Асимптотические разложения решений пятого уравнения Пенлеве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.925

Парусникова Анастасия Владимировна

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ ПЯТОГО УРАВНЕНИЯ ПЕНЛЕВЕ

01.01.02 — Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

6 ДЕК 2012

Москва, 2012

005056693

005056693

Работа выполнена на кафедре теории динамических систем Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

профессор

Александр Дмитриевич Брюно

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор Андрей Игоревич Шафаревич,-кафедра дифференциальной геометрии и приложений

механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова, профессор

кандидат физико-математических наук Ренат Равилевич Гонцов, Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича РАН, старший научный сотрудник

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

университет аэрокосмического приборостроения

Защита диссертации состоится 14 декабря 2012 г. в 16 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математичсскнй факультет, ауд. 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 14 ноября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного

совета Д 501.001.85 при МГУ, ^о

доктор физико-математических наук, С-^&А^

профессор ^ В.Н.Сорокин

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Данная диссертация является исследованием в области аналитической теории дифференциальных уравнений. Рассматривается пятое уравнение Пенлеве. Методами двумерной и трёхмерной степенной геометрии отыскиваются асимптотические разложения и асимптотики его решений в окрестности особых и неособых точек уравнения.

Л. Фукс в работе 1884 года1 и А. Пуанкаре в работах 1885-1886 годов2,3'4 предложили искать в классе нелинейных дифференциальных уравнений тё, решения которых не имеют критических подвижных особых точек, и при этом не выражаются через уже известные функции, в том числе и через спецфункции (особая точка функции называется критической, если при обходе этой точки значение функции меняется; особая точка решения уравнения называется подвижной особой точкой, если её положение зависит от начальных условий). Фукс показал, что уравнения вида

..у Р(ш>г)

Q{w,z)'

где P(w,z),Q(w,z) по w — многочлены, а по z — аналитичны, будут уравнениями с неподвижными критическими точками, если и только если они являются уравнениями Риккати, т. е. имеют вид w' = a0(z)w2/2 + ai(z)w + a0(z).

Дальнейшее развитие проблематики сузило поставленную задачу. В 1887 году Э. Пикар5 предложил исследовать класс ОДУ второго порядка вида

ги" = F{z,w,w'), (1)

где F(z,w,w') — мероморфная по z и рациональная но w, w' функция, и уже из уравнений этого класса выделить те уравнения, решения которых не имеют подвижных критических особых точек.

'L. Fuchs, Uber differentiagleicliuiig deren integrale feste vomvriguug-spuctc besitzen // Sitz. Aead. Wiss. Berlin. 1884.669-720.

2A. Poincare, Sur les integrales irregullieres des equations linéaires // С. г. Acad. sei. 1885.101. 939-941. Oeuvres. IV. 611-613.

3A. Poincare, Sur les integrales irregullieres des equations lineaires// C. r. Acad. sei. 1885. 101. 990-991. Oeuvres. IV. 614-615.

4A. Poincare, Sur les integrales irregullieres des equations lineaires // Acta Math. 1886. 8. Oeuvres. I. 167-222.

5E. Picard, Demonstration d' un theoreme generale sur les fonetionsuniformes linees par une relation algebraique // Acta Math. 1887. 11. 1-12.

В такой постановке в начале двадцатого века задачу решил П. Пенлеве6 со своими учениками Б. Гамбье7 и Р. Гарнье8: они нашли 50 канонических уравнений. Среди этих уравнений были выделены б, получившие название уравнений Пенлеве. Для остальных 44 уравнений все решения либо выражались через элементарные или известные тогда специальные функции, либо уравнения сводились к уравнениям Пенлеве.

Решения уравнений Пенлеве определяли новые функции, которые были названы тпрансцендентами Пенлеве. Отметим, что в форме, поставленной Фуксом и Пуанкаре, задача о поиске обыкновенных дифференциальных уравнений, все решения которых не имеют критических подвижных особых точек, на данный момент остаётся открытой.

В первые годы после обнаружения нового класса объектов были выделены случаи явной интегрируемости, найдены условия на параметры уравнений, при которых уравнения имели частные решения в виде специальных функций. П. Бутру9 нашёл эллиптические асимптотики первого и второго трансцендентов Пенлеве.

Уравнения Пенлеве вновь привлекли внимание в конце 1970-х гг. в связи с исследованиями М. Абловица и X. Сегура10, показавшими, что уравнения Пенлеве возникают как точные редукции нелинейных уравнений в частных производных.

В те же годы уравнения Пенлеве обнаружены как описывающие физические явления: к ним сводятся трёхмерное нелинейное уравнение Шрё-дингера, уравнения Эрнста, Буссинеска, Кортевега-де-Фриза., Кадомцева — Петвиашвили и другие. Также к ним сводятся sin-Гордон и эллиптическое sin-Гордон уравнения. Уравнения Пенлеве используются в статистической физике, дискретные уравнения Пенлеве — в теории случайных матриц. Всё это объясняет актуальность изучения трансцендентов Пенлеве.

Результаты, касающиеся асимптотического поведения трансцендентов Пенлеве, получены Ф. В. Андреевым, А. П. Бассом, А. Д. Брюно, И. В. Го-рючкиной, Д. Гузетти, М. Джимбо, Б. Дубровиным, А. Итсом, Н. Йо-

6Р. Painlcve, Mémoire sur les équations différentielles dont l'integrale generale est, uniforme //Bull. Soc. Math. France. 1900. 28. 201-281.

