Асимптотические разложения решений третьего уравнения Пенлеве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

1 Степенные разложения решений третьего уравнения Пен

1.1 Степенная геометрия.

1.1.1 Термины и определения.

1.1.2 Выделение укороченных уравнений

1.1.3 Решение укороченного уравнения.

1.1.4 Критические значения укороченного решения

1.1.5 Носитель разложения (1.5)

1.1.6 Вычисление коэффициентов разложения.

1.1.7 Вычисление второго приближения.

1.1.8 Вопросы сходимости.

1.1.9 Вспомогательные утверждения.

1.2 Степенные разложения решений модифицированного третьего уравнения Пенлеве в окрестности точки zq = 0.

1.2.1 Носитель и многоугольник уравнения.

1.2.2 Симметрия.

1.2.3 Нормальные конусы граней.

1.2.4 Разложения решений, соответствующих вершинам

1.2.5 Разложения решений, соответствующих ребрам

1.2.6 Сводка результатов и их обсуждение.

1.3 Степенные разложения решений модифицированного третьего уравнения Пенлеве в окрестности точки zo ф 0.

1.3.1 Объекты степенной геометрии для уравнения (1.47)

1.3.2 Разложения решений, соответствующие вершинам

1.3.3 Разложения решений, соответствующие ребрам

1.3.4 Сводка результатов.

1.4 Степенные разложения решений третьего уравнения Пенлеве в окрестности точек t = 0 и t = оо.

1.4.1 Объекты степенной геометрии для уравнения (1.52)

1.4.2 Степенные разложения решений, соответствующие вершинам.

1.4.3 Степенные разложения решений, соответствующие ребрам.

1.4.4 Сводка результатов и их обсуждение.

1.5 Степенные разложения решений третьего уравнения Пенлеве в окрестности точки to ф 0.

1.5.1 Объекты степенной геометрии для уравнения (1.77)

1.5.2 Степенные разложения решений, соответствующие вершинам.

1.5.3 Степенные разложения решений, соответствующие ребрам.

1.5.4 Сводка результатов.

1.6 Экспоненциальные добавки к степенным разложениям решений третьего уравнения Пенлеве.

1.6.1 Добавки к степенным разложениям решений уравнения (1.4).

1.6.2 Экспоненциальные добавки к разложениям решений третьего уравнения Пенлеве.

2 Степенно-логарифмические разложения решений третьего уравнения Пенлеве

2.1 Степенно-логарифмические разложения решений уравнения (1.4).

2.2 Разложения, соответствующие ребру Г^.

2.3 Разложения, соответствующие ребру Г^.

2.4 Сводка результатов и их обсуждение.

3 Сложные разложения решений третьего уравнения Пенлеве

3.1 Сложные разложения решений уравнения (1.4).

3.1.1 Случай вертикального ребра Г^.

3.1.2 Случай наклонного ребра Tf].

3.1.3 Случай вершины Г^.

3.1.4 Решение задачи 5.

3.2 Разложения решений, соответствующие ребру Г^.

3.3 Разложения, соответствующие ребру Г^.

3.4 Сводка результатов и их обсуждение.

Актуальность темы. В 1887 году французский математик Э. Пикар предложил исследовать класс обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка w" = R(z, w, w'), (0.1) где R — рациональная функция от w и w' и аналитическая функция от г, и найти среди уравнений (0.1) те уравнения, решения которых не имеют подвижных критических особых точек (Особая точка z = zq функции w(z) называется критической особой точкой, если при обходе этой точки значение функции w(z) меняется. Подвижной особой точкой решения дифференциального уравнения называется такая особая точка, положение которой зависит от начальных данных задачи. Например, для решения 1 w =-, z - z0 где Zq — произвольная постоянная, точка z = zq является подвижной особой точкой).

Реализация этой идеи принадлежит французскому математику П. Пе-нлеве и его ученикам. В результате многолетних исследований школе Пен-леве удалось найти 50 канонических уравнений вида (0.1) с решениями, не имеющими подвижных критических особых точек. При этом решения 44-х уравнений из этих 50-ти выражались через известные (элементарные или специальные) функции, а решения оставшихся шести уравнений определяли новые специальные функции, которые теперь называются трасценден-тами Пенлеве.

