Симметрии пространства состояний в квантовых интегрируемых моделях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

2-2006-138

На правах рукописи УДК 51-7:530.145

ПАКУЛЯК Станислав Здиславович

СИММЕТРИИ ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ В КВАНТОВЫХ ИНТЕГРИРУЕМЫХ МОДЕЛЯХ

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Работа выполнена в Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук доктор физико-математических наук доктор физико-математических наук

A.B. Маршаков A.B. Разумов

A.A. Белавин

Ведущая организация:

Математический институт РАН им. В.А. Стеклова, г. Москва

Защита диссертации состоится * > Р 2006 года в Уб1^часов

на заседании специализированного совета Д 720.001.01 в Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований, по адресу: г. Дубна. Московской области, ОИЯИ, ЛТФ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Объединенного института ядерных исследований.

Автореферат разослан « 2Ю » KOJLa5{>lÄ 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного сове доктор физико-математических наук

С.В. Голоскоков

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена исследованию квантовых систем, обладающих скрытой симметрией высокой степени. Типичными примерами таких систем являются интегрируемые квантовые одномерные магнетики и двумерные интегрируемые теории поля.

Основная цель диссертации - исследование пространства собственных векторов коммутирующих интегралов движения (состояний) интегрируемой модели. Как правило, это пространство состояний реализуется как пространство представления некоторой бесконечномерной алгебры, которая отождествляется с алгеброй симметрий исследуемой модели. В моделях, которые исследуются в диссертации, эти алгебры симметрий реализованы как алгебры токов. Под алгеброй токов понимается такая алгебра симметрий, что ее бесконечный набор образующих можно собрать в конечный набор производящих функций, занумерованных корнями простой алгебры Ли. Бесконечномерные алгебры, позволяющие описывать пространства состояний квантовых интегрируемых моделей, называются алгебрами динамических симметрий.

В первой части диссертации исследован класс двумерных интегрируемых массивных теорий поля, обладающих следующими свойствами:

• наличие бесконечного набора независимых интегралов движения;

• отсутствие множественного рождения частиц;

• рассеяние приводит только к перераспределению импульсов между частицами;

• факторизация многочастичной ^-матрицы.

Основополагающим в этом списке является первое свойство, из которого, в принципе, можно получить остальные свойства. В таких моделях можно реализовать форм-факторную программу вычисления корреляционных функций локальных операторов, в которой двухточечный коммутатор представляется в виде ряда

PK(vac101(x)02(,)|vac>ph = f/J х

€1,

с

где матричные элементы Ph(vac|Oi(O)|0j,..., вы)ч.....iN между вакуумным и ./V-частичным состоянием, называются форм-факторами оператора Oi и содержат информацию, как о локальном операторе, так и о состоянии на котором вычисляется этот матричный элемент. Асимптотическое N-частичное состояние параметризуется быстротами 6j и 'цветами' квазичастиц. Требование зануления корреляционной функции на пространственно-подобном интервале приводит к системе согласованных аксиом на форм-факторы локальных операторов, решение которых может быть получено в виде многомерных интегралов гипергеометрического типа. Затравочными данными для системы форм-факторных аксиом являются точные формулы для унитарной и кроссинг-симметричной S -матрицы рассеяния асимптотических состояний.

В диссертации S -матрица для солитон-антисолитонного рассеяния в модели Sine-Gordon была использована для формулировки алгебры токов, такой, что ее теория

представлений давала решение форм-факторных аксиом в этой модели. Эта алгебрй токов оказалась существенно отличной от таковых, возникающих из теории групп и алгебр Ли. В частности, в рамках бесконечномерной теории представлений этой алгебры токов было объяснено появление двух дуальных квантовых симметрий в модели Sine-Gordon. Форм-факторы локальных операторов получаются в виде многомерных интегралов, в структуре которых содержится информация как о локальном операторе, так и о состояниях, на которых вычисляются матричные элементы. Было замечено, что векторнозначная часть подынтегрального выражения в представлении матричного элемента несет информацию о состоянии, на котором этот матричный элемент вычисляется. Эта векторнозначная функция может быть отождествлена с обобщенным вектором Бете и также может быть получена из анализа соответствующей алгебры токов.

Во второй части диссертации это наблюдение было развито до универсальной конструкции построения обобщенных векторов Бете в интегрируемой модели, обладающей алгеброй динамических симметрий произвольного ранга. В случае моделей с симметриями старших рангов метод нахождения векторов Бете называется иерархическим аизацем Бете. Содержанием этого метода, созданного усилиями ленинградской школы академика Л.Д.Фаддеева и возникшего как синтез классического метода обратной задачи (В.Е.Захаров, С.П.Новиков и др.) с методами Р.Бакстера расчета квантовых систем на решетках, является неявная процедура,, позволяющая свести задачу об описании вектора состояния к аналогичной задаче для алгебры меньшего ранга. В предположении, что для минимального ранга задача решена, иерархический анзац Бете неявно решает задачу об описании обобщенных векторов Бете. В диссертации был сформулирован новый метод, позволивший эффективно решить иерархические соотношения анзаца Бете, и получить явные формулы для описания обобщенных векторов Бете в квантовых интегрируемых моделях с симметриями старших рангов.

Следует отметить, что построение векторов Бете является актуальной задачей в теории квантовых или разностных уравнений Книжника-Замолодчикова, которые описывают зависимость обобщенных форм-факторов от быстрот частиц. Обобщенные вектора Бете в этой теории называются весовыми функциями. Найденная в диссертации связь между алгебрами токов и весовыми функциями позволяет находить решения квантовых уравнений Книжника-Замолодчикова для систем с произвольной алгеброй скрытых динамических симметрий.

Актуальность проблемы. Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод, что развитие альтернативных подходов к изучению квантовых интегрируемых систем с бесконечным числом степеней свободы является важной задачей, и помимо самостоятельного математического интереса, занимает важное место в современной теоретической физике.

Поэтому тема диссертации является актуальной, а решение поставленных в ней задач представляет безусловный интерес как для специалистов по теории интегрируемых систем, так и для широкого круга физиков-теоретиков, которые, так или иначе, используют изложенные результаты в приложениях к квантовой теории поля, физики элементарных частиц и теории струн.

Цель работы. Целью диссертации является изучение пространства состояний

квантовых интегрируемых систем в двух аспектах. Во-первых, как пространства представления некоторой центрально-расширенной алгебры токов, учитывающей и объясняющей наличие двух квантово-групповых симметрий в модели Sine-Gordon с дуальными параметрами деформации. Во-вторых, как пространства векторнознач-ных функций, которые могут быть использованы для построения обобщенных форм-факторов в интегрируемой двумерной теории с произвольной алгеброй динамических симметрий. В диссертации решаются следующие задачи.

1. Проанализировано угловое квантование свободных массивных двумерных фер-мионов, и построена бозонизация неабелевой алгебры экранирующих токов, связывающей различные компоненты фермионных полей при угловом квантовании.

2. Алгебра экранирующих токов обобщена для произвольного допустимого значения константы взаимодействия в модели Sine-Gordon. Симметрии пространства состояний в этой модели реализованы как присоединенное действие алгебры экранирующих токов.

3. Форм-факторы локальных операторов в теории Sine-Gordon построены как следы от произведений сплетающих операторов представлений уровня 1 алгебры экранирующих токов и проведена проверка того, что эти следы удовлетворяют всем аксиомам форм-факторов в этой модели.

4. В SU(2) -инвариантной модели Тирринга проведено вычисление следов от произведений сплетающих операторов для соответствующей алгебры экранирующих токов, и получены форм-факторы тока и тензора энергии-импульса. Из анализа этих форм-факторов доказано совпадение обобщенных векторов Бете и проекций от произведений экранирующих токов.

5. Построена общая теория проекций на пересечения токовых подалгебр с поляризациями разных типов. Классическая (¿-операторная) и токовая конструкции обобщенных векторов Бете отождествлены на примере алгебры токов Uq(glN). Доказано, что вычисление проекций от произведений токов эквивалентно эффективному решению соотношений рекурсии в иерархическом анзаце Бете.

Основные результаты, выносимые на защиту

1. Найдено новое семейство алгебр токов, теория представлений которых дает теоретико-групповое описание пространства состояний в точно-решаемых двумерных массивных квантовых теориях поля типа Sine-Gordon и модель Тирринга. Это семейство отождествлено с новой деформацией алгебры токов из класса динамических квантовых групп.

2. Вектора состояний в этих теориях реализованы как операторы в пространстве Фока. Вычислены матричные элементы (форм-факторы) некоторых локальных операторов на этих состояниях, и проведена проверка того, что они удовлетворяют всем аксиомам на форм-факторы, следующим из базового постулата причинности в теории поля.

3. Изучены свойства разностных уравнений, которым удовлетворяют форм-факторы, и отождествлены три независимые конструкции построения решений этих уравнений.

4. Развита общая теория построения обобщенных векторов Бете для произвольной квантовой интегрируемой модели с любой токовой алгеброй симметрии.

5. Показано, что предложенный в диссертации метод проекций позволяет эффективно решать соотношения рекурсии в иерархическом анзаце Бете и строить обобщенные вектора Бете, используя токовую реализацию алгебры симметрий пространства состояний.

Научная новизна и практическая значимость результатов. Все пред-

ставленные на защиту результаты являются оригинальными разработками автора диссертации и новыми на момент их публикации. Результаты опубликованы в ведущих российских и зарубежных журналах, докладывались на международных конференциях и представлены в их публикациях, они широко известны в научном сообществе и цитируются в работах других авторов в близких областях теоретической и математической физики. Результаты, лежащие в основе диссертации, были опубликованы в 1993-2006 годах в работах [1]-(15].

Впервые была предложена теоретико-групповая интерпретация двух квантово-групповых симметрий в модели Sine-Gordon и модели Тирринга в рамках новой алгебры токов из класса динамических квантовых алгебр [7, 11].

Впервые были сопоставлены три различные конструкции построения обобщенных форм-факторов в интегрируемых двумерных моделях теории поля, обладающих ян-гианной симметрией, и доказано их совпадение на примере форм-факторов тока и тензора энергии-импульса [9J.

Впервые обобщенный бетевский вектор был выражен в токовых образующих алгебры динамических симметрий и отождествлен с проекцией от произведения токов на пересечения борелевских подалгебр разного типа [14, 15].

Эти же проекции были впервые применены для получения универсальных R-матриц для квантовых аффинных алгебр в интегральной форме, выраженных через токовые образующие [12, 13].

Автору принадлежит постановка теоретических задач, определение методов решений и получение конкретных результатов. В диссертации представлена лишь принадлежащая автору часть результатов работ, выполненных в соавторстве.

Научная и практическая ценность диссертации обусловлена возможностью применения полученных в ней результатов в дальнейших исследованиях.

Апробация диссертации. Результаты, полученные в диссертации, неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах в Лаборатории теоретической физики имени H.H. Боголюбова, ОИЯИ и на теоретических семинарах ИТЭФ и ИТФ им. Л.Д. Ландау. Результаты диссертации были также представлены автором на научных семинарах в Университетах Бонна (Германия), Мадрида, Сарагосы (Испания), Киото, Токио, Фукуоки (Япония), Рима, Падуи (Италия), Политехнической школе в Париже, Институте высших научных исследований (Бюр-сюр-Иветт, Франция), Математических институтах им. М.Планка (Бонн) и Киотского Университета,

Корнельском Университете (США), Центре математических исследований Университета Монреаля (Канада), Лаборатории теоретической физики (Анси, Франция). Результаты были представлены на международных конференциях по различным областям теоретической и математической физики в Монреале (2000), Бонне (2004), Анси (2005), Протвино (2003, 2006).

