Параметрическое возбуждение автоколебаний в вибрационных машинах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ
|
Обухов, Анатолий Николаевич
АВТОР
|
||||
|
кандидата технических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2007
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.06
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Обухов Анатолий Николаевич
1!11111111№1111111111111
003 166330
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ В ВИБРАЦИОННЫХ МАШИНАХ
Специальность 01 02 06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук
Москва, - 2007
0 3 ДПР 200В
Работа выполнена в Институте машиноведения им А А Благонравова РАН
Научный руководитель доктор технических наук, Израилович Михаил Яковлевич (ИМАШ РАН)
Научный консультант доктор технических наук, Асташев Владимир Константинович (ИМАШ РАН)
Официальные оппоненты
доктор физико-математических наук, профессор, Ерофеев Владимир
Иванович (Нижегородский филиал ИМАШ РАН),
доктор технических наук, профессор, Гуськов Александр Михайлович (МГТУим НЭ Баумана)
Ведущая организация ОАО «НПК «Механобр-техника», г Санкт-Петербург
Защита состоится 24 апреля 2008г, в четверг, в 15 часов на заседании диссертационного совета Д002 059 01 в Институте машиноведения им А А Благонравова РАН по адресу 101990, г Москва, Малый Харитоньевский пер, дом 4, конференц-зал (этаж 2)
E-mail dissovet_prochnost@imash ru
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института машиноведения им А А Благонравова РАН Автореферат разослан «jj» марта 2008 года
Ученый секретарь
диссертационного
совета
Бозров В М
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность работы
Одним из важных резервов повышения производительности и качества функционирования вибрационных машин резонансного типа является научно обоснованное определение структуры и парамеггров источника возбуждения автоколебаний Для современной вибрационной техники наиболее характерны схемы возбуждения автоколебаний, основанные на использовании силовых либо кинематических источников возбуждения В обоих этих случаях источник возбуждения является аддитивным Вместе с тем, в других отраслях техники, в особенности в радиотехнике уже многие годы используются схемы, основанные на параметрическом возбуждении автоколебаний Такие схемы используют в качестве возбуждающего воздействия переменную составляющую одного из элементов колебательного контура- индуктивности, емкости или сопротивления
Преимуществом авторезонансных систем с параметрическим возбуждением автоколебаний являются
- в ряде случаев возможность более простой конструктивной реализации параметрического возбуждения,
- меньшее время установления рабочего периодического режима;
- возможность достижения большей интенсивности авторезонансного рабочего процесса при малой интенсивности возбуждения;
- возможность синтеза систем с определенными полезными свойствами, в частности адаптивности и инвариантности по отношению к структуре и параметрам пассивных нелинейностей определенных классов при использовании законов параметрического возбуждения достаточно простой структуры
При определении структуры и параметров возбуждающего воздействия наибольший эффект имеет место при использовании процедур, вытекающих из методов теории оптимального управления Применительно к синтезу автоколебательных систем с аддитивным источником возбуждения такие
задачи рассмотрены в работах А В Репникова, А.А Красовского, НВ.Фалдина, М Б.Подчуфарова, М.Я Израиловича Поскольку для авторезонансных машин характерными являются режимы, близкие к гармоническим, то наиболее актуальным для решения задач синтеза законов возбуждения резонансных автоколебаний является сочетание приближенных методов анализа таких режимов с методами теории оптимального управления
Впервые такой подход применен в 1973г. в работе В.К.Асташева, В.И.Бабицкого, МЕ Герца применительно к синтезу силового источника возбуждения резонансных автоколебаний. В дальнейшем эти исследования, основанные на сочетании метода гармонической линеаризации и одного из методов теории оптимального управления — метода моментов — получили развитие и различные обобщения в работах М Я.Израиловича Им решен также ряд задач по параметрическому возбуждению резонансных автоколебаний, предложены способы введения активных воздействий, обеспечивающих устойчивость расчетного (приближенно-оптимального) режима и устранения либо дестабилизации других режимов
Однако для моделей, адекватно описывающих авторезонансные вибрационные машины, необходима дальнейшая проработка ряда проблем учет влияния нелинейностей различных типов, различные виды ограничений, задаваемые на интенсивность параметрического возбуждения, аналитический и численный анализ устойчивости расчетных режимов в системах как с различными типами нелинейностей, так и при их отсутствии, учет влияния действия нагрузки на рабочий орган машины
Целью настоящей диссертационной работы является определение приближенно-оптимальных законов параметрического возбуждения, обеспечивающих устойчивые режимы автоколебаний максимальной амплитуды и заданной частоты Частота предполагается близкой или равной собственной частоте системы
Для достижения указанной цели в работе решаются следующие задачи
1. Разработка общих процедур синтеза параметрического закона возбуждения при симметричном автоколебательном режиме в случае произвольной нелинейности и различных ограничений на интенсивность возбуждения
2 Анализ устойчивости расчетных приближенно-оптимальных режимов, их стабилизация в случае неустойчивости, устранение либо дестабилизация других режимов (в случае их наличия).
3. Синтез законов параметрического возбуждения в случае линейной пассивной части системы, что существенно с точки зрения оценок предельных возможностей генерации автоколебаний
4 Синтез законов параметрического возбуждения при нелинейности упругого типа
5. Синтез законов параметрического возбуждения при нелинейности диссипативного типа
6 Синтез законов параметрического возбуждения при наличии в системе силового источника возбуждения заданной структуры
7 Синтез законов параметрического возбуждения с учетом действия внешней нагрузки и анализ ее влияния на режим автоколебаний.
Методы исследования
Решение поставленных в работе задач осуществляется на основе сочетания приближенных методов анализа нелинейных систем — эквивалентной (гармонической) линеаризации, асимптотического метода и одного из методов теории оптимального управления — метода моментов. Для верификации полученных приближенных аналитических решений достаточно широко применяется компьютерное моделирование — численное решение дифференциальных уравнений, описывающих динамику моделей авторезонансных машин с синтезированными параметрическими возбуждающими воздействиями
Научная новизна и практическая значимость работы заключается в следующем
1 Разработана общая процедура синтеза приближенно-оптимальных параметрических возбуждающих воздействий с обратной связью при различных видах ограничений на их интенсивность для характерных моделей вибрационных машин авторезонансного типа.
2. Определены структуры параметрических возбуждающих воздействий, обеспечивающих генерацию устойчивых автоколебательных режимов при отсутствии нелинейностей в пассивной части системы.
3 Решены задачи синтеза приближенно-оптимальных параметрических возбуждений для систем с пассивными нелинейностями упругого и диссипативного типа
4 Решены задачи синтеза приближенно-оптимальных параметрических возбуждений при наличии в системе заданного силового возбудителя автоколебаний
Научные положения, выносимые на защиту
- общая структура квазиоптимальных законов параметрического возбуждения автоколебаний для модели авторезонансной вибрационной машины для симметричных режимов автоколебаний с учетом произвольной пассивной нелинейности,
- способы стабилизации расчетных квазиоптимальных режимов и устранения (либо дестабилизации) других режимов для такой модели,
- решение задач синтеза параметрических возбуждающих воздействий при наличии нелинейностей конкретных структур и при их отсутствии,
решение задач синтеза параметрического возбуждающего воздействия при наличии в системе силового источника автоколебаний,
решение задач синтеза параметрического возбуждающего воздействия с учетом влияния действующей на рабочий орган нагрузки
Практическая ценность полученных результатов обусловлена инженерной направленностью выполненных исследований полученные законы параметрического возбуждения для типичных моделей авторезонансных вибрационных машин в подавляющем большинстве случаев определены в замкнутой аналитической форме, что делает весьма доступной конструктивную реализацию таких машин с параметрическим возбуждением Применение полученных результатов дает возможность спроектировать новые авторезонансные машины более высокого качества, либо модернизировать существующие машины, видоизменив их схемы возбуждения путем замены силовой (или кинематической) схемы на параметрическую, возможно также введение дополнительной параметрической обратной связи с целью интенсификации режима при сохранении уже имеющегося источника возбуждения
Апробация работы
Результаты работы докладывались на
7-ой Всероссийской конференции «Нелинейные колебания механических систем», Н Новгород, ННГУ, 2005
- 17-ой Международной конференции молодых ученых и специалистов по проблемам машиноведения М ИМАШ РАН 2005
- 18-ой Международной конференции молодых ученых и специалистов по проблемам машиноведения М ИМАШ РАН 2006
Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в 7 печатных работах (список в конце реферата)
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, шести глав, выводов и списка литературы Текст диссертации изложен на 106 страницах. Она включает 21 рисунок Список литературы включает 88 наименований.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во Введении излагается современное состояние теории авторезонансных вибрационных машин Отмечается, что наибольшее распространение в настоящее время имеют машины со схемами силового или кинематического возбуждения Указывается ряд преимуществ машин с параметрическим источником возбуждения Наиболее эффективным и научно обоснованным путем синтеза параметрических возбуждающих воздействий является применение методов теории оптимального управления в сочетании с приближенными методами нелинейной механики. Дается краткий обзор обоих методов теории оптимального управления, работ по управлению периодическими режимами и синтезу автоколебательных систем. Приводятся наиболее характерные простейшие модели авторезонансных вибрационных машин Формулируется цель и задачи исследований
В Главе 1 «Синтез квазиоптимальных законов параметрического возбуждения автоколебаний в машинах при произвольной симметричной нелинейности» рассматривается система с произвольной нелинейностью (рис 1 1),
рис 1.1
уравнение динамики которой имеет вид:
[у2 + 2 А» + ю02(1 + V)]* + /(*,«) = 0 (11)
где л - оператор дифференцирования, V - подлежащее определению возбуждающее параметрическое воздействие; /(х,зх) - заданная
2ж
нелинейность симметричного типа ( ^/{А&тцг,а>Асо&уг)<1ч/ = 0)
о
На интенсивность возбуждения г' налагается ограничение общего вида
(1п
[К^ ^ - (2 1).
