Полная асимптотическая классификаиця решений пятого уравнения Пенлеве на вещественной оси тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. В. А. СТЕКЛОВА

рге од на правах рукописи

" 0 011? т

АНДРЕЕВ Федор Владимирович

ПОЛНАЯ АСИМПТОТИЧЕСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ РЕШЕНИЙ ПЯТОГО УРАВНЕНИЯ ПЕНЛЕВЕ НА ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОСИ

01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1996

Работа выполнена в лаборатории математической физики Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стек-лова Российской Академии Наук (ПОМИ РАН).

Научные руководители: академик

Ладыженская Ольга Александровна, кандидат физ.-мат. наук, старший научный сотрудник ПОМИ РАН Китаев Александр Владимирович.

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. паук, ведущий научный сотрудник ПОМИ РАН М. В. Бабич,

доктор физ.-мат. наук, профессор Санкт-Петербургской Государственной академии аэрокосмического приборостроения М. А. Салль.

Ведущая организация: институт Физики Санкт-Петербургского государственного университета.

Защита состоится № СемГс^З/иА 1996 Года в ^ час ос на заседании специализированного совета Д 002.38.04 при Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В. А. Стеклова РАК по адресу: 191011, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27, комн. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПОМИ.

Автореферат разослан ^ С^^С^О-- 1995 Года

Ученый секретарь специализированного совета

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Уравнения ГГенлеве возникли в рамках аналитической теории дифференциальных уравнений в конце прошлого века. Интерес к ним возобновили исследования по теории солитонов и методу обратной задачи рассеяния в конце 70-х, начале 80-х годов. В те годы было установлено, что уравнения Пенлеве-типа и, в частности, уравнения Пенлеве, неибежно возникают как редукции полностью интегрируемых систем. Начало новому подходу к теории уравнений Пенлеве — методу изомо-нодромных деформаций — положили работы ученых японской школы М. Джимбо, Т. Мива, М. Сато [1], [2] и Г. Флашки и А. К. Ньэлла [3].

Тогда же обнаружилось, что уравнения Пенлеве возникают во многих задачах теоретической, математической и статистической физики. Пятое уравнение Пенлеве возникает в следующих приложениях: (1) проблема N-eonn, (2) уравнение Эрнста (общая теория относительности), (3) уравнение Лиувилля и уравнение типа Sin-Gordon, (4) теория одномерного бозе-газа, (5) построение спин-спиновой корреляционной функции XF-модели. В этих задачах требуется связать асимптотики решений пятого уравнения Пенлеве, заданные в различных областях комплексной плоскости. Эта проблема непосредственно приводит к необходимости построения формул связи. Метод изомонодромных деформаций в настоящее время является основным способом получения формул связи. Он развивался в работах русских ученых: А. Р. Итса [4], В. Ю. Новокшенова [5] и др.

Цель работы. Целью диссертации является:

Классификация решений пятого уравнения Пенлеве на вещественной оси, а именно: построение всех возможных типов асимптотик решений в окрестности двух особых точек, нуля и бесконечности, и вычисление достаточного количества членов в асимптотических разложениях;

Вычисление данных монодромии для соответствущих решений путем асимптотического анализа ассоциированного линейного уравнения, что дает возможность непосредственно получить явные формулы связи между коэффициентами асимптотических разложений;

Сопоставление полученных формул связи с уже известными частными случаями и результатами численного анализа (см. Часть 1 и Части 11 и 12).

Методика исследований. Для асимптотического анализа пя-

того уравнения Пенлеве используется метод изомонодромных деформаций (см. ссылки выше). В рамках этого метода задача сводится к вычислению данных монодромии линейного уравнения. В случае большого аргумента t, то есть при исследовании асимптотик решения в окрестности бесконечности, применяется ВКВ-метод [6]. Также используется метод сшивки асимптотических разложений. Аргумент t выбирается положительным t > 0. Для отрицательных t все результаты получаются применением преобразований из Части 21. Для обоснования формул, получаемых в рамках метода изомонодромных деформаций, применяются результаты работы [7].

