Конформная теория полей с высшими спинами тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

?осяг?Гск*д Акт;*«** хц ь,

ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

имгии ПЛ. ЛЕБЕДЕВА

На правах рукописи Уда 530.145

Липецкий Вадим Янович КОНФОРМНАЯ ТЕОРИЯ ШЛЕЙ С ВЫСШИШ СПИНАМИ ■

Специальность 01.о*.02 -теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена в Отделении Теоретической Физики им. И. Е. Тамма Физического института им. П. Н. Лебедев;

Научный руководитель:

академик, доктор физико-математических наук Е.С. Фрад

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук М.;Я: Пальчик (Институт автоматики и электрометрии СО РАН, г. Новоси доктор физико-математических наук Л. А: Шзлепин (Оптическое отделение Физического щё£йтл П. Н. Лебедева, г. Москва)

Ведущая организация: Институт физики вьгсоких г. Протвино)

Защита диссертации состоится марта i 992 года' На :

Специализированного совета К002.39.04 Физического инст]

П.Н. Лебедева по адресу: г.Москва, Ленинский проспект, 53.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФИАН.

Автореферат разослан 1992 г.

Ученый секретарь Специализированного совета кандидат физ.-мат. наук

В. Д. Ска{

Актуальность темы диссертации. Поля с высшими спинами были введены в работах Майораны ( 1 933), Дирака (1936), Паули и Фирца (1939) и других. В работах 30-60-ых годов в основном изучались свободные массивные поля высших спинов.

Новое содержание проблема высших спинов получила в 70-80-ые годы. На основе открытия суперсимметрии во второй половине 70-ых гслов были лредложены модели (расширенной) супергравитации, которые были призваны объединить гравитационное взаимодействие с векторными (электромагнитным, сильным и слабым) на квантовом уровне (см. обзор [1]). Однако теории супергравитации не смогли полностью решить проблему ультрафиолетовых расходимостей в квантовой гравитации, хотя введением частицы спина 3/2 (гравитино) и удается добиться сокращения части расходимостей. С другой стороны, даже максимально расширенные модели супергравитации имеют спектр частиц недостаточный для описания физики низких энергий. Естественным следующим шагом на пути объединения гравитации с другими фундаментальными взаимодействиями является введение полей с высшими спинами- (в>г]. Как известно, трем основным типам суперсимметрии соответствует три основных типа супергравитации -Пуанкаре, анти-де ситтеровская {с отрицательной космологической постоянной А<о) и конформная (обзор конформной супергравитации дан в [2]). Соответственно, в принципе возможно три типа теорий высших спинов. Пример теории с высшими спинами, обобщавшей супергравитацию Пуанкаре, доставляет теория суперструн [31, описывающая бесконечную систему массивных возбуждений с вйсг."зд

спинами, наряду с безмассовым сектором. Учитывая опыт теорий с векторными полями, где массы возникают в результате спонтанного нарушения симметрии, естественно предположить, что в области высоких энергий поля высших спинов также становятся безмассовыми. Однако долгое время считалось (4], . что гравитационное взаимодействие нарушает калибровочную симметрию безмассовых полей с высшими спинами и, следовательно, не существует последовательной теории беэмассовых полей высших спинов с нетривиальным гравитационным взаимодействием. Это противоречие было разрешено Фрадкиным и Васильевым [5|, построившими нетривиальное калибровочно-инвариантное кубическое взаимодействие безмассовых полей высших спинов между собой и с анти-де ситтеровской гравитацией на основе новой бесконечномерной симметрии высших спинов, предложенной в (6). Существенным свойством этого взаимодействия является его неаналитичность по космологической постоянной, запрещающая наивный переход к плоскому пределу л —* о. (Во всех работах ¡4] высший спин - гравитаи тнное взаимодействие рассматривалось над плоским фоном с л=0.)

