Степенные асимптотики решений второго и четвертого уравнений Пенлеве и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

1 Четвертое уравнение Пенлеве

1.1 Система уравнений ассоциированная с 1.2 Данные монодромии для системы уравнений (1.1.8)

1.3 Вычисление данных монодромии. Случай х —> +оо.

1.3.1 ВКБ-решения уравнения (0.1.10)

1.3.2 Решение (0.1.10) в окрестности точки А = 0.

1.3.3 Оценки внешнего и внутреннего приближений задачи (0.1.10).

1.3.4 Вычисление матрицы Q.

1.4 Вычисление данных монодромии. Случай х —> —оо.

1.4.1 Внешнее разложение

1.4.2 Внутреннее разложение.

1.5 Случай полуцелых а

1.5.1 Случай а-полуцелое, (3- целое четное.

1.6 Случай а — 0.

1.7 Преобразования Бэклунда и Шлезингера.

1.7.1 Вычисление преобразований Шлезингера

1.7.2 "Одевание" решений Р4 с помощью преобразований Бэклунда.

1.8 Заключительная теорема.

2 Второе уравнение Пенлеве

2.1 Данные монодромии системы, связанной с

2.2 ВКБ-решения ассоциированной системы.

2.3 Вычисление фазового интеграла.

2.4 Решение системы (2.2.8) в окрестности точки z = 0.

2.5 Вычисление параметра р и асимптотика решения уравнения Р2.

3 Распределение собственных чисел в матричной модели, ортогональные полиномы и уравнения Пенлеве

3.1 Эрмитовы матричные модели.

3.1.1 Распределение собственных чисел в эрмитовой матричной модели.

3.2 Полуклассические ортогональные полиномы.

3.2.1 Дифференциальные уравнения для полиномов

3.3 Изомонодромные деформации системы уравнений (3.2.18) . 127 3.3.1 Примеры.

Исторические замечания

На рубеже XIX и XX веков, в работах Пенлеве [107], а немного позже его ученика Гамбье [41], решалась классификационная задача для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка вида

1-Lxx — U, Ux) 1 где функция F предполагалась аналитической по х, алгебраической по и и рациональной по их. Задача состояла в том, чтобы найти все уравнения указанного вида, общие решения которых не имели бы подвижных критических точек, т.е. точек ветвления и существенных особенностей, положение которых зависит от выбора начальных данных. Классификация такого сорта уравнений была достаточно естественна в то время: отсутствие подвижных критических особенностей считалось неотъемлемым признаком интегрируемости. И до сих пор, так называемый Пенлеве-тест, т.е. проверка изучаемой динамической системы на отсутствие подвижных критических точек, считается указанием на интегрируемость этой системы [2, 3].

В свое время Пенлеве и Гамбье доказали, что с точностью до преобразований Мебиуса существует лишь 50 уравнений (см. [54],[47]), удовлетворяющих вышеописанному критерию, причем лишь шесть из них не сводятся к линейным, эллиптическим или другим уравнениям из этого же списка. Эти шесть уравнений (первые три были найдены самим Пенлеве, а остальные — Гамбье) и носят в настоящее время название уравнений Пенлеве. Каноническая форма этих уравнений приведена ниже:

1 • Uxx = 6w2 4- х 2- ихх — 2и3 + хи — а л) та

X И/ 1 s

3. uxx = -иж2 - — + -{au2 + /?) + 7u3 + - (P3) uxx и

4. = i^2 + ^w3 + 4аж2 + 2(ж2 -a)u + - (P4)

2 и

3u — 1 9 1 (w — l)2 . /Зч -f 1) .

5. = —--и2--ux+ ' cm + - + — + —^-P5 1) x ar их и — 1

1 1 Л 2 /1 1 1 ,

6. И^я; = - ( - H--7 + - )их - [ - + -7 + - 1 их +

2 \и и — 1 и — х) \х х — 1 и — х и(и — 1)(и — х) ( „х х—1 гх(х — 1)\ /глч х2{х — I)2 у и2 (и— I)2 (и — х)2 у

Несводимость1 уравнений Пенлеве к известным уравнениям (за исключением случаев специального выбора параметров) позволяет выделить их решения как отдельный класс специальных функций. Решения уравнений Пенлеве принято называть функциями Пенлеве или транс-цендентами Пенлеве.

С начала века было обнаружено много замечательных свойств уравнений Пенлеве, включая открытие самим Пенлеве редукционных соотношений между этими уравнениями [111, 54], доказательство их мероморфности [109], уточненное Голубевым [45, 46], фундаментальное открытие Фуксом [40] связи уравнений Пенлеве с изомонодромными деформациями систем линейных дифференциальных уравнений и разработка теории изомонодромных деформаций в работах Шлезингера и Гарнье [113, 44], открытие Бутру [21] нетривиальной асимптотической связи функций Пенлеве с эллиптическими функциями.

Дальнейшие исследования дали массу информации об отдельных свойствах этих уравнений: были найдены преобразования Бэклунда, описаны хСм. недавнюю работу Умемуры [120], где показано, что функции Пенлеве не являются функциями, полученными в результате конечного применения следующих операций, стартуя с поля рациональных функций: дифференцирование, арифметические операции, решение однородных линейных обыкновенных уравнений, подстановка в абелевы функции семейства точных решений и доказана несводимость трансцендентов Пе-нлеве к классическим специальным функциям, за исключением случаев упомянутых специальных семейств и т.д. Отметим здесь значительный вклад белорусской школы во главе с Еругиным, к которой принадлежат такие исследователи, как Яблонский, Лукашевич, Громак (см. обзорные работы Еругина [31, 30] и Бордаг [20], а относительно более поздних работ — книгу Громака и Лукашевича [50]). Систематический, основанный на изомонодромном методе, подход к перечисленным проблемам был предложен в работе Фокаса и Абловица [34].