TB. Gambier, Sur les équations différentielles du seconde ordre et du premier degre dont l'integrale générale est a points critiques fixes // Acta Math. 1910.33.1-55.

8R. Garnier, Sur des équations différentielles du troisième ordre dont l'integrale generale est uniforme et sur une classe d'équations nouvelles d'ordre supérieur dont l'integrale generale a ses points critiques fixes // Ann. Sci. de l'Ecole Normale Supérieure. 1912. v. 29. p. 1-126, serie 3, 1917. v. 34. p. 239-353

9P. Boutroux, Recherches sur les transcendantes de M.Painleve et l'etude asymptotique des équations différentielle dusecond ordre// Ann. Sci. Ее. Norm. Super.

10M. J. Ablowitz, H. Segur, Asymptotic solutions of the Kortweg de Vries équation // Stud. Appl. Math , v. 57, №1, p. 13-44.

ши, А. Катаевым, К. Краскалом, А. Китаевым, П. А. Кларксоном, К. Ло, М. Мазокко, Дж. Мак Леодом, С. П. Новиковым, В. Новокшёновым, В. Су-леймановым, Ш. Тэнгом и другими11.

Цель работы.

Целью настоящей диссертации является отыскание и исследование асимптотических разложений и асимтотик пятого трансцендента Пенлеве в окрестности точек расширенной комплексной плоскости.

Методы исследования.

В работе применяются методы аналитической теории дифферениальных уравнений, методы двумерной и трёхмерной степенной геометрии, методы теории расходящихся рядов.

Научная новизна работы.

В диссертации получены следующие новые результаты:

- найдены асимптотические разложения решений пятого уравнения Пенлеве в окрестности нуля;

- найдены все асимптотические разложения решений пятого уравнения Пенлеве в окрестности неособых точек уравнения, доказана сходимость разложений;

- получены и изучены асимптотические разложения решений пятого уравнения Пенлеве в окрестности бесконечности; они являются расходящимися рядами по целым и полуцелым степеням независимой неременной; доказана их суммируемость по Жевре порядка 1; вычислены экспоненциально малые добавки к расходящимся рядам;

- найдены периодические и эллиптические асимптотики решений вспомогательных к пятому уравнению Пенлеве уравнений в окрестности бесконечности.

''Подробная библиография, относящаяся к истории изучения уравнений Пенлеве, имеется в книге А. Р. Итса, А. А. Капаева, В. Ю. Новокшенова, А. С. Фокаса. Трансценденты Пенлеве. Метод задачи Римана // М., Ижевск, Регулярная и хаотическая динамика, 2005.

Теоретическая и практическая ценность.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях специалистами по уравнениям Пенлеве.

Апробация работы.

Автор выступал с докладами по теме диссертации на следующих научных семинарах:

1. семинар «Качественная теория дифференциальных уравнений» кафедры дифференциальных уравнений механико-математического фаг культета МГУ под рук. проф. И. В. Асташовой, проф. А. В. Боровских, проф. Н.Х. Розова, проф. И. Н. Сергеева (2012);

2. семинар по аналитической теории дифференциальных уравнений МИАН им. В. А. Стеклова под рук. академика Д. В. Аносова (2012);

3. семинар «Математическая физика» ИПМ им. М.В. Келдыша РАН иод рук. проф. В. В. Веденяпина, проф. В. А. Дородницина, ироф. М. В. Масленникова, проф. Ю. Н. Орлова (2012);

4. семинар «Асимптотические методы математической физики и механики» лаборатории механики природных катастроф ИПМех им. А. Ю. Ишлинского РАН под рук. академика В. П. Маслова, проф. С. Ю. Доброхотова (2012).

Содержащиеся в диссертации результаты докладывались автором на следующих конференциях:

1. Международная конференция «Ломоносов -2009» (г. Москва, 2009);

2. Международная конференция но дифференциальным уравнениям и динамическим системам (г. Суздаль, 2010);

3. Пятые Богдановские чтения но дифференциальным уравнениям (г. Минск, 2010);

4. Международная конференция «Тараповские чтения-2011» (г. Харьков, 2011);

5. Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященная памяти И.Г. Петровского (г. Москва 2011);

6. Международная конференция «Уравнения Пенлеве и смежные вопросы» (г. Санкт-Петербург, 2011);

7. Международная конференция «Формальные и аналитические решения дифференциальных уравнений» (г. Познань, Бедлево, Польша, 2011);

8. Международная конференция «Дифференциальные уравнения и оптимальное управление», посвященная 90-летию со дня рождения академика Е. Ф. Мищенко (г. Москва, 2012);

9. Международный коллоквиум «Дифференциальные и разностные уравнения в комплексной области» (г. Варшава, Польша, 2012);

10. Международная конференция но дифференциальным уравнениям и динамическим системам (г. Суздаль, 2012);

Тезисы всех докладов опубликованы в сборниках тезисов соответствующих конференций.