Некоторые результаты диссертации впоследствии были подтверждены и развиты в работах японской школы. Так, М.Джимбо, Т.Мива и Х.Конно обобщили результаты, полученные в первой части диссертации, на модели с эллиптическими токовыми алгебрами симметрии.

Публикации. По материалам исследований, представленных в диссертации, опубликовано 15 работ в ведущих журналах.

Структура и объем диссертации. Объем работы составляет 218 страниц текста с 4 рисунками, включая библиографический список литературы из 98 наименований.

Содержание диссертации

Во введении дан обзор современного состояния теории квантовых интегрируемых двумерных моделей теории поля, очерчены основные понятия и методы, используемые в диссертации, приведена общая характеристика работы, а также описана ее структура по главам.

Во второй главе рассматривается каноническое квантование свободных двумерных массивных фермионов или массивной модели Тирринга в отсутствие четы-рех-фермионного взаимодействия, определяется и изучается алгебра экранирующих токов, дается теоретико-групповая интерпретация пространства состояний в модели Sine-Gordon в рамках теории представлений алгебры экранирующих токов, и проверяется утверждение о том, что теория представлений этой алгебры доставляет решение форм-факторной программы для этой модели.

Хорошо известно, что массивная модель Тирринга, задаваемая лагранжианом

- § (Ф(*Ь"Ф(*))2],

(1)

эквивалентна на квантовом уровне модели Sine-Gordon

Gsg = Jdx°dxl [i амФ(х)а"Ф(х) + ^5(oos(2v^*(®)) - 1) , (2)

если константы взаимодействий в двух моделях связаны соотношением

В § 2.1 модель Тирринга рассматривается в точке свободных фермионов д = О, когда четырех-фермионное взаимодействие в модели отсутствует, и каноническое квантование этой модели в правом конусе (х0)2 — (х1)2 <0, х1 > 0 : х° = rsh а, х1 = г ch а, г > 0, а 6 К двумерного пространства Минковского

{ф+(г,а),ф.(г',а)} = -е~а6(г - г'), {ф+(г,а),ф_(г',а)} = -еа5(г - г') , (3)

где

Ф±<Г'а> = ( фАг.а) ) = JZ dV M")*-(r,a) (4)

Ф"(Г> ~ + 1/2) V e<2'^>°Kw_l/2(mr) ) ' " в R ^

позволяет построить данные 'рассеяния' Х±{в,а)

- Х±{в,а) = ^ Г dr е-тгсЫ (ф±(г, + -ф±{г, а)^^'2) , (6)

•¿V7T Vo

эволюция которых по угловому времени а сводится к сдвигу спектрального параметра Х±(0, а) = Х±(в + а). Обратная задача 'рассеяния' для фермионных полей

л/m Г°° ^ о ( е(9+а^2 N

Ф±(Г> J_jd Zí{6 + ( ) <7>

решается в терминах операторов 2±(в) = Х±(в + ni) + Х±(0 — жг), связанных с данными 'рассеяния' интегральным преобразованием.

<8)

Операторы Х±(в) и Z±{6) могут быть выражены через непрерывные фермионные моды b±(v) формулами

которые позволяют исследовать коммутационные соотношения и аналитические свойства матричных элементов произведений операторов 'рассеяния'.

Следующим шагом является построение бозонизации операторов 'рассеяния'. Для этого рассматриваются нейтральные заряды, которые получаются из нейтральных сохраняющихся токов и имеющие следующий вид

/оо roo

de еав-,2^(в)у.+ (ву. , ал = / d0 ем:Х-(в)3+(в): ,

■ОО —оо

где нормальное упорядочение определено относительно фермионного вакуума. Используя канонические антикоммутационные соотношения для фермионных мод

{Ь±И,Ы"')} = 0, {Ь+(и),Ь-(и')} = 6{v + i/)

можно показать, что нейтральные заряды обрадуют две алгебры Гейзенберга

[ад, а„] = [ад, = А5(Л + ц)

и, следовательно, в силу коммутационных соотношений,

[ад,г_(в)] = e-1Afl2_(0), [ах,Х+(е)] = -е'™Х+(е) , (9)

[аЛ,Д-_(0)] = е~авХ^(в) , [ал,2+(е)] = -е-лв2:+(0) (10)

могут быть использованы для бозонизации операторов 'рассеяния'. Эти формулы позволяют бозонизовать операторы Х+(в) и -2_(0) в терминах свободного бозонно-го поля, построенного из непрерывных бозонов ад, а операторы Л'_(б) и 2+(в) в терминах аналогичного свободного поля, построенного из бозонов ад . Однако в силу соотношений (8) все операторы рассеяния должны выражаться либо через бозоны ад, либо через ад. Легко проверить, что эти операторы не образуют между собой замкнутой алгебры. Поэтому, чтобы обеспечить соотношения (8) на уровне бозонизации, вводятся экранирующие токи £(и) и Т(и) такие, что

2+(в) = 2ж2г [ du ев-"2-(в)£(и)-2пЧ [ du ев'и£{и)2_(в) JCi JCi

= Х+(в + пг) + Х+(в - ni) , (11)

2^{в) = 2жЧ [ duee-uZ+{e)F(v.)-2ir2i [ du e°~u^(u)Z+(0)

JCi JC2

= Х-(в + iri) + X-.(6 - iri) . (12)

Далее рассматривается квантовая матрица монодромии в модели Sine-Gordon при угловом квантовании, ассоциированная с лучом а = const. С.Лукьянов доказал, что матричные элементы этой матрицы монодромии являются квантовыми аналогами классических функций Иоста, связанных с интегралами движения в рассматриваемой модели. Интерпретация операторов Z±(0) как операторов описывающих состояния, приводит к естественному физическому требованию коммутативности этих операторов и матричных элементов Z'±(a) угловой матрицы монодромии с точностью до некоторой скалярной фазовой функции. Это требование позволяет построить бозонизацию оператора Z'_(a) через ад, a Z'+(a) через ад. Требование бозонизации операторов Z'±{a) в одном и том же фоковском пространстве позволяет ввести вторую пару экранирующих токов ¿(и) и F(u) такую, что либо пара £(и) и Т(и), либо пара £(и) и J-(u) образуют замкнутую алгебру на уровне бозонизации. Как будет показано в следующем параграфе, эта алгебра совпадает с алгеброй динамических симметрий для модели Sine-Gordon в точке свободных фермионов (/З2 = 1) и при значении центрального заряда равного 1.

В § 2.2 эта алгебра токов формулируется при произвольном допустимом значении перенормированной константы взаимодействия в модели Sine-Gordon f = T^qp и обозначается (s/2) • Образующие алгебры экранирующих токов собраны в производящие функции, из которых можно составить ¿-оператор

т{„ f £++(«>?) L+-(u,0 \

так, что коммутационные соотношения в алгебре задаются соотношениями [с, L(u, £)] = 0 , eaKL(u, О = Ци + а, ()еаК ,

^(ui-Uj.i + cJL^m.Oba^.O = ■ (13)

qdetL(u,0 = L++(u-»7r, <;)£—(«,О - L+_(u - «jt,£)L_+(u,0 = 1 , (14)

где с есть центральный элемент в этой алгебре, оператор К имеет физический смысл оператора буста, а Л-матрица практически совпадает с S -матрицей солитон-антисолитонного рассеяния в модели Sine-Gordon

7г+(и,о = г+(и)тг(и,й. = г(и,оЩи,о , (15)

/1 о о о V

Щи, о =

О Ь(и,0 с(и,0 о О c(u,î) 6(u,0 О \ О О О \ )

sh - sh —

г (и, О

/ . r°°d\ sh Л/2 sh(C - 1)А/2 . / Au\\

ехр (2гЛ Т-лГ sh^/V s'n (т)) • (16)

Учитывая условие квантового детерминанта (14) L -оператор можно представить в виде разложения Гаусса

Т(„ rt _ ( 1 /(«О A f + О W 1 О \

Ч«,« - ^ 0 1 д 0 k(u) J ^ е(ы) J J ,

а экранирующие токи Е(и) и .F(u) связать с гауссовыми координатами формулами задачи Римана

е (" " х) + е (u ~ ^ " х) = 4 sin W«^") •

f(u + ^j+f(u- in? + Ç) = e sin fr/f )F(«i) , (18)

где f = £ + c. Далее в диссертации рассматривается бозонизация алгебры экранирующих токов на уровне с = 1 непрерывными бозонами, удовлетворяющим коммутационным соотношениям,

sh s* sh 1гЛ({+1)

а"] = л ¡wa + ^ = С(АЖЛ +

и доказывается совпадение этой бозонизации при £ = 1 с полученной из анализа углового квантования массивных фермионов. У алгебры Ai/^(sl2) кроме бесконечномерных представлений на уровне с = 1 есть конечно-мерные представления при с = 0. Следуя идеологии углового квантования на бесконечных решетках, вводятся

два типа сплетающих операторов между представлениями уровня 1 и тензорными произведениями представлений уровней 1 и 0. Бозонизация алгебры экранирующих токов и нестандартное коумножение в алгебре экранирующих токов

Д¿у (u, 0 = L"i(u - iVc(2)/4, + с(2)) ® Lik(u + тс^/4, Q к=±

позволяют получить бозонизацию компонент сплетающих операторов и вычислить их коммутационные соотношения. Доказывается, что операторы первого типа коммутируют на Л-матрицу из коммутационных соотношений элементов матрицы мо-нодромии в модели Sine-Grdon с параметром деформации q' = ехр , а опера-

торы второго типа на ¿'-матрицу рассеяния асимптотических состояний в этой модели, которая отражает квантово-групповую природу пространства состояний этой модели с дуальным параметром деформации q = ехр . Таким образом, пред-

ставления уровня 1 алгебры Ai/tislz) дают естественное объяснение двух квантово-групповых симметрии в модели Sine-Gordon с дуальными параметрами деформации q и (/. В пределе к точке свободных фермионов £ —> 1 компоненты сплетающих операторов первого и второго типа переходят в компоненты квантовых функций Йоста Z'± (а) и в компоненты данных рассеяния для свободных массивных фермионных полей 2±(в) соответственно.

В § 2.3 проводится подробное исследование пространства асимптотических состояний в модели Sine-Gordon с использованием свойств и структур алгебры экранирующих токов .Aj/^sb). Полное гильбертово пространство состояний в этой модели отождествляется с тензорным произведением T-ii®7in двух взаимно дуальных бесконечномерных модулей уровней 1 и —1 над алгеброй Ai/((sl2). Состояниям сопоставляются операторы, действующие в одном из модулей, в частности, асимптотические состояния \9it..., вп)ч.....е„ отождествляются с произведениями операторов

|*ь■..,*»>«........ = адь-.ад.ое"* , (19)

продолженными аналитически на вещественную ось, где сплетающие опе-

раторы второго типа, а физический вакуум отождествляется с оператором буста |vac)ph = е*'1". Число п в (19) означает число элементарных возбуждений или 'квазичастиц', участвующих в образовании этого состояния.

Сопряженные состояния задаются произведениями дуальных операторов Z± (в) =

<,.....«.Pi.....

Форм-факторы оператора О могут быть представлены в виде следовой формулы

ph(vac|O|0i,..., 0п)ц....... =ЪНя (fKdz:i[01)...ZZt(en)) , (20)

где О является некоторым оператором, действующим в пространстве Tin и соответствующим исходному локальному оператору О. Действие матрицы монодромии в полном гильбертовом пространстве модели, которое является прямой суммой подпространств "Н = Но&Н\ с четным TLq и нечетным Tii числом квазичастиц задается формулой

T«(,a)-Xk = tf(t))-1-JZ't(a).Xk-ZL<(.a)t к = 0,1 (21)

и стабильность физического вакуумного вектора является следствием свойств сплетающих операторов Z'± (а) первого типа. Показано как квантовые симметрии пространства состояний в модели Sine-Gordon превращаются в классические в точке свободных фермионов при £ —► 1.

