Квантово-групповые симметрии в логарифмических моделях конформной теории поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Учреждение Российской академии наук Физический Институт им. П. Н. Лебедева

На правах рукописи УДК 530-145

Гайнутдинов Азат Марсельевич

Квантово-групповые симметрии в логарифмических моделях конформной теории поля

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2009 г.

003473357

Работа выполнена в Отделении Теоретической Физики им. И.Е. Тамма Физического Института им. П.Н. Лебедева РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Семихатов Алексей Михайлович (Физический Институт им. П.Н. Лебедева РАН, г. Москва)

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Славное Никита Андреевич (Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, г. Москва)

доктор физико-математических наук Хорошкин Сергей Михайлович (Институт Теоретической и Экспериментальной Физики, г. Москва)

Ведущая организация:

Объединенный институт ядерных исследований, Лаборатория теоретической физики им H.H. Боголюбова, г. Дубна

Защита состоится 22 июня 2009г. в 12 часов на заседании диссертационного совета Д 002.023.02 Физического института им. П.Н. Лебедева РАН по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский проспект, д. 53. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФИАН.

Автореферат разослан

2009г.

Ученый секретатрь диссертационного совета Д 002.023.02 профессор, доктор физико-математических наук

Я.Н. Истомин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Все двумерные статистические системы можно условно разделить на два класса: "рациональные" и "логарифмические". Критическое поведение первого из них описывается рациональными конформными теориями поля, динамика которых задается самосопряженным оператором эволюции, а гильбертово пространство состояний может быть разложено в прямую сумму конечного числа неприводимых мультиплетов по отношению к порождающей спектр алгебре. К классу рациональных статфизических систем относятся, например, хорошо известные модели Изинга1 и Поттса2, моделирующие критические явления в ферромагнетиках, а также вершинные модели3, описывающие критические точки для сегнетоэлектриков.

Простейшие примеры рациональных теорий введены в основополагающей работе Белавина, Полякова и Замолодчикова4, где были "диагона-лизованы" конформные динамические (бутстрапные) уравнения и получено бесконечное множество их точных решений — минимальные модели М(р,р'). Эти модели являются точно решаемыми в очень сильном смысле: корреляционные функции и аномальные размерности всех полей могут быть явно вычислены. Многие минимальные модели отождествляются с известными критическими и мультикритическими точками двумерных статистических систем. В частности, простейшая нетривиальная минимальная модель М(3,4) описывает хорошо известную критическую точку модели Изинга, а модель M(5,6) описывает критическую точку модели Поттса с Z3 симметрией.

Накопленнные к настоящему моменту знания о рациональных моделях двумерной конформной теории поля (RCFTs) столь же обширны и

lE. Ising, Z. Phys. 31, 253 (1925).

2R.B. Potts, Proc. Cara. Phil. Soc. 48, 106 (1952).

J. Baxter, Exactly solved models in statistical mechanics, Academic Press, New York, 1982.

4A.A. Belavin, A.M. Polyakov, A.A. Zamolodchikov, Nucl. Phys. В 241 (2): 333-380 , 1984.

аксиоматически проработаны5 как, например, в теории простых алгебр Ли. Продолжая ту же аналогию, можно добавить, что КСГТэ представ-лют собой лишь малую часть всего многообразия СРТ, так же как и полупростые алгебры Ли являются не более чем малым подмножеством в существенно более широком классе.

Исследование более широкого, логарифмического класса конформных теорий мотивировано, в особенности, приложениями - в литературе6 имеется все возрастающая очевидность того факта, что некоторые системы с беспорядком в критической точке проявляют два необычных свойства: существование в спектре теории логарифмических операторов (корреляционные функции с которыми содержат логарифмические расходимости) и существование бесконечного числа релевантных операторов с отрицательными конформными размерностями. Системы с таким свойством не допускают описания при помощи диагонализуемой трансфер-матрицы — решеточной версии оператора эволюции — и относятся к логарифмическому типу.

