Сложная динамика и методы управления хаосом в системе электронный поток-электромагнитная волна тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи

Долов Алексей Михайлович

СЛОЖНАЯ ДИНАМИКА И МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ

ХАОСОМ В СИСТЕМЕ ЭЛЕКТРОННЫЙ ПОТОК -ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА

01.04.03 - Радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Саратов 2005

Работа выполнена в Саратовском государственном университете им. Н. Г. Чернышевского.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Кузнецов С.П.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Четвериков А.П.

кандидат физико-математических наук Булгакова Л.В.

Ведущая организация: Саратовский государственный технический университет.

Защита состоится «6» октября 2005 г. в 17:00 на заседании диссертационного совета Д212.243.01 по специальности «радиофизика» при Саратовском государственном университете им. Н. Г Чернышевского по адресу : 410012, Саратов, Астраханская, 83.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке СГУ. Автореферат разослан 9 С^ИТАС/?^__2005 г

Ученый секретарь диссертационного совета Аникин В. М.

кандидат физико-матеманических наук, ^ /Уи^

доцент '

мт-г

9STST/

Актуальность задачи.

Проблема теоретического описания взаимодействия электронного пучка и электромагнитной волны - одна из традиционных задач радиофизики. Такого рода взаимодействие лежит в основе функционирования многочисленных приборов вакуумной сверхвысокочастотной (СВЧ) электроники, например лампы бегущей волны (ЛБВ), лампы обратной волны (ЛОВ), магнетронов, гирорезонанс-ных приборов. За последние три десятилетия возникло и развивается направление в рамках радиофизики и электроники, в рамках которого электронные приборы с длите чьным взаимодействием рассматриваются с позиций нелинейной динамики1"10.

Благодаря развитию нелинейной динамики, теории колебаний и волн, стало понятно, что природа колебательных режимов в таких сложных динамических системах, каковыми являются электронные приборы СВЧ, в принципе может быть не только простой, регулярной (периодические колебания), но и достаточно сложной (квазипериодичность, хаос). Обнаружение и исследование такого рода режимов, с одной стороны, способствует внедрению идей нелинейной динамики в прикладную область - СВЧ электронику, а с другой - обогащению формирующейся общей картины сложной динамики распределенных систем и ее наполнению интересными конкретными примерами. Существенный момент состоит в том, что с практической точки зрения важно разобраться в так называемых паразитных эффектах генерации нежелательных спектральных составляющих выходного сигнала, что часто имеет место в устройствах типа электронный поток -электромагнитная волна. В отличие от традиционного в теоретической СВЧ электронике стационарного подхода, когда характер усиливаемого или генерируемого сигнала постулируется, в нестационарной постановке отслеживается естественным образом временная эволюция системы. В итоге возникает тот тип динамического поведения, который отвечает реально наблюдаемому режиму. Это позволяет определить рабочие области параметров, где режим работы устройства

1 Гинзбург Н С , Кузнецов С П Федосеева 1 Н Известия вузов. Радиофизика. 1978 Т.21. №7. С. 1037-1052.

2 Кузнецов С.П., Четвериков А.П. Известия вузов Радиофизика. 1981 Т.24.№1. С.109-117

3 Кузнецов А.П., Кузнецов С П Известия вузов Радиофизика. 1984. Т.27. №12. С.1575.

4 Кузнецов А.П , Кузнецов С.П., Рожнев А Г Лекции по электронике СВЧ и радиофизике Кни1 а 2. Саратов 1986.

5 Рыскин Н.М., Титов В.Н., Грубецков Д.И. Доклады Академии Наук. 1998. Т.358 №5. С 620-623.

6 Четвериков А Л Известия вузов Радиофизика 1990. Т.ЗЗ. №7. С 841-846.

7 Miller S.M., Antonsen Т М , Levush Гг.В , Bromborsky А , Abe D.K., Carmel Y. Phys Plasmas. 1994. Vol 1 No.3. P.730-740.

8 Chang Т.Н., Chen S H , Barnett L.R., Chu К R. Physical Review Letters. 2001. Vol.87. No.6.

9 Pyragas K. Physical Review F. 66, 026207. 2002 __

10 Рыскин H.M. Письма в ЖТФ 1996. T 22. №14. С.80-8

носит нужный характер, исследовать пути устранения нежелательных паразитных явлений, указать новые, ранее не предполагавшиеся функциональные возможности электронных приборов.

Нестационарный подход позволяет изучать процессы, имеюшие сложную временную динамику, такие как, установления колебаний в генераторах и усилителях", прохождение сигналов сложной формы через электронные устройства, работу приборов, генерирующих короткие импульсы12 и тд Для устройств, функционирующих в непрерывном режиме, этот подход приводит зачастую к нетривиальным результатам, предсказывая существование автомодуляционных и других сложных режимов. В рамках нестационарной теории были исследованы различные системы' ЛОВ13, ЛБВ14, резонансные генераторы (лазеры на свободных электронах, оротроны), причем была установлена возможность возникновения как простых периодических, так и сложных многочастотных и стохастических режимов.

В частности, в ЛОВ были обнаружены такие феномены как потеря устойчивости одночастотной генерации с рождением автомодуляции и возникновение динамического хаоса16. В некоторых случаях автомодуляция выступает как паразитный эффект, препятствующий реализации одночастотной генерации с относительно высокими уровнями мощности и КПД, которые должны были бы достигаться при увеличении рабочего тока. Поэтому, если рассматривать ЛОВ как динамическую систему, то можно обратиться идеям, разработанным в рамках нелинейной динамики Одной из такой идей является идея стабилизации неустойчивых состояний, получившей известность как управление хаосом ("controlling chaos").

Цель работы состоит в рассмотрении сложной динамики систем электронный пучок - электромагнитная волна, на примере лампы обратной волны и лампы бегущей волны, включая исследование возможности применения идеи управления хаосом для устранения автомодуляционных режимов.

Научная новизна работы.

1. На основе идеи управления хаосом предложена и продемонстрирована в чис-

" Гинзбург НС, Заво шский H А , Н>синович Г С , Сергеев Л С Известия вузов Радиофизика. 1986 Т.29 Xsl С 106-114

12 Манькин И А , Школьников В Г Радиотехника и электроника 1986 Т31 №5 С 945950

13 Безручко Б П , Булгакова Л В , Кузнецов С П., Трубецков Д И Радиотехника и электроника 1983 Т 28. №6 С 1136.

14

Манькин И А , Школьников В Г Радиотехника и э 1ектроника 1981 Т 26 №9 С 1932

15 Четвериков А П ЖТФ. 1981. Т 51 №11. С.2452-2454.

16 Рыекин H M . Титов В H , Трубецков Д И Доклады Академии Наук 1998 Т358 №5 С 620-623.

ленном эксперименте методика устранения автомодуляции в ЛОВ, применение которой в частности, позволяет существенно повысить мощность и КПД, достижимые в режиме одночастотной генерации.

2 Рассмотрена динамика ЛБВ при прохождении импульсного сигнала и изучено влияние нелинейных эффектов на трансформацию формы импульса при его прохождении через систему. 3. Исследована динамика модели ЛБВ-генератора с запаздывающей обратной связью и продемонстрированы в численном эксперименте основные режимы - стационарная генерация, автомодуляция, хаос.

4 Проведено исследование с помощью нелинейного нестационарного подхода взаимодействия релятивистского электронного пучка и электромагнитной волны вблизи границы полосы пропускания Достоверность научных выводов работы подтверждается соответствием с результатами, известными из литературы для некоторых частных случаев, сопоставлением с данными линейного анализа и стационарной нелинейной теории, с подобными работами, проводившимися до этого другими исследователями, а также воспроизводимостью всех численных результатов при различном выборе разностных схем, наблюдаемым уменьшением численной погрешности в зависимости от шага интегрирования в соответствии с порядком используемой разностной схемы.

Основные положения выносимые на защиту.

1 Применение методики управлением хаосом посредством введения дополнительной цепи запаздывающей связи, регулирующей уровень тока пучка пропорционально амплитуде выходного сигнала в лампе обратной волны, позволяет устранить автомодуляцию в определенном диапазоне значений рабочего тока. Благодаря этому, существенно возрастает величина тока, отвечающая началу автомодуляции, и удается существенно повысить КПД и мощность, достижимые в режиме одночастотной генерации.

2. При распространении импульсных сигналов в ЛБВ наличие временного масштаба, характеризующего инерционные свойства усилителя и определяющегося разностью скорости пучка и групповой скорости волны, приводит к конечной ширине выходного импульса, даже если длительность входного импульса мала. Нелинейные эффекты приводят к трансформации формы огибающей выходного радиоимпульса, который приобретает характерный «провал» в области больших амплитуд сигнала.

3. В ЛБВ-генераторе с запаздывающей обратной связью возможен режим жесткого возбуждения автомодуляции При одних и тех же параметрах системы вблизи порога в зависимости от начальных условий может реализоваться режим одночастотной генерации или автомодуляция.

