Исследование двумерных и матричных квантовых моделей методом соотношений сплетения тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

804604128

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Валиневич Павел Анатольевич

ИССЛЕДОВАНИЕ ДВУМЕРНЫХ И МАТРИЧНЫХ КВАНТОВЫХ МОДЕЛЕЙ МЕТОДОМ СООТНОШЕНИЙ

СПЛЕТЕНИЯ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Санкт-Петербург 2010

1 7 ИЮН ?0Ю

004604128

Работа выполнена на кафедре физики высоких энергий и элементарных частиц Санкт-Петербургского государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

доктор физ.-мат, наук, профессор Иоффе Михаил Вульфович

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ!

доктор физ.-мат. наук, профессор Борисов Николай Валентинович

доктор физ.-мат. наук, профессор Самсонов Борис Фёдорович

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Санкт-Петербургское отделение Математического института, им. В.А. Стеклова Российской Академии Наук

Защита состоится 24 июня 2010 г. в |£"час.£?(£?мин. на заседании совета Д 212.232.24 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: Санкт-Петербург, Средний пр. В. О., д. 41/43, ауд. 2.05"

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разосланном051 2010 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

А.К. Щёкин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Класс точно решаемых квантовых систем, т.е. систем, для которых известны аналитические выражения для собственных значений энергии н соответствующих волновых функций, весьма ограничен. В одномерном случае список таких систем известен давно, в основном, в рамках метода факторизации Шредингера |1].

В то же время существует очень небольшой набор многомерных точно решаемых моделей. Их решение было получено либо в рамках анза-ца Бете, либо с помощью стандартного метода разделения переменных. Такие системы являются во многих смыслах исключительными, и, кроме точной решаемости, обладают другими замечательными свойствами, в частности, интегрируемостью. Точно решаемые модели возникают во многих областях теоретической физики, их изучение и попытки обобщения продолжаются но сей день.

В конце 80-х годов стали активно изучаться одномерные квази-точно решаемые системы [2[ - модели, для которых аналитически удается получить только часть спектра и соответствующие волновые функции.

С момента своего появления в 1982 году суперсимметричная квантовая механика (ССКМ)[3| и возникающие в её рамках соотношения сплетения стали мощными инструментами для поиска новых квази-точно и точно решаемых систем. Полиномиальное обобщение одномерной ССКМ [4[ расширило арсенал методов, и позволило исследовать ряд одномерных моделей, в том числе периодических. Для многомерных моделей также был получен ряд результатов: путем решения соотношений сплетения было построено двумерное квази-точно решаемое обобщение потенциала Морса [5], а при некоторых значениях параметров доказана его точная решаемость [б[ . Эти и многие другие работы последнего времени показывают, что исследовательский потенциал, содержащийся в ССКМ и методе соотношений сплетения, далеко не исчерпан, в рамках этих методов могут быть найдены новые интегрируемые квази-точно и точно

решаемые системы.

Соотношения сплетения возникают также при исследовании другого класса интегрируемых систем - спиновых цепочек [7]. Гильбертово пространство состояний для иих является тензорным произведением пространств представления некоторой алгебры, и для конечномерных представлений гамильтониан можно представлять в виде матрицы. С помощью квантового метода обратной задачи рассеяния для таких цепочек строится набор взаимно коммутирующих генераторов и находится их спектр собственных значений. Важную роль при этом играет универсальная Л—матрица удовлетворяющая уравнению Янга-Бакстера: в её терминах выражается <5—оператор Бакстера, важный для нахождения спектра взаимно коммутирующих операторов модели.

Универсальные Я—матрицы были найдены для многих классов спиновых цепочек с различными алгебрами симметрии. Был предложен метод [8], согласно которому й{и) может быть найдена как некоторый элемент группы перестановок специального вида. В рамках этого метода было получено явное выражение для Я—матрицы спиновой цепочки с алгеброй симметрии

Современное состояние проблемы.

И в ССКМ, и в теории интегрируемых спиновых цепочек важнейшую роль играют соотношения сплетения!

= (1)

где 2Т - некоторые операторы; I при этом называется сплетающим оператором. Наибольшую пользу такие соотношения приносят в задачах, где требуется найти спектр одного из операторов например, когда они являются гамильтонианами шредингеровского вида.

Исходя только из (1)( можно получить ряд важных следствий, касающихся спектров операторов 1/^2- В случае самосопряженных операторов 1,1,2 можно рассмотреть также эрмитово-сопряженное соотношение 2^1/1 = Ь2Совместно с (1) оно приводит к существованию операторов

симметрии:

[I1,2Tt]=0; [L2)ît2] = 0. (2)

Таким образом, системы с эрмитовыми гамильтонианами Z1)2, удовлетворяющими (1), автоматически являются интегрируемыми.

