Теоретико-групповой подход в асимптотических методах нелинейной механики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

08рт.моч.м

Академия наук Украинской СОР Ордена Трудового Красного Знамени Институт ттатечахявп

На пряеях рупоппся

ЛОПАТИН Алексей Константинович

УДК 517.3

ТЕОРЕТИКО-ХТЛШгаЮЙ ПОДЮД Г» ДаГЖОППЕСКЙХ МЕТОДАХ НЕЛИНЕЙНОЙ ШАПКИ

01.01.02 - дифференциальные ур/шнеякя !т математическая фпяикя

Л ~ Т О [: Ч Я р Л ? Т." "АР"! I'.; ССЛ! "МП"'? ,7Т"-!:~!' ".'Т^и-1'-'

;-<;ТТСГ'' -■>■..•;•-( ар---

м/

Pu J cri a BiiiK;-;nciib iï Ин:-пи-уте математики АН УССР.

(.Щщшшлша oiiiiuiifiH: к : доктор фиаико-штематических наук,

профессор ЖУРАВЛЕВ В.3>.,

доктор физико-матештических наук, академик АН ЫССР СИБИРСКИЙ К.С.,

доктор физико-математических наук, член-корреспондент /Ч УССР ФУЩН Б.И.

Ьедуь^о ираднралтис. : Математический институт пм.В.А.Стчк-

лова АН СССР.

Защита диссертация состоится "_"___I9S г. в _часов

.ui ьаоедашш специализированного совета Д 016.50.01 при Институте шшсиики АН УССР по адресу; 252(301 Киов -1, Ш1, ул.Решша, 3.

С диссертацией мохно ознакомиться и библиотеке института.

Автореферат разослан "___"____________ 190 г.

Учений секретарь гшштлиаировэнного сонета

ЛУЧКА А.Ю

S. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

-гг,РЛ'. , I

^"^~дктуадьность теш. Асимптотические методы нелинейной механики, развитие в работах Н.М.Крылова и H.H.Боголюбова, положили начало новому большому направлению в теории возмущений. Oilei глубоко проникли в различные.прикладные области (теоретическую физику, механику, прикладную астрономию, динамику космических полетов и др.) и доедукиля основой для многочисленных обобщений и создания разнообразных вариантов этих методов. Существует большое число подходов и методик; при этом рассматриваются различные ¡слассы математических объектов (обыкновенные дифференциальные уравнении, уравнения в частных производных, уравнения с запаздыванием и др.}. В настоящей диссертация предлагается новый метод исследования систем дифференциальных уравнений о малым параметрам, являющийся дальнейшим развитием метода усреднения Н.Н.Боголюбова. Идея нового подхода еалозена в самом методе усреднения Н.Н.Боголюбова, однако, ее реализация потребовала привлечения существенно нового аппарата - теории непрерывных групп преобразований, развитой в основополагающих трудах С.Ли и его учеников.

Соединение двух конструктивных методов, имевдих широкое применение в современной математика и его приложениях, с одной стороны, расширяет возможности теории возмущений, а о другой стороны,- может оказаться интересным я Для теория непрерывных групп преобразований, так как позволяет рассматривать новые задачи, например, почти инвариантные системы. .

Цель работы. Исследование декомпозиций широкого класса линейных, и нелинейных систем дифференциальных уравнений без малого параметра. Разработка HoBoio метода исследования нелинейных систем с малым, параметром, получившего название метода асимптотической декомпозиций. Комплексное развитие предложенного метода: разработка конструктивного алгоритма метода для различных классов . систем; доказательство ряда фундаментальных положений, показывающих преимущества метода в исследовании возмущённой системы; математическое обоснование метода и изучение с его помощью известных и новых классов систем дифференциальных уравнений.-.

Методы исследования. 3 работе применяются методы классической теории дифференциальных уравнений, теории возмущений, методы непрерывных групп преобразований (теория груш и алгебр Ли и их представлений), методы геометрической теории уравнений с частными производными.

Научная новизна. Разработаны критерии декомпозиция широкого класса лилейных и нелинейных дифференциальных систем. Предложен метод асимптотической декомпозиции для исследования нелинейных систем дифференциальных уравнений с малым параметрам. Доказаны новые теоремы об экспоненциальном представлении решения централизованной системы и теоретико-групповые критерии разделения движений на быстрые и медленные, получены условия декомпознруемости централизованной системы. Проведено обоснование алгоритма асимптотической декомпозиции» Рассмотрена задача возмущения алгебр Ли и получек алгоритм эффективной реализации метода в пространстве представлений конечномерных групп Ли. Рассмотрен новый класс почти инвариантных систем. Впервые разработана теория возмущений для .пфаффовых систем уравнений.

Практическая и теоретическая ценность. Разработанный в диссертации метод асимптотической декомпозици приметы для исследования широкого круга нелинейных процессов в науке и-технике. Привлечение аппарата теории лрвдашвшяш групп Ли преобразований сводит реализацию алгоритма метода асимптотической декомпозиции к простейшим задачам линейной алгебры. Разработанные методы и алгоритмы принципиально новые и в общей ситуации, ("которые .изучены в работе) ранее имевшиеся результаты, как правило, неприменимы. Проведено сравнение с существующими методами.

Апробация работы. Основные результаты диссертации доклад,ы-в&иись на 6-11 международных конференциях по нелинейным колебаниям (Познань, 1972; Берлин, 1975; Прага, 1978; Киев, 1981; София, 1984; Будапешт, 1987); Меддународном симпозиуме по теоретико-групповым методам в физике (Звенигород, 1980); на Международном съезде механиков (Алма-Ата, 1981), на Международной конференции по теоретической и прикладной механике (Варна', 1982), на Всесоюзной конференции "Лаврентьевокие чтения по математике, механике, физике" (Киев, 1ШЬ); на ряде всесоюзных школ по малому параметру; на се-ыитрих Белорусского государственною ушшерситета (Минск, 1978,

1982), Киевского государственного университета им.Т.Г.Шевченко (1983), по геометрическим методам в теории управления Математического института им.В.А.Стеклова АИ СССР (Москва,1987), по качественной теории дифференциальных уравнение Московского государственного университета им.М.В.Ломоносова (1987).

Дубликацли. Основные результаты диссертации освещены в patío- ' тах [ 1-32 , 34} , а такне вошли в монографию [33].

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 302 страницах машинописного текста и состоит из предисловия, введения, шести глав и списка литературы, содержащего 155 наименований.

СОДЕРМШЕ РАБОТЫ

В последние два десятилетия возникли новые обобщения асимптотических методов нелинейной механики, имеющие тенденцию к выработке общих концепций развития данных методов. Это, прежде всего, направление, названное методом усреднения с использованием рядов и преобразований Ли. Впервые ряды Ли в теории возмущений были применены Г.Хори для канонических систем и распространены далее самим Г.Хори и А.Кэмелш на неканонические системы. Теория возмущений, основанная на рядах и преобразованиях Ля, тлеет ряд преимуществ по сравнению с существующими методами. Одним из них является простота алгоритмов. Имеется монографическая литература (Г.Е.О.Джака-лья, А.Х.Найфе, У.Кирхграбер и Е.Стейфель), где подробно освещается указанное направление.

Другой подход/ использующий в качестве преобразований ряды Ли, был предложен А.Я.Повзнером. Специальные предположения о спектральных свойствах оператора, ассоциированного с системой нулевого приближения, позволили получить ряд новых результатов (В.Н.Богаемкий. А.Я.Повзиер).

