Режимы автомодуляции и хаоса в распределенных волновых параметрических автогенераторах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи

ДМИТРИЕВА Татьяна Владимировна

РЕЖИМЫ АВТОМОДУЛЯЦИИ И ХАОСА В РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ВОЛНОВЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ АВТОГЕНЕРАТОРАХ

01.04.03 — Радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов — 2005

Работа выполнена в Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент

РЫСКИН Никита Михайлович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

ЧЕТВЕРИКОВ Александр Петрович

кандидат физико-математических наук НОВОЖИЛОВА Юлия Владимировна

Ведущая организация:

Саратовский филиал Института радиотехники и электроники РАН

Защита состоится 17 ноября 2005 г. в 17:00 на заседании диссертационного совета Д 212.243.01 при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, Саратов, ул. Астраханская, 83, корп. III, ауд. 34.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского.

Автореферат разослан « октября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н., доцент I/'_Аникин В.М.

/37/7

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации. В настоящее время одной из актуальных проблем радиофизики является изучение пространственно-временного хаоса (турбулентности) в неравновесных средах. Турбулентность в таких средах возникает за счет развития различных волновых неустойчивостей. Одним из важных примеров является трехволновая параметрическая или распадная неустойчивость1, в основе которой лежит эффект усиления низкочастотных сигнальной и холостой волн за счет перекачки в них часта энергии интенсивной высокочастотной волны накачки при выполнении резонансных условий:

®,=®, + ю„ кршк,+к,. (1)

Здесь ю, и £ — частоты и волновые числа сигнала, накачки и холостой волны соответственно.

Радиофизические системы, в которых имеет место волновое параметрическое взаимодействие, широко используются для усиления и генерации колебаний в радио-, микроволновом и оптическом диапазонах.2 Особое значение имеет параметрическое взаимодействие световых волн в нелинейном диэлектрике, которое лежит в основе действия оптических параметрических генераторов (ОПГ).3 В радиодиапазоне распределенные параметрические усилители и генераторы могут быть реализованы на отрезках нелинейных линий передачи2. В сверхвысокочастотном (СВЧ) диапазоне можно осуществить параметрическое усиление магнитостатических волн в ферромагнитных пленках, а также различных волн в электронных потоках и плазменно-пучковых системах. На сегодняшний день среди параметрических устройств вакуумной электроники наибольший интерес представляют лазеры на свободных электронах (ЛСЭ). С точки зрения теории волн, в ЛСЭ происходит параметрический распад волны накачки, роль которой играет ондулятор, на электромагнитную сигнальную волну (поперечную) и медленную волну пространственного заряда (МВПЗ) в электронном пучке (продольную). Причем, ввиду того, что в пучке возбуждается волна с отрицательной энергией, распад происходит с преобразованием частоты вверх. Это открывает возможность теоретически безграничного повышения частоты излучения.

С точки зрения нелинейной динамики, волновые параметрические генераторы относятся к классу распределенных автоколебательных систем (РАС) с запаздывающей обратной связью. По сравнению с конечномерными системами успехи в изучении сложной динамики распределенных систем пока еще не столь велики, что обусловлено как техническими трудностями при проведении вычислительных и физических экспериментов, так и чрезвычайно сложной картиной различных динамических режимов в пространстве нескольких управляющих параметров. Как показывают исследования последних лет, радиофизические и электронные РАС демонстрируют богатый набор

1 См например Рабинович М И , Трубецков Д И Введение в теорию колебаний и волн М Наука, 1984, Заславский Г М , Сагдеев Р 3 Введение в нелинейную физику от маятника до турбулентности и хаоса. М Наука, 1988. _______

2 Люиселл У Связанные и параметрические колебания в эфкхвомике^М „ИЛ.) ум "' , ' Ахманов С А, Хохлов Р В // УФН 1966 Т 88, №3 С ф БИБЛИОТЕКАI

С Петербургу^ V {

оэ щГГ^

динамических режимов, включая переходы к хаосу по всем известным сценариям, характерным для конечномерных динамических систем. Следует ожидать, что и для систем с параметрическим взаимодействием будет характерно подобное поведение. Отметим, что параметрическая неустойчивость относится к числу универсальных нелинейных феноменов и проявляется не только в радиофизике и электронике, но и в гидродинамике4, физике плазмы5, нелинейной оптике6, в различных механических системах7 и т.д. Поэтому построение полной картины сложной динамики волнового параметрического взаимодействия будет существенным шагом для выяснения общих закономерностей хаотического поведения в распределенных средах.

Указанные обстоятельства позволяют считать тему диссертации актуальной и важной для современной радиофизики и нелинейной динамики распределенных систем.

Цель диссертации состоит в детальном теоретическом исследовании особенностей автомодуляционных и хаотических режимов в моделях распределенных автоколебательных систем, основанных на параметрическом взаимодействии волн в нелинейных средах. Конкретно в работе рассматриваются следующие системы:

1. Модель распределенного параметрического генератора бегущей волны с запаздывающей внешней обратной связью (система трех параметрически взаимодействующих волн в резонаторе);

2. Модель распределенного параметрического генератора встречной волны (система трех параметрически взаимодействующих волн, одна из которых является встречной);

3. Модели ЛСЭ усилителя и генератора на вынужденном рассеянии встречных волн (параметрическое взаимодействие электронного потока с полями прямой и встречной незамедленных электромагнитных волн).

Исследование перечисленных выше систем включает теоретический анализ условий самовозбуждения и стационарных режимов генерации, численное моделирование различных автоколебательных режимов (одночастотных, многочастотных, хаотических), выяснение механизмов автомодуляции и сценариев перехода к хаосу, а также выявление связи режимов сложной динамики с процессами формирования и взаимодействия параметрических солито-нов.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и получены впервые:

1. Показано, что в параметрическом генераторе бегущей волны автомодуляция возникает по частотному механизму и сопровождается жестким возбуждением большого числа собственных мод резонансной колебательной системы. Частоты всех возбуждаемых мод жестко связаны между собой (ре-

4 Филипс ОМ // В кн Нелинейные волны Под ред М Лейбовича и А Сибасса М • Мир, 1977 С 197

5 Вильхельмсон X , Вейланд Я Когерентные нелинейные взаимодействия волн в плазме М Энер-гоиздат, 1981

6 Дмитриев В Г, Тарасов Л В Прикладная нелинейная оптика М Сов радио, 1985.

7 Ковригин Д А', Потапбв А Й // Изв вузов ПНД 1996. Т 4, №2 С 72

жим самосинхронизации мод). При этом происходит образование одного или нескольких солитоноподобных импульсов, периодически распространяющихся вдоль системы;

2. Обнаружено, что в распределенном параметрическом генераторе бегущей волны при увеличении параметра накачки переход к хаосу происходит через перемежаемость, что связано с разрушением режима синхронизации фаз из-за появления состояний с быстро осциллирующими фазами. Далее наблюдается сложная последовательность чередования регулярных и хаотических режимов, причем переходы к хаосу происходят главным образом через разрушение квазипериодического движения. Показано, что такое поведение обусловлено перестройкой пространственно-временной динамики системы, т.е. образованием и взаимодействием параметрических солитонов;

3. Показано, что в распределенном параметрическом генераторе встречной волны по мере увеличения амплитуды волны накачки колебания становятся хаотическими, причем переход к хаосу происходит жестко. В фазовом пространстве системы возникает аттрактор типа Лоренца, которому соответствуют хаотические колебания переключательного типа. При этом фазовая траектория, раскручиваясь вокруг одного из двух симметрично расположенных седло-фокусов, подходит к устойчивому многообразию седловой точки, откуда попадает в область другого седло-фокуса. Возникновению хаотического аттрактора предшествует бифуркация образования сепаратрисной петли. Аналогичная ситуация имеет место в ряде конечномерных систем, таких, как система Лоренца и система Пиковского-Рабиновича-Трахтенгерца8, описывающая распадное ограничение параметрической неустойчивости.

4. Разработана модифицированная методика численного моделирования нелинейной динамики ЛСЭ усилителя и генератора на вынужденном рассеянии встречных волн (ЛСЭ-скаттрон), справедливая при любом соотношении между скоростью пучка и групповой скоростью волны. Развитый подход позволяет корректно учесть частотную зависимость усиления в ЛСЭ, которая в значительной степени определяет поведение системы;

5. Проведено исследование эффекта автомодуляции в скаттроне-усилителе, результата которого существенно развивают и обобщают полученные ранее9. Показано, что наблюдается не только амплитудный механизм автомодуляции, описанный ранее, но и частотный механизм. Последний имеет место в областях «провалов» (локальных минимумов) на амплитудно-частотной характеристике усилителя. Впервые исследован сценарий перехода к хаосу в скатгроне-усилителе, обнаружено, что имеет место переход через разрушение квазипериодического движения. Показано, что в пространстве параметров может быть несколько областей хаотического поведения, причем для наличия хаоса принципиален учет эффектов разгруппировки электронных сгустков;

6. Впервые исследована нелинейная динамика в скаттроне-генераторе попутной волны. Показано, что автомодуляция может возникать как по амплитудному, так и по частотному механизму (в слабо- и сильно релятивистском случае соответственно). Обнаружен эффект подавления автомодуляции

* Литовский А С , Рабинович М И, Трахтенгерц В Ю //ЖЭТФ 1978 Т 74, №4 С. 1366

9 Гинзбург Н С , Сергеев А С //Радиотехника и электроника 1988 Т 33, №3 С 580

пространственным зарядом, аналогичный выявленному ранее для ЛОВ О-типа. Изучены процессы перехода к хаосу при увеличении тока пучка и плотности мощности накачки, установлено, что в основном имеет место сценарий разрушения квазипериодического движения Описана сложная картина чередующихся регулярных и хаотических режимов в пространстве параметров, которая складывается вследствие эффектов мультистабильности и гистерезиса.

Научная и практическая значимость результатов диссертации связана с тем, что рассматриваемые в ней системы являются моделями приборов, широко использующихся для генерации и усиления электромагнитных колебаний (параметрические генераторы, лазеры на свободных электронах). Изучение нестационарных режимов колебаний позволяет выявить механизмы различных паразитных неустойчивостей и определить условия устойчивой работы этих приборов в режиме одночастотной генерации. В то же время, результаты исследований хаотических режимов представляют самостоятельный интерес в связи с перспективами применения хаотических сигналов в системах связи, радиолокации и др. Результаты исследования процессов, в ходе которых происходит образование солитонов. представляют практический интерес для генерации ультракоротких импульсов.