К логарифмическому классу задач относятся также теории (муль-ти)критических полимеров7, фазовые переходы между плато в целочисленном квантовом эффекте Холла8, критические точки в статистических моделях геометрического происхождения, таких как двумерная перко-ляция9, задача димеров10 и задача о заполняющих деревьях11, а также

,Г)G. Moore, and N. Seiberg, Lectures on RCFT, Physics, Geometry, and Topology, 1989.

6 J.-S. Cam, I.I. Kogan, A.M. Tsvelik, Nucl. Phys. B466, 444 (1996); J.-S. Cam, I.I. Kogan, A. Lewis and A.M. Tsvelik, Nucl. Phys. B489, 469 (1997); Z. Maassarani, D. Serban, Nucl. Phys. В489, 603 (1997); J.-S. Cata, N. Taniguchi, A.M. Tsvelik, Nucl. Phys. B525, 671 (1998); S. Guruswarny, A. LeClair, A.W.W. Ludwig, Nucl. Phys. B583, 475 (2000).

7tf. Saleur, Nucl. Phys. B382, 486 (1992); H.G. Kausch, hep-th/9510149.

8V. Gurarie, M. Flohr, C. Nayak, Nucl. Phys. B498, 513 (1997); K. Ino, Nucl. Phys. B532, 783 (1998);

9J. Cardy, J. Phys. A25 (1992) L201-L206; H. Saleur and B. Dnplantier, Phys. P.ev. Lett. 58, 22 (1987) 2325-2328; G.M.T. Watts, J. Phys. A29, L363 (1996).

10N.S. Izmailian, V.B. Priezzhev, P. Ruelle, and C.-K. Пи, Phys. Rev. Lett. 95 (2005) 260602.

11 J.G. Brankov, S.Y. Grigorev, V.B. Priezzhev, I.Yu. Tipunin, J.Stat.Mech. 0811-.P11017.

системы с самоорганизацией, например, модель песочной горы12(модель "sand-pile"). В системах с самоорганизацией возможны начальные (так называемые транзиентные) состояния, в которые система не может вернуться ни при какой возможной ее эволюции.

Математическим выражением наличия в спектре транзиентных состояний является структура жордановых клеток в трансфер-матрице, описывающей эволюцию подобной системы. Наличие нетривиальных жордановых клеток в трансфер-матрице Т означает невозможность диаго-нализовать оператор Т на пространстве состояний:

тщ=щ + \<р), т\<р) = щ,

что приводит к неразложимости представлений порождающей спектр алгебры.

В связи с этим, конформные теории поля с недиагонализуемым гамильтонианом представляют особенный интерес — они должны описывать универсальные свойства логарифмического класса критических систем. Определяющей чертой таких теорий поля является неразложимость представлений киральной алгебры симметрии на неприводимые составляющие. В частности, это приводит к логарифмическим расхо-димостям в корреляционных функциях, поэтому такие теории поля называют логарифмическими моделями конформных теорий поля (далее LCFTfe).

На существование LCFTs было впервые указано в работе Рожанского и Салера13 в 1991 г., и почти одновременно в работе Гурари14. В течение примерно десяти лет, последовавших за открытием LCFTs, прогресс в логарифмических конформных теориях сдерживался трудностями, связанными главным образом с отсутствием четкого принципа для определения пространства состояний и симметрий в каждой данной модели.

12Mathiev, P. Ruelle, hep-th/0107150; G. Piroux and P. Ruelle, 3. Stat. Medí. 0401 (2004) P005; M. Jeng, Phys. Rev. E 71 (2005) 016140; M. Jeng, G. Piroux, and P. Ruelle, corid-raat/0609284.

13£. Rozansky, H. Saleur, Nucl. РЬув. B376 (1991) 461-509.

14 V. Gurarie, Nucl. Phys. B410, 535 (1993).

Мысль о классификации или хотя бы исчерпывающем исследовании отдельных примеров ЬСПЬ представлялась достаточно безнадежной из-за уже одного того опасения, что представления соответствующих кираль-ных алгебр могут иметь сколь угодно сложное устройство - в наличии не было теории представлений, развитой до уровня существующей теории представлений киральных алгебр симметрий в рациональном случае.

