Свойства и фазовые переходы мезоскопических систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

На правах рукописи

Белоусов Антон Игоревич

Свойства и фазовые переходы мезоскопических систем

01.04.02 - теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -заведующий лабораторией спектроскопии наноструктур Института спектроскопии РАН профессор Лозовик Ю.Е.

Москва— 1999

Содержание

1 Квантовые флуктуации фазы в массиве джозефсоыовских контак-

тов. 6

1.1 Квантовый метод Монте Карло интегрирования по траекториям. ... 11 1.1.1 Типы ошибок, возникающие при квантовых расчетах по траекториям................................................................12

1.2 Организация расчетов. Измеряемые величины............................14

1.2.1 Вихревая структура распределения фаз............................17

1.3 Фазовая диаграмма джозефсоновского массива. ........................25

2 Квантовые флуктуации параметра порядка в массиве мезоскопиче-ских объектов. 36

2.1 Квантовые расчеты Монте Карло...........................42

2.2 Измеряемые величины.............................................42

2.3 Случай целочисленного заполнения. ....................................45

2.4 Модуляция фазовой диаграммы химическим потенциалом................51.

2.5 Фазовая диаграмма модели "квантовых косинусов"........................60

3 Фазовая диаграмма мезоскопических кластеров 65

3.1 Мезоскопические дипольные кластеры......................................69

3.1.1 Конфигурации глобальных минимумов..............................73

3.1.2 Фазовые переходы.....................................................82

3.2 Двумерные мезоскопические кластеры пылевой плазмы..................96

3.2.1 Конфигурации глобальных минимумов..............................98

3.2.2 Фазовые переходы...........................104

3.3 Квантовое плавление мезоскопических кластеров.............108

3.3.1 Фазовая диаграмма..........................109

4 Заключение. 119

5 Благодарности. 122

6 Литература. 123

7 Приложение А. Эффективность траекторных алгоритмов Монте-Карло. 134

Введение

Развитие методов микролитографии и полупроводниковой технологии позволяет в настоящее время проводить эксперименты с чрезвычайно малыми структурами, содержащими всего несколько электронов или экситонов, создавать регулярные массивы мельчайших металлических гранул, джозефсоновских контактов и.т.п. Изучение свойств таких объектов интересно не только с фундаментальной точки зрения, но также з связи с постоянным уменьшением характерных размеров электронных приборов. Исследованию моделей, отражающих основные свойства мезоскопических объектов и джозефсоновских массивов мезоскопических объектов, уделяется в настоящее время большое внимание, что привело к развитию одноэлектроники [1, 2, 3, 4] и обеспечило значительные успехи в изучении и конструировании различного рода мезоскопических объектов [4, 5], рассматриваемых как элементная база электронно - вычислительных и измерительных систем будущего.

К системам регулярных массивов мезоскопических джозефсоновских объектов, активно исследующимся экспериментально и теоретически, можно отнести, например, сверхтекучий гелий в пористой среде1 [7], решетки мезоскопических джозефсоновских контактов [8] - [14] или ультрамалых сверхпроводящих гранул [15] - [19]. Интересной физической реализацией джозефсоновского массива являются джозеф-соновские переходы в создаваемых с помощью литографии структурах со сверхтекучим 3Не [20]. Значительные успехи в экспериментах с бозе - конденсатом атомов, охлажденных лазерным излучением и последующим испарением [21]-[23], позволяют надеяться и на осуществление джозефсоновского массива из близких магнитооптических ловушек с бозе - конденсированными атомами2, либо кластерами бозе -конденсированных атомов, охлажденных и локализованных, в узлах системы стоячих электромагнитных волн. Наконец, другой замечательной реализацией джозефсоновского массива могла бы быть система джозефсоновски связанных "озер" из бозе - конденсированных экситонов в одиночных либо двойных квантовых ямах и расположенных в минимумах случайного поля (обусловленного шероховатостью поверхностей ям, т.е. в "естественных" квантовых точках [25] - [27]), либо в массиве искуственных квантовых точек.

