Сложная динамика распределенных автоколебательных систем с запаздыванием

Шигаев, Андрей Михайлович

Сложная динамика распределенных автоколебательных систем с запаздыванием тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Шигаев, Андрей Михайлович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Саратов МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Сложная динамика распределенных автоколебательных систем с запаздыванием»

Автореферат диссертации на тему "Сложная динамика распределенных автоколебательных систем с запаздыванием"

На правах рукописи

ШИГАЕВ Андрей Михайлович

СЛОЖНАЯ ДИНАМИКА РАСПРЕДЕЛЕННЫХ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ (модель автогенератора с кубичной нелинейностью,

модели клистронов-генераторов с внешней обратной связью)

01.04.03 — Радиофизика

автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов — 2005

Работа выполнена в Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского

Научный руководитель- кандидат физико-математических наук,

доцент

РЫСКИН Никита Михайлович

Официальные оппоненты- доктор физико-математических наук,

профессор

АСТАХОВ Владимир Владимирович

кандидат физико-математических наук, САТАЕВ Игорь Рустамович

Ведущая организация: Саратовский государственный технический

университет

Защита состоится « 1 » июля 2005 г. в 15:30 на заседании диссертационного совета Д 212.243.01 при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, Саратов, ул. Астраханская, 83.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского

Автореферат разослан « 26 » мая 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н., доцент

Аникин В.М.

%.€>€>£-и л

Общая характеристика работы

Актуальность исследуемой проблемы. Одним из наиболее актуальных и интересных направлений современной физики является изучение нелинейной динамики распределенных автоколебательных систем (РАС). Очевидна связь этих исследований с такими фундаментальными проблемами, как возникновение турбулентности и образование диссипативных структур. Тем не менее, распределенные системы в настоящее время изучены значительно слабее, чем системы с небольшим числом степеней свободы. Это связано с тем, что для РАС характерна чрезвычайно разнообразная и сложно устроенная картина динамических режимов в пространстве управляющих параметров, детальное исследование которой представляет трудоемкую задачу.

Важным классом РАС являются системы с запаздывающей обратной связью (ЗОС), встречающиеся в самых разных областях физики, таких как радиофизика, нелинейная оптика, биофизика, физика и техника ускорителей, физика атмосферы, и даже в моделях экономики, экологии и социальных наук. Хорошо известно, что подобные системы способны демонстрировать сложное, в том числе, хаотическое поведение В частности, в литературе обсуждался вопрос о моделировании некоторых свойств развитой турбулентности при помощи автогенераторов с запаздыванием. Очевидный интерес представляют достаточно простые модели РАС с запаздыванием, детальное изучение которых численными, а, по возможности, и аналитическими методами способствовало бы выявлению основных закономерностей сложного поведения систем данного класса. В частности, генераторы с ЗОС с узкополосными резонансными колебательными системами могут быть описаны уравнением для медленно меняющейся комплексной амплитуды А следующего вида:

Л + = (1)

Правая часть уравнения вычисляется в запаздывающий момент времени г - т . В литературе системы вида (1) часто называют моделями типа «нелинейный усилитель — резонансный фильтр — линия задержки».'

Особую роль РАС с запаздыванием играют в радиофизике, в особенности в той ее части, которая связана с генерированием электромагнитных колебаний сверхвысокочастотного (СВЧ) диапазона. Типичным примером является генератор на основе лампы бегущей волны (ЛБВ) с ЗОС, для которого, по видимому, впервые в СВЧ электронике, удалось обнаружить режимы динамического хаоса (Кислов В .Я. и др., 1966). К числу систем с ЗОС можно отнести и приборы с резонансными колебательными системами, в которых обратная связь обеспечивается за счет отражений от границ, например, такие как резонансная ЛБВ, лазеры на свободных электронах и др 2 Даже в таком приборе как лампа обратной волны (ЛОВ), где обратная связь внутренняя, а

' Дмитриев А С , Кислов В Я Стохастические колебания в радиофизике и электронике м Наука, 1989 278 с

! Гинзбург Н С , Кузнецов С П /' В кн Релятивистская высокочастотная электроника Проблемы повышения мощности и частоты излучения Г"р' ""'^"ЦЦ:]! ''Л *'''"'1 1|'81 Г 111

ЛЬНАЯ}

«Л I

не внешняя, именно запаздывание, возникающее вследствие нелокального взаимодействия электронов и волны, является одной из причин возникновения автомодуляции и хаоса2

Ранее автомодуляционные режимы генерации (как регулярные, так и хаотические), как правило, рассматривались в качестве паразитных явлений, и прикладной аспект исследований традиционно состоял в поиске способов их подавления. Единственным исключением является применение ЛБВ в режиме хаотических колебаний для генерации помех (шумотрон). Однако в последние годы появились интересные перспективы использования динамического хаоса в системах передачи и обработки информации, а также в радиолокации. Они связаны с такими свойствами хаотических сигналов, как широ-кополосность, сложность и ортогональность.6 Так, цифровые системы связи с несущей в виде хаотического сигнала благодаря его быстро спадающей автокорреляционной функции оказались эффективным решением одной из ключевых проблем современных систем связи — многолучевого распространения сигнала. Распределение мощности сигнала в широкой полосе частот обуславливает помехоустойчивость, является решением проблемы электромагнитной совместимости, а также делает возможной скрытную передачу информации, когда уровень передаваемого сигнала опускается ниже уровня шума. Сложность хаотических сигналов также является ключом к защищенной передаче информации, поскольку затрудняет предсказание сигнала по перехваченному фрагменту сообщения и его последующую демодуляцию. Быстро спадающая кросскорреляционная функция хаотических сигналов делает возможным создание систем многопользовательского доступа на их базе.

Идея использования шумоподобных сигналов в радиолокации появилась еще в 50-х годах, однако ее реализация сдерживалась сложностью обра-

3 Кузнецов С П , Перельман А Ю , Грубецков Д И '/ЖТФ 1983 Т 53, № 1 С 163

4 Ергаков В С , Моисеев М А //Радиотехника и электроника 1986 Т 31 №5 С 962

5 Афанасьева В В , Лазерсон А Г //Изв вузов ПНД 1995 Т 3, № 5 С 88

s Дмитриев А С Панас А И Динамический хаос новые носители информации для систем связи М Физматлит, 2002 252 е

ботки подобных сигналов и отсутствием источников с требуемыми характеристиками, поэтому серьезного развития в то время она не получила. Тем не менее, в последние годы идеи шумовой радиолокации вновь оказались в центре внимания. По некоторым оценкам, радары, использующие широкополосные сигналы, могут демонстрировать более высокие показатели по дальности и точности разрешения, чем их традиционные аналоги.

Указанные обстоятельства позволяют считать тему диссертации актуальной и важной для современной радиофизики и нелинейной динамики.

Цель диссертации состоит в выяснении основных механизмов и закономерностей сложной динамики в моделях узкополосных резонансных автогенераторов с запаздыванием. Для достижения поставленных целей в работе решаются следующие основные задачи:

1. Детальное изучение картины нелинейной динамики простых моделей автогенераторов с запаздыванием типа (1) (автогенератор с кубичной нелинейностью, автогенератор с нелинейностью в виде функции Бесселя);

2. Разработка моделей двух- и многорезонаторных клистронных автогенераторов с ЗОС в виде систем дифференциальных уравнений с запаздыванием, их теоретический анализ, численное моделирование нестационарных процессов, определение сценариев перехода к хаосу и особенностей сложной динамики;

3. Сопоставление результатов экспериментального исследования многоре-зонаторного клистрона с ЗОС с результатами численного моделирования, моделирование нестационарных процессов методом «частиц в ячейке»;

4. Анализ возможности использования хаотического клистронного генератора в системе передачи информации.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и получены впервые. В частности:

1 Для модели автогенератора с кубичной нелинейностью и запаздыванием подробно изучена картина сложного поведения, включая режимы динамического хаоса, в широком диапазоне параметров Эта картина существенно развивает и обобщает результаты других авторов (В.А Солнцев, Т М Андреевская, 1983, 1989; В.А. Кац, С.П. Кузнецов, 1987), полученные при рассмотрении различных частных случаев;

2. Предложены математические модели автогенераторов на базе двух- и многорезонаторных клистронов в виде систем дифференциальных уравнений с запаздыванием. Изучены механизмы возникновения автомодуляции и сценарии перехода к хаосу в широком диапазоне управляющих параметров,

3 Для моделей клистронных автогенераторов с запаздыванием выявлен механизм перехода к развитому хаосу, связанный с взаимодействием аттракторов, сформировавшихся на базе различных стационарных режимов;

4. Предложена методика учета пространственного заряда в нестационарной теории клистронных автогенераторов на основе волновой теории В.А. Солнцева. Обнаружена возможность подавления автомодуляции и срыва генерации за счет сил пространственного заряда;

5. Проведено экспериментальное исследование сложной динамики много-резонаторного клистрона с ЗОС, обнаружено хорошее качественное соответствие с результатами численного моделирования;

6. Показана возможность управления хаотическими режимами в клис-тронном автогенераторе с ЗОС при воздействии внешним гармоническим сигналом. Предложена схема передачи информации на основе хаотического клистрона-генератора, в которой используется модуляция по методу переключения хаотических несущих (chaos shift keying);

7. Проведены расчеты спектров показателей Ляпунова для различных автогенераторов с запаздыванием, выявлены режимы гиперхаоса, характеризующиеся наличием двух положительных показателей.

Научная и практическая значимость. В диссертационной работе развита нестационарная теория автогенераторов СВЧ диапазона на базе пролетных клистронов с запаздыванием. Изучение условий возникновения автомодуляции позволяет определить условия устойчивой работы этих приборов в режиме одночастотной генерации. Результаты исследований хаотических режимов представляют особый интерес с точки зрения создания генераторов хаотического излучения СВЧ диапазона для систем связи, обработки информации и радиолокации на основе динамического хаоса. Предложена цифровая система передачи информации по методу переключения хаотических несущих на основе клистрона с ЗОС. Вместе с тем, поскольку РАС с запаздыванием широко распространены в природе и технике, результаты диссертации имеют общенаучное значение и способствуют пониманию основных закономерностей пространственно-временного хаоса (турбулентности) в распределенных системах.