ССКМ была предложена Виттеном для изучения спонтанного нарушения суперсимметрии и к lî a i по во-1 юл с в ы х моделях. В её рамках возникли соотношения сплетения между гамильтонианами, содержащими произвольную функцию сунериотенциал. В схему одномерной ССКМ вскоре были включены все известные точно решаемые одномерные потенциалы. Обобщение этой конструкции па случай потенциалов, зависящих от нескольких переменных, было предложено в 1984 году в работе [9]. При переходе к многомерному случаю сохранилась свобода в выборе суперпотенциала, но соотношения сплетения связывали матричные гамильтонианы различной размерности.

Вскоре было предложено полиномиальное обобщение многомерной ССКМ JlOl для простейшего случая движения в двумерном пространстве. Соотношения сплетения при этом записывались в виде

H<®Q-=Q-HV, (3)

где HW - сплетаемые гамильтонианы, a - сплетающий оператор:

Q- = дгк{х)д-А -f Ci{x)di + В(х) (4)

с произвольными функциями gik(x), С,(ж), В(х)„ Задача нахождения гамильтонианов со сплетением (3) приводит к системе нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Общее её решение неизвестно, однако некоторые частные решения позволили получить интересные двумерные квази-точно решаемые интегрируемые модели на плоскости |5].

Соотношения сплетения несколько другого вида возникают в рамках квантового метода обратной задачи рассеяния- Как известно, интегрируемая спиновая цепочка задается с помощью оператора Лакса L(v) и

фундаментальной R—матрицы R(u — v). Эти операторы удовлетворяют фундаментальному коммутационному соотношению

R{u - v)LM(u)L<®(v) = LW(v)LM(u)R(u - v), (5)

которое можно интерпретировать как соотношение сплетения, В отличие от (l)¡ операторы в нем действуют в разных пространствах.

Для нахождения спектра состояний спиновой цепочки существует ряд методов, самым старым из которых является анзац Бете. Однако большую область применимости имеет метод Q—>оператора Бакстера.

В работе [8[ впервые был построен Q—оператор Бакстера для спиновой цепочки XXX с алгеброй симметрии s£n; при этом авторы существенным образом опирались на явный вид универсальной R—матрицы этой модели. Такой подход может быть использован и для спиновых цепочек с деформированной алгеброй симметрии: достаточно лишь знать явный вид универсальной Л—матрицы.

Построение универсальной i?—матрицы является сложной задачей. Для её упрощения удобно представлять генераторы алгебры в виде дифференциальных операторов, действующих на определенном пространстве функций. Для алгебры sín такие реализации известны давно [11], и именно их применение позволило авторам [8| построить универсальную R—матрицу в виде дифференциального оператора, а затем получить уравнения Бакстера. Предложенный авторами метод опирается на факторизацию R—матрицы.

Оператор Лакса спиновой цепочки с алгеброй симметрии s£n зависит от спектрального параметра и и параметров представления алгебры lt, г — 1,... ,п. Если использовать реализацию генераторов этой алгебры в виде дифференциальных операторов, в выражения для которых входят U, то можно увидеть, что в итоговой формуле для L(u) будут встречаться только комбинации вида щ — и — Уравнение для универсальной

Л—матрицы 71 будет иметь вид

ГЩи - ь)ЬМ(ии ..., ип)1Р\ьи ...,*„) =

- . .,уп)Ь<Я(ии .. .,ип)ГК(и - и), (6)

где V - оператор перестановки, т.е. ТЛ переставляет набор параметров («4,... ,ип) первого оператора Лакса Ь^ с набором (VI,..., входящим в Ь(Т>. Оператор V, можно представить в факторпзоваппом виде в терминах элементарных операторов 5г, г — 1,... ,п, каждый из которых осуществляет перестановку г—го и (г + 1)—го параметра из набора (щ,..., ип, VI,..., ьп). Задача нахождения является более простой, так как при г -/- п в определяющие уравнения входит только один оператор Лакса, а не два, как в (6),

Описанная выше технология может быть с некоторыми модификациями перенесена на случай цепочек с. деформированной алгеброй симметрии ид(з£п). Для её применения требуется во-первых, построить реализацию генераторов в виде дифференциальных операторов, действующих на определенном пространстве функций, и, во-вторых, получить факто-ризованные выражения для оператора Лакса.

Цель работы. Основными целями диссертации являются»

1, Получение новых двумерных квази-точно решаемых и интегрируемых моделей при помощи решения суперсимметричных соотношений сплетения и последующее их исследование.

