Стабилизация и аналитические методы синтеза режимов нелинейной динамики машин

Рыжов, Евгений Николаевич

Стабилизация и аналитические методы синтеза режимов нелинейной динамики машин тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

Рыжов, Евгений Николаевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Саратов МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Стабилизация и аналитические методы синтеза режимов нелинейной динамики машин»

Автореферат диссертации на тему "Стабилизация и аналитические методы синтеза режимов нелинейной динамики машин"

На правах рукописи

РЫЖОВ Евгений Николаевич

СТАБИЛИЗАЦИЯ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СИНТЕЗА РЕЖИМОВ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ МАШИН

Специальность 01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов

и аппаратуры

А втореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов 2005

Работа выполнена в Волгоградском государственном техническом

университете

На> чный руководитель -

доктор технических наук, Горобцов Александр Сергеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Макеев Николай Николаевич

кандидат физико-математических наук, доцент

Горохов Максим Михайлович

Ведущая организация -

Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, РФ

Защита состоится 6 сентября 2005 г. в 1 б00 часов на заседании диссертационного совета К 002.227.01 при Институте проблем точной механики и управления РАН по адресу: 410028, Саратов, ул. Рабочая, 24, Институт проблем точной механики и управления РАН

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале научно-технической библиотеки Института проблем точной механики и управления РАН

Автореферат разослан« » 2005 г.

Ученый секрешрь

диссертационного совета с- Д.Ю. Петров

№06- Y_

ZYrwS/

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы Работа посвящена синтезу в математических моделях элементов машин заданных режимов, обеспечивающих их устойчивость и прочность. Динамика современных машин характеризуется наличием нелинейных режимов, которые вызваны как нелинейными силовыми взаимодействиями в машинах, так и использованием различного рода управляющих связей - регуляторов. Аналитический синтез динамических режимов с заданными параметрами устойчивости - стабилизации движения, осуществляется с помощью математических моделей в виде нелинейных систем дифференциальных уравнений.

В данной работе модели технических устройств рассматриваются с позиций теории динамических систем. Такой подход оказывается достаточно эффективным, так как рассматриваемые математические модели взаимодействующих элементов машины могут быть представлена системой дифференциальных уравнений, определяющей динамическую систему, и могу г быть исследована методами аналитической и качественной теории дифференциальных уравнений. Кроме того, такой подход позволяет применить групповой анализ и рассмотреть задачу стабилизации на алгебрах Ли их векторных полей.

Задача синтеза устойчивых моделей сводится к синтезу непрерывных статических и динамических нелинейных характеристик. Среди исследований отечественных и зарубежных ученых, определивших современную концепцию синтеза заданной динамики нелинейных систем, можно привести работы А.М.Летова, В.И. Зубова, A.A. Андронова, В.И. Арнольда, Н. Н.Ьругина, H.H. Красовского, H.H. Боголюбова, ¡O.A. Митро-польского, Ю.Ф. Неймарка, Е.П. Попова, П.Д. Крутько, К.С. Колесникова, Ф.Л. Черноусько, К.В. Фролова, В.Ф. Журавлева, В.Б. Колмановского,

A.Г.Александрова, Д.М. Климова, И. И. Кринецкого, А. ван дер Шафта, Р.У. Брокетга.

В данной работе, исходя из основных положений теории устойчивости инвариантных множеств динамических систем, разработанных

B.И. Зубовым, предлагается решение ряда задач стабилизации движений посредством аналитического синтеза многомерных инвариантных асимптотически устойчивых эллипсоидов в пространстве состояний динамических систем. Это приводит к формулировке и доказательству достаточных условий инвариантности эллипсоида, обеспечивает локализацию траекторий, начинающихся во внутренних точках области, ограниченной эллипсоидом, при выполнении условий существования и единственности решения задачи Коши. Кроме того, это гарантирует устойчивость и притяжение этих траекторий к границе области. Наконец, решение этих задач приводит к синтезу обратных связей, стабилизирующих движение систем в окрестности эллипсоида и определению необходимых для этого нелинейных характеристик модели. Для колебательных систем это позво-

ляет синтезировать колебательные процессы с выходом на стационарный режим с заданной амплитудой. При таком подходе устойчивые режимы формируются на самом эллипсоиде. Кроме того, размеры области локализации движений систем можно регулировать через длину полуосей эллипсоида. Свойства поверхности эллипсоида, условия его инвариантности и устойчивости определяет характер нелинейных связей в виде многочленов третьей степени, синтезируемых в динамических системах.

Кроме этих задач, в данной работе рассматриваются задачи стабилизации движений системы в окрестности заданных состояний равновесия на алгебрах Ли векторных полей посредством введения взаимодействия между подсистемами с квадратичным характером нелинейности. В частности, для нелинейных динамических моделей доказана неразрешимость задач стабилизации в окрестности дополнительно заданного состояния равновесия на абелевых алгебрах Ли; предложен алгоритм синтеза некоммутативной алгебры Ли, на которой данная задача имеет решение

При исчерпании ресурса, связанном либо с усталостным изнашиванием элементов, либо погрешностями сборки устройства, либо неучтенными внешними факторами, функционирование устройства становится неустойчивым. В связи с этим предложен подход синтеза на алгебрах Ли, повышающий надежность функционирования элемента машины, основанный на введении дублирующих стационарных режимов, приобретающих устойчивость при потере устойчивости исходного режима. При этом чтобы обеспечить близкие к прежним характеристикам функционирования устройства, дублирующий режим должен быть достаточно близким к исходному, насколько позволяет робастность модели. В этом и заключается смысл режима аварийной стабилизации. Синтез моделей на некоммутативной алгебре Ли квадратичных векторных полей дает решение задачи аварийной стабилизации.

Данный подход является достаточно универсальным. Полученные результаты позволили объяснить формирование петлевых структур в гомогенной химической кинетике для задач выхода продуктов реакции на заданные концентрации в активной зоне реактора.

Актуальность и необходимость исследований проблемы стабилизации движений систем такого вида и определила выбор темы, цели и задач данной работы.

Цель работы состоит в исследовании динамики многомерных колебательных и градиентных динамических систем теории машин на основе предложенных аналитических методов и синтезе связей, стабилизирующих движения систем в окрестности заданных инвариантных множеств.

Задачи исследования: - разработка методов аналитического конструирования устройств, основанных на принципах локализации движений на ограниченных областях, инвариантности, притяжения границами заданных областей траекторий синтезируемых систем.

На защиту выносятся:

- задача синтеза многомерных колебательных систем на замкнутом единичном шаре, с инвариантной асимптотически устойчивой границей относительно синтезируемых систем и синтез автоколебательного режима на эллипсоиде bäj;

- задача синтеза инвариантного и асимптотически устойчивого многомерного эллипсоида для многомерных градиентных систем;

- задача синтеза нелинейной обратной связи, обеспечивающего локализацию колебательных процессов для моделей устройств, состоящих из двух колебательных звеньев; при этом на равных частотах генерируются устойчивые автоколебательные режимы.

- синтез некоммутативной алгебры Ли для задач стабилизации квадратично - нелинейных моделей.

Научная новизна. На основе исследования:

1) предложен единый подход к аналитическому синтезу градиентных и колебательных моделей с кубической нелинейностью, основанный на локализации движений в области, ограниченной эллипсоидом;

2) сформулирована и решена задача стабилизации в окрестности сферы многомерных колебательных нелинейных систем с нечетными многочленами третьего порядка в правых частях и синтез автоколебательного режима на эллипсоиде в R3;

3) сформулирована и решена задача стабилизации в окрестности эллипсоида многомерных градиентных систем с потенциалом в виде четного многочлена четвертого порядка;

4) осуществлен синтез систем с квадратичной нелинейностью для задач стабилизации в окрестности заданных положений равновесия на некоммутативной алгебре Ли, что позволяет получить алгебраические принципы стабилизации на основе теории алгебр Ли и решить задачу аварийной стабилизации.