Новый всплеск интереса к функциям Пенлеве в конце 70-х-начале 80-х годов был вызван обнаружением многочисленных физических приложений этих функций. Оказалось, что функции Пенлеве играют в нелинейных задачах математической физики ту же роль, что и классические специальные функции в линейных физических задачах.

Первая группа таких приложений касается нелинейных уравнений в частных производных. Оказалось, что функции Пенлеве описывают определенные переходные и автомодельные решения интегрируемых (а иногда и неинтегрируемых) уравнений в частных производных. Так, первый трансцендент Пенлеве Pi описывает стационарные бегущие волны уравнения Буссинеска и КдФ, второе уравнение Пенлеве Р2 — автомодельные решения уравнения мКдФ, третье уравнение Пенлеве Р3 — автомодельные решения уравнения sin-Гордон, четвертое уравнение Р4 — автомодельные решения модифицированного нелинейного уравнения Шре-дингера [3], а третье Р3, пятое Р5 и шестое Р6 уравнения оказались связанными с различными автомодельными редукциями модели трех волн [86, 85, 37]. Кроме того, второе уравнение Пенлеве Р2 было использовано как сшивающее уравнение для описания неустойчивости плазмы [126]. Один из недавних примеров этой группы приложений функций Пенлеве связан с применением третьего и четвертого трансцендентов Пенлеве в описании рамановского рассеяния [76, 87].

Указанный факт связи интегрируемых уравнений в частных производных с уравнениями Пенлеве (или, более точно, с уравнениями Р-типа) был впервые открыт Абловицем и Сегуром [1] и позволил им предложить первую из формул связи для Р2 вместе с первой конструктивной идеей о том, как анализировать Р2 с помощью интегральных уравнений Гельфанда-Левитана-Марченко для КдФ (одновременно, первую формулу связи для Р3 предъявили МакКой, Трэйси и By [95]).

Другая группа приложений уравнений Пенлеве — точно решаемые модели статистической физики и квантовой теории поля. Здесь аппарат функций Пенлеве используется в целом ряде теоретико-полевых задач, таких как вычисление двухточечных корреляционных функций для двумерной модели Изинга [95], для одномерного непроницаемого Бозе-газа при нулевой температуре [65], для одномерной изотропной ХУ-модели при нулевой температуре [93, 121], а также для вычисления корреляционных функций для топологических полевых моделей [23, 29] и модели двумерной квантовой гравитации [51, 28].

Совсем недавно появились работы, посвященные приложениям функций Пенлеве в теории случайных матриц и эрмитовых матричных моделей статистической физики [60, 18]. Здесь исследуется задача универсальности локального распределения собственных чисел в эрмитовой матричной модели и функция распределения собственных чисел выражается, в частности, в терминах решений уравнений Пенлеве.

Отдельно следует сказать о связи уравнений Пенлеве с ортогональными многочленами [91]. Здесь уравнения Пенлеве и их высшие аналоги появляются в виде соотношений между коэффициентами рекуррен-ции полуклассических ортогональных полиномов с различными весовыми функциями, зависящими от произвольного параметра.

Также, Окамото [104] показал, что рациональные решения Р4 выражаются в виде логарифмической производной специальных полиномов, названых полиномами Яблонского-Воробьева (аналогичным свойством обладают рациональные решения второго уравнения Пенлеве, для которых впервые и были получены полиномы). Недавно Умемурой были получены соответствующие полиномы для Р3, Р5 и Pq.

В последние годы, с развитием симметрийных методов для дифференциальных уравнений была найдена связь между интегрируемыми цепочками и уравнениями Пенлеве [4, 5], а также их высшими аналогами и дискретными уравнениями Пенлеве, в которых последние играют роль "автомодельных" решений, как и в случае с дифференциальными уравнениями в частных производных. В частности было показано, что при подходящих конечномерных замыканиях нелинейных цепочек типа Тоды и Вольтерра возникают уравнения Пенлеве.

И, наконец, приложения уравнений Пенлеве при изучении переходных режимов и бифуркаций в неинтегрируемых нелинейных моделях [52, 92]. В последней работе, посвященной изучению модели, описывающей, в частности, маятник в жесткой вращающейся рамке и частицу, движущуюся по гладкому вращающемуся кольцу, многократное прохождение точки бифуркации описывается с помощью второго уравнения Пенлеве.

В связи с увеличением числа приложений функций Пенлеве в нелинейной науке в последнее время нарастает тенденция выделить этот класс как спецфункции, наряду с другими классическими, такими как функции Эйри, Бесселя, гипергеометрической и другими, поскольку первые играют в теории нелинейных уравнений ту же роль, что и классические спецфункции в теории линейных дифференциальных уравнений в частных производных.