Ряд результатов диссертации используется в учебном процессе на факультете нелинейных процессов СГУ.

Результаты диссертации были получены при выполнении ряда НИР, в том числе поддержанных грантами CRDF (№ REC-006), РФФИ (98-02-16541, 0302-16192, 03-02-16269), ФЦП «Интеграция» (№ А0057), программой «Университеты России» (№№ 015.01.01.79, 01.01.021, 01.01.049).

Достоверность результатов обусловлена тем, что для численного моделирования используются хорошо апробированные методы и численные схемы.

В качестве тестовых расчетов в ряде случаев воспроизводились результаты, полученные другими авторами Результаты теоретического анализа полностью согласуются с численными экспериментами Численные результаты находятся в хорошем качественном соответствии с экспериментальными

Апробация работы и публикации. Результаты, представленные в диссертационной работе, докладывались на научных семинарах факультета нелинейных процессов СГУ и НОЦ «Нелинейная динамика и биофизика» СГУ, на семинаре Института телекоммуникаций Университета г. Штутгарт, Германия, а также на следующих международных и всероссийских конференциях:

• 31 st IEEE International Conference on Plasma Science (ICOPS 2004), Baltimore, Maryland, USA, 2004;

• 1 Ith Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES 2003), Scuol/Schuls, Switzerland, 2003;

• Международная научно-техническая конференция «Актуальные проблемы электронного приборостроения», Саратов, 2000;

• II международная конференция «Фундаментальные проблемы физики», Саратов, 2000;

• V Всероссийская научная конференция студентов-радиофизиков, Санкт-Петербург, 2001;

• Международный семинар "Nonlinear Dynamics & Complex Systems", Минск, Беларусь, 2001;

• Межвузовская конференция «Современные проблемы радиофизики и электроники СВЧ», Саратов, 2001;

• Седьмая всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых, Санкт-Петербург, 2001;

• 6-я Международная школа-семинар «Хаотические автоколебания и образование структур», Саратов, 2001;

• Ежегодные научные школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых», Саратов, 1999-2001, 2003, 2004.

По теме диссертации опубликована 31 работа, из них 7 статей в ведущих научных журналах, 10 статей в сборниках трудов конференций, 14 тезисов докладов. Список наиболее важных публикаций приведен в конце автореферата.

Ряд результатов диссертации вошел в работы, за которые автор (совместно с Дмитриевой Т.В.) был награжден медалью и премией РАН за лучшую студенческую научную работу в области общей физики и астрономии 2001 г. и медалью Открытого конкурса министерства образования РФ на лучшую научно-исследовательскую работу студентов 1999 г.

лей Ляпунова в системах с запаздыванием (п 1.3) была написана совместно с А.А. Бапякиным. При моделировании многорезонаторного клистрона-генератора методом «частиц в ячейке» (п. 3.5) использовалась программа, написанная В.Н. Титовым. Разработка математических моделей клистронных автогенераторов, их аналитическое исследование, а также обсуждение и интерпретация полученных теоретических и численных результатов проводились совместно с научным руководителем. Экспериментальные результаты получены совместно с Б.С. Дмитриевым, Ю.Д. Жарковым, Д.В. Клокотовым и В Н. Скороходовым с помощью разработанных ими экспериментальной установки и методик измерений. В прочих совместных работах автору принадлежат результаты, включенные в диссертацию. Вклад соавторов отмечается в соответствующих местах в тексте диссертации.

Автор пользуется случаем выразить всем перечисленным выше коллегам свою глубокую благодарность и признательность.

Положения, выносимые на защиту

1. В узкополосных резонансных автогенераторах с ЗОС в центрах зон генерации по мере увеличения параметра неравновесности наблюдается сложная последовательность многократно чередующихся периодических и хаотических режимов автомодуляции, причем переходы к хаосу происходят в основном через последовательность удвоений периода автомодуляции. В режимах периодической автомодуляции в спектре либо доминирует составляющая на основной собственной моде, либо две составляющие с примерно одинаковыми амплитудами, расположенные симметрично от нее, а основная мода подавлена (эффект «расщепления моды»). Вблизи границ зон генерации наблюдается лишь конечное число бифуркаций удвоения, число которых уменьшается при приближении к границе зоны, после чего вновь восстанавливается периодическая автомодуляция, а затем происходит переход к хаосу через разрушение квазипериодического движения. При достаточно больших значениях параметра неравновесности происходит объединение аттракторов на базе двух соседних мод в единый аттрактор: возникает либо режим мно-гомодового развитого хаоса, либо режим периодической автомодуляции, в

спектре которого присутствуют частоты обеих мод. 1

2. Режимы развитого хаоса, образовавшиеся при объединении аттракторов на базе соседних мод в узкополосных резонансных автогенераторах с ЗОС, характеризуются двумя положительными показателями Ляпунова, те. явля- ^ ются режимами гиперхаоса. В то же время, в режимах развитого хаоса, образовавшихся в результате объединения аттракторов на базе различных стационарных состояний в модели клистронного генератора, присутствует только один положительный показатель, величина которого резко возрастает по сравнению с предшествующими хаотическими режимами.

3. В клистронных автогенераторах с ЗОС при увеличении тока пучка или глубины обратной связи многократная перегруппировка пучка приводит к возникновению новых стационарных режимов генерации. На базе каждого из этих стационарных состояний с ростом управляющего параметра наблюдает-

ся возникновение автомодуляции, а затем переход к хаосу. Далее происходит объединение хаотических аттракторов, сформировавшихся на базе различных стационарных состояний, приводящее к возникновению развитого хаоса.

4 Воздействуя внешним гармоническим сигналом на клистронный автогенератор хаотических колебаний, можно осуществить переключение между различными хаотическими режимами. На основе этого метода может быть реализована цифровая прямохаотическая система связи, демонстрирующая значительную устойчивость к шуму в канале связи.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и содержит 135 страниц текста, включая иллюстрации. Список литературы на 8 страницах включает 124 наименования.

Краткое содержание работы

Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы ее цели, научная новизна, практическая значимость и положения, выносимые на защиту.

В Главе 1 рассматривается сложная динамика моделей автогенераторов с кубичной нелинейностью (п. 1.1),

А + уА = ae'v (l -1A(t- l)f -1), (2)

и нелинейностью в виде функции Бесселя 1-го порядка (п. 1.2),

А + = (3)

Здесь а — параметр, пропорциональный коэффициенту усиления (точнее, произведению коэффициента усиления на глубину ОС), у— параметр диссипации, обратно пропорциональный добротности фильтра, vjy— набег фазы за время прохождения сигнала по цепи обратной связи. Последнее уравнение было предложено ранее для описания нелинейной динамики генераторов на базе пролетного клистрона О-типа и гироклистрона (B.C. Ергаков, М.А. Моисеев, 1986; В.В. Афанасьева, А.Г. Лазерсон, 1995). Однако, как показывают проведенные исследования, адекватно описать клистронные генераторы при помощи уравнения первого порядка с ЗОС (3) не удается. Для этого требуются более сложные модели в виде систем подобных уравнений, которым посвящены гл. 2 и 3 Уравнение (3) более правильно назвать моделью «однорезонаторного клистрона». Кроме того, в п. 1 2.3 показано, как можно получить аналогичное уравнение для отражательного клистрона

Для обеих систем проведен подробный теоретический анализ условий самовозбуждения, стационарных режимов генерации и условий автомодуляции Показано, что порог самовозбуждения периодически зависит от фазы параметра ОС, т.е на плоскости параметров наблюдается система дискретно расположенных зон генерации С ростом параметра неравновесности зоны

5 —

расширяются и начинают перекрываться вблизи границ, где наблюдается мультистабильность: в зависимости от начальных условий могут возбуждаться колебания на одной из двух соседних собственных мод.

Подробно изучена последовательность бифуркаций, наблюдающаяся по мере увеличения параметра неравновесности а в центрах и вблизи границ зон генерации. Обнаружено, что доминирующим сценарием перехода к хаосу в центре зон является последовательность бифуркаций удвоения периода автомодуляции. Далее наблюдается сложная последовательность чередующихся периодических и хаотических режимов автомодуляции. Повторные переходы к хаосу происходят либо также через удвоения периода, либо жестко. Периодическим режимам в фазовом пространстве соответствуют предельные циклы, форма которых все более усложняется с ростом ос. Показано, что

0.9*

Рис 1 Фрагмент карты динамических режимов вблизи границы зон генерации Показаны границы самовозбуждения (£Е) автомодуляции (5Л/), удвоения (Г?) и учетверения (Г/) периода, перехода к хаосу по сценарию Фейгенбаума (СИ), жесткого перехода к периодической автомодуляции (БМ^), квазипериодичности (0 и граница устойчивости модели (Ц) Приведены границы для двух соседних мод, показанные сплошными линиями для одной моды и пункторными — для другой

их можно разделить на два типа. В первом случае в спектре максимальную интенсивность имеет составляющая на частоте основной собственной моды, которая близка к центральной частоте полосы усиления. Во втором случае эта частота в спектре подавлена, а доминируют две составляющие с примерно равными амплитудами, симметрично отстоящие от нее (эффект «расщепления моды»). Вблизи границ зон картина существенно осложняется процессами конкуренции двух соседних мод. Удается наблюдать лишь конечное число бифуркаций удвоения, уменьшающееся по мере приближения к границе (см. рис. 1). Далее вновь восстанавливаются периодические режимы, а затем происходит переход к хаосу через разрушение квазипериодического движения. Последовательность бифуркаций завершается объединением аттракторов на базе различных мод, которое может происходить двумя способами. Происходит либо слияние двух хаотических аттракторов в единый развитый хаотический атграктор (многомодовый хаос), либо возникает перио-

дический режим, в спектре которого присутствуют частоты обеих соседних мод.

Обнаружено, что специфический тип нелинейности в модели «однорезо-наторного» клистрона приводит к появлению все большего числа стационарных режимов колебаний с ростом параметра неравновесности, причем все они соответсгвуют одной и той же собственной моде. В определенных областях параметров аттракторы, сформировавшиеся на базе различных стационарных состояний, сосуществуют, затем происходит их объединение, что является еще одним механизмом возникновения развитого хаоса в подобных системах.

