"Тонкая структура" процессов автомодуляции и перехода к хаосу в распределенной автоколебательной системе "электронный поток - обратная электромагнитная волна" тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР ТЕОРЕТИЧЕСКИХ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ НЕСТАЦИОНАРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В РАСПРЕДЕЛЕННОЙ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЕ "ЭЛЕКТРОННЫЙ ПОТОК — ОБРАТНАЯ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА". 1.1. Основные уравнения нестационарной нелинейной теории ЛОВ.

1.1.1. Уравнение возбуждения волновода током медленно меняющейся амплитуды.

1.1.2. Уравнения движения электронов в поле электромагнитной волны.

1.1.3. Переход к уравнениям стационарной теории.

1.2. Основные результаты теоретических и экспериментальных исследований.

1.2.1. Физическая картина возникновения автомодуляции в ЛОВ.

1.2.2. Детерминированные хаотические режимы колебаний ЛОВ.

1.3. Выводы.

2. СЛОЖНАЯ ДИНАМИКА ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

СИСТЕМЫ "ЭЛЕКТРОННЫЙ ПОТОК — ОБРАТНАЯ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА". .^.

2.1. Клистронная модель ЛОВ. Приближенное описание при помощи одномерного отображения.

2.1.1. Основные уравнения.

2.1.2. Условия самовозбуждения.

2.1.3. Режимы стационарной генерации и их устойчивость.

2.1.4. Результаты численного моделирования.

2.2. Упрощенная модель системы "электронный поток — обратная электромагнитная волна" с распределенным взаимодействием.

2.3. Сценарий перехода к хаосу в однопараметрической модели ЛОВ.

2.3.1. Переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода.

2.3.2. Область прибавлений периода.

2.3.3. Переход "хаос -— порядок" через перемежаемость.

2.3.4. Переход к "развитому" хаосу.

2.4. Выводы.

3. СЛОЖНАЯ ДИНАМИКА МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ ТИПА "ЭЛЕКТРОННЫЙ ПОТОК — ОБРАТНАЯ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА".

3.1. Особенности нелинейной динамики двухпараметрической модели РАС "электронный поток — обратная электромагнитная волна" (нестационарная нелинейная теория ЛОВ при конечных значениях параметра усиления).

3.2. Сложная динамика РАС "электронный поток — обратная электромагнитная волна" с учетом релятивистских эффектов.

3.3 Влияние отражений излучения от границ замедляющей структуры на сложную динамику системы "релятивистский электронный поток — обратная электромагнитная волна".

3.3.1 .Основные уравнения.:.

3.3.2. Условия самовозбуждения.

3.3.3. Численное моделирование процессов самовозбуждения и возникновения автомодуляции.:.

3.3.4. Переход к хаосу при больших отражениях.

3.3.5. Переход к хаосу при слабых отражениях.

3.4. Выводы.

Актуальность темы диссертации. Исследование сложной динамики распределенных автоколебательных систем (РАС) является актуальной задачей современной физики ввиду очевидной связи с такими фундаментальными проблемами, как возникновение турбулентности и образование диссипативных структур. К типичным примерам РАС следует отнести некоторые гидродинамические течения, химические системы типа "реакция — диффузия", оптические квантовые генераторы (лазеры), диоды Ганна и т.д. [1-4]. Среди РАС, имеющих радиофизическую природу, выделяются приборы вакуумной сверхвысокочастотной (СВЧ) электроники, основанные на взаимодействии электронных потоков (ЭП) с электромагнитными волнами (ЭМВ). Хорошо известно, что многие из них способны демонстрировать сложные, в том числе хаотические, режимы колебаний. Наиболее часто рассматриваются лампы бегущей волны (ЛБВ) с запаздывающей обратной связью [5-9], лампы обратной волны (ЛОВ) [10-12], лазеры на свободных электронах (ЛСЭ) [11,13,14], гиротроны [15,16], приборы с виртуальным катодом [17,18], приборы плазменной СВЧ электроники [19,20].

Следует отметить, что по сравнению с системами с конечным (точнее говоря, с небольшим) числом степеней свободы, успехи в изучении сложной динамики распределенных систем пока еще незначительны. С одной стороны это связано с чисто техническими трудностями при проведении вычислительных и физических экспериментов. С другой стороны для таких систем, как правило, характерна чрезвычайно сложная картина различных динамических режимов, что обусловлено очевидными причинами: наличием бесконечного числа степеней свободы и нескольких управляющих параметров. Таким образом, часто бывает затруднительно наблюдать основные сценарии перехода к хаосу, присущие конечномерным динамическим системам, выявить физические причины, ответственные за тот или иной тип динамики, и т.д. Поэтому приборы СВЧ электроники, для исследования которых существуют хорошо апробированные теоретические и экспериментальные методы, представляются весьма удобными объектами для анализа.