2 Построение реализации алгебры симметрии спиновой цепочки в виде операторов, действующих на пространстве функций нескольких переменных. Использование этой реализации для вычисления универсальной Я—матрицы.

Практическая ценность,,

Полученные, в диссертации результаты позволяют построить новые, квази-точно решаемые интегрируемые двумерные модели и найти пути к построению новых точно-решаемых моделей.

Явный вид универсальной Л—матрицы спиновой цепочки с деформированной алгеброй симметрии Uq{stz) может быть использован для дальнейшего исследования этой системы: построения Q—оператора, получения уравнений Бакстера и определения собственных значений энергии и операторов симметрии.

Предложенный метод построения реализации квантовой алгебры Uq(s£n) па пространстве функций п(п—1)/2 переменных позволяет получить компактные рекуррентные выражения для генераторов алгебры, а также даст возможность представить оператор Лакса спиновой цепочки в факторизованпом виде, полезном для дальнейшего построения универсальной Л—матрицы для квантовой алгебры Uq(s£n).

Апробация работы.

Результаты работы докладывались на международных конференциях, посвященных интегрируемым и точно решаемым моделям квантовой механики: 3rd International Workshop on Pseudo-Hermitian Hamiltonians in Quantum Physics 2005 (Стамбул, Турция)} First and Second Workshops "New challenges in Quantum Mechanics« Integrability and Supersymmetry" 2005 (Вальядолид, Испания), 2006 (Бургос., Испания) s International Workshop on Theoretical and Mathematical Physics 2006 (Болонья, Италия),

Публикации^ Основные результаты диссертации опубликованы в 5 печатных работах. Список публикаций приведён в конце автореферата.

На защиту выносятся следующие основные положения^

1о Предложен новый метод решения двумерных суперсимметричных соотношений сплетения второго порядка с суперзарядами, представимы-ми в виде произведения двух операторов первого порядка с промежуточным твистом, Получено общее решение для гамильтонианов, операторов симметрии и сплетающих суперзарядов.

Метод суперсимметричпого разделения переменных применен для исследования спектра ряда двумерных моделей, не допускающих стандартного разделения переменных. Доказана квази-точная решаемость

обобщённой модели Пёшля-Тсллсра (в терминах полиномов Лежандра), обобщённого потенциала Ламе и обобщённого присоединенного потенциала Ламе (в терминах эллиптических функций Якоби), а также найдена волновая функция и энергия основного состояния для обобщённого потенциала Разавн.

3, Разработана новая рекуррентная процедура построения оператора Лакса для спиновой цепочки с алгеброй симметрии, являющейся q—деформированной универсальной обертывающей алгеброй Uq(sln). Оператор Лакса L{u) реализован в виде разностного оператора, действующего па пространстве функций п(п — 1)/2 переменных. Предложенный метод позволил получить компактные факторизовапные выражения для

ад.

4а Для сшшовой цепочки с алгеброй симметрии Uq(s£^j получено явное выражение для универсальной R—матрицы при помощи факторизации её на произведение элементарных операторов перестановки параметров. Для вычислений использовался оператор Лакса, построенный с помощью метода когерентных состояний. Построенная Л—матрица имеет вид произведения операторных q—экспонент, действующих на пространстве функций 6 переменных.

Структура и объём диссертации^ Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Объём диссертации — 120 страниц. Список литературы включает 86 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даётся определение соотношений сплетения| а также кратко обосновывается возможность их применения при решении спектральных задач.

Глава I является обзорной. В ней содержатся определения и формулы, необходимые для дальнейшего изложения результатов диссертации.

Первая часть главы I посвящена ССКМ и возникающим в сё рамках соотношениям сплетения, Приводятся явные формулы для гамильтони-

анов виттеновской ССКМ, многомерной ССКМ и их полиномиального обобщения в одномерном и двумерном случаях.

Во второй части главы I рассматриваются интегрируемые спиновые цепочки; вводятся основные понятия! фундаментальная Л—матрица, универсальная Л—матрица, оператор Лакса (L—оператор), матрица мо-нодромии, трансфер-матрица. Там же приведены явные выражения для L—оператора и фундаментальной Л—матрицы спиновых цепочек с алгеброй симметрии sin.