Преодоление указанных трудностей в анализе ЬСГТэ позволило бы расширить имеющееся понимание логарифмических конформных теорий до уровня, сравнимого с рациональными конформными теориями поля. Такая задача включает в себя несколько интригующих, но достаточно сложных математических проблем. В первую очередь требуется создание новых методов, поскольку существующие по большей части пригодны лишь в полупростом (т.е. диагонализуемом, "нелогарифмическом") случае.

Наиболее развитые и фундаментальные подходы к изучению теоретико-полевых моделей основываются на понятии термодинамического или скейлингового предела решеточных интегрируемых моделей (так, наиболее строгие определения взаимодействующих теорий поля, подобных модели БтЪ-Гордон, основаны на дискретизации). Методы интегрируемых теорий объединяет квантпово-групповая симметрия, довольно естественно возникающая в двумерных решеточных моделях в качестве абстрактной алгебраической формализации явления интегрируемости.

Квантовые группы представляют собой определенную деформацию алгебраических соотношений классических групп Ли, точнее соответствующих им инфинитезимальных преобразований. Они были независимо открыты Дринфельдом и Дзимбо15. Приложения квантовых групп были впервые предложены Ленинградской школой16 в середине 80-х для

15 V. G. Drinfeld, Soviet Math. Dokl. 32, 254-8 (1985); M. Jimbo, Lett. Math. Phys. 10, 63-9 (1985).

16L.D. Faddeev, E.K. Sklyanin, L.A. Takhtajan, Teoc. Mat. Fiz. 40, 194 (1979); L.D. Faddeev and L.A. Takhtajan, Usp. Mat. Nauk 34, 13 (1979); L.A. Takhtajan, Zap. Nauchn. Sem. LOMI 101, 158 (1981); L.A. Takhtajan, Adv. Studies Pure Math. 13, 19, 1989.

осмысления математических основ квантового метода обратной задачи рассеяния.

Роль квадтово-групповой симметрии в интегрируемых моделях настолько фундаментальна, что ее полная реализация уже определяет большинство, если не все, свойства модели. Например, группой из Киото17 (Дзимбо, Мива, Фода, Накаяшики, и др.) в 90-х годах были выведены интегральные формулы для корреляционных функций сегнетоэлек-трических моделей на основе теории представлений (так называемых аффинных) квантовых групп. Также, квантово-грулповые симметрии естественным образом реализованы18 (Паскье, Салер) в системах типа спиновых цепочек, подобных квантовой модели Гейзенберга (XXZ), где коумножение позволяет определить действие квантовой группы на цепочке, т.е. на тензорном произведении векторных пространств, связанных с каждым узлом. Квантово-групповая симметрия оказалась крайне полезной как в анализе полного пространства состояний, так и при вычислении спектра гамильтониана.

Таким образом, можно сказать, что приложения квантовых групп в полной мере распространились на решеточные интегрируемые модели двумерной статистической физики. При этом квантовая группа остается "нечувствительной" к увеличению размеров решетки, изменяется лишь состав мультиплетов по квантовой группе, но симметрия при этом остается прежней для любого числа узлов N. Это наталкивает на мысль о возможном выживании квантово-групповой симметрии в термодинамическом пределе (IV —> оо), при котором вакууму |0) фоковского пространства соответствовало бы основное состояние с минимальной энергией по отношению к квантовому гамильтониану, а многочастичные состояния отвечали бы низко лежащим возбуждениям над основным состоянием.

17М. ЛтЬо, Т. Мша, К. \fiki ап<1 А. ЫакауааЫН, РЬуы. ЬеП. А 168 (1992), 256-263; Я. Вооз, М. ЛтЬо, Т. Мгта, Р. Smirnov, V. Такеуата, Аппа1ек Непп Ротсаге 7:1395-1428, 2006, Ьер-Ш/ОбОПЗг.