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. О некоторых приложениях рассмотренных задач сказано выше. Результаты и техника работы могут быть использованы в следующих областях: теория солитонов, нелинейные специальные функции, теория линейных и нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по математической физике в Санкт-Петербургском отделении математического института РАН, а также на семинаре кафедры математики в Санкт-Петербургском институте экономики и финансов. Результаты диссертации были представлены на двух международных конференциях: Centre de Recherches Mathématiques, Université de Montréal (Québec), Canada, Workshop on the Theory of Special Functions, 1) Theory of Nonlinear Special Functions: The Painlevé Transcendents (1996) и на конференции AMS-IMS-SIAM в Mount Holyoke College в South Hadley, Massachusetts: "Random matrices, Statistical mechanics, and Painlevé transcendents" (1996).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [8, 9, 10, 11, 12]. Исправленные электронные версии работ [9, 10] доступны через Internet по адресу: http://wwwjsfb288.math.tu-berlin.de.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения и четырех глав, разбитых на 21 часть. Объем работы — 95 страниц в TgK'e, т.е. не менее 190 машинописных. Список литературы содержит 119 наименований.

Краткое содержание работы

Общее описание. Во Введении к диссертация описывается история уравнений Пенлеве. Эти уравнения принадлежат к Пенлеве-типу, то есть, все критические особые точки их решений фиксированы, не' зависят от данных Коши. Для пятого уравнения Пенлеве есть две критические особые точки: транс-цендентая особая точка при ( = 0 и существенно особая точка при < = оо. Пенлеве доказал, что для уравнений второго порядка есть 50 уравнений Пенлеве-типа. Из них 44 сводятся к уравнениям, решаемым через классические специальные функции и эллиптические функции. Остающиеся шесть уравнений называются уравнениями Пенлеве. Пятое уравнение Пенлеве, изучаемое в настоящей диссертации, имеет вид:

<Ру _ ( 1 1 2 1 ¿у

л2 \2у + у- +

+ —72-(аУ + -) + т +-1—'

*3 у I у-1

В случае 6 ф 0 после замены переменной можно считать, что в уравнении (1) 6 = — Общее решение уравнения (1) есть трансцендентная функция в смысле Умемуры с двумя критическими фиксированными особыми точками и подвижными полюсами.

Гарнье, ученик Пенлеве, показал, что все уравнения Пенлеве можно рассматривать как изомонодромные деформации обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Для пятого уравнения Пенлеве соответствующее уравнение имеет вид (0-3 — третья матрица Паули):

Матрицы Ар = (р = 0,1), параметризуются следующим

образом

в0

V и г 2 /

—г ■

Параметры 0р,0оо не зависят от а г, у, и зависят от Уравнение (2) однозначно определяет так называемые данные монодро-мии, в качестве которых можно взять две матрицы монодромии Мр, р = 0,1 и матрицы Стокса ¿>1 и ¿>2 (см. Часть 2 в диссертации).

Утверждение. Данные монодромии для уравнения (2) не зависят от параметра если параметр и г, у ии как функции t удовлетворяют следующей системе:

Л, 3 61+600 36о + 0! + боо ,

Л = У ~ ^ ~ ' ~ ~~ ^-2-У--2-^

Ах . 60-61+600^ 1/ , 60 + 61 + 600, = -2-+-^->■ (3)

( о г» / , 60-61+600^ , , 60+61+600^

И = 22_0о+^2 +-2-)+у(* +-2-"'

Система (3) называется системой изомонодромных деформаций.

Первые два уравнения системы изомонодромных деформаций эквивалентны пятому уравнению Пенлеве и функция у = является пятым трансцендентом Пенлеве. Параметры связаны следующим образом:

. 1/во-0! +0ООЧ2 а 1/6о -в! -6еоЧ2 - . л л а = 2 -2-} ^ = -2-} =

Имеет место взаимнооднозначное соответствие между точкой на многообразии данных монодромии и решением системы изомонодромных деформаций. Это наблюдение позволяет достичь поставленной цели, классификации решений пятого уравнения Пенлеве, следующим образом.

Будем классифицировать решения сразу трояким образом: по их асимптотике при < 0, по их асимптотике при I —► +оо, по их данным монодромии. Автору удалось найти явное соответствие между асимптотиками решений в особых точках и данными монодромии. Таким образом, все три способа классификации оказываются связаны между собой.

Основные результаты. В диссертации получены следующие результаты (везде далее предполагается, что параметры 0оо, ©о, ©1 общего положения). Найдены все возможные типы асимптотик функций у, г, и, £ (эта функция играет роль т-функции) при t —► 0. Явно вычислены соответствующие данные монодромии. Найдены все возможные типы асимптотик функций у, г, -и и ( при t —* +оо. Вычислены соответствующие данные монодромии. Получено преобразование, связывающее положительные < с отрицательными. Таким образом, из диссертации непосредственно получаются все возможные типы асимптотик функций у, г, и и ( при t —+ —оо и соответствующие данные монодромии

б

(Часть 21, Глава 4). Так как данные монодромии не зависят от I, то формулы связи {0,+со}, {—оо, 0}, {—оо,+оо} получаются простым приравниванием выражений для данных монодромии. Формулы связи очень важны в приложениях пятого уравнения Пенлеве к общей теории относительности, уравнениям статистической и математической физики.

