиплета и фонового суперполя гипермультиплета, удовлетворяющих специальным ограничениям, определяющим структуру вакуума в данных моделях. В рамках N = 2 суперсимметричного метода фонового поля и в предположении, что гипермультиплет удовлетворяет условиям массовой оболочки найдено универсальное выражение для эффективного действия. Для гипермультиплета за пределами ограничений массовой оболочки, построен специальный явно N = 2 суперсимметричный лидирующий вклад, который записывается как интеграл по 3/4 полного N = 2 гармонического суперпространства. В бозонном секторе модели этот вклад содержит Черн-Саймонс-подобные члены с тремя пространственно-временными производными.

• Конструкция N=3, (1=3 гармонического суперпространства и формулировка ЛГ=6 суперконформных моделей теории поля в которых три высших суперсимметрии перемешивают калибровочные и материальные супермультиплеты и замкнуты на уравнениях движения.

Развита суперполевая формулировка максимально суперсимметричной Л/"=6 и суперконформной теории Аарони - Бергмана - Жафериса -Малдасены с калибровочной группой и(Аг) х и(Л0 и ЭЩЛО х Зи(Лг), а также некоторые ее обобщения на случай других калибровочных симметрии в гармоническом N=3, ¿=3 суперпространстве, где три <1—3 суперсимметрии реализованы явно вне массовой оболочки. Построены М=3 суперполевые реализации скрытых суперсимметрий и 80(6) И-симметрий теории Аарони-Бергмана-Жафериса-Малдасены и показано как эти сим-

метрии продолжаются до Ai=8 и SO(8) в случае теории Баггера - Ламберта - Густавссона с калибровочной группой SU(2) х SU(2). Одно из ярких характерных особенностей А/"=3 формулировки состоит в том, что суперполевые уравнения движения записываются исключительно в терминах аналитических jV*=3 суперполей и имеют простой вид. При этом действие не содержит явно никакого суперполевого потенциала, что диктуется W—3 суперконформной инвариантностью. Известный скалярный потенциал шестой степени компонентной формулировки естественно возникает на массовой оболочке в результате исключения некоторых вспомогательных степеней свободы из калибровочного и гипер-мультиплетных суперполей. Af=3 суперполевая формулировка предполагает простой технический критерий в том, как выбрать калибровочную группу, которая допускает существование скрытых дополнительных суперсимметрий и R-симметрии.

• Анализ квантовых аспектов .A/"=3, d=3 теорий Черн-Саймонса с материей в А/"=3 гармоническом суперпространстве. Доказательство теорем неренормируемости. Вычисление ведущих супердиаграмм с двумя и четырьмя внешними линиями калибровочных и материальных гипер-мультиплетов.

Развит метод фонового поля для теорий JV*=3, d=3 Черна-Саймонса с материей. Построение новых элементов техники работы с Л/*=3 гармоническими суперграфами. Доказана теорема неренормировки, которая гарантирует квантовую конечность такой теории. Построены суперполевые пропагаторы в этих моделях и вычисляются ведущие супердиаграммы с двумя и четырьмя внешними калибровочными и материальными концами. Показано, что на квантовом уровне, в качестве ведущих поправок к классическому действию индуцируется Af=3 действие суперсимметричной теории поля Янга-Миллса и аналитический эффективный потенциал самодействия гипермультиплета, который в компонентной форме записи дает сигма- модель Тауба-НУТ для физических скалярных полей. Как и в четырехмерном случае, такой вклад возможен только в модели массивного заряженного гипермультиплета, с массой гипермультиплета, индуцированной центральным зарядом Л/=3, d=3 супералгебры Пуанкаре.

Апробация работы. Все основные результаты докладывались и обсуждались на семинаре лаборатории теоретической физики ИМ СО РАН, на международных конференциях: llth International Conference "Theoretical and Expérimental Problems of General Relativity and Gravitation" and International Workshop "Gravity, Strings and Quantum Field

Theory Tomsk, July 1-7, 2002; International School/Seminar "Quantum Field Theory, Supersymmetry, Higher Spin Fields and Gravity", Tomsk, March 20-26, 2005; International Conference "Quantum Field Theory and Gravity", Tomsk, July 5-9, 2010; July 2-7, 2007; 5th Workshop on Quantum Field Theory Under the Influence of External Conditions, Leipzig, Germany, 1014 Sep 2001. International Conference : "Quantum Field Theory Under the Influence of External Conditions", Norman, USA, September 15-19, 2003; 4th International Sakharov Conference on Physics, Moscow, May 18-23, 2009; International Conference "Cosmology, the Quantum Vacuum and Zeta Function", Barcelona March 8-10, 2010; International Workshop "Supersym-metries and Quantum Symmetries", Dubna, July 24 - July 29, 2003.SQS 03, SQS'05 July 27 - 31, 2005, SQS'07 July 30 - August 4, 2007, SQS'09 July 29 - August 3, 2009.

Исследования по теме диссертационной работы поддерживались грантами РФФИ (проекты № 00-02-17884, № 03-02-16193-а, № 05-02-16211, № 06-02-16346-а, № 09-02-00078-а), грантами INTAS-00-00254, INTAS-05-7928, грантами президента РФ для ведущих научных школ (проекты НШ-1252.2003.2; НШ-4489.2006.2; НШ-2553.2008.2; НШ-3558.2010.2.), Аналитической ведомственная целевая программа "Поддержка научного потенциала высшей школы", МОН РФ, проекты №1003 и №1141.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [20].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 9 глав, заключения и списка литературы из 385 наименований. Объем работы составляет 325 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении приводится краткий обзор современного статуса Стандартной Модели и различных направлений исследований моделей теории поля за ее пределами. Приводится мотивировка данной работы, обсуждаются постановки задач и их актуальность. Формулируются цели работы, и дается краткая характеристика ее содержания.

В Главе 1 изучается проблема систематического вычисления квантовых поправок для общих 4D суперсимметричных кэлеровых сигма-моделей с киральными и антикиральными суперпотенциалами. Используя явно репараметризационно ковариантные методы (фоново-квантовое расщепление и представление собственного времени) в J\f = 1 суперпространстве показано, как определить однозначно однопетлевое эффективное действие. Мы вводим в рассмотрение репараметризационно ковари-

антные производные, действующие на суперполях и доказываем, что их супералгебра аналогична супералгебре ковариантных производных в суперсимметричной теории Янга-Миллса. Эта аналогия позволяет использовать для вычисления эффективного действия в рассматриваемой теории методов, разработанных для квантовой суперсимметричной теории Янга-Миллса. Получены расходящиеся вклады в рассматриваемых моделях. Показано, что на общем кэлеровом многообразии однопетлевые контрчлены имеют структуру суперсимметричного члена Весса-Зумино-Новикова-Виттена в форме, предложенной в работах Гейтса с сотрудниками. Ведущий конечный вклад в разложении по степеням ковариантных производных однопетлевого эффективного действия (суперполевоЙ «з коэффициент) вычислен.

В разделе 1.1 приводятся основные свойства модели общего ки-рального суперполя в Аг = 1 суперпространстве: Действие

Б = I ¿8гК{ Ф,Ф) + J <РгР{ Ф) + 1<?гР(Ф)

и преобразования голоморфных репараметризаций суперполей Фг —> ф»' = /*(ф), Фг Фг = /1(Ф) и кэлеровых преобразований К{Ф, Ф) —> К(Ф, Ф)+Р(Ф)+Р(Ф), относительно которых это действие инвариантно. Вводятся репараметризационно ковариантные производные

1УаА*=Ос,А* + Г\к1)аФкА1, = £><М5 + Ц-^Ф^А1 , (1)

которые будут являться важным ингредиентом для конструкции эффективного действия. Здесь Тгы = д"пд1дг7^, ' Г|;- = дгтд[дть компоненты связности Леви-Чивита в пространстве полей.

В разделе 1.4 строится разложение по нормальным координатам на кэлеровом многообразии и показываем, что алгебра репараметризационно ковариантных производных (1) дублирует супералгебру ковариантных производных N = 1 суперсимметричной теории Янга-Миллса. Строятся суперполевые напряженности связности д~1Оад и ковариантные даламбертианы.

В разделе 1.5 с использованием техники Швингера-Де Витта строится суперфункционал однопетлевого эффективного действия и анализируются расходящиеся

- (?)" (/- */ АЛ* + ,с.) ,

(2)

(где УУ.-М некоторые промежуточные обозначения) и ведущие конечные вклады. Отмечено, что член в (2), который задается интегралом по киральному подпространству может быть переписан в форме 4£>, N = 1 суперсимметричного некалибровочного \VZNW действия:

У¿*гТ)к(Оа<У) [Я?тЁ)Аф1ТЧдаАф1 + В?ш&ф^Оаф1

+ + с.с. , (3)

которое полностью выражается только в терминах хорошо определенных геометрических величин. Второй член в (2) представляет собой суперсимметричное действие четвертого порядка нелинейной сигма-модели Конечные члены в эффективном действии, обусловленные аз коэффициентом, позволяют найти вклады в ^-матрицу шестого порядка по импульсам, которые определяются формами кэлерова и (анти)кирального потенциалов.

Глава 2 посвящена анализу классических и квантовых свойств суперсимметричных моделей теории поля на неантикоммутативном N = 1/2 суперпространстве. Анализируется компонентная структура общей модели кирального суперполя с учетом вкладов вспомогательных полей. Показано, что существует компактная форма записи компонентного лагранжиана модели, которая может быть рассмотрена как деформация стандартного лагранжиана Зумино с киральным и антикиральным суперпотенциалами и изучен вопрос об исключении вспомогательных полей. Получены ведущие однопетлевые квантовые поправки и показано, что для кэлерова потенциала они совпадают с результатами для неде-формированной модели, а к киральному суперпотенциалу добавляются члены, явно содержащие параметр деформации.

Подробно рассмотрены голоморфные однопетлевые квантовые поправки к эффективному потенциалу в модели Л/" = 1/2 Весса-Зумино. Точный пепертурбативный результат представлен в форме интеграла по собственному времени. Проанализировано разложение этой интегральной формы в ряд по киральным полям Ф и их производным Д2Фи предложена процедура вычисления коэффициентов разложения, основанная на Фурье преобразовании по грассмановым переменным.

Исследовано однопетлевое эффективное действие для деформированной суперсимметричной теории калибровочного поля. Используя метод фонового поля, адаптированный для работы п N = 1/2 суперпространстве, мы находим эффективное действие для полей материи, взаи-

модействующих с фоновым калибровочным суперполем. В качестве примера точно вычислено однопетлевое эффективное действие для мульти-плета полей материи на абелевом фоне, а также для суперсимметричной теории поля Янга-Миллса с калибровочной группой £>'{/(2), нарушенной до 1/(1).

В разделе 2.2 дано определение неантикоммутативного N = 1/2 суперпространства и формулировки суперсимметричных моделей теории поля в которых обычное произведение суперполей заменяется на "звездочка'-произведение определенное в киральном базисе как

ф * ф = ф ф = ф (1 _ + Л^2^2) Ф , (4)

При этом доказывается, что деформированная алгебра суперсимметрии имеет хорошо определенные представления. С использованием символов операторов изучаются свойства ^-произведения, калибровочных преобразований и модификации других математических конструкций, определенных в стандартном суперпространстве.

В разделе 2.3 рассмотрены классические свойства деформированных моделей Весса-Зумино я N — 1/2 суперсимметричной теории Янга-Миллса. Также изучается компонентная структура модели общего ки-рального суперполя, сформулированной в терминах произвольного кэле-рова потенциала К(Ф, Ф)* и произвольных кирального и антикирально-го суперпотенциалов Й'(Ф)*, и найдена ее компонентная струк-

тура. Несмотря на это, что действие модели в компонентных полях записывается в виде бесконечных рядов по неантикоммутативному параметру с коэффициентами, зависящими от производных потенциалов, эти ряды удается записать в замкнутой форме посредством сглаживающих интегралов от кэлерова и (анти) кирального суперпотенциалов в окрестности бозонной компоненты кирального суперполя Ф на масштабе, зависящем от параметра деформации и вспомогательного поля \ZdetCF. Делается заключение, что скалярный потенциал как функция скалярных полей и фермионного конденсата (к.2) может быть как положительно, так и отрицательно определенным в зависимости от конкретной формы для кэлерова потенциала и суперпотенциалов, что, в свою очередь, приводит к возможности полного нарушения суперсимметрии в рассматриваемой модели.

В разделе 2.5 проведено вычисление однопетлевого эффективного потенциала для неантикоммутативной модели общего кирального суперполя. При вычислении использовалось приближение медленно меняю-

щихся полей суперполей и был предложен метод вычислений, позволяющий провести вычисления без переписывания ^-произведения через обычные произведения. Проанализирована структура расходимостей. Показано, что кроме расходимостей, присущих недеформированной модели, возникают расходимости новой структуры, содержащей параметр деформаций и разрушающие форму ^-произведения на квантовом уровне. Найдена точная форма расходящихся и конечных однопетлевых поправок в кэлеров потенциал и киральный суперпотенциал.

В разделе 2.6 развит общий подход построения однопетлевого эффективного суперпотенциала для ЛГ = 1/2 модели Весса-Зумино. Подход основан на использовании техники символов операторов и методах разложения теплового ядра и позволяет проводить непосредственные вычисления однопетлевых квантовых поправок. С помощью предлагаемого подхода вычисляется точная форма однопетлевого эффективного суперпотенциала рассматриваемой модели в терминах интеграла по собственному времени. Также приводится новая схема разложения по степеням вспомогательных полей П2Ф эффективного кирального суперпотенциала и дается полное решение этой задачи в терминах представления Меллина-Барнса обобщенных гипергеометрических функций нескольких грассмановых переменных. Подправленный "руками" /'-член имеет конечные радиационные поправки, в то время как /-член не ренорми-руется. Поскольку суперсимметричные вакуумы определяются критическими точками антиголоморфного суперпотенциала, вакуум остается стабильным.

В разделе 2.7 построено эффективное действие, индуцированное квантовыми полями материи и калибровочными полями, на специальном фоне и(1)-суперполя векторного иультиплета. Для того чтобы использовать метод фонового поля для квантования неантикоммутатив-ных теорий Янга-Миллса, выполним фоново - квантовое расщепление в виде е^ -> где П, V - фоновый и квантовый суперпотенциалы. По-

сле этого можно переписать ковариантные производные в калибровочно-(анти)киральном представлении Уа = е~"*Уа*е", V« = Г>а со стандартными правилами преобразования по отношению к двум типам калибровочных преобразований (квантовым и фоновым). Ковариантно (ан-ти)киральные суперполя Уа(е~!! * Ф) = О, Уц(е^1 * Ф) = О линейно расщепляются на фоновую и квантовую части. Конструкция однопетлевого эффективного действия, основанная на технике собственного времени состоит последовательном вычислении следа теплового ядра оператора Я* = (У2 * У2ягУ2тУ2У2 * У2, где "массы" определены следующим

образом т = Ифф(Ф),т = Й^ф(Ф) и перенормировки расходящейся части. В приближении ковариантно постоянного фонового векторного мультиплета на массовой оболочке однопетлевое эффективное действие вычисляется и представляется в замкнутой форме:

• г(1) = -тА5 fdeZW2ln^+c.c.

(4*У2 J л

1 -Г _ Vй/

+ тт~Хо / ds-s e~m™ / d8z W2*W2* С* («A/", stf) (4кг Jo J

где J= DaWP, Я1 = DbW? и функция

;у2 * (cos* x — 1) — x2 * (cos* у — 1)

С*(х,у) =

X2 * у2* (cos* X — cos* у)

Таким образом, конструкция эффективного действия индуцированного квантовыми материальными полями в фундаментальном представлении, когда используются только левые ^-произведения, полностью соответствует разложению для соответствующей задачи в обычной суперполевой теории, за исключением различия, обусловленного заменой обычных произведений на *-произведения.

Однопетлевое эффективное действие для неантикоммутативной суперсимметричной теории Янга-Миллса для теории с калибровочной группой Би(2), нарушенной до и(1) определено вкладом заряженных векторных мультиплетов и гостами. Для его вычисления на ковариантно постЬянном абелевом фоне строится калибровочно - инвариантная процедура в терминах ^-произведения и в результате получен расходящийся вклад

_ 3 ' ~ 2 (4л

и конечные части эффективного действия

(б)

= ¿/^ £ (7)

созЬ(5М) - 1 созЦаЛ/";) - 1

Х (ЙЛГ*)2 ' (аЛ/г)2 ' собЬ^М) - сояЦвМ) '

где использовано определение Ж; = Мы видим, что однопет-

левые расходимости для абелева фонового поля по форме совпадают

с классическим действием, что гарантирует перенормируемость модели. Таким образом, непосредственными вычислениями показано, что однопетлевое эффективное действие рассматриваемой модели является калибровочно-инвариантным и полностью записывается в терминах специального ^-оператора Т* = §(* + *-1), т.е. классическое ^произведение не имеет квантовых поправок в этой модели.

В Главе 3 изучено эффективное действие для моделей массивного антисимметричного поля второго и третьего ранга на фоне гравитации. Эти модели классически эквивалентны массивному векторному полю и массивному скаляру, соответственно, минимально связанными с гравитацией. Доказано, что эффективное действие массивного антисимметричного поля второго ранга точно эквивалентно эффективному действию массивного векторного поля и эффективное действие массивного антисимметричного тензорного поля третьего ранга точно совпадает с эффективным действием массивного скаляра. Это доказательство является обобщением теоремы Рея-Зингера для Я-кручения и оно основано на тождествах для масс-зависимых С-функций, ассоциированных с лапласианами на римановом многообразии.

Рассматривается модель массивного антисимметричного поля второго ранга ВМ1у в 4Б искривленном пространстве-времени. Эта теория описывается действием

ад = I <ЛСл/Сэ£) {■-±гм**(д)гииХ(В) + ~ т2В»»В^| , (8)

Ясно, что кинетическая часть действия (8) инвариантна относительно калибровочных преобразований —> В^ = + -с векторным параметром определенным с точностью преобразований С'ц — ^ц + со скалярным параметром Это означает что калибровочные генераторы линейно зависимы. Массивный член действия (8) нарушает эту симметрию. Для квантования теории и вычисления эффективного действия необходимо восстановить калибровочную инвариантность массивной теории (8) с помощью процедуры введения полей Штюкельберга. Введем в рассмотрение векторное поле и рассмотрим следующее действие

О)

Это действие инвариантно относительно калибровочных преобразований () поля В^ и относительно сдвигов поля —> = — а

также относительно калибровочных преобразований штюкельбергового векторного поля: См —> С^ = См + В^ ->• ВД, = В^ , с калибро-

вочным скалярным параметром Л. В 4-мерном пространстве массивное антисимметричное поле второго ранга дуально массивному псевдовекторному полю. При этом физическая компонента ВД1/ соответствует продольной моде массивного псевдовектора, а две физические компоненты Сц соответствуют ее поперечным модам. Общая процедура квантования для теорий с зависимыми генераторами в лагранжевом формализме дается • ВУ-методом. Опуская промежуточные построения гостов и гостов для гостов, сформулируем окончательный результат для разности эффективных действий массивного тензора и массивного псевдовектора

ДГ(1)Ы = \ [Тг1п(П2 + пг2) — 2Тг1п(П1 + т2) + 2Тг1п(П0 + т2)] ,

(10)

Определим эффективное действие в терминах обобщенной дзета-функции Римана (р(з,т) ассоциированной с операторами —Пр + т2

ср(8,т) = £ А"* = — / --Рр) , (И)

где Тр есть проектор на пространство нулевых мод оператора Пр. В этих терминах эффективное действие ассоциированное с оператором (—Ор + ттг2) определяется через

lnDet(-□p + т2) = -(С;(0,т) + 1п(/х%(0,т)) . (12)

Далее доказываются тождества для масс-зависимых дзета-функций Е£=0(-1)рР т) = 0 , с использованием которых, мы получаем

ДГ^> = 0 . (13)

Это последнее соотношение означает, что теория массивного антисимметричного тензорного поля второго ранга квантово эквивалентна теории массивного вектора.

В четвертой Главе рассматривается N = 2 суперсимметричная теория массивного поля Янга-Миллса, сформулированная в ЛГ = 2 гармоническом суперпространстве. Приводятся различные калибровочно инвариантные формы записи массового слагаемого в действии, в частности с использованием штюкельбергова суперполя, ведущие к дуальным

формулировкам теории с использованием тензорного мультиплета. Развивается калибровочно инвариантная и явно суперсимметричная схема петлевого разложения суперполевого эффективного действия вне массовой оболочки. В рамках этой схемы вычисляются калибровочно инвариантные и явно AÍ =2 суперсимметричные однопетлевые контрчлены, включая контрчлены, зависящие от штюкельбергова суперполя. Анализируется компонентная структура таких контрчленов. Некоторые аспекты этой задачи уже рассматривались в работе Огиевецкого-Хелашвили, где было сделано наблюдение, что теория конечна во втором порядке по безразмерной константе связи д2 Янга-Миллса и массовый член не-

ренормируется, но теория неперенормируема в секторе, который содер-

2

жит размерную константу связи :р-.

В разделе 2 описывается формулировка Я — 2 суперсимметричной массивной теории поля Янга-Миллса в рамках гармонического суперпространства с калибровочно инвариантным массивным слагаемым в действии

sm = ydC(-4)du{íl-1(V++ -Ш++)П}2, (14)

где ü = fi(w) = е~1Ш. В такой форме записи массовое слагаемое явно инвариантно относительно одновременных преобразований яу++ _ е»А(у++ - iD++)e~iX и преобразований Зй = е'АП, где gQ. = gil и д это' элемент калибровочной группы.

В разделе 4.3 формулируется калибровочно инвариантная процедура квантования рассматриваемой теории в рамках метода фонового поля. Основным моментом при фоново-квантовом разделении полей, принимающих значения на группе, является нелинейное правило группового сложения элементов группы Ли ü(w) и fi(x), определяемое соотношением:

7TÍ

Í2(w©x) = fi(w)n(-x). (15)

При таком правиле сложения полей, выражение й(ш®х) будет являться элементом того же пространства, что и П (w) и будет иметь тот же закон преобразования под действием группы, что и Г2(о>). Далее проводится стандартная процедура квантования в рамках ÁÍ = 2 гармонического суперпространства с той лишь особенностью, что фоновым полем является комбинация V++ = V++ - г(.0++П)П-1

В разделе 4.4 анализируются однопетлевые контрчлены. Вклад в однопетлевое эффективное действие обусловленный духами, зависит толь-

ко от потенциала У++ и точно совпадает с соответствующим вкладом для обычной безмассовой суперсимметричной N — 2 теории Янга-Миллса. Новые вклады в расходимости связаны с однопетлевыми поправками в эффективное действие, обязанными и++, х квантовым полям внутри петли и их смешиванию. Во втором порядке разложения по степеням - 5/аЬсВ++Ус + + з/асе/ме"И+++ эффективное действие имеет

вид

щи2 ^

Следующие члены разложения дают конечные вклады в эффективное действие. Соотношение (16) является основным результатом этой главы. Выражение (16) представляет собой новый суперполевой контрчлен в N = 2 суперсимметричной массивной теории поля Янга-Миллса в формализме Штюкельберга, зависящий от фонового суперполя ш. Очевидно, что на массовой оболочке этот функционал не содержит гармонических сингулярностей. Среди многих членов в компонентной форме функционал (16) содержит нестандартные контактные четырехвектор-ные взаимодействия и члены, необходимые для их суперсимметризации. Например для калибровочной группы в и (2) эти взаимодействия имеют вид а5па^+(а^а'п)2, где ат. = Ат~Ьт векторная компонента 5'[/(2) суперполя У++. Именно такой контрчлен, как препятствие для ренор-мируемости, возникает и для обычной несуперсимметричной массивной теории поля Янга-Миллса. Подобные отклонения от Стандартной Модели ведут к интересным феноменологическим следствиям, например для процессов \V~i~W~рождения. Заметим, что в отличие от несупер-симметричного случая массовое слагаемое в N = 2 суперсимметричной массивной теории поля Янга-Миллса не ренормируется.

Целью пятой Главы является получение разложения по производным однопетлевого эффективного действия Н — 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса, содержащей как поля И — 1 векторного мультиплета, так и гипермультиплетные поля. Рассматривается формулировка Н — 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса в терминах И = 1 суперполей и получено однопетлевое эффективное действие, в приближении постоянных абелевых напряженностей Ртп и постоянных полей гипермультиплетов. Полученное действие представляется в виде разложения по суперковариантным производным и переписывается в терминах Я = 2 суперконформных инвариантов. В частности, таким об-

разом получено полное АГ = 4 суперсимметричное низкоэнергетическое эффективное действие, ранее вычисленное в работе Бухбиндера И.Л., Иванова Е.А. и найдены следующие за ведущими вклады к этому действию.

В разделах 5.1 - 5.4 приводятся сведения о известных суперполевых формулировках Л/" = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса в рамках Я = 1 суперпространства и N — 2 гармонического суперпространства. Обсуждаются скрытые глобальные суперсимметрии и свойства простых вакуумных конфигураций, реализующих представление N = 2 и N = 4 суперсимметрии.

5.5 раздел развивает метод фонового поля в ЛГ — 1 суперпространстве применительно к поставленной задаче. Новым изобретением для практики работы в N = 1 суперпространстве является выбор суперполевого обобщения калибровок Я^-типа

^ = + = (17)

где □+, стандартные обозначения для даламбертианов в N = 1 суперпространстве. Очевидно, что калибровочные условия (17) ковариант-ны относительно фоновых калибровочных преобразований. При таком выборе параметров удается обойти проблемы вычисления смешанных . вкладов с векторными и киральными суперполями в внутри петли. После расщепления полей на квантовые и фоновые, квадратичная по квантовым полям часть действия задает вид матричного бхб (вместо 7 х 7!) оператора, действующего на пространстве квантовых калибровочных и материальных суперполей. Выбранные параметры калибровки ликвидируют вершины взаимодействия между квантовыми полями материи и квантовыми векторными полями, но приводят к появлению вершин взаимодействия между квантовыми киральными полями и духами:

= 1Г У <Рг ((с'с - с'с) - (с'[Ф\ ¿-[с, Ф,]] + ё[~[с, ФЧ, Ф^ ,

(18)

В разделе 5.6 представлены основные этапы вычисления функциональных следов операторов, которые содержат, зависящий от фоновых суперполей вклад в эффективное действие. Основным результатом этих вычислений является доказательство сокращения вкладов духов и кираль-ных полей в однопетлевом эффективном действии вЖ = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса. Благодаря этому сокращению полный однопетлевой вклад в эффективное действие определяется только

вкладом векторных полей

Г = г ^ Тг1п(Оу — М)и, (19)

а вся зависимость от фоновых материальных мультиплетов спрятана в матрице М — (ФФ + СЩ + <ЗФ), которая инвариантна при преобразованиях группы й-сим метр и и N = 4 суперсимметрии. Для оператора, в вышеприведенной формуле, разложение функционального следа по степеням напряженности калибровочных полей уже неоднократно вычислялась разными авторами. Функциональный след (19) можно записать как разложение по степеням безразмерных комбинаций Ф, Ф суперполей гипермультиплета

= Ф2 = -15У2^2. (20)

М2 м2

В приближении постоянного фона это выражение суммируется и дает следующую поправку к полному однопетлевому действию:

УУ2УУ2

соэЬ^Ф) - 1- собЬ^Ф) - 1 ¿2(Ф2 - Ф2)

/ (21)

¿2ф2 <2ф2 С08Ь(«Ф) - СОЭЬ^Ф) '

В разделе 5.7 рассмотрены эвристические приемы преобразования N = 1 суперсимметричного эффективного действия (21) к явно Лг = 2 суперсимметричной форме. В корректности такой процедуры нас убеждает наличие в качестве ведущего члена в разложении по степеням суперконформных инвариантов известного из анализа И.Л. Бухбиндера и Е.А. Иванова ЛГ = 4 суперсимметричного потенциала

(Г(Н,

ут>. (22)

Отмечается, что все полученные явно Я = 2 суперсимметричные вклады, кроме ведущего, не должны обладать инвариантностью относительно классических высших Л/" = 2 суперсимметрий, что обусловлено выбором фона и процедурой фиксации калибровки. Достаточно очевидно, что для обеспечения ЛГ = 4 суперсимметрии к полученным в

предыдущем разделе членам разложения по производным следует добавить некоторые добавочные члены с производными суперполей гипер-мультиплета. Эти дополнительные члены должны содержать на равных основаниях как, уже представленные в эффективном действии, компонентные поля А = IV \ из векторного мультиплета, так и отсутствующие в определении фона поля V' = Dq\ из гипермультиплета.

В разделе 5.9 мы отмечаем необходимость деформации скрытой Я ~ 2 суперсимметрии в виде разложения по степеням производных суперполей гипермультиплета и одновременно строить суперсимметрично инвариантные члены с высшими поправками в эффективном действии для следующих за ведущим членами эффективного действия в N = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса:

(¿о+ £*»)№ + ][>») = 0.

п п

Здесь 5о это классические преобразования суперсимметрии, 5о — классическое действие а бп,Зп — квантовые деформации и высшие поправки в действие. Используя формулировку теории в терминах N = 2 гармонического суперпространства и анализируя возможные деформации скрытых Я = 2 суперсимметрий вне массовой поверхности ЛГ = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса, построено, зависящее от суперполей гипермультиплетов, дополнение для члена типа Р(\ которое го нет в однопетлевом приближении в разложении Швингера-Де Витта эффективного действия, но он возникает на двух петлях. Предлагаемая процедура требует определенной деформации преобразований классической скрытой Л/" = 2 суперсимметрии в виде разложения по степеням Б, О я степеням X, т.е. 5 = ¿о + 2 $1\к(04)Хк + ..., где в качестве ведущего члена рассматриваются

¿(ЦО)И' = ^О-^—ОНиУУ, <5(1 ¡о)^ =

(23)

5(110)9? = \ ^О^^ИНп^ + . (24)

Такая процедура позволяет самосогласованно получить правильный N = 4 суперсимметричный функционал, содержащий среди компонентных полей член Р6

Г(6) = + ^ - 6Ь(1 - X)) ¿^ЬУУ. (25)

Данный результат не является абсолютно полным в том смысле, что он должен быть дополнен вкладами, содержащими производные гипер-мультиплетных полей. Для того чтобы удостовериться в содержательности преобразований (23-24), рассмотрим вариацию классического действия. Вариация действия гипермультиплетных суперполей пропорциональна уравнениям движения £>++<у+ = 0, а вариация напряженности векторных суперполей из (23) следующая

[>(1|0)10

| У ^МЛё^-ад! 1пй> + АеааП-Я^ 1п Щ . (26)

Полученное выражение имеет такую же структуру как и ¿о<С(4|о)- Это означает, что для сокращения (26) необходимо учитывать недеформи-рованную вариацию £(4|о) ос сЫУ\?1п)Л?, что служит дополнительным подтверждением согласованности предлагаемого способа и отождествлением чисел А, А с однопетлевыми коеффициентами (22).

