Теоретический и экспериментальный анализ параметрических колебаний в RC- генераторах с распределенными параметрами тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

ц 0 ^

На правах рукописи

ПРУДНИЧЕНКО АЛЕКСАНДР СЕМЕНОВИЧ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ В ИС-ГЕНЕРАТОРАХ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

01.04.03 - радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Воронеж 1998

Работа выполнена на кафедре радиофизики Ярославского государственною университета им. П.Г. Демидова. НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: кандидат физико-математических

наук, доцент Камбулов В.Ф. (ЯрГУ, г. Ярославль) ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор физико-математических

наук, профессор Нечаев Ю.Б. (НИИ «Вега», г. Воронеж)

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Научно исследовательский институт

связи, г. Воронеж

в /о,/ОЦас на заседании диссертационного совета Д 063.48.06 при Воронежском государственном университете по адресу: 3946©, Воронеж, Университетская пл. 1, ВГУ, физический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского госуниверситета.

кандидат физико-математических наук, доцент Бобрешов А.М. (ВГУ, г. Воронеж)

Защита диссертации состоится

Автореферат разослан

Ученый секретарь

В.К.Маршаков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время в технике используется все более сложное электронное оборудование, что приводит к необходимости уменьшения веса, габаритов, стоимости и повышения надежности применяемой аппаратуры. Решение возникших проблем, в первую очедь связывают с дальнешим развитием микроэлектроники. В частности, получение на базе пленочной и диффузионной технологий различных новых линий с распределенными параметрами и объемных структур привело к дальнейшему совершенствованию автогенерирующих устройств, сохраняющих традиционные функциональные возможности систем на дискретных элементах. Указанные приборы позволяют решить ряд проблем практики, связанных с конструированием запоминающих устройств, генераторов шума, имеют лучшие энергетические характеристики и т.д. Следует отметить, что изучение предложенных устройств с распределенными параметрами приводит к более глубокому пониманию физики колебательных движений, реализуемых в различных явлениях природы.

Современная радиоэлектронная промышленность накладывает достаточно жесткие требования на работу различных передающих устройств, поэтому возникает практическая необходимость их совершенствования и, тем самым, потребность в дальнейшем развитии теории и методов анализа таких систем.

Общую теорию нелинейных колебаний в устройствах с дискретными параметрами в настоящее время можно считать достаточно хорошо развитой. Однако для распределенных систем этого сказать нельзя. Этот факт объясняется следующими обстоятельствами. Во-первых, интерес к нелинейным колебаниям в

распределенных системах значительно возрос лишь в последние десятилетия, когда стали широко использоваться генераторы с существенно распределенными параметрами ("лазеры, мазеры. генераторы Гапна и т.п.). Во-вторых, развитие теории колебаний автогенераторов с распределенными параметрами встречает определенные проблемы, вызванные: 1) большим разнообразием математических моделей, описывающих реальные физические устройства; 2) математическими трудностями, связанными с решением уравнений с частными производными. Существующие в настоящее время подходы и методы исследования распределенных систем, как правило, носят эвристический характер, что связано с объективными трудностями анализа и желанием упростить решение поставленной задачи. С этой целью уже после постановки математической модели вводят определенные физические допущения.

К настоящему времени достаточно полно изучен ряд математических моделей автогенераторов с ЯС-распределеиными параметрами в цепи обратной связи, которые представляют собой уравнения теплопроводности с нелинейностью, как правило, в граничных условиях. Для ЯС-генераторов исследованы вопросы бифуркации одночастотных и двухчастотных автоколебаний, влияния неоднородности цепи обратной связи и неидеальности усилителя на параметры автоколебаний, синхронизации, анализа автоколебаний при аппроксимации нелинейности кусочно-линейными функциями, переходного процесса и т.д.

Однако проблема возбуждения параметрических колебаний в ЯС-генераторах в настоящее время практически не изучена. Не исследованы условия рализации параметрических колебаний при различных резонансах (1:1, 1:2, 1:3), вопросы рассчета и устойчивости

колебаний, их специфические особенности в зависимости ог выбора параметра системы, подверженного «раскачке». Феномен возбуждения параметрических колебании в ЯС-генераторах можно использовать для создания усилителей низкочастотных колебаний, делителей и умножителей частоты частоты, преобразователей одного типа колебательных движений в другой, например, механических в электромагнитные и т.д.

Следовательно, возникает необходимость в дальнешем развитии строгих методов анализа исследования возбуждения параметрических колебаний в автогенераторах с распределенными параметрами.

Таким образом, является актуальным, представляет большую значимость для науки и практики дальнейший теоретический и экспериментальный анализ параметрических колебаний, которые имеют место во многих автоколебательных системах с распределенными параметрами.