Ввиду крайней громоздкости выражений для данных монодромии и большого количества исследуемых функций (у, г, «и(), изложим здесь только результаты для функции у — решения самого пятого уравнения Пенлеве.

Начнем с асимптотических разложений при I —* + оо.

Теорема 1. Пусть ¡30 6 С\0, < V £ С\0. Тогда существует, единственное решенье уравнения (1) со следующим асимптотическим разложением при I —+ +оо

+ 0(Г

Для Е С и V £ С\{0} определим множество = где ^k & М+ и удовлетворяет следующему уравнению

Отметим, что..,если ,ф | или |£| ф 1, то 7^6 = 0 и, следовательно, = ж+.

Теорема 2. Пусть ¡3 £ С, \ < Ш(3 < | и Ь е С\{0}. Тогда существует единственное решение уравнения (1) с асимптотическим разложением

у = -1 + 4

0 \ , . V 7Г

~4 4г _ 2г ~ 2г л/16 4 = 4

УГ1

Определим область Йе,^,»

П.д« = € : Т^^) > е}.

сое2 г

У=

вт х

+ I),

при í +оо в Здесь

Ветвь второго логарифма в правой части произвольна.

Теорема 3. Пусть V € С\{0}. Существует единственное решение уравнения (1) со следующим асимптотическим разложением при £ —► +00

У = -1 +

Теорема 4. Пуст* й) 6 С\{0}. Существует единственное решение уравнения (1) со следующим асимптотическим разложением при < —+ +ос

у = -1 + 2у|е^и)е» + 0(*~1).

Теорема 5. Существует единственное решение уравнения (1) со следущим асимптотическим разложением при I +оо

Теорема 6. Существуют решения уравнения (1) со следующей асимптотикой при t —► -+оо

и

Каждой такой асимптотике отвечает однопараметринеское семейство решений уравнения (1), где параметром является коэффициент при экспоненциально малом члене.

Для всех этих решений явно вычислены данные монодромии как функции асимптотических параметров (см. диссертацию). Приведенный выше список асимптотик исчерпывает все возможные типы асимптотических разложений пятого трансцендента Пенлеве при Ь —* -+оо в случае параметров общего положения.

Теперь изложим результаты для асимптотических разложений при / —► 0. Пусть а € С. Введем следующие обозначения:

К<п =-2-'=-2-'

<*(") = е°°2+СГ.аИ = Ь(а)с(<г). 8

Теорема 7. Пусть a,s2 £ С\{0} и 9t<r £ [0,1). Существует единственное решение системы (1) со следующим асимптотическим разложением при t —► 0:

- (fl(g)+ s"d(-ir)a(-e)te)(b(<r) + s2rf(<r)¿>(-<T)f7) У ~ (а(«г) + s2d(cr)a(—o-)t")(h(<r) + л2а(-г)6(-г)Г) +

Теорема 8. Пусть si £ С. Существует единственное решение уравнения (1) со следующей асимптотикой при t —>-0:

_ (-d6c(lnt -Ь ¿i) + b(d + с) + e)(fr(ln¿ + «i) - 1 + е) V ~ (~&c(ln t + si) +- b + с + e)(rfb(In t + si) - b - d + s)'

na 1 4.4 , ©1+00 01-00 , 0oo £ = 0(íln t),b=---,c=---

Теорема 9. Существует единственное решение уравнения (1), имеющее следующую асимптотику при t 0:

у = l+0(t).

Теорема 10. Существует единственное решение уравнения (1), имеющее следующую асимптотику при t —* 0:

воо — вр +01 воо+00-01 +

Теорема 11. Пусть a G С\{0}, 3í<r € [0,1) и s¡ G €\{0}. Существует единственное решение уравнения (1), имеющее следующую асимптотику при t —»■ 0:

v ;a(er) + Sf^-a)^ w

Теорема 12. Пусть S,h € С\{0} a 3Í<$ 6 [0,1), Существует решение уравнения (1) со следующей асимптотикой при t -+0

У = 1 + 2/ií + 0(t2~2m),

где

„ - 1 V*-* Л. V A. k(\ 5\'Pi6

Здесь и далее

1-00-01.

