Калибровочные симметрии, интегрируемые системы и изомонодромные деформации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Федеральное государственное бюджетное учреждение "Государственный Научный Центр Российской Федерации Институт Теоретической и Экспериментальной Физики"

Зотов Андрей Владимирович

КАЛИБРОВОЧНЫЕ СИММЕТРИИ, ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ И ИЗОМОНОДРОМНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ

Специальность: 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

На правах рукописи

10 Ш 2013

Москва 2013

005061778

005061778

УДК 530.145

Работа выполнена в ФГБУ «ГНЦ РФ -Институт Теоретической и Экспериментальной Физики», г. Москва

Научный консультант

доктор физ.-мат. наук, Ольшанецкий Михаил Аронович

Официальные оппоненты:

Белавин Александр Абрамович, доктор физ.-мат. наук,_

член-корреспондент РАН, ИТФ им. Л.Д. Ландау РАН,_

г. Черноголовка, главный научный сотрудник,_

Горский Александр Сергеевич, доктор физ.-мат. наук,_

ФГБУ «ГНЦ РФ ИТЭФ», г. Москва, заведующий_

лабораторией теоретической физики,

Семихатов Алексей Михайлович, доктор физ.-мат. наук, _

ФИАН имени П.Н- Лебедева, г. Москва, ведущий научный сотрудник

Ведущая организация: Математический институт

им. В.А. Стеклова РАН, г. Москва

Защита диссертации состоится 02 июля 2013 г. в 11 час, на заседании диссертационного совета Д.201.002.01 в конференц-зале ФГБУ «ГНЦ РФ ИТЭФ» по адресу: г. Москва ул. Большая Черемушкинская, д. 25.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТЭФ.

Автореферат разослан 31 мая 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук,

В.В. Васильев

Общая характеристика работы

В работе разработан общий подход к описанию широкого класса интегрируемых систем и связанных с ними задач. В основе подхода лежит объединение алгебро-геометрического описания классических интегрируемых систем, разработанного И.Кричевером и Н.Хитчиным, теоретико-группового подхода М.Олынанецкого и А.Переломова, а также общеалгебраических конструкций Е.Склянина, Л.Фаддеева и других. В результате такого объединения возникает универсальный метод исследования интегрируемых моделей, позволяющий получать нетривиальные результаты как для самих классических систем, так и для ряда их обобщений. Среди них - задача квантования, построение 1+1 интегрируемых полевых обобщений, уравнения типа Пенлеве-Шлезингера и связанные с исходными моделями более общие задачи.

Общая идеология состоит в том, что указанные нелинейные системы могут быть получены редукцией из некоторой исходно свободной теории поля, а все данные конкретной модели содержаться в алгебро-геометрической конструкции и типе групповой (калибровочной) симметрии, используемых в редукции.

Актуальность темы диссертации

В последние годы методы теории классических и квантовых интегрируемых систем испытали бурное развитие. Например, в физических приложениях они позволяют получить точные непертурбативные результаты в нетривиальных взаимодействующих теориях. Это, в том числе, наглядно проявилось в исследовании геометрической программы Ленглендса с помощью суперсимметричной 4-х мерной теории Янга-Миллса, в А(18-СРТ соответствии, исследованиях гипотезы АГТ и других задачах. Общие теоретико-полевые методы в теории интегрируемых систем, хотя и не являются уже новыми, особенно в последнее время подтвердили свою успешность. В ряде работ автора были установлены различные взаимосвязи между интегрируемыми моделями, получены новые интегрируемые системы и квадратичные алгебры, описывающие скрытые симметрии интегрируемых спиновых цепочек. Уравнения изомонодромных деформаций также возникают в различных физических задачах. Примерами могут служить уравнения для производящих функций корреляторов в двумерных топологических теориях, струнное уравнение в матричных моделях, уравнения для корреляторов в квантовых решеточных моделях и конформных теориях.

Их исследование позволяет осветить существенные свойства перечисленных теорий. Наряду с успехами теории интегрируемых систем следует отметить, что различные подходы развиваются почти независимо, что затрудняет как общее понимание теории, так и применимость тех или иных методов и конструкций. Одной из целей диссертации является попытка объединения ряда подходов, среди которых теоретико-групповой подход, алгебро-геометрическое описание, а также классический и квантовый методы обратной задачи рассеяния.

Цель работы

Основными целями работы являются: 1) исследование свойств модификации расслоений, ее действия на различные нелинейные уравнения, связанные с точно-решаемыми моделями, а также получение классификации интегрируемых систем по характеристическим классам; 2) использование описанной классификации для получения новых интегрируемых систем, квантовых II-матриц и квантовых квадратичных алгебр; 3) исследование монопольных решений уравнений Богомольного, связанных с характеристическими классами расслоений; 4) исследование классическо-квантового соответствия для уравнений Пенлеве.

Общей целью диссертации является применение теоретико-группового подхода и методов алгебраической геометрии к исследованию взаимосвязей между различными интегрируемыми моделями и уравнениями изомонодромных деформаций, а также описание новых методов классификации и конструкций для указанных нелинейных задач.

Основные задачи работы

1. Модификации расслоений и классификация

Ранее нами было определено понятие Симплектического Соответствия Гек-ке как соответствия интегрируемых систем, связанных процедурой модификации расслоений, изменяющей граничные условия линейной задачи [5]. Эта процедура, в простейшем случае описывающая изменение степени расслоения на единицу, в общем случае связывает системы с различными характеристическими классами. С точки зрения классической механики модификации (операторы Гекке) связывают многочастичные системы (типа модели Калоджеро и ее

спиновых обобщений с динамическими граничными условиями для линейной задачи) с многомерными интегрируемыми волчками (типа Эйлера-Арнольда с нединамическими граничными условиями). При этом получаются явные формулы замены переменных. В общем случае (для произвольного характеристического класса) получен и явно описан широкий класс интегрируемых систем, содержащих оба типа степеней свободы [8,12,13,16]. Представитель класса определяется структурной группой расслоения и выбором характеристического класса.

2. 1+1 полевые обобщения

Ранее нами была предложена конструкция, позволяющая получать 1+1 полевые обобщения классических интегрируемых 0+1 моделей [5]. Ее основная идея состояла в замене конечномерной структурной группы расслоения на центрально-расширенную группу петель. Были явно описаны такие модели, как полевое обобщение системы Калоджеро. Калибровочная эквивалентность между системами различных типов, описанная в пункте 1, переносится и на полевые обобщения. Так, например, двумеризация эллиптической системы Калоджеро для пары частиц оказывается калибровочно эквивалентна магнетику Ландау-Лифшица. В диссертации исследован более общий класс интегрируемых полевых систем, а именно 1+1 версии модели Годена [11]. В простейших случаях полученные уравнения описывают магнетик Ландау-Лифшица, модель главного кирального поля, а в общем - "многоцветовые" эллиптические обобщения модели главного кирального поля. Физически такие системы описывают взаимодействие произвольного числа одномерных магнетиков.