Как спецфункции, трансценденты Пенлеве интересны с точки зрения исследования асимптотического поведения и набору дескриптивных свойств (распределение нулей и полюсов). Наиболее интересным фактом с прикладной точки зрения оказалось то, что как и для "линейных" специальных функций, для функций Пенлеве оказалось возможным вывести точные формулы связи, которые и составляют аналитический базис использования их в качестве сшивающих функций. Парадокс истории состоит в том, что хотя в работе [21] и содержится прямое указание на возможность построения частных решений шестого уравнения Пенлеве с помощью эффекта сохранения свойств монодромии для ассоциированного с ним линейного уравнения, эта идея оставалась не реализованной до начала 80-х. Только в работе Флашки и Ньюэлла [33] и цикле статей Джимбо, Мива и Уено [66] эта идея была открыта заново и воплощена в изомонодромном методе интегрирования уравнений Пенлеве.

Изомонодромный метод. Суть изомонодромного метода, который можно понимать как нелинейный аналог метода Лапласа для обыкновенных уравнений, состоит в том, что каждое из уравнений Пенлеве рассматривается как уравнение изомонодромных деформаций для некоторой дополнительной линейной системы. То есть, деформация коэффициентов этой системы в соответствии с уравнением Пенлеве не приводит к изменению свойств монодромии этой системы. Тем самым, набор данных монодромии, включающий матрицы Стокса, матрицы монодромии особенностей системы и матрицы связи особенностей системы, оказывается набором первых интегралов соответствующего уравнения Пенлеве. С формальной точки зрения это означает, что уравнение проинтегрировано. Вопрос состоит только в том, насколько этот результат полезен для изучения трансцендента Пенлеве. Ответ на этот вопрос далеко не тривиален, за исключением, разве что, специальных случаев. Действительно, противоположное означало бы возможность решения нетривиальной матричной задачи Римана-Гильберта, эквивалентной этой обратной задаче монодромии, и, следовательно, получения выражения для трансцендента Пенлеве в терминах известных функций.

Тем не менее, данные монодромии можно вычислить асимптотически, предполагая определенный характер поведения решения. Поскольку они являются интегралами движения для уравнения, мы получаем формулы связи между асимптотическими параметрами для решения и(х), например, на разных бесконечностях. Следуя этой схеме, действительно, в течение последних 15 лет удалось получить множество глобальных асимптотических результатов для всех уравнений Пенлеве. Относительно полный список работ на эту тему, включающий труды Джимбо [64], МакКоя и Тэнга [94], Итса [62, 56, 57], Новокшенова [100, 75, 101, 102], Китаева [78, 80, 74], Капаева [67, 68, 69], Сулейманова [116, 117] и других можно найти в монографии [58] и обзорных статьях [36], [95]). Среди этих результатов можно отдельно выделить адекватную параметризацию всех решений их асимптотиками вблизи критических точек и соответствующие формулы связи асимптотических параметров, полное описание асимптотического поведения для комплексных х и описание нелинейного явления Стокса, описание распределений нулей и полюсов.

В теории изомонодромных деформаций, связанной с уравнениями Пенлеве различают прямую и обратную задачи монодромии. В первом случае решают задачу о нахождении данных монодромии исходя из свойств решения соответствующего уравнения Пенлеве (чаще всего это асимптотическое поведение в предельных точках области независимого переменного). Обратная же, по данным монодромии восстанавливает свойства решения. Обратная задача монодромии обычно связана с задачей Римана-Гильберта на лучах. Например, для решения задачи о нахождении связи асимптотик решения на разных бесконечностях, стартовав с известного поведения асимптотики на одной бесконечности, решая прямую задачу монодромии, находим соответствующие выбранному поведению асимптотики данные монодромии. Далее, с помощью обратной задачи монодромии можно указать асимптотическое поведение выбранного решения (семейства решений) уравнения Пенлеве на другой бесконечности.

Надо заметить, что метод изомонодромных деформаций не ограничивается применением только к уравнениям Пенлеве и их высшим аналогам. Так называемые специальные функции изомонодромного типа, включающие известные спецфункции, такие как гипергеометрическая функция Гаусса, гамма-функция и функции Бесселя, рассмотренные в [81], также укладываются в схему метода изомонодромных деформаций.

В настоящее время случаи общего положения асимптотик решений уравнений Пенлеве достаточно хорошо изучены. Для этих случаев выписаны формулы связи на всей комплексной плоскости независимого переменного, описан набор дескриптивных свойств. Не охваченными полностью в настоящий момент оказались специальные и вырожденные случаи. Некоторые из них часто встречаются в различных приложениях и потому требуют детального изучения. Например, активно развивающаяся в настоящее время статистическая физика приводит к исследованию таких объектов, как дифференциально-разностные уравнения, сводящиеся, в частности, к специальным случаям уравнений Пенлеве и их высшим аналогам.

В диссертации рассматривается полное четвертое и специальный случай второго уравнения Пенлеве. Цель работы — исследование трех семейств асимптотик четвертого уравнения Пенлеве на разных концах вещественной оси; в случае второго уравнения Пенлеве — обобщение формул связи путем исследования одного вырожденного случая асимптотики решения. Рассматривается также задача о распределении собственных чисел в эрмитовой матричной модели, ответ которой выписывается в терминах решений уравнений Пенлеве. Используя результаты исследования асимптотик решений четвертого уравнения Пенлеве можно проанализировать поведение функции распределения случайных чисел одной эрмитовой матричной модели.

В первой главе настоящей работы рассматривается полное четвертое уравнение Пенлеве, имеющее вид: и2 3 / \ в2 ихх = ^ + -и3 + 4хи2 + (-4а + (3 + 2х2) и-^-. (0.0.1)

2и 2 4 'Ли

Его можно получить из (Р4) простой заменой параметров а и (3 : а ^ 2а-(3/2, (3 ^ -(З2 /2.