В § 2.4 сформулированы аксиомы форм-факторов в модели SG. По конструкции, форм-факторы, представленные следами (20), автоматически удовлетворяют всем аксиомам за исключением одной:

2та res F(6i,..., en)tl.....«. = F(91.....0„_2)£«.....«. ,J«.,.«..,

x (4 • • • sizzl - ir^Oi - 6n-i)... £ha£:,3(oB-2 - , (22)

которая описывает аналитические свойства форм-факторов как функций быстрот и позволяет реконструировать все форм-факторы для данного локального оператора зная точный ответ для минимального форм-фактора того же оператора. В этом параграфе непосредственным вычислением проверяется, что след (20) удовлетворяет аксиоме (22), и, следовательно, теория представлений алгебры экранирующих токов ^l/iisb) дает решение форм-факторной программы в модели Sine-Gordon.

Глава 3. В третьей главе изучаются обобщенные форм-факторы в SU(2) -инвариантной модели Тирринга. Алгебра динамических симметрии в этой модели получается из алгебры -Ai/f (si2) в пределе £ —» +оо и в данной главе проверяется, что теория представлений этой алгебры, необходимая для алгебраического анализа данной модели, имеет хорошо определенный предел при £ —» +оо . Также в этой главе явно вычисляются следы от произведений сплетающих операторов и проводится отождествление полученных интегральных формул с форм-факторами операторов тока и тензора энергии-импульса. Векторнозначная часть интегрального представления для форм-фактора отождествляется с обобщенным вектором Вете, построенным в терминах токовых образующих алгебры экранирующих токов в SU{2) -инвариантной модели Тирринга.

В § 3.1 формулируется алгебра экранирующих токов Ao(sh) для этой модели как предел при £ —» +оо алгебры -Ai/^sij) • Проверяется, что коммутационные соотношения в этой алгебре, записанные в терминах производящих L -операторов, совпадают с коммутационными соотношениями в центрально-расширенном дубле янгиана. Было давно известно, что эта алгебра является алгеброй динамических симметрий в некоторых массивных интегрируемых моделях теории поля, однако, ее стандартная реализация не позволяла применить методы алгебраического анализа в этих моделях. Хотя коммутационные соотношения для алгебры _4o(sb) и дубля янгиана совпадают, как топологические алгебры они существенно различаются. В отличие от алгебры Ao(sl2), центрально-расширенный дубль янгиана является фильтрованной бесконечномерной алгеброй и его теория представлений плохо согласована с приложениями в теории поля. Далее, бозонизация алгебры Ao(sh) на уровне 1 и сплетающих операторов двух типов между бесконечномерными представлениями построены как пределы аналогичных конструкций в алгебре -4i/{(si2).

В §3.2 вычисляются следы от произведений сплетающих операторов, используя технику, предложенную Л.Клавели и Дж.Шапиро в дуальных моделях. Результатом этого вычисления является интегральное представление для следов типа интегралов

Барнса. В этом же параграфе разрабатываются методы вычисления этих интегралов и исследуется вопрос, когда эти интегралы могут быть вычислены точно.

В § 3.3 подробно изучается след от произведения двух операторов первого типа и произвольного четного числа сплетающих операторов второго типа, и выясняются условия, при которых этот след совпадает с форм-фактором нейтральной компоненты тока в 5С/(2)-инвариантной модели Тирринга, полученного в рамках стандартного 5-матричного подхода:

*<з

(23)

где компоненты форм-фактора F(/Зl,••• ,02п)( 1,-,£2„ в специальном базисе 6

(С2)®2™, заданы детерминантными формулами:

. £ а -

уеа+ зев-_)_

п (А - & ~

<6В+, э£В-

II Г°°

/ ¿V , /?в+ )<

I -У-ао

(п-21+1)у

(24)

Множество быстрот {/?!,•■• ,/32п} поделено на два подмножества Дц+ и /Зв- согласно правила В ¥ = {]' : е^ = +}, В~ = {] : = —} . Формула (24) содержит деформированные 'дифференциалы'

¿=1

определяемые фазовой функцией <р(ь)

^ ' \2тгг/ \2 2™/

и полиномами

ЯМРв-,0в+) =

]£В+

Т*

\ )

+

+ П ^ - ^ ~ ""*)

¿ев-

Т* (и — тгг)"~1

V ¿ев+ ;

Для произвольной рациональной функции /(г;) символ Га означает разностную производную

Та(№) = /(V) - /(V - а) , а обозначение [/(ч)] + означает полиномиальную часть рациональной функции /(?;). Как векторнозначная функция быстрот , форм-фактор (23) удовлетворяет разностному или деформированному уравнению Книжника-Замолодчикова, интегральные решения которого используются в 5-матричном подходе для восстановления форм-факторов локальных операторов.

Кроме стандартного 5-матричного подхода, общая теория построения интегральных решений разностных уравнений Книжника-Замолодчикова была развита в работах А.Варченко и В.Тарасова. Однако, для одних и тех же форм-факторов обе эти теории, также как и алгебраический подход, предложенный в настоящей диссертации, давал различные интегральные представления, которые отличались как количеством интегралов, так и структурой подынтегральных выражений и формой контуров интегрирования. Так, 2п-частичный форм-фактор (24), вычисленный в 5-матричном подходе, задается п — 1-кратным интегралом, теория уравнений Книжника-Замолодчикова дает для этой величины п-кратное интегральное представление, а алгебраический подход

2п 2п / Я \

511-1 (^г1)у

х П ВЬ(«* - Ук.) П еЬ (ук -а) I --'-1---:- , (25)

п + 1 -кратное интегральное представление. В (25) интегрирование по переменной и появляется из бозонизации операторов первого типа, а остальные п интегрирований по переменным ьк , к = 1,..., п - из бозонизации операторов второго типа. В формуле (25) полином Рс(г>; ¡3)

п _

= ЬкеВ+ (26)

А=1 ]>Ьк з<Ьк

определяет зависимость компоненты форм-фактора от векторного индекса е = {ех, • • ■, «2«} при разложении последнего по базису ъи" ® ■ • • ® гу'3п в тензорном произведении двумерных пространств (С2)®2™, где ги* вектора стандартного базиса в С2. Контур С" в интегрировании по переменной и идет параллельно вещественной прямой от —оо до оо, так что точки а — ¿7г(г+1), ук — ¿7г(г +1) находятся под контуром С', а точки а + гят, ьк + тг находятся над контуром С, для г = 0,1,2,... и к = 1,..., п. Контур интегрирования С в формуле (25) существенно отличается от контура интегрирования в формуле (24) и проходит от —оо до оо ниже точек

,З3- + т(2г — 1) и выше точек — 2гжг для г = 0,1,2,----

В диссертации было показано, что структура подынтегрального выражения, возникающая при вычислении следов от произведений двух и 2п сплетающих операторов первого и второго типа, позволяет провести интегрирование по переменной и явно. В результате получается п -кратный интеграл того же типа, что и в теории уравнений КЗ. Далее было показано, что структура подынтегрального выражения в этом интеграле такова, что одно из интегрирований можно опять выполнить явно

и получить в результате интегральную формулу для форм-фактора (23). Тем самым было окончательно установлено совпадение всех трех теорий в приложении к рассматриваемой двумерной квантовой интегрируемой теории поля.

В последнем параграфе § 3.4 третьей главы изучается векторная часть формулы (25)1

(тт — V, + Л £{<} рп.....(«; /?)«;«• в • ■ • в \

где симметризация функции .....у„) означает

Зуп1„ (^(«1,..., г„)) = ^т V ¿"(«„о),..., «„(„)) .

...

Точнее, доказывается соотношение для обобщенных векторов Бете

у, - У,+ П Е(е} Л,...../?К' ® • • • ® ги"- \ =

Ч-Ч ПГ=1 Ю^-й + л) ) ~

= Др») {В±(ъ) • • • В±(ьп)0±(у1)-1 • • • ^Ы-1) П(0) , (27)

где операторы В^^и) и 0±{р) используются при Л-матричной формулировке алгебры Л) («'г)

± _ ( . В*(«) \ _ / *:*(« +Л)"1+ /±(«)^(«)е±(в) \

ь ^ - ^ с±(г)) ^ - ^ *±(<;)е±(г;) Ат1» )

и действуют в конечномерном представлении С2(/3) этой алгебры по формулам

7Гд (е±(и)) г«- = О, 7Г0 (/^(и)) = О,

** (**("» = и-р + п = ц-^ + П

чч _ -у-/? _ . ± л + У-Р + 2Л ,

тта (Л (V)) ю = 1>_/? + Л . т/з (Л±(«)) = + Л ш •

где Л.±(г') = /с±(и + Й)_1Л±(г))-1. Действие этих операторов в тензорном произведении С2(/?1) ■ • -С2(/?2п) задается 2п-кратной итерацией отображения коумножения, заданного на элементах Ь -операторов формулами

ДЬ%{и) = ¿ Ь%(и) ® Ь±(и) , (28)

*=1

а вектор Щ/З) = 6 С2(/31) ® • • ■ ® С2(/32п) удовлетворяет соотношениям

2п

Д<2"> (С») П(уЗ) = О, Д<2"> (0±(г;)) П(/?) = Цр^г; - Р,)П(Р) , .

1 Л = 7Г» .

Эут„ ( П \1<1

для некоторых скалярных функций р±(и). Используя коумножение (28) можно доказать тождество (27) прямым вычислением, однако в диссертации приводится другой способ его доказательства, который позволяет обобщение на случай алгебр старшего ранга, где вычисления с помощью формулы (28) весьма затруднительны. Соотношение (27) доказывается в три этапа. Во-первых, произведение матричных элементов ¿-операторов, стоящих под степенью коумножения в правой части равенства (27) сводится к некоторой комбинации мономов, содержащих только гауссовы координаты /+(Ук) ■ Во-вторых, доказывается, что эта комбинация гауссовых координат совпадает с проекцией произведения полных токов /(ух) • ■ ■ /(ип) на подалгебру, образованную полутоками /+(ик), к — 1,..., п. И, наконец, в-третьих, показывается, что стандартное правило коумножения (28) переставляется с этой проекцией, меняя само коумножение на более простое правило коумножения полных токов, введенное ранее в работе В.Дринфельда по новой или токовой реализации янгианов и квантовых аффинных алгебр. Это простое правило коумножения делает равенство (27) очевидным.

Соотношение (27) оказалось очень важным, так как позволило связать вектор-нозначные функции, участвующие в построении форм-факторов в интегрируемых моделях с алгебрами токов. Это наблюдение было развито в следующих двух главах диссертации для алгебр токов старшего ранга, что позволило переформулировать иерархический анзац Бете на универсальном уровне в терминах алгебр токов и построить метод проекций, который дает эффективное решение нетривиальных иерархических соотношений, возникающих в этом методе.

Глава 4. В четвертой главе была построена общая теория проекций на пересечения борелевских подалгебр в алгебрах токов, отвечающих разным поляризациям. В диссертации метод проекций был развит для квантовых аффинных алгебр. Результаты, полученные в этой и следующей главах, могут быть применены также для других бесконечномерных алгебр, отличающихся от квантовых аффинных алгебр свойствами автоморфности токов. В четвертой главе метод проекций для построения универсальных векторов Бете применялся в случае квантовой аффинной алгебры ранга 2

- и,(713).