Интересные результаты по развитию метода усреднения с. использованием ртдов Ли порчены В.Ф.Яуратжшм, Е.АДиттк-жсьсяки

('■г.яг-ь ч'-гсду Г5г-Тл-Лги усреднения к т^орл.чИ '";рплу; V- дг-'Ш рас-сг.н-, .^гг: г-:С-г!".-.х А.Д.'-гччо. '

Аксиоматический подход, характеризующий общщ свойства асимптотических методов, описал в работе Ю.А.Митропольского и А.М.Самой-ленко.

В настоящей диссертащш предлагается новый метод исследования систем дифференциальных уравнений - с малым параметром, базирующийся на теоретико-групповой интерпретации метода усреднения Н.Н.Боголюбова.

Поясним суть нового подхода. Как известно', отправным пунктом исследования по методу усреднения является система стандартного вада

х - £Х(Х^,£) , (1)

Х'де х - сЫо,ь | а;(,..., х,.8 , X - со&т. I X,.., Х,4 Ц.

Система (I) с цсыопуыо операция усреднения и специальных. ьомсц переменяю: приводится к усредненной

где Хд(£)= Х'с1)(£) ♦ £Х<г,(х) + ... , Х0 = сайт В^......

Интегрирование системы (2) проще интегрирования исходной возмущенной системы

о)

так как переменные в ней разделены.

Описанное свойство асимптотического разделения движений в метода усреднения носит ярко вщэакенный теоретико-групповой характер. Действительно, усредненная система (2) инвариантна относительно однопараметрической группы преобразований

- _ зи(хв,р _

* вв хо> '

где хв = со(опи0- новые переменные, И<х„,%) = оператор, ассоциированный с системой нулевого приблякашш, параметр.

В то яе время, исходная возмущенная система (3) не является, в общем случае, инвариантной относительно однопараметрической группы:

х~е ха ♦ р е уа ,

где =-coion.ilХ10.....£„¡,11. и<и~ новые перемешше, = --

оператор, ассоциированный с системой -нулевого.приближения.

Сказанное позволяет дать следующую теоретико-групповую интерпретацию метода усреднения: метод усреднения преобразует систему (3), не являющуюся инвариантной относительно однопараметрической группы преобразований,- порожденной оператором V/ , ассоциированным с системой нулевого приближения, в усредненную систему (2), которая инвариантна относительно однопараметрической грушш преобразований, пордаденной оператором Я , ассоциированным с слоте мой нулевого приближения,

В основу развитого в диссертации метода асимптотической декомпозиции положена указанная теоретико-групповая интерпретация метода усреднеш1Я. Рассматривается система обыкновенных дифференциалъ-йых уравнений

вса(л') + «5 &<х'), (4)

где а(х') = со1оп £(х')~са1оь Цо(Сх'),..., ¿¿к<х')\\ .

Дифференциальный оператор, ассоциированный с возмущенной системой (4), представим суммой

где

» .....«>

Здесь приняты сбозначент: /Ух) а f, f(x') з f'.

С помощью некоторой замены переменных в виде ряда по <5

х'^усх^) (6)

система (4) преобразуется к новой системе..

<0(х~> + аЫ(х) х , (7)

названной централизованной системой. Для этой системы ассоциированный оператор И0=Ы+&И , где

и - ^ 4"+ ^ <&Г V Ыт%

ё^сх) ■Л—

- О ' дх, л дхп

Выбор преобразований '(6) подчиним условию, согласно которому центргяияскя&чан система (7) дсшша бить .вдвар;:алтна -относительно

о,липг!:ф.:1'.'С7п:чо'. чо£г груолн просбразошший

гисх) -

х = е х '

где х - вектор новых переменных. Это означает, чго для операторов И , , 1,2,..., имеют место тождества •

Существенным моментом в реализации указанной схимы алгоржгкгн асимптотической декомпозиции является то обстоятельство, что преобразование (6) выбирает«! в виде ряда Ли.

Ош&згш ряд характерных особенностей, обусловленных привлечете! иштрата теории непрерывных груш.

I, Централизованная система обнарунивает, прееде всего, струк-1У1 :шс овейзтва, т.е. свойства, которые не зависят от шбор£. сас-координат. К таковым относятся возможность разделения пире-иенных на бистрие и медленные, возможность декошюзирусмоотл иалт» ралвзоканной сист&ш на независимо интегрируемые подсистемы и до»

?.. Структурные и аналитические свойства централизованной слс-*еш учитывался яри исследования алгебр Ли, порадазшх системой нулевого приближения и возмущенной системой. Ого сосгожгавьетио позволяет расширить диапазон рассматриваемых задач ко сравнения с методом усреднения, ориелтиройалнш ла нсслсгдовангх- кодеоахелышх процессов. Например, рассматривается задача о возмущении системы, допускающей некоторую группу Ли преобразований.

3. Привлечение аппарата теории представлений непрерывных групп Ли преобразований там, где это возможно, существенно улрмдот алгоритм асимптотической декомпозиции, сьсдя его к простешагал задачам линейной алгебры.

4. Метод асимптотической декомпозиции легло переносится на исследование пфаффовых систем дифференциальных уравнений, интегрирование которых, как известно, равносильно интегрированию систем дифференциальных уравнений в частных производных.

Сделаем замечание по поводу используемого в диссертации математического аппарата. Переход от дифференциальной системы к векторным полям И алгебраг,1 Ли характерен для направления в теории дифференциальных уравнений, называемого алгебро-геометрическим. Это направление берет начало с классической теории нелинейных дифференциальных уравнений (Г.Монж, С.Ли) и включает в себя такие важнейшие разделы 'как теорию Пнкара-Вессио, теорию дифференциальных инвариантов, общую теорию симметрий дифференциальных уравнений (С.Ли и его учеников) и ряд других. Указанный подход завершают глаоси'К'с кие {чеботы Э.Кар'Ггшн по геометрической и еорин диТфуретркнишк

уравнений з частных производных. Современное состояние теории Э.Картана освещено в работе Д.Спенсера.

Лдгебро-геометрическпе методы получили развитие в различных разделах современной математики. Преэде всего, в самой теории дифференциальных уравнений,теоретической физшее, механике, теории управления и других.

Прежде чем поступать к поглавпоглу описании содержании диссс£ • тации, вкратце, остановимся на некоторых вспомогательных понятиях.

В дальнейшем будут рассматриваться в области ¡} = У *С-Г Сей^, существования и единственности автономные системы

КХ), (всо&п хе Я*. (8)

<х£

Если не оговорено противное, рассматриваются аналитические многообразия 0(Р,й) ( Р - комплексное или действительное иоле) и г (-г.) е£?-(Р,П) . Векторное поле, порожденное системой (0) ,

" £ -2— Л -Г, 1 дх;

будем назшчт, ассоциированным дифференциальным оператором походной системы (8). Неформальной операцией является установление по виду оператора К некоторой алгебры Ли , элементом которой он является. Алгебру $ будем называть порождаетцей алгеброй , исходной системы. Обозначим через (Т(П (О) множество линейных дифференциальных операторов в частных производных первого порядка ( в дальнейшем, просто операторов) с коэффициентами из Р(О). Очевидно, «й к 0'а>(С) . Для возмущенной системы вида (4) пороздагщуп алгебру будем обозначать ^ . Она порождается операторами II, и (5). - *

ч—ч » г]

Определение . Пусть X = 2, £ е О (С) рядом Ли набивается ряд,-

<Х! I

Я < дх,

тогда

о К( ) г* 5 г

е ¿?сх) = 2. — X <х)р(х.) ,. д<х) еО(й) »

где 5 - некоторый параметр. РХ^сиециального вида

ж-но 1:»гг<гр;;ротсровоть как решения дифференциально!' ся'. -"П Ит

■у-—- « / Гт\ , X (О) --- X . 1?)

