Асимптотические разложения решений шестого уравнения Пенлеве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
|
Горючкина, Ирина Владимировна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2006
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Горючкина Ирина Владимировна
Асимптотические разложения решений шестого уравнения Пенлеве
01.01.02 — дифференциальные уравнения
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Москва - 2006
Работа выполнена в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН.
Научный руководитель:
Официальные оппоненты:
Ведущая организация:
доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Брюно Александр Дмитриевич
доктор физико-математических наук, профессор Аксенов Александр Васильевич
доктор физико-математических наук, профессор Розов Николай Христович
Московский государственный институт стали и сплавов
Защита диссертации состоится 7 сентября 2006 г. в 15.30 ч. на заседании диссертационного совета К.212.203.04 при Российском университете дружбы народов по адресу: 115419, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, ауд. 497.
С диссертационной работой можно ознакомиться в библиотеке РУДН по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6.
Автореферат разослан " " июля 2006 года.
Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н., доцент
Куценко И.Л.
Общая характеристика работы
Актуальность темы. В 1884-1885 годах JI. Фукс и А. Пуанкаре предложили искать нелинейные дифференциальные уравнения, решения которых не имеют критических подвижных особых точек и не выражаются через ранее известные функции.
В 1889 году С. Ковалевская в работе "Задача о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки" показала, что отсутствие подвижных критических особых точек в решениях позволяет построить решения в аналитическом виде. Открытие этого факта вдохновило исследователей на изучение нелинейных дифференциальных уравнений.
Особая точка ж = хо функции у{х) комплексной переменной х называется критической особой точкой, если при обходе этой точки значение функции у(х) меняется.
Подвижной особой точкой решения дифференциального уравнения называется такая особая точка, положение которой зависит от начальных данных задачи. Так, для решения у = 1 /л/х — xq , где хо - произвольная постоянная, точка х = xq является подвижной критической особой точкой.
В 1887 году французский математик Э. Пикар предложил исследовать класс обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка
у" = F(x,y,y'), (1)
где F — рациональная функция от у и у' и мероморфная функция от х, и найти среди уравнений (1) те уравнения, решения которых не имеют подвижных критических особых точек.
Мероморфной функцией называют всякую однозначную функцию не имеющую в конечной части плоскости особых точек, кроме полюсов.
В начале XX века французский математик П. Пенлеве, его ученики Р. Гарнье и Б. Гамбье решили задачу, поставленную Фуксом и Пикаром. Они нашли 50 канонических уравнений вида (1) с решениями, не имеющими подвижных критических особых точек. При этом решения 44-х уравнений из этих 50-ти выражались через известные (элементарные или специальные) функции, а реше-
ния оставшихся шести уравнений определяли новые специальные функции, которые теперь называются трасцендентами Пенлеве.
Шестое уравнение Пенлеве впервые было опубликовано в работе Р. Фукса 1905 года. Р. Гарнье в 1912 году впервые изучал его решения.
Новая волна интереса к уравнениям Пенлеве возникла в 70-е годы XX века после обнаруженния М. Абловицем, А. Рамани и X. Сегуром связи интегрируемых нелинейных уравнений в частных производных с уравнениями Пенлеве. Так шестое уравнение Пенлеве является точной редукцией уравнения Эрнста, описывающего движение солитонов.
В настоящее время для уравнений Пенлеве рассматриваются задачи: об асимптотическом поведении их решений вблизи особых точек; локальные и глобальные свойства решений; рациональные и алгебраические решения; дискретизация; приложения уравнений Пенлеве (в основном в физике).
В этой диссертационной работе изучаются асимптотические разложения решений шестого уравнения Пенлеве.
Подобные исследования проводились многими авторами. Например, в работах В. Громака, Н. Кудряшова получены асимптотические разложения транцендентов Пенлеве по целым степеням независимой переменной. С. Шимомура, М. Жимбо, X. Кимура, К. Окамото доказали разными методами существование и сходимость двупараметрических семейств разложений решений шестого уравнения Пенлеве. При специальных значениях параметров шестого уравнения Пенлеве Б. Дубровин и М. Маззокко получили разложения решений по целым степеням независимой переменной и первые несколько членов нестепенных асимптотик. Разложения более общего вида не рассматривались.
Цель работы. Шестое уравнение Пенлеве имеет вид
(г/')2
у
+
(- + —Ц- + ——] -у'(- + —Ц- + —) + \У У- 1 у-ъ} Ч^ Х~1 у-ху
(1)
2
х2(х - I)2
х х — 1 х(х — 1) а + 0-5 + с--—2 + й--"2
У (у - 1) (у - ху
где а, Ь, с, с1 - комплексные параметры, хну- комплексные переменные, у' = ¿у/¿х. Оно имеет три особые точки х = 0, х = 1 И X = оо.
Выделим при х —> 0 три типа асимптотических разложений вида
где показатели степени г и s - комплексные числа, Res > Rer, Res возрастают, конечное число показателей s с одинаковой Res; комплексные коэффициенты cv и cs таковы:
1. сг и cs - постоянные (степенные разложения);
2. сг - постоянный, с, - многочлены от Ina; (степенно-логарифмические разложения);
3. сг и с, - степенные ряды по убывающим степеням 1пх (сложные разложения).
При этом предполагается, что аргумент комплексной переменной х остается в некотором интервале.
Аналогично определяются типы асимптотических разложений при х —> 1 и х —> оо.