3. Характеристические классы и новые квантовые Я-матрицы

Исходная топологическая теория поля (до редукции) проста с точки зрения пуассоновой и соответствующей И-матричной структуры. В результате редукции могут появляться как линейные (например, для системы Калоджеро) так и квадратичные (для систем Годена) г-матричные структуры, порождающие алгебры Одесского-Фейгина [1,9]. Подобно классической механике, в квантовом случае, в зависимости от того, каков тип системы, Л-матрицы разделяются на нединамические (Белавина-Дринфельда, описывающие системы типа цепочек) и динамические (Фельдера, описывающие системы типа Русенарса). В случае произвольного характеристического класса для ЭЦАТ, С) расслоения была по-

лучена квантовая И-матрица (для нее доказано уравнение Янга-Вакстера), которая является более общей и включает в себя вышеуказанные в виде частных случаев [17].

4. Изомонодромные деформации, уравнения Ленлеве и динамические граничные условия для ХУЯ цепочки

С точки зрения общей конструкции переход от интегрируемых систем к уравнениям изомонодромных деформаций состоит в замене пространства модулей расслоений на пространство модулей плоских связностей. В результате такого перехода описан широкий класс уравнений типа системы Шлезингера [7]. Модификации расслоений по прежнему действуют калибровочными преобразованиями и устанавливают взаимосвязи между различными типами систем. Так, например, возникает неожиданно красивая интерпретация уравнения Пенлеве VI в эллиптической форме [2,3,6] как неавтономного гиростата, в котором модуль момента соответствует одной из констант уравнения Пенлеве, а вектор внешнего гиростатического момента - трем другим. При этом квантовый Ь-оператор удовлетворяет квантовому уравнению отражения, а соответствующая квадратичная алгебра обобщает алгебру Склянина [б]. Таким образом получены самые общие динамические граничные условия для конечной XYZ цепочки.

5. Монопольная интерпретация твиста Дринфельда

Процедура модификации может быть интерпретирована в виде действия операторов 'т Хоофта в суперсимметричной четырехмерной калибровочной теории Янга-Миллса, компактифицированной на риманову поверхность. В диссертации процедура модификации описана в терминах некоторых монопольных решений в трехмерной калибровочной теории [10]. В частности, найдено скалярное решение уравнения Богомольного в пространстве прямого произведения эллиптической кривой С на вещественную прямую с квазипериодическими граничными условиями. Ответ обобщает обычные эллиптические ряды Кронекера-Эйзенштейна и функциональное уравнение Римана. Таким образом, получена естественная деформация эллиптических функций на трехмерном пространстве. Полученное решение - шаг на пути построения монопольных решений уравнения Богомольного для произвольного ранга Би(М). Такие решения интересны, так как граничные условия задаются интегрируемыми си-

стемами, связанными преобразованиями Гекке (в квантовом случае твистом Дринфельда), отвечающих операторам 'т Хоофта в теории Янга-Миллса. Роль оператора Гекке выполняет как раз вставка монополя. Это происходит в следствие того, что такая вставка изменяет значение характеристического класса расслоения, определяющего фазовое пространство интегрируемой системы.

6. Квантование уравнений Пенлеве: соответствие классической и квантовой задач

В [14,15] описана связь между классическими и квантовыми уравнениями Пенлеве в терминах линейных 2, С)-значных задач. Классическое уравнение возникает как условие совместности (тождественное по спектральному параметру), а нестационарное уравнение Шредингера с тем же потенциалом (теперь уже функции от спектрального параметра) выводится на компоненту общего решения линейных задач. А именно, явно показано, что для каждого уравнения Пенлеве существует такой выбор калибровки и такой выбор переменных, что из матричных линейных задач на одну из компонент их общего решения, следует скалярное уравнение, имеющие вид нестационарного уравнения Шредингера с классическим потенциалом Пенлеве. Тем самым, исходная линейная задача приводит как к классической (условие совместности) так и квантовой (на компоненту решения) задачам.

Научная новизна и практическая ценность

Полученные в диссертационной работе результаты являются новыми. Все основные результаты описываются явными формулами, которые несомненно могут быть полезны при исследовании и использовании широкого класса интегрируемых систем, уравнений изомонодромных деформаций и ряда связанных с ними задач. Приведем краткий список явных результатов:

1) явное описание голоморфных расслоений на эллиптической кривой Ет по характеристическим классам #2(Е, -2(6)), определяющимися элементами центра структурной группы С: Н2(Т,,2(б)) ~ 2{С)\

2) явное построение системы взаимодействующих волчков, которая отвеча-

ет ЯЦА^, С)-расслоениям, где N — р1- составное число, а характеристический

класс равен схр(27Г^Т~*р);

3) явное построение систем типа Калоджеро для расслоений с произвольной простой комплексной структурной группой и произвольным характеристическим классом;

4) построение решения квантового уравнения Янга-Бакстера, включающего известные эллиптические решения А. Белавина и Дж. Фельдера как частные случаи;

5) явное построение решения уравнения Богомольного на прямом произведении эллиптической кривой на вещественную прямуюЕтхКи доказательство соответствующего аналога функционального уравнения Римана;

6) явное построение новых, классических и квантовых квадратичных алгебр по уравнению отражения;

7) явное описание широкого класса уравнений изомонодромных деформаций - эллиптических систем Шлезингера;

8) получение явной замены переменных, переводящей уравнений Пенле-ве VI в неавтономную версию уравнения движения гиростата Жуковского-Вольтерра;

9) явное описание Ь-А пар и уравнений движения для 1+1 полевых обобщений систем Годена;

10) построение явной замены переменных между эллиптической и рациональной линейными задачами для уравнений Пенлеве VI;

11) явная проверка квантового аналога соответствия Пенлеве-Калоджеро для всех уравнений Пенлеве;

12) получение решений функциональных уравнений для обратной задачи классическо-квантового соответствия для уравнений Пенлеве.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1) Построена классификация широкого класса эллиптических интегрируемых систем и более общих систем нелинейных уравнений в терминах групповых и алгебро-геометрических данных [12,13,16]. Все модели разбиваются на клас-

сы эквивалентности. Сингулярное калибровочное преобразование изменяет топологический заряд и связывает внутри каждого класса различные системы, среди которых есть модели типа IRF, вершинные модели, а также и новые, являющиеся "промежуточным звеном" между указанными двумя. На уровне классической механики калибровочная эквивалентность устанавливается между интегрируемыми системами взаимодействующих частиц типа Калоджеро и интегрируемыми волчками типа Эйлера-Арнольда, а смешанный случай соответствует системам взаимодействующих волчков [4]. Общее утверждение позволяет построить интегрируемую систему по расслоению со структурной простой комплексной группой Ли и по характеристическому классу, определяющимся элементом центра группы.

2) Получены новые квантовые динамические R-матрицы, которые описывают "промежуточное звено" между нединамической R-матрицей Белавина-Дринфельда (связанной с вершинными моделями) и динамической R-матрицей Фельдера (связанной с моделями типа IRF и Русенарса) [17]. Все описанные R-матрицы связаны сингулярным калибровочным преобразованием (твистом Дринфельда или оператором Гекке) аналогично IRF-Vertex соответствию.