Среди вакуумных СВЧ генераторов системы типа "электронный поток — обратная электромагнитная волна" (ЛОВ О- и М-типов, гиро-ЛОВ и другие [12]) занимают особое место. Прежде всего, именно для подобных систем (ЛОВМ [21-23], ЛОВО [10,22,24]) были впервые разработаны теоретические методы анализа нестационарных нелинейных процессов и обнаружено явление автомодуляции выходного сигнала и переход к хаосу в ЛОВО [10,24]. Существенно, что режимы регулярной [25] и хаотической [26,27] автомодуляции были вскоре обнаружены экспериментально.

На сегодняшний день является особое внимание привлекают ЛОВ с сильноточными релятивистскими электронными пучками (релятивистские карсинотроны). С практической точки зрения интерес к исследованию сложной динамики и хаоса в ЛОВ (и других РАС электронной природы) вызван тем, что подобные процессы достаточно типичны для мощных приборов СВЧ электроники, где часто выступают в качестве паразитных явлений, приводящих к неустойчивости стационарных режимов одночастот-ной генерации. В то же время имеется потребность в создании широкополосных генераторов хаотических сигналов с управляемыми характеристиками.

Несмотря на большое количество работ, посвященных нелинейной динамике ЛОВ, ряд важных вопросов до сих пор остается без ответа. В частности, не ясно, по какому сценарию происходит переход к хаосу. Согласно наиболее распространенной точке зрения, доминирует сценарий разрушения квазипериодического движения [11,12]. Формально это утверждение справедливо, поскольку по мере увеличения бифуркационного параметра колебания из периодических сначала становятся квазипериодическими (автомодуляция), а затем хаотическими. Однако, как известно, разрушение квазипериодического движения может происходить самыми различными способами [1,2]. Каждому из таких сценариев соответствуют свои количественные закономерности. Убедительные доказательства того, что происходит именно разрушение квазипериодического движения, пока отсутствуют. С другой стороны, в ряде работ был обнаружен переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода автомодуляции (см., например, [28]).

Не проведено подробное исследование влияния на сложную динамику многих важных с практической точки зрения факторов, таких, например, как отражение излучения от концов замедляющей структуры, пространственный заряд, релятивистские эффекты. Соответствующие модели РАС "ЭП — обратная ЭМВ" являются многопараметрическими, что существенно осложняет проведение вычислительного эксперимента. На сегодняшний день для вышеперечисленных систем отсутствует полная картина динамических режимов в пространстве управляющих параметров.

Указанные обстоятельства позволяют считать тему диссертации актуальной и важной для современной радиофизики в той ее части, которая связана с генерацией и усилением электромагнитного излучения СВЧ диапазона.

Цель работы состоит в детальном теоретическом исследовании особенностей сложной динамики и сценариев перехода к хаосу в моделях распределенной автоколебательной системы "электронный поток — обратная электромагнитная волна", в частности:

• в разработке и исследовании численными и аналитическими методами упрощенных моделей РАС "ЭП — обратная ЭМВ" со сложной динамикой.

• в исследовании путем численного моделирования деталей сценария перехода к хаосу в традиционной для СВЧ электроники однопараметрической модели РАС "ЭП — обратная ЭМВ" (уравнения нестационарной нелинейной теории ЛОВ типа О).

• в исследовании влияния на особенности сложной динамики таких важных с практической точки зрения факторов, как конечное значение параметра усиления, релятивистские эффекты и отражение излучения от границ замедляющей системы.

• в установлении связей между последовательностью динамических режимов, реализующихся в рассматриваемых системах, и процессами формирования пространственно-временных структур в электронном потоке.

Научная новизна.

1. В работе исследована сложная динамика двух упрощенных моделей системы "ЭП — обратная ЭМВ". Для клистронной модели, предложенной ранее в работе [11], теоретически проанализированы условия самовозбуждения колебаний, режимы стационарной генерации и условия их устойчивости. Впервые проведено подробное численное моделирование режимов сложной динамики и хаоса. Предложена и исследована упрощенная модель с распределенным взаимодействием, которая позволяет преодолеть некоторые принципиальные недостатки клистронной модели.

2. При анализе однопараметрической модели РАС "ЭП — обратная ЭМВ" впервые выявлена сложная последовательность смены регулярных и хаотических автомодуляционных режимов. В частности, обнаружен переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода и показано, что выполняются некоторые универсальные количественные закономерности, присущие сценарию Фейгенбаума. Выявлена область прибавлений периода, в которой имеется большое количество окон периодичности в хаосе, период которых, начиная с трех, последовательно увеличивается на единицу. Обнаружен переход через перемежаемость от хаотической автомодуляции к периодической. Показано, что динамика системы демонстрирует ряд аналогий с приближенными моделями.

3. Установлено, что переходы между различными автомодуляционными режимами связаны с процессами образования пространственно-временных структур — электронных сгустков.

