Электронные кластеры и квантовые точки и их поведение в магнитных полях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

.О1-

Ср

О;

На правах рукописи

Капуткина Наталия Ефимовна

ЭЛЕКТРОННЫЕ КЛАСТЕРЫ И КВАНТОВЫЕ ТОЧКИ И ИХ ПОВЕДЕНИЕ В МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ

Специальность 01.04.07 - "Физика твердого тела"

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 1998

Работа выполнена в Московском государственном институте стали и сплавов (Технологический университет), г. Москва

Научный руководитель: Зло.лаЛ., профессор Лооовик Ю. Е.

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук Иванчяк И. И. (Физический Институт РАН им. Лебедева);

- кандидат физико-математических наук Ключник A.B. (Московский радиотехнический институт РАН)

Ведущая организация: Институт радиотехники и электровики РАН^цшлиал,!-. Фря-эино

Защита состоится Л11998 года в /¿Г часов на заседании Диссертационного Совета К 053.08.06 при Московском государственном институте стала и сплавов по адресу: 117936, Москва,ГСП-1, Ленинский проспект,4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного института стали и сплавов.

Автореферат разослан » 8.0 » ОЧ^лЯ 1998 г..

Ученый секретарь Диссертационного Совета .А / доц.,к.ф.и.-н. Я.М.Муковский

Л

Введение

Актуальность. Исследование систем пониженной размерности является перспективной и быстро развивающейся в последнее время частью физики конденсированных сред. Исследование таких систем имеет фундаментальное теоретическое и важное прикладное значение. Системы 'пониженной размерности, в частности, квантовые ямы и квантовые точки, а также сверхрешеткй, могут служить элементной базой нанозлектроники для создания информационных систем нового поколения; для оптоэлектроники: на их основе создаются сверхмалые лазерные источники с низким порогом по току. На основе ниэкораэмерных наноструктур возможно создание чувствительных магнитодетекторов, дозиметров, люминесцирующих экранов. С другой стороны, изучение подобных структур важно и с фундаментальной точки •зрения, с точки зрения анализа интересных новых объектов, решения задачи многих тел. Квантовые точки - это искусственные атомы, а- системы квантовых точек могут рассматриваться как своего рода гигантские искусственные молекулы с контролируемо изменяемыми параметрами. Весьма важен учет взаимодействия между, носителями заряда - электронами и дырками. Важен также расчет экситонных состояний, играющих существенную роль в кинетических явлениях - яюмизесиея-ции, поглощении света, генерации лазерного излучения, хемосорбции, фотопроводимости, теплопроводности и т.д.. Поэтому решение поставленных в работе задач актуально.

Цель работы. Целью настоящей работы являлся расчет и анализ эволюции энергетических спектров отдельных квантовых точек и систем квантовых точек - "горизонтальных" и "вертихальвых" "молекул", в зависимости от внешних параметров; исследование эффектов сильной электронной корреляция (в определенном смысле квантовой "кристаллизации") в электронных кластерах в квантовых точках в магнитных полях; исследование двумерных экситонов с пространственно-разделенными электронами и дырками в связанных, квантовых ямах и в свяэадаых квантовых точках; изучение изменения характеристик квантовых точек в широком диапазоне полей; исследование задачи о пространственно-разделенных электроне и заряженной примеси в связанных квантовых ямах в магнитном поле.

Научная новизна. Детально прослежено изменение характера спектра двумерных экситонов с пространственно-разделенными электронами и дырками в связанных квантовых ямах с ростом эффективного магнитного поля (для всего диапазона магнитных полей от нуля до больших значений и широкого диапазона межслойных

расстояний и для любых значений магнитного имлульсй: вдоль ям). Прослежена эволюция спектра от водородоподобного (в эффективно слабых магнитных полях) к магнитному (в эффективно сильных магнитных полях). Проанализирована сильная корреляция ("кристаллизация") для электронного кластера в квантовых точках. Обнаружена возможность немонотонного влияния магнитного поля на установление ближнего "кристаллического" порядка в электронном кластере в квантовой точке (т.е. в ограниченной системе, в отличие от неограниченных систем) и вскрыты механизмы этого эффекта. Для квантовых точек в "молекул" квантовых точек прослежена эволюция спектров и определены контролирующие параметры задачи для широкого диапазона внешних параметров задачи - крутизны латерального удерживающего потенциала, магнитного поля, а также' расстояния между центрами квантовых точек ( для "молекул" из квантовых точек). Задачи решались из первых принципов в микроскопическом подходе.

Практическая ценность. Знания о свойствах систем пониженной размерности в определение их зависимостей от управляющих параметров - крутизны латерального удерживающего потенциала, межслойного расстояния, магнитных полей могут быть использованы для моделирования работы соответствующих элементов в нано-электронике, в оптоэлектронике, для возможного создания магниточувствительных детекторов.

Апробация работы. Материалы диссертации были представлены в 8 докладах. на Российских и международных конференциях: Первой и Второй Международных Школах-Конференциях по физическим проблемам материаловедения полупроводников (PPMSS'95, PPMSS'97)(4epHOB4bi,1995 и 1997 гг.); V и VI Международных Конференциях по физике и технологии тонких пленок (Ивано-Франковск, 1995 и 1997 гг.); Adriático Researche Conference on STM-Based Litography and Atomic Electronics (Trieste,Italy, 1997); V Школе-Семинаре Молодых Ученых "Проблемы физики твердого тела и высоких давлений" (Туапсе, 1997 г.) ,

Основной материал диссертации опубликовав в работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, пяти глав, заключения и списка цитируемой литературы. Диссертация изложена на страницах, содеожит 26 рисунков- и i приложений Список цитируемой литературы состоит из Y/V наименований.