Вместе с тем, результаты диссертации имеют общенаучное значение для понимания основных закономерностей пространственно-временного хаоса (турбулентности) в средах самой различной природы, в первую очередь — гидродинамической и плазменной турбулентности.

Результаты диссертации были получены при выполнении ряда НИР, в том числе поддержанных грантами Российского фонда фундаментальных исследований (№№ 98-02-16541, 03-02-16192, 03-02-16269), Программы «Университеты России», Американского фонда гражданских исследований и развития (№ ЯЕС-ООб), а также грантом Министерства образования России для поддержки научно-исследовательской работы аспирантов высших учебных заведений (№ А03-2.9-810).

Достоверность результатов подтверждается тем, что результаты численного моделирования и теоретического анализа (пороги самовозбуждения, автомодуляции, характеристики стационарных режимов генерации) хорошо согласуются друг с другом. Для численного моделирования применяются хорошо апробированные численные методы и разностные схемы, в качестве тестовых расчетов в ряде случаев воспроизводятся результаты, известные из литературы. Некоторые эффекты, обнаруженные в численном эксперименте для модели распределенного параметрического генератора бегущей волны, впоследствии были подтверждены экспериментально. В частности, режимы генерации последовательностей солитонов различной полярности наблюдались в экспериментах по параметрической генерации в кольцевом резонаторе с ферромагнитной пленкой.10 Режимы хаотической перемежаемости также наблюдались в экспериментах с ОПГ."

10 Серга А А, Костьшев М П, Калиникос Б А идр //Письма в ЖЭТФ 2003 Т 77, N«6 С 350 " Атоп А , Ы|ге«е М , ЬеГгапс М, Ктеих Т //РЬуя Яеу А 2003 Уо1 68, n0 2 023801

Апробация работы и публикации. Результаты диссертации докладывались на научных семинарах факультета нелинейных процессов СГУ и НОЦ «Нелинейная динамика и биофизика» СГУ, а также на следующих между народных и всероссийских конференциях: EUROEM-2004 (Магдебург, Германия, 2004), Dynamic Days 2004 (Майорка, Испания, 2004), Dynamical Systems Methods in Nonlinear Wave Equations (Лоуборо, Великобритания, 2002), XI и XII Зимние школы-семинары по СВЧ электронике и радиофизике (Саратов, 2000, 2003), II Международная конференция «Фундаментальные проблемы физики» (Саратов, 2000), XI Международная школа-конференция "Foundations & Advances in Nonlinear Science" (Минск, Белоруссия, 2003), «Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ» (Саратов, 2001), V Всероссийская научная конференция студентов-радиофизиков (Санкт-Петербург, 2001), V и VI Международные школы-конференции по хаотическим колебаниям и образованию структур (Саратов, 1998, 2001), школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (Саратов, 19992001,2003).

По теме диссертации опубликовано 26 работ, из них 5 статей в рецензируемых научных журналах, 7 статей в сборниках трудов научных конференций и 14 тезисов докладов. Список наиболее важных публикаций приведен в конце автореферата.

Ряд результатов диссертации вошел в работы, за которые автор (совместно с Шигаевым A.M.) была награждена медалью и премией РАН за лучшую студенческую научную работу в области общей физики и астрономии в 2001 г. и медалью Открытого Всероссийского конкурса министерства образования РФ на лучшую студенческую научно-исследовательскую работу в 1999 г.

Личный вклад соискателя. Основные результаты, включенные в диссертацию, получены автором самостоятельно. Большинство опубликованных работ по теме диссертации выполнены совместно с научным руководителем. При этом вклад автора состоял в написании программ для численного моделирования, постановке и проведении вычислительных экспериментов, проведении теоретического анализа. Вклад научного руководителя состоял в постановке задачи, определении методов и подходов к ее решению. Обсуждение и интерпретация полученных результатов проводилась совместно. В работах, опубликованных с другими соавторами [1,3,6,11], соискателю принадлежат результаты, включенные в диссертацию.

Положения, выносимые на защиту

1. В параметрическом генераторе бегущей волны автомодуляция возникает по частотному механизму и сопровождается образованием одного или нескольких софггоноподобных импульсов, периодически распространяющихся вдоль системы. При увеличении параметра накачки происходит переход к хаосу через перемежаемость, что связано с разрушением режима синхронизации фаз из-за появления состояний с быстро осциллирующими фазами. Далее наблюдается сложная последовательность чередования регулярных и хаотических режимов, причем переходы к хаосу происходят главным образом через разрушение квазипериодического движения. Такое поведение обу-

словлено процессами образования и взаимодействия параметрических соли-тонов.

2. В распределенном параметрическом генераторе встречной волны по мере увеличения амплитуды волны накачки колебания становятся хаотическими, причем переход к хаосу происходит жестко. В фазовом пространстве системы возникает аттрактор типа Лоренца, которому соответствуют хаотические колебания переключательного типа. При этом фазовая траектория, раскручиваясь вокруг одного из двух симметрично расположенных седло-фокусов, подходит к устойчивому многообразию седловой точки, откуда попадает в область другого седло-фокуса. Возникновению хаотического аттрактора предшествует бифуркация образования сепаратрисной петли.

3. В скаттроне-усилителе автомодуляция может возникать как по амплитудному, так и по частотному механизму. Последний имеет место в области локальных минимумов частотных зависимостей коэффициента усиления. Переходы к хаосу при увеличении мощности входного сигнала или тока пучка происходят через разрушение квазипериодического движения, причем хаотические режимы возможны только при сильной перегруппировке электронов. В пространстве параметров существуют две области хаотического поведения: в одной максимальную амплитуду в спектре имеет частота входного сигнала, в другой доминирует частота автомодуляционного сателлита, а частота входного сигнала подавлена.

4. В скаттроне-генераторе попутной волны автомодуляция может возникать и по амплитудному, и по частотному механизму. Последний имеет место при больших значениях релятивистского масс-фактора и сопровождается периодическим распространением солитоноподобного импульса вдоль длины системы. С увеличением тока пучка или плотности мощности накачки, с одной стороны, реализуется сценарий перехода к хаосу через разрушение квазипериодического движения, с другой стороны, происходят жесткие переходы к режимам на базе соседних мод. Конкуренция двух указанных тенденций приводит к сложной картине чередующихся регулярных и хаотических режимов в пространстве параметров.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и содержит 157 страниц текста, включая иллюстрации. Список литературы на 11 страницах включает 136 наименований.

Краткое содержание работы

Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы ее цели, научная новизна, практическая значимость и положения, выносимые на защиту.

В Главе 1 представлены детальные результаты исследования нелинейной динамики распределенного параметрического генератора бегущей волны с внешней запаздывающей обратной связью (ЗОС). Рассматриваемая система представляет собой резонатор, частично заполненный квадратично-нелинейной средой, в которой распространяются три параметрически связанные волны, и описывается следующими безразмерными уравнениями

с граничными условиями

= ^(0,T) = 0, Л3(0,Т) = 1, (3)

где A12J — нормированные комплексные амплитуды сигнала, холостой волны и волны накачки соответственно, а — параметр, имеющий смысл нормированной амплитуды волны накачки на входе в систему, и— параметр, характеризующий расстройку групповых скоростей взаимодействующих волн, R — комплексный параметр обратной связи, 5 — безразмерное время запаздывания сигнала в цепи обратной связи, т и i, — безразмерные время и координата соответственно.

В п. 1.2 проведен подробный теоретический анализ условий самовозбуждения колебаний. Показано, что пороговое значение мощности накачки периодически зависит от фазы параметра обратной связи, т.е., аналогично другим РАС с запаздыванием, на плоскости параметров имеется система периодически расположенных зон генерации. В п. 1.3 рассматриваются режимы стационарной одночастотной генерации. Ряд важных свойств стационарных режимов удается определить аналитически. В частности, установлено, что в режимах стационарной генерации фазы взаимодействующих волн синхронизованы, так что осциллируют только амплитуды. Найдено оптимальное значение параметра накачки, обеспечивающее максимальную выходную мощность генератора. Проведено численное моделирование стационарных режимов, результаты которого полностью согласуются с теоретическими.

В п. 1.4 детально исследован механизм возникновения автомодуляции. Показано, что генератор является типичным примером системы, в которой автомодуляция возникает по частотному механизму, т.е. связана с жестким возбуждением еще одной собственной моды резонатора. Такое поведение обусловлено деформацией АЧХ параметрического усилителя в нелинейном режиме. Установлено, что в режиме автомодуляции на начальной стадии переходного процесса по-прежнему устанавливается синхронизация фаз. После того, как превышен порог автомодуляции, переходный процесс завершается формированием солитоноподобного импульса, который периодически распространяется вдоль системы.

В п. 1.5 изучены сценарии перехода к хаосу. Вначале в п. 1.5.1 исследован переход к хаосу в центре зоны генерации в упрощенном случае, когда фазы волн считаются синхронизованными (что справедливо, в частности, в стационарных режимах, п. 1.3). При этом можно существенно упростить исходные уравнения, считая переменные чисто вещественными. Результаты численного моделирования показывают, что по мере увеличения параметра накачки наблюдается несколько режимов периодической автомодуляции, характеризующихся различным числом и полярностью образующихся солито-нов. Переходы между этими режимами происходят жестко, при этом частота автомодуляции изменяется скачкообразно. Обнаружена аналогия с результатами экспериментальных исследований по параметрической генерации соли-тонов в кольцевом резонаторе с ферромагнитной пленкой (Серга A.A., Кос-

тылев М.П., Калиникос Б.А. и др., 2003). При дальнейшем увеличении накачки происходит переход к хаосу через разрушение трехчастотного квазипериодического движения.

50Л МОЛ 1Ш> 200Л 2ЗМ

Рис. 1. Пример зависимостей амплитуды выходного сигнала и разности фаз Ф = Ф, - Ф, - Ф2 от времени в режиме перемежаемости

В п. 1.5.2 исследован переход к хаосу в общем случае, когда предположение о синхронизации фаз не делается. Как показали результаты расчетов, картина, описанная в п. 1.5.1, сохраняется только в режимах стационарной генерации и периодической автомодуляции, в которых происходит образование только одного солитона. С увеличением накачки, когда становится возможным образование двух разнополярных солитонов, амплитуды полей в некоторых точках системы обращаются в нуль, что приводит к возникновению состояний с быстро меняющимися фазами. В результате синхронизация фаз нарушается. Быстрые осцилляции фазы приводят к тому, что эффективность взаимодействия резко падает, и осцилляции амплитуд уменьшаются, после чего фазовая синхронизация вновь восстанавливается. Таким образом, происходит переход к хаосу через перемежаемость (рис. 1). Обнаружена аналогия с результатами экспериментальных исследований ОПГ, где также наблюдались режимы хаотической перемежаемости (А. Ашоп а а1., 2003).

