Использование суперсимметрии для интегрирования уравнений Эйнштейна и гладкая фантомизация тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Верещагин Сергей Дмитриевич

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СУПЕРСИММЕТРИИ ДЛЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ЭЙНШТЕЙНА И ГЛАДКАЯ ФАНТОМИЗАЦИЯ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание учСвов степени . кандидата физико-математических наук

Калининград - 2006

Работа выполнена в Российском государственном университете имени Иммануила Канта.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

зав. кафедрой теоретической физики РТУ имени Иммануила Канта Юров Артём Валерьянович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, ведущий сотрудник Объединенного института ядерных исследований (Дубна), Манджавидзе Иосиф кандидат физико-математических наук, проректор по научной работе БГА, ; К остряков* Наталья Анатольевна Ведущая организация: Кафедра физики высоких энергий и элемен-

тарных частиц физического факультета СПбГУ

Защита состоится » 2006 года в /£""ч О^ыш

на заседании диссертационного совета К.212.084.02 физического факультета Российского государственного университета имени Иммануила Канта по адресу 236041, г. Калининград, ул. Александра Невского, 14.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Российского государственного университета имени Иммануила Канта.

Автореферат разослан _200б года.

Учбный секретарь диссертационного совета

.А. Пахотин

Актуальность темы. Предлагаемая работа посвящена использованию суперсимметричного подхода для построения точных решений космологических уравнений Эйнштейна в метрике Фридмана и нахождения семейств потенциалов самодействия скалярного поля, соответствующих плоскому спектру неоднородностей. Кроме того, исследуются некоторые свойства многомерных преобразований Дарбу-Мутара и связь между спонтанным нарушением суперсимметрии в суперсимметричной квантовой механике (СКМ) и теории поля.

1) Космология в настоящий момент является одним из наиболее интересных и бурно развивающихся разделов физики. Однако, исследования в ней осложняются тем обстоятельством, что известно сравнительно небольшое количество точных решений соответствующих уравнений, адекватное приближение существует далеко не всегда, а численный анализ может пропустить целые классы решений или не заметить некоторые особенности их поведения. В настоящей работе предложен метод, основанный на использовании преобразования Дарбу (или суперсимметрии), позволяющий построить новый класс точных космологических моделей. Так же в работе проведены исследования полученных моделей для некоторых интересных случаев, что, в частности, позволило обнаружить явление гладкой фантомизации, то есть возможность такой эволюции Вселенной, при которой обычное состояние в некоторый момент времени гладко (то есть без разрывов как функций, так и их производных) переходит в состояние с нарушенным слабым энергетическим условием (р й 0,р+р 2 0). В работе исследованы разнообразные следствия этого явления и рассмотрены возможные возражения против него; разработан метод, позволяющий вырезать области с нарушением слабого энергетического условия который позволяет, в частности, построить точную космологическую модель с первичной инфляцией, выходом из неё и вторичной инфляцией.

2) Важнейшей задачей космологии является изучение генерации не-однородностей с плоским спектром. Одним из обсуждаемых в литературе механизмов является так называемая тахионная нестабильность. Исследования показали, что если главный вклад в тензор энергии-импульса вносит некоторое скалярное поле с минимальной связью, то плоский спектр возникает при достаточно жестком ограничении на форму потенциала само-дсйствия и величину входящих в него параметров. В данной работе продемонстрировало, что, используя суперсимметричный подход, можно построить сколь угодно большое семейство потенциалов соответствующих плоскому спектру неоднородностей.

3) Эффективным способом построения суперсимметричных моделей является метод преобразований Дарбу (ПД). В одномерном случае ПД позволяет построить квантовый гамильтониан с заданным конечным дискретным спектром. Изоспектральные системы в одномерном случае возникают тогда, когда опорная функция ПД является положительно определённой. Например, если в качестве таковой выступает волновая функция основного состояния исходного гамильтониана, то спектр (дискретный) нового гамильтониана получается из спектра исходного просто вычёркиванием нижнего уровня. Если, всюду положительная, опорная ;функция достаточно быстро растёт вдоль обоях направлений вещественной оси, то подобной процедурой можно получить спектр исходного гамильтониана из спектра нового. Наконец, если положительно-определённая опорная функция быстро растёт в одном направлении и убывает в другом, то спектры гамильтонианов, сплетённых посредством ПД - совпадают. В последнем случае реализуется нарушенная суперсимметрия, а в первых двух - точная. Кроме того, можно удалять уровни из любого места спектра группами, если пользоваться схемой Адлера.