а 3 ' 1

Запись решения дифференциальной'системы (9) в виде рядов'Ли позволяет, во-первых, использовать аналитические свойства этих рядов; во-вторых, но порождающей алгебре Ли исходной системы (В) ввести еще один алгебраический объект - порождаемые этими ал-, гебрама псевдогруппы ) •

Результаты главы I. Эта глава содержит результаты по декомпозиции широкого класса систем дифференциальных уравнений без малого параметра.

В § 1 проведено исследование приводимости (полной приводимости) систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений вида

при помощи линейного неособого преобразования. Такого рода приводимые система были названы "алгебраически приводимыми"[13. Основной метод состоит в сопоставлешш системе (10) конечномерной ассоциативной алгебры сС , названной порождающей для системы (10).

В теореме 1,2 устанавливается необходимый и доста-т'очный критерий приведи:,юсти системы (10) в виде неравенства где k - ранг алгебры ¿С.

Метод доказательства состоит, но существу, в указания алгоритма построения приводящей матрицы. .

■ Техника алгебраического приведения иллюстрируется примерами.

В § 2 для системы вида (10) с матрицей непростой структуры J = const получен критерий приведения исходной системы к треугольному виду без использования непосредственной информации о характеристических числах матрицы Л .

В § 3 результаты по алгебраической приводимости распространяются на широкий класс линейных систем. Здесь ке устанавливается связь метода алгебраической приводимости с методами приведения матричных конечных групй, используемых в теории колебаний молекул, ряде задач механики, теории автоматического управления.

' Основной критерий алгебраической приводимости, сформулированный в теореме 1.2,является новым, дополняющим имеющиеся результаты Этот факт иллюстрирует приведешь механической системы десятого но рядка к подсистемам 4,4 и 2 порядков.

В § 4 исследуются условия декомиозируемооти нелинейной дифференциальной системы

•¿t - (11)

в области Q = 3*£}, te.3, хей, JeR, G e R^ с правыми частями, определенными на аналитическом многообразии (T(G).

Система (II) называется вполне приводимой (декомпозируемой) в области G(loe G) , если существует обратимая замена переменных

<2 = f(xi, f'cs), ifi'1 £ ü(G), (12)

которая преобразует исходную систему к совокупности независимых подсистем по новым переменным С\>( +-•--+ =н-)

7Г ■ (13)

ctztO: _

Система (II) называется приводимой (агрегируемой) в области G(iocG) » если существует замена (12), преобразующая исходную систему к совокупности последовательно интегрируемых подсистем

1Г = W*

где з0. = свЬп 1!«г(л.^о,- II, ] = С?- г

Исследования 'базвдются на изучении порождающей алгебры Ли $ исходной системы и соответствующей ей группы (псевдогруппы) преобразований ^й) на О(й)-

Фундаментальнее значение в формулировке основных теорем о де-композируемости имеют инварианты и системы импримитивности порождающей группы системы. Основной результат о декомпозируемости дан в. теоремах 4.6 и. 4.7. Теорема 4.6 утверздает, что при' условии транзитивности порождающей группы ^ на вХб) Л^я декогпто-зируемости системы (II) необходимо и достаточно выполнения одного т следующих условий.

I. Порождающая алгебра представима в радо прямой суммы плеалоп: ... (а)

3 e , dinv - 0;, ft + A. =

* ' У

. 2. В порождающей группе имеется ^ систем импримитивности , определяемых функциями

Щ = { Uy ix),..., и^.(х)}, ,

тх Щ (X) - ИЫ^.) , / = , М .

3. Порождающая группа <zf обладает композиционным рядом

составленным из нормальных делителей, и рядом фактор-групп

.я, я,.-, , ^ е уФ/уЧ*"-,

причем dim и все члены ряда являются нормальными делителя-

ми, коммутирукщимимезду собой.

Замена переменных _

= = ' / =

преобразует систему (II) к системе (13).

В аналогичных терминах формулируется теорема 4.7 об вгрегируемости. Теоремы 4.1-4.5 носят вспомогательный характер и выясняют различные свойства порождающих алгебр и групп Ли.

В качестве примера применения теорем о декомпозиции рассмотрена нелинейная система второго порядка. ;

Наховдение приводящих преобразований (фактически систем импримитивности) осуществляется конструктивно и сводится к решению некоторых полных систем дифференциальных уравнений с одной неизвестной функцией. Основная трудность состоит в нахождении идеалов , на которые распадается поровдагацая алгебра . Формулировка последнего пункта теоремы 4.6 (4.7) предполагает существование соответствия между группами и алгебрами Ли, Это соответствие имеет место для широкого класса групп. Основные результаты параграфа являются развитием работы [24].

В § 5 изучается вопрос о понижении числа переменных в общей нелинейной неавтономной системе, В геореме 5.1 приводятся необходимые■и достаточные условия такой декомпозиции. В качестве примера рассмотрена система третьего'порядка, описывающая динамические маневры спутника..

Содержание главы П. Эта глава является центральной в разлитии предлагаемого метода асимптотической декомпозиции. Здесь формулируется основной алгоритм, указываются преимущества метода в . интегрировании возмущенной системы, проводится обоснование и исследуются новые классы систем. '

В § I приводится общая схема алгоритма асимптотической декомпозиции. В соответствии с общей идеей теоретико-групповой интерпретации метода, сформулированной выше, в системе (4) делается замена переменных в виде ряда Ли

„т' = ехр<£5-)х^ , / =

где 5 = 51+£52+— , 51ееа>СО, ¿ = ',2.....

С помощью формулы Кзмпбелла-Хаусдорфа для операторов получаем рекуррентную последовательность операторных уравнений

.....

Если обозначить //^ = рг ^ н £ д/дх- ( рг ^ - проекции оператора ^ на алгебру цез/траяизатпра ,' определяемую уравнеглем [ у. 21=0 ). то возмущенная система перейдет в централизованную

= а.(х> +£ Н(Х) X. = а. (X) * £ £ , ] = !.Н . (и)

Алгоритм перехода от возмущенной системы (4) к централизованной (14) назван алгоритмом асимптотической декомпозиции.

Определение•оператора проектирования рг Р от Р опирается на предположение, что любой элемент из порождающей алгебры ¡&, возмущенной системы (4) однозначно представим в виде сумг.и

где - алгебра - образ оператора СЧ,X3 , Хс % •

При выполнении условия (15) рг ? — Род . Далее, выделяем два принципиальных случая в' аналит'ическом описании алгебры в первом случае £ е >, т. е. область С не содержит точки покоя системы нулевого приближения; во втором случае Ц с , . т.е. область в содержит точку покоя .систем пулевого приближения.

В § 2 доказывается ряд теорем об интегрировании централизованной системы (14), показывающих преимущества ее интегрирования по сравнению с исходной возмущенной.