В §4.1 алгебра [/,(5/3) сформулирована в двух реализациях, как образованная генераторами Шевалье и токовыми образующими Дринфельда, которые являются модами токов е,(г), /¡(г), ф^(г), где индекс г = (а,/3) принадлежит множеству простых положительных корней алгебры Ли в1з. С каждой из этих реализаций была ассоциирована естественная поляризация - разложение всей алгебры на две дуальные хопфовы подалгебры или разложение на борелевские подалгебры разных типов. Далее были описаны пересечения между борелевскими подалгебрами разных типов, и корректно определены проекционные операторы на эти пересечения. Основная техническая сложность в этом разделе состояла в получении эффективных формул для проекций произведений токов, отвечающих разным простым корням. Эта задача была решена путем введения в рассмотрения сложных или составных токов, являющихся, в некотором смысле, производящими функциями генераторов Картана-Вейля в квантовой аффинной алгебре Uq(slз).

В §4.2 вводится универсальная весовая функция И^*,.....как элемент из

и {и, ,...,<«„}, где ■

= ¿/„ЙзЖи.С.....

' t■ ' t■

Тем самым, И^^,...,является формальным степенным рядом по переменным

> -■■> , с коэффициентами в полиномах

¡¡>,^1]. Обозначим через П набор {а,/8} . Назовем упорядоченный набор I = (ц, ..., а|/| вместе с отображением I : / —► П упорядоченным П-мультимножеством. Пусть V - представление алгебры ия(б1з) и г; - вектор в V. Назовем и сингулярным весовым вектором относительно токовой борелевской подалгебры Не = (е,(г), , если

е<(г)г> = 0, ^(-Ф = А4(г)г>, г = а, /?, (29)

где АДг) является мероморфной функцией, разлагаемой в ряд по степеням г-1 для и в ряд по степеням г для (г) . Представление V порождено сингулярным относительно {/я весовым вектором V 6 V, если оно порождено действием алгебры С/,(5?з) на вектор V. Универсальная весовая функция определяется следующими свойствами:

• для любого представления V, порожденного сингулярным относительно 1/е весовым вектором V, функция

сходится в области 3> ■ • • 3> к мероморфной У-значной функции и является обобщенным вектором Бете;

• если 1 = 4), то IV = 1 и гну — V;

• если V = ® - тензорное произведение представлений старшего веса со старшими векторами ь\, ъ>2 и соответствующими рядами {А^(г)} и (А^2'(г)}, г — а, /3, то для любого упорядоченного П-мультимножества I справедливы соотношения

гМ^аЦе Л) = Е гип({га|ае /,}) ® /Л)*

/=/,11/а

п а(2) а х п ?-"<•>■•<»»*,.-«>

ае/1 а<Ь, абЛ, Ь£/а

Если в весовой функции в качестве параметров выбрать решения соответствующей системы уравнений Бете, то получится набор векторов Бете. Весовая функция при свободных параметрах систематически использовалась при исследовании решений д-разностного уравнения Книжника-Замолодчикова. Далее формулируется основное утверждение четвертой главы о том, что элемент

ич«<„ ....«О = .

заданный проекцией от произведения токов является универсальной весовой функцией. Вычисление универсальной весовой функции

\Vitu ...,га,зи...,Вь) = Р(/а(Ь) • ■ •/аММзг) ■ ■ • МбЬ))

сводится к вычислению проекций от произведений токов, называемых струнами,

/аЫ) ■ ' ■/аЬ'а)/а+,в(иа+1) • • ■/ащ{иа+Ь), /а+/з(щ) ' ' •/а+/з(иа)/д(иа+1) ' • -/рО^а+ь) которые содержат составной или сложный ток

/.«(--)-/ /.(«)/„(«) & - / & •

В § 4.3 и § 4.4 изучаются аналитические свойства струн и разрабатываются методы вычислений проекций от них с использованием присоединенного действия токов /р{$) на /а(г). Это присоединенное действие обладает свойством

^/вМ/М^) (/«(*)) = О I которое эквивалентно соотношениям Серра для токовых образующих.

Глава 5 посвящена проверке основного утверждения предыдущей главы о совпадении универсальных весовых функций или обобщенных векторов Бете с проекциями от произведения токов, для случая алгебры 11я(д1к), где альтернативная конструкция построения этих объектов в терминах ия(д1ы) ¿-операторов известна из серии работ А.Варченко и В.Тарасова.

В §5.1 формулируется Ь-операторная и токовая реализации алгебры ия(д1м). Далее формулируются основные свойства весовых функций, ассоциированных с алгеброй ич{д1м).

В § 5.2 весовые функции определяются по аналогии с результатами предыдущей главы в терминах проекций от произведений токов для алгебры £/?(а/лг) и весовые функции для алгебры ид(допределяются с помощью стандартного вложения

В § 5.3 для определенного мультимножества вида

Г _ ¡А /1 ,2 ,N-1 ,N-1 \

<т> — .............• • • > 1пз' ••• ' Ч I • ■ • > Г

и„{д1м) весовые функции определяются в терминах ич(д1м) ¿-операторов. Эта конструкция весовых функций взята из работ А.Варченко и В.Тарасова.

В последнем параграфе § 5.4 пятой главы проводится отождествление двух разных конструкций для весовых функций путем сравнения иерархических соотношений, которым они удовлетворяют. Тем самым доказывается, что метод вычисления проекций, развитый в четвертой и пятой главах диссертации, позволяют эффективно решать соотношения рекурсии, возникающие в иерархическом анзаце Бете для интегрируемых моделей с произвольной алгеброй симметрии пространства состояний.

В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

[1] S. Pakuliak. Annihilation Poles for Form Factors in XXZ Model. Internat. J. of Modern Phys. A 9 (1994), no. 12, 2087-2102.

[2] S. Pakuliak, A. Perelomov. Relations Between Hyperelliptic Integrals. Modern Phys. Lett. A 9 (1994), no. 19, 1791-1797.

[3] С. Пакуляк. Бозонизадия L-операторов для квантовой аффинной алгебры Uq(sl2). Теоретическая и Математическая Физика 104 (1995), no. 1, 810-822.

[4] S. Khoroshkin, D. Lebedev, S. Pakuliak. Intertwining Operators for the Central Extension of the Yangian Double. Phys. Lett. A 222 (1996), no. 6, 381-392.

[5] Д. Лебедев, С. Пакуляк, С. Хорошкин. Алгебра Замолодчикова-Фаддеева для дубля янгиаиа на уровне 1. Теоретическая и Математическая Физика 110 (1997), по. 1, 25-45.

[6] S. Khoroshkin, D. Lebedev, S. Pakuliak. Traces of Intertwining Operators for the Yangian Double. Lett. Math. Phys. 41 (1997), no. 1, 31-47.

[7] S. Khoroshkin, D. Lebedev, S. Pakuliak. Elliptic algebra in the scaling limit. Comm. Math. Phys. 190 (1998), no. 3„597-627.

[8] S. Khoroshkin, D. Lebedev, S. Pakuliak, A. Stolin, V. Tolstoy. Classical limit of the scaled eliptic algebra. Compositio Mathematica 115 (1999), no. 2, 205-230.

[9] A. Nakayashiki, S. Pakuliak, V. Tarasov. On solutions of KZ and qKZ equations at level zero. Ann. Inst. Henri Poincaré, Physique Théorique, 71 (1999), no. 4, 459-496.

[10] S. Khoroshkin, D. Lebedev, S. Pakuliak. Yangian algebras and classical Riemann problem. "Moscow Seminar in Mathematical Physics 163-198, Amer. Math. Soc. Transi. Ser. 2, 191, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999.

[11] A. LeClair, S. Khoroshkin, S. Pakuliak. Angular quantization of the Sine-Gordon model at the free fermionpoint. Adv. Theor. Math. Phys. 3 (1999), no. 5,1227-1287.

[12] J. Ding, S. Khoroshkin, S. Pakuliak. Integral presentations for the universal 72.-matrix. Lett. Math. Phys. (2000) 63, no. 2, 121-141.

[13] Дж. Динг, С. Пакуляк, С. Хорошкин. Факторизация универсальной 71-матрицы для алгебры Uq(sl2). Теоретическая и Математическая Физика (2000) 124, по. 2, 180-214.

[14] С. Пакуляк, С. Хорошкин. Весовая функция для квантовой аффинной алгебры Uq(sl3). Теоретическая и Математическая Физика 145(1) (2005), 3-34.

[15] S. Pakuliak. Weight function and nested Bethe ansatz. Ann. Inst. Henri Poincaré, Mathematics and Statistics, 7 (2006), no. 7-8.

Получено 10 октября 2006 г.

Отпечатано методом прямого репродуцирования с оригинала, предоставленного автором.

Подписано в печать 10.10.2006. Формат 60 х 90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл.печ.л. 1,06. Уч.-изд.л. 1,52. Тираж 100 экз. Заказ№55502.

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований 141980, г. Дубна, Московская обл., ул. Жолио-Кюри, 6. E-mail: publish@jinr.ru www.jinr.ru/publish/

1. Введение.G

2. Алгебраическим анализ модели Sine-Gordon.

2.1 Каноническое квантование модели SG в точке свободных фермионов

2.1.1 Свободные фермионы.

2.1.2 Преобразование рассеяния.

2.1.3 Интегралы движения.

2.1.4 Бозонизация и экранирующие токи.

2.1.5 Квантовые функции Йоста.

2.2 Алгебра экранирующих токов.

2.2.1 R и S матрицы.

2.2.2 L-матричная формулировка алгебры экранирующих токов.

2.2.3 Бозонизация алгебры Ai/^slz) и С-регуляризация.

2.2.4 Конечномерные представления алгебры Ai/^sh).

2.2.5 Сплетающие операторы.

2.2.6 Бозонизация сплетающих операторов.

2.2.7 Вырождение формул бозонизации в точке свободных фермионов

2.3 Угловое квантование в модели SG.

2.3.1 Угловое квантование на решетке

2.3.2 Угловое квантование в двумерной теории поля.

2.3.3 Свойства матрицы моиодромии в модели SG

2.3.4 Симметрии модели SG

2.3.5 Симметрии модели SG в точке свободных фермионов.

2.4 Аксиомы форм-факторов в модели SG.

2.4.1 Проверка аннигиляционной аксиомы.

2.4.2 Связанные состояния солитонов при угловом квантоваии.

2.4.3 Общая структура форм-факторов.

3. Алгебраически и анализ и SU (2) -инвариантной модели Тирринга.

3.1 Алгебра динамических симметрий в 577(2) -инвариантной МТ.

3.1.1 Алгебра До^).

3.1.2 Бозонизация алгебры

3.1.3 Сплетающие операторы.

3.2 Обобщенные следы в SU(2) -инвариантной модели Тирринга.

3.2.1 Вычисление следов по пространству Фока И.

3.2.2 Вакуумные средние.

3.2.3 Вычисления многоточечного следа для операторов Z*(fi).Ill

3.3 Вычисления форм-факторов локальных операторов.

3.3.1 Естественный базис в пространстве форм-факторов.

3.3.2 Интегрирование по переменной и.

3.3.3 Редукция в количестве интегралов в форм-факторе

3.3.4 Тождества между рациональными функциями

3.3.5 Особенности форм-факторных интегралов.

3.4 Весовые функции для алгебры ДоС^г).

3.4.1 Произведения элементов матрицы монодромии.

3.4.2 Проекции на подалгебры полутоков.

3.4.3 Перестановочность проекций и коумножения

4. Весовые функции и иерархический анзац Бете.

4.1 Основные определения.

4.1.1 Алгебра [/g(sZ3) в генераторах Шевалье.

4.1.2 Токовая реализация алгебры Ug{sl3).

4.1.3 Борелевские подалгебры Uq(slz).

4.1.4 Проекции Р± на пересечения борелевских подалгебр

4.1.5 Составные токи и струны.

4.2 Универсальная весовая функция.

4.2.1 Редукция к проекциям струн.

4.2.2 Проекции струн.

4.2.3 Примеры вычислений проекций.