В многомерном случае (ё>1), ситуация становится гораздо сложнее, поскольку при этом возникает последовательность сплетающихся друг с другом матричных гамильтонианов. Изоспектральными оказываются лишь ближайшие соседи этой цепочки, спектры же двух скалярных гамильтонианов замыкающих цепочку, вообще говоря, никак не связаны. Использование в качестве опорной волновой функции основного состояния исходного скалярного гамильтониана с потенциалом степенного типа, приводит, как и в одномерном случае, к исчезновению нижнего уровня у всех остальных гамильтонианов цепочки. Однако, использование других потенциалов, приводит к качественно новому поведению. Например, в двух измерениях цепочка состоит из двух скалярных и одного матричного гамильтонианов. Можно, оказывается, найти модели, такие, что ПД будет "удалять" нижний уровень в спектре правого замыкающего скалярного гамильтониана, но "оставлять" его в спектре матричного. Можно добиться и обратного: наличия нижнего уровня в спектрах правого замыкающего и матричного. В обоих случаях, в спектре суперсимметричного гамильтониана, который строится блочио-диагональным образом из этих трёх, будет присутствовать двукратно-вырожденный уровень Е=0. Аналогичную процедуру можно провести и для произвольной размерности.

Такие модели могут быть весьма интересны с точки зрения теории поля. Как известно, й-мерная суперсимметричная квантовая механика, построенная по описанной выше схеме может быть рассмотрена, как (0+1)-мерная теория ¿-компонентного суперполя. Роль независимых переменных в такой модели играют время и двухкомпонектный антикоммутирующий майорановский спипор. Суперсимметрнчный лагранжиан содержит потенциальное слагаемое (суцерпотенциал), которое является логарифмом опорной функции ПД, взятого с обратным знаком. В рамках такой, достаточно простой, но уже нетривиальной теории поля, можно рассмотреть во-

прос о спектре масс частиц, входящих в супермультигщет, который содержит <1 скалярных и (1 фермионных полей. Ограничимся случаем <1=2. Если рассмотреть случай "исчезающего" уровня, то суперсимметрия будет точной. Если выбрать в качестве опорной положительно определённую, и ограниченную вдоль какого-нибудь направления на плоскости функцию, то получится нарушенная суперсимметрия. Наконец, выбирая исходный потенциал модели, так, чтобы нижний уровень одного из замыкающих скалярных гамильтонианов совпадал с нижним уровнем матричного, получим суперсимметричную модель с двукратно вырожденным уровнем Е=0. В этом случае суперсимметрия не нарушена - операторы суперсимметрни будут уничтожать соответствующие вакуумные волновые функции, а не переводить их друг в друга. Исследование системы с точной суперсимметрией, но вырожденным основным состоянием может оказаться весьма полезным и в реалистичных моделях.

Цель работы заключается в

• разработке математической техники позволяющей строить полевые модели с нарушенной суперсимметрией, используя нарушение су-ггерсимметрии в СКМ;

• реализации алгебр расширенной суперсимметрии в двумерной СКМ, в том числе с ненулевым центральным зарядом;

• изучении связи многомерных преобразований Мутара с геометрией обобщенного эллиптического комплекса;

• построении трехмерных преобразований Мутара связывающих скалярные гамильтонианы при наличии потенциалов типа Ааронова-Бома;

• применении методов суперсимметрии для построения точных космологических решений в метрике Фридмана;

• изучении обнаруженного явления гладкой фантомизации, т.е. перехода Вселенной в ходе эволюции в состояние, характеризующееся доминированием фантомных полей без разрывов физически 31Еачи-мых функций и их производных;

• использование суперсимметричного подхода для построения потенциалов самодействия скалярного поля, приводящих к плоскому спектру неоднородностей.

Научная новизна н положения, выносимые на защиту.

В диссертационной работе получены следующие новые результаты:

1. Показано, что нарушение суперсимметрии в d-мерной СКМ приводит к «раздвижке» масс в соответствующей (0+1)-мерной теории d-компонентного суперполя. Предложен метод построения суперсимметричной квантовой механики с вырожденным уровнем Е=0, и градуированных алгебр с ненулевым центральным зарядом, соответствующих d-2 СКМ.

2. Предложен метод получения двумерных преобразований Мутара, который может быть обобщен на случай трех измерений путем использования неинтегрируемой Дираковской фазы.

3. Развит метод построения точных решений уравнений Эйнштейна-Фридмана, использующий преобразование суперсимметрии.

4. Обнаружено явление гладкой фантомизации.

5. Показано, что, используя суперсимметричный подход, можно построить сколь угодно большое семейство потенциалов соответствующих плоскому спектру неоднородностей.

Краткое содержание работы

Во введение рассматривается общее состояние проблемы^ проводится общий обзор преобразований Дарбу, а также кратко описывается ситуация в современной космологии.