4. Проведено численное исследование сложной динамики двухпараметрической модели РАС "ЭП — обратная ЭМВ", учитывающей конечное значение параметра усиления Пирса. Показано, что при больших значениях электрической длины системы N » 1 сохраняются основные особенности перехода к хаосу, наблюдаемые для од-нопараметрической модели, однако при умеренных значениях N (начиная с N ~ 15) последовательность динамических режимов существенно изменяется. В частности, практически пропадают промежуточные области хаотических колебаний.

5. Проведено численное исследование сложной динамики модели системы "релятивистский ЭП — обратная ЭМВ", В частности показано, что зависимость порога автомодуляции от релятивистского фактора у0 носит значительно более сложный характер, чем предполагалось ранее. Впервые обнаружено, что в слаборелятивистской и ультрарелятивистской областях имеют место два принципиально различных динамических режима, приводящих к неустойчивости одночастотной генерации. Показано, что переход от одного режима к другому связан с трансформацией пространственно-временных структур в электронном потоке.

6. Впервые выполнено подробное численное моделирование автомодуляционных процессов в релятивистской ЛОВ с отражениями. Показано, что зависимость границы автомодуляции от фазы параметра отражений имеет сложный вид, что обусловлено процессами конкуренции различных собственных мод распределенного резонатора, образованного отрезком замедляющей структуры с отражениями на границах.

Практическая значимость диссертации связана, прежде всего, с тем, что взаимодействие электронного потока с обратной ЭМВ лежит в основе принципа действия широкого класса усилителей и генераторов СВЧ диапазона [12]. Наиболее распространенными и перспективными среди них являются лампы обратной волны типа О, в которых прямолинейный ЭП взаимодействует с продольной компонентой обратной пространственной гармоники замедленной ЭМВ. В диссертационной работе рассматривается семейство РАС, являющихся моделями ЛОВ типа О.

ЛОВО широко используются как генераторы микроволнового излучения, главным образом, сантиметрового и миллиметрового диапазонов. Одним из главных достоинств ЛОВ-генератора является возможность электронной перестройки частоты генерации в широком диапазоне. Особый интерес вызывают ЛОВ с сильноточными релятивистскими электронными пучками (релятивистские карсинотроны), которые способны обеспечивать мощность выходного сигнала в несколько ГВт при КПД свыше 10% [29,30].

Исследование нестационарных автомодуляционных режимов колебаний играет важную роль при разработке ЛОВ-генераторов, поскольку возникновение автомодуляции ограничивает возможность повышения мощности и КПД стационарной одночас-тотной генерации. Важно определить условия устойчивости одночастотного режима, а также предложить возможные способы подавления авто модуляции. С другой стороны, в последнее время самостоятельное значение приобрело изучение сложных автоколебательных режимов в связи с потребностью в создании мощных источников шумоподоб-ных сигналов с управляемыми характеристиками. Таким образом, результаты диссертации могут найти применение для улучшения характеристик существующих ЛОВ типа О, работающих в качестве генераторов монохроматических колебаний, а также для создания новых приборов — генераторов хаоса на их основе.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. В распределенной автоколебательной системе "электронный поток — обратная электромагнитная волна" по мере увеличения бифуркационного параметра, пропорционального току электронного пучка, реализуется сложная последовательность смены регулярных и хаотических автомодуляционных режимов, характеризующаяся несколькими переходами "порядок — хаос" и "хаос — порядок" по различным сценариям. Наблюдаются все основные сценарии, известные для конечномерных динамических систем: сценарий Фейгенбаума, разрушение квазипериодического движения, перемежаемость. Последовательность бифуркаций завершается переходом к так называемому "развитому хаосу", который характеризуется достаточно однородным сплошным спектром и отсутствием какой-либо крупномасштабной структуры на проекции фазового портрета.

2. Существование нескольких принципиально различных автомодуляционных режимов, сменяющих друг друга по мере увеличения параметра неравновесности, обусловлено процессами формирования и разрушения пространственно-временных структур — электронных сгустков. С ростом бифуркационного параметра вследствие инерционной перегруппировки электронов становится возможным появление все большего числа сгустков, что приводит к усложнению картины мгновенных пространственно-временных распределений поля и тока вдоль длины системы. В результате формируются динамические режимы, отличающиеся характерными частотами и числом образующихся сгустков. Переходы между этими режимами происходят либо жестко, либо через перемежаемость.

3. В системе "релятивистский электронный поток — обратная электромагнитная волна" в слабо- и ультрарелятивистской областях наблюдаются два принципиально различных автомодуляционных режима, отличающиеся базовыми частотами, видом переходного процесса и характером пространственно-временных распределений амплитуд поля и тока. Конкуренция этих двух автомодуляционных режимов приводит к появлению "клюва" на границе автомодуляции на плоскости параметров (£, у0).