Центральное место занимает теорема 2.1 об экспоненциальном представлении решения по медленному времени. Теорема 2.1 утверждает, что если коэффициенты оператора являются аналитическими функциями в области 0О1 ~ З'^х (¡еН11*2, то можно указать такое число Т0 >0 , что решение системы (14) мояет быть представлено рядом Ли

х- = ехрСгШ))^-, г = , ] = Ы , (16)

где |и(,..., з.к Ц - решение системы нулевого приближения

Ряд Ли (16) сходится абсолютно и равномерно в области

Следующий фундаментальный результат дант теорема о разделении переменных на быстрые и медленные в централизованной системе. Теорема 2.4 устанавливает теоретико-групповые критерии разделения переменных и утверждает следующее.

Пусть для однопараметрической группы ^/(Ц), порожденной оператором и , ассоциированным с системой нулевого приближения, выполняются следующие условия:

1) в &в(й) имеется система инвариантов с базисным множеством % = {й(х),...,Д(х)|, определяемым пак решения уравнения

2) в и0(0) имеется система импримитивности с базисным множеством Тг = , определяемым как решение системы уравнений , ] =1,2,..., где Му " являются образующими некоторого идеала = . } = ■ ••, входящего в определяющую алгебру ^ , с >

3) функции определяющих множеств и Тг образуют совместную систему к+г-п независимых функций в С.

Тогда замена переменных

.....

£( = ^(х),-.-, = % (х) прообразует централизавалную систему (14) в две последовательно интегрируемые подсистемы порядка к а и~ к для медленных и быстрых, переменных.

Система для к медленных переменных

J оо т0 •

интегрируется независимо и содержит медленное врегля Z-£t. Система для г = и-к быстрых переменных

di- са Щ

jta Fi<*>+ £ £ I сФяУФ - 4>X,<P*S ш)

V=J я-t

интегрируется после того, как проинтегрирована система для медленных переменных.

Условия 1)-3) такте необходимы для разделения переменных на быстрые я медленные в централизованной системе.

Формулируется также ряд вспомогательных утверздений (теоремы 2.2, 2.3, следствия 2.1, 2.2), уточняющих основной результат.

Отметил, что сформулированные теоремы не имеют аналогов в литературе.

§ 3 носит технический характер.

В § 4 алгоритм асимптотической декомпозиции реализуется в области существования первых интегралов системы нулевого приближения. При'самых общих предположениях о свойствах правых частей возмущенной системы (требуется лишь их аналитичность) и на основе классических теорем существования и единственности решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений принципиально просто реализуется алгоритм асимптотической декомпозиции. Основное утверждение дает теорема. 4.1, вспомогательные - лекш 4.1, 4.2.

Основная теорема 2.4 о разделении движений приводит к следующему результату: в централизованной системе выделяются п '-{ медленные переменные

• -l'V*.....?.-'>'

и одна быстрая переменная

.....*и>.

В § Б. проводится обоснование алгоритма аоигатототеской де-компо"кп,"'.п дуст конечного числа приближений. Решение ¿c'(t,£) ■ исходной возмущенной системы сравнивается с решением х (£,£)' централизованной систем« нь~го приближения.

Основной результат содержит теорема 5.1, устанавливающая оценку вида

\х!си)-^ш(Ш в осг т+1), й,

на конечном интервале [а,б].

Следствие 5.1 распространяет эту оценку на максимальный интервал продолжимости решения системы нулевого приближения. Следствие 5.2 указывает условия существования этой оценки на полубесконечном интервале.

Полученные в параграфе результаты но обоснованию алгоритш асимптотической декомпозиции носят принципиальный характер, так как известные работы с использованием рядов и преобразований Ли такого рода оценок не содержат и поэтому являются, по существу, формальными.

В § 6.исследован вопрос о структуре алгоритма асимптотической декомпозиции и структуре централизованной системы в случае, когда нулевое приближение является декомпозируемым.

Теорема 6.1 обнаруживает тот факт, что если система нулевого приближения декомпозируема, то реализация алгоритма асимптотической декомпозиции существенно упрощается за счет понижения порядка систем обыкновенных дифференциальных уравнений, из которых находятся проекции операторов и операторы преобразования.

• Однако оставался неясным следующий принципиальный вопрос: в какой степени централизованная система наследует свойства де-^. ■ композируемооти от системы нулевого приближения? Ответ на этот вопрос содержится в теореме 6.2. и вспомогательных утверждениях » леммах 6.1 и 6.2. Оказывается, что указанное свойство декомпо-зируемости централизованной системы менее "грубо", чем свойство разделения движений на быстрые и медленные и требует для своего существования выполнения дополнительных предположений о характере возмущений.

В § 7 исследованы почти инвариантные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Так названы системы, нулевое приближение которых допускает некоторую группу Ли преобразований.

Цочтй .инвариантные системы являются наглядным примером соединения методов теоремы -возмущений и методов группового анализа дифференциальных уравнений. Такой класс уравнений является новым. В литературе известны отдельные попытки изучения возмущения хюч-

ти инвариантных (в основном,линейных) систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

В диссертации этот вопрос разобран в самом общем виде. Основной результат состоит в существенном упрощении алгоритма асимптотической декомпозиции за счет понижения порядков вспомогательных дифференциальных систем (см. теорему 7.1 и следствие из нее). В • качестве примера рассмотрена почти инвариантная система второго порядка относительно группы вращения на плоскости.

Результаты глав Ш и 1У. Эти главы посвящены развитию алгоритма асимптотической декомпозиции применительно к системам линейным в нулевом приближении. Важность их рассмотрения, с одной стороны, диктуется широкой практической распространенностью, а, с другой, - особой простотой в реализации алгоритма асимптотической декомпозиции, который сводится к простейшим задачам линейной алгебры. В основе указанной простоты в реализации алгоритма лежит тот факт, что системами импримитивности в этих системах являются конечномерные векторные пространства.

В главе Ш изучаются системы вида dx' , „ <

-jf =Л0х'+£Ва х' , (17)

где JglB0eRlK,n} , d0=canst, В0 = const ,

и почти линейные системы вида

■^-=Л0х'+гс><х') , (18,)

где со (х1) - вектор-столбец, составленный аз полиномов степени не выше к от w переменных.

Совершенно ясно, что все результаты главы Ш следуют из .результатов главы 1У. Однако, рассмотрение линейных систем (17) позволяет глубже понять особенности алгоритма асимптотической деком-позии.

Первые четыре параграфа обеих глав имеют одинаковую бтрукту-

РУ-

В первых параграфах строятся порождающие алгебры Jfi .л системы нулевого приближения и возмущенной систеда. Предполагается, что матрица Л0 престол структуры. Если матрица Ай не простой структуры, тс, выделяя в 40 нильпотентнуп состаглякщуп с помощью ?аме(щ х'-рхрЛПг, (Ы0)у' сводим исходят системы (.17) . или (1У) к слотevau с маггпчпгл! простой "'г!уг"у;м-'.

Для системы (17) порождающая алгебра ^ конечномерна, а для системы (18) - бесконечномерна.

Во втором параграфе,- операторные уравнения

¿=<,2,..., (13)

получаемые но алгоритму асимптотической декомпозиции сводятся к системам алгебраических уравнений.