В первой главе рассматриваются основные свойства преобразований Дарбу, существенные для нижеописанных приложений. Обсуждается процедура перестройки дискретного спектра одномерных гамильтонианов с помощью ПД. Показано, что при условии налнчия нетривиального ядра в пространстве решений, все дифференциальные операторы И-го порядка сплетающие исходные гамильтонианы с преобразованным, могут быть факторизованы. Обсуждается важность форм-инваряантности, в частности при реализации итераций ПД, описываемых формулами Крама. Обсуждается связь ПД с суперсимметричной квантовой механикой (СКМ). В частности, показано, что нарушение суперсимметрии в одномерной СКМ приводит к раздвижке по массе между суперпартнерами в лагранжиане (0+1) мерной теории поля ассоциированной с исходной СКМ. Обсуждается построение суперсимметричных гамильтонианов с вырожденным уровнем Е=0 и обсуждается связь с БПС состояниями. В заключительном разделе описывается алгоритм построения алгебр расширенной суперсимметрии при (1=2 и метод введения центрального заряда. Также в этой главе подробно рассмотрено обобщения преобразований Мутара на высшие измерения. Предложен метод получения преобразования Мутара для случая <1=3, связывающего между собой скалярные гамильтонианы. Ключевая идея этого метода: устранение неинтегрируемости, возникающей при выводе ПМ путем введения пеиитегрируемой дираковской фазы.

Во второй главе рассматривается применение преобразований Дарбу в космологии для построения точных решений уравнений Энштейна-

Фридмана. Для этого мы рассмотрели простейший случай плоской вселенной с метрикой ФЛРУ (Фридмана -Ле Метра -Робертсона - Уолкера ) аз1 =(Иг +а(1у(<1хг +<1у5 +Лгг) заполненную скалярным полем с лагранжианом

Ь = У((р). Рассмотрен простейший случай - Вселенная с

асимптотическим расширением при больших временах по закону — Х2^, то

_2

3(:

есть с потенциалом V = —. Далее, при помощи ПД, проводится построе-

ние нового точного решения. Запрещенная зона, то есть область нарушения \УЕС, будет в нём находиться в интервале от до 12, где

I, =

I, =

Вырезая эту область и выполняя сшивку областей по разные стороны от неё, получим следующую картину:

1) При 0 < г < ^ динамика описывается формулами Ч>*->(0-—^-с^-с./с,)1, V» = 2/3 ■

2) При ^ < I динамика описывается формулами

Где I, =-

(1-Е)2

где Vм - потенциалы скалярного поля, ^ - куб масштабного фактора. Использование этого метода и характерные параметры полученной модели проиллюстрированы трафиками 1-3.

1 /| /J / 1

* / \ /\ i ■ V ■ ■ ■ ■ 1 А

Рис. 1. График зависимости куба масштабного фактора от времени до выполнения «сшивки» при й = 03 = 1.1 и II — две вселенные, разделенные точкой сингулярности. Сшиваются кривые II и III.

Рис. 2. Поведение масштабного фактора во Вселенной, полученной сшивкой вселенных II и III, изображенных на предыдущем рисунке. За ноль выбран момент времени, отвечающий исходной сингулярности. В заштрихованной области имеет место фаза инфляции. Сшивка произведена там, где расположена вертикальная прямая внутри заштрихованной области. При больших значениях t, вселенная расширяется по фридмаковскому закону двух третей.

1'

I I I I

I ]

Рис.3. График, описывающий ускорение масштабного фактора изображенного на рнс.2. Пик на нём соответствует зоне инфляции.

Применения двукратного преобразования Дарбу приводит к следующим выражениям для куба масштабного фактора и потенциала скалярного поля соответствешю:

Эволюция такой вселенной изображена на рисунке 4. На нем можно видеть четыре независимых Вселенных. Запрещённая зона уже вырезана, однако, сшивка ещё не проведена. Буквами 1 обозначены зоны инфляции. Средине две Вселенных после «сшивки» переходят в одну (зоны инфляции при этом сливаются). Получившаяся при этом Всслештя имеет сингулярности в начале и в конце своего существования и промежуточную зону инфляции.

<0 = - О3 + к1 + 1)ь - ((х ч-!)1 + к3-

-X

V14 =

ц(х-1)е" +(х + 1)е "

2к] рУ

3 (ц(х-1)е" +(х + 1)е-*]Р

I

*

а

■

я ■

I I I

Рис 4. График зависимости масштабного фактора от времени для модели, полученной двукратным преобразованием Дарбу.

В этой же главе предложен механизм получения в подобных моделях тахионной нестабильности, приводящий к плоскому спектру неоднородно-стей скалярного поля. Для этого рассмотрена модель вцда:

где и(<) = -2/?г, £ и л: вещественны. Выберем решение этого уравнения в виде 0>0);

Эти выражения представляют собой частный случай функций Ганкеля. После преобразований Дарбу потенциал принимает вид

5фк +(к2 +и(фЗфк = 6фК + (-хг2 + «(/)>%

ит =-2^

А1 ехр^)+В2 ехр^-2л?) - 4АВ(/а)2 - 2АВ (Л(л/-1)ехрК) +В{к1 +1)ехр(-л?))2

поэтому при t —> -Ко имеем

Г лГ

Это означает, что при достаточно больших значениях /0, и<|](Г0) пропор-цианально "('о) и> следовательно, спектр флуктуаций в этот момент у них, фактически, одинаков. Таким образом, при выборе в качестве базовой функции, функции со спектром, совпадающим с наблюдениями, при помощи преобразований Дарбу мы можем строить новые модели, спектр которых также будет совпадать с наблюдениями.