В главе 2 предложен новый метод получения сплетения второго порядка (3) для двумерных гамильтонианов. В рамках этого метода гамильтониан Яявляется первой матричной компонентой супергамильтониана двумерной суперсиммстрпчпой квантовой механики:

я<°) - -д(2) + = -д(2) + (ад*))2 + (ад*))2 - , (7)

где х(х1>х2) - суперпотепциал, А1-2'1 - двумерный оператор Лапласа. Гамильтониан Нопределяется аналогичным образом и имеет суперпотепциал х(.т'). Сплетающий оператор выбирается в факторизовапном виде с промежуточным твистом!

где д? = -д; + &х(х)), Чк = дк + (дкх{х)), а Щк - некоторая произвольная унитарная 2x2 матрица. Такой выбор сплетающего оператора существенно упрощает решение соотношений сплетения, по сравнению с (4), Тем не менее, уравнения па функции х, X остаются нелинейными.

В параграфе 2.1.1 показано, что единственным выбором матрицы и, приводящим к нетривиальным потенциалам, является I/ — 03. Там же получен общий вид суперпотенциалов х, X

Q+ = (Q-)f = 4tUik%

(в)

Х(х) = (ц(хi) 4- fi2(x2) + АЧ-(®+) + М®-); Х{х) = ¡и{xi) 4- р-2(х2) - 1ч{х+) - /i-(ar-);

где х± = {хх ± х2)/\/2, а /2^2, /'± - функции одной переменной, удовлетворяющие нелинейному функциональному уравнению

А(Х1) + //_(*_)) + ,4Ы (/4-(*+) - /¿СО) - 0. (10)

Далее получено общее решение этого уравнения и показано, что //1,2(^1,2) должны удовлетворять нелинейному дифференциальному уравнению

О'"»)2 - 4/4,2(*))4 + Ч/4»)2 + с, (11)

с произвольными а, Ь, с, а функции ц±(х~) однозначно определяются через /^1,2- В параграфе 2.1.3 обсуждаются свойства симметрии (10), которые. позволяют получать новые решения соотношений сплетения из уже известных.

В параграфе 2.1.4 рассматриваются классические модели, получающиеся в пределе Н —> 0 из гамильтониана (7) с суперпотенциалом (9). Демонстрируется их интегрируемость, а также интегрируемость более общей модели, являющейся классическим аналогом полного 4x4 супергамильтониана двумерной сунерсимметричпой квантовой механики.

Метод суперсимметричного разделения, применимый к рассматриваемым моделям, изложен в разделе 2.2. Из соотношений сплетения (3) следует, что поль-моды П,, г — 1,2,... оператора (¡}+ образуют собственное подпространство гамильтониана: = 1 Приводя матрицу Сцс к диагональному виду, можно найти набор из N собственных функций Н^ и их энергии.

Функций П; для рассматриваемого класса моделей оказывается возможным найти с помощью стандартного метода разделения переменных. С помощью специального преобразования подобия <3+ приводится к вида- д\ - д\ - ((,40п))2 - /4'Ы) + (04Ы)2 - /4'Ы) •

Задача нахождения его ноль-мод сводится к двум одномерным уравнениям, Ноль-моды исходного оператора С}' будут иметь вид Г^ =

р(х{)г){х2), где р(х 1), 77(22) ~ решения одномерных уравнений. Их линейные комбинации будут "кандидатами" на роль собственных функции Я, так как их нормируемость в общем случае не гарантирована.

Глава 3 посвящена конкретным моделям, гамильтонианы которых являются решениями соотношений сплетения (3) со сплетающим оператором (8) при и = <7з : двумерным обобщённым потенциалам Пёшля-Теллера, Ламе, Разави и присоединенным потенциалам Ламе.

В общем случае условие (11) означает, что функции являются эллиптическими. При различном выборе параметров а, Ь, с имеем три семейства решений в виде эллиптических функций Якоби нп(.х'|/,;), с,п(ж|&), йп(ж|/г), где к 6 [0,1] - модуль эллиптической функции. Потенциалы, получающиеся из этих решений по формулам (7), будут являться периодическими функциями по переменным и для них можно ставить задачу нахождения блоховских функций и энергетических зон. При к — 1 период обращается в бесконечность, и мы получаем непериодические модели, потенциалы которых выражаются в терминах гиперболических функций.

В разделе 3.2 рассмотрен специальный выбор непериодических функций //1,2, который приводит к двумерному обобщённому потенциалу Пёшля-Теллера. Он имеет вид

Я<°> = ЦХ1) + Ь,(х 2) + Р(хих2), (12)

где /1(21,2) - одномерные гамильтонианы Пёшля-Теллера Н(х) — —8% + совках)' а ^(-^ь^г) - некоторая функция, препятствующая разделению переменных в Я(0). Для такого гамильтониана с помощью метода суперсимметричного разделения переменных аналитически получена часть собственных значений энергии и соответствующие волновые функции.

