Усреднение в асимптотическом исследовании интегрируемых систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

^ <¿0. с?ё! -

Л'Ч//:'-* ■.■я',-

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИРКУТСКИЙ ИНСТИТУТ ДИНАМИКИ СИСТЕМ И ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.9

На правах рукош

ВЕРЕЩАГИН Вадим Леонтьевич

УСРЕДНЕНИЕ В АСИМПТОТИЧЕСКОМ ИССЛЕДОВАНИИ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

I; 1 с тл о

зидиум ВАК -России

|! (решение от " У " ¿Я

г.,

/ ! (

]рисудил ученую степень ДОКТОГ

-нау

Начальник управления ВАК России

"' "1 -те! » и

Иркутск - 1998

Оглавление

Введение .........................................................

Часть 1. Интегрируемые дифференциально-разностные модели 4о

Глава 1. Спектральная теория однофазных решений цепочки ъоль-терра...............................................................44

1.1. Однофазные решения цепочки Вольтерра......................44

1.2. Спектральная теория однофазных решений................ 6

Глава 2. Геометрия метода усреднения для дифференциально-ра : их; ,.ых

систем .........................................................

2.1. .Локальные скобки Пуассона для гамильтоновых дифферента -разностных систем. Законы сохранения .....................

2.2. Процедура усреднения для разностных систем. Принцип со: я ния гамильтоновости при усреднении ........................78

2.3. Построение переменных типа Клебша для уравнений медленных модуляций цепочек Тода и Вольтерра .........................81

2.4. Римановы инварианты для усредненных систем...............8-'

Глава 3. Приложения метода Уизема............................

3.1. Автомодельные решения усредненной цепочки Вольтерра . :'.'.)

3.2. Автомодельные решения порядка 0 и гипотеза Гуревича-Питаевского ......................................

Глава 4. Доказательство аналога гипотезы Гуревича-Питаевскс , цепочки Вольтерра .................................................[01

4.1. Задача Коши для ступенеобразного начального условия и обратная задача рассеяния .........................................101

4.2. Асимптотическое решение матричной задачи Римана........104

Часть 2. Применение метода усреднения к обыкновенным дифференциальным уравнениям типа Пенлеве и их разностным аналогам .. 110

Глава 5. Дискретный аналог первого уравнения Пенлеве (ДУП-1) 111

5.1. Асимптотическая классификация решений ДУП-1 ............111

5.2. Изомонодромный подход и регулярные решения..............125

5.3. Квантование однозонных потенциалов ........................137

Глава 6. Глобальные асимптотики для четвертого трансцендента Пенлеве ...........................................................148

6.1. Эллиптический анзатц и уравнение модуляций...............148

6.2. Постановка задачи изомонодромного интегрирования ........152

6.3. Нули четвертого трансцендента и сдвиг фазы................154

Глава 7. Квазиклассический подход к уравнениям Пенлеве ......177

7.1. Идеология метода ............................................177

7.2. Анзатцы для всех уравнений Пенлеве ........................181

Глава 8. Сингулярные решения третьего уравнения Пенлеве ----185

8.1. Асимптотическое интегрирование в области конечных значений независимой переменной ......................................185

8.2. Линейная задача и изомонодромные деформации .............191

8.3. Распределение нулей и сдвиг фазы эллиптического анзатца .. 199

Приложение Основные выводы Список литературы

Введение

Настоящая диссертация посвящена разработке нового подхода к изучению асимптотических свойств решений широкого класса нелинейных интегрируемых уравнений в частных производных и обыкновенных дифференциальных уравнений типа Пенлеве. Предлагаемая в работе схема основана на привлечении в теорию классических дифференциальных уравнений и метода обратной задачи современных математических приемов и идей, придающих новый импульс в асимптотическом интегрировании нелинейных систем.

После пионерской работы Гарднера, Грина, Крускала и Миуры [1] за тридцатилетнюю историю своего развития метод обратной задачи, рассматривавшийся первоначально как способ получения точных решений некоторых модельных уравнений, превратился в самостоятельный раздел современной нелинейной математической физики - теорию интегрируемых систем. В этой теории можно условно выделить два основных направления. Первое из них касается гамильто-новых аспектов метода. Речь здесь идет о расширении и уточнении понятия интегрируемости дифференциального уравнения с частными производными. Основополагающими в этом направлении были работы В.Е.Захарова, Л.Д.Фаддеева [2] и Дж.Гарднера [3]. В них впервые уравнение Кортевега- де Фриза было рассмотрено с точки зрения бесконечномерного гамильтонова формализма и было показано [2], что спектральные преобразования метода обратной задачи, даваемые уравнениями Гельфанда-Левитана-Марченко, естественно интерпретировать

как канонические преобразования к переменным типа действие-угол.