Основное содержание диссертации

1 Литературный обзор и постановка задачи

В Главе 1 проведен анализ литературных данных о системах пониженной размерности: квазинульмерных - квантовых точках, кваэиодномерных - квантовых проволоках, кваэидвумерных - квантовых ямах и сверхренклках. Рассмотрены методы создания структур пониженной размерности (для гетероструктур, МДП-структур путем приложения электрического напряжения к управляющему электроду, путем молекулярно-лучевой эпитаксин, электронно-лучевой литографии с нанесением маски и последующим химическим травлением), экспериментальные методы исследования: транспортные (измерения переноса), реэоваиспые, оптические (инфракрасная спектроскопия), магнитоемкостные. Рассмотрено строение указанных структур. Проанализирована адекватность использования различных видов представления латерального удерживающего потенциала для квантовых точек. Для не слишком больших квантовых точек (в особенности таких, в которых удержание двумерного электронного газа происходит за счет электростатического потенциала или в результате, травления) адекватным является приближение параболического латерального удерживающего потенциала, подтвержденное самосогласованными расчетами. Рассмотрены экспериментальные данные о возможности получения как отдельных квантовых точек, так и систем квантовых точек с контролируемо изменяемыми параметрами, такими как вид в крутизна латерального удерживающего потенциала, область локализации и число носителей заряда, расстояние между центрами Квантовых точек. Рассмотрены эксперименты, проводимые со слоистыми структурами, создание и строение двойных и связанных квантовых ям и квантовых точек. Рассмотрены экспериментальные и теоретические исследования электронных систем, а также электронно-дырочных систем - экситонов, в том числе и во внешнем магнитном поле; проанализирована применимость различных 'используемых в литературе приближений. .

В значительной части литературных источников использовался феноменологический подход; межэлектронпое взаимодействие было учтено с помощью различных приближений (либо им вообще пренебрегали, что позволяло получить, однако, информацию о возбуждениях, связанных с движением центра масс), взаимодействие-между квантовыми точками учитывалось лишь как малая поправка (приводящая к депол я риз ацион ному сдвигу). Поэтому представлется интересным рассмотреть подробно в микроскопическом подходе (из первых принципов) физические свойства

(энергетический спектр и волновые функции) как изолированной квантовой точки, Так и искусственной "молекулы" - системы квантовых точек - с учетом ваутри-точечного и межточечного взаимодействии; определить их поведение во внешнем магнитном поле. Одним и:. наиболее интересных вопросов в физике двумерных систем является сильная корреляция, в предельном случае, кристаллизация двумерных электронов. Для неограниченных систем, как впервые показано в работе Лозовика и Юдсона, сильное магнитное поле расширяет область существования кристаллической фазы электронов. Естественно рассмотреть электронную корреляцию и, в частности, квантовую "кристаллизацию" электронного кластера в квантовой точке. Это и было предметом рассмотрения в настоящей работе (причем обнаружилось немонотонное влияние магнитного поля на установление ближнего "кристаллического" порядка и объяснен его механизм).

Результаты экспериментальных исследований систем непрямых зкситонов (эк-ситовов с Пространственно-разделенными электронами и дырками) в связанных квантовых ямах и в связанных квантовых точках и анализ физических свойств электронно-дырочных систем в связанных квантовых ямах и в связанных квантовых точках, в частности, во внешнем поперечном магнитном поле, обнаруживают весьма интересные коллективные свойства и ряд различных фазовых состояний. Для электрона и дырки, локализованных в разных квантовых ямах, перекрытие волновых функций мало, что уменьшает вероятность взаимной аннигиляции. При- • ложение электрического поля, перпендикулярного слоям электронов в дырок, также уменьшает скорость рекомбинации. Магнитное поле влияет на время жизни, на коэффициент диффузии, и на спектр фотолюминесценции экситонов. Наблюдаемые эффекты трактовались в работах Бутова и др. как сверхтекучесть непрямых экситонов. Такая сверхтекучесть, как было предсказано ранее Лозовиком и др., могла бы проявляться как существование электрических незатухающих токов в каждой из квантовых ям и в интересных кваэиджозефсоновских явлениях. В литературе рассмотрен двумерный прямой и непрямой экситон в сильном магнитном поле. Но в теоретических расчетах ранее рассматривались в основном лишь асимптотические случаи очень сильных Магнитных полей, когда кулоновское взаимодействие можно рассматривать как малое возмущение. Общая задача о пространственно-разделенном двумерном экситоне во внешнем поперечном магнитном поле для широкого диапазона величины магнитного поля В и межямных расстояний с) ранее не рассматривалась. Не рассматривались и задачи о пространственно-разделенном экситоне в вертикально связанных квантовых точках.

2. Изолированные квантовые точки. Энергетические спектры и квантовая "кристаллизация" электронных кластеров в магнитном поле.

б Главе 2 рассмотрены изолированные квантовые точки, представляющие собой гигантские искусственные атомы (квантовомехацический аналог атома Томсона).

Используется модель параболического удерживающего латеральпыого потенциала вида 1!{х,у) = ог5, где о - параметр крутизны удерживающего потенциала; г - расстояние от центра в плоскости квантовой точки. При наличия внешнего поперечного магнитного поля, исходя из аксиальной'симметрии системы, используется симметричная калибровка векторного потенциала А = Вт/2. Используется удобная система единиц расстояния, энергии, параметра крутизны удерживающего потенциала и магнитного поля, соответственно:

.аа = Лгг/(2т;ег), Ей = 2т*,е4/ (ь'е2) , о0 = Во/4 В„ = (2т*.)1 Л/ (Л'^О)

где т«е - эффективная масса электрона, е - диэлектрическая проницаемость, ао и Еа - радиус и энергия связи двумерного экситона.