Развита нестационарная теория отражательного клистрона, показано, что он также может быть описан моделью «однорезонаторного» клистрона. Однако оценки характерных значений параметров показывают, что в типичной ситуации для получения автомодуляционных или хаотических режимов требуется, чтобы ток пучка значительно (в нескольких десятков раз) превысил стартовое значение, так что экспериментальное наблюдение подобных режимов в отражательном клистроне представляется проблематичным.

В п. 1.3 проведены расчеты спектров показателей Ляпунова. Показано, что развитый хаотический аттрактор, образующийся при объединении аттракторов на базе двух соседних мод вблизи границы зон генерации, характеризуется двумя положительными показателями, т.е. возникает режим гиперхаоса. В то же время, когда режимы развитого хаоса, образуются в результате объединения аттракторов на базе различных стационарных состояний в модели «однорезонаторного» клистрона, имеется только один положительный показатель Однако величина его резко увеличивается по сравнению с предшествующими хаотическими режимами. Таким образом, гиперхаотическими являются только существенно многомодовые режимы, в которых не сохраняется фазовый топологический инвариант (С.П. Кузнецов, 1982).

В Главе 2 изучена математическая модель генератора на основе двухре-зонаторного клистрона (п. 2.1) в виде системы двух нелинейных дифференциальных уравнений

/■2 + УР2= -ЪшГ>Зх (4)

I и

где ,РЦ — нормированные медленно меняющиеся комплексные амплитуды колебаний напряжения на зазорах резонаторов, остальные параметры имеют тот же смысл, что и в уравнениях (2), (3).

Проведен детальный теоретический анализ условий самовозбуждения и режимов стационарной генерации (п. 2.2), а также численное моделирование процессов перехода к хаосу, которые наблюдаются по мере увеличения параметра ос , т.е. тока электронного пучка или глубины обратной связи (п. 2.3). Картина нелинейной динамики оказывается близкой к простым моделям ав-

тогенераторов с ЗОС, рассмотренным в гл 1. Обнаружены основные качественные особенности сценариев в центре и вблизи границ зон генерации, которые были описаны выше. В частности, на рис 2 приведены примеры бифуркационных диаграмм в центре и на краю зоны генерации В первом случае видно многократное чередование периодических и хаотических автомодуляционных режимов с переходами к хаосу по сценарию Фейгенбаума. Во втором случае наблюдаются возникновение квазипериодичности (а « 9 28), область резонанса, переход к хаосу через разрушение квазипериодического движения (а»9.5), образование симметричного цикла при объединении аттракторов на базе различных собственных мод (а «10.05), бифуркации удвоения этого цикла и жесткий переход к режиму на базе одного из высших стационарных состояний (а «11.345).

Рис 2 Типичные бифуркационные диаграммы двухрезонаторного клистрона-генератора в центре (слева) и на краю зоны генерации (справа)

В п 2.4 предложена методика учета влияния сил пространственного заряда, основанная на приближенной нелинейной волновой теории (В.А. Солнцев, 1974). Показано, что с увеличением пространственного заряда стартовый ток возрастает, однако при этом также возрастает и максимальная выходная мощность клистрона-генератора. Кроме того, обнаружено, что влияние сил пространственного заряда может приводить к подавлению автомодуляции и срыву генерации.

Рассмотрен вопрос о применении хаотического клистрона-генератора в системе передачи информации (п. 2.5). Была выбрана так называемая схема с переключением хаотических режимов, обладающая рядом преимуществ, в частности, меньшей чувствительностью к неидентичности элементов приемника и передатчика. Для переключения между различными хаотическими режимами клистрона-генератора в передатчике используется воздействие на генератор внешним гармоническим сигналом. Рис 3 иллюстрирует основные стадии передачи информации. Модуляция исходным бинарным информационным сигналом (рис. За) по существу представляет собой последовательность включений и выключений генератора воздействия в передатчике. Формируется передаваемый сигнал, состоящий из участков двух различных хаотических колебаний (рис 36) Для демодуляции сигнала в приемнике исполь-

зуется наиболее распространенный когерентный метод приема с синхронным хаотическим откликом, адаптированный на случай автоколебательных систем с ЗОС. В приемнике сигнал разветвляется на две части. Одна часть проходит через цепь, состоящую из клистрона и линии задержки, и затем вычитается Из другой. Все элементы, содержащиеся в приемнике и передатчике, полагаются идентичными, однако кольцо ОС в приемнике не замыкается, так что хаотический автогенератор как таковой отсутс1вует. Ввиду того, что в приемнике внешнее воздействие отсутствует, удается получить синхронный отклик только в те моменты времени, когда в передатчике генератор работает в автономном режиме. В этом случае разностный сигнал равен нулю, в противном случае он существенно отличен от нуля (рис. Зв), и, оценивая его среднюю мощность, можно осуществить декодирование информации (рис Зг). Проведенные численные эксперименты по передаче информации, показали хорошую устойчивость к высокому уровню шума в канале связи. Кроме того, модуляция сигнала с помощью переключения хаотических режимов была реализована экспериментально.

1Л

12£

35000 4000.0

0.0 500.0 1000.0 1500 Л 2000.0 2500.0 3000.0 3500.0 4000.0

3000.0

35000 4000.0

35000 4000Л

Рис 3 Передача информации по схеме с переключением хаотических режимов (в отсутствие шума) а — информационный сигнал, б — выходной сигнал передатчика, в — разностный сигнал г — оценка передаваемого сигнала

Глава 3 посвящена вопросам нестационарной теории многорезонаторных клистронов-генераторов. Предложены математические модели клистронных автогенераторов с произвольным количеством резонаторов в виде систем дифференциальных уравнений с запаздыванием (п 3 1). С использованием теории каскадной группировки7 получена модель трехрезонаторного клистрона с ЗОС

где р — глубина обратной связи, е — параметр усиления, остальные обозначения имеют тот же смысл, что и выше. В приближении большого усиления в промежуточных каскадах эту модель можно обобщить на случай произвольного числа резонаторов

где а = с" 'р/72, п — число резонаторов Для предложенных моделей проведен теоретический анализ условий самовозбуждения (п 3 2), представлены результаты численного моделирования процессов перехода к хаосу, которые наблюдаются по мере увеличения тока электронного пучка или глубины обратной связи (п. 3.3). В целом картина нелинейной динамики оказывается близкой к простым моделям автогенераторов с ЗОС, рассмотренным в гл. 1 и модели двухрезонаторного клистрона, изученной в гл. 2. В частности, отмечаются основные закономерности сложной динамики в центре и вблизи границ зон генерации, описанные в предыдущих главах Выяснены условия применимости приближения линейности промежуточных каскадов, показано, что оно справедливо только при малой глубине ОС и большом параметре усиления.

Проведено сопоставление с результатами экспериментальных исследований автогенератора хаотических колебаний на основе пятирезонаторного клистрона средней мощности десятисантиметрового диапазона (п. 3.4). В качестве объекта исследований был взят промышленный пятирезонаторный клистрон КУ-134Е среднего уровня мощности десятисантиметрового диапазона. Входной резонатор клистрона был соединен с выходным коаксиальной линией ОС длиной около 10 м, обеспечивающей необходимое запаздывание

7 Гайдук В И , Палатов К И , Петров Д М Физические основы электроники СВЧ М Гов радио 1971 600 с

(5)

л + 2у^3 = -2«е Л(2|/-1) А + ЛА

к = 2,Ъ,...,п-\,

(6)

сигнала В эксперименте подтверждаются основные особенности сложной динамики, обнаруженные в ходе численного моделирования. В частности, наблюдаются зоны генерации на плоскости параме гров, имеет место многократное чередование регулярных и хаотических режимов, пос!епенное усложнение формы предельных циклов, доминируют переходы к хаосу по сценарию Фейгенбаума При больших значениях тока пучка реализуются режимы развитого хаоса.

Хотя качественное соответствие результатов теории и эксперимента можно признать достаточно хорошим, предложенные модели, основанные на системах дифференциальных уравнений с запаздыванием, имеют ряд недостатков. В частности, они не учитывают распределенный характер взаимодействия пучка с полем в зазоре резонатора, что приводит к существенным расхождениям в низковольтной области. Более реалистичную картину можно получить, используя традиционные для СВЧ электроники методы крупных частиц. В п. 3.5 представлены результаты численного моделирования многорезонаторного клистрона с параметрами, соответствующими экспериментальному макету, на основе метода «частиц в ячейке», которые, с одной стороны, подтверждают основные качественные закономерности, обнаруженные при изучении более простых моделей, с другой стороны позволяют значительно уточнить эту картину и добиться количественного соответствия с экспериментом. Это подтверждает рис. 4, где приведены границы самовозбуждения, полученные в результате расчетов и найденные экспериментально.

В Заключении приведены основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Основные результаты и выводы

1. Подробно изучена нелинейная динамика узкополосных резонансных автогенераторов с запаздыванием (автогенератор с кубичной нелинейностью, ряд моделей клистронных генераторов) Показано, что в центре зоны генерации доминирует сценарий перехода к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода автомодуляции, что типично для систем, где автомодуляция возникает в соответствии с амплитудным механизмом Однако он занимает лишь узкую, пограничную область в пространстве параметров.

1200 1600 2000 2400 2800 3200 и0,у

Рис 4 Границы самовозбуждения на плоскости параметров ток — напряжение О — эксперимент, • — моделирование методом ^частиц в ячейке»

Далее реализуется сложная последовательность чередующихся периодических и хаотических режимов автомодуляции. Периодическим режимам в фазовом пространстве отвечают предельные циклы, геометрия которых с ростом параметра неравновесности постепенно усложняется На базе каждою цикла вновь совершается переход к хаосу, который может происходить либо через удвоения периода, либо жестко Среди множества автомодуляционных режимов можно выделить два типа В первом случае в спектре колебаний доминирует составляющая на частоте основной собственной моды, в другом эта частота оказывается подавленной, а доминируют две симметрично отстоящие от нее составляющие с приблизительно равными амплитудами (эффект «расщепления моды»).