Теор. ема 2.1 главы Ш утверждает, что решение опера-тордоос уравнений (19) равносильно решению системы матричных уравнений

и, 3 = 3) , 0-1,2,... , (20)

где J, - матрицы представления операторов в линейном прос-

транстве V® ; •

Аналогичный результат получен в теореме 2.1 главы 1У, утверждающей, что если правая часть уравнений (19) ^ то решение операторного уравнения (19) сводится к решению ^ независимых матричных уравнений

^ ~ Л- в0( [ (21) ~ '

где ~ ШТРИЦЫ представлений оператора и в подпространствах ..... Г0!.....Г^ - матрицы операторов

Наряду с линейным пространством К над полем Р прямоугольных матриц размерности ккп вводится изоморфное-линейное пространство составленное из вектор-столбцов, образованных из строк-матриц, входящих в к К

В этом случае система уравнений (20) заменяется системой (теорема 2.3, гл. Ш)

^ег-г«-*7, . (22)

а система уравнений (21) соответственно системой (теорема 2.2,

.....^V (23)

Теорема 2.2 главы Е! утверждает, что матрицы и операторов Ц и 4 в присоединенных представлениях алгебр и совпадают. ...-.-

В третьих параграфах производится конструктивное построение централизованной системы и нахождение приводящих преобразований.

Теорема 3.3 глав» Ш утверждает, что нахождение проек ции оператора рг от оператора сводится к решению системы неоднородгшх алгебраических уравнений

„ . * а

в пространстве /г<к'п) или системы уравнений

м

в пространстве

Аналогично теорема 3.1 главы 1У утвервдает, что нахождение проекции оператора р^Ро сводится к решению последовательности линейных алгебраических уравнений

% < ' ^¡г* > = < • ^/м >

в пространстве /3 ^ или системы уравнений (в Я г )

Л Л в^у.

Здесь , обозначают базисы ядер операторов в левых частях уравнений (22) и (23), а ¿¿п , Н4-г< - соответствующие базисы ядер сопряженных им операторов.

■Достаточно просто находятся также операторы приводящих* преобразований и вычисления сводятся к решению линейных неоднородных алгебраических уравнений.

Неожиданным и, на наш взгляд, изящным является результат теоремы 3.2 и следствие 3.1 главы Ш, который утанавливает связь обычного скалярного произведения в пространстве £ г*'н> с формой Киллинга В(Х,У)= ,ас1У){ Х,У - элементы алгебры Ли), опре-

деляющей скалярное произведение в алгебре Ли.

В четвертых параграфах изучается структура централизованной системы и формулируются основные теоремы о разделении движений.

Основной результат § 4 гл. Ш приводится в т е о р е м е 4.2. В ней устанавливается квазидиагональный вид централизованной системы

" Ал О

¿Я. =

сИ

Л,£, 0 оа

...... ■

« V* И

0 ^т

где Qft,..., Q - квадратные матрицы размерностей s{,..,,znl.

Теоремы 4.3, 4.4 устанавливают блочную структуру централизованной системы, йричем их условия слабее, чем условия теоремы '4.2, так как не предполагают знаний-характеристических чисел матрицы Л0-

Перейдем к описанию результатов главы 13 по изучению структуры централизованной системы, соответствующей почти линейной, системе (18). Центральное место здесь занимают теоремы 4.1 и 4.2. Теорема 4.1 является фактически переформулировкой основой теоремы 2.1 гл.П об экспоненциальном представлении решения централизованной системы по медленному времени, а теорема 4.2 является реализацией основной теоремы о разделении движений в централизованной системе на быстрые и медленные к рассматриваемому случаю.

Построение систем инвариантов и систем импримитивности сводится к исследованию ядер ^бесконечномерных матриц %х> п Goo специальной структуры ( £7öo - представление оператора U в бесконечномерном пространстве ,, Сдд- бесконечномерная матрица, стоящая в левой части уравнений (23),. когда индекс v>= г,<*=>), которое, в свою очередь, сводится к исследованию резонансных соотношений второго и первого рода. Переход к исследованию полугрупп, цороадаемых этими соотношениями, делает алгоритм конструктивны;.!, сводящимся на каждом этапе к конечному числу шагов в алгоритме.

Теорема 4.2 главы 17 утверждает, что если матрица d ~ простой структуры с характеристическими числами Л{,...,ЛП1 кратнос-тей г,,..., . я выполняются условия:

: а) подпространства ker не пусты,

б) полугруппы %(0) , j- i,m , являются конечно-порок-

денными и их порождающими элементами являются функции jxx),...,p(х)е 6 £(0), ^.¿/¿хгУЛ;), l = /,т ; ' *

. в) для некоторого набора индексов д= {i,..., т}

выполняется тоадесгво

dim, Щ(0)*2 dim т<лм)*п,

(UG А Г

. тогда замена неременных

у, -J>k<x),

к i- ■■■ + If - К , Л " f Гу,..., )

расщепляет централизованную систему на две подсистемы для к медленных,.

и и,-к быстрых переменных

Замена переменных сохраняет неподвижную точку л з о централизованной системы.

Теоремы 4.3- 4.5 являются уточнениями основной теорема 4.2, полученными при различных дополнительных предположениях. Так теорема 4.3 утверждает, что при условии кег ^ = 0 и

кег йаа = 0 , централизованная система линеаризуется. Этот результат хорошо согласуется с известной теоремой А.Пуанкаре по теории нормальных форм.

Теорема 4.5 устанавливает факт разделения движений в централизованной системе при условии, что матрица Л не имеет кратных характеристических чисел кег 7 £ О , кег С!^ ~ о и полугруппа $£(0) конечно порождена.

Система вида (18) успешно исследуются другими известными методами. С целью сопоставления рассмотрен классический нелинейный осциллятор

х' = х', х' +£а-я'г)х' . (24)

( г г ' .'

Применение алгоритма асимптотической декомпозиции к системе (24) во втором приближении приводит к централизованной системе

7Г

■ Анализ полугрупп &(0) , А'СД), Х(К ) приводит к нахоздению замены переменных

ъ = ' %-агсЧ

которая разделяет переменные в централизованной системе

—й- = , (± _ 1 и1 \ и ЛЬ ~ и &Ъ )?1 '

_ Уз

Этот результат согласуется с полученным по методу усреднения .

Рассмотрена модель "хищник-жертва" В.Вольтерра с1х'

(25)

= -п*4 * еЩ х<,х'2 + 4 х'/

В ввиду экспоненциального характера решения системы, нулевого приближения к системе не применим^ ни асимптотический метод II ,М Крылова, Н.Н.Боголюбова, ни метод усреднения Н.II.Боголюбова.Применение алгоритма асимптотической декомпозиции к системе (25) во втором приближении приводит к централизованной системе

>г

х<

¿х< , .А г г

ИГ * " гВг л?хг ~ £ • " х< х-

2

"77 -- о » —

а г: <- ы. 1 «-

Замена переменных = , разделяет переменные в цент-

рализованной системе

ЛЬ

К системам (24) и (25) применим метод нормальных форм.

В следующей главе рассматривается масс систем, к которым применим метод асимптотической декомпозиции, но не применим метод нормальных форм.