18 V. Разуиег, Н. Эа1еиг, Кис1. РЬуа. В 330 (1990) 523.

В связи с этим, возникновение квантово-групповых симметрий в конформных моделях, реализуемых как термодинамический предел двумерных интегрируемых систем в критической области параметров, представляется достаточно естественным. Физически, можно сказать, что явная реализация квантово-групповой симметрии сводится к описанию конформной теории в терминах квазичастичных возбуждений с дробной статистикой (типичный пример таких частиц возникает при изучении дробного квантового эффекта Холла).

Целью работы является построение и анализ логарифмических моделей двумерной конформной теории поля. Рассмотрено семейство логарифмических моделей с различными киральными алгебрами симметрий, востребованными при описании универсальных свойств тех или иных двумерных задач статистической физики с недиагонализуемой трансфер-матрицей. В цели диссертационной работы входит построение соответ-ствущих рассматриваемым логарифмическим моделям квантово-груп-повых симметрий в явных конформно-полевых терминах, а также изучение конформно-полевых структур (корреляционных функций, полного пространства состояний) при помощи найденной квантово-групповой симметрии.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются оригинальными и получены впервые.

Научная и практическая ценность диссертационной работы обусловлена возможностью применения полученных в ней результатов в дальнейших исследованиях двумерных критических явлений, в которых существенную роль играют нелокальные степени свободы, например, неупорядоченные системы электронов (уже упоминавшийся квантовый эффект Холла), фазовые переходы в полимерах и критические точки в статистических моделях геометрического происхождения, таких как двумерная перколяция, задача димеров и задача о заполняющих деревьях, а также системы с самоорганизующимся критическим состоянием (например, модель песочной горы).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах теоретического отдела ФИАН и других российских и зарубежных научных центров (Протвино, ОИЯИ и университет Киото), а также на международных конференциях: Киото, декабрь 2006; Прага, июнь 2007; Протвино, январь 2008: Киото, январь 2009; Цюрих, май 2009. Публикации. По теме диссертации написано 5 работ (см. стр. 17), которые опубликованы в отечественных и зарубежных научных журналах. Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, пяти глав, объединяющих 32 раздела, Заключения, четырех приложений и списка цитируемой литературы, включающего 173 названия. Общий объем работы - 126 страниц.

Краткое содержание работы

Во Введении описаны объект исследований и цели Диссертации, дан краткий исторический обзор и прокомментировано современное состояние круга вопросов, затрагиваемых в Диссертации. Введение содержит также четыре раздела с предварительными сведениями, объясняющими возникновение и востребованность квантово-групповых симметрий как в решеточных интегрируемых, так и в конформно-полевых моделях. Эти сведения составляют основу методов, используемых в диссертации. Во введении также приводятся результаты диссертации.

Первая глава посвящена построению и исследованию логарифмических расширений мимнимальных моделей М(р,р') конформной теории поля — двухпараметрической серии логарифмических моделей WM (р,р') с так называемой триплетной киральной W-алгеброй Wру. Изложение главы опирается на работу [1]. Результаты этой главы являются доста-

14

точно естественным развитием полученных ранее результатов для логарифмических моделей WM(p, 1) в терминах свободных полей и скри-нинговых операторов.

'^.Х Fuchs, S. Hwang, A.M. Semikhatov, and I.Yu. Tipunin, Commun. Math. Phys. 247 (2004) 713-742.

Напомним, что в двумерии группа локальных конформных преобразований порождается бесконечным числом генераторов — аналитическими отображениями комплексной плоскости. Соответствующая бесконечномерная алгебра симметрии квантовой теории с локальным тензором энергии-импульса, известная как алгебра Вирасоро, характеризуется своим центральным зарядом, отвечающим появлению конформной аномалии в квантовой теории. При этом все квантовые поля (точнее, их голоморфная часть) в двумерной конформной теории могут быть классифицированы по представлениям этой алгебры20. Родоначальники или вектора старшего веса таких представлений называются примарньши полями.

Существенным в неполупростых/логарифмических теориях является то, что прежде чем говорить о составе полей, соответстующих им корреляционных функциях и т.д., необходимо определить алгебру симметрии как алгебру порождающую спектр теории. Эта алгебра во многих случаях не является очевидной алгеброй симметрии (Вирасоро, например), а являются некоторым ее нелинейным расширением, т.е. является некоторой И^-алгеброй.