Спектры многоэлектронных квантовых точек. Для определения спехтроЯ многоэлектронных квантовых точек используется приближение хаотических фаз. Приближение хаотических фаз применимо для достаточно высоких концентраций электронов в квантовой точке. Уравнение Дайсона на верщивиую часть имеет гид

■■£-_-_-< =>-<*>—О™ - <

что отвечает уравнению

Г(г,г',< - i') = V(r - r',i - t')'+ j dr,dr,dtltU,V(r - r,,i - h)

G0(ri,r1,<1-i2)G°{r2,r1,i2--<1)r(r3>'1i2-<') , (2)

где Г - вершинная часть; V(r -r',t-1') = p^jS(t -1') - кулонавский потенциал; G° - нулевая функция Грина; dr = dxdy - элемент площади. Применив температурную мацубаровскую технику, выполнив алгебраические преобразования и сделав аналитическое продолжение, можно получить уравнение для Г:

П|П3П4(4 ^ ffljli+i

IV* г - г - с* енчни

ынгс-гр л-л; -¿Янаъсгстсгг^ункцс/оГ) ¿ы = + Большой вклад вносят те состояния, у которых С «а 2\fciN.

Для Ссобств, ТаКНХ, ЧТО Рпп'/(£со(5ств ) -> оо получим (путем алгебраических преобразований) дисперсионное уравнение

I' I' П|'(£П,|4) - — ЕеоЛт.) ..

► тт1|Лп,пап4()Лпап41,+(-:-—--(4;

. ¿оЛстп* —+ £„,!,

Если же имеется £а>£ств, такое, что Гпп'((£со&т«) —^ зо, Гпвп'/(£«>&гтв) —^ оо, то получим дисперсионное уравнение

Е\/ / [¿г , V \пР— пг(^п7и+1 — Ссо5ств) К,П1/ .

Уптч1^ЛЛЗ„4„|,+| + Лп11чпЧ4+и------- = тт--1-

Для е « >/о имеем £„,|«.ц - £„,|, = 2у/а(2(пг -п4) + + /<| - |/«|)) -»0 - именно эти переходы дают вклад, отвечающий за низкочастотные ветви спектра. Хартри-Фоковская поправка к функции Грина мала по сравнению с вкладом нулевой функции Грина.

При наличии внешнего поперечного магнитного поля аксиальная симметрия системы не нарушается и происходит лишь перенормировка системы собственных функций и собственных энергий: параметр о заменяется на параметр = (^)2 + а, учитывающий и жесткость удерживающего потенциала, и величину магнитного поля, а в собственные энергии добавляется член 1ис/4. Для сильных магнитных полей необходим также учет лестничных диаграмм. Для слабых магнитных полей, когда и>е < ч/о, приближение хаотических фаз применимо и сделанные выводы справедливы.

Спектры двухэлектронных квантовых точек. Рассмотрена задача о двух-электронной квантовой точке с параболическим удерживающим латеральным потенциалом в поперечном магнитном поле. Энергетические спектры и волновые функции, отвечающие движению центра масс, легко определяются аналитически. Энергетические спектры и волновые функции относительного движения электронов найдены методом численной диагонализации гамильтониана на базисе одноча-стйчных функций. Важно отметить, что учет межэлектронного взаимодействия осуществляется точно, без каких-либо приближений; может быть достигнута любая наперед заданная точность, которая ограничена только точностью численных расчетов. Проанализированы пересечения уровней с различными квантовыми числами гп (различной симметрии) и квазипересечения с появлением энергетических щелей между уровнями с одной симметрией (с одним квантовым числом ш) (Рис.1) Изменение кривизны графиков отражает совместное влияние всех факторов: магнитного

8

Е>.

-г--1-1-Г— -,-,-,-,---- т—Зг

-

-

1111 ---------- - 1 . , -.J----_ . . 1-,

0.2 0.4 0.6 0.8

1.2 1.4 1.6 18

Рис. 1. Зависимость нижних энергетических уровней Е'т от параметра 7 = /?/и>с; ¡3 - эффективная крутизна удерживающего потенциала квантовой точки в магнитном поле; /3 = [(шс/4)3 + а]1'2, а - параметр крутизны удерживающего потенциала.

поля В, удерживающего потенциала о и кулоновского взаимодействия электронов. Эффект наиболее заметен для не слишком больших значений а я В, т.е. в области, _ где влияние всех факторов сравнимо. Проведено сравнение, значений энергии Е„ полученных путем численной диагонализации гамильтониана, с результатами применения теории возмущений по межэлектронному взаимодействию. Оказалось, что теория возмущений дает довольно хорошие результаты дяя параметра 7*1 (относительная ошибка уменьшается с ростом 7 и не превышает нескольких процентов для 7 > 1). Этот факт апалогичеп применимости теории возмущений (1/£ - разложения) к малоэлектрояным атомам, несмотря на отсутствие явного ("буквенного'') малого безразмерного параметра задачи. В области значений а и В, в которой электроны сильно скоррелированы, их волновые функции должны быть блязки пе к одиочастичным волновым функциям (как в противоположном случае слабой корреляции), а к функциям гармонического осциллятора, локализованных в центрах классической кристаллизации электронов.

Результаты, полученные численной диагонализации гамильтониана на базисе од-ночастичных функций вида

/„„ = (п!/(т(Н + »)') (Д/^2)|т|+')1/2гИехр(-^/2^ £¡,"1 (<7г3/^2) (б)

и на базисе функций гармонического осциллятора вида

=■ («./21/4/ (г-Ыу^))"2 ехр {-^Нх'п) Нп ((ат/2)«4 х) , . (7)

различаются для промежуточных значений параметров лишь на доли процента, что свидетельствует о хорошей точности вычислений; здесь ¿Н _ обобщенный полином Лагерра, #„ - полином Эрмита, х — г — г0, г0 - среднее расстояние между электронами, ат = /З3 + 2/г§ + бт'/г^.