Отметим, что отличие метода асимптотической декомпозиции от метода нормальных форм применительно к системам (18) состоит в следующем: источником формирования централизованной системы является операторное уравнение (19) и, как следствие;- - алгебраические системы (23). Это, во-первых, приводит к новому алгоритму нахождения коэффициентов централизованной системы и приводящих преобразований; во-вторых, позволяет ввести новую форму представления решения (см. теоре1лу 4.1); в-третьих, использовать теоретико-групповые критерии разделения движений на быстрые и медленные в центра лизованной системе. Такие теоремы в общем случае не имеют аналогов в теории нормальных форм.

В заключение рассмотрим §§ 5,6 гл. Ш. В § 5 рассмотрена задача о возмущений алгебраически приводимой в нулевом приближении системы. Здесь выясняются два вопроса: сохраняется ли свойство декомпозируемости централизованной системы и как изменяется сам алгоритм асимптотической декомпозиции.

В теоремах 5.1-5.3 дано полное решение этого вопроса. В качестве примера рассмотрена механическая система нормальных уравнений десятого порядка из § 3 гл.1, которая подвергнута малым возмущениям.

В § С рассмотрен общий случай структуры матрицы Л (т.е. матрица не является матрицей простой структуры). Алгоритм метода асимптотической декомпозиции несколько усложняется, однако, основные свойства централизованной системы при этом сохраняются. Так,т е о-ре м а 6.3 устанавливает декомиозируемость централизованной сис-теш и является, но существу, аналогом теорега 1.2. Новый момент в структуре решения централизованной системы дает т соре м а 6.4,

Результаты главы У, В этой главе для осуществления алгоритма асимптотической декомпозиции привлекается аппарат теории представлений конечных' непрерывных групп преобразований. Благодаря этому реализация алгоритма сводится к решению простейших задач линейной алгебры. В основе указанной возможности лежит известная связь между теорией представлений конечных групп Ли и специальными функциями. С этой точки зрения классические асимптотические методы, использующие разложения в обычные ряд Фурье, являются частным случаем разработанного метода. Отмеченное обстоятельство весьма существенно, так как, с одной стороны, позволяет сохранить такие преимущества асимптот'«тческого метода,как простоту и принципиальную реализуемость алгоритмов, с другой стороны, обеспечивает преемственность с асимптотическими методами- нелинейной механики, открывая тем самым, широкие возможности перенесения методов и постановок задач, выработанных здесь в последние десятилетия,на новый класс проблем.

В § I изучаются'дифференциальные уравнения (4), нулевое приближение которых инвариантно относительно компактной в -параметрической группы Ли ^ преобразований с алгеброй Группе соответствует пространство представлений = ■ так что лю-

бая функция на группе из разлагается в ряд Фурье по

этим представлениям.

Система (4) называется правильно возмущенной, если выполняются следующие условия.

■I; Оператор возмущения й(х) разлагается по базису Л,,..., ?р алгебры централизатора

2. Коэффициенты (х) в разложении (26), рассматриваемые как функции на группе, удовлетворяют условию

J 16у (Х)(*с1р ".< оо,

и, следовательно, для них имеет место разложение в рад С'урье на группе. ■"

В предполояении, что система (4) является правильно возмущенной, оснотов операторное уравнение

[ И, 5, 3 Г;

заменяется системой дифференциальных уравнений

иса)(Ги)+уа>(Г1^Си>(5„):

где Л^ - матрица - представление оператора и в подпространстве

векторы-столбцы координат оператора 5 и правых частей в подпространстве %]£ • При дополнительном условии

систеш уравнений (27) переходит в алгебраическую систему.

Вычисление проекции рг Я оператора Г и матрицы преобразования 3$ сводится к задачам линейной алгебры, подробно рассмотренным в главах Ш и 1У.

Пример 1.1. Система уравнений :

где ^ , Р2 - некоторые функции из О(й) , f - произвольная аналитическая функция от л'(г + х^ > инвариантна в нулевом приближении относительно группы вращения 30(2) на плоскости. Чтобы пространство представлений группы 50(2) имело обычное описание в виде рядов Фурье по тригонометрическим функциям, в системе (28) еле,дует перейти к переменным '

и записать ее.в виде

(28)

Централизованная система, соответствующая системе (29), в первом приближении принимает вид

Пример 1.2. Если принять fsí , .то система (29) переходит в классический нелинейный осциллятор.

Предположение о правильности возмущений сводится к предположению о периодической зависимости правых частей систем от

Централизованная система в первом приближении принимает вид

т.е. получаем усреднзннуюпо Н.Н.Боголюбову систему (29) в первом приближении.

В § 2 метод асимптотической декомпозиции применяется к дифференциальным системам, нулевое приближение которых порождает конечномерную алгебру Ли, т.е. оператор II , ассоциированный о системой (4), принадлежит •

В предположении, что группе "$(¡£¡0 можно поставить в соответствие некоторое гильбертово пространство У} представления, все алгоритмы асимптотической декомпозиции такие мо.тно свести к задачам линейной, алгебры. С этой целью оператор и , ассоциированный с системой,записывается в специальном базисе ^■'

= { у),

Обозначим через

линейное пространство операторов

вида

I

орого 6

у которого

Теорема 2.1 утверждает, что решение операторного уравнения = сводятся к решению системы независимых

матричных уравнений _ „

где Гу , - матрицы операторов , Л , „'/■ , мат-

рицы представления оператора и в ■

Вычисление проекция рг F оператора Р и матрицы преобразования сводится к задачам линейной алгебры, рассмотренным ранее.

Пример 2.1. Уравнения динамических маневров спутншш при движении на сфере имеет вид

Ая~ ИГ-

ав

- Í + IVCOS cta в - £§ z¿ COS¿ в COSZ Cj> ,

^-j- - ur sin cj> - £ 6 г-sin в eos 0 sin cji eos cf

u' ■

где ur=coast - управляющее ускорение; составляющее при £ учитывают нецентральность паля притяжения Земли.

Дифференциальные операторы

tí = eos, Cf ctjOjy * sin cf-jg- , входящие в качестве составляющих в оператор 11- % i- wfy , порождают конечномерную алгебру Ли группы вращения сферы S0(3). В качестве гильбертовою пространства представления этой группы выбирается пространство основных сферических функций.

Централизованная система в первом приближении при иг а i (с учетом гармоник до 1=5 включительно) имеет вид

^'-í eos cf1 ciy в - ¿Sz2 {-— (eos cf сЦ в -i) + •••} .

Sin. tf> - £§ iz {- Sin cj> ♦ 0.059253 sin г0 sinSy = ~e&Z5[o, Q5SZ5M sin^s'nZcft-] .

Решение соответствующих операторных уравнений сводится к неоднородным линейным алгебраическим уравнениям.

В отличие от гл.1У нулевое приближение систеш (4), к которой применимы результаты § I, 2 гл. У, существенно нелинейно, однако, тем не менее, -алгоритм•асимптотической декомпозиции сводится к задачам линейной алгебры, К системам такого вида не применимы классический' асимптотический метод и метод нормальных фор.!.

Результаты главы У1. В этой главе алгорптм асимптотической декомпозиции переносится на пфаффовы систеш с малый пар!метро;.!. Кшс известно, исследование структуры интегрального многообразия пфаффовой систеш равносильно аналогичной задаче для систеш уравнений в частных производных общего вида. Задача возмущений на пфаффовых формах является новой и ранее в литературе не рассматривалась .