Практическая ценность работы заключается в создании теоретических основ для проектирования систем автоматического регулирования с динамикой, локализованной в замкнутых областях с границами эллипсоидального типа. Полученные результаты открывают новые перспективы в развитии качественных методов моделирования нелинейных систем.

Достоверность и обоснованность результатов и выводов диссертации определяется применением при проведении исследований обоснованных методов качественного и группового анализа нелинейных систем дифференциальных уравнений, теории устойчивости и методов математического моделирования.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции, посвяшенной 100-летаю A.A. Анд-

ронова "Прогресс в нелинейной науке Математические проблемы нелинейной динамики" (Н. Новгород, 2001), на "VI международном конгрессе по математическому моделированию" (Н. Новюрод, 2004), на международной конференции, посвященной 75-летию со дня рождения В.И. Зубова "Устойчивость и процессы управления" (Санкт-Петербург, 2005). на научных семинарах и конференциях государственных технических университетов (Астрахань, Волгоград 1995-2005).

Публикации. Основное содержание диссертационной работы изложено в 10 научных работах и материалах конференций.

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 104 страницах и состоит из введения, четырех оригинальных глав, заключения, списка использованной литературы, включающего 82 наименования, 24 рисунка и одну таблицу.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен обзор отечественных и зарубежных работ, обоснована актуальность темы, сформирована цель, сформулированы принципы аналитического конструирования регулирующих устройств, рассмотренных в диссертации, показана научная новизна и практическая ценность работы, выделены результаты, выносимые на защиту.

В первой главе осуществлена постановка и дано решение двух задач: 1) синтеза многомерной колебательной системы, асимптотически устойчивой в окрестности единичной сферы; 2) синтеза автоколебательного процесса на эллипсоиде в Я3.

1. Задача синтеза колебательной системы. Рассмотрим следующий класс систем дифференциальных уравнений:

~ = АХ + В(Х), (1)

где А" = (х,,, ...х,^, У е Я2"*' - вектор состояния системы; А — ) -

заданная блочно-диагональная матрица размерности (2п + 1)х(2« +1), где

'0 0^1 (а, -со,

при / * /, /„ -

(/, / = 1,2,...,и), Jl¡.l|„tl = а„, >0,

В(х) = (ьХх)Мх)- Ь2„Лх)У € я2" (2)

- нелинейная вектор-функция (аналитическая модель регулирующего устройства), формирующая обратные связи между подсистемами, определяемыми клетками Жордана матрицы А. Таким образом, при В(х)= 0 имеем 2п +1 -мерную систему линейных дифференциальных уравнений , состоящую из п линейных колебательных подсистем второго поряда и подсистемы первого порядка. Фазовое пространство распадается в произведение и

, а„ а, > 0, / = У = (0, 0)

двумерных и одного одномерного фазового подпространств. Требуется синтезировать систему на единичном шаре такую, что единичная сфера S * с центром в начале координат является ее асимптотически устойчивым инвариантным множеством. Задача синтеза системы сводится к определению вектор- функции Компоненты вектор - функции В{Х)

2п+1

ищем в виде нечетных многочленов третьего порядка: hk = ^lfiJkxkx2i ,

к = 1,2,..., 2п +1, ¡3jk е R - коэффициенты многочленов. Основные результаты данного раздела отражены в следующих теоремах.

Теорема 1. Пусть коэффициенты функции В(Х) (2) удовлетворяют

соотношениям: pjk =---—, где j,k = 1,2,... ,2п +1, [...] - целая

часть числа. Тогда сфера S1" - асимптотически устойчивое инвариантное множество системы (1).

Из теоремы 1 следует, что вектор-функция В(х), удовлетворяющая условиям теоремы 1, стабилизирует траектории систем, начинающиеся на внутренности единичного шара, в окрестности сферы S2", и эти траектории системы не выходят за границу шара при t —> ±оо; траектории, начинающиеся на границе шара, остаются на ней при I -» ±оо; Коэффициенты функции В(х) определяются вещественной частью спектра матрицы А системы (1).

Полученные результаты проиллюстрированы моделированием стабилизации колебаний для колебательных систем третьего порядка (и = l). При этом колебания локализуются внутри шара. На рис.1 приведена одна из траекторий системы при В(х) =0, а на рис.2 - траектория системы, стабилизированной функцией В(х) с начальными условиями внутри шара.

Вектор-функция В{х). стабилизирующая движения системы, начинаю-

щиеся внутри единичного шара, в окрестности его границы, имеет вид

/ .....

-а,х, - а,х, х, - -

а,

— х,х,

, а. +а. , а.+а, ,

-а,х.----х,х:---х;х,

2 2

г да А - постоянная матрица 3x3:

. Требуется синтезиро-

2. Задача возбуждения автоколебательного режима на эллипсоиде

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида (1) при и = 1, то-

а, —а О о) от, О ч0 О

вать устойчивый автоколебательный режим на эллипсоиде 52 для задач Коши с начальными условиями, определенными на эллипсоиде Компоненты вектор - функции В(х) будем искать в виде Ь, (х,,х,,х,) = £Д,х хг,

1-1

/=1,2,3.

Теорема 2. Пусть коэффициенты вектор- функции В удовлетво-

Ъ+ат

ряют соотношениям• [{ = —--- . г<*е /. у = 1,2, 3 , [...] - целая

' С. + С...,,

х" х х

часть числа. Тогда эллипсоид -у + -у + —у -1 - инвариантное множество

С\ С\ С2

системы (1).

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2, и с, = ^[с^,

х1 хг х2

с2 - л/а,, а1 Фа,. Тогда эллипсоид вращения ~ + -у + ~ = 1 - инвари-

с, с, с\

антное асимптотически устойчивое множество системы (I).

Теорема 4. Если а1 > ато на эллипсоиде система (I) имеет устойчивый автоколебательный режим с мягким возбуждением при начальных условиях системы (/), заданных на эллипсоиде, и с жестким возбуждением автоколебаний при начальных условиях, заданных внутри ограниченной эллипсоидом области.

Результаты математического моделирования автоколебательных режимов на эллипсоиде, приведены на рис. 3,4. На рис.3 представлены колебания на эллипсоиде. Автоколебательный режим возникает на границе экваториального круга. На рис.4 приведены траектории внутри области,

Рис 3

Рис 4

ограниченной верхним полуэллипсоидом. Результаты моделирования позволяют проиллюстрировать выводы о характере возбуждения автоколебательного режима.

Во второй главе получены достаточные условия инвариантности и асимптотической устойчивости эллипсоида, а также исследованы локальные и глобальные свойства фазовых траекторий систем с потенциалом в виде четного симметричного многочлена четвертого порядка.

Постановка задачи. Рассмотрим класс систем вида (1), 1де X = (х,,х2,...,хл)' е И"-вектор состояния системы (1), А - диагональная матрица размерности пхп, где Лэлементы главной диагонали, Я, >0Д при ¡Фу, /,./ = 1,2,...,«,

(*),■•• А (*))' (3)

-вектор-функция. Требуется синтезировать систему такую, чтобы эллип-

» х2

соид 5" ': = 1 был ее асимптотически устойчивым инвариантным -1 с,

множеством. Система (1) такого вида при В{х)=0 определяется потенциальной функцией- Ш = ^¿Лх', ■ Требуется синтезировать взаимодействие между подсистемами, определяемых одномерными жордановыми клетками матрицы А, решающее поставленную задачу. Для определения функции (3) введем следующую потенциальную функ-

Iя д с?