Выше границы перехода к хаосу имеются многочисленные «окна» регулярного поведения. Их появление обусловлено перестройкой пространственно-временной динамики системы, а именно, образованием и взаимодействием параметрических солитонов. В итоге реализуется сложная картина чередующихся регулярных и хаотических автомодуляционных режимов, причем переходы к хаосу происходят в основном через разрушение квазипериодического движения. Динамика данной системы имеет много общего с другими системами, где доминирует частотный механизм автомодуляции, в частности, с ЛОВ при больших отражениях и с ЛБВ-генератором с ЗОС.

В п. 1.5.3 исследбвана динамика вблизи границ зон генерации, где наблюдается особенно сложная картина, обусловленная эффектами бистабильно-сти, т.е. сосуществования режимов колебаний на базе двух соседних собственных мод. Обнаружено, что с ростом надкритичности соответствующие этим модам аттракторы теряют устойчивость, и возникает новый режим, спектр которого примерно симметричен относительно частоты точного резонанса, т.е. центра полосы усиления. Доминируют моды, удаленные от этой частоты, а центральные моды подавлены. Последовательность бифуркаций завершается возникновением так называемого «развитого» хаоса, т.е. сильно

нерегулярных колебаний, когда на проекции фазового портрета не удается выделить какую-либо крупномасштабную структуру. Такое поведение типично для распределенных систем с запаздыванием.

В Главе 2 рассматривается сложная динамика распределенного параметрического генератора встречной волны. В данном случае исследуется трех-волновое взаимодействие, в котором участвуют волны, распространяющиеся в противоположных направлениях, что обеспечивает внутреннюю распределенную обратную связь. Такой генератор будет безрезонаторным, что является существенным преимуществом, так как обеспечивает более широкую возможность перестройки частоты. Исследуемая система описывается уравнениями (обозначения те же, что и в уравнениях (2)):

= <4>

с граничными условиями

4(1,т)=о, А(О,т)=О, 4(о,т)=1. (5)

В п. 2.2 приведен подробный теоретический анализ условий самовозбуждения колебаний. Найдено точное решение линейной системы уравнений в виде суперпозиции собственных мод. Определены условия самовозбуждения различных мод. В п. 2.3 проведено теоретическое исследование режимов стационарной генерации. Показано, что для параметрического генератора встречной волны в стационарном режиме фазы взаимодействующих волн являются синхронизованными. Найдены точные решения, описывающие стационарные режимы колебаний, которые выражаются через эллиптические функции Якоби.

В п. 2.4 представлены результаты численного моделирования. При умеренных значениях амплитуды накачки переходный процесс завершается установлением стационарного состояния, соответствующего основной моде. Далее по мере увеличения надкритичности колебания становятся хаотическими, причем переход к хаосу происходит жестко. Как странный аттрактор (см. рис. 2), так и последовательность бифуркаций, предшествующая его появлению, демонстрируют глубокую аналогию с рядом конечномерных динамических систем, прежде всего с системой Лоренца, которая относится к числу наиболее известных эталонных моделей нелинейной динамики, а также с моделью Пиковского-Рабиновича-Трахтенгерца, описывающей распад-ное ограничение параметрической неустойчивости. Подобное поведение объясняется тем, что основную роль в организации сложной динамики играют три неустойчивых стационарных состояния: нулевое, отвечающее отсутствию колебаний, и два ненулевых, которые соответствуют низшей собственной моде и симметричны друг другу. Высшие собственные моды оказывают влияние лишь на начальную стадию переходного процесса, а отвечающие им стационарные состояния не реализуются.

При большой надкритичности, когда порог перехода к хаосу значительно превышен, амплитуды волн испытывают сильные осцилляции, что приводит к возникновению состояний с быстро меняющимися фазами и синхронизация фаз нарушается. Такое поведение аналогично описанному в п. 1.5.2. для ге-

нератора попутной волны, однако в данном случае разрушение фазовой синхронизации происходит позднее перехода к хаосу.

30

-301

00 SO О 160 0 240.0 3200 Т

-30 -20 -10 00 10 20 30

Рис 2 Зависимость амплитуды выходного сигнала от времени и проекция фазового портрета, соответствующие странному аттрактору генератора встречной волны.

Глава 3 посвящена изучению нелинейной динамики параметрического взаимодействия двух поперечных электромагнитных волн (ЭМВ) с релятивистским электронным пучком. Одна из этих волн распространяется навстречу электронному пучку и играет роль накачки, другая является полезным сигналом. Данную систему можно рассматривать как модель ЛСЭ с электромагнитной накачкой (ЛСЭ-скаттрон), основанного на эффекте вынужденного встречного рассеяния волн. В основном рассматривается случай умеренно релятивистских пучков (у0<2), когда можно обеспечить достаточно большую длительность электронного импульса (порядка нескольких микросекунд), необходимую для наблюдения установившихся режимов сложной динамики. Подобные ЛСЭ с накачкой от генератора миллиметрового диапазона рассматриваются как один из возможных путей решения актуальной проблемы создания мощных компактных генераторов терагерцового диапазона.'2

П. 3.1 посвящен основным уравнениям нестационарной нелинейной теории ЛСЭ-скатгрона, которая основана на введении так называемой комбинационной волны, т.е. волны биений двух ЭМВ, синхронной с электронным пучком13. В основном рассматриваются две модели. Первая, учитывающая нелинейность процессов в электронном пучке (т.е. обгон одних электронов другими) имеет вид

+ (1+и) k 'дт

0=im -~-F.FI+Qll е*

5F 8F,

-L +-1

as дх

= iLFpI,

дА.

8F„

--2- = -itLFf.

di

(6)

12 Shenggang L // Proc. IV IEEE Internal Vacuum Electronics Conference Seoul, Korea, 2003 P 357

" Братмаи В JL, Гинзбург НС., ПетелинМИ //ЖЭТФ 1979 Т 76,№3. С 930.

Здесь Т7 — нормированные комплексные амплитуды волн сигнала и накачки соответственно, 0 — фаза электрона относительно синхронной комбинационной волны, I — амплитуда первой гармоники тока электронного пучка, промодулированного комбинационной волной, Ь — нормированная длина системы, С1Ь — параметр пространственного заряда (ПЗ), в — параметр истощения накачки, и — параметр, указывающий, на сколько электронный пучок близок к релятивистскому, — поступательная скорость движения электронов, с — скорость света. Для электронов пучка и волны накачки граничные ставятся следующим образом:

е(0,т) = 80е[0;2я], 0<(О,т) = 0, ^(1,т) = 1. (7)

Для сигнальной волны граничное условие имеет вид

^(0,т) = ^ехр(Ют) (8)

в случае ЛСЭ-усилителя и

РД0,т) = ^(1,т-1) (9)

— в случае генератора. Здесь ^ и!) — амплитуда и частота входного сигнала, Я — комплексный параметр обратной связи.

Также рассматривается упрощенная волновая модель, полученная в приближении малой амплитуды комбинационной волны, когда нелинейность процессов в электронном пучке является слабой, так что единственным механизмом нелинейного насыщения является истощение накачки:

я к

Уо

/ п—\2 (10)

эр 9р дрт эр уо + адо-1

д£, Эт " ' % дх у 20

Аналогичные уравнения встречаются также в различных задачах взаимодействия пучка с плазмой.14 Здесь — нормированная амплитуда основной гармоники сгруппированного тока. Вместо граничных условий (7) теперь будем иметь

^(о,т)=а?(о,т)/а&=о, ^(1,х)=1. (И)

Обсуждаются законы сохранения в этих системах, подробно описана численная схема решения нестационарных уравнений (6), основанная на традиционном для СВЧ электроники методе «крупных частиц». Однако, поскольку в ЛСЭ* групповая скорость волны больше скорости пучка, потребовалось существенно модифицировать численные методы, обычно применяемые в нестационарной теории ЛОВ и ЛБВ, в частности, за счет учета значительно большего числа частиц.

м Кузелев М В , Рухадзе А А Электродинамика плотных электронных пучков в плазме М Наука, > 1990

)

В п. 3.2 изложена линейная нестационарная теория ЛСЭ-скатгрона. Анализируются коэффициент усиления усилителя и условия самовозбуждения генератора. Вначале на основе хорошо известного в СВЧ электронике метода последовательных приближений рассматривается кинематическая модель без учета сил ПЗ (п. 3.2.1), далее проводится учет влияния ПЗ (п. 3.2.2), а также приведен другой вариант теории для случая больших пространственных зарядов (п. 3.2.3). В п. 3.3 обсуждаются конструкции и параметры некоторых предложенных ранее ЛСЭ с электромагнитной накачкой от мощного источника миллиметрового диапазона (в частности, квазиоптиче-

П. 3.4 посвящен численному моделированию нелинейной динамики автомодуляционных процессов в ЛСЭ-усилителе. Эффект автомодуляции в ЛСЭ-усилителе, вызванный встречным распространением волны накачки, был теоретически предсказан Н.С. Гинзбургом (1986) и позднее подтвержден результатами численного моделирования (Н.С. Гинзбург, A.C. Сергеев, 1988). Поскольку, в отличие от этих работ, в диссертации рассматриваются модели, пригодные при любом соотношении между скоростью пучка и групповой скоростью ЭМВ, приведенные результаты существенно дополняют и обобщают полученные ранее. В частности, они корректно учитывают частотную зависимость усиления в ЛСЭ, что дает возможность детально исследовать механизмы возникновения автомодуляции и сценарии перехода к хаосу.

Вначале рассматривается упрощенная модель (10), полученная в приближении малой амплитуды комбинационной волны (п. 3.4.1). Детально исследованы зависимости порога и частоты автомодуляции от параметров системы. Показано, что автомодуляция может возникать как по амплитудному, так и по частотному механизму. Последний механизм имеет место в области локального минимума кривых коэффициента усиления. В сильно нелинейных режимах при больших амплитудах входного сигнала глубина модуляции выходного сигнала резко уменьшается, и выходной сигнал становится близким к одночастотному, что вызвано подавлением полезного сигнала паразитным автомодуляционным сателлитом.