Второе из условно выделенных нами направлений в теории интегрируемых систем имеет дело с аналитическими аспектами метода обратной задачи. Среди основополагающих достижений в этой области следует назвать исследования В.Е.Захарова, А.Б.Шабата, С.В.Манакова и А.В.Михайлова [4] - [10], приведшие к созданию формализма матричной задачи Римана и работы С.П.Новикова, Б.А.Дубровина, В.Б.Матвеева, А.Р.Итса и И.М.Кричевера [11] - [15], посвященные разработке теории конечнозонных (алгебро-геометрических) решений. Перечисленные работы касались в основном теории точных решений нелинейных уравнений. Параллельно с этим в рамках метода обратной задачи интенсивно изучались вопросы асимптотического анализа общих решений, то есть решений соответствующих задач Ко-ши. Основы этого подхода были заложены в работах А.Б.Шабата [16], С.В.Манакова [17], В.Е.Захарова и С.В.Манакова [18] и Е.Я.Хруслова [19].

Новый импульс в асимптотических исследованиях в области метода обратной задачи был придан применением идей, предложенных Дж.Уиземом в работах [20] - [21] 1965 года. Исходным предметом этого подхода являются периодические и квазипериодические по х и t решения нелинейных эволюционных уравнений в частных производных

чн = к(<р,ч>Х1...Мп)), (0-0.1)

где функция p(x:t) имеет вид

ip(x, t) = Ф(kx + ut + г°; и1,..., uN)-, (0.0.2)

здесь Ф(т1,..., тто; и1,..., uN) - функция, 27Г-периодическая по каждой переменной г^, зависящая от N параметров и1, m-векторы к и to выражены через параметры м1,.... м^.При каждом значении и^ = const

формула (0.0.2) изображает так называемые "т-фазные" точные решения исходной нелинейной эволюционной системы (0.0.1), где

т5 = к5х + и ¡г + т?, и9 = и1, з = 1,..., га; д = 1,..., N (0.0.3)

Авторы обзора [22] называют решения такого типа " со литонными решетками". Эти решения, открытые и изученные в работах [11] -[15], называются также "конечнозонными"/'периодическими аналогами многосолитонных решений" ввиду их некоторых замечательных математических связей со спектральной теорией конечнозонных периодических линейных операторов и того факта, что при специальных значениях параметров и4 они вырождаются в солитоны (га = 1) и многосолитонные решения (га > 1). Общие комплексные решения вида (0.0.2) называют еще алгебро-геометрическими, так как они выражаются через тета-функции римановых поверхностей и могут быть построены методами алгебраической геометрии (см.обзоры [23], [14] и книгу [24]). В однофазном (га = 1) случае решения (0.0.2) находятся, как правило, элементарными методами, не выходящими за рамки теории эллиптических функций.

Пусть X = ех, Т = где е - малый параметр. Определение. Слабо деформированной солитонной решеткой называется функция вида (0.0.2), где величины (к, ш, и1,..., ин) являются гладкими функциями переменных X, Т, то есть "медленно" меняются при изменении х жt.B работах [20] - [21] Уизем высказал для тп = 1 и в определенной степени обосновал для некоторых эволюционных систем такое утверждение:

Пусть функция вида (0.0.2), где параметры являются гладкими функциями X, Т, является главным членом асимптотического по е решения эволюционного уравнения (0.0.1). Следует записывать фазу функции (0.0.2) в виде величины г = 5(Х,Т)/е, где

к, = дБ^дХ, и, = дв^/дТ,

(0.0.4)

(По определению получаются уравнения к^р ~ Утверждается,

что параметры ид(Х,Т) удовлетворяют квазилинейной системе первого порядка (соотношения (0.0.4) входят в систему (0.0.5)):

йи4- п. ч йиР , . Л .

Й = 1 (0-0.5)

похожей на гидродинамику сжимаемой жидкости. Это уравнения типа Римана или " системы гидродинамического типа". Мы будем называть уравнения (0.0.5) "усредненной системой (0.0.2)", "уравнениями Уизе-ма" или " уравнениями (медленных) модуляций".

В дальнейшем эти вопросы исследовались в работах [25] - [29]. Обсуждались как достаточность уравнений (0.0.5) для построения

и •< и

асимптотических решении при га = 1, так и конкретный вид их в некоторых важных специальных случаях. Применения к физическим задачам в дисперсной гидродинамике впервые были найдены в [30] -[32].

