Неавтономная динамика автоколебательных систем с запаздыванием и их конечномерных моделей

Усачева, Светлана Александровна

Неавтономная динамика автоколебательных систем с запаздыванием и их конечномерных моделей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Усачева, Светлана Александровна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Саратов МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Неавтономная динамика автоколебательных систем с запаздыванием и их конечномерных моделей»

Автореферат диссертации на тему "Неавтономная динамика автоколебательных систем с запаздыванием и их конечномерных моделей"

На правах рукописи

005019472

УСАЧЕВА Светлана Александровна

НЕАВТОНОМНАЯ ДИНАМИКА АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И ИХ КОНЕЧНОМЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ

01.04.03 - Радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 6 /ШР М

Саратов-2012

005019472

Работа выполнена в Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук профессор

Рыскин Никита Михайлович

Официальные оппоненты:

Прохоров Михаил Дмитриевич, доктор физико-математических наук, доцент, Саратовский филиал Института радиотехники и электроники имени В.А. Котельникова РАН, ведущий научный сотрудник

Шабунин Алексей Владимирович, доктор физико-математических наук доцент, Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского, профессор.

Ведущая организация:

Институт прикладной физики РАН, г. Нижний Новгород

Защита состоится «24» мая 2012 г. в 15:30 на заседании диссертационного совета Д 212.243.01 при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке им. В.А. Артисевич Саратовского государственного университета (Саратов, ул. Университетская, 42)

Автореферат разослан «18» апреля 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Аникин Валерий Михайлович

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации. Синхронизация относится к числу фундаментальных нелинейных явлений, которые в настоящее время являются предметом активного исследования. Эффекты синхронизации наблюдаются в системах самой разной природы: в радиотехнических и электронных устройствах, в лазерах, в механических системах, в колебательных химических реакциях, в биологических объектах. Синхронизация имеет разнообразные и важные применения в технике. Например, частотой колебаний мощного электронного генератора можно эффективно управлять в определенных пределах, используя захват частоты внешним сигналом маломощного вспомогательного генератора, для которого обеспечить стабильность частоты технически гораздо проще.

Следует отметить, что сравнительно мало изученными являются эффекты синхронизации в автоколебательных системах с запаздыванием. Подобные системы широко распространены в самых разных областях физики, таких как радиофизика1, нелинейная оптика2, биофизика3, и даже в моделях экономики, экологии и социальных наук4. Представляется, что процессы синхронизации в подобных системах будут иметь ряд особенностей, связанных, во-первых, с тем, что системы с запаздыванием относятся к классу распределенных, т.е. имеют бесконечное число степеней свободы, во-вторых, с тем, что системы с запаздыванием способны демонстрировать разнообразные режимы колебаний (одночастотные, многочастотные, хаотические).

Особую роль системы с запаздыванием играют в радиофизике, в особенности в той ее части, которая связана с генерированием электромагнитных колебаний сверхвысокочастотного (СВЧ) диапазона. На практике приходится часто сталкиваться с задачами, в которых какой-либо автогенератор СВЧ диапазона находится под воздействием внешнего сигнала. Например, относительно недавно были предложены системы передачи информации СВЧ диапазона на основе динамического хаоса, где в качестве источника хаотических сигналов использовались генераторы на основе лампы бегущей волны (ЛБВ)5 и клистрона6, управляемые внешним гармоническим сигналом.

1 Дмитриев А. С., Кислое В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 1989.

2 Розанов Н.Н. Оптическая бистабильность и гистерезис в распределенных нелинейных системах. М.: Наука, 1997.

3 Глас с Л., Мэки М. От часов к хаосу: Ритмы жизни. М.: Мир, 1991.

4 Трубецков Д.И., Мчедлова Е. С., Красичков JI.B. Введение в теорию самоорганизации открытых систем. М.: Физматлит, 2005.

5 Marchewka С., Larsen P., Bhattacharjee S., Booske J., Sengele S., Ryskin N.M., Titov V.N. Generation of chaotic radiation in a driven traveling wave tube amplifier with time-delayed feedback // Phys. Plasmas. 2006. Vol. 13, 013104.

6 Shigaev A.M., Dmitriev B.S., Zharkov Y.D., Ryskin N.M. Chaotic dynamics of delayed feedback klystron oscillator and its control by external signal // IEEE Trans. Electron Devices. 2005.

Vol. 51, P. 790.

Следует отметить, что ранее в ряде работ экспериментально исследовалась динамика генераторов с запаздыванием на основе ЛБВ7'8 и клистронов9 под воздействием внешнего сигнала. Однако в них основное внимание уделялось воздействию на генератор в режиме хаотических колебаний. Было обнаружено, что внешнее воздействие может подавить хаотические колебания в генераторе и привести к переходу в периодический режим, а также стимулировать появление хаоса при воздействии на систему, генерирующую одно-частотные колебания. Однако бифуркационные механизмы установления режимов синхронизации изучены не были.

Поскольку, как уже указывалось выше, системы с запаздыванием относятся к классу распределенных систем, изучение их неавтономной динамики представляет собой достаточно трудоемкую задачу. Поэтому весьма актуальным представляется построение конечномерных моделей подобных систем, для которых аналитическое исследование устойчивости различных режимов колебаний может быть выполнено относительно просто. С другой стороны, в последнее время в нелинейной динамике обострился интерес к проблеме синхронизации многочастотных автоколебательных систем. На эту тему опубликован ряд работ (см., например,10'11). Выяснилось, что уже в простейшем случае синхронизации двухчастотных колебаний процессы взаимодействия между различными собственными модами колебательной системы приводят к появлению ряда принципиальных отличий от известной картины синхронизации в системе с одной степенью свободы. Однако главным образом рассматривался случай, когда собственные частоты колебательной системы близки друг к другу либо приближенно соотносятся как 1:3. При этом взаимодействие мод носит резонансный характер, т.е. в автономной системе происходит образование резонансного предельного цикла на торе, а синхронизация происходит посредством захвата собственных частот внешним сигналом. Не исследованным остается влияние амплитудного взаимодействия (конкуренции мод), что более характерно для систем с запаздыванием.

7 Кальянов Э.В. Стохастизация и дестохастизация колебаний в неавтономных многомодо-вых автоколебательных системах // Радиотехника и электроника. 1982. Т. 27, С. 2448.

