Интегрируемые структуры в теориях с нетривиальной S-матрицей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ИНСТ^Т}^ ТЕИСТИЧЕСКОЙ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ФИЗИКИ

4 ~ апг - •

На правах рукописи

МИХАИЛОВ

Андрей Юрьевич

ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СТРУКТУРЫ В ТЕОРИЯХ С НЕТРИВИАЛЬНОЙ Э-МАТРИЦЕЙ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Москва - 1998

УДК 530.1

Работа выполнена в Государственном Научном Центре РФ Институте теоретической и экспериментальной физики, г.Москва.

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук А.С.Горский

ГНЦ РФ ИТЭФ, г.Москва

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук А.Д.Миропов,

ФИРАН, г.Москва;

доктор физ.-мат. наук М.А.Ольшанецкий, ГНЦ РФ ИТЭФ, г.Москва;

Ведущая организация: Институт теоретической физики им.Л.Д.Лавдау РАН, ] Москва.

Защита состоится "22" сен-т.я£ря 1998г. в 11 часов на заседани диссертационного совета Д 034.001.01 Государственного Научного Центра РФ И] ститута теоретической и экспериментальной физики по адресу: 117259, Москв: Б.Черемушкинская 25, ИТЭФ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТЭФ. Автореферат разослан " ^ " _ 1998г.

Учепый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук

Ю.В.Терехов

L ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящепа изучению симметрии и интегрируемых структур в теориях юля, которые не являются точпо-решаемыми.

Известно,что в различных теориях струн могут возникать скрытые симметрии. <ак правило, паличие скрытых симметрии свидетельствует о наличии интегрируемого сектора в теории. Степенями свободы в интегрируемом секторе теории могут жазаться эффективные составные объекты. Поиск соответствующих симметрии и >ффективных степеней свободы представляет несомненный интерес.

В диссертации обнаружены дополнительные симметрии в двумерной гравитации i четырехмерных калибровочных териях. Полученные автором результаты позво-тяют получать дополнительные ограничения на структуру корреляционных функций i спектр стабильных состояний.

Цель работы

Основные цели диссертации:

• поиск VF-симметрии в статистической сумме двумерной гравитации;

• изучение дополнительной симметрии в гамильтониане Липатова, возникающем при описании КХД при высоких энергиях, и формулировка его обобщения;

• нахождение коумножения в ЛВС-О-алгебре, описывающей спиновые цепочки;

• нахождение бранной конфигурации, описывающей калибровочные бозоны в N — 2 суперсимметричЕЮЙ калибровочной теории и исследование ее стабильности.

Актуальность темы

Теория точно решаемых задач долгое время считалась "математической" дисци-1линой, имеющей весьма ограниченный набор применений в физике. Был известен юкоторый узкий класс точно решаемых моделей статистической механики и теории юля в малых размерностях. Однако к началу 90-х годов стало ясно, что самым важном достижением теории точно решаемых задач является на самом деле разработка гекоторого математического аппарата, важного для изучения ряда фундаментальна проблем квантовой теории поля и теории суперструн.

Одним из первых примеров применений точно решаемых задач в теории супер-;трун было замечательное наблюдение М.Дугласа, показавшего, что статсумма в N-латричпой модели связана с г-функцией N — 1-редуцированной иерархии Кадомцева-Петвиашвили (КП). Выяснилось, что теория классических интегрируемых систем 1меет важные приложения в изучении моделей супергравитации при D < 1 — это,

конечпо, "игрушечные" теории супергравитации, но в то время это был единствен ный хорошо развитый пепертурбативный метод в теории струн.

В 1993 году появился первый пример применения теории кваптовых точно решаемых задач в КХД. В работе Л.Н. Липатова рассматривалось интегральное уравне ние Балицкого, Фалина, Кураева и Липатова (БФКЛ), описывающее взаимодействие реджезованных глюонов. Было показало, что оно является уравнением эволюцш в интегрируемой системе, которая несколько позже была отождествлена с XXX магнетиком с нулевым спином.

Наконец, в цикле работ Зайберга и Виттена было построено низкоэнергетическо! эффективное действие в N = 2 суперсимметричном КХД. Оказалось, что решент для низкоэнергетического эффективного действия тесно связано с теорией интегри руемых уравнений. Подходящей интегрируемой системой в этом случае являете! система Хитчина. Появление интегрируемых структур в суперсимметричпых те ориях поля не случайно и имеет по-видимому глубокий физический смысл. Пред полагается, что существует некоторое соответствие между теорией струн и теорие! Янга-Миллса, при котором пространство модулей суперсимметричпой теории пол) переходит в геометрическое пространство модулей струнных солитонов. Хотя точная форма этого соответствия пока неизвестна, существуют красивые примеры струн ной интерпретации низкоэнергетического эффективного действия в теории поля. I этих примерах "вспомогательная" интегрируемая система имеет непосредственны! физический смысл.