3) Описана монопольная интерпретация указанного выше твиста Дринфельда в виде оператора 'т Хоофта в некоторой трехмерной калибровочной теории [10]. Это означает, что упомянутое сингулярное калибровочное преобразование порождает в соответствующей 3-х мерной теории монополь Дирака, причем различные интегрируемые системы являются для монополя граничными условиями. Попутно получена и нетривиальная деформация эллиптических функций на 3-х мерное пространство.

4) Явно описан широкий класс эллиптических интегрируемых систем (типа Годена) и соответствующих уравнений изомонодромных деформаций (типа Шлезингера) [7], а также связанных с ними квадратичных алгебр [1,9].

5) Получены наиболее общие квантовые динамические граничные условия для XYZ магнетика. Соответствующая квадратичная алгебра задана уравнением отражения и обобщает алгебру Склянина [3,6]. На уровне классической механики общее классическое граничное условие для XYZ магнетика описывается гиростатом Жуковского-Вольтерра, а его неавтономная версия эквивалентна (с явной заменой переменных) уравнению Пенлеве VI. Эквивалентность устанавливается тем же сингулярным калибровочным преобразованием, с использованием ранее полученной в [2] L-A пары для Пенлеве VI.

6) Построены 1+1 интегрируемые обобщения систем Годена [11]. Полученные системы включают в себя модель главного кирального поля и магнетики (типа Ландау-Лифшица или непрерывной модели XYZ) как простейшие случаи первого и второго потоков в полной иерархии.

7) Описана связь между эллиптическими и рациональными линейными задачами для уравнения Пенлеве VI. Показано, что полученные при этом L-A пары связаны модификациями расслоений [8].

8) Установлено соответствие между классической и квантовой задачей для уравнений Пенлеве [14,15]. Показано, что для каждого уравнения Пенлеве одно из уравнений в линейной задаче, записанное в подходящих переменных, имеет вид нестационарного уравнения Шредингера с соответствующим потенциалом по спектральному параметру. Тем самым, и классическое и квантовое уравнение содержатся в линейной задаче: классическое - как условие совместности, а квантовое - как уравнение на общую компоненту решения в подходящих переменных. Кроме того, решена и обратная задача, то есть показано, что при некоторых естественных условиях наличие скалярной линейной задачи в форме нестационарного уравнения Шредингера ограничивает возможный выбор потенциалов только потенциалами уравнений Пенлеве.

Апробация работы

Результаты представлялись соискателем на отечественных и международных конференциях и семинарах, в частности в ИТФ им. Ландау РАН, ОИ-ЯИ, ФИАН имени П.Н Лебедева, МИАН им. В.А. Стеклова, ГУ ВШЭ, Мах-Planck-Institut fur Mathematik (Bonn), Instituut-Lorentz for Theoretical Physics, Universiteit Leiden (Leiden), Eidgenussische Technische Hochschule (Zurich), Imperial College (London), Research Institute for Mathematical Sciences (Kyoto), SISSA (Trieste), а также неоднократно докладывались на семинарах ИТЭФ, всероссийских и международных конференциях.

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 17 работ. Из них 15 работ - в реферируемых журналах и 2 - в реферируемых периодических научных изда-

ниях.

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, 10 глав, заключения и двух приложений. Суммарный объем цитируемой литературы 250 источников. Общий объем составляет 184 страницы.

Содержание диссертации

Интегрируемые системы классической механики, при всем их богатстве, являются простейшим примером в ряде задач, описываемых уравнениями нулевой кривизны. С одной стороны эти задачи имеют разные постановки и приводят к совершенно различным нелинейным уравнениям. С другой - все они естественным образом описываются в рамках единого подхода, объединяющего различные методы в теории интегрируемых систем. Цель диссертации - описание такого подхода. Основой является метод гамильтоновой редукции. Его применение к пространствам с групповыми симметриями позволило ранее воспроизвести (и даже в некоторых случаях решить) ряд классических интегрируемых систем. Последние возникали в результате факторизации по групповым сим-метриям. Интересующими нас обобщениями являются бесконечномерные пространства, такие как топологические теории поля, заданные в расслоениями на кривых, и бесконечномерные группы симметрии - калибровочные группы этих теорий. Исходная теория поля является свободной, а в результате редукции по калибровочным симметриям ограничивается на "модули" расслоений, то есть на пространство параметров, которые играют роль динамических переменных. Существование классический интегрируемых систем на модулях расслоений в общем виде обнаружил Н. Хитчин. Поэтому все подобные конструкции часто называют системами Хитчина. Матричнозначные поля после редукции становятся операторами Лакса и удовлетворяют уравнениям нулевой кривизны. В зависимости от типа калибровочной симметрии и алгебро-гсометрических особенностей конструкции в итоге можно описать широкий класс задач. Приведем основной для наших целей набор уравнений нулевой кривизны:

1. дгЬ = [Ь, М),

2. дьЬ - кдхМ = [Ь, М],

3. дгЬ - кдгМ = [Ь, М],

(1)

где t - время, а Ь = Ь(г) и М = М(г) можно понимать как матричнозначные функции от динамических переменных и спектрального параметра г. Более точно Ь(г) £ Г(Е, Е) - сечение некоторого голоморфного расслоения Е над комплексной кривой Е со значениями в некоторой алгебре (или группе) Ли б (С). При этом г является локальной координатой на Е. Все уравнения являются тождествами по спектральному параметру, то есть он не входит в уравнения движения. Более точно, уравнения на динамические переменные возникают как условия равенства коэффициентов при разных базисных функциях от г (например, степеней гк) левых и правых частей. Первое уравнение в (1) называется уравнением Лакса. Оно описывает динамику интегрируемых систем классической механики таких, например, как многочастичные системы Калоджеро-Тоды-Русенарса и интегрируемые волчки Эйлера-Арнольда-Манакова. В этих случае полноценно работают алгебро-геометрические методы, разработанные И. Кричевером и позволяющие строить решения в терминах данных спектральной кривой <1е1;(А — Ь(г)) = 0. Второе уравнение в (1) описывает 1+1 интегрируемые теории поля (солитонные уравнения), для которых применим тот же набор алгебро-геометрических методов (для конечнозонных решений) и метод обратной задачи рассеяния. Динамическими переменными в этом случае являются поля от вещественной переменной х (например, на окружности х ё §*). Третий тип уравнений называется уравнениями изомонодромных деформаций. В этом случае время Ь явно входит в пару Лакса и уравнения движения. То есть эти уравнения описываю неавтономную механику, такую как уравнения Пен-леве или Шлезингера. Так, например, уравнение Пенлеве VI в эллиптической форме имеет тот же вид, что и соответствующая эллиптическая автономная система (ВС1 модель Калоджеро-Иноземцева). но с заменой времени на модулярный параметр эллиптической кривой т:

где р - функция Вейерштрасса от модулярного параметра т, ша - полупериоды эллиптической кривой Ет {(), а иа - четыре константы связи. Аналогично, системы Шлезингера являются неавтономными аналогами моделей Годена с заменой некоторого набора времен на координаты отмеченных точек. Примечательно, что Ь-М пары в уравнениях Лакса и изомонодромных деформациях могут буквально совпадать. Это наблюдение является одной из

формулировок классического соответствия Калоджеро-Пенлеве. Квантовая версия этого утверждения обсуждается в конце автореферата.