цию: (?(*,,х,,...,х„)= -£Д,х2х2, гдеД( = /}, (7,у = 1,2,...,и),т.е. Ъ =-

4 ' дх,

ах дн „ „, „

1 огда система принимает вид — = ——, где Н = п+и.

ск оХ

Основные результаты по решению задачи стабилизации многомерных градиентных систем сформулированы в следующих_теоремах.

Теорема 5. Пусть коэффициенты Я, Д потенциальной функции Н

Л + л, ( \

удовлетворяют соотношениям: ¡3 —--;--г (г. у = 1.2,....и). Тогда эл-

с, +с,"

чипсоид 5 " ' - инвариантное множество системы (1)

Теорема 6. Пусть выполнены условия теоремы 5, и пусть с: = ^/ЛГ,

/ = 1,2,..., и. Тогда эллипсоид Б- инвариантное асимптотически устойчивое множество системы (1).

Таким образом, функция В(х) (3), где Ь

ГЛ

¡-1,2, ,п, стабилизирует систему (1) в окрестности эллипсоида, квадраты полуосей которого равны собственным значениям матрицы А системы (1) в критической точке М(/0, 0,..., 0) потенциальной функции Н.

Далее исследуется фазовый портрет трехмерной системы со стаби-лизирующеи нелинейной вектор -

функцией »(*)= (¿ДА-), Ьг{х), ЬХХ))'. Проведена линеаризация системы в окрестности каждой из критических точек. Показано, что в северном и южном полюсах эллипсоида расположены два узла, на экваторе - два диаметрально противоположных узла и два диаметрально противоположных седла (рис.5 и 6 (вид сверху)).

х,

Рис 5

Рис 6

Исследовано качественное строение траекторий внутри области, ограниченной эллипсоидом. Во внутренности эллипсоидального множества критическая точка потенциальной функции находится в начале координат; в окрестности ее траектории системы устроены по типу неустойчивого

узла. На рис.7 изображен фрагмент фазового портрета системы внутри области, офаниченной эллипсоидом

В конце настоящего раздела проведено математическое моделирование поведения конкретных систем, полученных в пакете МАР1.Н-8. В частности, на рис.8,9 приведены результаты по решению задачи стабилизации для систем, определяемых симметричной потенциальной функцией четвертот о порядка. Одна из траекторий системы при В(Х) - 0 приведена на рис.8, при тех же начальных условиях в стабилизированной системе приведена на рис.9.

В третьей главе предлагается алгоритм синтеза нелинейного устрой-сгва для технических систем с двумя колебательными звеньями, локализующего колебательные процессы в области, ограниченной эллипсоидом с регулируемыми полуосями. Рассмотрим следующую модель:

У + АУ + МУ = С(),

(4)

где

М =

со; и О со*

\ 'С, (Г г n^ У\ 0

с = ,0 с2у е= А =

У у 1о г,)

С, > 0, у, > 0 (/ = 1,2 ). Решение задачи сводится к синтезу модели У + АУ + МУ = в{у,г), замкнутой вектор- функцией в{у,г).

При С, = 0, С2 = 0 начало координат - устойчивое положение равновесия для модели (4). Чтобы решить эту задачу, предлагается сначала вывести данную систему из устойчивого состояния, возбудить в ней колебания с растущей амплитудой в некоторой конечной области. Для этого формируется линейный закон Q дифференциального управления для каждого из звеньев: = к,у,, = к^у2 к1 > О (г = 1,2), С\к, > у,,С,к2 > у,. полагая у, - С,к[ = а,, у2~ С2к2 - а2. Получим следующую систему коле-

баний: У + (А- СК)У + МУ = 0, где А - СК-диагональная матрица с

(К (Л

элементами а. ,аг, на главной диагонали, К =

О К

или

У + АУ + МУ = В,(к). В,(у)= СКУ- формирует контур линейной обратной связи.

Затем синтезируется вектор-функция В7{у,у), обеспечивающая для каждого из звеньев выход колебательного процесса на устойчивый автоколебательный режим, т.е. синтезируются связи, ограничивающие амплитуду колебаний. Доказано, что для этого достаточно, чтобы нелинейная характеристика , формирующая требуемые обратные связи по состоянию каждого из звеньев, имели вид:

1 * - \ -> . . 3 , У . СХ2 2 - ^2 • Я

ь21 0,,У,) =--ТУ* У: - У'ТУ, > Ьп(у2,у2) =--7У2У2 ~ —У: >

С, С, (О, с} с,0)2

где с, > 0, с, >0- регулируемые параметры. Тогда для каждого из колеба-

- с\

тельных звеньев рост амплитуды при г —► +оо ограничен величинои — для

первого и величиной для второго, вследствие возбуждения устойчивых автоколебательных режимов для каждого из звеньев соответственно.

Далее синтезируется вектор-функция В<{у,у), обеспечивающая взаимодействие звеньев и ограничивающая рост амплитуды колебательных процессов, обусловленных данным взаимодействием. Вектор-функция, формирующая требуемое взаимодействие имеет вид В1 = (б3, Д, У , где

, а, . 2 а, + а1 . ., аг . 2 а, + а2 . . 2

К=--ТУУ2--ГТ-Г-ТТУ^- К=--ГУ2У,--ГТТ-—УгУх ■

с; + со,с, с' щс\+ б>;с;

Таким образом, в результате получаем модель устройства с нелинейным регулятором в(г,у)= В,(у)+дДу.к), локализующим движения в области, ограниченной инвариантным асимптотически устойчивым эллипсоидом с регулируемыми полуосями с ,г = 1,2,3,4, гДе

с\ = со,с,, с4= оке, для траекторий пространства состояний К х У. В частности, на равных частотах это позволяет синтезировать устойчивые автоколебательные режимы.

Заметим, что задание больших амплитуд дает решение задачи синтеза для слабонелинейных процессов в соответствии с теорией Боголюбова-Митропольского.

В четвертой главе рассмотрена задача стабилизации в окрестности дополнительно заданного состояния равновесия, характерная при синтезе •заданных режимов посредством нелинейного взаимодействиях между

апериодическими звеньями Показана неразрешимость задачи аварийной стабилизации в окрестности дополнительного состояния равновесия для моделей, синтезированных на абелевых алгебрах Ли. Рассмотрим следующую систему:

X = АХ + В(Х), (5)

где А - невырожденная квадратная матрица порядка п, В(х)- нелинейная непрерывная статическая характеристика модели - синтезируемая модель нелинейного регулятора. Доказана следующая теорема.

Теорема 7 Задача стабилизации чодепи (5) в окрестности допол-нитаьного состояния равновесия неразрешима на абелевых алгебрах Ли

Синтез некоммутативной алгебры Ли и задача аварийной стабилизации. Рассмотрим модель двух апериодических звеньев X - А(1Х + Н() замкнутых контуром обратной связи посредством линей-

ной характеристики () = -СХ,

гд еАв =

О'

н =

% л,

л,,

невырожденная, С =

- матрица коэффициентов усиления, т.е.

модель X = (А0 - НС)х. Основной режим функционирования устройства совмещен с началом координат. Сформированная линейная обратная связь стабилизирует модель в начале координат в случае, если она отрицательна и определяет линейный регулятор В противном случае (случай положительной обратной связи), модель неустойчива в окрестности начала координат. Таким образом, задача аварийной стабилизации сводится к синтезу моделей X — (А0 - НС)Х + В{Х, у) с нелинейной статической характеристикой В(Х,у), где у - параметр переключения на заданный аварийный режим Р = {р,,р2) в случае возникновения положительной обратной связи в окрестности начала координат согласно механизму аварийной стабилизации, приведенному на рис.10. Предлагается синтезировать дополнительный режим Р, который при сбое устройства приобретает устойчивость, т.е. линеаризация характеристики В(Х,у) в окрестности этого состояния являлась линейным регулятором и обеспечивала отрицательную обратную связь в ее окрестности по вектор - состоянию модели.