где 1 й р < оо, Ур - заданная константа; со - задаваемая частота автоколебаний
При р = 2 из (2.1) определяется интегральное квадратичное ограничение, при р = 1 — ограничение на импульс, при р -* «> - ограничение на амплитудное значение возбуждения Требуется найти закон возбуждения у" {х, же), обеспечивающий в системе (1.1) режим заданной частоты со с
максимальной амплитудой установившихся колебаний А* Предполагается, что система (1 1) обладает резонансными или фильтрующими свойствами, в силу чего ее установившееся колебание адекватно аппроксимируется первым гармоническим приближением
х = Авт.у/,$х = сзАсов1(г (3.1)
где А - амплитуда, ц/ ■= ол + <р - полная фаза С учетом этого процедура решения задачи заключается в следующем. Уравнение (1 1) подвергается процедуре гармонической линеаризации, причем линеаризации подвергаются как заданная нелинейность /(х,зх), так и нелинейность у(х, хх)х , содержащая искомую функцию V = у(х,ях) В результате этой процедуры (с учетом того, что V = имеет постоянную
нулевую составляющую) определяются моментные соотношения (изопериметрические условия), налагаемые на v
2а
Jv cos 2y/d 1// = /3}(Л,а>) (4.1)
Jvsm2y/dy/ = fi2{A,co);
о
где обозначено
Д04,й>) = ^(<э02-й»2+./;) (5.1)
юо
= 2*® +/2),
/,,/2 — коэффициенты гармонической линеаризации функции /(*,») Функция у(у) , удовлетворяющая условиям (4 1) и ограничению (2 1), имеет вид
х{у/)-т рсое7ц/ + г"эш2г//^ ' х¿¡^(е" сое2ц/ + вт2///) (6 1),
где число д определяется из равенства ~ а числа г",г® - из решения следующей экстремальной задачи
найга соъ2у/ + е25т.2у/\ = (71)
ч н VР
при условии г,/?, (Л,¿у)+егрг(А,со) = 1
Максимальная амплитуда автоколебаний Л* определяется как наибольший положительный корень уравнения
Щ°(Я,®)со5 2^ + £1{А,а))$т2\1/\ч йу/ = (8 1),
о
где - значения величин ех ,Ег, определяемые как решение
экстремальной задачи (71)
Соответствующий этой амплитуде квазиоптимальный программного возбуждения у'(у/) определяется путем замены в (6 1) величин на
Поскольку в силу (3.1) для квазиоптимального режима х = А" эт^, = со А соьцг, то закон параметрического возбуждения с обратной связью определяется на основе программного закона (6 1) (с учетом вышеуказанной замены) и исключения тригонометрических функций в виде
V* (*,**) = о РГ^(А")'Щ'1)
ЯХ 1 2 . Х
со
1?-1 « ¿я!
+ 2е,х— х й>
зх 1 , —X
т
_ » ях + 2е2х—>
(О
(91)
В практически наиболее важных случаях ограничения на амплитуду
И <7 и I закон возбуждения (91)
соответственно в виде:
V* (хлх) = д*
•IX I _хг
а
ЗХ I о -X
а
ж*
+ 2
о
определяется
(10 1),
(Н 1)
где Д* = Д(^\®), #
При этом в случае закона (10.1) Л* определяется из уравнения
я2
[а>1 -Ф1 +/1(4®)]2 +[2^ + /2(Л3Ш)]2 =
А *
[®02 -й.2 +/,(4й))[+[2Ь + ЛСД®)? = —5-К,2
да
(12 1),
(13 1).
Синтез квазиоптимальных законов параметрического возбуждения на основе использования первого приближения асимптотического метода
приводит к результатам, аналогичным изложенным выше. Выражения для квазиоптимальных законов возбуждения (10 1), (11 1) имеют при этом почти тождественную структуру Имеются только два различия В формулах (101), (111) явно входящая частота а заменяется на щ, а выражения для величин Д, Рг (5 1) аналоги коэффициентов гармонической линеаризации функции /(х,хх) заменяются на величины
а 2коз заменяется на 2кшй. Аналогичным образом видоизменяются левые части уравнений (12.1), (13 1). В правой части уравнения (13.1) величина а также заменяется на <о0
При этом, если учесть, что речь идет об авторезонансных системах, то величины <о и ю0 достаточно близки между собой Поэтому результаты, полученные с применением обеих процедур, различаются несущественно, а при <о = сай они оказываются тождественными
Система (1 1) с законом параметрического возбуждения (9 1) содержит две нелинейности /(х,ях) и у'(х,вх)х Поэтому важно проанализировать динамику замкнутой системы (1 1), (9.1), то есть проверить устойчивость расчетного квазиоптимального режима с параметрами А*, со, а также наличие и устойчивость других режимов
При использовании метода гармонической линеаризации такой анализ сводится к исследованию системы уравнений
о
ХС40 = со1-со\ +щХ(А,&1) + /1(А,б>,) = 0 7(4®,) = 2Щ+т,^(А,й)1) + /2(А,т1) = 0
(14 1)
где А, 01 - значения амплитуды и частоты, в общем случае отличающиеся от расчетных, /1(Дю1),/2(^,й?1), -
соответственно коэффициенты гармонической линеаризации функций /(дг,5дс) и у'(х,зх)х, определяемые для произвольных величин А и о,.
Значения А*, а> являются решением системы (14.1), однако в общем случае это решение может оказаться не единственным В последнем случае необходимо проанализировать с помощью известных критериев* как устойчивость режима А*, т, так и устойчивость других режимов
При использовании асимптотического метода анализ устойчивости и возникновения режимов, отличных от расчетного А*, <о, сводится к исследованию дифференциального уравнения первого порядка М __ Ф,(А)
А ~ 2ла0 (15 ^
где
Ф,(А) = -2кжо0А*—в)%А (^эту/,юьЛсо»у/) Аэшу/-/(Аятц/,со0Асоэ 1//)]соз(¿-й
о
При этом, если А' является единственным корнем уравнения Ф»(Л) = 0 (16 1),
то расчетный режим А', со также единственен. В противном случае возможно существование других режимов А, са Критерием устойчивости режимов является выполнение неравенства
Ф',(А)<0 (17 1)
При неустойчивости режима А', т или наличии других устойчивых режимов необходимо видоизменить структуру возбуждающего воздействия, либо ввести в систему (1.1) дополнительное стабилизирующее воздействие За счет этого достигается устойчивость и единственность номинального
Попов Е П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах. М Наука. 1973 Бабицкий В И. Теория виброударных систем М. Наука 1978
режима, или неустойчивость других режимов, что показано в последующих главах на конкретных примерах.
В Главе 2 «Возбуждение автоколебаний в машинах с линейной пассивной частью» рассматривается авторезонансная вибрационная машина (рис 11) при /(•*, хх) = 0. Для таких систем параметрическое возбуждение устойчивых автоколебательных режимов оказывается возможным только при специально выбранной структуре источника возбуждения, либо при введении дополнительного нелинейного стабилизирующего силового воздействия Однако на первом этапе определяется базовая структура квазиоптимального параметрического возбуждения в соответствии с общими процедурами, изложенными в Главе 1
Уравнение системы записывается в виде
[л-2 +2Ь + ®,?(1 + у)]х = 0 (12)
При < V и использовании асимптотического метода квазиоптимальный закон параметрического возбуждения в соответствии с (10 1) имеет вид
у* (х,зх) = - а
(2.2)
Уравнения первого приближения асимптотического метода для системы (1 2), (2.2) имеют вид <М .