В качестве объектов анализа рассматривается ряд схем ЯС-автогенераторов (КС-автогенератор с сосредоточенной емкостью на выходе усилителя, изменяющейся по гамоническому закону; ЯС-автогенератор с неоднородным распределением параметров ЯиС, в котором на входе усилителя воздействует внешняя э.д.с.; генератор с каскадно-соединенными ЯС-структурами. в котором реализуется явление многоцикличности и исследуются вопросы возбуждения в нем автопараметрических колебаний), а так же их математические модели.

Предмет исследования - параметрические и

автопараметрические колебания в ЛС-автогенераторах с распределенными параметрами.

Целью диссертационной работы является: на основе постановок новых математических моделей, новых методологических подходов и

дальнейшего развития методов малых параметров исследовать параметрические и автопараметрические колебания для некоторого -класса КС-автогенераторов—с—распределенными—параметрами—при-«мягкой» нелинейности активного элемента; дать физическую интерпретацию полученных теоретических результатов и сравнить их с экспериментальными данными.

Основной гипотезой проведенного анализа параметрических колебаний является предположение о возможности использования параболических уравнений в качастве математических моделей рассматриваемых автогенераторов.

Сформулируем методологическую базу исследований, проведенных в диссертационной работе. Во-первых, проблема возбуждения параметрических и автопараметрических колебаний решалась как задача математической физики: 1) с коррекной постановкой моделей; 2) с использованием строгих методов для их исследования; 3) с физической интерпретацией и проверкой экспериментально полученных результатов. Во-вторых, требования корректности математических моделей, отражение в них различных свойств автоколебательной системы, применение обоснованных методик для их анализа обязывало в зависимости от изучаемых резонансов рассматривать несколько постановок задач для одного физического объекта. Выбранная методология исследования позволила глубже проникнуть в тонкую структуру колебательных движений в изучаемых генераторах.

В диссертации получили дальнейшее развитие методы малых параметров, например, Андронова-Хопфа.

Достоверность полученных в настоящей работе результатов следует из следующего:

1) корректность поставленных математических моделей;

2) строгих методов их исследования;

3) качественного и достаточно хорошего количественного совпадения теоретических результатов и экспериментальных данных.

Научная новизна работы заключается в том, что впервые проведены исследования возбуждения параметрических и автопараметрических колебаний в КС-генераторах с распределенными параметрами, которые вносят новые представления о функционировании исследуемых систем; получили дальнейшее развитие методы малых параметров применительно к распределенным автоколебательным устройствам; предложена методика исследования распределенных автоколебательных систем и на ее основе выявлены динамические свойства КС-генераторов, работающих в неавтономном режиме; получено принципиально новое решение проблемы математического моделирования, что привело к постановке новых задач, более адекватно отражающих выбранные физические объекты.

Практическая значимость. Приведенные в диссертационной работе теоретический и численный анализы установившихся неавтономных режимов в КС-генераторах с распределенными параметрами были применены при разработке практических схем НИР на кафедре радиофизики Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова, а также использовались при проектировании автогенераторов с распределенными параметрами на предприятиях радиоэлектронной промышленности г. Ярославля.

Однако результаты диссертационной работы носят достаточно общий характер и могут найти применение при анализе существующих и создании новых автоколебательных систем как с распределенными, так и с сосредоточенными параметрами.

Методы и алгоритмы, предложенные в работе, можно использовать в частности:

-И-при-анализе авшколебатедьных систем с распределенными и

сосредоточенными параметрами в случае других параметрических резонансов, нелинейные характеристики которых аппроксимированы полиномами;__

И при изучении колебаний в генераторах с сосредоточенными и распределенными параметрами в радиофизических устройствах, работающих в качестве усилителей и делителей частоты;

■ при разработке новых физических устройств, используемых в качестве преобразователей одного типа колебательных движений в другой, например, механических в электромагнитные.

Основные идеи математического моделирования, развитые методы анализа и предложенные алгоритмы будут полезны для исследования других автоколебательных систем в различных задачах естествознания.

Научные положения, выносимые на защиту:

1) Построение для некоторого класса ЯС-автогенераторов новых математических моделей, которые более адекватно отражают изучаемые свойства реальных физических устройств.

2) Дальнейшее развитие методов малых параметров для исследования параметрических и автопараметрических колебаний в КС-автогенераторах с распределенными параметрами:

а) проведение исследований математической модели -ЯС-автогенератора с соредоточеннй емкостью на выходе усилителя, изменяющейся по гармоническому закону в случае резонансов 1:1, 1:2. 1:3;

б) исследование устойчивости параметрических колебаний при основном и неосновных резонансах;

в) построение математической модели автогенератора с экспоненциальным распределением параметров Я и С в цепи обратной связи и ее анализ;

г) изучение автопараметрических колебаний в случае резонанса 1:2 при воздействии на усилитель внешней э.д.с.;

д) возбуждение в многоциклической ЯС-системе заданного колебательного режима путем воздействия внешней гармонической силы на вход активного элемента.

