Скрытые симметрии интегрируемых систем классической и квантовой механики и теории поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Глава I. Введение

Глава П. Системы с одной степенью свободы

§ I. Движение в потенциале С^

§ 2. Движение в потенциале slv О*

§ 3. Движение в потенциале

§ 4. Движение в потенциале tffy).

§ 5. Движение в потенциале cfib) ф.

§ 6. Движение в потенциале

§ 7. Движение в потенциале ch> fy

Глава HI. Описание систем

§ I, Описание систем. Частные случаи

§ 2, Системы корней.

§ 3. Описание систем в терминах систем корней

§ 4» Результаты главы.

Глава 1У. Полная интегрируемость классических систем.

§ I. Некоторые разложения в простых алгебрах и группах.

§ 2. Исследование полной интегрируемости

§ 3. Решение функционального уравнения.

§ 4. Результаты главы.

Глава У. Явные решения уравнений классических систем

§ I, Системы типа I и У.

§ 2« Системы типа П и Ш.•.

§ 3. Системы с двумя типами частиц.••.

§ 4, Обобщенные непериодические цепочки Тоды.Ш

§ 5. Результаты главы

Глава У1. Квантовые системы.

§ I, Явные формулы для квантовых интегралов движения

§ 2. Квантовые интегралы движения. Общий случай

§ 3. Волновые функции. Общие формулы

§ 4, Системы типа I.

§ 5» Системы типа Ш.

§ 6, Системы типа У.

§ 7, Трехчастичная цепочка Тоды

§ 8. Результаты главы.

Глава УЛ. Двумеризованные цепочки Тоды с коммутирующими и антикоммутирующими полями

§ I. Описание систем.

§ 2. Некоторые сведения об аффинных алгебрах Ли.

§ 3, Представление нулевой кривизны.

§ 4. Законы сохранения.

§ 5. Спектр масс

§ 6. Вычисление классической -матрицы.

§ 7* Дополнительные замечания.

§ 8. Результаты главы.

