Цепочки тоды и некоторые волчки в квантовом методе обратной задачи тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РГ6 од

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На вранах рукописи УДК S30.145.531

ЦЫГАНОВ

Андрей Владимирович

ПЕНОЧКИ ТОЛЫ И НЕКОТОРЫЕ ВОЛЧКИ В КВАНТОВОМ МЕТОДЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

(Специальность 01.01.03 - математически физика) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учеяой степени кандидата физико-математических паук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

1993

Работа выполнена за кафедре внчьслитедьной физики физического факультета Санкт-Петербургского Государственного Университета..

Научный руководитель:

доктор физико-математических яаук, профессор Й.В.КОМАР.ОВ

ОфЕдладьЕые оппоненты:

доктор фнзико-матемагкчсашх яаук А.Г.ИЗЕРГИНДЧ

кандитат фиаико-матеыатнческих наук В.О.ТАРАСОВ

Веду шал организация:

Объединенный Институт Ядерных Исследований, Дубна.

Защита состоится " " ^ мин. на заседании

1993 г. в ч.

специализированного совета

К.083.57.17 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском Государственной Университете по адресу: 199034, Санцт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Санкт-Петербургского Университета.

Автореферат разослан

1993 г.

п

Ученый секретарь специализированного совета

С.П.М АНИДА

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория интегрируемых по Лиувилл» свстем привлекает к себе в настоящее время большое внимание. Квантовый метод обратпой задачи (рассеянии) (КМОЗ), развивающийся с 1Э78 года, позволяет систематически описывать и изучать классические г квантовые интегрируемые сыстемы. В рамках КМОЗ найдены новые конечномерные интегрируемые системы и предъявлены их общие решения, построены частные решения многих вволгоционных нелинейных дифференциальных уравнений. До открытия метода обратной задачи исследования интегрируемых систем (волчки Лагранжа, Ковалевской, Горячеаа-Чаплыгнна, Кдебша, система Нейиана и т.д.) были основаны па использовании кскусствеппых при-ечоа, специфических для каждой задачи. В данной работе наш интерес направлен в осеовном на изучение квантовых аналогов известных классических интегрируемых систем. Алгебраические результаты для квантового случая справедливы и для классического аналога, поскольку, обе системы связаны квазэтслассическии пределом.

Будем исходить из основных понятий КМОЗ [1]. Широкий класс квантовых интегрируемых систем классифицируется представлениями (¿-операторами) квадратичных аигебр двух типов [1,2]. В диссертации предъявлены и изучены некоторые нопые прелставлевня этих алгебр в случае двумерного вспомогательного пространства и Л-матрицы XXX и XX 2 типов.

Для каждого представления одной из важнейших зала' язляется нахождение спектра коммутативных элементов квад ратичных • алгебр. Поскольку указанные коммутативные эле ыенты обычно интерпретируются как порождающие функпиз интегралов движения квантовых систем, рель, тем самым, идег. о нахождении спектра гамильтониана и коммутирующих с ви\ интегралов движения - одяой из важнейших: задач квантовой механики.

Наиболее популярным способом решения данной задач! о спектре, которому ХМОЗ обязан большинством своих ус-пс. .ов, является алгебраический анзац Бете и различные егс ыодафгкащш. Однако существует ряд представлений квадратичных алгебр, не обладающих младшим (старшим) векторов (локальным вакуумом), которые не могут быть решены посредством ©того анзаца. Все квантовые системы в диссертации за исключением дискретной димерной системы с самовзаимодействием, не обладают локальным вакуумом. Альтернативе® алгебраическому авзаду Бете является квантовое разделение переменных (функциональный анзац Бете), развитое Е.К.Скля-нлнык. Идея о того подхода состоит в том, чтобы найтв реализацию представления квадратичных алгебр в терминах операторов умножения и сдвига, действующих в пространстве симметрических функций. При атом требуется, чтобы производящая функция интегралов движения s этих переменных имела специальный вид, который позволяет факторизовать собственную функцию интегралов движения и отобразить исходную многомерную спектральную задачу в систему одномерных спектральных задач с общим спектром.