Однако и теория струн и анти~де ситтеровекая теория высших спинов существенно содержат массовый параметр: натяжение струны Т или космологическую постоянную Л. Учитывая, что в ассимптотической области ультравысоких энергий в квантовой теории поля как правило реализуется конформный режим, возникает проблема построения конформно-инвариантной калибровочной теории высших спинов. Конформно-инвариантная теория гравитации Вейля (7) с С/Лагранжианом попускает, как известно, суперсимметричноэ обобщение - конформную супергравиташо [81, [2]. Построение и исследование конформной теории высших спинов, обобщавшей

э

конформную супергравитацию в четырехмерном пространстве-времени. 7редставляег интерес для понимания динамики полей высших спинов з области высоких энергий. С другой стороны такая теория могла бь: усматриваться как возможный кандидат для описания ¡ысокоэнергетнческой фазы теории струн и анти-де ситтеровской кёорйи высших спинов.

Конформые теории высших спинов в двух и трех измерениях, 1С но ванные на обобщениях с высшими спинами конформых симметрии в о = 2 и 3, являясь с одной стороны более простыми аналогами етырехмерной теории, представляет также и самостоятельный интерес Точки Зрения двумерной конформной теории поля, теории нтегрйруемых систем и топологической теории поля.

эли и задачи исследования. Цель работы заключается в построении и ^следовании кенформш-йнйарианткой калибровочной теории высших Шюв в Четырехмерном прострайствз-времени в кубическом эйблияении по взаимодействии, а также ее аналогов в низших 1змерностях( 13=2,3).

ДЛя достижений поставленной цели потребовалось решить ведущие задачй:

1) Построить бесконечномерные конформные супералгебры высших 1йнов, обобщающие конечномерные конформные супералгебры ((1, г 114) на случай всех высших спинов;

2} ввести калибровочные поля высших спинов, соответствущие нформным алгебрам высших спинов, описать необходимые наборы помогательных полей и вычислить кривизны калибровочной алгебры;

3) разработать геометрическую формулировку свободной нформНо-инварпанткоЙ динамики калибровочных полей высших

спинов в терминах линеаризованных кривизн (построить действие для физических полей высших спинов и связи для исключения вспомогательных полей);

4) построить калибровочно-лнвариантное действие, описывающее: конформно-инвариантное кубическое взаимодействие- шлей, высших

СПИНОВ;

5) построить бесконечно-мернуо конформны» супералгебру высших спинов в трех измерениях и действие Черна-Саймона, описывающее конформную теории полей высших спинов в г+1 измерениях;

6) построить обобщения с высшими спинами и нерасщепимые расширения алгебры Вирасоро.

1) В работе впервые построены новые бесконечномерные конформные супералгебры высших спинов, обобщающие конечномерные конформные супералгебры. Построена операторная реализация этих алгебр и с её помощью вычислены структурные константы, задающие закон композиции.

2) Впервые построена геометрическая формулировка свободной динамики конформных полей высших спинов, основанная на линеаризованных кривизнах конформной супералгебры высших спинов. Решена проблема исключения вспомогательных полей.

3) Впервые построено калибоовочно-инвариантное действие, описывающее кубическое взаимодействие в конформной теории высцм> спинов. Это- действие является обощением действия конформно* гравитации Вейля ¡7] на случай присутствия всех высших спинов. Это" нозыл результат показывает принципиальну» возможность посгроени.1 калибровочно-инвариантного взаимодействия полей высших спинов I

конформной гравитацией и дополняет результат Фрадкина и Васильева [5,6] о взаимодействия безмассовых полей высших спинов с анти-де ситтеровской гравитацией.

4) Впервые предложена конформная теория высших спинов в 2+1 измерениях с действием Черна-Саймонса, основанная на бесконечномерной конформной супералгебре высших спинов в трехмерном пространстве (аналогичная формулировка была также позже независимо предложена в работе [ 9]).

5) Предложено обобщение алгебры Вйраеоро со всеми высшими спинами. Дана его реализация дифференциальными операторами высших порядков и построено семейство в^-ковариантнйх конформных базисов (полученных также Независимо в работа [¡0)). Впервые найдена бесконечная последовательность нерасщепимых расширений алгебр Вйраеоро и суперконформной, операторами с отрицательными конформными размерностями, что существенно дополняет известные результаты о когомологиях алгебры Вйраеоро с нетривиальными коэффициентами.