2. Вблизи границ зоны генерации картина существенно усложняется, что обусловлено эффектами конкуренции двух соседних мод. Переход к хаосу по сценарию Фейгенбаума наблюдается лишь достаточно далеко от границы. Вблизи нее наблюдается лишь конечное число удвоений, тем меньшее, чем ближе мы к границе зоны. Далее вновь восстанавливается периодическая автомодуляция, затем она становится квазипериодической и происходит переход к хаосу через разрушение квазипериодического движения. Последовательность бифуркаций завершается слиянием аттракторов на базе различных мод, которое может происходить двумя способами. В первом случае образуется развитый хаотический аттрактор; при этом зависимость выходного сигнала от времени представляет собой случайные переключения от одного «парциального» аттрактора к другому (перемежаемость типа «хаос — хаос»). Во втором случае возникает периодический режим, в спектре которого присутствуют компоненты на частотах обеих соседних мод, имеющие приблизительно равную интенсивность.

3 В моделях клистронных автогенераторов сложный характер нелинейности приводит к возможности существования множества стационарных режимов колебаний на одной и той же собственной моде. Физически это обусловлено многократной перегруппировкой пучка в сильном поле. В определенной области изменения параметра возбуждения генератора аттракторы, сформировавшиеся на базе различных стационарных состояний, сосуществуют, затем происходит их объединение. Это еще один механизм образования развитого хаоса в подобных системах.

4. Проведены расчеты спектра показателей Ляпунова. Показано, что режимы развитого хаоса, образовавшиеся при объединении хаотических аттракторов на базе различных собственных мод, являются гиперхаотическими, т.е. характеризуются наличием двух положительных ляпуновских показателей. Однако режимы развитого хаоса, образовавшиеся в результате объединения аттракторов на базе различных стационарных состояний модели «однорезонаторного» клистрона, гиперхаотическими не являются, так как присутствует только один положительный показатель.

5 Предложена методика учета влияния сил пространственного заряда в клистронных автогенераторах с запаздыванием, основанная на нелинейной волновой теории В А. Солнцева Показано, что с увеличением пространственного заряда стартовый ток возрастает, однако при этом также возрастает максимальная выходная мощность. Кроме того, обнаружено, что увеличение параметра пространственного заряда может приводить к подавлению автомодуляции и срыву генерации.

6. Предложена и численно исследована цифровая система передачи информации на основе переключения хаотических режимов, в которой для управления режимами хаотических колебаний используется воздействие внешним гармоническим сигналом. Переключение между различными хаотическими режимами удалось реализовать как в численном эксперименте, так и на макете автогенератора. Предложенная сис1ема показала хорошую работоспособность при высоком уровне шума в канале связи.

7. Предложены математические модели генераторов на основе многоре-зонаторных клистронов с запаздыванием, описывающие разнообразные нестационарные процессы, в том числе, режимы сложной динамики и хаоса. Модели представляют собой системы нелинейных дифференциальных уравнений, одно из которых содержит запаздывание, и могут быть обобщены на автогенераторы с произвольным числом резонаторов.

8. Впервые реализован и исследован экспериментально автогенератор хаотических колебаний на основе многорезонаторного клистрона. Подтверждаются основные особенности динамики, обнаруженные в ходе численных экспериментов. Качественное соответствие результатов теории и эксперимента можно признать достаточно хорошим. Тем не менее, предложенные модели, основанные на системах дифференциальных уравнений с запаздыванием, имеют ряд недостатков, и не могут полностью заменить численное моделирование методами «крупных частиц». Проведено сопоставление с результатами численного моделирования на основе метода «частиц в ячейке», которые дают значительно более реалистичную картину сложного поведения и позволяют говорить уже не только о качественном, но и о количественном соответствии с экспериментом.

Основные публикации автора по теме диссертации

1 Дмитриева Т В , Рыскин Н М , Титов В Н , Шигаев A М Сложная динамика простых моделей распределенных электронно волновых систем // Изв вузов Прикладная нелинейная динамика 1999 Т 7, №6 С 66-82

2 Дмитриев Б С , Жарков Ю Д , Рыскин Н М , Шигаев А М Теоретическое и экспериментальное исследование хаотических колебаний клистронного автогенератора с запаздыванием//Радиотехника и электроника 2001 Т 46, № 5 С 604-610

3 Dmitrieva Т V , Ryskin N М , Shigaev A М Complex dynamics of simple models of distributed self-oscillating delayed feedback systems // Nonlinear Phenomena m Complex Systems 2001 Vol 4, No 4 P 376-382

4 Рыскин Н М Шигаев А М Сложная динамика простой модели распределенной автоколебательной системы с запаздыванием//ЖТФ 2002 Т 72, №7 С 1-8

5 Дмитриев Б С Жарков Ю Д Кижаева К К , Клокотов Д В , Рыскин Н М , Шигаев А М Счожная динамика многорезонаторных клистронных автогенераторов с запаздывающей обратной связью // Изв вузов Прикладная нелинейная динамика 2002 Т 10, №5 С 37-49

6 Shigaev А М Dmitriev В S , Zharkov Y D , Ryskxn N М Chaotic dynamics of delayed feedback klystron oscillator and its control by external signal // IEEE Trans Electron Devices 2005 Vol 52, No 5 P 790-797

7 Рыскин H M, Шигаев A M Сложная динамика двухрезонаторного клистрона-генератора с запаздывающей обратной связью // ЖТФ 2005 Т 75 (в печати)

8 Дмитриев Б С , Жарков Ю Д, Рыскин Н М, Шигаев А М Исследование сложной динамики клистронного автогенератора запаздывающей обратной связью // Актуальные проблемы электронного приборостроения Материалы международной научно-технической конференция Саратов, СГТУ, 2000 С 209-213

9 Dmitneva Т V, Kizhaeva К К , Ryskт N М, Titov V N, Shigaev А М, Zaitseva A G Chaotic generation in delayed feedback microwave oscillators // Proceedings of the First International Workshop on the Noise Radar Technology (NRTW-2002) Yalta, Ukraine, September 18-20,2002 P 148-154

10 Ryskin N M, Shigaev A M Chaotic oscillations in delayed-feedback electronic oscillators // Proceedings of the 11th Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES 2003) May 18-22, 2003, Scuol/Schuls, Switzerland P 217-220

11 Titov V N , Shigaev A M , Ryskm N M Numerical Simulation of Nonstationary Dynamics of Resonant Microwave Oscillators // Sixth International Vacuum Electronics Conference IVEC2005 April 20-22, 2005 Noordwijk. the Netherlands P 199-202

12 Shigaev A M , Ryskin N M Direct Chaotic Communications System on the Basis of a Delayed Feedback Klystron Oscillator // Sixth International Vacuum Electronics Conference IVEC2005 April 20-22, 2005 Noordwijk, the Netherlands P 313-316

13 Шигаев A M Сложная динамика простой модели распределенной автоколебательной системы с запаздыванием // Материалы научной школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых — 99» Саратов, Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 1999 С 7174

14 Шигаев А М Исследование сложной динамики клистронного автогенератора с запаздывающей обрагной связью // Материалы научной шкоты-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2000» Саратов, Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2000 С 35-38

15 Дмитриева T В . Шигаев А М Сложная динамика простых моделей распределенных автоколебательных систем с запаздыванием // Материалы научной школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2001». Саратов, Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2001 С 62-65

16 Шигаев А М Сложная динамика моделей автогенераторов на базе многорезонаторных пролетных клистронов // Материалы научной школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2003» Саратов, Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2003 С 250-253

17 Шигаев А М Нелинейная динамика и хаос в цифровых системах связи // Материалы научной школы-конференции «Нелинейные дни в Сараюве для молодых - 2003» Саратов, Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2003 С 122-124

Шигаев Андрей Михайлович

СЛОЖНАЯ ДИНАМИКА РАСПРЕДЕЛЕННЫХ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

(модель автогенератора с кубичной нелинейностью, модели клистронов-генераторов с внешней обратной связью)

Автореферат

Подписано к печати 10.03.05 Заказ № ш.

Тираж 100 экз. Объем 1 п.л.

Центр полиграфических и копировальных услуг Предприниматель Серман Ю.Б. Свидетельство № 3117. 4100600, Саратов, ул. Московская, 157, офис 19.

№ 1 1 30 4

РНБ Русский фонд

2006-4 10114

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Шигаев, Андрей Михайлович

ВВЕДЕНИЕ.

1. СЛОЖНАЯ ДИНАМИКА ПРОСТЫХ МОДЕЛЕЙ АВТОГЕНЕРАТОРОВ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ.

1.1. Простая модель автогенератора с кубичной нелинейностью и запаздыванием.

1.1.1. Теоретический анализ.

1.1.2. Результаты численного моделирования.

1.1.3. Приближение трех взаимодействующих мод.

1.2. Модель «однорезонаторного клистрона» с запаздыванием.

1.2.1. Режимы стационарной генерации и их устойчивость.

1.2.2. Результаты численного моделирования.

1.2.3. Основные уравнения нестационарной теории отражательного клистрона.

1.3. Расчет показателей Ляпунова.

1.4. Выводы.

2. СЛОЖНАЯ ДИНАМИКА ДВУХРЕЗОНАТОРНОГО КЛИСТРОНА-ГЕНЕРАТОРА С ЗАПАЗДЫВАЮЩЕЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ.

2.1. Основные уравнения нестационарной теории двухрезонаторного клистрона-генератора.

2.2. Теоретический анализ.

2.2.1. Условия самовозбуждения.

2.2.2. Режимы стационарной генерации и их устойчивость.

2.2.3. Мощность и КПД двухрезонаторного клистрона-генератора.

2.3. Результаты численного моделирования.

2.4. Учет сил пространственного заряда.

2.4.1. Основные уравнения.

2.4.2. Результаты расчетов.

2.5. Применение клистрона-генератора в схеме прямохаотической передачи информации.

2.6. Выводы.

3. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ МНОГОРЕЗОНАТОРНЫХ КЛИСТРОННЫХ АВТОГЕНЕРАТОРОВ.