15 См, например FlifletAW etal //IEEE Trans Plasma Sei 1994 Vol 22, No 5 P 638, Fliflet A W etal // IEEE J Quantum Electron. 1997 Vol 33, No 5 P 669

ского гиротрона).

Рис. 3 Карта динамических режимов ЛСЭ-усилителя на плоскости управляющих параметров при у0 = 1.8, П„ = -я, е = 0.4" $— режим стационарного усиления, 5М— периодическая автомодуляция, <2 — квазипериодическая автомодуляция, СИ — хаос Соответствующие обозначения с индексом «1» отвечают режимам с доминирующим в спектре паразитным сателлитом

В п. 3.4.2 исследуется динамика ЛСЭ-усилителя с учетом сил ПЗ. Обнаружено, что автомодуляция возникает в соответствии с теми же механизмами, что и для кинематической модели (п. 3.4.1). В сильно нелинейных режимах наблюдается подавление полезного сигнала паразитным. При достаточно больших значениях параметра ПЗ динамика системы существенно усложняется: появляются квазипериодические и хаотические режимы автомодуляции. Переход к хаосу происходит через разрушение квазипериодического движения.

В п. 3.4.3 рассмотрена полная модель ЛСЭ-усилителя (6)-(8), принимающая во внимание эффекты перегруппировки электронов. В целом наблюдаемая картина поведения оказывается схожей с результатами, полученными в п. 3.4.1 для упрощенной модели. Изучен сценарий перехода к хаосу, показано, что наблюдается переход через разрушение квазипериодического движения. Таким образом, для возникновения хаоса принципиальными оказываются эффекты разгруппировки электронных сгустков, которые могут быть вызваны либо силами ПЗ (п. 3.4.2), либо обгоном одних электронов другими. Существуют две области хаотического поведения (рис. 3): в одной из них в спектре доминирует частота входного сигнала, в другой — частота автомодуляционного сателлита.

В п. 3.5 исследуется динамика ЛСЭ-генератора, который представляет собой усилитель, помещенный в резонатор, образованный двумя зеркалами. В п. 3.5.1 рассмотрена упрощенная модель (10) в приближении малой амплитуды комбинационной волны. Показано, что в слаборелятивистском случае автомодуляция возникает мягко в соответствии с амплитудным механизмом. С увеличением энергии пучка полоса усиления расширяется, в результате чего усиливаются эффекты конкуренции мод, и автомодуляция возникает жестко в соответствии с частотным механизмом. Переход к хаосу происходит в основном через разрушение квазипериодического движения, однако увеличение бифуркационного параметра приводит к жестким переходам к режимам на базе мод с все более высокими частотами. В результате складывается сложная картина чередующихся регулярных и хаотических режимов, аналогичная выявленной ранее для ЛОВ и ЛБВ генераторов16.

В п. 3.5.2 обсуждается влияние сил ПЗ на динамику генератора. Рассмотрены два характерных случая: режим увеличения мощности накачки, когда параметр ПЗ фиксирован, и режим увеличения тока пучка, когда ПЗ растет с увеличением нормированной длины системы Ь. В режиме увеличения мощности накачки основные закономерности те же, что и для кинематической модели (п. 3.5.1), за исключением того, что переходы к режимам на базе более высокочастотных мод с ростом £ происходят не жестко, а мягко, т.е. амплитуда основной составляющей в спектре постепенно уменьшается, а амплитуда ближайшего высокочастотного сателлита увеличивается. В режиме увеличения тока пучка, напротив, постепенно происходят переходы к режимам на базе все более низкочастотных мод. Это вызвано тем, что основная частота примерно соответствует частоте синхронизма с МВПЗ, которая с

16 См, например Рыскин Н М, Титов В Н // Изв вузов Радиофизика 2001 Т 44, № 10 С 860, РыскинНМ //Изв вузов Радиофизика. 2004 Т 47,№2 С 129

и

ростом параметра ПЗ уменьшается. Обнаружен эффект подавления автомодуляции силами ПЗ, аналогичный хорошо известному для ЛОВ17.

В п. 3.5.3 рассматривается полная модель ЛСЭ-генератора с учетом нелинейности процессов в электронном пучке (6), (7), (9). Проводится моделирование сценариев перехода к хаосу в двух характерных режимах: при увеличении тока пучка и плотности мощности накачки. Показано, что в первом случае динамика аналогична упрощенной волновой модели (п. 3.5.1), тогда как при увеличении плотности мощности накачки доминирующим нелинейным эффектом становится перегруппировка электронов, и условия применимости упрошенной модели нарушаются. Обнаружено, что в обоих режимах переход к хаосу происходит в основном через разрушение квазипериодического движения. Изучены эффекты мультистабильности и гистерезиса, показано, что для этой модели характерны жесткие переходы к режимам на базе мод с все более высокими частотами с увеличением бифуркационного параметра. В результате складывается сложная картина чередующихся регулярных и хаотических режимов в пространстве параметров.

Установлено, что в отличие от распределенного параметрического генератора (гл. 1), нет существенных отличий между сценариями перехода к хаосу в центрах и на границах зон генерации. В частности, не наблюдается объединение аттракторов, сформировавшихся на базе соседних собственных мод вблизи границ зон генерации. Это обусловлено присутствием фазовой нелинейности, т.е. зависимостью характерных частот от амплитуды. В результате с увеличением бифуркационного параметра постепенно повышается эффективность энергообмена пучка с более высокочастотными модами, и вместо образования «объединенного» аттрактора на базе двух соседних мод, высокочастотная мода подавляет низкочастотную.

В целом, результаты показывают, что ЛСЭ-скатгрон занимает своего рода промежуточное место между ЛОВ и ЛБВ-генераторами, демонстрируя отдельные черты поведения, присущие как тем, так и другим. Это, очевидно, объясняется тем, что в скатгроне пучок взаимодействует одновременно и с попутной, и со встречной волной, так что имеются два механизма обратной связи: внешний и внутренний.

Основные результаты и выводы

1. Показано, что в распределенном параметрическом генераторе бегущей волны автомодуляция возникает по частотному механизму и сопровождается жестким возбуждением большого числа собственных мод резонансной колебательной системы. Частоты всех возбуждаемых мод жестко связаны между собой (режим самосинхронизации мод). В режимах периодической автомодуляции происходит формирование одного или нескольких солитоноподоб-ных импульсов, периодически распространяющихся вдоль системы, причем наблюдается несколько подобных режимов, отличающихся числом и полярностью образующихся импульсов.

" Безручко Б П, Булгакова JI В., Кузнецов С П., Трубецков Д.И // Лекции по электронике СВЧ и радиофизике (5-я зимняя школа-семинар) Саратов Изд-воСарат ун-та, 1980 Кн 5 С 25

2. Обнаружено, что в распределенном параметрическом генераторе бегущей волны при увеличении параметра накачки наблюдается переход к хаосу через перемежаемость, что связано с появлением состояний с быстро меняющимися фазами и разрушением фазовой синхронизации. При дальнейшем увеличении накачки реализуется сложная картина чередующихся регулярных и хаотических автомодуляционных режимов, причем переходы к хаосу происходят в основном через разрушение квазипериодического движения. Такое поведение обусловлено перестройкой пространственно-временной динамики системы, т.е. образованием и взаимодействием параметрических солитонов.

3. Вблизи границ зон генерации в распределенном параметрическом генераторе бегущей волны наблюдается особенно сложная картина динамики, обусловленная эффектами бистабильности, т.е. сосуществования режимов колебаний на базе двух соседних собственных мод. С ростом надкритичности соответствующие этим модам аттракторы теряют устойчивость, и возникает новый режим, спектр которого примерно симметричен относительно частоты точного резонанса, т.е. относительно центра полосы усиления. Доминируют моды, удаленные от этой частоты, а центральные моды подавлены.

4. В распределенном параметрическом генераторе встречной волны по мере увеличения интенсивности накачки, колебания становятся хаотическими, причем переход к хаосу происходит жестко. В фазовом пространстве системы возникает аттрактор типа Лоренца, которому соответствуют хаотические колебания переключательного типа. При этом фазовая траектория, раскручиваясь вокруг одного из двух симметрично расположенных седло-фокусов, подходит к устойчивому многообразию седловой точки, откуда попадает в область другого седло-фокуса. Возникновению хаотического аттрактора предшествует бифуркация образования сепаратрисной петли. Аналогичная ситуация имеет место в системе Лоренца и в системе Пиковского-Рабиновича-Трахтенгерца, описывающей распадное ограничение параметрической неустойчивости.

5. Разработана модификация метода «крупных частиц» для численного моделирования нелинейной динамики ЛСЭ усилителя и генератора на вынужденном рассеянии встречных волн (ЛСЭ-скаттрон), применимая при любом соотношении между скоростью пучка и групповой скоростью сигнальной волны. Метод корректно учитывает зависимость коэффициента усиления от частоты, которая в значительной степени определяет поведение системы.

6. Проведено исследование эффекта автомодуляции в скаттроне-усилителе, результаты которого существенно развивают и обобщают полученные ранее. Показано, что автомодуляция может возникать как по амплитудному, так и по частотному механизму. Последний имеет место в областях «провалов» (локальных минимумов) на амплитудно-частотной характеристике усилителя. Впервые исследован сценарий перехода к хаосу, обнаружено, что имеет место переход через разрушение квазипериодического движения. Показано, что в пространстве параметров может быть несколько областей хаотического поведения, причем для наличия хаоса принципиален учет эффектов перегруппировки электронов.

7. Впервые исследованы нестационарные процессы в скаттроне-генераторе попутной волны. Показано, что в слаборелятивистском случае автомодуляция возникает мягко в соответствии с амплитудным механизмом. С увеличением энергии пучка полоса усиления расширяется, в результате чего усиливаются эффекты конкуренции мод, и автомодуляция возникает жестко в соответствии с частотным механизмом. Изучены процессы перехода к хаосу при увеличении тока пучка и плотности мощности накачки, установлено, что переход к хаосу происходит в основном через разрушение квазипериодического движения. Одновременно увеличение бифуркационного параметра приводит к жестким переходам к режимам на базе соседних мод, в результате складывается сложная картина чередующихся регулярных и хаотических режимов в пространстве параметров, аналогичная выявленной ранее для ЛОВ и ЛБВ генераторов.