4. В системе "релятивистский электронный поток — обратная электромагнитная волна" с учетом отражений излучения от границ замедляющей структуры автомодуляция при малых отражениях возникает по амплитудному механизму, а при больших — по частотному (т.е. происходит возбуждение еще одной собственной моды резонансной колебательной системы). В случае сильных отражений по мере увеличения тока пучка наблюдается чередование автомодуляционных режимов на базе различных собственных мод. Переходы между этими режимами происходят либо жестко, либо через перемежаемость. Такое поведение связано с перестройкой пространственно-временной динамики электронных сгустков.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. Объем работы составляет 170 стр. основного текста, из них 62 стр. иллюстраций. Список литературы на 9 стр. включает 95 наименований.

3.4. Выводы

В данной главе рассмотрено семейство многопараметрических моделей РАС "ЭП — обратная ЭМВ", последовательно учитывающих влияние ряда важных с практической точки зрения факторов на особенности сложной динамики.

1) Численно исследована модель, учитывающая конечное значение параметра усиления Пирса и имеющая два управляющих параметра Ь и N. При моделировании режимов сложной динамики и хаоса показано, что при очень больших значениях N сохраняются основные особенности сценария перехода к хаосу, характерные для однопараметрической модели. Однако, уже начиная с N ~ 15 картина существенно изменяется. В частности, практически пропадают промежуточные области хаотических колебаний. Построена карта динамических режимов плоскости параметров (£,А0 иллюстрирующая общую картину динамики.

2) Рассмотрена сложная динамика РАС "релятивистский ЭП — обратная ЭМВ". Модель является трехпараметрической: дополнительным параметром служит релятивистский масс-фактор у0. Обнаружено, что зависимость порога автомодуляции от у0 носит значительно более сложный характер, чем предполагалось ранее. Существуют две области, где порог неустойчивости монотонно падает с ростом у0, которые естественно назвать слабо- и ультрарелятивистской. Между ними имеется характерный "клюв", заходящий далеко вглубь области авто модуляции. Показано, что в этих областях реализуются два принципиально различных автоколебательных режима, отличающиеся как пространственно-временными распределениями поля и тока, так и частотами автомодуляции. Конкуренция этих двух режимов и приводит к возникновению "клюва" на линии границы автомодуляции. Переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода, описанный в п. 2.3 для однопараметрической модели ЛОВ, характерен для малых у0. В то же время при больших у0, удвоения периода автомодуляции, как правило, не наблюдаются.

3) Проведено исследование влияния отражений излучения от границ замедляющей структуры на сложную динамику. В этом случае добавляются еще несколько управляющих параметров: комплексный параметр отражений рехр(/'ц/) и параметр 5-, характеризующий различие групповой скорости волны и начальной скорости электронного пучка. Численное моделирование показало, что при слабых отражениях автомодуляция возникает по амплитудному механизму, характерному для нерезонансной ЛОВ. Это подтверждается как значениями характерных частот в спектре, так и видом переходного процесса. При сильных отражениях самовозбуждение всегда происходит на частоте той или иной резонансной моды. Автомодуляция возникает по частотному механизму, т.е. происходит жесткое возбуждение еще одной резонансной моды, номер которой зависит от параметров л и . Вид границ автомодуляции на плоскости параметров {Ь, усложняется по сравнению со случаем малых отражений, что связано с процессами конкуренции различных мод. По мере роста параметра Ь (что соответствует увеличению тока пучка в эксперименте) наблюдается чередование автомодуляционных режимов на базе различных мод. Переходы между этими режимами происходят либо жестко, либо через перемежаемость. Показано, что такое поведение связано с перестройкой пространственно-временных структур (сгустков) в электронном потоке.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе впервые проведено подробное теоретическое исследование "тонкой структуры" автомодуляционных процессов, включая режимы сложной динамики и хаоса, в распределенной автоколебательной системе "электронный поток — обратная электромагнитная волна". Последовательное усложнение используемых теоретических моделей и применение для их анализа методов и представлений современной нелинейной динамики позволили получить ряд новых результатов, важных для понимания общих закономерностей сложного поведения РАС и имеющих прикладное значение для СВЧ радиофизики и электроники. Выделим следующие основные результаты.

1) Подробно исследована нелинейная динамика двух упрощенных моделей системы "электронный поток — обратная электромагнитная волна". Для клистронной модели, предложенной ранее в работе [11], теоретически проанализированы условия самовозбуждения колебаний, режимы стационарной генерации и условия их устойчивости. Впервые проведено подробное численное моделирование режимов сложной динамики и хаоса. Предложена упрощенная модель с распределенным взаимодействием, которая позволяет преодолеть некоторые принципиальные недостатки клистронной модели. Проведено численное исследование автомодуляционных процессов. Обе модели описывают такие особенности динамики, как многократное чередование регулярных и хаотических автомодуляционных режимов, вызванное перестройкой пространственных распределений поля и тока, а также переход к развитому хаосу. Анализ упрощенных систем позволяет лучше понять основные физические механизмы, влияющие на характер сложной динамики.