3.1. Основные уравнения.

3.1.1. Трехрезонаторный клистрон.

3.1.2.Приближение большого усиления в промежуточных каскадах. Клистрон с произвольным числом резонаторов.

3.2. условия самовозбуждения автоколебаний.

3.3. Численное моделирование сложной динамики многорезонаторных клистронов.

3.3.1.Трехрезонаторный клистрон.

3.3.2. Пятирезонаторный клистрон.

3.4. Сопоставление с результатами экспериментальных исследований.

3.5. Численное моделирование нестационарных процессов в клистроне-генераторе методом «частиц в ячейке».

3.6. Выводы.

Введение диссертация по физике, на тему "Сложная динамика распределенных автоколебательных систем с запаздыванием"

Актуальность темы диссертации. Одним из наиболее актуальных и интересных направлений современной физики является изучение нелинейной динамики распределенных автоколебательных систем (РАС) [1-5]. Очевидна связь этих исследований с такими фундаментальными проблемами, как возникновение турбулентности и образование диссипатив-ных структур. Тем не менее, распределенные системы в настоящее время изучены значительно слабее, чем системы с небольшим числом степеней свободы. Это связано с тем, что для РАС характерна чрезвычайно разнообразная и сложно устроенная картина динамических режимов в пространстве управляющих параметров, детальное исследование которой представляет трудоемкую задачу.

Важным классом РАС являются системы с запаздывающей обратной связью (ЗОС), встречающиеся в самых разных областях физики, таких как радиофизика [6,7], нелинейная оптика [8], биофизика [9], физика и техника ускорителей [10], физика атмосферы [11], и даже в моделях экономики, экологии и социальных наук [12]. Хорошо известно, что подобные системы способны демонстрировать сложное, в том числе, хаотическое поведение [2,4,6,7]. В частности, в литературе обсуждался вопрос о моделировании некоторых свойств развитой турбулентности при помощи автогенераторов с запаздыванием [7,13]. Очевидный интерес представляют достаточно простые модели РАС с запаздыванием, детальное изучение которых численными, а, по возможности, и аналитическими методами способствовало бы выявлению основных закономерностей сложного поведения систем данного класса. В частности, генераторы с ЗОС с узкополосными резонансными колебательными системами могут быть описаны уравнением для медленно меняющейся комплексной амплитуды А следующего вида:

Правая часть уравнения вычисляется в запаздывающий момент времени t - т. В литературе системы вида (1) часто называют моделями типа «нелинейный усилитель — резонансный фильтр — линия задержки» [2,7].

О) обратная связь обеспечивается за счет отражений от границ, например, такие как резонансная ЛБВ, лазеры на свободных электронах (ЛСЭ) и др. [16]. Даже в таком приборе как лампа обратной волны (ЛОВ), где обратная связь внутренняя, а не внешняя, именно запаздывание, возникающее вследствие нелокального взаимодействия электронов и волны, является одной из причин возникновения автомодуляции и хаоса [17-19].

Среди электронных СВЧ генераторов с ЗОС весьма перспективными представляются автогенераторы на базе пролетных клистронов благодаря присущим им высоким уровням мощности и КПД, а также относительной простоте конструкции. Естественным математическим аппаратом для описания подобных систем являются дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом типа (1) или системы таких уравнений. Тем не менее, в литературе основное внимание традиционно уделялось ЛБВ-генераторам с ЗОС [14,15,20-27], а вопросы нестационарной нелинейной теории клистронов-генераторов практически не рассматривались. Были предложены упрощенные модели генераторов на базе клистрона бегущей волны [28] и гироклистрона [29], для которых были изучены условия возникновения автомодуляции и указано на возможность перехода к хаосу. В работе [30] было проведено численное моделирование сложной динамики пролетного клистрона О-типа1. Однако следует отметить, что в этих работах рассматривались чрезмерно упрощенные модели, которые сводились к единственному дифференциальному уравнению первого порядка с запаздыванием [29,30] или даже алгебраическому уравнению с запаздыванием [28]. Подробного исследования картины нелинейной динамики в широком диапазоне параметров проведено не было. Таким образом, сложная динамика клистронов с ЗОС остается слабо изученной. Кроме того, до недавнего времени практически отсутствовали экспериментальные результаты. Можно упомянуть лишь работу [31], в которой получены автомодуляционные режимы колебаний мощного клистрона-генератора. Как отмечается в [31], подобные режимы могут представлять интерес для линейных ускорителей электронов с целью получения дополнительной модуляции пучка электронов на низкой частоте.

Следует отметить, что ранее автомодуляционные режимы генерации (как регулярные, так и хаотические), как правило, рассматривались в качестве паразитных явлений, и прикладной аспект исследований традиционно состоял в поиске способов их подавления. Единственным исключением является применение ЛБВ в режиме хаотических колебаний для генерации помех (шумотрон) [14,15]. Однако в последние годы появились интересные перспективы использования динамического хаоса в системах передачи и обработки информации [32-38], а также в радиолокации [39]. Они связаны с такими свойствами хаоти

1 Ранее это уравнение было предложено Д.В. Соколовым в неопубликованной работе (1990). ческих сигналов, как широкополосность, сложность и ортогональность. Так, цифровые системы связи, с несущей в виде хаотического сигнала благодаря его быстро спадающей автокорреляционной функции оказались эффективным решением одной из ключевых проблем современных систем связи — многолучевого распространения сигнала [40]. Распределение мощности сигнала в широкой полосе частот обусловливает помехоустойчивость, является решением проблемы электромагнитной совместимости [40], а также делает возможной скрытную передачу информации, когда уровень передаваемого сигнала опускается ниже уровня шума. Сложность хаотических сигналов также является ключом к защищенной передаче информации, поскольку затрудняет предсказание сигнала по перехваченному фрагменту сообщения и его последующую демодуляцию. Быстро спадающая кросскорреляционная функция хаотических сигналов делает возможным создание систем многопользовательского доступа на их базе. Так, хаотические последовательности, генерируемые сравнительно простым отображением, оказались значительно эффективнее псевдослучайных последовательностей, используемых в настоящее время в системах многопользовательского доступа с разделением кода (code division multiplex access, CDMA) [35].

Идея использования шумоподобных сигналов в радиолокации появилась еще в 50-х годах, однако ее реализация сдерживалась сложностью обработки подобных сигналов и отсутствием источников с требуемыми характеристиками, поэтому серьезного развития в то время она не получила. Тем не менее, в последние годы идеи шумовой радиолокации вновь оказались в центре внимания [39]. По некоторым оценкам, радары, использующие широкополосные сигналы, могут демонстрировать более высокие показатели по дальности и точности разрешения, чем их традиционные аналоги.

Следует отметить, что упомянутые достоинства хаотических сигналов зачастую непосредственно не связаны с их детерминированной природой. Однако у генераторов хаоса есть преимущества по сравнению с генераторами шума, обусловленные более богатыми возможностями управления характеристиками колебаний (что позволяет реализовать различные способы их модуляции информационным сигналом), а также возможностью применять для обработки информации специфические методы нелинейной динамики. Перечисленные свойства в сочетании со сравнительно простой архитектурой генераторов хаоса делают их весьма привлекательным для указанных выше приложений.

Очевидный интерес вызывает изучение перспектив создания хаотических систем связи в СВЧ диапазоне. На сегодняшний день успешно реализована система связи дециметрового диапазона, в которой использован генератор на биполярном транзисторе небольшой мощности (до 10 mW) [41]. Однако для продвижения в область более коротких волн, прежде всего — миллиметровых, и более высоких мощностей вакуумные генераторы выглядят предпочтительнее. Тем не менее, хаотические системы связи на основе приборов вакуумной СВЧ электроники, широко использующихся в традиционных системах передачи информации (ЛБВ, клистроны и др.), в литературе практически не рассматривались. Лишь в самое последнее время появилась работа [42], в которой впервые был затронут вопрос о перспективах применения ЛБВ—генератора хаотических колебаний в системе спутниковой связи. Основное преимущество хаотического ЛБВ-генератора заключается в том, что он работает в сильно нелинейном режиме с относительно высоким КПД, тогда как ЛБВ-усилители, используемые в традиционных системах, для уменьшения нелинейных искажений вынуждены работать в режиме малых входных сигналов, на 5-10 dB ниже насыщения, так что их КПД мал. Недавно были проведены первые эксперименты по передаче информации в сантиметровом диапазоне с помощью хаотического ЛБВ-генератора [43]. Однако подобные работы все еще носят единичный характер.

Отметим, что нелинейной динамике систем с запаздыванием посвящено достаточно большое число работ (см., например, краткие обзоры в монографиях [2,4], обзор [6]). В ряде работ проводится достаточно детальный бифуркационный анализ (см., например, [44-47]). Однако в них, как правило, рассматриваются динамические системы вида где переменная jc вещественна. Сюда, в частности, относятся классические и хорошо изученные системы Икеды [8] и МакКея-Гласса [9]. В то же время, в диссертации рассматриваются системы, являющиеся моделями кольцевых генераторов с узкополосными резонансными колебательными системами, описывающиеся уравнениями для медленно меняющихся комплексных амплитуд вида (1). Такая ситуация типична для задач СВЧ радиофизики и электроники. Специфика таких радиофизических автогенераторов, выраженная, в частности, в существовании зон генерации, не проявляется для систем вида (2). Большой интерес в последние годы привлекла также идея применения ЗОС для управления хаосом, предложенная К. Пирагасом [48]; описание картины бифуркаций для ряда конкретных систем можно найти, например, в [49-51]. Однако эта задача также достаточно сильно отличается от решаемых в настоящей диссертации, поскольку рассматриваются системы, обладающие собственной хаотической динамикой, и обратная связь вводится для того, чтобы стабилизировать неустойчивую периодическую орбиту. В диссертации же рассматриваются кольцевые системы, в которых в отсутствие ЗОС возбуждение автоколебаний вообще невозможно.