Рассмотрены также "шаровые" квантовые точки с трехмерным латеральным потенциалом вида 1'(х,у, г) - а(х2 + у3 + г'), где х,у,г - координаты от центра квантовой точки. Энергетические спектры и волновые функции, соответствующие движению центра масс, находятся аналитически и имеют вид;

£„, = у£(4п + 2/ + 3) (8)

, (9)

где Л™ (г)- присоединенные функции Лежандра 1-го рода; г,у?,0 - сферические координаты.

Энергетические спектры и волновые функции относительного движения электронов квантовых точек с трехмерным удерживающим потенциалом найдены методом численной диагонализации гамильтониана на базисе одночастичных функций с точным учетом межэлектронного взаимодействия. Уровни энергии для трехмерной задачи лежат выше, .чем для двумерной.

Квантовая "кристаллизация" электронных кластеров в квантовых точках в магнитном поле. Индуцированная кулоновским отталкиванием сильная корреляция ("кристаллизация") электронов была оценена по полуширине пика квадрата волновой функции (плотности вероятности). Отсюда определена область внешних Параметров (параметр крутизны удерживающего потенциала а и магнитное поле В), в которой происходит квантовая "кристаллизация" электронов. Таким образом получена в некотором смысле фазовая диаграмма состояний электронов в плоскости (а, й).(Рис.2). Для двухэлектронной квантовой точки можно говорить, разумеется, только о формировании двухэлектронпого кластера с установлением ближнего порядка. Параметром, контролирующим сильную корреляцию (квантовую "кристаллизацию") электронов (управляющим параметром задачи), является

10

Рис. 2. Условная граница области квантовой "кристаллизации" электронов а зависимости от магнитного поля В и крутизны а удерживающего потенциала.

параметр (3, характеризующий эффективную крутизну удерживающего потенциала в магнитном поле. В результате расчетов получено критическое значение параметра = 0,005, при котором возникает "кристаллизация" в двухэлектронной квантовой точке. Рост как крутизны удерживающего потенциала, так и магнитного поля приводит к увеличению эффективной крутизны удерживающего потенциала, в магнитном поле и, соответственно, к уменьшению среднего расстояния между электронами и относительной делокализацни электронов. В квантовых точках магнитное, поле действует двояко: оно уменьшает размытие волновых электронных функций, во одновременно и уменьшает среднее характерное расстояние между электронами, что дает увеличение перекрытия волновых функций. На Рис.3 приведены зависимости отношения полуширины пика квадрата волновой функции к среднему расстоянию между электронами D/r0 от магнитпого поля В при постоянном а для состояний cm = 0 и m = 1. Возможно немонотонное влияние магкитаого поля на квантовую кристаллизацию - вследствие конкуренции двух эффектов с ростом магнитного поля - уменьшения не только размытия волновых функций, но и межэлектронного расстояния. Для случая прямоугольной потенциальпой ямы магнитное поле может вначале способствовать относительной локализации, а после достижения некоторой критической величины - приводить к относительной делокализацни электронов. Для малоэлектроиных кластеров можно.говорить только о постепенном установлении ближнего порядка (т.е. кроссовере). Соответственно, величина отношения полуширины волновых функций к расстоянию между электронам« пграет з нашем случае роль параметра Линдеманна при кристаллизации. Поскольку речь идет о ближнем, а не о дальнем порядке, то характерная величина этого параметра-может быть значительно больше зв&чевия параметра Линдеманна, соответствующего возникновению дальнего порядка (0,25 вместо 0,1). При увеличении числа электронов в кластере вначале будет устанавливаться ближний порядок, а в более

И

Рис. 3. Зависимость отношения величины D (полуширины пика квадрата волновой функции) к среднему расстоянию между электронами г0 от магнитного поля В при постоянном параметре крутизны удерживающего потенциала а = 10"5; а)магнитное квантовое число т = 0; б)т = 1.

узкой облает внешних параметров (для многоэлектронного кластера) - квазидальний порядок (при Т ф 0). С ростом N - числа электронов в кластере растет область значений магнитного поля, в которой магнитное поле способствует установлению кристаллического порядка (вплоть до N —► оо Berit —> оо, что соответствует результатам для протяженных систем).

3. Системы квантовых точек - "горизонтальные" и "вертикальные" "молекулы" из квантовых точек, влияние магнитного поля.

В Главе 3 рассмотрены физические свойства искусственной "молекулы" - системы двумерных квантовых точек. В отличие от молекул, состоящих из атомов, в "молекуле" квантовых точек расстояние между центрами (межслоевое расстояние для "вертикальной молекулы") квантовых- точек фиксировано при создании структуры.

"Горизонтальные" "молекулы" из квантовых точек. Мы определили энергию основного состояния этой системы с учетом межэлектронного взаимодействия с использованием различных подходов: приближений Гайтлера-Лондона, либо молекулярных орбиталей, а также вариационных методов. Была определена применимость различных приближений в зависимости от контролирующих параметров задачи -расстояния между центрами и крутизны удерживающего потенциала.(Рис. 4). Рассмотрено влияние поперечного магнитного поля. Влияние магнитного поля сводится к перенормировке крутизны удерживающего потенциала в магнитном поле ■ß3 = a-t joSc/4)'. С ростом магнитного поля растет эффективная крутизна удерживающего потенциала ß3, что приводит к локализации электронов, уменьшает вклад ку-лоновского взаимодействия электронов при росте величины вклада энергии электро-еов в потенциальных ямах (энергии основного состояния изолированной квантовой

9,

'НЬ' —

'МО' — .......