Практическая ценность полученных результатов состоит в том, что они могут бьггь использованы для исследования высокоэнергетической фазы теории струн й калибровочной теории высших спинов. Кроме того, анализ представлений с высшими спинами конформной группы представляет самостоятельный интерес и может быть использован в других задачах теории представлений групп. Результаты об обобщениях с высшими спинами и когомологиях алгебры Вирасоро представляют интерес для теории интегрируемых систем (см. работу [11}) и двумерной конформной теории поля.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: Международный Семинар "Теоретико-Групповые Методы в Физике" (Москва, 1990), Международный Семинар по квантовой гравитации (Москва, 1990),, Международная конференция "Supermebrancs and Physics in 2+1 Dimensions" (ICTP, Trieste, Italy, 1989)., Международная конференция "General Relativity and Gravitation" (Napoli, Italy, 1990), а такке на семинарах ОТФ ФИАН СССР, International Centre for Theoretical Physics, Italy, MIT (USA), Harvard University (USA) И др.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в п печатных работах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитированной литературы из 175 наименований- Общий объем диссертации-127 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Ео введении дан краткий исторический обзор проблемы высших .-пинов в контексте общей проблемы объединения всех фундаментальна взаимодействий, включая гравитацию, на квантовом уровне. На основе, этого обзора обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы основные цели и задачи, а также кратко изложено содержание работы по главам.

В первой главе строятся бесконечномерные супералгебры Ли ( конформные супералгебры высших спинов), обобщающие конечномерные конформные супералгебры SU(2,2|N) в D=3 + l и osp( N|4;R) в В-г+1 на случай присутствия дополнительных генераторов симметрии со всеми высшими спинами. Предлагаемая конструкция основана на методе осцилляторных реализаций и формализме вейлевских символов операторов [ 1 г ], [13|. В §1.1 обсуждаются истоки метода операторных реализаций и его применения в теории представлений конечномерных супералгебр Ли ( САЛ). В §1. г рассматриваются операторные реализации конформных САЛ osp(N|4) и su(2,2|N). Генераторы этих САЛ представляются билинейными комбинациями образующих, удовлетворяющих коммутационным соотношениям Гейзенберга и Клиффорда. Коммутационные соотношения конформных САЛ вычисляются как (анти)коммутаторы полиномов по образующим. Сами образующие могут быть ■ интерпретированы как супертвисторы. Так генераторы обычной конформной группы su( 2,2) s 80(4,2) реализуются как билинейные комбинации

Ыт = - \ а A- = ?ct = Я W Kat ~ Я аааИ 11 »

твисторных образующих

= 25», [a4(a*J = 2¿£ (2)

(ae)t = а", (а $ = а4, (а/ = ав, (aV = а" (3)

(Здесь и далее о, /J, 7 = ], 2 и ¿, /?, 7 = 1,2 - двухкомпонентные спинорные индексы. По всем нижним {или верхним) индексам, обозначенным одинаковыми буквами, подразумевается симметризация, и сокращенное обозначение а(п> обозначает и симметризованных индексов. Так первое сокращенное выражение в (1) в обычных обозначениях имеет вид М„ „ = -1-(а,а + а„а у. По верхним и нижним индексам обозначенным

а 1»2 Z Oj СГ2 «2 Ol г

одинаковыми буквами подразумевается суммирование, например,

Аа(г)8" =' 2 Х(Асю2 4 ^акие сокращенные мультиспинорные

02

обозначения, введенные в [5], [6], оказывается очень удобными при описании полей высших спинов.)