За последние пятнадцать лет в теоретической и катвматичвс« кой физике значительно вырос интерес к точно решаемым системам. Этот интерес и связанные с ник успехи в большой степени обязаны новой концепции в теории интегрирования нелинейных систем, кото^ рую принято условно называть методом обратной задачи рассеяния (МОЗР). Популярность метода объясняется как широтой физических приложений, включающих такие области как гидродинамика, физика плазмы, теория твердого тела, теория поля, так и разнообразием и красотой математических структур, лежащих в основе метода.Появление МОЗР связывают с работой Гарднера, Грина, Крускала и Миуры {98J , посвященной интегрированию уравнения Кортевега^дв Фриза (К«дф). Важным этапом в развитии МОЗР стала работа Захарова и Фаддеева [183] , в которой была дана гамильтонова трактовка уравнения К-дФ, Понимание того, что "феномен К-дФ" не яв*» ляется исключением, но что подобный механизм работает в широком круге явлений, возникло после работы Захарова и Шабата [21] , в которой исследовалось нелинейное уравнение Шредингера. С тех пор началось бурное развитие этой новой области теоретической и ма* тематической физики, которое продолжается и в наши дни.Так как большая часть диссертации посвящена конечномерным системнм, то остановимся сначала на этом аспекте развития тео^ рии. До упомянутых событий было известно лишь небольшое число точно решаемых систем с двумя или больше степенями свободы.Заметим, что в пространстве трех измерений о классических и квантовых системах с реальным взаимодействием (кулояовским или ядер« ным) известно мало точных результатов. Можно надеяться, что знание точных решений в системах типа (1.2) позволит прояснить *' В квантовом случае Ьл=^-^ 'Ъ^{ , Я - 1 . - 6 некоторые качественные особенности в реалистических ситуациях. Системы, подобные исследуемым, могут служить основой для построения теории возмущений. Другие применения этих систем будут обсуждены ниже.Следует отметить, что исследование квантовых систем вида (I.I), (1.2) началось еще в середине 60-х годов до открытия МОЗР. Особенно популярными были системы с 8 -образным взаимодействием [8, 76, 120, 124, 166, I67J: Из этого списка отметим работу [120] , в которой для построения волновых функций был использован анзац Бете [74] . В работах Янга [166, 167] были исследованы уравнения, вытекающие из анзаца Бете* Эти уравнения (т.н. уравнения Янга-Бакстера) и анзац Бете играют важную роль в квантовании вполне интегрируемых моделей теории поля - в квантовом методе обратной задачи рассеяния. В этой области за последние годы достигнут значительный прогресс (см. обзоры [91, 158, I7IJ ), Возвращаясь к конечномерным квантовым системам, укажем работы Калоджеро [78, 79} , посвященные исследованию систем с взаимодействием вида Щ)^ C^^-i-of'C^^ (1.4) Для этих систем был вычислен спектр и получена информация о волновых функциях. Функции основного состояния и волновые функции для трехчастичной задачи были вычислены в явном виде.В I975-I976 г.г. для исследования конечномерных систем был применен теоретико-групповой подход [137, 138, 173] • В этих работах было установлено, что системы вида (1.2) являются частными случаями более широкого класса вполне интегрируемых систем, связанных с системами корней простых алгебр Ли.В этот класс, в частности, попадают системы вида (1»6), связанные с алгеброй Ли б^, • Эти обобщения рассматриваются в настоящей диссертации. Аналогичное обобщение цепочек Тоды было предложено в 1976 г. Богоявленским [75] • Несколько позже было установлено, что рассматриваемые системы, включая обобщенные цепочки Тоды, непосредственно связаны с движениями по геодезическим на некоторых однородных пространствах матриц [139, 140, 142] • Таким образом, скрытые симметрии систем, обеспечивающие их полную интегрируемость, нашли свое естественное объяснение. Исходная динамика вдоль геодезических имеет простой характер, а её усложнение и появление взаимодействия заданного вида происходит при проектировании в фазовое пространство изучаемых систем.В классическом случае, используя эту связь, удалось получить явные алгебраические формулы решений задачи Коши как для обобщенных систем Калоджеро-Сазерленда, так и для обобщенных цепочек Тоды.В квантовом случае такой подход позволил воспользоваться известными результатами из теории представлений простых групп, принадлежащими Гельфаялу, Хариш-Чандре, Березину, Гиядикину и Карпелевичу [4, 6, 7, 14, 15, 16, 106] и для обобщенных систем Калоджеро-Сазерленда дать описание спектра, матриц рассеяния и - 9 волновых функций [^ 48, 51, 53] • Аналогичные результаты для квантовых непериодических цепочек Тоды были получены Костантом [II4J и Свменовым-тяяШанским (см. раздел 12 в обзоре [144] ).Другим интересным примером является уравнение' БенжаминаОно [86-88] . Это уравнение длинных волн в двухслойной жидкости в пределе большой глубины. Оказалось, что полюса его рациональных решений эволюционируют также как частицы в потенциале (1.2) с функцией '^С<^/) вида (1.4). Кроме того это уравнение имеет периодические решения, которые параметризуются особенностями в комплексной плоскости. Динамика особенностей сводится к динамике частиц в системе Сазерленда (1.5). - 10 Наконец неинтегрируемая система - уравнение К-дФ с затуханием имеет также рациональные решения с особенностями в комплексной плоскости [84] . Простейшие преобразования сводят их эволюцию к эволюции в системе (1.4).Таким образом, для всех этих уравнений процедура построения описанных классов решений сводится к исследованию решений классических гамильтоновых систем. Для уравнения Бенжамина-Оно эта задача полностью решается на основе результатов §2 главы У. Последняя часть диссертации посвящена релятивистским двумерным моделям теории поля, включающим как бозонные так и фермионяые поля. Эти попадающие в рамки действия МОЗР модели канонически связаны с аффинными супералгебрами Ли (ACI). Их частными случаями являются исследованные ранее в многочисленных работах суперсимметричные обобщения уравнений Лиувилля и sfiГордоя [34, 35, 39, 92, 109, 161, 174, 175] .Отметим в связи с этим возросший в последние годы интерес в теории интегрируемых систем к суперсимметричным обобщениям известных двумерных теоретикополевых моделей. Кроме цитированных выше работ это в основном работы, посвященные суперсимметричным версиям различных киральяых теорий [43, 71, 133, 163] .Совершенно очевидно, что этот интерес явился реакцией на многочисленные работы, посвященные реалистическим моделям теории поля, использующим принцип суперсимметрии. Хорошо известно, что начиная с 1974 года предлагаются различные суперсимметричные расширения полей Янга-Миллса и модели супергравитации. Обратим внимание на следующий факт - обзор I98I года по супергравитации [134] содержит около 600 ссылок.В свою очередь эта активная деятельность стимулировала исследования по теории супергрупп и супералгебр Ли. В I976-I978 г.г. была дана сначала полная классификация простых супвралгебр - II Ли [ill, 132, 149] , аналогичная классификаоди Картана простых алгебр Ли , а затем классификация аффинных супералгебр Ли (АСЛ) [II2J . Она обобщала классификацию обычных аффинных алгебр Ли (ААЛ), известную еще с 1968 г. [26, 128] , Как было установлено в [119] (см, также [.127] ) эти алгебры канонически связаны с обобщенными двумеризовэнными цепочками Тоды. Поэтому естественно было рассмотреть системы, связанные о АСЛ, Такие системы строятся и изучаются в последней части диссертации,- Опираясь на свойства АСЛ для этих систем, явно указывается представление нулевой кривизны, вычисляются законы сохранения, а также удается получить ряд других результатов.Таким образом применение теоретико-групповых методов позволяет, во-первых, расширить класс интегрируемых систем и, во-вторых, воспользоваться при исследовании систем богатыми возможностями, которые предоставляют возникающие групповые структуры. Настоящая диссертация посвящена исследованию интегрируемых систем теоретико-групповыми методами.В заключении этого краткого исторического обзора укажем некоторые другие работы по теоретико-групповому подходу в теории интегрируемых систем.В 1978 г, Мищенко и Фоменко [176] обобщили на простые группы Ли доказательство Манакова [42]интвгрируемости эйлеровского YI -мерного волчка, В работе [59]Реймана, Семеяова-тяя-Шанского и Френкеля в теорию интегрируемых систем были впервые введены ААЛ. Этот подход получил развитие в последующих работах первых двух авторов [148] (см. также обзор [б0]), в которых были рассмотрены, в частности, квантовые системы и установлена связь с алгеброгеометрическим подходом. - 12 Важным этапом в развитии теоретико-группового подхода явились работы Костаята [И^. Адлера [б9] и Лебедева и Маяина [38] , в которых рассматривались цепочка Тоды и уравнение К-дФ, В этих работах фазовое пространство систем идвятифициро валось в орбитой коприсоединеяного представления некоторой группы. В работах [38] и [69]было доказано, что групповая скобка на орбите совпадает с известной скобкой для этих уравнений.Другая теоретико-групповая трактовка уравнения К-дФ была предложена в работе Березина и Переломова [9] , В последующих работах [177, 178] , в которых принимал участие и автор, эта конструкция была обобщена на другие классы уравнений, интегрируемые с помощью МОЗР, В диссертации этот подход не рассматривается.