Уравнения нулевой кривизны (1) обладают естественной калибровочной инвариантностью. Например, уравнение Лакса инвариантно относительно преобразований

L-+gLg~\ М -»■ gMg~l - dtgg'1. (3)

Аналогично определяются калибровочные преобразования и для остальных уравнений с учетом того, что во втором L - компонента связности kdx + L, в третьем - кdz + L, что приводит к соответствующим "удлинениям" калибровочных преобразований.

Характеристические классы и интегрируемые системы. В каждом из приведенных в (1) случаях существует целый набор параметров - групповых и алгебро-геометрических данных, выбор которых фиксирует ту или иную нелинейную систему. Нас будут особенно интересовать специальные топологические инварианты (заряды) исходной теории поля. На языке расслоений они являются элементами из Я2(Е, Z(G)), где G - односвязная накрывающая простой комплексной группы Ли G - структурной группы расслоения Е, а Z(G) - ее центр. По этой причине их называют характеристическими классами, подобно классам Штифеля-Уитни для ортогональных групп. Характеристические классы являются препятствиями для поднятия присоединенного Са<г-расслоения до G-расслоения. Это следует из точных последовательностей:

1 -»■ Z{G)) G Gad -> 1, (4)

... НЦЪ, G) Яг(Е, Gad) -» Я2(Е, Z{G)) -> 0. К 1

Для устранения препятствия (из Я2(Е, Z(G))) можно рассмотреть конформные расширения групп. Подробная конструкция характеристических классов и соответствующих интегрируемых систем изложена в [12,13]. В действительности группа когомологий H2(T,,Z(G)) изоморфна Z(G). Поэтому характеристические классы описываются перечислением элементов центра G. Например, для группы SL(N, С) центром является циклическая группа состоящая из корней из единицы {1,С,С2, ...,CV-r}, где С = cxp(?f).

Явно описать интегрируемые системы можно в эллиптическом случае. Тогда кривая Е = Ег задается фундаментальным параллелограммом, реализованном в виде C/(Zt + Ъ). В этом случае известно лаксово описание для широкого круга систем. Все известные ранее примеры отвечали двум семействам,

соответствующим топологическим зарядам ц = 1 либо ц = Первое (ß = 1) состоит из многочастичных интегрируемых систем, таких как модель Калод-жеро и ее обобщений. Последняя описывает попарное взаимодействие частиц с потенциалом р-функция:

Hc* = ¡ÍpI + V2ZP(QÍ-H,T), (5)

к=1

а скобки Пуассона канонические: {p¡,<7j} = Второе семейство состоит из интегрируемых эллиптических волчков и их обобщений. Скобки Пуассона в этом случае линейные, а гамильтониан квадратичен по переменным фазового пространства Sai0l2:

= ! Е saiaisN_ai^a2p(z^,T), {5'a,s/3} = sa+/3cft,ß, (6)

ai ,«2=1

где а = (ai,a2) и Caß = 2ísin§{aiß2 - a^ßi). To есть физически эта система описывает вращение N-мерного твердого тела со специальным тензором

инерции. В простейшем случае это волчок Эйлера в трехмерном нросгран-з

стве: Н = | {"SajSß} = eaß-yS-y. Поясним происхождение различия

a=I

между фазовыми пространствами. Как обсуждалось выше, конфигурационное пространство редуцированной системы является пространством модулей расслоений 33utxg(£J, Е). Однако для правильного описания всего фазового пространства необходимо также введение дополнительных (спиновых) степеней свободы в отмеченной точке (полюсе L(z)). Это означает, что факторизация по действию группы происходит в данной точке кривой не полностью, а только по той ее части, которая сохраняет в данной точке флаг (это называется квазипараболической структурой) [5]. При этом оставшаяся в точке недореду-цированная часть является орбитой коприсоединенного действия G, которая и описывается переменными типа Sa. Размерность пространства модулей расслоений Шипзх,(дд1с)(-Е'> £<т) зависит от характеристического класса. Для ß = 1 она равна JV—1, то есть числу степеней свободы для системы Калоджеро в системе центра масс, а для ß = £ - нулю. Таким образом в последнем случае (волчка) остаются только "спиновые" степени свободы. При наличие же модулей для интегрируемости необходимо провести еще одну редукцию - по остаточной калибровочной симметрии, которая генерируется соответствующей подгруппой

Картана Я 6 &'Ь(АГ, С). При определенных условиях (орбиты наименьшей размерности) эта дополнительная редукция полностью замораживает спиновые степени свободы, оставляя только многочастичные. Таким способом описывается система Калоджеро (5). В случае общей орбиты описанная конструкция воспроизведет спиновое обобщение системы Калоджеро.

В общем случае = размерность пространства модулей равна

где g.c.d. - наибольший общий делитель. Если ранг является составным числом N—р1, возникает промежуточная интегрируемая система, которую можно интерпретировать как р взаимодействующих ЭЦ/, С)-волчков (или наоборот) [8]. В общем случае, когда б произвольная простая комплексная группа Ли, ответ для произвольного ц был получен в [12,13]. Основой являлось построение обобщенного базиса синус-алгебры, обобщающего обычный базис синус-алгебры в алгебре Ли gl(N,C), который задается структурными константами Са<<$ (6): [Та, Тр] — Са,0Та+р. Обобщенный базис строится по системе корней алгебры Ли и подалгебре Картана, отвечающей модулям расслоений с данным характеристическим классом. В отличие от обычного базиса в алгебре Ли (типа Шевал-ле), этот содержит дополнительный индекс к (градуировку), по которому выполняется дискретное преобразование Фурье [12].

Классические г-матрицы и уравнения Книжника-Замолодчикова-Вернара. Для интегрируемости по Лиувиллю в гамильтоновой системе необходимо предъявить нужное количество (равное количеству степеней свободы) независимых интегралов движения в инволюции относительно данной скобки Пуассона. С точки зрения уравнений Лакса эти интегралы возникают из разложения производящих функций Ьк(г) = ^ 2гпНгп^ по спектральному параметру. Сохранение этих величин очевидно следует из уравнений Лакса (1) п.1. Для доказательства инволютивности обычно используется классическая г-матрица. Уже само ее наличие гарантирует, что {ХхЬк{г),ЬхЬп{т)} — 0, а значит, {Н,щк, Н]1П} = 0. Существуют разные г-матричные структуры. Приведем наиболее известные:

(ИтФип= g■c.d.(^r,- 1,

(7)

{¿!(г),12(№)} = [Ь1(г),г12{г,ш)} - [¿2(2)^21(^,2)], {Ь1(г),Ь2(и))} = [Ь1{г)Ь2{и)),г12{г,и>)},

(8) (9)

-\Ьх{г)г+(г, ги)£2И + |12(ш)г+Х1(г).

(10)

Эти структуры, также как и сами представления Лакса, можно получить га-мильтоновой редукцией, стартуя с простой скобки Пуассона в исходной теории поля [1,9].