В §1.-з техника осцилляторных реализация применяется № постарения и исследования конформных САЯ высших спинов, содержамю конформные CAJ1 как максимальные конечномерные подалгебры, i разлагающихся по отношению к ним в сумму неприводимых представленш (НП) с высшими спинами. Включение высших спинов достигаете; рассмотрением полиномов выше второго порядка по твисторньи образующим. При этом оказывается удобным воспользоватьс формализмом вейлевских символов операторов, чем работать с самим некоммутирущими операторами. Метод операторных реализаций сочетании с формализмом символов позволяет провести полно исследование спектрального состава предложенных бесконечномернь алгебр, т. е. разложить их на НП конформной группы и ввест

неприводимый конформный базис. Затем в § 1.4 вводятся калибровочные поля конформной супергравитации (как поля Янга- Миллса для конформной группы) и строятся соответствующие кривизны. В § 1.5 эта процедура обобщается на случай конформных САЛ высших спинов, построении в, §1.3. Калибровочные шля, соответствующие генераторам, преобразующимся по НП с высшими спинами, задают наборы ролей (включая вспомогательные}, необходимые.для ковариантного описания динамики высших спинов. Соответствующие кривизны обобщают крир^з^ы конформной супергравитации, приведенные в § Г. 4. Интересно отм£ТЦТь> ч.то весь набор, состоящий из бесконечного числа полей, иозет быть записан как одно поле х|г), зависящее как от точки ррсртракства-времени х, так и от точки некоторого внутреннего т^исторного суперпространства г.

, Приведем явные выражения для калибровочных полей и кривизн, .соответствующих конформной алгебре высших спинов гис0^ 4), обобщающей зо(4,2) (для простоты ограничимся только целыми спщами) • Калибровочное поле и ( х|г) здесь имеет вид

V Л* 2Л, а(2 О, А г])1

N-1 8=1 С=-8 I, }

Здесь т!1М.смг4,Ага _ генерат0рЦ бесконечномерной алгебры Ьзс®(4) (полиномы высших порядков по твисторным образующим), а "/^¡»^г?) М.г}) ~ соответствующие калибровочные поля. Индекс N нумерует уровни (как в теории струн); индекс з нумерует представления (з, в, о) конформной группы 5и( 2,2) с высшими спинами, живущие на уровне N5 с - конформный вес (определяемый согласно

формуле гD, Tcj = сТ0}; ( A j) -лорекцева сигнатура (число непунктирных и пунктирных спиюрных индексов). Первый уровень N=1 соответствует конформной гравитации <s=l - присоединенное представление su(2,2): ~ ^ - тетрада, и

£ ' - антисамодуальная и самодуальная части лоренцевой связности, Ju1 '1 ' ~ b - связность к дилатациям с генератором D, и J à* ' ~ ^¡t ~ связность к конформным бустам с генераторами ~ К . Кривизны, обобщающие известные выракения для конформной гравитации [ 8]. даются выражением

■ai N, S, С) . j IN, s, с) , ,

IN s с l j /

С1 ûÎ2tj7(2m),/?(2k)p(2p) f, a(2rj J(24) > (5)

где <5( n) =o(î) при îi/o ( n=0), r( n) =1(0) при нечётном n ( чётном n).. Суммирование в ( 5) подразумевается по всем внутренним индексам Nb Nj, si, а2, о, cî, /t, (г, ji, j2, m, r, t, p, q, k, a также мультиспинорным индексам ум р. Структурные константы {...}, описывающие взаимодействие различных спинов между собой, вычислены в работе и выражается через величины теории углового момента - 9) - символы, коэффициенты Клебша-Гордана, частные значения d-функций Вигнара.

В главе II исследуется конформно-инвариантная, динамика безмассовых полей с высшими спинами В § П. 1 рассматривается

стандартная формулировка в спин-тензорном формализме 6ej вспомогательных полей. Свободное конформно-инвариантное "pure spin действие для спина s [2] переписывается в вейлевской форме

AlsJ^-Us/d^^)^) (б,

введением обобщенных тензоров Вейля для высших спинов. В § и. г строится геометрическая калибровочно-инвариаятная формулировка в терминах линеаризованных кривизн R^ конформной С АЛ высших спинов.