В шестой Главе развивается систематический подход для конструкции однопетлевого эффективного действия N = 4 супер симметричной теории Янга-Миллса, зависящего как от полей N = 2 векторного муль-типлета, так и фоновых полей гипермультиплета. Начиная с формулировки N = 4 суперсимметричной теории в терминах N = 2 гармонических суперполей, мы построим однопетлевое эффективное действие, используя технику ковариантных N = 2 гармонических суперграфов, метода символов операторов и вычисляем его в терминах N = 2 гармонических суперполей для постоянной абелевой напряженности Етп и соответствующих постоянных полей гипермультиплета. Гипермульти-плетно - зависимое эффективное действие построено и представлено в виде интеграла по аналитическому подпространству гармонического суперпространства

Г =

-8(2УУУУ+4дГд"|"'*1 ~

(4тг)2 ] Уо совЬ^ЛО - совЬ^Я)'

х - 1 со^) - 1 (27)

Далее показано, что каждый член низкоэнергетического эффективного действия в разложении Швингера-де Витта записывается как интеграл по полному N — 2 суперпространству. Этот результат является также проверкой и обоснованием результатов предыдущей главы, где однопетлевое эффективное действие в секторе гипермультиплета было найдено

в терминах N = 1 суперполей с использованием специальной фиксации калибровки и некоторых эвристических рецептов относительно реконструкции явной N = 2 суперсимметричной формы эффективного действия. В данной главе эта задача решается автоматически.

В седьмой Главе изучено однопетлевое низкоэнергетическое эффективное действие в секторе гипермультиплета для ЛГ = 2 суперконформных моделей. Любая такая модель содержит АГ = 2 векторный мультиплет и некоторое количество безмассовых гипермультиплетов. Предполагается, что калибровочная группа С нарушена до (ЗхК, где К является абелевой подгруппой и фоновый векторный мультиплет принадлежит подалгебре Картана, соответствующей К. Найдено общее выражение для низкоэнергетического эффективного действия в форме интеграла собственного времени. Ведущие пространственно-временные зависимые вклады в эффективное действие построены и их компонентная структура в бозонном секторе анализируется. Компонентное действие содержит члены, с тремя и четырьмя пространственно-временными производными полей и имеет Черн-Саймонс-подобную форму.

После приведения в разделе 7.2 необходимой информации о суперполевом формализме N = 2 гармонического суперпространства, обсуждается структура пространства модулей вакуума рассматриваемых моделей. На древесном уровне и энергиях ниже масштаба нарушения мы ' имеем в низкоэнергетическом секторе свободную динамику безмассового N = 2 векторного мультиплета и безмассовых нейтральных гипермультиплетов. Однако, на квантовом уровне обмен виртуальными заряженными массивными частицами индуцирует новые взаимодействия. Приводится процедура квантовая в методе фонового поля и дано формальное определение эффективного действия и ковариант-ных функций Грина для материальных и калибровочных полей. Эффективное действие в явно суперсимметричной и калибровочно инвариантной форме полностью определяется вакуумными диаграммами с зависимыми от фоновых полей пропагаторами и вершинами. В настоящее время, голоморфная и неголоморфная части низкоэнергетического эффективного действия N = 2,4 суперсимметричной теории Янга-Миллса в кулоновской фазе, в том числе действие Гейзенберга-Эйлера в присутствии ковариантно постоянного векторного мультиплета, полностью известно. Для анализа зависимости эффективного действия от гипермультиплетов, удобно диагонализировать действие квантовых полей <2+], используя специальный сдвиг переменных гипермультиплета в интеграле по путям = £+°-Н /^""4)9+ь(2)и++(2)С^1л)(1|2).

Тогда векторно - зависимая часть квадратичного действия получает следующее нелокальное удлинение

= / ¿сГЧ" / (Ш^-2)(1|2)

+9+в(1)^1Л)(1|2)9+(2)1;++ . (28)

Выражение (28), записанное как аналитический нелокальный суперфункционал, является отправной точкой для наших вычислений однопетле-вого эффективного действия в секторе гипермультиплета.

Далее в разделах 7.3, 7.4 построены ведущие низкоэнергетические вклады в эффективное действие для медленно меняющихся суперполей гипермультиплета, когда всеми производными фонового гипермультиплета можно пренебречь. Показано, что для такого приближения нелокальные взаимодействия могут быть локализованы в точке: д+а(1)д~(1)5д'2^(1|2). В результате, оператор в действии определяющий эффективный фоново ковариантный пропагатор квантового суперполя векторного мультиплета , принимает вид

(аи+Ч+а{г1,щ){Т1,Т^-(гъщ))5^2)(1\2) , (29)

где

Зл/= Сг (т{1атл + ¿т(НР+ап>,г7)] V- +

Здесь □ = \ТЭааТ)а& обозначение для ковариантного даламбертиана. Такая конструкция является удобной отправной точкой для вычисления однопетлевого эффективного действия для всех конечных N = 2 моделей, поскольку вся зависимость от суперполей гипермультиплетов сосредоточена в виде "массовой" добавки в квадратичном действии квантового векторного мультиплета

Г$1)[У++,д+] = ^п(Т)ТНп (а + +Т>+Ш~)

+с?(,Н)УШ + г(т)ч+ад; • (30)

Коэффициенты квадратичного оператора определяются выбором калибровочной группы G и ее нарушения до G х К, структурными константами алгебры [Hi,Ea] = a(Hi)Ea, собственными значениями и количеством собственных векторов системы уравнений ЯТ = 0 и ТТ/Т = 0. Здесь Н является фиксированным генератором в подалгебре Картана, а Т является фиксированным вектором в Д-пространстве представления калибровочной группы, где гипермультиплет принимает значения.

Все эти построения позволяют нам непосредственно использовать результаты конструкции эффективного действия предыдущей главы. Как результат, мы заключаем, что гипермультиплетно зависимое низкоэнергетическое эффективное действие имеет универсальную форму для всех N = 2 суперконформных моделей, с той лишь разницей, что одна N = 2 суперконформная модель отличается от других только фактором в величине X = а^сн) и К0ЭФФиЦиенгг0М П(Т) во фронте интеграла (27). Этот фактор обусловлен вакуумной структурой рассматриваемой модели и зависит от специфических особенностей нарушения симметрии.

Теперь мы можем привести компонентную форму записи некоторых наиболее интересных членов в эффективном действии. Несмотря на то, что гипермультиплет "сидит" на массовой оболочке T>++q+ = 0, д+ = D++q~, это не означает, что пространственно-временные производные в компонентной форме эффективного лагранжиана будут отсутствовать. Грассманова мера в интеграле по гармоническому суперпространству порождает четыре пространственно-временные производные в компонентном разложении суперполевого лагранжиана. Непосредственное вычисление в выражении для лидирующего вклада показывает, что между многими членами с четырьмя производными, такими как ос -F4/(фф + Pf г), здесь есть интересный член специального типа

=А»™ Ш)7

-dj%fida/4/j)- (31)

Выражение (31) имеет форму подобную действию Черна-Саймонса для многокомпонентного комплексного скалярного поля. Члены такого вида в эффективном действии обсуждались в ряде работ в контексте N = 4,2 суперсимметричных моделей Янга-Миллса, где такой член воспроизводит потенциал взаимодействия между электрическим зарядом пробной БЗ-браны и магнитным зарядом БЗ-браны источника, и для d = 6,jV =

(2,0) суперконформных моделей. Здесь выражение (31) получается в результате непосредственного вычисления в суперсимметричной квантовой теории поля.

В заключительном разделе 7.5 построены ведущие гипермульти-плетно зависимые вклады за пределами условий массовой оболочки с минимальным числом пространственно-временных производных в компонентном эффективном действии. Рассматривается простейшая супердиаграмма с двумя внешними концами гипермультиплета и со всеми пропагаторами зависящими от фонового N = 2 векторного мультиплета и построено эффективное действие, которое записывается как интеграл по "3/4 - части" полной Н = 2 меры интегрирования гармонического суперпространства

Гз/4 = I 1п(^)д+9+|9--=о + с.с. (32)

В компонентной форме мы получаем Черн-Саймонс подобный вклад в эффективном действии, содержащий три пространственно-временные производные

Г3/4 = - / <Р^тПаЪвтГдпиРаЬ + • • • • (33)

Это выражение является простейшим вкладом в гипермультиплетно зависимое эффективное действие за пределами условий массовой оболочки для фонового гипермультиплета.

В восьмой Главе построено классическое действие Аарони - Бергмана - Жафериса - Малдасены (АВЖ) модели в Л/=3, ¿=3 гармоническом суперпространстве. Как и в других случаях, такие суперполевые формулировки полезны при изучении геометрических и квантовых 'свойств теории, которые неявны в компонентной записи. В такой формулировке три из шести суперсимметрий реализуются вне массовой оболочки, в то время как три другие перемешивают различные суперполя и замыкаются на уравнениях движения. Суперполевое действие включает в себя два суперполя гипермультиплетов в бифунда-ментальном представлении калибровочной группы и два калибровочных суперполя Черна-Саймонса соответствующих левой и правой калибровочных групп. Л/"=3 суперконформная инвариантность позволяет только минимальные калибровочные взаимодействия гипермультиплетов. Удивительно, но после исключения вспомогательных полей возникает правильный скалярный потенциал ABJM модели. Кроме оригинальной и(Аг) х 11(ЛГ) АВЛМ модели, также построены ЛГ==3 суперполевые

формулировки некоторых обобщений с другими калибровочными сим-метриями. Для Би(2) х 311(2) случая дано простое суперполевое доказательство расширения до N=8 суперсимметрии и БО(8) Л-симметрии.

После краткого изложения в разделе 8.2 определений и соглашений ЛЛ=3, <¿=3 гармонического суперпространства и суперконформных моделей теории поля на нем, в разделе 8.3 показано, что единственными допустимыми действиями для них являются действие Черн - Саймонса для правой и левой калибровочных групп и минимальное взаимодействие с калибровочными суперполями двух гипермультиплетов:

5 = всзЩ - ¿ЫД) + У + - У++)д+а (34)

Построена реализация на уравнениях движения дополнительных высших М=3 суперсимметрий для С/(ТУ) х и(М) теории и гипермультипле-тами {'¡+а)л в бифундаментальном представлении (И, М)

= (35)

где

ЪЫ = V" д+ + - , (36)

V" <й = + *7?0<?+ - ч1Ка , Уья а = -

Эти дополнительные скрытые N=3 суперсимметрии, дополняющие явные М~3, имеют правильное замыкание на (¿=3 трансляции только по модулю суперполевых уравнений движения и калибровочных преобразований с коэффициентами зависящими от полей. Построены также преобразования гипермультиплетов относительно полной группы 50(6) автоморфизмов Л/"=6 супералгебры

5хЯ+а = —г[А°(а6) - А++(аЬ)у— - + 4А0(аЬ)6>0аУ°

= ~г[А°аЬ) - А++V- - + (37)

и преобразования калибровочных суперполей

<5л^++ = | = | к*6«, (38)

где К(аЬ) = 4Л^(0°0++) - 8А°оЬ)(00)2. Вариации (38), выполненные в действии гипермультиплета, приводят к членам четвертой степени д+, которые сокращают друг друга в следствии тождества Фирца. Именно возможность сокращения члена четвертой степени в полной вариации действия гипермультиплета является определяющим техническим критерием выбора калибровочной группы и представления для гипермультиплета, которые допускают существование скрытых дополнительных суперсимметрий и высшей Я - симметрии. Среди таких вариантов в разделах 8.5, 8.6 найдены модель С/(/V) х 11(М) с гипермультиплетами в представлении (ЛГ,Л/), 5Т/(7У) х ¿'(/(И), 0(Щ х £Л5р(2М) калибровочные модели и Б и (2) х Б1/ 2) модель Б аггера-Ламберта- Густавссона с Л/"=8 числом суперсимметрий.

Одним из основных свойств моделей Аарони - Бергмана - Жафери-са - Малдасены является наличие специфического потенциала скалярных полей шестой степени. В нашей Л/"=3 гармонической суперполевой формулировке таких моделей действие не содержит явного суперпотенциала, оно использует только минимальные калибровочные взаимодействия гипермультиплетов с калибровочными суперполями. Такая единственная форма диктуется Л/=3 суперконформной инвариантностью. В разделе 8.4 показано, что правильный скалярный потенциал и связи Юкавы естественным образом возникают в компонентной формулировке после исключения вспомогательных полей Л/"=3 калибровочных и материальных суперполей.

Взаимоотношение между низкоэнергетическими действиями, описывающими М2 и В2 браны было предметом многих работ. Было обнаружено, что этот вопрос тесно связан с новым типом явления Хиггса. В разделе 8.7 кратко обсуждается как подобный эффект Хиггса возникает в рамках Л/*=3 суперполевого формализма для простейшей и(1)хи(1) модели. В результате исключения вспомогательного поля А++ = + Уд + из действия (34) возникает сумма действия свободного вещественного ш гипермультиплета и Л/"=3, (1=3 действия Максвелла, умноженного на "дилатонный" фактор, который обеспечивает (спонтанно нарушенную) суперконформную инвариантность. Оно также должно быть неявно инвариантно относительно нелинейно реализованной 80(6) симметрии и скрытой Л/*=3 суперсимметрии. Ожидается, что это действие содержит <¿=3 нелинейную СР3 сигма-модель в своем бозонном секторе и, таким образом, его можно интерпретировать как низкоэнергетический предел действия одной Б2 браны на АйБ4 х СР3.

В девятой Главе развит метод фонового поля для изучения класси-

ческих и квантовых аспектов М—3, (¿=3 теорий Черн-Саймонс с материей в Л/"=3 гармоническом суперпространстве. В качестве одного из непосредственных следствий, доказаны теоремы неренормируемости, означающие ультрафиолетовую конечность соответствующей теории возмущений. Построены пропагаторы суперполей гипермультиплета и калибровочных суперполей на фоне суперполей Черна-Саймонса. Ведущие супердиаграммы с двумя и четырьмя внешними линиями вычисляются. В отличие от несуперсимметричной теории, лидирующие квантовые поправки массивного заряженного гипермультиплета оказываются действием Л/=3, <¿=3 суперсимметричной теории Янга-Миллса, а не действием Черна-Саймонса. Масса гипермультиплета индуцирована триплетом центральных зарядов N=3, (1=3 супералгебры Пуанкаре.

Эта глава организована следующим образом. В разделе 2 развита формулировка ЛГ=3 гипермультиплета и модели Черна-Саймонса в ЛГ=3 гармоническом суперпространстве л = , где

0±± = ОЦи^и*, в° = 0Ци+и~ и м^ есть 8Т1(2)/11(1) гармонические координаты, подчиняющиеся связям и+1и~ = 1, и+ги1 = 0, и~ги~ = 0. Важной особенностью 7\/"=3, ¿=3 гармонического суперпространства является существование аналитического подпространства в нем. Это подпространство замкнуто относительно ЛГ=3 суперсимметрии и параметризуется следующими координатами (а = (ж^, , , гх^), где =

ха0 + ^0а++00— + 00++0С — Ч

Гармонические проекции ковариантных спинорных производных и суперполей напряженности Шг] определены стандартным образом, а их антикоммутационные соотношения имеют вид:

= {V"=-еариг~ , (39)

Тождества Бианки устанавливают соотношения между суперполями напряженности и ограничения на них, среди которых важным является условие грассмановой аналитичности У++И/++ = 0. Существование аналитического подпространства является определяющим фактором для решения этого ограничения в терминах аналитических суперполей , которые не зависят от координаты в а, и конструкции суперполевых действий, т.к. в этом базисе грассманова производная становится короткой: = дд?-а ■ Далее показано, что любая калибровочная теория описывается суперполями напряженности IV++, IV0, IV , которые могут быть выражены через единый аналитический калибро-

вочный препотенциал У++(С) и гипермультиплетами материи д+(С) и Любая суперконформная модель, как показано в главе 8, может быть описана действием Черна-Саймонса и набором гипермультиплетов, минимально взаимодействующих с калибровочными суперполями.

В разделе 3 мы развиваем метод фонового поля для общих Я=Ъ моделей Черна-Саймонса с материей, который, с некоторыми уточнениями, аналогичен с методом для Я= 2, ¡1=А суперсимметричной теории Янга-Миллса, поскольку классическое действие в гармоническом суперпространстве в обеих теориях имеет сходство. В результате мы приходим к представлению эффективного действия в виде функционального интеграла, которое полностью определяет структуру теории возмущений в явно Я=д суперсимметричной и калибровочно инвариантной форме, с тем лишь различием с Л/"=2, с1=4 теориями, что роль даламбертиа-на □ в определении функций Грина играет оператор первого порядка по пространственно-временной координате А = |(£>++)2(У )2, который при действии на аналитических суперполях представлен в виде: Д — (V0)2 — — .

Хорошо известно, что /3-функция для Черн-Саймоновской константы связи в произвольной теории Черна-Саймонса с материей тривиальна, расходимости могут возникнуть только в секторе полей материи. Для суперсимметричной теории Черна-Саймонса с материей можно надеяться, что требования расширенного числа суперсимметрий могут уменьшить степень таких расходимостей или даже обеспечить их полное сокращение. Мы доказываем теоремы неренормируемости в общей Я=3 теории Черна-Саймонса с материей. Общее утверждение выглядит следующим образом: эффективное действие в Я—3 модели Черна-Саймонса с произвольным числом д+ ни гипермультиплетов в произвольном представлении калибровочной группы полностью конечно, в том смысле, что в суперполевых диаграммах Фейнмана, дающих вклад в эффективное действие, не появляется никаких ультрафиолетовых расходимостей. Только инфракрасные расходимости могут возникать если мы работаем с безмассовыми пропагаторами. Однако, такие расходимости автоматически исчезают, если изучать вклады в эффективное действие в рамках метода фонового поля, когда все пропагаторы эффективно массивны.

В разделе 4 приведены квантовые однопетлевые вычисления 2 -точечных функций Гг[У++] гипермультиплетов, калибровочных полей и гостов в случае нулевого фонового поля. В результате, лидирующий вклад в эффективное действие гипермультиплета в некотором представлении Л неабелевой калибровочной группы б, заданный двухточечной

функцией воспроизводит нелокальное Л/=3 действие Янга-Миллса

а вклады калибровочных полей и гостов отличаются от (40) только знаком и оператором Казимира ТаПоэтому, эти два вклада сокращают друг друга, если взять п гипермультиплетов q^ в представлении Яг) обеспечивающих = 1. Например, один д>+-гипермультиплет в

присоединенном представлении является достаточным для компенсации этих двух вкладов. Эффективность суперполевого вычисления квантовых эффектов ярко демонстрирует анализ диаграмм типа головастика и собственной энергии гипермультиплета. Их вклады исчезают как следствие свойства грассмановых и гармонических распределений.

В разделе 5 изучается реализации ЛЛ=3 суперсимметрии с центральным зарядом. Это приводит нас к описанию модели массивного гипермультиплета, чьи квантовые аспекты рассмотрены на примере вычисления двухточечной функции и диаграммы с четырьмя внешними линиями гипермультиплета. В первом случае в качестве ведущего вклада мы получаем локальное действие Л^=3 Янга-Миллса, где роль размерной константы связи выполняет масса тп2 = гипермультиплета.. Факт отсутствия члена Черна-Саймонса в низкоэнергетическом эффективном действии гипермультиплета можно также понять из простых соображений четности. Действительно, классическое действие гипермультиплета четно по отношению к Р-отражениям, в то время как Черна-Саймонса нечетно. Поскольку здесь нет расходимостей в однопетлевых вычислениях (которые, если они существуют, могут привести к аномалии), результирующее эффективное действие гипермультиплета должно быть также Р-четным. Вычисление ведущего вклада 4-точечной функции самодействия гипермультиплетов приводит к

Как в N=2, й=А модели гипермультиплета, такое самодействие четвертой степени является действием сигма-модели для физических скалярных полей с гиперкэлеровой метрикой Тауба-НУТ.

В заключительном разделе 6 содержится обсуждение наших результатов, а также перспективы их дальнейшего применения к трехмерным моделям с расширенным числом суперсимметрий.

Г„ур,2 = У , (40)

(41)

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1. Banin А.Т., Buchbinder I.L., Pletnev N.G. One-loop effective action for Af ~ 4 SYM theory in the hypermultiplet sector - leading low-energy approximatio and beyond // Physical Review D.- 2003.- V.68. - P.065024-065050.

2. Banin A.T., Buchbinder I.L., Pletnev N.G. Chiral effective potential in Af = 1/2 non-commutative Wess-Zumino model // Journal of High Energy Physics.- 2004.- V.07. - P.011-1 - 011-32.

3. Azorkina O.D., Banin A.T., Buchbinder I.L., Pletnev N.G. Generic chiral superfield model on nonanticommutative N=1 /2 superspace // Modern Physics Letters A. - 2005. - V.20. -P. 1423-1436.

4. Buchbinder I.L., Pletnev N.G. Construction of one-loop N=4 SYM effective action on the mixed branch in the harmonic superspace approach // Journal of High Energy Physics.- 2005. - V.0509. -P.073-1 - 073-36

5. Azorkina O.D., Banin A.T., Buchbinder I.L., Pletnev N.G. Construction of the effective action in nonanticommutative supersymmetric field theories // Physics Letters B. - 2006.- V. 633.- P. 389-396.

6. Azorkina O.D., Banin A.T., Buchbinder I.L., Pletnev N.G. One-loop effective potential in N=1 /2 generic chiral superfield model // Physics Letters B. - 2006. - V.635.- P. 50-55.

7'. Banin A.T., Buchbinder I.L., Pletnev N.G. On quantum properties of the four-dimensional generic chiral superfield model // Physical Review D.-2006.- V. 74,- P.045010-1 - 045010-10.

8. Buchbinder I.L., Pletnev N.G. Hypermultiplet dependence of one-loop effective action in the N —2 superconformal theories // Journal of High Energy Physics.- 2007.- V. 0704. -P.096-1 - 096-31.

9. Buchbinder I.L., Kirillova E.N. , Pletnev N.G. Quantum Equivalence of Massive Antisymmetric Tensor Field Models in Curved Space // Physical Review D.- 2008. - V. 78. -P. 084024-1 - 084024-6.

10. Бухбиндер И. JI., Плетнев Н. Г. Однопетлевое эффективное действие в N=2 суперсимметричной теории массивного поля Янга-Миллса // Теоретическая и математическая физика. - 2008 - Т. 157.- С. 22-40.

11. Buchbinder I.L., Ivanov Е.А., Lechtenfeld О., Pletnev N.G., Samsonov I.B., Zupnik B.M. ABJM models in N=3 harmonic superspace // Journal of High Energy Physics.- 2009. - V. 0903. -P. 096-1 - 096-36.

12. Buchbinder I.L., Ivanov E.A., Lechtenfeld O., Pletnev N.G., Samsonov I.B., Zupnik B.M. Quantum N=3, d=3 Chern-Simons Matter Theories in

Harmonie Superspace // Journal of High Energy Physics.- 2009. - V.0910. -P. 075-1 - 075-38.

13. Pletnev N.G. Filippov-Nambu n-algebras relevant to physics // Siberian Electronic Mathematical Reports. - 2009. - V. 6 - P. 272-311.

14. Banin A.T., Buchbinder I.L., Pletnev N.G. Effective action in N — 2, 4 supersymmetric Yang-Mills theories // Gravitation and Cosmology. -20031-V.9.- P. 2-10.

15. Banin A.T., Pletnev N.G. Low-energy next-to-leading contributions to the effective action in Ai = 4 SYM theory // Proceedings of International Workshop Supersymmetries and Quantum symmetries SQS'03(Dubna, Russia, July 24-29, 2003)/ Edited by E. Ivanov, A. Pashnev. - Dubna, 2004. -P.271-276.

16. Banin A.T., Pletnev N.G. On the construction of M = 4 SYM effective action beyond leading low-energy approximation //Proceedings of International Workshop Supersymmetries and Quantum symmetries SQS'03 (Dubna, Russia, July 24-29, 2003)/ Edited by E. Ivanov, A. Pashnev. -Dubna, 2004. - p.277-282.

17. Banin A.T., Buchbinder I.L., Pletnev N.G. Low-energy effective action in extended supersymmetric gauge theories // Proceedings of the 6th Workshop on Quantum Field Theory Under the Influence of External Conditions / ed. K. A. Milton - Rinton Press.: Princeton, NJ, 2004. - p.265-270.

18. Banin A. T., Pletnev N. G. Chiral Effective Potential in Non -anticommutative Wess-Zumino Model //Proceedings of International Workshop Supersymmetries and Quantum symmetries SQS'05(Dubna, Russia, July 27 - 31, 2005)/ Edited by E. Ivanov, B. Zupnik. - Dubna, 2006. - p. 94-100.

19. Banin A. T., Pletnev N. G. Generic Chiral Superfield Model on Non-anticommutative N = 1/2 Superspace // Proceedings of International Workshop Supersymmetries and Quantum symmetries SQS'05(Dubna, Russia, July 27 - 31, 2005)/ Edited by E. Ivanov, B. Zupnik. - Dubna, 2006. - p.101-107.

20. Pletnev N.G. Hypermultiplet dependence of the effective action in N = 2 superconformai theories // Проблемы Современной Теоретической Физики.- 2008. - Томск,- Изд. ТГПУ. - с.296- 308.

Плетнев Николай Гаврилович

КВАНТОВАЯ ДИНАМИКА В СУПЕРСИММЕТРИЧНЫХ МОДЕЛЯХ ТЕОРИИ ПОЛЯ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать 25.05.2011. Формат 60x84 1/16. Усл. печ. л. 2,5. Уч.-изд. л. 2,5. Тираж 100 экз. Заказ №74

Отпечатано в ООО «Омега Принт» 630090, Новосибирск, пр. Лаврентьева, 6

1 Введение

1 Квантовая структура четырехмерных киральных суперполевых моделей общего вида

1.1 Введение.

1.2 Модель общего кирального суперлоля

1.3 Фоново-квантовое расщепление.

1.4 Разложение по киральным координатам.

1.4.1 Разложение в терминах неограниченных суперполей.

1.4.2 Супералгебра ковариантных производных. 1.5 Однопетлевые вычисления.

1.5.1 Однопетлевые репараметризационно ковариантные контрчлены

1.5.2 Конечные вклады.

1.6 Выводы.

2 Эффективное действие суперсимметричной квантовой теория поля на неантикоммутативном суперпространстве

2.1 Введение

2.2 Неантикоммутативное N — 1/2 суперпространство.

2.3 Модели N = 1/2 суперсимметричной теории поля

2.3.1 Неантикоммутативная модель Весса-Зумино

2.3.2 N =1/2 суперсимметричная теория поля Янга-Миллса.

2.3.3 Общая модель кирального и антикирального суперполей.

1 2.4 Расходимости и перенормировка.

2.5 Однопетлевое эффективное действие.

2.5.1 Квантовые поправки в общей киральной теории

2.6 Эффективное действие деформированной модели Весса-Зумино.

2.6.1 Схема вычисления однопетлевого эффективного потенциала

2.6.2 Техника символов операторов и представление теплового ядра

2.6.3 Точное вычисление теплового ядра.

2.6.4 Разложение теплового ядра

2.6.5 Вычисление кирального эффективного суперпотенциала.

2.6.6 .Расходящаяся часть эффективного потенциала.

2.6.7 Структура конечных вкладов.

2.6.8 Вклад в киральный эффективный суперпотенциал на постоянном фоне.

2.7 Однопетлевые поправки в теории Янга-Миллса на не антикоммутативном суперпространстве.

2.7.1 Калибровочно-инвариантное эффективное действие, индуцированное полями материи в фундаментальном представлении

2.7.2 Тепловое ядро и эффективное действие для неантикоммутативной суперсимметричной теории Янга-Миллса.

2.7.3 Тепловое ядро на ковариантно-постоянном фоне векторного муль-типлета.

2.7.4 Вклады калибровочного мультиплета и духов в эффективное действие SU(2) суперсимметричной теории Янга-Миллса.

2.8 Обсуждение.

3 Квантовая эквивалентность моделей массивного тензорного поля на искривленном пространстве-времени

3.1 Мотивации.

3.2 Квантование калибровочно инвариантной модели массивного тензорного поля.

3.3 Эффективное действие и квантовая эквивалентность.

3.4 Выводы.

4 Однопетлевое. эффективное действие в AÍ = 2 суперсимметричной теории массивного поля Янга-Миллса

4.1 Введение.

4.2 ЛГ =2 суперсимметричная массивная теория поля Янга-Миллса в гармоническом суперпространстве.

4.3 Метод фонового поля.

4.4 Однопетлевые расходимости.

4.5 О компонентной структуре N = 2 суперполевого функционала (4.35).

4.6 Обсуждение.

5 Однопетлевое эффективное действие N = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса

5.1 ЛГ = 4 суперсимметричная теория поля Янга-Миллса

5.2 Суперполевые формулировки N = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса

5.3 Формулировка JV = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса в JV =

1 суперпространстве

5.4 Формулировка AÍ = 4 суперсимметричной-теории поля Янга-Миллса в 7V =

2 гармоническом суперпространстве.

5.5 Метод фонового поля в А/" = 1 суперпространстве.

5.6 Вычисление функциональных следов и однопетлевого эффективного действия

5.7 Преобразование JV = 1 суперсимметричного эффективного действия к явно

N — 2 суперсимметричной форме.

5.8 Анализ деформации А/* = 4 суперсимметрии для эффективного действия в

А/" = 2 суперпространстве.

6 Конструкция однопетлевого эффективного действия А/" = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса в формализме гармонического суперпространства

6.1 Введение.

6.2 N = 4 суперсимметричная теория янга-Миллса в А/* = 2 гармоническом суперпространстве.

6.3 Однопетлевое эффективное действие в секторе гипермультиплета.

6.4 Анализ супердиаграмм для гипермультиплетно зависимых вкладов в эффективное действие

6.5 Представление собственного времени для эффективного действия.

6.6 Эффективное действие и его разложение по ковариантным спинорным производным

6.7 Полезное представление формулы Бейкера - Кемпбелла - Хаусдорфа

6.8 Коэффициентные функции в разложении теплового ядра.

6.9 Итоги.

7 Гипермультиплетная зависимость однопетлевого эффективного действия в Н — 2 суперконформных теориях

7.1 Введение.

7.2 Модель и фоново-квантовое расщепление

7.3 Структура однопетлевого эффективного действия.

7.4 Вычисление однопетлевого эффективного действия.

7.5 Гипермультиплетно зависимый вклад в эффективное действие за пределами условий массовой оболочки.

7.6 Итоги.

8 Модели Аарони-Бергмана-Жафериса-Малдасены вА^=3 гармоническом суперпространстве

8.1 Введение.

8.2 Теория калибровочных и материальных полей в АГ=3 , d—3 гармоническом суперпространстве.

8.2.1 Соглашения.

8.2.2 Действие Черн-Саймонса и гипермультиплета в ЛГ=3 гармоническом суперпространстве.'.

8.2.3 ЛГ=3 суперконформные преобразования.

8.3 Модель Аарони-Бергмана-Жафериса-Малдасены в М=3 гармоническом суперпространстве.

8.3.1 Свободные гипермультиплеты.

8.3.2 и(1) х и(1) теория.

8.3.3 и(^) х и(М) теория.

8.4 Скалярный потенциал.

8.5 Другие варианты.

8.6 Модели с Лг=8 суперсимметрией

8.7 Эффект Хиггса в И(1) х и(1) модели.

8.8 Обсуждение.

9 Квантовые М=Ъ, <¿=3 теории Черн - Саймоне материя в гармоническом суперпространстве

9.1 Введение

9.2 Теоретико-полевые модели в Л/"=3, (1=3 гармоническом суперпространстве

9.3 Квантование методом фонового поля.