В настоящее время для описания свойств джозефсоновских массивов используются две модели: квантовая ХУ модель и бозонная модель Хаббарда, причем первая может быть получена из второй пренебрежением относительными флуктуациями модуля сверхпроводящего (сверхтекучего) параметра порядка каждой гранулы (по-

1 Двумерные джозефсонсвские массивы (с мезоскопическими элементами) со сверхтекучим гелием можно, в принципе, осуществлять, создавая на подложке соответствующий "рисунок" из цезия (так как цезий не смачивается гелием [6]).

2 Интерференция двух бозе - конденсатов недавно исследовалась в работе [24].

ры) массива. Таким образом, решеточная бозонная модель Хаббарда может рассматриваться как более общая при изучении эффектов упорядочения в системе гранулированных сверхпроводников, тонких пленках и.т.п. В этой связи представляет интерес последовательное исследование влияния квантовых флуктуаций параметра порядка на установление глобального сверхпроводящего состояния и, в частности, сравнение фазовых диаграмм этих двух модельных систем.

Интересно рассмотреть также систему, в которой флуктуации локальной сверхтекучей плотности на гранулах малы даже в мезоскопической области, а основная роль в разрушении глобального сверхпроводящего (сверхтекучего) состояния массива принадлежит квантовым флуктуациям фаз параметра порядка. При этом необходимо отметить, что применение обычно использующихся при описании подобных систем (в рамках квантовой XY модели) операторов фазы и числа частиц как сопряженных переменных [28] ограничено случаем системы макроскопических гранул, тогда как при малом среднем количестве частиц на гранулу необходимы другие модели, не использующие некорректного "оператора фазы" [29, 30].

При описании единичных мезоскопических систем - электронов в полупроводниковой квантовой точке [2, 31] и системы непрямых экситонов в вертикально связанных квантовых точках [4, 25, 26, 27] может применяться модель кластера в удерживающем потенциале. Существующая техника эксперимента позволяет контролировать число частиц N в такой "искуственной молекуле" и приготовлять как классические кластеры заданного JV, так и системы, определяющую роль в поведении которых играют квантовые эффекты. Это дает возможность исследования ряда интересных задач физики мезоскопических систем.

Настоящая диссертация состоит из трех глав. Первая глава посвящена исследованию эффектов макроскопического упорядочения в системе джозефсоновских контактов. С помощью квантового моделирования Монте - Карло (с использованием интегралов по путям) мы детально исследуем фазовую диаграмму системы в плоскости температура - безразмерный квантовый параметр де Бура. Особое внимание будет уделено поиску величин, наиболее полно отражающих характер топологического фазового перехода в рассматриваемой квантовой системе. Мы покажем, что одной из таких величин является модуль завихренности (vorticity modulus, который использовался ранее при анализе фазовых переходов в гейзенберговском антиферромагнетике [32]), для расчета которого будет предложено два метода: а) модификация вариационного принципа Гиббса - Боголюбова расчета изменения свободной энергии при изменении типа граничных условий; б) вычисление отклика на введение бесконечно малого магнитного потока в некоторой точке системы. Мы проследим за изменением картины вихревых нитей 2 + 1 классической системы при изменении управляющих параметров и покажем, что возбуждения типа "разомкнутая вихре-

вая нить" определяют характер изменения корреляционной функции фаз и являются ответственными за фазовый переход в квантовой системе и, следовательно, граница упорядоченного состояния массива есть линия топологических переходов Костерлица - Таулесса. Будет рассмотрена также возможность существования т.н. "возвратного плавления" и фазовых переходов не Костерлиц -- Таулессовского типа в области низких температур и сильных квантовых флуктуаций фаз.