Далее в главе 3 рассмотрены модели с периодическими потенциалами, возникающие при определенном выборе функций // - двумерные обощеи-ные потенциалы Ламе, присоединенные потенциалы Ламе и потенциалы

Разави. Их гамильтонианы снова имеют вид (12), где одномерные гамильтонианы

• Н(х) — —д2 + '2к2т2 (х\к) для потенциалов Ламе;

• Н(х) — —д2 + £>к28П2 (х\к) + для присоединенных потенциалов Ламе;

• Н(х) — —д2 + — со8 4.т) — 2/?сов2х для иотепцпала Разави.

Явный вид функций Р(х 1, х2) для каждого из этих случаев определяется супсрпотспциал ами.

С помощью метода суперсимметричного разделения переменных найдено: для обобщенного потенциала Ламе - трн собственные функции с пулевым квазиимпульсом и соответствующие значения энергии; для обобщённых присоединенных потенциалов Ламе - пять собственных функций с нулевым квазиимпульсом и соответствующие значения энергии; для обобщенного потенциала Разави - энергия и волновая функция основного состояния.

Глава 4 посвящена построению универсальной Л—матрицы для спиновой цепочки с квантовой алгеброй симметрии ид(е£з). Сначала решается задача реализации алгебры на пространстве функций трёх переменных с помощью когерентных состояний. Получающиеся в рамках этого метода генераторы алгебры в пределе <? —> 1 переходят в известные формулы для генераторов алгебры Затем на основе полученных выражений строится универсальная Я,—матрица в факторизованном виде из элементарных блоков 5,. Для ид(в£з) таких блоков будет 5: 5^2 переставляют параметры в первом операторе Лакса, ¿>4,5 - во втором, а уравнение на <5>з включает и и Уравнения для 5^2 и 53)4 решаются сначала для конечномерных представлений, а затем полученные формулы обобщаются на случай произвольных индексов представления т1)2. Для нахождения <53 используется специально полученная факторизованная форма оператора Лакса.

Итоговые выражения для <5; содержат произведения д—экспонент с операторными аргументами; в пределе ? —> 1 они переходят в известные формулы для педеформированной алгебры з^.

В главе 5 предложен рекуррентный метод построения реализации оператора Лакса на пространстве функций п(п — 1)/2 переменных для спиновой цепочки с деформированной алгеброй симметрии ид(з£п).

Первый параграф посвящен простейшей реализации алгебры па пространстве функций (п — 1) переменных - представлению Йордапа-Швиигсра. Такая реализация не покрывает все возможные представления алгебры, однако оказывается полезной в дальнейшем, Из генераторов алгебры в представлении Иордана-Швиигсра строится оператор Лакса, для которого выводится ряд полезных факторизованных форм.

Используя общие свойства уравпепия (6), а также свойства операции ко-произведсиия, определенной па генераторах алгебры, нам удалось показать, что

ЬЩи - - 62) = [и - ¿1 - Ь{12)(и) + Ь^(62)Ь^(61), (13)

где ¿1 и 82 - произвольные константы, [м] — (ди — q~u)/(q — (Г1), а оператор Лакса Ь(П) определен в тензорном произведении Г/д(.з£п) % ЪТд{ъ(1п). В качестве выбирается оператор в представлении Иордана-Швипгсра Ьх(и), который действует на пространстве функций от переменных г,-, второй оператор Лакса соответствует представлению общего положения. Полагая в (13) = —1, 52 = 0 и требуя| чтобы второе слагаемое в правой части обращалось в ноль, можно получить набор из п условий вида (р&^Еы) — 0, связывающих генераторы Ей, входящие во второй оператор Лакса, и переменные гк. Эти связи образуют идеал в исходной алгебре, и поэтому наложение условий — 0 не нарушает соотношений алгебры. После этого в получившейся фактор-алгебре обнаруживается еще один идеал, образованный элементами ЕпПолагая их равными нулю, приходим к следующему выражению для оператора Лакса:

[«]£(«) = Ьх(и + 1)Ь'(и), (14)

где Lx{u) был определен ранее, a L'(v) - это оператор L^ после наложения связей (pi = 0 и Eni = 0. Он содержит (п — 1) X (п — 1) блок, составленный из генераторов , образующих алгебру Ug(s£n~i); его п—й столбец нулевой, а в п—й строке связь — 0 использована для того, чтобы избавиться от генераторов Ein.