В третьей главе рассматриваются разные стороны обнаруженного явления гладкой фантомизации (перехода Вселенной в ходе эволюции в состояние, характеризующееся доминированием фантомных полей). Проанализированы основные возможные возражения против его возникновения. Показано, что в рамках стандартных космологических представлений избежать его нельзя.

В заключении кратко рассмотрено содержание диссертации с выделением полученных в ней результатов, а в приложении приведен список работ автора.

Теоретическая и практическая ценность» Полученные в работе результаты могут быть полезны при построении реалистичной полевой модели с нарушенной суперсимметрией и для изучения БПС состояний. Трехмерные ПМ могут позволить существенно расширить класс трехмерных интегрируемых потенциалов, не обладающих дополнительными симмстрия-ми, позволяющими эффективно редуцировать задачу в одномерную. Исследование космологических моделей с гладкой фактомизацией и описанный в диссертационной работе метод сшивки приводит к появлению воз-

можности построения моделей инфляции с выходом, не используя процедуру тонкой иастройки параметров.

Апробация работы. Основные результаты диссертационного исследования докладывались на

• XXXV научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников, аспирантов и студентов (Калининград : КГУ,

2004);

• XXXVI научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников, аспирантов и студентов (Калининград : КГУ,

2005);

• XXXVII научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников, аспирантов и студентов (Калининград : КГУ,

2006);

• Международная конференция молодых учёных в рамках форума «Всемирный год физики в Московском университете» (Москва, 2005);

• Международные Фоковские чтения (Санкт-Петербург, 2004);

• На семинаре кафедры теоретической физики РГУ им. И, Канта.

Публикация результатов диссертации. Основное содержание диссертации отражено в шести статьях и двух электронных публикациях в Лос-Аламосском архиве, перечень которых прилагается в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав со сквозной нумерацией формул, заключения, двух приложений и списка использованной литературы. Общий объем диссертации 125 страниц. Дис-

сертация содержит б графиков и одну таблицу. Список использованной литературы содержит 95 наименований на 8 страницах.

Отюные раультеш дшсертацяк «цубшомаы в {йОош;

1. Юров А.В.,'Верещагин С.Д. Преобразования Дарбу и точно решаемые космологические модели //ТМФ. 2004. Т. 139 (3). С. 405-422. A.V. Yurov, 5. D. Veresbchagin. The Darboux Transformation and Exactly Solvable Cosmological Models. [Электрон, ресурс]. Режим доступа: arXiv: hep-th/0502099 ....-' Юров А.В., Верещагин С.Д., Верещагин М.Д Трёхмерное преобра-Ч зование Мутара. //Математическое моделирование. 2006.

Т. 18. №5. С. 111-125. ■ .. ' ' \ . 1

3. Юров А.В., Верещагин С.Д. Гладка« фантомвзация// Вестник ЕИ-

. ЭФ. 2005. Вып. 33. С. 290-297.

4^ Юров А.В„ Верещагин С.Д. О связи между нарушением кваягрме-ханической и полевой суперсившетрии //Весгкик РГУ имени

; ШСанта. 2006. №4. С. 15-19. >

5. Верещагин С.Д. О принципиальной неоднозначности предсказания будущего Вселенной по данным наблюдения за масштабным фактором, //Вестник РГУ имени И.Канта. 2006. М4. С. 19-23.

6. A.V. Yurov, V.A. Yurtv, S. D. Veresbchagin. Can weescape from tbe big rip in die achronal cosmic future? [Электрон, ресурс). Режим доступа: arXiv:astro-ph/0503433

7. Верещагин С. Д., Юров А.В. Преобразование Дарбу нтахнонная неустойчивость// Исследовано в Рос«ии. [Электрон. ресурс]. Режим доступа: http^/zhumal^pe. relam.ru/fflticles/2006/156.pdf

Сергей Дмитриевич ВЕРЕЩАГИН

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СУПЕРСИММЕТРИИ ДЛЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ЭЙНШТЕЙНА И ГЛАДКАЯ ФАНТОМИЗАЦИЯ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Подписано в Печать 13.11.2006 г. Формат 60x90 1/16. Бумага для множительных аппаратов. Ризограф. Усл. печ. л. 1,2 Уч.-иэд. л. 0,9. Тираж 80 экз. Заказ 231

Издательство Российского государственного

университета имени Иммануила Канта, 236038, г. Калининград, ул. А. Невского, 14

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДАРБУ.

1.1 ПД для одномерного уравнения Шредингера и его обобщения

1.2 Нарушенная сунсрсиммстрия.

1.3 БПС состояния.

1.4 Расширенная суперсимметрия.

1.5 Преобразования Мутара в высших измерениях.

1.6 ПМ и эллиптический комплекс.

1.7 Трехмерные преобразования Мутара в потенциалах типа Ааронова-Бома.

ГЛАВА 2. Преобразование Дарбу в космологии.

2.1 Построение интегрируемых моделей в метрике Фридмана-Леметра-Робертсона-Уолкера

2.2 Точно решаемые космологии.