4 При взаимодействии электронного пучка с электромагнитной волной присут-

ствие релятивистских эффектов способствует смещению границы области самовозбуждения системы: в зависимости от знака параметра рассинхронизма пучка с волной на границе полосы порог самовозбуждения повышается или понижается В этой системе при достаточно большой величине рабочего тока возможны режимы хаотических автоколебаний, характеризующиеся неустойчивостью движения по отношению к малому возмущению начальных условий.

Научно практическая значимость работы и рекомендации по использованию.

• В тех случаях, когда возникновение автомодуляции в ЛОВ выступает как паразитный эффект, применение методики управления хаосом позволяет увеличить пороговый ток возникновения автомодуляции, а значит реализовать режим одночастотной генерации с более высокими уровнями мощности и КПД

• Результаты работы, касающиеся трансформации формы радиоимпульсов при прохождении через ЛБВ в нелинейном режиме, существенны для практического применения ЛБВ в различных областях, таких как радиолокация, телевидение, радиовещание.

• Развитые в работе методы и подходы к изучению взаимодействия электронного пучка и электромагнитной волны могут быть распространены на широкий класс электронных приборов с длительным взаимодействием, позволяя получить теоретическое описание их работы, проводить численное моделирование нестационарных процессов, реализовать идею управления режимами динамики.

• Предложенная модификация метода крупных частиц позволяет уменьшить время расчета нестационарных задач и увеличить точность вычислений, особенно в нелинейных режимах работы.

Апробация работы и публикации. Результата работы были представлены на международной конференции IVESC 2002 — The 4th International IEEE Vacuum Electron Sources Conference (Россия, Саратов, 2002); коллоквиуме "Complex spatiotemporal dynamics" (Berlin, Fritz-Haber-lnstitut, 2002), Международной конференции "Physics and Control" (Санкт-Петербург, 2003); Международной школе-семинаре по радиофизике и электронике СВЧ (Саратов, Россия, 2003); школе-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых-2003" (Саратов, Россия, 2003); научно-технической конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (Саратов, 2003)

По теме диссертации имеется 8 публикаций (3 статьи в научных журналах, 1 статья в научно-техническом сборнике, 4 тезисов докладов).

Исследования, результаты которых представлены в диссертации, выполнялись при поддержке РФФИ (грант № 03-02-16192).

Личный вклад автора. Автором были разработаны методики решения задач, методы графического представления результатов, составлены компьютерные программы, проведены численные расчеты Формулировка моделей для исследования, объяснение и интерпретация полученных результатов проведены совместно с научным руководителем.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка используемой литературы. Диссертация содержит 123 страниц текста, 65 рисунков, список литературы из 129 наименований на 15 страницах.

Краткое содержание работы.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, сформулирована цель рабога, положения, выносимые на защиту, научная новизна и научно-практическая значимость результатов.

В первой главе рассмотрена методика управления хаосом для стабилизации одночастотной генерации в лампе обратной волны. Впервые эта концепция была высказана в 1990 г. группой исследователей из Мэрилендского университета17, показавших, как можно реализовать периодическую динамику вместо хаотического режима в нелинейной системе посредством слабых контролируемых воздействий на какой-либо доступный для регуляции параметр системы.

Чтобы воспрепятствовать возникновению автомодуляции, предлагается изменять во времени ток пучка на входе в пространство взаимодействия так, чтобы он был больше при появлении максимумов и меньше при появлении минимумов амплитуды поля. Для этой цели вводится дополнительная цепь обратной связи, на вход которой поступает выходной сигнал ЛОВ и которая содержит линию задержки, детектор и низкочастотный фильтр. Выходной сигнал цепи управляет током электронною пучка на входе в пространство взаимодействия.

В рамках предельно упрощенной модели взаимодействие электронного пучка с полем волны в ЛОВ можно описать следующей системой уравне-

ний:

Взаимодействие пучка с полем сосредоточено вблизи точек г = 0 и z = Ь, где £ — это длина пространства взаимодействия, в — фаза электрона относительно волны, удовлетворяющая 1раничным условиям:

17 ОН Е , СгеЬо^ С., Уогке } А. РЬуэ Яеу ЬеИ 1990. Уо1 64. No.Il, Р 1196-1199.

(2)

(1)

^дг дг)^

(3)

у — продольная составляющая скорости пучка на входе в пространство взаимодействия, у — групповая скорость волны на несущей частоте со . Сначала рассматривается линейная модель: интегрируя и применяя некоторые преобразования над (1)-0) получим разностное уравнение, которое можно свести к отображению:

А^^ЩА.).

где А = 1/2Се, Ы{о)1чЛС1, Т = ¿V"' + , а У,(Л)

(4)

функция Бесселя.

С = \/ 10К/4и - параметр Пирса, выражающийся через ток пучка, сопротивление связи замедляющей системы К, и ускоряющее напряжение и.

При / < 1 отображение (4) имеет устойчивую неподвижную точку А = 0, что отвечает отсутствию генерации. При превышении значения /=1 возникает устойчивая неподвижная точка А

щщщщ

1-56

Рис. 1 Временные реализации отображения

■\ll-l, соответствующая режиму стационарной генерации. При дальнейшем увеличении параметра / данное отображение демонстрирует переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода (рис. 1)

с Основная идея стабилизации неус-

тойчивости з системе (4) заключается в следующем: берем 1 в виде /(Л, Л _,) = /,, Ьс(А-А,:_,), где с —

постоянная (параметр конIроля хаоса) На рис 2 показана карта динамических режимов на плоскости параметров (1, с) Цифрами обозначены 1 — область цикла периода один, 2 — цикл периода два, 3 - - цикл периода четыре, 4 — хаотический режим. Линия с = 0 соответствует системе с выключенным контролем Видно, что положительные значения параметра с приводят установлению в системе стационарного состояния (цикл периода 1). Отрицательные могут как усиливать нестационарность (появляются

Рис 2 Карта динамических режимов

циклы периода 2 и более) при достаточно небольших I, так и уменьшать.

В рамках последовательного подхода, основанного на нелинейной нестационарной теории JIOB, изменение тока из-за присутствия цепи контроля учитывается в уравнении возбуждения введением в правую часть множителя, который постоянен на характеристике, отвечаюшей пучку, но меняется во времени, т.е. от характеристики к характеристике. Уравнения имеют следующий вид: д20/д£2 =-ReFexp(/0), dF/dr-dF/dQ = А(т)1,

г. (5)

I = — fexp (-id)deü,

* о

50/3^ = 0, F\;i=Q. (6)

Безразмерные независимые переменные д = fiaCx и г = ®0С(1 + v„/v )"'(*- jc/v0) определены так, что координата д отсчитывается вдоль характеристики х — v0t — const - А, и со0 есть волновое число и круговая частота волны в замедляющей системе при ее синхронизме с электронным пучком. Величина/"^. г) = еИрпиСг есть безразмерная комплексная амплитуда высокочастотного поля E(x,t) = Rec{x,!)exp(icü¿ -ifl0x). а величина в{д,т,ва) характеризует фазу электрона относительно волны и относится к частице, влетевшей в пространство взаимодействия с начальной фазой , и имеющей в момент т координату С. В отсутствие цепи контроля стационарный режим генерации возникает при значениях параметра безразмерной длины / > /ст = 1.974 , а автомодуляция -

при 1>1Ш =2,9

Предположим, что благодаря присутсгвию цепи контроля: А(т) = 1 + 2gUI-'C2 (F(0, г) - F(0, г - Г)|) =

= 1 + с/"1 |f(0,г) - F(0, г - Г)|) ' (7)

где c = 2gUC2lll0-TigKN и Т - ¿у0С(1 + v,Jv¡v)At безразмерные константы, характеризующие цепь контроля, At - время запаздывания, g - постоянный коэффициент, имеющий размерность проводимости.

Численное решение уравнений (5) совместно с (6) и (7) проводилось методом конечных разностей На рис. 3 показан пример зависимости амплитуды выходного сигнала от времени. Контроль выключен вначале и включается в момент, отмеченный вертикальной линией. Хорошо видно, как возникшая интенсивная автомодуляция затухает, и устанавливается режим стационарной одночас-готной генерации: амплитуда сигнала становится постоянной и не зависящей от

времени. Это тот же самый режим, который находят в стационарной теории, но присутствие цепи контроля делает его устойчивым.

Параметры цепи контроля с = 0,95 и Т = 0,8 подобраны эмпирически с тем, чтобы стационарный режим генерации возникал в наиболее широком диапазоне безразмерной длины /. При указанных параметрах с и Г это имеет место для /„ </£3.7.

ИолЯ

и <0.т)Г

¡г-

i „ . „.. > и < и t

л« Т

1/ТО

; ''' f ЛЛллал -

Рис. 3. Зависимость безразмерной амплитуды высокочастотного подя на выходе JIOB и нормированного тока пучка от времени при / = 3.0 и при / = 3.5 . Параметры цепи контроля с=0,95 и 7=0,8.