Таким образом, оператор Лакса для алгебры Uq{s£n) строится из оператора Лакса алгебры Uq(s£n~x) и оператора, действующего на пространстве функций (п — 1)—ой переменной. Генераторы Uq(s£n_i) можно представить таким же способом, и мы получаем рекуррентную процедуру. На каждом шаге этой процедуры при переходе от Uq{s£k) к Ug(sêk+i) размерность пространства увеличивается на к, и значит, реализация алгебры Ug(s£n) будет действовать на пространстве функций п(п — 1)/2 переменных.

В параграфе 5.3 проводится факторизация (14) на более простые матрицы с использованием полученной ранее факторизации для оператора Лакса в нредстанленин Иордана-Швингера.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Ioffe M.V., Valinevich Р.А. New two-dimensional quantum models partially solvable by the supersyrninetrical approach // J. Plays. A: Math. Gen. - 2005. - V. 38. - P. 2497-2510.

[2] Ioffe M.V., Mateos Guilarte J., Valinevich P.A. Two-dimensional supersymmetry: from SUSY quantum mechanics to integrable classical models // Ann. Phys. (N.Y.) - 2006. - V. 321. - R 2552-2565.

[3] Валиневич П.А., Деркачев С.Э., Карахаиян Д.Р., Киршнер Р„ Факторизация Л—матрицы в случае квантовой алгебры Uq{s£z) // Зап. Научи. Сем. ПОМИ - 2007. - Т. 347. - С. 88-106.

[4] Derkachov S.Б., Karakhanyan D.R., Kirsclmer R., Valinevich P.A. Iterative construction of Ug(s£(n + 1)) representations and Lax matrix factorisation // Lett, Math. Phys\ - 2008. - V. 85. - 221-234.

[5] Ioffe M.V., Mateos Guilarte J., Valinevich P.A. A class of partially solvable two-dimensional quantum models with periodic potentials // Nucl. Phys. В - 2008. - V. 790. - P. 414-431.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

[1] Infeld E., Hull Т.Е. // Rev. Mod. Phys. - 1951. - V. 23 - P. 23.

[2] Turbiner A.V. // Comm. Math. Phys. - 1988. - V. 118. - R 467.

Ushveridze A.G. // Sov. J. Part. Nucl. - 1989. - V. 20. - P., 504.

(31 Cooper F., Khare A., Sukliatme U. // Phys, Rep. - 1995. - V. 251. - P. 268.

[4] Andrianov A.A., Ioffe M.V., Spiridonov V.P. // Phys, Lett. A - 1993. -V. 174. - P, 273.

Багров В.Г. Самсонов В.Ф. // ТМФ - 1995. - Т 104. - С. 356.

[5] Ioffe M.V. //J. Phys. A: Math. Gen. - 2004. - V. 37. - Р, 10363.

Caimata F., Ioffe M.V., Nislmianidze D.N. // J, Phys, A: Math. Gen. -2002. - V. 35. - P. 1389.

[6] Ioffe M.V., Nishnianidze D.N. // Phys. Rev. A. - 2007. - V. 76. - P. 052114.

[7] Kulish P.P., Sklyanin E.K.// Lecture Notes in Physics - 1982. - V. 151.

- P. 61.

Faddeev L.D, How algebraic Betlie ansatz works for integrable models Les-Houclies Lectures, 1995.

[8] Derkachov S.E., Manashov A.N. // SIGMA. - 2006. - V. 2. - P. 084.

[9] Андрианов А. А. Борисов H.B. Иоффе M.B. Эйдес М.И. // ТМФ. -1984. - Т. 61. - С. 17.

[10] Андрианов А.А., Иоффе М.В., Ншшшанидзе Д.Н. // ТМФ. - 1995.

- Т 104. - С. 463.

[11] Желобенко Д. П. // УМН - 1962. - Т. 17. - С. 27.

Отпечатано копнровалыю-мпожительньш участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 13.05.10 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз., Заказ №1063/с. 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 929-43-00.

Введение.

Глава 1. Сплетение и квантовые интегрируемые модели

1.1. Соотношения сплетения в суперсимметричной квантовой механике

1.2. Соотношения сплетения и интегрируемые спиновые цепочки

Глава 2. Метод сплетения в суперсимметричной квантовой механике

2.1. Факторизация суперзаряда и сплетение второго порядка

2.2. Методы нахождения спектра для моделей со сплетением второго порядка.

Глава 3. Частные случаи моделей со сплетением второго порядка .57 '

3.1. Общий случай.

3.2. Двумерное обобщение потенциалов Пёшля-Теллера.

3.3. Двумерные потенциалы Ламе.

3.4. Двумерные присоединенные потенциалы Ламе.

3.5. Потенциал Разави.