В диссертации решается Задача. При всех значениях комплексных параметров а, Ь, с, d уравнения (2) вблизи всех трех особых точек найти все асимптотические разложения его решений типов 1-3.
Уравнение имеет три симметрии, переводящие особые точки друг в друга. Поэтому сначала решается задача вблизи х = 0, а затем с помощью симметрий получаются асимптотические разложения решений вблизи х = оо и х — 1.
Общая методика исследования. В диссертации используются методы степенной геометрии. Первый член асимптотического разложения вычисляется из упрощенного уравнения, состоящего из тех членов исходного уравнения, которые являются ведущими для этого разложения (вносят больший вклад в окрестности рассматриваемой точки). Эти уравнения выделяются при помощи вершин и ребер многоугольника уравнения. Показатели степени s дальнейших членов разложения csxs находятся алгоритмически.
(1)
Для этого используется первая вариация упрощенного уравнения. Коэффициенты cs вычисляются последовательно.
Научная новизна. В диссертационной работе при всех значениях параметров а, Ь, с, d получены все асимптотические разложения рассматриваемых типов. Найдены все степенные разложения, в том числе, и все ранее известные. Получены все степенно-логарифмические разложения, все они являются новыми. Найдены все сложные разложения, все они являются новыми.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Она может представлять интерес для специалистов в области специальных функций (трансцендентов Пенлеве).
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре математического отдела ИПМ им. М.В. Келдыша под руководством д.ф.-м.н. А.Д. Брюно (2003 г.), на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений МГУ под руководством проф. В.А. Кондратьева, проф. В.М. Миллионщикова и проф. Н.Х. Розова (2004 г.), на семинаре кафедры высшей математики МЭСИ под руководством доц. И.В. Асташовой и доц. В.А. Никишкина (2005 г.), на семинаре "Дифференциальные уравнения" МЭИ (ТУ) под руководством проф. A.A. Амосова и проф. Ю.А. Дубинского (2006 г.), на семинаре по математической физике ИПМ им. М.В. Келдыша под руководством проф. В.В. Веденяпина, проф. В.А. Дородницына и проф. М.В. Масленникова (2006 г.).
Результаты докладывались также на Международной молодежной конференции "Гагаринские чтения - XXIX" (Москва, МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского, 2003 г.) на XXVI конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 2004 г.), Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения — XV" (Воронеж, 2004 г.), на Международных конференциях по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2004, 2006 гг.), на Международной конференции по приложениям компью-
терной алгебры (Варна, 2006 г.).
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы из 56 наименований, включая работы автора. Объем диссертации составляет 124 страницы машинописного текста.
Содержание работы
Во введении излагается история возникновения проблемы, обосновывается ее актуальность, дан краткий обзор работ, связанных с темой диссертации, формулируется цель исследования, приводятся основные результаты.
В главе 1 излагаются те методы и результаты плоской степенной геометрии, которые используются в диссертационной работе.
В параграфе 1.1 описывается методика выделения упрощенных уравнений и построение степенных асимптотик решений исходного уравнения.
В параграфе 1.2 излагаются алгоритмы: вычисления показателей степени всех членов асимптотического разложения, имеющих первым членом степенную функцию; и коэффицентов такого разложения.
В параграфе 1.3 рассматривается вопрос существования нестепенных асимптотик решений исходного уравнения, и описывается алгоритм их нахождения.
В параграфе 1.4 предлагается способ вычисления сложных разложений (разложений с нестепенной асимптотикой).
В главе 2 для шестого уравнения Пенлеве при а • Ь ф 0, х —» 0 и х —* оо ищутся асимптотические разложения всех трех типов. А именно, степенные, степенно-логарифмические и сложные.
В параграфе 2.1 исследуются основные свойства уравнения: многоугольник уравнения, симметрии и исключительные реше-. ния: Т\ : у = 0 при 6 = 0, Тч : у = 1 при с = 0, Хз : у = х при й = 1/2, Та : у = оо при а = 0. Многоугольник уравнения и обозначения семейств асимптотических разложений, соответствующих вершинам и ребрам многоугольника, показаны на рис. 1.
Рис. 1.
В параграфе 2.2 изучаются асимптотические разложения решений вблизи нуля, соответствующие вершинам многоугольника. Показано, что они имеются только для вершины с координатами (<31, <72) = (0, 3). Основной результат:
Теорема 2.2.1. При х —> 0 существует двупараметрическое семейство разложений решений
Ао •■ у — Сгхг + (2.2.4)
где комплексные показатели степени таковы: г - произвольный и удовлетворяет неравенствам 0 < Пег < 1, в е {г + 1г + ш(1 — г); I, т > 0; I + то > 0; I, т 6 2}, комплексный коэффициент Сг ф 0, Сг - произвольная постоянная, остальные комплексные коэффициенты с3 постоянны и однозначно определены.
Разложения (2.2.4) сходятся для малых |х|. Семейство Ао и его сходимость были известны. Оно имеется при всех значениях параметров и исчерпывает все разложения типов 1-3, соответствующие вершине (0, 3).
В параграфе 2.3 изучаются асимптотические разложения решений вблизи нуля, соответствующие левому вертикальному ребру многоугольника (рис. 1). Основной результ: Теорема 2.3.1. (а) При »/с/0иа;-»0 существуют два семейства разложений В\ и В2, которые в зависимости от значений 9\ = у/2с — \/2а ив 2 = \/2с + \/2а имеют 0 или 1 параметр; и определяются одной из формул (2.3.10), (2.3.14), (2.3.15)
при i = 1, 2.