Во второй главе формулируется модель ЛБВ-усилителя для решения задачи о прохождении импульсных сигналов. Предполагается, что в качестве основного фактора, отвечающего за инерционные свойства усилителя, фигурирует групповой рассинхронизм.

Пусть дисперсионная характеристика волны в замедляющей системе и линия пучка на ш-(3 диаграмме пересекаются под конечным углом в некоторой точке (ю0, Ро)- Из-за того, что синхронизм электронов и волны будет иметь место только в окрестности точки пересечения, имеет место ограничение ширины полосы взаимодействия, которая будет мала по сравнению с ю0- Таким образом, задача состоит в анализе прохождения радиоимпульсов, у которых частота заполнения близка к сз0, а длительность много больше периода СВЧ колебаний Т0=2п/Ф0-

Принимается, что в исследуемой системе скорость электронного пучка больше групповой скорости волны. На рис. 4 изображена пространственно-временная диаграмма, линии на которой соответствуют распространению электронного пучка z = vj;/ + const (пунктирная линия) и электромагнитной волны z - vjpt + const (сплошная

линия) В рассматриваемой модели имеется ха- Рис 4 Пространственно-рактерный временной масштаб — время инерци- »ременная диаграмма, наклон

онности усилителя - определяемый относи- линии синхронной волны <п-

нечаст групповой скорости

тельным движением пучка и волны. Как видно из рисунка, характерное время инерционности усилителя будет даваться соотношением Т =—---—, причем

Т >>Т0.

инер и

В силу расположения дисперсионных характеристик и узости полосы частот, в которой происходит взаимодействие, естественно представить поле электромагнитной волны в виде Е = Ке{е(г,1)ехр[1О)0( ~ ф0г]}. Здесь е(г,1) - медленно меняющаяся амплитуда, а>„ - частота, отвечающая точному синхронизму,

Ро - соответствующее ей волновое число. Тогда распространение импульса по системе будет описываться следующими уравнениями18

д2в/дС2=ЩРех р(/б>)], (8)

1 2*

дЕ/дт + ЁГ/дС = J, J = - (е-"с/0,, л I

(9)

с начальными и граничными условиями:

дв

в\ =в... ..... д<;

= 0, (Ю)

где £ - рСг - безразмерная координата, г = рс\

V

(11)

' V

I гр У

(г - 2 / V,) - запазды-

£

вающее время, Пг) = ~ ноРмиРованная комплексная амгшитуда вол-

I К

ны, I - дайна пространства взаимодействия, С =з ------ - параметр Пирса,

V 41У

/? = <у/у( в - фаза электрона относительно волны, /(г) - представленная в безразмерном виде огибающая сигнала, подающегося на вход системы, причем /(т) =/а(г)е'Лт. Величина Д - определяет безразмерную отстройку несущей

со„ - аЛ - -- . Свойства усилителя V»

определяются единственным свободным параметром I = [НС = 2лСЫ .

При проведении расчетов форма входного импульса задавалась функцией

частоты от частоты синхронизма, Л = ((

18

Гинзбург Н.С , Кузнецов СП В кн : Релятивистская высокочастотная электроника. -Горький, ИПФ АН СССР. 1980. С. 101-144.

/0(г) = Asin2(ar) при 0<атйк и /0(г) = 0 при ат > л , где /4 - амплитуда, параметр а обратно пропорционален ширине импульса.

На рис 5 представлены временные зависимости амплитуд для входно) о (Fm) и выходного (Fou,) сигналов, рассчитанные по линейной теории в двух ситуациях, когда длительность входного импульса велика и когда она мала по сравнению с характерным временем Т .

/ п» \

AL

А

JL

в) г)

Рис. 5 Зависимости амплитуд входных (Г,п) и выходных (/■„„,) сигналов от времени

(Ь = 3.0, Л = 1 0). а) а = 0.05, б) а - 0.1 в) а = 5, г) а = 10

Изменение длительности входною импульса, при достаточно малых значениях параметра а, сопровождается пропорциональным изменением ширины выходного (рис. 5а и 56) При малой длительности входного импульса конкретный выбор а практически не влияет на длительность выходного импульса, определяющуюся величиной Тингр. Таким образом, при достаточно коротком входном импульсе длительность выходного импульса определяется собственным характерным временем инерционности усилителя Т ,

и в этом случае наблюдается эффект увеличения длительности импульса в результате его прохождения через систему. Как можно заметить, на рис. 5а и 56 ширина выходного импульса несколько больше исходной на величину порядка Т .

т \_________!

Рис 6. Изменение во времени распределения амплитуды

поля по длине системы (А = 0.5, а = 0.05,1 = 6.0).

Рассмотрение изменения формы выходного импудьса при увеличении £ показало, что в линейной теории поле экспоненциально нарастает по длине сис-

темы, что приводит к увеличению амплитуды выходного сигнала. А при учете нелинейных эффектов имеет место ограничение амплитуды поля, и искажение выходного импульса, по сравнению с входным (рис. 6).

Изучение динамики импульса во времени показало, что на начальном этапе рост входного сигнала приводит к росту тока пучка и, соответственно, к росту амплитуды поля. Достаточно большое поле приводит к перегруппировке электронов и уменьшению тока пучка. При этом уменьшается и амплитуда выходного сигнала. При дальнейшем увеличении I форма выходного сигнала изменяется достаточно сильно. Увеличение амплигуды поля вызывает перегруппировку электронов Это приводит к тому, что импульс сильно деформируется, появляется «провал» (рис. 7).

Также в этой главе рассмотрено численное моделирование динамики ЛБВ-генератора с запаздыванием на основании уравнений нестационарной нелинейной теории и показан механизм возникновения автомодуляции в системе. Механизм ее рождения получил название частотного, так как он связан с наличием вогнутого участка на амплитудно-частотной характеристике усилителя. Чаще всего модуляция вызывается жестким возбуждением одной из собственных мод кольцевой резонансной колебательной системы. Важно, что переход к автомодуляции происходит жестко, т.е. сразу же за порогом возникают глубокие пульсации амплитуды выходного сигнала

Другой механизм автомодуляции — амплитудный, связан с наличием крутого падающего участка на амплитудной характеристике усилителя. Он ведет к мягкому появлению автомодуляпии, подобному тому, который обсуждался в первой главе данной работы В ЛБВ-генераторе с запаздыванием при обычных условиях реализуется частотный механизм, но если в цепь обратной связи включить узкополосный фильтр, то можно реализовать и амплитудный механизм.

Характерный пример возникновения и развития автомодуляции приведен на

Рис 7 Зависимость амплитуды входных и выходных сигналов от времени

Рис 8. Зависимость амплитуды выходного сигнала от времени при различных параметрах.

рис.8. Видно, что сразу после переходного процесса устанавливается режим модуляции. Причем такое поведение система демонстрирует при всех значениях параметров при заданном значении временной задержки.

В третьей главе рассмотрена динамика системы электронный пучок - электромагнитная волна вблизи границы полосы пропускания в присутствии релятивистских эффектов. Сформулированы основные уравнения исследуемой модели в рамках нестационарной нелинейной теории. Рассмотрена динамика системы в двух существенно различных случаях, когда взаимодействие имеет место вблизи высокочастотной или низкочастотной границы полосы.

Нестационарные процессы в системе электронный пучок — электромагнитная волна вблизи границы полосы пропускания описываются следующими уравнениями с граничными и начальными условиями3:

д2Р

— + щ —- = -I. дт и д?

Ч-

п „•"

д2в д? =

дГ

Ч

1 + 1/

89

КеГе"

О = <9 , |{-0 0

дв\ щ

= в\

= 0,

<5£

= о, Я

(12)

(13)

(14)

где (12) — уравнение возбуждения, (13) — уравнение движения электронов, (14) — граничные и начальные условия. Здесь использованы следующие обозначения: г и £ — безразмерные время и координата, Р — комплексная амплитуда высокочастотного поля, в — фазовая координата электронов, / — безразмерная длина пространства взаимодействия, В — параметр рассинхронизма пучка с колебаниями поля на границе полосы, а,, — параметры граничных условий, у — релятивистский параметр. Значение' ц = соответствует высокочастотной границе, /¿ = 1 — низкочастотной. Функция 7го (£) характеризует начальное распределение поля по длине системы.

Поясним физический смысл безразмерных величин, используемых при обсуждении результатов численного решения задачи.

Параметр I регулируется изменением рабочего тока электронного пучка. Он пропорционален корню четвертой степени из величины тока.

Комбинация В1 характеризует относительный угол пролета электронного пучка и волны критической частоты. Практически параметр В1 управляется ускоряющим напряжением.

Вместо времени г используется комбинация г//2, нормировка которой не зависит от тока и напряжения.