2.3 Постановка задачи.СО 2.4 Простейшая модель.G

2.5 Преобразование Дарбу

2.6 Преобразование Дарбу и тахионная нестабильность

2.7 Плоский спектр и ПД.

2.8 Реконструкция потенциала У(ф).

2.9 Возмущения плотности.

ГЛАВА 3.

Общие решения уравнений Эйнштейна и энергетические условия.

3.1 Сиисок возможных объяснений

3.2 Гладкая фантомизация.

3.3 Можно ли избежать сингулярности большого разрыва через кротовую нору?.

Актуальность темы

Предлагаемая работа посвящена изучению многомерных преобразований Дарбу-Мутара и обобщенного комплекса Де Рама, а также механизмов связи этих преобразований с процедурой нарушения суперсимметрии, с генерацией расширенной суперсимметрии и с БПС состояниями. Кроме того рассматривается суперсимметричный подход к построению точных решений уравнений Эйнштейна-Фридмана. 1) Эффективным способом построения суперсимметричных моделей является метод преобразований Дарбу ПД. В одномерном случае, ПД позволяет построить квантовый гамильто-* ниан с наперёд заданным конечным дискретным спектром. Изоспектральные системы в одномерном случае возникают в случае, когда опорная функция ПД является положительно определённой. Например, если в качестве таковой выступает волновая функция основного состояния исходного гамильтониана, то спектр (дискретный) нового гамильтониана получается из спектра исходного просто вычёркиванием нижнего уровня. Если, всюду положительная, опорная функция достаточно быстро растёт вдоль обоих направлений вещественной оси, то подобной процедурой можно по-t лучить спектр исходного гамильтониана из спектра нового. Наконец, если положительно-определённая опорная функция быстро растёт в одном направлении и убывает в другом, то спектры гамильтонианов, сплетённых посредством ПД - совпадают. В последнем случае реализуется нарушенная суперсимметрия, а в первых двух - точная. Кроме того, можно удалять уровни из любого места спектра группами, если пользоваться схемой Адлера. В многомерном случае (d>l), ситуация становится гораздо сложнее., поскольку при этом возникает последовательность сплетающих ся друг с другом матричных гамильтонианов. Изоспектральными оказываются лишь ближайшие соседи этой цепочки, спектры же двух скалярных гамильтонианов замыкающих цепочку вообще говоря никак не связаны. Использование; в качестве опорной волновой функции основного состояния исходного скалярного гамильтониана с потенциалом степенного типа, приводит, как и в одномерном случае, к исчезновению нижнего уровня у всех остальных гамильтонианов цепочки. Можно, однако использовать другие потенциалы, которые приводят к качественно новому поведению. Например, в двух измерениях цепочка состоит из двух скалярных и одного матричного гамильтонианов. Можно, оказывается, найти модели, такие, что ПД будет "удалять"нижний уровень в спектре правого замыкающего скалярного гамильтониана, но "оставлять"его в спектре матричного. Можно добиться и обратного: наличия нижнего уровня в спектрах правого замыкающего и матричного. В обоих случаях, в спектре суиерсимметричного гамильтониана, который строится блочно-диагональным образом из этих трёх, будет присутствовать двукратно-вырожденный уровень Е=0. Аналогичную процедуру можно провести и для произвольной размерности.

Такие модели могут быть весьма интересны с точки зрения теории ноля. Как известно, d-мерная суперсимметричная квантовая механика, построенная но описанной выше схеме может быть рассмотрена, как (0+1)-мерная теория d-комнонентного суперполя. Роль независимых переменных в такой модели играют время и двухкомпонентный антикоммутирующий, майорановский спинор. Суперсимметричный лагранжиан содержит потенциальное слагаемое (сунерпотенциал), которое является логарифмом опорной функции ПД, взятого с обратным знаком. В рамках такой, достаточно простой, но уже нетривиальной теории поля, можно рассмотреть вопрос о спектре масс частиц, входящих в супермультиплет, который содержит d скалярных и d фермионных полей. Ограничимся случаем d—2. Если рассмотреть случай "исчезающего"урогшя, то суперсимметрия будет точной. Если выбрать в качестве опорной положительно определённую, и ограниченную вдоль какого нибудь направления на плоскости функцию,то получится нарушенная суперсимметрия. Наконец, выбирая исходный потенциал модели, так, чтобы нижний уровень одного из замыкающих скалярных гамильтонианов совпадал с нижним уровнем матричного, получим суперсимметричную модель с двукратно вырожденным уровнем Е=0. В этом случае суперсимметрия не нарушена - операторы суперсимметрии будут уничтожать соответствующие вакуумные волновые функции, а не переводить их друг в друга. Исследование системы с точной суперсимметрией, I но вырожденным основным состоянием может оказаться весьма полезным и в реалистичных моделях.