Глава 4. Построение Я—матрицы для спиновой цепочки с алгеброй симметрии Uq(slz)

4.1. Алгебра Uq(s£n) и соответствующие спиновые цепочки.

4.2. Реализация генераторов Uq(s£3) в виде разностных операторов

4.3. Построение универсальной Я—матрицы.

Глава 5. Факторизация оператора Лакса для алгебры Uq(s£n)

5.1. Представление Йордана-Швингера.

5.2. Рекуррентное построение оператора Лакса.

5.3. Факторизация оператора Лакса.

Соотношения сплетения вида

L\X = ZL/2, (0.1) где Li;2, X - дифференциальные операторы, возникают во многих разделах теоретической физики. Наиболее полезны такие соотношения в задачах, когда требуется найти спектр одного из операторов L\o- Наиболее типичный пример такой ситуации - решение уравнения Шредингера для гамильтониана некоторой квантовой модели.

Исходя только из соотношений сплетения (0.1) можно получить ряд полезных следствий о связи спектров операторов Во-первых, если 1р2 - собственная функция L2, то ipi = Tip2 будет собственной функцией Li с тем же собственным значением. Если на функцию ф накладываются какие-либо дополнительные ограничения, например, принадлежность определенному классу функций (для операторов типа Шредингера - нормируемость), то спектры L\ и L2 будут различаться, и отличия будут определяться теми функциями тр2, которые оператором X выводятся за рассматриваемый класс функций.

Важным моментом для сравнения спектров является анализ нулевых мод сплетающего оператора X. Из (0.1) следует, что, если известны все ноль-моды u)k оператора X : Хши — 0, к = 1,. N, то они образуют подпространство, замкнутое относительно действия L2 : = Ylm Скт^т- Строгие утверждения касательно связи спектров сплетаемых операторов впервые были доказаны Дарбу.

В случае самосопряженных операторов Ь\г2 можно рассмотреть также эрмитово-сопряженное соотношение = LiP. Совместно с (0.1) оно приводит к существованию операторов симметрии для каждого из сплетаемых операторов

LUXX]] = 0; [Lo^X] = 0. (0.2)

Таким образом, системы с эрмитовыми гамильтонианами L\o, удовлетворяющими (0.1), автоматически являются интегрируемыми.

Приведенные соображения показывают, что спектральная задача сильно упрощается, если удается связать при помощи соотношений сплетения исследуемый оператор с оператором, спектр которого известен. Мы будем использовать этот прием для нахождения спектра связанных состояний для некоторого класса квантово-механических моделей с гамильтонианами шре-дингеровского вида.

Соотношения сплетения несколько другого вида возникают в рамках квантового метода обратной задачи рассеяния и включают Я—матрицу и матрицу Лакса модели. Эти соотношения определены на тензорном произведении трех пространств, и их отличительной особенностью является то, что сплетающий оператор действует нетривиально только на двух из них, а на третье пространство продолжается как единичный. Нами исследовались решения таких соотношений для интегрируемых спиновых цепочек с различными алгебрами симметрии.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Предложен новый метод решения двумерных суперсимметричных соотношений сплетения второго порядка с суперзарядами, пред ставимыми в виде произведения двух операторов первого порядка с промежуточным твистом. Получено общее решение для гамильтонианов, операторов симметрии и сплетающих суперзарядов.

2. Метод суперсимметричного разделения переменных применен для исследования спектра ряда двумерных моделей, не допускающих стандартного разделения переменных. Доказана квази-точная решаемость обобщенной модели Пешля-Теллсра (в терминах полиномов Лежандра), обобщенного потенциала Ламе и обобщенного присоединенного потенциала Ламе (в терминах эллиптических функций Якоби), а также найдена волновая функция и энергия основного состояния для обобщенного потенциала Разави.

3. Разработана новая рекуррентная процедура построения оператора Лакса для спиновой цепочки с алгеброй симметрии, являющейся q—деформированной универсальной обертывающей алгеброй Uq(s£n). Оператор Лакса L(u) реализован в виде разностного оператора, действующего на пространстве функций п{п — 1)/2 переменных. Предложенный метод позволил получить компактные факторизованные выражения для L(u).

4. Для спиновой цепочки с алгеброй симметрии Uq(s£з) получено явное выражение для универсальной Л—матрицы при помощи факторизации ее на произведение элементарных операторов перестановки параметров. Для вычислений использовался оператор Лакса, построенный с помощью метода когерентных состояний. Построенная R— матрица имеет вид произведения операторных д—экспонент, действующих на пространстве функций 6 переменных.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения и 5 глав.