8. В ЛСЭ-скатгроне, в отличие от распределенного параметрического генератора (гл. 1), не наблюдается объединение аттракторов, сформировавшихся на базе соседних собственных мод вблизи границ зон генерации. Это обусловлено присутствием фазовой нелинейности, за счет которой с увеличением бифуркационного параметра постепенно повышается эффективность энергообмена пучка с более высокочастотными модами, и вместо образования «объединенного» аттрактора на базе двух соседних мод, высокочастотная мода подавляет низкочастотную.

Основные публикации автора по теме диссертации

1. Дмитриева Т.В., РыскинН.М., Титов В.Н., ШигаевА.М. Сложная динамика простых моделей распределенных электронно-волновых систем // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика 1999. Т. 7, № 6. С. 66-82.

2. Дмитриева Т.В., Рыскин Н.М. Сложная динамика и хаос при параметрическом взаимодействии встречных волн//ЖЭТФ. 1999. Т. 116, №5. С. 1871-1881.

3. Dmitrieva T.V., Ryskin N.M., Shigaev A.M. Complex dynamics of simple models of distributed self-oscillating delayed feedback systems // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. 2001, Vol. 5, No. 4. P. 376-382.

4. Дмитриева T.B., Рыскин Н.М. Сложная динамика распределенного параметрического генератора//ЖЭТФ. 2001. Т. 120, №6. С. 1517-1526.

5. Дмитриева Т.В., Рыскин Н.М. Переходы к хаосу в системе параметрически взаимодействующих волн в резонаторе // ЖЭТФ. 2005. Т. 127, № 1. С. 208-217.

6. Dmitrieva T.V., Kizhaeva К.К., Ryskin N.M., Titov V.N., Shigaev A.M., Zaitseva A.G. Chaotic generation in delayed feedback microwave oscillators // Proceedings of the Iя International Workshop on the Noise Radar Technology, Yalta, Ukraine, 2002. P. 148-154.

7. Dmitrieva T.V., Ryskin N.M. Spatio-temporal chaotic dynamics of distributed parametric oscillators // Proceedings of the 11th Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems NDES'03. Scuol/Schuls, Switzerland, 2003. P. 77-81.

8. Dmitrieva Т. V., Ryskin N.M. Nonlinear dynamics in a free electron laser amplifier with electromagnetic pumping // Proceedings of the 13* International Symposium on High Current Electronics. Tomsk, Russia, 2004. P. 242-245.

9. Дмитриева T.B. Нелинейная динамика параметрического взаимодействия встречных волн // В сб. «Нелинейные дни в Саратове для молодых». Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 1998. С. 18-21.

10. Дмитриева Т.В. Сложная динамика распределенного параметрического генератора // В сб. «Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2000». Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2000. С. 88-91.

11. Дмитриева Т.В., Шигаев A.M. Сложная динамика простых моделей распределенных автоколебательных систем с запаздыванием // В сб. «Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2001». Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2001. С. 62-65.

12. Дмитриева Т.В. Исследование нелинейной динамики лазера на свободных электронах с электромагнитной накачкой II В сб. «Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2003». Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2003. С. 246-249.

13. Dmitrieva T.V., Ryskin N М. Complex dynamics in the parametric coupling of wave packets propagating in a quadratically nonlinear medium II Abstracts of the 6 International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation CHAOS-Ol. Saratov, Russia. Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2001. P. 26-27.

14. Дмитриева T.B., РыскинНМ. Исследование динамики лазера на свободных электронах, основанного на вынужденном встречном рассеянии волн // Материалы XII зимней школы-семинара по СВЧ электронике и радиофизике. Саратов, Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2003. С. 35-36.

15. Dmitrieva T.V., Ryskin N.M. Self-modulation instability in a free electron laser amplifier with electromagnetic pumping // Abstracts of the 5th IEEE International Vacuum Electronics Conference IVEC 2004. Monterey, California, USA, 2004. P. 194195.

16. Dmitrieva T.V., Ryskin N.M. Self-modulation and chaos in a free electron laser amplifier with electromagnetic pumping // Abstracts of the International Conference on Electromagnetics EUROEM-2004. Magdeburg, Germany, 2004. P. 57.

Подписано к печати 04.10.05 г. Заказ

Тираж 100 экз. Объем: ,

Отпечатано с готового оригинал-макета. Центр полиграфических и копировальных услуг. Предприниматель Серман Ю.Б. Свидетельство № 3117. Саратов, ул. Московская, д. 152, офис 19

№18424

РНБ Русский фонд

2006-4 13717

ВВЕДЕНИЕ.;.

1. СЛОЖНАЯ ДИНАМИКА РАСПРЕДЕЛЕННОГО ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ГЕНЕРАТОРА БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ.;.

1.1. Постановка задачи и основные уравнения.

1.2. Условия самовозбуждения.

1.3. Стационарные режимы одночастотной генерации.

1.3.1. Теория.

1.3.2. Численное моделирование стационарных режимов генерации.

1.4. Возникновение автомодуляции.

1.5. Численное моделирование режимов сложной динамики и хаоса.

1.5.1. Переход к хаосу в режиме фазовой синхронизации.

1.5.2. Переход к хаосу в центре зоны генерации. Общий случай.А

1.5.3. Переход к хаосу вблизи границ зоны генерации.

1.6. Выводы.

2. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ РАСПРЕДЕЛЕННОГО ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ГЕНЕРАТОРА ВСТРЕЧНОЙ ВОЛНЫ.

2.1. Основные уравнения.

2.2. Условия самовозбуждения.

2.3. Стационарные режимы генерации. Теория.

2.4. Результаты численного моделирования.

2.4.1. Переход к хаосу в режиме фазовой синхронизации.

2.4.2. Разрушение фазовой синхронизации при большой надкритичности.

2.5. Выводы.

3. АВТОМОДУЛЯЦИЯ И ХАОС ПРИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ЭЛЕКТРОННОГО ПОТОКА С ПОЛЯМИ ДВУХ НЕЗАМЕДЛЕННЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН.

3.1. Основные уравнения и законы сохранения.

3.1.1. Основные уравнения нестационарной нелинейной теории ЛСЭ-скаттрона.

3.1.2. Приближение малой амплитуды комбинационной волны.

3.1.3. Приближение больших пространственных зарядов.

3.1.4. Законы сохранения.

3.1.5. Численная схема решения нестационарных уравнений ЛСЭ.

3.2. Линейная нестационарная теория ЛСЭ-скаттрона: коэффициент усиления усилителя и условия самовозбуждения генератора.

3.2.1. Кинематическая модель без учета пространственного заряда.

3.2.2. Учет влияния пространственного заряда.

3.2.3. Линейная нестационарная теория в случае больших пространственных зарядов.

3.3. Оценка параметров.

3.4. Автомодуляция в ЛСЭ-усилителе.

3.4.1. Динамика ЛСЭ-усилителя в приближении малой амплитуды комбинационной волны.

3.4.2. Учет влияния пространственного заряда.

3.4.3. Динамика ЛСЭ-усилителя с учетом нелинейности процессов в электронном потоке.

3.5. Нелинейная динамика ЛСЭ-генератора.

3.5.1. Динамика в приближении малой амплитуды комбинационной волны.

3.5.2. Учет влияния пространственного заряда.

3.5.3. Моделирование динамики ЛСЭ-генератора с учетом перегруппировки электронов.

3.6. Выводы.

Актуальность темы диссертации. В настоящее время одной из актуальных проблем радиофизики является изучение пространственно-временного хаоса (турбулентности) в неравновесных средах [1-3]. Турбулентность в таких средах возникает за счет развития различных волновых неустойчивостей. Одним из важных примеров является трехволновая параметрическая или распадная неустойчивость [2-8], в основе которой лежит эффект усиления низкочастотных сигнальной и холостой волн за счет перекачки в них части энергии интенсивной высокочастотной волны накачки при выполнении резонансных условий [2-8]: kp=ks+kr

Здесь cojpi и ks pJ — частоты и волновые числа сигнала, накачки и холостой волны соответственно.

Радиофизические системы, в которых имеет место волновое параметрическое взаимодействие, широко используются для усиления и генерации колебаний в радио-, микроволновом и оптическом диапазонах [8-11]. Особое значение имеет параметрическое взаимодействие световых волн в нелинейном диэлектрике, которое лежит в основе действия оптических параметрических генераторов (ОПГ) [9-12]. В радиодиапазоне распределенные параметрические усилители и генераторы могут быть реализованы на отрезках нелинейных линий передачи [8]. В сверхвысокочастотном (СВЧ) диапазоне можно осуществить параметрическое усиление магнитостатических волн в ферромагнитных пленках [8,13], а также различных волн в электронных потоках [8,14] и плазменно-пучковых системах [15]. На сегодняшний день среди параметрических устройств вакуумной электроники наибольший интерес представляют лазеры на свободных электронах (ЛСЭ) [15,16]. С точки зрения теории волн [2,17], в ЛСЭ происходит параметрический распад волны накачки, роль которой играет ондулятор, на электромагнитную сигнальную волну (поперечную) и медленную волну пространственного заряда в электронном пучке (продольную). Причем, ввиду того, что в пучке возбуждается волна с отрицательной энергией, распад происходит с повышением частоты. Это открывает возможность теоретически безграничного повышения частоты излучения. В частности, в последнее время обсуждаются перспективы создания ЛСЭ вплоть до рентгеновского диапазона (см., например, [18]).

С точки зрения нелинейной динамики, волновые параметрические генераторы относятся к классу распределенных автоколебательных систем (РАС) с запаздывающей обратной связью. По сравнению с конечномерными системами успехи в изучении сложной динамики распределенных систем пока еще не столь велики, что обусловлено как техническими трудностями при проведении вычислительных и физических экспериментов, так и чрезвычайно сложной картиной различных динамических режимов в пространстве нескольких управляющих параметров. Как показывают исследования последних лет, радиофизические и электронные РАС демонстрируют богатый набор динамических режимов, включая переходы к хаосу по всем известным сценариям, характерным для конечномерных динамических систем [19-25]. Следует ожидать, что и для систем с параметрическим взаимодействием будет характерно подобное поведение. Отметим, что параметрическая неустойчивость относится к числу универсальных нелинейных феноменов и проявляется не только в радиофизике и электронике, но и в гидродинамике [6,26], физике плазмы [4,15,27,28], нелинейной оптике [10-12], в различных механических системах [29,30] и т.д. Поэтому построение полной картины сложной динамики волнового параметрического взаимодействия будет существенным шагом для выяснения общих закономерностей хаотического поведения в распределенных средах.