3) Новые методологические приемы исследования параметрических и автопараметрических колебаний в автоколебательных системах с ЯС- распределенными параметрами.

4) Экспериментальное подтверждение теоретических выводов и результатов численных расчетов на макетах автогенераторов, у которых нелинейные динамические характеристики активных элементов достаточно хорошо аппроксимируются полиномами третьей степени.

Личный вклад автора в диссертационную работу. Автором осуществлена постновка ряда задач, с помощью которых сформулированы положения, выносимые на защиту; получили дальнейшее развитие теоретические методики и методологические подходы, позволившие решить эти задачи.

Апробация работы. Материалы диссертационной работы обсуждались на научных семинарах кафедр математического

моделирования и радиофизики Ярославского госуниверситета, кафедр радиофизики и электроники Воронежского госуниверситета, кафедр физики колебаний и молекулярной электроники Московского госуниверситета, а также докладывались:

1. Конференции молодых ученых по теории нелинейных колебаний в естествознании, Ярославль, 1996 г.

2. Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию, Волгоград, 1997 г.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, залючения и библиографии. Работа имеет объем 107 страниц, включая 25 таблиц, фотографий и рисунков. Библиографический раздел содержит список цитируемой литературы из 72 наименований.

Во введении представлено состояние проблемы исследования параметрических и автопараметрических колебаний в генераторах с распределенными параметрами, обоснована актуальность задачи решаемой в диссертации, сформулирована цель работы, показана новизна и практическая значимость полученных результатов, а также резюмировано содержание глав диссертации.

В первом разделе главы 1 выводится краевая задача (1)-(2), которая является математической моделью КС-генератора с сосредоточенной емкостью на выходе усилителя, изменяющейся по гармоническому закону (см. рис. 1).

/V,

/г.

-----------г ------- — £

Л'. Г Л"! 1 / К

А'" С \ I г • г...... ■ /

О — Х-—!

! с;

да , ч д

дх

Рис. 1

ди дх

= -Мл=>'

(1)

C^{\ + qсоъ2рщ а0(.т)

дх

( л^11

л-О

, ди

+

,\-0

+ {\-2Clpqs\r^2pt)l\vs(¡ + + к^21 _ -к^и*', _ = 0. (2) где - составляющая напряжения; х - нормированные время и

координата,

а0(л) = 1/С(х), а,(х) = 1/Я(х),

Здесь q,2p соответственно амплитуда и частота изменения емкости

С0 , причем частота р близка к частоте самовозбуждения генератора

СО0; А,- коэффициенты аппроксимации нелинейной характеристики.

В этом разделе при условии идеальности усилителя и однородности структуры анализируются условия самовозбуждения

генератора и на основе метода Андронова-Хопфа проводится расчет автоколебаний.

-В-разаеле 2 рассяатриваетог-неавтономная-краевая задача в

случае резонанса 1:2 и изучаются установившиеся колебательные режимы в ЯС-генераторе, исследуются вопросы их устойчивости. Показано, что оптимальными условиями возбуждения параметрических колебаний в регенеративном режиме функционирования генератора являются следующие: амплитуда изменяющейся емкости и расстройка чатоты должны быть порядка £. Здесь £ - малый положительный параметр. При этом колебания реализуются и без квадратичного члена в аппроксимации нелинейности усилителя. Приводятся амплитудно-частотные характеристики и полоса возбуждения параметрических колебаний.

В разделе 3 изучается математическая модель, предложенная в разделе 2, при резонансе 1:1. В отличие от предыдущего случая здесь колебания реализуются при большей по порядку амплитуде емкости,

равной £ . Однако порядок расстройки частоты остается прежним и равен £. Отметим характерную особенность изучаемого резонанса: параметрические колебания реализуются только при наличии квадратичного члена в аппроксимации нелинейной характеристики усилителя. Иследование устойчивости построенных колебаний проводятся на основе строгой методики. Здесь же отмечается, что в случае резонанса 1:3 остаются в силе все качественные особенности поведения ЯС-системы, присущие резонансу 1:1.

Раздел 1 главы 2 посвящен рассмотрению автогенератора с

неоднородным распределением параметров II и С, изменяющихся по

экспоненциальному закону (см. рис.2), математическом моделью которого краевая задача (3)-(4).

с L

\

Рис. 2

ди _ д2и ди ди дт che дх' дх

(3)

Л~1

"Lo+^o("L + <?cos2pr) + + qcoslpr)' -- k2(ii\^t + qcoslprj =0 где W-переменная составляющая напряжения; r = t[R(lCn)-

нормированное время; £ - коэффициенты аппроксимации

i

нелинейности, a q2р-соответственно амплитуда и частота внешней силы.