Если Re 9i = О, то семейство Bi определяется формулой
оо
Bi : у = coi + c«xS> (2.3.10)
S=1
где коэффициент
coi = 1 + (2-3.3)
остальные комплексные коэффициенты cs¿ постоянны и однозначно определены.
Пусть Re 0¿ ф 0 и ki = в i • sgn (Re#¿).
Если Re0¿ Ф 0 и вг # Ъ, то семейство В¿ определяется формулой
Bi : y = c0i + y¡T, c*ixs, (2.3.14)
s
где s пробегает множество {2 + mki, l,m € Z, l,m > 0, í + m > 0}, комплексные коэффициенты таковы: cqí определен формулой (2.3.3), e/ni - произвольный, остальные csi постоянны и од позначно определены.
Если 9i € Z\{0}, то семейство Bi определяется формулой
оо
Bi : г/ = со; + ^сяД1пх)х5, (2.3.15)
S=1
где коэффициенты таковы: co¿ определен формулой (2.3.3), cai с s < ki - постоянны, c^i = a^i + /^¡lna;, a^i - произвольная постоянная, коэффициент постоянный и однозначно определенный, остальные с s I> ki — многочлены от 1п х, которые однозначно определяются.
Семейство существует также при а = с Ф 0. (Ь) При а-с ф 0 и х —>0 существуют три однопараметрических семейства сложных разложений.
А именно, семейство Вз, которое существует при а ф с и определяется формулами
оо
Bz : У = <ро + X) Vax", (2.3.26)
где
9 1 °°
(р0 = —--+ + (2.3.24)
с — а 1п х 1п х 1п х к '
я=4
комплексные коэффициенты таковы: с_з — произвольная постоянная, остальные с_.5 — постоянны и однозначно определены; - ряды по убывающим степеням логарифмов; семейства В4 и которые существуют при а = с ф 0 и определяются формулами
оо
: У = Фоо + Ф°зх<1> з = 1, 2, (2.3.34)
<г=1
где
1 1 °°
комплексные коэффициенты таковы: с_2] — произвольная постоянная, остальные — постоянны и однозначно определены; фlrj - ряды по убывающим степеням логарифмов. (с) При с = 0 их —> 0 существует однопараметрическое семейство разложений Вв, которое определяется формулой
В6: у = 1 + срхр + ^ свх°, (2.3.40)
в
где ср ф 0, ср - произвольная постоянная, р = %/2а • sgrl (П,е \/2а), в пробегает множество {р+1р+т; 1,т> 0; 1-\-т >0; 1,т <= 2}, комплексные коэффициенты са постоянны и однозначно определены.
Ряды (2.3.10), (2.3.14) и (2.3.40) сходятся для достаточно малых |х|.
Для семейств В\, В2 были известны только подсемейства с постоянными коэффициентами и целыми показателями степени. Семейства Вз - Въ - новые. Семейства В\ - исчерпывают все разложения типов 1-3, соответствующие левому вертикальному ребру многоугольника (рис. 1).
Семейства Ло, 13\ - Вв являются базовыми. С помощью основных симметрий уравнения из них получаются другие семейства разложений.
В параграфе 2.4 при х —* 0 из базовых семейств разложений В\ — Вб с помощью симметрии уравнения получаются семейства Н1 - И-б, соответствующие нижнему наклонному ребру многоугольника (рис. 1).
В параграфе 2.5 из асимптотических разложений решений при х —» 0, образующих семейства Ло, В\ - В§, "Н\ - ТСе, с помощью другой симметрии уравнения получаются семейства асимптотических разложений Лж, 61 - £?б> ® 1 - £>6 при х —► оо.
В главе 3 для шестого уравнения Пенлеве при а = О, Ь ф О и а ф О, Ь = 0 ищутся асимптотические разложения всех трех типов: степенные, степенно-логарифмические и сложные.
В параграфе 3.1 обсуждаются в каждом из случаев а = О, Ь ф О и а ^ 0, 6 = 0 свойства уравнения: многоугольник и симметрии. Так, при а = 0, Ь ф 0 многоугольник уравнения показан на рис. 2.
В параграфе 3.2 при а = 0, b ф 0 изучаются асимптотические разложения решений вблизи нуля (отличные от разложений имеющихся в случае a-Ь ф 0), соответствующие вершине (0, 4). Основной результат:
Теорема 3.6.1. (а) При х —> 0 и а = 0, b ф 0, Ree ф 0 существует одно-параметрическое семейство разложений решений
ИЧ9г
Рис. 2.
B7: y = CrXr+ (3.2.7)
s
где с? — ненулевая комплексная произвольная постоянная, комплексные показатели степени таковы: г = — \/2с • sgn(Re\/2c), s пробегает множество {г—lr+m-, l, m > 0; l+m >0; l, m Е Z}, комплексные коэффициенты cs постоянны и однозначно определены.
Семейство Bj исчерпывает все разложения типов 1-3, соответствующие вершине (0, 4) рис. 2.
В параграфе 3.3 при a = 0, Ь ф 0 показано отсутствие асимптотических разложений решений вблизи нуля, соответствующих горизонтальному ребру рис. 2.