Указанные обстоятельства позволяют считать тему диссертации актуальной и важной для современной радиофизики и нелинейной динамики распределенных систем.

Цель работы состоит в детальном теоретическом и численном исследовании особенностей автомодуляционных и хаотических режимов в моделях распределенных автоколебательных систем, основанных на параметрическом взаимодействии волн в нелинейных средах. Конкретно в работе рассматриваются следующие системы:

• модель распределенного параметрического генератора бегущей волны с запаздывающей внешней обратной связью (система трех параметрически взаимодействующих волн в резонаторе);

• модель распределенного параметрического генератора встречной волны (система трех параметрически взаимодействующих волн в квадратично-нелинейной среде, одна из которых является встречной);

• модели ЛСЭ усилителя и генератора на вынужденном рассеянии встречных волн (параметрическое взаимодействие электронного потока с полями прямой и встречной незамедленных электромагнитных волн).

Исследование всех перечисленных выше систем включает теоретический анализ условий самовозбуждения и стационарных режимов генерации, численное моделирование различных автоколебательных режимов (одночастотных, многочастотных, хаотических), выяснение механизмов автомодуляции и сценариев перехода к хаосу, а также выявление связи режимов сложной динамики с процессами формирования и взаимодействия параметрических солитонов.

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются новыми и получены впервые:

• Показано, что в параметрическом генераторе бегущей волны автомодуляция возникает по частотному механизму и сопровождается жестким возбуждением большого числа собственных мод резонансной колебательной системы. Частоты всех возбуждаемых мод жестко связаны между собой (режим самосинхронизации мод). При этом происходит образование одного или нескольких солитоноподобных импульсов, периодически распространяющихся вдоль системы.

• Обнаружено, что в распределенном параметрическом генераторе бегущей волны при увеличении параметра накачки переход к хаосу происходит через перемежаемость, что связано с разрушением режима синхронизации фаз из-за появления состояний с быстро осциллирующими фазами. Далее наблюдается сложная последовательность чередования регулярных и хаотических режимов, причем переходы к хаосу происходят главным образом через разрушение квазипериодического движения. Показано, что такое поведение обусловлено перестройкой пространственно-временной динамики системы, т.е. образованием и взаимодействием параметрических солитонов.

• Показано, что в распределенном параметрическом генераторе встречной волны по мере увеличения амплитуды волны накачки колебания становятся хаотическими, причем переход к хаосу происходит жестко. В фазовом пространстве системы возникает аттрактор типа Лоренца, которому соответствуют хаотические колебания переключательного типа. При этом фазовая траектория, раскручиваясь вокруг одного из двух симметрично расположенных седло-фокусов, подходит к устойчивому многообразию седловой точки, откуда попадает в область другого седло-фокуса. Возникновению хаотического аттрактора предшествует бифуркация образования сепаратрисной петли. Аналогичная ситуация имеет место в ряде конечномерных систем, таких, как система Лоренца и система Пиковского-Рабиновича-Трахтенгерца, описывающая распадное ограничение параметрической неустойчивости.

• Разработана модифицированная методика численного моделирования нелинейной динамики ЛСЭ усилителя и генератора на вынужденном рассеянии встречных волн (ЛСЭ-скаттрон), справедливая при любом соотношении между скоростью пучка и групповой скоростью волны. Развитый подход позволяет корректно учесть частотную зависимость усиления в ЛСЭ, которая в значительной степени определяет поведение системы.

• Проведено исследование эффекта автомодуляции в скаттроне-усилителе, результаты которого существенно развивают и обобщают полученные ранее [31-33]. Показано, что наблюдается не только амплитудный механизм автомодуляции (описанный в [32, 33]), но и частотный механизм. Последний имеет место в областях «провалов» (локальных минимумов) на амплитудно-частотной характеристике усилителя. Впервые исследован сценарий перехода к хаосу в скаттроне-усилителе, обнаружено, что имеет место переход через разрушение квазипериодического движения. Показано, что в пространстве параметров может быть несколько областей хаотического поведения, причем для наличия хаоса принципиален учет эффектов разгруппировки электронных сгустков. • Впервые исследована нелинейная динамика скаттрона-генератора попутной волны. Показано, что автомодуляция может возникать как по амплитудному, так и по частотному механизму (в слабо- и сильно релятивистском случае соответственно). Обнаружен эффект подавления автомодуляции пространственным зарядом, аналогичный выявленному ранее для ЛОВ О-типа. Изучены процессы перехода к хаосу при увеличении тока пучка и плотности мощности накачки, установлено, что переход к хаосу происходит в основном через разрушение квазипериодического движения. Описана сложная картина чередующихся регулярных и хаотических режимов в пространстве параметров, которая складывается вследствие эффектов мультистабильности и гистерезиса.

Научная и практическая значимость результатов диссертации связана с тем, что рассматриваемые в ней системы являются моделями приборов, широко использующихся для генерации и усиления электромагнитных колебаний (параметрические генераторы, лазеры на свободных электронах) [10-12,14-16]. Изучение нестационарных режимов колебаний позволяет выявить механизмы различных паразитных неустойчивостей и определить условия устойчивой работы этих приборов в режиме одночастотной генерации. В то же время, результаты исследований хаотических режимов представляют самостоятельный интерес в связи с перспективами применения хаотических сигналов в системах связи [34,35], радиолокации [36] и др. Результаты исследования процессов, в ходе которых происходит образование солитонов, представляют практический интерес для генерации ультракоротких импульсов.

Вместе с тем, результаты диссертации имеют общенаучное значение для понимания основных закономерностей пространственно-временного хаоса (турбулентности) в средах самой различной природы, в первую очередь — гидродинамической и плазменной турбулентности [1—4].

Результаты диссертации были получены при выполнении ряда НИР, в том числе поддержанных грантами Российского фонда фундаментальных исследований (№№ 98-0216541, 03-02-16192, 03-02-16269), Программы «Университеты России», Американского фонда гражданских исследований и развития (№ REC-006), а также грантом Министерства образования России для поддержки научно-исследовательской работы аспирантов высших учебных заведений (А03-2.9-810).

Достоверность полученных результатов подтверждается тем, что

• результаты численного моделирования и теоретического анализа (пороги самовозбуждения, автомодуляции, характеристики стационарных режимов генерации) хорошо согласуются друг с другом;

• для численного моделирования применяются хорошо апробированные численные методы и разностные схемы;

• в качестве тестовых расчетов в ряде случаев воспроизводятся результаты, известные из литературы;

• некоторые эффекты, обнаруженные в численном эксперименте для модели распределенного параметрического генератора бегущей волны, впоследствии были подтверждены экспериментально. В частности, режимы генерации последовательностей солитонов различной полярности наблюдались в экспериментах по параметрической генерации в кольцевом резонаторе с ферромагнитной пленкой, выполненных Б.А. Калиникосом с соавторами [37]. Режимы хаотической перемежаемости также наблюдались в экспериментах с оптическим параметрическим генератором [38,39].

Положения, выносимые на защиту

• В параметрическом генераторе бегущей волны автомодуляция возникает по частотному механизму и сопровождается образованием одного или нескольких солитоноподобных импульсов, периодически распространяющихся вдоль системы. При увеличении параметра накачки происходит переход к хаосу через перемежаемость, что связано с разрушением режима синхронизации фаз из-за появления состояний с быстро осциллирующими фазами. Далее наблюдается сложная последовательность чередования регулярных и хаотических режимов, причем переходы к хаосу происходят главным образом через разрушение квазипериодического движения. Такое поведение обусловлено процессами образования и взаимодействия параметрических солитонов.

• В распределенном параметрическом генераторе встречной волны по мере увеличения амплитуды волны накачки колебания становятся хаотическими, причем переход к хаосу происходит жестко. В фазовом пространстве системы возникает аттрактор типа Лоренца, которому соответствуют хаотические колебания переключательного типа. При этом фазовая траектория, раскручиваясь вокруг одного из двух симметрично расположенных седло-фокусов, подходит к устойчивому многообразию седловой точки, откуда попадает в область другого седло-фокуса. Возникновению хаотического аттрактора предшествует бифуркация образования сепаратрисной петли.

• В скаттроне-усилителе автомодуляция может возникать как по амплитудному, так и по частотному механизму. Последний имеет место в области локальных минимумов частотных зависимостей коэффициента усиления. Переходы к хаосу при увеличении мощности входного сигнала или тока пучка происходят через разрушение квазипериодического движения, причем хаотические режимы возможны только при сильной перегруппировке электронов. В пространстве параметров существуют две области хаотического поведения: в одной максимальную амплитуду в спектре имеет частота входного сигнала, в другой доминирует частота автомодуляционного сателлита, а частота входного сигнала подавлена.

• В скаттроне-генераторе попутной волны автомодуляция может возникать и по амплитудному, и по частотному механизму. Последний механизм имеет место при больших значениях релятивистского масс-фактора и сопровождается периодическим распространением солитоноподобного импульса вдоль длины системы. С увеличением тока пучка или плотности мощности накачки, с одной стороны, реализуется сценарий перехода к хаосу через разрушение квазипериодического движения, с другой стороны, происходят жесткие переходы к режимам на базе соседних мод. Конкуренция двух указанных тенденций приводит к сложной картине чередующихся регулярных и хаотических режимов в пространстве параметров.

Апробация работы и публикации. Результаты, представленные в диссертационной работе, докладывались на научных семинарах факультета нелинейных процессов СГУ и НОЦ

Нелинейная динамика и биофизика» СГУ, а также на следующих международных и всероссийских конференциях:

• Международная конференция "EUROEM-2004" (Магдебург, Германия, 2004);

• Международная конференция "Dynamic Days 2004" (Майорка, Испания, 2004);

• Международная конференция "Dynamical Systems Methods in Nonlinear Wave Equations" (Лоуборо, Великобритания, 2002);

• XI и XII Международные зимние школы-семинары по СВЧ электронике и радиофизике (Саратов, 2000,2003);

• II Международная конференция «Фундаментальные проблемы физики» (Саратов, 2000);

• XI Международная школа-конференция "Foundations & Advances in Nonlinear Science" (Минск, Белоруссия, 2003);

• Международная межвузовская конференция «Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ» (Саратов, 2001);

• V Всероссийская научная конференция студентов-радиофизиков (Санкт-Петербург, 2001);

• V и VI Международные школы-конференции по хаотическим колебаниям и образованию структур «ХАОС» (Саратов, 1998,2001);

• Ежегодные научные школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (Саратов, 1999-2001,2003).