8 Кац В.А. Переходы в хаосе, инициированные внешним гармоническим воздействием, в распределенном автогенераторе с запаздыванием. Эксперимент // Лекции по СВЧ электронике и радиофизике (6-я зимняя школа-семинар инженеров). Кн. 2. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 1983. С. 65.

9 Дмитриев Б.С., Жарков Ю.Д., Скороходов В.Н., Геншафт A.M. Синхронизация хаотических колебаний путём подавления хаоса в клистроном автогенераторе внешним гармоническим сигналом // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2007. Т. 15, № 3. С. 52.

10Анищенко B.C., Николаев С.М. Синхронизация квазипериодических колебаний с двумя частотами // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2008. Т. 16, № 2. С. 69.

1 Кузнецов А.П., Сатаев И.Р., Тюрюкина JI.B. Синхронизация квазипериодических колебаний связанных фазовых осцилляторов // Письма в ЖТФ. 2010. Т. 36, №10. С. 73.

вающего сигнала, отраженного от нагрузки, изучалась ранее во многих работах (см., например,12,13), такие вопросы, как устойчивость собственных мод, характер процессов установления колебаний, возможности переключения между различными модами изучены недостаточно, хотя они важны для ряда практических приложений. В частности, в последние годы было обнаружено, что достаточно малое отражение от удаленной нагрузки заметно влияет на спектр выходного излучения гиротрона14. Кроме того, для ряда приложений (нагрев плазмы, радиолокация и др.) требуются источники с переключаемой частотой генерации. В последние годы появился ряд работ, посвященных проблеме переключения мод мощных генераторов внешним сигналом15'16.

Отметим, что в генераторах миллиметрового и субмиллиметрового диапазонов время запаздывания много больше, чем время установления колебаний в системе без отражений. С математической точки зрения именно случай большого запаздывания представляет наибольшие трудности, поскольку имеет место гипермультистабильность, т.е. сосуществование большого числа стационарных состояний17. Следует ожидать, что в таком случае будут ярко выражены процессы конкуренции мод. Исходя из этого, исследование нестационарных процессов в генераторе с запаздывающим отражением от нагрузки представляется весьма актуальной задачей.

Цель диссертационной работы состоит в выявлении основных механизмов и закономерностей процессов синхронизации и переключения мод в распределенных автоколебательных системах с запаздывающей обратной связью под воздействием внешнего гармонического сигнала.

Для достижения поставленных целей в работе решаются следующие основные задачи:

1. Исследование основных особенностей картины вынужденной синхронизации в модели кольцевой автоколебательной системы типа «усилитель-фильтр-линия задержки» с кубичной нелинейностью. Выявление отличий от классической картины синхронизации системы с одной степенью свободы.

2. Выявление аналогичных особенностей для генератора с крутизной падающего участка нелинейной характеристики, монотонно убывающей в области больших амплитуд (нелинейность типа Кислова-Дмитриева).

12 Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны, М.: Физматлит, 1997.

13 Усанов Д.А., Скрипаль Ал.В., Скрипаль Ан.В. Физика полупроводниковых радиочастотных и оптических автодинов. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003.

14 Батанов Г.М., Колик Л.В., Новожилова Ю.В., Петелин М.И. и др. Реакция гиротрона на слабое отражение волн от плазмы, промодулированное низкочастотными колебаниями // ЖТФ. 2001. Т. 71, №5. С. 90.

15 Nusinovich G.S., Sinitsyn О. V., Antonsen Т.М. Mode switching in a gyrotron with azimuthally corrugated resonator // Phys. Rev. Lett. 2007. Vol. 98, 205101.

16 Liu M., Michel C., Prasad S., Fuks M.I., et al. RF mode switching in a relativistic magnetron with diffraction output // Appl. Phys. Lett. 2010. Vol. 97, 251501.

17 Григорьева E.B., Кащенко C.A., Кащенко КС. Гипермультистабильность в моделях лазеров с большим запаздыванием // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2011. Т. 19, № 3. С. 3.

3. Построение конечномерных (двух- и трехмодовых) моделей систем с запаздыванием, изучение основных механизмов и закономерностей синхронизации, сопоставление с результатами, полученными для распределенных систем.

4. Изучение нестационарных процессов в генераторе с запаздывающим отражением от удаленной нагрузки, выяснение возможности переключения мод кратковременным внешним воздействием.

Основные положения, выносимые на защиту

1. В кольцевой автоколебательной системе типа «усилитель-фильтр-линия задержки» границы языков синхронизации на плоскости частота-амплитуда внешнего воздействия имеют волнистый характер с минимумами на частотах основной и высших собственных мод и максимумами на автомодуляционных частотах. В области больших амплитуд внешнего воздействия язык синхронизации ограничен линией возникновения автомодуляции, инициированной внешним сигналом. В окрестности частот высших собственных мод установление синхронного режима происходит жестко.

2. Если в кольцевой автоколебательной системе с запаздыванием возможно возбуждение нескольких собственных мод, в зависимости от начальных условий синхронизация устанавливается при различных значениях амплитуды воздействия. На плоскости частота-амплитуда внешнего воздействия имеется несколько частично перекрывающихся языков синхронизации, каждый из которых касается горизонтальной оси на частоте соответствующей собственной моды.

3. При превышении порога автомодуляции в автономной системе с запаздыванием воздействие гармоническим сигналом приводит к тому, что область захвата частоты основной моды сливается с областью автомодуляции, инициированной внешним сигналом, в результате чего язык синхронизации отрывается от горизонтальной оси и появляется порог синхронизации.

4. В конечномерных (двух- и трехмодовых) моделях систем с запаздыванием при достаточно больших значениях амплитуды воздействия возможно асинхронное возбуждение мод, которые в автономной системе подавляются за счет конкуренции. В случае, когда воздействие осуществляется на систему, в которой присутствует бистабильность, имеет место бистабиль-ность синхронных режимов.