Теорема 13. Пусть € С. Существует единственное решение уравнения (1) со следующей асимптотикой при t —+ О

2/ = 1+У1*+0(*21п4*),

где

Теорема 14. Существует единственное решение уравнения (1)

со следующей асимптотикой при f —► О

+ +<>«*>•

В диссертации даны явные формулы для данных монодромии в терминах асимптотических параметров предыдущих разложений. Следовательно, формулы связи построены. Приведенные выше асимптотики исчерпывают все возможные типы асимптотических разложений пятого трансцендента Пенлеве при t —»■ 0.

Приложение. В диссертации расмотрен конкретный пример построения формулы связи для следующего дифференциального уравнения, возникшего в теории поверхностей гармонической обратной средней кривизны в Ж3

хф" — 2х sin 2ф + ф' + 2&тф = 0. (4)

Отметим, что подобное уравнение возникает в теории кираль-ных полей. В частности, уравнению такого типа удовлетворяет профильная функция Р(() в случае так называемого "ежового анзатца", см. работу автора [8].

Известно, что существует решение уравнения (4), имеющее следующую асимптотику

ж 1 5 1 ч

при х —+ +оо. Все вещественные решения уравнения (4) такие, что lim ф{х) = ~, имеют при х —► 0 следующее асимптотиче-

х—<-)-ос г

ское разложение

ф = <гц\ах+& + о(1), |/?0| <тг. (6)

Численное решение (4) на компьютере при помощи программы Mathematica дало следующие значения для параметров Оо и ßo

о-о = 0.56108 ± 0.00005, ß0 = 0.908 ± 0.005.

В диссертации доказан следующий результат.

Теорема 15. Существует одно и только одно решение уравнения (4), имеющее асгшптотику (5) npv х —► -foe и асимптотику (6)

при х —+ +0. Точные значения соответствующих паралктров <т0 и

/?о такоеы:

ст q = -1п(3+ л/8) = -1п(1 + л/2) = 0.5610998522...,

Ж 7Г

/30 = тг-2ст0Ь2 + 2агёГ(^)Г2(^ - = 0.907634370....

Функция arg дается здесь своим главным значением: —ж < arg < тг. Список Литературы

1. М. Sato, Т. Miwa, М. Jimbo, Holonomic quantum fields, I, II, III, IV, V, Publ. RIMS, Kyoto Univ., 14, 223-267; 15, 201-278; 15, 577-629; 15, 871-972; 16, 531-584.

2. M. Sato, T. Miwa, M. Jimbo, Holonomic quantum fields - the unanticipated link between deformation theory of differential equations and quantum fields, in Mathemtical Problems in Theoretical Physics, Lect. Notes Ph.vs., 116, 119-142, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York (1980).

3. H. Flaschka and A. C. Newell, Monoiromy- and spectrum-preseving deformation I, Comm. Math. Phys., 76, 65-116 (1980).

4. A. P. Итс, О "изомонодромных" решениях уравнения пулевой кривизны, ДАН СССР, сер. математическая, 49, 3, 530-564 (1985).

5. A. R. Its and V. Yu. Novokshonov, The isomonodromic deformation method in the theory of Painleve equations, Lecture Notes in Math., 1191, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo (1986).

6. M. В. Федорюк, Асимптотические методы для линейных обыкновенные дифференциальных уравнении, Наука, Москва (1983).

7. А. В. Китаев, Обоснование асимптотических формул, получаемых методом изомоподромных деформации. Зап. научн. семин. ЛОМИ, 179 (1989).

Работы автора по теме диссертации

8. Ф. В. Андреев, М. В. Поляков, О некоторых классических решениях в SU(N) X SU{N)-xupaAbHbix моделях, Ядерная физика, 53, 6, 1704-1710 (1991).

9. F. V. Andreev and А. V. Kitaev, Connection Formulas for Asymptotics of the Fifth Painleve Transcendent on the Real Axis. I, Sfb 288 Preprint No. 160 (1995).

10. F. V. Andreev and A. V. Kitaev, Connection Formulas for Asymptotics of the Fifth Painleve Transcendent on the Real Axis. II, Sfb 288 Preprint No. 196 (1996).

11. Ф. В. Андреев, О специальных решениях пятого -уравнения Пенлеве, Зап. научн. семин. ПОМИ, 243, 5-13, (1996).

12. Ф. В. Андреев, А. В. Китаев, О формулах связи для асимптотик некоторых специальных решении пятого уравнения Пенлеве, Зап. научн. семин. ПОМИ, 243, 14-24, (1996).

1 1