В логарифмической модели киральная W-алгебра должна быть достаточно большой, чтобы гарантировать появление в теории конечного числа примарных полей (физических наблюдаемых). Только в этом случае можно ожидать конечномерную алгебру слияний полей и представление модулярной группы (напомним, что конечномерное представление модулярной группы является хорошим тестом самосогласованности модели).

В первых разделах Главы кратко напоминаются основные понятия о вертекс-операторных алгебрах и теории представлений алгебры Вирасоро. Также вводятся основные понятия о скрининговых операторах (далее, просто скрининги). Киральная алгебра "Wp p/, которая представляет собой алебру симметрии логарифмических моделей WM(p,p'), строится из ядра скринингов в вакуумном представлении некоторой решетчатой

20A.A. Belavin, A.M. Polyakov, A.A. Zamolodchikov, Nud. Phys. В 241 (2): 333-380 , 1984.

вертекс-операторной алгебры IV-алгебра порождается тензором энергии-импульса Т[г) и думя Вирасоровскими примарными полями и Ш'~(г) с конформной размерностью (2р—1)(2р' — 1).

Определение И^-алгебры "УУру ссылается на модель Кулоновского газа21, где стартовой точкой является двумерное скалярное поле с записанным в комплексных координатах действием

Яо = —- / дрдфйгйг.

8тг ]

(Нормировка выбрана так, чтобы пропагатор имел вид ¿)<р(0,0)) = log \г\ и вершинные операторы ехр{а<р(г, 2)) не содержали бы множителя i в экспоненте.) Более того, скалярное поле рассматривается как компактифицированное на окружности (радиуса \j2pp/), что просто означает эквивалентность полей р^р + 2т^2рр?. В таком случае наблюдаемые даются вершинными операторами ехр( при пб2.

Так заданная модель с центральным зарядом с = 1 имеет существенно большую алгебру симметрии - решетчатую вертекс-операторную алгебру , упомянутую выше. Минимальные модели можно рассматривать как конформные точки22 с с < 1, в которые система перенормируется после возмущения

5 = 50 + J Х+е^'^йхОг + J

с подходящими а+ и а_ (и некоторыми константами А±). Симметрия таким образом полученной модели становится алгеброй Вирасоро из минимальных моделей М(р,р'), которая "сильно меньше" алгебры /Ср р/.

В таком подходе логарифмические конформные точки возникают для систем со случайно распределенными вмороженными дефектами23, чье действие имеет вид

21B. Nienhuis, J. Stat. Phys. 34 (1984) 731-761; Vl.S. Dotsenko and V.A. Fateev, Nucl. Phys. B240 [FS 12] (1984) 312-348.

22A.B. Zamolodchikov, JETP. Lett. 43 (1986) 730-732.

J. Cardy, The stress tensor in quenchcd random systems, cond-mat/0111031.

где Х±(г,г) являются вмороженными случайными переменными с подходящим образом выбранными корреляторами ¿2) и т.д. Содержащиеся в этих фиксированных корреляторах параметры перенормируются таким образом, что система появляется в новой инфракрасной фиксированной точке с тем же центральным зарядом с < 1 как и у минимальных моделей, но с IV-алгеброй (подалгеброй в £р,р') в качастве алгебры симметрии. Вся система может быть таким образом рассмотрена как тензорное произведение исходной модели Кулоновско-го газа и дополнительной модели, описывающей вмороженный беспорядок посредством выбранных корреляторов от переменных Л±(г,2). В Диссертации не приводится каким именно образом должны быть выбраны эти корреляторы, чтобы воспроизвести логарифмические модели ^Л/М (р,р') конформной теории поля; вместо этого, выбирается алгебраическая постановка задачи и изучается IV-алгебра ожидаемой фиксированной точки. В этом направлении возможно восстановить связь с системами вмороженного беспорядка посредством изучения так называемых логарифмических представлений этой И^-алгебры.