4.2.4 Универсальная весовая функция для Uq(sl2)

4.2.5 Комбинаторное тождество для ядер У (f; s) и Z(t; s).

4.3 Аналитические свойства струн.

4.3.1 Свойства тока fa+p(z)

4.3.2 Экранирующие операторы и проекции тока fa+p[z)

4.3.3 Доказательство формулы для проекции струны.

4.4 Токовое присоединенное действие и симметризация.

4.4.1 Проекции и аналитическое продолжение.

4.4.2 Токовое присоединенное действие.

4.4.3 Доказательство основной формулы для проекции.

5. Бстевскис вектора и токовые алгебры

5.1 .Квантовая аффинная алгебра Uq(glN).

5.1.1 L -операторное описание Uq(glN).

5.1.2 Токовая реализация алгебры Uq(glN).

5.1.3 Весовая функция

5.1.4 Модифицированная весовая функция.

5.2 Весовые функции и токи.

5.2.1 Квантовая аффинная алгебра U4{sIn).

5.2.2 Вложение алгебры Uq(sl^) в Uq(glN)

5.2.3 Свойства проекций

5.2.4 Построение весовой функции.

5.3 L-операторы и модифицированные весовые функции

5.3.1 Оператор монодромии в алгебре Uq(glN).

5.3.2 Построение весовой функции из операторов Вй(£)

5.4 Отождествление двух различных конструкций

5.4.1 Дополнительные сведения об изоморфизме Динга-Френкеля.

5.4.2 Реккурентное соотношение для оператора

5.4.3 Вычисления проекций.

Всякая квантовая интегрируемая система обладает набором коммутирующих интегралов движения. Главной задачей при исследовании точно-решаемых моделей является описание пространства состояний или собственных векторов для этого набора коммутирующих операторов. Очень часто такое пространство состояний обладает высокой симметрией и является пространством представления некоторой алгебры. В настоящей диссертации предлагаются новые методы исследования пространств состояний в квантовых интегрируемых системах, применимые как для непрерывных, так и для дискретных квантовомеханиче-ских систем с бесконечным числом степеней свободы. Подобные системы исследовались в многочисленных работах на протяжении последних тридцати лет. Интерес к таким моделям возник, отчасти, вследствие прогресса в изучении классических интегрируемых моделей и основывался на развитии метода обратной задачи рассеяния [48, И]. Будем называть методы исследования квантовой интегрируемой системы, использующие теорию представлений алгебры симметрии - алгебраическим анализом данной точно-решаемой модели.

Основные свойства квантовых интегрируемых моделей теории поля, отмеченные еще в пионерских работах [1, 4] по первым вычислениям форм-факторов, показали, что этими свойствами являются:

• наличие бесконечного набора независимых интегралов движения;

• отсутствие множественного рождения частиц;

• рассеяние приводит только к перераспределению импульсов между частицами;

• факторизация многочастичной S-матрицы.

Основополагающим в этом списке является свойство интегрируемости, или наличие бесконечного набора интегралов движения, из которого, в принципе, можно получить остальные свойства. Исторически связь между факторизацией матрицы рассеяния и наличием бесконечного набора квантовых интегралов движения наблюдалась на примере отдельных моделей. Так, например, эта связь для O(N) -инвариантной а -модели была замечена A.M. Поляковым в работе [84]. Нашим основным примером будет другая модель для одного бозонного скалярного поля, задаваемая лагранжианом

Соответствующая классическая интегрируемая система описывается уравнением движения

-sr1 - -fe1+v^sm -0 <L2> в двумерном просранстве-времепи. Эта классическая интегрируемая модель была исследована методом обратной задачи теории рассеяния в работах [17, 10, 20] и проквантована в квазиклассическом приближении в работах [12, 34]. В частности, в этих работах был получен спектр состояний в модели SG, а сами состояния были названы 'бризерами', по названию соответствующего классического решения уравнения (1.2). Классическое уравнение (1.2) кроме бризерных решений имеет солитонные решения. При дальнейшем исследовании этой квантовой интегрируемой модели двумерной теории поля оказалось, что состояния, отвечающие классическим солитонным решениям, являются базовыми (элементарными) состояниями в этой модели. Эти 'квантовые солитоны' обладают ферми-онной статистикой и бризерные состояния могут быть интерпретированы как связанные состояния квантовых солитонов.

На примере квантовой модели Sine-Gordon в работе [15] был развит квантовый метод обратной задачи рассеяния. Рассматривая эту модель в дискретном проЬтранстве, были получены коммутационные соотношения для элементов матрицы монодромии в их современном виде

Я(А - /X, О (Г(А) ® Т(/0) = (T(/i) ® Т(А)) Д(А - /х, 0, (1.3) где Л-матрица имеет вид О О о sh sh

0 0

7Г i А sh( ( А

U+l sh | ( 7гг e+v U + l

0 0 sh

О О О

Л + 7г г

1,1) " " " + а параметр £ связан с константой связи SG модели (5 соотношением

1.5) s 2-IP'

В работе [15] квантование модели проводилось методом дискретизации непрерывного оператора Лакса, и в этом случае матрицей монодромии является упорядоченное по одномерной пространственной решетке произведение этих дискретных операторов Лакса. Из уравнения (1.3) следует, что trT(A), tvT(fi)] = 0.

После соответствующего разложения квантовой трансфер матрицы tr Т(А) по спектральному параметру А можно получить бесконечный набор локальных интегралов движения, и последнее соотношение показывает, что они находятся в инволюции или коммутируют. Способ доказательства коммутативности коэффициентов трансфер матрицы, следующий из уравнения (1.3) и предложенный в работе [15], подобен методам развитым Р. Бакс-тером [2] для интегрируемых или точно решаемых моделей статистической физики на двумерных решетках. Авторам работы [15] пришлось посадить модель (1.1) на решетку и показать, что непрерывный предел не нарушает свойство сплетения (1.3).

В работе [1G] были построены также собственные вектора для этих квантовых интегралов движения, параметризованные решениями трансцендентных уравнений Бете [30]. Этот метод нахождения собственных векторов в квантовых интегрируемых системах получил современное название 'Алгебраический анзац Бете'. В работе [16] была также получена матрица рассеяния элементарных возбуждений и отмечено ее совпадение с матрицей солитон-антисолитонного рассеяния, полученной А.Б. Замолодчиковым в работе [9] из совершенно других принципов. Эта матрица зависит от относительной быстроты в сталкивающихся частиц и имеет вид sh

9 — т sh

0 — тгГ sh

7гг

О О sh

7гг

-sh О О sh

О О О в — 7rf

1.6) где г(0,£) - множитель, определяемый полубесконечным произведением отношений сдвинутых Г-функций (см. точную формулу (2.86)). Из сравнения явных формул для R и S матриц видно, что хотя они достаточно похожи, но существенно отличаются периодами тригонометрических функций, которые входят в матричные элементы этих матриц: 27гг(£ + 1) и 27гг£ соответственно. Л-матрица также имеет подобный r(0,tj) множитель, который не фиксируется коммутационным соотношением (1.3), однако проявляется при коммутировании квантовых аналогов функций Йоста. Забегая вперед, скажем, что одной из мотиваций настоящего исследования была попытка объяснить появление двух разных структур, связанных с Я и S матрицами в модели SG с единой алгебраической точки зрения. Результатом исследования этого вопроса было открытие новой алгебраической структуры, лежащей в основе интегрируемости квантовой модели SG. Многие результаты, полученные в этой модели, удалось объяснить из теории представлений этой новой алгебраической структуры.

Вернемся к описанию метода, позволившего получить точные S матрицы в различных моделях теории поля в двумерном пространстве-времени. Очевидно, что для произвольной модели полная релятивистская S-матрица является сложным объектом. Однако если в модели присутствует факторизованное рассеяние, то тогда структура этой матрицы существенным образом упрощается. Процесс многочастичного рассеяния в двумерном пространстве-времени можно представить как последовательность двухчастичных столкновений так, что между столкновениями частицы движутся как свободные. Многочастичная S -матрица является в этом случае упорядоченным произведением двухчастичных 5-матриц. Факторизация рассеяния является типичным для рассеяния солитонов в классических интегрируемых системах, поэтому следует ожидать повторения этого явления при квантовании таких систем. В работе [54] впервые был предложен метод, позволяющий из ряда предположений получать явные формулы для точных S -матриц рассеяния элементарных возбуждений в квантовых полевых моделях. Этими предположениями являются:

• наличие бесконечного набора квантовых интегралов движения;

• условия унитарности и кросс-симметричности рассеяния;

• условие 'минимальности', то есть отсутствие лишних полюсов у амплитуд рассеяния в области физических значений быстрот частиц;

• наличие скрытой симметрии и некоторые предположения о спектре элементарных возбуждений в модели.

В работе [98] этот метод был применен для получения факторизованных S -матриц в моделях Sine-Gordon, Gross-Neveu и O(N) -инвариантной а -модели. Основой метода является требование равенства амплитуд и фаз рассеяния при сравнении двух разных способов описать трехчастичное рассеяние, что приводит к нетривиальному кубическому уравнению на матричные элементы двухчастичной матрицы рассеяния. Эти уравнения, названные уравнениями факторизации, являются необходимым условием возникновения факторизованного рассеяния и для массивной модели Тирринга были получены в работе [53]. Ранее уравнения факторизации были рассмотрены в задачах, описывающих нерелятивистские частицы, взаимодействующие <5-образными потенциалами [76]. В настоящее время уравнения факторизации называют уравнением Янга-Бакстера, возникающим не только в задачах о факторизации рассеяния, но и во многих непрерывных и дискретных квантовых интегрируемых моделях. С математической точки зрения эти уравнения означают коассоциативность алгебры симметрий, стоящей за феноменом интегрируемости.

Нашим основным предметом исследования будет модель GS, описывающая взаимодействующее скалярное поле. Эта модель на квантовом уровне эквивалентна массивной модели Тирринга (ММТ) |96], задаваемой лагранжианом

CTh = Ф(®)гУ^Ф(х) - - тЩхЩх) - g (Щх)УЪ(х))2 . (1.7)

Она описывает взаимодействующее массивное фермионное ноле Дирака. Эквивалентность на квантовом уровне означает совпадение рядов теории возмущений при следующем отождествлении констант взаимодействия и полей в этих моделях [33]:

1.8) Ф(1°,х1)У1Ф(ж0,х1) , cos^v/^/M^V1)) = Ф(а;0,а;1)Ф(х0,х1) ,

1.9) где е'ш антисимметричный тензор в двумерии, нормализованный условием е01 = 1. Эквивалентность бозонной и фермионной моделей отмечалась ранее в работах Т. Скирма [93], где упоминалось, что солитонные моды уравнения SG являются фермионами, и их взаимодействие описывается моделью Тирринга. Точное утверждение было доказано С. Коле-маном, который показал, что ряды теории возмущений для ММТ совпадают почленно с рядами теории возмущений в модели SG при отождествлении (1.8) и (1.9). Отождествление этих двух квантовых моделей дает, по-видимому, первый пример дуальности, когда квазиклассический предел модели SG 01 —> 0 соответствует пределу большой константы связи для модели Тирринга g —* оо. Еще одно полезное свойство этой эквивалентности видно из формулы (1.8). При б2 = 1 константа взаимодействия в ММТ пропадает (д — 0), и теория: становится свободной. Взаимодействие в модели SG при этом не исчезает, что позволяет нам использовать каноническое квантование модели массивных свободных фермионов для прояснения нетривиальной алгебраической структуры, стоящей за интегрируемостью в квантовой модели SG. Отметим также, что фермион-бозонное соответствие как вспомогательное средство использовалось также при исследовании классических интегрируемых систем в работах группы М. Сато [87].