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в пяти работах, список которых приведён в конце автореферата [1] - [5], а также в сборниках тезисов перечисленных выше конференций.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы. Все три главы разделены на параграфы, каждая из глав состоит из четырёх параграфов. В списке литературы — 35 наименований. Объем диссертации — 96 страниц. В работе имеется 25 поясняющих иллюстраций.

Содержание диссертации.

Диссертация посвящена изучению актуальных вопросов аналитической теории дифференциальных уравнений, а именно, вычислению и анализу асимптотических разложений и асимптотик решений пятого уравнения Пенлеве.

В диссертации рассматривается пятое уравнение Пенлеве, которое имеет вид:

\2ги ш-1/ 2 г1 \ -ш) г ш-1

где а,/3,7,6 — комплексные параметры. Уравнение имеет две особые точки: ноль и бесконечность. Методами стененной геометрии отыскиваются асимптотические разложения его решений в окрестности его особых и неособых точек.

Введение содержит описание проблематики, в нём сформулированы полученные в диссертации результаты.

Первые два параграфа первой главы — вводные. В § 1.1 приводятся основные определения и понятия двумерной стененной геометрии. В § 1.2 описан класс разложений, в котором мы ищем решения уравнене-ния. При 2 —► 0 и при г —+ оо отыскиваются разложения вида

где Сг(г), с3(г), г, в 6 С. Множество К лежит в полуплоскости Ие (я—г) > О для разложений при г-»0ив полуплоскости Ие (в—г) < 0 для разложений при г —у оо; оно является "положительной" частью некоторой дискретной решётки в С.

Различаем четыре типа разложений (2):

1) Ст(-г) и с3(г) - постоянные (степенные разложения)-,

2) Ст(г) - постоянный коэффициент, с3(г) - многочлены от 1п 2 (степенно-логарифмические разложения);

3) Сг(г) и с,(г) - ряды по убывающим степеням 1пг (сложные разложения, в литературе их также называют пси-рядами);

4) г, в е К, Сг(г) и с3(г) - ряды но степеням г1, г2 = -1; показатели степени г1 в каждом из коэффициентов Сг(г), с3(г) ограничены либо сверху, либо снизу (экзотические разложения)-, если в каждой из сумм конечное число слагаемых, то разложения называем полуэкзотическими.

5) Также ищем экспоненциальные разложения решений

где Ьк(г), 1/5'(.г) — степенные разложения с рациональными показателями

степени (т. е. для них множество К с —, т 6 №. тэ т

а третьем параграфе первой главы методы, описанные в § 1.1 и § 1.2, применяются для отыскания асимптотических разложений решений при г 0. Результаты, полученные в параграфе, сформулированы в виде теоремы.

(2)

(X)

Теорема 10. В окрестности точки z = 0 пятое уравнение Пенлеве имеет, следующие семейства асимптотических разложений решений:

При 7Î ф 0, 7/v—2S ^ ЪUЖ — однопараметрическое селшйство степенных разложений

ох °° 00 •Нг: + £ с..*""',

7 s=l e=0,s+e^l

где а = sgnRe(7/-\Z-2d)(7/\/—25), Ci,i — произвольная постоянная, остальные коэффициенты csj зависят от С].д.

. При jô ф 0, 7/%/—2 S eZ - серия однопараметрических семейств степенно-логарифмических разложений

25 °° Н2: w=l--z + ^c5(z)z5,

7 s—1

где а = I7/\/—25\ 6 N, ся, 1 < s < а, — постоянные, cs(z), са+1 — многочлен от логарифма, который содержит одну произвольную постоянную, cs, s > а + 2 — многочлены; от lnz с однозначно определёнными коэффициентами (зависящими от произвольной постоянной, входящей в са+

При 75 ф 0, 72/ô € R+ — два однопараметрических семейства экзотических разложений

9Л °° оо 7ÎÎ : w= 1 + (--+ CziTa)z + ^2zs^2dS:mzimra, г = ±1,

^ s=2 т=О

где а — I7/V—25|, С — произвольная постоянная, а остальные — однозначно определенные постоянные.

При 7 Ф 0 — однопараметрическое семейство сложных разложений

Нг : w = 1 + (-1 ln2 г + С0 lnz - z + g Vti3(z)z»,

г<?е <ps,3(z) — ряды по убывающим степеням ln z с однозначно опеределён-ными комплексными коэффициентами.

При I7I + ф 0 — двухпараметрическое семейство полуэкзотических разложений

(2 г) г 2 \ 00

С*Т - 5+4c^z~ir)z+Ег5Е

' s=2 m=О

где г е R \ {0}, Се С — произвольные постоянные.

При 7 = 0, 6 ф 0 — два однопараметрических семейства сложных разложений

00

И}4: w = l + ((-iyV=2ôlnz + C0)z + Y,'PsAz)zs, 3 = 5,6,

5=2

где <Ps,j(z) — ряды по убывающим степеням In z с однозначно определёнными комплексными коэффициентами (семейства Ль и переходят друг в друга при смене ветви корня).

Семейство разложений Hi имеется в книге В. И. Громака, И. Лэйне,' С. Шимомуры12, семейство TÎ2 указано в работе А. Д. Врюно и Е. С. Карулиной13. Из найденных в диссертации разложений новыми являются 3 семейства сложных разложений, 2 семейства экзотических и семейство полуэкзотических разложений.