По теме диссертации опубликовано 26 работ [111-136] (5 статей в рецензируемых научных журналах, 7 статей в сборниках трудов научных конференций и 14 тезисов докладов).

Ряд результатов диссертации вошел в работы, за которые автор (совместно с Шигаевым A.M.) была награждена медалью и премией РАН за лучшую студенческую научную работу в области общей физики и астрономии в 2001 г. и медалью Открытого Всероссийского конкурса министерства образования РФ на лучшую студенческую научно-исследовательскую работу в 1999 г.

Личный вклад автора. Основные результаты, включенные в диссертацию, получены автором самостоятельно. Большинство опубликованных работ по теме диссертации выполнены совместно с научным руководителем. При этом вклад автора состоял в написании программ для численного моделирования, постановке и проведении вычислительных экспериментов, проведении теоретического анализа. Вклад научного руководителя состоял в постановке задачи, определении методов и подходов к ее решению. Обсуждение и интерпретация полученных результатов проводилась совместно. В работах, опубликованных с другими соавторами [111,113,116,121,125,131], автору принадлежат результаты, включенные в диссертацию.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав и заключения. Работа содержит 157 страниц текста, включая 72 рисунка, список литературы из 136 наименований на 11 страницах.

3.6. Выводы

В настоящей главе представлены результаты исследований нелинейной динамики параметрического взаимодействия двух поперечных электромагнитных волн с релятивистским электронным пучком. Данную систему можно рассматривать как модель ЛСЭ-скаттрона, основанного на эффекте вынужденного встречного рассеяния волн. Рассмотрена динамика двух моделей ЛСЭ: упрощенная модель в виде системы нелинейных волновых уравнений, полученная в так называемом приближении малой амплитуды комбинационной волны, когда скоростная модуляция пучка полагается незначительной, и более строгая модель, принимающая во внимание эффект перегруппировки электронов. Для последней модели развит модифицированный метод «крупных частиц», пригодный при любом соотношении между скоростью электронов и групповой скоростью сигнальной волны. Для этого, в частности, число учитываемых «крупных частиц», моделирующих электронный поток, было существенно увеличено (порядка нескольких тысяч).

Проведено исследование паразитных автомодуляционных процессов в ЛСЭ-усилителе, существенно расширяющее представления, развитые ранее в [31,32]. Показано, что автомодуляция может возникать не только в соответствии с амплитудным механизмом, описанным ранее, но и в соответствии с частотным механизмом. Последний имеет место в . областях «провалов» (локальных минимумов) на амплитудно-частотной характеристике усилителя. Также обнаружено, что в сильно нелинейных режимах при больших амплитудах входного сигнала не происходит подавления паразитного автомодуляционного сателлита (согласно [33]), а, напротив, имеет место подавление входного сигнала. Впервые изучен вопрос о сценарии перехода к хаосу в ЛСЭ-усилителе, показано, что имеет место переход через разрушение квазипериодического движения. Режимы квазипериодической и хаотической автомодуляции наблюдаются для модели с учетом нелинейности процессов в электронном пучке, а также для волновой модели в случае большого пространственного заряда. Таким образом, принципиальную роль для возникновения хаоса играют" эффекты If разгруппировки электронов (это может быть либо разгруппировка под действием сил пространственного заряда, либо кинематическая перегруппировка за счет обгона одних электронов другими). Кроме того, для появления хаотических колебаний необходима достаточно широкая полоса усиления и достаточно малое истощение накачки.

Впервые исследованы нестационарные процессы в скаттроне-генераторе попутной волны. Показано, что автомодуляция может возникать как по амплитудному, так и по частотному механизму (в слабо- и сильно релятивистском случае соответственно). При частотном механизме имеет место самосинхронизация большого числа собственных мод, приводящая к образованию солитоно подобных импульсов, периодически распространяющихся вдоль системы. Эта картина аналогична описанной в гл. 1 для распределенного параметрического генератора бегущей волны. Для модели, полученной в приближении малой амплитуды комбинационной волны, изучен сценарий перехода к хаосу по мере увеличения нормированной длины системы L. Обнаружено, что для этой системы характерна сильная мультистабильность, т.е. пространство параметров состоит из частично перекрывающихся «листов», каждый из которых соответствует динамике на базе одной из собственных мод генератора. Двигаясь по этим листам, можно наблюдать переходы к хаосу через разрушение квазипериодического движения. Одновременно с увеличением бифуркационного параметра наблюдаются жесткие переходы к режимам на базе мод с все более высокими частотами. В результате складывается сложная картина чередующихся регулярных и хаотических режимов в пространстве параметров. Аналогичная ситуация была описана в [25] для ЛБВ-генератора с запаздыванием и в [23] для ЛОВ при больших отражениях. Однако переходы к новым модам в [23,25], как правило, происходили не жестко, а через перемежаемость.

Изучено влияние пространственного заряда на динамику системы. Рассмотрены два характерных сценария поведения: при увеличении плотности мощности накачки, когда параметр пространственного заряда фиксирован, и при увеличении тока пучка, когда пространственный заряд растет с увеличением L. При небольшом пространственном заряде (приблизительно до значений Q4 ~ 3) качественных отличий от кинематического случая не наблюдается. Наблюдается смещение частот колебаний в область синхронизма с МВПЗ, а также повышение порогов различных бифуркаций. В случае большого пространственного заряда при увеличении мощности накачки основное отличие от кинематической модели состоит в том, что переходы к режимам на базе более высокочастотных мод в основном происходят мягко, т.е. с ростом параметра происходит постепенное уменьшение амплитуды основной моды и увеличение амплитуды ближайшего высокочастотного сателлита. В режиме увеличения тока пучка обнаружен эффект подавления автомодуляции пространственным зарядом, хорошо известный для лампы обратной волны О-типа [68,97]. Другая особенность этого режима в том, что наблюдаются переходы к колебаниям на базе не более высокочастотных, а более низкочастотных мод, поскольку с ростом параметра пространственного заряда частота синхронизма с МВПЗ уменьшается.

Изучены процессы перехода к хаосу при увеличении тока пучка и плотности мощности накачки для полной модели с учетом нелинейности процессов в электронном пучке. Показано, что упрощенная волновая модель правильно описывает сценарий перехода при увеличении тока пучка, тогда как при увеличении плотности мощности накачки доминирующим нелинейным эффектом становится перегруппировка электронов, и условия применимости упрощенной модели нарушаются. В целом основные качественные закономерности поведения сохраняются, т.е. наблюдаются переходы к хаосу через разрушение квазипериодического движения на отдельных листах пространства параметров, а также жесткие переходы на листы, соответствующие более высокочастотным модам.

В отличие от распределенного параметрического генератора (гл. 1), в ЛСЭ-генераторе нет существенных отличий между сценариями перехода к хаосу в центрах и на границах зон генерации. В частности, не наблюдается объединение аттракторов, сформировавшихся на базе соседних собственных мод вблизи границ зон генерации. Это обусловлено присутствием фазовой нелинейности, т.е. зависимостью характерных частот от амплитуды. В результате с увеличением бифуркационного параметра постепенно повышается эффективность энергообмена пучка с более высокочастотными модами, и вместо образования «объединенного» аттрактора на базе двух соседних мод, высокочастотная мода подавляет низкочастотную.

В целом, ЛСЭ-скатгрон занимает своего рода промежуточное место между ЛОВ и ЛБВ-генераторами, демонстрируя отдельные черты поведения, присущие как тем, так и другим. Это, очевидно, объясняется тем, что в скаттроне пучок взаимодействует одновременно и с попутной, и со встречной волной, так что имеются два механизма обратной связи: внешний и внутренний.

Сопоставление результатов численного моделирования с оценками параметров для предложенных в ряде работ конструкций ЛСЭ-скаттронов с накачкой от мощного источника миллиметрового диапазона показывает, что в принципе можно достичь таких значений параметров, при которых возникают автомодуляция и хаос. Однако для этого требуются весьма высокие значения плотности мощности накачки и интенсивные пучки (плотность тока ~ 1 кА/см2). При этом возрастает влияние пространственного заряда, что, в свою очередь, приводит к увеличению пороговых значений. Наиболее реалистичным представляется случай ЛСЭ с высокодобротным резонатором и небольшим коэффициентом усиления (что характерно для большинства существующих генераторов такого рода).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе исследована сложная динамика в различных системах параметрически взаимодействующих нелинейных волн. Рассмотрено взаимодействие трех попутных волн в резонаторе (модель распределенного параметрического генератора бегущей волны с запаздывающей обратной связью), взаимодействие трех волн, одна из которых является встречной (модель безрезонаторного распределенного параметрического генератора встречной волны) и взаимодействие релятивистского электронного пучка с полями прямой и встречной незамедленных электромагнитных волн (модели усилителя и генератора на базе ЛСЭ-скаттрона). Перечислим основные полученные результаты:

1. Показано, что в распределенном параметрическом генераторе бегущей волны автомодуляция возникает по частотному механизму и сопровождается жестким возбуждением большого числа собственных мод резонансной колебательной системы. Частоты всех возбуждаемых мод жестко связаны между собой (режим самосинхронизации мод). После того, как превышен порог автомодуляции, переходный процесс завершается формированием солитоноподобного импульса, который периодически распространяется вдоль системы. По мере увеличения интенсивности накачки возникают новые режимы

Ч1 периодической автомодуляции, характеризующиеся различным числом и формой образующихся импульсов. Аналогичное поведение было обнаружено в экспериментах по параметрической генерации магнитостатических волн в кольцевой системе с ферромагнитной пленкой [37].

2. Обнаружено, что в распределенном параметрическом генераторе бегущей волны при увеличении параметра накачки наблюдается переход к хаосу через перемежаемость, что связано с появлением состояний с быстро меняющимися фазами и разрушением фазовой синхронизации. Подобные режимы впоследствии наблюдались в экспериментах с оптическим параметрическим генератором [38,39]. При дальнейшем увеличении накачки реализуется сложная картина чередующихся регулярных и хаотических автомодуляционных режимов, причем переходы к хаосу происходят в основном через разрушение квазипериодического движения. Такое поведение обусловлено перестройкой пространственно-временной динамики системы, т.е. образованием и взаимодействием параметрических солитонов.