9.4 Примеры вычисления супердиаграмм.

9.5 Л/==3 суперсимметрия с центральными зарядами.

9.6 Обсуждение.

Современная физика элементарных частиц демонстрирует значительные достижения на пути понимания фундаментальных законов природы. К настоящему времени удалось продвинуться от формулировки и консолидации количественной теории квантовой электродинамики (КЭД) к развитию структуры, способной описывать все многообразие наблюдаемых частиц и их взаимодействий в терминах нескольких фундаментальных взаимодействий и элементарных объектов. Эта теория, основанная на формализме релятивистской квантовой теории поля и калибровочной симметрии в качестве динамического принципа, известна как Стандартная Модель (СМ)(см., например, обзоры [1],[2], [3], [4], [5]). Следует подчеркнуть, что именно в рамках СМ находится решение знаменитой проблемы "московского нуль заряда"в КЭД, означающей рост эффективного заряда на малых расстояниях. Решение состоит в том, что на малых расстояниях собственно КЭД не может быть фундаментальной теорией, но должна быть частью неабелевой теории поля с контролируемым поведением на масштабах выше спонтанного нарушения симметрии. В результате сформировалось представление о СМ как о перенормируемой калибровочной квантовой теории поля.

Как математическая конструкция, СМ опирается на ряд положений (хотя и основанных на экспериментальных данных), которые являются частью ее определения, а не следствиями ее предсказаний. Например, массы фермионов, так же как их углы смешивания, могут принимать большое разнообразие числовых значений, которые являются априорно произвольными и должны быть определены экспериментально. Точно также, относительные силы трех фундаментальных взаимодействий, электромагнитных, слабых и сильных, являются свободными параметрами СМ, определяемыми в соответствии с экспериментальными данными. Тем не менее, благодаря внушительному ряду экспериментальных подтверждений, СМ превратилась в полное и точное описание микроскопических явлений, которые являются основой нашего макроскопического мира. С одним известным исключением, наблюдались все элементарные частицы и взаимодействия, существование которых требовалось СМ. Динамические свойства фундаментальных взаимодействий, предсказанные СМ, были подтверждены с высоким уровнем точности, вплоть до максимальной, допускаемой трудностью измерений и теоретических вычислений. Эти успехи стали возможны благодаря замечательной последовательности грандиозных экспериментальных программ, начиная с обнаружения кварка очарования и нейтральных токов в 1970-х, и кончая открытием топ-кварка и косвенным извлечением его свойств из точных электрослабых измерений. В то время как пертурбативная квантовая хромодинамика (КХД) подтверждает свою твердую позицию одной из наилучшим образом установленных областей теоретической физики, непертурбативная КХД предлагает заметное число нерешенных вопросов (см., например, [6]). Имеется общее согласие, что адронная спектроскопия играет основную роль в исследовании динамики КХД, но также ясно, что путь от фундаментальной КХД до спектроскопических адронных данных очень долог. Слабость теории в этом отношении происходит главным образом из-за нехватки полного теоретического понимания конфайнмента, который все еще является самой глубокой проблемой КХД.

Несмотря на то, что определяющий лагранжиан КХД и асимптотическая свобода (см., например, [7], [8], [9]) на коротких расстояниях твердо установлены, путь от этой стартовой точки к теоретическому описанию адронных явлений на больших расстояниях очень долог и труден и соответствующие исследования, начатые 40 лет назад до сих пор далеки от завершения (см. в качестве обзора [10]). На этом пути было развито много красивых теоретических конструкций, позволяющих понять различные аспекты адрон-ной физики. Наиболее ярким свойством чистой теории Янга-Миллса является линейный конфаймент, в котором кварки связаны между собой тонкими трубками силовых линий цветового потока. Предполагается, что вакуум КХД представляет собой конденсат глюонов и кварк-антикварковых пар. Если рассмотреть тяжелые пробный кварк и антикварк, разделенные большим расстоянием, сила взаимодействия между ними не спадает с расстоянием, а потенциальная энергия линейно возрастает. В этом состоит объяснение эмпирического факта, почему микроскопические степени свободы КХД кварки и глюо-ны подвержены инфракрасному "рабству" и никогда не проявляются в асимптотических состояниях. Как следствие, физически наблюдаемый спектр состоит из синглетных по цвету мезонов и барионов.

Поскольку до сих пор нет аналитического решения КХД в области сильной связи имеет смысл обратиться к аналогичным физическим явлениям в которых энергия взаимодействия линейно возрастает на больших расстояниях, например, к сверхпроводникам второго рода. Для объяснения эффекта Мейсснера здесь рассматривается сверхпроводящий образец, помещенный между полюсами очень длинного магнита. Поскольку, с одной стороны, свехпроводящая среда (конденсат электронных пар) не пропускает внутрь себя магнитное поле, а другой стороны поток магнитного поля должен сохраняться, магнитные линии между северным и южным полюсами магнита должны образовывать тонкую трубку магнитного потока. Внутри этой трубки исчезает конденсат куперовских пар и сверхпроводимость разрушена. Из трансляционной инвариантности следует, что плотность энергии магнитного поля вдоль трубки постоянна, а полная энергия пропорциональна расстоянию. Эта струнно - подобная конфигурация имеет фиксированное натяжение постоянной силы между полюсами магнита. Конечно такое объяснение эффекта Мейсснера справедливо только в абелевой теории. Кроме того, в то время как в механизме магнитное поле образовывало трубку потока, в КХД и КХД-подобных теориях объектами пленения являются кварки и поэтому трубки потока должны быть хромо-электрическими, скорее чем хромомагнитными. В середине 70-х Намбу, 'т Хофт и Ман-дельстам [11], [12], [13] независимо выдвинули гипотезу дуального эффекта Мейсснера как определяющий механизм удержания цвета. В этом предложении конденсат монополей в хромоэлектрических теориях приводит к формированию неабелевой трубки потока между пробными кварками. Однако, несмотря на огромное количество работ, посвященных превращению этого сценария в физическую парадигму, мы до сих пор не имеем главных "строительных блоков", таких как неабелевые струнно-подобные конфигурации. Неожиданным прорывом в реализации такого сценария стало непертурбативное решение Зайберга-Виттена [14] для низкоэнергетического эффективного действия в N = 2 суперсимметричной теории Янга-Миллса, слегка деформированной суперпотенциалом, нарушающим N = 2 суперсимметрию до N = 1. Этот сценарий ярко демонстрирует тот факт, что суперсимметрия является замечательным теоретическим полигоном для изучения сложных, в частности непертурбативных, эффектов в квантовой теории поля. В попытках лучшего понимания струнно - инспирированного механизма конфаймента в несуперсимметричных теориях Янга-Миллса, которые могут быть более тесно связаны с КХД, в настоящее время активно продолжаются поиски моделей, обеспечивающих формирование неабелевых струн. Но внутренне согласованная теоретическая структура по прежнему отсутствует. Некоторые смелые предположения, нацеленные на объяснение сложных экспериментальных явлений или несоответствий с существующими моделями в терминах очень искушенных теоретических объяснений, основаны на параллелях между такими двумя важными проблемами в современной теоретической физике как конфай-ментом в неабелевой калибровочной теории и невылетание материи за горизонт черной дыры (в качестве обзорных работ см., например, [15], [16]).

Остается лишь один недостающий элемент СМ: хиггсовский бозон. Можно сформулировать альтернативы СМ, совместимые с доступными данными эксперимента. Поэтому обнаружение хиггсовского бозона или опровержение этого понятия является первоочередной задачей исследований на Тэватроне и Большом Адронном Коллайдере (БАК). Его наблюдение окончательно утвердило бы СМ, как самую успешную попытку обнаружить законы, управляющие поведением Вселенной, вознаградив усилия поколений ученых; его опровержение стало бы революцией с далеко идущими последствиями. Недавние эксперименты проверили электрослабый сектор СМ с беспрецедентной точностью. Неабе-лева калибровочная природа взаимодействий массивных векторных бозонов W и Z была проверена на ЬЕР2. Эффекты квантовых поправок к электрослабым взаимодействиям фермионов также наблюдались. Их согласие с предсказаниями СМ было успешно продемонстрировано открытием топ-кварка на Тэватроне и согласием значения его измеренной массы со значением, требуемым для соответствия всем точным электрослабым данным. Однако при отсутствии до сих пор критического компонента СМ, хиггсовского бозона, механизм нарушения электрослабой симметрии остается все еще не выясненным и поэтому сегодня является самым жгучим вопросом физики элементарных частиц. Есть, однако, серьезные основания подозревать, что физика далее СМ должна играть ключевую роль в динамике электрослабого нарушения. Радиационный вклад в массу хиггсовского бозона растет линейно с масштабом, на котором обрезается интегрирование по квантовым модам на коротких расстояниях. В этом вкладе доминирует эффект виртуальных пар топ-антитоп кварков, которые очень сильно взаимодействуют с хиггсовским бозоном из-за большой массы топ-кварка. Когда обрезание стремится к бесконечности, огромный и отрицательный квадрат голой массы хиггсовского бозона требуется вводить вручную, чтобы сократить этот расходящийся радиационный вклад и оставить конечное значение, равное физической массе. Хотя эта процедура регуляризации совместима с перенормируемостью СМ, требуется чрезвычайно точная тонкая подстройка, чтобы удержать тн в диапазоне нескольких сотен ГэВ, если мы хотим позволить обрезанию доходить до единственного естественного верхнего масштаба СМ, а именно, до массы Планка. Эта проблема известна как проблема иерархии СМ. Она могла бы показаться академической, но стоит напомнить, что рассмотрение подобной проблемы прошлого столетия, собственной энергии электрона, сыграло свою роль в развитии КЭД. В том случае, электронная масса получала вклад от электрического поля, пропорциональный обратному электронному радиусу, и линейно расходящийся, если мы считаем электрон точечным. В случае с хиггсовским бозоном, роль электромагнитного поля заменена взаимодействием с полем, созданным, в основном, виртуальными парами топ-антитоп кварков. В случае с электроном, проблема была решена введением позитрона. Новые вклады в собственную энергию электрона, возникающие от позитрона, сокращают классические расходимости и сводят линейную расходимость к логарифмической, которая не требует точной подстройки. Можно трактовать наличие позитрона как проявление новой физики, которая вмешивается, чтобы урегулировать плохое ультрафиолетовое поведение эффективной нерелятивистской теории электрона. Для проблемы иерархии СМ подобное решение возможно путем введения новых состояний, вклады которых в собственную энергию хиггсовского бозона сокращают ведущую линейную расходимость. Как в случае позитрона, мы ожидаем, что их масса имеет порядок масштаба, на котором радиационные поправки начинают превышать саму массу хиггсовского бозона, а именно, несколько сотен ГэВ. В результате поиск расширений СМ, которые могут облегчить проблему расходимости собственной энергии хиггсовского бозона, чрезвычайно ограничен. Несколько моделей, удовлетворяющих этим ограничениям, были введены в последние несколько лет. Они обеспечивают богатый ландшафт для исследований на будущих экспериментальных установках. Среди этих моделей отметим суперсимметрию, динамическое нарушение симметрии, индуцированное новыми сильными взаимодействиями и теории, основанные на существовании дополнительных пространственных измерений (см., например,[17]). Если комбинация квантовой механики и специальной теории относительности потребовала удвоения спектра частиц - каждой частице соответствовала античастица - то суперсимметрия требует введения суперпартнера для каждой фундаментальной частицы СМ. Косвенный намек на то, что такой сценарий может оказаться реальностью, состоит в том, что вычисление эволюции констант электрослабого и сильного взаимодействия с учетом новых виртуальных частиц позволяет достичь точного объединения. Не исключено, что открытие суперпартнеров известных элементарных частиц, которое может быть экспериментально осуществлено в процессе работы БАК, приведет к расширению наших представлений о пространстве-времени. В качестве последнего обзора феноменологических особенностей минимальной суперсимметричной СМ, а также возможных экспериментальных проявлений суперсимметрии на БАК (см., например, [18], [19], [20], [21]).

В большинстве теоретических моделей за пределами СМ предсказываются новые частицы с массами в диапазоне ТэВ. В минимальной суперсимметричной СМ, например, партнер топ-кварка со спином 0 (стоп) играет роль позитрона в КЭД: его взаимодействие с хиггсовским бозоном дает вклады, которые сокращают линейную расходимость собственной энергии хиггсовского бозона, возникшую из-за топ-кварка. Независимо от того, какая теория окажется правильной, надежда на проявление новых явлений на масштабе ТэВ очень сильна. В то время как сам хиггсовский бозон, как ожидают, будет намного легче 1 Тэва, это неверно для других частиц, которые завершили бы заполнение сектора электрослабого нарушения в теориях за пределами СМ. Замечательно, что самые легкие известные в природе массивные частицы, могли бы получить свою массу из явлений, имеющих место при самых высоких энергиях, и что их исследование может помочь в извлечении косвенной информации относительно масштабов энергий, существенно отдаленных от нашего лабораторного опыта. Продолжающиеся исследования физики на масштабе ТэВ и выше остаются поэтому нашим, возможно, лучшим инструментом, способным пролить свет на явление электрослабого нарушения и идентифицировать новые теоретические парадигмы, которые приведут нас к решению некоторых выделенных выше фундаментальных проблем.

Общефизическое значение СМ основано не только на ее способности описывать фундаментальные свойства элементарных частиц. Оно также следует из успехов ее применения вместе с астрофизическими и космологическими моделями, основанными на общей теории относительности (ОТО), к описанию свойств Вселенной в космологических масштабах. Например, слабые взаимодействия, описанные СМ, и существование трех семейств легких нейтрино позволяют предсказывать детальный состав разновидностей ядер, образовавшихся на ранней стадии Вселенной, в первые несколько сот секунд после Большого Взрыва. Согласие этих предсказаний с наблюдениями обеспечивает уверенную ратификацию всей теоретической структуры, используемой для описания ранней Вселенной, ратификацию, которая открыла путь к количественным исследованиям множества данных, собираемых современной наблюдательной космологией. Эти исследования стремятся связать происхождение особенностей ранней Вселенной с детальной картиной частиц и их взаимодействий (см., например, [22], [23]).

Глядя на огромный круг явлений, детально описанных СМ, естественно спросить: обеспечивает ли СМ ответ на каждый вопрос, который мы можем задать о фундаментальных свойствах Вселенной, или мы должны рассматривать ее как эффективную теорию, область применимости которой нарушается при переходе к более высоким энергиям? Чем больше возрастает наше доверие к СМ, тем сильнее становится потребность исследовать ее концептуальные основы, происхождение ее постулатов и ее возможные недостатки. Эти три темы глубоко связаны, и их исследование может привести к расширению нашего знания о структуре материи. Сегодня имеется три убедительных, твердо установленных, наблюдательных факта, которые СМ не в состоянии объяснить: массы нейтрино, существование темной материи и величину барионной асимметрии Вселенной. Для каждого из этих наблюдений СМ делает очень определенные утверждения, оказываясь однако не в состоянии воспроизвести экспериментальные свидетельства. Возможно самым важным результатом в экспериментальной физике элементарных частиц за последние десять лет стало подтверждение, что нейтрино имеют массу. Картина в настоящее время согласуется с тремя семействами нейтрино, подвергающихся осцилляциям, когерентному квантовому явлению, на расстояниях от сотен до миллионов километров. Это может происходить только если нейтрино имеют массы и смешиваются. Нейтрино СМ являются безмассовыми и смешивание масс нейтрино является первым прямым сигналом физики за пределами СМ и требует или нового для данного случая закона сохранения или означает наличие новых явлений вне существующей структуры СМ. Нет никакого объекта, предсказанного СМ, ни элементарного, ни составного, который мог бы объяснить количество темной материи, требуемое недавними космологическими и астрофизическими наблюдениями. Механизм генерации барионной асимметрии Вселенной присутствует в СМ: он основан на СР-нарушении в кварковом секторе и на отклонении от равновесия, имевшем место во время электрослабого фазового перехода, когда температура Вселенной упала ниже температуры, отвечающей появлению фазы, в которой нарушена симметрия ви(2) х £7(1). Хотя и пригодный концептуально, этот механизм терпит неудачу количественно. Кроме т(?го, даже если бы мы были готовы принять очень неестественную и очень точно подстроенную первичную асимметрию между материей и антиматерией, то она размылась бы в ходе ранней, горячей фазы развития. Суммируя, можно сказать, что именно успехи СМ приводят к заключению, что СМ является неполной теорией и надо ожидать новых явлений за пределами ее применимости. Остается только одно объяснение вопроса о статусе СМ - это эффективная низкоэнергетическая теория. Такой ответ действительно многое объясняет: эффективные теории, по определению С. Вайнберга [49], всегда перенормируемы и всегда обладают специфическими, в том числе калибровочными, симметриями.

Естественно возникает вопрос, могут ли некоторые, если не все, параметры, произвольные в пределах СМ, иметь динамическое происхождение в более фундаментальной теории. Ответы на эти вопросы естественно было бы ожидать в рамках некоторых моделей объединения СМ и сильного взаимодействия с теорией гравитации. Однако гравитация, которая не может быть сформулирована как простая калибровочная теория, все еще не находит полностью удовлетворительного понимания на квантовом уровне и пребывает вне системы исходных принципов СМ. Поэтому считается, что фундаментальная задача современной теоретической физики, формулируется как объединение теории гравитацйи с квантовой теорией поля (см., например, [24], [25], [26]). Тогда, конечно, возникает вопрос: что следует понимать под термином "квантовая гравитация". В качестве рабочего определения мы можем сказать, что квантовая гравитация есть квантовая теория динамической метрики. Обычно это означает наличие локальных степеней свободы. В частности, линеаризированные уравнения движения для метрического поля описывают распространение безмассовых частиц спина два, которые называют гравитонами. Такая концепция оказывается приемлемой для перенормируемых (суперсимметричных) калибровочных теорий, где вычисляется не "абсолютное" значение физической величины, а лишь ее "относительное" значение, но совершенно неприемлемой к теории гравитации с размерной константой и бесконечным числом вершин взаимодействия, которая на любом конечном масштабе "помнит" о малых расстояниях, на которых гравитационное взаимодействие становится сильным, и совершенно неясно какими степенями свободы она описывается в этом режиме сильной связи. Тот факт, что гравитационное взаимодействие не вписывается в общую схему, вероятно означает, что локальная квантовая теория поля имеет ограниченную применимость и должна быть заменена на более общую конструкцию. Она может быть нелокальной, как в теории струн, или многомерной подобно теории бран мирового объема. Однако, в любом случае, в пределе низких энергий имеют место локальные квантовые теории поля, возможно и выходящие за рамки СМ.

Одна из интерпретаций AdS / CFT соответствия (см., например, [27] ) состоит в утверждении: внутри каждой неабелевой калибровочной теории, даже в рамках слабых и сильных ядерных взаимодействий, скрыта теория квантовой гравитации. Так, по крайней мере, один из возможных вариантов интерпретации этого утверждения состоит в том, что спин гравитона равный двойке может возникать из композиций спинов двух калибровочных бозонов. Однако эта, казалось бы интересная, идея строго исключается, no-go теоремой Вайнберга - Виттена 1980 года [28]. Эта теорема запрета возникла из предположения о существовании лоренц-ковариантного тензора энергии -импульса для частиц спина s > 1 с импульсом Р'1 — J dPxTQtl ф 0, который существует в калибровочной теории. Однако теорема не запрещает широкого спектра возможностей, и (как и некоторые другие красивые и мощные no-go теоремы) имеет, по крайней мере, одно скрытое предположение, которое кажется таким тривиальным, что не требует упоминания, но которое, как показывают последующие исследования, является определяющим для существования барьера. ОТО входит в круг релятивистских теорий с исчезающим на уравнениях движения полным тензором энергии-импульса Т/и/ ос = 0. Важнейшее предположение состоит в том, что гравитон движется в том же пространстве-времени что и калибровочные бозоны из которых он сделан! Иными словами, мы должны найти в калибровочной теории не только гравитон, но и пятое измерение, а также, что физика должна быть локальной по отношению к некоторым дополнительным скрытым параметрам. Это предположение также следует из голографического принципа 'Т Хоофта 1993 года [29] и Сасскинда 1995 года [30], который предполагает, что теория гравитации в пяти измерениях должна быть связана с негравитационными теориями в пространстве меньшей на единицу размерности. Некоторые соображения подсказывают, что роль этого пятого измерения может играть энергетический масштаб калибровочной теории. Предмет, так называемого AdS / CFT соответствия [31]-[33] был обнаружен чрезвычайно окольным путем, в частности, через связь между черными бранами и D-бранами в теории струн и стал за последние десять лет становится очень важным для теоретической физики высоких энергией. Одной из причин интереса к этому подходу является то обстоятельство, что это соответствие может быть использовано для понимания теоретико-полевых моделей в области сильной связи путем сопоставления их с классической гравитацией. Классическая теория Янга-Миллса, конечно, не то же самое что классическая ОТО. Если гравитация возникает из калибровочной теории, следует ожидать, что это будет происходить в сильном квантово-механическом пределе, и гравитационные степени свободы возникают как эффективные классические поля. По сути, это предложение утверждает дуальность сильной - слабой связи: если одна теория находится в режиме слабой связи, дуальное описание включает сильную связь, и наоборот. Натяжение струны пропорционально л/А, где Л = NgyA! является константой связи 'Т Хоофта, и, следовательно, предел сильной связи в теории Янга-Миллса можно рассматривать почти классически со стороны струнной теории. С другой стороны, предел слабой связи калибровочной теории, в принципе, подразумевает знание полного квантового описания струны на фоне AdSs х S5, но это проблема, которая не решена до сих пор. В этом сценарии различные конформные теории поля соответствуют теориям гравитации с различным набором полей материи и с различными действиями в объеме, например, различными значениями констант связи в объеме. AdS / CFT соответствие является примером более общего метода, именуемого "голографический принцип", который был вызван исследованиями термодинамических свойств черной дыры. Как известно, энтропия черной дыры пропорциональна площади ее горизонта событий в планковских единицах. Таким образом, число степеней свободы, необходимое для описания квантовых состояний черной дыры определяется его площадью, а не его объемом. Это намного меньше, чем энтропия локальной квантовой теории поля на том же пространстве, даже с некоторым ультрафиолетовым обрезанием. Мы заключаем, что квантовая теория гравитации должна иметь число степеней свободы как у квантовой теории поля в меньшем числе измерений. Эта, казалось бы, фантастическая идея, как это не странно, является верной и AdS / CFT соответствие является ее точной реализацией. Теперь мы можем интерпретировать этот результат говоря, что физика внутри черной дыры отображается на горизонте, как некоторая "голограмма". Ряд теорий, которые могут быть изучены с помощью такого соответствия, пока еще невелик, и они не включают в себя любую теорию, которая описывает известную физическую систему. На самом деле, мы уже знаем несколько подобных примеров соответствия в низких размерностях. Мы можем не вводить метрику и не иметь локальных степеней свободы. Хорошо известным примером такой топологической теории является калибровочная теория Черна-Саймонса в 3-мерном пространстве с действием Ses ~ tr fM Л Л с1Л +----Но если мы станем рассматривать теорию на пространстве с границей здесь будут существовать локальные степени свободы, которые живут на границе многообразия. Тогда тёории Черна-Саймонса на некоторых 3-многообразиях индуцируют двумерные модели конформной теории поля на границе этих многообразий [34]. Так что это явление можно рассматривать в качестве примера соответствия, но примеры, которые обсуждаются в текущей литературе, намного более драматичны, поскольку имеют динамику в объеме. В центре внимания исследования AdS/CFT соответствия последние 10 лет были локальные операторы, а точнее спектр их аномальных размерностей. Они были вычислены с одной стороны в подходе теории поля, а с другой стороны, как энергетические уровни струны на классическом фоне, что демонстрирует замечательное совпадение. Это совпадение являясь частью общей гипотезы предлагает пути решения модели на квантовом уровне [35].

Амплитуды рассеяния играют центральную роль в калибровочной теории. На феноменологическом уровне, они имеют решающее значение для предсказания сечений при высоких энергиях процессов внутри СМ и за ее пределами. Эффективное вычисление амплитуд рассеяния с участием многих кварков и глюонов особенно важно на машинах, таких как БАК, в которых рождаются многоструйные конечные состояния. С формальной стороны, свойства амплитуд рассеяния обеспечены многочисленными скрытыми симмет-риями и динамической структурой калибровочной теории. В частности, в суперсимметричной калибровочной теории древесные амплитуды подчиняются суперсимметричным тождествам Уорда - Славнова - Тейлора для S-матрицы.

Достаточно давно Парк и Тейлор [36] обнаружили удивительно простую формулу для п -глюонной амплитуды рассеяния с максимальным нарушением спиральности (MHV), которая была обобщена для 'jV = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса [37]. Позже было установлено, что это упрощение распространяется также на однопетлевой уровень, по крайней мере для M = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса [38]. Теперь есть веские основания полагать, что и в высших порядках по числу петель подобное упрощение существует в пределе 'Т Хоофта большого числа цветов Nc. Однако, в пределе сильной связи типичные наблюдаемые получают вклады из бесконечного числа членов в пер-турбативном разложении, а также от непертурбативных эффектов и то, каким образом организованы ряды теории возмущений, является предметом интенсивных исследований. Некоторые величины защищены суперсимметрией - теоремы неренормировки приводят к нулям в пертурбативном разложении. Поэтому интересно знать как устроены ряды теории возмущении в пределе сильной связи для незащищенных величин. Единственной возможностью для надежды в вычислимости незащищенных величин является предположение существования некоторой итерационной последовательности пертурбативных структур, позволяющих пересуммирование [39]. Со стороны теории струн, результат в ведущем порядке в режиме сильной связи задается конфигурацией классической струны в пространстве АйЭ^, связанной с процессом рассеяния [40]. Вычисление амплитуды сводится к геометрической задаче. Нужно найти поверхность в АйБь, которая заканчивается на границе на последовательности световых линий, определенных импульсами глюонов {&!, • • ■ т кп}- Это предложение и исследования структуры древесных и однопетлевых амплитуд, а также двухпетлевых итеративных соотношений в N — 4 калибровочной теории дают дополнительное подтверждение, что плоские амплитуды в высших порядках должны быть чрезвычайно просты [41]. Их результат подтверждает предсказание Котикова, Липатова, Онищенко и Велижанина [42] для универсальной аномальной размерности тип(з) вильсоновских операторов твиста 2 в N = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса, представленных в первых трех порядках теории возмущений. Эти выражения удается получить, выделяя наиболее сложные слагаемые из соответствующих аномальных размерностей в КХД.

Хотя все ультрафиолетовые расходимости в Л/" = 4 ЭУМ отсутствуют в амплитудах рассеяния, инфракрасные расходимости остаются и должны быть сокращены в правильно определенных величинах. Для выполнения процедуры построения инфракрасно безопасных наблюдаемых в пределе сильной связи необходимо сокращение инфракрасных расходимостей. Но, кроме того, в конформной теории все массы равны нулю и имеются дополнительные коллинеарные расходимости, которые нуждаются в особом внимании. Для решения проблем инфракрасных асимптотик, глюонных МНУ амплитуд в планарном пределе N = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса авторы [44] использовали метод, развитый в партонной модели КХД. Он включает в себя две основные составляющие сокращения инфракрасных расходимостей идущих из петли: излучение дополнительных мягких реальных квантов и переопределение асимптотических состояний. Было показано явное сокращение инфракрасных расходимостей в правильно определенных инклюзивных сечениях.

Наиболее продвинутый вариант теории струн известен как М-теория. Она утверждает, что физический мир имеет 11 измерений - десять пространственных и одно временное. В нем плавают пространства меньших размерностей, так называемые браны. Наша Вселенная - просто одна из таких бран, обладающая тремя пространственными измерениями. Ее заполняют различные квантовые частицы (электроны, кварки, фотоны и т. д.), которые на самом деле являются разомкнутыми вибрирующими струнами с единственным пространственным измерением - длиной. Концы каждой струны закреплены внутри трехмерной браны, и покинуть брану струна не может. Но есть и замкнутые струны, которые могут мигрировать за пределы бран - с ними связаны гравитоны, кванты гравитационного поля тяготения. Математический язык теории квантовых струн и мембран сохраняет терминологию классического периода "теории осциллятора", но его физическое содержание радикально изменилось и пока не поддается прямому сравнению с реальностью. Однако, в любом случае, идеи и физические образы теории струн все больше и больше меняют современную научную парадигму в том, что принято называть современной квантовой теорией поля, предоставляя для изучения полевые модели, ассоциированные с теорией струн. Независимо от конкретной мотивации, проблема визуализации структуры теории на недостижимых для эксперимента масштабах приводит к задаче рассмотрения низкоэнергетических свойств в легком секторе теории, индуцированных специфическими особенностями квантовой динамики тяжелого сектора.

Одним из общепринятых методов изучения физики на масштабах энергии, непосредственно недостижимых на эксперименте, является метод феноменологических лагранжианов. Классическим примером такого рода лагранжианов является теория Ферми слабых взаимодействий. Как мы сегодня знаем правильной (но, как обсуждалось, далеко не полной) теорией, конечно, является СМ электрослабых взаимодействий Вайнберга-Салама. Теория Ферми при этом эффективно возникает, если мы интегрируем по всем тяжелым модам векторных и хиггсовских полей и исключаем их тем самым из рассмотрения. Другим хрестоматийным примером такого рода парадигмы для широкого класса эффективных лагранжианов является лагранжиан Гейзенберга-Эйлера [46], [47] в КЭД, непер-турбативно описывающий взаимодействие заряженного скалярного или спинорного поля, распространяющегося в квантовой петле, с классическим полем постоянной напряженности. В общих терминах это однопетлевое эффективное действие дается выражением вида

Г~гТг1п£, (0.1) где 0(х,х'\А) есть функция Грина частицы во внешнем поле и след берется по всему бесконечному набору квантовых состояний. Это, в высшей степени, нелокальное действие сохраняет все симметрии классической теории и содержит полную информацию относительно однопетлевой амплитуды в форме предельно удобной для изучения таких низкоэнергетических нелинейных КЭД эффектов, как рассеяние фотона на фотоне, изменение закона дисперсии и расщепления фотонов, рождения электрон-позитронных пар во внешнем поле.

Фундаментальным объектом квантовой теории поля, позволяющим описывать всю совокупность квантовых процессов является эффективное действие. По определению, эффективное действие есть производящий функционал для одночастично - неприводимых связных функций Грина. При этом легкие поля используются как инструмент изучения структуры вакуума полной квантовой теории. Проблема построения эффективного действия тесно связана с решением таких фундаментальных задач квантовой теории поля, как определение структуры вакуума и его низколежащих возбуждений, нахождением квантовых поправок к классическим уравнениям движения, исследованием фазовых переходов и динамического нарушения симметрии, изучение квантовой динамики в сильных фоновых полях (обсуждение проблемы конструкции эффективного действия см., например в хрестоматиях [48], [49], [50], [52]. Понятие эффективного действия является чрезвычайно полезным для рассмотрения многих аспектов квантования и перенормировки калибровочных теорий, включая вопросы аномалий, некоторые из которых физически значимы, (например, трудно представить реалистическую 4-мерную теорию поля без конформной аномалии), а присутствие других (неабелевых и гравитационных) означает математическую противоречивость теории.