Одной из основных задач при исследовании квантовых теорий поля является вычисление корреляционных функций локальных операторов в теории. В интегрируемой ситуации и в случае моделей, которые мы будем рассматривать, программа вычислений корреляционных функций делится на три шага: 1) знание спектра элементарных возбуждений и уравнений факторизации рассеяния дает возможность построить точные S-матрицы; 2) матричные элементы локальных операторов в пространстве состояний теории можно построить, используя форм-факторную программу, для которой точные формулы для S-матриц являются исходными данными; 3) корреляционные функции получаются суммированием произведений этих форм-факторов по всем промежуточным состояниям. В полном объеме эта программа, называемая иногда программой 'bootstrap' или S-матричным подходом, была реализована в настоящее время только для простых моделей, в которых отсутствуют взаимодействия (см., например, работу [28]). Отметим, что классический подход к задаче вычисления корреляционных функций означает теорию возмущений. В последнее время группой исследователей из Berlin Freie Univcrsitat была осуществлена программа сравнения результатов программы 'bootstrap' в отдельных моделях с классическим подходом, использующим теорию возмущений, и было установлено полное согласие этих двух подходов [22].

Здесь следует упомянуть и программу конформного бутстрапа, предложенную А. Поляковым в 1970 году. Основанием этой программы является гипотеза о конформной инвариантности критических явлений статистической физики, а именно, конформной инвариантности эффективной теории поля, описывающей статистическую модель в окрестности точки фазового перехода. В работе [14] были получены ограничения на вид корреляционных функций, которые следуют из условий конформной инвариантности. В конформной теории поля основным объектом является операторная алгебра квантовых полей зависящих от координаты точки х р1 1 где Ak масштабные размерности поля . Эти масштабные размерности определяются правилом: х —► Хх, Фа^) —> АЛ*Ф&(Ах). В теориях с взаимодействием спектр размерностей {Ад.} является аномальным в отличие от размерностей свободной теории. Например, в простейшей модели безмассовых двумерных фермионов с четырехфермион-ным взаимодействием, спектр операторов зависит непрерывным образом от постоянной, характеризующей степень взаимодействия. Структурные коэффициенты операторной алгебры являются основной динамической характеристикой конкретной теории и программа конформного бутстрапа позволяет получить соотношения на эти коэффициенты.

Конформный бутстрап применим в исследованиях безмассовых двумерных теорий поля. В этом случае алгебра конформных преобразований двумерного пространства-времени (конформные преобразования сохраняют на плоскости углы) является бесконечномерной. Реализованная в пространстве операторов теории она совпадает с прямым произведением двух алгебр Вирасоро, возникших в дуальных моделях сильных взаимодействий. В работе [25] было показано, что локальные ноля, образующие операторную алгебру, могут быть классифицированы но неприводимым представлениям алгебры Вирасоро, и что корреляционные функции строятся из 'конформных' блоков, которые полностью определяются конформной инвариантностью.

В массивной интегрируемой двумерной теории поля могут реализовываться два режима. На малых расстояниях и при больших импульсах можно пренебречь массой и рассматривать теорию как конформную с некоторым спектром операторов и их аномальных размерностей. На больших расстояниях и малых импульсах можно воспользоваться S-матричной формулировкой или форм-факторным бутстрапом, где теория будет описывать рассеяния массивных физических частиц. Асимптотика корреляционных функций на малых расстояниях будет предметом вычисления операторной алгебры в некоторой конформной теории поля, а массивная S -матричная теория будет описывать асимптотики этих функций на больших расстояниях или окрестности полюсов этих функций в их импульсном представлении. В силу этого замечания, не удивительным является факт, подмеченный еще в пионерской работе [72J о том, что техника, возникающая при анализе массивных теорий в импульсном пространстве, похожа на технику, применяемую в конформных теориях ноля в координатном пространстве [40]. Если продолжить эту аналогию, то наше исследование, использующее для алгебраического анализа (в импульсном представлении1) модели SG алгебру токов , похоже на исследование модели Весса-Зумино [56]. Но, конечно же, эта аналогия достаточно условная, так как алгебры токов, используемые в этих моделях, являются абсолютно различными. Их теории представлений существенно разнятся.

Вернемся к S-матричной формулировке интегрируемых теорий поля. Первый шаг по нахождению точных S-матриц был описан выше и проделан в многочисленных работах для большого числа интегрируемых моделей. Второй шаг, известный как форм-факторная программа, была заложена в работе [55] и окончательно развита в книге [90]. В основании этой программы лежит система аксиом, которым должны удовлетворять форм-факторы локальных операторов как функций быстрот, параметризующих состояния. Позже мы дадим точную математическую формулировку этих аксиом, а пока скажем, что в релятивистской квантовой теории ноля все они являются следствием того факта, что корреляционные функции локальных операторов должны исчезать на пространственно-подобных

1 Под этим мы понимаем только то, что вершинные операторы, используемые при бозонизации, зависят от быстрот (импульсов) частиц, а не от положения в двумерном пространстве-времени. интерналах.

Результатом выполнения этой программы являются явные интегральные формулы для обобщенных форм-факторов локальных операторов, в которых сам локальный оператор характеризуется подинтегральной функцией определенного типа (см. конец следующей главы). Этот результат не является неожиданным, так как комбинация двух первых аксиом эквивалентна разностному (квантовому) уравнению Книжника-Замолодчикова (КЗ) на уровне ноль [56, 47], общие решения которых представнмы в интегральном виде [3]. Теория уравнений КЗ, возникших в теории модели Весса-Зумино [56], развивалась в неразрывной связи с теорией представлений токовых алгебр [97], поэтому естественно ожидать, что решение форм-факторной программы, так или иначе, связано с теорией представлений некоторых бесконечномерных алгебр. Эта связь была действительно обнаружена и тщательно исследована на примере XXZ модели Гейзенберга [51]. Так как наше исследование будет во многом параллельно этим результатам, мы кратко изложим основные положения итоговой книги [51].

Существенным прогрессом в понимании структуры квантовых интегрируемых моделей в термодинамическом пределе стал метод Бакстера угловой трансфер матрицы (УТМ) [2].f Было замечено, что УТМ для некоторых интегрируемых моделей на бесконечной решетке имеет ограниченный снизу эквидистантный спектр и следовательно может быть описана бесконечным набором осцилляторов. Это наблюдение позволило развить новый подход к квантовым интегрируемым моделям на решетке. Это было сделано группой из Киотского университета на примере модели XXZ в антиферромагнитном режиме, когда параметр анизотропии |Д| > 1 [51]. Используя бесконечномерные представления алгебры Uq(sl2) с вещественным параметром деформации — 1 < q < 0, были получены замкнутые интегральные представления для корреляционных функций локальных операторов и их форм-факторов в этой модели. Гильбертово пространство состояний модели XXZ на бесконечной решетке отождествляется с бесконечным произведением двумерных пространств ftxxz « • • • С2 ® С2 ® С2 ® С2 ® С2 ® С2 • • • . (1.10)

Одной из основных идей конструкции [51] было разложение этого пространства состояний на два полубесконечных произведения

Нххz • • • С2 ® С2 ® С2)®(С2 ® С2 <g> С2 • • • )и H'cni ® Нстм = End {Петы) ■ (1-11)

В каждом из пространств Нстм и УТМ действует естественным образом. Эти пространства могут быть отождествлены с интегрируемыми модулями над алгеброй Uq(sl2) с уровнями 1 и -1. Разложение (1.11) приводит к отождествлению состояний в гильбертовом пространстве Hxxz с операторами, действующими в Нстм ■ Пространство End (Нстм) оснащается естественным скалярным произведением {А, В) = Тг -цстмАВ, вакуумный вектор в "Hxxz отождествляется с (—q)Hc™ , где Яегм есть гамильтониан угловой трансфер матрицы.

Теория представлений квантовой аффинной алгебры Uq(sl2) содержит операторы, которые сплетают ее действие в Нстм. (сплетающие операторы типа I и тина II). Операторы типа II используются для построения базиса асимптотических состояний в End (Нстм), тогда как операторы типа I используются для построения трансфер матрицы и локальных операторов. Более того, присоединённое действие элементов квантовой аффинной алгебры на пространстве End {Нети) описывает симметрию модели, которая совпадает с алгеброй f/g(sZ2) на уровне 0. Еще одним следствием этого подхода является возможность представить форм-факторы локальных операторов и корреляционные функции их произведений в виде многократных интегралов, которые получаются из следов по пространству Нстм от некоторых произведений сплетающих операторов. Иными словами, теория представлений алгебры Uq(sl2) доставляет решение форм-факторной программы в XXZ модели Гейзенберга.

Вернемся к непрерывным интегрируемым моделям. То, что за интегрируемостью этих моделей стоят некоторые сложные алгебраические структуры, было понятно давно. Исследованию проявлений этой структуры были посвящены многочисленные работы, см., например, [86, 69, 70, 29]. Во всех этих работах исследуется какая-то часть симметрий непрерывных моделей, но нет ответа на вопрос об общей алгебраической структуре, стоящей за многими, на первый взгляд, не связанными явлениями. В частности, до начала исследования, результаты которого изложены в настоящей диссертации, не была известна бесконечномерная алгебра токов, теория представлений которой давала бы решения форм-факторной программы в случае непрерывных двумерных интегрируемых теорий поля и в частном случае модели SG объясняла бы наличие двух квантово-групповых структур, связанных с R и S матрицами в этой модели. Как мы уже отмечали выше, в настоящей диссертации будет предъявлена и исследована такая алгебраическая структура.

Модель Sine-Gordon в двумерном пространстве-времени Минковского описывается лагранжианом (1.1) и эквивалентна массивной модели Тирринга (1.7). Мы перескалировали константу взаимодействия в модели SG (3 —> л/4л(3 по сравнению с общепринятой нормировкой так, чтобы при (З2 = 1 исчезало взаимодействие в ММТ, и она становилась свободной теорией массивных дираковских фермионов. Такое значение параметра (З2 мы будем называть точкой свободных фермионов (СФ).

Квантовая теория SG является наиболее фундаментальной интегрируемой квантовой теорией поля в двумерном пространстве Минковского, и поэтому является важным полигоном для развития новых методов исследований. Спектр элементарных возбуждений в модели зависит от параметра <f и при его значениях 1 < £ < оо содержит только возбуждения, отвечающие фермионным полям ММТ, которые будем называть солитонами и антисолитоннами. Значение £ = 1 соответствует точке СФ, а на интервале 0 < £ < 1 модель содержит бризеры: связанные состояния солитона и антисолитона. Если пренебречь скалярным множителем в выражении (1.G) для 5"-матрицы солитон-антисолитонного рассеяния, то при выборе мультипликативного спектрального параметра 2 = , где в является относительной быстротой частиц, матрицу рассеяния можно записать в виде

ОД О q = exp ( I (1.12) zq-z~xq~x 0 0 0 ^

0 z-z'1 q-q~l 0

0 q~q~l z-z'1 0

У 0 0 0 zq-z~lq~l J

Эта форма записи подчеркивает квантово-групповую симметрию гильбертова пространства состояний модели относительно конечномерной квантовой группы Uq^sl?) [8G, 68].

Л-матрицу (1.4), участвующую в коммутационных соотношениях элементов матрицы монодромии, также можно переписать в виде (1.12), по с дуальным параметром деформации q' = exp j . Это подчеркивает наличие в модели SG двух квантово-грунповых симметрий с дуальными параметрами деформации q и q'. Заметим также, что даже в точке СФ, где /?2 = 1, Я-матрица, участвующая в коммутационных соотношениях (1.3) на матричные элементы монодромии, является нетривиальной. Это является следствием того факта, что матрица монодромии построена из полей ехр(г'Ф/2), которые нелокальны по фермионным полям при бозон-фермионном соответствии (1.9).