Во второй главе проводится исследование роли квантовых флуктуаций фаз и локальной плотности сверхтекучей компоненты в установлении глобального сверхпроводящего состояния системы мезоскопических джозефсоновских контактов или гранул. Учет квантовых флуктуаций модуля и фазы сверхпроводящего параметра порядка проводится в рамках бозонной решеточной модели Хаббарда. Мы покажем, что модуляция среднего числа заполнения п0 узлов системы ("числа куперовских пар" на гранулу, атомов в ловушке и.т.п.) приводит к изменению состояния массива, причем характер этих изменений существенно зависит от рассматриваемой области фазовой диаграммы. Рассматривая характер предельного перехода бозонная модель Хаббарда —> квантовая ХУ модель, мы определим область мезоскопичности объектов, составляющих регулярный массив, а именно: при слабом взаимодействии бозонов (малых квантовых флуктуациях фазы) относительные флуктуаций модуля параметра порядка бозонной модели Хаббарда существенны при п0 < 10, а в области существенных квантовых флуктуаций фазы - при п0 < 8. Также будет рассмотрен альтернативный подход к описанию массивов мезоскопических объектов, в котором предполагается, что флуктуации локальной сверхтекучей плотности (модуля сверхпроводящего параметра порядка на каждой грануле) несущественны даже в мезоскопической области и характер разупорядочения массива определяется квантовыми флуктуациями фаз параметра порядка. Для корректного описания таких флуктуаций рассматривается модель "квантовых косинусов", являющейся обобщением квантовой ХУ модели.

Третья глава настоящей диссертации посвящена исследованию свойств классических и квантовых мезоскопических кластеров - систем электронов в полупроводниковых точках, непрямых магнитоэкситонов в двойных квантовых точках, частиц "пыли" в плазме. Рассматривая свойства таких систем различного числа частиц, будет показано, что наиболее стабильными кластерами (имеющими как максимальные частоты нижайшего возбуждения, так и максимальные температуры разупорядочения) являются кластеры с заполненными кристаллическими оболочками гексагональной симметрии. Таким образом, изменение числа частиц в кластере может привести к значительным изменениям состояния системы. Мы покажем, что изменением характерного радиуса взаимодействия частиц "пыли" в плазме также можно модулировать термодинамические свойства, переводя кластер (контролируемым

образом) в полностью упорядоченное, ориентационно разупорядоченное или полностью разупорядоченное состояние. Будет рассмотрен характер перестроек структуры основного состояния системы при изменении дебаевской длины экранирования заряда частиц в плазме. Рассмотрение свойств квантовых мезоскопических кластеров на плоскости температура - квантовый параметр де Бура мы проведем при помощи "ab initio" Монте - Карло интегрирования по траекториям. Будет показано, что при нулевой (достаточно низкой) температуре, по мере увеличения силы квантовых флуктуации частиц, имеют место два типа квантовых явлений разу-порядочения с ростом квантового параметра де Бура: сначала система переходит в радиально упорядоченное, но ориентационно разупорядоченное состояние, когда различные оболочки кластера проворачиваются друг относительно друга. При гораздо больших амплитудах квантовых флуктуации частиц имеет место переход в разупорядоченное (сверхтекучее в случае системы бозонов) состояние.

В Заключении представлены основные результаты настоящей диссертации.

1 Квантовые флуктуации фазы в массиве джо-зефсоновских контактов.

Массивы джозефооновских контактов до настоящего времени продолжают быть предметом значительного интереса и исследованию свойств этих объектов было посвящено большое число как экспериментальных [8]-[15], [17] - [18] так и теоретических [19], [33]-[44] работ.

В дальнейшем для конкретности мы будем иметь в виду следующую модель: Рассматривается система N х N гранул размером <1 и характерным расстоянием между гранулами Ь (см. Рис. 1). Подобный вид имеет (см. [17]) в частности система алюминиевых гранул в матрице из оксида. Для гранулированных сверхпроводников типа А1 — А120з, т.е. гранул А1 в диэлектрической матрице А1203 типичны следующие значения параметров (1 и Ь: й ~ 30..200л, Ь ~ 500..3000А Заметим, что подобные системы, как правило, однослойны [17], что делает возможным рассматривать систему как двумерную (2Б).