Сама по себе факторизация собственной функции ве означает решения исходной спектральной задачи, поскольку остается еще проблема численной процедуры для решения одномерных спектральных задач. В диссертации приведен ряд

Примеров, в которых предложена процедура численного решения одномерных спектральных уравнений.

Пенью работы является систематическое исследование вопроса с квантовом аналоге классического разделения переменных для интегрируемых систем и поиск оптимальных численных процедур решения спектральной задача для полного набора интегралов движения.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Предъявлены новые ¿-операторы для следующих явап товых систем, являющихся аналогами классических систем с одной и двумя степенями свободы: системы связанные с осциллятором, сингулярным осциллятором, ^-осциллятором и системами типа Каи&ляна-Передомова.

2. Рассматривается квантовая периодическая двухчастичная цепочка Тоды, для которой удается полностью ргпшть задачу о нахождении плектра, приведены результаты численного анализа.

3. Предъявлены представ л с лия квадратичных алгебр для специального случая системы Неймана и квантового волчка Козалезской-Горячева-Чаплыгина. Лдя специального случая системы Нейыала применена схема квантового разделения переменных.

4. Построены представления квадратичной алгебры, соя-' залпой с уравнениями отражения, для цепочек Тоды, отвечающих алгебрам Ли серии &п и для систем, обобщающих известные целочки Тоды. Предъявлен новый Ь-оператор для частного случая волчка Манакова на алгебре Ли о(4).

5. Рассмотрены кваатолые релятивистские цепочки Тоды. Для цепочек, отвечающих алгебрам Ли серил Л», яроаедека процедура квантового разделения переменных, которая развивает подобную процедуру для нерелятивистских цепочек. Л ля

дглочек Тоды. связанных со всеия другими классическими се-ршши алгебр Ли и их аффинными аналогами, предъявлены новые представления квадратичной алгебры, связанной с уравнениями отражения.

б. Предъявлена схема построения иатрид ыозодромии, р&жгааюгцая стандартную операцию коумкожания. Эта схема позволяет паи н рамказг квантового метода обратной задачи рассмотреть координаты Ягоби для цепочек Тоды, установить тесную связь специального случая системы Неймана с гиростатом Гсрятева-Чавлыгана и волчком Коаалеаской-Горя-чева-Чапдыгияа. Б рамках а той схемы построено новое представление для дискретной дииерпой системы с самовзаимо-де&ствием, которое позволяет применить общую схему функционального аазаца Бете для нахождения спектра интегралов движения.

Практическая дедкость. ИссдедоваквыЗ класс интегрируемых систем позволяет расширить набор моделей, применяемых для описания классических и квантовых физических систем.

Апробадия работы. Результаты диссертации излагались на семинарах кафедры "вычислительной физики физического факультета СНбГУ, на семинаре лаборатории математических проблем физики ПОМИ РАЕ, на четвертом и пятом Международных Работа совещаниях "Рассеяние, реакции, переходы в квантовых системах и методы симметрии" (1090 и 1991 гг., г. Обнинск, ФЭИ.)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на шесть параграфов, зак-дзочения и списка литературы. Общий объем диссертации-88 страниц. Библиография содержит наименований, рисунок ОДИ£.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко обсуждаются физические истоке ра-5огы, история вопроса а основные положения квантового несода обратной задачи; дала постановка задач, рассматривг,-;иых в диссертации, обсуждаются структура диссертация и 5сновные результаты.

В диссертации рассматриваются бесконечномерные ассоциативные квадратичные алгебры двух типов, которые з дальнейшем будем обозначать (1) и (2). Квадратичная алгебра типа (1) порождается генераторами Таз(и) (а,/} — и е О), образующими квадратную матрицу Т(и), и квадратичными соотношениями

Я(ц-»)Г(и)Г 00=Г(о)Г(и)Я(и-г), (1)

1 я

где Т (и) = Т(и) © I б. Т{п) = I ® Г(о), и Щи) - тензор

структурных констант, удовлетворяющий уравнению Янга-Бак-

стера [1]. Квадратичные алгебры типа (2) [2] порождаются

генераторами («,/? = к € С), образующими

квадратные матрицы <7±(и), и квадратичными соотношениями

R(u-v)ir.(u)R(u + v-n)U-(v) =

и_ (о)Л (и + в - ч'М- (и) Л(и - о),

1 1 (2) Я (-« + и) (и) Л (-и - о - и? (о) -

и{* (<>)Д (-«-»- 00 Ж-« + ").