Из работ Пенлеве и его учеников, посвященных классификации уравнений второго порядка (0.1), следует, что отсутствие подвижных критических особых точек в решениях уравнений является признаком существования решений. При этом оказалось, что решения уравнений Пенлеве являются существенно трансцендентными функциями относительно постоянных интегрирования.

Во второй половине XX века интерес к уравнениям Пенлеве возрос из-за обнаруженной М. Абловицем, А. Рамани и X. Сегуром связи нелинейных уравнений в частных производных, имеющих солитонные решения, с уравнениями Пенлеве. Уравнения Пенлеве находят свое применение в таких областях современной физики, как общая теория относительности, физика плазмы, нелинейные волны, нелинейная оптика, волоконная оптика и другие.

В настоящий момент уравнения Пенлеве изучаются в нескольких аспектах:

1) асимптотическое поведение трансцендентов Пенлеве;

2) анализ Пенлеве, условия интегрируемости;

3) геометрия уравнений Пенлеве, алгебраическая структура и дискретизация;

4) приложения уравнений Пенлеве, в основном в физике. Исследование, представленное в диссертации, относится к первой группе.

Многие авторы, такие как В. Громак, X. Умемура, Ш. Шимомура, П. Кларксон, Н. Кудряшов и другие, искали асимптотические разложения транцендентов Пенлеве, которые являлись разложениями по рациональным степеням (см., например, [2], [5], [23], [36] и библиографии к этим работам). Разложения более общего вида не рассматривались.

Цель работы. Третье уравнение Пенлеве имеет вид w2 w aw2 + b о d . . w =--- +---+ cw3 + (0.2) w t t w где t 6 С — независимая переменная, w(t) — неизвестная функция, а, 6, cud — комплексные параметры, bd ф 0, w = dw/dt. У этого уравнения имеется две особых точки: t = 0 и t = оо. В работе для случая общего положения, когда все параметры а, Ь, си d отличны от нуля: abed ф 0, (0.3) ищутся асимптотические разложения решений уравнения (0.2) в окрестности t = 0 и t = оо вида w = crtr + ^ csts, s где г, s бК; г > s, если t оо, г < s, если t —у 0; cr, cs — либо постоянные, либо многочлены от In t, либо ряды по убывающим степеням 1п£. А именно, будем различать три типа таких разложений:

1) cr, cs — комплексные постоянные (степенные разложения);

2) сг — постоянная, cs — могут быть многочленами от 1п£ (степенно-логарифмические разложения);

3) cr, cs — ряды по убывающим степеням Int (сложные разложения). Аналогичная задача решена и для модифицированного третьего уравнения Пенлеве, которое имеет вид w'f w" = w е* (aw2 + b)+ e2z + ^ (0.4) и получается из уравнения (0.2) заменой t = ez, w' = dw/dz.

Общая методика исследования. В диссертации используются методы степенной геометрии см. [12], [13]). Для получения первого члена асимптотического разложения из исходного уравнения выделяются несколько упрощенных уравнений, состоящих из тех членов исходного уравнения, которые являются ведущими для этого разложения (вносят больший вклад в окрестности рассматриваемой точки). Выделение этих уравнений удобно делать графически. Дальнейшие члены разложения csts находятся также алгоритмически с использованием первой вариации упрощенного уравнения.

Научная новизна. В диссертационной работе для случая общего положения (когда все параметры а, Ъ, с и d в уравнении отличны от нуля) получены все асимптотические разложения рассматриваемых видов. Найдены все степенные разложения, в том числе, и все ранее известные. Получены все степенно-логарифмические разложения, все они являются новыми. Найдены все сложные разложения, все они являются новыми.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 41 наименования, включая работы автора. Объем диссертации составляет 99 страниц машинописного текста.

1. Painleve P. Memoire sur les equations differentielles dont l'integrale generale est uniforme// Bull. Soc. Math. France, 1900. — Tome 28. — P. 201-261.

2. Абловиц M., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи рассеяния. М.: Мир, 1987. - 480 с.

3. Андрианов И.В., Баранцев Р.Г., Маневич Л.И. Асимптотическая математика и синергетика. — М.: УРСС, 2004. — 306 с.

4. Арнольд В.И. Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук. Первые шаги математического анализа и теории катастроф, от эвольвент до квазикристаллов. М.: Наука, 1989. - 101 с.