Наиболее плодотворным подходом к построению эффективного действия в квантовой теории поля является метод фонового поля, основы которого заложены Де Виттом [53], [54]. Этот метод является обобщением метода производящих функционалов в квантовой теории поля [55], [56], [57], [58], [59] для случая неисчезающих классических фоновых полей и наличия неабелевой калибровочной симметрии. В каждой конкретной задаче любое калибровочное или гравитационное поля, также как и поля материи могут иметь фоновые классические части. Основным объектом в методе фонового поля является функционал эффективного действия, инвариантный относительно классических калибровочных преобразований. Эффективное действие кодирует, в принципе, всю информацию стандартной квантовой теории поля. Оно определяет элементы диаграммной техники теории возмущений, т. е. полные пропагаторы и полные вершинные функции, в учетом всех квантовых поправок, и, следовательно, пертурбативную Б-матрицу. С другой стороны, эффективное действие сразу дает физические амплитуды во внешнем классическом поле и описывает все квантовые эффекты во внешних полях (поляризация вакуума квантованных полей, рождение частиц и т.д.) [60]. Функционал эффективного действия является наиболее подходящим инструментом для исследования структуры физического вакуума в различных моделях квантовой теории поля со спонтанным нарушением симметрии (хиггсовский вакуум, глюонный конденсат, сверхпроводимость). Эффективное действие позволяет учитывать обратную реакцию квантовых процессов на классический фон, т. е. получить эффективные уравнения движения для фоновых полей. В этом случае, однако, мы встречаемся с трудностями, связанными с зависимостью эффективного действия вне массовой оболочки от способа фиксации калибровки и параметризации квантовых полей. В работах [61], [62] было дано доказательство калибровочно-инвариантной перенормируемости калибровочных теорий общего вида в произвольных калибровках. Было показано, что изменение калибровочного условия эквивалентно некоторому каноническому преобразованию перенормированных действия и производящего функционала вершин, что, в свою очередь, означает калибровочную инвариантность перенормированной ¿"-матрицы. Иными словами, вся зависимость производящего функционала вершинных функций Грина от калибровочных параметров содержится только в аргументе эффективного действия.

Явно репараметризационно инвариантный функционал, который не зависит от фиксации калибровки (так называемое, эффективное действие Вилковыского) был построен в работах [63], [64]. Эффективное действие "Вилковыского" изучалось в работе [65] в различных моделях квантовой теории поля (в том числе эйнштейновской гравитации) и в случае квантовой гравитации с высшими производными. Как показано во всех порядках теории возмущений для скалярной КЭД и теории поля Янга-Миллса теорий, единое эффективное действие точно совпадает с калибровочно инвариантным эффективным действием, вычисленным в калибровке Ландау- Де Витта. Эффективное действие Вилковыского было в дальнейшем улучшено Де Виттом [бб]. Это эффективное действие называется эффективным действием Вилковыского-Де Витта. Однако, во многих случаях, эта модификация не влияет на однопетлевые результаты и, к тому же, среди других проблем имеет зависимость от выбора точки отсчета в пространстве полей и, что крайне важно, выбора мегрики на конфигурационном пространстве [52]. Поэтому мы не будем рассматривать его в качестве "panacea" (для более подробной информации см., цитированные выше оригинальные статьи и монографии).

Таким образом, вычисление эффективного действия представляет большой интерес, как с точки зрения развития общего формализма квантовой теории поля, так и для конкретных приложений. Точное нахождение эффективного действия означало бы точное решение в соответствующей модели квантовой теории поля, что в общем случае представляется невозможным. В этой связи используются различные приближенные подходы такие как разложение по числу петель и разложение по степеням производных своих функциональных аргументов. Такое разложение применяется для описания физических явлений, в которых роль наблюдаемых играют частицы и поля с массами и энергиями ограниченными сверху некоторым характерным масштабом. При этом, в ведущем низкоэнергетическом приближении, эффективное действие содержит только первые неисчеза-ющие члены в указанном приближении. Очевидно, что именно первые члены низкоэнергетического эффективного действия позволяют исследовать структуру вакуума полевой модели и динамику ее низколежащих возбуждений.

При нахождении эффективного действия все поля расщепляются на фоновую классическую часть и квантовое возмущение, распространяющееся на этом фоне. Часть классического действия, которое квадратично по квантовым полям, определяет пропагаторы квантовых полей в фоновом поле, а члены более высокого порядка задают вершины взаимодействия в теории возмущений. Для вычисления эффективного действия необходимо найти, прежде всего, функции Грина квантовых полей на фоне классических полей различного характера. Функции Грина в фоновых полях изучались в большом количестве работ. Фок [67] впервые предложил метод решения волнового уравнения'на фоне электромагнитного поля через интегральное преобразование с параметром собственного времени (так называемый пятый параметр). Несколько позднее, Швингер [47] обобщил метод собственного времени и применил его к вычислению однопетлевого эффективного действия. Де Витт [53] переформулировал метод собственного времени в геометрических терминах и применил его на случай фонового гравитационного поля. Отметим, что это развитие тесно связано с развитием теории псевдодифференциальных операторов как инструмента в исследовании уравнений с частными производными и граничных задач (существующая библиография слишком обширна чтобы привести ее здесьь), и приложе

1см. впрочем классические первоисточники [68]-[75] ний к спектральной геометрии, спектральным асимптотикам дифференциальных операторов, анализу на многообразиях, дифференциальной геометрии и математическим методам в квантовой теории. В работах [76], [77] стандартная техника Швингера-Де Витта была обобщена на случай произвольных дифференциальных операторов, удовлетворяющих условию причинности. Метод собственного времени сразу дает функции Грина в окрестности светового конуса. Таким образом, он является наиболее подходящим инструментом для исследования ультрафиолетовых расходимостей (вычисление контрчленов, ^-функций и аномалий). Наиболее существенным преимуществом метода собственного времени является то, что он является явно ковариантным и позволяет ввести различные ковариантные регуляризации расходящихся интегралов, например, размерную регуляризацию, регуляризацию с помощью обобщенной ^-функции и т.д. Существует много работ в этом направлении исследования за последние два десятилетия (см. библиографию, в [78]). Хотя большинство работ ограничено однопетлевым приближением, метод собственного времени применяется также для старших петель. В работах [79], [80] он применялся для анализа двухпетлевых расходимостей в различных моделях квантовой теории поля, в том числе, теории квантовой гравитации. Другой важной областью, где метод собственного времени Швингера-Де Витта успешно применяется, является поляризация вакуума массивных квантовых полей фоновыми полями. Когда комптоновская длина волны гораздо меньше, чем характерная длина "масштаба фонового поля, метод собственного времени дает непосредственно'разложение эффективного действия в ряд по малому параметру (А/Ь)2. Коэффициенты этого разложения пропорциональны, так называемым, коэффициентам де Витта и являются локальными инвариантами, построенными из фоновых полей и их ковариантных производных. В работах [76], [64], [77] обсуждалась общая структура разложения Швингера-Де Витта эффективного действия для безмассовых полей. Было отмечено, что в таких моделях необходимо выйти за пределы локального разложения, путем суммирования ведущих производных фонового поля в этом разложении. В работе [64], основываясь на некоторых дополнительных предположениях о сходимости соответствующих рядов и интегралов, ведущие производные фоновых полей были просуммированы и нелокальные выражения для однопетлевого эффективного действия в случае безмассового поля были получены.

Из всего сказанного понятно, что точных, эффективных и явно ковариантных методов вычисления эффективного действия в произвольных внешних полях не существует, поскольку цена за явную калибровочную инвариантность эффективного действия состоит в том, что нам приходится иметь дело с пропагаторами в произвольных внешних полях, которые невозможно вычислить точно. До сих пор все известные успешные вычисления имели дело либо с локальной структурой эффективного действия или с какой-либо специфической конфигурацией фоновых полей (постоянные поля, однородные пространства и др.), когда соответствующая квантовомеханическая задача точно интегрируема. Именно поэтому развитие общих методов для ковариантного вычисления эффективного действия, что особенно необходимо в квантовой теории калибровочных полей и гравитации [77] и их суперрасширений, является актуальной областью исследований. Метод фонового поля является достаточно универсальным, чтобы допускать естественные суперпространственные обобщения; такие расширения были построены для N = 1 суперсимметричной теории Янга-Миллса и супергравитации [81], [82], [83], [85] и для N = 2 суперсимметричной теории Янга-Миллса [86]-[90] (см. также [91] в качестве более ранней попытки разработки формулировки фонового поля для некоторых N = 2 суперсимметричных моделей Янга-Миллса, в том числе М = А суперсимметричной теории Янга-Миллса).

Изучение феноменологических и формальных аспектов суперсимметричных моделей теории поля занимает значительное место в современных работах по теоретической физике высоких энергий. Интерес к суперсимметрии в теории поля, как симметрии между бозонами и фермионами 5ф ~ €агра, 5фа ~ + ., обусловлен многими причинами, из которых мы отметим несколько:

• Суперсимметрия [92]- [94] обеспечивает естественный механизм объединения бозонов и фермионов и, следовательно, должна рассматриваться как составной элемент любой теории, претендующей на роль объединенной теории фундаментальных взаимодействий (формулировка суперсимметричных теорий дана, например, в монографиях [81], [83], [84], [95], [96].

• Суперсимметрия накладывает сильные ограничения на структуру и константы связи взаимодействия между бозонами и фермионами, что приводит к сокращению квадратичных расходимостей. При этом решается ряд проблем СМ большого объединения, таких как, проблема иерархий, проблема строгого пересечения трех бегущих калибровочных констант связи в одной точке, проблема времени жизни протона и др.

• По одной из версий локальной суперсимметрии (ДГ = 2 супергравитация) выполняемся мечта Эйнштейна объединения гравитации и электромагнетизма.

• Суперсимметрия обеспечивает плодотворное взаимодействие между физическими мотивациями рассмотрения суперсимметричных нелинейных сигма-моделей теории поля и геометрией кэлеровых, гиперкэлеровых и кватернионных многообразий.

• По современным представлениям на роль объединенной теории всех фундаментальных взаимодействий, включая гравитационное, претендует теория суперструн [97], [98]. В этой теории суперсимметрия играет ключевую роль, обеспечивая отсутствие тахионов в спектре струны. Характерная энергетическая шкала теории суперструн задается планковским масштабом.

При переходе к энергиям, много меньшим планковской, мы имеем дело с эффективной (низкоэнергетической с точки зрения теории суперструн) суперсимметричной теорией поля. Поэтому изучение различных (супер)полевых пределов суперструнных теорий привлекает большое внимание [24]-[26], поскольку это направление позволяет изучать струнные эффекты методами теории поля и полевые эффекты методами теории суперструн, а также открывает возможности построения новых (супер)полевых моделей с интересными свойствами, в том числе и с внутренними механизмами нарушения суперсимметрии. Конечно, на доступных в настоящее время энергиях суперсимметрия не проявляет себя, что должно означать ее нарушение на некотором масштабе. Его величина является интригующей загадкой для перспективы многих исследований. В связи с этим изучение именно низкоэнергетических квантовых аспектов суперсимметричных моделей теории поля должно представлять особый интерес с точки зрения возможных феноменологических проявлений существования на некотором масштабе энергий суперсимметрии.

Оказывается, что вЛГ = 2и.Л/* = 4 расширенных суперсимметричных теориях Янга-Миллса низкоэнергетическое эффективное действие может быть установлено точно. Однако в теориях с расширенным количеством суперсимметрий возникают определенные проблемы с построением квантовой теории. Дело в том, что алгебра расширенной суперсимметрии является замкнутой только на уравнениях движения. В суперполевых подходах требование неприводимости суперполевого представления супералгебры приводит к дифференциальным условиям связей на суперполя. Проблемы решения связей через неограниченные суперполя (препотенциалы) приводят к трудностям в построении теории возмущений и исследовании квантовых свойств наиболее интересных теоретико-полевых моделей с N = 2, ., J\f = 8 расширенными суперсимметриями. Кроме того, еще в 70-х были обнародованы 'no-go' теоремы и для преодоления этого барьера как всегда необходимо найти неявные ограничения в условиях существования такого рода теорем.

Как известно [94], преобразования суперсимметрии переводят бозоны в фермионы, которые образуют неприводимые представления супералгебры Пуанкаре или, иначе говоря, поля разных спинов становятся компонентами того или иного супермультиплета. Простейшие N = 1 супермультиплеты содержат физические поля, спиральность которых отличается на 1/2 и вспомогательные нераспространяющие поля. Представление расширенной N — 4 суперсимметрии на свободных уравнениях движения объединяет физические поля со спиральностью 1, 1/2, 0, что составляет максимально расширенный супер-мультиплет Янга-Миллса. Однако набор вспомогательных полей для реализации N = 4 суперсимметрии вне массовой оболочки до сих пор остается неизвестным и не исключено, что такие представления бесконечномерны. Следующие расширения А/ = 5,., 8 с необходимостью включают в себя гравитон со спиральностью 2, левое и правое гравитино со спиральностью ±3/2 и другие поля. Как правило, этой информации достаточно для записи суперсимметричных лагранжианов в терминах компонентных полей, однако для анализа квантовых свойств этих моделей теории поля необходима полная информация

0 составе супермультиплетов и всех симметриях классического действия вне массовой оболочки.

Наиболее естественное описание этих расширенных супермультиплетов достигается в 'терминах суперполей на суперпространстве, параметризованном координатами zM = {хт,6га,9"}, где ва,6а антикоммутирующие (в2 — 0) вейлевские (а, а = 1,2) спиноры и

1 = 1,2, .Af. Физические и вспомогательные поля являются компонентами в разложении суперполя по степеням грассмановых спинорных координат. Однако, главное препятствие для такого описания состоит в том, что в этом разложении кроме компонент того или иного супермультиплета появляется много излишних артефактов и с необходимостью эти суперполя должны подчиняться связям, исключающим лишние компоненты. Для комплексных N = 1 суперполей такими ограничениями являются условия грассмановой аналитичности

30ф(х, в, е) = о, DaЦх, е, в) = о, решениями которых являются киральные Ф(хь,в) или антикиральные Ф(хц,в) суперполя, зависящие от половины грассмановых координат, а преобразования суперсимметрии замкнуты на киральном подпространстве (ж™, 0a} или на {х'Ц, в"}.

Развитием этой глубокой концепции для неограниченного описания AÍ = 2 суперполей является конструкция Н = 2 гармонического суперпространства [95], [99]-[103]. Здесь оказалось необходимым дополнить координаты N = 2 суперпространства гармониками и~г,и+1щ = 1 ,u+i = и~, параметризующими фактор-пространство 577(2)/(У(1) группы автоморфизмов N = 2 супералгебры Пуанкаре. Связи для гипермультиплетов материи и AÍ = 2 калибровочной теории оказалось возможным разрешить в рамках расширения стандартного jV = 2 суперпространства сферой SU(2)¡U(I) и выделении замкнутого относительно преобразований AÍ = 2 суперсимметрии аналитического подпространства, параметризованного меньшим количеством грассмановых переменных по сравнению со стандартным N = 2 суперпространством. В таком преодолении запретов на суперполевое описание представлений расширенной супералгебры оказалось, что для описания муль-типлетов материи с замкнутой N = 2 супералгеброй вне массовой оболочки необходимо включение бесконечного числа вспомогательных полей, а для описания калибровочного мультиплета необходимо привлечение бесконечного числа чисто калибровочных степеней свободы, которые исчезают на уравнениях движения. Теперь, преобразования N — 2 суперсимметрии замкнуты на подпространстве = a физические и вспомогательные поля N — 2 супермультиплетов возникают в разложении неограниченных никакими связями суперполей на аналитическом суперпространстве QM. Конечно, теперь состав супермультиплетов становится бесконечномерным, поскольку коэффициентами в разложении по степеням гармоник являются высшие неприводимые представления группы SU (2), и тогда необходимо сформулировать такие правила записи суперполевого действия, которые приводят к физическим лагранжианам для конечного числа компонентных полей. Такими правилами являются интегрирование Березина [105] по грассмановым координатам и интегрирование по гармоникам [95] на группе

Jdd = О, J deo = 1, J du= 1, J duu^ii.AifnuJi.uju) = 0

Поучительная мораль этой истории состоит в том, что каждая новая физическая теория с^ма выбирает себе пространство, на котором она предпочитает жить. AÍ = 2 суперсимметричная теория Янга-Миллса формулируется в терминах двух мультиплетов ЛГ = 2 суперсимметрии. Векторный мультиплет описывается действительным аналитическим суперполем У++ = принимающим значения в алгебре Ли калибровочной группы, в состав которого входит векторный потенциал и его суперпартнеры. Поля материи входят в состав гипермультиплета д+(С) и ему сопряженного <?+(С)> преобразующихся по некоторому представлению калибровочной группы. Классическое действие N = 2 суперсимметричной теории Янга-Миллса в гармоническом суперпространстве выглядит предельно просто

5 = / + Ц <*:(-4)С(Л++ + гдУ++)д+а, (0.2) где УУ = —\(5+)2У калибровочно инвариантное, «-независимое киральное суперполе напряженности и У неаналитическое суперполе, связанное с препотенциалом условием нулевой кривизны2 И++У — Б У++ + г\У++, V ] = 0. К сожалению подобной конструкции для N = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса не существует, и все, что нам остается это использовать приведенное выше классическое действие с гипер-мультиплетом в присоединенном представлении калибровочной группы и требованиях, накладываемых дополнительными А/* — 2 суперсимметриями (а = 1,2)

6У++ = (еаав+ + 6д,+ = + ё^О-^У"] (0.3)

Несмотря на то, что формализм гармонического суперпространства имеет сложную структуру он обеспечивает естественное описание N = 2 суперсимметричных теорий вне массовой оболочки. Это, в частности, означает, что гармоническое суперпространство является основой для изучения квантовых аспектов таких теорий с сохранением явной N = 2 суперсимметрии на всех этапах вычислений в квантовой теории. Последнее обстоятельство носит принципиальный характер, поскольку позволяет контролировать корректность вычислений и получать результаты сразу в терминах N — 2 суперинвариантов. Именно поэтому развитие общих методов для ковариантного построения эффективного действия в N = 2 суперсимметричных квантовых теориях калибровочных полей и материи, является актуальной областью исследований.

Другой круг проблем традиционно связан с дилеммой выбора реализации теоретико - полевого описания в терминах тех или иных тензорных (супер) полей для безмассовых и массивных неприводимых представлений (супер)группы Пуанкаре. Простейшим хрестоматийным примером такой дуальности является динамическая эквивалентность описания безмассовой частицы спина ноль в терминах скалярного или тензорного поля. Другим известным примером эквивалентности на классических уравнениях движения является суперполевая реализация неприводимого представления суперспина 1/2 в терминах неограниченного действительного скалярного суперполя или в терминах кираль-ного спинорного суперполя. Будучи динамически эквивалентными на свободном уровне

2здесь В" = = — 51/(2)-ковариантные производные эти различные реализации одного представления допускают, вообще говоря, различные модели взаимодействия с гравитационным и калибровочными (супер) полями. Важным примером такого сорта неэквивалентности является Л/" = 2 вектор - тензорный мульти-плет с калибровочным центральным зарядом, в котором один из физических скаляров представлен антисимметричным тензором, и его связи Черн-Саймонса с А/" = 2 векторным мультиплетом и N = 2 супергравитацией, необходимые для реализации механизма сокращения аномалий Грина-Шварца в эффективной теории [106]. Как представление N = 2 суперсимметрии, этот мультиплет очень подобен безмассовому 8 + 8 гипермульти-плету Файе-Сониуса [107], однако неограниченной связями формулировки не существует, что приводит к определенным трудностям анализа квантовых свойств таких интересных комплексов.

В последнее время наблюдается возрождение интереса к различным аспектам теоретико - полевого описания 4БЛГ=1иЛ/" = 2 массивных тензорных мультиплетов и их связям со скалярным и векторным мультиплетами. Такой интерес в первую очередь мотивирован тем обстоятельством, что массивная два - форма естественно возникает в четырехмерном пространстве N = 2 теории супергравитации, получающейся из (или связанных с ними) компактификаций теории струн типа II на многообразия Калаби -Яу в присутствии электрических и магнитных потоков (см., например, обзор [108]). Этот факт обеспечивает достаточное основание для проведения более детального исследования массивных N = 1 и N = 2 тензорных мультиплетов [109]. В // = 1 суперсимметрии, массивный тензорный мультиплет (как дуальная версия описания массивного векторного мультиплета) был введен тридцать лет назад, и с тех пор эта конструкция нашла отражение в двух учебниках [81], [83]. В отличие от обычных тензорных мультиплетов, модель (безмассового) М = 1 и N — 2 улучшенного тензорного мультиплета является суперконформной в глобальной суперсимметрии и инвариантной относительно супервейлевских преобразований в искривленном суперпространстве. Кроме того, ограниченные, правильно подобранными, гармоническими связями, N = 2 материальные мультиплеты имеют конечный набор вспомогательных полей и все модели самодействия этих суперполей дуальны отдельным классам моделей <7+-гипермультиплета [95]. Есть по крайней мере две причины, почему улучшенный тензорный мультиплет интересен: (I) он описывает суперконформный компенсатор в новых минимальных формулировках N = 1 супергравитации (см. [81], [83] для обзоров); (II) он соответствует голдстоуновскому мультиплету для частичного нарушения N = 1 суперконформной симметрии, связанной с косетом <57/(2,2|1)/(5,0(4,1) х [/(1)), который имеет как бозонное подпространство [110]

113]. Как было показано, замечательной особенностью улучшенного тензорного мультиплета является то, что его супервейлевская инвариантность сохраняется и в массивном случае.

Проблема квантовой эквивалентности безмассовых классически эквивалентных теорий интенсивно рассматривалась в начале 80-х г. (см., например, [83]). Что касается моделей массивного антисимметричного поля, то мозаика классических дуальностей в этом случае отличается от случая безмассовых полей. Поэтому можно ожидать, что изучение проблемы квантовой эквивалентности для массивных антисимметричных полей, а также массивных N = 1 и N = 2 тензорных мультиплетов является актуальной задачей.

Одним из основных свойств низкоэнергетического эффективного действия в суперсимметричной теории поля является голоморфность [114]. Оно состоит в том, что суперсимметричных теориях с комплексными суперполями, определенными на некотором подпространстве полного суперпространства, квантовые поправки к классическому действию часто возникают в виде голоморфных функций этих суперполей, интегрируемых по соответствующему подпространству. Примером голоморфности в Л/- = 1 суперсимметрии является голоморфный потенциал и его свойство неренормируемости [115]. Замечательной демонстрацией силы этого требования является точное решение Зайберга -Виттена для эффективного действия в N = 2 супер Янг-Миллс теории [116], [14] в старшем порядке по пространственно-временным производным компонентных полей. Исходя из утверждения о голоморфной зависимости эффективного действия от N = 2 кирально-го суперполя напряженности УУ в случае теории с калибровочной группой 5(7(2), спонтанно нарушенной до /7(1) и, используя идею дуальности, Зайберг и Виттен смогли найти его точно с учетом непертурбативных вкладов инстантонов. В пределе ненарушенной N = 2 суперсимметрии теория имеет пространство модулей, на котором, к примеру 5"С7(2) калибровочная группа, спонтанно нарушается до (7(1) и масштаб А этого нарушения является динамическим параметром N = 2 теории супер Янга-Миллса. Все физические состояния могут быть классифицированы по отношению к ненарушенной (7(1). Такие состояния как фотон и все его нейтральные суперпартнеры остаются безмассовыми, в то время как другие электрически заряженные состояния, такие как калибровочные бозоны соответствующие 57/(2)/(7(1), получают массу ~ А. Все такие заряженные состояния тяжелые и могут быть отинтегрированы. Известно, что в квазиклассическом режиме в спектре теории есть солитоноподобные тяжелые монополи 'Т Хоофта-Полякова и дио-ны, которые не участвуют в динамике в окрестности стандартного вакуума. Однако на пространстве модулей существуют две специальные точки, где монополи (дионы) становятся безмассовыми. В низкоэнергетическом пределе в окрестности этих монопольной и дионной точек мы будем иметь дело с электродинамикой безмассовых монополей (дио-нов). Эффективная локальная (7(1) теория взаимодействия этих магнитно заряженных легких состояний материальных полей М, М мол-сет быть построена дуализацией исходного фотона и его Аг = 2 суперпартнера Л с N = 2 сохраняющим суперпотенциалом взаимодействия МАМ. Если мы теперь слегка деформируем суперпотенциал массовой добавкой ~ т2А это приведет к конденсации монополей < М >=< М >— т, что в свою очередь означает спонтанное нарушение дуальной (7(1) симметрии. Дуальный фотон получает массу и, как следствие, формируются трубки потока магнитного поля. По отношению к исходной микроскопической теории они несут поток электрического поля.

Таким образом Зайберг-Виттен предъявили пример существования, в разумно выбранной неабелевой калибровочной теории, дуального эффекта Мейсснера следствием которого является линейный конфаймент. Этот результат стимулировал всплеск интереса к изучению эффективного действия N = 2 суперсимметричных моделей с другими калибровочными группами [117], [118] и материальными мультиплетами.

Другим ярким примером голоморфности в Af = 2 суперсимметричных моделях является аналитический эффективный потенциал, интегрируемый по аналитическому подпространству N = 2 гармонического суперпространства [119]. Важно отметить, что как голоморфные, так и аналитические вклады в эффективное действие возникают только в ситуации с центральными BPS зарядами Богомольного-Прасада-Зоммерфельда. Еще более замечательными свойствами обладает максимально суперсимметричная N = 4 теория Янга-Миллса. Она является ультрафиолетово конечной, конформно инвариантной и существуют сильные аргументы в пользу того, что она самодуальна относительно непер-турбативных SL(2, ¿^-преобразований [120], [121]. Эффективное действие в такой теории является суперфункционалом как N — 2 напряженности, так и 7V = 2 гипермультиплета, преобразующихся между собой относительно дополнительной N = 2 суперсимметрии. В работах [122]-[125] показано, что в N — 4, 577(2) калибровочной теории в кулоновской фазе низкоэнергетическое эффективное действие, зависящее от N = 2 векторного муль-типлета, имеет вид

Важно подчеркнуть, что требования N = 4 суперсимметрии и суперконформной инвариантности так сильны, что этот неголоморфный потенциал определяется однозначно с точностью до числового коэффициента. Числовой коэффициент с был найден из прямых однопетлевых квантовых вычислений и равен (Ы — 1)д7([Атх)"2 [126]-[129]. Существуют сильные указания на то, что этот однопетлевой эффект не ренормируется ни высшими петлями, ни непертурбативными поправками и поэтому является точным низкоэнергетическим эффективным действием.

В теориях, обладающих глобальными и локальными симметриями, не нарушенными аномалиями, эффективное действие также должно обладать этими симметриями. При этом возникает проблема развития методов конструкции эффективного действия, явно обеспечивающих проявление симметрий классического действия на всех этапах исследования. Хорошо известно, что адекватная и простая формулировка четырехмерных N = 1 суперсимметричных теорий поля достигается в терминах ограниченных связями суперполей на N = 1 суперпространстве. Соответствующие приемы квантовых вычислений, обеспечивающих явную N — 1 суперсимметрию, достаточно давно построены и широко используются [81], [83]. В теориях с N = 1 суперсимметрией, таких как модель Весса-Зумино, N = 1 суперсимметричная теория Янга-Миллса, структура эффективного действия изучена достаточно полно [130]-[145]. В частности был найден суперполевой эффективный потенциал и эффективный потенциал вспомогательных полей в модели

0.4)

Весса-Зумино [138] и общей кэлеровой модели [141], а также был найден двухпетлевой киральный эффективный еуперпотенциал [139], а в [131] был развит метод фонового поля Швингера- Де Витта для Af = 1 теории Янга-Миллса, который используется для исследования ренормализационных свойств и построения эффективного действия. Методы анализа структуры эффективного действия, позволяющие в одном шаге суммировать бесконечный набор диаграмм Фейнмана с произвольным количеством внешних концов, вЛ/" = 1 моделях в последнее время были значительно усовершенствованы [146]-[150].

Идея о теории объединения Стандартной модели с гравитацией в последние годы рассматривается в рамках подхода,.предполагающего существование единой непертур-бативной теории суперструн или, так называемой М-теории. Возмущения в окрестности различных вакуумов М-теории рассматриваются как фундаментальные струны одной из пертурбативных теорий суперструн, которые связаны между собой преобразованиями дуальности. Преобразования дуальности между различными фазами М-теории, как правило, связывают друг с другом теории, одна из которых находится в области сильной связи. В зависимости от значений параметров или областей пространства модулей М-теории одни и те же наблюдаемые объекты могут описываться равно как фундаментальные степени свободы одной из пертурбативных теорий и/или как коллективные возбуждения в виде солитоноподобных тяжелых D-бран. Одно из следствий этой связи - возможная интерпретация замкнутых струн как связанных состояний в теории открытых струн, имеющих в полевом пределе соответственно гравитацию и калибровочные теории материи. Материя, описываемая в терминах открытых струн, привязана к некоторым D-бранам, в то время как гравитация, отвечающая безмассовым возбуждениям замкнутых струн распространяется внутри объема. Гравитация в объеме связана с тензором напряжений граничной теории. Такая голографическая дуальность утверждает, что корреляционные функции для тензора напряжений в полевой теории сопоставлены амплитуде распространения гравитонов между заданными точками на границе. В наиболее простых примерах такого соответствия геометрия многомерного пространства имеет вид прямого произведения AdS s х S5. Пятимерное пространство анти-де-Ситтера имеет четырехмерную границу на которой 'живет' JV" = 4 суперсимметричная масштабно-инвариантная и конечная теория Янга-Миллса. Такое AdS/CFT соответствие имеет много физически значимых проявлений3. Для примера, спектр аномальных размерностей локальных операторов конформной калибровочной теории должен совпадать со спектром энергий частицы, или более точно, модой струны, распространяющейся в AdS. Если соответствие является истинным желательно получить геометрии типа AdS из первых принципов, начиная с пертурбативных диаграмм Фейнмана. Интересный шаг в этом направлении был сделан в работе [155], где сделано утверждение, что однопетлевые двух- и трехточечные функции

3AdS/CFT соответствие было предложено Малдасеной в конце 1997 г. [31]. В последние годы направление исследований состоит в обобщении этого соответствия на другие не-AdS пространства и им дуальные несуперсимметричные и неконформные теории поля. в скалярной теории могут быть естественно описаны в терминах пропагаторов из объема к границе в AdSs, интегрированных по положению точки в объеме. Оказалось, что в первично квантованной картине параметр Швингера играет роль радиальной координаты в AdSb и следовательно, интегрирование по этой переменной соответствует интегрированию по внутреннему пятому измерению. Однако, начиная с четырехточечной функции, ситуация, как представляется, более тонкая и полностью удовлетворительная картина отсутствует. В интересной работе [156] обсуждается, каким образом фоновая геометрия может быть прослежена из однопетлевого эффективного действия в несуперсимметрич-ных теориях во внешних абелевых полях. Показано, что надлежащая идентификация параметров Швингера в абелевом эффективном действии Гейзенберга-Эйлера предполагает интегрирование по AdSz, 63 и T*S:i геометриям, в зависимости от типа внешнего поля.