Как мы видим, модель SG обладает двумя квантово-групповыми симметриями, для которых параметры деформаций связаны преобразованием дуальности (2.91). Попытка объяснения этого явления была предпринята в работе С. Лукянова [72]. Автор использовал технику бозонизации свободными полями массивной интегрируемой теории ноля, подобную той, что была построена в работе [40]. Впоследствии, эти идеи были обобщены для интегрируемых моделей на решетке, связанных с эллиптическими токовыми алгебрами [45]. Следуя этим идеям, в работе [61] была предложена алгебра экранирующих токов со специфическими коалгебраическими свойствами. Эти свойства позволили восстановить бозонизацию, предложенную в работе [72], исходя из теории представлений алгебры экранирующих токов.

Метод Бакстера УТМ для непрерывных интегрируемых моделей был развит в работах [72, 31] и основывается на методе углового квантования. Полное гильбертово пространство состояний непрерывной интегрируемой модели в бесконечном объеме вкладывалось в тензорное произведение

Н^Нь®Нн, (1.13) где Нь и (Нд) являются гильбертовыми пространствами состояний при квантовании в левом (правом) конусе. Правый конус в двумерном пространстве Минковскогб совпадает с областью х0)2 — (я1)2 < 0, х1>0, (1.14) где х° время, а х1 пространственная координата. Соответственно левый конус есть область пространства х0)2 - (я1)2 <0, х1 < 0 . (1.15)

Выберем параметризацию прстранственно-временных координат в правом конусе x° = rsha, х1 = гcha, г > 0, абМ. (1-16)

Левый конус может быть формально получен вращением а —> а — in или применением оператора ёкК где К является генератором лоренцовского вращения К = —ida. Пространство Нь может быть отождествлено с дуальным к TLr пространством, и поэтому состояния полного гильбертового пространства состояний могут быть реализованы как операторы в fCR.

В работе [72] было предположено, что пространство Hr в модели SG может быть реализовано как пространство Фока с действием операторов, удовлетворяющих коммутациониым соотношениям алгебры Замолодчикова-Фаддеева. Впоследствии, в работе [61] эти операторы были отождествлены со сплетающими операторами в теории представлений уровня 1 алгебры токов Ai/^sh) ■ Эта реализация совпала с бозонизацией, использованной в работе [72]. Одним из главных аргументов в пользу этих математических конструкций было совпадение форм-факторов локальных операторов в теории SG со следовыми вычислениями в Ни.

Перейдем к краткому изложению содержания диссертации.

Во второй главе диссертации будет развит метод углового квантования в двух направлениях. Во-первых, мы проанализируем модель SG в правом конусе двумерного пространства Минковского в точке свободных фермионов, где каноническое квантование эквивалентной модели свободных массивных фермионов может быть сделано явно [62]. Мы увидим, что стандартные сохраняющиеся заряды в этой модели [69] расходятся, и единственный способ получить алгебру симметрий это использовать аналитическое продолжение сохраняющихся зарядов, или данные рассеяния. В этом случае бозонизация, использованная в работе [72], возникает естественным образом. В дальнейшем мы покажем, что для того чтобы алгебра симметрий замкнулась, необходимо рассмотреть дополнительные токи с дуальной монодромией. Полная алгебра симметрий (алгебра нелокальных сохраняющихся зарядов), которая может быть найдена в этом случае, совпадает со специализацией в точку свободных фермионов (£ = 1) алгебры токов Ai/^sh), предложенной в работе [61].

Во-вторых, мы исследуем пространство состояний непрерывной модели SG по аналогии с теоретико-групповым подходом к аналогичному пространству состояний в модели XXZ [51]. Будет показано, что, используя представления уровня один алгебры токов , можно определить вакуум, асимптотические состояния и операторы, которые действуют на пространстве асимптотических состояний. В отличие от интегрируемой квантовой цепочки, эти операторы получаются из асимптотических разложений производящих функций локальных операторов. Будет определено присоединенное действие алгебры Ai/^slz) на пространстве состояний и показано, что известные симметрии этого пространства, связанные с сохраняющимися нелокальными токами [29, 75] и формулируемые в рамках квантовой аффинной алгебры на уровне 0, могут быть получены из этого присоединенного действия путем асимптотического разложения. В сжатом виде это описание выглядит следующим образом.

Гильбертово пространство Н раскладывается также как и в (1.13). Пространства TLr и Нь являются модулями старшего веса с уровнями 1 и —1 над алгеброй токов A\/^{sl2) так, что состояния в Н могут быть отождествлены с некоторыми операторами в Hr . В частности, физический вакуум |vac)p], отождествляется с оператором jvac)ph = епК — е~ЫОа, (1.17) где а является угловым временем в правом конусе, а состояния . ,#п)сь.,<:„ с произведением

1*1,• • • ,tfnjewn = Z*tl(eо.z:n{0nyK, (1.18) где Z*(0) есть сплетающие операторы для алгебры токов Ai/^(sl2), которые также действуют в Hr. Присоединенное действие алгебры A\/^(sl2) не является стандартным, так как эта алгебра не является алгеброй Хопфа. Действительно, соотношения умножения и коумножения в алгебре » терминах L -операторов могут быть записаны в виде:

Щщ-U2,^ + C)Li(-Ui,^)L2('U2,0 = L2(u2,Oli{uUOK(ui-u2,Z) , (1.19)

АорДм,0 = Дм-гтгс(2)/4,^ + с(2)) ® L{u + mc{1)/4,0 , (1.20) где Я-матрица определена соотношением (2.85) и с есть центральный элемент в алгебре Ai/^(sl2). Обратим внимание, что R-матрицы в левой и правой частях соотношения (1.19) отличаются на центральный элемент алгебры, что означает нарушение коассоциативности. В настоящее время известно, что алгебра симметрий модели SG является квази-хопфовой алгеброй [42] и может быть получена скручиванием дубля Янгиана. Коалгебраическая структура этой квази-хопфовой алгебры была использована в работе [61] для построения сплетающих операторов модулей старшего веса при значении центрального элемента с = 1.

Присоединенное действие имеет различный вид для подпространств Hi G И, г — 0,1 с четным и нечетным числом частиц и включает в себя инволюцию алгебры

L{L{u)) = UzL{U)VZ ■ (1.21)

Для состояния Xi € Hi, г = 0,1 присоединенное действие определено формулой

AclL(u;4) -Xk = L (L~l{u + тс/А] £)) Xk ik+l (L(u - in + тс/4; £)) . (1.22)

Будет доказано, что так определенное присоединенное действие реализует представление уровня 0 алгебры Ai/^sl^) на пространстве состояний Н, такое, что п -частичные состояния вкладываются в тг-кратное тензорное произведение двумерных представлений. Квантово-аффинная симметрия гильбертового пространства Н, найденная в работе [29], получает свое естественное объяснение через асимптотическое разложение присоединенного действия токовой алгебры Ai/^sh) ■

Далее в этой главе будет продемонстрировано решение форм-факторной программы в модели SG, исходя из теории представлений алгебры A\/^(sU). В частности, будет проверена аннигиляционная аксиома на форм-факторы тем же методом, что и в работе [81]. В заключение этой главы будет сформулировано операторное описание бризерных состояний в модели SG, а также будет описана общая структура интегральных формул для форм-факторов локальных операторов в этой модели.

В третей главе форм-факторная программа будет реализована в SU(2) -инвариантной модели Тирринга методами теории представлений алгебры, которая связана с центрально- ■ расширенным дублем янгиана T>y(sl2) ■ Эту алгебраическую структуру нельзя получить из анализа соответствующего лагранжиана как это было сделано для модели SG в точке свободных фермиоиов, так как теория обладает нетривиальным четырех-фермионным взаимодействием. Однако можно воспользоваться тем фактом, что SU{2) -инвариантная модель Тирринга получается из массивной модели (1.7) в пределе £ —> +оо. В этой главе будет продемонстрировано, что алгебра токов ./li/^s^) вместе с ее теорией представлений обладает гладким пределом при £ —> +оо и переходит при этом пределе в алгебраическую структуру, которую мы обозначим как A)(s/2) и которую будем считать алгеброй динамических симметрий для 5(7(2) -инвариантной модели Тирринга. Напомним, что, следуя терминологии книги [51], мы называем алгеброй динамических симметрий данной интегрируемой модели некоторую бесконечномерную алгебраическую структуру или алгебру токов, теория представлений которой доставляет решение форм-факторной программы в данной модели. а.

Как алгебра токов, Aoish) обладает теми же коммутационными соотношениями, что и центрально-расширенный дубль янгиана T>y(sl2) [65, 57], однако как топологическая алгебра отличается существенно от дубля янгиана и имеет совершенно другую теорию представлений [58]. Так же как и в случае алгебраического анализа в модели SG, теория представлений на уровне 1 содержит сплетающие операторы, которые могут быть использованы для углового квантования этой модели. Форм-факторы локальных операторов выражаются следами по пространству Фока углового квантования от произведений этих операторов и этот след будет вычислен в этой главе при помощи техники JI. Клаве-ли и Дж. Шапиро |32], возникшей в дуальных моделях. Далее эта общая формула будет исследована в некоторых частных случаях и, в частности, общая интегральная следовая формула будет отождествлена с форм-факторами тока и тензора энергии-импульса, полученными ранее в [90] в рамках стандартного подхода к реализации форм-факторной программы в двумерных интегрируемых теориях поля.

В последнем разделе третьей главы будет исследована векторнозначная часть интегральной формулы для форм-факторов локальных операторов в SU(2) -инвариантной модели Тирринга. Эта часть будет отождествлена с бетевскими векторами, построенными из элементов матрицы монодромии в L -матричном описании алгебры динамических симметрий Aoish) данной модели. При этом отождествлении мы покажем важность ко- ■*-алгебраической структуры токовой реализации для алгебры ^0(5/2), важность рассмотрения различных типов борелевских подалгебр, ассоциированных естественным образом со стандартной и токовой коалгебраическими структурами в этой алгебре, а также важность проекций на пересечения различных типов борелевских подалгебр. Явным вычислением будет показано, что бетевский вектор, или произведение внедиагональных элементов матрицы монодромии B(v 1) • • ■ B(vn), действующих на сингулярный весовой вектор в 2п-ом тензорном произведении элементарных фундаментальных представлений совпадет с действием проекции от произведения Р (f(v 1) • • • f{vn)) на этот же вектор. При этом в силу специальной связи между стандартной и токовой хопфовыми структурами и проекциями коалгебраические свойства векторнозначной весовой функции или бетевского вектора будут определяться простой структурой коумножения полных токов. Все эти наблюдения будут развиты и изучены в последующих двух главах.

Более конкретно, в четвертой главе на примере квантовой аффинной алгебры токов Uq{sl3) ранга 2, будет развита техника вычисления вышеупомянутых проекций. Будет дано точное описание разных типов борелевских подалгебр в Uq(slz) и описаны свойства проекций на их непустые пересечения. Будет сформулировано понятие универсальной весовой функции, и будет продемонстрировано, что проекция от произведения полных токов в алгебре удовлетворяет коалгебраическим свойствам этой универсальной весовой функции. В частности, будут получено представление весовой функции как суммы произведений 'струн', где под струнами мы будем понимать упорядоченное произведение, составленных из простых и составных токов. Из метода вычисления проекций от произведений полных токов, предложенного в диссертации, станет ясно, что он эквивалентен нахождению бетевских векторов в иерархическом Бете анзаце. Исторически этот метод был развит только для интегрируемых моделей, связанных с токовыми алгебрами серии .Адг. Интерпретация иерархического Бете анзаца через проекции, полученная в настоящем исследовании, позволяет расширить его применение для квантовых интегрируемых систем, связанных с другими сериями алгебр токов. При этом вся конструкция настолько эффективна, что вычисление проекций сразу дает иерархические соотношения для бетевских векторов, отвечающих вложенным друг в друга алгебрам различного ранга.