В четвёртом параграфе первой главы получены 20 семейств разложений решений пятого уравнения Пенлеве: 9 степенных, 2 степенно-логарифмических, 3 сложных, 6 экзотических. Эти семейства аналогичны имеющимся в работе А. Д. Брюно и И. В. Горючкиной14 разложениям решений шестого уравнения Пенлеве.

Во второй главе найдены все асимптотические разложения решений пятого уравнения Пенлеве в окрестности его неособой точки z0, z0 ф 0, оо, и получена

Теорема 13. В окрестности неособой точки Zq при всех значениях параметров получены все разложения решений пятого уравнение Пенлеве. Они образуют 10 семейств. Разложения трёх семейств — это ряды Лорана с конечной главной частью (сходятся в проколотой окрестности неособой точки), остальные — ряды Тейлора (сходятся в окрестности особой точки).

Ранее не было известно полученное для 7 ф 0, 5 = 0 семейство разложений

00

°s: w = 1~i{z~Zo)2 + ~ *o)S'

,2V.I. Gromak, I. Laine, S. Shimomoura, Painleve Differential Equations in the Complex Plane// Walter de Gruter. Berlin, New York, 2002. 303 p.

13А. Д. Брюно, Б. С. Карулина. Разложения решений пятого уравнения Пенлеве // ДАН 2004 395 № 4, с. 439-444.

"А. Д. Брюно, И. В. Горючкина. Асимптотические разложения решений шестого уравнения Пенлеве Труды MMO, т. 71, 2010 г.

где сз,8 = О, С4,8 — произвольная постоянная, остальные коэффициенты постоянны и однозначно определены.

В третьей главе отыскиваются и исследуются асимптотические разложения и асимптотики решений пятого уравнения Пенлеве вблизи бесконечности.

В первом параграфе третьей главы методами двумерной степенной геометрии найдены асимптотические разложения решений пятого уравнения Пенлеве при г -> оо пяти типов, описанных во втором параграфе первой главы; получена

Теорема 14. При г —► оо существуют следующие однопараметриче-ские семейства экспоненциальных асимптотических разложений решений пятого уравнения Пенлеве, имеющие вид

00

ю = Ьо(г) + С вхр{ф)) + Ьк(2)Скехр(к>р(2)).

к=2

При а,06 ф 0;

1) четыре семейства разложений Т>1>т (1,т = 1,2), где

_ 00 .

ехр^,,„(*)) = + £

ч %

РЫ = -1 + (-1)т+,2х/^д+

2) два семейства разложений £т (т = 1,2), где

1 + ^ + (4)

5=2

ехр {^{г)) = £= ехр{(-1 ГуЦг + £)

3) четыре семейства разложений (1,т = 1,2), где

I л" оо

°0 І

ехр(^,т(г)) = СгРі,™ ехр{(-1 )т^5г + £

і 21

Рі,т = 1 + (—1)'+т2\/2а + При а/?7 ф 0, <5 = О:

1) четыре семейства разложений Т>^т (I = 3,4, т = 1,2), где

ад.)-<-«У-^+Ё+Е^ ■ т.

72: 7 г ^^ г3!"1'

00 ^

ехр(¥»|,т(2)) = С^ ехр{(-1)т2ч/2^ + X)

г"/2 1

Яш = "о +

1 , ,

2 к ' 2 ' 2) четыре семейства разложений Рі%т (I = 3,4, т = 1,2), где

I--оо

8=1

ОО .

ехр(^,т(г)) = Сг«.-» ехр{(-1)'2ч/=2^ + £

5=1 ^

л, -1л.(

Рі,т - ^ + І-1) 2~•

"Экспоненциальные добавки" ехру>/,т(,г) для разложений Т>^т, (1,т = 1,2) экспоненциально малы в полуплоскостях (—1)тЕе(\/—6г) < О, для разложений £,Г1 (т = 1,2) — в полуплоскостях для разложений £>г,т (/ = 3,4, т = 1,2) — в областях (-1)тКе(А/:уі) < О, для разложений (I = 3,4, т = 1,2) — в областях (-1)тКе(ус::7І) < 0.

Также получена

Теорема 15 .В случае а = 0, 6 ф 0 имеются два однопараметрических семейства экспоненциальных разложений Ят (т = 1,2) вида

оо

ыт = С ехр(ірт(г)) + X Кт{2)С~к ехр(-*^(г)), (8)

к=0

где Ьк,т(— степенные ряды,

ахр(рт(г)) = г %/=25 ехр{(-1)т^26г + £ <1в,тг~*},

определены в области (-1)т11е(-\/—¿г) > 0.

В случае а = 0, 5 = 0— два однопараметрически-х семейства экспоненциальных разложений От (т — 3,4) вида (8), где

00

3=1

определены в области (—1)тНе(л/—2тг) > 0.

В случае /3 = 0 при 5^0 имеются два семейства экспоненциальных разложений С?5, С/с, а при 0 = 0,5 = 0— ещё два семейства экспоненциальных разложений От, Разложения могут быть получены из упомянутых выше 01, С/г и Яз, при а = 0 с помощью преобразования

{ю,а,р,ч,6) = -5,-7,5). (9)

Во

втором параграфе третьей главы исследуется суммируемость но Жевре рядов (3) — (7).