Известно, что уравнение (0.0.1) имеет решения с различным асимптотическим поведением при \х\ —> сю. Все они могут быть разделены с некой долей условности на четыре основных семейства по виду главного члена асимптотики. Случай общего положения и{х) ~ — был исследован в работах [112], [8] и потому в этой работе не рассматривается. Другие три семейства и{х) ~ — 2х и и{х) ~ (заметим, что последние включают в себя также более вырожденный и хорошо исследованный случай (3 = 0, главный член асимптотики которого при х —> ±оо содержит экспоненциально малый множитель) часто встречаются в приложениях и потому требуют детального изучения. Нетрудно предположить на примере случая /3 = 0, что два решения (0.0.1) отличаются экспоненциально малыми членами при х —> ±оо. Это позволяет выписать формулы связи лишь на уровне указанных семейств и(х) методом, предложенным в данной работе.

Во второй главе рассматривается частный случай второго уравнения Пенлеве ихх - хи - 2иъ = 0, ие гМ. (0.0.2)

Как показано в [58], чисто мнимые решения уравнения (0.0.2) не имеют полюсов на вещественной оси х G R. Их асимптотика при х —> ±оо имеет вид (см.[57]):

2 3 и(х) = za(-x)1/4sin{-(-a:)3/2 + -a2ln(-x) + 0} + o((-x)"1/4), х -оо,

0.0.3) х оо.

0.0.4)

В работе [57] найдены формулы связи параметров р, в и а, ф в случае общего положения. Однако, результаты [57] не допускают непосредственного переноса на особый случай р = 0. Дело в том, что в этом случае в асимптотике (0.0.3) отсутствуют осциллирующие слагаемые, что приводит к ряду затруднений в построении формул связи.

Целью данной главы является исследование случая р = 0 и, как следствие, обобщение формул (0.0.3),(0.0.4), которые становятся пригодны для асимптотического описания всех чисто мнимых решений (0.0.2) при

Основным методом исследования уравнений Пенлеве является метод изомонодромных деформаций (IDM).

Замечание. В процессе данного исследования автору стали известны новые результаты [72, 73], обобщающие формулы связи уравнения (0.0.1) в комплексной плоскости х Е С, в частности конкретизирующие вид экспоненциально малых членов при х —> ±оо.

В третьей главе приведены примеры использования уравнений Пенлеве и их свойств в приложениях, в частности, в одной задаче статистической физики и в теории ортогональных полиномов.

Рассматривается Н — эрмитова матрица порядка п, элементы которой hij,i,j = 1 , п являются независимыми (кроме условия эрмитово-сти), вообще говоря, комплексными случайными величинами. И пусть совместная функция их распределения задается плотностью где VS(X) — вещественнозначная функция, которая растет быстрее, чем a In Л, \/а > 0 при |А| —» оо и х

00.

Pv(H) = Z^exp {-Tr VS{H)} калибровочный множитель, где п dH = dha JJ dRehij dlmhij i— 1 i<j мера Лебега в пространстве эрмитовых матриц порядка п.

Задача состоит в исследовании свойств распределения собственных значений случайной эрмитовой матрицы Н.

Пусть {\k}k=i упорядочены по неубыванию: Ai < Д2 < . < \п. Рассмотрим так называемую нормированную функцию распределения собственных значений матрицы Н:

Fn(A) = Е |n1 jto(\ — Xi) I i= 1 где E{-} означает математическое ожидание случайной величины по отношению к мере dH и

0(A) =

1, А > О, О, А < 0.

Заметим, что при каждом фиксированном значении А функция Fn(А) является случайной величиной (зависящей, вообще говоря, от случайных величин hij). Кроме самой функции распределения собственных значений интерес представляет функция плотности распределения

Рп( А) = f;(A).

В задачах, связанных с матричными моделями интерес представляют также предельные случаи рп(А):

1) lim рп(А) = р{А); п—>оо

2) предельное локальное распределение собственных значений в точках р{А) = 0 и р(А) ^ 0.

Известно, что функция плотности распределения рп(А) в случае выбора

VsW = E^V 9s > 0, на подходящем носителе S 6 R выражается в терминах полуклассических ортогональных полиномов q(А): где ак — коэффициент рекурсии в трехчленном рекуррентном соотношении для ортогональных полиномов

Таким образом, исследование рп(А) сводится к изучению свойств ортогональных полиномов.

Определение коэффициентов рекурренции ак, bк через свойства меры ортогональности, представленной соответствующей весовой функцией является одной из основных проблем в теории полуклассических ортогональных полиномов(см. обзоры [89], [98]). В частности, одной из задач является исследование асимптотического поведения коэффициентов([25], [39], [122]). Для разрешения этой проблемы в случае одного произвольного параметра в весовой функции имеется достаточно известный подход — применение изомонодромной техники, приводящей к дополнительным дифференциальным соотношениям на коэффициенты рекурренции, где в отдельных случаях появляются хорошо знакомые и исследованные уравнения Пенлеве. В более общем случае возникают высшие аналоги уравнений Пенлеве, которые в настоящий момент активно исследуются.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

• С помощью прямой задачи монодромии вычислены данные мо-нодромии для трех случаев асимптотического поведения решений четвертого уравнения Пенлеве на вещественной оси.

• Дополнены и обобщены формулы связи для асимптотик второго уравнения Пенлеве специального вида на вещественной оси.