В этом же разделе исследуется автономная краевая задача, проводится анализ характеристического уравнения, и методом Андронова-Хопфа строятся автоколебания.

В разделе 2 рассматривается математическая модель RC-генератора с неоднородным распределением параметров R и С, когда на вход усилителя в регенеративном режиме действует гармоническая

о

внешняя э.д.с. Как и в случае основного внешнего резонанса 1:2. здесь автопараметрические колебания реализуются при тех же порядках ч1^1ндитудь^нешнего^оздейс^вия^^ас^щ)ойки^астотъ1^днако-^меез1 место принципиальное различие: автопараметрические колебания возбуждаются только при наличии квадратичного члена в аппроксимации нелинейной характеристики усилителя. Изучение задачи проводится на основе модифицированного метода Андронова-Хопфа с привлечением численного анализа, исследуется вопрос у сто й ч ивости колебаний.

В разделе 3 вводится математическая модель (5)-(7) автогенератора с каскадно-соединенными 11С - структурами (см. рис.3) и изучаются некоторые ее свойства.

яр,-— м —-е,

Повторитель

Я о—ч — I

о И

0| р I

Рис. 3

дч

-т- = Аи. дг

ди\

—, _ | | ди, -г-! =0, и, -«,

дх\

I ди,

+ к,

= 0,

ди-,\

ди,

(5)

(6)

Здесь ¡(=со1оп('н ,,и ,)-переменные составляющие напряжения в фильтрах, т= ( /^(^-нормированные координата и время.

а-В^/Я - положительный параметр, ко ,кл,к2-коэффиш1енты

аппроксимации нелинейной характеристики усилителя,

Г; КС

А =

г дг ^

а? 0 « 1

0 "ТТ, а ах

а-

№ '

В четвертом разделе, используя метод нормальных форм, строится система укороченных уравнений, из анализа которых выявляется следующее:

1) при симметричной или близкой к ней нелинейной характеристики усилителя в генераторе имеет место гармоническая многоцикличность в количестве двух циклов;

2) асимметрия разрушает многоцикличность и приводит к реализации двухчастотных колебаний.

В разделе 5 исследуются вопросы автопараметрического возбуждения буферных режимов путем гармонического воздействия внешней силы на вход усилительного каскада.

Третья глава посвящена экспериментальной проверке теоретических результатов. В разделе 1 описывается эксперимент по возбуждению колебаний в КС-генераторе при внешних параметрических резонансах 1:1, 1:2, 1:3. В качестве изменяющейся емкости на выходе усилителя используется варикап, управляемый внешним генератором низкочастотных колебаний.

Во втором разделе описывается эксперимент по возбуждению автопараметрических колебаний в КС-генераторе при наличии

внешней гармонической э.д.с., воздействующей на вход усилителя. Отметим, что все макеты генераторов создавались, опираясь на результаты теоретического анализа, в частности, на выводы и рекомендации, представленные в главах 1 и 2.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Для некишриш класса RC-генсраторов построены математические модели, которые представляют собой нелинейные краевые задачи с частными производными.

2. Проведено исследование математической модели RC - генератора с однородной структурой в цепи обратной связи, при внешних параметрических резонансах 1:1, 1:2, 1:3 и в результате выявлено: 2.1 .минимальная амплитуда гармонических колебаний

энергетического параметра (емкости С0) при резонансе 1:2

должна быть порядка £;

2.2.максимальная расстройка частоты колебаний параметра С0

при резонансе 1:2 - порядка £;

2.3. параметрические резонансы 1:1, 1:3 реализуются только при наличии квадратичного члена в аппроксимации нелинейной характеристики усилителя;

2.4. минимальная амплитуда колебаний энергетического параметра

г~

при резонансах 1:1, 1:3 - порядка л]£ ;

2.5.максимальная расстройка частоты внешней «силы» при резонансах 1:1, 1:3-порядка £ ;

2.6.полосы возбуждения параметрических колебаний при всех рассмотренных резонансах асимметричны относительно расстройки частоты;

2.7. амплитудно-частотные характеристики при резонансах 1:1, 1:2, 1:3 также асимметричны и смещены в сторону отрицательных расстроек частоты.

3. Выведена математическая модель генератора с неоднородным распределением параметров R и С, имеющего идеальный активный элемент.

4. Проанализирована математическая модель RC-генератора с неоднородным распределением параметров в регенеративном режиме и обнаружено следующее:

4.1.реализация устойчивых автопараметрических колебаний при определенном воздействии па вход усилителя внешней гармонической силы;

4.2.наименьшая амплитуда внешнего воздействия и наибольшая расстройка частоты, при которых возбуждаются автопараметрическне колебания, равны £ ;

4.3. автопараметрические колебания имеют место только при наличии асимметрии у нелинейной характеристики активного элемента.