Обобщения уравнения К-дФ и модифицированного К-дФ, связанные с A M , построили Дрияфельд и Соколов [18] , Ими был изучен гамильтояов «^юрмализм с точки зрения теории ААЛ, обобщена процедура одевания Захарова-Шабата, выяснена связь с обобщенными двумеризованными цепочками Тоды. Из большого количества работ по интегрируемым киральным моделям , связанным с однородными пространствами групп Ли, укажем на одну из первых - работу Захарова и Михайлова, посвященную киральным поллм, связанным с классическими группами [22] • Эти же авторы рассмотрели возникающие в физике твердого тела спинорные модели, также связанные с классическими группами [168] .Наконец отметим недавнюю работу Форди и Кулиша [86j , в которой были построены теоретико-групповые обобщения нелинейного уравнения Шредингера, Этот список разумеется является неполным» Некоторые дополнительные ссылки будут даны в основном тексте диссертации, - 13 Перейдем к изложению её содержания.Вторая глава диссертации носит иллюстративный характер.В §1 строятся обобщения потенциала вида (1,2), связанные с классическими простыми группами и с диэдральяой группой. В §2 излагаются необходимые сведения о системах корней. На их основе в §3 вводится определение динамической системы, связанной с системой корней, приводится полная таблица изучаемых потенциалов, рассматривается структура конфигурационных пространств.В главе 1У доказывается полная интегрируемость классических систем, связанных с классическими системамл корней. Доказательство строится на основе представления Лакса с последующим решением функционального уравнения. Решения функционального уравнения описывают характер взаимодействия в рассматриваем-ых системах, Глава У посвящена вычислению явных решений классических уравнений движения. Эти формулы получаются т.н. методом проектирования. Для этого по начальным данным определяется точка в фазовом пространстве динамической системы с большим числом степеней свободы. В качестве такой системы берется геодезический поток на симметрическом пространстве подходящего ранга.Эволюция вдоль геодезических имеет простой характер. Проектирование в исходное пространство осуществляется с помощью алгебраических операций и дает выражение для координат в произвольный момент времени. Такого сорта формулы получаются для всех видов взаимодействий, включая обобщенные непериодические обобщенные цепочки Тоды и системы с двумя типами частиц. Исключение составляют потенциалы типа Ламе, для которого в случав траясляционяо инвариантного взаимодействия соответствующие формулы были получены Кричевером [31] , Им была также получена формулы для периодической цепочки Тоды [ЗО] , Ответ в обоих случаях выражается через тэта-функции и требует привлечения - 15 специальной алгебро-геометрической техники, играющей важную роль в теории интегрируемых систем (см. обзор [89] ).Квантовые системы изучаются в главе У1. В §1 вычисляются квантовые интегралы движения. Доказывается, что в некоторых случаях квантовые интегралы совпадают с классическими. В других случаях вычисляются квантовые поправки для интегралов невысоких порядков. Общий случай рассматривается в §2. Доказывается полная интегрируемость квантовых систем для всех систем корней.К сожалению, это доказательство, основанное на рассмотрении операторов Казимира на простых группах, справедливо только при фиксированных константах взаимодействия. Тем не менее отсюда следует полезное утверждение о полной интегрируемости классических систем, связанных со специальными системами корней.Представление Лакса для них неизвестно и поэтому отсутствует доказательство их интегрируемости на классическом уровне. В этом же параграфе изучаются общие свойства интегралов движения.В последующих параграфах изучаются волновые функции, спектр и матрицы рассеяния. Вывод формул основан на связи между квантовыми гамильтонианами и операторами Лапласа-Бельтрами на симметрических пространствах, установленной в §2. Благодаря этому удается воспользоваться многочисленными результатами из теории представлений простых групп. Другая часть результатов получается непосредственными вы[числениями вне этой связи. Отметим, что вычисления нормировочных коэффициентов волновых функций сводится к вычислению интегралов Дайсона, связанных с распределением уровней сложных систем [90, 125] . В §6, вычисляя классическую и квантовую статистические суммы для систем с взаимодействием вида (1.4), мы получаем обобщение интеграла Галавотти-Маркиоро [99 ] на простыв алгебры Ли. Здесь же явно вычисляются волновые функции для систем с двумя степенями сво- 16 боды, связанных с диэдральной группой. В §7 вычисляются волновые функции для трехчастичной цепочки Тоды. В импульсном представлении они выражаются через произведения гамма-функций.Последняя глава посвящена релятивистским моделям, обобщающим за счет введения aHTmcoMJwyтирующих полей даумеризованные цепочки Тоды. Список этих систем содержит пять бесконечных серий (т.е. число скалярных суперполей в них произвольно), три системы с одним суперполем и одну систему с двумя суперполями.Этот список является полным в том смысле, что он отвечает полному списку аффинных супералгебр Ли с положительно определенной формой Киллинга.Из всего списка только уравнения СЛ и ССГ обладают суперсимметрией. В остальных системах суперсимметрия явно нарушается.Бё пришлось принести в жертву ради сохранения полной интегрируемости. Подчеркнем, что хотя системы не инвариантны относительно суперсдвигов, они обладают скрытой сшшетрией относительно супергруппы, по которой они построены, и, как следствие, имеют бесконечные серии законов сохранения.Содержание главы следующее. В §1 дается описание систем и их бозонных пределов, В §2 приводятся необходимые сведения из теории ЛСЛ частично заимствованные из [ИО] . Представление нулевой кривизны строится в §3. Следующий параграф посвящен вычислению законов сохранения* Процедура вычисления законов сохранения является инвариантной трактовкой аналогичной процедуры для обычной двумеризованной цепочки Тоды [1273 • Инвариантный смысл процедуры стал ясен после ознакомления с работой [18] Спектр масс возбуждений вблизи вакуума вычисляется в §5. Полный ответ дан не только для рассматриваемых систем, отвечающих АСЛ, но и для бозонных цепочек Тоды, связанных с A M . В §6 вычисляется классическая ^-матрица, с помощью которой удобно опи- 17 сывать Пуассонову структуру систем [62] • Кроме того знание классической 'Z^-катрицы проливает свет на соответствующие прокваятованные системы* Классическая ^ -матрица имеет тот же вид, что и для обычных двумернаованных цепочек Тоды (без фермионов) [116, 1793 • Наконец в §7 делаются два замечания, касающиеся построения решений методом задачи Римаяа и одномерного (механического) варианте рассматриваемых систем. В част-» ности, в этом параграфе указывается вид групп редукции для всех систем* В заключение сделаем замечание о нумерации формул. В каждой главе нумерация независимая. При ссылке на формулу указывается номер соответствующей главы.В диссертации представлены к защите следующие основные результаты.1. Введен класс конечномерных систем, связанных с системами корней простых алгебр Ли и симметрических пространств.2. Для значительной части систем доказана полная интегрируемость систем (как классических так и квантовых). Даны явные формулы для классических и квантовых интегралов движения.3. Для целого ряда классических систем получены явные алгебраические формулы решений уравнений движения. Доказано, что эволюция систем возникает как результат специального проектирования свободного движения на симметрических пространствах, 4. В квантовом случае доказана эквивалентность рассматриваемых гамильтонианов операторам Лапласа-Бельтрами на симметрических пространствах. Тем самым открывается возможность перенесения результатов из теории представлений простых групп на квантовые системы. Благодаря этому во многих случаях вычисляются спектр, матрицы рассеяния и волновые функции.18 5. Вычислены интегралы Галавотти-Маркиоро, отвечаюпдае простым группам Ли, 6. Вычислена волновая функция трехчастичной непериодической цепочки Тоды.7. Построен класс двумерных релятивистских систем типа Тоды» содержащих как бозонные так и фермионные компоненты.Для них дано представление нулевой кривизны, указана рекуррентная процедура построения законов сохранения и выяснен инвариантный смысл их порядков» Вычислена классическая -'L-матрица и группа редукции.8. Вычислен спектр масс возбуждений вблизи вакуума для всех двумеризоваяных цепочек Тоды.Более детальное изложение основных результатов содержится в конце глав 1У-ОТ. Публикация материалов диссертации. Основные материалы диссертации опубликованы в работах Т47-54, 77, 127, 135-142, 145, 170 ] . Результаты глав П-У1 диссертации вошли в обзоры [143, 144] • Результаты работы докладывались на меадународных конференциях по нелинейным и турбулентным явлениям в физике в г.Некоторые из квантовых систем с близких позиций были рассмотрены в недавней работе Гюрши [ Ю З ] .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подведем краткий итог. Применение теоретико-групповых методов позволило построить широкий класс конечномерных классических и квантовых вполне интегрируемых систем, обладающих скрытой симметрией, а также двумерных релятивистских систем типа Тоды с фермион-бозонным взаимодействием со скрытой суперсимметрией. Все эти системы являются обобщением хорошо известных систем, имеющих широкое применение в теоретической и математической физике.