В параграфе 3.4 при a = 0, Ь ф 0 изучаются асимптотические разложения решений вблизи нуля (отличные от разложений имеющихся в случае a • Ь ф 0), соответствующие вертикальному ребру. Основной результат:
Теорема 3.6.1. (Ь) При х—*0иа = с = 0,ьф0 существует однопараметрическое семейство разложений решений
+оо
В8: j/ = co + ]T>*xs, (3.4.17)
5=1
где комплексный коэффициент со ф 0, 1 — произвольная постоянная, остальные комплексные коэффициенты cs — постоянны и однозначно определены.
При а — 0 ф с имеется также семейство В3.
Семейства Вз и Bg исчерпывают все разложения типов 1-3, соответствующие левому вертикальному ребру рис. 2.
Ряды (3.2.7) и (3.4.17) сходятся для достаточно малых |х|.
Семейство Bg известно. Известно также семейство В7 для целых г.
Семейства Bj и Bg также являются базовыми. С помощью симметрии уравнения из базовых семейств Ло, - Bs получаются все остальные семейства разложений решений в окрестностях всех особых точек.
В таблице 1 показано существование базовых семейств В\ - В% в зависимости от значений параметров уравнения.
Таблица 1.
ОфафсфО а = с ф 0 а ф 0 — с а = 0фс а = с = 0
В1 в2 14 Х4
в2 ВА в6 в7
В3 Въ В3 В3 Вв
В параграфе 3.5 при а = О, 6 ф 0 с помощью симметрии из базовых семейств разложений В7 и В& получаются семейства асимптотических разложений решений С/7 и вблизи бесконечности (отличные от семейств разложений имеющихся в случае а-Ь ф 0), соответствующие вершине и наклонному ребру.
Параграф 3.6 это подведение итогов и обсуждение результатов, полученных в случае а = 0, Ь ф 0.
В параграфе 3.7 из случая о = 0, Ь ф 0 с помощью одной из симметрий уравнения получаются разложения решений в случае 6 = 0, а ф0.
В главе 4 рассматривается случай, когда в шестом уравнении Пе-нлеве параметры а — Ь = 0. Она не содержит новых результатов. В ней перечисленны асимптотические разложения, сохранившиеся из случаев а = 0, Ь ф0 и а ф 0, 6 = 0.
В главе 5 с помощью симметрии уравнения из асимптотических разложений решений при х —► 0 получаются асимптотические разложения решений при х —> 1.
Основные результаты диссертации, выносимые на защиту
Для шестого уравнения Пенлеве (2) при всех значениях его параметров а, 6, с, с? в окрестности всех его особых точек х = 0, х = 1 и х = оо получены все асимптотические разложения его решений следующих типов:
1) все степенные разложения, в том числе, и все ранее известные;
2) все степенно-логарифмические разложения, все они являются новыми;
3) все сложные разложения, все они являются новыми.
В заключение, автор выражает глубокую благодарность научному руководителю, доктору физико-математических наук Александру Дмитриевичу Брюно за постановку задачи, руководство и постоянное внимание к работе.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект 05-01-00050.
Публикации автора по теме диссертации
[1] Чухарева И.В. Характер особенностей решений VI уравнения Пенлеве // Тезисы докладов Международной молодежной конференции "Гагаринские чтения XXX". Москва. 2003. С. 72-73.
[2] Брюно А.Д., Чухарева И.В. Степенные разложения решений шестого уравнения Пенлеве // Препринт ЛМ9, М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2003, 32 с.
[3] Горючкина И. В. Разложения решений шестого уравнения Пенлеве в степенные ряды по вещественным степеням х // Дифференциальные уравнения, 2004. Т. 406, с. 854.
[4] Брюно АД. , Горючкина И.В. Разложения решений шестого уравнения Пенлеве // ДАН. 2004. Т. 395. ^6. С. 733-737.
[5] Горючкина И. В. О степенных и логарифмических разложениях решений шестого уравнения Пенлеве в окрестностях особых точек // XXVI конференция молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. Тезисы докладов. Москва, 2004, с. 39-40.
[6] Горючкина И.В. О степенных и логарифмических разложениях решений шестого уравнения Пенлеве в окрестностях особых
точек // Труды XXVI Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. М.: Издательство МГУ, 2004. С. 63-68.
[7] Горюнкина И.В. Степенные и логарифмические асимптотические разложения шестого уравнения Пенлеве // Современные методы теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения - XV". Воронеж, ВГУ, 2004, с. 63-64.
[8] Goruchkina I. V. About Power-Logarithmic Expansions of Solutions to the Sixth Painleve Equation // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль. 5-10 июля 2004 г. Тезисы докладов. Владимир, 2004, с. 259-260.
[9] Брюно А.Д., Горюнкина И.В. Разложения решений шестого уравнения Пенлеве в окрестности неособой точки // Препринт JVH, М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2005. 19 с.
[10] Брюно А.Д., Горюнкина И.В. Разложения решений шестого уравнения Пенлеве в случаях а = 0иЬ = 0// Препринт №2, М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2006. 30 с.
[11] Брюно А.Д., Горюнкина И.В. Разложения решений шестого уравнения Пенлеве вблизи особых точек i = 0 и i = оо // Препринт №13, М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2006. 32 с.
[12] Goruchkina I.V. Asymptotical Expansions of Solutions to the Sixth Painleve Equation // АСА 2006. 12th. International Conference on Applications of Computer Algebra. Abstracts of Presentations. Sofia, 2006. P. 50.