5. В генераторе с запаздывающим отражением от удаленной нагрузки существует два типа стационарных состояний: одни неустойчивы относительно возмущений на собственной частоте, другие устойчивы относительно этих возмущений, но могут быть неустойчивыми относительно распада на сателлиты. Эта неустойчивость имеет место только вблизи порога возбуждения соответствующей моды по параметру отражений, если параметр возбуждения при этом не превышает некоторого критического значения. Существует возможность переключения между стационарными состояниями путем кратковременного внешнего воздействия на соответствующей частоте.

Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертационную работу, являются новыми и получены впервые, в частности:

1. Для моделей автоколебательных систем типа «усилитель-фильтр— линия задержки», описывающихся дифференциальным уравнением первого порядка с запаздыванием, выявлены основные особенности устройства резонансных кривых и языков синхронизации, связанные с распределенной природой данного класса систем, т.е. с наличием большого числа собственных мод. Подробно изучена картина синхронизации при приближении к порогу автомодуляции в автономной системе и вблизи границы зон генерации.

2. Путем численного моделирования установлены основные механизмы синхронизации при различных частотах внешнего воздействия. Обнаружено, что при воздействии в окрестности частоты автомодуляции переходу в синхронный режим предшествует переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода, а затем — обратный каскад удвоений.

3. Развиты простые конечномерные модели, которые качественно верно описывают основные особенности синхронизации в системах с запаздыванием и позволяют относительно просто получить аналитические выражения для режимов синхронизации и найти условия их устойчивости.

4. Впервые проведено полное исследование устойчивости стационарных состояний в генераторе с запаздывающим отражением от нагрузки, установлена возможность переключения между стационарными состояниями при кратковременном воздействии внешним сигналом на частоте соответствующей моды.

Научная и практическая значимость. Результаты диссертации развивают и дополняют теоретические представления о вынужденной синхронизации в многомодовых системах. Выявлены принципиальные отличия от известной картины синхронизации системы с одной степенью свободы, обусловленные распределенной природой системы с запаздыванием, которые присутствуют даже в случае воздействия на систему, генерирующую периодические автоколебания. Автогенераторы с запаздывающей обратной связью используются для генерации электромагнитных колебаний различных диапазонов (например, генераторы сверхвысоких частот на основе ламп бегущей волны и клистронов). В диссертации определяются условия и закономерности синхронизации подобных систем, что представляет очевидный практический интерес. Результаты диссертации, касающиеся синхронизации конечномерных моделей систем с запаздыванием, представляют интерес в связи с тем, что аналогичные модели описывают процессы конкуренции мод в различных СВЧ генераторах (гиротроны, лазеры на свободных электронах), где используются пространственно развитые «сверхразмерные» электродинамические структуры, которые являются принципиально многомодовыми. Результаты исследований генератора с отражениями от удаленной нагрузки важны для понимания механизмов влияния отражений от плазмы на спектр излучения гиротро-нов, а также для разработки источников с переключаемой частотой генерации, которые могут найти применение для нагрева плазмы и радиЪлокации.

Личный вклад соискателя. Все основные результаты, включенные в диссертацию, получены лично соискателем. Соискателем выполнен теоретический анализ режимов синхронизации систем с запаздыванием и их упрощенных моделей, написаны все программы компьютерного моделирования, проведены численные эксперименты. Обсуждение и интерпретация результатов осуществлялись совместно с научным руководителем. Исследование устойчивости стационарных состояний генератора с запаздывающим отражением от нагрузки выполнено совместно с Новожиловой Ю.В. (ИПФ РАН).

Достоверность результатов диссертации обеспечивается использованием широко апробированных и хорошо зарекомендовавших себя аналитических и численных методов, соответствием результатов теоретического анализа и численного моделирования, качественным соответствием результатов, полученных для систем с запаздыванием и их конечномерных моделей, воспроизведением в качестве тестовых расчетов достоверных общепризнанных результатов, известных из литературы.

Апробация и публикации. Результаты, представленные в диссертационной работе, докладывались на следующих школах, семинарах и конференциях:

• школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (Саратов, 2007-2011 гг.);

• I-VI конференции молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (Саратов, 2007-2011 гг.);

• XV и XVI всероссийские школы «Нелинейные волны» (Нижний Новгород, 2010, 2012 гг.);

• VIII и ЕХ международные школы «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов, 2007, 2010 гг.);

• XIV и XV международные зимние школы-семинары по СВЧ электронике и радиофизике (Саратов, 2009, 2012 гг.);

• международная школа-семинар «Статистическая физика и информационные технологии (StatInfo-2009)» (Саратов, 2009 г.);

• 52-я научная конференция МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (Москва, 2009 г);

Результаты диссертации были использованы при выполнении НИР, поддержанных аналитической ведомственной целевой программой Министерства образования и науки Российской Федерации «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект № 2.1.1/1738), проектами РФФИ (гранты №№ 09-02-00707-а, № 11-02-01411-а).

По результатам диссертации опубликовано 27 работ, из них 5 статей в российских и международных журналах, входящих в список журналов, рекомендованных ВАК РФ для публикации материалов кандидатских и докторских диссертаций, 8 статей в сборниках трудов российских и международных конференций и 16 тезисов докладов. Список основных публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, содержит 140 страниц текста, включая иллюстрации. Список литературы на 9 страницах включает 107 наименований.

Генератор внешнего сигнала

А(1)

<Л>„ 0)

Фильтр

Выход

рЛ„„(«-т)е

Краткое содержание работы

Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, указаны её цели, научная новизна, практическая значимость и сформулированы положения, выносимые на защиту.