Для изучения систем были вычислены законы сохранения и выяснен инвариантный смысл их порядков. Была установлена связь между динамикой изучаемых конечномерных систем и свободным движением на однородных пространствах групп Ли.

В случав конечномерных классических систем были получены простыв формулы для решений уравнений движения. В ряде случаев эти формулы описывают специальные классы решений некоторых нелинейных эволюционных уравнений.

Теоретико-групповой подход к квантовым системам позволил получить значительную информацию о спектре, характере рассеяния и волновых функциях. При этом удалось воспользоваться классическими результатами из теории представлений простых групп. В то же время, некоторые результаты, касающиеся квантовых систем, имеют и чисто математический интерес. К ним относится выражение радиальных частей операторов Лапласа через квантовые интегралы движения, вычисление обобщенных интегралов Галавотти-»Маркиоро, некоторые разложения для зональных сферических функций на симметрических пространствах ранга два.

Связь релятивистских систем с аффинными супералгебрами Ли позволила в явном виде написать представление нулевой кривизны этих систем, вычислить законы сохранения, спектр масс возбуждений вблизи вакуума, классическую "£» -матрицу.

1. Араки Ш., Корневые системы и инфинитеземельная классификация неприводимых симметрических пространств. - Математика, 1965, 10:1, с. 90-124.

2. Арнольд В»И. Математические методы классической механики. -М.: Наука, 1974, 431 с.

3. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. М. Наука, 1970, 304 с.

4. Березин Ф.А. Операторы Лапласа на полупростых группах Ли. -Труды ММО, 1957, т. 6, с. 371-463.

5. Березин Ф.А. Метод вторичного квантования. М.: Наука, 1965, 235 с.

6. Березин Ф.А., Гельфанд И.М. Несколько замечаний о теории сферических функций на симметрических пространствах. -Труды ММО, 1956, т. 5, с. 3II-35I.

7. Березин Ф.А., Карпелевич Ф.И. Зональные сферические функции и операторы Лапласа на некоторых симметрических пространствах. ДАН СССР, 1958, т. 118, с. 9-12.

8. Березин Ф.А., Похил Г.П., Финкельберг В.М. Уравнение Шре-дингера для системы одномерных частиц с точечным взаимодействием. Вестник МГУ, 1964, т. I, с. 21-28.

9. Березин Ф.А., Переломов A.M. Теоретико-групповая интерпретация уравнений типа Кортевега-де Фриза. Функц.анализ, 1980, т. 14, с. 50-51.

10. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли, гл. 1У-У1. М.: Мир, 1972, 331 с.

11. Веселов А.П. Рациональные решения уравнения КП и гамиль-тоновы системы. УМН, 1980, т. 35, с. 195-196.

12. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп . М.: Наука, 1965, 588 с.

13. Виноградов А.И., Тахтаджан А.А. Теория рядов Эйзенштейна для группы SLGbJW и её приложение к бинарной проблеме. -Записки ЛОМИ, 1978, т. 76, с. 5-52.

14. Гельфанд И.М. Сферические функции на римановых симметрических пространствах. ДАН СССР, 1950, т. 70, с. 5-8.

15. Гиядикия С.Г. Унитарные представления групп автоморфизмов симметрических пространств нулевой кривизны. фуяк.анал., 1967, т. I, с. 32-40.

16. Гиядикия С.Г., Карпелевич Ф.И. Мера Планшереля на римановых симметрических пространствах неположительной кривизны. -ДАН СССР, 1962, т. 3, с. 962-965.

17. Градштейя И.О., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., Физматгиз, 1962, 2000 с.

18. Дринфельд В.Г., Соколов В.В. Уравнения типа Кортевега-де Фриза и простыв алгебры Ли. ДАН СССР, 1981, т. 258, с. II-16.

19. Дубровин Б,А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979, 759 с.

20. Желобенко Д.П. Компактные группы Ли и их представления. -М.: Наука, 1970, с. 664.

21. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах. ЖЭТФ, 1971, т. 61, с. II8-I34.

22. Захаров В.Е., Михайлов А.В. Релятивистски-инвариантные двумерные модели теории поля, интегрируемые методом обратной задачи. ЖЭТФ, 1978, т. 74, с. 1953-1973.

23. Изергин А.Г., Корепин В.Е. Квантовый метод обратной задачи.

24. ЭЧАЯ, 1982, т. 13, вып. 2, с. 501-541.

25. Карпелевич Ф.И. Геометрия геодезических и собственные функции оператора Лапласа-Бельтрами. Труды МО, 1965, т. 14, с. 48-186.