[13] Горюнкина И. В. Разложения решений шестого уравнения Пенлеве вблизи особенностей // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль. 10-15 июля 2006 г. Тезисы докладов. Влад. книжное изд. "Собор", 2006, с. 75-77.
[14] Брюно А.Д. , Горюнкина И.В. Разложения решений шестого уравнения Пенлеве в случаях а = 0 и i = 0 // ДАН. 2006. Т. 410. Лг»3. С. 331-334.
Отпечатано в ООО "Оргсервис - 2000". Подписало в печать 15 июля 2006 года. Объем 1 п.л. Формат 60 х 90/16. Тираж 100 экз. Заказ Л*23/7. 115419, Москва, Орджоникидзе 3.
Введение
1. О плоской степенной геометрии
1.1. Вычисление степенных асимптотик решения.
1.1.1. Основные определения и постановка задачи.
1.1.2. Выделение укороченных уравнений.
1.1.3. Решение укороченного уравнения.
1.1.4. Критические числа укороченного решения.
1.1.5. Асимптотики с комплексными показателями степени.
1.2. Разложения решений со степенными асимптотиками: степенные и степенно-логарифмические разложения.
1.2.1. Постановка задачи.
1.2.2. Носитель разложения решения.
1.2.3. Вычисление разложений.
1.2.4. Степени логарифмов в разложении.
1.2.5. Решетка носителя разложения.
1.2.6. Вычисление второго приближения.
1.2.7. Комплексные показатели.
1.2.8. Существование решений.
1.3. Нестепенные асимптотики решений.
1.3.1. Основные определения и постановка задачи.
1.3.2. Случай вертикального ребра Г^.
1.3.3. Случай горизонтального ребра Г^.
1.3.4. Случай вершины Г^.
1.4. Разложения решений с нестепенной асимптотикой: сложные разложения.
1.4.1. Постановка задачи.
1.4.2. Вычисление критических чисел.
1.4.3. Вычисление носителя разложения.
2. Разложения решений шестого уравнения Пенлеве в случае а • Ь ф 0 вблизи нуля и бесконечности
2.1. Общие свойства уравнения.
2.1.1. Постановка задачи.
2.1.2. Носитель и многоугольник.
2.1.3. Нормальные конусы.
2.1.4. Симметрии.
2.1.5. Исключительные решения.
2.2. Разложения решений вблизи нуля, соответствующие вершинам
2.2.1. Выбор вершин.
2.2.2. Разложения решений, соответствующие вершине if.
2.3. Разложения решений вблизи нуля, соответствующие ребру
2.3.1. Предварительный анализ.
2.3.2. Разложения решений при а ф сфО.
2.3.3. Разложения решений при а = с ф 0.
2.3.4. Разложения решений при а ф 0, с = 0.
2.3.5. Сводка результатов и их обсуждение.
2.4. Разложения решений вблизи нуля, соответствующие ребру
2.4.1. Разложения решений при Ь ф d — 1/2 Ф 0.
2.4.2. Разложения решений при Ь = d — 1/2 ф 0.
2.4.3. Разложения решений при d = 1/2, b ф 0.
2.4.4. Сводка результатов и их обсуждение.
2.5. Разложения решений вблизи бесконечности
2.5.1. Разложение, соответствующее вершине Г^.
2.5.2. Разложения решений, соответствующие ребру Г^.
2.5.3. Разложения решений, соответствующие ребру Г^.
2.5.4. Сводка результатов.
3. Разложения решений шестого уравнения Пенлеве в случаях а = 0, и а^О, & = 0 вблизи нуля и бесконечности 82 3.1. Общие свойства уравнения.
3.1.1. Постановка задачи.
3.1.2. Носители и нормальные конусы.
3.2. Разложения решений вблизи нуля, соответствующие вершине lf}
3.2.1. Разложения решений со степенной асимптотикой.
3.2.2. Нестененные асимптотики.
3.3. Разложения решений, соответствующие ребру Г^.
3.4. Разложения решений вблизи нуля, соответствующие ребру
3.4.1. Предварительный анализ.
3.4.2. Разложения решений при а = 0, b • с ф 0.
3.4.3. Разложения решений при а = с = 0, Ь ф 0.
3.5. Разложения решений вблизи бесконечности при а = 0, Ъ ф
3.5.1. Разложения решений вблизи бесконечности, соответствующие вершине Г^.
3.5.2. Разложения решений вблизи бесконечности, соответствующие ребру Г^.
3.6. Сводка результатов в случае а = 0, Ь ф 0.
3.7. Разложения решений в случае а ф 0, b — 0.
3.7.1. Разложение, соответствующее вершине Г^.
3.7.2. Разложение, соответствующее вершине Г^.
3.7.3. Разложения решений, соответствующие Г^.
3.7.4. Разложения решений, соответствующие if.
3.7.5. Сводка результатов в случае а ф 0, b = 0.
4. Разложения решений шестого уравнения Пенлеве в случае а = b = 0 вблизи нуля и бесконечности
5. Разложения решений шестого уравнения Пенлеве вблизи единицы
5.1. Разложения решений вблизи единицы при а ■ с ф 0.
5.1.1. Двупараметрическое семейство разложений.
5.1.2. Разложения решений при аф —ЬфО.
5.1.3. Разложения решений при а = — b ф 0.
5.1.4. Разложения решений при 6 = 0.