0 12 3 4

а

3 7 8 9 10

Записи ■

Рис. 4. энергии "горизонтальной молекулы из квантовых точек от расстояния

между центрами квантовых точек (1 при постоянном параметре крутизны удерживающего потенциала а = 5, полученная методом Гайтлера-Лондона (НЬ), методом молекулярных орбит с использованием модифицированного потенциала (МО) и вариационным методом (V).

точки). Таким образом, действие магнитного поля аналогично действию удерживающего потенциала. Оценена также энергия ван-дер-Ваальса для двух квантовых точек: Е„ = Таким образом, применение молекулярных методов

позволило определить энергии основного состояния системы двух квантовых точек с учетом межэлектронного взаимодействия для широкого диапазона значении крутизны удерживающего потенциала (л), расстояний между центрами квантовых точек (а) и внешнего магнитного поля (В) и проследить эволюцию системы (с ростом этих параметров) от одной двухэлектроипой квантовой точки через квантовую яму сложной формы к двум сильно взаимодействующим хвантовым точкам и, наконец, к двум отдельным квантовым точкам и возможность управления состоянием системы ^напр., с помощью магнитного поля).

"Вертикальные" "молекулы" из квантовых точек. Исследован энергетический спектр и система волновых функций "вертикальной молекулы" из квантовых точек - системы двух разделенных барьером шириной с1 вертикально связанных (или двойных) двумерных квантовых точек, описывающихся, соответственно; параболическими потециалами и = си-'2, с двумя электронами. Энергетический спектр и волновые функции, соответствующие движению центра масс, определяются аналитически (они соответсвуют энергии и волновым функциям гармонического осциллятора); а энергетический спектр и волновые функции относительного движения определяются численной диагонализацией гамильтониана на одночастич-ном базисе. Влияние поперечного магнитного поля сводится к перенормировке с заменой параметра а на а' = а + /16 и к энергии должна быть добавлена вели-

чина тк)с/4. Значения энергий воарастают с ростом ноля, асимптотически стремясь •+• |ш| 1) + и>ст/4 Аналитически получены асимптотические зависимости для больших значений параметров а, с) и В.

4. Энергетические слектры простракственно-разделенных экситонов в связанных квантовых ямах в магнитном поле.

В Главе 4 рассмотрены пространственно-непрямые экситоны в поперечном магнитном поле. Задача решена в общем виде для широкого диапазона магнитных полей.

Выделяется сохраняющаяся в магнитном поле величина - магнитный импульс, оператор которого Р - -¿ДУ,- ¿ЛУд + '-(Ас - | [В, ге - гл]. Собственными

функциями для оператора Р являются

Ф,{Г„Гк) = 1^,7?) = ехр {(«7» + ± [5, 7} ~)}фг(Г), (Ю)

где 7? = гЛ, Г = Г,— (т* л - эффективные массы электрона и дырки

соответственно). Используются следующие единицы энергии, длины, циклотронной частоты и магнитного поля :

2 т'е* й'е 2тУ 2(т')У

где т" = т>;,/(т; + гп^) (единицы измерения энергии и длины отвечают энергии связи и радиусу двумерного экситона). Уравнение для относительного движения электрона и дырки может быть представлено в виде:

*(?) = 0, (12)

где ?о &\В,7] \ . р Г- Ро! 7 = ^ = ^ - ларморова частота. В

наших единицах магнитная длина есть гв = \fi~-

Энергетические спектры и законы дисперсии е(Р) для пространственно-разделенного двумерного экситона (в связанных квантовых ямах) определяются методом численной диагонализации гамильтониана. Выбор подходящего базиса о суще-ствляется в зависимости от эффективной величины магнитного поля (и определяется параметрами В (иц), <1, Р (или Ро), контролирующий параметр задачи есть + Ро Дм эффективно слабых магнитных полей подходящим базисом

является базис двумерных водородоподобяых функций. Для эффективно сильных магнитных полей подходящим базисом будет базис функций, формально совпадак>-щих с волновыми функциями заряженной частицы в магнитном поле ("магнитные"

14

функции). Реально такой базис подходит для промежуточных магнитных полей, а особенно хорошо - для эффективно сильных. В случае слабых внешних магнитных полей для больших межслоевых расстояний ¡1 » 1 задача сводится к осциллятор-ной задаче. Собственные функции базиса имеют тот же вид, что и "магнитные" функции:

г'К^гН; ¿„„^(^—ф1^)1'', (13)

где = ^ш1 + 2/(Р. Собственные энергии

Е„т, + , (14)

Данный результат справедлив не только для эффективно слабых магнитных полей (когда щ ~ \Jlf2d3), но и для произвольных магнитных полей.

При малых с1 поле дольше остается эффективно слабым. Подходящим для вычислений будет базис двумерных водородоподобных функций:

/- / I-\М+|/» . I--

= ) г £ г', (15)

где Д0 = 1> /4, = Л.-1 5>0; С„„—нормировочный коэффициент;

собственные значения энергии:

^ = "4(5 + \т\ + 1/2)' = ~4(п +1/2)' > (!6)

где п = 5 + |т| = 0,1,2...

Энергия зависит от единственного квантового числа п = 5 + |ш| Влияние слабого магнитного поля - эффект Зеемана для двумерного экситона - было определено численно, а также оценено аналитически по теории возмущений. В слабых магнитных полях поправка к водородоподобным уровням эпергии < пт|Кх)|т1тп >~ <1^2 + а3Рис, т.е. для малых импульсов энергии квадратичны по магнитному полю шс, а для больших -липейны. Численной диагонализацией гамильтониана на базе двумерных водйродоподобных функций, отвечающих кулоновскому взаимодействию электрона и дырки, спектр энергии экситона в слабом магнитном поле В определяется с высокой точностью. Результатам расчета отвечает левая часть Рис.5, соответствующая не очень большим Р. С ростом <1 при фиксированном В магнитное поле становится эффективно более сильным (по сравнению с взаимодействием с и Ь) и удобнее-использовать "магнитный" базис (см. выше). Магнитное

15

Рис. 5. Дисперсионные зависимости Е(Р) основного состония мзгнетоэкситона для межслоевого расстояний Л — 0.1; 10, при ларморовой частоте шъ = 0.1, 7 — 0.