йф 1(2 2)
Из (3 2) следует, что режим А*, т неустойчив. Для его стабилизации вместо у*(х,лх) (2 2) вводится расширенное (мультипликативно-стабилизирующее) возбуждение
vm(x,x) = \+p(A*-A)\\x,sx) (5 2)
где А" - заданное значение амплитуды автоколебаний, А - текущее
значение амплитуды Л -
2 I SX
X +
2
,р> о
постоянный параметр Уравнения для амплитуды и фазы системы (1.1), (2 2), (5 2) принимают
вид
dA
dt = kp(A - Л)А (6 2)
j* -■> „ v « >
dt 2<ай v u 7 (7'2)
Решение уравнения (6 2) с начальным условием А(0) = Л0 определяется по формуле
= А(0)Л' exp(A'pkt) К А' - ДО) + А(0)е,хр( А*pkt) К '
Далее из (7 2) определяется закон <p(t)
9it) = + (9.2)
Из анализа выражений (8.2), (9.2) следует, что при t -> оо в системе устанавливается режим с амплитудой Л* и частотой а>
На рис 1.2 представлен результат численного решения уравнения (1 2), (2 2), (5 2), рассчитанного при ®0 = 1, ю = 1, ¿ = 0.05, А* =5, р = 10 и начальных условиях: х(0) = 01 и sx(0) = 0 (сплошная кривая) На этом же рисунке представлено приближенное решение, полученное в соответствии с (8 2), (9 2) (пунктирная кривая):
Как указывалось выше, для стабилизации неустойчивых режимов возможен другой способ, основанный на введении силового стабилизирующего воздействия. На рис.2.2 а, б представлен результат численного моделирования системы с релейным законом возбуждения, определенным с использованием процедуры метода гармонической линеаризации, которая описывается уравнением
/ +2 Ь + а1
1 + Куг^я
-4 кхзх
\х + р{Аг-А'г)^х = 0(Ю2)
при А = 0.1, Фв =1, А* =10, р = 1 и начальных условиях: *(0) = 0 и «(0) = 0 1 для а = 1 (рис 2 2 а), о = 1 05 (рис.2 2 б)
В Главе 3 «Возбуждение автоколебаний в случае нелинейной упругой связи» рассматривается система с произвольной нелинейностью упругого типа (рис.13)
рис 1.3
Уравнение динамики такой системы
[s2 +2ks + тг0 (1+ v)]* + f(x) = 0 (13)
При этом предполагается, во-первых, что f(x) = -f(-x) и, во-вторых,
j 2я
f2(A,a>) = — jf(Asmt//)cosi//di// = 0 _
жА ^
Квазиоптимальные законы параметрического возбуждения определяются по формулам При |v| < V
v* (х sx) = Vsign< ± W}
SX | 2 X
ф
+ 4fcc,«|
(2 3)
при
( 2я la \2 О] f ,,
— \v dt
2 7t J
V о у
ЩА ■
-4kxsx\
где Щ
— \4w.
-^-V2- 4k2 a2 W2 =
_2 s Z
4(0,
0 V2 —4k2at2
(3 3)
я- V яи>
Минимальная амплитуда в первом случае определяется по формуле
(43),
а во втором случае.
^/Г^-к-ю2)] (5 3),
1 2,т
/Г' [• ] - функция, обратная к функции Л(А) = — \/{А$тц/)ату/с111/
ЛА „
В формулах (23 — 53) знак «+» соответствует жесткой упругости ( (А) > 0 ), а знак «-» соответствует мягкой упругости ( ^ (А) < 0 )
При этом аргумент в квадратных скобках в формулах (4 3), (5 3) должен быть положителен в случае /¡(А) > 0, откуда следует: — со2 со1-со2<¥2
При Л(А)<0 эти ограничения принимают вид (Ог-ш£ <Щ и а>7 — (Од < Ж2 Эти ограничения связывают между собой значение задаваемой частоты автоколебаний & и интенсивность возбуждающего воздействия Уг либо Уг В том случае, когда (о = сой они выполняются автоматически.
Как показывает анализ, режим А*, а в системе (1.3) с законом возбуждения (2 3), (3.3) не устойчив Для его стабилизации (в соответствии с результатами Гл.1) вместо V (х^х) вводится расширенное (мультипликативно-стабилизирующее) возбуждение, структура которого определяется в виде
(х, хх) = [1 + р(А* - (х, м) (6 3)
где р > О
2
Показано, что при условии Р > , л,2 режим А , а в системе (1 1 3) с
законом возбуждения (3 3), (6 3) является единственным и устойчивым
В качестве конкретного примера рассмотрим случай кубической
нелинейности /Х-*) = /их1 При использовании закона возбуждения (3 3) амплитуда автоколебаний, в соответствии с (5 3), определяется по формуле (//>0)
^рГ.-к2"®2) (7.3)
На рис 2 3 представлены зависимости А' (7 3) от интенсивности возбуждения У2, рассчитанные при к - 0.05 , «0 =1, /г = 0 4 и различных значениях а
рис 2 3
В качестве примера простейшего непрерывного закона возбуждения автоколебаний в системе (1.3) рассматривается закон*
= -ахях (8 3)
Закон (8 3) является частным случаем закона (3 3) при ^г
як а'
Анализ показывает, что в системе (1 3), (8 3) имеет место единственный
1 Щк
режим с амплитудой ^ ' котоРая совпадает со значением
амплитуды при /(*) = 0 и частотой а>1, которая зависит от /(х). В случае
1
_ ( 2 6/Л V
кубической нелинейности ~ 1 ^о + I . Для стабилизации режима в
* Следует отметить, чю такой закон использовался в работе МЯИзраиловича// ДАН 2007 т 412 №4 с 485489 в случаях системы без нелинейности /{х)
систему (1.3), (8.3) вводится аддитивное стабилизирующее воздействие ис =р(-42~Л'2)$х Показано, что при условии Р> ^г режим А*, <ох устойчив
В Главе 4 «Возбуждение автоколебаний в случае нелинейной диссипативной связи» рассматривается система с произвольной нелинейностью диссипативного типа (рис. 1.4)
рис 1 4
Уравнение динамики системы
V + 0)1 (l + v)Jc + f(sx) = 0 (14)
В данном случае
1 2"
fx(A,m) —— jf(a>Jeosy/)smi//di// = 0 1сА 0
1 z'
/г(А,га) = — \f(oiAcosi//)cosif/di// Ф 0
nA a
Квазиоптимальные законы возбуждения автоколебаний определяются в
виде-
при |г| < V V* (л, ях) = (&>„ - со1
— 2№г1х-
т
(2 4),
( 1x10 О)
при
2л
V* (х, .к) =
<Г2
2
со
со)
-2Ж2Х
(3 4)
Амплитуда автоколебаний в случае закона (2 4) определяется по формуле
А' =/2-1(Щ-2кси) (4 4),
а в случае закона (3 4) — по формуле
(5 4)
где Ж = ¡-агУ , Щ = ~{а>1 -^к _ коэффицие11Г
I I V жю
вязкого демпфирования, /21 - функция, обратная к функции /2(^)
Поскольку в случае чисто диссипативной характеристики /2(А,ю)> О, из (5 4) следует, что для существования режима с амплитудой А* > 0 должно выполняться неравенство
2^>|б| либо Щу2>\д\,где № = \$-а,2}+Лк2Ф2}
Ж л/ жсо
В качестве первого примера рассматривается нелинейная диссипативная характеристика типа турбулентного (квадратичного) трения (при учете также вязкого трения) /(юс) = . При этом, в соответствии с (5 4)
1 г(Щ-2/са>)
А =-
(лла>
(6 4)
да А-¿Л
Анализ устойчивости показывает, что режим А' (6 4), а) может быть устойчив только на зарезонансных частотах со >ад При © < <м0 устойчивость не имеет места.