Таким образом, возникает задача выхода системы на заданное со стояние устойчивого равновесия (га-предельной точки) для траекторий системы, начинающихся в окрестности начала координат (а-предельной

Рис 10

точки). Нелинейность характеристики объясняется наличием у синтезируемых моделей двух состояний равновесия. Функция В(Х, у) минимальной степени нелинейности по переменным состояния X лежит в классе квадратичных вектор - функций. Получена алгебра Ли векторных полей вектор-функций обратной связи по состоянию и линейной части системы в операторном представлении со следующей системой образующих: 1-, д ( г л & 1 I 1 . л 3 . 3

дх,

1 = (- + МА)---г^дг.х.

дх,

' Эх,

5 = Г*,

дх,

■Гх2

Зх,

Полученная алгебра Ли является трехмерной и определяется коммутационной таблицей (см. таблицу). Таблица коммутирования позволяет синтезировать динамические модели со стабилизацией в заданных областях пространства состояний.

Искомые нелинейные непрерывные статические характеристики: В, = {¿I,(х, ~х'2\-2р2хгх2)г, В, = (-2//1х1хг,//,(х|2 -х?))г- стабилизируют динамические модели на координатных осях ОХ1, ОХ, соответственно,

в = (м2(х* -Х?)-2/7,Х1х;,^|(Х.2 -Х22)—2//2Х,Х,У -стабилизирует модели в заданной точке пространства состояний. При этом матрица

ляяи.Ь-'О

Коммутационная таблица алгебры Ли

и>' к2 8

м-1 0 0 ун?

м?' 0 0 ун>}

ё -уч>' -ум' 0

С =

ты нелинейной характеристики

коэффициен-В(Х,у) имеют

вид: ц = —, //,= — . Геометрический смысл X Г

структурной константы алгебры Ли у, когда параметры моделей ц,, /I, лежат на единичной окружности, заключается в том, что | у | является рас-сгоянием от начала координат до заданного состояния равновесия в окрестности которой стабилизируются режимы динамических моделей. При уменьшении расстояния] у | происходит формирование петлевых структур в фазовом пространстве состояний модели. Если у > 0 в окрестности начала координат, то характер обратной связи положительный (происходит срыв динамики с основного режима функционирования). При этом в окрестности дополнительного состояния равновесия обратная связь, индуцируемая нелинейной характеристикой, становится отрицательной, т.е. устройство выходит на устойчивый аварийный режим функционирования. Механизм формирования петлевой динамики при аварийной стабилизации приведен на рис.И. На рис 12 приведен результат математического

Рш. 11

Рис 12

моделирования - фазовый портрет процессов аварийной стабилизации двух взаимодействующих апериодических звеньев с квадратично нелинейным характером взаимодействия в окрестности аварийного режима стабилизации Р{\, 3) при срыве динамики с основного режима.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Для многомерных колебательных моделей получена нелинейная аналитическая модель стабилизирующего устройства на множестве нечетных многочленов третьего порядка, обеспечивающая инвариантность и асимптотическую устойчивость единичной сферы.

2. Синтезированы модели с устойчивым автоколебательным режимом на эллипсоиде в Я3.

3. Синтезированы многомерные градиентные модели регулируемых элементов машин с инвариантным и асимптотически устойчивым эллипсоидом.

4 Синтезирована модель регулирующего устройства, обеспечивающего локализацию колебательных процессов для моделей устройств, состоящих из двух колебательных звеньев, при этом на равных частотах генерируются устойчивые автоколебательные режимы.

5. Синтезирована некоммутативная алгебра Ли квадратично-нелинейных векторных полей для задач стабилизации режимов модели в заданной области пространства состояний

6. Предложен алгоритм аварийной стабилизации на некоммутативной алгебре Ли.

7. Доказано, что при решении задачи аварийной стабилизации на некоммутативной алгебре Ли формируется петлевая динамика в пространстве состояний.

Результаты исследований могу г найти применение при проектировании стабилизирующих устройств и регуляторов машин и аппаратов.

А А 37

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ

i Гордое Е.П Коммутирующие вектс ки / Е.П.Гордов, Е.Н.Рыжов // Изв. ВУЗОВ С

2. Рыжов E.H. Притягивающие мн управления / Е Н Рыжов // Тез. докл. второ информационные технологии. Астрахань: АГ

3. Рыжов E.H. Структурная устой чи» безвихревые операторы симметрии на двумер технич. конф. Астрахань- АГТУ, 1996. С. 3024 Рыжов Е Н. Геометрическое интегри,

ми возмущениями / Е Н. Рыжов // Сер • Автоматика и прикладные вопросы математики и физики. Вып. 3. Астрахань: АГТУ, 1997. С. 28-34.

5. Рыжов E.H. Нелинейный анализ моделей реакции гидросиланов / E.I1. Рыжов, А.З Гамзатов, Н К. Скворцов // Применение кремний-, фосфор-, сера- органических соединений: Сб. тр. междунар. конф. СПб., 1998. С. 194.

6. Рыжов E.H. Петлевые структуры в гомогенной бимолекулярной кинетике / Е.Н Рыжов//Вестник ВолгГУ Сер. Математика, физика. Волгоград: Изд.-во ВолгГ У, 1999. С 85-89

7 Рыжов Е.Н Универсальные нелинейные динамические системы с притягивающим компактным многообразием / Е Н.Рыжов, М Б Ьелоненко "' Математические проблемы нелинейной динамики, т. 1/ Сб. тр. междунар конф., посвященной 100 -летию А .А Андронова. Н. Новгород, 2002. С.354-358.

8. Рыжов Е.Н. Качественная динамика потенциальных систем на односвязных компактах / Е Н. Рыжов, М Б. Белоненко </ Вестник ВолгГАСА. Сер.: Естеств. Науки. Вып 2(6) Волгоград: Изд -во ВолгГАСА, 2002. С 49-52.

9. Grygoryeva O.E. Potential fced-back control stabilization in the ellipsoid / O.E.Grygoryeva, F..N. Ry/.hov // VI International Congress on Matematical Modelling. N. Novgorod: NNSU, 2004. P.85.

10. Григорьева. О E. Стабилизация колебаний в окрестности сферы управлением с обратной связью / O.E. Григорьева, Е.Н Рыжов // Устойчивость и процессы управления- Сб. тр. междунар. конф., посвященной 75-летию со дня рождения В.И. Зубова. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2005. С 1347- 1352.

РНБ Русский фонд

2006-4 8783

4VIUUIIUUU1-

Подписано в печать 15 07 -2005 г. Заказ № Sil . Тираж 100 экз. Печ. л. 1,0 Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.

Типография РПК «Политехник» Волгоградского государственного технического университета.

400131, г. Волгоград, ул. Советская, 35

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Рыжов, Евгений Николаевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1 АНАЛИТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ УСТОЙЧИВЫХ

МНОГОМЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ НА ЕДИНИЧНОМ ШАРЕ.

1.1. Постановка задачи синтеза нелинейной обратной связи по состоянию, стабилизирующей многомерную колебательную модель.

1.2. Стабилизации системы на замкнутом единичном шаре в окрестности его границы

13. Предельный цикл на единичной сфере в R

1.4. Возбуждение автоколебательного режима на эллипсоиде в R

1.5. Математическое моделирование автоколебательного режима на эллипсоиде. Фазовые портреты процессов стабилизации.