Теория многофазных систем всерьез начала развиваться после уже упомянутого создания в 1974-75 гг. теории конечнозонных (алгебро-геометрических) решений интегрируемых солитонных систем, позволившей реально рассмотреть многофазные аналоги уравнений Уизема (0.0.5), (где га = 1) (см.работы [33],[37]).

Определение. Инвариантами Римана для систем гидродинамического типа (0.0.5) называются такие координаты в «-пространстве, что система (0.0.5) диагональна, то есть матрица диагональна

при всех значениях г/1,

1 Предполагается суммирование по повторяющимся индексам

Авторы работ [37], [38], [39] показали, что соответствующие уравнениям Кортевега-де Фриза

ЧН — Ьффх - фххх

и Синус-Гордон

<Ра - Ч>XX = 8Ш

системы Уизема при любом т > 1 обладают инвариантами Римана.

Определение. Функционалами гидродинамического типа /[«(ж)] называются такие величины, что их плотности не зависят от производных:

1[и] = I к{и)<1х.

Определение. Скобками Пуассона гидродинамического типа называются такие локальные скобки Пуассона, которые имеют вид

{и«(х)У(у)} = д"(и(х))6'(х -у) + Ь?(и(х))и'х6(х - у), (0.0.6)

где ддр и Ь9/ - гладкие функции в локальных координатах на и-пространстве. 6(х) - ¿-функция Дирака.

Точно это означает, что скобка Пуассона двух любых функционалов /х[м], /гМ имеет вид

«^-¡ЩгГщ;у)--

Гамильтоновы системы с гамильтонианом Н имеют вид

дг 8иР(х) v ;

Определение. Скобка Пуассона гидродинамического типа называется лиувиллевой, если она может быть задана в следующем виде:

{««(я), и\у)} = {^{и(у)) + Н* - у), (0-0-8)

д^(и) = + у* Ь1Р = ди8-

соответствующие координаты (и9) называются также лиувиллевыми.

Авторы работы [34] построили эффективную дифференциально-геометрическую интерпретацию теории скобок гидродинамического типа (0.0.6).

Пусть исходная система (0.0.1) является гамильтоновой с локальным гамильтонианом и по отношению к какой-либо локальной скобке Пуассона. В этом случае работа [34] формулирует и дает доказательство принципа "сохранения гамильтоновости" при усреднении-переходе от исходной модели (0.0.1) к ее усредненной системе (0.0.5). Получаемая при этом усредненная система является гамильтоновой со скобкой Пуассона гидродинамического типа (0.0.6) и приводима как к диагональной, так и к лиувиллевой форме (0.0.8). Лиувиллевыми координатами здесь являются усредненные плотности законов сохранения исходного уравнения.

Определение. Пусть 1[(р] = / - некоторый функционал от

решения вида (0.0.2). Усредненной величиной 1[ф\(Х,Т) называется следующее выражение:

О Т\ ^ тт

Итак, уравнения (0.0.5) гидродинамики солитонных решеток обладают двумя важными свойствами:

а) они гамильтоновы,

б) они обладают инвариантами Римана.

С.П.Новиков высказал в 1983 г. гипотезу о том, что гамильтоновы системы гидродинамического типа, обладающие инвариантами Римана, являются интегрируемыми. Вскоре эта гипотеза была доказана С.П.Царевым (см.[35], [36]), который построил дифференциально-геометрическую теорию диагональных гамильтоновых систем гидродинамического типа и некоторых естественных "полугамильтоновых" обобщений. Там же был предложен так называемый метод "обобщенного годографа", позволяющий свести проблему нахождения решений системы (0.0.5) к задаче разрешения трансцендентного алгебраического уравнения специального вида. Вопросы значимости теории усредненных систем Уизема для приложений обсуждались, например, в работах [30] - [32], [33], [44]. Так, в важнейшем однофазном случае (т = 1) система Уизема (0.0.5) для уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ) в инвариантах Римана и3 = г^Х^Т) имеет вид (0.0.5) и обладает автомодельными решениями типа

Ч(Х,Т) = Г^ДХГ-1"7), (0.0.9)

где 7 - произвольный параметр.

Автомодельные решения с 7 = 0 и 7 = 1/2 возникли впервые в работах Гуревича-Питаевского [30] - [32] при описании асимптотики при £ —» оо в двух задачах:

1. Распад ступенеобразного начального условия для КдФ 7 = 0, здесь 7*3 = 1, г\ = 0.

2. Дисперсный аналог ударной волны (7 = 1/2) (см.книгу [24]).