В силу этого вместо (3 4) вводится возбуждающее воздействие
+ (7 4)
Аналитически показано, что при достаточно большой величине (р > 0) должна иметь место устойчивость режима А', со Для подтверждения этого вывода было осуществлено численное моделирование уравнения
где IV определяется в соответствии с (7 4), (3.4), а>й = & = 1, У2 = 0, ¿ = 0,05, // = 0,04, р-10 Начальные условия для уравнения (84) *(0) = 0,5, £*(0) = 0. На рис 2 4 (2 2 4) представлен график решения уравнения (8.4) х({)
t
рис.2.4
В качестве второго примера рассматривается система с кубической характеристикой диссипативной силы при отсутствии вязкого
демпфирования. / Ох) = //|юг|2 ях В соответствии с (5.4) амплитуда
автоколебаний определяется по формуле
Показано, что режим А* (9 4), а является единственным, однако он не устойчив. При введении в систему вместо закона возбуждения (3 4) закона
vjx,sx) = [l + p{a'2 - А2)У (x,sx) режим А* (9 4), <о устойчив при любом р> О
В Главе 5 «Параметрическое возбуждение в случае двух возбуждающих воздействий» рассматриваются системы с синтезируемым параметрическим возбуждением при наличии источника силового возбуждения заданной структуры.
Рассматривается модель авторезонансной машины, динамика которой описывается уравнением
[.у2 + 2Ъ + al (l + v)}x + / (х, же) = 0 (15),
где f{x,sx) - нелинейная характеристика автоколебательного типа заданной структуры Для достаточно широких классов таких характеристик они записываются в виде / = f(sx), при этом также как и в случае диссипативной характеристики fx{A,a) = О, f2(A,a) * 0 Это имеет место и для других классов характеристик f{x,sx) автоколебательного типа, в частности для характеристики Ван-дер-Поля /(х, sx) = -g-(l - х2 )ул- В этих случаях остаются справедливыми результаты, полученные в Главе 4: а именно формулы (2 3), (3.3), определяющие законы параметрического возбуждения, и формулы (4 3), (5.3), по которым рассчитываются значения амплитуд автоколебаний Это, однако, не относится к анализу динамики и
устойчивости режимов замкнутой системы, который должен осуществляться с учетом конкретной структуры /(х, sx)
В качестве примера рассматривается система с простейшим силовым источником возбуждения
[.V2 +2 ks + со] (l + v)]x - Usignsx = 0 (2 5)
где U - константа
Амплитуда автоколебаний при использовании закона возбуждения
л. _4 U
1г(Щ-2ксо) (3'5) а при использовании закона возбуждения (3 4): 4 U
А (4-5) При о) — (oQ и использовании закона возбуждения (2 4)
W
--Т ТлГЛ при F < ¿Я- (5 5)
А =
К 71 4 U
~ 2 Л при V > кж
я\^у-2ка>0 1
л
Закон возбуждения (2 4) при этом принимает вид V* {х, ,чх) = -Ух^п(х вх) (6 5)
На рис. 1.5 представлены результаты численного моделирования системы
{я2 + 2Ь + <э2[] - №щп(х зх)^рс-ивщтх = 0 (7.5),
выполненные при II = \, к-0 \, юй=\ и различных значениях V
рис 1 5
Закон параметрического возбуждения (3 4) при (Я — (О0 имеет вид
у'(х,3х) = -
8Щ,У2 Л*2л1жсэп
где
А =-
4(7
я
ЖФ„
('7 5) (8 5)
Система (2.5) с законом возбуждения (7 5) имеет единственный устойчивый режим с амплитудой А' (8 5) и частотой Щ при условии . 4к4л
V, <
В главе 6 «Возбуждение автоколебаний в случае несимметричных режимов» рассматривается влияние постоянной (либо медленно меняющейся) нагрузки, действующей на рабочий орган машины (рисЛ 6)
1
т = 1
: >_а.
В
±
рис 1 6
Действие нагрузки, даже в случае системы с линейной пассивной частью или при наличии симметричной нелинейности /(*,«) порождает несимметричность периодического режима, Уравнение динамики системы имеет вид
где В - постоянная (либо медленно меняющаяся по сравнению с периодом автоколебаний) действующая на рабочий орган нагрузка
При синтезе квазиоптимального виброгасящего воздействия оно в общем случае должно зависеть не только от координаты х и скорости лх рабочего органа, но также от значения В Решение уравнения (16) ищется в виде
х = х0 + Аэтц/ (2 6),
где х0 - постоянная (или медленно меняющаяся составляющая), А вш!// -вибрационная составляющая
(16),
В результате подстановки (2 6) в (1.6), разделения составляющих и гармонической линеаризации уравнения для вибрационной составляющей определяются соответствующие взаимосвязанные уравнения
cOoX0+fri(A,co,xll) = B (3 6)
ml - ®2 + ft(A, т,х0) - 0 (4 6)
2 кт+/2(А,0,хо) = О (5 6)
В уравнениях (3.6 - 5.6) обозначено
1 2" яА 0
1 2*
/j (А,«,,■*„) = — [/(х„ + yásin й>! A cossin y/dy/ (6 6)
о
1 2гг
/2(А,щ,ха) = — jf (xú+Asini/^^Acosi//) cos t//d у/ лА 0
Остальные обозначения в этих уравнениях совпадают с теми, которые использовались в предыдущих главах Следует отметить, что при решении данной задачи, как и в случаях симметричных режимов, возбуждающее воздействие предполагается симметричной, то есть не имеющей постоянной составляющей, функцией
Дальнейшая процедура решения заключается в следующем Из уравнения (3.6) (аналитически или численно) определяется зависимость х0 - (р( А,бо,В) (6 6) В результате подстановки этой зависимости в выражения fx{A,m,x¿), j'г(А,т,х0) в уравнения (4 6), (5 6) последние определяют налагаемые на искомую функцию v изопериметрические условия (моментные соотношения), по структуре идентичные тем (5.1), которые использовались в случае симметричных режимов (Глава 1) Поэтому полученная выше формула для программного закона v*(w) (6 1) и уравнение для амплитуды автоколебаний А" (8 1) остаются в силе.
Поскольку в данном случае закон установившихся колебаний определяется в виде (2.6), а для квазиоптимального режима
х = х*в +Л* smy/,sx = mA' cos^ (7 6)
где xl = <р(А'), то в результате исключения из (6 6) тригонометрических функций и подстановки полученных выражений в программный закон v (у/) (61) определяется следующий закон параметрического возбуждения с обратной связью, зависящий также от нагрузки
Г2(«-1>
Xíigwjfi-*
f)
(?)
- ,í ,\sx + 2S2{x-X0)—-
(O
(8 6)
В качестве примера параметрического возбуждения при учете действия нагрузки рассматривается случай нелинейной упругости кубического типа f(x) = fjx* при интегральном квадратичном ограничении
Помимо изложенной выше процедуры синтеза параметрического возбуждения в случае действия нагрузки, которая является в достаточной степени громоздкой, теоретический и прикладной интерес представляют задачи оценки действия нагрузки на режимы резонансных автоколебательных вибрационных машин, источники возбуждения которых синтезированы без учета ее влияния В работе излагается пример решения такой задачи для случая системы с линейной пассивной частью с простейшим непрерывным параметрическим законом возбуждения v(x, же) = —üxsx . Уравнение системы имеет вид
[s2 + 2 ks + ml (l - axsx)\c = В (9 6)
Система (8 6) рассматривается как система с нелинейностью /(x,sx) = -a>lax2sx (10 6)
Ее решение ищется в виде (2.6) В результате гармонической линеаризации нелинейности (10 6), осуществляемой с учетом несимметрии режима по формулам (6 6), решение получено в виде
А =2
2 к
<оп
(11.6)
Из анализа этого решения следует, что возбуждение автоколебаний 2 ке>1
возможно при условии а < -
Кроме того, амплитуда автоколебаний
монотонно убывает с ростом величины нагрузки В. При этом, однако, режим х„.гоп,А' (11.6) в системе (9 6) оказывается неустойчивым (что имеет место и при отсутствии нагрузки) Для стабилизации режима в систему (9 6) вводится аддитивный стабилизатор г<с = р(А—А)ях,р > 0 Для проверки возможности стабилизации режима (11.6) было осуществлено численное моделирование системы
[у2 + 2 Ь + (1 - аххх)\х+р(А -А'^х = В (126)
при следующих значениях параметров. £ = 0 03, <я = 001,
р = 1 и различных значениях нагрузки В при начальных условиях л(0) = 0, ях(0) = 0,01. На рис.2 6 представлены результаты расчетов (кривые х{г)).