Интегрируемые системы, соответствующие нетривиальным характеристическим классам, содержат "многочастичную" динамику, когда пространство модулей нетривиально. Такие системы отвечают динамическим г-матрицам. В [12,13] была предложена общая формула для классических динамических г-матриц, отвечающих расслоениям с произвольным характеристическим классом:

^ = - 2с)ее*'С + £ Жга - 2с)^ЬкаС , (И)

где Ьа'с (или двойственные - генераторы обобщенного базиса синус-алгебры, г)(г) - стандартная нечетная тэта-функция, а суммы берутся по всей системе корней И алгебры Ли Ые{С) и по простым корням П для картанов-екой части соответственно. Кроме того ку = 6 где I - некоторый делитель порядка центра огс1(.2Г(<?)) (аналогично обсужденному выше случаю ЭЦЛГ.С), N = р1), Н - число Кокстера, ар" = л* - полусум-

ма положительных кокорней. Для этих г-матриц было доказано классическое динамическое уравнение Янга-Бакстера. Полученные классические г-матрицы должны (исходя из общих соображений) удовлетворять уравнениям Книжника-Замолодчикова-Бернара (КЗБ). И действительно, в [16] было доказано, что

к=0 ае11

к=0 аеП

Г [Уа.Уб]

,] = 0, а, Ъ = 1...П, ■] = 0, а = 1 ...п,

(13)

(14)

где /м определяются аналогично компонентам г-матрицы гас. Уравнения

Г 4ofl!) = о, (

называются уравнениями КЗБ. Тем самым описан большой класс таких уравнений, связанных с группами Ли и характеристическими классами.

Квантовые R-матрицы. Квантование r-матричных структур (8-10) является основой квантового метода обратной задачи рассеяния. В случае нединамических R-матриц, отвечающих системам типа волчков, определяющим соотношением является квантовое уравнение Янга-Бакстера:

R12{z - w)R13(z)R.23(w) = R23{w)R13{z)Ri2{z - tu) . (17)

Эллиптические решения были перечислены А. Белавиным (и В. Дринфель-дом в классическом случае). С помощью R-матрицы (решения (17)) строится квантование оператора Лакса и соответствующая квантовая алгебра:

Rn{z - w)L1{z)L2(w) = L2(w)Lï(z)R12(z - tu). (18)

В простейшем случае, для СЬг-значного оператора

L{z)=j:SaVha{z)aa, (19)

а=0

уравнение (18) дает алгебру Склянина:

г[57, So]+ = [S'a, Sp], [S7, So] = iK"KK"{Sa, ,

Ка = E1{h + LJa) - Яг(ft) - BiK) , Ei(x) = д\х)/д(х).

(20)

Динамическая R-матричная структура более сложная. Явные примеры в эллиптическом случае были получены Дж. Фельдером. Уравнение Янга-Бакстера имеет вид:

Ru{z - w, u)R13(z, u - M){2))R23{w, u) = ,

= R23{w, u - ftf>(1))R13(z, u)Rn(z - w, u - fti)(3)),

где u - модули, f) - соответствующие элементы подалгебры Картана и ft - постоянная Планка. В [17] была определена новая R-матрица, включающая оба

вышеописанных случая, подобно тому как система взаимодействующих волчков включала в себя оба типа степеней свободы. Запишем ее в смешанном базисе Щ = Ец ®Та€ ЄЦМ, С), где Ец Є СТ^, С), Та Є ОЦІ, С) и N = р I:

Д12(*, и) = £ £ т$(г, и)Щ ® + £ РІХ, ® (22)

аєГ!

и) £ г?-(г) = Щ + Ша + <5уЙ), Ру = Ф(1к, -1иц), иц -щ- щ,

где функции ф как и ранее в (12) определяются отношением тэта-функций. Как показано в [17], К-матрица (22) удовлетворяет квантовому динамическому уравнению Янга-Бакстера. Заметим, что частный случай (22) I = 1,р = N отвечает Б-матрице Фельдера, а / = Л^р = 1 - нединамической И-матрице Белавина-Дринфельда. Таким образом получена более общая эллиптическая К-матрица, отвечающая характеристическому классу /1 =

Модификации расслоений. Выше объяснялось, что тип интегрируемой системы зависит от характеристического класса расслоений, в которых задается исходная теория поля. Оказывается, системы, отличающиеся только топологическими зарядами, могут быть связаны специальным калибровочным преобразованием, вырожденным (или сингулярным) в некоторой точке кривой. Матрицы Лакса Ь и до и после редукции являются полями в присоединенном представлении (это означает, что Е является расслоением эндоморфизмов некоторого векторного V: Е = ЕпсІУ). Вследствие вырожденности калибровочного преобразования в сечения векторного расслоения V (в фундаментальном представлении) добавляется ноль, что меняет топологический заряд. Такая процедура и называется модификацией расслоения. Эта процедура может быть описана локально и глобально. С локальной точки зрения она описывается отображением Н между парой голоморфных векторных расслоений V и V ранга N над кривой £:

0-> кД\>->С|2о->0, (23)

то есть устанавливает изоморфизм всюду, кроме точки -г0 Є £, в которой это отображение имеет одномерное коядро. Локально расслоение тривиализуется, и в некотором базисе голоморфных сечений з = (йі, ^2,..., Дд.-) раскладывается

в прямую сумму N линейных расслоений С\ © £2 © ... ф £дг. Тогда модификация описывается отображением вида: Cj —)■ Cj 0 G(m,j) или в локальных координатах Sj —)■ (z — zo)~m'Sj.

Глобально модификация задается граничными условиями на L{z). Матрица Лакса определяется своими вычетами (в полюсах) и квазипериодическими условиями:

L{z + 1) = QL(z)Q~1, L(z + т) = AL(z)A~1, (24)

причем функции переклейки (Q и Л) должны удовлетворять условию совместности (коцикла):

QAQ-^A-1 = ¡1. (25)

Решение этого уравнения для произвольной простой комплексной группы G и характеристического класса ц G 2(G) проделано в [12,13]. Там же показано, что при некотором фиксированном выборе одного мультипликатора (Q), другой (Л) порождает симметрии диаграммы Дынкина расширенной системы корней алгебры Ли Lie(G). Модификация действует на L калибровочным преобразованием

L'(z,^)=EL(z,tx)E-1, 2 = S(z,/i,/0 (26)

и переводит одни граничные условия в другие. Например, для систем Калод-жеро и эллиптического волчка преобразование было явно построено в [5] в терминах тэта-функций с характеристиками:

Hy(z) = О

N N 2

(z — Nqj,Nr) х diag( (—1)' П Щк - qh г)"1). (27)

j<k]j,kjtl

Это позволяет получить и явную замену переменных = 51,, (р,, с/^).

Таким образом (в частности, для группы БЦіУ, С)) возникает N калиб-ровочно эквивалентных систем, отвечающих различным характеристическим классам ц = ехр(2я-г^), к = 0,..., Л1" — 1 и связанных модификациями. Эта конструкция была описана в [5] и названа симплектическим соответствием Гекке.