5. Проанализирована бифуркация колебаний в автогенераторе с каскадно-соединенными ЯС-структурами и выявлено следующее:

5.1.гармоническая многоцикличность в количестве двух циклов при симметричной или близкой к ней нелинейной характеристике активного элемента;

5.2.разрушение многоцикличности при определенной асимметрии нелинейности усилителя и реализация двухчастотных автоколебаний;

5.3.оптимальные условия возбуждения автопараметрических режимов в случае резонанса 1:2.

6. Определены параметры реализуемых колебаний и решен вопрос об их устойчивости в рассмотренных выше 11С-распределенных системах.

7. Предложены новые методологические приемы исследования автоколебательных систем с распределенными параметрами, заключающиеся в дифференцированном подходе к математической модели и методам ее анализа (постановка ряда краевых задач в зависимости от изучаемых резонансов).

8. Получили дальнейшее развитие методы малых параметров (например, Андронова-Хопфа).

9. Проведены эксперименты по проверке теоретических выводов и результатов численных расчетов на двух макетах автогенераторов, у которых нелинейные динамические характеристики активных элементов достаточно хорошо аппроксимируются полиномами третьей степени. В результате экспериментов было подтверждено, что все основные положения и выводы, перечисленные в работе, соответствуют физике явлений и хорошо согласуются с экспери ментал ь н ы м и дан н ы м и.

10. В заключение отметим, что предлагаемые в диссертационной работе методологические подходы и методы анализа можно применять при исследовании колебательных движений в различных автоколебательных системах как с распределенными, так и с сосредоточенными параметрами.

Основные результаты диссертации изложены в слудующих работах:

1. Воробьев A.M., Камбулов В.Ф. Релаксационные колебания в RC-автогенераторах с распределенными параметрами // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1997. Т. 40, № 12. С. 62-64. (авторские - 1,5 с.; соавторские - 1,5 с.)

2. Камбулов В.Ф. Параметрические колебания в автогенераторе с распределенными параметрами // Моделирование и анализ

-информационных—систем.—Яриславль.—Яр ГУ;—1996.—С. 32-36.

(авторские - 3 е.; соавторские - 3 с.)

3. Камбулов В.Ф. Параметрические колебания в одном RC-генераторе в случае неосновных резонансов. Деп. в ВИНИТИ 20.02.97, № 542-В97. С. 9. (авторские - 4,5 е.; соавторские - 4,5 с.)

4. Камбулов В.Ф. Параметрические колебания в RC-автогенераторе с распределенными параметрами // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1997. Т. 40, № 9. С. 29-36. (авторские - 4 е.; соавторские - 4 с.)

5. Камбулов В.Ф., Автогенераторы с распределенными параметрами и их математические модели. Кн. 1. Ярославль: ЗАО ФГИ «Содействие». 1997,- 113 с. (авторские - 31 е.; соавторские - 72 с.)

6. Камбулов В.Ф., Автогенераторы с распределенными параметрами и их математические модели. Кн. 2. Ярославль: ЗАО ФГИ «Содействие». 1997,- 115 с. (авторские - 57 е.; соавторские - 58 с.)

7. Матвеев В.Н., Спокойное А.Н., Тарасов С.А. О параметрических колебаниях в одной распределенной системе в случае резонанса 1:1. Деп. в ВИНИТИ, 17.06.98, № 1822-В98. С. 10. (авторские - Зс.; соавторские - 7 с.)

8. Матвеев В.Н., СпокойновА.Н., Чикин А.Н. Автопараметрические резонансы в одной системе с распределенными параметрами. Деп. в ВИНИТИ, 17.06.98, № 1823-В98. С. 6. (авторские - 2 е.; соавторские -4 с.)

9. Условия возбуждения параметрических колебаний в одном генераторе с распределенными параметрами // Сб. Научных трудов конференции молодых ученых. Ярославль: ЯрГУ. 1996. С. 15-16.

10. Способ расширения границы применимости бифуркационной теоремы Андронова-Хопфа на примере одной задачи из радиофизики. Деп. в ВИНИТИ, 20.02.97, № 542-В97. С. 10.

11. Математическая модель RC-автогенератора при возбуждении в нем параметрических колебаний в случае резонанса 1:1// Математические модели естествознания. Волгоград: ВГУ, 1997. С. 21-22.

Подписано к печати_

Усл. печ. л. 2.0, Формат 84x108/32 Печать офсетная. Заказ № 3-065 Тираж 100 экз. ОАО «Ярославский Полиграфкомбинат», 150049, г. Ярославль, ул. Свободы, 97.