где t* и t3 - матричные трапепонироваипя в первом и бто ром пространетвах^ соответственно. Уравнения (2) принято на зывать уравнениями отражения ¡2).

В диссертации мы ограпнчиваемся двумерным вспомога тельным пространством (D = 2), когда Т(и) (U±(u)) - матрица 2x2;

Г(и)=г(<? о ) («) е Mat(2,2) (3j

и Л-матрицаки двух типов, рациональной Я-магрицей (XXX-типа) и тригонометрической Я-мятрнцей (XXZ-типа):

(а (и) 0 0 0 \

О Ь(и) с (и) 0 \ , .

О с (и) Ъ(и) О I ' W

ООО а(и) /

для случал XXX-

e(u) = H-J, 6(и) = 1„ c(«)=J. для случая XX Z-

а (и) — einh(u 4-rj), t(u)~eiahu, с (и) = einhrf.

Первая глава включает в себя три параграфа, в которых рассматриваются квантовые аналоги классических интегрируемых систем с олюй и двумя степенями свободы.

В §1.1, который носит вспомогательный характер, рассматриваются известные и новые представления квадратичной алгебры типа (1), с простой функциональной зависимостью от спектрального параметра ы.

В §1.2 рассмотрена квантовая двухчастичная периодическая несочка Тоды и построен спектр гамильтониана на основе связи радиальных кулоиовских функций и собственных

функций атсй цепочки. Гачяльтониан двухчастичной периода- -ческой цепочки Тоды равен

И = + р?)+ 2ЬВ«ПЬ(9, -Й), (5)

где Pi - импульс и координата »-частицы [р; • 9> ] = , н Ь-константа связи. Эта система может быть описана с помощью матрицы монодромии Т(и) = (и) • Ьг (и), где

которая удовлетворяет квадратичный соотношениям (1) при >7 = —М. Разделенные уравнения в атом случае совпадают со стационарным уравнением Шредингера в координатном представления, которое получается после выделения движения центра масс в гамильтониане (5), и имеют вид:

ф"(г)+1В-21.соЛ»]0(г)=О, (7)

где Я-энергия относительного движения и, как обычно, ф € Ь3(Л). Гамильтониан имеет сплошной спектр при Ь < 0. и дискретный спектр при Ь > 0. Спектр оператора (5) простой. Собственные состояния при 6 < 0 нумеруются числом нулей собственной функции. Собственную функцию можно представить в виде

ф(х)=(шпЬ|)~,/Э (»апЬ^)1" «р[-МеЛ|] ][> (tar.ii ^У* .

к=0 4 '

(В)

{1/4 для четных решений а/4 для нечетных решений '

и .коэффициенты с* удовлетворяют трехчлесныи рекуррентным соотношениям;

«4 cjk+i + 0ь с> + c*~i = 0,

<*k = (ft + 1)(й + 2/t), = 0, (9)

Л = A-16\/b/i-2/i-A{2Jb + 4/i + iev^), к-0,1,.... Это разложение тесно связано с кудозовсыми сфероидальными функциями (КСФ) при специальных значениях параметров. Ллл вычисления спектра энергии с помощью ТРС (9) были использованы стандартные для КСФ алгоритмы. Проведено сравнение численных результатов с результатами других авторов.

В параграфе §1.3 рассматривается алгебра е(3) с генераторами

[Мл tMp] — А/7, [Ма, рр ] = -ieafiy ру, [р»,Р/»]=0, = 1,2,3

и фиксированными элементами Казимира

Р«Ра =<»'?= 1, РаМ„ =i = 0, (11)

На втой алгебре рассматривается частный случай системы Неймана, гамильтониан которого имеет гид.'