В пятой и последней главе диссертации, метод построения бетевских векторов через проекции сравнивается на примере алгебры Uq{glN) с методом развитым А. Варченко и В. Тарасовым для приложений в теории квантовых уравнений Книжника-Замолодчикова. В этом подходе бетевский вектор строится как некоторый специальный матричный эле- , мент Uq(glN) монодромии, построенный из соответствующих L-операторов и при специальном выборе набора параметров, от которых этот вектор зависит. Преимущество метода проекций состоит в том, что он позволяет получать бетевские вектора для произвольных наборов параметров. В этой главе будет явно продемонстрированы совпадения метода проекций и метода L -операторов для специального набора параметров, где последний метод применим и, тем самым, будет еще раз доказана эффективность метода проекций, который дает прямое и эффективное решение иерархического анзаца Бете.

В заключении будет приведен список основных результатов выносимых на защиту. Перед тем как приступить к изложению основных результатов, автор желает воспользоваться случаем и поблагодарить своих коллег, в соавторстве с которыми были выполнены работы, содержащие результаты, изложенные в данной диссертации - Дж.Динга, Д.Р.Лебедева, А.ЛеКлера, А.Накаяшики, В.О.Тарасова и С.М.Хорошкина. Особая благодарность всем коллегам из Лаборатории теоретической физики, Объединенного Института Ядерных Исследований, в стенах которой были получены основные результаты, выносимые на защиту, а также замечательным математикам и физикам без общения с которыми автору было бы трудно решить задачи, которые он перед собой ставил: А.А.Белавину, Г. фон Геллену, А.С.Горскому, М.Джимбо, А.В.Забродину, А.Б.Замолодчикову, Ал.Б.За-молодчикову, А.П.Исаеву, М.Ю.Лашкевичу, С.Л.Лукьянову, А.В.Маршакову, Т.Миве, А. Д.Миронову, А.Ю.Морозову, М.Л.Назарову, М.А.Олынанецкому, Я.П.Пугаю, П.Н.Пятову, В.Н.Рубцову, А.А.Рослому, С.М.Сергееву, Н.А.Славнову, Ф.А.Смирнову, С.М.Харчеву, В.В.Фоку, В.Н.Шадуре, Б.Энрикесу.

2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДЕЛИ SINE-GORDON

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение сформулируем кратко основные результаты, полученные в диссертации.

• Из анализа углового квантования модели массивных свободных фермионов в двумерном пространстве-времени и эквивалентной ей модели Sine-Gordon в точке свободных фермионов была получена бозонизация неабелевой алгебры токов, связанная как с операторами асимптотических состояний, так и с квантовыми аналогами функций Йоста в модели SG.

• Эта алгебра токов была обобщена на произвольные допустимые значения нерепор-мированной константы взаимодействия в модели SG. Было показано, что спектр операторов, возникающих из анализа массивных свободных фермионов, совпадает с операторным содержанием теории представлений алгебры токов при единичном центральном элементе и при фиксированном значении параметра в алгебре токов, совпадающим с перенормированной константой взаимодействия модели SG. При произвольном допустимом значении параметра взаимодействия теория представлений токовой алгебры дает бозонизацию алгебры Замолодчикова-Фаддеева для операторов, описывающих асимптотические состояния и квантовые аналоги функций Йоста.

• Из-за нетривиальной и нестандартной структуры коумножения (действия алгебры в тензорных произведениях представлений), предложенной в диссертации, получил естественное объяснение факт существования в этой модели двух квантово-групповых структур, связанных с факторизоваппой матрицей рассеяния асимптотических состояний и свойств коммутации элементов квантовой матрицы монодромии, соответственно.

• Детально исследовано угловое квантование модели SG и в рамках этого метода все известные автору результаты о свойствах квантовой матрицы монодромии и симметрий пространства состояний в модели SG были получены из теоретико-группового анализа, исследуемой алгебры токов. В частности, было продемонстрировано, что вычисления следов но фоковскому пространству углового квантования от произведения операторов, сплетающих представления алгебры токов на уровне 1, доставляет решение форм-факторной программы в модели SG.

• Алгебра токов была исследована в бесконечном пределе для перепормированной константы взаимодействия, в котором эквивалентная модели SG массивная модель Тирринга переходит в 5[/(2)-инвариантную модель Тирринга. Было показано, что в этом пределе алгебра токов переходит в алгебру связанную с рациональными решениями уравнения Янга-Бакстера, и ее теория представлений доставляет решение форм-факторной программы в этой модели.

• Следы от соответствующих произведений операторов, сплетающих представления на уровне 1 этой токовой алгебры, были вычислены явно. Эти следы как функции быстрот были отождествлены с форм-факторами базовых операторов в этой модели, полученными в рамках форм-факторного подхода к массивным интегрируемым моделям двумерной теории поля. у

• Векюрнозначная часть интегральных формул для форм-факторов, была отождествлена с бетевским вектором, построенном из внедиагональных элементов матрицы монодромии в R-матричном описании алгебры динамических симметрий SU(2)'-инвариантной модели Тирринга. Это отождествление было сделано с помощью специальных проекционных операторов на пересечения борелевских подалгебр разного типа.

• Общая теория вычисления таких проекций была развита на примере квантовой аффинной алгебры старшего ранга. Построенная теория показала свою эффективность в решении задачи о построении бетевских векторов в квантовых интегрируемых моделях ассоциированных с алгебрами токов старшего ранга.

• Метод вычисления проекций был протестирован для квантовой аффинной алгебры Uq(glN), где было показано, что его применение в различных токовых алгебрах позволяет заменить мало эффективный и часто не применимый иерархический ан-зац Бете для нахождения бетевских векторов в квантовых интегрируемых моделях ассоциированных с токовыми алгебрами любых рангов и для любых серий.

1. И.Я. Арефьева, В.Е. Корепин. Рассеяние в двумерной модели с лагранжианом L = Щ(дци)2 + m2(cosu — 1)]. Письма в ЖЭТФ. 20 (1974) 680.

2. Р.Дж. Бакстер. Точно решаемые модели статистической физики. Наука, Москва, 1985.

3. А.Р. Варченко, В.О. Тарасов. Джексоновские интегральные представления для решений квантового уравнения Книжника-Замолодчикова. Алгебра и Анализ. 6 (1995) 275.

4. С.Н. Вергелис, В.М. Гряник. Ядерная Физика. 23 (1976) 1334/

5. И:С. Градштейн, И.М. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, Москва, Наука, 1971.

6. Дж. Динг, С. Пакуляк, С. Хорошкин. Факторизация универсальной R-матрицы для Uq(sl2) ■ Теоретическая и Математическая Физика, 124(2) (2000), 179.

7. В.Г. Дринфельд. Алгебры Хопфа и квантовое уравнение Янга-Бакстера. ДАН 28 (1985) 1060.

8. В.Г. Дринфельд. Новая реализация янгиана и квантовых аффинных алгебр. ДАН 32 (1988) 212.

9. А.Б. Замолодчиков. Точная двухчастичная S-матрица квантовых солитонов модели sine-Gordon. Письма в ЖЭТФ. 25 (1977) 499.

10. В.Е. Захаров, JI.A. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев. Полное описание решений "sine-Gordon"ypaBHeiiHH. ДАН СССР 219 (1974) 1334.

11. И. В.Е. Захаров, Л.Д. Фаддеев. Уравнение Кортевега-де Фриса вполнеинтегрируемая гамильтонова система. Функц. анализ и его прил. 5 (1971) 18.

12. В.Е. Корепин, Л.Д. Фаддеев. Квантование солитонов. ТМФ 25 (1975) 143.

13. С. Пакуляк, С. Хорошкин. Весовая функция для квантовой аффинной алгебры Uq(sl;i). Теоретическая и Математическая Физика 145(1) (2005), 3.

14. А. Поляков. Конформная симметрия критических флуктуаций. Письма в ЖЭТФ 12 (1970), 538.

15. Е.К. Склянин, JI.A. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев. Квантовый метод обратной задачи. I. ТМФ 40 (1979) 194.

16. Е.К. Склянин, Л.А. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев. Обратная задача квантовой теории рассеяния. II. 'Современные проблемы математики', Итоги науки и техники, ВИНИТИ, 3 (1974) 93.

17. Л.А. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев. Существенно-нелинейная одномерная модель классической теории поля. ТМФ 21 (1974) 160.

18. Л.Д. Фаддеев, Л.А. Тахтаджян. Гамильтонов подход в теории солитонов. Наука , Москва, 1986.

19. С. Хорошкин, Д. Лебедев, С. Пакуляк. Алгебра Замолодчикова-Фаддеева для дубля янгиана на уровне 1. Теоретическая и Математическая Физика, 110 (1997), no. 1, 25.

20. M.J. Ablowitz, D.J. Каир, А.С. Newell, Н. Segur. Method for solving the Sine-Gordon equation. Phys. Rev. Lett. 30 (1973) 1262.

21. Babudjian, H, Flume, R. Off-shell Bethe Ansatz equation for Gaudin magnets and solution of Knizhnik-Zamolodchikov equation, hep-th/9310110.

22. H. Babujian and M. Karowski Exact Form Factors in Integrable Quantum Field Theories: the Sine-Gordon Model (II). Nucl. Phys. В 620 FS] (2002) 407.

23. T. Banks, D. Horn, H. Neuberger. Bosonization of the SU(N) Thirring models. Nucl. Phys. В 108 (1976) 119.

24. E.W. Barnes. On the theory of the multiple gamma functions. Trans. Cambridge Philos. Soc. 19 (1904) 374.

25. A. Belavin, A. Polyakov, A. Zamolodchikov. Infinite-dimensional conformal symmetry in 2D quantum field theory. Nucl. Phys. В 241 (1984) 333.

26. D. Bernard. Hidden Yangians in 2D massive current algebras. Comm. Math. Phys. 137 (1991) 191.

27. D. Bernard, A LeClair. The quantum double in integrable quantum field theories, Nucl. Phys. В 399 (1993) 709.

28. D. Bernard, A. LeClair. Differential equations for sine-Gordon correlation unctions at the free fermion point. Nucl. Phys. В 426 FS] (1994) 534.

29. D. Bernard, A. LeClair. Quantum Group Symmetries and Non-Local Currents in 2D QFT. Commun. Math. Phys. 142 (1991) 99.

30. H. Bete. Zur Theorie derMetalle. I. Eigenwerte und Eigenfunktionen der linear Atoinkette. Z. Physik. 71 (1931) 205.

31. V. Brazhnikov, S. Lukyanov. Angular quantization and form factors in massive integrable models. Nucl. Phys. В 512 FS] (1998) 616.

32. L. Clavelli, J.A. Shapiro. Pomeron fctorization in general dual model. Nucl. Phys. В 57 (1973), 490.

33. S. Coleman. Quantum Sine-Gordon equation as the massive Thirring model. Physical Rev. D 11 (1975) 2088.

34. R.F. Dashen, B. Hasslachter, A. Neveu. The particle spectrum in model field theories from seiniclassical functional integral techniques. Phys. Rev. Dll (1975) 3424.

35. B. Davies, O. Foda, M. Jimbo, T. Mivva, A. Nakayashiki. Diagonalization of the XXZ Hamiltonian by vertex operators, si Commun. Math. Phys. 151 (1993), 89.

36. J. Ding, I.B. Frenkel. Isomorphism of two realizations of quantum affine algebras Ug(gl(n)). Commun. Math. Phys. 156 (1993) 277.

37. J. Ding, S. Kharchev, S. Khoroshkin, S. Pakuliak. Analytical properties of the elliptic currents. Preprint MPIM-1999-8, (1999).38