ЯРОСЛАВСКИМ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. П.Г. ДЕМИДОВА

На правах рукописи

ПРУДНИЧЕНКО АЛЕКСАНДР СЕМЕНОВИЧ

ТЕОРЕТИЧЕСКИМ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ В КС-ГЕНЕРАТОРАХ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Диссертаъ^ия на соискат . сандидата физико-

математических наук

01.04.03 - РАДИОФИЗИКА

Научный руководитель, кандидат физико-математических наук, доцент В.Ф. Камбулов

Ярославль 1998

СОДЕРЖАНИЕ

3.1. К вопросу исследования устойчивости

Глава 2. Автопараметрические колебания в ЯС-генераторе, возбуждаемые периодическим изменением крутизны нелиненой характеристики усилителя под воздействием внешней гармонической силы

18

ВВЕДЕНИЕ......................................................................................

Глава 1. Параметрические колебания в КС-генераторе, возбуждаемые гармоническим изменением емкости на выходе усилителя...............................................................

1. Общие свойства рассматриваемой математической

модели................................................................................................................................................................19

1.1 .Вывод краевой задачи..................................................................................................19

1.2. Автономный случай. Анализ линеаризованной краевой задачи.............................................................................22

1.3. Предварительные сведения..........................................24

1.4. Расчет параметров автоколебаний..........................................................26

2. Построение параметрических колебаний в случае

основного резонанса (1:2).................................................. ^ 28

2.1. Алгоритм исследования устойчивости ...................... г 31

3. Условия возбуждения и определение параметрических колебаний в случае неосновных резонансов (1:1, 1:3)

. . ......................................35

38

-31. Вывод и общие свойства математической модели автогенератора с неоднородным распределением параметров Я и С..............................................................................................................................42

1.1. Вывод краевой задачи..................................................................................................42

1.2. Автономная задача. Анализ характеристического уравнения......................................................................................................................................................46

1.3. Предварительные сведения..................................................................................48

1.4. Расчет параметров автоколебаний ......................................................50

2. Построение автопараметрических колебаний в случае

резонанса 1:2............................................................................................................................................58

2.1. Исследования устойчивости..............................................................................60

3. Математическая модель автогенератора с каскадно-соединенными КС-структурами..............................................................................61

3.1. Постановка краевой задачи................................................................................61

3.2. Анализ условий самовозбуждения..........................................................63

3.3. Предварительные сведения..................................................................................68

4. Построение нормальной формы (укороченных

уравнений)....................................................................................................................................................71

4.1. Определение параметров автоколебаний 71

4.2. Влияние нелинейности активного элемента на

многоцикличность..........................................................................................................................81

5. Исследование внешнего воздействия на возбуждение

многоциклических режимов............................................................................................83

5.1. Анализ автопараметрических колебаний в случае

резонанса 1:2............................................................................................................................................83

Глава 3. Экспериментальная проверка теоретических

результатов и выводов............................................................................................................88

1. Проведение экспериментов по возбуждению параметрических колебаний в ЯС-генераторе путем периодического изменения емкости на выходе усилителя

................................................................... 88

2. Постановка эксперимента по реализации автопараметрических колебаний в генераторе с каскадно-соединенными ЫС-структурами..............................................90

ЗАКЛЮЧЕНИЕ............................................................................................................................................................96

ЛИТЕРАТУРА................................................................................................................................................................100

Введение

В настоящее время в технике используется все более сложное электронное оборудование, что приводит к необходимости уменьшения веса, габаритов, стоимости и повышения надежности применяемой аппаратуры. Решение возникших проблем, в первую очедь связывают с дальнешим развитием микроэлектроники. В частности, получение на базе пленочной и диффузионной технологий различных новых линий с распределенными параметрами и объемных структур привело к дальнейшему совершенствованию автогенерирующих устройств, сохраняющих традиционные функциональные возможности систем на дискретных элементах. Указанные приборы позволяют решить ряд проблем практики, связанных с конструированием запоминающих устройств, генераторов шума, имеют лучшие энергетические характеристики и т.д.[67]. Следует отметить, что изучение предложенных устройств с распределенными параметрами приводит к более глубокому пониманию физики колебательных движений, реализуемых в различных явлениях природы.

Современная радиоэлектронная промышленность накладывает достаточно жесткие требования на работу различных передающих устройств, поэтому возникает практическая необходимость их совершенствования и, тем самым, потребность в дальнейшем развитии теории и методов анализа таких систем.

Общую теорию нелинейных колебаний в устройствах с дискретными параметрами в настоящее время можно считать достаточно хорошо развитой [1-5, 8-11, 16, 32, 33, 39, 43-45, 48-50, 61, 62-65, 68-72]. Однако для распределенных систем этого сказать нельзя. Этот факт объясняется следующими обстоятельствами. Во-первых, интерес к нелинейным колебаниям в распределенных

системах значительно возрос лишь в последние десятилетия, когда стали широко использоваться генераторы с существенно распределенными параметрами (лазеры, мазеры, генераторы Ганна и т.п.). Во-вторых, развитее теории колебаний автогенераторов с распределенными параметрами встречает определенные проблемы, вызванные: 1) большим разнообразием математических моделей, описывающих реальные физические устройства; 2) математическими трудностями, связанными с решением уравнений с частными производными [42]. Существующие в настоящее время подходы и методы исследования распределенных систем, как правило, носят эвристический характер [10, 13, 17, 38,61, 67,71], что связано с объективными трудностями анализа и желанием упростить решение поставленной задачи. С этой целью уже после постановки математической модели вводят определенные физические допущения.