В недавней работе Г.Корчемского было показано, что квазиклассический преде; в модели Л.Н.Липатова описывается теми же интегрируемыми системами, что I низкоэнергетическос эффективное действие Зайберга-Виттена. Физическая интер претация этого результата пока неизвестна.

Научная новизна

• В диссертации впервые изучены связи, налагаемые 1У-симметрией на стати стическую сумму двумерной гравитации.

• Построена алгебра, фиксирующая структуру корреляторов в тригонометриче ской версии спиновых цепочек.

• Изучена симметрия гамильтониана Липатова , предложенного для описани] КХД при высокой энергии.

• Впервые получены бранные конфигурации, описывающие калибровочные бо зоны в Л' = 2 суперсимметричных калибровочных теориях.

Практическая и научная ценность

Предложены методы изучения симметрий в теориях поля, которые в общем случае не являются точно-решаемыми. В ряде примеров найдены дополнительные условия, налагаемые спмметриями на физические характеристики, например, статистическую сумму и спектр стабильных состояний. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при изучении КХД в реджевском пределе, а также при изучении интегрируемых структур и бранных конфигураций в суперсимметричных калибровочных теориях.

Аппробация диссертации и публикации

Результаты, полученные А.Ю.Михайловым, докладывались на семинарах ИТЭФ, ФИРАН, ИТФ, Университетов Принстона, Стони Брук (США), Уппсалы (Швеция), на международных конференциях в г.Рахове (Украина), Алушта (Украина), п опу-Зликовапы в 4 научных работах.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, список литературы содержит 99 наименований. Общий объем - 88 страниц, в тексте приведены 10 ри-:унков.

2 СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Настоящая диссертация посвящена изучению некоторых вопросов теории интегри-эуемых моделей, важных в применениях к теории поля.

В первой части изложен метод вычисления корреляционных функций в точно решаемых моделях, предложенный А.Г.Изергиным и В.Е.Корепиным — так называемый "метод дуальпых полей". Он основан па систематическом применении математи-1есКого аппарата квантового метода обратной задачи, разработанного Л.Д.Фаддеевым I Е.К.Скляниным. Ключевым местом в вычислении корреляционной функции является детерминантная формула для так называемого "старшего коэффициента". Мы [ашли алгебраическую интерпретацию этого старшего коэффициента, как матрич-юго элемента некоторого оператора квантовой группы, действующего на квантовом инородном пространстве. Мы предлагаем метод вычисления старшего коэффици-нта, основанный на алгебраических свойствах квантовой группы. Вычисление кор->еляционных функций в квантовых интегрируемых системах важно не только для :зученпя физики конкретных точно решаемых моделей. В цикле работ А.Р.Итса, ^.Г.Изергина, В.Е.Корепина и Н.М.Боголюбова было показано, что корреляционные >ункцип в одномерном Боэе-газе в пределе сильной связи ("точка свободных ферми-нов") могут быть выражены через трансценденты Пенлеве — специальные функ-;ии, возникающие в квантовой гравитации и теории матричных моделей. Обобщение

этого результата па произвольную константу связи могло бы быть полезно в матричных моделях.

Во второй части дан краткий обзор теории классических интегрируемых уравнений, а также приведен полученный автором результат о связи тождеств Уорда для матричного интеграла с генераторами И'-алгебры.

Третья часть посвящена изучению интегрируемых структур, возникающих при вычислении сечений рассеяния в КХД при высоких энергиях. Напомним, что амплитуда рассеяпия адронов в изовекторном канале (Т = 1) может быть эффективно описана как обмен реджеоном, т.е. частицей, спин которой зависит от энергии:

ав(0

АА,В, = --Г д^в' (1)

б — тгг2

где Г — пекоторая эффективная вершина. Реджеоны можно рассматривать как эффективные степени свободы, возникающие при описании КХД при высоких энергиях. В изоскалярном канале (Т — 0) амплитуда рассеяния имеет особенности, определяемые обменом связанным состоянием двух рсяжеизованных глюонов — помер оном. Суммирование лестничных диаграмм реджеонной теории возмущений приводит к интегральному уравнению с ядром:

н = Ь6(Ы2) + Ч(Н2) + Л - У\2)яр" + -1- - УIV? - 4^(1) (2)

ЧР ЯР

— оператор II действует на функцию ф(х, у) от двух комплексных переменных, р—дх,д = 8Эффективная двумеризация уравнения Бете-Солпитера в реджевском пределе является важным свойством реджеонпой теории возмущений.