Пусть ПдОрь^г) — открытый сектор с вершиной в бесконечности на расширенной комплексной плоскости или римановой поверхности логарифма, т. е.

Пя(<Р1,<?2) = {г : \г\ > И, Ащг е (<риср2)}.

оо

V) — голоморфная на ^г) функция и и> = — некоторый

4=0

формальный ряд, принадлежащий С[[1/г]]. Говорят, что т асимптотически приближается рядом и) на <^2)> если для точек г любого замкнутого подсектора У из и любого п 6 N существуют постоянные Му,п > 0:

п-1

\гпМг)-^2аРг-"\<Му1П. р=о

Если существуют постоянные Ау, С такие, что Муп = С(п\)г/кАу, то говорят, что IV асимптотически приближается по Жевре порядка 1/к рядом ■й на Пд^ь^г)-

В § 3.2 получена теорема, которая позволяет говорить о точности приближения решений пятого уравнения Пенлеве экспоненциальными разложениями.

Теорема 18. Типы Жевре рядов (4), (5) и регулярной части ряда (3) равны единице. Ряды (6), (7), рассмотренные как ряды по переменной у/z, также имеют тип Жевре, равный единице.

Утверждение 3.1. Существуют к' > 1 и Rq G такие, что для любого открытого сектора </?г)> Я > Rq, <ръ — <pi < rr/fc' < тг су-

ществует решение пятого уравнения Пенлеве, асимптотически приближаемое рядом (5) по Жевре порядка 1. Для ряда (4) и регулярной части ряда (3) постоянные Rq и к' — свои.

Существуют к' > 2 и £ R+ такие, что для любой области {z : |\/i| > Я > Яд, Argz € (<р1,<рг)}, — Ч>\ < к/k' < 2ж на римано-вой поверхности y/z существует решение пятого уравнения Пенлеве (с параметром 6 = 0), асимптотически приближаемое рядом (6) по Жевре порядка 1. Такое же утверждение верно и для ряда (7) (со своими постоянными До и к').

В третьем параграфе третьей главы описаны методы трёхмерной степенной геометрии.

В четвёртом параграфе эти методы применяются к пятому уравнению Пенлеве: в окрестности бесконечности отыскиваются асимптотики решений вспомогательных к пятому уравнению Пенлеве уравнений. Ищем асимптотики вида w = zaip{zb), где а и b — const 6 К, b > 0. Если <р(и) — комплексно-периодическая функция (однопериодическая), будем называть асимптотику периодической; если tp(u) — эллиптическая функция, будем называть асимптотику эллиптической.

Основным результатом § 3.4 является

Теорема 20. Асимптотики решений вспомогательных к пятому уравнению Пенлеве уравнений при z —> оо образуют следующие семейства:

два двухпараметрических семейства эллиптических асимптотик

£lh : w = j{C2-AC+1) , g(C2+8C-2) (2С-1)) +

+ 1/4;

Щ. (С - 1) (4С - 1)(5С - 2)) + С ф 1;

где р(г;д1уд2) — функция Вейерштрасса, С ф 0,С0 е С — произвольные постоянные,

четыре однопараметрических семейства периодических асимптотик Ъ : « = + - §), где ад. = ^ -

Тз: » = г-Ч>(С^< + - £), где С+С_ = + £

¿7 167^ 47

семейства Т2, Т4, получаемые из Тъ Т3 при помощи замены (9).

Семейства Т\, %, £11\ существуют при 5 ф 0, а семейства Т3, £112

— при 7 ф О, 6 = О.

В заключение автор благодарит своего научного руководителя профессора Александра Дмитриевича Брюно за постановку задачи, внимание к ее решению и плодотворные обсуждения.

Работы автора по теме диссертации.

1. А. Д. Брюно, А. В. Парусникова, Локальные разложения решений пятого уравнения Пенлеве //ДАН, 2011, т. 438, №4, с. 439-443.

2. А. Д. Брюно, А. В. Парусникова, Разложения решений пятого уравнения Пенлеве в окрестности его неособой точки // ДАН, 2012, т. 442, №5, с. 583-588.

3. А. V. Parusnikova, Asymptotic expansions of solutions to the fifth Painleve equation // Painlev4 Equations and Related Topics (Eds: A. D. Bruno, A. B. Batkhin), De Gruyter, Berlin/Boston, 2012, p. 33-38.

4. A. D. Bruno, A. V. Parusnikova, Elliptic and periodic asymptotic forms of solutions to P5 // Painleve Equations and Related Topics (Eds. A. D. Bruno, A. B. Batkhin), De Gruyter, Berlin/Boston, 2012, p. 53-65.

5. А. Д. Брюно, А. В. Парусникова, Разложения и асимптотики решений пятого уравнения Пенлеве вблизи бесконечности. Препринт № 61. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша. 2012, с. 1-32.

В совместных работах [1,2,4,5] А. Д. Брюно принадлежит выбор направлений научных исследований и общее научное руководство, а все доказательства теорем и основных результатов сделаны А. В. Парусниковой.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж 100 экз. Заказ № &С

Введение

Глава 1. Разложения решений в окрестности нуля

§ 1.1. Понятия и определения двумерной степенной геометрии

§ 1.2. Типы получаемых разложений

Степенные и степенно-логарифмические разложения

Сложные разложения.