26. Картан Э. Геометрия групп. Ли и симметрические простран-с тва. ГЛ.: ИЛ, 1949.

27. Кац В.Г. Простые неприводимые алгебры Ли конечного роста. -Изв. АН СССР, сер. матем., 1968, т. 32, с. 1323-1367.

28. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М.: Наука, 1972, с. 336.

29. Кириллова Р.Я. Явные решения для суперизованных цепочек Тоды. Записки ЛОМИ, 1983, т. 123, с. 9829. Кричевер И.М. О рациональных решениях уравнения Кадомцева

30. Петвиашвили и об интегрируемых системах частиц на прямой. -Функц. анализ,1978, т. 12, с. 76-78.

31. Кричевер И.М. Алгебраические кривые и нелинейные разностные уравнения. УМН, 1978, т. 33, с. 215-216.

32. Кричевер И.М. Эллиптические решения уравнения Кадомцева-Петвиашвили и интегрируемые системы частиц. Функц.анализ, 1980, т. 14, с. 45-54.

33. Кулиш П.П. Факторизация классической и квантовой $ -матриц и законы сохранения. ТМФ, 1976, т. 26, с. 198-205.

34. Кулиш П.П., Склянин Е.К. О решениях уравнения Янга-Бакс-тера. Записки ЛОМИ, 1980, т. 95, с. 129-160.

35. Кулиш П.П., Цыпляев С.А. Суперсимметричная модель (cos4>)^ и метод обратной задачи. ТМФ, 1981, т. 46, с. 172-186.

36. Кулиш П.П., Цыпляев С.А. Полная интегрируемость суперсимметричной модели(cos4>)z . Записки ЛОМИ, 1982, т. 120, с. 122-135.

37. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Физматгиз, 1958, с. 206.

38. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. М.: Наука, 1974, с. 752.

39. Лебедев Д.Р., Мания Ю.И. Гамильтонов оператор Гельфанда-Дикого и его коприсоединенное представление группы Воль-тврра. Функц.анализ, 1979, т. 13, с. 40-46.

40. Лвзнов А.Н., Лейтес Д.А., Савельев М.В. Супералгебра В(0,1) и явное интегрирование суперсимметричного уравнения Лиувилля, Письма ЖЭТФ, 1980, т. 32, с. 85-88.

41. Лейтес Д.А., Семеяов-тян~Я1анский М.А. Интегрируемые системы и супералгебры Ли. Записки ЛОМИ, 1983, т. 123, с. 9297.

42. Манаков С.В. Полная интегрируемость и стохастизация дискретных динамических систем. ЖЭТФ, 1974, т. 40, с. 269274.

43. Манаков С.В. Замечания об интегрировании уравнений Эйлера (г -мерного твердого тела. функц.анализ, 1976, т. 10,с. 93-94.

44. Михайлов А.В. Об интегрируемости суперсимметричных обобщений классических киральных моделей в двумерном пространстве-времени. Письма ЖЭТФ, 1978, т. 28, с. 554-558.

45. Мозер Ю. Некоторые аспекты интегрируемых гамильтоновых систем. УМН, 1981, т. 5, с. I09-I5I.

46. Молчанов З.Ф. Аналог формулы Планшереля для гиперболоидов. ДАН СССР, 1968, т. 183, вып. 2, с. 288-291.

47. Огиевецкий В.И., Мезинческу Л. Симметрия между бозонамии фермионами и суперполя. УФН, 1975, т. 117, с. 637-683.

48. Ольшанецкий М.А. Об асимптотическом поведении сферическихфункций. УМН, 1972, т. 27, с. 2II-2I2.

49. Ольшанецкий М.А. Волновые функции квантовых интегрируемых систем. ТМФ, 1983, т. 57, с. 148-153.

50. Ольшанецкий М.А., Переломов A.M. Геодезические потоки на симметрических пространствах нулевой кривизны и явные решения обобщенной модели Калоджеро для классического случая. Функц.анализ, 1976, т. 10, с. 86-87.

51. Ольшанецкий М.А., Переломов A.M. Явные решения некоторых вполне интегрируемых гамильтоновых систем. Функц.анализ, 1977, т. II, с. 75-76.

52. Ольшанецкий М.А., Переломов A.M. Квантовые системы и симметрические пространства. Препринт ИТЭФ-150, 1977, с.47.

53. Ольшанецкий М.А., Переломов A.M. Квантовые системы, связанные с системами корней,и радиальные части операторов Лапласа. Функц.анализ, 1978, т. 12, с. 60-68.

54. Ольшанецкий М.А., Переломов A.M. Квантовые системы и симметрические пространства неположительной кривизны. Препринт ИТЭФ-18, 1979, с. 44.

55. Ольшанецкий М.А., Переломов A.M. Цепочка Тоды как редуцированная система. ТМФ, 1980, т. 32, с. 3-18.

56. Переломов A.M. Алгебраический подход к решению одномерной модели \ъ взаимодействующих частиц. ТМФ, 1971, т. 6, с. 364-391.

57. Пидкуйко С.И., Стёпин A.M. Решение одного функционально-дифференциального уравнения. Функц.анализ, 1976, т. 10, с. 84-85.

58. Плахов А.Ю. О многочастичных системах на прямой с треугольным отображением рассеяния. УМН, 1982, т. 4, с. 173-174.

59. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.й. Интегралы иряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981, с. 798

60. Рейман А.Г., Семёнов-тян-Шанский М.А., Френкель И.Б. Аффинные алгебры Ли и вполне интегрируемые гамильтоновы системы. ДАН СССР, 1979, т. 247, с. 802-805.

61. Рейман А.Г. Интегрируемые гамильтоновы системы, связанные с градуированными алгебрами Ли. Записки ЛОМИ, 1980, т. 95, с. 3-54.

62. Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли. М.: Мир, 1969, с.375.

63. Склянин Е.К. Квантовый вариант метода обратной задачи рассеяния. Записки ЛОМИ, 1980, т. 95, с. 55-128.

64. Фоменко А.Г., Мищенко А.С. Уравнения Эйлера на конечномерных группах Ли. Изв. АН СССР, сер. матем., 1978, т. 42, с. 396-415.

65. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, 1964, 531 с.

66. Цыпляев С.А. Коммутационные соотношения матрицы перехода в классическом и квантовом методах обратной задачи (локальный случай). ТМФ, 1981, т. 48, с. 24-33.

67. Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Экспоненциальные системы типа I и матрицы Картана. Препринт доклада Президиуму Башкирского филиала АН СССР, Уфа, 1981, с. 1-22.

68. Adler М. Some finite-dimensional integrable systems.-Commun. Math.Phys., 1977, v. 55, p. 195-230.

69. Adler M., Moser J. On a class of polynomials connected with KdV equation. Сommun.Math.Phys., 1978, v. 61, p. 1-30.

70. Adler Ш. On a trace functional for formal pseudodifferential operators and symplectic structure of the Korteweg-de Vriesequation. Invent.Math., 1979, v. 50, p. 219-249.

71. Airault H., McKean H.P., Moser J. Rational and elliptic solutions of the Korteweg-de Vries equation and a related many-body problem, Comm.Pure Appl.Math., 1977» v. 30, p. 95-148.

72. D'Auria R.,Regge Т., Scinto S. Group theoretical construction of two-dimensional models with infinite sets of conservation laws. Nucl.Phys., 1980, v. B171, p. 167-188.

73. Berger M. Les espaces symetriques non compactes. Ann. Sci. £cole Norm. Sup., 1957, v. 74, p. 85-177.

74. Berezin P.A., Marinov M.S. Particle spin dynamics as the Grassmann variant of classical mechanics. Ann.Phys., 1977, v. 104, p. 336-362.

75. Bethe H.A. Zur Theorie der Metalle. I. Eigenwerte und Eigen-funktionen der linearen Atom Kettl. Zs. Phys., 1931, v. 71, p. 205-226.

76. Bogoyavlensky 0#i. On perturbations of the Toda lattice. -Commun.Math. Phys., 1976, v. 51, p. 201-209.

77. Brezin E. and Zinn-Justin J. Un probleme a N corps soluble. Compt.Rend.Acad.Sci. Paris, 1966, v. 263B, No.11, p. 670-673.

78. Bruschi M., Levi D., Olshanetsky M.A., Perelomov A.M. and Ragnesco 0. The quantum Toda lattice. Phys.Lett., 1982, v. 88A, p.7-12.

79. Calogero P. Solution of a three-body problem in one dimension. J.Math.Phys., 1969, v.10, p. 2191-2196.

80. Calogero P. Solution of the one-dimensional n-body problem with quadratic and/or inverse' quadratic pair potentials. -J.Ma'th.Phys., 1971, v. 12, p. 419-436.

81. Calogero F. and Marchioro C. Exact solution of a one-dimensional three-body scattering problem with two-body and/or three-body inverse-square potential. J.lath.Phys., 1974, v. 1 5, p. 1425-1430.

82. Calogero F., Marchioro C.t and Ragnisco 0. Exact solution of the classical and quantal one-dimensional many-body problems with the two-body potential a^O^fafthffax).- Lett.Huovo Cim., 1975, v. 13, p. 1383

83. Calogero P. Exactly solvable one-dimensional many-body problems. Lett. Huovo Cim., 1975, v. 13, p. 411.

84. Calogero F. On a functional equation connected with integrable many-body problems. Lett. Huovo Cim.; 1976, v. 16, p. 77-80.

85. Calogero F., Olshanetsky M.A., and Perelomov A.M. Rational solutions of the KdV equation with damping. Lett. Huovo Cim.; 1979, v. 24, p. 97-100.

86. Casalbuoni R. The classical mechanics for Bose-Fermi systems. Nuovo aim., 1976, v. 33A, p. 389-431.

87. Case K.M. The N-soliton solution of the Benjamin-Ono equation. Proc.Uat.Acad.Sci. USA, 1978, v. 75, p. 35623563.87• Case K.M. Meromorphic solutions of the Benjamin-Ono equation. Physica, 1979, v. A96, p. 173-182.

88. Chen H.H., bee Y.C., and Pereira N.R. Algebraic internal wave solitons and integrable Calogero-Moser-Sutherland XT-body problem. Phys.Fluids, 1979, v. 22, p. 187-188.

89. Drinfeld V.G., Krichever I.M., Manin Yu.I., and Hovikov S.P. Methods of Algebraic Geometry in Contemporary Mathematical Physics. Soviet Sciences Reviews, ser. C, Over Publ.Ass., Amsterdam, 1980.

90. Dyson P. Statistical theory of the energy levels of complex systems. -I, II, III. J.Math.Phys., 1962, v.3, p. 140-156, 157-165, 166-175.

91. Faddeev L.D. Quantum completely integrable models in field theory. In "Soviet Scientific Reviews", Math. Phys., 1981, v. C1, p. 107-160.

92. Perrara S., Girardello K, and Sciuto S. An infinite set of conservation laws of the supersymmetric Sine-Gordon theory. Phys.Lett., 1978, v. B76, p. 303-306.

93. Plaschka H. The Toda lattice. I. Phys.Rev., 1974, v. B9, p. 1924-1925.

94. Plaschka H. On the Toda lattice. II. Prog.Theor.Phys., 1974, v. 51, p. 703-716.

95. Plaschka H. Discrete and periodic illustrations of some aspect of the inverse method. In: Dynamical systems (ed. J.Moser). Lecture Notes in phys., 1975, v. 38, p. 441466.

96. Pordy A. and Kulish P. Nonlinear Schrodinger equations and simple Lie algebras. Preprint UMESI, 1982, p. 32.

97. Preund P.G.O. and Kaplansky I. Simple supersymmetries. -J.Math.Phys., 1976, v. 17, p. 228-231.

98. Gardner C., Greene J., Kruskal M., and Miura R. Method for solving the Korteweg-de Vries equation. Phys.Rev.Lett., 1967, v. 19, p. 1095-1097.

99. Gallavotti G. and Marchioro C. On the calculation of an integral. J. Math.Anal.Appl., 1973, v. 44, p. 661-675.

100. Gambardella P.J. Exact results in quantum many-body systems of interacting particles in many dimensions with SU(1,1) as the dynamical group. J.Math.Phys., 1975, v.16, p. 1172-1187.