Добавим, что обычно интересуются последовательностью бифуркаций, наблюдающейся по мере увеличения времени запаздывания х [44-47]. Однако для электронных автогенераторов с ЗОС реализовать плавную перестройку т в широких пределах доста

2) точно проблематично. Более адекватным условиям эксперимента представляется исследование динамики при изменении таких параметров, как коэффициент усиления или коэффициент обратной связи.

Цель диссертационной работы состоит в выяснении основных механизмов и закономерностей сложной динамики в моделях РАС, описывающихся дифференциальными уравнениями с запаздыванием. Для достижения поставленных целей в работе решаются следующие основные задачи:

• детальное изучение картины нелинейной динамики простых моделей автогенераторов с запаздыванием типа (1) (автогенератор с кубичной нелинейностью, автогенератор с нелинейностью в виде функции Бесселя);

• разработка моделей двух- и многорезонаторных клистронных автогенераторов с ЗОС в виде систем дифференциальных уравнений с запаздыванием, их теоретический анализ, численное моделирование нестационарных процессов, определение сценариев перехода к хаосу и особенностей сложной динамики;

• сопоставление результатов экспериментального исследования многорезонаторного клистрона с ЗОС с результатами численного моделирования, моделирование нестационарных процессов методом «частиц в ячейке»;

• анализ возможности использования хаотического клистронного генератора в системе передачи информации.

Достоверность научных выводов работы обусловлена тем, что для численного моделирования используются хорошо апробированные методы и численные схемы. В качестве тестовых расчетов в ряде случаев воспроизводились результаты, полученные другими авторами. Результаты теоретического анализа полностью согласуются с численными экспериментами. Численные результаты находятся в хорошем качественном соответствии с экспериментальными.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и получены впервые. В частности:

• Для модели автогенератора с кубичной нелинейностью и запаздыванием подробно изучена картина сложного поведения, включая режимы динамического хаоса, в широком диапазоне параметров. Эта картина существенно развивает и обобщает результаты, описанные ранее в работах [52,53], где рассматривались различные частные случаи;

• Предложены математические модели автогенераторов на базе двух- и многорезона-торных клистронов в виде систем дифференциальных уравнений с запаздыванием. Изучены механизмы возникновения автомодуляции и сценарии перехода к хаосу в широком диапазоне управляющих параметров;

• Для моделей клистронных автогенераторов с запаздыванием выявлен механизм перехода к развитому хаосу, связанный с взаимодействием аттракторов, сформировавшихся на базе различных стационарных режимов;

• Предложена методика учета пространственного заряда в нестационарной теории клистронных автогенераторов на основе волновой теории В.А. Солнцева. Обнаружена возможность подавления автомодуляции и срыва генерации за счет сил пространственного заряда;

• Проведено экспериментальное исследование сложной динамики многорезонаторного клистрона с ЗОС, обнаружено хорошее качественное соответствие с результатами численного моделирования;

• Показана возможность управления хаотическими режимами в клистронном автогенераторе с ЗОС при воздействии внешним гармоническим сигналом. Предложена схема передачи информации на основе хаотического клистрона-генератора, в которой используется модуляция по методу переключения хаотических несущих (chaos shift keying);

• Проведены расчеты спектров показателей Ляпунова для различных автогенераторов с запаздыванием, выявлены режимы гиперхаоса, характеризующиеся наличием двух положительных показателей.

Практическая значимость. В диссертационной работе развита нестационарная теория автогенераторов СВЧ диапазона на базе пролетных клистронов с запаздыванием. Изучение условий возникновения автомодуляции позволяет определить условия устойчивой работы этих приборов в режиме одночастотной генерации. Результаты исследований хаотических режимов представляют особый интерес с точки зрения создания генераторов хаотического излучения СВЧ диапазона для систем связи, обработки информации и радиолокации на основе динамического хаоса. Предложена цифровая система передачи информации по методу переключения хаотических несущих на основе клистрона с ЗОС. Вместе с тем, поскольку РАС с запаздыванием широко распространены в природе и технике, результаты диссертации имеют общенаучное значение и способствуют пониманию основных закономерностей пространственно—временного хаоса (турбулентности) в распределенных системах.

Ряд результатов диссертации используется в учебном процессе на факультете нелинейных процессов СГУ.

Результаты диссертации были получены при выполнении ряда НИР, в том числе поддержанных грантами CRDF (№ REC-006), РФФИ (98-02-16541, 03-02-16192, 03-0216269), ФЦП «Интеграция» (№ А0057), программой «Университеты России» (№№ 015.01.01.79, 01.01.021,01.01.049).

• 31st IEEE International Conference on Plasma Science (ICOPS 2004), Baltimore, Maryland, USA, 2004;

• 11th Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES 2003), Scuol/Schuls, Switzerland, 2003;

• II международная конференция «Фундаментальные проблемы физики», Саратов, 2000;

• V Всероссийская научная конференция студентов-радиофизиков, Санкт-Петербург,

2001;

• Международный семинар "Nonlinear Dynamics & Complex Systems", Минск, Беларусь, . 2001;

• Межвузовская конференция «Современные проблемы радиофизики и электроники СВЧ», Саратов, 2001;

• Седьмая всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых, Санкт-Петербург, 2001;

• 6-я Международная школа-семинар «Хаотические автоколебания и образование структур», Саратов, 2001;

• Ежегодные научные школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых»,

Саратов, 1999-2001,2003, 2004.

По теме диссертации опубликована 31 работа, из них 7 статей в ведущих научных журналах [94-100], 10 статей в сборниках трудов конференций [101-110], 14 тезисов докладов [111-124].

Личный вклад соискателя. Все результаты численного моделирования, представленные в работе, получены лично соискателем с помощью им же разработанного комплекса программ. Программа расчета спектра показателей Ляпунова в системах с запаздыванием (п. 1.3) была написана совместно с А.А. Балякиным. При моделировании многорезонатор-ного клистрона-генератора методом «частиц в ячейке» (п. 3.5) использовалась программа, написанная В.Н. Титовым. Разработка математических моделей клистронных автогенераторов, их аналитическое исследование, а также обсуждение и интерпретация полученных теоретических и численных результатов проводились совместно с научным руководителем. Экспериментальные результаты, вошедшие в работы [95,98,99,101,119,121-123] получены совместно с Б.С. Дмитриевым, Ю.Д. Жарковым, Д.В. Клокотовым и В.Н. Скоро-ходовым, с помощью разработанных ими экспериментальной установки и методик измерений. В работах [94,96,102,104,108,111,120] автору принадлежат результаты, включенные в диссертацию.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, содержит 135 страниц текста, включая иллюстрации. Список литературы на 8 страницах включает 124 наименования. Положения, выносимые на защиту:

Заключение диссертации по теме "Радиофизика"

3.6. Выводы

В настоящей главе впервые предложены математические модели генераторов на основе многорезонаторных клистронов с запаздыванием, описывающие разнообразные нестационарные процессы, в том числе, режимы сложной динамики и хаоса. Модели представляют собой системы нелинейных дифференциальных уравнений, одно из которых содержит запаздывание. Проведено численное моделирование процессов перехода к хаосу, которые наблюдаются по мере увеличения тока электронного пучка или глубины обратной связи. В целом картина нелинейной динамики оказывается близкой к простым моделям автогенераторов с ЗОС (гл. 1) и модели двухрезонаторного клистрона (гл. 2). В частности, отмечаются основные закономерности сложной динамики в центре и вблизи границ зон генерации, описанные в предыдущих главах.

Проведено сопоставление результатов численного моделирования и экспериментального исследования автогенератора на основе многорезонаторного клистрона. Качественное соответствие результатов теории и эксперимента можно признать достаточно хорошим. Тем не менее, предложенные модели, основанные на системах дифференциальных уравнений с запаздыванием, имеют ряд недостатков, и не могут полностью заменить численное моделирование методами «крупных частиц». В частности, они не учитывают распределенный характер взаимодействия пучка с полем в зазоре резонатора, что приводит к существенным расхождениям в низковольтной области. Проведенное моделирование методом «частиц в ячейке» позволяет провести более детальное сопоставление с экспериментом. В частности, численно найденная граница самовозбуждения хорошо согласуется с экспериментальными данными. Области автомодуляционных режимов оказываются относительно узкими по напряжению и разделенными областями стационарной генерации.

В целом, клистронные генераторы с ЗОС представляют собой относительно простой и исключительно удобный объект для теоретического и экспериментального изучения хаотических автоколебаний в СВЧ диапазоне. Они демонстрируют многие особенности сложного поведения, присущие автоколебательным системам с запаздыванием: муль-тистабильность и гистерезис, усложнение формы предельных циклов, многократное чередование регулярных и хаотических режимов, переход к «развитому» хаосу и т.д. Следует ожидать, что они займут место в ряду эталонных моделей СВЧ электроники со сложной динамикой, таких, как JIOB и ЛБВ генераторы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1. Подробно изучена нелинейная динамика узкополосных резонансных автогенераторов с запаздыванием (автогенератор с кубичной нелинейностью, ряд моделей клис-тронных генераторов). Показано, что в центре зоны генерации доминирует сценарий перехода к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода автомодуляции, что типично для систем, где автомодуляция возникает в соответствии с амплитудным механизмом. Однако он занимает лишь узкую, пограничную область в пространстве параметров. Далее реализуется сложная последовательность чередующихся периодических и хаотических режимов автомодуляции. Периодическим режимам в фазовом пространстве отвечают предельные циклы, геометрия которых с ростом параметра неравновесности постепенно усложняется. На базе каждого цикла вновь совершается переход к хаосу, который может происходить либо через удвоения периода, либо жестко. Среди множества автомодуляционных режимов можно выделить два типа. В первом случае в спектре колебаний доминирует составляющая на частоте основной собственной моды, в другом эта частота оказывается подавленной, а доминируют две симметрично отстоящие от нее составляющие с приблизительно равными амплитудами (эффект «расщепления моды»).

3. В моделях клистронных автогенераторов сложный характер нелинейности приводит к возможности существования множества стационарных режимов колебаний на одной и той же собственной моде. Физически это обусловлено многократной перегруппировкой пучка в сильном поле. В определенной области изменения параметра возбуждения генератора аттракторы, сформировавшиеся на базе различных стационарных состояний, сосуществуют, затем происходит их объединение. Это еще один механизм образования развитого хаоса в подобных системах.