R^ = dw + А,, А, = [ рЧ %/5лВ] , « = ^ ^ = <г^ (7)

( = (X, ни ог, - плоская Тетрада в спинорном представлении, где ¡ч - матрицы Паули, а I - единичная матрица), которые вычислены в 5 II. 2.1. В § II. 2.1 также строится конформный когомологический комплекс - последовательность пространств калибровочных полей с фиксированным конформным весом и естественным действием "дифференциала" и "дивергенции" - двух взаимно-сопряженных нильпстентных операторов Р и к, понижающих и повышающих конформный вес на единицу." В § II. 2.2 с помощью введенного в § II. 2.1 оператора к формулируются линеаризованные связи для исключения вспомогательных полей, обобщающие условие нулевого кручения е калибровочной формулировке гравитации (которое необходимо для выражения яоренцевой связности через тетраду). Эти связи записываются в компактной форме Ш1 = о, хотя в компонентах они достаточно громоздки. Далее в этом параграфе получено полное решение этих связей для кривизн R^. Все кривизны выражаются только

*

через обобщенные тензоры Вейля С и С и их производные Ес « ГС, которые в овою очередь с помощь» связей выраяаются только через физические поля высших спинов. В §11.2.3 строится инвариантное свободное действие типа r'ab/

S) = (N-f' »»arAN.S.OMZS! _

BgJ.f.oiAa^.MiÄi®,, (ö)

которое вместе со связями

/ia'=o (9)

полностью описывает динамику конформных полей высших спинов. Показано, ■ что эта геометрическая формулировка полностью эквивалента стандартной спин-тензорной формулировке, рассмотренной в § II. 1 (после исключения вспомогательных полей и перехода от двухкомпонентных мультиспиноров к спин-тензорам).

В главе Ш, после обсуждения в § III. I теорий высших спинов в 2+1 и 1+1 измерениях с действием Черна-Саймонса

А = jrtr( uAdai + jwAliAи) (10)

М3

и его размерно-редуцированным вариантом

А = fm jjAR) , ,(.1|1)

строится калибровачно-давариантное-кубическое взаимодействие ,в конформной теории высших спинов в з+i измерениях. В $ III. г

обсуждаются общие аспекты калибровочной инвариантности теорий с действием квадратичным по кривизне

А= /QABRAARB (12)

М4

В § III. 3 строится действие типа rar для кон<£ормной теории высших синов ( в случае только целых спинов)

А = ß у У Т У H)N^in+m+1e(n-m)

jij jLj /ш4

N=1 s=l c=-s n,m

»(п)ДгоУ

где e( n-rn) = i при n>m, о при n=m, и -1 при n<m, и доказывается его калибровочная инвариантность в кубическом порядке. Это действие обобщает действие для вейлевской гравитации С^ а на случай всех целых спинов. В §Ш. 4 кубическое действие строится для суперконформной теории высших спинов. Помимо членов типа R/R оно содержит также Янг-Миллсовский член типа RA*R для векторных полей, имеющихся в суперсимметричной теории. Калибровочная инвариантность действия доказывается в кубическом порядке с привлечением линеаризованных связей (т. н. "формализм порядка 1,5", известный в супергравитации). Основным качественным результатом этой главы является демонстрация принципиальной физической возможности построения калибровочно-инвариантного взаимодействия между (безмассовыми) конформными полями высших спинов и Вейлевской гравитацией. Этот результат дополняет результат работ [5], [6], показавших принципиальную возможность построения калибровочно-инвариантного взаимодействия безмассовых высших спинов с анти-де

ситтеровской гравитацией.

Глава IV посвящена обобщениям конформной симметрии в дву измерениях. После общего обсуждения в § IV. 1 алгебры Вирасоро Vii алгебры Ли бесконечномерной конформной группы, в § IV. пассматривагггся реализации расширений Vir с еысшими спинами (иноп называемые w^-алгебрами). Универсальным расширением Vir со всеи высшими спинами является алгебра дифференциальных операторов i окружности с s(( 2; к) - ковариантным базисом fs-i

(j) L« = у V (p+I)(o4O+I)(P+2])

" iL P=k (p-8)(P+s+l) k=0 1

'к+пГ, (14)

где ] - произвольный параметр. Эта алгебра может рассматриваться к; деформация скобок Пуассона

В § IV. 3 предложена оригинальная конструкция с вейлевски символами псевдодифференциальных операторов, приводящая к цело; семейству нерасщепимых расширений алгебры Вирасоро и Навье-Швар посредством операторов с "отрицательным спином".