2) При анализе однопараметрической модели ЛОВ (2.3.1) впервые выявлена сложная последовательность смены регулярных и хаотических автомодуляционных режимов по мере увеличения бифуркационного параметра Ь = 2-n.CN (что соответствует увеличению тока пучка в эксперименте). В частности, впервые обнаружен переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода в области 4.02 < Ь < 4.11. Показано, что выполняются некоторые универсальные количественные закономерности, присущие сценарию Фейгенбаума. Выявлена область прибавлений периода (4.150< Ь <4.3325 ), в которой имеется большое количество окон периодичности в хаосе, период которых, начиная с трех, последовательно увеличивается на единицу. Обнаружен переход через перемежаемость от хаотической автомодуляции к периодической при Ь «4.333 . Показано, что переход через перемежаемость происходит между двумя автомодуляционными режимами с принципиально различным характером пространственно-временной динамики поля и тока (т.е. разным числом образующихся электронных сгустков). Установлено, что динамика системы демонстрирует ряд аналогий с приближенными моделями, описанными в пп. 2.1, 2.2. Общими являются такие особенности динамики, как наличие чередующихся областей регулярной и хаотической автомодуляции, неоднократные переходы через перемежаемость между автомодуляционными режимами с принципиально различными пространственными распределениями поля и тока, переход к развитому хаосу.

3) Показано, что существование принципиально различных автомодуляционных режимов, сменяющих друг друга по мере увеличения параметра неравновесности, обусловлено процессами формирования и разрушения пространственно-временных структур — электронных сгустков. С ростом бифуркационного параметра вследствие инерционной перегруппировки электронов становится возможным появление все большего числа сгустков, что приводит к усложнению картины мгновенных пространственно-временных распределений поля и тока вдоль длины системы. В результате формируются динамические режимы, отличающиеся характерными частотами и числом образующихся сгустков. Переходы между этими режимами происходят либо жестко, либо через перемежаемость.

4) Численно исследована модель, учитывающая конечное значение параметра усиления Пирса. При моделировании режимов сложной динамики и хаоса показано, что при очень больших значениях электрической длины пространства взаимодействия N сохраняются основные особенности сценария перехода к хаосу, характерные для одно-параметрической модели. Однако, уже начиная с N ~ 15 картина существенно изменяется. В частности, практически пропадают промежуточные области хаотических колебаний. По мере увеличения Ь наблюдается последовательность периодических и квазипериодических автомодуляционных режимов, завершающаяся переходом к развитому хаосу. Построена карта динамических режимов плоскости параметров (Ь,Ы) иллюстрирующая общую картину динамики.

5) Рассмотрена сложная динамика РАС "релятивистский ЭП — обратная ЭМВ". Обнаружено, что зависимость порога автомодуляции от релятивистского масс-фактора у0 носит значительно более сложный характер, чем предполагалось ранее. Существуют две области, где порог неустойчивости монотонно падает с ростом у0, которые естественно назвать слабо- и ультрарелятивистской. Между ними имеется характерный "клюв", заходящий далеко вглубь области автомодуляции. Показано, что в этих областях реализуются два принципиально различных автоколебательных режима, отличающиеся как пространственно-временными распределениями поля и тока, так и частотами автомодуляции. Конкуренция этих двух режимов и приводит к возникновению "клюва" на линии границы автомодуляции. Переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода, описанный в п. 2.3 для однопараметрической модели ЛОВ, характерен для малых у0. В то же время, при больших у0 удвоения периода автомодуляции, как правило, не наблюдаются.

6) Проведено исследование влияния отражений излучения от границ замедляющей структуры на сложную динамику. Построены границы областей самовозбуждения и автомодуляции на плоскости управляющих параметров. Показано, что при слабых отражениях автомодуляция возникает по амплитудному механизму, характерному для нерезонансной ЛОВ, что подтверждается как значениями характерных частот в спектре, так и видом переходного процесса. При сильных отражениях автомодуляция возникает по частотному механизму, т.е. происходит жесткое возбуждение еще одной резонансной моды. По мере роста параметра Ь наблюдается чередование автомодуляционных режимов на базе различных мод. Переходы между этими режимами происходят либо жестко, либо через перемежаемость. Показано, что такое поведение связано с перестройкой пространственно-временных структур (сгустков) в электронном потоке.

В завершение хочу выразить глубокую благодарность своим научным руководителям Д.И. Трубецкову и Н.М. Рыскину за постоянное внимание, поддержку и плодотворную критику при выполнении работы.

1. Рабинович М.И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984, 432 с.

2. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987, 424 с.

3. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, 1997. 496 с.

4. Ланда П. С. Автоколебания в распределенных системах. М.: Наука, 1983. 320 с.

5. Кислое В.Я., Мясин Е.А., Залогин H.H. О нелинейной стохастизации автоколебаний в электронно-волновом генераторе с задержанной обратной связью // Радиотехника и электроника. 1980. Т.25. № 10. С. 2160-2168.

6. Анисимова Ю.В., Дмитриев A.C., Залогин H.H., Калинин В.И., Кислое В.Я., Панас А.И. Об одном механизме перехода к хаосу в системе электронный пучок — электромагнитная волна // Письма в ЖЭТФ. 1983. Т.37. № 8. С. 387-389.