3. Вблизи границ зон генерации в распределенном параметрическом генераторе бегущей волны наблюдается особенно сложная картина динамики, обусловленная эффектами бистабильности, т.е. сосуществования режимов колебаний на базе двух соседних собственных мод. С ростом надкритичности соответствующие этим модам аттракторы теряют устойчивость, и возникает новый режим, спектр которого примерно симметричен относительно частоты точного резонанса, т.е. относительно центра полосы усиления. Доминируют моды, удаленные от этой частоты, а центральные моды подавлены. Последовательность бифуркаций завершается возникновением так называемого «развитого» хаоса, т.е. сильно нерегулярных колебаний, когда на проекции фазового портрета не удается выделить какую-либо крупномасштабную структуру.

4. В распределенном параметрическом генераторе встречной волны по мере увеличения интенсивности накачки, колебания становятся хаотическими, причем переход к хаосу происходит жестко. В фазовом пространстве системы возникает аттрактор типа Лоренца, которому соответствуют хаотические колебания переключательного типа. При этом фазовая траектория, раскручиваясь вокруг одного из двух симметрично расположенных седло-фокусов, подходит к устойчивому многообразию седловой точки, откуда перепрыгивает с некоторой долей вероятности к другому седло-фокусу. Возникновению хаотического аттрактора предшествует бифуркация образования сепаратрисной петли. Наблюдаемая последовательность бифуркаций демонстрирует аналогию с рядом конечномерных моделей, в частности, с системой Лоренца, которая относится к числу наиболее известных эталонных моделей нелинейной динамики, и с системой Пиковского-Рабиновича-Трахтенгерца, описывающей распадное ограничение параметрической неустойчивости [85]. Подобное поведение объясняется тем, что основную роль в организации сложной динамики играют три неустойчивых стационарных состояния: нулевое, отвечающее отсутствию колебаний, и два ненулевых, которые соответствуют низшей собственной моде и симметричны друг другу. Высшие собственные моды оказывают влияние лишь на начальную стадию переходного процесса, а отвечающие им стационарные состояния не реализуются.

5. В распределенном параметрическом генераторе встречной волны, как и для генератора попутной волны, наблюдается постепенное разрушение фазовой синхронизации при больших значениях параметра накачки. При этом зависимость выходного сигнала от времени напоминает перемежаемость. Однако разрушение фазовой синхронизации происходит уже после того, как колебания становятся хаотическими.

6. Разработана модификация метода «крупных частиц» для численного моделирования нелинейной динамики ЛСЭ усилителя и генератора на вынужденном рассеянии встречных волн (ЛСЭ-скаттрон), применимая при любом соотношении между скоростью пучка и групповой скоростью сигнальной волны. Метод позволяет корректно учесть зависимость коэффициента усиления от частоты, которая в значительной степени определяет поведение системы.

7. Проведено исследование эффекта автомодуляции в скаттроне-усилителе, результаты которого существенно развивают и обобщают полученные ранее [32,33]. Показано, что автомодуляция может возникать как по амплитудному, так и по частотному механизму. Последний имеет место в областях «провалов» (локальных минимумов) на амплитудно-частотной характеристике усилителя. Впервые исследован сценарий перехода к хаосу в скаттроне-усилителе, обнаружено, что имеет место переход через разрушение квазипериодического движения. Показано, что в пространстве параметров может быть несколько областей хаотического поведения, причем для наличия хаоса принципиальны эффекты разгруппировки электронов (либо разгруппировка под действием сил пространственного заряда, либо кинематическая перегруппировка за счет обгона одних электронов другими).

8. Впервые исследованы нестационарные процессы в скаттроне-генераторе попутной волны. Показано, что в слаборелятивистском случае автомодуляция возникает мягко в соответствии с амплитудным механизмом. С увеличением энергии пучка полоса усиления расширяется, в результате чего усиливаются эффекты конкуренции мод, и автомодуляция возникает жестко в соответствии с частотным механизмом. Для этой системы характерна сильная мультистабильность, т.е. пространство параметров состоит из частично перекрывающихся «листов», каждый из которых соответствует динамике на базе одной из собственных мод генератора. Двигаясь по этим листам, можно наблюдать переходы к хаосу через разрушение квазипериодического движения. Одновременно с увеличением бифуркационного параметра наблюдаются жесткие переходы к режимам на базе мод с все более высокими частотами. В результате складывается сложная картина чередующихся регулярных и хаотических режимов в пространстве параметров, аналогичная обнаруженной ранее для резонансных JIOB и ЛБВ-генераторов [23,25].

9. Изучено влияние пространственного заряда на динамику скаттрона-генератора. Рассмотрены два характерных сценария поведения: при увеличении плотности мощности накачки, и при увеличении тока пучка. В отличие от кинематической модели, переходы к режимам на базе других мод в основном происходят мягко, т.е. с ростом параметра происходит постепенное уменьшение амплитуды основной моды и увеличение амплитуды ближайшего высокочастотного сателлита. В режиме увеличения тока пучка обнаружен эффект подавления автомодуляции пространственным зарядом, хорошо известный для лампы обратной волны О-типа [68,97]. Другая особенность этого режима в том, что наблюдаются переходы к колебаниям на базе не более высокочастотных, а более низкочастотных мод, поскольку с ростом параметра пространственного заряда частота синхронизма с МВПЗ уменьшается.

10. Для полной модели ЛСЭ с учетом нелинейности процессов в электронном пучке изучены сценарии перехода к хаосу при увеличении мощности накачки и тока пучка. В целом основные качественные закономерности поведения сохраняются, т.е. наблюдаются переходы к хаосу через разрушение квазипериодического движения на отдельных листах пространства параметров, а также жесткие переходы на листы, соответствующие более высокочастотным модам. Однако результаты хорошо согласуются с полученными для упрощенной волновой модели только при увеличении тока пучка. При увеличении плотности мощности накачки, когда доминирующим нелинейным эффектом становится перегруппировка электронов, правильное описание режимов нелинейной динамики возможно только при помощи полной модели на основе метода «крупных частиц».

11. В ЛСЭ-скаттроне, в отличие от распределенного параметрического генератора (гл. 1), нет существенных отличий между сценариями перехода к хаосу в центрах и на границах зон генерации. В частности, не наблюдается объединение аттракторов, сформировавшихся на базе соседних собственных мод вблизи границ зон генерации. Это обусловлено присутствием фазовой нелинейности, т.е. зависимостью характерных частот от амплитуды. В результате с увеличением бифуркационного параметра постепенно повышается эффективность энергообмена пучка с более высокочастотными модами, и вместо образования «объединенного» аттрактора на базе двух соседних мод, высокочастотная мода подавляет низкочастотную.

БЛАГОДАРНОСТИ

В заключение хочу выразить глубокую благодарность и признательность своему научному руководителю кандидату физико-математических наук, доценту кафедры нелинейной физики СГУ, Никите Михайловичу Рыскину за ценный опыт, полученный в ходе многолетнего сотрудничества, постоянное внимание к работе, многочисленные полезные советы и всестороннюю поддержку.

1. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992. 544 с.

2. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984. 432 с.

3. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, 1997. 496 с.

4. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988. 368 с.

5. Рыскин Н.М., Трубецков Д.И. Нелинейные волны. М.: Наука, Физматлит, 2000. 272 с.

6. Ablowitz M.J., SegurH. Solitons and inverse spectral transform, Philadelphia: SIAM, 1980.

7. Каир D.J., Reiman A.H., Bers A., Space-time evolution of nonlinear three-wave interactions. I. Interaction in a homogeneous medium // Rev. Mod. Phys. 1979. Vol. 51, No. 2. P. 275-310.

8. Люиселл У. Связанные и параметрические колебания в электронике. М.: ИЛ, 1963. * 352 с.

9. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания. М.: Физматлит, 2002. 292 с.

10. Ярив А. Квантовая электроника. М.: Сов. радио, 1980.488 с.

11. И. Дмитриев В.Г., Тарасов Л.В. Прикладная нелинейная оптика. М.: Сов. радио, 1985. 352 с.

12. Ахманов С.А., Хохлов Р.В. Параметрические усилители и генераторы света // УФН. 1966. Т. 88, №3. С. 439-460.

13. Вашковский А.В., Стальмахов B.C., Шараевский Ю.П. Магнитостатические волны в ^ электронике сверхвысоких частот. Саратов: Изд. СГУ, 1993. 310 с.

14. Лопухин В.М., Рошаль А.С. Электроннолучевые параметрические усилители. М.: Сов. радио, 1968.239 с.

15. Кузелев М.В., РухадзеА.А. Электродинамика плотных электронных пучков в плазме. М.: Наука, 1990. 333 с.

16. Маршалл Т. Лазеры на свободных электронах. М.: Мир, 1987. 240 с.

17. Трубецков Д.И., Рожнев А.Г. Линейные колебания и волны. М.: Наука, Физматлит, 2001.416 с.1. А 1471821,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31.

18. Рыскин Н.М., Титов В.Н. О сценарии перехода к хаосу в однопараметрической модели лампы обратной волны // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1998. Т. 6, № 1. С. 75-92.

19. Ryskin N.M., Titov V.N. Nonlinear dynamics of the backward-wave oscillator // Journ. Comm. Technol. Electron. 2000. Vol.45, Suppl. 1. P. S46-S52.

20. Рыскин H.M., Титов В.Н. Автомодуляционные и хаотические режимы генерации в релятивистской лампе обратной волны с отражениями // Изв. вузов. Радиофизика. 2001. Т. 44, №10. С. 860-874.

21. Ryskin N.M., Titov V.N., Han S.T., SoJ.K., JangK.H., Kang Y.B., ParkG.S.

22. Nonstationary behavior in a delayed feedback traveling wave tube folded waveguideoscillator // Physics of Plasmas. 2004. Vol. 11, No. 3. P. 1194-1202.

23. Рыскин H.M. Исследование нелинейной динамики ЛБВ-генератора сзапаздывающей обратной связью // Изв. вузов. Радиофизика. 2004. Т. 47, № 2. С.129.142.

24. Филипс О.М. Взаимодействие волн // В кн. Нелинейные волны. Под ред. М. Лейбовича и А. Сибасса. М.: Мир, 1977. С. 197-220.

25. Вильхельмсон X., ВейландЯ. Когерентные нелинейные взаимодействия волн в плазме. М.: Энергоиздат, 1981.

26. Stenflo L. Resonant three-wave interactions in plasmas // Physica Scripta. 1994. Vol. T50, P. 15-19.

27. Гинзбург Н.С. К нелинейной теории лазеров на свободных электронах со встречной сигнальной волной // ЖТФ. 1985. Т.55, № 1. С. 47-52.32.