5. Предложена методика учета влияния сил пространственного заряда в клистронных автогенераторах с запаздыванием, основанная на нелинейной волновой теории В.А. Солнцева. Показано, что с увеличением пространственного заряда стартовый ток возрастает, однако при этом также возрастает максимальная выходная мощность. Кроме того, обнаружено, что увеличение параметра пространственного заряда может приводить к подавлению автомодуляции и срыву генерации.

6. Предложена и численно исследована цифровая система передачи информации на основе переключения хаотических режимов, в которой для управления режимами хаотических колебаний используется воздействие внешним гармоническим сигналом. Переключение между различными хаотическими режимами удалось реализовать как в численном эксперименте, так и на макете автогенератора. Предложенная система показала хорошую работоспособность при высоком уровне шума в канале связи.

7. Предложены математические модели генераторов на основе многорезонаторных клистронов с запаздыванием, описывающие разнообразные нестационарные процессы, в том числе, режимы сложной динамики и хаоса. Модели представляют собой системы нелинейных дифференциальных уравнений, одно из которых содержит запаздывание, и могут быть обобщены на автогенераторы с произвольным числом резонаторов.

В заключение хочу выразить глубокую благодарность моему научному руководителю Никите Михайловичу Рыскину за многолетнее научное руководство и всестороннюю поддержку. Я благодарю профессора Б.С. Дмитриева и профессора Ю.Д. Жаркова за научное руководство и помощь при проведении экспериментов, а также моих соавторов к.ф.-м.н. В.Н. Титова и к.ф.-м.н. А.А. Балякина. Отдельную благодарность хочу выразить профессорско-преподавательскому составу факультета нелинейных процессов СГУ и преподавательскому составу Физико-технического лицея №1, где мне посчастливилось учиться. Не могу не выразить также благодарностей моей жене, сестре и родителям за неизменную поддержку, понимание и помощь.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Шигаев, Андрей Михайлович, Саратов

1. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984. 432 с.

2. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987. 424 с.

3. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992. 544 с.

4. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, 1997. 496 с.

5. Infeld Е., Rowlands G. Nonlinear waves, solitons and chaos. Cambridge: Cambridge University Press, 1990. 424 p.

6. Кузнецов С.П. Сложная динамика генераторов с запаздывающей обратной связью // Изв. вузов. Радиофизика. 1982. Т.25, № 12. С.1410-1428.

7. Дмитриев А.С., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 1989.278 с.

8. Ikeda К., Daido Н., Akimoto О. Optical turbulence: chaotic behavior of transmitted light from a ring cavity // Phys. Rev. Lett. 1980. Vol. 45, No. 9. P. 709-712.

9. Гласс Л., Мэки M. От часов к хаосу: Ритмы жизни. М.: Мир, 1991. 248 с.

10. Ажиппо В.А., Айзацкий Н.И. Автоколебательный режим в линейных резонансных ускорителях // ЖТФ. 1987. Т.57, № 4. С.797-800.

11. Мохов И.И., Елисеев А.В., Хворостьянов Д.В. Эволюция характеристик межгодовой климатической изменчивости, связанной с явлениями Эль-Ниньо/Ла-Нинья // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2000. Т. 36, № 6. С. 741-751.

12. Трубецков Д.И., Мчедлова Е.С., Красичков Л.В. Введение в теорию самоорганизации открытых систем. М.: Физматлит, 2002. 200 с.

13. Дмитриев А.С., Старков С.О. О возможности моделирования некоторых свойств развитой турбулентности с помощью генераторов с запаздывающей обратной связью // Радиотехника и электроника. 1988. Т.ЗЗ, № 7. С.1472-1481.

14. Кислов В.Я., Залогин Н.Н., Мясин Е.А. Исследование стохастических автоколебательных процессов в автогенераторах с запаздыванием // Радиотехника и электроника. 1979. Т. 24, №6. С. 1118-1130.

15. Анисимова Ю.В., Воронцов Г.М., Залогин Н.Н., Кислов В.Я., Мясин Е.А. Шумотрон // Радиотехника. 2000. № 2. С. 19-25.

16. Гинзбург Н.С., Сергеев А.С. Динамика ЛСЭ генераторов с резонаторами произвольной добротности // ЖТФ. 1991. Т. 61, № 6. С. 133-140.

17. Гинзбург Н.С., Кузнецов С.П., Федосеева Т.Н. Теория переходных процессов в релятивистской ЛОВ //Изв. вузов. Радиофизика. 1978. Т. 21, № 7. С. 1037-1052.

18. Калинин В.И., Залогин Н.Н., Кислов В.Я. Нелинейный резонанс и стохастичность в автоколебательной системе с запаздыванием // Радиотехника и электроника. 1983. Т. 28, №10. С. 2001-2007.

19. Анисимова Ю.В., Дмитриев А.С., Залогин Н.Н., Калинин В.И., Кислов В.Я., Панас А.И. Об одном механизме перехода к хаосу в системе электронный пучок — электромагнитная волна// Письма в ЖЭТФ. 1983. Т. 37, № 8. С. 387-389.

20. Кац В.А. Возникновение хаоса и его эволюция в распределенном автогенераторе с запаздыванием (эксперимент) //Изв. вузов. Радиофизика. 1985. Т. 28, № 2. С. 161-176.

21. Блиох Ю.П., Любарский М.Г., Подобинский В.О., Файнберг Я.Б. Исследование механизмов стохастизации секционированных пучковых СВЧ-генераторов // Физика плазмы. 1994. Т. 20, № 7-8. С. 718-728.

22. Рыскин H.M. Исследование нелинейной динамики ЛБВ-генератора с запаздывающей обратной связью //Изв. вузов. Радиофизика. 2004. Т. 47, № 2. С. 129-142.

23. Кузнецов С.П., Перельман А.Ю., Трубецков Д.И. Автомодуляционные и стохастические режимы в клистроне бегущей волны с внешней обратной связью // ЖТФ. 1983. Т. 53, № 1.С. 163-166.

24. Ергаков B.C., Моисеев М.А. Двухрезонаторный генератор с запаздывающей обратной связью // Радиотехника и электроника. 1986. Т. 31, № 5. С. 962-967.

25. Афанасьева В.В., Лазерсон А.Г. Динамический хаос в двухрезонаторных клистрон-ных автогенераторах с запаздывающей обратной связью // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1995. Т. 3, № 5. С. 88-99.

26. Айзацкий Н.И., Волобуев В.В., Иванов Г.М. Автомодуляционный режим в задающем генераторе ЛУЭ // Письма в ЖТФ. 1987. Т. 13, № 12. С. 758-761.

27. Специальные выпуски // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 1997. № 10; 1998. № 11.

28. Hasler М. Synchronization of chaotic systems and transmission of information // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1998. Vol. 8, No. 4. P. 647-660.

29. Special Issue on Noncoherent Chaotic Communications // IEEE Trans. Circuits and Systems. Part 1. 2000. Vol. 47, No. 12.

30. Special Issue on Application of Nonlinear Dynamics to Electronic and Information Engineering // Proc. IEEE. 2002. Vol. 90, No. 5.

31. Dmitriev A.S., Hasler M., Panas A.I., Zakharchenko K.V. Basic principles of direct chaotic communications //Nonlin. Phenom. Complex Systems. 2003. Vol. 6, No. 1. P. 488-501.

32. Chaotic Electronics in Telecommunications. Ed. by M.P. Kennedy, R. Rovatti, and G. Setti. Boca Raton, FL, USA: CRC Press, 2000.445 p.

33. Дмитриев A.C., Паиас А.И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. М.: Физматлит, 2002. 252 с.

34. Proceedings of the First International Workshop on the Noise Radar Technology (NRTW 2002). Yalta, Crimea, Ukraine, 2002. Ed. by K. Lukin and W. Miceli. 280 p.

35. Dixon R.C. Spread Spectrum Systems with Commercial Applications, 3rd ed. New York: John Wiley & Sons, 1994. 573 p.

36. Дмитриев A.C., Кяргинский Б.Е., Панас А.И., Пузиков Д.Ю., Старков С.О. Сверхширокополосная прямохаотическая передача информации в СВЧ—диапазоне // Письма в ЖТФ. 2003. Т. 29, № 2. С. 70-76.

37. Dronov V., Hendrey M.R., Antonsen T.M., Ott E. Communication with a chaotic traveling wave tube microwave generator // Chaos. 2004. Vol. 14, No. 1. P. 30-37.

38. Luzyanina T. Computation, continuation and bifurcation analysis of periodic solutions of delay differential equations // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1997. V. 7, No. 11. P. 25472560.

39. Redmond B.F., LeBlanc V.G., Longtin A. Bifurcation analysis of a class of first-order nonlinear delay-differential equations with reflectional symmetry // Physica D. 2002. V. 166. P. 131-146.

40. Ucar A. On the chaotic behaviour of a prototype delayed dynamical system // Chaos, Soli-tons and Fractals. 2003. V.16. P. 187-194.

41. Erneux Т., Larger L., Lee M.W., Goedgebuer J.-P. Ikeda Hopf bifurcation revisited // Physica D. 2004. V.194. P. 49-64.

42. Pyragas K. Continuous control of chaos by self-controlling feedback // Phys. Lett. A. 1992. V. 170, No. 6. P. 421-428.

43. Mensour В., Longtin A. Chaos control in multistable delay-differential equations and their singular limit maps // Physical Review E. 1998. V 58, No. I. P.410-422.

44. Pagano D.J., Ponce E., Aracil J. Bifurcation analysis of time-delay control systems with saturation // Int. J. Bifurcation and chaos. 1999. V. 9, No. 6. P. 1089-1109

45. Balanov A.G., JansonN.B., Scholl E. Delayed feedback control of chaos: Bifurcation analysis //Phys. Rev. E. 2005. V.71, 016222(9).

46. Солнцев В.А., Андреевская Т.М. Условия амплитудной автомодуляции в автогенераторе с запаздыванием //Радиотехника и электроника. 1983. Т. 28, № 3. С. 561-568.