рис 2 6
Из анализа результатов расчетов следует, (рис.2 6),
а) при незначительной величине нагрузки (В < 1) колебания имеют четко выраженный гармонический характер с амплитудой, частотой и постоянной составляющей, почти точно совпадающей с расчетными значениями
б) искажения увеличение частоты негармоничность проявляются только при дальнейшем увеличении нагрузки до В = 2
в) во всех случаях имеет место устойчивый периодический режим с очень малым временем процесса установления
Выводы
1 Решены задачи синтеза квазиоптимальных параметрических возбуждающих воздействий при различных ограничениях на их интенсивность для одномассовых моделей авторезонансных вибрационных машин с учетом наличия нелинейных звеньев, обеспечивающих генерацию устойчивых режимов автоколебаний
2 Дня линейной модели определены структуры возбуждающих параметрических воздействий и дополнительных силовых стабилизирующих воздействий, обеспечивающих единственность и устойчивость режимов автоколебаний высокой интенсивности и малое время установления рабочих режимов
3 Решены задачи синтеза параметрических воздействий при наличии в системе силового источника автоколебаний заданной структуры. Показано, что такие схемы возбуждения автоколебаний в авторезонансных вибрационных машинах обеспечивают высокую эффективность рабочих процессов.
4. Решены задачи синтеза параметрических возбуждающих воздействий при учете постоянной (либо медленно меняющейся) нагрузки, действующей на рабочий орган.
Основное содержание диссертации опубликовано в работах
1 Израилович М Я, Обухов А Н, Синтез систем параметрического возбуждения автоколебаний механических систем, Международный журнал "Проблемы машиностроения и автоматизации", 2005 N3, с.51-55
2. Израилович МЛ., Обухов А Н, Управляемое возбуждение параметрических колебаний, Труды Седьмой Всероссийской научной конференции "Нелинейные колебания механических систем", 2005, Н Новгород ННГУ, с 86-88
3. Израилович МЯ, Обухов АН., Параметрическое возбуждение автоколебаний в механических системах с нелинейной упругой связью, журнал "Проблемы машиностроения и надежности машин", 2006 N3, с 10-16
4 Израилович МЛ., Обухов А.Н., Параметрическое возбуждение автоколебаний в случае несимметричных режимов, сборник Трудов
Пятнадцатого симпозиума по динамике виброударных (сильнонелинейных) систем, М-Звенигород ИМАШ РАН, 2006, с.129-131
5. Обухов А.Н, Управляемое параметрическое возбуждение автоколебаний при наличии источника автоколебаний заданной структуры, сборник Трудов Пятнадцатого симпозиума по динамике виброударных (сильнонелинейных) систем, М-Звенигород ИМАШ РАН, 2006, с.208-210
6 Обухов А Н, Возбуждение резонансных автоколебаний с использованием параметрического и силового воздействий, журнал "Проблемы машиностроения и надежности машин", 2007 N5
Введение. Состояние вопроса.
Глава 1. Синтез квази оптимальных законов параметрического возбуждения автоколебаний в машинах при наличии произвольной симметричной нелинейности.
1.1. Синтез квазиоптимальных законов возбуждения на основе метода эквивалентной линеаризации.
2.1. Синтез квазиоптимальных законов возбуждения на основе первого приближения асимптотического метода.
3.1. Анализ устойчивости периодических режимов. Стабилизация неустойчивых режимов и обеспечение единственности расчетных квазиоптимальных режимов.
К настоящему времени весьма детально разработаны методы динамического анализа вибрационных машин [1], [2], [3], [4], [5] в том числе авторезонансного типа. Машины такого типа используются в самых различных отраслях техники: при ультразвуковой обработке разнообразных материалов, в строительной промышленности, в процессах сепарации, виброгрохочения, измельчения сыпучих материалов, при вибрационных испытаниях и во многих других отраслях техники. Как правило, схема такого рода машин, включая источник возбуждения автоколебаний, или иными словами, система управления, выбирается априорно, исходя из тех или иных инженерных предпосылок, а затем осуществляется динамический анализ режимов функционирования: определяются амплитуда и частота автоколебательного режима, его устойчивость, возможность наличия нескольких автоколебательных режимов, исследуются процессы установления автоколебаний.
При этом выбранная таким образом схема возбуждения автоколебаний не всегда обеспечивает наиболее эффективный режим функционирования машины. Это относится как к основному (расчетному) режиму, который должен осуществляться с наибольшей интенсивностью, так и к возможности возникновения других режимов (с меньшей интенсивностью и частотами, отличными от расчетных). Первое из упомянутых обстоятельств не позволяет в полной мере использовать ресурс данного типа авторезонансной машины. Второе обстоятельство затрудняет настройки машины в процессе его выхода на заданный рабочий режим.
Для устранения первого из недостатков необходимо использование методов теории оптимального управления динамическими системами. В разработку этих методов весьма существенный, если не решающий вклад внесли отечественные ученые. Приоритетной в этом направлении явилась разработка принципа максимума [6]. Существенным для развития теории оптимального управления явилось также развитие метода моментов [7], [8]. Другим важным направлением стало применение принципа оптимальности динамического программирования [9]. При этом необходимо, во-первых, отметить, что традиционно методы теории оптимального управления в подавляющем большинстве относились к задачам, связанным с переходными процессами, а задачи, относящиеся к вибрационным процессам, связаны с оптимизацией периодических режимов. Во-вторых, начиная с середины 60-х годов начали развиваться методы, основанные на сочетании теории оптимального управления и приближенных методов нелинейной механики. Одной из первых работ в этом направлении, в которой использовался принцип максимума [6] в сочетании с асимптотическими методами [10], была статья [11]. В дальнейшем такое сочетание получило интенсивное развитие [12], [13], [14]. Достаточно эффективным оказалось также сочетание методов теории оптимального управления с методом усреднения [15], развитое в ряде работ [16], [17], [18].
Однако указанные работы, за исключением монографии [12], касаются задач управления переходными процессами динамических систем. Результаты исследований по оптимальному управлению периодическими режимами различных типов систем нашли отражение, помимо упомянутой выше монографии [12], в работах ряда отечественных ученых [19], [20], [21], [22], так и зарубежных ученых [78], [79], [80], [81], [82], [83], [84], [85], [86]. При этом характерным является то обстоятельство, что многие работы относятся к задачам активного виброгашения, когда на систему действует внешнее периодическое возмущение [23], [24], [25], [26], [27], [28], [29]. В большинстве этих работ рассматриваются линейные стационарные модели.
В то же время авторезонансные системы относятся к классу автоколебательных систем, а при возбуждении автоколебаний неизбежно должна присутствовать нелинейность. Следует отметить, что публикации, посвященные синтезу автоколебательных систем (с позиции теории оптимального управления) существенно малочисленнее, чем работы в указанных выше направлениях. Имеется, насколько известно, только одна отечественная монография, посвященная именно этому вопросу [30]. В этой монографии рассматривается специфический класс объектов, неидентичный резонансным вибрационным машинам, и решение задач осуществляется на основе принципа максимума и построения фазовых траекторий. Статейные публикации также весьма малочисленны. Здесь следует упомянуть работу [31], в которой также рассматривается механизм весьма специфического класса, а также работы [32], [33].
Существенный интерес и значимость представляет работа [34], в которой синтез и анализ релейных систем осуществляется на основе общих методов современной теории управления (с использованием фазового годографа), однако решения получены без применения процедур, характерных для теории оптимального управления.
Первая из отечественных работ, непосредственно относящаяся к синтезу авторезонансных машин была опубликована в 1973 году [35]. В этой работе на основе метода эквивалентной линеаризации [36] определена оптимальная (в гармоническом приближении) структура релейного возбуждающего воздействия, обеспечивающая максимум интенсивности установившихся колебаний на одной из собственных частот системы. Эта работа получила дальнейшее развитие по ряду направлений, в частности при возбуждении и стабилизации резонансных ультразвуковых колебаний стержневых систем [37]. В 1981 году была опубликована работа [38], в которой для одномассовой механической системы на основе первого приближения асимптотического метода (эквивалентного методу Ван-дер-Поля) [10] и вариационных методов теории оптимального управления [7], [8] решена задача синтеза силового возбуждающего воздействия с обратной связью, обеспечивающего максимум амплитуды установившихся автоколебаний с заданной частотой, близкой или равной собственной частоте системы.
В дальнейшем опубликован ряд работ по синтезу резонансных автоколебательных систем с применением процедур, основанных на сочетании метода эквивалентной линеаризации и методов теории оптимального управления, обобщающих подход предложенный в работе [35]. К числу таких публикаций относятся работы [39-45].