Экзотические разложения.

Экспоненциальные разложения.

§ 1.3. Применение методов двумерной степенной геометрии для нахождения разложений в нуле.

Свойства пятого уравнения Пенлеве.

Случай а{3-у5 ф0.

Случай а/?7 ф 0, 5 = 0.

Случай ар ф 0, 7 = 0, 6 ф

Сводка полученных разложений.

§ 1.4. Основные семейства

Связь с семействами разложений решений уравнения Р^

Интегрируемый случай 7 = 0, 5 = 0.

Глава 2. Решения пятого уравнения Пенлеве в неособой точке

§2.1. Случай а/Зуд ф 0.

§ 2.2. Случай с0 = 1, а/3 ф 0.

§ 2.3. Случай а/3 = 0.

§ 2.4. Сходимость разложений.

Глава 3. Разложения и асимптотики решений в окрестности бесконечности

§ 3.1. Применение методов двумерной степенной геометрии

Случай а(3-у6 фО.

Случай а/?7 ф 0, 5 = 0.

Сводка результатов.

Случай а(3 = 0.

§ 3.2. Суммируемость разложений по Жевре.

§ 3.3. Методы трёхмерной степенной геометрии.

§ 3.4. Применение методов трёхмерной степенной геометрии

Случай а/3^5 ф 0.

Случай ар-у ф 0, 5 =

Случай а = 0, ¡3^5 ф 0.

Оставшиеся случаи.

Данная работа является исследованием в области аналитической теории дифференциальных уравнений. Рассматривается пятое уравнение Пенле-ве. Методами двумерной и трёхмерной степенной геометрии отыскиваются асимптотические разложения и асимптотики его решений в окрестности особых и неособых точек уравнения.

Л. Фукс в работе 1884 года [5] и А. Пуанкаре в работах 1885-1886 [18], [19], [20] предложили искать в классе нелинейных дифференциальных уравнений те, решения которых не имеют критических подвижных особых точек, и при этом не выражаются через уже известные функции, в том числе и через спецфункции (особая точка функции называется критической, если при обходе этой точки значение функции меняется; особая точка решения уравнения называется подвижной особой точкой, если её положение зависит от начальных условий). Фукс показал, что уравнения вида ^ Р^, г) <20, ¿0' где Р(ги, г), (^(ги, г) по ю — многочлены, апог- аналитичны, будут уравнениями с неподвижными критическими точками, если и только если они являются уравнениями Риккати, т. е. имеют вид и/ — ао(г)го2/2 + <21(2)«; + ао(г).

Параллельно с Л. Фуксом и А. Пуанкаре похожими вопросами занималась и С. Ковалевская — она рассматривала задачу о движении волчка. До её исследований Л. Эйлером и Ж. Лагранжем уже были найдены значения параметров, при которых система уравнений движения волчка оказывалась интегрируемой. Ковалевская продолжила поиск первых интегралов системы, и при этом подошла к вопросу с принципиально иной, аналитической точки зрения. Она выделила параметры задачи, при которых решения уравнений движения не имеют подвижных критических точек, а затем при выделенных параметрах задачи нашла дополнительный первый интеграл, не известный Эйлеру и Лагранжу. Связанные с этим вопросом результаты опубликованы в работе 1889 года [12]: в ней Ковалевская показала, что если у решений системы дифференциальных уравнений нет подвижных критических особых точек, то система имеет дополнительный интеграл, и её решения могут быть построены в аналитическом виде.

Дальнейшее развитие проблематики сузило поставленную задачу. В 1887 году Э. Пикар [17] предложил исследовать класс ОДУ второго порядка вида w" = F(z,w,w'), (1) где F(z, w, w') — мероморфная по 2 и рациональная по w и w' функция, и уже из уравнений этого класса выделить те уравнения, решения которых не имеют подвижных критических особых точек.

В такой постановке в начале двадцатого века задачу решил П. Пенлеве [13], [14], [15] со своими учениками Б. Гамбье [7], [8] и Р. Гарнье [6]: они нашли 50 канонических уравнений. Среди этих уравнений были выделены 6, получившие название уравнений Пенлеве. Для остальных 44 уравнений все решения либо выражались через элементарные или известные тогда специальные функции, либо уравнения сводились к уравнениям Пенлеве.

Здесь и далее будем обозначать уравнения Пенлеве (с первого по шестое) через Р\ — w" = Qw2 + ^ (рх) w" = 2 w3 + zw +а, (Р2) (w')2 w' aw2 -f ¡3 о 6 w" = ^---+-+7W3 + -, Р3) w z z w w 2 w h m 1 \ , a2 w' (w-1 Y ( p\ 7w ôw(w+l) w = Un +-7) (w)--+ "-Г2" \aw + - +—+—--г^, П

2w w~lj z z1 V w z w — l w"

2 \w w — l w — zj \z z— 1 w — zj z2(z — I)2 у ио2 ('Ш — I)2 ('ш — £)2)

Решения этих 6 уравнений Пенлеве определяли новые специальные функции, которые были названы трансцендентами Пенлеве. Отметим, что в форме, поставленной Фуксом и Пуанкаре, задача о поиске обыкновенных дифференциальных уравнений, все решения которых не имеют критических подвижных особых точек, на данный момент остаётся открытой.