1.6. Выводы

ГЛАВА 2 СИНТЕЗ ИНВАРИАНТНЫХ ЭЛЛИПСОИДОВ И

СТАБИЛИЗАЦИЯ МОДЕЛЕЙ ГРАДИЕНТНОГО ТИПА.

2.1. Постановка задачи синтеза нелинейной обратной связи стабилизирующей многомерную градиентную модель

2.2. Достаточные условия инвариантности и асимптотической устойчивости эллипсоида

2.3. Фазовые портреты процессов стабилизации градиентных систем в замкнутом единичном шаре в R* . ^ s 2.4. Математическое моделирование процессов стабилизации трехмерных градиентных моделей

2.5. Выводы

ГЛАВА 3 АНАЛИТИЧЕСКОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СТАБИЛИЗИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ ДЛЯ МОДЕЛЕЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ЗВЕНЬЕВ.

3.1. Постановка задачи аналитического конструирование v \ стабилизирующего устройства (АКСУ) для генерации и 52 автоколебательных режимов

3.2. Задача АКСУ для одного неустойчивого колебательного звена

33. Задача АКСУ для возбуждения автоколебательного режима при взаимодействии двух колебательных процессов

3.4. Алгоритм синтеза устойчивого автоколебательного режима на двух колебательных звеньях

3.5. Выводы

ГЛАВА 4 АНАЛИТИЧЕСКОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ

СТАБИЛИЗИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ НА АЛГЕБРАХ ЛИ

4.1. Динамические модели, их векторные поля и алгебры Ли.

4.2. Достаточные признаки существования структурной неустойчивой динамики моделей и робастность.

4.3. Неразрешимость некоторых задач стабилизации на абелевых алгебрах Ли

4.4. Синтез двумерных моделей, стабилизирующихся в окрестности, заданного состояния равновесия на некоммутативной алгебре Ли квадратично-нелинейных векторных полей.

4.5. Задача АКСУ аварийной стабилизации. Запасные точки стабилизации и формирование петлевой динамики при срывах устойчивого режима. Аварийная стабилизация на алгебре Ли.

4.6. Образование петель в пространстве концентраций реагирующих смесей как свойство стабилизации процессов в химических технологиях

4.7. Выводы

Введение диссертация по механике, на тему "Стабилизация и аналитические методы синтеза режимов нелинейной динамики машин"

Динамика современных машин характеризуется наличием нелинейных режимов, которые вызваны как наличием нелинейных силовых взаимодействий в машинах, так и использованием различного рода управляющих связей — регуляторов. Аналитический синтез динамических режимов с заданными параметрами устойчивости — стабилизации движения, осуществляется с помощью математических моделей в виде нелинейных систем дифференциальных уравнений. С момента появления первой работы И.А. Вышнеградского по регуляторам прямого действия до формирования нелинейной динамики регулирующих устройств элементов машин прошло немногим больше века. Такое временное расстояние объясняется тем, что с одной стороны нелинейная динамика управляемых процессов оформилась в самостоятельную область сравнительно недавно и, с другой стороны, это связано с достижениями в области современного материаловедения. Все это дало принципиальную возможность для технического воплощения сложных управляемых процессов, основанных на создании машин и их элементов с нелинейными принципами функционирования.

Настоящая работа посвящена синтезу в математических моделях элементов машин заданных нелинейных режимов, обеспечивающих их устойчивость и прочность. При этом модели технических устройства рассматриваются с позиций динамических систем. Такой подход оказывается достаточно эффективным по двум основным причинам: во-первых, рассматриваемые математические модели представляют собой системы дифференциальных уравнений, определяющие динамические системы [4,5,53]; во-вторых, динамическая система обладает групповыми свойствами [33, 35, 53, 54]. Первое позволяет привлечь к исследованию не только современные аналитические, но и качественные методы теории дифференциальных уравнений [4, 5, 8, 11]. Второе позволяет синтезировать для широкого класса моделей алгебры Ли на их векторных полях [53, 54-56] и исследовать t процессы стабилизации с позиций алгебраической теории Ли.

Математические модели динамики современной теории машин представляют собой взаимосвязанную совокупность подсистем различного типа. При этом существуют связи между подсистемами, сформированные как на стадии проекта, так и образующиеся в процессе функционирования реального устройства [43]. Таким образом, сложность динамических моделей определяется не только большими размерностями, но и нелинейным ; характером связей между подсистемами. Основные задачи синтеза заданных режимов функционирования связаны со стабилизацией, поскольку синтезированный режим должен обладать достаточным запасом устойчивости. Среди исследований отечественных и зарубежных ученых, определивших современную концепцию синтеза заданной нелинейной динамики систем, можно привести работы А.М.Летова, В.И. Зубова, А.А. Андронова, В.И. Арнольда, А.Г. Александрова, Н.Н. Боголюбова, Ю.А. Митропольского, Ю.Ф. Неймарка, Е.П. Попова, В.Н. Афанасьева, П.Д. Крутько, К.С. Колесникова, В.Р. Носова, К.В. Фролова, В.Ф. Журавлева, В.Б. Колмановского, Д.М. Климова, А. ван дер Шафта, Р.У. Брокетта, Н.Н. Красовского, Е.А. Барбашина. Большое влияние на построение систем, имеющих заданные траектории, оказали работы Н.П. Еругина [28].

Началу многочисленных исследований по синтезу регуляторов (управления с обратной связью) как в России, так и за рубежом положила серия известных работ А.М. Летова [ 46-49].

Развиваемый в диссертационной работе подход к различным задачам синтеза опирается на основные положения теории устойчивости инвариантных множеств динамических систем, предложенной В.И. Зубовым [33-37]. Понятие инвариантности в качественной теории динамических систем играет важную роль при геометрическом исследовании фазовых траекторий [12, 28, 36,76].

Кроме того, синтезируемая математическая модель должна обладать нелинейным трением в окрестности инвариантного множества. В своих исследованиях И.А. Вышнеградский определил наличие трения при работе регулирующего устройства, как основной из принципов теории регулирования: "без трения нет регулятора" [45].

Любая проектируемая машина представляет собой сложный комплекс управляемых элементов. Основные требования, предъявляемые к современным машинам, - это управляемость, наблюдаемость и устойчивость режимов их функционирования [6, 27, 50] согласно целям и задачам, преследуемым инженером-проектировщиком.

В связи с возможностью технической реализации сложных динамических режимов, в последнее время акцент при проектировании различных устройств сместился на применение концепций нелинейного регулирования динамики машин [12, 23, 49]. Это связано как с необходимостью синтеза нелинейных режимов, так и с подавлением нелинейного поведения устройства и обеспечения устойчивости линейного характера работы исполнительных органов машины. Например, работа многих устройств основана на возбуждении автоколебательных процессов, которые по своей природе являются нелинейными [ 4, 26, 16]. Простейшим устройством, работающем на этом принципе, является часовой механизм. Обеспечение синхронизации нескольких часовых механизмов основанных на захвате частоты, реализуется через нелинейное взаимодействие [60]. Задача синтеза нелинейного компенсатора, который разрушает нежелательные контуры нелинейных обратных связей, возникающие, например, при износе, усталостных напряжениях, выработке ресурса, возникновении эффекта сухого трения и т.д. [43, 74], относится к области нелинейного регулирования.

Задачи перехода от одного устойчивого режима устройства к другому также решаются посредством синтеза нелинейного управляющего устройства. Такие машины можно описать кусочно-сшитыми моделями [4, 6, 8]. Кусочнолинейные (сшитые на интервалах времени) модели являются аппроксимацией моделей с нелинейными характеристиками. В таких моделях нелинейность аппроксимируется линейными характеристиками, различными для каждого из конечных интервалов времени [21, 22].