' ff-J^ + JliJ-^ + fiLjj^ + 1. (12)

¿-оператор, удовлетворяющий соотношению (1) имеет вид : («)>' где

Д (в) = Ь(р+ u + -fo.M* )С(и) — Ь(р— и + ,Af_ }, D (и) —- б1 cj fi где Af± = Mi ± iitf3, ^ ss pj ± tpj.

Кошлутпрующие переменные разделения определяются как корни квадратного уравнения С (у;) = 0, где

г г,л - £1±т /»л ^ +<гз _ / А В\ . .

и в1/-матрицы Паули. Разделение переменных проводится в полком соответствии с работой Б.К.Склянина о гиростате Горячева-Чаплыгина. Спектр гамильтониана можно вычислить в полной аналогии с вычислениями в теории сфероидальных функций и функций Мать е. В конце данного параграфа устанавливается тесная связь между системой Неймана и волчком Ковалевской - Горячева - Чаплыгина, предъявляется новый ¿-оператор для волчка Ковалевской-Горячева-Чаплыгина, гамильтониан которого имеет вид:

Е- ~(М13 + Д/|+2М,,)+С1Р|+с2я» + с»(Р? +Р$)

+ (15)

Рз

Заметим, чт" эта система интегрируема лишь при условии I = р„ Ма = 0. В частном случае с» = е4 - а — 0- это просто волчок Ковалевской, который интегрируем при любом значении I. В классической механике интегрируемость динамических уравнений Эйлера для гамильтониана (15) йыла установлена Чаплыгиным для специальных значений с* = с5 = 0 в 1903 году и в общем случае Горячевым в 1916 году. В »том параграфе, построив представление алгебры (2), мы предъявили квантовый аналог данной системы. Разделение переменных для данной системы неизвестно.

Во второй главе рассматриваются многочастичные системы: классическая и релятивистские цепочки Толы, связанные со всеми классическими бесконечными сериями алгебр Ля я их аффинными аналогами. Глава состоит из трех параграфов.

В §2.1 рассмотрены квантовые аналоги классических пеночек Толы, которые связаны с простыми комплексными алгебрами Ли и аффинными алгебрами всех бесконечных серий алгебр Ли. Предъявлены матрицы мопоцромии для некоторых интегрируемых обобщений непочек Тоды с гамильтонианами вида

N ^ N-1

Л + Yh «»(«Ж -fl; )

1=1 j=l

-fexpi-ft - ) + -r^r- + —£-

sinh'ft abih3(vi/2)

__2?__|__'il____.

eiah^çjv einh2(QAr/2)

+ expfov + ?.v+1 ) + -r^— + - (13)

** 2

dbh'i, ыoha(«/2)' где Pjt9j- канонические переменные; /3*, 74 = cosst. Предъявлено также представление квадратичной алгебры тина (2) для частного однопараметрического случая волчка Мана-кова на алгебре Ли îc(4) « «u(2)©«i(2), который фиксируется двумя квадратичными но сливам a Ht коммутирующими интегралами движения :

(17)

G = -з» - i» - а» (î? + £) + 2qî, t,.

Отметим, что собственные функции интегралов движения Я и G связаны с обобщенными полиномами Ламе.

В $2.2 рассмотрены квантовые аналоги классических релятивистски цепочек Тоды, которые впервые было введены Рюйсеварсом в 1986 году, ■ представляют собой религии« ст-саое обобщение галялеЭ-зяварнаытных песочен Тоды. Релятивистской цепочкой Тоды, связанной с алгебрами Ли серна

Ая, называется интегрируемая система из N частил с гамильтонианом м

Я = £(ехр^)[[1+схр(й+ -$>)]] , (18)

(«ФVj) [11 + «ад - ij-i Ш1 + ®Ф(й+1 -Qj) J' ^

>=i

при атом (9j, qj) - канонически сопряженные импульс и координата j - той частицы. При помощи процедуры разделения переменных задача о нахождении спектра коммутирующих интегралов движения для данных цепочек сведена к одномерным разделенным уравнениям вида

4=0 I1"'

= + «'»?) + i~Ni>{V) - in),

где /ц - собственные значения интегралов движения. Разделенные уравнения тина (19) встречаются, как модельные, в теории твердого тела. В частности, разделенное уравнение для двухчастичной релятивистской неночки Тоды, которое имеет вид:

(cosh р + Е )ф(х, р) ss einh хф(хщр)> (20)

известно как уравнение Харпера.