Параметр у-2еу'\ входящий в уравнение движения (13), из-за предполагаемой малости е может быть значительным только в ультрарелятивистском случае. Поэтому V = 0 соответствуют нерелятивистскому случаю, а V > 0 — релятивистскому. В данной работе рассмотрим оба этих случая. Будем использовать комбинацию г = у/I. значения которой возьмем равными 0 (нерелятивистский случай), 0.03 и 0.06 (релятивистский).

Условия на концах пространства взаимодействия, определяемые устройствами ввода и вывода энергии, характеризуются комбинациями а,/ и а21. Для определенности будем полагать, что в некоторой точке полосы пропускания система полностью согласована При этом параметры а,1 и а21 равны друг другу. Реалистичные значения а1 составляют а1 ~ 5 Н- 50. Для детального исследования выбран характерный случай а1 = 20.

Чтобы определить амплитуды сигналов, поступающих из системы во входной и выходной волноводы, воспользуемся энергетическими соображениями. Введем безразмерные амплитуды сигналов как корень квадратный из безразмерного потока мощности в сечениях £ = 0 и £ = /:

^о = (2\miF-SFI, Я = ,/|21ш(ГЭР/

05)

С помощью линейной теории были получены границы области самовозбуждения системы в релятивистском случае (рис. 9). Точками на рис. 9 отмечены значения параметров, при которых уравнения (12)-(14) решались численно.

*В1/п

1 1-0 06 |

• 1 • 1 С 1 ч

; 1 *

I ! 1 1

7 ■« 5

' В1М.

Рис 9. Области самовозбуждения системы вблизи высокочастотной (слева) и низкочастотной (справа) границы полосы при а! = 20 Точками отмечены значения параметров, для которых проводилось численное моделирование

Динамика системы, описываемой уравнениями (12)-(14) ранее была исследована только при V = 0, что отвечает нерелятивистскому или слаборелятивистскому случаю3.

На основе проведенных численных экспериментов было изучено поведение системы при различных управляющих параметрах, а также проанализировано влияние релятивистских эффектов на динамику.

Возможность генерации хаотических колебаний в ЛОВ была обнаружена сначала теоретически, а потом и экспериментально более 20 лет назад. Можно ожидать, что в изучаемой системе также возможно появление хаотических режимов, из-за того, что вблизи высокочастотной границы полосы при положительных значениях параметра В система ведет себя как лампа обратной волны, так как взаимодействие осуществляется преимущественно со встречной волной.

На рис. 10 показаны несколько наложенных временных реализаций входных и выходных сигналов, немного отличающихся начальными условиями. Видно, что в периодическом режиме небольшое изменение начальных условий не влияет на динамику системы. А в хаотическом режиме наблюдается отклонение реализаций друг от друга с течением времени. Аналогичный эффект в ЛОВ наблюдался экспериментально13.

Рис. 10 Наложение нескольких временных реализаций в периодическом (слева) и хаотическом (справа) режиме.

В приложении 1 предлагается идея усовершенствования метода крупных частиц, применяемого при численном моделировании (в одномерном приближении) процессов в электронных приборах, таких как лампа бегущей волны. Показано, что при фиксированном количестве крупных частиц объем вычислений практически не меняется, а точность, достигаемая в режимах сильной нелинейности, существенно повышается.

В приложении 2 рассмотрено решения нестационарной нелинейной задачи, описанной в главе 3. И предложен метод второго порядка точности, как по пространственной, так и по временной переменной.

Основные результаты и выводы

1. При применении методики управления хаосом удалось увеличить порог возникновения автомодуляции, при этом также увеличились КПД и мощность одночастотной генерации А именно, по сравнению с обычной ЛОВ удалось поднять порог автомодуляции по / примерно в 1,27 раза, а по величине рабочего тока - в два раза (1,273), без существенного изменения безразмерной амплитуды выходного сигнала ¡Т-]. Поэтому КПД и мощность, максимально достижимые в режиме одночастотной генерации, возрастают примерно в 1,3 и 2,5 раза.

2 Рассмотренная версия нестационарной нелинейной теории ЛБВ усилителя позволила исследовать нелинейные и инерционные эффекты, сопровождающие распространение импульсов по длине системы в ситуации, когда инерционные свойства определяются одним фактором - групповым рассинхро-низмом Наличие характерного временного масштаба, определяющего инерционные свойства усилителя, приводит к конечной ширине выходного импульса, даже если длительность входного импульса мала. Анализ данной задачи показал, что в линейной теории увеличение нормированной длины системы сопровождается неограниченным увеличением амплитуды выходного сигнала, тогда как нелинейная теория указывает на ограничение роста амплитуды и искажение формы импульса.

3 Рассмотрение динамики ЛБВ-генератора с запаздыванием показало, что автомодуляция в системе возникает жестко, т.е. сразу же за порогом возникают глубокие пульсации амплитуды выходного сигнала. Длительность и детали переходного процесса, вообще говоря, зависят от начальных условий Особенно сильно это проявляется при больших временах задержки, когда на начальной стадии происходит конкуренция большого числа близко расположенных мод. Кроме того, поскольку автомодуляция возникает жестко, в окрестности порога автомодуляции имеет место бистабильность, т.е. сосуществуют автомодуляционный и одночастотный режимы.

4. Рассмотрена динамика электронных СВЧ приборов при работе вблизи границы полосы пропускания при учете релятивистских эффектов. Предложен метод решения нестационарной нелинейной задачи второго порядка точности и по координате, и по времени. Установлено, что присутствие релятивистских эффектов способствует изменению границы области самовозбуждения системы. При этом не меняется характерное распределение поля вдоль длины системы При рассмотрении высокочастотной границы появление автомодуляции в системе наблюдается при меньших значениях параметра нормированной длины, и при этом изменяется амплитуда и частота модуляции. Вблизи низкочастотной границы релятивистские эффекты несколько понижают уровень входных и выходных сигналов. В работе продемонстрировано

существование хаотических режимов и показана неустойчивость временных реализаций к небольшому изменению начальных условий. Получены предварительные данные, указывающие, что переход к хаосу связан с каскадом бифуркаций удвоения периода.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах

1. Долов A.M., Кузнецов С.П. Применение методики контроля хаоса для устранения автомодуляции в лампе обратной волны // ЖТФ. - 2003. -Т. 73. - № 8. -С. 139-142.

2 Долов A.M. Прохождение импульсного сигнала через лампу бегущей волны // Известия вузов «ПНД». - 2003.-Т. 11.-№6.- С. 130-137.

3 Долов А М., Кузнецов С П. Усовершенствования метода крупных частиц, применяемого при численном решении задач сверхвысокочастотной электроники.//ЖТФ -2005.-Т. 75.-№6.-С 126-128.

4. Долов A.M., Кузнецов С.Г1. Стабилизация режима стационарной генерации в лампе обратной волны с использованием идеи управления хаосом / В сб. «Высокие технологии - путь к прогрессу». Изд-во «Научная книга». Саратов. -2003.-С. 138-145.

5. Dolov A.M., Kuznetsov S.P Nonlinear nonstationary processes in electro-dynamical structure with relativistic electron beam near an edge of the transmission band. Forth IEEE Internationa! Vacuum Electron Source Conference. Proceedings. Saratov. Russia. July 15-19. - 2002 - P 391-393.

6. Dolov A.M , Kuznetsov S.P. Application of idea of chaos control to stabilization of stationary generation in backward-wave oscillator. Proc. 2003 Int. Conference "Physics and Control" (August 20-22, 2003, Samt Petersburg, Russia), p.507-509.

7. Долов A.M., Кузнецов С.П. О возможности стабилизации режима стационарной генерации в лампе обратной волны на основе методов управления хаосом / В сб. Перспективные направления развития электронного приборостроения. Материалы научно-технической конференции 18-19 февраля 2003 г. Изд-во Саратовского университета, 2003, с.32-33.

8. Долов A.M. О распространении импульсов в ЛБВ, работающей в условиях группового рассинхронизма / В сб. Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2003. Материалы научной школы-конференции. Саратов, Изд-во Гос-УНЦ «Колледж», 2003, 254-257.

Долов Алексей Михайлович

СЛОЖНАЯ ДИНАМИКА И МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ ХАОСОМ В СИСТЕМЕ ЭЛЕКТРОННЫЙ ПОТОК -ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА

Автореферат

Лицензия №020773 от 15.05.98г. Подписано к печати 29.08.2005г. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура "Тайме". Усл.печ.л. 1,16(1,25). Тираж 100 экз. Заказ № 1481

Отпечатано с оригинал-макета в ООО «Ладога-ПРИНТ» 410012, г. Саратов, ул. Московская 160. тел.: (845-2) 507-888

>15648

РЫБ Русский фонд

2006-4 12071

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДИКИ УПРАВЛЕНИЯ ХАОСОМ ДЛЯ СТАБИЛИЗАЦИИ РЕЖИМА ОДНОЧАСТОТНОЙ

ГЕНЕРАЦИИ В ЛАМПЕ ОБРАТНОЙ ВОЛНЫ.

1.1. Введение.

1.2. Основные уравнения.

1.3. Нелинейная теория.