С более общей точки зрения, производящий функционал Фрадкина-Цейтлина в теории струн [157], [158] для безмассовых внешних фоновых полей, определяющий некоторые обобщения действия Борна-Инфельда, должен совпадать с производящим функционалом для эффективного действия, суммирующего все квантовые поправки Ai = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса [159]. В теории открытой струны во внешнем постоянном абелевом векторном поле некоторые а'- струнные поправки удается просуммировать во всех порядках [157] и здесь в качестве эффективного действия, основанного на представлении производящего функционала для струнных амплитуд как интеграла Полякова с ковариантной 2D сигма-моделью в экспоненте интеграла по путям, возникает известное действие Дирака-Ворна-Инфельда (DBI) и его суперсимметричные расширения [159]. В 30-х годах это действие

Lbi = л/- det(7?mn + Fmn) - 1 (0.5) было предложено [160], [161] как решение проблемы сингулярности точечно-подобного заряда и бесконечности его энергии в теории Максвелла по аналогии с квадратичным корнем д/1 — v2/c2 действия для релятивистской частицы. Это действие обладает многими замечательными свойствами, например, причинностью и электро-магнитной дуальностью. Суперсимметрия, как известно, совместима с принципом причинности, положительной плотностью энергии и дуальностью, так что аналогичные свойства можно ожидать и от суперсимметричных (правильно обобщенных) действий DBI [162]-[165]. Это действительно имеет место для Ai = 1 действия BI [166], [167], и оно должно быть верно для Ai = 2 действия DBI [168]-[170]. Как хорошо известно, Ai = 1 DBI действие является действием Голдстоуна-Максвелла для AÎ — 1 векторного супермультиплета гол-дстоуновских полей ассоциированных с частичным спонтанным нарушением суперсимметрии Af = 2 Ai = 1 [171]-[111]. Частичное нарушение Ai = 4-^Лг = 2вЛ/'=2 суперпространстве реализовать сложнее, так как естественной формулировки Ai = 4 калибровочных теорий вне массовой оболочки не существует.

Современный интерес к действию DBI и его многочисленным суперсимметричным и неабелевым модификациям в контексте теории суперструны связано с действием пробной БЗ-браны, распространяющейся на искривленном фоне пространства анти-де-Ситтера и на фоне электрической части 4-формы R-R потенциала, продуцированным большим числом N совпадающих бран [98],

S = -Г3 J d4:xH~1(X)[\J— det(f}mn + Н{Х)дшХ'дпХ* + H^{X)Fnm) - 1] (0.6)

Здесь г = 1,., 6, т, п = 1,., 4, Тз = 1/27Гgs и Н = 1 + Q = ~Ngs. Дополнительно действие также содержит член Черн-Саймонса представляющий "магнитную" часть взаимодействия, Smay = iN f5 £п.л6щвXndX12 A . A dXl°. Центральной темой гипотезы AdS/CFT соответствия является предложение о точной дуальной связи между IIB супергравитационным описанием взаимодействия параллельных D-бран и низкоэнергетическим эффективным действием fif — 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса в ку-лоновской фазе спонтанного нарушения калибровочной симметрии (для обзора см. [176], [177]). В частности, было обнаружено, что потенциал взаимодействия D3-6paH (протяженных объектов, являющихся решениями классических уравнений ИВ супергравитации), описываемый действием DBI, совпадает с лидирующим членом в низкоэнергетическом эффективном действии Af — 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса с калибровочной группой' SU(N) и больших N, спонтанно нарушенной до максимальной абелевой подгруппы [178]-[180]. Таким образом, конструкция следующих вкладов низкоэнергетического эффективного действия J\f = 4 суперкалибровочных моделей оказалась очень важной для изучения взаимосвязи между суперсимметричной квантовой теорией поля и теорией струн. Эта гипотеза является сильной мотивацией изучения квантовых поправок и их ренормализационных свойств в суперсимметричных теориях Янг-Миллса [181], [182], [146] 4.

Рассматривается случай, когда X1 = const, т. е. все производные скалярного произведения игнорируются, а также, что 1, так что можно отбросить единицу в гармонической функции Н. Тогда S становится таким же, как и действие для пробной БЗ-браны в пространстве AdS5 х S5, ориентированной параллельно границе AdS^. Разлагая по степеням F мы получим общую структуру разложения

1 г ~ F21+2

S=-J d'x^c^Ny^ (0.7) с первыми членами

S —Г,/- - I(F*)*1 - ¿(^'[Д* - ¡F<F> + ±(Я)»] +.)

С точки зрения теории струн в режиме слабой связи, ведущие члены взаимодействия между отдельными D-бранами описываются диаграммами "диск с дырками". Предел малого разделения должен быть представлен петлевыми поправками в суперсимметричной

4Более полный список литературы можно найти в [182], [146]-[150] теории Янга-Миллса, в то время как предел большого разделения - через взаимодействие классической супергравитации. Если коэффициент того или иного члена в потенциале взаимодействия струн оказывается не зависящим от расстояния (т.е., от безразмерного отношения разделения и \fa'), то этот коэффициент должен быть тем же и в квантовой суперсимметричной теории Янга-Миллса и представлении для взаимодействия в классической супергравитации. На языке теории суперсимметричной теории Янга-Миллса вычисление потенциала взаимодействия между пачкой D3-6paH и параллельной пробной БЗ-браной, несущей постоянное фоновое поле Fmn, соответствует вычислению эффективного квантового действия Г в постоянном скалярном фоне Ф* который нарушает SU(N + 1) до SU(N) х U{1) и в постоянном U{ 1) калибровочном поле Fmn. Для взаимодействия между БЗ-бранами, т. е. в случае конечной jV — A, D = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса, разложение Г по степеням безразмерного отношения .Р2/|Ф|4 имеет следующую общую форму

В плоском пределе (большие N, фиксированная А = 9ymN) функции должны зависеть, только от А. Наивное сравнение этого эффективного действия с супергравитационным разложением (с отождествлением д\м = s, |Ф| = Т|Х|) приводит к мысли, что /й член получает вклады только от /-го порядка в разложении эффективного действия J\f = 4, D = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса по числу петель. Это действительно справедливо для ведущего FA/\X\A члена, который появляется только в первой петле, и его нет в более высоких порядках в связи с существованием теоремы неренормировки. Кроме того, однопетлевой коэффициент члена F4 в ЛГ = 4 суперсимметричном эффективном действии находится в точном согласии с супергравитационным выражением. В работе [182] изучалось подобное соответствие для члена

F6, посредством явного вычисления его 2-петлетлевого коэффициента в N = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса. Лоренцева структура этого члена в эффективном действии такая же, как в супергравитационном действии DBI (форма абелевого F6 члена, на самом деле, однозначно фиксируется М = 1 суперсимметрией), и плоская (N 1) часть его коэффициента оказывается точно такой же, как входящие в (0.7). В сочетании с известным фактом, что абелев член FG не появляется в однопетлевом Af = 4 эффективном действии, это может означать, что этот 2 -петлевой коэффициент должен быть точным, то есть абелевый член FG не должнен получать вклады из всех высших петлевых (/ > 3) порядков. Эта гипотеза была проверена в [178] (в общем неабелевом случае), где показано, что здесь есть универсальное NgyM выражение со стороны Af = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса, которое воспроизводит сублидирующие члены в супергравитационном потенциале между различными конфигурациями связанных состояний D-бран. Поскольку системы бран с различными количествами суперсимметрии описываются очень разными фоновыми конфигурациями, предположение, что все соответствующие потенциалы взаимрдействия происходят из одного универсального выражения суперсимметричной теории Янга-Миллса предполагает весьма нетривиальные ограничения на структуру последнего.

Таким образом, следует ожидать существования новой теоремы неренормируемости для абелева члена в Г, аналогично известной теореме для .Г4 . Однако рассуждений на основе масштабной инвариантности и N = 2 суперсимметрии не достаточно, чтобы доказать неренормируемость члена Г6. Скорее всего, здесь необходимо использовать на полную мощность требования 16 суперсимметрий теории, которые реализуются "деформированным"способом [179]. Тогда можно ожидать, что N = 4 суперсимметрия требует, чтобы коэффициент при члене .Р6 должен быть жестко закреплен в терминах ^-коэффициента (пропорционально его квадрату) и тогда тот факт, что член появляется только на уровне 1-петли будет означать, что член Р6 должен присутствовать только в 2-петлевом порядке. Ситуация с вкладом еще более сложная, поскольку, в отличие случая для ^Р4 и членов, сама суперсимметрия не ограничивает структуру -Р8 инварианта единственным способом - Р8 член в действии БВ1 и в 1-петлевом эффективном действии суперсимметричной теории Янга-Миллса имеют различные л о ренцевы структуры! В [182] была предложена следующая гипотеза о эффективном действии суперсимметричной теории Янга-Миллса: (1) коэффициент для F8 из разложения действия ОВ1 (0.7) получает вклад только в 3-петлевом порядке, который находится в точном согласии с действием супергравитации (0.7), (и) но коэффициент для однопетлевого F8 вклада получает поправки от всех петель, при этом плоская часть результирующей ненулевой функции /з(Мдум) в (0-8) стремится к нулю в пределе №дуМ ^ 1 так>чт0 требование АёБ / СЕТ соответствие выполняется. Возможность существования в ¿»[/(Л/"), N > 2 случае, "незащищенных" неабелевых тензорных структур уже в "г>4" порядке (и, что доказательства теоремы неперенормировки применимо только для 81/(2) случая) было предложено в работе [126]. В результате вычисления в подходе гармонического суперпространства 2-летлевого низкоэнергетического эффективного действия было обнаружено, что в пределе больших N его 2-петлевой коэффициент в точности совпадает с соответствующим членом в разложении действия БВ1 взаимодействия между пачкой N БЗ-бран и параллельной пробной БЗ-браной. Этот результат позволяет сделать сильное предложение о том, что соответствие между ннзкоэнергетическим эффективным действием .Л/* = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса и потенциалом взаимодействия супергравитации БЗ-бран может быть продолжено до более высокого порядка. Члены F2г+2/\Х\А1 высшего порядка в эффективном действии должны быть бозонной частью комбинации нескольких N = 1 (или N = 2) суперинвариантов [181]. Только один из них (для каждого I), должен иметь "защищены" коэффициент, который получает вклад только от 1-й петли. Именно этот член (его плоская часть) должен выживать в пределе сильной связи и должен быть согласованным с соответствующими структурами в разложении действия ВВ1, в соответствии с ожиданием АсШ / СРТ философии.

ДГ = 4 суперсимметричная теория поля Янга-Миллса, как полагают, самодуальна

120]. Первоначально это свойство было сформулировано как дуальность между обычным и солитонным секторами теории. Относительно недавно было сделано предложение [Г62], [163], частично инспирированное идеями теории Зайберга-Виттена [14], а также АсШ / ОРТ-соответствия [31], что самодуальность может быть реализована в терминах низкоэнергетического эффективного действия теории на кулоновском ветви, где калибровочная группа-УС/(Ж) спонтанно нарушена до БИ(N—1) х 1/(1) и динамика описывается одним N — 2 векторным мультиплетом, соответствующим и(1) фактору ненарушенной группы. Были предложены два различных сценария реализации требования самодуальности для Л/" = 4 суперсимметричного эффективного действия в ЛГ = 2 суперпространстве: (1) самодуальность относительно преобразования Лежандра [164], [165]; (п) самодуальность относительно £7(1) вращений [163]. До сих пор, ни (1), ни (и) предложения не были получены из первых принципов, и эти предложения по-прежнему остаются только гипотезами. Конечно, некоторые формы самодуальности N = 4 суперсимметричного эффективного действия правдоподобны в контексте АёБ / ОРТ-соответствия, и этот вопрос активно обсуждался в литературе [162]-[165]. Некоторое подтверждение сделанных гипотез, как известно, существует на одной петле. Оказывается, что дальнейшее подтверждение существует и на двух петлях, и это есть основной результат большой серии работ [146]-[153]. Если эффективное действие действительно самодуально в пределе больших IV, либо в смысле (1) либо (я) реализаций предложения, должно существовать бесконечное число теорем неренормировки, и это очень интересно с точки зрения суперсимметричной квантовой теории поля.

Все выше упомянутые результаты о структуре неголоморфного потенциала были получены только для той части эффективного действия, которая зависит от полей N = 2 калибровочного мультиплета. Проблема построения ведущего вклада в полное эффективное действие, зависящее, как от N = 2 калибровочного мультиплета, так и полей гипермультиплета была решена в работе [183]. Конструкция в [183] основана на чисто алгебраическом анализе изучения требования дополнительных скрытых N = 2 супер-симметрий на массовой оболочке в N = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса, сформулированной в N = 2 суперпространстве. Явная N ~ 2 суперсимметрия вне массовой оболочки и скрытые суперсимметрии на уравнениях движения составляют полный набор N = 4 суперсимметрий Л/" = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса. Было показано, что потенциал (0.4), а также его обобщения для БИ(Л^-моделей, может быть дополнен до N — 4 суперсимметричной формы путем добавления соответствующих членов, зависящих от суперполей гипермультиплета.

Г, = сI - 1)1п(1~Х) + [1л2(Х) - 1]}, X = (0.9) где с тот же числовой коэффициент что и в неголоморфном потенциале (0.4). Кроме того, никакие нелогарифмические члены в низкоэнергетическом эффективном действии не I допускают такого дополнения и, следовательно, исключаются ограничениями накладываемыми J\í = 4 суперсимметрией. Открытой проблемой оставалось построение эффективного действия (0.9) прямым вычислением супердиаграмм в рамках квантовой теории поля. В работах [184] и [365], [373] эта проблема была решена.

Объединение гравитации, суперсимметрии и калибровочных теорий приводит к теориям супергравитации с числом суперсимметрий в диапазоне от Ai = 1 до AÍ = 8. Когда AÍ > 4, минимальный мультиплет супергравитации содержит скаляры, так что нелинейность действия гравитации с необходимостью приводит к нелинейности кинетического члена скалярных полей. Таким образом нелинейные сигма-модели (см., в качестве обзора, [185]) являются частью лагранжиана расширенной супергравитации. Также существует другой сильный аргумент изучения классических и квантовых аспектов нелинейных сигма-моделей. Парадигма спонтанного нарушения симметрии является определяющей для феноменологических приложений квантовой теории поля. Спонтанно нарушенные глобальные симметрии не реализуются как преобразования симметрии физических состояний, но они не оставляют вакуум инвариантным. Тогда, согласно теореме Голдстоу-на, спектр физических состояний всегда имеет безмассовые частицы для каждого генератора нарушенной симметрии с сильно нелинейным эффективным действием [186]. В общем случае скалярные поля сигма-модели принимают значения на римановом многообразии с положительно определенной метрикой с ограничением налагаемым отсутствием состояний с отрицательной нормой (компактные, обычно, симметрические пространства). Требования суперсимметрии обнаруживают тесную связь между сигма-моделями с расширенным числом суперсимметрий и комплексными геометриями. Так существует три ставших уже классическими результата: кэлерово многообразие является пространством полей для суперсимметричных сигма-моделей с четырьмя суперзарядами (D < 4) [187]. В четырех измерениях (D= 4), такие сигма-модели обладают Ai = 1 суперсимметрией; На гиперкэлеровых многообразиях "живут" суперсимметричные сигма-модели с восемью суперзарядами (D < 6)[188], [189]. В четырех измерениях (D= 4), такие сигма-модели обладают H = 2 суперсимметрией; Кватернионное кэлерово многообразие является пространством суперполей для локально суперсимметричных сигма-моделей с восемью суперзарядами (D < 6) [190]. Суперпространство, как метод исследования, обеспечивает уникальные возможности для конструкции общих суперсимметричных сигма-моделей (см., например, в качестве обзора и полной библиографии в этой теме [191]). В отличие от 2D моделей, 4D нелинейные суперсимметричные сигма-модели неперенормируемы по индексу расходимости, также как их 4D несуперсимметричные предшественники. Это главная причина почему квантовые аспекты таких моделей недостаточно хорошо изучены.

Поскольку к настоящему времени не существует экспериментальных доказательств суперсимметрии, это может означать что на достижимых масштабах энергиях она не "работает", что приводит к проблеме поиска теоретических механизмов ответственных за такое нарушение. Одной из возможностей является, так называемое, мягкое нарушение суперсимметрии. Оно используется в суперсимметричных калибровочных теориях и добавляет к действию некоторые массовые члены, которые сохраняют калибровочную инвариантность, но нарушают суперсимметрию. Если суперсимметрия спонтанно нарушена, вспомогательные поля имеют отличные от нуля вакуумные значения и появляются спинорные поля Голдстоуна (голдстино). Однако, стандартные методы нарушения суперсимметрии могут испортить замечательные квантовые свойства суперсимметричных теоv ' рий или, по крайней мере, ограничивать диапазон их применения. Таким образом, поиск и изучение альтернативных схем нарушения суперсимметрии имеет важное значение.

Новый механизм нарушения симметрии пространства-времени в квантовой теории поля возникает из гипотезы некоммутативности пространственно-временных координат: [хт, xn] = it)mn — const, где константы i?mn являются параметрами деформации коммутативной алгебры функций, заданных на стандартном пространстве Минковского с координатами х™ (в качестве обзорных работ, см., например, [192], [193], [194]). В некоммутативной теории, основанной на этом соотношении, лоренц-инвариаптность нарушается, но трансляционная инвариантность остается. Из общих построений анализа на пространстве некоммутативных координат (см., например, [72]), эффект некоммутативности осуществляется путем включения, так называемого, звездочка-произведения. В случае деформации, определенной выше ^-умножение на полях реализуется с помощью псевдо-дифференциалыюго оператора пуассоновой структуры Р: ф(х) * Ф{х) = ф(х)ерф(х), где Р — $т$тпдп- Для построения классического действия некоммутативных теорий достаточно заменить стандартное умножение полей в недеформированном лагранжиане *-умножением. При таком подходе, свободная часть действия сохраняет лоренц-инвариантность, в то время как нарушение лоренц-инвариантности из-за деформации возникает только в членах взаимодействия. Такая деформация может быть использована также и в суперпространстве. Однако, некоммутативность бозонных координат сама по себе не дает нарушения суперсимметрии. Формально, можно деформировать алгебру как четных так и нечетных координат в суперпространстве. Однако для сигнатуры Минковского, деформации фермионных координат проблематична, так как очень трудно одновременно сохранять вещественность, ассоциативность ^-умножения и сохранение кирального представления суперсимметрии в некоммутативной теории. Но, в евклидовой версии J\f = 1 суперпространства грассмановы координаты ва и ва не связаны между собой комплексным сопряжением. Поэтому в N = (1/2,1/2) суперсимметричных теориях сформулированных в евклидовом суперпространстве возможна последовательная деформация левых кнральных фермионных координат [195]: ва,вр} = Са0 = const, (0.10) в то время как {ва, О3} — {ва, в13} = 0, тем самым, заменяя алгебру Грассмана на алгебру Клиффорда. Параметры Са0 деформируют алгебру функций на N = (1/2,1/2) суперпространстве. Остальные (анти) коммутационные соотношения не изменены, с тем чтобы сохранить свойство киральности. Если такие неантикоммутативные деформации вводятся исключительно в левом киральном секторе суперпространства, исходная Af = (1/2,1/2) евклидовая суперсимметрия нарушается до Af = (1/2,0). Характерной чертой С-деформированных теорий является нарушение половины суперсимметрий в киральном секторе евклидового суперпространства.

Отметим, что существование неантикоммутативных деформаций, сохраняющих ки-ральность, возникает из теории суперструн [196], [197]. Так как спектр IIB супергравитации содержит потенциал четыре-формы, низкоэнергетический спектр Af = (1,1) суперструны обладает фоновой самодуальной пять- формой напряженности поля, которую в первом приближении можно рассмотреть постоянной. После компактификации на орбифолд С3/{Zi х Z2), мы получим четырехмерную Af = (1,1) суперструну на фоне постоянного самодуального поля гравифотона Fa& (с Fat) = 0). Оказывается, что корреляционные функции < 0а(т),0^(т') > пропорциональны постоянному полю FaP, тогда как корреляторы с участием сопряженных переменных ва тривиальны. В эффективной низкоэнергетической теории поля такие струнные переменные становятся фермионными координатами суперпространства с нетривиальными антикоммутационными соотношениями. Струнные модели на фоне постоянных самодуальных калибровочных полей могут иметь интересные феноменологические свойства.

Суперполевые теории определенные в евклидовом суперпространстве с деформированными антикоммутационными соотношениями типа (0.10), называются Af = 1/2 (или Af = (1/2,0)) неантикоммутативными теориями. Эти теории обладают рядом привлекательных свойств. Так, в большой серии работ было установлено, что Af = 1/2 суперсимметричные модели Весса-Зумино и Af = 1/2 суперсимметричные калибровочные теории наследуют перенормируемость их недеформированных прототипов. В лагранжианах этих моделей, неантикоммутативные деформации приводят к дополнительным членам полиномиальным по степени параметра деформации С"10. Эти члены можно рассматривать как новые вершины взаимодействия, где степени играют роль констант связи с отрицательными массовыми размерностями. В соответствии со стандартным опытом квантовой теории поля, такие вершины должны дать начало неперенормируемым расхо-димостям. Однако, дополнительные члены в действии для неантикоммутативной деформации появляются в несимметричным образом (они не сопровождаются аналогичными членами с Caß), и ренормируемость таких теорий требует специального анализа. Например, в [198], [199] было обнаружено, что только один новый член возникает на квантовом уровне, и с добавлением этого контрчлена неантикоммутативные модели Весса-Зумино мультипликативно перенормируемы. Для Af = 1/2 суперсимметричной модели Янга-Миллса было показано [200], [201], что все новые расходимости обязанные неантикоммутативной деформации могут быть устранены путем сдвига одного спинорного поля. Это переопределение полей не влияет на квантовую динамику теории. В результате этих исследований, все рассматриваемые Af — 1/2 теории оказались перенормируемыми и, следовательно, могут иметь феноменологической интерес (после выполнения поворота Вика к сигнатуре Минковского). Эффективное действие А/" = 1/2 суперсимметричной модели Весса-Зумино и А/" = 1/2 суперсимметричной теории Янга-Миллса изучено в наших работах ([369], [372], [374], [375]).

Неантикоммутативные деформации N = (1,1) суперсимметричных теорий в четырехмерном евклидовом гармоническом суперпространстве, которые сохраняют киралыюсть и грассманову гармоническую аналитичность и квантовые аспекты таких деформаций рассматривались в большом цикле работ (в качестве обзора см. [202]). В частности, полностью изучены как классические, так и квантовые абелевы модели калибровочного суперполя и гипермультиплетов.

За последние несколько лет большой интерес получили исследования суперконформных теорий поля в трехмерном пространстве-времени [203]. Большой интерес к этой теме был вызван работами Баггера-Ламберта-Густавссона [204] - [209], которые впервые сформулировали максимально суперсимметричную N = 8 теорию Черн-Саймонс-материи с калибровочными симметриями 517(2) х 311(2), основанными на структуре 3-алгебры Намбу-Филиппова (см., например, [383]), как эффективную теорию динамики мирового объема нескольких М2-бран. Несколько позже, Аарони-Бергман-Жаферис-Малдасена [210] предложили Зй, АЛ = 3 модели суперконформных теорий Черн-Саймонс-материи с калибровочными симметриями и (И) х и(Ы) для описания низкоэнергетической динамики системы N совпадающих М2-бран. В контексте Ас13/СЕТ соответствия теория Аарони-Бергмана-Жафериса-Малдасены при больших N должна быть дуальна динамике М-теории на х Известно, что М2-браны в 11 измерениях редуцируются к Б2-бранам в 10 размерностях компактификацией одного поперечного к М2-бране направления. Эта процедура выполняется в рамках нового хиггсовского механизма предложенного в работах [211]-[213], где было показано, что и(Ы) х и(М) теория Аарони-Бергмана-Жафериса-Малдасены редуцируется к II(Аг) суперсимметричной теории Янга-Миллса описывающей N совпадающих 132-бран. Поскольку действие суперсимметричной теории Янга-Миллса является ведущим членом в разложении по а' (струнный масштаб) неабе-левого действия БВ1, естественно ожидать что действие суперконформных теорий должно модифицироваться поправками высших производных подавленных 11-мерной массой Планка Мц или натяжением М2-браны Тт. Одним из методов построения таких поправок является конструкция эффективного квантового действия таких теорий. Для анализа динамических и квантовых свойств этих суперконформных моделей теории поля было бы крайне желательно иметь формализм, в котором максимально возможное количество суперсимметрий реализовано вне массовой оболочки и суперконформные преобразования мультиплетов имеют простую геометрическую структуру. Такие формулировки полезны, в том числе, и для построения новых нетривиальных суперконформных теорий поля.

Итак, как ясно из всего сказанного, в настоящее время существует много струнно - инспинированных гипотез о структуре низкоэнергетического эффективного действия для суперсимметричной теории Янга-Миллса и нелинейных кэлеровых и гиперкэлеро-вох сигма моделей супермультиплетов материи, которые требуют явных многопетлевых вычислений. Эта эквивалентность позволяет использовать методы суперсимметричной квантовой теории поля для изучения теории струн, а также использовать весь арсенал методов теории струн для изучения эффективного действия в теории поля. В этой работе мы развиваем явно ковариантное разложение по производным суперпространственного теплового ядра и представляем схему для вычисления однопетлевых вкладов в эффективное действие в рамках метода фонового поля для различных моделей квантовой теории поля с расширенным числом суперсимметрий. Следует особо подчеркнуть, что специфической особенностью суперполевых формулировок в терминах препотенциа-лов является их неполиномиальность, а также другие артефакты формулировки, такие например, как гармонические сингулярности. В наивном построении теории возмущений эти обстоятельства приводят к непреодолимым трудностям, связанным с необходимостью суммирования бесконечного числа супердиаграмм. Поэтому техника работы с N — 1 и гармоническими N = 2 суперграфами требует многих новых нетривиальных приемов их обработки.

Целью настоящей работы является:

• Развитие общего подхода к вычислению низкоэнергетического эффективного действия в суперсимметричной кэлеровой сигма модели

• Построение неантикоммутативных деформаций N — 1 суперсимметричных моделей и анализу их квантовых свойств, точному вычислению суперпотенциала в деформированной модели Весса-Зумино, и доказательству неренормируемости ^-произведения неантикоммутативной суперсимметричной теории поля Янга-Миллса.

• М = 4 суперсимметричная теория поля Янга-Миллса и ультрафиолетово конечные модели N — 2 суперсимметричные теории Янга-Миллса, обладающие максимально возможным количеством (супер) симметрии, привлекают особый интерес, поскольку эти симметрии накладывают жесткие ограничения на структуру квантовых поправок. В большом количестве работ эти ограничения обсуждались в секторе векторного мульти-плета. Однако требования N = 4 суперсимметрии с необходимостью приводят к задаче построения зависимости эффективного действия от полей гипермультиплета. В представленной работе эта задача решается в следующих за ведущим порядках различными методами.

• Поскольку механизм Андерсона- Хиггса - Киббла -Энглерта -Браута нарушения калибровочной симметрии все еще остается гипотетическим, и в тоже время существуют альтернативные сценарии генерации массы векторных бозонов, мы рассмотрим массивную N = 2 БУМ теорию с использованием суперполя Щтюкельберга. Изучение квантовых свойств такой модели ставит задачу эффективного калибровочно инвариантного суммирования всех однопетлевых диаграмм со всеми внешними линиями векторного мультиплета и скалярных суперполей нелинейной сигма модели. В представленной работе для сохранения калибровочной инвариантности на всех стадиях вычисления развито суперполевое обобщение инвариантной теории возмущений в моделях главного кираль-ного поля.

• Физика в 2+1 размерности обладает многими неожиданно интересными свойствами. Такие объекты как браны «М-теории являются важными, но все еще достаточно загадочными объектами. Недавно конструкция суперконформных теорий Черна - Саймонса -материи в трех измерениях привлекло большое внимание в струнном / М. сообществе, потому что они являются естественными кандидатами для дуального калибровочного описания М2 бран в М. теории. Репараметризационная инвариантность теории мирового объема позволяет откалибровать три из одиннадцати бозонных степеней свободы. Соотношения на массовой оболочке и /«-симметрия ограничивают число доступных степеней свободы фермионов. И тогда бозонные и фермионные степени свободы М2 браны составляют Н — 8 мультиплет трехмерной теории мирового объема. Как известно, общие калибровочные теории Черна - Саймонса в трех измерениях конформно инвариантны, как для чистой калибровочной теории, так и в теориях, взаимодействующих с безмассовыми полями материи. Это остается в силе даже на квантовом уровне. Тогда для построения дуального калибровочного описания М2 бран, актуальным вопросом является включение расширенных суперсимметрий в теорию Черна - Саймонса с материей, так как расширенная суперсимметрия играет важную роль в .М-теории, так же как в теории суперструн.

В ряде недавних работ [204]-[209] неабелевые модели нескольких М2-бран на основе 3-алгебр как внутренних симметрии были предложены. Теории, живущие на М2 бране конформны и это требование задает размерности полей

А„, X", Ф, е} = {-1,-1, (0.11)

Можно спросить, какую форму могут иметь преобразования суперсимметрии. Фермионные поля Ф являющиеся майорановскими спинорами в 10 + 1 измерениях удовлетворяют условиям киральности Г012Ф = — Ф. В результате Ф имеет 10 реальных фермионных компонент, эквивалентных 8 бозонным степеням свободы X1. В 2 + 1 измерениях калибровочный потенциал обычно имеет одну распространяющуюся степень свободы. Однако, для конформных моделей калибровочный потенциал не имеет канонического кинетического члена, где только член Черна - Саймонса позволен, и, следовательно, не имеет распространяющихся степеней свободы. Простой анализ размерностей предлагает, что преобразования суперсимметрии включают произведения двух, а также трех полей. Конечно, желательно, что все произведения наших полей таковы, что они замкнуты по некоторой внутренней алгебре. Единственный способ удовлетворить этому требованию состоит в минимальном предположении, что есть умножение двух и трех полей, которые принадлежат некоторому набору полей, и которые мы обозначим как А, такой, что произведение трех элементов в А должно приводить к элементу из А. Тогда мы видим, что требования замыкания преобразований суперсимметрии устанавливают умножение нового типа, известное как алгебры Филиппова-Намбу (см., например, [383]). В работах [204]-[209] максимально (т.е. N"—8) суперсимметричные теории Черна-Саймонса - материи в с!3 с 50(4) -калибровочной группой и 50(8) 11-симметрией, были построены на основе полностью антисимметричной 3-скобки Филиппова. Чтобы получить из лагран-жевого описания уравнения движения теории необходима биинвариантная невырожденная метрика, которая возникает в постулируемом билинейном скалярном произведении Тг(.,.) на 3-алгебре каЬ = Тт(Та,Ть). Лагранжиан теории Баггера-Ламберта-Густавссона (ВЬв) полностью определяется как только задан набор структурных констант /аЬс^ и биинвариантной метрики каЬ. Теория ВЬв кодирует взаимодействия трехмерного N = 8 мультиплета, состоящего из восьми скалярных полей , их фермионных суперпартнеров Ф, и нераспространяющегося калибровочного поля Поля материи в этой теории принимают значения в Л, так что X1 = Х[Та, Ф = ФаТа. Индексы 1,«/, К текут между 1,,8, и они указывают на поперечные направления М2-браны; а ее продольные направления, как хт, где тп,п = 0,1,2. Индексы а,Ь,с принимают значения 1,., ./V где N является числом образующих 3-алгебры Ли, заданной набором структурных констант /аЬс(1. Фермионные поля Ф являются майорановскими спинорами в 10 + 1 размерности и Vм = {7Т",Г/} одиннадцатимерные матрицы, удовлетворяющие гамма - алгебре Клиффорда {Гм, Г^} = 2?7МЛГ. В результате Ф имеет 16 реальных фермионных компонент эквивалентных 8 бозонным степеням свободы. Лагранжиан, построенный в [204], имеет вид

С = -^тХа{и™Х{ + ^Фа7т^тФа + 1-/аЬЫ^ЬГиХс1Ха^а (0.12) и.лаха1хихск)иегалхах^к) + \етп1(иыЛ^дпА^ + р^/Лы^А^А?, где: Т>тХа1 = дтХа1 + /ишА^ХЬ1. Теория инвариантна относительно калибровочных преобразований

5Ха1 — —/ашАЬсХат, 5Ъа = -/аьыАЬсЧ>а, (0.13)

5{1аЪЫА%) = 1аЪС1'ЪггЛаЬ, и относительно следующих преобразований суперсимметрии

5Ха1 = геГ^Ф", 5(/аЬыА%) = г/аЬ"гХа/ё7тГ/Ф6, (0.14)

5Ф" = VшX^lIinTIe + ^ГЬсЛХЪ1 Xе3 ХакТик е, где Ф и е 16-компонентные спиноры Майораны удовлетворяюшие проекционному соотношению 7012£ = с и 7012^" = —Фа соответственно. Когда 1ьаЪ положительно определена только один известный пример этой алгебраической структуры был дан в [204]. Этот важный результат построения частной модели АйБ^/СРТ^ соответствия вызвал большой поток работ с целью ослабления этих предположений и построения моделей теории поля двойственных пачке совпадающих М2-бран. Одно из направлений этого моделестроитель-ства состоит в поиске теорий с меньшим числом суперсимметрий. В [314] был построен класс Черн - Саймоне лагранжианов с N = 4 суперсимметрией. Особый интерес представляет работа [210], в которой бесконечный класс конфигураций бран на С^¡Ък орби-фолде был рассмотрен и для которых был построен низкоэнергетический эффективный лагранжиан суперконформных Черн - Саймоне теорий с 50(6) Ш-симметрией и И — 6 суперсимметрией. Полевое содержание модели Аарони-Бергмана-Жафериса-Малдасены дается четырьмя комплексными скалярными и спинорными полями, живущими в би-фундаментальном представлении {](Дг) х II(/V) калибровочной группы, в то время как динамика калибровочных полей управляется двумя действиями Черна - Саймонса на уровнях к и —к, соответственно.