7. Кац В.А. Возникновение хаоса и его эволюция в распределенном автогенераторе с запаздыванием (эксперимент) //Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1985. Т.28. № 2. С. 161176.

8. Блиох Ю.П., Любарский М.Г., Подобинский В.О., Файнберг Я.Б. Исследование механизмов стохастизации секционированных пучковых СВЧ-генераторов // Физика плазмы. 1994. Т.20. № 7-8. С. 718-728.

9. Гинзбург Н.С., Кузнецов С.П., Федосеева Т.Н. Теория переходных процессов в релятивистской ЛОВ//Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1978. Т.21. № 7. С. 1037-1052.

10. Трубецков Д.И., Четвериков А.П. Автоколебания в распределенной системе электронный поток — обратная (встречная) электромагнитная волна // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 1994. Т.2. № 5. С. 9-34.

11. Ginzburg N. S., PetelinM.I. Multifrequency génération in free electron lasers with quasi-optical resonators. //Int. Journ. ofElectronics. 1985. V. 59. № 3. P. 291-314.

12. Гинзбург H.С., Петелин M.И. Конкуренция и кооперация мод в лазерах на свободных электронах // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 1994. Т.2. № 6. С. 3-26.

13. Гинзбург Н.С., Заволъский Н.А., Нусинович Г.С., Сергеев А.С. Установление автоколебаний в электронных СВЧ генераторах с дифракционным выводом излучения // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1986. Т.29. № 1. С. 106-114.

14. Гинзбург Н.С., Заволъский Н.А., Нусинович Г.С. Динамика гиротронов с нефиксированной продольной структурой высокочастотного поля // Радиотехника и электроника. 1987. Т.32. № 5. С. 1031-1039.

15. Анфиногентов В.Г., Храмов А.Е. Сложное поведение электронного потока с виртуальным катодом и генерация хаотических сигналов в виртодных системах // Изв. РАН. Сер. физ. 1997. Т. 61. № 12. С. 2391-2401.

16. Анфиногентов В.Г., Храмов А.Е. К вопросу о механизме возникновения хаотической динамики в вакуумном СВЧ генераторе на виртуальном катоде // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1998. Т. 41. № 9. С. 1137-1146.

17. Блиох Ю.П., Любарский М.Г., Мишин Л.А., Переводчиков В.И., Подобинский В.О., Файнберг Я.Б. Исследование механизмов стохастизации сигнала пучково-плазменного СВЧ-генератора // Физика плазмы. 1994. Т.20. № 7-8. С. 747-752.

18. Кузнецов С.П., Грубецков Д.И. Две лекции по нестационарной теории взаимодействия электронных пучков с электромагнитными волнами // Лекции по электронике СВЧ (3-я зимняя школа-семинар инженеров). Кн. 5. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1974. С. 88-142.

19. Электроника ламп с обратной волной / Под ред. В.H Шевчика и Д.И. Трубецкова. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975. 195 с.

20. Кузнецов С.П., Трубецков Д.И. Нестационарные нелинейные явления при взаимодействии электронного потока, движущегося в скрещенных полях, с обратной электромагнитной волной//Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1977. Т.20. № 2. С. 300-312.

21. Безручко Б.П., Гинзбург Н.С., Кузнецов С.П. Теоретическое и экспериментальное исследование переходных процессов в ЛОВО-генераторе // Лекции по электронике СВЧ (4-я зимняя школа-семинар инженеров). Кн. 5. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1978. С. 236-267.

22. Безручко Б.П., Кузнецов С.П. Экспериментальное исследование нелинейных нестационарных процессов в ЛОВО-генераторе // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1978. Т.21. № 7. С. 1053-1059.

23. Безручко Б.П., Кузнецов С.П., Трубецков Д.И. Экспериментальное наблюдение стохастических колебаний в динамической системе электронный пучок — обратная электромагнитная волна // Письма в ЖЭТФ. 1979. Т.29. № 3. С. 180-184.

24. Островский А.О., Ткач Ю.В. К теории автомодуляционных процессов в релятивистском карсинотроне// Письма в ЖТФ. 1991. Т.17. № 18. С. 10-14.

25. Gunin А. К, Klimov A.I., Korovin S.D., etal. Relativistic X-band В WO with 3-GW. output power// IEEE Trans. Plasma Sei. 1996. V.26. № 3. P. 326-331.

26. Вайнштейн ILA. Переходные процессы при возбуждении волноводов // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 1998. Т.6. № 1. С. 21-24.

27. Вайнштейн Л.А., Солнцев В.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике. М.: Сов. радио, 1973. 400 с.

28. Шевчик В.К, Трубецков Д.И. Аналитические методы расчета в электронике СВЧ. М.: Сов. радио, 1970. 584 с.

29. Шевчик В.Н. Основы электроники СВЧ. М.: Сов. радио, 1959. 308 с.