В § I рассматривается связь пфаффовой систеш с общей дифференциальной системой в частных производных. Теоремы 1.1, 1.2 приводят известные результаты. Здесь же рассматривается возглущенлая пфаффова система

■ II /О)' 14- J л^'ЯНч

........■..........................(30)

/V

Порождающая алгебра $ систеш (30) определяется олерато -

рамп

• 4 * (?""Ч"">|< <<' 1 «>

ассоциированными с системой.

В § 2 рассматривается частный случай еистпуп (30)

«V- (я. (X1) + г б'! Г;2)

которая пашется вполне итерируемой ири .'¿ибсм слачешш а. Это условие залягается то-чдоствами

Г«?, бри. (зз)

йрсобразогаяяп подьзртастся совокупность векторных полей (31), а ото пр:\в;-.дет, в етличе от гяав П-У, к рассмотрршш совокупности

ур-дйцеяиа

= (31)

Гс.пекпе састеш (34) лршедгсийльяо сложнее рвшшм одного о!кадгорпого уравнения,- которое. сводилось к системе оСикковсниь* дшЗфереш щалх лых уравнений.

Т е о р с- и ы 2.3, 2.4 обосновывают применимость алгортгл аскмптогшсской дексшозгаюл к пфаффовой системе (32), Теорема 2.3 утЕзрцдззт, что 5 области н0 существования общего решения задачи ком:л састе-.'н пулевого приближения алгебра цеятралпзпторн $ ссд&раит п. лпнзйно несвягишх операторов

и в произвольном одораторе Рб<?<<>(ц ) однозначно внделяется.

соотав&ляцая ргр е $0 •

Ксполъзуя базис (35),систему операторных уравнений (34) можно свести к системе л, независимо интегрируемых подсистем

$? V (4) _ А"» ,, -

и,1, - "»Г.И. - °1п, ' (36)

1 пг[1 т1 ' ' МП

Теорема 2.4 утверждает, что кандая из подсистем (ЗБ) при условии вшюлжлшя тождеств (33) является полной неоднородной. Для централизованной пфаффовой системы

¿X = &(ЫсИ+&аы1х)с1Ь , (37)

1,до (х) = х. II , I = Гт, ¿«и . сЦ = соЛаг II,

СО

Г V»-/ ..С1»)

Т /I'' ,, Г V»-/ ..С

"Г^/ ч .....

можно сформулировать аналоги теорем главы П, облегчающие ее ин-г тегрирование. ' •

Теорема 2.1 позволяет представить решение системы (37) в виде ряда Ли по медленному времени

(38)

где Ц. = &~соЬп 12^.,., решение системы нулевого

приближения

Ряд Ли (38) сходится абсолютно и равномерно в области

Теореш 2.2 утверждает, что в области Н0 существования общего решения задачи Коши системы нулевого приближения централизованная пфаффова система заменой переменной

у, =/><*>,....

преобразуется к X уравнениям для медленных' переменных

¿у,• -

¿и

и к ж. уравнениям, для быстрых переменных

и^г^еПп ,

В заключение параграфа показано, что любая непротиворечивая система Пфаффа (30) может быть сведена к рассмотрению вполне интегрируемой систомы (32).

В § 3 рассмотрен алгоритм построения интегралов пфаффовой системы (30) в инволюций. Показывается, что выполнение условий шшолютивности для исходной системы приводит к рассмотрению расширенной системы операторов

й. - П. ♦ и- , Гт. (39)

' ) 1 1 *

где Щ - операторы, ассоциированные с систекой V М Д щ ¡1

Основной результат параграфа содзрзштач в теореме 3.1. Эта теорема утьоиздает, что операторы (39) кошу5атявяы Й к + А

интегралов ____

Т; и) « с- , с, * ('0П"Л, / = /. ,

полней систсил Л - „ - :--

И. Т ~ Я , > ^ ¡.Ж ,

даш неявно'.- & здание ша>егрш£ьгсго гляэгообразшх исходной спелые.

В § -1 усмотрена задача о т»оз:;ущеяш пфаффовой систеш з» инволюции. В предположении о тем, что система нулевого приблдъеш.л возмущенной системы (30) находится в инволюции и структура ео интегрального не меняется под воздействием возгдущений, эта задача вводится к задано о возмущении вполне интегрируемых пфаффовых систем, рассг«отрвияоЙ в § 2.

В клчгстве призера рассматривается одномерное волновое урну>~

нение

5ги дгч ?/ да ди дги д*и\

(40)

подвергнут;!?' калым возкусешьтм. Ставится задача до методу асимптотическом декомпозиции найти решение уравнеяпя (40) в виде

оо

и = уСХ.Ь) + £ £°СР (х^) ,

где ср0 н 0.

Задаваясь конкретным видом интегрального многообразия систеш нулевого приближения в виде плоской волны

и - -у? ) Л вводя новые переменные

да, да дя, ди

= "' '/, Цг = í' ^ - Ту;- = ^ " 'Ж'

перепишем уравнение (40) в виде эквивалентной пфаффовой системы

ди, j да, ,

ds3 = u2 dyf * (u, hd¡/2 , dt, dtL ¿iг ■

Задавшись конкретным видом функции возмущения f и используя первые интегралы системы нулевого приближения, с помощью алгоритма аскштотической декомпозиции перейдем от системы (41) к централизованной пфаффовой системе

áx¡ =0, dxif - 0 ,

dx¿ « 0, ] dx5-0, (42)

dx5 = £<í* x/dyz , dt, = dtz~ dy¿ ■

Интегрирование централизованной пфаффовой системы (42) цроще, чем интегрирование исходной возмущенной системы, так как в ней переменные разделены.■ Интегрируя систему (42) и возвращаясь к исходным переменным,получим для возмущений системы уравнений интегрально е' многообразие/в виде :

■ ' . tz f

ur-m(trtz), a^cos^-tj+if-e'-jL.,

и - CB3 (tf -1¿)¡ 2¿ = -Sin. (tf -1¿ ) ,

tf

sin. -

Функции (43) являются решениями исходной возмущенной сне-,* гачн' л удовлетворяют - с точностью до sz

Основные полсяеяия диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Лопатин А-К. Об алгебраической приводимости систем линейных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.--1968. - 4, Ji 3. - С. 439-445.

2. Л о а а т и н А.К. О критерии Лаппо-Данилев'ского //Докл. АН EGGP. - 1969. - 13, й 2. - С. 107-109.

3. Л о п а т и я А.К. Условия полноты пароздающей линейной оболочки системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и их приводимость // Методоинтегральных многообразий в нелинейных дифференциальных уравнениях. - Киев: Ин-т математики ДН УССР,1972..

- С. 146-154.

4. Лопатин А.К. Асимптотическое расщепление систем нелинейных дифференциальных уравнений // Всесоюз.конф. "Инвариантность, автономность, устойчивость", Киев, 6-14 сент. 1976 г.: Тез.докл. -Киев; Ин-т математики АН УССР, 1976. - С. 8.

5. Л о п а т и н А.К. Исследования асимптотического взаимодействия колебательных составляющих в методе гармонического баланса // Проблемы асимптотической теории нелинейных колебаний. -Киев: Ин-г математики АН УССР, 1977. - С. 138-143.

6. Л о п а т и н Л.К. Асимптотическое расщеплеше систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений высокой размерности // Кибернетика и вычисл.' техника. - 1978. - Вып.39. - C.3S—1Ь.

7.bopatxn А,К. Asyciptotischa Zerlegung von systemen nichtlinearer gewonlicher differcntialgleichungen // Schriftenreiche Zcntralinat. math. und mech. - 1978. - II 26. - P. 17-22.