2) Космология в настоящий момент является одним из наиболее интересных и бурно развивающихся разделов физики. Однако, исследования в ней осложняются тем обстоятельством, что известно сравнительно небольшое количество точных решений соответствующих уравнений, адекватное приближение существует далеко не всегда, а численный анализ может пропустить целые классы решений или не заметить некоторые особенности их ^ поведения. В настоящей работе предложен метод, основанный на использовании преобразования Дарбу (или суперсимметрии), позволяющий построить новый класс точных космологических моделей. Так же в работе проведены исследования полученных моделей для некоторых интересных случаев, что, в частности, позволило открыть явление гладкой фантомиза-ции, то есть возможность такой эволюции Вселенной, при которой обычное состояние в некоторый момент времени гладко (то есть без разрывов как функций, так и их производных) переходит в состояние с нарушенным сла бым энергетическим условием (р > 0, р-f р/с2 > 0). В работе исследованы разнообразные следствия этого явления и рассмотрены возможные возражения против него; разработан метод, позволяющий вырезать области с нарушением слабого энергетического условия который позволяет, в частности, построить точную космологическую модель с первичной инфляцией, выходом из неё и вторичной инфляцией.

Цель и задачи

Цель работы заключается в

1. разработке математической техники позволяющей строить нолевые модели с нарушенной сунерсимметрией и генерировать БПС состояния с помощью многомерных преобразований Дарбу-Мутара;

2. реализации алгебр расширенной суперсимметрии в двумерной супер-симметричиой квантовой механике;

3. изучении связи многомерных преобразований Мутара с геометрией обобщенного эллиптического комплекса;

4. построении трехмерных преобразований Мутара связывающих скалярные гамильтонианы при наличии потенциалов типа Ааропова-Бома;

5. применении методов суперсимметрии для построения точных космологических решений в метрике Фридмана;

6. изучении режимов гладкой фантомизации и возможных подходов позволяющих избавиться от решений такого типа.

Предмет исследования

Суперсимметричпая квантовая механика, многомерные преобразования Дарбу-Мутара, обобщенный комплекс Де Рама, БПС состояния, нарушенная суперсимметрия, использование преобразования Дарбу для построения точных космологичесих моделей, анализ свойств таких моделей, явление гладкой фантомизации.

Научная новизна и положения, выносимые на защиту.

В диссертационной работе получены следующие новые результаты:

1. Показано, что нарушение суперсимметрии в ССКМ приводит к раздвижке масс в соответствующей полевой теории.

2. Предложен метод построения суперсимметричной квантовой механики с вырожденным уровнем Е=0. Приведены аргументы в пользу того, что соответствующие состояния являются БПС состояниями.

3. Предложен метод получения двумерных преобразований Мутара, который может быть обобщен на случай трех измерений путем использования неинтегрируемой Дираковской фазы.

4. Развит метод построения точных решений уравнений Эйнштейна-Фридмана использующий преобразование суиерсиметрии.

5. Обнаружено явление гладкой фантомизации.

Заключение

Перечислим основные результаты полученные в диссертации.

1. Показано, что нарушение суперсимметрии в ССКМ приводит к раздвижке масс в соответствующей нолевой теории.

2. Предложен метод построения суперсимметричпой квантовой механики с вырожденным уровнем Е-0. Приведены аргументы в пользу того, что соответствующие состояния являются БПС состояниями.

3. Предложен метод получения двумерных преобразований Мутара, который может быть обобщен на случай трех измерений путем использования неинтегрируемой Дираковской фазы.

4. Развит метод построения точных решений уравнений Эйнштейна-Фридмана использующий преобразование суперсиметрии.

5. Открыто явление гладкой фантомизации. Разобраны его следствия, а так же возможные возражения против него.

Результаты были опубликованы, в том числе в реферируемых журналах (см приложение Б).

1. М. Abramowitz and 1.A. Stegun,"Handbook of Mathematical Functions with Formulas. Graphs and Mathematical Tables", National Bureau of Standards applied mathematics series 55 (1964).

2. В. Э. Адлер, Теор. и мат. физ., т.101, N3, 323 (1994)

3. Адлер В. Э., Шабат А.Б., Ямилов Р.И. // ТМФ. Т. 125, N3 С/ 356-424 (2000).

4. A. Albrecht and P. J. Steinhardt, Phys. Rev. Lett. 48, 1220 (1982).

5. Андрианов A.A., Борисов H.B., Иоффе M.B. // ТМФ. 1984. Т.61. N2. С.183.

6. Андрианов А.А., Борисов Н.В., Иоффе М.В., Эйдес М.И. // ТМФ. 1984. Т.61. N1. С.17.

7. А.А. Andrianov, N.V. Borisov and M.V. Ioffe, Phys.Lett.A(105) 19 (1984); A.A. Andrianov, N.V. Borisov M.I. Eides and M.V. Ioffe, Phys.Lett.A(109) 143 (1984).

8. Andrianov A.A. and Ioffe M.V. // Phys.Lett. Ser.B. 1991. V. 255. N4. P.543.

9. Андрианов A.A., Иоффе M.B., Нипшианидзе Д.Н. // ТМФ. 1995. Т.104. N3. С. 463; Andrianov А.А., Ioffe M.V. and Nishnianidze D.N.// Phys.Lett. A201 (1995) 103 hep-th/9404120].