1.4. Выводы.

ГЛАВА 2. УСИЛИТЕЛЬ И ГЕНЕРАТОР НА ОСНОВЕ ЛАМПЫ

БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ.

2.1. Введение.

2.2. Основные уравнения.

2.3. Численные результаты.

2.4. Динамика ЛБВ-генератора с запаздыванием.

2.5.Вывод ы.

ГЛАВА 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ РЕЛЯТИВИСТСКОГО ЭЛЕКТРОННОГО ПУЧКА И ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ

ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ ПОЛОСЫ ПРОПУСКАНИЯ.

3.1. Введение.

3.2. Основные уравнения.

3.3. Исследование динамики системы вблизи высокочастотной границы полосы.

3.4. Исследование динамики системы вблизи низкочастотной границы полосы.

3.5 Хаотические режимы.

3.6. Выводы.

Актуальность задачи

Проблема теоретического описания взаимодействия электронного пучка и электромагнитной волны - одна из традиционных задач радиофизики. Такого рода взаимодействие лежит в основе функционирования многочисленных приборов вакуумной сверхвысокочастотной (СВЧ) электроники, например лампы бегущей волны (ЛБВ), лампы обратной волны (ЛОВ), магнетронов, гирорезонансных приборов. За последние три десятилетия возникло и развивается направление в рамках радиофизики и электроники, в рамках которого электронные приборы с длительным взаимодействием рассматриваются с позиций нелинейной динамики [1-36].

Благодаря развитию нелинейной динамики, теории колебаний и волн, стало понятно, что природа колебательных режимов в таких сложных динамических системах, каковыми являются электронные приборы СВЧ, в принципе может быть не только простой, регулярной (периодические колебания), но и достаточно сложной (квазипериодичность, хаос). Обнаружение и исследование такого рода режимов, с одной стороны, способствует внедрению идей нелинейной динамики в прикладную область - СВЧ электронику, а с другой - обогащению формирующейся общей картины сложной динамики распределенных систем и ее наполнению интересными конкретными примерами. Существенный момент состоит в том, что с практической точки зрения важно разобраться в так называемых паразитных эффектах генерации нежелательных спектральных составляющих выходного сигнала, что часто имеет место в устройствах типа электронный поток - электромагнитная волна. В отличие от традиционного в теоретической СВЧ электронике стационарного подхода, когда характер усиливаемого или генерируемого сигнала постулируется, в нестационарной постановке отслеживается естественным образом временная эволюция системы. В итоге возникает тот тип динамического поведения, который отвечает реально наблюдаемому режиму. Это позволяет определить рабочие области параметров, где режим работы устройства носит нужный характер, исследовать пути устранения нежелательных паразитных явлений, указать новые, ранее не предполагавшиеся функциональные возможности электронных приборов.

Нестационарный подход позволяет изучать процессы, имеющие сложную временную динамику, такие как, установления колебаний в генераторах и усилителях [37-52], прохождение сигналов сложной формы через электронные устройства, работу приборов, генерирующих короткие импульсы [53-67] и т.д. Для устройств, функционирующих в непрерывном режиме, этот подход приводит зачастую к нетривиальным результатам, предсказывая существование автомодуляционных и других сложных режимов. В рамках нестационарной теории были исследованы различные системы: ЛОВ [2-3, 8, 41, 68-78], ЛБВ [6, 10-11, 56-61, 79-82], резонансные генераторы [29, 38, 83-98] (лазеры на свободных электронах, оротроны), причем была установлена возможность возникновения как простых периодических, так и сложных многочастотных и стохастических режимов.

В частности, в ЛОВ были обнаружены такие феномены как потеря устойчивости одночастотной генерации с рождением автомодуляции и возникновение динамического хаоса [3-5, 8, 12, 41, 99]. В некоторых случаях автомодуляция выступает как паразитный эффект, препятствующий реализации одночастотной генерации с относительно высокими уровнями мощности и КПД, которые должны были бы достигаться при увеличении рабочего тока. Поэтому, если рассматривать ЛОВ как динамическую систему, то можно обратиться идеям, разработанным в рамках нелинейной динамики. Одной из такой идей является идея стабилизации неустойчивых состояний, получившей известность как управление хаосом ("controlling chaos").

Цель работы состоит в рассмотрении сложной динамики систем электронный пучок - электромагнитная волна, на примере лампы обратной волны и лампы бегущей волны, включая исследование возможности применения идеи управления хаосом для устранения автомодуляционных режимов.

Научная новизна работы

• На основе идеи управления хаосом предложена и продемонстрирована в численном эксперименте методика устранения автомодуляции в JIOB, применение которой, в частности, позволяет существенно повысить мощность и КПД, достижимые в режиме одночастотной генерации.

• Рассмотрена динамика ЛБВ при прохождении импульсного сигнала и изучено влияние нелинейных эффектов на трансформацию формы импульса при его прохождении через систему.

• Исследована динамика модели ЛБВ-генератора с запаздывающей обратной связью и продемонстрированы в численном эксперименте основные режимы - стационарная генерация, автомодуляция, хаос.

• Проведено исследование с помощью нелинейного нестационарного подхода взаимодействия релятивистского электронного пучка и электромагнитной волны вблизи границы полосы пропускания

Достоверность научных выводов работы подтверждается соответствием с результатами, известными из литературы для некоторых частных случаев, сопоставлением с данными линейного анализа и стационарной нелинейной теории, с подобными работами, проводившимися до этого другими исследователями, а также воспроизводимостью всех численных результатов при различном выборе разностных схем, наблюдаемым уменьшением численной погрешности в 6 зависимости от шага интегрирования в соответствии с порядком используемой разностной схемы.

Основные положения, выносимые на защиту

1) Применение методики управлением хаосом посредством введения дополнительной цепи запаздывающей связи, регулирующей уровень тока пучка пропорционально амплитуде выходного сигнала в лампе обратной волны, позволяет устранить автомодуляцию в определенном диапазоне значений рабочего тока. Благодаря этому, существенно увеличивается величина тока, отвечающая началу автомодуляции, и удается существенно повысить КПД и мощность, достижимые в режиме одночастотной генерации.

2) При распространении импульсных сигналов в ЛБВ наличие временного масштаба, характеризующего инерционные свойства усилителя и определяющегося разностью скорости пучка и групповой скорости волны, приводит к конечной ширине выходного импульса, даже если длительность входного импульса мала. Нелинейные эффекты приводят к трансформации формы огибающей выходного радиоимпульса, который приобретает характерный «провал» в области больших амплитуд сигнала.

3) В ЛБВ-генераторе с запаздывающей обратной связью возможен режим жесткого возбуждения автомодуляции. При одних и тех же параметрах системы вблизи порога в зависимости от начальных условий может реализоваться режим одночастотной генерации или автомодуляция.

4) При взаимодействии электронного пучка с электромагнитной волной присутствие релятивистских эффектов способствует смещению границы области самовозбуждения системы: в зависимости от знака параметра рассинхронизма пучка с волной на границе полосы порог самовозбуждения повышается или понижается. В этой системе при достаточно большой величине рабочего тока возможны режимы хаотических автоколебаний, характеризующиеся неустойчивостью движения по отношению к малому возмущению начальных условий.

Научно-практическая значимость работы и рекомендации по использованию

• В тех случаях, когда возникновение автомодуляции в ЛОВ выступает как паразитный эффект, применение методики управления хаосом позволяет увеличить пороговый ток возникновения автомодуляции, а значит реализовать режим одночастотной генерации с более высокими уровнями мощности и КПД.

• Результаты работы, касающиеся трансформации формы радиоимпульсов при прохождении через ЛБВ в нелинейном режиме, существенны для практического применения ЛБВ в различных областях, таких как радиолокация, телевидение, радиовещание.

• Развитые в работе методы и подходы к изучению взаимодействия электронного пучка и электромагнитной волны могут быть распространены на широкий класс электронных приборов с длительным взаимодействием, позволяя получить теоретическое описание их работы, проводить численное моделирование нестационарных процессов, реализовать идею управления режимами динамики.

• Предложенная модификация метода крупных частиц позволяет уменьшить время расчета нестационарных задач и увеличить точность вычислений, особенно в нелинейных режимах работы.

Апробация работы и публикации

Результаты работы были представлены на международной конференции IVESC 2002 — The 4th International IEEE Vacuum Electron Sources Conference (Россия, Саратов, 2002); коллоквиуме "Complex spatiotemporal dynamics" (Berlin, Fritz-Haber-Institut, 2002); Международной 8 конференции "Physics and Control" (Санкт-Петербург, 2003); Международной школе-семинаре по радиофизике и электронике СВЧ (Саратов, Россия, 2003); школе-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых-2003" (Саратов, Россия, 2003); научно-технической конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (Саратов, 2003)

Структура работы

По теме диссертации имеется 8 публикаций (3 статьи в научных журналах, 1 статья в научно-техническом сборнике, 4 тезисов докладов).