5. Айне Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Харьков.: ГНТИУ, 1939. 720 с.

6. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1979. — 254 с.

7. Брюно А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях — М: Наука-Физматлит, 1998. — 288 с.

8. Брюно АД. Степенные разложения решений одного алгебраического или дифференциального уравнения. Препринт №63. — М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2000. 22 с.

9. Брюно АД. Асимптотики и разложения решений обыкновенного дифференциального уравнения. Препринт №9. — М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2003. — 39 с.

10. Брюно А. Д. Степенно-логарифмические разложения решений обыкновенного дифференциального уравнения // Доклады АН, 2003. — Т. 392. №4. - С. 439-444.

11. Брюно А.Д. Нестепенные асимптотики решений обыкновенного дифференциального уравнения // Доклады АН, 2003. — Т. 392. — №5. — С. 586-591.

12. Брюно А.Д. Асимптотически близкие решения обыкновенного дифференциального уравнения // Доклады АН, 2003. — Т. 393. — №4. — С. 448-452.

13. Брюно А.Д. Асимптотики и разложения решений обыкновенного дифференциального уравнения // Успехи математических наук, 2004. — Т. 59. Вып. 3 (357). - С. 31-80.

14. Брюно А.Д. Сложные разложения решений обыкновенного дифференциального уравнения // Доклады АН, 2006. — Т. 406. — №6. — С. 730733.

15. Базов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1968. — 460 с.

16. Болевич JI.P., Гиндикин С.Г. Метод многогранника Ньютона в теории дифференциальных уравнений в частных производных. — М.: УРСС, 2002. 314 с.

17. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. 2-е изд. - М.; Л.: ГИТТЛ, 1950. - 400 с.

18. Гриднев А.В. Алгоритм построения линий уровня нелинейного алгебраического уравнения в окрестности критической точки // Тезисы докладов Международной молодежной научной конференции "Гагарин-ские чтения XXVIII". - М., 2002. - С. 62.

19. Гриднев А.В. Программа построения линий уровня аналитической функции в окрестности критической точки // Тезисы докладов IX Всероссийского совещания по проблемам построения сеток для решения задач математической физики — Дюрсо, 2002. — С. 17.

20. Гриднев А.В. Степенные и экспоненциальные разложения решений III уравнения Пенлеве // Тезисы докладов Международной молодежной научной конференции "Гагаринские чтения — XXIX". — М., 2003. — С. 72-73.

21. Гриднев А.В. Исследование асимптотического поведения решений третьего уравнения Пенвеле методами степенной геометрии // Тезисы докладов XXVI Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. — М., 2004. — С. 41-42.

22. Гриднев А.В. О степенных и экспоненциальных асимптотических разложениях третьего уравнения Пенлеве // Тезисы докладов Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения — XV". Воронеж, 2004. - С. 64-65.

23. Гриднев А.В. Исследование асимптотического поведения решений третьего уравнения Пенлеве методами степенной геометрии // ТрудыXXVI Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. — М., 2004. — С. 69-75.

24. Гриднев А.В. Степенные и экспоненциальные асимптотики решений третьего уравнения Пенлеве // Дифференциальные уравнения, 2004.- Т. 41. №. 6. - С. 855.

25. Итс А.Р., Капаев А.А., Новокшенов В.Ю., Фокас А. С. Трансценденты Пенлеве. Метод задачи Римана. — М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований; НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2005.- 728 с.

26. Козлов В.В., Фурта С.Д. Асимптотики решений сильно нелинейных систем дифференциальных уравнений. — М.: МГУ, 1996. — 244 с.

27. Кудряшов Н.А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. — 2-е изд. — М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.

28. Ньютон И. Метод флюксий и бесконечных рядов с приложением его к геометрии кривых // Математические работы. — М.; Л.: ОНТИ, 1937. С. 33-44.

29. Розов Н.Х. Пенлеве уравнение // Математическая Энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 233-234.

30. Тихомиров В.М. Фреше производная // Математическая Энциклопедия. — М: Советская энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 666.

31. Чеботарев Н.Г. "Многоугольник Ньютона" и его роль в современном развитии математики // "Исаак Ньютон". — М.: АН СССР, 1943. — С. 99-126.

32. Эрдейи А. Асимптотические разложения. — М., ГИФМЛ, 1962. — 128 с.