Вторая глава посвящена изучению квантово-групповых симметрий в однопараметрическом 1)-подсемействе из числа логарифмиче-

ских моделей описанных в предыдущей главе. Изложение главы основано на работе [2].

Наличие квантово-групповой симметри в ЬСГТб связано с тем, что квантовая группа проявляется явно как алгебра нелокальных зарядов - упомянутых ранее скринингов, которые действуют на пространстве состояний логарифмической теории. Сами состояния находятся в однозначном соответствии с нелокальными полями с нетривиальными свойствами по отношению к преобразованию монодромии — обнесению полей по замкнутому контуру вокруг любого другого поля. Действие квантовой группы на таком пространстве нелокальных полей коммутирует с

действием киральной алгебры, что означает наличие взаимнооднозначного соответствия между старшими векторами квантовой группы и при-марными полями конформной теории. Это соответствие говорит о глубокой связи между теориями представлений киральной алгебры и соответствующей квантовой группы.

В качестве примера квантово-групповой симметрии в физических системах можно привести анизотропную модель Гейзенберга (XXZ-мoдeль) с гамильтонианом

(!) н = 1>к+1+*м+1++ ^и -

3=1

который является определенной "деформацией" гамильтониана изотропной ХХХ-модели (с| —> 1) с хорошо-известной 5{7(2)-симметрией. Симметрия гамильтониана (1) деформируется соответствующим образом — гамильтониан Н коммутирует не только с оператором "числа частиц" {{Н, 5г] = 0), но и со всей квантовой группой 5С/Ч(2):

(2) [52,5±] = ±й'±, [5+>5-] = [25']„ где [*]„ = Я^С,

(3) Д(Ч5*) = ® Ч5г, Д(5±) = ® я5г + ®

где соотношения (2) представляют собой деформацию обычных соотношений для алгебры Ли С), а действие на тензорах (Д(-7) = ./0 1 + 1 ®./) изменяется согласованным образом, так что (3) определяет представление соотношений (2) на тензорном произведении двух любых представлений. Квантовая группа 2) является, таким образом, алгеброй классифицирующей спектр гамильтониана Н — каждый мультиплет по квантовой группе состоит из собственных векторов гамильтониана на одном уровне энергии.

Полученная в описываемой главе квантово-групповая симметрия логарифмических моделей \Л/М(р, 1) является некоторой версией квантовой группы 5(7Ч(2) с параметром деформации в корне из единицы (я = е17Г/р).

Основываясь на этой симметрии, был произведен анализ корреляционных функций, точнее, вычислена алгебра слияний квантовых полей в теории.

Напомним, что структура корреляционных функций в конформной теории во многом определяется из разложения операторных произведений примарных полей. Непосредственное вычисление таких разложений представляется как правило крайне нетривиальной задачей. Первым шагом на пути к ее решению является изучение операции типа тензорного произведения на соответствующих представлениях киральной алгебры симметрии. Такая операция дает не зависящее от выбора базиса описание операторных произведений примарных полей и формализуется в понятии алгебры слияний (фьюжина) - коммутативной ассоциативной алгебры с выделенным базисом из представлений киральной алгебры, в котором структурные константы являются неотрицательными целыми числами и определяют набор правил или каналов, по которым могут осуществляться "столкновения частиц".

Замкнутость алгебры слияний примарных полей, а также инвариантность теории при модулярных преобразованиях24 — глобальных (а не только локальных) диффеоморфизмах мировой двумерной поверхности, на которой задана конформная теория поля, — составляют критерий полноты множества полей в теории.

Неожиданным оказался результат об эквивалентности модулярных свойств модели \А/М(р, 1) и соответствующей ей квантовой группы. Точнее, показано, что известное ранее действие модулярной группы на пространстве конформных блоков нуль-точечных корраняций25 совпадает с модулярным действием на центре квантовой группы. Такой результат окажется существенным в последующих разделах Диссертации при

^Требование модулярной инвариантности дополняет требование замкнутости операторной алгебры: не каждое множество представлений, замкнутых относительно операции слияния, удовлетворяет условию инвариантности при модулярных преобразованиях.