При формировании контуров обратных связей в устройствах с целью достижения требуемого динамического процесса могут возникать колебания с растущей амплитудой [23], приводящие к неустойчивой работе устройства. Поэтому возникает проблема локализации переходных процессов. Практически любая технически интересная задача связана с локализацией процессов стабилизации заданных режимов в ограниченных областях пространства состояний динамических моделей машин. Это объясняется тем, что от работы конкретного устройства требуется выход на заложенные в проекте устойчивые динамические и статические режимы. В связи с этим можно сформулировать следующие принципы аналитического конструирования регулирующих устройств с обратной связью по состоянию модели, на основе которых формируется подход, предлагаемый в диссертации к задачам синтеза устойчивых режимов в нелинейной динамике машин:

1) синтез инвариантного компактного множества в пространстве состояний модели;

2) обеспечение асимптотической устойчивости синтезированного множества относительно динамической системы - модели, описывающей требуемую динамику устройства;

3) возможность регулирования размера границы области.

Выполнение первого принципа для синтезируемого множества приводит к локализации процессов, начинающихся на этом множестве, согласно теоремам об инвариантных множествах (интегральных многообразиях) [28, 33, 54], т.е. фазовые траектории пространства состояний системы при начальных условиях, заданных на этих множествах, не могут его покинуть при t —> ±оо. При выполнении первого принципа компактная односвязная область состоит из объединения двух инвариантных множеств- внутренности и границы области. Требование односвязности связано в первую очередь с тем, что если нелинейная характеристика определяется некоторой потенциальной функцией, то она должна быть однозначно определенной [25,43]. Выполнение второго принципа обеспечивает выход устройства на заданный режим. Выполнение третьего принципа позволяет управлять размером области асимптотической устойчивости заданного режима при начальных условиях, заданных внутри области с инвариантной границей.

В диссертации, в частности, сформулированы и доказаны достаточные условия, при которых задача синтеза удовлетворяет всем трем принципам аналитического конструирования регулирующего устройства, и требуемые динамические режимы лежат на границе области, они являются притягивающими для траекторий динамических моделей, величины, характеризирующие требуемую динамику, являются регулируемыми (управляемыми).

Например, для автоколебательных процессов с начальными условиями, заданными внутри области, ограниченной эллипсоидом, требуемый диапазон заданных амплитуд может регулироваться через длины полуосей многомерного эллипсоида, ограничивающего область в пространстве состояний и удовлетворяющий приведенным выше принципам.

С аналитической точки зрения, синтез стабилизирующих устройств представляет собой синтез нелинейных статических, динамических характеристик модели, представляющих собой нелинейную вектор-функцию -аналитическую модель регулирующих органов машины,

В диссертации аналитический синтез регулирующих устройств рассматриваются в теории гладких моделей нелинейной динамики машин. Регулирующие устройства, синтезируемые в данной работе, относятся к классу регуляторов прямого действия [6].

Выбор такой области является неслучайным и связан с тем, что позволяет получить достаточно общие результаты, так как модели гладкой нелинейной динамики могут быть вполне удовлетворительно аппроксимированы последовательностью кусочно-линейных и дискретных моделей [21,43, 79].

В настоящей работе рассматриваются гладкие моделей элементов машин на инвариантных компактных множествах, так как понятия динамической системы и векторного поля, заданного на инвариантном компактном множестве, эквивалентны вследствие его компактности [72 ]. Кроме того, в этом случае операторная запись векторного поля является инфинитезимальным оператором динамической системы, как группы преобразований пространства состояний модели. В конечном счете это приводит к исследованию предметной области как с позиций теории дифференциальных уравнений, так и с теоретико-групповой точки зрения.

В данной работе, в частности, предлагается решение ряда задач стабилизации движений посредством аналитического синтеза многомерных эллипсоидов в пространстве состояний динамических систем. Такой подход, следуя сформулированным выше принципам, включает в себя две основные задачи:

1) задачу синтеза эллипсоида как интегрального множества системы. Решение этой задачи приводит к выводу условий инвариантности эллипсоида, а также обеспечивает локализацию траекторий, начинающихся во внутренних точках области, ограниченной эллипсоидом, при выполнении условия существования и единственности решения задачи Коши.

2) задачу обеспечения асимптотической устойчивости эллипсоида. Решение этой задачи гарантирует притяжение этих траекторий к границе области.

Наконец, решение этих двух задач приводит к синтезу связей, стабилизирующих движение систем в окрестности эллипсоида и, как следствие этого, к аналитическому конструированию регулирующих устройств.

Решение этих задач для колебательных систем позволяет синтезировать колебательные процессы с выходом на стационарный режим с заданной амплитудой. При таком подходе притягивающие режимы стабилизации возникают на самом эллипсоиде. Кроме того, размеры области локализации движений систем можно регулировать через длину полуосей эллипсоида. Свойства поверхности эллипсоида, его инвариантность и устойчивость определяет характер нелинейных связей, синтезируемых в динамических системах.

Помимо этих задач в данной работе рассматриваются задачи стабилизации движений системы в окрестности заданных состояний равновесия на алгебрах Ли векторных полей [25, 75], посредством введения взаимодействия между подсистемами с квадратичным характером нелинейности. Активное применение алгебраической теории Ли в задачах синтеза заданной динамики управляемых систем за рубежом появилось сравнительно недавно - в 80-е прошлого века и восходит к программной работе Р.У. Броккета [10], где сформулированы некоторые важные направления в данном ключе. Советский Союз, а затем и Россия, в области задач синтеза заданной динамики на алгебрах Ли занимает одно из лидирующих мест в мире. Здесь уместно перечислить ряд работ, стимулирующих формирование новых направлений в данной области - это работы [29-31, 53].

Задачи синтеза устойчивых режимов, решаемые в диссертации, можно отнести к трем основным классам динамических моделей характерных для нелинейной динамики машин: колебательные, градиентные и комбинированные (синтезированные посредством нелинейного взаимодействия на апериодических и колебательных звеньях).

Актуальность и необходимость исследований проблемы стабилизации движений систем, такого вида и определило выбор темы, целей и задач данной работы.

Цель работы состоит в теоретическом исследовании многомерных колебательных и градиентных динамических моделей и синтезе обратных связей по состоянию модели, стабилизирующих движения систем в окрестности эллипсоидов.

Задачи исследований: разработка методов аналитического конструирования устройств, основанных на принципах локализации движений на ограниченных областях, инвариантности, притяжения границами заданных областей траекторий синтезируемых систем.

Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе используются методы качественной теории динамических систем, теории устойчивости и математического моделирования. На защиту выносятся: задача синтеза многомерных колебательных систем на замкнутом единичном шаре, с инвариантной асимптотически устойчивой границей относительно синтезируемых систем и синтез автоколебательного режима на эллипсоиде в R3; задача синтеза инвариантного асимптотически устойчивого эллипсоида для многомерных градиентных систем; задача синтеза нелинейной обратной связи, обеспечивающего выход колебательных процессов на устойчивый автоколебательный режим для моделей устройств, состоящих из двух колебательных звеньев; синтез некоммутативной алгебры Ли для задач стабилизации квадратично -нелинейных моделей.

Научная новизна. На основе исследования:

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции, посвященной 100-летию А.А. Андронова «Прогресс в нелинейной науке. Математические проблемы нелинейной динамики». (Н. Новгород, 2.07.2001-6.07.2001), на «VI международном конгрессе по математическому моделированию» (Н. Новгород, 20.09.200426.09.2004), на международной конференции, посвященной 75-летию со дня рождения В.И. Зубова "Устойчивость и процессы управления" (Санкт-Петербург, 29.06.2005-01.07.2005), на научных семинарах и конференциях государственных технических университетов (Астрахань, Волгоград 19952004).