Исследования, результаты которых представлены в диссертации, выполнялись при поддержке РФФИ (грант № 03-02-16192).

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка используемой литературы. Диссертация содержит 123 страниц текста, 65 рисунков, список литературы из 129 наименований на 15 страницах.

3.6. Выводы

Данное исследование раскрыло широкую картину различных режимов, возникающих в электронных СВЧ приборах при работе вблизи границы полосы пропускания и при учете релятивистских эффектов.

Был предложен метод решения нестационарной нелинейной задачи второго порядка точности и по координате и по времени.

Было установлено, что присутствие релятивистских эффектов способствует изменению границы области самовозбуждения системы: при положительных значениях параметра В она понижается, а при отрицательных — повышается. При этом не меняется характерное распределение поля вдоль длины системы. При рассмотрении высокочастотной границы появление автомодуляции в системе наблюдается при меньших значениях параметра /, и при этом изменяется амплитуда и частота модуляции. Вблизи низкочастотной границы релятивистские эффекты несколько понижают уровень входных и выходных сигналов.

В работе продемонстрировано существование хаотических режимов и показана неустойчивость временных реализаций к небольшому изменению начальных условий. Получены предварительные данные, указывающие, что переход к хаосу связан с каскадом бифуркаций удвоения периода.

Заключение

В соответствии с поставленными целями в работе исследовалось сложная динамика систем электронный пучок - электромагнитная волна, и изучалось применение идеи управления хаосом для устранения автомодуляционных режимов в приборах СВЧ электроники.

Применение методики управлением хаосом посредством введения дополнительной цепи запаздывающей связи, регулирующей уровень тока пучка пропорционально амплитуде выходного сигнала в лампе обратной волны, позволяет устранить автомодуляцию в определенном диапазоне значений рабочего тока. Проведенное исследование показало, что эта методика работает как в нелинейной модели, так и в линейной. Благодаря незначительному изменению безразмерной амплитуды выходного сигнала и увеличению величины тока, отвечающего началу автомодуляции, удается существенно повысить КПД и мощность, достижимые в режиме одночастотной генерации.

При распространении импульсных сигналов в ЛБВ наличие временного масштаба, характеризующего инерционные свойства усилителя и определяющегося разностью скорости пучка и групповой скорости волны, приводит к конечной ширине выходного импульса, даже если длительность входного импульса мала. Наличие синхронизма в узком интервале частот приводит к искажению первоначальной формы импульса даже в линейном приближении. Нелинейные эффекты приводят к трансформации формы огибающей выходного радиоимпульса, который приобретает характерный «провал» в области больших амплитуд сигнала.

Показано, что в ЛБВ-генераторе с запаздывающей обратной связью возможен режим жесткого возбуждения автомодуляции, связанный наличием вогнутого участка на амплитудно-частотной характеристике усилителя. Модуляция вызывается жестким возбуждением одной из

96 собственных мод кольцевой резонансной колебательной системы. При этом в окрестности порога автомодуляции имеет место бистабильность, т.е. сосуществуют автомодуляционный и одночастотный режимы, появление которых зависит от начальных условий.

В работе с помощью линейной теории показано, что при взаимодействии электронного пучка с электромагнитной волной присутствие релятивистских эффектов способствует смещению границы области самовозбуждения системы: в зависимости от знака параметра рассинхронизма пучка с волной на границе полосы порог самовозбуждения повышается или понижается. При рассмотрении высокочастотной границы появление автомодуляции в системе наблюдается при меньших значениях параметра /, и при этом изменяется амплитуда и частота модуляции. Численное моделирование показало, что при достаточно большой величине рабочего тока возможны режимы хаотических автоколебаний, характеризующиеся неустойчивостью движения по отношению к малому возмущению начальных условий.

1. Булгакова Л.В., Трубецков Д.И., Фишер В.Л., Шевчик В.Н. Лекции по электронике СВЧ приборов типа «О». Саратов. Издательство саратовского университета. 1974.

2. Кузнецов СП., Трубецков Д.И. Нестационарные нелинейные явления при взаимодействии электронного потока, движущегося в скрещенных полях, с обратной электромагнитной волной // Известия вузов. Радиофизика. - 1977. - Т. 20, № 2.- 300-312.

4. Безручко Б.П., Кузнецов СП. Экспериментальное исследование нелинейных нестационарных процессов в ЛОВО-генераторе // Изв. вузов. Радиофизика. - 1978. - Т . 21. - № 7. - С 1053 -1059.

5. Безручко Б.П., Кузнецов СП., Трубецков Д.И. Экспериментальное наблюдение стохастических колебаний в динамической системе электронный пучок — обратная электромагнитная волна // Письма в ЖЭТФ.-1979 . -Т .29 . -№3. -С 180-184.

6. Кузнецов СП., Четвериков А.П. // Известия вузов. Радиофизика. - 1981 . -Т .24 . -№1 . -С 109-117.

7. Безручко Б.П., Булгакова Л.В., Кузнецов СП., Трубецков Д.И. Экспериментальное и теоретическое исследование стохастических автоколебаний в лампе обратной волны. В кн.: Лекции по электронике СВЧ и радиофизике. Изд.СГУ. - 1981. - Кн.5. - 25-77.

8. Безручко Б.П., Булгакова Л.В., Кузнецов СП., Трубецков Д.И. Стохастические автоколебания и неустойчивость в лампе обратной волны // Радиотехника и электроника. - 1983. - Т. 28, № 6. - 1136.

9. Кузнецов А.П., Кузнецов СП, Нелинейные нестационарные уравнения взаимодействия электронного потока с электромагнитным полем вблизи границы зоны Бриллюэна // Известия вузов. Радиофизика. - 1984. - Т. 27. - № 12. - 1575.

10. Кузнецов А.П., Кузнецов СП., Рожнев А.Г. Волновая линейная теория ЛБВ у границы полосы прозрачности. / Лекции по электронике СВЧ и радиофизике. - Книга 2. - Саратов. - 1986.

11. Булгакова Л.В., Кузнецов А.П., Кузнецов СП., Рожнев А.Г. Усиление и паразитное самовозбуждение ЛБВ у границы полосы прозрачности замедляющей системы // Электронная техника. Сер. 1. Электроника СВЧ. - 1988. - Вып. 3(407). - 7.

12. Рыскин Н.М., Титов В.Н., Трубецков Д.И. Детали перехода к хаосу в системе электронный пучок - обратная электромагнитная волна // Доклады Академии Наук. - 1998. - Т. 358. - № 5. - С 620-623.

13. Воробьев Г.С, Цвык А.И. Экспериментальное исследование гистерезисных явлений в генераторе дифракционного излучения // Известия вузов. Радиофизика. - 1982. - Т. 25. - № 9. - 1060-1066.

14. Нусинович Г.С, Шер Э.М. Нестационарные процессы в МЦР со встречными волнами // Известия вузов. Радиофизика. - 1983. - Т. 26. -№ 9 . - С 1154-1163.

15. Гинзбург Н.С, Завольский Н.А., Нусинович Г.С Динамика гиротронов с нефиксированной продольной структурой высокочастотного поля // Радиотехника и электроника. - 1987. — Т. 32. - № 5 . - С . 1031-1039.

16. Гинзбург Н.С, Пиковский А.С, Сергеев А.С Стохастизация электромагнитного излучения в системах с конвективной неустойчивостью электронного потока // Радиотехника и электроника. - 1989. - Т. 34. - № 4. - 821-829.

17. Айзацкий Н.И. Метод анализа неустойчивостей распределенных систем с внешней обратной связью // Известия вузов. Радиофизика. — 1989.-Т.32.-№10.-С. 1417-1421.

18. Коневец А.Е., Четвериков А.П. К линейной теории взаимодействия винтового электронного пучка с электромагнитными волнами в волноводе вблизи частоты отсечки // Известия вузов. Радиофизика. — 1989.-Т. 3 2 . - № 5 . - С . 600-606.

19. Четвериков А.П. Нелинейные эффекты при взаимодействии винтового электронного пучка с электромагнитными волнами в волноводе вблизи критической частоты // Известия вузов. Радиофизика. - 1990. — Т. 33. -№ 7.-С. 841-846.

20. Бондаренко В.А., Островский А.О., Ткач Ю.В. К нестационарной теории релятивистского карсинотрона с дополнительной обратной связью // Журнал технической физики. - 1990. - Т. 60. - № 6. - 134-137.

21. Балакирев В.А., Островский А.О., Ткач Ю.В. К теории автомодуляционной неустойчивости колебаний в связанных карсинотронах // Письма в ЖТФ. - 1990. - Т. 16. - № 19. - 8-12.

22. Дмитриев А.Ю., Трубецков Д.И., Четвериков А.П. Нестационарные процессы при взаимодействии винтового электронного пучка со встречной волной в волноводе // Известия вузов. Радиофизика. - 1991. - Т . 34 . -№5. -С. 595-600.