поле становится эффективно более сильным и при больших магнитных импульсах Р (/>ц) из-за возрастания среднего расстояния е и Ь вдоль слоя ~ Р.

В случае эффективно сильных магнитных полей (а также, как показывают численные расчеты, и в' случав промежуточных магнитных полей ) подходящим оказывается базис собственных функций, формально совпадающих с волновыми функциями одной заряженной частицы в магнитном поле, а уровни энергии, в отличие от задачи для одной частицы, расщепляются (если 7 ^ 1) по квантовому числу т. Система собственных функций имеет вид:

Соответствующие собственные энергии есть

, (ш)

где п = 0,1,2... т = 0, ±1,±2... (при 7=1 они совпадают со спектром Ландау).

Невозмущенный спектр системы /„т полностью дискретен, но уровни энергии вырождены по Р (по р0).

При эффективно весьма сильных магнитных полях для оценки энергетического спектра (и волновых функций) можно ограничиться учетом переходов между уровнями с одинаковой симметрией, которым соответствуют матричные элементы

у»,- 2I ^мУпчмх

*У(« + М)!(п;+Н)!&£5 ¿У! V /\ «'-/-/ (19)

16

/7 у/2\

1/2-

/

2\ >/2

а:

а,

где А'(х) - полный эллиптический интеграл 1-го рода.

В общем случае учтены и переходы на уровни с разной симметрией т ф т\ которым отвечают матричные элементы

(Таким образом, численной диагокализацией гамильтониана на базе соответствующих магнитных функций /„т можно получить энергетические спектры пространственно-разделенного экситона для широкого диапазона магнитных полей В и расстояний (I между слоями е и Ь.) На Рис.5 показана зависимость энергии нижнего уровня от импульса Р (закон дисперсии) для слабого магнитного поля В = 0.1 для различных А. С ростом Р энергетические уровни стремятся к уровням типа Ландау в магнитном поле (18). То же происходит и с ростом расстояния <1. Итг^к, и с ростом поля В, и с ростом расстояния (1, и с ростом импульса Р происходит перестройка спектра от оодородоподобного к магнитному.

Законы дисперсии е(Р) для нижних уровней спектра пространственно-разделенного экситона в магнитном поле, полученные методом численной диагонализации гамильтониана в сильном магнитном поле В на соответствующем базисе, представлены на Рис.6. Для эффективно сильного магнитного поля спектр состоит из зон, примыкающих к соответствующему уровню Ландау (п,т) и возникающих при непрерывном изменении магнитного импульса Р (величины />о). С ростом В энергия растет, с ростом' с! - стремится к уровням Ландау. С ростом эффективного магнитного поля (с ростом В и/или <)) указанные энергетические зоны сжимаются и все сильнее отделяются друг от друга, и спектр приближается к невозмущенному спектру /пт - системе уровней Ландау.

Для основного состояния с соответствующими квантовыми числами ( п=0,ш=0) имеется единственный экстремум (минимум ) при ро = 0. Для уровней энергии, отвечающих возбужденным состояниям, могут существовать и другие (боковые) экстремумы, в частности, минимумы. При <1, отличном от нуля, с ростом эффективного магнитного поля, т.е. с ростом отношения Н/гц — <1\/шЕ, боковые минимумы

I

1 . п!п'! (п + |т|)!(п' + ||

р

Рис. 6. Дисперсионные зависимости Е(Р) для нижних уровней энергетического спектра магиетоэкситона для межслоевого расстояни/) <1 = 0.1; 0.5, при ларморовой частоте магнитного поля ед = 10, 7 = 0.

и максимумы становятся все более пологими и, наконец, исчезают. (Для уровня с квантовыми числами п = 0, т = 1 выполаживание и исчезновение бокового минимума с ростом <1 и Сростом В (и, следовательно, с ростом ¿/гд) представлено на Рис. 6 и Рис.7.)

Матричные' элементы, соответствующие переходам с одинаковой симметрией, дают основной вклад для малых ро и имеют экстремум при ро = 0(Р = 0). Поэтому дисперсионные кривые имеют экстремум при ро = 0 (Р = 0).

Учет толщины пленок для достаточно тонких пленок в случае сильных магнитных полей Законы дисперсии несколько изменяет количественно, но не качественно, причем с ростом импульса это изменение уменьшается.

Имеется разумное согласие результатов расчета численной диагонализацией гамильтониана на соответствующем базисе и полученных'В эксперименте.

Определены аналитически асимптотические выражения для матричных элементов оператора взаимодействия для различных предельных значений межслойного расстояния, магнитного импульса; и магнитного поля. Результаты расчета стремятся к полученным асимптотическим зависимостях в соответствующих пределах.

Вырождение и квазивырождение базисных уровней энергии, имеющее место для определенных соотношений эффективных масс электрона и дырки, не ограничивает применимости вашего метода,- даже в случае многократного вырождения базисных уровней.

В случае 7 = 0 (одинаковые эффективные массы электрона и дырки) энергия

Рис. 7. Е(Р) для энергии первого вырожденного состояния магнетоэкситона для межслоевого расстояний Л — 0.1;0.5; 1, при ларморовой частоте магнитного под» = 10,7 = 0- Видно исчезновение "ротонного" минимума с ростом (5.