10. Alexander A. Andrianov, Francesco Cannata, Alexander Y. Karnenshchik, Smooth dynamical (de)-phantomization of a scalarfield in simple cosmological models. Phys.Rev. D72 (2005) 043531, gr-qc/0505087.

11. Andrianov A.A., Ioffc M.V. and Nishnianidze D.N.// J.Phys. A32 (1999) 4641, solv-int/9810006.,

12. J. D. Barrow, Phys. Lett. B, 235,40 (1990).

13. J. D. Barrow and P. Saich, Class. Q. Grav., 10, 279 (1993).

14. J. D. Barrow, Phys. Rev. D 49 3055 (1994).

15. Yu. V. Baryshev, Astronomical and Astrophysical Transaction, Vol. 19, pp. 417-435 (2000).

16. Березовой В.П., Пашнев А.И. // ТМФ. 1987. Т.70. N1. С. 146.

17. Березовой В.П., Пашнев А.И. // ТМФ. 1989. Т.78. N2. С.136. '

18. М. Bordag and A. Yurov. Spontaneous Symmetry Breaking and Refiectionless Scattering Data// Phys. Rev. D 67 025003-1(9) (2003) hep-th/0206199].

19. R. Branderberger and F. Finelli, "On the Spectrum of Fluctuations in the Field Theory of the Ekpyrotic Universe", JHEP 0111, 056 (2001) hep-th/0109004].

20. R.R. Caldwell, M. Kamionkowski and N.N. Weinberg, Phantom Energy and Cosmic Doomsday. Phys. Rev. Lett. 91 (2003) 071301, astro-ph/0302506].

21. R.R. Caldwell, A Phantom Menace? Cosmological consequences of a dark energy component with super-negative equation of state. Phys. Lett. В 545, 23-29 (2002), astro-ph/9908168].

22. Constantin P. and Wu J. The Inviscid Limit for Non-Smooth Vortivity. Indiana University Mathematics Journal, 45, No.l, (199G).

23. M. M. Crum, Quart. J. Math. Oxford 6 no. 2 (1955) 121.

24. A.D. Dolgov, hep-ph/0203245] vl (2002).

25. Faux M. and Spector D. //quant-ph/0401163J.2G. R. Dick, Class, and Quantum Grav., V. 18, N. 7, Rl-24 (2001) hep-th/0105320].

26. G. F. R. Ellis and M. S. Madsen, Class. Q. Grav., 8, GG7 (1991).

27. G. Felder, A. Frolov, L. Kofman and A. Linde, "Cosmology With Negative Potentials", CITA-2002-04 SU-ITP-02/05 hep-th/0202017] (2002).

28. P. M. Garnavich et al, Astrophys. J. 509, 74 (1998) astro-ph/980G39G],

29. A. Gorizales-Lopes and N. Kamran, J.Geom.Phys.26202-226 (1998) hep-th/9612100].

30. A. H. Guth, Phys. Rev. D 23, 347 (1981).

31. E. Hopf. Comm. Pure Appl. Math. 3, 201-230 (1950).

32. Hurni M. J. Phys. A: Math. Gen. 21, (1988) 2075 .

33. L. Infeld and Т.Е. Hull, Rev.Mod.Phys. V. 23 p. 21 (1951).

34. A.H. Jaffe et al., Phys. Rev. Lett. 86, 3475 (2001).3G. R. Kallosh, L. Kofman, and A. Linde, Phys. Rev. D 64, 123523 (2001).37| R. Kallosh, A. D. Lindc, S. Prokushkin and M. Shrnakova, Phys. Rev. D G5, 105016 (2002) hop-th/0110089.

35. A. Kamenshchik, U. Moschella and V. Pasquicr, gr-qc/0103004],

36. J. Khouru, B.A. Ovrut, P.J. Stcinhardt and N. Turok, Phys. Rev. D 64, 123522 (2001) hep-th/0103239].

37. Leble S.B., Yurov A.V. The Addition of the Lower Level to Spectrums of Matrix and Scalar Components of d=2 SUSY Hamiltonian.// quant-ph-9805036.

38. J. E. Lidsey, Class. Q. Grav., 8, 923 (1991). .

39. A. D. Linde, Phys. Lett. В 108, 389 (1982).

40. A.D. Linde, Phys. Lett. 129B, 177 (1983).

41. A. D. Linde, Phys. Lett. В 200, 272 (1988).

42. A. D. Linde, Phys. Lett. B, 200, 272 (1988); Particle Physics and Inflationary Cosmology, Harwood, Chur, Switzerland (1990).