Далее в атом параграфе построены квантовые матрицы монодромнн для релятивистских цепочек Тоды, связанных со всеми классическими бесконечными сериями алгебр Ли и их аффинными аналогами. Квантовые матрицы монодромнн для таких систем удовлетворяю г, аналогично нерелятивистскому случаю, уравнениям отражения (2), с fi-матрицей XXZ типа (4).

В §2.3 предъявляется новая схема построения матриц монодромив, которую можно кратко описать следующим образом: Пусть Х(и)=^ qJ (и) удовлетворяет соотношениям

(1) с ii(u) = J + t]/u - матрицей XXX типа или с R-матрицей XXZ типа (4), действуя в пространстве W. Если в пространстве W существует влемеят К, такой, что

= [A",D] — О, [/Г, В] =ttBy [К,С] (21)

то для XXX модели матрица Г (и)

rw-L.Mlw-^Vi' 1){Лс "*/)• «

а для XXZ модели матрица Г (и)

где [р,«] = -it) и р(д) коммутируют со веема элементами матрицы L, что такве удовлетворяет соотношениям (1).

В рамках этой схемы достроены матрицы монодромни для следующих слстем: для цепочек Тоды в якобиевых ао-ордянатах (как обычных, так и релятивистских), гиростата Горячева-Чаплыгина, дамерзой дискретной системы с само.-взаимодействием,

В Заключении приводится итоги диссертационной работы.

Цитированная литература

1. Kuliah P.P., Sklyaiun Е.К. Integrable quaatum field theories. (Lecture Notes in Physics, v.151) ed.J.ffietarmta, C.Montonen (Berlin: Springer, 1982), p.61-110.

1. Kulish P.P.. Silyanin ШС. Jntegrahb quantum field theories. (Lecture Notes in РЬуиса, v.151) ed.J.ffiefcarinta, C.Mcntonen (Berlin: Springer, 1982). p.61-110.

2. Sklyanin E. K. Boumbiy conditions for integrable quantum eyatems. J. Phys. A.: Math.Gen,, 1988, v.21, n.10, p.2375-2389.

Основное содержание диссертации отражено в следующих публикациях:

1. Комаров И.В., Дыгглов А.В. Квантовая двухчастичная периодическая цепочка Тоды. Вестник ЛГУ, 1988, сер.4, вып.2, с.69-71.

2. Кузнецов В.В.. Пыгапов А.В. Бесконечные серии алгебр Ли и г типичные условия для интегрируемых систем. Зап.чаучн.сеияп. ЛОМИ, 1989, т.172, с.88-98.

3. Kuznetscv Y.B.. Tsipanov A.V. A special case of Neumann's system and the Kowalewski-Chaplygin-Goryachev top. J.Phys.A: Math.Gen., 1989. v.22, n.3, p.L73-L7S.

4. Tsiganov A.V. Nonstandard «»multiplication in quantum inverse scattering method. In: Symmetry Methods iu Physics. Proceedings of tho iburth Workshop., Obninsk, USSR, July 1990, p.82-89.

5. Kuzuetsov V.B.. Tsiganov A.V. Quantum relativistic Tbda lattice. In: Synimetry Methods in Physics, Proceedings of the Fifth Workshop., Obninsk. USSR, July 1991, p.215-217.

6. Kuzuetsov V.B., Tsiganov A.V. L-operator for q-oecillatoi. In: Symmetry Methods in Physics. Proceedings of the Fifth Workshop., Obninsk. USSR. July 1991. p.217-219.___

Подписано к печати 12Д-1993г. Формат 60x84 1/16

Печать офсетная. Тира» 100 экз. 1,0 печ.д. Заказ 632.

Бесплатно. Ротапринт ПИЯФ.