В нашей работе построено классическое действие Аарони-Бергмана-Жафериса-Мал-дасены и Баггера-Ламберта-Густавссона моделей в ЛГ = 3, ¿3 гармоническом суперпространстве. Суперполевое действие включает в себя два гипермультиплета суперполей в бифундаментальном представлении калибровочной группы взаимодействующих с двумя калибровочными суперполями Черна-Саймонса, соответствующих левой и правой калибровочным группам. В такой формулировке три из шести суперсимметрий реализуются вне массовой оболочки, а остальные три, смешивающие суперполя, замкнуты на уравнениях движения. А/" = 3 суперконформная инвариантность позволяет только минимальные калибровочные взаимодействия гипермультиплетов. Такая формулировка успешно используется для изучения структуры низкоэнергетического квантового эффективного действия трехмерных суперсимметричных полевых моделей, потому что N — 3 суперсимметрии вне массовой оболочки проявляются явно на каждом шаге вычислений.

Материал диссертации организован следующим образом:

В первой главе изучается проблема систематического вычисления квантовых поправок для общих 4£> суперсимметричных кэлеровых сигма-моделей с киральными и антикиральными суперпотенциалами. Используя явно репараметризационно ковариант-ные методы (фоново-квантовое расщепление и представление собственного времени) в N = 1 суперпространстве мы покажем, как определить однозначно однопетлевое эффективное действие. Мы вводим в рассмотрение репараметризационно ковариантные производные, действующие на суперполях и доказываем, что их супералгебра аналогична алгебре в суперсимметричной теории Янга-Миллс. Эта аналогия позволяет использовать для вычисления эффективного действия в рассматриваемой теории методов, разработанных для квантовой суперсимметричной теории Янга-Миллса. Получены расходящиеся вклады в рассматриваемых моделях. Ведущий конечный вклад в разложении по степеням ковариантных производных однопетлевого эффективного действия (суперполевой аз коэффициент) вычислен.

Во второй главе дан обзор исследований квантовых аспектов суперполевых моделей на неантикоммутативном А/* = 1/2 суперпространстве. Анализируется компонентная структура общей модели кирального суперполя с учетом вкладов вспомогательных полей. Показано, что существует компактная форма записи компонентного лагранжиана модели, которая может быть рассмотрена как деформация стандартного лагранжиана Зумино с киральным и антикиральным суперпотенциалами и изучен вопрос об исключении вспомогательных полей. Получены ведущие однопетлевые квантовые поправки и показано, что для кэлерова потенциала они совпадают с результатами для недеформиро-ванной модели, а к киральному суперпотенциалу добавляются члены, явно содержащие параметр деформации.

Подробно рассмотрены голоморфные однопетлевые квантовые поправки к эффективному потенциалу в модели N = 1/2 Весса-Зумино. Точный непертурбативный результат представлен в форме интеграла по собственному времени. Проанализировано разложение этой интегральной формы в ряд по киральным полям Ф и их производным £>2Ф и предложена процедура вычисления коэффициентов разложения, основанная на Фурье преобразованиях грассмановых переменных.

Исследовано однопетлевое эффективное действие для деформированной суперсимметричной теории калибровочного поля. Используя метод фонового поля, адаптированный для работы в Л/" = 1/2 суперпространстве, мы находим эффективное действие для полей материи, взаимодействующих с фоновым калибровочным суперполем. В качестве примера точно вычислено однопетлевое эффективное действие для мультиплета полей материи на абелевом фоне, а также для суперсимметричной теории поля Янга-Миллса с калибровочной группой Б 1/(2), нарушенной до 1/(1).

В третьей главе мы изучаем эффективное действие для моделей массивного антисимметричного поля второго и третьего ранга на фоне гравитации. Эти модели классически эквивалентны массивному векторному полю и массивному скаляру, соответственно, минимально связанными с гравитацией. Мы доказываем, что эффективное действие массивного антисимметричного поля второго ранга точно эквивалентно эффективному действию массивного векторного поля и эффективное действие массивного антисимметричного тензорного поля третьего ранга точно совпадает с эффективным действием массивного скаляра. Это доказательство является обобщением теоремы Рея-Зингера для Д-кручения и оно основано на тождествах для масс-зависимых ^-функций, ассоциированных с лапласианами на римановом многообразии.

В четвертой главе рассматривается Л/* = 2 суперсимметричная теория массивного поля Янга-Миллса, сформулированная в N = 2 гармоническом суперпространстве. Приводятся различные калибровочно инвариантные формы записи массового слагаемого в действии, в частности с использованием штюкельбергова суперполя, ведущие к дуальным формулировкам теории с использованием тензорного мультиплета. Развивается калибровочно инвариантная и явно суперсимметричная схема петлевого разложения суперполевого эффективного действия вне массовой оболочки. В рамках этой схемы вычисляются калибровочно инвариантные и явно N = 2 суперсимметричные однопетлевые контрчлены, включая контрчлены, зависящие от штюкельбергова суперполя. Анализируется компонентная структура таких контрчленов.

Целью пятой главы является получение разложения по производным однопетлево-го эффективного действия А/ = 4 суперсимметрнчной теории поля Янга-Миллса, содержащей как поля А/* = 2 векторного мультиплета, так и гипермультиплетные поля. Рассматривается формулировка А/ = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса в терминах N = 1 суперполей и получено однопетлевое эффективное действие, в приближении постоянных абелевых напряженностей Етп и постоянных полей гипермульти-плетов. Полученное действие представляется в виде разложения по суперковариантным производным и переписывается в терминах N = 2 суперконформных инвариантов. В частности, таким образом получено полное АГ = 4 суперсимметричное низкоэнергетическое эффективное действие, ранее вычисленное в работе Бухбиндера И.Л., Иванова Е.А. и найдены следующие за ведущими вклады к этому действию.

Отмечается, что все полученные явно N = 2 суперсимметричные вклады, кроме ведущего, не должны обладать инвариантностью относительно классических высших N = 2 суперсимметрий, что обусловлено выбором фона и процедурой фиксации калибровки. Достаточно очевидно, что для обеспечения N = 4 суперсимметрии к полученным в преды» дущем разделе членам разложения по производным следует добавить некоторые добавочные члены с производными суперполей гипермультиплета. Эти дополнительные члены должны содержать на равных основаниях как, уже представленные в эффективном действии, компонентные поля А = \У\ из векторного мультиплета, так и отсутствующие в определении фона поля -ф — Пд\ из гипермультиплета.

В разделе 5.9 мы отмечаем необходимость деформации скрытой N = 2 суперсимметрии в виде разложения по степеням производных суперполей гипермультиплета для следующих за ведущим членами эффективного действия в А/" = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса. Используя формулировку теории в терминах N = 2 гармонического суперпространства и анализируя возможные деформации скрытых Н = 2 суперсимметрий вне массовой поверхности М = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса, мы построим, зависящее от суперполей гипермультиплетов, дополнение для члена типа Р6 в разложении Швингера-Де Витта эффективного действия. Предлагаемая процедура требует определенной деформации преобразований классической скрытой N = 2 суперсимметрии и позволяет самосогласованно получить правильный АГ = 4 суперсимметричный функционал, содержащий среди компонентных полей член

В шестой главе мы развиваем систематический подход для конструкции однопетле-вого эффективного действия А/" = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса, зависящего как от полей N — 2 векторного мультиплета, так и фоновых полей гипермультиплета. Начиная с формулировки М = 4 суперсимметричной теории в терминах А/* = 2 гармонических суперполей, мы построим однопетлевое эффективное действие, используя технику ковариантных А/" = 2 гармонических суперграфов и вычисляем его в терминах А/" = 2 гармонических суперполей для постоянной абелевой напряженности ^Ртп и соответствующих постоянных полей гипермультиплета. Гипермультиплетно - зависимое эффективное действие построено и представлено в виде интеграла по аналитическому подпространству гармонического суперпространства. Далее показано, что каждый член низкоэнергетического эффективного действия в разложении Швингера-де Витта записывается как интеграл по полному М — 2 суперпространству.

В седьмой главе изучено однопетлевое низкоэнергетическое эффективное действие в секторе гипермультиплета для N = 2 суперконформных моделей. Любая такая модель содержит А/" = 2 векторный мультиплет и некоторое количество гипермультипле-тов. Предполагается, что калибровочная группа С? нарушена до С! х К, где К является абелевой подгруппой и фоновый векторный мультиплет принадлежит подалгебре Кар-тана, соответствующей К. Найдено общее выражение для низкоэнергетического эффективного действия в форме интеграла собственного времени. Ведущие пространственно-временные зависимые вклады в эффективное действие построены и их компонентная структура в бозонном секторе анализируется. Компонентное действие содержит члены, с тремя и четырьмя пространственно-временными производными полей и имеет Черн-Саймонс-подобную форму.

В восьмой главе главе построено классическое действие Аарони - Бергмана - Жа-фериса - Малдасены (АВЛМ) модели в А/г=3, <1=2> гармоническом суперпространстве. В такой формулировке три из шести суперсимметрий реализуются вне массовой оболочки, в то время как три другие перемешивают различные суперполя и замыкаются на уравнениях движения. Суперполевое действие включает в себя два суперполя гипермультиплетов в бифундаментальном представлении калибровочной группы и два калибровочных суперполя Черна-Саймонса соответствующих левой и правой калибровочных групп. А/"=3 суперконформная инвариантность позволяет только минимальные калибровочные взаимодействия гипермультиплетов. Удивительно, но после исключения вспомогательных полей возникает правильный скалярный потенциал АВЛМ модели. Кроме оригинальной и(АГ) х и(Л0 АВЛМ модели, также построены М—?> суперполевые формулировки некоторых обобщений с другими калибровочными симметриями. Для Би (2) х Би(2) случая дано простое суперполевое доказательство расширения до А/=8 суперсимметрии и 80(8) Ы-симметрии.

И наконец, в девятой главе развит метод фонового поля для изучения классических и квантовых аспектов А/"=3, <¿=3 теорий Черн-Саймонс с материей в М=3 гармоническом суперпространстве. В качестве одного из непосредственных следствий, доказаны теоремы неренормируемости, означающие ультрафиолетовую конечность соответствующей теории возмущений. Построены пропагаторы суперполей гипермультиплета и калибровочных суперполей на фоне суперполей Черна-Саймонса. Ведущие супердиаграммы с двумя и четырьмя внешними линиями вычисляются. В отличие от несуперсимметричной теории, лидирующие квантовые поправки массивного заряженного гипермультиплета оказываются действием ЛГ=3, ¿=3 суперсимметричной теории Янга-Мшшса, а не действием Черна-Саймонса. Масса гипермультиплета индуцирована триплетом центральных зарядов Л/=3, <¿=3 супералгебры Пуанкаре.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [359]-[383].

10 Заключение

В заключении кратко сформулируем основные результаты диссертации. В работе в рамках метода фонового поля развиты общие методы построения эффективного действия для различных моделей суперсимметричной квантовой теории поля и исследования его структуры.

• Развит явно репараметризационно ковариантный метод фоново-квантового расщепления в ЛЛ=1 суперпространстве для изучения квантовых свойств Л/*=1 сигма-модели с произвольным кэлеровым потенциалом и произвольными киральным и антикиральным суперпотенциалами. Построены репараметризационно ковариантные производные, действующие на суперполях и доказано, что их супералгебра аналогична алгебре калиб-ровочно ковариантных производных в N — 1 суперсимметричной теории Янга-Миллса. Тем самым установлено соответствие N=1 сигма-модели с ЛГ=1 суперсимметричной теорией Янга-Миллса. Исследована структура однопетлевых расходимостей эффективного действия в рассматриваемой модели и показано, что на произвольном кэлеровом многообразии однопетлевые контрчлены совпадают по структуре с действием, генерирующим неабелеву аномалию в Л/"=1 суперсимметричной теории КХД. • Рассмотрен интересный, с точки зрения поиска механизмов нарушения суперсимметрии из первых принципов, класс суперполевых моделей на неантикоммутативном Л/=1/2 суперпространстве. Рассмотрены специфические особенности компонентной формулировки классических неантикоммутативных суперсимметричных моделей теории поля. В неантикоммутативной модели Весса-Зумино вычислен точный непертурбативный суперпотенциал. Развиты методы вычисления эффективного действия в неантикоммутативной суперсимметричной теории Янга-Миллса и модели общего кирального суперполя с сохранением структуры ^-произведения.

• Развита калибровочно инвариантная процедура квантования теории массивного антисимметричного тензорного поля, минимально связанного с гравитацией. Исследована общая структура эффективного действия гравитационного поля, индуцированного массивными антисимметричными полями второго и третьего ранга в произвольно искривленном пространстве-времени и доказано, что они в точности равны таковым для массивного векторного поля и массивного скалярного поля соответственно, минимально связанных с гравитационным полем , что доказывает квантовую эквивалентность классически дуальных теоретико-полевых описаний физических степеней свободы. Показано, что, если эффективное действие определено с учетом вкладов нулевых мод, разность между эффективными действиями классически эквивалентных теорий является топологическим инвариантом Гаусса-Бонне. Этот факт означает совпадение эффективных тензоров энергии-импульса рассматриваемых дуальных теорий.

• Исследована структура эффективного действия М = 2 суперсимметричной массивной теории поля Янга-Миллса, построенной с использованием нелинейной сигма-модели штюкельберговского суперполя. Развит метод фонового поля, позволяющий получить петлевое разложение эффективного действия в явно калибровочно инвариантной и N = 2 суперсимметричной форме. Изучена структура однопетлевых расходимостей рассматриваемой теории. В компонентной форме контрчлены содержат нестандартные контактные четырехвекторные взаимодействия "Новой Физики"и члены, необходимые для их суперсимметризации.

• Построено разложение по производным однопетлевого эффективного действия N = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса, содержащей как поля Л/" = 2 векторного мультиплета, так и поля гипермультиплетов. Рассмотрена формулировка N = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса в терминах N = 1 суперполей и получено калибровочно инвариантное однопетлевое эффективное действие в приближении постоянных абелевых напряженностей и постоянных полей гипермультиплетов. Найдено представление эффективного действия в виде разложения по суперковариантным производным N = 2 векторного мультиплета. В частности, таким образом получено полное N = 4 суперсимметричное низкоэнергетическое эффективное действие, ранее построенное в работе [183] и найдены следующие за ведущими поправки к этому действию. Развит самосогласованный способ получения, зависящих от гипермультиплетов дополнений и соответствующим образом деформированных преобразований скрытой суперсимметрии, обеспечивающих N = 4 суперсимметрию в следующих после ведущего членов эффективного действия N = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса.

• Исследована структура гипермультиплетной зависимости низкоэнергетического эффективного действия в N = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса, сформулированной А/ — 2 гармоническом суперпространстве. Проведена процедура квантования рассматриваемой модели и изучена структура теории возмущений. Проведено суммирование бесконечной серии ковариантных гармонических суперграфов с произвольным числом внешних линий гипермультиплета на нетривиальном фоне Л/" = 2 векторного мультиплета и установлена общая структура зависимости эффективного действия от суперполей гипермультиплета. Развит метод символов операторов в N = 2 гармоническом суперпространстве, в рамках которого вычислено однопетлевое эффективное действие в рассматриваемой теории и результат представлен в виде интеграла по аналитическому подпространству гармонического суперпространства. Показано, что каждый член разложения эффективного действия по спинорным ковариантным производным представляется как интеграл по полному N = 2 суперпространству. Как следствие, дано обоснование метода, использованного в предыдущей главе, где однопетлевое эффективное действие в секторе гипермультиплета было найдено в терминах N = 1 суперполей с использованием специальной фиксации калибровки и предложений относительно реконструкции явной N = 2 суперсимметричной формы эффективного действия.

• Построено однопетлевое низкоэнергетическое эффективное действие в N = 2 суперконформных, ультрафиолетово конечных моделях, сформулированных в гармоническом суперпространстве. Изучено эффективное действие, зависящее от фонового абелевого N = 2 суперполя векторного мультиплета и фонового суперполя гипермультиплета, удовлетворяющих специальным ограничениям, определяющим структуру вакуума в данных моделях. В рамках N = 2 суперсимметричного метода фонового поля и в предположении, что гипермультиплет удовлетворяет условиям массовой оболочки найдено универсальное выражение для эффективного действия. Для гипермультиплета за пределами ограничений массовой оболочки, построен специальный явно N = 2 суперсимметричный лидирующий вклад, который записывается как интеграл по 3/4 полного N = 2 гармонического суперпространства. В бозонном секторе модели этот вклад содержит Черн-Саймонс-подобные члены с тремя пространственно-временными производными.

• Развита суперполевая формулировка максимально суперсимметричной Л/*=6 и суперконформной теории Аарони-Бергмана-Жафериса-Малдасены с калибровочной группой и(АГ) х и(Аг) и Эи(А^) х 8и(АГ), а также некоторые ее обобщения на случай других калибровочных симметрий в гармоническом ЛЛ=3, с?=3 суперпространстве, где три 3 суперсимметрии реализованы явно вне массовой оболочки. Построены N=3 суперполевые реализации скрытых суперсимметрий и 80(6) К-симметрий теории Аарони-Бергмана-Жафериса-Малдасены и показано как эти симметрии продолжаются до Л/"=8 и Б0(8) в случае теории Баггера-Ламберта-Густавссона с калибровочной группой Эи(2) х 311(2). Одно из ярких характерных особенностей Л/"=3 формулировки состоит в том, что суперполевые уравнения движения записываются исключительно в терминах аналитических ЛГ=3 суперполей и имеют простой вид. При этом в действие явно не содержит суперполевой потенциал, что диктуется М=2> суперконформной инвариантностью. Известный скалярный потенциал шестой степени компонентной формулировки естественно возникает на массовой оболочке в результате исключения некоторых вспомогательных степеней свободы из калибровочного и гипермультиплетных суперполей. Л/=3 суперполевая формулировка предполагает простой технический критерий в том, как выбрать калибровочную группу, которая допускает существование скрытых дополнительных суперсимметрий и Ы-симметрии.

• Развит метод фонового поля для теорий Л/"=3, с2=3 Черна-Саймонса с материей. Доказана теорема неренормировки, которая гарантирует квантовую конечность такой теории. Построены суперполевые пропагаторы в этих моделях и вычисляются ведущие супердиаграммы с двумя и четырьмя внешними калибровочными и материальными концами. Показано, что на квантовом уровне, в качестве ведущих поправок к классическому действию индуцируется ЛГ=3 действие суперсимметричной теории поля Янга-Миллса и аналитический эффективный потенциал самодействия гипермультиплета, который в компонентах дает сигма- модель Тауба-НУТ для скалярного поля. Как и в четырехмерном случае, такой вклад возможен только в модели массивного заряженного гипермультиплета, с массой гипермультиплета, индуцированной центральным зарядом АГ=3, <1=3 супералгебры Пуанкаре.

Благодарности Автор глубоко признателен научному консультанту доктору физико-математическиз наук, профессору И.Л. Бухбиндеру за постоянное внимание, многолетнее сотрудничество и полезные советы в работе над диссертацией. Считаю своим приятным долгом выразить благодарность докторам физико-математических наук Е.А. Иванову, Б.М. Зупнику, и кандидатам физико-математических наук О.Д. Азоркиной, А.Т. Банину, E.H. Кирилловой и И.Б. Самсонову за плодотворное сотрудничество.

Мне повезло работать в творческой и доброжелательной атмосфере коллектива лаборатории теоретической физики ИМ им. С .Л. Соболева СО РАН, всем сотрудникам которой автор признателен за стимулирующие дискуссии. Хочется также отметить незабываемое влияние от общения с выдающимися учеными В.И. Огиевецким, Д.В. Волковым, Ф.А. Березиным.

1. Вайнберг С. Идейные основы единой теории слабых и электромагнитных взаимодействий /С. Вайнберг // Успехи физических наук. -1980. Т. 132. - С. 201-217.

2. Глэшоу Ш. На пути к объединенной теории —нити в гобелене /Ш. Глэшоу // Успехи физических наук. -1980. Т. 132. - С. 219-228.

3. Салам А. Калибровочное объединение фундаментальных сил /А. Салам // Успехи физических наук. -1980. Т. 132. - С. 229-253.

4. Вайнштейн А.И. Перенормируемые модели электромагнитных и слабых взаимодействий / А.И. Вайнштейн, И.Б. Хриплович // Успехи физических наук. -1974. Т. 112. - С. 685-709.

5. Mann R. An Introduction to Particle Physics and the Standard Model / R. Mann. -CRT Press, 2010. 592 p.

6. Frishman Y. Non-Perturbative Field Theory: from two-dimensional conformal field theory to QCD in four dimensions /Y. Frishman, J. Sonnenschein. Cambridge University Press, 2010. - 436 p.

7. Гросс Д.Дж. Открытие асимптотической свободы и появление КХД /Д.Дж. Гросс // Успехи физических наук. -2005. Т. 175. - С. 1306-1318.

8. Политдер Х.Д. Нелегкая задача установления авторства / Х.Д. Политцер // Успехи физических наук. -2005. Т. 175. - С. 1319-1324.

9. Вильчек Ф.А. Асимптотическая свобода: от парадоксов к парадигмам / Ф.А. Виль-чек // Успехи физических наук. -2005. Т. 175. - С. 1325-1337.

10. Shifman М. Understanding Confinement in QCD: Elements of a Big Picture / M. Shifman // International Journal of Modern Physics A. -2010. -V.25. -P. 4015-4031.

11. Mandelstam S. Vortices and Quark Confinement in Nonabelian Gauge Theories / S. Mandelstam // Physics Reports 1976.- V.23.- P. 245-249.

12. Seiberg N. Electric magnetic duality, monopole condensation, and confinement in N=2 supersymmetric Yang-Mills theory/ N. Seiberg, E. Witten // Nuclear Physics B. - 1994.-V. 426. P. 19-52; Erratum-ibid. B. - 1994.- V.430. P. 485-486.

13. Polyakov A.M. The Wall of the cave / A.M. Polyakov // International Journal of Modern Physics A. 1999. -V.14.- P.645-658.

14. McGreevy J. Holographic duality with a view toward many-body physics / J. McGreevy // Advances in High Energy Physics.- 2010. V. 2010.- P.723105.

15. Рубаков B.A. Физика частиц и космология: состояние и надежды / В.А. Рубаков // Успехи физических наук. -1999. Т. 169. - С. 1299-1309.

16. Kazakov D.I. Supersymmetry on the Run: LHC and Dark Matter / D.I. Kazakov // Nuclear Physics В Proceedings Supplements.- 2010. - V. 203-204.- P.118-154.

17. Mohapatra R.M. Unification and Supersymmetry: Frontiers of quark-lepton physics /R.M. Mohapatra. Springer, 1996. - 405 pages.

18. Binetruy P. Supersymmetry: theory, experiment, and cosmology/ P. Binetruy. Oxford University Press, 2006. - 520 p.

19. M. Dress, R.M. Godbole, P. Roy, Theory and Phenomenology of Superparticles: An account of four-dimensional N=1 supersymmetry in high energy physiscs /М. Dress, R.M. Godbole, P. Roy. World Scientific, 2004. - 555 p.

20. Рубаков B.A. Большие и бесконечные дополнительные измерения / B.A. Рубаков // Успехи физических наук. -2001. Т. 171. - С. 913-938.

21. Барвинский А.О. Космологические браны и макроскопические дополнительные измерения / А.О. Барвинский //Успехи физических наук. -2005. Т. 175. - С. 569-601.

22. Маршаков А.В. Теория струн или теория поля? / А.В. Маршаков // Успехи Физ. Наук. 2002. Т. 172. - С. 977-1020.

23. Schwarz J.H. Status of Superstring and M-Theory / J.H. Schwarz // Lectures presented at the Erice 2008 International School of Subnuclear Physics. -2008.- arXiv:0812.1372 hep-th]

24. Морозов А.Ю. Теория струн что это такое?/ А.Ю. Морозов// Успехи Физ. Наук. -1992. Т. 162. С. 83-175.

25. Horowitz G.T. Gauge/gravity duality / G.T. Horowitz, J. Polchinski //To appear in 'Towards Quantum Gravity1. Edited by D. Oriti. Cambridge University Press. In *Oriti, D. (ed.): Approaches to quantum gravity* 169-186. e-Print: gr-qc/06020371.t

26. Weinberg S. Witten, E. Limits on massless particles /S. Weinberg, E. Witten // Physics

27. Letters B. 1980.- V.96.- P. 59-62.29. 't Hooft G. Dimensional reduction in quantum gravity / G. 't Hooft // arXivrgr-qc/9310026.

28. Susskind L. The world as a hologram / L. Susskind // Journal of Mathematical Physics.-1995. -V.36. P. 6377-6396.

29. Maldacena J.M. The Large N limit of superconformal field theories and supergravity/ J.M. Maldacena// Advances in Theoretical and Mathematical Physics. -1998.- V. 2 P. 231-252.

30. Gubser S.S. Gauge theory correlators from non-critical string theory / S.S. Gubser, I.R. Klebanov and A.M. Polyakov // Physics Letters B. 1998. -V.428. - P.105.

31. Witten E. Anti-de Sitter space and holography / E. Witten // Advances in Theoretical and Mathematical Physics. 1998. - V.2. - P.253.

32. Witten E. Quantum Field Theory and the Jones Polynomial / E. Witten // Communications in Mathematical Physics. 1989. - V. 121. -P.351.

33. Beisert N. Review of AdS/CFT Integrability: An Overview / N. Beisert et al. // e-Print: arXiv:1012.3982 hep-th],

34. Parke S. J. An Amplitude for n Gluon Scattering / S. J. Parke and T. R. Taylor // Physical Review Letters. -1986.- V.56. -P. 2459.

35. Nair V. P. A current algebra for some gauge theory amplitudes /V. P. Nair // Physics Letters B. -1988.- V.214.- P. 215.

36. Bern Z. One-Loop n-Point Gauge Theory Amplitudes, Unitarity and Collinear Limits /Z. Bern, L. J. Dixon, D. C. Dunbar and D. A. Kosower // Nuclear Physics B. 1994-V.425. -P. 217.

37. Anastasiou C. Planar amplitudes in maximally supersymmetric Yang-Mills theory/ C. Anastasiou, Z. Bern, L.J. Dixon, D.A. Kosower // Physics Review Letters .-2003.- V.91. -P.251602.

38. Alday L.F. Gluon scattering amplitudes at strong coupling / L.F. Alday, J.M. Maldacena // Journal of High Energy Physics .-2007.- V. 0706. -P. 064.

39. Bern Z. Iteration of planar amplitudes in maximally supersymmetric Yang-Mills theory at three loops and beyond / Z. Bern, L.J. Dixon, V.A. Smirnov // Physical Review D.-2005.- V.72.- P.085001.

40. Kotikov A. V. Three-loop universal anomalous dimension of the Wilson operators in N = 4 SUSY Yang-Mills model / A. V. Kotikov, L. N. Lipatov, A. I. Onishchenko and V. N. Velizhanin // Physics Letters В.- 2004.- V. 595. -P. 521.

41. Котиков А. В. Аномальные размерности вильсоновских операторов в N=4 суперсимметричной теории Янга-Миллса /А. В. Котиков, JI. Н. Липатов, А. И. Онищен-ко, В. Н. Велижанин // Теоретическая и Математическая Физика.- 2007.- том 150.- с. 249-262.

42. Bork L.V. Infrared Safe Observables in N = 4 Super Yang-Mills Theory/ L.V. Bork, D.I. Kazakov, G.S. Vartanov A.Y. Zhiboedov // Physics Letters В.- 2009.- V.681. P.-296-303.

43. Bork L.V. Construction of Infrared Finite Observables in N = 4 Super Yang-Mills Theory / L.V. Bork, D.I. Kazakov, G.S. Vartanov, A.V. Zhiboedov // Physical Review D.- 2010. -V.81 .-P. 105028.

44. Heisenberg W. Consequences of Dirac's theory of positrons/ W. Heisenberg, H. Euler// Zeitschrift fur Physik 1936. - V.98. - P. 714-732, e-Print: physics/0605038]

45. Schwinger J.S. On gauge invariance and vacuum polarization / J.S. Schwinger // Physical Review 1951.- V. 82.- P. 664-679. Новейшее развитие квантовой электродинамики, М.: Изд.Иностр.Лит., 1954,- 254-283.

46. Weinberg S. The Quantum Theory of Fields Vol. 1: Foundations / S. Weinberg. -Cambridge Univ. Press, 1995. 609 p.

47. Weinberg S. The Quantum Theory of Fields Vol. 2: Modern applications / S. Weinberg.- Cambridge Univ. Press, 1996. 489 p.

48. Weiberg S. The Quantum Theory of Fields, Vol. III. Supersymmetry / S. Weiberg. -Cambridge University Press, 2000. 419 p.

49. Peskin M. An Introduction to Quantum Field Theory /M.Peskin and D.Schreder.-Addison-Wesley Pub. Company, 1995; (Russian Edition, Izhevsk, RC Dynamics, 2001).