К настоящему времени достаточно полно изучен ряд математических моделей автогенераторов с ЯС-распределенными параметрами в цепи обратной связи, которые представляют собой уравнения теплопроводности с нелинейностью, как правило, в граничных условиях [7, 14, 15, 19, 22, 24, 28, 29, 31, 34, 35, 38, 46, 47, 53-60]. Для ЯС-генераторов исследованы вопросы бифуркации одночастотных и двухчастотных автоколебаний [31, 34, 35, 38], влияния неоднородности цепи обратной связи и неидеальности усилителя на параметры автоколебаний [15, 31, 35], синхронизации [31, 35], анализа автоколебаний при аппроксимации нелинейности кусочно-линейными функциями [18, 35], переходного процесса [57] и т.д. Напрмер, в статье [34] построена математическая модель ЯС-автогенератора с однородным распределением параметров в цепи обратной связи, на основе метода Андронова-Хопфа определны параметры стационарного режима генерации, приводится

математичекое обоснование используемого алгоритма. В монографии [31] и работе[38] проанализирован генератор с каскадно-соединенными ЯС-структурами, в котором при определенных условия реализовались устойчивые двухчастотные автоколебания, выявлено явление многоцикличности. Влияние геометрии цепи обратной связи на бифуркацию автоколебаний в ЯС-генераторах изучалось в работах [15, 35], причем рассматривались не только близкие к гармоническим, но и релаксационные режимы колебаний. В статье [18] рассматривался ЯС-генератор с нелинейностью активного элемента гистерезисного типа, аппроксимированной кусочно-линейными функциями. Рассчет автоколебаний проводился на основе частотного метода Фурье с привлечением численного анализа. В работе [57] исследован переходный процесс в генераторе с однородной ЯС-структурой в зависимости от задания начальных условий и параметров автогенератора.

Однако проблема возбуждения параметрических колебаний в ЯС-генераторах в настоящее время практически не изучена. Не исследованы условия рализации параметрических колебаний при различных резонансах (1:1, 1:2, 1:3), вопросы рассчета и устойчивости колебаний, их специфические особенности в зависимости от выбора параметра системы, подверженного «раскачке». Феномен возбуждения параметрических колебаний в ЯС-генераторах можно использовать для создания усилителей низкочастотных колебаний, делителей и умножителей частоты частоты, преобразователей одного типа колебательных движений в другой, например, механических в электромагнитные и т.д.

Возбуждение параметрических колебаний в линейных и нелинейных дискретных системах известно достаточно давно. Одними из первых работ, в которых изучался этот феномен, являются

классические работы Л.И. Мандельштама [45], A.A. Андронова, A.A. Витта, С.Э. Хайкина [2], Г.С. Горелика [16], И.М. Капчинского [33], В.В. Мигулина [48], С.П. Стрелкова [64], К.Ф. Теодорчика [65] и др. Например, в электротехнике известна параметрическая машина Манделыптама-Папалекси. Машина может служить генератором переменного электрического тока. Принцип ее следующий: в катушку электрического контура периодически вносят алюминиевый стержень с частотой, близкой к удвоенной собственной частоте контура, омическое сопротивление которого предстваляет нагрузку. Колебания тока в такой машине - периодические с постоянной амплитудой. Нелинейные закономерности допускают существование установившихся периодических колебаний при параметрическом резонансе. В монографиях [33, 65] изучается нелинейный контур при гармоническом изменении одного из параметров - емкости или индуктивности. В случае основного резонанса, т.е. когда отношение собственной частоты системы к частоте колебаний параметра приблизительно равно 1:2, определяются параметры реализуемых колебаний, исследуются вопросы их устойчивости. Такой резонанс называется внешним параметрическим резонансом. Отметим работу [33], где изучается автопараметрический резонанс в генераторе Ван-Дер-Поля в случае соотношения частот 1:2. Под автопараметрическим резонансом понимается такое действие на нелинейную систему, при котором параметрическое воздействие развивается в самой системе, т.е. вызвано только включением внешней э.д.с.

Во многих радиотехнических схемах нелинейность вносится активным элементом. Среди подобных устройств явление автопараметрического резонанса чаще всего обнаруживается у недовозбужденных генераторов, т.е. в системах с регенеративной обратной связью, где ее затухание в достаточной степени

скомпенсировано. Такие системы иногда называют потенциально автоколебательными.