В частности приведем выражение для расширения алгеб Вирасоро посредством операторов со спинами е=-5 ,-7,-9

-9

[ Ьп.Ьп] = (т-п)Ь„,в + са(п*-1)1)„,.„, + в(п,т)Р;$т 4 Дп,ш)Рп1т + т(п,т)Рп,т, |и,Р;Ч = (т+5п)Р^„ + Ь(п2-1)Р„-!т + " п(пМ)[2тЧ11п2-Ипт+16]Р;?а, (ЬпЛ7) = (т+-7п)Р;»я + 100п(пМ)Р;?п,

1Ь„,Р;9] = (т+Э^РЛ, (16!

1Р1,Р|'} = 0, [с,Ь„] = [с,РЛ = 0,8,8' = -5,-7,-9, где соответствующие коциклы дастся формулами

о(п,т) = пгп(п2-1)(тг-1)(ш—п),

/?(п,т) = а(п)т)(2тН2п2-7тп416], (17)

7(в,т) = о(сдп)[11ч+юМ)п1п(п2+т1)+19п2я12+42(пг+т2)-135пш+172|.

Заметим, что при » и(или) та равном или о, т.е. и(или) Ьт принадлежат малой конформной алгебре вЦ 2; К), все коциклы о, 0,7 обращаются в нуль. Эти результаты о когомологиях алгебры Вирасоро с нетривиальными коэффициентами обобщает центральное расширение Гельфанда-фукса алгебры Вирасоро.

В Заключении кратко сформулированы основные результаты диссертации и обсуддаются дальнейшие перспективы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

- Основные результаты, отражающие существо и научную новизну работы, заключается в следущем:

*) Построены бесконечномерные конформные супералгебры Ли в«е®их спинов в 31-1-мерном пространстве-времени, обобщающие конечномерные конформные супералгебры зи(г, 2 на случай всех высших спинов. С помощью метода операторных реализаций в формализме Вейлевских символов проведен подробный теоретико-групповой анализ этих супералгебр при N = о,1 {разложение на неприводимые представления конформней группы Зи(2,2)), и Полностью вычислены - структурные константы в конформном базиса.

2) Введены калибровочные поля и кривизны, соответствующие •конформной супералгебре высших спиноз. На основе теоретико-группового анализа описан набор вспомогательных полей необходимых для построения калибропочно-инв'ариантного взаимодействия.

3) Построена геометрическая формулировка свободной конформно-инвариантной динамики полей с высшими спинами, основанная на линеаризованных кривизнах конформной супералгебры высших спинов и введенном в работе конформном когомологическом комплексе.

4} Построено калибровочно-инвариантное действие, описывающее кубическое взаимодействие в суперконформной теории высших спинов. Оно обобщает действие конформной гравитации Вейля на случай всех высших спинов (а в суперсимметричном случае - действие конформной супергравитации).

5) Предложена конформная теория высших спинов в трехмерном пространстве-времени с действием Черна-Саймонса, основанная на конформной супералгебре высших спинов в г+1 измерениях, обобщающей озр( N14).

6) Предложено обобщение алгебры Вирасоро со всеми высшими спинами, которое может быть реализовано дифференциальными операторами всех степеней на окружности и допускает нетривиальное центральное расширение для всех спинов (коцикл Каца-Петерсона). Построен соответствующий квазипервичный конформный базис в алгебре дифференциальных операторов. •

7) Найдена бесконечная последовательность нерасщепимых расширений алгебр Вирасоро и Навье-Шзарца посредством операторов, преобразующихся по представлениям с отрицательным конформным весом. Все нетривиальные коциклы вычислены с помощью предложенной реализации в терминах Вейлевских символов псевдодифференциальных операторов.

ПУБЛИКАЦИЙ ПО МАТЕРИАЛАМ ДИССЕРТАЦИИ

1. Е. С. Фрадкин, В1. Я. Линецкий, Конформно-Инвариантные теории полей с высшими спинами, ДАН СССР т. 311 (1990) 83.

2. E.S.Fradkin, V.Ya.Linetsky, A Superconformal Theory of Massless Higher Spin Fields, Mod. Phys. Lett. Д4 (1989) 731-744.