50. Buchbinder I.L. Effective Action in Quantum Gravity/ I.L. Buchbinder, S.D. Odintsov, I.L. Shapiro. Bristol and Philadelphia: IOP Publishing, 1992. - 413 p.

51. De Witt B.S. Dynamical theory of groups and fields / B.S. De Witt. New York: Gordon and Breach, 1965. - 230 p.

52. B.S. DeWitt, The Global Approach to Quantum Field Theory, The International Series of Monographs on Physics, 114 (2003), Oxford University Press, Oxford, 2003.

53. Боголюбов H.H. Введение в теорию квантованных полей / H.H. Боголюбов, Д.В. Ширков. М.: Наука, 1973. - 416 с.

54. Славнов А.А. Введение в теорию квантовых калибровочных полей / А.А. Славнов, Л.Д. Фаддеев.- М.: Наука, 1978. 240 с.

55. Арефьева И.Я. Производящий функционал для S матрицы в калибровочных теориях / И.Я. Арефьева, Л.Д. Фаддеев, А.А. Славнов // Теоретическая и.математическая физика.- 1974. Т. 21. -С. 311-321.I

56. Kallosh R. Е. The Renormalization in Nonabelian Gauge Theories/ R. E. Kallosh // Nuclear Physics В. -1974,- V. 78. P. 293.

57. Tyutin I.V. Gauge Invariance in Field Theory and. Statistical Physics in Operator Formalism / I.V. Tyutin // LEBEDEV-75-39.- 1975.- 62pp.; e-Print: arXiv:0812.0580 hep-th]\

58. Биррелл H. Квантованные поля в искривленном пространстве./ Н. Биррелл , П. Девис М.: Мир, 1984. - 356с.

59. Лавров П.М. О структуре перенормировок в калибровочных теориях / П.М. Лавров, И.В. Тютин // Ядерная физика. 1981. - Т. 34. С. 277- 284.

60. Воронов Б. Л. Канонические преобразования и зависимость от калибровки в калибровочных теориях общего вида / Б.Л. Воронов. П.М. Лавров, И.В. Тютин // Ядерная физика. : 1982.- Т. 36. С. 498 -508.

61. Vilkovisky G.A. The unique effective action in quantum field theory / G.A. Vilkovisky // Nuclear Physics B. 1984. - V. 234,- P. 125-137.

62. Vilkovisky G.A. The Gospel according to De Witt / G.A. Vilkovisky // in: Quantum Gravity, Ed. S. Christensen, Bristol: Hilger, 1983. P. 169-209.

63. Buchbinder I.L. Unique Effective Action in Kaluza Klein Quantum Theories and Spontaneous Compactification /I.L. Buchbinder, P.M. Lavrov, S.D. Odintsov // Nuclear Physics B. -1988. - V. 308. - P. 191 - 202.

64. De Witt B.S. The effective action / B.S. De Witt // Architecture of fundamental interactions at short distances Eds. P. Ramond and R. Stora. Amsterdam: North Holland.- 1987.- P. 1023-1057.

65. Fock V.A. The proper time in classical and quantum mechanics / V.A. Fock // Izvestiya of USSR Academy of Sciences, Physics. 1937.- No 4,5, P. 551-568.

66. Minakshisundaram S. Eigen functions on Riemannian manifold / S. Minakshisundaram // Journal of the Indian Mathematical Society -1953.- V. 17. -P. 159-165.

67. Seeley R.T. Complex powers of an elleptic operator/ R.T. Seeley // Proc.Symp.Pure Math. -1967.- V.10.- P.288-307.

68. Atiyah M.F. On the heat equation and the index theorem / M.F. Atiyah, R. Bott, V.K. Patodi // Invert.Math. -1973.- V.19.- P. 279-330.

69. Gilkey P.B. The spectral geometry on a Riemannian manifold/ P.B. Gilkey // Journal of Differential Geometry -1975.- V.110.- P.601-618.

70. Березин Ф.А. Уравнение Шредингера / Ф.А. Березин, М.А. Шубин. М.: Изд. Моск. Унив., 1983. - 392 с.

71. Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория/ М.А. Шубин. -М.: Наука, 1978.-350 с.

72. Маслов В.П. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики / В.П. Маслов, М.В. Федорюк. -М.: Наука, 1976.- 296 с.

73. Харт Н. Геометрическое квантование в действии / Н. Харт. -М.: Мир, 1985.- 343 с.

74. Barvinsky А.О. The generalized Schwinger-De Witt technique in gauge theories and quantum gravity / A.O. Barvinsky and G.A. Vilkovisky // Physics Reports C. 1985. - V. 119. - P. 1-74.

75. Avramidi I.G. Heat kernel and quantum gravity / I.G. Avramidi// Lecture Notes in Physics, New Series m: Monographs 2000.- V. m64. - P. 1-149.

76. Elizalde E. Zeta Regularization Techniques with Applications/ E. Elizalde, S.D. Odintsov, A. Romeo, A.A. Bytsenko and S. Zerbini // World Scientific, Singapore-New Jersey-London-Hong Kong 1994. - P. 319.

77. Jack I. Two-loop background field calculations for arbitrary background fields / I. Jack and H. Osborn // Nuclear Physics B. 1982,- V. 207.- P. 474-504.

78. Bornsen J.P. Three loop Yang-Mills beta function via the covariant background field method / J.P. Bornsen, A. E.M. van de Ven // Nuclear Physics B. 2003.- V.657. -P.257-303.

79. Gates S. J. Superspace, Or One Thousand and One Lessons in Supersymmetry / S. J. Gates, M. T. Grisaru, M. Rodek and W. Siegel. Benjamin/Cummings, 1983. - 548 p.

80. Siegel W. Fields / W. Siegel // e-Print: hep-th/9912205

81. Buchbinder I.L. Ideas and Methods of Supersymmetry and Supergravity or a Walk Through Superspace/ I.L. Buchbinder, S.M. Kuzenko. IOP Publishing, Bristol and Philadelphia, 1998. - 656 p.

82. Wess J. Supersymmetry and Supergravity (Revised Edition) / J. Wess and J. Bagger.-Princeton University Press, 1992.- 260 p.301

83. Kuzenko S.M. On the background field method beyond one loop: A Manifestly covariant derivative expansion in super Yang-Mills theories / S.M. Kuzenko, Ian N. McArthur / / Journal of High Energy Physics. 2003. - V. 0305. -P. 015.

84. Buchbinder I.L. The Background field method for N=2 sup er Yang-Mills theories in harmonic superspace / I. L. Buchbinder, E. I. Buchbinder, S. M. Kuzenko and B. A. Ovrut // Physics Letters B. 1998,- V. 417.- P. 61-71.

85. Buchbinder I.L. Effective action of the N=2 Maxwell multiplet in harmonic superspace / I.L. Buchbinder, E.I. Buchbinder, E.A. Ivanov, S.M. Kuzenko, B. A. Ovrut // Physics Letters B. 1997. - V.412. - P. 309-319.

86. Buchbinder I.L. On the D = 4, N=2 nonrenormalization theorem / I. L. Buchbinder, S. M. Kuzenko and B. A. Ovrut // Physics Letters B. 1998.- V.433. - P. 335-345.

87. Buchbinder E.I. Central charge as the origin of holomorphic effective action in N=2 gauge theory / E.I. Buchbinder, I.L. Buchbinder, E.A. Ivanov, S.M. Kuzenko // Modern Physics Letters A. 1998. - V. 13.- P.1071-1082.

88. Eremin S. Holomorphic effective action of N=2 SYM theory from, harmonic superspace with central charges / S. Eremin, E. Ivanov // Modern Physics Letters A. 2000. - V.15. -P. 1859-1878.

89. Howe P.S. Miraculous Ultraviolet Cancellations in Supersymmetry Made Manifest / P.S. Howe, K.S. Stelle, P.K. Townsend // Nuclear Physics B. 1984. - V.236.- P. 125.

90. Волков Д.В. Возможное универсальное взаимодействие нейтрино / Д.В. Волков, И.П. Акулов // Письма в ЖЭТФ. 1972.- Т. 16. - С. 438-440.

91. Гольфанд Ю.А. Расширение алгебры генераторов группы Пуанкаре и нарушение Р-инвариантности / Ю.А. Гольфанд, Е. П. Лихтман // Письма в ЖЭТФ. 1971. -Т. 13. - С.323-326.

92. Огиевецкий В.И. Симметрии между бозонами и фермионами и суперполя / В.И. Огиевецкий, Л. Мезинческу // Успехи физических наук .-1975. Т. 117. - С. 637-683.

93. Galperin A.S. Harmonic Superspace / A.S. Galperin, E.A. Ivanov, V.l. Ogievetsky and E.S. Sokatchev. Campridge, UK: Univ. Press. 2001. - 306 p.

94. Бухбиндер Е.И. Низкоэнергетическое эффективное действие в N=2 суперсимметричных теориях поля / Е.И. Бухбиндер, И.Л. Бухбиндер, Е.А. Иванов, С.М. Ку-зенко и Б.Ф. Оврут // Физика элементарных частиц и атомного ядра.- 2001.- Т. 32. С. 1222- 1290.

95. Грин М. Теория суперструн / М. Грин, Дж. Шварц, Е. Виттен. М.: Мир, 1990. -518 с.

96. Polchinski J. String theory, Vol. 1,2 / J. Polchinski. Cambridge, UK: Univ. Pr. 1998: -402, 531 p.

97. Galperin A1. Harmonic Supergraphs. Feynman Rules and« Examples / A. Galperin, E. Ivanov, V. Ogievetsky, E. Sokatchev // Classical and Quantum Gravity. 1985. -V. 2.-P.617-630.

98. Zupnik B.M. Solution Of Constraints, Of Supergauge Theory In The Harmonic Su(2)/U(l) Superspace / B:M. Zupnik // Theoretical and Mathematical Physics.- 1986.-V. 69. P.1101-1105.

99. Zupnik B.M. The Action Of The Supersymmetric N=2 Gauge Theory In Harmonic Superspace / B1M. Zupnik // Physics Letters B. 1987. -V. 183. -P.175-176:

100. Binetruy P. Supergravity couplings: A Geometric formulation / P. Binetruy, G. Girardi, R. Grimm // Physics Reports.- 2001. V. 343. P. 255-462.

101. Dragon N. N=2 rigid supersymmetry with gauged central charge / N. Dragon, E. Ivanov, S. Kuzenko, E. Sokatchev, U. Theis // Nuclear Physics B. 1999.- V.-538. -P. -411-450.

102. Grana M.Flux compactifications in string theory: A Comprehensive review / M. Grana // Physics Reports. 2006 V.423. - P. 91-158.

103. Иванов E.A. Отображение "конформные теории-АсШ-браны" или еще один аспект AdS/CFT-соответствия / Е.А. Иванов // Теоретическая и математическая физика.-2004. Т. 139.- С.77-95.

104. Seiberg N. The Power of Holomorphy: Exact Results in 4D SUSY Field Theories / N. Seiberg // e-Print: hep-th/9408013. 1994. - P. 1-13.

105. Seiberg N. Naturalness versus supersymmetric nonrenormalization theorems / N. Seiberg // Physics Letters B. -1993.- V. 318. P. 469-475.

106. Seiberg N. Supersymmetry and Nonperturbative beta Functions / N. Seiberg // Physics Letters B. 1988.-V. 206. P. 75-80.

107. Argyres P.G. The Moduli Space of N = 2 SUSY QCD and Duality in JV = 1 SUSY QCD /Р.С. Argyres, M.R. Plesser, N. Seiberg // Nuclear Physics В. 1996.- V. 471. P. 159-194.

108. Argyres P.O. N=2 moduli spaces and N=1 dualities for SO(n(c)) and USp(2n(c)) superQCD. / P.O. Argyres, M.R. Plesser and A.D. Shapere // Nuclear Physics B. -1997.- V.483. P.172-186.

109. Ivanov E.A. Induced hypermultiplet selfinteractions in N=2 gauge theories/ E.A. Ivanov, S.V. Ketov, B.M. Zupnik // Nuclear Physics B. 1998. - V. 509. P. 53-82.

110. Osborn H. Topological Charges for N=4 Supersymmetric Gauge Theories and Monopoles of Spin 1 / H. Osborn // Physics Letters B. 1979. V. 83. -P. 321-330.

111. Henningson M. Extended superspace, higher derivatives and SL(2,Z) duality / M. Henningson // Nuclear Physics B. 1996. - V.458. -P.445-455.

112. Dine M. Comments on higher derivative operators in some SUSY field theories / M. Dine, N: Seiberg // . Physics Leters B. -1997.- V. 409. P. 239-244.

113. Yung A. Higher derivative terms in the effective action of N=2 SUSY QCD from instantons / A. Yung // Nuclear Physics B. 1998. - V. 512. - P.79-102.

114. Dorey N. Instantons, higher derivative terms, and nonrenormalization theorems in supersymmetric gauge theories / N. Dorey, V.V. Khoze, M.P. Mattis, M.J. Slater, W.A. Weir // Physics Letters B. 1997. - V.408. -P. 213-221.

115. Buchbinder I.L. Comments on the background field method in harmonic superspace: Nonholomorphic corrections in N=4 SYM / I.L. Buchbinder, S.M. Kuzenko // Modern Physics Letters A. -1998.- V.13.- P.1623-1636.

116. Buchbinder E.I. Nonholomorphic effective potential in N=4 SU(n) SYM / E.I. Buchbinder, I.L. Buchbinder, S.M. Kuzenko // Physics Letters B. 1999. - V.446. -P.216-223.

117. Lowe D.A. Constraints on higher derivative operators in maximally supersymmetric gauge theory / D.A. Lowe, R. von Unge // Journal of High Energy Physics. -1998. V. 9811. - P.014.

118. Fradkin E.S. Quantum Properties Of Higher Dimensional And Dimensionally Reduced Supersymmetric Theories / E.S. Fradkin, A.A. Tseytlin // Nuclear Physics B. 1983. -V. 227. -P.252.

119. Бухбиндер И.Л. Расходимости эффективного действия во внешнем суперкалибровочном поле . И.Л. Бухбиндер // Ядерная физика.- 1982. -Т. 36.- С. 509-512.

120. Ohrndorf Т. An Example Of An Explicitly Calculable Supersymmetric Low-Energy Effective Lagrangian: The Heisenberg-Euler Lagrangian Of Supersymmetric Qed / T. Ohrndorf// Nuclear Physics B. 1986. - V.273. -P.165.t

121. Ohrndorf T. The Effective Lagrangian Of Supersymmetric Yang-Mills Theory/ T. Ohrndorf // Physics Letters B. -1986. -V.176. P.421.

122. Кузенко C.M. Суперполевое эффективное действие в N=1, D = 4 суперсимметричных калибровочных теориях / С.М. Кузенко, Ж.В. Яревская // Ядерная физика.-1993.- Т.56 С. 193-200.

123. Kuzenko S.M. Supersymmetric Euler-Heisenberg effective action: Two-loop results / S.M. Kuzenko, S.J. Tyler // Journal of High Energy Physics.- 2007.- V. 0705. P.081.

124. McArthur I.N. A 'Gaussian' approach to computing supersymmetric effective actions/ I.N. McArthur, T.D. Gargett // Nuclear Physics B. -1997. V.497. P. 525-540.

125. Jack I. Not the no-renormalization theorem? / I. Jack, D.R.T. Jones, P. West // Physics Letters B. 1991. - V.258. - P.382-385.

126. Buchbinder I.L. Supersymmetric effective potential: Superfield approach / I.L. Buchbinder, S. Kuzenko, Zh. Yarevskaya // Nuclear Physics В. -1994. V.411. -P. 665692.

127. Бухбиндер И.JI. Суперполевой эффективный потенциал в двухпетлевом приближении / И.Л. Бухбиндер, С.М. Кузенко, А.Ю. Петров // Ядерная физика. 1996. -Т. 59. No 1. -С. 157-162.

128. Buchbinder I.L. Superfield Chiral Effective Potential / I.L. Buchbinder, S.M. Kuzenko, A.Yu. Petrov // Physics Letters В.- 1994. V. 321. P. 372 - 377.

129. Buchbinder I.L. Holomorphic effective potential in general chiral superfield model / I.L. Buchbinder, A.Yu. Petrov // Physics Letters В.- 1999. V. 461.- P. 209 - 217.

130. Buchbinder I.L. One-loop effective potential of N=1 supersymmetric theory and decoupling effects / I.L. Buchbinder, M. Cvetic, A.Yu. Petrov // Nuclear Physics B. -2000. Y. 571. - P. 358 - 418.

131. Grisaru M.T. Effective Kahler potentials / M.T. Grisaru, M. Rocek, R. von Unge // Physics Letters B. 1996. - V.383.- P.415-421.

132. Buchbinder I.L. Superfield chiral effective potential / I.L. Buchbinder, S.M. Kuzenko, A.Yu. Petrov // Physics Letters B. 1994. - V.321. -P. 372-377.

133. Pickering A. The One Loop Effective Super-Potential and Non-Holomorphicity / A. Pickering, P. West // Physics Letters В.- 1996. V. 383.- P. 54-62.

134. Kuzenko S.M. On the two loop four derivative quantum corrections in 4-D N=2 superconformal field theories / S.M. Kuzenko, I.N. McArthur // Nuclear Physics B. 2004. - V.683. -P.3-26.

135. Kuzenko S.M. Exact propagators in harmonic superspace / S.M. Kuzenko // Physics Letters B. 2004. - V.600. -P.163-170.

136. Kuzenko S.M. Quantum metamorphosis of conformal symmetry in N=4 super Yang-Mills theory / S.M. Kuzenko, I.N. McArthur // Nuclear Physics B. 2002. -V.640.-P.78-94.

137. Kuzenko S.M. On quantum deformation of conformal symmetry: Gauge dependence via field redefinitions / S.M. Kuzenko, I.N. McArthur // Physics Letters B. 2002. -V.544. - P. 357-366.

138. Kuzenko S.M. Low-energy dynamics from deformed conformal symmetry in quantum 4-D N=2 SOFTS / S.M. Kuzenko, I.N. McArthur and S. Theisen // Nuclear Physics В.-2003- V. 660.- P. 131-155.

139. Gopakumar R. From free fields to AdS / R. Gopakumar // Physical Review D. 2004.-V.70. -P.025009.

140. Gorsky A. From effective actions to the background geometry / A. Gorsky, V. Lysov // . Nuclear Physics В.- 2005.- V.718 P.293-318.

141. Fradkin E.S. Nonlinear Electrodynamics from Quantized Strings/ E.S. Fradkin and A.A. Tseytlin // Physics Letters B. -1985.- V. 163. P. 123

142. Metsaev R.R. On Loop Corrections To String Theory Effective Actions / R.R. Metsaev,

143. A.A. Tseytlin// Nuclear Physics B.-1988. V. 298. -P. 109.

144. Tseytlin A.A. Born-Infeld action, supersymmetry and string theory/ A.A. Tseytlin // e-Print: hep-th/9908105.

145. Born M. Quantum theory of the electromagnetic field / M. Born //Proceedings of the Royal Society A. 1934. - V.143. -P.410-437.

146. Born M. Foundations of the new field theory / M. Born, L. Infeld // Proceedings of the ' Royal Society A. 1934. -V.144.- P. 425-451.

147. Gonzalez-Rey F. Self-dual effective action of N = 4 super-Yang-Mills / F. Gonzalez-Rey,

148. B. Kulik, I. Y. Park and M. Rocek // Nuclear Physics В.- 1999.- V.544. P. 218-242.

149. Kuzenko S. M. Supersymmetric duality rotations/ S. M. Kuzenko, S. Theisen // Journal of High Energy Physics. 2000.- V. 0003.- P.034,

150. Ivanov E.A. Я = 3 Supersymmetric Born-Infeld theory / E.A. Ivanov, B.M. Zupnik // Nuclear Physics В.- 2001.- V.618. P.3-20.

151. Ivanov E. Towards higher N superextensions of Born-Infeld theory / E. Ivanov // Известия Вузов. Физика. 2002. - T.7. - C.47-56.

152. Cecotti S. Supersymmetric Born-Infeld Lagrangians / S. Cecotti, S. Ferrara // Physics Letters B. 1987.- V. 187.- P.335.

153. Bergshoeff E.A. Towards a supersymmetric nonAbelian Born-Infeld^ theory / E.A. Bergshoeff, M. de Roo, A. Sevrin // International Journal of Modern Physics A. 2001. -V.16.- P.750-758.

154. Ketov S.V. A Manifestly N=2 supersymmetric Born-Infeld action / S.V. Ketov // Modern Physics Letters A. 1999. - V.14. -P.501-510.

155. Ketov S.V. N=1 and N=2 supersymmetric nonAbelian Born-Infeld actions from superspace / S.V. Ketov // Physics Letters B. 2000. -V. 491. - P.207-213.

156. Refolli A. NonAbelian N=2 supersymmetric Born-Infeld action / A. Refolli, N. Terzi,

157. D. Zanon // Physics Letters B. 2000. - V.486. -P. 337-345.

158. Bellucci S. Superworldvolume dynamics of superbranes from nonlinear realizations / S. Bellucci, E. Ivanov, S. Krivonos // Physics Letters B. 2000. - V.482. -P.233.

159. Bellucci S. N=2 and N=4 supersymmetric Born-Infeld theories from nonlinear realizations / S. Bellucci, E. Ivanov, S. Krivonos // Physics Letters B.- 2001.- V. 502.-P.279-290.

160. Bellucci S. Towards the complete N=2 superfield Born-Infeld action with partially broken N=4 supersymmetry / S. Bellucci, E. Ivanov, S. Krivonos // Physical Review D. 2001. - V.64. -P.025014.t

161. Aharony O. Large N field theories, string theory and gravity / O. Aharony, S.S. Gubser, J.M. Maldacena, H. Ooguri and Y. Oz // Physics Reports, 2000.- V. 323.- P. 183-386.

162. D'Hoker E. Supersymmetric Gauge Theories and the ADS/CFT Correspondence /

163. E.D'Hoker, D.Z. Freedman// e-Print: hep-th/0201253.

164. Chepelev I. Long distance interactions of branes: Correspondence between supergravity and superYang-Mills descriptions / I. Chepelev, A.A. Tseytlin // Nuclear Physics B. -1998.- V. 515.-P. 73-113.

165. Paban S. Supersymmetry and higher derivative terms in the effective action of Yang-Mills theories / S. Paban, S. Sethi and M. Stern // Journal of High Energy Physics. -1998.- V.9806. -P. 012.

166. Drummond J.M. Integral invariants in N=4 SYM and the effective action for coincident D-branes / J.M. Drummond, P.J. Heslop, P.S. Howe, S.F. Kerstan// Journal of High Energy Physics. 2003.- V. 0308.- P.016.

167. Buchbinder I.L. On low-energy effective actions in N=2, N=4 superconformal theories in four-dimensions / I.L. Buchbinder, S.M. Kuzenko, A.A. Tseytlin // Physical Review D. 2000.- V.62. -P. 045001.

168. Buchbinder I.L. Two loop N=4 super Yang-Mills effective action and interaction between D3-branes / I.L. Buchbinder, A.Yu. Petiov, A.A. Tseytlin // Nuclear Physics B. -2002.-V. 621.- P. 179-207.

169. Buchbinder I.L. Complete N=4 structure of low-energy effective action in N=4 superYang-Mills theories / I.L. Buchbinder, E.A. Ivanov // Physics Letters В.- 2002.-V. 524.- P. 208-216.

170. Buchbinder I.L. Complete low-energy effective action in N=4 SYM: A Direct N=2 supergraph calculation / I.L. Buchbinder, E.A. Ivanov, A.Yu. Petrov // Nuclear Physics В.- 2003.- V.653.- P. 64-84.

171. Ketov S.V. Quantum Nonlinear Sigma Models: From Quantum Field Theory to Supersymmetry, Conformal Field Theory, Black Holes and Strings / S.V. Ketov // Berlin, Germany: Springer, 2000. 420 p.

172. Волков Д.В. Феноменологические лагранжианы / Д.В. Волков // Физика элементарных частиц и атомного ядра 1973.- Т. 4.- С. 3-41.

173. Zumino В. Supersymmetry and Kahler manifolds / В. Zumino // Physics Letters B.-1979.- V. 87.- P. 203.

174. Alvarez-Gaume L. Geometrical structure and ultraviolet finiteness in the supersymmetric sigma model / L. Alvarez-Gaume, D.Z. Freedman // Communications in Mathematical Physics.- 1981.- V. 80. P. 443.

175. N.J. Hitchin, A. Karlhede, U. Lindstrom and M. Rocek/ Hyperkahler metrics and supersymmetry// Communications in Mathematical Physics.- 1987.-V. 108.- P.535.

176. Bagger J. Matter coupling in N=2 supergravity / J.Bagger, E. Witten // Nuclear Physics B. -1983. -V. 222. -P. 1.

177. Kuzenko S.M. Lectures on nonlinear sigma-models in projective superspace /S.M. Kuzenko // Journal of Physics A .- 2010.- V. 43.- P.443001.

178. Seiberg N. String theory and noncommutative geometry / N. Seiberg, E. Witten // Journal of High Energy Physics. 1999.- V.9909. - P.032-132.

179. Douglas M.R. Noncommutative Field Theory /M.R. Douglas, N.A. Nekrasov // Reviews of Modern Physics. 2002. - V. 73. - P. 977-1029.

180. Seiberg N. Noncommutative Superspace, N = | Supersymmetry, Field Theory and String Theory / N. Seiberg // Journal of High Energy Physics.- 2003. V. 0306. -P.010-29.

181. Ooguri H. The C-Deformation of Gluino and Non-planar Diagrams / / H. Ooguri, C.Vafa // Advances in Theoretical and Mathematical Physics. 2003. - V.7. - P.53-85.

182. Ooguri H., Vafa C., Gravity induced C-deformaion. // Advances in Theoretical and Mathematical Physics, 2004, Vol.7. p.405-417.

183. Britto R. Deformed Superspace, N = \ Supersymmetry and (Non)Renormalization Theorems / R'. Britto, B. Feng, S-J. Rey // Journal of High Energy Physics. 2003. -V. 0307. P. 067.

184. Grisaru M. Two-loop Renormalization for Nonanticommutative N = | Supersymmetric WZ Model / M. Grisaru, S. Penati, A. Romagnoni // Journal of High Energy Physics. 2003. - V.0308. - P. 003-039.

185. Lunin O. Renormalizability of Non(anti)commutative Gauge Theories with N = \ Supersymmetry / O. Lunin, S.-J. Rey // Journal of High Energy Physics. 2003. -V. 0309. - P. 045-066.

186. Berenstein D. Wilsonian Proof for Renormalizability of N = | Supersymmetric Field Theories/ D. Berenstein , S.-J. Rey // Physical Review D. 2003. - V. 68. - P. 121701121711.

187. Buchbinder I.L. Gauge theory in deformed N = (1,1) superspace / I.L. Buchbinder, E.A. Ivanov, O. Lechtenfeld, I.B. Samsonov, B.M. Zupnik // Physics of Elementary Particles and Atomic Nuclei. 2008. - V.39. -P.759-797.

188. Schwarz J.H. Superconformal Chern-Simons theories / J.H. Schwarz // Journal of High Energy Physics. -2004. V. 0411. - P. 078.

189. Bagger J. Modeling Multiple M2's /J. Bagger, N. Lambert // Physical Review D. 2007.- V.75- P. 045020.

190. Bagger J. Gauge symmetry and supersymmetry of multiple M2-branes /J. Bagger, N. Lambert // Physical Review D. 2008. -V.77. -P. 065008.

191. Bagger J. Comments on multiple M2-branes /J. Bagger, N. Lambert // Journal of High Energy Physics. 2008. -V. 0802. - P. 105.

192. Gustavsson A. Algebraic structures on parallel M2-branes /A. Gustavsson // Nuclear Physics B. 2009.- V. 811.- P. 66.

193. Gustavsson A. One-loop corrections to Bagger-Lambert theory /A. Gustavsson // Nuclear Physics B. 2009.-V. 807. -P. 315.

194. Bandres M.A. N = 8 Superconformal Chern-Simons Theories / M.A. Bandres, A.E. Lipstein, J.H. Schwarz // Journal of High Energy Physics. 2008. - V. 0805. -P.

195. Aharony O. N=6 superconformal Chern-Simons-matter theories, M2-branes and their gravity duals / O. Aharony, O. Bergman, D.L. Jafferis, J. Maldacena // Journal of High Energy Physics. 2008. - V. 0810.-P. 091.

196. Mukhi S. M2 to D2 / S. Mukhi, C. Papageorgakis // Journal of High Energy Physics. -2008. V. 0805. - P. 085.

197. Gran U. On relating multiple M2 and D2-branes / U. Gran, B.E.W. Nilsson, C. Petersson // Journal of High Energy Physics. 2008. - V. 0810. -P. 067.

198. Li T. Multiple D2-Brane Action from M2-Branes /T. Li, Y. Liu, D. Xie //International Journal of Modern Physics A. -2009. V. 24. - P. 3039-3052.

199. Belavin A. A. Infinite Conformal Symmetry in Two-Dimensional Quantum Field Theory / A. A. Belavin, A. M. Polyakov and A. B. Zamolodchikov // Nuclear Physics B. -1984.-V.241. P. 333-380.

200. Weinberg S. Phenomenological Lagrangians / S. Weinberg // Physica A. -1979. V.96.- P. 327.

201. Nemeschansky D. Anomaly Constraints On Supersymmetric Effective Lagrangians / D. Nemeschansky, R. Rohm // Nuclear Physics B. 1985.- V.249. -P. 157.

202. Clark T.E. Supersymmetric Effective Actions for Anomalous Internal Chiral Symmetries / T.E. Clark and S.T. Love // Physics Letters B. 1984.- V. 138. - P. 289.311

203. Gates S. J., Jr. The Superspace WZNW action for 4-D, N=1 supersymmetric QCD / S.J. Gates, Jr., M.T. Grisaru, M.E. Knutt and S. Penati // Physics Letters B. 2001. -V.503. - P. 349-354.

204. Gates S. J., Jr. Supersymmetric gauge anomaly with general homotopic paths / S. J. Gates, Jr., M. T. Grisaru, M. E. Knutt, S. Penati and H. Suzuki // Nuclear Physics B.- 2001'. V.596. - P. 315-347.

205. Gates S. J., Jr. Holomorphy, minimal homotopy and the 4-D, N=1 supersymmetric Bardeen-Gross-Jackiw anomaly / S. J. Gates, Jr., M. T. Grisaru and S. Penati // Physics Letters B. 2000. - V.481. -P. 397-407.

206. Gates S.J., Jr. The CNM hypermultiplet nexus / S.J. Gates and S.M. Kuzenko // Nuclear Physics B. 1999. - V.543. - P. 122-140.

207. Gates S. J., Jr. 4-D, N=2 supersymmetric off-shell sigma models on the cotangent bundles of Kahler manifolds / S.James Gates, Jr., S.M. Kuzenko // Fortschritte der Physik -2000. V.48. - P.115-118.

208. Higashijima K. Kahler normal coordinate expansion in supersymmetric theories / K. Higashijima, M. Nitta // Progress of Theoretical Physics. 2001. -V.105. - P. 243 -260.

209. Higashijima K. Normal coordinates in Kahler manifolds and the background field method / K. Higashijima, M. Nitta // Progress of Theoretical Physics. 2002. - V.108. - P. 185202.