Публикации. Основное содержание диссертационной работы изложено в 10 научных работах и материалах конференций [17-20, 64-70].

Заключение диссертации по теме "Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры"

4.7. Выводы

1. Сформулирован и доказан достаточный признак структурной неустойчивости динамических моделей на алгебрах Ли. Данный признак может быть полезен при блокировании работы устройств на опасных областях параметров.

2. Доказана неразрешимость задач стабилизации в окрестности заданного стационарного режима, для моделей со многими состояниями равновесия на абелевых алгебрах Ли.

3. Синтезирована некоммутативная алгебра Ли, для задач "аварийной" стабилизации на векторных полях квадратичного типа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

2. Синтезированы модели с устойчивым автоколебательным режимом на эллипсоиде в R3.

4. Синтезирована модель регулирующего устройства, обеспечивающего локализацию колебательных процессов для моделей устройств, состоящих из двух колебательных звеньев, при этом на равных частотах генерируются устойчивые автоколебательные режимы.

6. Предложен алгоритм аварийной стабилизации на некоммутативной алгебре Ли.

Результаты исследований могут найти применение при проектировании стабилизирующих устройств и регуляторов машин и аппаратов.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Рыжов, Евгений Николаевич, Саратов

1.Александров А.Г. Синтез регуляторов многомерных систем / А.Г. Александров. -М.: Машиностроение, 1986.-272с.

2. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы / А.Г. Александров -М.: Высш. шк.,1989.-263 с.

3. Анапольский Л.Ю. Способы построения функций Ляпунова / Л.Ю. Анапольский, В.Д. Иртегов, В.М. Матросов // Итоги науки и техники Сер. Общ. механика., 1975.-2-С.53-112.

4. Андронов А.А. Качественная теория динамических систем / А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, А.Г. Майер, И.И. Гордон М.: Наука ,1966.- 665 с.

5. Арнольд, В.И., Ильяшенко Ю.С Обыкновенные дифференциальные уравнения. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Динамические системы -1 т.1-М.: ВИНИТИ, 1985, с.7-151

6. Афанасьев В.Н. Математическая теория конструирования систем управления / В.Н.Афанасьев, В.Б. Колмановский, В.Р. Носов. М.: Высшая школа, 2003-415с.

7. Барбашин Е.А. О построении функций Ляпунова для нелинейных систем / Е.А. Барбашин // Тр. 1-го Междунар. конгр. федерации по автомат, упр. М.: Изд-во АНСССР.1961, т.1, с.742-751

8. Баутин Н.Н. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости / Н.Н. Баутин, Е.А. Леонтович.- М. Наука, 1976.- 496 с.

9. Боголюбов Н.Н. Асимптотические методы в теории колебаний/ Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. М.:Изд.-во Физ.-мат. лит.- 412 с.

10. Броккет Р.У. Алгебра Ли и группы Ли в теории управления

11. Бутенина Н.Н. Качественные методы исследования управляемости систем, на плоскости / Бутенина Н.Н., Павлючонок З.Г., Савельев В.П. // Дифференц. уравнения. -1994.- 30, № 2. С. 358 - 359.

12. Валеев К.Г. Построение функций Ляпунова / К.Г. Валеев, Г.С. Финин. -Киев: Наукова думка, 1981.- 412с.

13. Ванг К. Об отображениях, сохраняющих устойчивость динамических систем // К. Ванг, А.Н. Мишель, К.М. Пассино /Автомат, и телемех. -1994.-№10-С. 3 -11.

14. Ван дер Шафт А. К теории реализации нелинейных систем/ А. Ван дер Шафт // Математика. Теория систем. Сер. Новое в зарубеж. науке 1989.- т. 44-С.192- 237.

15. Востриков А.С. Теория автоматического регулирования/ А.С. Востриков, Г.А. Французова. -М.: Высш. шк.,2004.-365 с.

16. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний / В.Д. Горяченко. Красноярск: Изд-во Краснояр. ун-та, 1995.- 450 с.

17. Гордов Е.П. Коммутирующие векторные поля и гиперболические особые точки / Е.П.Гордов, Е.Н.Рыжов // Изв. ВУЗОВ. Физика.- 1994.- №10.18. Ильин В.А. Линейная алгебра и аналитическая геометрия / В.А. Ильин, Г.Д. Ким.- М.: Изд.-во Моск. ун-та, 1998.-320с.

18. Grygoryeva О.Е. Potential feed-back control stabilization in the ellipsoid neighbourhood / O.E.Grygoryeva, E.N. Ryzhov // VI International Congress on Matematical Modelling. N. Novgorod 2004.- P.85.

19. Горобцов А.С. Использование методов моделирования динамики многотельных систем в задачах синтеза управляемого движения / А.С. Горобцов // Информационные технологии.- 2004.-№8.- С. 14 — 17.

20. Горобцов А.С. Синтез параметров управляемого движения многозвенных механических систем произвольной структуры методом обратной задачи / А.С. Горобцов // Мехатроника, автоматизация, управление.- 2004. № 6.- С. 43 — 50.

21. Гудвин Г.К. Проектирование систем управления / Г.К. Гудвин, С.Ф. Гребе,

22. М.А. Сальгадо М.: Москва БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004.-911с., ил.

23. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович М.: Наука, 1967.- 452с.

24. Дубровин Б.А. Современная геометрия. Методы и приложения / Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. -М.: Наука, 1986.-760с.

25. Егоров А.И. Управления колебаниями связанных объектов / А.И. Егоров, Л.Н. Знаменская // Устойчивость и процессы управления: Сб. тр., посвященный 75-летию со дня рождения В.И. Зубова в Зт. СПб.: Изд. СПбГУ- 2005.-T.I.- С. 141-154.

26. Емельянов С.В. Нелинейные системы. Управляемость, стабилизируемость, инвариантность // Итоги науки и техники Сер. Техн. кибернетика / Емельянов С.В., Коровин С.К., Никитин С.В. 1988.- 23- С. 3-107.

27. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений/ Н.П. Еругин. -Минск: Изд.-во Наука и техника, 1979.- 747с.

28. Журавлев В.Ф. Метод рядов Ли в проблеме разделения движений в нелинейной механике / В.Ф. Журавлев // ПММ -1986.- т.47, вып. 4. -С. 559 -565.

29. Журавлев В.Ф. О применении одночленных групп Ли к проблеме асимптотического интегрирования уравнений механики / В.Ф. Журавлев // ПММ -1986.- т.50, вып. 3. -С. 346 -352.

30. Журавлев В.Ф. Прикладные методы в теории колебаний / В.Ф. Журавлев, ДМ. Климов М.: Наука 1988.- 326с.1. С.117-118.

31. Зотов М.Г. Аналитическое конструирование управляющих устройств в пространстве операторов / М.Г. Зотов // Автомат, и телемех. -1994,- № 8 С. 69-72.

32. Зубов В.И. Устойчивость движения / В.И.Зубов.- М.: Высшая школа, 1973272 с.

33. Зубов В.И. Методы Ляпунова и их применение / В.И.Зубов. Л.: Изд-во Ленингр. Ун-та, 1957.-241 с.

34. Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования / В.И.Зубов.- Л.: Судпромгиз, 1959. -324 с.

35. Зубов В.И. Колебания в нелинейных управляемых системах / В.И.Зубов. -Л.: Судпромгиз, 1962. -631 с.

36. Зубов В.И. Лекции по теории управления / В.И.Зубов. М.: Наука, 1975.496 с.