• Получены новые условия интегрируемости цепочки Тоды, явно зависящие от непрерывной переменной. ак+1 qk+i(A) = (A - bk) qk{A) - ak qk-i(X).

Заключение

В диссертационной работе исследованы: а) три семейства асимптотик полного четвертого уравнения Пенлеве на вещественной оси. С помощью прямой задачи монодромии вычислены данные монодромии для трех случаев асимптотического поведения решений четвертого уравнения Пенлеве на вещественной оси. б) чисто мнимые решения второго уравнения Пенлеве в специальном случае, когда их асимптотика на плюс бесконечности не содержит осциллирующих членов. Методом изомонодромных деформаций построены и обоснованы явные формулы связи асимптотик на вещественной оси. Результаты работы завершают асимптотическое описание чисто мнимых решений второго уравнения Пенлеве, поскольку в случае общего положения аналогичные формулы представлены ранее в работе Итса и Капаева [57]. в) коэффициенты рекурренции полуклассических ортогональных полиномов с полиномиальным показателем экспоненциального веса. Показано, что при наличии одного независимого параметра в весовой функции коэффициенты удовлетворяют системе разностно-дифференциальных уравнений. В частных случаях весовой функции коэффициенты выражаются в терминах решений уравнений Пенлеве.

Вклад диссертанта Вклад диссертанта в развитие теории уравнений Пенлеве выглядит следующим образом. В 1994-1995 году им был исследован вырожденный случай второго уравнения Пенлеве на вещественной оси. Результаты предшествующей работы [57] не допускали непосредственного переноса на вырожденный случай из-за ряда технических затруднений. В результате исследования диссертантом был получен так называемый сепаратрисный (О-нараметрический) случай асимптотики при х +оо чисто мнимого решения Р2 с а = 0, характеризующийся асимптотикой в виде полного степенного ряда. Полученные данные монодромии, соответствующие этому решению, позволили обобщить все ранее исследованные случаи поведения асимптотик чисто мнимых решений на вещественной оси. Результаты работы были опубликованы в [10].

В 1995-1996 году диссертант занимался исследованием специального случая третьего уравнения Пенлеве. Это уравнение возникает во многих областях как математики, так и физики. К примеру, оно выступает в качестве уравнения Гаусса-Кодацци в теории минимальных поверхностей постоянной средней кривизны [19] и в теории сверхпроводимости как уравнение, описывающее поле в контакте Джозефсона. Диссертантом были получены результаты решения задачи о распределении полюсов решения Рз с а = (3 = 0, 7 = 1, 6 = — 1 на вещественной оси, а также представлено глобальное асимптотическое поведение этого решения в секторе — | < arg а; < 0, |ж| —> оо комплексной плоскости, найденное с помощью эллиптического анзатца. Результаты исследования были представлены на защите диплома при окончании обучения на математическом факультете Башкирского Государственного Университета. Также, частично результаты работы представлены также в виде статьи в сборнике [11] и в виде доклада на XXXV международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс"[14].

С 1996 года диссертант занимается исследованием полного четвертого уравнения Пенлеве и его приложениями в теории ортогональных полиномов. В настоящей работе представлены результаты исследования асимптотического поведения решений уравнения Р4, характеризующихся определенным асимптотическим поведением при х —> ±оо. Часть результатов, относящаяся к случаю общего положения коэффициента а (см. главы 1.3-1.4 настоящей работы) опубликована в виде статьи [13]. Исследование связи уравнений Пенлеве с задачей о распределении собственных чисел одной матричной эрмитовой модели представлена в виде доклада на четвертой всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам, проходившем 29 августа — 3 сентября 1997 года в г. Уфа и опубликована в [12|. Отдельно связь уравнений Пенлеве с полуклассическими ортогональными полиномами и интегрируемыми цепочками представлена в [15]. Также, в ходе исследования была выявлена связь коэффициентов ортогональных полиномов с интегрируемыми цепочками.

1. М. J. Ablowitz and H. Segur, Asymptotic solutions of the Korteweg-de Vries equation. Stud. Appl. Math., 57 N 1 (1977) 13-44.

2. В. E. Адлер, И.Т. Хабибуллин, Граничные условия для интегрируемых цепочек, Фупкц. анализ и приложения, 31 2(1997), 1-14

3. Н.И. Ахиезер, Классическая проблема моментов, М.: Физматгиз, 1961

4. Н. Airault, Rational solutions of Painleve equations. Stud. Appl. Math., 61 (1979) 31-53.

5. A. P. Bassom, P. A. Clarkson and A. C. Hicks, Backlundtransformations and solution hierarchies for the fourth Painleve equation. Stud. Appl. Math., 95 (1995) 1-71.

6. Г. Бэйтмэн, А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции, т. 1-3, М.:"Наука", 1966.

7. А. Н. Белогрудов, Об асимптотике вырожденного решения второго уравнения Пенлеве, Дифференциальные уравнения, т. 33, N5, 1997, 587-594

8. А. Н. Белогрудов, Распределение собственных чисел в матричной модели, полу-классические ортогональные полиномы и уравнения Пенлеве, Обозрение прикладной и промышленной математики, М.: ТВП, т.4, N3, 1997, стр. 136-137

9. А. Н. Белогрудов, Формулы связи для асимптотик решений четвертого уравнения Пенлеве. Вырожденные случаи I., в сборнике: Проблемы математики и теории управления. Ред. Б.Г. Ильясов и И.И. Голичев (УГАТУ), Ufa, 1998, ред.-изд. комплекс УГАТУ, стр. 17-32

10. P. Bleher and A. Its, Semiclassical asymptotics of orthogonal polynomials, Riemann-Hilbert problem, and universality in the matrix model. Preprint Series in Math, and Statistics # 97-2, Dept. of Math. Sci. Indiana Univ.Rurdue Univ. Indianapolis, 1997.