Группа петель и 1+1 полевые обобщения. Общая конструкция систем Хитчйна естественным образом переносится на случай, когда структурная группа расслоения является группой петель с центральным расширением

L(GL(N,C)). В этом случае уравнения Лакса (1) п. 1 переходят в уравнения нулевой кривизны (или уравнения Захарова-Шабата) (1) п. 2. Законов сохранения в этом случае бесконечно много. Поэтому говорят не только об одном уравнении, но и обо всей иерархии уравнений. Конструкция, описанная в [5] позволяет строить указанные (1+1) обобщения систем Хитчина по исходным (0+1) механическим системам. Таким образом был воспроизведен результат И. Кричевера для полевого обобщения модели Калоджеро, а также показано, что в sb случае данная система, описываемая гамильтонианом

Я = /(l - - (Зй - НМЪ) + ф^) , А = const

и скобкой Пуассона {р(х), q{y)} = 5(х - у) калибровочно эквивалентна модели магнетика Ландау-Лифшица - непрерывного предела XYZ спиновой цепочки:

at5=[5,5ra] + [5,p(5)], S G sl(2,C), trS2 = const. (28)

С точки зрения модификации расслоений указанная связь почти очевидна: преобразование (26) на уровне механических систем переходит в "удлиненное" L(z) -> E(z)L(z)=.~1(z) + kdxE(z)E~1(z) на уровне теорий поля, и соответствие "Калоджероволчок" переходит в соответствие на уровне 1+1 теорий поля.

В диссертации описан большой класс интегрируемых 1+1 систем. Эти системы получаются полевым обобщением из модели Годена в механике, где пара Лакса имеет вид:

L(z) = t^rc, Ma(z) = ^, (29)

с= 1

то есть каждой отмеченной точке za отвечает своя матрица Ма и, следовательно, свой поток

dtaL = [LtMa}. ' (30)

Эллиптическое обобщение выглядит следующим образом:

= (31)

а—1 а

Полевое обобщение данной модели было предложено в [11J. В 1+1 версии вычеты S" становятся функциями на окружности Sa(x) как и в уравнении (28).

Более того, уравнение Ландау-Лифшица является простейшим частным случаем, отвечающим алгебре Ли si2 и одной отмеченной точке п = 1. В полевом случае каждой отмеченной точке отвечает иерархия интегрируемых потоков. Первые потоки описываются следующими уравнениями:

{ dtaSa - kdxSa = - £[5», 0ac(S% ^ сфа (32)

[ ft.SMS'.fMS")]-

В случае двух отмеченных точек (п = 2) рациональный предел описывает уравнения главного кирального поля:

( dth - кдх10 + fr, Z0] = О,

{ dth - kdJi =0 1 ;

с lo = S1 + S2 и h = S1 — S2. Уравнения вторых потоков имеют вид:

f ÔtaSa - kdxt = p(s°)] + Е[тД фса{Б*)} - [FUSC), Sal l cïa (34)

{ dtaSb = [фаЬ(т]а), sb] + [Sb, FUS")},

где r/a = — [S1®, ^ + Фас(Зс). Эти уравнения описывают взаимодействие

а сфа

п одномерных магнетиков Ландау-Лифшица (или Гейзенберга в рациональном случае).

Монополи. У модификации существует примечательная монопольная интерпретация, предложенная в связи с исследованием геометрической программой Ленглендса и четырехмерной теории Янга-Миллса, компактифицированной на риманову поверхность. Рассмотрим трехмерную теорию поля на £т х R [10] (то есть к рассмотренной ранее конструкции добавляется еще одно вещественное измерение), заданную уравнениями Богомольного

F = *D<j>, (35)

где * - оператор Ходжа, F — (FZj,-, Fz,y, F^y) - кривизна трехмерной связности А = (Aj, Aï, Ау), (z,z) и y - координаты на кривой £т и прямой R, а ф - скалярное поле в присоединенном представлении алгебры Ли. Применение оператора *D к (35) приводит его к уравнению Лапласа

*0*0ф = М5(х-х°), х=(0,0,0). (36)

Как известно, решением этих уравнений (с особенностью \/\х - ) является монополь Дирака. Граничными условия для компоненты связности Аг (при выборе калибровки Аг — 0) на у = ±оо по вещественной прямой являются операторы Лакса интегрируемых систем с различными характеристическими классами. Явное вычисление решения в общем случае оказывается сложной задачей. В [10] был изучен скалярный случай и получено решение уравнений Богомольного в виде аналитического продолжения ряда, который обобщает обычный эллиптический ряд Кронекера-Эйзенштейна, а также показано, что полученное решение удовлетворяет обобщению функционального уравнения Римана.

Действительно, в и(1) случае трехмерный интеграл, взятый от обеих частей (36), и применение формулы Стокса дает

[ /" ^ + (37)

3 Бт Ет

Таким образом вставка монополя в трехмерной теории соответствует модификации в системах Хитчина. Аналитическим продолжением решения уравнения Лапласа (36) является функция Грина /(5, и, г, у) псевдодифференциального оператора

(д2у + Ао?-к2дгдг)8 , а"1 = (38)

с квазипериодическими граничными условиями 1($,и,г + 1 ,у) = еа и

/(в, и, г + т, у) = еа'1^-тй). Как показано в [10], эта функция имеет вид

/(«,„ ,) - Е + „,.), (39)

^г Ь + «13 5

где К„(2пуг) = 2(^г(1) / " Функция Бесселя-Макдональда, а

Т = Ъ®тЪе£.~ решетка эллиптической кривой Ет, а х(1>х) = -

характер этой решетки как аддитивной группы. Функция /(в, и, л, у) является трехмерным обобщением ряда Кронекера

К(х,х0,з) = 52х(7,з:о)|з; + 7| 28 ,

7

(40)

для которой сам же Кронекер, используя формулу суммирования Пуассона, доказал функциональное уравнение Римана

Г(з)К(х, х0, з) = а1"2Т(1 - з)К{х0,х, 1 - 5)х(і, х0). (41)

Оказывается, аналогичное соотношение может быть доказано и для функции /(5, и, г, у). А именно, верно следующее уравнение

+ОС

І(з, X, г, у) = х(х, [ йк 1{\ - в, г, х, . (42)

J I 7га

—оо

Уравнение отражения, гиростат и Пенлеве VI. Уравнения изомоно-дромных деформаций (1) п. З в эллиптическом случае были исследованы в [7], а в [2] была предложена пара Лакса для уравнения Пенлеве VI в эллиптической форме (2). Системы Шлезингера являются неавтономными обобщениями модели Годена (30) с теми же Ь-М парами (29) или (31). При этом роль времен ¿а играют координаты отмеченных точек г0. В эллиптическом случае помимо отмеченных точек есть дополнительное время т - модуль кривой. Подробное описание эллиптических систем Шлезингера как неавтономных аналогов систем Хитчина приведено в [7].

Модификация действует на уравнения изомонодромных деформаций (1) п. 3 калибровочными преобразованиями. В частности, она переводит уравнение (2) в

дтЗ = §хЛ(§) + §хи, (43)

которое описывает неавтономный^ гиростат Жуковского-Вольтерра. Явная замена переменных приведена в [б]. В уравнении Пенлеве VI четыре константы. В форме гиростата три из них (точнее, три линейных комбинации) объединяются в вектор внешнего гиростатического момента V, а четвертая является длинной вектора 5.