23. Балакирев В.А., Островский А.О., Ткач Ю.В. К теории автомодуляционных процессов в системе связанных гофрированных волноводов, возбуждаемых прямолинейными электронными пучками //Журнал технической физики.- 1991.-Т. 6 1 . - № 9 . - С . 94-101.

24. Островский А.О., Ткач Ю.В. К теории автомодуляционных процессов в релятивистском карсинотроне // Письма в ЖТФ. - 1991. - Т. 17. - № 18.-С. 10-14.

25. Балакирев В.А., Островский А.О., Ткач Ю.В. О влиянии сил высокочастотного пространственного заряда пучка на динамику автомодуляционных процессов в релятивистском карсинотроне // Журнал технической физики.- 1991. - Т. 61, № 2 . -С . 158-163.

27. Бобылев Ю.В., Кузелев М.В., Рухадзе А.А., Свешников А.Г. Нестационарные парциальные условия излучения в задачах релятивистской сильноточной плазменной СВЧ-электроники // Оптика плазмы.-1999.-Т. 2 5 . - № 7 . - С . 615-620.

28. Гинзбург Н.С, Зайцев Н.И., Иляков Е.В,, Кулагин И.С., Новожилова Ю.В., Розенталь P.M., Сергеев А.С Хаотическая генерация в лампе обратной волны мегаваттного уровня мощности // Журнал технической физики, - 2001. - Т. 71. - № 11, - С 73-80.

29. Гинзбург Н.С, Завольский Н.А., Запевалов В.Е., Моисеев М.А., Новожилова Ю.В, Нестационарные процессы в оротроне с дифракционным выводом излучения // Журнал технической физики. -2000. - Т. 70. - № 4. - 99-105.

30. Рыскин Н.М. Подавление модуляционной неустойчивости при взаимодействии двухскоростного электронного потока с обратной электромагнитной волной // Письма в ЖТФ. - 1996. - Т. 22. - № 14. -С 80-84.

31. Miller S.M., Antonsen Т.М,, Levush Jr,B., Bromborsky A., Abe D.K,, Carmel Y. Theory of relativistic backward wave oscillators operating near cutoff// Phys. Plasmas. - 1994. - Vol. 1. - No, 3, - P. 730-740.

32. Zheng X., Tanaka K., Minami K., Granatstein V.L. Experimental study of a high-power backward-wave oscillator operating far from the upper cutoff// Journal of the physical society of Japan. - 1998. - Vol. 67. - No. 4. - P. 1466-1472.

33. Chang Т.Н., Chen S.H., Bamett L.R., Chu K.R. Characterization of stationary and nonstationary behavior in gyrotron oscillators // Physical review letters. - 2001. - Vol. 87. - No. 6.

34. Pyragas K. Analytical properties and optimization of time-delayed feedback control // Physical review E 66, 026207. - 2002.

35. Гинзбург H.C., Завольский H.A., Нусинович Г.С., Сергеев А.С. Установление автоколебаний в электронных СВЧ генераторах с дифракционным выводом излучения // Известия вузов. Радиофизика. -1986.-Т.29.-№ 1.-С.106-114.

36. Гинзбург Н.С, Сергеев А.С. Периодическая и стохастическая автомодуляции излучения в лазере на свободных электронах, основанном на вынужденном встречном рассеянии волн // Радиотехника и электроника. — 1988. - Т. 33. —№ 3. - 580-587.

37. Айзацкий Н.И., Балакирев В.А., Островский А.О., Ткач Ю.В. Динамика неустойчивости релятивистского электронного пучка в плазменном резонаторе // Радиотехника и электроника. - 1989. - Т. 34. - № 8.-С. 1779-1782.

38. Гинзбург Н.С, Зайцев Н.И., Иляков Е.В., Кулагин И.С, Новожилова Ю.В., Сергеев А.С, Ткаченко А.К. Наблюдение автомодуляционных режимов генерации в мощной ЛОВ // Письма в ЖТФ. - 1998. - Т. 24. -№ 2 0 . - С 66-71.

39. Солнцев В.А., Андреевская Т.М. Условия амплитудной автомодуляции в автогенераторе с запаздыванием // Радиотехника и электроника. - 1983. - Т. 28. - № 3. - 561-568.

40. Кислов В.Я., Залогин Н.Н., Мясин Е.А. Исследование стохастических автоколебательных процессов в автогенераторах с запаздыванием // Радиотехника и электроника. - 1979.-Т. 24 . -№ 6 . - С 1118-1130.

41. Анисимова Ю.В., Дмитриев А.С, Залогин Н.Н., Калинин В.И., Кислов В.Я., Панас А.И. Об одном механизме перехода к хаосу в системе электронный пучок -электромагнитная волна // Письма в ЖЭТФ. -1983. - Т. 37.-№ 8. - С 387-389.

42. Кальянов Э.В., Старков СО. Экспериментальное исследование механизма автомодуляционной неустойчивости в системе электронный поток — бегущая электромагнитная волна при параметрическом воздействии // Письма в ЖТФ. - 1985. - Т. П. -№ 1 6 . - С 1009-1014.

43. Кузнецов СП., Перельман А.Ю., Трубецков Д.И. Автомодуляционные и стохастические режимы в клистроне бегущей волны с внешней обратной связью // ЖТФ. - 1983. - Т. 53. - № 1. - С 163-166.

44. Ажиппо В.А., Айзацкий Н.И. Автоколебательный режим в линейных резонансных ускорителях // ЖТФ. 1987. - Т. 57. - № 4. - 797-800.

45. Блиох Ю.П., Любарский М.Г., Подобинский В.О., Файнберг Я.Б. Исследование механизмов стохастизации секционированных пучковых СВЧ-генераторов // Физика плазмы. - 1994. - Т. 20. - № 7-8. - С 718-728.

46. Афанасьева В.В. Об особенностях хаотической динамики двух симметричных автоколебательных систем (неавтономный осциллятор Дуффинга и автогенератор с запаздывающей обратной связью) // Письма в ЖТФ.-1993.-Т. 19.-№ 6. -С. 62-66.

47. Афанасьева В.В., Железовский Е.Е., Лазерсон А.Г. Два типа взаимодействия парных аттракторов в симметричных автоколебательных системах с запаздыванием // Письма в ЖТФ. -1994. - Т. 20. - № 12. - 19-23.

48. Анисимова Ю.В., Воронцов Г.М,, Залогин Н.Н., Кислов В.Я., Мясин Е.А. Шумотрон // Радиотехника. - 2000. - № 2. - 19-25.

49. Воронцов Г.М., Кислов В.Я. Шумотрон с ЛБВ-усилителем магнетронного типа // Радиотехника. - 2000. - № 2. - 30-39.

50. Коровин Д., Ростов В.В., Сморгонский А.В. Импульсно- периодический релятивистский карсинотрон // Известия вузов. Радиофизика. - 1986. - Т. 29. - № 10. - 1278-1280.

51. Гинзбург Н.С, Новожилова Ю.В., Сергеев А.С. Генерация коротких электромагнитных импульсов электронным сгустком в замедляющей системе типа лампы обратной волны // Письма в ЖТФ. - 1996. — Т. 22. - № 9 .

52. Железовский Е.Е., Надолинский В.Ф. Экспериментальное исследование особенностей формирования стохастических сигналов в ЛОВМ // Радиотехника и электроника. - 1981. - Т. 26. - № 9. -С 1903-1909.

53. Железовски!! Е.Е. Усиление стохастических сигналов в ЛБВ. Эксперимент // Радиотехника и электроника. - 1981. - Т. 26. - № 9. -С. 1910-1917.

54. Манькин И.А., Школьников В.Г. Усиление коротких импульсов в ЛБВ // Радиотехника и электроника. - 1986. - Т. 31. - № 5. - 945-950.

55. Назарова М.В., Солнцев В.А Эффективный метод анализа многочастотных режимов работы ЛБВ, основанный на решении нестационарного уравнения возбуждения // Радиотехника и электроника.-1982.-Т. 27 . -№ 1.-С. 140-145.

56. Афонин A.M., Канавец В.И. Импульсная генерация СВЧ-колебаний в релятивистском устройстве типа ЛОВ-ЛБВ // Радиотехника и электроника. - 1984. - Т. 29. - № 4. - 741-750.

57. Ефимов Б.П., Ракитянский В.А., Шестопалов В.П.Усиление узкополосных стохастических сигналов широкополосной ЛБВО // Письма в ЖТФ.-1985.-Т. 11.-№ 12.-С. 729-733.

58. Могеу I.J., Birdsall C.K. Traveling-wave-tube simulation. The IBC code // IEEE Trans, on Plasma Sci. - 1990. - V. PS-18. - N o 3. - P. 482-489.

59. Shiftier D., Nation J.A., Schachter L., Ivers J.D., Kerlisk G.S. High-power traveling-wave tube amplifier // Appl. Phys. Lett. - 1989. - V. 54. - No 7. -P. 674-676.