5.1.5. Разложения решений при —с ф d — 1/2 ф 0.
5.1.6. Разложения решений при —c = d—l/2ф0.
5.1.7. Разложения решений при d — 1/2.
5.2. Разложения решений вблизи единицы при а ■ с = 0.
5.2.1 Однопараметрические семейства разложений вблизи единицы, симметричные семействам By и Hj.
5.2.2 Разложения решений при а = b = 0, с ф 0.
5.2.3 Разложения решений при а ф 0, с = 0, d = l/2.
5.2.4 Разложения решений при а = с = 0.
5.3. Сводка результатов.
Общая характеристика работы
Актуальность темы. В 1884-1885 годах Л. Фукс [31] и А. Пуанкаре [4850] предложили искать нелинейные дифференциальные уравнения, решения которых не имеют критических подвижных особых точек и не выражаются через ранее известные функции.
В 1889 году С. Ковалевская [21] в работе "Задача о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки" показала, что отсутствие подвижных критических особых точек в решениях позволяет построить решения в аналитическом виде. Открытие этого факта вдохновило исследователей на изучение нелинейных дифференциальных уравнений.
Особая точка х = хо функции у(х) комплексной переменной х называется критической особой точкой, если при обходе этой точки значение функции у(х) меняется. Подвижной особой точкой решения дифференциального уравнения называется такая особая точка, положение которой зависит от начальных данных задачи. Так, для решения у = l/y/x — xq, где xq - произвольная постоянная, точках = является подвижной критической особой точкой.
В 1887 году французский математик Э. Пикар [47] предложил исследовать класс обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка у" = F(x,y,y'), (0.0.1) где F — рациональная функция от у и у' и мероморфная функция от х, и найти среди уравнений (0.0.1) те уравнения, решения которых не имеют подвижных критических особых точек.
Мезоморфной функцией называют всякую однозначную функцию не имеющую в конечной части плоскости особых точек, кроме полюсов.
В начале XX века французский математик П. Пенлеве [44-46], его ученики: Р. Гарнъе [33, 34] и Б. Гамбье [35], решили задачу, поставленную Фуксом и Пикаром. Они нашли 50 канонических уравнений вида (0.0.1) с решениями, не имеющими подвижных критических особых точек. При этом решения 44-х уравнений из этих 50-ти выражались через известные (элементарные или специальные) функции, а решения оставшихся шести уравнений определяли новые специальные функции, которые теперь называются трасцендентами Пенлеве.
Шестое уравнение Пенлеве впервые было опубликовано в работе Р. Фукса [32]. Р. Гарнье [34] впервые изучал его решения.
Новая волна интереса к уравнениям Пенлеве возникла в 70-е годы XX века после обнаруженния М. Абловицем, А. Рамани и X. Сегуром [1, 27] связи интегрируемых нелинейных уравнений в частных производных с уравнениями Пенлеве. Так шестое уравнение Пенлеве является точной редукцией уравнения Эрнста, описывающего движение солитонов.'
В настоящее время для уравнений Пенлеве рассматриваются задачи: об асимптотическом поведении их решений вблизи особых точек; локальные и глобальные свойства решений; рациональные и алгебраические решения; дискретизация; приложения уравнений Пенлеве (в основном в физике).
В этой диссертационной работе изучаются асимптотические разложения решений шестого уравнения Пенлеве.
Подобные исследования проводились многими авторами. Например, в книгах В. Громака, И. Лэйне, С. Шимомура [38], Н. Кудряшова [22] описаны асимптотические разложения транцендентов Пенлеве по целым степеням независимой переменной. С. Шимомура [51 - 54], М. Жимбо [40], X. Кимура [41], К. Окамото [43] доказали разными методами существование и сходимость двупараметрических семейств разложений решений шестого уравнения Пенлеве. При специальных значениях параметров шестого уравнения Пенлеве Б. Дубровин и М. Маззокко [30, 42] получили разложения решений но целым степеням независимой переменной и первые несколько членов нестепенных асимптотик. Разложения более общего вида не рассматривались.
Цель работы. Шестое уравнение Пенлеве имеет вид
-7 +- ) - Я- +-7 +- ) +
2 \у у-1 y-xj \х х-1 у-х/ у(у - 1)(у - х)
УТ /1, 1 1 \ ,/111 х2(а; — I)2 X х —I ,х(х — 1) а + b-г + с--— + d-K J
0.0.2) у2 (у-1)2 fe-z)2]' где a, b,c,d- комплексные параметры, х и у - комплексные переменные, у' = dy/dx. Оно имеет три особые точки я = 0, х = 1 и х = оо. Выделим при х —» 0 три типа асимптотических разложений вида у = crxr + ^2csxs, (0.0.3) s где показатели степени г и s - комплексные числа, Res > Re г, Res возрастают и число показателей s с одинаковой Res конечно; комплексные коэффициенты сг и cs таковы:
1. су и cs - постоянные (степенные разложения);
2. сг - постоянный, cs - многочлены от In х (степенно-логарифмические разложения);
3. сг и с, - степенные ряды по убывающим степеням In а; (сложные разложения).
При этом предполагается, что аргумент комплексной переменной х остается в некотором интервале.
Аналогично определяются типы асимптотических разложений прих —» 1 и х —> оо.
В диссертации решается Задача. При всех значениях комплексных параметров а, Ь, с, d уравнения (0.0.2) вблизи всех трех особых точек найти все асимптотические разложения его решений типов 1-3.