30. Ковалев Н.Ф., Петрухина В.И., Сморгонский A.B. Ультрарелятивистский карсино-трон//Радиотехника и электроника. 1975. Т.20. № 7. С. 1547-1550.

31. Рапопорт Г.Н. Нелинейная теория генератора обратной волны типа О с периодической замедляющей структурой // Радиотехника и электроника. 1964. Т.9. № 3. С. 483-504.

32. Кац AM., Ильина ЕМ., Манъкин И.А. Нелинейные явления в СВЧ приборах О-типа с длительным взаимодействием. М.: Сов. Радио, 1975. 296 с.

33. Ильина Е.М., Кац A.M. Возбуждение высшего вида колебаний в ЛОВ // Электронная техника. Сер Л. Электроника СВЧ. 1968. № 10. С. 168-171.

34. Безручко Б.П. Экспериментальное исследование многочастотных автоколебаний в ЛОВ типа О // Вопросы электроники СВЧ. Вып. 11. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1983. С. 174-179.

35. Безручко Б.П., Булгакова Л.В., Кузнецов С.П., Трубецков Д.И. Стохастические автоколебания и неустойчивость в лампе обратной волны // Радиотехника и электроника. 1983. Т.28. № 6. С. 1136-1139.

36. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988, 240 с.

37. Кац В.А. Стохастические автоколебания в электронных распределенных системах на сверхвысоких частотах. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Саратов: СГУ, 1985.

38. Гинзбург И.С., Зайцев Н.И., Иляков Е.В., Кулагин И.С., Новожилова Ю.В., Сергеев A.C., Ткаченко А.К. Наблюдение автомодуляционных режимов генерации в мощной ЛОВ // Письма в ЖТФ. 1998. Т.24. № 20. С.66-71.

39. Levush В., Antonsen Т.М., Brombor sky A., Lou W.R., Carmel Y. Relativistic backward wave oscillator: theory and experiment // Phys. Fluids B. 1992. V. 4. № 7. P. 2293-2299.

40. Levush В., Antonsen T.M., Bromborsky A., Lou W.R., Carmel Y. Theory of relativistic backward wave oscillator with end reflections // IEEE Trans. Plasma Sei. 1992. V.20. № 3. P. 263-280.

41. Балакирев В.А., Островский А.О., Ткач Ю.В. О влиянии сил высокочастотного пространственного заряда пучка на динамику автомодуляционных процессов в релятивистском карсинотроне//ЖТФ. 1991. Т.61. № 2. С. 158-163.

42. Коровин С.Д., Полевин С.Д., Ройтман А.М., Ростов В.В. Влияние попутной волны на эффективность генерации СВЧ-излучения в релятивистской ЛОВ // Изв. ВУЗов. Физика. 1996. Т.39. № 12. С. 49-61.

43. Кузнецов С.П. Сложная динамика генераторов с запаздывающей обратной связью // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1982. Т.25. № 12. С. 1410-1428.

44. Antonsen Т.М., Levush В. Mode compétition and suppression in free electron laser oscillators // Phys. FluidsB. 1989. V. 1. № 5. P. 1097-1108.

45. Бондаренко B.A., Островский A.О., Ткач Ю.В. К нестационарной теории релятивистского карсинотрона с дополнительной обратной связью // ЖТФ. 1990. Т.60, № 6. С. 134-137.

46. Балакирев В.А., Островский А.О., Ткач Ю.В. К теории автомодуляционной неустойчивости колебаний в связанных карсинотронах // Письма в ЖТФ. 1990. Т. 16. № 19. С. 8-11.

47. Вакс В.Л., Гинзбург Н.С, Сергеев A.C., Сморгонский A.C., Ходос В.В., Шулегиов В.В. Использование модуляции в СВЧ-генераторах для получения стохастического выходного сигнала // Радиотехника и электроника. 1994. Т.39. № 6. С. 957-962.

48. Ерастова E.H., Кузнецов С.П. О механизме возникновения квазипериодических колебаний в связанных системах Фейгенбаума// ЖТФ. 1991. Т.61. № 2. С. 13-20.

49. Четвериков А.П. Периодические и хаотические автоколебания в простых распределенных электронно-волновых системах // Известия РАН. Сер. Физическая. 1994. Т.58. № 8. С. 172-179.

50. Четвериков А.П. Нелинейная динамика системы взаимодействующих встречных электромагнитной волны и электронной волны с кубичной фазовой нелинейностью //Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 1994. Т.2. № 5. С.46-55.

51. Гинзбург Н.С. Об эффекте автомодуляции излучения в ЛСЭ усилителях, основанных на вынужденном встречном рассеянии волн // ЖТФ. 1986. Т.56. № 5. С. 938941.

52. Levush В., Antonsen Т.М. Regions of stability of FEL oscillators // Nucl. Instrum. Meth. Phys. Res. A. 1988. V.272. № 1-2. P. 375-379.