2®Частным примером таких конформных блоков являются обычные характеры представлений киральной алгебры, которые являются "сторительными блоками" статистической суммы - функциями, порождающими энергетические уровни в соответствующем представлении.

установлении связи в моделях \Л/М(р, 1) между обоими постулатами полноты множества полей - алгеброй слияний и модулярной инвариантностью. Так называемая формула Верлинде, речь о которой пойдет ниже, позволяет вычислять правила слияний полей зная лишь информацию о поведении системы при глобальных диффеоморфизмах ее мировой поверхности. В случае системы с периодическими граничными условиями речь идет о модулярных преобразованиях на торе.

Третья глава основана на работе [3] и ставит своей целью анализ логарифмических представлений киральной алгебры из моделей У\/М(р, 1) на основе найденной квантово-групповой симметрии. В логарифмических представлениях имеется недиагонализуемое действие гамильтониана (скейлингового оператора ¿о) и в них "живут" логарифмические партнеры примарных полей теории. В корреляционных функциях именно с такими полями появляются члены с логарифмическими расходимостя-ми. И прежде чем строить полное пространство состояний в каждом ки-ральном секторе, необходимо знать структуру логарифмических представлений. В этом состоит важное отличие неполу простых/логарифмических теорий от рациональных.

На примере простейшей нетривиальной модели \Л/М(2,1) приведена явная конструкция квантово-групповой симметрии в терминал симплек-тических фермионов. Показано, что существует 1 :1 соответствие между всевозможными неразложимыми представлениями киральной И7-алгебры и квантовой группы.

Четвертая глава посвящена исследоваию фундаментальной связи между двумя критериями полноты множества полей - алгеброй слияний и модулярной инвариантностью - и следует работе [4]. Напомним, на примере ряда рациональных моделей Верлинде было установлено26, что модулярная 5-матрица диагонализует правила слияний в рациональной теории. Это позволяет свести исходно нелинейную задачу вычисления алгебры слияний к линейной задаче о модулярных свойствах теории.

26В.Р. УсгНпЛе, Ми<;1. РЬуь. В 300 (1988) 360.

Результат такого наблюдения отразился в уже упоминавшейся формуле Верлинде.

Сложность в анализе пространства состояний логарифмических теорий ограничивает изучение как соответствующих логарифмическим моделям неполупростых алгебр слияний примарных полей, так и обобщение на логарифмический случай формулы Верлинде. В литературе делались неоднократные попытки построения логарифмических формул Верлинде19,27, но общая структура до сих пор остается неясной и зависит от конкретного класса моделей.

Основой применяемого в Диссертации метода при построении логарифмической версии формулы Верлинде является установленное в предыдущем разделе Диссертации отождествление представления модулярной группы на стороне конформной теории поля \/УМ(р, 1) с модулярным представлением на центре соответствующей квантовой группы. Соединив такое наблюдение с анализом квантового преобразования Фурье на центре квантовой группы, построено обобщение формулы Верлинде на случай логарифмических моделей ШМ(р, 1).

Пятая глава посвящена исследованию логарифмических моделей с нерасширенной симметрией и опирается на работу [5]. А именно, рассмотрено однопараметрическое (р, 1)-семейство моделей с киральной алгеброй Вирасоро Vpд, отвечающей той подалгебре в моделях \Л/М(р, 1) с расширенной IV-симметрией, которая порождена модами тензора энергии-импульса. Вообще, выбор той или иной киральной алгебры (Вирасоро или ее расширение) диктуется условиями на состав примарных полей (или критических экспонент в статфизичекой модели) и возможными граничными условиями, которые может допустить теория.

Основываясь на найденной в описываемой главе квантово-групповой симметрии логарифмических моделей с киральной алгеброй Вирасоро

27 М.А./, «о Л г ап<1 И. КШН, агХ1У:0705.0545; М. Я. ваЬегсИеI ап<1 1. Пипке1, агХ]у:0707.0388[Ьер-<Ь].