с0„т = и>1,- к, где к = 2п + |т| + 1 к = 1,2... зависят только от квантового числа к и к-ый невозмущенный уровень «-кратно вырожден. Кулоновское взаимодействие снимает это вырождение при ненулевом импульсе Р 0(ра ф В результате по-явлются законы дисперсии. Основной уровень невырождеи, а возбужденные уровни вырождены. Законы дисперсии и их расщепление при ро ф 0 получены численно и также оценены аналитически. Так, для сильных магнитных полей расщепление первого возбужденного уровня может быть оценено как

Е„г = Ео,., ± Е,„„ где = 2а//, + Кх(ро^)

где Рф{х) - присоединенная функция Лежандра; о = <Р + />' + р1 = /С + р\ + Ь = 2рро = 2 Ро^Л

С ростом импульса Р или Л расщепление £|„., -> 0 Для малых ро < 1 имеем

Ей., « [(3 + бА,ЬЧ. ¿4) е^ • егСс - ±(5 +

Для близких масс электрона и дырки

До,, + у?,'(л>. Л) + Со»-, И- уЕУО»,<0

Е "0 1-1-1

где

1/2\

I А

= + (о. 1^—1^10- ^

В случае бесконечно тяжелой дырки 7 = 1 (тл 3> те)

При Р =• 0 имеется совпадение уровней энергии экситона и примесного состояния. При 7 1 энергетический спектр экситона с тяжелой дмркой стремится к спектру примесного состояния с 2=1 в магнитном поле.

Квазивырождения базисных уровней энергии - совпадения уровней энергии без учета к;\лоновского взаимодействия £о„т и Ео„,т, для рациональных 7 = где = 7 = Р = 2{п-п') + |т| - |т'|, 9 = т - т'. , как и сильное смешивание для иррациональных 7 определенных уровней энергии, таки>", что (2(г> — г/) -|т') + |т|)/(т — т') » 7, не ограничивают применимости нашего метода, поскольку он позволяет учитывать смешивание уровней с различными квантовыми числами.

Решена также задача о пространственно-разделенных электроне и заряженной примеси в магнитном поле. Энергетический спектр примесного состояния совпадает с уровнями энергии экситона при Р = 0 с учетом заряда примеси +Ze. Используется численная диагонализация гамильтониана на базисе волновых функций заряженной частицы в магнитном поле. Уровни энергии Еап„ бесконечно вырождены. Кулоновское взаимодействие снимает вырождение. Переходы между уровнями с разной симметрией не дают вклада в энергию. Необходимо учитывать лишь взаимодействие уровней одинаковой симетрии. Соответствующий матричный элемент кулоновского взаимодействия имеет вид:

V" =-г№ У" / у» у (~1)'Ч> Л» + т\ /У+|т|\

\2/ У(" + Н)Кп' + Н)!^£ «у! \n-i)\n^-j)'

Г(И +»" +1 + 1) ). * (Н + « + ;■+ 1, |т| + . +> + 3/2, ,

где Г - гамма - функция Эйлера^Ф - вырожденная гипергеометрическая функция.

Для основного уровня матричный элемент = 2 (|т|. |т| + 3/2, .

Уровень с п = п' = 0 приобретает тонкую структуру из-за расщепления по |т|.

Нижнему уровню ш=0 соответствует матричный элемент

■ -и. т*"" Н/¥(' - ¥) -

В случае эффективно больших расстояний, таких, что ;> 1 (Л гр), матричный элемент «а -д [1 - Основной уровень (с п = 0) сдвинется вниз на величину 5 и тонкая структура растет кверху с ростом |т| эквидистантно (с» 2 , В случае эффективно малых расстояний Л, таких, что (Рич -г; 1 (</ <С Гд^ матричный элемент кулоновского взаимодействия «з [|т| - 1/2 — ] Тонкая структура сгущается снизу вверх к невозмущенному уровню. С ростом квантового числа ш соответствующие энергетические уровни могут быть оценены через матричные элементы Ц^1 -> - ^л) Н оо.

5. Энергетические спектры пространственно-разделенных экситоноп а связанных квантовых точках.

В Главе 5 определен энергетический спектр пространственно-разделенного двумерного Экситона в следующей модели, описывающей экспериментальные реализации: электрон е и дырка Ь с эффективными массами т^ и тЦ, паходятсл в разделенных барьером ширинок <1 двух вертикально связанных двумерных квантовых точках, описывающихся, соответственно, параболическими потециаламн V ~ и и = сч,т\\ ,т„тк -двумерные радиус-вектора е и Ь вдоль плоскости квантовых точек). Модель описывает и локализацию экситона в частном случае, когда удерживается лить один из носителей (т.е. V, или I'» равны нулю). Рассмотрен случай (¡¡ка, - -+ 0. Это соответствует, например, одинаковым квантовым точкам и = ; другой возможный случай - тяжелая дырка т\~%> т', п почти неудержива-емый второй квантовой точкой электрон ( в последнем случае связанное состояние осуществляется лишь за счет кулоновского притяжения е к Ь ), т.е. /I, С 1 я о, < 0. Энергетический спектр и волновые функции, отвечающие движению центра масс, определяются аналитически и имеют вид:

= 4[/1.?*(<». + о»)]'" (" + ~(21)

/1 \ ^)г(|гн| + н)! /

(22)

где о, - ; а энергетический спектр и волновые функции, соответствующие

относительному движению носителей заряда, определяются методом численной диа-гон&лизации гамильтониана на базисе одночастичных функций вида

(ТГТ^ГА^ТгП^^М^г») (23)

\(|т] + п)! )

где О! ц\а, + ^а/,.