43. A. D. Linde, Phys. Rev. D 49, 748 (1994) astro-ph/9307002],

44. A. Linde, "Fast-roll inflation", JHEP 0111, 052 (2001) hep-th/0110195].

45. A. Linde, "Inflationary Theory Versus Ekpyrotic/Cyclic Scenario", hep-th/0205259] SU-ITP-02-25 (2002).

46. A. Linde, Can we have inflation with Omega > 1? JCAP 0305 (2003) 002, astro-ph/0303245].

47. D. H. Lyth, hep-ph/0110007].

48. D. H. Lyth and D. Wands, Phys. Lett. В 524 524, 5-14 (2002) hcp-ph/0110002].

49. R. Maartens, D. R. Taylor and Roussos, Phys. Rev. D 52 3358 (1995).

50. V.B. Matveev and M.A. Salle "Darboux Transformation and Solitons", Berlin-Heidelberg: Springer Verlag, 1991

51. Miao Li, A Model of Holographic Dark Energy. Phys.Lett. BG03 (2004) 1, hep-th/0403127].

52. Moutard. Th.F. // C. R. Acad. Sci. Paris. 1875. V. 80. P. 729.5G. H. B. Nielsen and C. Froggatt, hcp-ph/9607375].

53. H.-P. Nilles, Phys. Rep. 110, 1-162 (1984).

54. P.Parson and J. D. Barrow, Class. Q. Grav., 12, 1715 (1995).

55. Pedro F. Gonzalez-Diaz, Achronal cosmic future. Phys.Rev.Lett. 93 (2004) 071301, astro-ph/0404045],

56. GO. Pedro F. Gonzalez-Diaz, Holographic cosmic energy, fundamental theories and the future of the universe. IMAFF-RCA-05-02, astro-ph/0507714.]

57. F. Pempinelli, Localized Soliton Solution for the DS-1 and DS-3 equations, PM/92-31, August, 1992

58. S. Perhnutter et al. Astrophys. J. 517, 565 (1999) astro-ph/9812133].

59. G3. M.D. Pollock, Phys. Lett. В 215, G35-G41 (1988).

60. В. Ratra and P. J. Peebles, Phys. Rev. D 37, 3406 (1988).

61. A. G. Riess et al., Astron. J. 116, 1009 (1998) astro-ph/9805201].

62. GG. Салль M.A., Юров А.В. // Факторизация двумерных гамильтонианов и алгебра расширенной суперсимметрии: препринт НМЦАО. N930G-3. С.-Петербург.1. G7 G81. G970 7172 73 [7475 7G [77

63. V. Sahni and Y. Shtanov, astro-ph/0202346j.

64. D. N. Spergel et al., First Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Determination of Cosmological Parameters, astro-ph/0302209.

65. T.P. J. Steinhardt, L. M. Wang and I. Zlatev, Phys. Rev. D 59, 123504 (1999) astro-ph/9812313.,

66. P.J. Steinhardt and N. Turok, hep-th/0111030. (2001).

67. P. J. Steinhardt and N. Turok, Phys. Rev. D 65, 126003 (2002) hep-th/0111098.

68. P. J. Steinhardt and N. Turok, astro-ph/0112537.

69. S.I. Svinolupov and R.I. Yamilov, Theor. and Math. Phys. 98 (1994) 207

70. M. Tegmark, A. de Oliveira-Costa and A. Hamilton, A high resolution foreground cleaned CMB map from WMAP, astro-ph/0302496.,

71. F. J. Tiplcr and J. Graber, gr- qc/0003082.

72. Верещагин С.Д., Юров А.В. // ТМФ, Т. 139 N3 (2004) 405

73. Весе 10. Суперсиммстрия и супергравитация. М., Мир, 1986;

74. Уэст П. Введение в суперсимметрию и супергравитацию. М., Мир, 1989.

75. Юров А.В. Преобразование Дарбу в квантовой механике. Уч. иос., Калилинград (1998) С.1-99.

76. Yurov A.V. Exact Inflationary Cosmologies With Exit: From Complex Infiaton Field To An "Anti-inflaton"One.//Class. Quantum Grav. 18, 2001, pp. 3753-3766.

77. V. M. Zhuravlev, S. V. Chervon, and V. K. Shchigolev, JETP, 87, 2231998); V. M. Zhuravlev, S. V. Chervon, and V. K. Shchigolev, Phys. Lett. B, 398, 269 (1997).

78. V. M. Zhuravlev and S. V. Chervon, JETP, 91, 227 (2000).

79. I. Zlatev, L. M. Wang and P. J. Steinhardt, Phys. Rev. Lett. 82, 8961999) astro-ph/9807002.

80. R.R. Caldwell, M. Kamionkowski and N.N. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 91 (2003) 071301, astro-ph/0302506].

81. S.M. Carroll, M. Hoffman and M. Trodden, Phys. Rev. D68 (3003) 023509, astro-ph/0301273].

82. Pedro F. Gonzalez-Diaz, hep-th/0411070], Pedro F. Gonzalez-Diaz, Phys. Rev. D69, 0C3522 (2004).

83. L. M. Krauss and G. D. Starkman, astro-ph/0404510].

84. F. J. Tipler, astro-ph/0111520].

85. S. Nojiri and S.D. Odintsov, hep-th/0405078].

86. J. Garriga, V.F. Mukhanov, K.D. Olum and A. Vilenkin, astro ph/9909143].