3. E.S.Fradkia, V.YaX'metsky, Conforms.! Superalgebras of Higher Spins, Mod. Phys. Lett. M (1939) 2363-2375.

4. E.S>Fradkin, V.Ya.Linetsky, Cubic Interaction in Conformal Theory of Integer Highec—Spin Fields in Fout-Bimensional Space-Time, Phys. Lett. B231 (1989) 98—10S.

5. E.S.Fradkin, V.Ya.Linetsky, Higher Spin Symmetries in One and Two Dimensions (I), Mod. Phys. Lett. M (1989) 2535-2647.

6. E.S.Fradkin, V.Ya.Linetsky, Higher Spin Symmetries in One and Two Dimensions (II), Mod. Phys. Lett. ¿1 (1389) 2649-2665.

7. E.S.Fradkin, V.Ya.Linetsky, Superconformal Theory of Massless Higher Spin Fields, Ann. Phys. Щ (1990) 293-320.

8. E.S.Fradkin, V.Ya.Linetsky, Conformal Superalgebras of Higher Spins, Ann. Phys. 122 (1990) 252-292.

9. E.S.Fradkin, V.Ya.Linetsky, Higher Spin Symmetries in Lower Dimensions, in Proceedings of the Trieste Conference "Supermembranes and Physics in 2+1 Dimensions", World Scientific, 1990.

10. E.S.Fradkin, V.Ya.Linetsky, Infmite-Dimentional Generalizations of Finite-Dimensional Symmetries, J. Math. Phys. 32 (19Э1) 1218-1226.

. 11. E.S.Fradkin, V.Ya.Linetsky, Superconformal Higher-Spin Theory in the Cubic Approximation, Nucl. Phys. B35Q (1991) 274-324.

12. E.S.Fradkin, V.Ya.Linetsky, Threfe Phases of a Unified Theory: String Theory, Higher Spin Gauge Theory in'the Anti-<le Sitter Universe, Conformal Higher

Spin Theory in "General Relativity and Gravitational Physics", Proceedings of 9th ItaJiaa Conference, Capri, World Scientific, 1991. 13. E.S.Fr&dkin, V.Ya.Linetsky, Non-Splittable Extensions of the Virasoro and Superconformal Algebras via PseudodiffecentiaJ Operatois, Niod. Phfs. Lett. AO (1991) 2639-2648.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

P.van Nieuwenhuizen, Phys. Rep. 68 (1981) 189.

E.S.Fradkin, A.A.Tseytlin, Phys. Rep. Ш (1985) 233.

M. Грин, Дж. ИЬарц, Э. Виттен, Теория Суперструн, М., Мир, 1991. C.Aragone, S.Deser, Phys. Lett. Bg6 (1979) 161; S.Christencen, M.Duff, Nucl. Phys. B154 (1979) 301;

F.A.Berends, J.W. van Holten, P. van Nieuwenhuizen, 15. de Wit, J. Phys. A13 (1980) 1643;

C.Aragone, H. La Roche, Nuovo Cim. 72A (1982) 149.

E.S.Fradkin, M.A.Vasiliev, Phys. Lett. B189 (1987)89:Nucl.Phys.B291(1987)141. E.S.Fradkin, M.A.Vasiliev, Ann. Phys. (N.Y.) 177 (1987) 63; H.Weyl, Gravitation und Elekrizität, Sitz. Preuss. Akad. Wiss. (1918) 465. M.Kaku, P.K.Townsend, P. van Nieuwenhuizen, Phys. Rev. D17 (1978) 3173; S.Kerrara, M.Kaku, P.K.Townsend, P.van Nieuwenhuizen, Nucl. Phys. В129 (1977) 125.

C.N.Pope, P.K.Townsend, Phys. Lett. B221 (1989) 315. E.Bergshoeff, B. de Wit, M.A.Vasiliev, Phys. Lett. B256 (1991) 199. A.M.Semikhatov, Phys. Lett. В (1991).

<i>. А. Березин, Метод Вторичного Квантования, М., Наука, 1 909. M.A.Vasiliev, Fortschr. Phys. 35 (1987) 741.