Следует отметить, что наиболее широко распространенными и типичными являются схемы резонансных машин, в которых возбуждение осуществляется по силовому принципу (рис. В.1) [5]. рис. В.1
В этом случае источник возбуждения (ИВ) создает на основе информации о текущих значениях координаты и скорости усилие Р(х, i), воздействующее на упруго закрепленный рабочий орган массы ш. Уравнение колебаний рабочего органа записывается в виде тх + Кх + сх ~ Р(х,х) (В.1) где К - коэффициент вязкого демпфирования системы крепления рабочего органа, с - жесткость крепления, Р(х, i) - силовое воздействие, создаваемое источником возбуждения. Уравнение (В.1) удобнее записать в нормированной форме х + 2кх + со\х - и(х,х) (В.2)
К 2 С Р где 2/е = — о)0 = — и = — . т mm
Наряду с силовой схемой возбуждения автоколебаний, используется нередко также кинематическая схема возбуждения (рис. В.2) рис.В.2
В соответствии со схемой рис. В.2 возбуждающее воздействие, формируемое на основе координаты и скорости рабочего органа массы ш подается на вход источника возбуждения, который через кинематический привод перемещает основание. Уравнение движения вибрационной машины в этом случае имеет вид тх + Кх + сх + К{(х - х0) + с{(х - х0) = О (В.З)
Уравнение (В.З) также приводится к виду (В.2), где при этом
К + К, 2 С-he, Клхп+слхп
2k =-1 а>1 =-L и = —^-— т т т
Ввиду этого, если пренебречь демпфированием К{ кинематического привода, задачи синтеза закона силового и кинематического возбуждения оказываются с математической точки зрения идентичными. В обоих случаях искомое управляющее воздействие и{х,х) является аддитивно входящей в уравнение движения функцией. Следует отметить, что пассивные части механических систем (В.1), (В.З) и соответственно уравнение (В.2) не содержит нелинейностей (кроме функции, описывающей автоколебательный источник возбуждения и(х,х)). В действительности, однако, в особенности при больших амплитудах автоколебаний, проявляют себя нелинейные упругие либо диссипативные силы. Поэтому в уравнение (В.2) может оказаться необходимым включение упругой f{x) либо диссипативной f(x) нелинейности, а в более общем случае нелинейности f(x,x). Задачи синтеза квазиоптимальных законов возбуждения и (х, х) для таких систем подробно исследованы в работах [38-42].
Помимо указанных выше и наиболее широко распространенных схем силового и кинематического возбуждения возможны и другие схемы, основанные на принципе параметрического возбуждения. В этом случае источником возбуждения является переменная составляющая одного из параметров системы.
Необходимо отметить, что такой принцип возбуждения уже давно используется в радиотехнике [46]. В области вибрационной механики системы с параметрическим воздействием также находят все более широкое применение, однако, в первую очередь, для гашения вынужденных колебаний [47-53].
В последние годы появились публикации по применению параметрических воздействий также и для гашения автоколебаний, в частности фрикционных [54].
Исследования по параметрическому возбуждению автоколебаний механических систем до настоящего времени малочисленны. Здесь в первую очередь следует отметить работу [55], в которой рассматривается одномассовая система с нелинейной составляющей упругой силы, и путем применения простейшего закона возбуждения переменной составляющей жесткости возбуждаются автоколебания, исследуется их устойчивость и процессы установления. В дальнейшем в работах [56], [57] была решена задача синтеза приближенно-оптимальных законов параметрического возбуждения автоколебаний для систем с учетом нелинейностей.
Механические системы с активными параметрическими воздействиями имеют ряд преимуществ по сравнению с широко применяемыми в настоящее время системами с силовыми и кинематическими воздействиями. К числу таких преимуществ относятся:
- в ряде случаев большая доступность конструктивной реализации параметрических воздействий;
- меньшее время установления периодического режима;
- возможность создания систем с определенными полезными свойствами, в частности, адаптивности и инвариантности по отношению к пассивной нелинейности определенных классов при достаточно простой структуре возбуждающего воздействия [58];
- возможность генерации режимов высокой интенсивности, которая широко известна в случае временных параметрических воздействий [10], [46], [59], но достижима и при введении активных параметрических воздействий с обратной связью [60].
В упомянутых выше работах в качестве активного параметрического воздействия, как наиболее доступный конструктивному исполнению вариант, используется переменная составляющая жесткости. Соответствующая схема резонансной вибрационной машины представлена на рис. В.З.
На рабочий орган массой т действуют, помимо линейных упругой и диссипативной сил, также нелинейная сила F(x,x), которая может быть обусловлена нелинейной составляющей упругой либо диссипативной силы, рис. В.З или включать в себя обе составляющих. Источник возбуждения (ИВ) формирует в функции координаты х и скорости х; возбуждающее воздействие, представляющее собой переменную составляющую линейной упругости с : с - с0 (1 + Ас), где с0 - постоянная составляющая, Ас возбуждающая автоколебания переменная составляющая. Уравнение динамики системы записывается в виде: тх + Кх + с0 (1 + Ас)х + F(x, х) = О (В.4)
В нормированном виде уравнение (В.З) записывается следующим образом: x + 2kx + col(l + v)x + f(x,x) = О (В.5) 7 К 2 сп Ас F(x,x) где = 5 а)0 = — 5 v = — f(x,x) =т т т т
Целью настоящей диссертационной работы является определение приближенно-оптимальных законов параметрического возбуждения v*(x,x), обеспечивающих в системе (В.5) режим автоколебаний максимальной амплитуды и заданной частоты со. Частота со предполагается близкой или равной собственной частоте системы.
Для достижения указанной цели в работе решаются следующие задачи.
1. Разработка общих процедур синтеза параметрического закона возбуждения v*(x,x) при симметричном автоколебательном режиме в случае произвольной нелинейности f(x,x) и различных ограничений на интенсивность возбуждения.
2. Анализ устойчивости расчетных приближенно-оптимальных режимов, их стабилизация в случае неустойчивости и наличия других режимов.
3. Синтез законов параметрического возбуждения в случае линейной пассивной части системы, то есть при f(x, х) = О , что существенно с точки зрения оценок предельных возможностей генерации автоколебаний.
4. Синтез законов параметрического возбуждения при нелинейности упругого типа.
5. Синтез законов параметрического возбуждения при нелинейности диссипативного типа.
6. Синтез законов параметрического возбуждения при наличии в системе силового источника возбуждения заданной структуры.
7. Синтез законов параметрического возбуждения с учетов действия внешней нагрузки и анализ ее влияния на режим автоколебаний.
8. Синтез параметрических возбуждающих воздействий для конкретных структур упругой и диссипативной нелинейности и анализ режимов автоколебаний в системах с такими характеристиками.
Научная новизна и практическая значимость работы заключается в следующем
1. Разработана общая процедура синтеза приближенно-оптимальных параметрических возбуждающих воздействий с обратной связью при различных видах ограничений на их интенсивность для характерных моделей вибрационных машин авторезонансного типа.
2. Определены структуры параметрических возбуждающих воздействий, обеспечивающих генерацию устойчивых автоколебательных режимов при отсутствии нелинейностей в пассивной части системы.
3. Решены задачи синтеза приближенно-оптимальных параметрических возбуждений для систем с пассивными нелинейностями упругого и диссипативного типа.
4. Решены задачи синтеза приближенно-оптимальных параметрических возбуждений при наличии в системе заданного силового возбудителя автоколебаний повышенной интенсивности в системах с двумя возбуждениями - силовым и параметрическим.
Практическая ценность полученных результатов обусловлена инженерной направленностью выполненных исследований: полученные законы параметрического возбуждения для типичных моделей авторезонансных вибрационных машин в подавляющем большинстве случаев определены в замкнутой аналитической форме, что делает весьма доступной конструктивную реализацию таких машин с параметрическим возбуждением. Применение полученных результатов даст возможность спроектировать новые авторезонансные машины более высокого качества, либо модернизировать существующие машины, видоизменив их схемы возбуждения путем замены силовой (или кинематической) схемы на параметрическую; возможно также введение дополнительной параметрической обратной связи с целью интенсификации режима при сохранении уже имеющегося источника возбуждения.
Материал диссертации изложен в ее главах в следующем порядке: В Главе 1 «Синтез квазиоптимальных законов параметрического возбуждения автоколебаний в машинах с учетом произвольной симметричной нелинейности» рассматривается общие задачи синтеза законов параметрического возбуждения симметричных автоколебаний. На интенсивность возбуждающего воздействия налагается ограничение '2*/® j]v| dt < Vp где v - искомое возбуждающее воздействие, о ) со - задаваемая частота, Vp - заданная константа, характеризующая ресурс источника возбуждения, р > 1, как частные случаи такого общего ограничения при р = 2 определяется ограничение на среднеинтегральное квадратичное значение, при р-1 - на импульс, при —» оо - на амплитудное значение. Решения получены на основе процедуры, включающей применение метода эквивалентной линеаризации и метода моментов (раздел 1.1), и процедуры, включающей применение асимптотического метода и метода моментов (раздел 2.1). В разделе 3.1 излагается общая процедура анализа режимов в системе с синтезированным возбуждением: устойчивости расчетного режима, наличия других режимов, а также излагаются способы стабилизации расчетного режима в случае его неустойчивости.