210. Buchbinder I.L.'Quantization Of The Classically Equivalent Theories In The Superspace Of Simple Supergravity And Quantum Equivalence / I.L. Buchbinder, S.M. Kuzenko // Nuclear Physics B. 1988. - V. 308. -P.162-190.

211. Batalin I.A. Feynman Rules For Reducible Gauge Theories / I.A. Batalin, G.A. Vilkovisky // Physics Letters B. 1983. - V.120.- P. 166-170.

212. Batalin I.A. Quantization of Gauge Theories with Linearly Dependent Generators / I.A. Batalin, G.A. Vilkovisky // Physical'Review D.- 1983. V.28. - P.2567-2582.

213. Penati S. The Nonminimal scalar multiplet: Duality, sigma model, beta function / S. Penati, A. Refolli, A. Van Proeyen and D. Zanon // Nuclear Phyics B. 1998. -V. 514.- P. 460-474.

214. Grisaru M.T. Quantization of the complex linear superfield / M.T. Grisaru, A. Van Proeyen, D. Zanon // Nuclear Physics B. 1997. - V.502. - P.345-362.

215. Boulware D. Symmetric Space Scalar Field Theory / D. Boulware and L.Brown // Annals Physics. 1982.- V.138. - P. 392.312

216. Alvarez-Gaume L. General properties of noncommutative field theories/ L. Alvarez-Gaume, M.A. Vazquez-Mozo // Nuclear Physics B. 2003. - V.668. - P.293-321.

217. Minwalla S. Noncommutative perturbative dymamics / S. Minwalla, M. van Raamsdonk, N. Seiberg // Journal of High Energy Physics.- 2000. V.02. - P. 020-053.

218. Matusis A. The IR/UV connection in the non-commutative gauge theories/ A. Matusis, L. Susskind, N. Toumbas // Journal of High Energy Physics. 2000. - V. 12. - P. 002-019.

219. Arefeva I.Ya. Two-loop diagramms in noncommutative ф\ theory / I.Ya. Arefeva, D.M. Belov, A.S. Koshelev // Physics Letters B. 2000. - V. 476.- P. 431-436.

220. Ivanov E. Nilpotent deformations of N = 2 superspace/ E. Ivanov, O. Lechtenfeld, B. Zupnik // Journal of High Energy Physics.- 2004. V. 0402. P. 012-029;

221. Ivanov E. Non-anticommutative deformation of N= (1,1) hypermultiplets / E. Ivanov, O. Lechtenfeld, B. Zupnik // Nuclear Physics B. 2005.- V. 707 - P. 69-86.

222. Иванов E.A. Неантикоммутативные деформации N=(1,1) суперсимметричных теорий / E. А. Иванов, Б. М. Зупник / Теоретическая и математическая Физика. -2005. Т. 142. - G. 235-251.

223. Ivanov Е. Non-anticommutative deformation of N=(1,1) hypermultiplets / E. Ivanov, О. Lechtenfeld, В. Zupnik В. // Nuclear Physics В. 2005. - V. 707.- P. 69-86.

224. Ferrara S. Non-anticommutative M = 2 SuperYang-Mills theory with singlet deformation / S. Ferrara, E. Sokatchev // Physics Letters В.- 2004. V. 579.- P. 226-234.

225. Ferrara S. Non-anticommutative chiral singlet deformation of N=(1,1) gauge theory / S. Ferrara, E. Ivanov, O. Lechtenfeld, E. Sokatchev, B. Zupnik // Nuclear Physics B. -2005- V. 704. P. 154-180.

226. Hatanaka T. Non-anti-commutative deformation of effective potentials in supersymmetric gauge theories / T. Hatanaka, S.V. Ketov, Y. Kobayashi, S. Sasaki // Nuclear Physics B. 2005. - V.716. - P. 88-104.

227. Hatanaka T. N = 1/2 supersymmetric four-dimensional non-linear sigma-models from non-anti-commutative superspace / T. Hatanaka, S.V. Ketov, Y. Kobayashi, S. Sasaki // Nuclear Physics B. 2005. - V. 726. - P. 481-493.

228. Hatanaka T. Summing up NAC-deformed Kahler potential / T. Hatanaka, S.V. Ketov, S. Sasaki // Physics Letters B. 2005. - V. 619. -P. 352-358.

229. Ryttov T.A. Chiral models in noncommutative N = 1/2 four dimensional superspace / T.A. Ryttov, F. Sannino // Physical Review D. 2005. - V. 71. - P. 125004.

230. Chandrasekhar B. D = 2, N = 2, supersymmetric theories on nonanticommutative superspace/ B. Chandrasekhar, A. Kumar 11 Journal of High Energy Physics.- 2004. -V. 0403.- P. 013.

231. Chandrasekhar B. D = 2, N = 2 supersymmetric sigma models on non(anti)commutative superspace / B. Chandrasekhar // Physical Review D. 2004. -V. 70.- P. 125003.

232. Chandrasekhar B. N = 2 sigma model action on non(anti)commutative superspace / B. Chandrasekhar 11 Physics Letters B. 2005. - V. 614. - P. 207-215.

233. Alvarez-Gaume L. On nonanticommutative N=2 sigma-models in two dimensions / L. Alvarez-Gaume, M.A. Vazquez-Mozo// Journal of High Energy Physics. 2005. -V. 0504. - P. 007.

234. Non(anti) commutative Superspace, UV/IR Mixing, Open Wilson Lines. // Journal of High Energy Physics. 2003. - V. 0308. - P. 001-021.

235. Britto R. N = | Wess-Zumino model is renormalizable / R. Britto, B. Feng // Physical Review Letters. 2003. - V. 91. - P. 201601-201609.

236. Terashima S. Comments on Noncommutative Superspace / S. Terashima, J.-T. Yee // Journal of High Energy Physics. 2003. - V. 0312. - P. 053-072.

237. Sako A. Ring structure of SUSY ★-product and 1/2 SUSY Wess-Zumino model / A. Sako, T. Suzuki // Physics Letters B. 2004. - V. 582. - P. 127-134.

238. Penati S. Covariant quantization of N = 1/2 SYM theories and supergauge invariance / S. Penati, A. Romagnoni // Journal of High Energy Physics. 2005. - V. 0502. - P. 064.

239. Grisaru M.T. Non(anti)commutative SYM theory: Renormalization in superspace / M.T. Grisaru, S. Penati, A. Romagnoni // Journal of High Energy Physics. 2006. - V. 0602. - P. 043.

240. Jack I. One-loop renormalisation of N = 1/2 supersymmetric gauge theory/ I. Jack, D.R. Jones, L.A. Worthy // Physics Letters B. 2005. - V. 611. - P. 199-206;

241. Jack I. One-loop renormalisation of general N=1/2 supersymmetric gauge theory / I. Jack, D.R. Jones, L.A. Worthy // Physical Review D. 2005. - V. 72. - P. 065002.

242. Jack I. One-loop renormalisation of N = 1/2 supersymmetric gauge theory with a superpotential / I. Jack, D.R. Jones, L.A. Worthy // Physical Review D. 2007. -V. 75. - P. 045014.

243. Vassilevich D.V. Noncommutative heat kernel/ D.V. Vassilevich // Letters in ' Mathematical Physics. 2004. - V. 67. - P. 185-194.314

244. Vassilevich D.V. Heat kernel, effective action and anomalies in noncommutative theories / D.V. Vassilevich // Journal of High Energy Physics. 2005. - V. 0508. - P. 085.

245. Wess J. Differential calculus and gauge transformations on a deformed space / J. Wess // General Relativity and Gravitation. 2007. - V. 39. - P. 1121-1134.

246. Davydychev A.I. General results for massive N-point Feynman diagrams with different masses / A.I. Davydychev // Journal of Mathematical Physics. 1992. - V. 33. - P. 358369.

247. Davydychev A.I. Some exact results for N point massive Feynman integrals / A.I. Davydychev // Journal of Mathematical Physics . 1991. - V. 32. - P. 1052-1060.

248. Боос Э.Э. Метод вычисления массивных фейнмановских интегралов / Э. Э. Боос, А. И. Давыдычев // Теоретическая и математическая физика. 1991. - Т. 89.1. C. 56-72.

249. Славнов А.А. Безмассовые и массивные поля Янга-Миллса / А.А. Славнов, Л.Д. Фаддеев // Теоретическая и математическая физика. 1970. - Т. 3.- С.18 -23.

250. Вайнштейн А.И. О пределе нулевой массы и ренормируемости в теории массивного поля Янга-Миллса / А.И. Вайнштейн, И.Б. Хриплович // Ядерная физика. 1971.Т. 13. - С.198-211.

251. Stueckelberg T.C.G. Interaction energy in electrodynamics and in the field theory of nuclear forces / T.C.G. Stueckelberg // Helvetica Physica Acta. 1938. - V. 11.- P. 225-244.

252. Огиевецкий В.И. Нотоф и его возможные взаимодействия / В.И. Огиевецкий, И.В. Полубаринов // Ядерная физика. 1966.- Т. 4.- С. 216-223.

253. Kalb М. Classical direct interstring action / M. Kalb and P. Ramond // Physical Review

254. D. -1974.- V. 9.- P. 2273.

255. Nambu Y. Magnetic and Electric Confinement of Quarks / Y. Nambu // Physics Reports.- 1976.- V. 23. P. 250-253.

256. Ruegg H. The Stuckelberg field / H. Ruegg, M. Ruiz-Altaba // International Journal of Modern Physics A. -2004.- V. 19.- P. 3265-3348.

257. Bettinelli D. A Massive Yang-Mills Theory based on the Nonlinearly Realized Gauge Group </ D. Bettinelli, R. Ferrari, A. Quadri // Physical Review D.- 2008.- V.77.- P. 045021.

258. Fradkin E.S. Quantum Equivalence Of Dual Field Theories / E.S. Fradkin, A. A. Tseytlin // Annals of Physics. 1985. - V.162. -P.31.

259. Славнов A.A. Квантование неабелевых антисимметричных тензорных полей / А.А. Славнов, С.А. Фролов // Теоретическая и математическая физика,- 1988. Т. 75. -С. 201- 211.

260. Kunimasa Т. Generalization of the Stueckelberg Formalism to the Massive Yang-Mills Field / T. Kunimasa and T. Goto // Progress of Theoretical Physics 1967. - V. 37. -452-464.

261. Арефьева И.Я. Геометрическое происхождение модели Хиггса / И.Я. Арефьева,

262. A.А. Славнов // Теоретическая и математическая физика.- 1980.- Т. 44.- С. 3-16.

263. Khelashvili G.A. Nonrenoimalizability of the massive N=2 superYang-Mills theory / G.A. Khelashvili and V.I'. Ogievetsky // Modern Physics Letters A.- 1991.- V. 6.- P. 2143-2154.

264. Shizuya K. Renormalization of Two-Dimensional Massive Yang-Mills Theory and Nonrenormalizability of Its Four-Dimensional Version / K. Shizuya // Nuclear Physics

265. B. 1977.- V. 121.- P. 125.

266. Kafiev Yu.N. Massive Yang-Mills Fields. Gauge Invariance And One Loop Counterterm / Yu.N. Kafiev // Nuclear Physics B. 1982.- V. 201.- P. 341-351.

267. Славнов A.A. Инвариантная теория возмущений для нелинейных киральных лагранжианов / А.А. Славнов, Л.Д. Фаддеев // Теоретическая и математическая физика.- 1971.- Т. 8.- С. 297-307.

268. Первушин В.Н. О квантовании киральных теорий / В.Н. Первушин // Теоретическая и математическая физика 1975 - Т. 22.- С. 291-299.

269. Казаков Д.И. Инвариантная перенормировка для теорий с нелинейной симметрией / Д.И. Казаков, В.Н. Первушин, С.В. Пушкин // Теоретическая и математическая физика.- 1977.- Т. 31.- С. 169-176.

270. Capri M.A.L. A Study of the gauge invariant, nonlocal mass operator Tr integer d**4 x F mu nu (D**2)**-l F mu nu in Yang-Mills theories. / M.A.L. Capri, D. Dudal, J.A.

271. Gracey, V.E.R. Lemes, R.F. Sobreiro, S.P. Sorella, H. Verschelde // Physical Review D. -2005. -V. 72. -P. 105016.

272. Cvetic G. Two and three vector boson production in e+ e- collisions within the BESS model/ G. Cvetic, C. Grosse-Knetter, R. Kogerler // International Journal of Modern Physics A. 1994. - V. 9. - P. 5313-5358.

273. Gomis J.J. Are nonrenormalizable gauge theories renormalizable? / J. J. Gomis, S. Weinberg // Nuclear Physics B. 1996. -V. 469. - P. 473-487.

274. Волков Г.Г. Компонентная структура N=2 суперЯнг-Мнллс теории в гармоническом суперпространстве / Г.Г. Волков, А.А. Масликов // Ядерная физика.- 1994.Т. 57.- С. 351-360.

275. Ovrut В.A. Supersymmetric Щ gauge and radiative symmetry breaking / В.A. Ovrut , J. Wess // Physical Review D.- 1982. V.25. - P.409-466.

276. Heslop P.J. Aspects of N = 4 SYM / P.J. Heslop, P.S. Howe // Journal of High Energy Physics.- 2004.- V. 0401.- P. 058

277. Drummond J. M. Integral invariants in N=4 SYM and the effective action for coincident D-branes/ J. M. Drummond, P. J. Heslop, P. S. Howe, S. F. Kerstan// Journal of High Energy Physics.- 2003.- V. 0308.- P. 016.

278. Howe P.S. A Class of Finite Four-Dimensional Supersymmetric Field Theories / P.S. Howe, K.S. Stelle and P.C. West // Physics Lettera B. 1983. -V.124. -P. 55.

279. Aharony O. Field theory questions for string theory answers / O. Aharony, J. Sonnenschein, S. Theisen and S. Yankielowicz // Nuclear Physics B. 1997. -V.493. - P. 177-197.

280. Kachru S. 4-D conformal theories and strings on orbifolds / S. Kachru, E. Silverstein // Physical Review Letters. 1998. -V.80. -P. 4855-4858.

281. Lawrence A. On conformal field theories in four-dimensions / A. Lawrence, N. Nekrasov and C. Vafa // Nuclear Physics B. 1998. - V.533. -P. 199-209.

282. Douglas M.R. D-branes, quivers, and ALE instantons / M.R. Douglas, G.W. Moore // e-Print:hep-th/9603167 , 50p.

283. Tseytlin A. A. Magnetic interactions of D-branes and Wess-Zumino terms in super Yang-Mills effective actions / A.A. Tseytlin and K. Zarembo // Physics Letters B. -2000. -V.474. P. 95-102.

284. Intriligator K.A. Anomaly matching and a Hopf-Wess-Zumino term in 6d, N=(2,0) field theories / K.A. Intriligator // Nuclear Physics B. 2000.- V.581.- P.257-273.317

285. Argyres P.C. Higher-Derivative Terms in N=2 Supersymmetric Effective Actions / P.C. Argyres, A. M. Awad, G. A. Braun, F.P. Esposito // Journal of High Energy Physics-2003.- V. 0307.- P. 060.

286. Louis J. Type 2 theories compactified on Calabi-Yau threefolds in the presence of background fluxes / J. Louis and A. Micu // Nuclear Physics B. 2002.- V. 635. -P.395.431.

287. Louis J. Massive tensor multiplets in N=1 supersymmetry /J. Louis and W. Schulgin / Fortsch. Phys. 2005. -V. 53.- P. 235-245.

288. D'Auria R. N = 2 supergravity Lagrangian coupled to tensor multiplets with electric and magnetic fluxes / R. D'Auria, L. Sommovigo and S. Vaula // Journal of High Energy Physics.- 2004.- V. 0411. -P. 028.

289. D'Auria R. Dyonic masses from conformal field strengths in D even dimensions / R. D'Auria and S. Ferrara // Physics Letters B. 2005. - V. 606. -P.211-217.

290. Schwarz A.S. The Partition Function of Degenerate Quadratic Functional and RaySinger Invariants / A.S. Schwarz // Letters in Mathematical Physics. 1978.- V. 2.- P.247.252

291. Schwarz A.S. Quantization Of Antisymmetric Tensors And Ray-Singer Torsion / A.S. Schwarz and Yu.S. Tyupkin // Nuclear Physics B. 1984. - V. 242. - P. 436-446.

292. Siegel W. Hidden Ghosts / W. Siegel // Physics Letters B. 1980.- V. 93. - P. 170.

293. E. Sezgin Renormalizability Properties Of Antisymmetric Tensor Fields Coupled To Gravity / E. Sezgin and P. van Nieuwenhuizen // Physical Review D. 1980 .-V.22. -P.301.

294. Duff M.J. Quantum Inequivalence of Different Field Representations / M.J. Duff , P. van Nieuwenhuizen // Physics Letters B. 1980. -V.94.- P. 179.

295. Grisaru M.T. Energy Momentum Tensors, Supercurrents, (Super)Traces And Quantum Equivalence / M.T. Grisaru, N.K. Nielsen, W. Siegel and D. Zanon // Nuclear Physics B. -1984.- V. 247. P. 157.

296. Bastianelli F. Worldline approach to vector and antisymmetric tensor fields / F. Bastianelli, P. Benincasa and S. Giombi // Journal of High Energy Physics.- 2005. -V. 0504.- 010.

297. Bastianelli F. Worldline approach to vector and antisymmetric tensor fields. II/ F. Bastianelli, P. Benincasa and S. Giombi // Journal of High Energy Physics.- 2005. -V. 0510.- P. 114.

298. Scherk J. How to Get Masses from Extra Dimensions / J. Scherk and J.H. Schwarz // Nuclear Physics B. -1979. V. 153. - P. 61-88.

299. Berman D.S. M-theory branes and their interactions / D.S. Berman // Physics Reports. 2008. - V. 456.- P. 89-126.

300. Gaiotto D. Janus Configurations, Chern-Simons Couplings, And The theta-Angle in N=4 Super Yang-Mills Theory / D. Gaiotto, E. Witten // Journal of High Energy Physics.1 2010. v. 1006. -P. 097.

301. E.H. Fradkin, Field theories of condensed matter systems Redwood City, USA: Addison-Wesley (1991) 350 p. (Frontiers in physics, 82).

302. Susskind L. The Quantum Hall fluid and noncommutative Chern-Simons theory / L. Susskind // e-Print: hep-th/0101029.

303. Ho P.M. M2 to D2 revisited / P.M. Ho, Y. Imamura, Y. Matsuo // Journal of High Energy Physics. 2008.- V.0807. - P. 003

304. Bandos I.A. Light-cone M5 and multiple M2-branes / I.A. Bandos, P.K. Townsend// Classical and Quantum Gravity.- 2008. V. 25. -P. 245003.

305. Bandos I.A. SDiff Gauge Theory and the M2 Condensate I.A. Bandos, P.K. Townsend //Journal of High Energy Physics. 2009.- V. 0902. -P. 013

306. Benna M. Superconformal Chern-Simons Theories and AdS^/CFT^ Correspondence / M. Benna, I. Klebanov, T. Klose, M. Smedback // Journal of High Energy Physics. -2008. V. 0809.- P. 072.

307. Jafferis D.L. A simple class of N=3 gauge/gravity duals / D.L. Jaiferis, A. Tomasiello // Journal of High Energy Physics. -2008. V. 0810. - P. 101.

308. Ahn C. M2-brane perspective on N=6 super Chern-Simons theory at level k / C. Ahn, P. Bozhilov //Journal of High Energy Physics. -2008. V. 0812 .-P. 049.

309. K. Hosomichi N=4 superconformal Chern-Simons theories with hyper and twisted hyper multiplets / K. Hosomichi, K.M. Lee, S. Lee, S. Lee, J. Park // Journal of High Energy

310. Physics. -2008. V. 0807. - P.091.

311. S. Benvenuti N=8 superconformal gauge theories and M2 branes / S. Benvenuti, D. Rodriguez-Gomez, E. Tonni, H. Verlinde // Journal of High Energy Physics. -2009. V. 0901. -P. 078.

312. Aharony O. Fractional M2-branes / O. Aharony, O. Bergman, D.L. Jafferis //Journal of High Energy Physics. -2008. V. 0811. - 043.

313. Cederwall M. N=8 superfield formulation of the Bagger-Lambert-Gustavsson model / M. Cederwall // Journal of High Energy Physics. -2008.- V. 0809. -P. 11.

314. Cederwall M. Superfield actions for N=8 and N=6 conformal theories in three dimensions /М. Cederwall// Journal of High Energy Physics. -2008.- V.0810. -P. 070.

315. Bandos I.A. NB BLG model in N=8 superfields /1.А. Bandos // Physics Letters B. -2008. V. 669. -P. 193.

316. Siegel W. Unextended superfields in extended supersymmetry /W. Siegel // Nuclear 1 Physics B. 1979.- V. 156.* -P. 135.

317. Schonfeld J. A mass term for three-dimensional gauge fields /J. Schonfeld // Nuclear Physics В.- 1981. -V. 185.- P: 157.

318. Зупник Б.М. Суперполевая формулировка простейших трехмерных калибровочных теорий и конформных супергравитаций / Б.М. Зупник, Д.Г. Пак // Теоретическая и математическая физика. 1988.- Т. 77.- С.97.

319. Ivanov Е.А. Chern-Simons matter systems with manifest N=2 supersymmetry /Е.А. Ivanov // Physics Letters B. 1991. - V. 268.- P. 203.

320. Gates Jr. S.J. Chern-Simons theories with supersymmetries in three dimensions /Н. Nishino, S.J. Gates // International Journal of Modern Physics A. 1993.- V. 8,- P.3371

321. Gates Jr. S.J. Remarks on N=2 supersymmetric Chern-Simons theories / S.J. Gates Jr., H. Nishino // Physics Letters B. 1992. - V.281. - P.72.

322. Avdeev L.V. Renormalizations in abelian Chern-Simons field theories with matter / L.V. Avdeev, G.V. Grigoryev, D.I. Kazakov // Nuclear Physics B. 1992.- V.382. - P.561.

323. Avdeev L.V. Renormalizations in supersymmetric and nonsupersymmetric non-abelian t Chern-Simons field theories with matter /L.V. Avdeev, D.I. Kazakov, I.N. Kondrashuk

324. Nuclear Physics B. 1993.- V.391.- P.333.

325. Зупник Б.М. Трех-мерная расширенная суперсимметрия в гармоническом суперпространстве / Б.М. Зупник, Д.В. Хецелиус // Ядерная физика. -1988. Т. 47.- С. 730.

326. Zupnik В.М. Harmonic superspaces for three-dimensional theories / B.M. Zupnik // In: Supersymmetries and quantum symmetries, eds. J. Wess and E. Ivanov, Springer Lect. Notes in Phys. -1998. -V. 524 P. 116; hep-th/9804167.

327. Howe P.S. Harmonic superspaces in low dimensions / P.S. Howe, M.I. Leeming // Classical and Quantum Gravity. 1994. -V. 11. - P. 2843

328. Zupnik B.M. Chern-Simons D=3, N=6 superfield theory / B.M. Zupnik // Physics Letters B. 2008. - V. 660. -P. 254.

329. Зупник Б. M. Теория Черна-Саймонса в гармоническом SO(5)/U(2)-суперпространстве / Б. М. Зупник // Теоретическая и математическая физика. -2008.- Т. 157. С. 217-234 .

330. Као Н.-С. Self-dual Chern-Simons Higgs systems with N=3 extended supersymmetry / H.-C. Као, K. Lee // Physical Review D. 1992. -V. 46. -P. 4691.

331. Kao H.-C. Self-dual Yang-Mills Chern-Simons Higgs systems with an N=3 extended supersymmetry /Н.-С. Kao // Physical Review D. 1994. - V. 50.- P. 2881.

332. Howe P.S. Superconformal invariants and extended supersymmetry / P.S. Howe, P.C. West // Physics Letters B. 1997.- V.400. -P. 307.

333. Howe P.S. Three point functions in N=4 Yang-Mills / P.S. Howe, E.S. , P.C. West // Physics Letters B. -1998. V. 444. - P. 341.

334. Kuzenko S.M. Correlation functions of conserved currents in N=2 superconformal theory /S.U. Kuzenko, S. Theisen // Classical and Quantum Gravity. 2000. - V. 17. - P. 665.

335. Arutyunov G. On nonrenormalization and OPE in superconformal field theories / G. Arutyunov, B. Eden, E. Sokatchev // Nuclear Physics B. 2001. - V. 619. - P. 359.

336. Niemi A.J. Axial-anomaly-induced fermion fractionization and effective gauge-theory actions in odd-dimensional space-times / A.J. Niemi, G.W. Semenoff // Physical Review

337. Letters. 1983. - V.51. - P.2077.349.' Redlich A.N. Gauge noninvariance and parity violation of three-dimensional fermions / A.N. Redlich // Physical Review Letters. 1984. -V.52. - P.18.

338. Redlich A.N. Parity violation and gauge noninvariance of the effective gauge field action in three dimensions / A.N. Redlich // Physical Review D. 1984. - V.29. - P.2366.

339. Chen W. Two-loop analysis of non-Abelian Chern-Simons theory / W. Chen, G.W. Semenoff, Y.-S. Wu // Physical Review D. 1992. -V.46. - P.5521.

340. Pisarski R. Topologically massive chromodynamics in the perturbative regime / R. Pisarski, S. Rao // Physical Review D. 1985. - V.32.- P.2081.

341. Galperin A. Hyperkahler metrics and harmonic superspace / A. Galperin, E. Ivanov, V. Ogievetsky, E. Sokatchev // Communications in Mathematical Physics. 1986. - V.103. - P.515.

342. Kapustin A.N. Triviality of beta function in Chern-Simons theory with matter fields /A.N. Kapustin, P.I. Pronin // Physics Letters B. 1993. -V. 318. -P. 465.

343. Kapustin A.N. , Nonrenormalization theorem for gauge coupling in (2-f l)-dimensions / A.N. Kapustin, P.I. Pronin // Modern Physics Letters A. -1994. V.9. - P.1925.

344. Ferrara S. General massive multiplets in extended supersymmetry /S. Ferrara, C.A. Savoy, B. Zumino // Physics Letters B. 1981. - V.100.- P. 393.

345. Pletnev N.G. Covariant technique of derivative expansion of one-loop effective action / N.G. Pletnev, À.T. Banin // Physical Review D. 1999.- V.60. - P.105017-105037.

346. Pletnev N.G. Application of symbol operator technique for effective action computation /N.G. Pletnev, A.T. Banin // International Journal of Modern Physics A. 2002- V.17.- P.825-828.

347. Pletnev N.G. Calculation of traces and special representation of differential operators/ N.G. Pletnev, A.T. Banin // Gravity and Cosmology. 2003.- V.9. - P.ll-14.

348. Banin A.T. Low energy effective action of Ai = 2 gauge multiplet induced by hypermultiplet matter/ A.T. Banin, I.L. Buchbinder, N.G. Pletnev // Nuclear Physics

349. B.- 2001.- V.598. P.371-399.

350. Banin A.T. On Low-Energy Effective Action in AT = 2 Super Yang-Mills Theories on Non-Abelian Background / A.T. Banin, I.L. Buchbinder, N.G. Pletnev // Physical Review D.- 2002.- V.66. P.045021-045041.

351. Banin A.T. Effective action in N = 2, 4 supersymmetric Yang-Mills theories / A.T. Banin, I.L. Buchbinder, N.G. Pletnev // Gravity and Cosmology. 2003.-V.9.- P. 2-10.

352. Banin A.T. One-loop effective action for Ai = 4 SYM theory in the hypermultiplet sector leading low-energy approximation and beyond / A.T. Banin, I.L. Buchbinder, N.G. Pletnev // Physical Review D.- 2003.- V.68. - P.065024-065050.

353. Banin A.T. Chiral effective potential in AT = 1/2 non-commutative Wess-Zumino model/ A.T. Banin, I.L. Buchbinder, N.G. Pletnev // Journal of High Energy Physics.- 2004.-V.07. P.01101-01130.

354. Azorkina O.D. Generic chiral superfield model on nonanticommutative N=1/2 superspace / O.D. Azorkina, A.T. Banin, I.L. Buchbinder, N.G. Pletnev // Modern Physics Letters A. 2005. - V.20. -P.1423-1436.

355. Buchbinder I.L. Construction of one-loop N=4 SYM effective action on the mixed branch in the harmonic superspace approach / I.L. Buchbinder, N.G. Pletnev // Journal of High Energy Physics.- 2005. V.0509. -P.073.

356. Azorkina O.D. Construction of the effective action in nonanticommutative supersymmetric field theories / O.D. Azorkina, A.T. Banin, I.L. Buchbinder, N.G. Pletnev // Physics Letters B. 2006.- V. 633.- P. 389-396.

357. Azorkina O.D. One-loop effective potential in N=1/2 generic chiral superfield model / O.D. Azorkina, A.T. Banin, I.L. Buchbinder, N.G. Pletnev // Physics Letters B. 2006.- V.635 P. 50-55.

358. Banin A.T. On quantum properties of the four-dimensional generic chiral superfield model / A.T. Banin, I.L. Buchbinder, N.G. Pletnev // Physical Review D.- 2006.- V. 74.- P.045010.

359. Buchbinder I.L. Hypermultiplet dependence of one-loop effective action in the N =2 superconformal theories / I.L. Buchbinder, N.G. Pletnev // Journal of High Energy Physics.- 2007.- V. 0704. -P.096.

360. Pletnev N.G. Hypermultiplet dependence of the effective action in N = 2 superconformal theories / N.G. Pletnev // Проблемы Современной Теоретической Физики.- 2008. -Томск.- Изд. ТГПУ. с.296- 308.

361. Buchbinder I.L. Quantum Equivalence of Massive Antisymmetric Tensor Field Models in Curved Space / I.L. Buchbinder, E.N. Kirillova, N.G. Pletnev // Physical Review D.-2008. V. 78. -P. 084024.

362. Бухбиндер И.Л. Однопетлевое эффективное действие в N=2 суперсимметричной теории массивного поля Янга-Миллса / И. Л. Бухбиндер, Н. Г. Плетнёв // Теоретическая и математическая физика. 2008.- Т. 157.- С. 22-40.

363. Buchbinder I.L. ABJM models in N=3 harmonic superspace / I.L. Buchbinder, E.A. Ivanov, O. Lechtenfeld, N.G. Pletnev, I.B. Samsonov, B.M.'Zupnik // Journal of High

364. Energy Physics.- 2009. V. 0903. -P. 096.

365. Buchbinder I.L. Quantum N=3, d=3 Chern-Simons Matter Theories in Harmonic Superspace / I.L. Buchbinder, , E.A. Ivanov, , O. Lechtenfeld, N.G. Pletnev, I.B. Samsonov, B.M. Zupnik // Journal of High Energy Physics.- 2009. V.0910. - P. 075.

366. Pletnev N.G. Filippov-Nambu n-algebras relevant to physics / N.G. Pletnev // Siberian Electronic Mathematical Reports. 2009. - V. 6 - P. 272-311. http://semr.math.nsc.ru/

367. Buchbinder I.L. Effective action of three-dimensional extended supersymmetric matter on gauge superfield background / I.L. Buchbinder, N.G. Pletnev, I.B. Samsonov // Journal of High Energy Physics.- 2010. V. 1004. -P. 124.

368. Buchbinder I.L. Low-energy effective actions in three-dimensional extended SYM theories / I.L. Buchbinder, N.G. Pletnev, I.B. Samsonov // Journal of High Energy Physics.- 2011. V. 1101. -P. 121.