В работах Л.Н.Липатова, Г.П.Корчемского и Л.Д.Фаддеева было показано, что оператор (2) является гамильтонианом цепочки Гейзенберга с нулевым спином. Эта система может быть решена с помощью функционального Бете-апзаца. На самом деле, двухузельная цепочка (обен двумя реджеонами) может быть исследована элементарными методами, без использования Бетс-анзаца. Получающееся выражение для амплитуды нарушает границу Фруассара. Предполагается, что учет обмена тремя пли более реджеонами ("обобщенное логарифмическое приближение") должен привести к амплитуде, растущей не быстрее чем степень логарифма Точное решение многоузельного гамильтониана позволило бы доказать это утверждение.

В нашей работе мы исследовали некоторую дополнительную симметрию XXX-депочки с нулевым спином, возникающую в пределе большого числа узлов. Оказываете; что гамильтониан коммутирует с генераторами Янгиана (деформация алгебры токов 5/(2)), с точностью до некоторых граничных членов. В пределе большого числа реджеопов граничными членами можно пренебречь. Мы объясняем, как вывести ян-гианную симметрию из представления в импульсном пространстве (реджеонная тео-

рпя возмущений); при этом граничные члены оказываются связанными с инфракрасными расходпмостями. Мы также рассматриваем деформацию А'А'Л'-гамильтониана — XX Z-тамипьтопшп. Замкнутое выражение для А'А'Я-гамильтоииана пеизвестно, мы вычисляем его в первом нетривиальном порядке по параметру деформации. Поправка оказывается локальной в координатном пространстве, но пе инвариантной при сдвигах. К сожалению, нам неизвестна физическая интерпретация деформированного гамильтониана. Мы предполагаем, что деформация может быть связана с учетом обмена фермнонами.

Заключительная глава диссертации посвящена изучению Б ПС-состояний в четырехмерных N = 2 суперсимметричных теориях с калибровочной группой SU(2). Напомним, что состояние обладает свойством БПС, если оно нарушает половину су-аерспмметрип. Для таких состояний масса равна центральному заряду в алгебре :уперсимметрии, который для данного состояния выражается через различные сохраняющиеся заряды. Классификация возможных значения зарядов БПС-состояний 1вляется нетривиальной задачей. Спектр БПС-состояний сложным образом зави-:ит от вакуума (меняется скачком, когда значения параметров порядка пересекают текоторые поверхности в пространстве модулей). В целом ряде случаев эту зависимость можно угадать из общих соображений, используя информацию, следующую из »противоречивости низкоэнергетической теории.

В последнее время появились различные струнные интерпретации низкоэнергети-геского эффективного действия в четырехмерпых суперсимметричных теориях. Они тогда дают эффективные методы изучения спектра БПС-состояний. В нашей дис-:ертацип мы изучаем струнный подход к теориям с калибровочной группой SU(2). Ли стартуем с солитонпой конфигурации в теории суперструп типа IIВ, состо-:щей из 3-браны и набора 7-бран. Эта конфигурация сохраняет половину супер-имметрии. БПС-состояния соответствуют струнам (как фундаментальным, так и олитонным), протянутым между 3-браной и 7-бранами. Оказывается, что БПС-остояния наиболее общего вида отвечают так называемым "струнным сетям", т.е. опфигурациям, состоящим из струн с развилками. Для теории с калибровочной руиной SU(2) мы показываем, что пе все струнные конфигурации с развилками в ействительности являются БПС-состояниями, а только те, которые отвечают допу-тимым БПС-состояняям в четырехмерной теории.

I ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

• Обнаружена W-симметрия в статистической сумме двумерной гравитации.

• Найдено коумножение в Л Дб'Д-алгебрс, описывающей спиновые цепочки.

• Найдена дополнительная симметрия в гамильтониане Липатова, возникающем при описании КХД при высоких энергиях, и предложено его обобщение.

• Найдена бранная конфигурация, описывающая калибровочные бозоны в N = 2 суперсимметричной калибровочной теории, и исследовала ее стабильность.

Публикации

1. A.Mikhailov, "Ward Identities and W-Constraints in Generalized Kontsevich Model", Int. J. Mod. Phys. A9(l994) 873-890

2. A.Mikhailov, "Comultiplication in ADCD Algebra and Scalar Products of Bethe Wave Functions", Phys. Lett. B325(1994) 143

3. A.Mikhailov, "Symmetries of BFKL Equations", hep-th/9701174, Int. J. Mod. Phys. A, to appear

4. A.Mikhailov, N.Nekrasov, S.Sethi, "Geometric Realizations of BPS States in N = 2 Theories", hep-th/9803142

Подписано к печати 10.06.98 Формах 60x90 I/I6 Усл.-печ.л.0,5. Уч.-изд.л.0,3. Тираж 100 экз. Заказ 452.

Отпечатано в ИТЭФ, 1Г7259, Москва, Б.Черемушкинская, 25