Уравнение имеет три симметрии, переводящие особые точки друг в друга. Поэтому сначала решается задача вблизи х = 0, а затем с помощью симметрий получаются асимптотические разложения решений вблизи х = оо и х = 1.
Общая методика исследования. В диссертации используются методы степенной геометрии (см. [2 - 15, 28]). Первый член асимптотического разложения вычисляется из упрощенного уравнения, состоящего из тех членов исходного уравнения, которые являются ведущими для этого разложения (вносят больший вклад в окрестности рассматриваемой точки). Эти уравнения выделяются при помощи графиков. Показатели степени s дальнейших членов разложения csxs находятся алгоритмически. Для этого используется первая вариация упрощенного уравнения. Коэффициенты cs вычисляются последовательно.
Научная новизна. В диссертационной работе при всех значениях параметров а, Ъ, с, d получены все асимптотические разложения рассматриваемых типов. Найдены все степенные разложения, в том числе, и все ранее известные. Получены все степенно-логарифмические разложения, все они являются новыми. Найдены все сложные разложения, все они являются новыми.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Она может представлять интерес для специалистов в области специальных функций (трансцендентов Пенлеве).
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре математического отдела ИПМ им. М.В. Келдыша под руководством д.ф.-м.н. А.Д. Брюно (2003 г.), на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений МГУ иод руководством проф. В.А. Кондратьева, проф. В.М. Миллионщикова и проф. Н.Х. Розова (2004 г.), на семинаре кафедры высшей математики МЭСИ под руководством доц. И.В. Асташовой и доц. В.А. Никишкина (2005 г.), на семинаре "Дифференциальные уравнения" МЭИ (ТУ) под руководством проф. А.А. Амосова и проф. Ю.А. Дубинского (2006 г.), на семинаре по математической физике ИПМ им. М.В. Келдыша под руководством проф. В.В. Веденяпина, проф. В.А. Дородницына и проф. М.В. Масленникова (2006 г.).
Результаты докладывались также на Международной молодежной конференции "Гагаринские чтения - XXIX" (Москва, МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского, 2003 г.) на XXVI конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 2004 г.), Воронежской весенней математической школе "Понтрягин-ские чтения — XV" (Воронеж, 2004 г.), на Международных конференциях по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2004, 2006 гг.), на Международной конференции по приложениям компьютерной алгебры (Варна, 2006 г.).
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы из 56 наименований, включая работы автора. Объем диссертации составляет 124 страницы машинописного текста.
1. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи рассеяния. М.: Мир, 1987. 480 с.
2. Брюио АД. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979. 256 с.
3. Брюно А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. М.: Физматлит, 1998. 288 с.
4. Брюно А.Д. Степенные разложения решений одного алгебраического или дифференциального уравнения // Доклады АН. 2001. Т. 380. №2. С. 155-159.
5. Брюио АД. Нестспенные асимптотики решений обыкновенного дифференциального уравнения // ДАН. 2003. Т. 392. №5. С. 586-591.
6. Брюно АД. Асимптотики и разложения решений обыкновенного дифференциального уравнения // УМН. 2004. Т. 59. №3. С. 31-80.
7. Брюио А.Д. Сложные разложения решений обыкновенного дифференциального уравнения // ДАН. 2006. Т. 406. №6. С. 730-733.
8. Брюно А.Д. , Горючкипа И.В. Разложения решений шестого уравнения Пенлеве // ДАН. 2004. Т. 395. №6. С. 733-737.
9. Брюио А.Д., Горючкина И. В. Разложения решений шестого уравнения Пенлеве в окрестности неособой точки // Препринт №4. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2005. 19 с.
10. Брюио А.Д., Горючкина И.В. Разложения решений шестого уравнения Пенлеве в случаях а = 0 к b = 0 // Препринт №2. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2006. 30 с.
11. Брюио А.Д., Горючкина И.В. Разложения решений шестого уравнения Пенлеве вблизи особых точек х = 0 и х = оо j j Препринт №13. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2006. 32 с.
12. Брюно А.Д. , Горючкина И.В. Разложения решеиий шестого уравнения Пенлеве в случаях а = 0и6 = 0// ДАН. 2006. Т. 410. №3. С. 331-334.
13. Брюно А.Д., Чухарева И.В. Степенные разложения решений шестого уравнения Пенлеве // Препринт №49. М.: ИПМ им.М.В. Келдыша, 2003. 32 с.
14. Горючкина И.В. Разложения решений шестого уравнения Пенлеве в степенные ряды по вещественным степеням х // Дифференциальные уравнения, 2004. Т. 406, №6, с. 854.
15. Горючкина И.В. Степенные и логарифмические асимптотические разложения шестого уравнения Пенлеве // Современные методы теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения XV". Воронеж, ВГУ, 2004, с. 63-64.
16. Кудряшов Н.А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. 360 с.
17. Розов Н.Х. Пенлеве уравнение // Математическая энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, 1984, т. 4, с. 233-234.
18. Тихомиров В.М. Фреше производная //Математическая энциклопедия. М.: Советская энциклопедия. 1985. Т. 5. С. 666.
19. Чухарева И.В. Характер особенностей решений VI уравнения Пенлеве // Тезисы докладов Международной молодежной конференции "Гагаринские чтения XXX". Москва, 2003. С. 72-73.