В первые годы после обнаружения нового класса объектов были выделены случаи явной интегрируемости, наложены условия па параметры уравнений, при которых уравнения имели решения в виде специальных функций. Работы Пенлеве и учеников были связаны с изучением уравнений и их свойств. Например, в 1910 году Гамбье показал, что уравнения Пенлеве Рг-Рб обладают преобразованием Бэклунда, которое переводит решение данного уравнения в решение уравнения с тем же номером, но с другими значениями параметров. Он же показал, что уравнения Рг—Рб ПРИ некоторых значениях параметров обладают рациональными и алгебраическими решениями. Гамбье также показал, что уравнение Р2 имеет однопараметри-ческое семейство решений, представимое в виде функций Эйри. Он же при помощи преобразования Бэклунда показал, что уравнение Р2 может быть переведено само в себя, причём один из его коэффициентов станет равным нулю.

Бутру в работе 1913 года [2] нашёл некоторые семейства асимптотик решений уравнения Р2; при помощи специального преобразования переменных были найдены и разложения решений уравнения Рх в различных частях плоскости. Некоторые из них были эллиптическими функциями.

Для Ре в частном случае Пенлеве и Фукс показали, что есть существенно трансцендентное решение, являющееся композицией эллиптической и гипергеометрической функции (интересно, что работа, посвященная этому вопросу, появилась ещё до открытия самих уравнений), Гамбье же нашёл решение для уравнения выражаемое через цилиндрические функции.

Лукашевич в 1960-х годах занимался поиском решений уравнения Р5 при конкретных значениях параметров. Так, например, при а: = ¡3 = 0, 72 + 25 = 0 уравнение было проинтегрировано в 1965 году, а при 7 = 5 = 0 — в 1968 году. Лукашевич нашёл элементарные, не являющиеся рациональными функциями, однопараметрические семейства решений, представляющие собой функции Уиттекера. гипергеометрические функции).

Уравнения Пенлеве вновь привлекли внимание в конце 1970-х гг. в связи с работой М. Абловица и X. Сегура [1], в которой было показано, что уравнения Пенлеве возникают как точные редукции нелинейных уравнений в частных производных. В те же годы уравнения Пенлеве были обнаружены, как описывающие физические объекты: к ним сводится эт-Гордон уравнение, эллиптическое уравнение вт-Гордон, уравнение Эрнста, уравнение Кортевега-де-Фриза, трёхмерное нелинейное уравнение Шрёдингера, уравнение Буссинеска, уравнение Кадомцева — Петвиашвили и другие. Уравнения Пенлеве также имеют приложения в статистической физике, дискретные уравнения Пенлеве — в теории случайных матриц. Всё это объясняет актуальность изучения асимтотического поведения трансцендептов Пенлеве.

В 1987, 1989 годах Нишиока и Умемура доказали сформулированную Пенлеве ещё в 1902 году теорему о том, что все решения уравнения Р\ являются неприводимыми.

Далее последовал ряд работ, приводящих уравнения Пенлеве к форме уже известных механических, математических, физических объектов, Ока-мото в 1980 году удалось переписать все уравнения Пенлеве в форме га-мил ьтоновых систем.

Перечислим области, в которых применяются уравнения Пенлеве в настоящее время: асимптотика нелинейных эволюционных уравнений; статистическая механика; модели случайных матриц; теория квантовой гравитации и квантового поля; теория топологического поля; решения стационарных осесимметричных уравнений Эйнштейна; поверхности с постоянной отрицательной кривизной; общая теория относительности; физика плазмы; резонирующая осцилляция в мелкой воде; конвективные потоки с вязкой диссипацией; вихри Гёрте в ограниченном слое; нелинейные волны; полиэлектролиты и электролиз; теория сверхпроводников; нелинейная оптика и стеклооптика и другие.

Результаты, касающиеся асимптотического поведения трансцендептов Пенлеве, получены Ф.В. Андреевым, А. П. Бассом, А. Д. Брюно, И. В. Го-рючкиной, Д. Гузетти, М. Джимбо, Б. Дубровиным, А. Итсом, Н. Йоши, А. Капаевым, А. Китаевым, П. А. Кларксоиом, К. Ло, М. Мазокко, Дж. Мак Леодом, В. Новокшёновым, В. Сулеймановым, Ш. Тэнгом и другими. Подробная библиография, относящаяся к истории изучения этих вопросов, имеется в книге А. Р. Итса, А. А. Капаева, В. Ю. Новокшенова, А. С. Фока-са [33].

Обзор известных свойств трансцендептов Пенлеве имеется в работе П. Кларксона [4].

Данная диссертация состоит из введения и трёх глав.

1. M. J. Ablowitz, H. Segur, Asymptotic solutions of the Kortweg de Vries equation 11 Stud. Appl. Math., v. 57, №1, p. 13-44.

2. P. Boutroux, Recherches sur les transcendantes de M.Painleve et 1'etude asymptotique des equations différentielle dusecond ordre // Ann. Sei. Ec. Norm. Super.

3. A. D. Bruno, A. V. Parusnikova. Elliptic and periodic asymptotic forms of solutions to P5 // Painlevé Equations and Related Topics (Eds. A. D. Bruno, A.B. Batkhin), De Gruyter, Berlin/Boston, 2012, p. 53-65.