Пуассонова структура (9) позволяет строить еще один широкий класс интегрируемых систем - спиновые цепочки. Несложно проверить, что если Ьк(г) к = 1,.., п удовлетворяют (9), то тому же уравнению удовлетворяет и их произведение Т(гг) = Ьі(2)...Ьп(г), называемое трансфер-матрицей. Для конечных

^Неавтопомность выражается в том, что обратные компоненты тензора инерции = р{шаіт) явно зависят от т, играющего роль времени.

цепочек на границы можно также поместить узлы, ¿-матрицы которых удовлетворяют уравнению отражения (10). Если (9) при квантовании переходит в (18), то (10) переходит в квантовое уравнение отражения

Я12(г-ю)Ь1(г)Е12(г+т)Ь2(ш) = Ь2{у))Н12{г+У))Ь1(г)11п(г-У)). (44)

Оказывается, [6], именно этому уравнению удовлетворяет квантовая версия Ь-матрицы для гиростата (43). А алгебра Склянина (20) обобщается до

к,^]=0, [50,^] = 0, х[^715о]+ = [5а,5/,]> (45)

50] = гК0~Ка[Ба, 55]+ + 2^(иара§р - ирр^а),

где ра = е(шадтыа)ф(и1а + Л, -Ыо). Тем самым уравнение Пенлеве VI оказывается связанным с общими динамическими граничными условиями для интегрируемых цепочек.

Классическо-квантовое соответствие для уравнений Пенлеве. Уравнения изомонодромных деформаций и, в частности, уравнения Пенлеве обычно описываю в терминах пары линейных задач. Соответствующие линейные операторы - связности вдоль базовой кривой (по спектральному параметру) и вдоль модулей базовой кривой с отмеченными точками (по времени).

Э2Ф = и(г, I, д,р, {с*})Ф (46)

Э4Ф = У(2,д, р, {сд})ф ' \ф2

где и и V - й^-значные функции, z - спектральный параметр, I - время, а = {а, /3,7, <5} - набор параметров данного уравнения. Само уравнение возникает как условие нулевой кривизны этих связностей тождественно по спектральному параметру дгЬ - дгМ + [/,, М] = 0 (здесь для удобства знаки у Ь и М выбраны обратными к (1) п. 3). В частности, Ь-М пара, предложенная ранее в [2] дает уравнение Пенлеве VI в эллиптической форме (2). При этом уравнение, конечно, не зависит ни от выбора калибровки для указанных связностей, ни от репараметризации спектрального параметра. Матричные уравнения первого порядка (46) сводятся к скалярным более высокого порядка на одну из компонент решения как функцию от спектрального параметра. Эти скалярные уравнения уже зависят и от выбора калибровки и от репараметризации

спектрального параметра и времени. В [14,15] явно показано, что для каждого уравнения Пенлеве существует такой выбор калибровки и такой выбор переменных, что из матричных линейных задач следует скалярЕіое уравнение на одну из компонент их общего решения {ірі), имеющие вид нестационарного уравнения Шредингера (по спектральному параметру) с классическим потенциалом Пенлеве. Тем самым, исходная линейная задача приводит как к классической (условие совместности дает уравнение на q типа (2)) так и квантовой (на компоненту решения, как функцию от спектрального параметра) задачам. Причем классический и квантовый потенциалы совпадают с точностью до сдвига констант. Более точно, в [14,15] было доказано, что для каждого уравнения Пенлеве, записанного в ньютоновской форме

как классической гамильтоновой системы с времязависимым гамильтонианом где v{q,t) - рациональный, гиперболический или эллиптический потенциал с явной зависимостью от времени, существует пара совместных линейных задач (46) такая, что

1) Уравнения нулевой кривизны эквивалентны уравнению Пенлеве (47) на переменную q, определяемую как простой ноль правого верхнего элемента матрицы L(z,t) по спектральному параметру: ¿12(9, t) = 0;

2) Функция Ф = е? п(Р'Р>*">м'фи где ipi - первая компонента Ф, удовлетворяет нестационарному уравнению Шредингера по мнимому времени

совпадает с классическим V(z, t) =. V(z, t, {с*}) с точностью до возможных сдвигов параметров {c/t}:

й - -duV(u,t),

(47)

с

(й,/3,7,1) = (а- + g,7,<5) дляРу

(¿, /3,7, ¿) = (а - ±,/3 + I,■7 - |, 5 + |) для Руь

{а,Р) = {а,13 + і) ДляРіу,

1 Дії

Это явление называется квантовым соответствием Калоджеро-Пенлевеклк классическо-квантовым соответствием для уравнений Пенлеве Важной является и обратная задача. А именно, предположим, что указанное в теореме соответствие классической и квантовой задач выполняется. Задача - найти потенциалы V(z,t) (и соответственно уравнения), которые этому свойству удовлетворяют. То есть мы предполагаем, что уравнение Шредингера (48) выполняется. Далее, запишем в пару к нему еще одну линейную задачу. Она может быть записана в терминах V(z,t) и еще одной функции b(z,t) = ¿12(л), нули которой определяют динамическую переменную д. Перебирая возможные Ь, получим в каждом случае уравнения на потенциал. Тогда задача сводится к решению этих уравнений. Оказывается, (функциональные) уравнения на потенциал могут быть записаны в универсальном виде в зависимости о того, СКОЛЬКО простых нулей имеет функция b(z,t) = L\2- В случае одного нуля уравнение приобретает вид

Vt(z) - Щи)-

(V'(z) + V'(u)) - ft), (z-u) (V(z) - V(u)) = 0 , ^ a в случае двух нулей:

Vt(z) - Vt(u)~

-ï (*-«) (У'Ы + П«)) - | (fc) (*+u) (V'(z) - V'(u)) + (50) + (z-u) + (!f)z (z+u)) (V(u) - V(z)) = 0.

Дальнейшее изучение показывает, что решения указанных уравнений при некоторых дополнительных предположениях в точности воспроизводят список Пенлеве. Таким образом доказывается, что классическо-квантовое соответствие является альтернативным определением для уравнений Пенлеве.

Содержание по главам

Диссертационная работа состоит из введения, основной части, содержащей 10 глав, заключения и двух приложений.

Во введении обоснована актуальность изучаемых задач, дан краткий обзор диссертационной работы и сформулированы основные результаты, выносимые на защиту.

В главе 1 описан теоретико-групповой подход к системам Хитчина на кри-

вых с отмеченными точками, представлены основные алгебро-геометрические конструкции и соответствующие примеры интегрируемых систем.

В главе 2 описан и исследован класс сингулярных калибровочных преобразований (модификаций расслоений). На уровне теории поля преобразования меняют топологический заряд, а на уровне интегрируемых систем дают явные замены переменных, связывающие точно-решаемые модели типа взаимодействующих частиц с интегрируемыми волчками. Описаны промежуточные случаи - системы взаимодействующих волчков.