60. Shiffler D., Ivers J.D., Kerlisk G.S., Nation J.A., Schachter L. Side-band development in a high-power traveling-wave tube microwave amplifier // Appl. Phys. Lett. - 1991. - V. 58. - No 9. - P. 899-901.

62. Schachter L., Nation J.A., Shiffler D. Theoretical studies of high-power Cerenkovamplifiers//J. Appl. Phys.-1991.-V. 70.-No 1.-P. 114-124. А I dielectric elements // IEEE Trans, on Plasma Sci. - 1998. - V. 26. - No 3. -P. 774-786.

63. Рапопорт Г.Н. Нелинейная теория генератора обратной волны типа О с периодической замедляющей структурой // Радиотехника и электроника. - 1964. - Т. 9. - № 3, 483-504.

64. Ильина Е.М., Кац A.M. Возбуждение высшего вида колебаний в ЛОВ //Эл. техника. Сер.1.Эл-каСВЧ.-1968.-№ Ю.-С. 168-171.

65. Коровин Д., Полевин Д., Ройтман A.M., Ростов В.В. Влияние попутной волны на эффективность генерации СВЧ-излучения в релятивистской ЛОВ // Изв. вузов. Физика. - 1996. - Т. 39. - № 12. - 49-61.

66. Levush В., Antonsen Т.М., Bromborsky А., Lou W.R., Carmel Y. Relativistic backward wave oscillator: theory and experiment // Phys. Fluids. - 1992. - V. B4. - No 7. - P. 2293-2299.

67. Levush В., Antonsen T.M., Bromborsky A., Lou W.R., Carmel Y. Theory of relativistic backward wave oscillator with end reflections // IEEE Trans, on Plasma Sci. - 1992. - V. 20. - No. 3. - P. 263-280.

68. Пегель И.В. Моделирование нестационарных процессов в релятивистской лампе обратной волны методом макрочастиц // Изв. вузов. Физика. - 1996. - Т. 39. - № 12. - 62-83.

69. Манькин И.А., Школьников В.Г. Нестационарная нелинейная теория ЛБВ // Радиотехника и электроника. - 1981. - Т. 26. - № 9. - 1932.

71. Рогашкова А.И., Цейтлин М.Б. Некоторые вопросы теории и расчета плазменной ЛБВ // Электронная техника. Сер.1. Электроника СВЧ. -1967.-№4.-С. 3-17.

72. Рогашкова А.И., Цейтлин М.Б. Нелинейная теория плазменной ЛБВ // ^ Электронная техника. Сер.1. Электроника СВЧ. - 1967. - № 7. -С. 3-17.

73. Bogomolov Ya.L., Bratman V.L., Ginzburg N.S., Petelin M.I. and Yunakovsky A.D. Nonstationary Generation In Free Electron Lasers // Optic Communications. - 1981. - Vol. 36. - No. 3. - P. 209.

74. Братман В.Л., Гинзбург H.C., Петелин М.И. Нелинейная теория вынужденного рассеяния волн на релятивистских электронных пучках // ЖЭТФ. - 1979. - Т. 76. - № 3. 930-943.

75. Нусинович Г.С. Взаимодействие мод в лазерах на свободных электронах // Письма в ЖТФ. - 1980. - Т. 6. - № 14. - 848-852.

76. Nusinovich G.S. Mode interaction in gyrotrons // Int. J. Electron. - 1981. - V. 51.-No 4 . -P . 457-474.

77. Четвериков А.П. Об установлении колебаний в лазерах на свободных электронах (ЛСЭ) // ЖТФ. - 1981. - Т. 51. - № 11. - 2452-2454.

78. Ginzburg N.S., Shapiro М.А. Quasi-linear theory of multimode free- •f^ electron lasers with an inhomogeneous frequency broadening // Opt. Communications. - 1982. - V . 40. -No 3 . -P . 215-218.

79. Нусинович Г.С, Запевалов B.E. Автомодуляционная неустойчивость излучения гиротронов // Радиотехника и электроника. - 1985. - Т. 30. -№ 3. - 563-570.

80. Ginzburg N.S., Petelin M.I. Multifrequency generation in free electron lasers with quasi-optical resonators // Int. Joum. Electron. — 1985. - V. 59. -N0.3.-P.291-314.

81. Братман В.Л., Гинзбург Н.С, Новожилова Ю.В., Сергеев А.С Вынужденное рассеяние и взаимодействие низкочастотных и высокочастотных волн в релятивистских электронных СВЧ генераторах // Письма в ЖТФ. - 1985. - Т. 11. - № 8. - 504-509.

82. Gallardo J.C., Elias L., Dattoli G., Renieri A. Multimode free-electron laser with long electron pulses: effects of electron energy drift // Nucl. Instrum. Meth. Phys. Res. - 1987. - V. A 259. - No 1-2, - P. 245-253.

83. Antonsen T.M., Levush B. Mode competition and control in free-electron- laser oscillators // Phys. Rev. Lett. - 1989. - V. 62. - No 13. - P. 1488-1491.

84. Antonsen T.M., Levush B. Mode competition and suppression in free electron laser oscillators // Phys. Fluids B. - 1989. - V. 1. - No 5. -P. 1097-1108.

85. Petelin M.I. Mode Selection in High Power Microwave Sources // IEEE Trans. Electron Devices.-2001.-V. 48.-No l . - P . 129-133.

86. Pyragas K. // Phys.Lett. A. - 1992. - Vol. 170. - No. 6. - P. 421-428.

87. HuntE.R.//Phys. Rev. Lett.-1991.-Vol. 67.-No. 15.-P. 1953-1955.

88. Meucci R., Gadomski W., Ciofini M. et al. // Phys. Rev. E. - 1994. - Vol. 49. - No. 4. - P. R2528-R2531.

89. Azevedo A., Rezende S.M. // Phys. Rev. Lett. - 1991. - Vol. 66. - No. 10. - P . 1342-1345.

90. Christini D.J., Collins J.J. // Phys.Rev. E. - 1996. - Vol. 53. - No. 1. - P. R49-R52.

91. Bollt E.M., Meiss J.D. // Phys.Lett. A. - 1995. - Vol. 204. - P. 373-378.

92. Гинзбург H.C., Кузнецов СП. Периодические и стохастические автомодуляционные режимы в электронных генераторах с распределенным взаимодействием. В кн.: Релятивистская высокочастотная электроника. - Горький, ИПФ АН СССР. - 1980. - 101-144.

93. Манькин И.А., Школьников В.Г. К нестационарной нелинейной теории ЛБВ // Радиотехника и электроника. - 1981. - Т. 26. - № 9. -С. 1918-1926.

94. Манькин И.А., Школьников В.Г. Теоретический анализ взаимодействия протяженного электронного потока с полем /•^ широкополосного стохастического сигнала // Радиотехника и электроника. - 1981. - Т. 26. - № 9. - 1932-1938.

95. Гинзбург Н.С, Зотова И.В., Сергеев А.С. Об особенностях усиления коротких электромагнитных импульсов при распространении вдоль стационарных электронных потоков // Письма в ЖТФ. - 1999. - Т. 25. - № 2 3 . - С . 8-15.

96. Вайнштейн Л.А. Нелинейная теория лампы бегущей волны. I. Уравнения и законы сохранения // Радиотехника и электроника. -1957. - Т.2. - № 7. - С 883-894.

97. Вайнштейн Л.А. Нелинейная теория лампы бегущей волны. II. Численные результаты // Радиотехника и электроника. — 1957. - Т. 2. — № 8 . - С 1027-1047.

98. Вайнштейн Л.А., Солнцев В.А. Лекции по сверхвысокочастотной элек-тронике. М. - Советское радио. - 1973. - 400с.

99. Кац A.M., Ильина Е.М., Манькин И.А. Нелинейные явления в СВЧ прибо-рах типа О с длительным взаимодействием. М. - Советское радио.-1975.-296с. Публикации по данной работе

100. Долов A.M., Кузнецов СП. Применение методики контроля хаоса для устранения автомодуляции в лампе обратной волны // ЖТФ. - 2003. -Т. 7 3 . - № 8 . - С 139-142.

101. Долов A.M. Прохождение импульсного сигнала через лампу бегущей волны // Известия вузов «ПНД». - 2003. - Т. 11. - № 6. - С 130-137.

102. Долов A.M., Кузнецов СП. Усовершенствования метода крупных частиц, применяемого при численном решении задач сверхвысокочастотной электроники. // ЖТФ. - 2005. - Т. 75. - № 6. -С 126-128. »

103. Долов A.M., Кузнецов СП. Стабилизация режима стационарной генерации в лампе обратной волны с использованием идеи управления хаосом / В сб. «Высокие технологии - путь к прогрессу». Изд-во «Научная книга». Саратов. -2003 . - С 138-145.

104. Dolov A.M., Kuznetsov S.P. Application of idea of chaos control to stabilization of stationary generation in backward-wave oscillator. Proc. 2003 Int. Conference "Physics and Control" (August 20-22, 2003, Saint Petersburg, Russia), p.507-509.