37. И.В. Зубов О стационарных интегралах автономных систем дифференциальных уравнений / И.В. Зубов // Устойчивость и процессы управления : Сб. тр., посвященный 75-летию со дня рождения В.И. Зубова в Зт. . СПб.: Изд. СПбГУ- 2005.-Т.1.- С. 369- 373.

38. Ильин М.М. Теория колебаний / М.М. Ильин, К.С. Колесников, Ю.С. Саратов М.: Изд.-во МГТУ им. Баумана,-2003.-272с.

39. Капланский И. Алгебры Ли и локально компактные группы / И. Капланский -М.:Мир,1974.-150 с.

40. Коробов В.И. Управляемость, устойчивость некоторых нелинейных систем/ В.И. Коробов // Дифференц. уравнения. -1973.- 9, №4 С. 614 - 619.

41. Красовский Н.Н. Теория управления движением / Н.Н. Красовский -М.Наука,1986.-364 с.

42. Кринецкий И.И. Расчет нелинейных автоматических систем/ И.И. Кринецкий.- Киев: Техника, 1968,311с.

43. Крутько П. Д. Обратные задачи динамики управляемых систем/ П. Д. Крутько М.: Наука, 1987.-304 с.

44. Леонов Г.А. Математические проблемы теории управления. Мотивация к анализу / Г.А. Леонов — СПб.: Изд.-во С.-Петербургского университета,1999.-160с.

45. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов / A.M. Летов // Автомат, и телемех. -I960,- № 4 С.436-441.

46. Летов А.М. Аналитическое конструирование регуляторов / А.М. Летов // Автомат, и телемех. -I960.- № 5 С.561-568.

47. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов / A.M. Летов // Автомат, и телемех. -I960.- № 6 С.661-665.

48. А.М. Летов Устойчивость нелинейных регулируемых систем / А.М. Летов. -М.: Изд-во Физ.-мат.лит., 1962.- 490 с.

49. Ли Э.Б. Основы теории оптимального управления / Ли Э.Б., Маркус Л. М.: Наука, 1972.-516 с.

50. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения / А.М. Ляпунов. -М.: Гостехиздат, 1950.- 436 с.

51. Митропольский ЮА. Интегральные многообразия в нелинейной механике / Ю.А. Митропольский, О.Б. Лыкова М.: Наука, 1973-512 с.

52. Митропольский Ю.А. Теоретико-групповой подход в асимптотических методах нелинейной механики / Ю.А. Митропольский, А.К. Лопатин. Киев: Наукова думка 1987.-272с.

53. Немыцкий В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений / В.В. Немыцкий, В.В. Степанов. М.-.М.-Л.: ОГИЗ, 1947.- 448с.

54. Нитецки 3. Введение в дифференциальную динамику / 3. Нитецки. М.: Мир,1971-304с.

55. Олвер П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям / П. Олвер.- М.: Мир,1989 637с.

56. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Л.В. Овсянников М.: Наука 1978.- 400 с.

57. Палис Ж. Геометрическая теория динамических систем. / Ж. Палис, Ди Мелу.- М.: Мир,1986.- 302с.

58. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний / Я.Г. Пановко. -М.: Наука 1991,246 с.

59. Пиковский А.Синхронизация. Фундаментальное научное явление/ А.Пиковский, М. Роземблюм, Ю. Курте -М.: Техносфера, 2003.- 496с.

60. Пилюгин С.Ю. Введение в грубые системы дифференциальных уравнений/ С.Ю.Пилюгин Л.: Изд-во ЛГУ,1988-160с

61. Понтрягин JI.C. Избранные научные труды в Зт./ Л.С. Понтрягин. М: Наука, 1988-т.2-576 с.

62. Пуанкаре А. О кривых определяемых дифференциальными уравнениями / А. Пуанкаре. -М.: ОГИЗ, 1947.-392 .с.

63. Рыжов Е.Н. Притягивающие многообразия в системах автоматического управления / Е.Н. Рыжов // Тез. докл. второй междунар. науч.- технич. конф. Новые информационные технологии. Астрахань: Изд.-во АГТУ,1995.- С.77.

64. Рыжов Е.Н. Структурная устойчивость динамических систем, допускающих безвихревые операторы симметрий на двумерной сфере / Е.Н.Рыжов // Тез. докл. науч. -технич. конф. Астрахань: Изд.- во АГТУ, 1996. -С. 302-303.

65. Рыжов Е.Н. Геометрическое интегрирование векторных полей расщепляющими возмущениями / Е.Н. Рыжов // Сер.: Автоматика и прикладные вопросы математики и физики.Вып.З. Астрахань: АГТУ, 1997- С. 28-34.

66. Рыжов Е.Н. Нелинейный анализ моделей реакции гидросиланов / Е.Н. Рыжов, А.З. Гамзатов, Н.К. Скворцов // Сб. тр. междунар. конф. "Применение кремний-, фосфор-, сера- органических соединений". Петербургские встречи-98. СПб., 1998.- С. 194.

67. Рыжов Е.Н. Петлевые структуры в гомогенной бимолекулярной кинетике / Е.Н. Рыжов // Вестник ВолгГУ. Сер. Математика, физика. Волгоград. 1999. С.85-89.

68. Рыжов Е.Н. Качественная динамика потенциальных систем на односвязных компактах / Е.Н. Рыжов, М.Б. Белоненко // Вестник ВолгГАСА. Сер.: Естеств. Науки. Вып. 2(6). Волгоград 2002 . С. 49-52.

69. Стромберг А.Г. Физическая химия/ А.Г.Стромберг, Д.П. Семченко М.: Высшая школа, 1983-256 с.

70. Тамура И. Топология слоений / И. Тамура — М.: Мир, 1979-320 с.

71. Холодниок М. Методы анализа нелинейных динамических систем/ М. Холодниок, А. Клич, М. Кубичек М. Марек -М.: Мир, 1999.- 364 с.

72. Шамберов В.Н. Исследование динамики систем с сухим трением / Шамберов В.Н., Никитин А.Ю. // Устойчивость и процессы управления: Сб. тр., посвященный 75-летию со дня рождения В.И. Зубова в Зт. СПб.: Изд. СПбГУ-2005.-Т.З.-С. 1497-1503.

73. Шафаревич И.Р. Основные понятия алгебры. Алгебра-1./ И.Р. Шафаревич // Итоги науки и техники. Сер.: Современные проблемы математики, т.11- М.: ВИНИТИ, 1986-292 с.

74. Шутц Б. Геометрические методы математической физики/ Б. Шутц.- М.: Мир,1984- 304 с.

75. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем: Метод эллипсоидов/ Ф.Л. Черноусько. М.: Наука, 1988.-320 с.

76. Черноусько Ф.Л. Декомпозиция управляемых систем/ Ф.Л. Черноусько // Успехи мат.наук. -1994.- 49, № 4. С. 79.

77. Энциклопедия Машиностроение в 40-томах / Ред. совет: К.В. Фролов (пред.) и др. Автоматическое управление. Теория / Е.А. Федосов, А.А. Красовский, Е.П. Попов и др. под общ. ред. Е.А. Федосова. М.: Машиностроение, 2000-т. 1- 4.-688с.

78. Эрроусмит Д. Обыкновенные дифференциальные уравнения/ Д. Эрроусмит, К.Плейс . -М.: Мир ,1986.- 248 с.

79. Jakubczyk В., Sontag E.D. Controllability of nonlinear discrete-time system: a Lie algebraic approach. "SIAM J. Contr. and. Optim.", 1990,28, №1,1-33 c.

80. Яблонский Г.С Кинетические модели каталитических реакций / Г.С. Яблонский, Быков В.И., Горбань А.Н.- Новосибирск: Наука, 1983 496 с.