11. А. И. Бобенко, Поверхности постоянной кривизны и интегрируемые уравнения, Успехи Мат.Наук, 46, N3 (1991),

12. JL А. Бордаг, Уравнения Пенлеве и их связь с нелинейными эволюционными уравнениями. Сообщения ОИЯИ, F5-80-477, 1980.

13. P. Boutroux, Recherches sur les transcendantes de M. Painleve et l'etude asymptotique des equations differentielles du second ordre. Ann. Sci. Ecol. Norm. Super. 30 (1913) 255-376; 31 (1914) 99-159.

14. C. Brezinski, Pade-type Approximation and General Orthogonal Polynomials, ISNM 50, Birkhauser-Verlag, Basel, 1980.

15. S. Cecotti and C. Vafa, Topological Anti-Topological Fusion, preprint HUTP-91/A031, S1SSA-69/91/EP, 1991.

16. Т. M. Cherry, Uniform asymptotic expansions, J. London Math. Soc., 24 (1949), 121-130;

17. Uniform asymptotic formulae for functions with transitionpoints, Trans. Amer. Math. Soc., 68 (1950), 224-257.

18. T.S. Chihara, An Introduction to Orthogonal Polynomials, Gordon & Breach, New York, 1978.

19. Ch. M. Cosgrove, Painleve classification problems featuring essential singularities, Stud, Appl. Math., 98 (1997) No. 4, 355-433.

20. P. A. Deift and X. Zhou, A steepest descent method for oscillatory Riemann-Hilbert problems. Asymptotics for the MKdV equation. Ann. of Math., 137 (1993) 295-368.

21. M. Douglas and S. Shenker, Strings in less than one dimension, Rutgers preprint RU-89-34, 1989.

22. B. Dubrovin, Geometry and Integrability of Topological-Antitopo-logical Fusion, Preprint INFN-8/92-DSF, 1992.

23. H. П. Еругин, Аналитическая теория и проблемы вещественной теории дифференциальных уравнений, связанные с первым методом и методами аналитической теории. Дифф. уравнения, 3, N 11 (1967) 1821-1863.

24. A. S. Fokas and M. J. Ablowitz, On unified approach to transformation and elementary solutions of Painleve equations. J. Math. Phys., 23, N 11, (1982) 2033-2042.

25. A. S. Fokas, A. R. Its and A. V. Kitaev, Discrete Painleve equations and their appearance in quantum gravity. Comm. Math. Phys. 142 (1991) 313-344.

26. A. S. Fokas and A. R. Its, The Isomonodromy Method and the Painleve Equations, in: Important Developments in Soliton Theory, ed. A. S. Fokas and V. E. Zakharov, Springer-Verlag, 1992.

27. A. S. Fokas, R. A. Leo, L. Martina and G. Soliani, The scaling reductions of the three wave resonant system and the Painleve VI equation. Phys. Lett., 115 A (1986) 329-332.

28. A. S. Fokas and X. Zhou, On the Solvability of Painleve II and IV. Comm. Math. Phys., 144 (1992) 601-622.

29. G. Freud, Orthogonal Polynomials, Akademiai Kiado/Pergamon Press, Budapest/Oxford, 1971.

30. R. Fuchs, Uber lineare homogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit drei im Endlichen gelegenen wesentlich singularen Stellen, Math. Annalen, 63, (1907) 301-321.

31. B. Gambier, Sur les equations differentielles du second ordre et du premier clegre dont l'integrale generale est a points critiques fixes. Acta Math., 33 (1910) 1-55.

32. Ф. P. Гантмахер, Теория матриц, 4-е изд., М.:Наука, 1988, с. 552

33. R. Garnier, Etude de l'integrale generale de l'equation VI de M.Painleve. Ann. Set. I'Ecole Norm. Super., 3e serie, 34 (1917) 239-353.

34. Rend. Circ. Matem. Palermo 43 (1919) 155.

35. В. В. Голубев, К теории уравнений Painleve. Мат. сборник, 28, вып. 2 (1912) 323-349.

36. W. W. Golubev, Vorlesungen tiber Differentielgleichungen im Komplexen, Deutscher Verlag des Wiss., Berlin, 1958.

37. В. В. Голубев, Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений, Изд. 2-е, М.-Л.: Гостехиздат, 1950, с. 436

38. И.С. Градштейн, И.М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, М.:Физматгиз, 1962, 1100 стр.

39. В. И. Громак и Н. А. Лукашевич, Специальные классы решений уравнений Пенлеве. Дифф. уравнения, 18 (1982) 317-326.50| В. И. Громак и Н. А. Лукашевич, Аналитические свойства решений уравнений Пенлеве. Минск: Университетское, 1990, 157 с.

40. D. Gross and A. Migdal, A nonperturbative treatment of two-dimensional quantum gravity, Princeton preprint PUPT-1159, 1989.

41. R. Haberman, Nonlinear transition layers — the second Painleve transcendent. Stud. Appl. Math., 57 (1977) 247-270;

42. Slowly varying jump and transition phenomena associated withalgebraic bifurcation problems. J. Appl. Math., 51 (1979) 69-106.