В Главе 2 «Возбуждение автоколебаний в машинах с линейной пассивной частью» решаются задачи параметрического возбуждения и стабилизации автоколебаний для модели, не содержащей заданной нелинейности. При интегральном квадратичном ограничении и при ограничении на амплитуду возбуждения на основе результатов Главы 1 получены простые аналитические выражения для законов возбуждения, а также определена структура воздействий, стабилизирующих автоколебательные режимы.
Приведенные результаты компьютерного моделирования подтверждают достоверность приближенных аналитических решений.
В Главе 3 «Возбуждение автоколебаний в случае нелинейной упругой характеристики» рассматривается общий случай симметричной характеристики такого типа. В качестве примера приводится характерный случай нелинейности кубического типа.
В Главе 4 «Возбуждение автоколебаний в случае нелинейной диссипативной связи» излагается решение задачи синтеза возбуждения для произвольной симметричной диссипативной нелинейности. В качестве конкретных примеров получены замкнутые аналитические решения для турбулентной характеристики трения (при наличии линейной диссипации) и кубической характеристики трения.
В Главе 5 «Параметрическое возбуждение в случае двух возбуждающих воздействий» в разделе 1.5 рассматривается задача синтеза параметрического возбуждения при наличии произвольного аддитивного (силового или кинематического) источника возбуждения. В качестве примера (раздел 2.5) рассматривается такой источник возбуждения простейшей структуры - типа отрицательного сухого трения. Приведены результаты компьютерного моделирования такой системы при простом релейном законе параметрического возбуждения.
В Главе 6 «Параметрическое возбуждение в случаях несимметричных режимов» рассматриваются задачи параметрического возбуждения автоколебаний при учете нагрузки на рабочий орган, что порождает несимметричность автоколебаний. В разделе 1.6 излагается общая процедура решения задачи при произвольной нелинейности. В разделе 2.6 в качестве конкретного примера рассматривается задача с упругой нелинейностью кубического типа. В разделе 3.6 анализируется система без пассивных нелинейностей с простейшим непрерывным параметрическим законом возбуждения при действии на нее статической нагрузки и определяется
Выводы
1. Решены задачи синтеза квазиоптимальных параметрических возбуждающих воздействий при различных ограничениях на их интенсивность для одномассовых моделей авторезонансных вибрационных машин с учетом наличия нелинейных звеньев, обеспечивающих генерацию устойчивых режимов автоколебаний.
2. Для линейной модели определены структуры возбуждающих параметрических воздействий и дополнительных силовых стабилизирующих воздействий, обеспечивающих единственность и устойчивость режимов автоколебаний высокой интенсивности и малое время установления рабочих режимов
3. Решены задачи синтеза параметрических воздействий при наличии в системе силового источника автоколебаний заданной структуры. Показано, что такие схемы возбуждения автоколебаний в авторезонансных вибрационных машинах обеспечивают высокую эффективность рабочих процессов.
4. Решены задачи синтеза параметрических возбуждающих воздействий при учете постоянной (либо медленно меняющейся) нагрузки, действующей на рабочий орган.
1. Динамика машин и управление машинами. Справочник. Под редакцией Г.В.Крейнина. М. Машиностроение. 1988. 239с.
2. Вейц B.JI., Коловский М.З., Кочура А.Е. Динамика управляемых машинных агрегатов. М. Наука. 1984. 354с.
3. Теория механизмов и машин. Под ред. К.В.Фролова. М. Высшая школа. 1998. 496с.
4. Вульфсон И.И., Коловский М.З. Нелинейные задачи динамики машин. Л. Машиностроение. 1968.264с.
5. Справочник «Вибрации в технике», т.4 Вибрационные процессы и машины. Под ред. Э.Э.Лавендела. М. Машиностроение. 1981. с.294 296.
6. Понтрягин Л.С., БолтянскийВ.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М. Физматгиз. 1963. 287с.
7. Красовский Н.Н. Теория управления движением. Линейные системы. М. Наука. 1968. 484с.
8. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М. Физматгиз. 1965. 474с.
9. Беллман Р. Динамическое программирование. М. Иностранная литература. 1960. 283с.
10. Боголюбов Н.Н., Митропольский А.Ю. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М. Наука. 1974. 504с.
11. Колосов Н.Е., Стратонович Р.Л. Об оптимальном управлении квазигармоническими системами// Автоматика и телемеханика. 1965. № 4. с. 58-63.
12. Плотников В.А. Асимптотические методы в теории оптимального управления. Одесса. ОГУ. 1976. 102с.
13. Черноусько Ф.Л., Акуленко Л.Д., Соколов Б.М. Управление колебаниями. М. Наука. 1980. 253с.
14. Акуленко Л.Д. Асимптотические методы в теории оптимального управления. М. Наука. 1987. 365с.
15. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М. МГУ. 1971. 507с.
16. Моисеев Н.Н. Математические методы системного анализа. М. Наука. 1981. 420с.
17. Акилов А.У., Филатов А.И. О принципе усреднения в математической теории оптимальных процессов// ДАН Уз ССР. 1966. № 7. с. 37 42.
18. Акилов А.У. О принципе усреднения в математической теории оптимальных процессов// ДАН Уз ССР. 1968. № 9. с. 21 25.
19. Тонков Е.Л. Оптимальные периодические движения управляемой системы// Математическая физика. Вып. 21. Киев. 1977. с. 45 49.
20. Тонков Е.Л. Оптимальное управление периодическими движениями// Математическая физика. Вып. 22. Киев. 1977. с. 54 64.
21. Зевин А.А. К задаче оптимального управления периодическими процессами// Автоматика и телемеханика. 1980. № 3. с. 20 25.
22. Ковалева А.С. Управление колебательными и виброударными системами. М. Наука. 1990. 253с.
23. Коловский М.З. Об оптимизации активных виброзащитных систем// Машиноведение. 1977. № 5. с. 42 44.
24. Бабицкий В.И., Израилович М.Я. Об оптимальных движениях вибрационных систем// Машиноведение. 1967. № 6. с. 42 49.
25. Сарапчук Ю.Г. Одна вибрационная задача в игровой постановке// Изв. АН СССР. Механика тв. тела. 1974. № 1 с. 176 178.
26. Максимович Ю.П. О достижимом качестве виброзащиты от периодического воздействия//Машиноведение. 1970. № 4. с. 13 15.
27. Болотник Н.Н. Оптимизация амортизационных систем. М. Наука. 1982. 256с.
28. Якубович В.А. Линейно-квадратичная задача оптимального гашения вынужденных колебаний при неизвестном гармоническом внешнем воздействии//ДАН. 1993. т.233. № 2. с. 170 172.
29. Честнов В.Н. Синтез многомерных систем заданной точности по среднеквадратичному критерию// Автоматика и телемеханика. 1998. №12. с. 109-119.
30. Репников А.В. Колебания в оптимальных системах автоматического регулирования. М. Машиностроение. 1968. 236с.
31. Красовский А.А. Синтез автоколебательной системы с приложениями к ветроэнергетической установке нового класса// Изв. РАН. Техническая кибернетика. 1994. № 6. с. 5 15.
32. Подчуфаров Ю.Б. Приложение теории колебаний к проектированию управляемых комплексов. 5-ая Международная конференция «Нелинейные колебания механических систем». Н.Новгород. НГГУ. 1999. с.181.
33. Подчуфаров Ю.Б. Принцип проектирования САУ с использованием частных и общих моделей// Машиноведение. 1989. № 2. с. 11 15.
34. Фалдин Н.В. Анализ и синтез релейных автоколебательных систем управления. 7-ая Всероссийская научная конференция «Нелинейные колебания механических систем». Н.Новгород. НГГУ. 2005. с. 22 24.
35. Асташев В.К., Бабицкий В.И., Герц М.Е. К синтезу авторезонансных систем// Вибротехника. 1973. вып. 3 (20). С. 28 36.
36. Попов Е.П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах. М. Наука. 1983. 583с.
37. Асташев В.К., Герц М.Е. Возбуждение и стабилизация резонансных колебаний ультразвуковых стержневых систем// Акустический журнал. 1976. № 6. с. 15-21.
38. Израилович М.Я., Морозова Н.И. Оптимальное управление периодическими движениями нелинейных механических систем с одной степенью свободы// Машиноведение. 1981. № 2. с. 39 46.