Свойства гранулированных металлов и джозефсоновских массивов, как известно, сильно отличаются от свойств сплошных сред. В частности, в гранулированных системах существуют два явления упорядочения с понижением температуры Т. Первое имеет место при температуре Тс? перехода гранулы (проводящего островка) в сверхпроводящее состояние и соответствует установлению сверхпроводящей щели Л у электронных состояний каждой гранулы. Эта температура примерно равна температуре перехода сплошного материала в сверхпроводящее состояние (Т® ~ 2К для А1). Исследуемую систему гранул мы теперь можем описывать при помощи единой волновой функции системы - комплексного параметра порядка ■ф(т) = Л (г) ехр (_7</?(г)), г б [0, Ы) х [0, Ы), причем каждая гранула характеризуется своим модулем А и фазой (р параметра порядка. При дальнейшем понижении температуры становятся незначительными флуктуации щели А (г) и при Т < Т° — 8Т поведение системы может быть описано при помощи фаз комплексного параметра порядка, заданных для каждой гранулы (для алюминиевых гранул размера й ~ 80А имеем 5Т ~ 0.1 К).

Заметим, что в непосредственной близости к Т° система в целом не является сверхпроводящей. Отличное от нуля сопротивление образца есть следствие разупо-рядоченности фаз <р{г) гранул. Джозефсоновское взаимодействие между гранулами с характерной энергией 7 вызывает упорядочение фаз параметра порядка при некоторой температуре Тс < Тс°. Величину джозефсоновской энергии связи 3 можно оценить следующим образом [18, 37]:

2е

модели.

где jmax ~ Ю-4 А - величина максимального Джозефсоновского тока между двумя соседними гранулами. Для джозефсоновского контакта между двумя идентичными сверхпроводниками эта величина есть

7Г Д , / Д \ 3™* = 2eRtanh{^)

где Д « 3 • 10_4Эв - величина сверхпроводящей щели, R « 4..12Ш - сопротивление контакта в нормальном (при Т Гс°) состоянии.

Вышеприведенное качественное описание явлений, имеющих место в гранулированных системах при понижении температуры, обычно проводится для трехмерных систем. Тогда элементарная оценка температуры перехода может быть сделана при помощи теории среднего поля, в результате чего имеем: Тс ~ zJ, где 2 - число ближайших соседей гранулы. К чему может привести отмеченная выше двумерность системы?

Как известно, дальний порядок отсутствует в двумерных системах с непрерывной симметрией [45], однако при достаточно низких температурах Т <ТС существует глобальное сверхпроводящее состояние, разрушающееся при некотором Т ~ТС по сценарию Костерлица - Таулесса [46] с диссоциацией топологических возбуждений -вихревых пар. Корреляционная функция системы д(т) = (^(¡0|), г/)(|г|)} в этой точке меняет свое поведение со степенного g(r)\T<Tc ~ 1/га^ ("квазидальний" порядок) на экспоненциальный g(r)\T>Tc ~ ехр (—г/£(Т)), когда фазы параметра порядка не-скоррелированны и глобальная сверхпроводимость отсутствует. Таким образом, в отличие от фазового перехода второго рода в трехмерной гранулированной системе, двумерная система гранул испытывает в точке Тс « J фазовый переход бесконечного рода (переход Костерлица - Таулесса).

В системах без диссипации имеется два основных вклада в энергию массива:

джозефсоновская связь между сверхпроводящими гранулами (с энергией Ej ~ J) вследствии туннелирования куперовских пар и электростатическая энергия, возникающая вследствии локальных отклонений от нейтральности гранул (собственная энергия гранулы Ес0 ~ & jd и взаимная кулоновская энергия Ес„ ~ e/L, см. Рис. 1). В случае, когда гранулы достаточно велики (d ~ 104А [13, 18]), так что вклад кулоновской энергии заряда гранул был пренебрежимо малым, J {Eq0, ECij}-, J ~ О.ЗЭв, Ec0,Eci:j ~ 0.04Эв. Такие системы удовлетворительно описываются в терминах классической XY модели 3:

H = J~Z (1 - cos (<pi - ifj)) (2)

<М>

где сумма соответствует джозефсоновской энергии связи пар соседних гранул < i,j >. Фазы параметра порядка <pi G [0, 2тг).

Для мезоскопических гранул наряду с джозефсоновской энергией туннелирования Ej становится необходимым рассматривать также и кулоновскую энергию Ее ~ 2е2/Со заряда гранул собственной емкости Со 4. Температура установления глобального сверхпроводящего состояния является теперь функцией размера (собственной емкости) гранул [19, 42]. Более того, в случае чрезвычайно