Ррд, вычислены всевозможные правила слияний для полей из неприводимых и логарифмических представлений. Результаты квантово-группо-вого вычисления правил слияний для вирасоровских примарных полей и их логарифмических партнеров оказались в точном соответствии с недавними результатами Пирса и Расмуссена28, основанными на решеточном подходе к тем же логарифмическим моделям, а также с последними результатами Рида и Салера29, основанных на детальном изучении моделей XXX с параметром анизотропии в корне из единицы.

Ожидается, что изучаемый класс логарифмических моделей с Вира-соровской симметрией имеет непосредственное отношение к описанию фазовых переходов в полимерах и ряда других задач с самоорганизацей типа модели песочной горы.

В заключении приводится краткий список полученных результатов.

В приложениях собраны технические подробности и стандартные факты об алгебрах Хопфа.

28Х Наятиввеп ап<1 Р. А. Реагсе, Л. РЬук. А 40, 13711 (2007).

29 N. Пеаё ап4 Я. Яа!еиг,Нис1. РЪув. В 777 (2007) 316.

Основные результаты

(1) Построены и систематически исследованы логарифмические расширения мимнимальных моделей М [р,р') двумерной конформной теории поля — двухпараметрическая серия логарифмических моделей \/\/М(р,р') с триплетной киральной Ж-алгеброй симметрии, которая представляет собой некоторое расширение алгебры Ви-расоро из минимальных моделей при помощи триплета примар-ных полей. Построены неприводимые представления киральной И^-алгебры, а также соответствующие модули Верма, которые представляют собой необходимое промежуточное звено при построении полного пространства состояний.

(2) Предложена конструктивная схема исследования логарифмических моделей конформной теории поля на основе квантово-груп-повых симметрий, реализуемых в терминах должного числа скри-нинговых операторов. В рамках предложенного формализма вычислены правила слияний для квантовых полей из (р, ^-подсемейства логарифмических моделей как с расширенной IV-симметрией, так и с Вирасоровской симметрией, а также произведен анализ им соответствующих логарифмических представлений.

(3) Получено обобщение формулы Верлинде на случай логарифмических моделей 1) на основе анализа квантового преобразования Фурье на центре соответствующей квантовой группы и установленной в Диссертации эквивалентности представлений модулярной группы на стороне конформной теории поля \Л/М(р, 1) и на центре квантовой группы. Полученная формула вычисляет правила слияний, исходя лишь из информации о поведении системы при глобальных диффеоморфизмах ее мировой поверхности.

Список ЛИТЕРАТУРЫ

[1] B.L. Feigin, A.M. Gainutdinov, A.M. Semikhatov, and I.Yu. Tipunin, Logarithmic extensions of minimal models: characters and modular transformations, Nucl. Phys. В 757 (2006) 303343.

[2] B.L. Feigin, A.M. Gainutdinov, A.M. Semikhatov, I.Yu. Tipunin, Modular group representations and fusion in logarithmic conformal field theories and in the quantum group center, Comm. Math. Phys., 265, 47-93 (2006).

[3] A.M. ГаДнутдшюв, A.M. Семихатов, И.Ю. Типунин, Б.Л. Фейгиа, Соответствие Каждана-Люстига для категории представлений триплетной W-алгебры в логарифмических конформных теориях поля, Теоретическая и Математическая Физика, т. 148, N 3, 399-428, 2006.

[4J A.M. Gainutdinov, A generalization of the Verlinde formula in Logarithmic CFT, Theor. Math. Phys., 159(2): 575-586 (2009).

[5] P.V. Bushlanuv, B.L. Feigin, A.M. Gainutdinov, and I.Yu. Tipunin, Lusztig limit of quantum $1(2) at root of unity and fusion of (l,p) Virasoro logarithmic minimal models, Nucl. Phys. В 818 [FS] (2009) 179-195.

I

ь

Подписано в печать го [и.

Формат 60x84/16. Заказ №. Тираж/АСэкз. П. л. / .

Отпечатано в РИИС ФИАН с оригинал-макета заказчика. 119991 Москва, Ленинский проспект, 53. Тел. 499 783 3640