8. Лопатин A.K. Асимптотическое расщепление почти инвариантных систем // Теоретико-групповые методы в физике: Мездунар. симпоз., Зве1шгород,198иг.^.:Наука,1980г-Т.2. - С. 342-347.

'9. Л о п а т и л А.К. Асимптотическое расщепление почти линейных систем // Аналитические методы нелинейной механики. - Киев: Ин-т математики АН УССР, I9BI. - С. 67-80.

10. Л о п а т и н А.К. Метод асимптотической декомпозиции в задачах динамики систем // Теоретическая и прикладная механика: 4-я науч.конгр. по теорет. и прякл. механике, Варна, 14-18 сент. 3D0I г.

- София; Пзд-во Болт,АН, 1982. - С. 149-L57.

11. Лопатин А.К. Асимптотическое расщепление вполне интегрируемых пфаффовых систем // Методы нелинейной механики и их применение. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1982. - С. 47-59.

12. Лопатин А.К. К вопросу построения интегрального многообразия пфаффовой системы в инволюции // Там же.- С. 59-70.

13. Л о п а т и я А.К. Асимптотическая декомпозиция систем и дифференциальных уравнений высокой размерности и ее прилонедия // 9-я ■ ¿"елсдунар.ненф. по нелялейн. колебаниям. Аналитические метода теории нелинейных колебаний, Киев, 30 авг,- 6 сент.1981 г. - Киев: Наук.думка, 1984. - Т. I. - С. 235-24В. •

14.Лопатий А.К. Теоретико-групповые критерии декомпозиции систем обыкновенных дифферещйальяых уравнений с малы;«! параметром // 2-я*Всесоюз.кояф. "Лаврентьехрэде чтения но математике, механике, физике", Киев, 1985 г.: Тез.дсфх. - Киев: йн-т математики АН УССР, 1985, - С. 145-147. 1

15. Л о п а т и н А.К. Декомпозиция систем обыкновенных диффферн-циальных уравне!шй с полиномиальными ковффядиентами // Мат. физика и нелянейн. механика, г- 1985. - Был. 3, - С. 33-37.

16. Лопатин А.К. Асимптотическое разделение движений на быстрые и медленные в системах обыкновенных дифференциальных уравнений с „малым параметром и иолиномкашшш коэффициентами // Там Ее. -Вып. 4. - С. 48-53.

17. Л о п а ти ЛА.К. Декомпозиция систем линейных обыкновенных дифференциальных, уравнений с постоянными коэффициентами по нилыютен-тной составляющей // Дифференц. уравнения. - 1986. - 22, й 8.- С.1449-1451. •

18. Л о п а т и н А.К. Теоретико-групповые критерии декомпозиции систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Мат.физика и нелинейн механика. - 1987. - Вып. 7. - С. 17-23.

19. Лопатин А.К. Асимптотическая декомпозиция дифференциальных систем с малым параметром в пространстве представлений конечномерной группы Ли // Укр.мат.Еурн. - 1987. - 39, В 1. - С. 56-64.

20. Лопатин А.К. Обоснование алгоритма асимптотической декомпозиции для конечного числа приближений // Там же. - 1987. - 39,

« 6. - С. 732-737.

21. Л о п а т и н А.К. Метод асимптотической декомпозиции в иссле-довгишк уравнений в частных производных с малым пара-лог ром /7 II-/ с дунзр.колф. по недглейн.колебаниям, Будалелт,' ГДУ5 г.; 'и.-з.докл.- В>да-..евг; '''-т. (Кчд-во /£нс«« '1^7. - С!. Ш.

22. Лопатин A.K. Теоретико-групповые аспекты асимптотических методов нелинейной механики // Дифференц.уравнения. - 1987.

- 23, № 12. - G. 2IB5-2I86.

23. Митропольский Ю.Д., Лопатин А.К. Пошщи няе порядка лянейшх систем на основе алгебраического приведения и некоторые приложения к задачам механики и электротехники // Метод интегральных многообразий в нелинейных дифференциальных уравнениях,~¡íu ев: Ин-т математики АН УССР, 1972. - С. 32-59.

24. Митропольский ¡O.A., Лопатин А.К. 0 нрео;; разованли систем нелинейных дифференциальных уравнений к нормальной форме // 1"ат. физика. - 1973. - Вып. 14. - С. 125-140.

2i3.Uitrcpolsky Yu.A., Lopatin A.K. Lu méthode asmsptotiqua daña la théorie de3 progressus nonlineairea ondulatoires et oscillatoirfed,.' Bull. Unions math. ital. - 1975. - 4, H 11. - Г.413-429.

2G. Митропольский Ю.А., Лопатин A.K. Развитие асимптотического метода применительно к исследованию колебательных ц волновых процессов /Д/Iiitern. Konf. Uber Hichtlinear Schwingung* -Berlin . Atad. - Verl. 1977. - Bd 1/2. -S.95-106.

27. M я т p o n о л ь с к и й Ю.А., Лопатин А.К. Обоб^ыш,-асимптотического метода на осноЕе операции "погружения" в теории коле: баний систем с сосредоточенными параметрами // Там же. - С. I17-123.

28. M и т р о п о л ь с к и й Ю.А., Л о п а т и н А.К. Асимптотическое расщепление систем дифференциальных уравнений. - Киев, IS79.

- G8 с. - (Препр./АН УССР. Ин-т математики; 79.2).

29. Митропольский Ю.А., Лопатин А.К. Асвмнто-тичеекгш декомпозиция систем нелинейных обыкновенных дифференциальны* уравнений // Укр.мат.журн. - 1984. - 36, № I. -С. 35-14.

30. M и т р о п о л ь с к и й Ю.А., Лопатин А.К. Теоретико-групповой подход в асимптотических методах нелинейной механики// Ш-н Междунар.конф. но нелинеим. колебаниям, София, I9R5 г.: Тез.докл.

- София: Изд-во Болг.АН, IS85. - С. 102-I0S.

31. M и т р о п о л ь с к и й Ю.А., Лопатин А.К. Теорети ■ ко-групповце аспекты асимптотических методов линейной механики // Ш-г, физика и нолинрйн. механика. - 1986. - 5. - С. 34-45.

32. И и т р о h о л ь с к и И (U.A., Л о н а т и н А.К. А«жяпм-Tii'if екмн ,таком1!у?ш!Ш1 дифференциальнык систем ti ы-члнм ппрниет! <-.м /'/'

у,-....:-,. -.VI ,1. .. - 39, № •?. - С. ¡°1 '-Í4.

"'3. Мятропольский Ю.А., Лопатин А.К. Теорз-тико-групповой подход в асимптотических методах нелинейной механики. - Киев": Наук, думка, 1968. - 272 с.

• Я1. М п т р о п о л ь с к и й Ю.А., Лопатин А.К. Асимптотическая декомпозиция вполне интегрируемых пфа|<§онах систем / Угр.мят.журн.1988. - 40. Л 3 . - 0. 249-356.

Наш, в печ. К»'22721. кК&Л/А\. '-умна гг>. £г.

По. г.ппатк Гол.ттл.л. 2.М-?. Угл. пр.- отг. /ч.• п.->г. .г Г,И.

*'';.■* :''->? Л",?'': ч:; г ;; г '<>> "П тгтч т? Инотг*! : ';! > '■''