В первой главе рассматри вается вынужденная синхрониза- (^Н*-©— дня систем типа «усилитель-фильтр-линия задержки». В п. 1.1 рассматривается модель автогенератора, который схематически можно представить в виде замкнутых в кольцо нелинейного усилителя, полосового фильтра и цепи запаздывающей обратной связи (ОС), состоящей из линии задержки, аттенюатора и фазовращателя (рис. 1). Полагая, что нелинейная характеристика усилителя аппроксимируется кубическим полиномом, данную систему можно описать дифференциальным уравнением с запаздыванием

Фазовращатель Аттенюатор

Рис. 1. Схема кольцевого автогенератора с запаздыванием

а + уа - ссе'9 (1 -\а(1 -1)|2)л(' -1) = ре"

(1)

Здесь А — медленно меняющаяся комплексная амплитуда колебаний, а — параметр возбуждения, у — параметр диссипации, обратно пропорциональный добротности фильтра, 0 — набег фазы в цепи ОС, р и со — амплитуда и частота внешней силы. Время запаздывания выбрано равным единице, чего всегда можно добиться перенормировкой переменных. В автономном случае динамика этой системы подробно исследована18. В п. 1.2 приводятся результаты теоретического анализа режимов синхронизации. Вначале рассматривается случай, когда автономная система генерирует одночастотные колебания. Даже для этого случая обнаружено множество отличий от классической картины синхронизации систем с одной степенью свободы. В частности, резонансные кривые в области больших амплитуд и расстроек имеют многочисленные максимумы на частотах автомодуляционных мод (рис. 2а). В области больших амплитуд синхронные режимы являются неустойчивыми, возбуждаются колебания на частотах автомодуляционных мод, т.е. возникает автомодуляция, инициированная внешним сигналом. Соответственно, усложняется форма языков синхронизации, которые имеют две границы: внешнюю и внутреннюю (рис. 26). Границы приобретают волнистую форму, что обусловлено резонансами с различными автомодуляционными модами.

' Рыскин Н.М., Шигаев А.М. // ЖТФ. 2002. Т. 72, № 7. С. 1.

Когда параметр возбуждения автономного генератора а приближается к порогу автомодуляции, области захвата частоты, сформировавшиеся на базе основной и автомодуляционной частот, сливаются, разбивая область синхронизации на три отдельные части. При превышении порога автомодуляции,

а б

Рис. 2. Картина резонансных кривых с наложенными на них областями устойчивости в центре зоны при у = 0.3, а = 0.9,8 = 0 (а); Язык синхронизации на плоскости параметров со,Р (б)

т.е. когда автономный генератор генерирует квазипериодические колебания с двумя независимыми частотами, центральная область языка синхронизации исчезает и появляется порог синхронизации.

Рис. 3. Языки синхронизации для системы (1) вблизи границы зон генерации при 9 = 0.95л, у = 0.3, а = 1.9 (а) и 2.05 (б)

Вблизи границ зон генерации (вал) область синхронизации имеет форму раздвоенного языка на частотах двух соседних собственных мод (рис. За). Особенно сложная картина синхронизации имеет место в том случае, когда в автономном генераторе существует бистабильность: при этом также наблюдается бистабильность синхронных режимов. Теперь у языка синхронизации (рис. 3) появляются две нижние границы. Фактически существуют два частично перекрывающихся языка синхронизации, показанные на рис. 36 заливкой и штриховкой соответственно. Действительно, если в генераторе возможно возбуждение колебаний на любой из двух собственных мод с разными частотами, в зависимости от начальных условий синхронизация будет устанавливаться при различных значениях амплитуды воздействия.

В п. 1.3 представлены результаты численного моделирования, которые полностью согласуются с теоретической картиной, а также позволяют выявить основные механизмы установления синхронного режима. Когда частота внешней силы близка к собственной частоте генератора, происходит захват собственной частоты внешней силой. Однако, в отличие от систем с одной степенью свободы, захват сопровождается возбуждением автомодуляционных мод. В окрестности языка синхронизации зависимость амплитуды сигнала от времени имеет вид периодических «всплесков» высокочастотной модуляции, напоминающих спайк-берстовые колебания в нейродинамических системах. При воздействии в окрестности частоты автомодуляции переходу в синхронный режим предшествует переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода автомодуляции. Затем наблюдается обратный каскад удвоений и подавление собственных колебаний генератора. Когда частота внешней силы близка к частоте второй собственной моды, наблюдается жесткий переход к синхронному режиму, поскольку вблизи границы синхронизации имеется область бистабильности, т.е. сосуществуют устойчивые синхронный и несинхронный режимы. На рис. 4 приведена карта динамических режимов, на которой показаны области синхронизации, область, в которой происходят бифуркации удвоения периода, области хаоса и бистабильности.

В п. 1.4 рассматривается синхронизация генератора с нелинейностью типа Кислова-Дмитриева

А + уА - ае,0е"|4'"1)|2 А -1) = . (2)

Картина синхронизации для этой системы в целом аналогична картине, описанной выше для системы с кубичной нелинейностью, однако, поскольку крутизна нелинейной характеристики системы (2) уменьшается в области больших амплитуд, область автомодуляции, инициированной внешним сигналом, оказывается ограниченной и существует только при достаточно существенном превышении порога генерации.

Численное моделирование процессов синхронизации при воздействии на генератор в режиме автомодуляции для системы (2) показало, что, когда частота воздействия близка к основной собственной частоте, происходит вначале захват этой частоты, затем — подавление автомодуляционных составляющих. Таким образом, наблюдается как бы комбинация известных сценариев, характерных для системы с одной степенью свободы. Если же частота воздействия близка к частоте автомодуляции, вначале происходит захват ав-

Рис. 4. Карта динамических режимов на плоскости а, F при а = 2.5, у = 1.0, 6 = 0. Показаны области синхронизации ($), удвоений периода (Гг) и хаоса (С)

томодуляционного сателлита. Затем по мере увеличения амплитуды воздействия происходят переход к хаосу, восстановление двухчастотного квазипериодического режимаом биений и, наконец, подавление основной собственной частоты генератора и установление синхронного режима.

Во второй главе рассматривается синхронизация упрощенных моделей систем с запаздыванием, в которых учитывается конечное число мод. В п. 2.1 анализируется система двух взаимодействующих мод в случае, когда никаких резонансных соотношений между модами нет, и взаимодействие носит чисто энергетический характер:

(3)

4 =х2 (1-|4|2-р2Щ2)4. Здесь Я., 2 — параметры возбуждения соответствующих мод, коэффициенты

(312 — коэффициенты нелинейной связи мод, ? и ш — амплитуда и частота внешнего воздействия.