(24)

Матричный элемент кулоповского взаимодействия имеет вид:

V» ( п!п'! У7' V V + (п> + МЬн+.чу-м)/*

пп' ~ ~У("+мжя*+н)7 Ь,к «'У V n-i)\n'-j)3

Г(» + ] + |т| + + ; + |т| + 1.,- + ; + |т| + 3/2.^/51^X25)

Определены зависимости нижних уровней энергии Ег от параметра а3 и от межслоевых расстояний (I. Значения энергетических уровней монотонно возрастают с ростом оа. Когда аг достаточно велико (случай сильного удерживающего потенциала или большого межслоевого расстояния), межэлектронное взаимодействие мало в сравнении с другими параметрами, и энергии относительного движения Ег асимитотпчески стремятся к уровням энергии (24) двумерного гармонического осциллятора, т.е. линейны по к/51. Вклад кулоповского взаимодействия в энергию убывает с ростом ¿, я энергии асимптотически стремятся к уровням £пт (см. (24)).

Рассмотрен случай (ц^а, — 1) — р,(оц — 1)) -> 0, что имеет место, например, для ц, — рн. Влияние магнитного поля приводит к перенормировке с заменой а) на <*1 = 0| + -;/16 и £»а на о'2 — сц + и>'/64, а. Е' — Е — 1гпи>е/2. Зависимости нижних уровней энергии относительного движения от магнитного поля представлены на Рис. 8.

Значения энергий возрастают с ростом поля, асимптотически стремясь к 2^о^(2п + |т| + I) — к^сП». В пределе сверхсильного магнитного поля уровни энергий асимптотически стремятся к уровням Ландау, как и в случае отсутствия параболической зависимости для удерживающего потенциала (например, модели "жестких стенок").

Для больших межслоевых расстояний <1 имеет место асимптотическая зависимость для значений энергии: 4 оо, Е ~ 2у^(2п +■ |го| + 1) - -ушст - 1/Л + 1/(4у/а^Р). В случае малых <1 при Л -» 0 матричный элемент

- 4Г (":!?') С^7')Г<' + 3 + Н + 5) Зна-

чение ¿ = 0 отвечает случаю одной квантовой ямы с двумя носителями.

22

в

Рис. 8. Зависимости нижних уровней энергии относительного .движения пространственно-разделенного экситона в связанных квантовых точках от магнитного поля В при эффективной крутизне удерживающего потенциала о, в 0.2.

Выводы

1. На основании расчетов энергетических спектров и волновых фупкций квантовых точек определены условия квантовой "кристаллизации" (сильной корреляции) электронов и выявлено, что управляющими параметрами для энергетического спектра являются крутизна удерживающего потепияала с» к величина магнитного поля В (циклотронная частота ис), а для волновых функций - только параметр 0 = у/а + (ме/4)1 - эффективная крутизна, удерживающего потенциала в магнитном поле. Обнаружена возможность' немонотонного влияния магнитного поля на квантовую "кристаллизацию" электронного кластера в квантовой точке, связанна;?, с конкуренцией двух механизмов - уменьшения размытия волновых функции я сжатия всей системы.

2. Различными методами определены энергии основного состояния, энергетические спектры, волновые функции "вертикально" н "горизонтально" расположенной пары взаимодействующих квантовых точек ("молекулы" из квантовых точек). Проанализирована эволюция спектра системы с ростом крутизны удерживающего потенциала и/илп величины магнитного поля и/или расстояния между центрами квантовых точек от двухэлектронной квантовой точки к двум отдельным квантовым точкам.

3. Найдены энергетические спектры и волновые функция для пространственно-разделенного двумерного экситона с носителями в связанных квантовых точках в магнитном поле произвольной величины.

4. Рассчитаны энергетические спектры,волновые функции и законы дисперсии пространственно- разделенного двумерного экситона с носителями в связанных квантовых ямах н проанализирована вх зависимость от магнитного поля в широком диапазоне магнитных полей. Прослежена эволюция спектров от водородоподобных к магнатами к показано, что лобое отличное от нудя магнитное поле становится эффективно сильным с ростом ках ыежслоевого расстояния, так и магнитного импульса вдоль ям.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Ya. М. Blanter, N. Е. Kaputkina, and Yu. Е. Lozovik, "Two - Electron Quantum Dots in Magnetic Field", Phys.Scripta 54, 539-541 (1996);

2.Я.М.Блавтер, Н.Е.Капуткина, Ю.Е.Лоэовик, "Спектры квантовых точек с несколькими электронами " Proc.of the V th International Conference in Physics of Thin Films, part II, p.242, Ukraine, Ivano-Fnmkivsk,1995.

3.Ya.M.Dlanter, N.E.Kaputkina, Yu.E.Lozovik, "Two - Electron Quantum Dots in Magnetic Field", Proc.of the International School-Conference on Physical Problems in Materia] Science of Semiconductors (PPMSS'95), p.30, Ukraine, Chernivtsi,1995

4. H.E. Капуткипа, Ю.Е.Лозовик, "Молекула " из квантовых точек", Proc.of the Vlth International Conference in Physics and Technology of Thin Films (1CPTTF-VI), part 1, p.86-87 Ukraine, Ivano-Frankivsk,1997.

5. N.E.Kaputkina, Yu.E.Lozovik, "Spatially -separated exciton with two-dimensional carriers! in magnetic field" Proc of the Second International School-Conference on Physical Problei. , in Material Science of Semiconductor« (PPMSS'97), p.104, Ukraine, Cher-nivtsi,1997

6. N.E.Kaputkina,Yu.E.Lozovik, "Quantum Dot "Molecule", Proc of the Second International School-Conference on Physical Problems in Material Science of Semiconductors (PPMSS'97), p.191, Ukraine, Chemivtsi,1997.