43. Дж. Хединг, Введение в метод фазового интеграла, М.:"Мир", 1965, 237стр.

44. Э. Л. Айне, Обыкновенные дифференциальные уравнения, ОН-ТИ ГНТИУ, Харьков, 1939.

45. А. Р. Итс, Асимптотика решений нелинейного уравнения Шре-дингера и изомонодромные деформации систем линейных дифференциальных уравнений. ДАН СССР, 261 N 1 (1981) 14-18

46. A. R. Its and A. A. Kapaev, The method of isomonodromy deformations and connection formulas for the second Painleve transcendent. Math. USSR Izvestiya 31 (1988) No. 1 193-207.

47. A. R. Its and V. Yu. Novokshenov, The Isomonodromic Deformation Method in the Theory of Painleve Equations, in "Lecture Notes in Mathematics", Vol. 1191, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo, 1986.

48. A. R. Its, A. S. Fokas and A. A. Kapaev, On the asymptotic analysis of the Painleve equations via the isomonodromy method, Nonlineanty, 7 (1994) 1291-1325.

49. A. P. Итс, А. В. Китаев, А. С. Фокас, Матричные модели двумерной квантовой гравитации и изомонодромные решения дискретных уравнений Пенлеве, в кн. Диф. геометрия, группы Ли и механика. 12, Записки научных семинаров ЛОМИ, т. 187, 1991

50. А.Р. Итс, А.В. Китаев, А.С. Фокас, Изомонодромный подход в теории двумерной квантовой гравитации, УМН, 45, вып. 6 (1987), 135-136

51. А. Р. Итс и В. Е. Петров, "Изомонодромные"решения уравнения Sine-Gordon и временная асимптотика его быстроубывающих решений. ДАН СССР, 265 N 6 (1982) 1302-1304.

52. H. Jeffreys, On certain approximate solutions of linear differential equations of the second order, Proc. London Math. Soc., 2], 23 (1924) 428-436.

53. M. Jimbo, Monodromy problem and the boundary condition for some Painleve equations. Publ. RIMS, Kyoto Umv., 18 (1982) 1137-1161.

54. M. Jimbo, T. Miwa, Y. Mori and M. Sato, Density matrix of impenetrable bose gas and the fifth Painleve transcendent. Physica D 1, (1980) 80-158.

55. M. Jimbo, T. Miwa and K. Ueno, Monodromy preserving deformation of linear ordinary differential equations with rational coefficients, Physica D, 2 (1981), 306-352;

56. M. Jimbo and T. Miwa, Monodromy preserving deformation of linear ordinary differential equations with rational coefficients. II, Physica D, 2 (1981), 407-448;

57. А. А. Капаев, Асимптотика решений уравнения Пенлеве первого рода. Дифференциальные уравнения, 24 (1988) 1684-1695.69| A. A. Kapaev, Global asymptotics of the second Painleve transcendent, Physics Letters A, 167 (1992) 356-362.

58. A. A. Kapaev, Equations prescribed curvature and deformations of the monodromy group. Physica D 79 (1994) 87-108.

59. A. A. Kapaev, Degenerated solutions of the fourth Painleve equation. POMI preprint 13/1996, December 1996.

60. A. A. Kapaev and A. V. Kitaev, Connection formulae for the first Painleve transcendent in the complex domain. Lett. Math. Phys., 27 (1993) 243-252.

61. А. А. Капаев и В. Ю. Новокшенов, Двухпараметрическое семейство вещественных решений второго уравнения Пенлеве. Докл. АН СССР 290 (1986) 590-594.

62. D. J. Каир and С. R. Menyuk, Model initial-data problem in stimulated Raman scattering. Phys. Rev. A, 42, N 3 (1990) 1712-1717.

63. А. В. Китаев, Обоснование асимптотических формул, полученных методом изомонодромных деформаций. В кн.: Математические вопросы теории распространения волн, Зап. науч. семин. ЛОМИ, 179 (1989) 101-109.

64. А. В. Китаев, Об автомодельных решениях модифицированного нелинейного уравнения Шредингера. Теоретич. и Математич. Физика, 64 N 3 (1985) 347-369.

65. А. В. Китаев, Точки поворота линейных систем и двойные асимптотики трансцендентов Пенлеве. В кн.: Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика, Зап. науч. семин. ЛОМИ, 187 (1991) 53-74.

66. А. В. Китаев, Асимптотическое описание четвертого уравнения Пенлеве. Решения на аналогах лучей Стокса. В кн: "Проблемыквантовой теории поля и статистической физики. 8. Записки науч. семин. ЛОМИ, 169 (1988) 84.

67. А. V. Kitaev, Special functions of the isomonodromy type, Acta, Applicandae Mathematicae, 64, (2000), 1-32.

68. Кузнецов A. H., , Функциональный анализ и его приложенная, 41, т.6 (1972)

69. Е. Laguerre, Sur la reduction en fractions continues d'une fraction qui satisfait a une equation differentielle lineaire du premier ordre dont les coefficients sont rationnels, J.Math.Pures Appl.; (4) 1(1885), 135-165

70. R. E. Langer, The asymptotic solutions of a linear differential equation of the second order with two turning points, Trans. Amer. Math. Soc., 90 (1959), 113-142.

71. R. A. Leo, L. Martina and G. Soliani, Group analysis of the three-wave resonant system in (2+1) dimension. — J. Math. Phys., 27 (1986) 2623-2628.