Для данной модели получены аналитические условия устойчивости одночас-тотного (синхронного) и двухчастотного режимов. Аналитические результаты сопоставлены с данными численного моделирования. Подробно изучены случаи воздействия на систему в одномодовом и двухмодовом режимах, а также в случае бистабильности. Наряду с режимами синхронизации и биений (двухчастотный режим I) возможен еще один тип двухчастотного режима, когда в спектре колебаний присутствуют частота внешнего воздействия и собственная частота второй моды (двухчастотный режим II), а также трехчастотные колебания. На рис. 5 приведен пример карты режимов на плоскости параметров частота - амплитуда внешнего воздействия, когда в автономной системе в процессе конкуренции побеждает первая мода. Однако в неавтономной системе в области достаточно больших расстроек происходит асинхронное возбуждение второй моды и появляются области трехчастотных квазипериодических колебаний. Дальнейшее увеличение амплитуды воздействия приводит к подавлению сначала собственных колебаний первой моды, а затем — второй моды.

При воздействии на систему в режиме двухмодовой генерации вначале происходит либо захват, либо подавление собственных колебаний первой моды, а затем — асинхронное подавление второй моды. Переход в режим синхронизации в этом случае носит пороговый характер, т.е. наблюдается

1 I одночастотныи режим I I двухчастотный режим 1 щц двухчастотный режим II Н трехчастотный режим

Рис. 5. Разбиение плоскости параметров со,./-* на области различных режимов при Х,,=1, 01=0.5, £Ь

при амплитудах внешнего воздействия, превышающих некоторое минимальное значение. Наиболее сложное поведение наблюдается, когда в автономной системе имеет место бистабильность. Картина режимов неавтономной динамики также зависит от начальных условий. Здесь нужно отметить аналогию с поведением распределенной системы с запаздыванием (гл. 1). Наблюдаются жесткие переходы между квазипериодическими режимами различных типов.

В п. 2.2 рассматривается синхронизация системы трех взаимодействующих мод с приблизительно эквидистантным спектром. При этом существенную роль играет не только амплитудное, но и фазовое взаимодействие мод. Введена в рассмотрение трехмодовая модель, в которой по мере увеличения параметра возбуждения вначале возбуждаются колебания основной моды, а затем происходит возбуждение боковых сателлитов, симметрично отстоящих от основной частоты. Картина синхронизации значительно усложняется по сравнению с двухмодовой системой. Можно выделить четыре принципиально различные ситуации, в зависимости от того, осуществляется воздействие на систему в режиме одномодовых или трехмодовых (автомодуляционных) колебаний, а также на частоте основной моды или на частоте одного из автомодуляционных сателлитов.

Вначале рассмотрен случай, когда внешняя сила действует на частоте основной моды:

4,+(У + гЧ)Л= ае^Г(1 ■-1А21'-2¡41■-2\А2_|)А, -2А^А+А_ 1 + ,

(4)

А± +(У + ко±)А =ае'<в-а*>[(1-|4|2 -2|лГ~2\А,\2)А± -

Здесь Ад, со0 — амплитуда и частота основной моды, А±, <в± — амплитуды и частоты сателлитов, остальные параметры имеют тот же смысл, что и в уравнении (1). Если автономная система находится ниже порога автомодуляции, наблюдаются классические механизмы синхронизации посредством подавления и захвата частоты. Однако режим синхронизации устойчив лишь при амплитудах воздействия, не превышающих некоторого порогового значения. Выше этого порога наблюдается возбуждение сателлитов, т.е. автомодуляция, инициированная внешним сигналом (рис. 6а).

Если же воздействие осуществляется на систему в режиме автомодуляции, язык синхронизации разбивается на две изолированные части (рис. 66). При достаточно больших расстройках по мере увеличения внешнего воздействия вначале происходит подавление автомодуляционных сателлитов, затем — подавление основной моды. При больших амплитудах вновь наблюдается автомодуляция, инициированная внешним сигналом. В области малых расстроек увеличение амплитуды внешней силы приводит к захвату собственной частоты основной моды, однако дальнейшее увеличение воздействия не приводит к установлению синхронного режима.

При воздействии на частоте, близкой к частоте одного из сателлитов, всегда существует порог синхронизации. Если порог автомодуляции в автономной системе не превышен, переход в режим синхронизации происходит через подавление основной моды. Если же воздействие осуществляется на

3.0 2.5 2.0

1.0 0.5 0

, , Убегание траектории на бесконечность

. 4 _ , ■4

кК з / / у

2 / 2 У '

АМИД

-я/2

я/2

Рис. 6. Языки синхронизации для случая воздействия на частоте основной моды при у = 1, 0 = соо = О, П = 0.645я, а = 2.0 (а) и а = 3.0 (б). Цифрами показаны различные режимы колебаний: 1 — синхронизация; 2 — модуляция основной моды без возбуждения сателлитов; 3 — возбуждение сателлитов, вызванное внешним воздействием; 4 — модуляция всех трех мод.

систему в режиме автомодуляции, вначале происходит либо захват, либо подавление (в зависимости от расстройки) колебаний на собственной частоте автомодуляционной моды. Далее происходит подавление основной моды. При достаточно большом превышении порога автомодуляции язык синхронизации разбивается на две изолированные области; в центральной части синхронизация вообще оказывается невозможной.

Исследование синхронизации конечномерных моделей (3), (4) показывает, что имеется много общего с задачей о синхронизации системы с запаздыванием (гл. 1). Наблюдаются такие эффекты, как автомодуляция, инициированная внешним сигналом, за счет чего появляется внутренняя границы языка синхронизации, появление порога синхронизации при воздействии на систему в многочастотном режиме, бистабильность языков синхронизации в случае, когда в автономной системе также присутствует бистабильность. Это позволяет утверждать, что данные эффекты носят универсальный характер и являются типичными для задач о синхронизации многомодовых систем.

Третья глава посвящена исследованию нестационарных процессов в генераторе с запаздывающим отражением от удаленной нагрузки. Рассматривается модель генератора, которая описывается уравнением для медленно меняющейся комплексной амплитуды колебаний А:

А-(х-\А\2^А = ре*>А(1-1). (5)

Здесь А. — параметр возбуждения генератора, рехр(пу) — комплексный параметр отражений. По мере увеличения параметра р, имеющего смысл произведения коэффициента отражения от нагрузки на время запаздывания, чис-

ло стационарных состояний увеличивается. Частоты собственных мод, которые подчиняются уравнению со = psin(co —\|/), удобно занумеровать по мере удаления от центральной частоты (рис. 7). Анализ стационарных состояний системы (5) показывает19, что моды с нечетными номерами оказываются неустойчивыми относительно возмущений на собственной частоте. Наряду с этим, нарное состояние может быть неустойчиво относительно пада на сателлиты с частотами, симметрично отстоящими от собственной частоты. Эта неустойчивость имеет место только вблизи порога возникновения соответствующей моды по параметру р, если параметр возбуждения А, при этом не превышает некоторого критического значения. С увеличением р или X неустойчивое стационарное состояние становится устойчивым. Состояние, соответствующее основной моде, которая имеет наименьший сдвиг частоты, всегда устойчиво.