В главе 3 показано, что в общем случае модификации расслоений связывают интегрируемые системы, отвечающие полевым конфигурациям с различными характеристическими классами, такими как классы Черна расслоений. Получены и описаны новые интегрируемые системы, отвечающие нетривиальным характеристическим классам. Построены новые квантовые И-матрицы.

В главе 4 предложена конструкция 1+1 полевого обобщения систем Хитчи-на. Описан широкий класс 1+1 интегрируемых систем, полученный двумериза-цией систем Годена. Показано, что этот класс включает в себя модель главного кирального поля и непрерывный XYZ магнетик Ландау-Лифшица как простейшие частные случаи.

В главе 5 описана монопольная интерпретация твиста Дринфельда в виде оператора 'т Хоофта в некоторой трехмерной калибровочной теории. Показано, что специальное сингулярное калибровочное преобразование порождает в соответствующей 3-х мерной теории монополь Дирака, причем различные интегрируемые системы являются для монополя граничными условиями. Попутно получена и нетривиальная деформация эллиптических функций на 3-х мерное пространство.

В главе 6 представлены результаты, связанные с задачей изомонодромных деформаций. На эллиптической кривой описан широкий класс уравнений изо-' монодромных деформаций - системы Шлезингера. Описание строится явно в терминах линейной задачи. Особое внимание уделено формулировке систем

Шлезингера в виде неавтономных обобщений интегрируемых систем.

В главе 7описаны уравнения Пенлеве и соответствующие линейные задачи. Показана связь рациональной и эллиптической форм линейных задач для Пенлеве VI. В частности, получена параметризация фазового пространства Пенлеве VI модулями расслоений над эллиптической кривой. Этот результат получен с помощью процедуры модификаций расслоений.

В главе 8 получены наиболее общие квантовые динамические граничные условия для ХУ2 магнетика. Показано, что соответствующая квадратичная алгебра задается уравнением отражения и обобщает алгебру Склянина. При этом на уровне классической механики общее классическое граничное условие для ХУ2 магнетика описывается гиростатом Жуковского-Вольтерра, а его неавтономная версия эквивалентна (с явной заменой переменных) уравнению Пенлеве VI.

В главе 9 установлено соответствие между классической и квантовой задачей для уравнений Пенлеве. Показано, что для каждого уравнения Пенлеве одно из уравнений в линейной задаче, записанное в подходящих переменных (и в подходящей калибровке), имеет вид нестационарного уравнения Шредин-гера с соответствующим потенциалом. Тем самым доказано, что классическое и квантовое уравнение содержатся в одной линейной задаче: классическое -как условие совместности, а квантовое - как уравнение на общую компоненту решения в подходящей калибровке и подходящих переменных.

В главе 10 проведено исследование задачи обратной классическо-кванто-вому соответствию. А именно, исследуется условие совместности скалярных задач, одна из которых имеет вид нестационарного уравнения Шредингера. Показано, что при определенных условиях эти уравнения на потенциал сводятся к функциональным, решениями которых являются только потенциалы для уравнений Пенлеве.

В заключении обсуждаются полученные результаты и их возможное развитие.

В приложениях приводятся необходимые сведения и тождества для эллип-

тических функций, а также необходимые сведения по алгебрам и группам Ли.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

[1] H.W. Braden, V.A. Dolgushev, М.А. Olshanetsky, A.V. Zotov, Classical R-Matrices and the Feigin-Odesskii Algebra via Hamiltonian and Poisson Reductions, J. Phys. A36: 6979-7000, (2003).

[2] A. Zotov, Elliptic linear problem for Calogero-Inozemtsev model and Painlevé VI equation, Lett. Math. Phys. 67 (2004) 153-165.

[3] M.A. Olshanetsky, A.V. Zotov, Isomonodromic problems on elliptic curve, rigid tops and reflection equations, Rokko Lectures in Mathematics, 18 (2005) 149-171.

[4] A. Levin, A. Zotov, Integrable Model of Interacting Elliptic Tops, Theor. Math. Phys., Vol. 146, Num. 1 (2006) 45-52.

[5] A. Zotov, Classical Integrable Systems and Their Field-Theoretical Generalizations, Physics of Elementary Particles and Atomic Nuclei, Vol 37, N 3, 400-443 (2006).

[6] A. Levin, M. Olshanetsky, A. Zotov, Painlevé VI, Rigid Tops and Reflection Equation, Commun. Math. Phys., Vol. 268, Num. 1, (2006) 67-103.

[7] Yu. Chernyakov, A. Levin, M. Olshanetsky, A. Zotov, Elliptic Schlesinger system and Painlevé VI, J. Phys. A: Math. Gen. 39, 12083-12101 (2006).

[8] A. Levin, A. Zotov, On Rational and Elliptic Forms of Painlevé VI Equation, Neretin, Yu. (ed.) et al., Moscow Seminar in mathematical physics, II. Translations. Series 2. American Mathematical Society 221. Advances in the Mathematical Sciences 60, 173-183 (2007).

[9] Yu.Chernyakov, A. Levin, M. Olshanetsky, A. Zotov, Quadratic algebras related to elliptic curves, Theor. Math. Phys., Vol.156, Issue 2, (2008) 1103-1122.

[10] Andrey M. Levin, Mikhail A. Olshanetsky, Andrei V. Zotov, Monopoles and modifications of bundles over elliptic curves, SIGMA 5 (2009), 065, 22 pages.

[11] Andrei V. Zotov, 1+1 Gaudin Model, SIGMA 7 (2011), 067, 26 pages.

[12] A.M. Levin, M.A. Olshanetsky, A.V. Smirnov, A.V. Zotov, Characteristic Classes and Hitchin Systems. General Construction, Commun. Math. Phys., Vol. 316, Num. 1 (2012) 1-44.

[13] A.M. Levin, M.A. Olshanetsky, A.V. Smirnov, A.V. Zotov, Calogero-Moser systems for simple Lie groups and characteristic classes of bundles, Journal of Geometry and Physics, 62 (2012) 1810-1850.

[14] A. Zabrodin, A. Zotov, Quantum Painleve-Calogero Correspondence, J. Math. Phys. 53, 073507 (2012).

[15] A. Zabrodin, A. Zotov, Quantum Painleve-Calogero Correspondence for Painlev6 VI, J. Math. Phys. 53, 073508 (2012).

[16] Andrey M. Levin, Mikhail A. Olshanetsky, Andrey V. Smirnov, Andrei V. Zotov, Hecke Transformations of Conformal Blocks in WZW Theory. I. KZB Equations for Non-trivial Bundles , SIGMA 8 (2012), 095, 37 pages.

[17] A.M. Levin, M.A. Olshanetsky, A.V. Smirnov, A.V. Zotov, Characteristic Classes of SL(N,C)-Bundles and Quantum Dynamical Elliptic R-Matrices, J. Phys. A: Math. Theor., 46 (2013) 035201.

Подписано к печати 29.05.13 г. Формат 60x90 1/16

Усл. печ.л. 1,9 Уч.-изд. л.1,31 Тираж 100 экз. Заказ 585

Отпечатано в ИТЭФ, 117218, Москва, Б.Черемушкинская, 25