1. Андрианов А. А. Борисов Н.В. Иоффе М.В. Эйдес М.И. Суперсимметричная механика: новый взгляд на эквивалентность квантовых систем. ТМФ 61, 1984, 17.

2. Андрианов А.А., Иоффе М.В., Нишнианидзе Д-Н. Полиномиальная суперсимметрия и динамические симметрии в квантовой механике. ТМФ 104, 1995, 463.

3. Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций. Москва: Наука, 1970.

4. Багров В.Г. Самсонов В.Ф. Преобразования Дарбу, факторизация, суперсимметрия в одномерной квантовой механике. ТМФ 104, 1995, 356.

5. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т. 1-3. Москва: Наука, 1973-4.

6. Березин Ф. А. Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными. Москва, 1983.

7. Березин Ф. А. Метод вторичного квантования. Москва, 1986.

8. Боголюбов Н. Н., Изергин А. Г., Корепин В. Е. Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи. Москва, 1993.

9. Борисов Н.В. Иоффе М.В. Эйдес М.И. Втоичное квантование полевых систем на грассмановой алгебре (дуальная струна с внутренним спином). ТМФ 29, 1976, 25.

10. Бэкстер Р. Точно решаемые модели в статистической механике. Москва, "Мир", 1985.

11. Валиневич П. А., Деркачев С. Э., Караханян Д. Р., Киршнер Р. Факторизация Я—матрицы в случае квантовой алгебры Uq(siz). Зап. Научн. Сем. ПОМИ 347, 2007, 88.

12. Генденштейн JT. Э. Нахождение точных спектров уравнения Шредингера с помощью суперсимметрии. Письма в ЖЭТФ 38, 1983, 299.

13. Желобенко Д. П. Классические группы. Спектральный анализ конечномерных представлений. УМН 17, 1962, 27.

14. Желобенко Д. П. Представления редуктивных алгебр Ли. М.: Физмат-лит, 1994.

15. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. Москва: Наука, 1963.

16. Кулиш П. П., Решетихин Н. Ю. О GZ/з-инвариантных решениях уравнения Янга-Бакстера. Зап. Научн. Сем. ЛОМИ 120, 1982, 92.

17. Ландау Л. Д. Лившиц Е. М. Теоретическая физика, т. 3. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. Москва: Наука, 1989.

18. Липатов Л. Н. Асимптотика многоцветной КХД при больших энергиях и точно решаемые спиновые модели. Письма в ЖЭТФ 59, 1994, 571.

19. Склянин Е.К., Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Квантовый метод обратной задачи. I. ТМФ 40, 1979, 194.

20. Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Квантовый метод обратоной задачи и XYZ-модель Гейзенберга УМН 34, 1979, 13.

21. Уиттекер Э. Т. Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа, ч. 2. Москва, 1963.

22. Andrianov А.А., Borisov N.V., Eidcs M.I., Ioffe M.V. Supersymmetric origin of equivalent quantum systems. Phys. Lett. A 109, 1985, 143.

23. Andrianov A.A., Borisov N.V., Ioffe M.V. The factorization method and quantum systems with equivalent energy spectra. Phys. Lett. A 105, 1984, 19.

24. Andrianov A. A., Ioffe M.V., Cannata F., Dedonder J.-P. Second order derivative supersymmetry, q deformations and the scattering problem. Int. J. Mod. Phys. 10, 1995, 2683.

25. Andrianov A.A., Ioffe M.V., Nishnianidze D.N. Classical integrable two-dimensional models inspired by SUSY quantum mechanics. J. Phys. A: Math. Gen. 32, 1999, 4641.

26. Andrianov A. A., Ioffe M.V., Nishnianidze D.N. Polynomial SUSY in quantum mechanics and second derivative Darboux transformations. Phys. Lett. A 201, 1995, 103.

27. Andrianov A.A., Ioffe M.V., Spiridonov V.P. Higher derivative supersymmetry and the Witten index. Phys. Lett. A 174, 1993, 273.

28. Andrianov A. A., Sokolov A. V. Nonlinear supersymmetry in Quantum Mechanics: algebraic properties and differential representation. Nucl. Phys. В 660, 2003, 25.

29. Aoyama H., Nakayama N., Sato M., Tanaka T. sl(2) construction of type A N-fold supersymmetry. Phys. Lett. В 519, 2001, 260.

30. Aoyama H., Sato M., Tanaka Т. General forms of a N-fold supersymmetric family. Phys. Lett. В 503, 2001, 423.

31. Aoyama H., Sato M., Tanaka T. N-fold supersymmetry in quantum mechanics: general formalism. Nucl. Phys. В 619, 2001, 105.32 333435 3637