В диссертации проведено подробное численное исследование устойчивости стационарных состояний, которое подтвердило результаты аналитического исследования. Также исследован характер переходных процессов при распаде неустойчивых состояний. Обнаружено, что переход из неустойчивого состояния происходит в ближайшее по частоте устойчивое состояние. При распаде на сателлиты переходный процесс имеет вид нарастающих биений, а при неустойчивости относительно возмущений на собственной частоте носит экспоненциальный характер. Показано, что установления колебаний на любой из устойчивых мод можно добиться с помощью кратковременного воздействия на систему сигналом на соответствующей частоте. При этом пороговое значение амплитуды воздействия возрастает по мере удаления от частоты основной моды. На рис. 8 приведены примеры зависимостей порогового значения амплитуды от длительности воздействия. Из него видно, что длительность воздействия должна превышать некоторую предельную величину, которая, как правило, примерно равна времени запаздывания, за исключением мод, находящихся вблизи порога устойчивости, для которых она несколько увеличивается.

В Заключении приведены основные результаты, полученные в диссертационной работе.

19 Новожилова Ю.В. // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2011. Т. 19, №2. С. 122.

■ЛАД 1\2 Л Jt(í

JJJÁn ta

-бтс -4 тс -2к 0 2 TÍ. 4 я 61с

Рис. 7. Пример графического решения уравнения для собственных частот при р = 16.335, \|/ = -0.309я. 1 — прямая у = ш/р, 2 — синусоида у = - sin (ю- у). «Собственно-устойчивые» моды показаны черными кружками, «собственно-неустойчивые» — светлыми.

Рис. 8. Зависимость порогового значения амплитуды от длительности воздействия при установлении 6-й (а) и 2-й (б) моды. Воздействие осуществляется на частоте 6-й моды

Основные результаты и выводы

1. Построена подробная картина вынужденной синхронизации автоколебательной системы типа «усилитель-фильтр-линия задержки». Установлены существенные отличия от классической картины синхронизации в системе с одной степенью свободы, связанные с возбуждением различных собственных мод. В частности, резонансные кривые в области больших амплитуд и расстроек имеют многочисленные максимумы на частотах автомодуляционных мод. В области больших амплитуд синхронные режимы являются неустойчивыми, возникает автомодуляция, инициированная внешним сигналом. Соответственно, усложняется форма языков синхронизации, которые имеют две границы: внешнюю и внутреннюю. Границы приобретают волнистую форму, что обусловлено резонансами с различными автомодуляционными модами.

2. Когда параметр возбуждения приближается к порогу автомодуляции в автономной системе, области захвата частоты, сформировавшиеся на базе основной и автомодуляционной частот, сливаются, разбивая область синхронизации на три отдельные части. При превышении порога автомодуляции, т.е. когда автономный генератор генерирует квазипериодические колебания с двумя независимыми частотами, центральная область языка синхронизации исчезает и появляется порог синхронизации.

3. Вблизи границ зон генерации область синхронизации имеет форму раздвоенного языка на частотах двух соседних собственных мод. Если в генераторе существует бистабильность, также наблюдается бистабильность синхронных режимов, т.е. в зависимости от начальных условий синхронизация устанавливается при различных амплитудах внешнего воздействия.

4. Для генератора с нелинейностью типа Кислова-Дмитриева крутизна нелинейной характеристики системы уменьшается в области больших амплитуд, поэтому область автомодуляции, инициированной внешним сигна-

лом, оказывается ограниченной и существует только при достаточно существенном превышении порога генерации.

5. Проведено численное моделирование основных механизмов установления синхронного режима. Когда частота внешней силы близка к собственной частоте генератора, происходит захват собственной частоты внешней силой, сопровождающейся возбуждением автомодуляционных мод. В окрестности языка синхронизации зависимость амплитуды сигнала от времени имеет вид периодических «всплесков» высокочастотной модуляции. При воздействии вблизи частоты автомодуляции переходу в синхронный режим предшествует переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода автомодуляции. Затем наблюдается обратный каскад удвоений и подавление собственной частоты генератора. Когда частота внешней силы близка к частоте второй собственной моды, наблюдается жесткий переход к синхронному режиму, а вблизи границы синхронизации имеется область бистабильности. Переходы между синхронным и несинхронным состоянием сопровождаются гистерезисом при движении в сторону увеличения и уменьшения.

6. Предложены простые двух- и трехмодовые модели систем с запаздыванием, для которых за счет сочетания аналитических методов исследования и численного моделирования получена достаточно полная картина неавтономной динамики. Установлено, что в системе двух конкурирующих мод под внешним воздействием наряду с классическими режимами синхронизации и биений возможен еще один тип двухчастотного квазипериодического режима, когда в спектре колебаний присутствуют частота внешнего воздействия и собственная частота второй моды. Переходы между этими двумя режимами происходят либо жестко, либо мягко в результате образования трехчастотно-го режима и его последующего исчезновения.

7. При воздействии на двухмодовую систему в режиме одномодовой генерации при не слишком больших значениях коэффициента нелинейной связи переходу в синхронный режим предшествует асинхронное возбуждение второй моды, которая в автономном генераторе не возбуждается. На плоскости параметров частота-амплитуда внешнего воздействия появляются области трехчастотных квазипериодических колебаний, вклинивающиеся между областями двухчастотных режимов различных типов. Дальнейшее увеличение амплитуды воздействия приводит к подавлению сначала собственных колебаний первой моды, а затем — второй моды.

8. При воздействии на систему в режиме двухмодовой генерации вначале происходит либо захват, либо подавление собственных колебаний первой моды, а затем — асинхронное подавление второй моды. Переход в режим синхронизации в этом случае носит пороговый характер, т.е. наблюдается при амплитудах внешнего воздействия, превышающих некоторое минимальное значение. При воздействии на систему в режиме бистабильности наблюдается бистабильность языков синхронизации.