39. Израилович М.Я. Оптимальное управление периодическими режимами гармонически линеаризуемых механических систем// Пробл. машиностр. и над. машин. 1993. № 6. с. 76-83.
40. Израилович М.Я. Управление автоколебаниями резонансных систем// Изв. РАН. Теория и системы управления. 1995. № 6. с. 55 65.
41. Израилович М.Я. Аналитическое конструирование регуляторов для возбуждения автоколебаний в нелинейных механических системах. Тезисы докладов 11-го симпозиума по динамике виброударных систем. М. ИМАШ. 1995. с. 43.
42. Израилович М.Я. Управление несимметричными периодическими режимами гармонически линеаризуемых механических систем// Пробл. машиностр. и над. машин. 1999. № 1. с. 67 74.
43. Израилович М.Я. Синтез автоколебательных систем с непрерывным источником возбуждения// ДАН. 1999. т.367. № 5. с. 606 607.
44. Израилович М.Я. Управление периодическими режимами механических систем с учетом динамики двигателя// Пробл. машиностр. и надежности машин. 2000. № 5. с. 94 101.
45. Израилович М.Я. Управляемое возбуждение резонансных автоколебаний в одномерных распределенных системах// Акустический журнал. 2004, т. 50. № 2, с. 204 209.
46. Теодорчик К.Ф. Автоколебательные системы. M.-JI. Гостехтеориздат. М.-Л. 1951.223с.
47. Фролов К.В. Уменьшение амплитуды колебаний резонансной системы путем управляемого изменения ее параметров// Машиноведение. 1965. №3. с. 38 -42.
48. Фролов К.В., Фурман Ф.А. Прикладная теория виброзащитных систем. М. Машиностроение. 1980. 276с.
49. Акуленко Л.Д. Гашение колебаний системы, содержащей несбалансированный ротор// Изв. РАН. Механика твердого тела. 1993. №3. с. 28-35.
50. Прокопов Е.Е. Влияние сил вязкого трения на колебания виброзащитных систем с управляемой жесткостью. 7-ая Всерос. научная конференция «Нелинейные колебания механических систем». Н.Новгород. НГГУ. 2005. с. 361 362.
51. Чернышов В.И. Основы теории виброзащитных систем с непрямым импульсным управлением. Материалы международного научного симпозиума «Механизмы и машины ударного, периодического и вибрационного действия». ОрелГГУ. Орел. 2000. с. 163 167.
52. Израилович М.Я. Параметрическое управление вынужденными периодическими режимами гармонически линеаризуемых механических систем// Пробл. машиностр. и над. машин. 1994. № 4. с. 15 22.
53. Израилович М.Я., Аракчеев А.В. Активное параметрическое гашение фрикционных автоколебаний. Труды 7-ой Всероссийской конференции «Нелинейные колебания механических систем». Н.Новгород. НГГУ. 2005. с.85.
54. Герц М.Е. Возбуждение колебаний механической системы с управляемым параметром//Машиноведение. 1982. № 5. с. 10 19.
55. Израилович М.Я. Синтез автоколебательных систем с параметрическим возбуждением// Пробл. машиностр. и над. машин. 1996. №4. с. 20-28.
56. Израилович М.Я. Параметрическое возбуждение автоколебаний// Изв. РАН. Механика твердого тела. 1997. № 3. с. 54 63.
57. Израилович М.Я. Синтез систем управления периодическими режимами, обеспечивающих адаптивные и инвариантные свойства// ДАН. 2000. т. 376. №6. с. 751 -753.
58. Фролов К.В. Некоторые проблемы параметрических колебаний элементов машин. Сб. «Колебания и устойчивость приборов, машин и элементов систем управления». М. Наука. 1968. с. 28 36.
59. Израилович М.Я. Параметрическое возбуждение устойчивых автоколебаний высокой интенсивности// ДАН. 2007. т. 412. № 4. с. 485 -489.
60. Бабицкий В.И. Теория виброударных систем. М. Наука. 1968. 349с.
61. Израилович М.Я. Устранение неоднозначности и стабилизация периодических режимов механических систем// Пробл. машиностр. и над. машин. 2001. №4. с. 3 11.
62. Израилович М.Я. Параметрически управляемые квазигармонические режимы автоколебаний и вынужденных колебаний. Устранение неоднозначности// Пробл. машиностр. и над. машин. 2003. № 2. с. 87 94.
63. Шмидт Г. Параметрические колебания. М. Мир. 1973. 336с.
64. Крагельский И.В., Гиттис Н.В. Фрикционные автоколебания. М. Наука. 1987. 182с.
65. Израилович М.Я. Синтез автоколебательных систем с параметрическим и силовым источниками возбуждения// ДАН. 1999. т. 369. №2. с. 180-181.
66. Израилович М.Я. Управляемое возбуждение автоколебаний с параметрическим и силовым источниками// Изв. РАН. Механика твердого тела. 2002. № 1. с. 163- 169.
67. Израилович М.Я. Управляемое возбуждение резонансных колебаний нелинейных систем с использованием силового и параметрического источников// Пробл. маш. и над. машин. 2002. № 3. с. 49 58.
68. Израилович М.Я. Синтез систем генерации автоколебаний высокой интенсивности. Сб. научных докладов 4-го Международного совещания по проблемам энергоаккумулирования и экологии в машиностроении, энергетике и на транспорте. ИМАШ РАН. М. 2004. с. 345 356.
69. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. М. Наука. 1971.
70. Израилович М.Я., Обухов А.Н., Синтез систем параметрического возбуждения автоколебаний механических систем, Международный журнал "Проблемы машиностроения и автоматизации", 2005 N3, с.51-55.
71. Израилович М.Я., Обухов А.Н., Управляемое возбуждение параметрических колебаний, Труды Седьмой Всероссийской научной конференции "Нелинейные колебания механических систем", 2005, Н.Новгород ННГУ, с.86-88.
72. Израилович М.Я., Обухов А.Н., Параметрическое возбуждение автоколебаний в механических системах с нелинейной упругой связью, журнал "Проблемы машиностроения и надежности машин", 2006 N3, с.10-16.
73. Израилович М.Я., Обухов А.Н., Параметрическое возбуждение автоколебаний в случае несимметричных режимов, сборник Трудов Пятнадцатого симпозиума по динамике виброударных (сильнонелинейных) систем, М-Звенигород ИМАШ РАН, 2006, с. 129-131.
74. Обухов А.Н., Управляемое параметрическое возбуждение автоколебаний при наличии источника автоколебаний заданнойструктуры, сборник Трудов Пятнадцатого симпозиума по динамике виброударных (сильнонелинейных) систем, М-Звенигород ИМАШ РАН, 2006, с.208-210.
75. Обухов А.Н., Возбуждение резонансных автоколебаний с использованием параметрического и силового воздействий, журнал "Проблемы машиностроения и надежности машин", 2007 N5.
76. Maffezzoni С. Hamilton-Jacobi theory for periodic control problems// J Optimiz. Theory Appl. 1974. V. 14. № 1. P. 21 - 30.
77. Roxin E., Stern L.E. Periodicity in optimal control and differential games// Lecture Notes in Control and Inform. Sci. 1982. V. 38. P. 234 240.
78. Wolfersdorf L. On the maximum principle for optimal control processes described by Hammerstein integral equations with weakly singular kernels. V. 1. Warsava: Banach Center Publ. 1976. P. 163 166.
79. Karita Y. On mode of selfoscillation excitation// Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. 1997. № 605.
80. Guardabassi G., Locatelli A., Rinaldi S. Status of periodic optimization of dynamical systems// J. Optimiz. Th. Appl. 1984. V. 14. № 1. P. 1 20.
81. Halaway A. Optimal control of periodic solutions// Revue Roumaine de mat. pure et appl. 1974. V. 19. № 1.
82. Matsubara M., Nishimura Y., WatanabeN., Onogi K. Periodic control theory and applications// J. Soc. Instr. Contr. Eng. (Jap.) 1981. V. 20. № 6.
83. Nistri P. Periodic control problems for a class of nonlinear differential systems// Nonlinear Anal. Theory, Meth. And Appl. 1983. V. 7. № 1.
84. Roxin E., Stern L.E. Periodicity in optimal control and differential games// Lecture Notes in Control and Inform. Sci. 1982. V. 38. P. 234 240.
85. Wolfersdorf L. On the maximum principle for optimal control processes described by Hammerstein integral equations with weakly singular kernels. V. 1. Warsava: Banach Center Publ. 1976. P. 163 166.