53. Братман В.Л., Савилов A.B. Сценарий перехода к многочастотному режиму в ЛСЭ-генераторе с низкодобротной электродинамической системой // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 1994. Т.2. № 6. С. 27-38.

54. Кузнецов С.П., Перелъман А.Ю., Трубецков Д.И. Автомодуляционные и стохастические режимы в клистроне бегущей волны с внешней обратной связью // ЖТФ. 1983. Т.53. № 1. С. 163-166.

55. Kay В.А. Возникновение хаоса и его эволюция в распределенном автогенераторе с запаздыванием (эксперимент)//Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1985. Т. 28. № 2. С. 161176.

56. Солнцев В.А. Нелинейные волны в электронных потоках // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1974. Т. 17. №4. С. 616-625.

57. Андерсон Д., Танненхшл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. Т. 1,2. М.: Мир, 1990.

58. Роу Дою. Теория нелинейных явлений в приборах сверхвысоких частот. М.: Сов. радио, 1969. 616 с.

59. Гинзбург Н.С., Сергеев A.C. Динамика ЛСЭ генераторов с резонаторами произвольной добротности//ЖТФ. 1991. Т.61. №6. С. 133-140.

60. Levush В., Antonsen Т.М. Effect of nonlinear mode competition on the efficiency of low gain FEL oscillator // SPIE V. 1061 — Microwave and Particle Beam Sources and Directed Energy Concepts. 1989. P. 2-9.

61. Калиткин H.H. Численные методы. M.: Наука, 1978. 512 с.

62. Рыскин Н.М., Титов В.Н., Трубецков Д.И. Детали перехода к хаосу в системе электронный пучок — обратная электромагнитная волна // ДАН. 1998. Т.358. № 5. С. 620-623.

63. Рыскин Н.М., Титов В.Н. О сценарии перехода к хаосу в однопараметрической модели лампы обратной волны // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 1998. Т.6. № 1. С. 75-92.

64. Дмитриева Т.В., Рыскин Н.М., Титов В.Н., Шигаев A.M. Сложная динамика простых моделей распределенных электронно-волновых систем // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 1999. Т. 7. № 6. С. 66-82

65. Рыскин Н.М., Титов ВН., Трубецков Д.И Детали сценария перехода к хаосу в генераторе обратной волны // Труды VI Всероссийской школы-семинара "Физика и применение микроволн". Москва, 1997. С. 1-2.

66. Рыскин Н.М., Титов В.Н., Трубецков Д.И. О сценарии перехода к хаосу в однопара-метрической модели лампы обратной волны // Международная конференция "Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ". Материалы конференции. Саратов, 1997. С. 40-42.

67. Титов В.Н. Особенности нелинейной динамики лампы обратной волны. // Материалы научной школы-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых -99". Саратов, 1999. С. 63-66.

68. Ryskin N.M., Titov V.N. Nonlinear Dynamics of the Backward-Wave Oscillator // Journ Comm. Tech. Electron. 2000. V. 45. Suppl. 1. P. S46-S52.

69. Рыскин Н.М., Титов В.Н. Исследование автомодуляционных режимов колебаний в релятивистской лампе обратной волны //Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1999. Т.42. № 6. С. 566-572.

70. Трубецков Д.И., Анфиногентов В.Г., Рыскин Н.М., Титов В.Н., Храмов А.Е. Сложная динамика электронных приборов СВЧ (нелинейная нестационарная теория с позиций нелинейной динамики) // Радиотехника. 1999. № 4. С. 61-68.

71. Ryskin N.M., Titov V.N. Nonlinear dynamics of a relativistic backward-wave oscillator // Proc. 12th International conference on high-power particle beams BEAMS'98. Haifa, Israel, 1998. P. 348.

72. Рыскин H.M., Титов В.Н. Нелинейная динамика системы "релятивистский электронный поток — обратная электромагнитная волна" // Тезисы 5-й Международной школы "Хаотические автоколебания и образование структур" (CHAOS-98). Саратов, 1998. С. 102-103.

73. Рыскин Н.М., Титов В.Н. Нелинейная динамика релятивистской лампы обратной волны // XI Международная зимняя школа по СВЧ электронике и радиофизике. Тезисы докладов. Саратов, 1999. С. 55-56.

74. Трубецков Д.И., Анфиногентов. В.Г., Рыскин Н.М., Титов В.Н., Храмов А.Е. Методы нелинейной динамики в сверхвысокочастотной электронике (тезисы доклада) // Электронная промышленность. 1999. № 4. С. 19.

75. Рыскин Н.М., Титов В.Н. Нелинейная динамика релятивистской лампы обратной волны // Труды VII Всероссийской школы-семинара "Физика и применение микроволн". Т. 1. Москва, 1999. С. 126-127.

76. Рыскин Н.М. Титов В.Н. Сложная динамика распределенной автоколебательной системы "электронный поток — обратная электромагнитная волна" // Вторая Международная конференция "Фундаментальные проблемы физики". Материалы конференции. Саратов, 2000. С. 165.