101. Good I.J. Short proof of a conjecture of Dyson. J.Math. Phys., 1970, v. 11, p. 1884

102. Gunson G. Proof of a conjecture of Dyson in the statistical theory of energy levels. J.Idath.Phys., 1962, v.3, p. 752-753.

103. Giirsey P. Scattering and transfer in some group theoreticalApotentials. Lecture Uotes in Phys., 1983, v. 180, p. 106122.

104. Gutkin E. and Sutherland Б. Completely integrable systems and groups generated by reflections. Proc.Nat.Acad.Sci. USA, 1979, v. 76,- p. 6057-6059.

105. Gutzwiller M.C. The quantum mechanical Toda lattice. -Ann.Phys., 1980, v. 124, p. 347-381; 1981, v. 133," p.304-331.

106. Harish-Chandra. Spherical functions on a semi-simple Lie group I, II. Amer. J. Math., 1958, v. 80, p. 241-310, 553-613.

107. Hashizume M. Wittaker functions on semi-simple Lie groups. -Hiroshima Math. Journ., 1982, v.12:2, p. 259-293.

108. Henon M. Integrals of the Toda lattice. Phys.Rev., 1974, v. B9, p. 1921-1923.

109. Hruby J. On the supersymmetric Sine-Gordon model and a two-dimensional bag. Hucl.Phys., 1977, v. B131, p. 275-284.

110. Kac 7.G. Infinite-dimensional algebras, Dedekind's £ -function, classical Mobius function and the very strange formula. Adv.Math., 1978, v. 30, p. 85-136.

111. Kac V.G. Lie superalgebras. Adv.Math., 1977, v. 26, p. 896.

112. Kac M. and van Moerbeke P. On an explicitly soluble systemооп ( jt^. ( —of nonlinear differential equations related to certain Toda lattices. Adv. in Math., 1975, v. 16, p. 160-169.

113. Kazdan D., Kostant В., and Sternberg S. Hamiltonian group actions and dynamical systems of Calogero type. Comm. Pure Appi.Math., 1978, v. 31, p. 481-507.

114. Kostant B. Quantization and Representation theory of the Lie groups, Proceedings of the SRC/LHS Research Symposium on representation of Lie groups Oxford 1977. -London Math, Soc. Lectures Kotes series, 1979, v. 34.

115. Kostant B. The solution to a generalized Toda lattice and representation theory. Adv. in Math., 1980, v. 34, p. 195-338.

116. Kulish P.P. Quantum difference Nonlinear Schrodinger Equation. Lett.Math.Phys., 1981, v. 5, p. 191-198.

117. Lax P. Integrals of Nonlinear equations of evolution and solitary waves. Comm.Pure Appl. Math., 1968, v. 21, p. 467-490.

118. Leznov А.П. and Saveliev M.A. Spherically symmetric equations in gauge theories for an arbitrary semisimple compact Lie groups. Phys.Lett., 1978, v. 79B, p. 294296.

119. Leznov A.N. and Saveliev M.A. Representation of zero curvature for the system of nonlinear partial differentialequations X-^zz" and integrability. 1.tt.Math.Phys., 1979, v. 3, p. 489-494.

120. Lieb E.H. and Liniger W. Exact analysis of an interacting Bose gas. I. The general solution and the grand state. -Phys.Rev., 1963, v. 130, p. 1605-1616.

121. Macdonald I.G. Some conjectures for root systems.

122. Preprint , Queen Mary College^ 1981.

123. Marchioro C. Solution of a three-body scattering problem in one dimension. J. Math.Phys., 1970, v. 11, p. 21932196.

124. Marsden S.f and Weinstein A. Reduction of symplectic raanyfolds with symmetry.-Reports on Math.Phys., 1974, v.5, p. 121-130.

125. McGuire J.B. Study of exactly soluble one-dimensional U-body problems. J.Math.Phys., 1964, v. 5, No. 5, p.622-636.

126. Mehta M.L. and Dyson P.J. Statistical theory of the energy levels of complex systems. V. J.Math.Phys,, 1963, v. 4, p. 713-719.

127. Mikhailov A.V. The reduction problem and the inverse scattering method. Physica D, 1981, v. 3D, p. 73-117.

128. Mikhailov A.V./ Olshanetsky M.A., and Perelomov A.M. Two-dimensional generalized Toda lattice. Comm.Math.Phys., 1981, v. 79, p. 473-488.

129. Moody R.V. A new class of Lie algebras. J.Algebra, 1968, v. 10, p. 211-230.

130. Moser J. Three integrable Hamiltonian systems connected with isospectral deformations. Adv.Math., 1975, v. 16, p. 1-23.

131. Moser J. Finitely many mass points on the line under the influence of an exponential potential an integrable system. - Lecture Uotes in Physics, 1976, v. 38, p. 97-101.

132. Muriel A. One-dimensional gravitational gas. Phys.Rev., 1977,- v. A15, p. 341-344.

133. Nahm W., Rittenberg V., and Schunert M. The classificationof graded Lie algebras. Phys.Lett., 1976, v. B61, p.383-385.

134. Toda models. Physica D, 1981, v. 3D, p. 118-128.

135. Olshanetsky M.A. Supersymmetric two-dimensional Toda lattice. Comm.Math.Phys., 1982, v. 88, p. 63-76.

136. Olshanetsky M.A. and Perelomov A.M. Completely integrable classical systems connected with semisimple Lie algebras I.- Preprint ITEP-103, 1975.

137. Olshanetsky M.A. and Perelomov A.M. Completely integrable Hamiltonian systems connected with semisimple Lie algebras.- Invent.Math., 1976, v. 37, p. 93

138. Olshanetsky M.A. and Perelomov A.M. Explicit solution of the Calogero model in the classical case and the geodesic flows of zero curvature. Lett. Uuovo Cim., 1976, v. 16, P, 333-339.

139. Olshanetsky M.A. and Perelomov A.M. Explicit solutions of some completely integrable systems. Lett. Nuovo Cim., 1976,- v. 17, p. 97-101.

140. Olshanetsky M.A. and Perelomov A.M. Quantum completely integrable systems connected with semisimple Lie algebras. Lett.Math.Phys., 1977, v. 2, p. 7-13.