4. P.A. Clarkson, Painlevé Transcendents // NIST Digital Library of Mathematical Functions. Chapter 32. http://dlmf.nist.gov/32

5. L. Fuchs, Uber differentiagleichung deren integrale feste verzweigung-spuete besitzen // Sitz. Acad. Wiss. Berlin. 1884. 669-720.

6. B. Gambier, Sur les equations différentielles du seconde ordre et du premier degre dont l'integrale generale est a points critiques fixes // Acta Math. 1910.33.

7. R. Garnier, Etudie de l'integrale generale de 1' equations VI de M.Painleve // Ann. Sei. Ec. Norm. Super. (3). 1917. 34.

8. I. V. Goryuchkina, Convergence of a Formal Solution to an ODE // Painlevé Equations and Related Topics (Eds. A.D. Bruno, A.B. Batkhin), De Gruyter, Berlin/Boston, 2012, p. 33-38.

9. V. I. Gromak, I. Laine, S. Shimomoura, Painleve Differential Equations in the Complex Plane // Walter de Gruter. Berlin, New York, 2002. 303 p.

10. E.S. Karulina // J. Math. Sci. 2007. V. 145. №5. P. 5252-5259.

11. S. V. Kowalewskaya, Sur la problème de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe // Acta math. 1889. 12. 177-232.

12. P. Painleve, Leçons sur la theorie analitique des equations différentielles, professes a Stokholm. Paris. 1897.

13. P. Painleve, Mémoire sur les equations différentielles dont l'integrale generale est uniforme // Bull. Soc. Math. France. 1900. 28.

14. P. Painleve, Sur les equations différentielles du second ordre et d'ordre superieux, dont l'integrale generale est uniforme // Acta Math. 1902. 25.

15. A. V. Parusnikova. Asymptotic expansions of solutions to the fifth Painlevé equation // Painlevé Equations and Related Topics (Eds. A. D. Bruno, A.B. Batkhin), De Gruyter, Berlin/Boston, 2012, p. 33-38.

16. E. Picard, Demonstration d' un theoreme generale sur les fonctionsuniformes linees par une relation algebraique // Acta Math. 1887. 11.

17. A. Poincare, Sur les intégrales irregullieres des equations lineaires // C. r. Acad. sci. 1885. 101. 939-941. Oeuvres. IV.

18. A. Poincare, Sur les intégrales irregullieres des equations lineaires // C. r. Acad. sci. 1885. 101. 990-991. Oeuvres. IV.

19. A. Poincare, Sur les intégrales irregullieres des equations lineaires // Acta Math. 1886. 8. Oeuvres. I.

20. Y. Sibuya, Linear Differential Equations in the Complex Domain: Problems of Analytic Continuation // Providence: AMS, 1985.

21. Г. Бейтмен, А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции. T. 3. M.: Наука, 1967.

22. A. Д. Брюно. Асимптотики и разложения решений обыкновенного дифференциального уравнения // УМН, 2004, т. 59, № 3, с. 31-80.

23. А. Д. Брюно. Экспоненциальные разложения решений обыкновенного дифференциального уравнения // ДАН, 2012, т. 443, № 5. С. 539-544

24. А. Д. Брюно, И. В. Горючкина. Асимптотические разложения решений шестого уравнения Пенлеве // Труды ММО, т. 71, 2010 г.

25. А. Д. Брюно, И. В. Горючкина. Эллиптические асимптотики решений уравнений Пенлеве. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша. 2009. №6.

26. А. Д. Брюно, Е. С. Карулина. Разложения решений пятого уравнения Пенлеве // ДАН 2004 395, № 4, с. 439-444.

27. А.Д. Брюно, A.B. Парусникова, Разложения решений пятого уравнения Пенлеве в окрестности его неособой точки // Доклады РАН, 2012, т. 442, № 5. С. 582-589

28. А.Д. Брюно, A.B. Парусникова, Локальные разложения решений пятого уравнения Пенлеве // ДАН 438:4 (2011), 439-443.

29. А. Д. Брюно, А. В. Парусникова, Разложения и асимптотики решений пятого уравнения Пенлеве вблизи бесконечности // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша № 61, 2012.

30. В. В. Голубев, Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.; Л.: ГИТТЛ, 1950.

31. В. В. Голубев, К теории уравнений Пенлеве. Матем. сб., 28:2 (1912). 323-349.

32. А.Р. Итс, А. А. Капаев, В. Ю. Новокшенов, А. С. Фокас. Трансценден-ты Пенлеве. Метод задачи Римана // М., Ижевск, Регулярная и хаотическая динамика, 2005.

33. М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат, Методы теории функций комлексного переменного // Наука, М.: 1973.

34. Ж. П. Рамис. Расходящиеся ряды и асимптотическая теория // Ин-т компьютерных исследований, Москва-Ижевск, 2002.Рисунки2Рис. 1Р'2и?> / и«0 \ ' Р\Рис. 2 ^Р2Рис. 492 42 V. Т^Н \\2 ( 3 \ ,т(1) •-1-► фРн -2 -1 0 <?i Рис. 5ОРис. 61.'-2 -i о qiРис. 8Q2