9. Для трехмодовой модели автоколебательной системы, демонстрирующей возникновение автомодуляции, можно выделить четыре принципиально различные ситуации, в зависимости от того, осуществляется воздейст-

вие на систему в режиме одномодовых или трехмодовых (автомодуляционных) колебаний, а также на частоте основной моды или на частоте одного из автомодуляционных сателлитов. При воздействии на основной частоте ниже порога автомодуляции наблюдаются классические механизмы подавления и захвата частоты. Однако режим синхронизации устойчив лишь при амплитудах воздействия, не превышающих некоторого порогового значения. Выше этого порога наблюдается возбуждение сателлитов, т.е. автомодуляция, инициированная внешним сигналом. Если же воздействие осуществляется на систему в режиме автомодуляции, язык синхронизации разбивается на две изолированные части. При достаточно больших расстройках по мере увеличения внешнего воздействия вначале происходит подавление автомодуляционных сателлитов, затем — подавление основной моды. При больших амплитудах вновь наблюдается автомодуляция, инициированная внешним сигналом. В области малых расстроек увеличение амплитуды внешней силы приводит к захвату собственной частоты основной моды, однако дальнейшее увеличение воздействия не приводит к установлению синхронного режима.

10. При воздействии на частоте сателлита всегда существует порог синхронизации. Если порог автомодуляции в автономной системе не превышен, переход в режим синхронизации происходит через подавление основной моды. Если же воздействие осуществляется на систему в режиме автомодуляции, вначале (в зависимости от расстройки) происходит либо захват, либо подавление колебаний на собственной частоте автомодуляционной моды, затем — подавление основной моды.

11. Проведен анализ стационарных состояний генератора с запаздывающим отражением от удаленной нагрузки. Показано, что половина стационарных состояний неустойчива относительно возмущений на соответствующих собственных частотах. Другая половина устойчива относительно этих возмущений, но может быть неустойчива относительно распада на сателлиты с частотами, симметрично отстоящими от собственной частоты. Эта неустойчивость имеет место только вблизи порога возникновения соответствующей моды по параметру отражений, если параметр возбуждения при этом не превышает некоторого критического значения.

12. Проведено численное моделирование переходных процессов в генераторе с запаздывающим отражением от нагрузки, которое показало, что переход из неустойчивого состояния происходит в ближайшее по частоте устойчивое состояние. При распаде на сателлиты переходный процесс имеет вид нарастающих биений, а при неустойчивости относительно возмущений на собственной частоте носит экспоненциальный характер. Установления колебаний на любой из устойчивых мод можно добиться, воздействуя на систему сигналом на соответствующей частоте. При этом пороговое значение амплитуды воздействия возрастает по мере удаления от частоты основной моды. Длительность воздействия должна превышать некоторую предельную величину, которая, как правило, примерно равна времени запаздывания, за исключением мод, находящихся вблизи порога устойчивости, для которых она несколько увеличивается.

Основные публикации по теме диссертации

1. РыскинН.М., Усачева С.А. Синхронизация периодических колебаний автогенератора с запаздыванием внешним гармоническим сигналом // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2009. Т. 17, № 1. С. 3-12.

2. Новожилова Ю.Б., Рыскин Н.М., Усачева С.А. Нестационарные процессы в генераторе с запаздывающим отражением от нагрузки // ЖТФ. 2011. Т. 81, №9. С. 16-22.

3. Новожилова Ю.В., Сергеев А. С., Усачева С.А. Параметрическая неустойчивость в генераторе с запаздывающим отражением от нагрузки. Численное исследование // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2011. Т. 19, № 2. С. 128-140.

4. Перегородова Е.Н., РыскинН.М., Усачева С.А. Синхронизация системы двух конкурирующих мод внешним гармоническим сигналом // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2011. Т. 19, № 3. С. 154-170.

5. Usacheva S.A., RyskinN.M. Forced synchronization of a delayed-feedback oscillator//Physica D. 2012, Vol. 241, No. 4. P. 372-381.

6. Усачева С.А. Синхронизация автогенератора с запаздыванием внешним гармоническим сигналом // Сборник материалов научной школы-конфе-ренции «Нелинейные дни в Саратове для молодых-2007». Саратов: ООО ИЦ «Наука»,

2008. С. 132-135.

7. Усачева С.А. Особенности синхронизации автогенератора с запаздыванием внешним гармоническим сигналом // Материалы Международной школы-семинара «Statinfo-2009». Саратов: ООО ИЦ «Наука», 2009. С. 124-127.

8. Усачева С.А., Рыскин Н.М. Исследование режимов синхронизации автоколебательной систем с запаздыванием при приближении к порогу автомодуляции // Труды 52-й науч. конф-ции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук»: Ч. II. Общая и прикладная физика. М.: МФТИ,

2009. С. 279-282.

9. Novozhilova Yu.V., RyskinN.M., Usacheva S.A. Numerical simulation of non-stationary operation of oscillator with reflection from output remote load // Proc. 8th Intern. Workshop: Strong microwaves and terahertz waves: sources and applications, Nizhny Novgorod-St.-Petersburg, Russia, July 9-16, 2011. P. 109-110.

10. Usacheva S.A., PeregorodovaE.N., RyskinN.M. Forced synchronization of a two-mode electronic maser // Proc. 8th Intern. Workshop: Strong microwaves and terahertz waves: sources and applications, Nizh. Novgorod-St.-Peter-sburg, Russia, July 9-16, 2011, P. 117-118.

11. Перегородова E.H, Усачева С.А. Синхронизация системы двух конкурирующих мод внешним гармоническим сигналом // Сборник материалов научной школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых-2010». Саратов: ООО ИЦ «Наука», 2011. С. 108-111.

12. Усачева С.А. Синхронизация автогенератора с запаздыванием вблизи границы зон генерации // Сборник материалов научной школы-конфе-ренции «Нелинейные дни в Саратове для молодых-2010». Саратов: ООО ИЦ «Наука», 2011. С. 116-119.