141. Olshanetsky M.A. and Perelomov A.M. Explicit solutions ofclassical generalized Toda models. Invent .Math'., 1979,' v. 54, p. 261-269.

142. Olshanetsky M.A. and Perelomov A.M. Classical integrable finite-dimensional systems related to Lie algebras. -Phys.Reports, 1981, v. 71, p. 314-400.

143. Perelomov A.M. Completely integrable classical systems connected with semisimple Lie algebras. III. Lett.Math., 1977, v. 1, p. 531-134.

144. Poschl G. and Teller E. Z. Physik, 1933, v. 83, p. 143.л

145. Reymann A.G. and Semenov-Tian-Shansky M.A. Reduction of Hamiltonian systems, affine Lie algebras and Lax equations. Invent.Math., 1979, v. 54, p. 81-100; 1981, v. 63, p. 423-432.

146. Rittenberg V. and Scheunert M. Elementary construction of graded Lie groups. J. Math.Phys., 1978, v. 19, p. 709713.

147. Sawada K. and Kotera T. Integrability and a solution for the one-dimensional U-particle system with inverselyquadratic pair potentials. J.Phys.Soc. Japan, 1975, v. 39, p. 1614-1618.

148. Scarf P.L. Hew Soluble Energy band problem. Phys.Rev., 1958, v. 112, p. 1137-1140.

149. Souriau J.M. Structure des systemes dynamiques, Dunod1. Paris, 1970.153» Sutherland Б. Further results for the many-body problem in one dimension, Phys.Rev.Lett•, 1968, v. 20, p. 98100.

150. Sutherland B. Exact results for a quantum many-body problem in one dimension. Phys.Rev., 1971, v. A4, p.2019-2021.

151. Sutherland B. Exact results for a quantum many-body problem in one dimension. II. Phys.Rev., 1972, v. A5, p. 1372-1376.

152. Sutherland B. Model for a multicomponent quantum system. -Phys.Rev., 1975, v. B12, No. 9, p.3795-3805.

153. Sutherland B. Nondiffractive scattering: scattering from kalidoscopes. J.Math.Phys., 1980, v. 21, p. 1770-1775.

154. Thacker H.B. Exact integrability in quantum field theory and statistical systems. Rev. of Mod. Phys., 1981, v.53,1. No. 2, p. 253-285.

155. Toda M. Vibration of a chain with nonlinear interaction. -J. Phys.Soc. Japan, 1967, v. 29, p. 431-436.

156. Toda M. Waves in nonlinear lattice. Prog.Theor.Phys.

157. Suppl., 1970,' v. 45, p. 174-200.

158. Di Yecchia P. and Ferrara S. Classical solutions in two-dimensional supersymmetric field theories. Nucl.Phys., 1977,' v. B130, p. 92-104.

159. Wilson K. Proof of a conjecture by Dyson. J.Math.Phys., 1962, v. 3, p. 1040-1043.

160. Witten E. Supersymmetric form of the nonlinear model in two dimensions. Phys.Rev., 1977, v. D16, p. 2991-2994.

161. Wolfes J, On the three-body linear problem with three-bodyinteraction. J.Math.Phys.,1 1974, v. 15, No. 9, p.1420-1424.

162. Wojciechowski S. Involutive set of integrals for completely integrable many body problems with pair interactions, -Lett. Nuovo Cim.^i 1977, v. 18, p. 103-107.

163. Yang C.U. Some exact results for the many-body problem in one dimension with repulsive delta-function interaction. -Phys.Rev.Lett., 1967,- v. 19, P- 1312-1315.

164. Yang C.1J. S matrix for the one-dimensional N body problem with repulsive or attractive S -function interaction. Phys.Rev.,- 1968, v. 168, p. 1920-1923.

165. Zakharov V.E. and Mikhailov A.V. On the integrability of classical space-time. Comm.Math.Phys., 1980, v. 74, p. 21-40.

166. Zamolodchikov A.B. and Zamolodchikov Al.B. Factorized S-matrices in two dimensions as the exact solutions of certain relativistic quantum field theory. Ann.Phys., 1979, v. 120, p. 253-291.

167. Олыиаяецкий M,A. Двумерные релятивистские интегрируемые системы с коммутирующими и антикоммутирующими полями. -ЯФ, 1984, т. 39, с. 1036-1046.

168. Kulish P.P.,. Sklyanin Е.К. Quantum Spectral transform method. Recent developments. Lect.Eotes in Physics, 1982, v. 151,' p. 61-119.

169. Jacobi C. Vorlesungen uber Dynamik. Berlin, 1884.

170. Olshanetsky M.A., Perelomov A.M. Completely integrable classical systems connected with semisimple Lie algebras. -Lett.Math.Phys., 1976, v. 1, p. 187-193.

171. Degasperis A., Olshanetsky М.А.,1 Perelomov A.M.

172. Group-theoretical approach to a class of Lax equations including those solvable by spectral transform. Nuovo Cim., 1980, v. 59A, p. 245-262.

173. Bruschi M., Olshanetsky M.A., Perelomov A.M., Ragnisko 0. The quantum Toda lattice. Phys.Lett., 1982, v. 88A,p. 7-12.

174. Белавин А.А., Дринфельд В.Г. Уравнения треугольников и простые алгебры Ли. Препринт ИТФ им. Ландау, 1982, т. 18, 80 с.

175. Wigner Е.Р. On a class of analytic functions from the quantum theory of collisions. Ann.Math., 1951, v. 53,! p. 36-67.

176. Wigner E.P. Characteristic vectors of bordered matrices with infinite dimensions. Ann.Math., 1955» v. 62,p. 548-564.

177. Захаров B,E., Шабат А.Б. Интегрирование нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. П функц.анализ, 1979, т. 13, с. 13-22.

178. Захаров В.Б., Фаддеев Л.Д. Уравнение Кортевега де Фриза -вполне интегрируемая гамильтонова система. Функц.анализ, 1971, т. 5, с. 280*287.

179. Богоявленский О.И., Новиков С.П. О связи гамильтоновых стационарных и нестационарных задач. Функц.анализ, 1976, т. 10, с. 9-13.