47. Андреевская Т.М., Солнцев В.А. Численное исследование автомодуляции в автогенераторе с запаздывающей обратной связью // Изв. вузов. Радиофизика. 1989. Т. 32, № 1.С. 34-40.

48. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М.: Наука, 1969. 287 с.

49. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания. М.: Физматлит, 2002. 292 с.

50. Antonsen Т.М., Levush В. Mode competition and suppression in free electron laser oscillators // Phys. Fluids B. 1989. Vol. 1, No. 5. P. 1097-1108.

51. Reddy D.V.R., Sen A., Johnston G.L. Dynamics of a limit cycle oscillator under time delay linear and nonlinear feedbacks // Physica D. 2000. Vol. 144, No. 3-4. P. 335-357.

52. Lugiato L.A., Narducci L.M., Eschenazi E.V., Bandy D.K., Abraham N.B. Multimode instabilities in a homogeneously broadened ring lasers // Phys. Rev. A. 1985. Vol. 32, No. 3. P. 1563-1575.

53. Narducci L.M., Tredicce J.R., Lugiato L.A., Abraham N.B., Bandy D.K. Mode-mode competition and unstable behavior in a homogeneously broadened ring laser // Phys. Rev. A. 1986. Vol. 33, No. 3. P. 1842-1854.

54. Ханин Я.И. Основы динамики лазеров. М.: Наука, Физматлит, 1999. 368 с.

55. Дмитриева Т.В., Рыскин Н.М. Сложная динамика распределенного параметрического генератора // ЖЭТФ. 2001. Т. 120, № 6(12). С. 1517-1526.

56. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990. 312 с.

57. Анищенко B.C., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Нейман А.Б., Стрелкова Г.И., Шиман-ский-Гайер JI. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 544 с.

58. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2001. 296 с.

59. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988. 240 с.

60. Кац В.А., Кузнецов С.П. Переход к многомодовому хаосу в простой модели генератора с запаздыванием // Письма в ЖТФ. 1987. Т. 13, № 12. С. 727-733.

61. Ikeda К., Kondo К., Akimoto О. Successive higher-harmonic bifurcations in systems with delayed feedback // Phys. Rev. Lett. 1982. Vol. 49, No. 20. P. 1467-1470.

62. Нусинович Г.С. Взаимодействие мод в лазерах на свободных электронах // Письма в ЖТФ. 1980. Т. 6, № 14. С. 848-852.

63. Бляхман Л.Г., Нусинович Г.С. Динамика многомодовых электронных мазеров // Радиотехника и электроника. 1982. Т.27, № 5. С. 996-1003.

64. Шевчик В.Н. Основы электроники сверхвысоких частот. М.: Сов. радио, 1959. 308 с.

65. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.

66. Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Лекции по СВЧ электронике для физиков. В 2 т. Т. 1. М.: Физматлит, 2003. 496 с.

67. Шевчик В.Н., Трубецков Д.И. Аналитические методы расчета в электронике СВЧ. М.: Сов. радио, 1970. 584 с.

68. Гайдук В.И., Палатов К.И., Петров Д.М. Физические основы электроники СВЧ. М.: Сов. радио. 1971. 600 с.

69. Вайнштейн JI.A., Солнцев В.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике. М.: Сов. радио, 1973.400 с.

70. Кузнецов С.П., Трубецков Д.И. Хаос и гиперхаос в лампе обратной волны // Изв. вузов. Радиофизика. 2004. Т.48, № 5-6. С.383-398.

71. Farmer J.D. Chaotic attractors of an infinite-dimensional dynamical system // Physica D. 1982. V.4, No.3. P.366-393.

72. Cenys A., Tamasevicius A., Mykolaitis G., Blumeliene S. Coupled VHF delay line chaos generators // Proceedings of the First International Workshop on the Noise Radar Technology (NRTW-2002). Yalta, Ukraine, September 18-20,2002. P. 136-140.

73. Дмитриев B.C., Жарков Ю.Д., Клокотов Д.В., Рыскин Н.М. Экспериментальное исследование сложной динамики в многорезонаторном клистронном автогенераторе с запаздывающей обратной связью // ЖТФ. 2003. Т. 73, № 7. С. 105-110.

74. Солнцев В.А. Нелинейные волны в электронных потоках // Изв. вузов. Радиофизика. 1974. Т. 17, №4. С. 616-625.

75. Рапопорт Г.Н. О механизме возрастания КПД генератора обратной волны («карсино-трона-О») при увеличении параметра объемного заряда // Радиотехника и электроника. 1958. Т. 3, № 2. С. 255-261.

76. Proakis J.G. Digital Communications, 3rd ed., McGraw-Hill, 1995.

77. Benedetto S., Montorsi G., Divsalar D. Concatenated convolutional codes with interleavers // IEEE Communications Magazine. 2003. Vol. 41, No. 8. P. 102-109.

78. Зильберман И.И. Расчет параметров двойного ВЧ зазора с противофазными напряжениями // Электронное приборостроение. Вып. 5. Л.: Энергия. 1968. С. 59-76.

79. Рыскин Н.М. Численное моделирование клистрода на основе гидродинамических уравнений //Изв. вузов. Радиофизика. 1997. Т.40, № 12. С.1511-1525.

80. Роу Дж. Теория нелинейных явлений в приборах СВЧ. М.: Сов. радио, 1969. 616 с.

81. Кац A.M., Ильина Е.М., Манькин И.А. Нелинейные явления в СВЧ приборах О-типа с длительным взаимодействием. М.: Сов. радио, 1975. 296 с.

82. Хокни Р., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц. М.: Мир, 1987. 640 с.

83. Birdsall С.К., Langdon А.В. Plasma physics via computer simulation. NY: McGraw-Hill, 1985.

84. Кузнецов С.П. Об одной форме уравнений возбуждения периодического волновода // Радиотехника и электроника. 1980. Т. 25, № 2. С. 419-421.

85. Дмитриева Т.В., Рыскин Н.М., Титов В.Н., Шигаев A.M. Сложная динамика простых моделей распределенных электронно-волновых систем // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1999. Т. 7, № 6. С. 66-82.

86. Дмитриев Б.С., Жарков Ю.Д., Рыскин Н.М., Шигаев A.M. Теоретическое и экспериментальное исследование хаотических колебаний клистронного автогенератора с запаздыванием // Радиотехника и электроника. 2001. Т. 46, № 5. С. 604-610.

87. Dmitrieva T.V., Ryskin N.M., Shigaev A.M. Complex dynamics of simple models of distributed self-oscillating delayed feedback systems // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. 2001. Vol. 4, No. 4. P. 376-382.

88. Рыскин H.M., Шигаев A.M. Сложная динамика простой модели распределенной автоколебательной системы с запаздыванием // ЖТФ. 2002. Т. 72, № 7. С. 1-8.

89. Дмитриев Б.С., Жарков Ю.Д., Кижаева К.К., Клокотов Д.В., Рыскин Н.М., Шигаев A.M. Сложная динамика многорезонаторных клистронных автогенераторов с запаздывающей обратной связью // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2002. Т. 10, №5. С. 37-49.

90. Shigaev A.M., Dmitriev B.S., Zharkov Y.D., Ryskin N.M. Chaotic dynamics of delayed feedback klystron oscillator and its control by external signal // IEEE Trans. Electron Devices. 2005. Vol. 52, No. 5. P. 790-797.

91. Рыскин H.M., Шигаев A.M. Сложная динамика двухрезонаторного клистрона-генератора с запаздывающей обратной связью //ЖТФ. 2005. Т. 75 (в печати).

92. Ryskin N.M., Shigaev A.M. Chaotic oscillations in delayed-feedback electronic oscillators // Proceedings of the 11th Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES 2003). May 18-22,2003, Scuol/Schuls, Switzerland. P. 217-220.

93. Titov V.N., Shigaev A.M., Ryskin N.M. Numerical Simulation of Nonstationary Dynamics of Resonant Microwave Oscillators // Sixth International Vacuum Electronics Conference IVEC 2005. April 20-22, 2005. Noordwijk, The Netherlands. P. 199-202.

94. Shigaev A.M., Ryskin N.M. Direct Chaotic Communications System on the Basis of a Delayed Feedback Klystron Oscillator // Sixth International Vacuum Electronics Conference IVEC 2005. April 20-22, 2005. Noordwijk, The Netherlands. P.313-316.

95. Юб.Шигаев A.M. Сложная динамика простой модели распределенной автоколебательной системы с запаздыванием // Материалы научной школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых — 99». Саратов, Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 1999. С. 71-74.

96. Шигаев A.M. Исследование сложной динамики клистронного автогенератора с запаздывающей обратной связью // Материалы научной школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2000». Саратов, Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2000. С. 35-38.

97. Шигаев A.M. Сложная динамика моделей автогенераторов на базе многорезонатор-ных пролетных клистронов // Материалы научной школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2003». Саратов, Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2003. С. 250-253.

98. Шигаев A.M. Нелинейная динамика и хаос в цифровых системах связи // Материалы научной школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2003». Саратов, Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2003. С. 122-124.

99. Ш.Дмитриева Т.В., Рыскин Н.М., Шигаев A.M. Сложная динамика простых моделей распределенных электронно-волновых систем // Труды VII Всероссийской школы-семинара «Физика и применение микроволн». Т.1. М.: МГУ, 1999. С.135-137.

100. Кижаева К.К., Шигаев A.M. Сложная динамика двухрезонаторного клистронного автогенератора с запаздыванием // V Всероссийская научная конференция студентов-радиофизиков. Тезисы докладов. С.-Пб.: Издательство СПбГТУ, 2001. С. 50-51.

101. Шигаев A.M. Сложная динамика простой модели электронного автогенератора с запаздыванием. // Сборник тезисов Седьмой Всероссийской научной конференция студентов-физиков и молодых ученых. Санкт-Петербург, СПбГУ, 2001. С. 733-734.

102. Ryskin N.M., Shigaev A.M. Self-modulation and chaos in delayed-feedback klystron oscillator //31st IEEE International Conference on Plasma Science (ICOPS 2004). June 28 -July 1,2004. Baltimore, Maryland, USA. P. 379.