72. R. A. Leo, L. Martina, G. Soliani and G. Tondo, On certain symmetry reduction systems of the three-wave resonant interaction in (2+1) dimension. Prog. Theor. Phys., 76 (1986) 739-751.

73. D. Levi, C. R. Menyuk and P. Winternitz, Exact solutions of the stimulated-Raman-scattering equation. Phys. Rev. A, 44, N 9 (1991) 6057-6070.

74. D. Levi and P. Winternitz, Painleve transcendents: Their Asymptotics and Physical Applications. NATO ASI series B278, New York: Prenum (1992).

75. D.S. Lubinsky, A survey of general orthogonal polynomials for weights on finite and infinite intervals, Acta ApplicanddsMathematicas 10 (1987) 237-296.

76. Н. А. Лукашевич, Теория четвертого уравнения Пенлеве. Дифф. уравнения, 3, N 5 (1967) 395-399.

77. А.P. Magnus, Painleve-type differential equations for the recurrence coefficients of semi-classical orthogonal polynomials, J. Сотр. and Appl. Math., 57(1995), 215-237

78. G.J. M. Maree, Slow periodic crossing of a pitchfork bifurcation in an oscillating system. (To appear).

79. В. M. McCoy, J. H. H. Perk, R. E. Shrock, Time dependent correlation function of the transverse Ising chain at the critical magnetic field. — Nucl. Phys. В, 220 (1983) 35-47;

80. Correlation functions of the transverse Ising chain at the criticalfield for large temporal and spatial separations. — 220 (1983) 269-282.

81. В. M. McCoy and Sh. Tang, Connection formulae for Painleve V functions. I. Physica D 19 (1986) 42-72;

82. Connection formulae for Painleve V functions. II. The 5 function

83. Bose gas problem. Physica D 20 (1986) 187-216.

84. M. Nakano and T. Nishimoto, On a secondary turning point problems, Kodai Math. Sem. Rep., 22 (1970), 355-384.

85. P. Nevai, Geza Freud, orthogonal polynomials and Christoffel functions. A case study, J. Approx. Theory 48 (1986), 3-167.

86. Т. Nishimoto, On matching methods in turning point problems, Kodai Math. Sern. Rep., 17 (1965), 198-221;

87. On a matching method for a linear ordinary differential equationcontaining a parameter, III, Kodai Math. Sern. Rep., 19 (1967), 80-94;

88. On the central connection problem at a turning point, Kodai

89. Math. Sem. Rep., 22 (1970), 30-44.1100. В. Ю. Новокшенов, Метод изомонодромной деформации и асимптотика третьего трансцендента Пенлеве. Функц. анализ и прилож., 18 вып. 3 (1984) 90-91.

90. К. Okamoto, Isomonodromic deformation and Paileve equations, and the Garnier systems. J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. IA, 33 (1986) 575618.

91. K. Okamoto, Studies on the Painleve equations III. Second and fourth Painleve equations, Pn and Pw,Math. Ann., 275 (1986), 221-255.

92. F. W. J. Olver, The asymptotic solution of linear differential equation of the second order in a domain containing one transition point, Phil. Trans. Roy. Soc. London, ser. A, 248 (1956) 65-97;

93. Second-order linear differential equations with two turningpoints, Phil. Trans. Roy. Soc. London, Ser. A, 278 (1975), 137-174.11061 Ф. Олвер, Введение в асимптотические методы и специальные функции, М., Наука, 1978.

94. P. Painleve, Memoire sur les equations differentielles dont l'integrale generale est uniforme. Bull. Soc. Math. France 28 (1900) 201-261.

95. P. Painleve, Sur les equations differentielles du second ordre et d'ordre superiour dont l'integrale generale est uniforme. — Acta Math. 25 (1902) 1-86.

96. P. Painleve, Sur les equations differentielles du second ordre a points critiques fixes. Comptes Rendus, 143 (1906) 1111-1117.

97. Simplification of a linear ordinary differential equation of the nth order at a turning point, Arch. Rational Mech. Analysis, 13 (1963), 206-221;

98. Б. И. Сулейманов, Асимптотика при t —> оо одного изомонодром-ного решения нелинейного уравнения Шредингера. В сб.: Задачи математической физики и асимптотика их решений, БНЦ УрО АН СССР (1991) 33-49.

99. H. G. Vaidya and C. A. Tracy, Crossover scaling function for the one-dimensional XY model at zero temperature. — Phys. Lett. A, 68, (1978) 378-380.

100. W. Van Assche, Asymptotics for Orthogonal Polynomials, Springer Lecture Notes Math. 1265, Springer-Verlag, Berlin 1987.1123j В. Jl. Верещагин, Глобальные асимптотики для четвертого уравнения Пенлеве, Мат. сборник, 188, № 18 (1997), 11-32.

101. W. Wasow, Turning point problem for systems of linear equations, I. The formal theory, Comm. Pure Appl. Math., 14 (1961), 657-673;

102. Turning point problem for systems of linear equations, II. Theanalytic theory, Comm. Pure Appl. Math., 15 (1962), 173-187.

103. В. Вазов, Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений, М., Мир, 1968.

104. В. Е. Захаров и Е. А. Кузнецов, Квазиклассическая теория трехмерного волнового коллапса. ЖЭТФ, 91 N 4 (1986) 1310-1324.

105. X. Zhou, Riemann-Hilbert problem and inverse scattering. SIAM J. Math. Anal., 20 No. 4 (1989) 966-988.