Автопараметрические резонансы 3:2, 2:1, 5:2 были впервые исследованы акад. В.В. Мигулиным. Он показал, что резонансы 3:2 и 5:2 обладают всеми признаками параметрического возбуждения в чистом виде. Автопараметрический резонанс 2:1 усложняется благодаря наложению обычного резонанса на гармонике.

Для автоколебательных систем с распределенными параметрами в отличие от автогенераторов на сосредоточенных элементах такого исчерпывающего анализа в настоящее время не проведено. Во многом это связано с проблемой математического моделирования указанных генераторов. Вообще, вопрос о выборе модели выходит за рамки теории колебаний, так как он касается адекватности отображения в теории реальной, объективно действующей системы. Построить математическую модель, отображающую реальные обстоятельства и систему во всей полноте, видимо, невозможно. Выбор модели - это искусство, которым можно овладеть в процессе практической деятельности, развивая интуитивное понимание поведения системы [32]. Именно предложение ряда новых математических постановок во многом позволило более глубоко провести исследования параметрических колебаний в ЯС-автогенераторах.

В качестве объектов анализа рассматривается ряд схем ЯС-автогенераторов (ЯС-автогенератор с сосредоточенной емкостью на выходе усилителя, изменяющейся по гамоническому закону; ЯС-автогенератор с неоднородным распределением параметров Я и С, в котором на входе усилителя воздействует внешняя э.д.с.; генератор с каскадно-соединенными ЯС-структурами, в котором реализуется явление многоцикличности и исследуются вопросы

возбуждения в нем автопараметрических колебаний), а так же их математические модели.

Предмет исследования - параметрические и автопараметрические колебания в КС-автогенераторах с распределенными параметрами.

Целью диссертационной работы является: на основе постановок новых математических моделей, новых методологических подходов и дальнейшего развития методов малых параметров исследовать параметрические и автопараметрические колебания для некоторого класса КС-автогенераторов с распределенными параметрами при «мягкой» нелинейности активного элемента; дать физическую интерпретацию полученных теоретических результатов и сравнить их с экспериментальными данными.

Научная новизна работы заключается в том, что впервые проведены исследования возбуждения параметрических и автопараметрических колебаний в КС-генераторах с распределенными параметрами, которые вносят новые представления о функционировании исследуемых систем; получили дальнейшее развитие методы малых параметров применительно к распределенным автоколебательным устройствам; предложена методика исследования распределенных автоколебательных систем и на ее основе выявлены динамические свойства КС-генераторов, работающих в неавтономном режиме; получено принципиально новое решение проблемы математического моделирования, что привело к постановке новых задач, более адекватно отражающих выбранные физические объекты.

Приведенные в диссертационной работе теоретический и численный анализы установившихся неавтономных режимов в КС-генераторах с распределенными параметрами были применены при разработке практических схем НИР на кафедре радиофизики

Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова, а также использовались при проектировании автогенераторов с распределенными параметрами на предприятиях радиоэлектронной промышленности г. Ярославля.

Однако результаты диссертационной работы носят достаточно общий характер и могут найти применение при анализе существующих и создании новых автоколебательных систем как с распределенными, так и с сосредоточенными параметрами.

Практическая значимость. Методы и алгоритмы, предложенные в работе, можно использовать в частности:

■ при анализе автоколебательных систем с распределенными и сосредоточенными параметрами в случае других параметрических резонансов, нелинейные характеристики которых аппроксимированы полиномами;

■ при изучении колебаний в генераторах с сосредоточенными и распределенными параметрами в радиофизических устройствах, работающих в качестве усилителей и делителей частоты;

■ при разработке новых физических устройств, используемых в качестве преобразователей одного типа колебательных движений в другой, например, механических в электромагнитные.

Основные идеи математического моделирования, развитые методы анализа и предложенные алгоритмы будут полезны для исследования других автоколебательных систем в различных задачах естествознания.

Сформулируем основные научные положения, выносимые на защиту.

-121) Построение для некоторого класса ЯС-автогенераторов новых математических моделей, которые более адекватно отражают изучаемые свойства реальных физических устройств.

2) Дальнейшее развитие методов малых параметров для исследования параметрических и автопараметрических колебаний в ЯС-автогенераторах с распределенными параметрами:

а) проведение исследований математической модели - ЫС-автогенератора с соредоточеннй емкостью на выходе усилителя, изменяющейся по гармоническому закону в случае резонансов 1:1,1:2,1:3;

б) исследование устойчивости параметрических колебаний при основном и неосновных резонансах;

в) построение математической модели автогенератора с экспоненциальным распределением параметров Я и С в цепи обратной связи и ее анализ;

г) изучение автопараметрических колебаний в случае резонанса 1:2 при воздействии на усилитель внешней э.д.с.;

д) возбуждение в многоциклической КС-с