20. Ablovitz M.J., Ramani A., Segur Н. A connection between nonlinear evolution equations and ordinary differential equations of P-type. I // J.Math. Phys., v. 21, no. 4, p. 715-721.
21. Ablovitz M.J., Ramani A., Segur H. A connection between nonlinear evolution equations and ordinary differential equations of P-type. II // J. Math. Phys., v. 21, no. 5, p. 1006-1015.
22. Bruno A.D. Power Geometry as a new calculus j I Analysis and Applications (Eds. H.G.W. Begehr, R.P. Gilbert and M.W. Wong). Dordrecht: Kluwer, 2003, p. 51-71.
23. Chang Y.F., Greene J.M., Tabor M., Weiss J. The analytic structure of dynamical systems and self-similar natural boundaries // Physica D. 1983. V. 8. P. 183-207.
24. Dubrovin В., Mazzoeco M. Monodromy of certain Painleve-VI transcendents and reflection groups // Invent. Math., 2000. v. 141, p. 55-147.
25. Fuchs L. Uber differentialgleichungen deren integrate feste verzweigung-spunkte besitzen // Sitz. Acad. Wiss. Berlin, 1884. p. 669-720.
26. Fuchs R. Sur quelques equations differencielles linearies du second ordres // C. r. Acad. sci. Paris, 1905. t. 141, p. 555-558.
27. Gamier R. Etitude de l'integrale generale de lequations VI de M. Painleve // Ann. Ec. Norm. (3), 1917. T. 34, p. 243-353.
28. Gambier B. Sur les equations differentielles du second ordre et du premier degre dont l'integrale generale est a points critiques fixes // Acta Math., 1910. Vol. 33, p. 1-55.
29. Goruchkina I. V. About power-logarithmic expansions of solutions to the sixth Painleve equation // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль. 5-10 июля 2004 г. Тезисы докладов. Владимир, 2004, с. 259-260.
30. Goruchkina I.V. Asymptotical expansions of solutions to the sixth Painleve equation // АСА 2006. 12th. International Conference on Applications of Computer Algebra. Abstracts of Presentations. Sofia, 2006. P. 50.
31. Gromak I.V., Laine /., Shimomura S. Painleve Differential Equations in the Complex Plain. Berlin, New York: Walter de Gruyter. 2002. 303P
32. Iwasaki K., Kimura #., Shimomura S., Yoshida M. From Gauss to Painleve. A modern theory of spesial functions. Aspects of Mathematics E16, Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1991.
33. Jimbo M. Monodromy problem and the boundary condition for some Painleve transcendents // Publ. RIMS, Kyoto Univ., 1982. V. 18, p. 11371161.
34. Kimura H. The construction of a general solution of a Hainiltonian system with the singularity and its application to Painleve equation // Ann. Mat. Рига Appl., 1983. Vol. 134, p. 363-392.
35. Mazzocco M. Picard and Chazy solutions to the Painleve VI equation // Math. Ann., 2001. Vol. 321, p. 157-195.
36. Okamoto K. Studies on the Painleve equations I. The six Painleve equation // Ann. Mat. Рига Appl., 1987. Vol. 146, p. 337-381.
37. Painleve P. Lemons sur la theorie analytique des equations differentielles, professees a Stokholm. Paris, 1897.
38. Painleve P. Memoire sur les equations differentielles dont l'integrale generale est uniforme // Bull. Soc. Math. France, 1900. T. 28. P. 201-261.
39. Painlev6 P. Sur les equations differentielles du second ordre et d'ordre superieur, dont l'interable generale est uniforme // Acta Math., 1902. V. 25, p. 1-86.
40. Picard E. Demonstration diin thcoreme generale sur les founctions uniformes liees par une relation algebrique j j Acta Math., 1887. Vol. 11, p. 1-12.
41. Poincare A. Sur les integrates irregullieres des equations lineaires // C. r. Acad, sci., 1885. T. 101, p. 939-941; Oeuvres, t. IV, p. 611-613.
42. Poincare A. Sur les integrates irregullieres des equations lineaires // C. r. Acad, sci., 1885. T. 101, p. 990-991; Oeuvres, t. IV, p. 614-615.
43. Poincare A. Sur les integrates irregullieres des equations lineaires // Acta Math., 1886. Vol. 8, p. 295-344; Oeuvres, t. I, p. 167-222.
44. Shirnomura S. Painleve transcendents in the neigbourhood of fix singular points // Funkcial. Ekvac., 1982. Vol. 25, p. 163-184.
45. Shirnomura S. Series expansions of Painleve transcendents in the neigbourhood of fix singular point // Funkcial. Ekvac.,, 1982. Vol. 25, p. 185-197.
46. Shirnomura S. Supplement to "Series expansions of Painleve transcendents in the neigbourhood of fix singular point"// Funkcial. Ekvac., 1982. Vol. 25, p. 363-371.
47. Shirnomura S. A family of solutions of a nonlinear ordinary differential equation and its application to Painleve equations (III), (V), (VI) // J. Math. Soc. Japan, 1987. Vol. 39, p. 649-662.
48. Takano K. Reduction for Painleve equations at the fixed singular points of the first kind // Funkcial. Ekvac., 1986. Vol. 29, p. 99-119.
49. Watanabe H. Birational canonical transformations and classical solutions of the sixth Painleve equations // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci., 1999. Vol. 27, p. 379-425.