Строгое обоснование этих результатов для 7 = 0 было дано

Р.Ф.Бикбаевым (см.[40]). Он же обобщил их на случаи нелинейного уравнения Шредингера [41] и модифицированного уравнения КдФ [42].

В работах автора диссертации [43] - [46] теория усреднения распространена на интегрируемые дифференциально-разностные модели. На примере цепочки Вольтерра

Дсп = сп(сп+1 - сп_ 1), пег, сп = сп{£) (0.0.10)

была построена спектральная картина, ассоциированная с однофазными квазипериодическими решениями. Соответствующая усредненнная система была выписана в различных системах координат, построены ее автомодельные решения и исследован вопрос их приложения.

Выбор уравнений Пенлеве и их дискретных аналогов в качестве основного предмета исследования второй части диссертации можно объяснить тремя причинами. Первая из них состоит в том, что уравнения Пенлеве представляют собой классический объект качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Вторая причина связана со значительным всплеском интереса к уравнениям Пенлеве, произошедшим в последнее время. Он был вызван их появлением в ряде конкретных задач теоретической и математической физики, связанных с нелинейными эволюционными уравнениями [49] - [53], квантовой теорией поля [54] - [57], [58] и статистической физикой [59] - [62], [64]. В этих задачах уравнения Пенлеве применяются для описания определенных переходных и автомодельных режимов, которые "сшивают" решение исходной задачи в различных характерных областях. Подробная составная структура асимптотических решений нелинейных систем является общей для обширного класса задач. При этом, как показывают результаты работ [63], [65], неважно, является исходная система интегрируемой или нет. Иными словами, из анализа ряда моделей нелинейной теоретической физики можно сделать вывод о том, что трансценденты Пенлеве играют в них ту же роль, что и классические спецфункции в линейных задачах. Третья причина состоит в

родстве методов асимптотического исследования поведения трансцен-дентов Пенлеве и адиабатически возмущенных солитонных решеток, определенных в первой части работы. Оказывается, в особых случаях главный член асимптотического разложения может быть описан как специальным образом модулированная эллиптическая (или гиперэллиптическая) функция. Соответствующие уравнения модуляций (система Уизема) в одном случае имеет вид обыкновенного дифференциального уравнения, а в другом - квазилинейной системы уравнений в частных производных. Суммируя перечисленные выше причины, мы можем сделать вывод о естественности объединения двух указанных частей в рамках одной работы.

Изложим вкратце историю возникновения и развития исследований по теории уравнений Пенлеве.

Уравнения Пенлеве возникли в теории нелинейных дифференциальных уравнений в начале нашего века в связи с задачей о классификации всех уравнений вида

ихх = Д(ж,м,их), (0.0.11)

общее решение которых не имеет подвижных (то есть зависящих от начальных данных) критических точек. Функция Я в (0.0.11) предполагается аналитичной по я и рациональной по и и их. Эта задача классификации была полностью решена в работах П.Пенлеве и его школы [66] - [67]. Полученный список содержал 50 различных уравнений с точностью до локальных преобразований, допускаемых первой частью. Среди них есть только шесть уравнений, чей общий интеграл не выражается через известные спецфункции. Эти шесть уравнений и носят название уравнений Пенлеве (Р\ — Ро), а их решения называются функциями Пенлеве или трансцендентами Пенлеве. Их явный вид указан ниже:

Рг : и" = б и2 + я;

Р2 : и" = хи + 2и + I/;

Рз : и" = - (и')2 - -и' + - (аи2 + /?) + 4г.3 - ¿; и х X 4 7

1,^2,3

0

Р4 : к" = — (V) + -и + 4:хи2 + 2 (х2 - а) и + -;

А : «" -

3« — 1

2«(г/ - 1)

-1 ,„2 1, («-!)/ ■ Iй би(и + 1)

—- («') - -и' + *-(аи + ^ + ±- + -А——/;

— 1) X X1 \ и) х и — 1

2 \и и — 1 и — х/ \х х — 1 и — х)

и(и — 1)(и — х)( х х — 1 х(х — 1)\ я2(>-1)2 \а + ^ + 7(м-1)2 + \u-xf) '

где все величины, обозначаемые греческими буквами, являются независимыми параметрами.

Последующие исследования уравнений Пенлеве, проводимые в рамках качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, были направлены на изучение аналитических свойств их решении, характера полюсных особенностей, нахождения условии существования частных рациональных решений и решений, выражающихся в терминах известных спецфункций. Были найдены также преобразования типа Беклунда-Бьянки, позволяющие по известным решениям строить новые. Все эти аспекты теории подробно рассматри