Подписано в печать 13.04.2012 Формат бОх 48 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Times. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ № 102-Т

Типография Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского 410012 г. Саратов, ул. Большая Казачья, д.. 112 а Тел.: (8452) 27-33-85

Текст научной работы диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Усачева, Светлана Александровна, Саратов

61 12-1/1024

Национальный исследовательский Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского

На правах рукописи

УСАЧЕВА Светлана Александровна

НЕАВТОНОМНАЯ ДИНАМИКА АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И ИХ КОНЕЧНОМЕРНЫХ

МОДЕЛЕЙ

01.04.03 —Радиофизика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор Рыскин Н.М.

Саратов - 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение......................................................................................................................4

Глава 1. Синхронизация автогенератора с запаздыванием внешним гармоническим сигналом......................................................................................14

1.1. Модель автогенератора с запаздыванием и кубичной нелинейностью.... 14

1.2. Резонансные кривые и языки синхронизации генератора

с запаздыванием....................................................................................................19

1.2.1. Центр зоны генерации.............................................................................19

1.2.2. Трансформация резонансных кривых и языков синхронизации вблизи порога автомодуляции..........................................................................27

1.2.3. Трансформация резонансных кривых и языков синхронизации при смещении от центра зоны генерации..............................................................30

1.3. Численное моделирование установления режимов синхронизации.........35

1.3.1. Механизм синхронизации при воздействии вблизи основной собственной частоты.........................................................................................35

1.3.2. Механизмы перехода в режим синхронизации при увеличении отстройки от собственной частоты..................................................................38

1.3.3. Воздействие на частоте второй собственной моды.............................42

1.4. Особенности синхронизации автогенератора с нелинейностью типа Кислова-Дмитриева...............................................................................................44

1.4.1. Особенности структуры языков синхронизации и резонансных кривых автогенератора с нелинейностью Кислова-Дмитриева...................50

1.4.2. Численное моделирование процессов синхронизации генератора в режиме автомодуляции.....................................................................................57

1.5. Выводы.............................................................................................................61

Глава 2. Вынужденная синхронизация конечномерных моделей систем с запаздыванием.........................................................................................................64

2.1. Синхронизация системы двух конкурирующих мод..................................65

2.1.1. Режимы синхронизации..........................................................................66

2.1.2. Двухмодовый режим и условия его устойчивости..............................71

2.1.3. Воздействие на генератор в режиме одномодовой генерации...........73

2.1.4. Воздействие на генератор в двухмодовом режиме..............................79

2.1.5. Воздействие на генератор в режиме мультистабильности.................80

2.2. Синхронизация системы трех мод с эквидистантным спектром...............84

2.2.1. Стационарные состояния автономной системы и их устойчивость.. 85

2.2.2. Режимы синхронизации. Воздействие на частоте основной моды.... 91

2.2.3. Воздействие на частоте сателлита.........................................................95

2.2.4. Результаты численного моделирования. Воздействие на частоте основной моды...................................................................................................98

2.2.5. Воздействие на частотах автомодуляционных сателлитов...............103

2.3. Выводы...........................................................................................................106

Глава 3: Нестационарные процессы в генераторе с запаздывающим отражением от нагрузки....................................................................................... 109

3.1. Основные уравнения. Стационарные состояния.......................................110

3.2. Условия устойчивости стационарных состояний.....................................113

3.2.1 Вывод характеристического уравнения...............................................113

3.2.2. Устойчивость относительно возмущений на

собственной частоте.......................................................................................114

3.2.3. Устойчивость относительно боковых сателлитов.............................115

3.2.4. Устойчивость основной моды..............................................................119

3.3. Результаты численного моделирования.....................................................120

3.4. Выводы...........................................................................................................125

Заключение.............................................................................................................127

Список литературы................................................................................................132

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы диссертации. Синхронизация относится к числу фундаментальных нелинейных явлений, которые в настоящее время являются предметом активного исследования [1-5]. Эффекты синхронизации наблюдаются в системах самой разной природы: в радиотехнических и электронных устройствах, в лазерах, в механических системах, в колебательных химических реакциях, в биологических объектах. Синхронизация имеет разнообразные и важные применения в технике. Например, частотой колебаний мощного электронного генератора можно эффективно управлять в определенных пределах, используя захват частоты внешним сигналом маломощного вспомогательного генератора, для которого обеспечить стабильность частоты технически гораздо проще.

Следует отметить, что сравнительно мало изученными являются эффекты синхронизации в автоколебательных системах с запаздыванием. Подобные системы широко распространены в самых разных областях физики, таких как радиофизика [6-9], нелинейная оптика [10,11], биофизика [12,13], физика атмосферы [14,15], и даже в моделях экономики, экологии и социальных наук [16]. Представляется, что процессы синхронизации в подобных системах будут иметь ряд особенностей по сравнению с системами с конечным числом степеней свободы. Действительно, во-первых, известно, что системы с запаздыванием относятся к классу распределенных автоколебательных систем, т.е. имеют бесконечное число степеней свободы (см., например, [2,6,17]). Во-вторых, хорошо известно, что системы с запаздыванием способны демонстрировать разнообразные режимы колебаний (одночастотные, многочастотные, хаотические) [2,6,7,17].

Особую роль системы с запаздыванием играют в радиофизике, в особенности в той её части, которая связана с генерированием электромагнитных колебаний сверхвысокочастотного (СВЧ) диапазона. Действительно рассмотрим генератор, который представляет собой усилитель, часть мощности которого с выхода подается на вход. Очевидно, что сигнал распространяется по цепи об-

ратной связи за какое-то конечное время. На высоких частотах, когда время распространения сигнала по цепи обратной связи сравнимо с периодом колебаний, учет запаздывания становится необходимым. На практике приходится часто сталкиваться с задачами, в которых какой-либо автогенератор СВЧ диапазона находится под воздействием внешнего сигнала. Например, относительно недавно были предложены системы передачи информации СВЧ диапазона на основе динамического хаоса, где в качестве источника хаотических сигналов использовались генераторы на основе лампы бегущей волны (ЛБВ) [18] и клистрона [19], управляемые внешним гармоническим сигналом.

Следует отметить, что ранее в ряде работ экспериментально исследовалась динамика генераторов с запаздыванием на основе ЛБВ [20,21] и клистронов [22] под воздействием внешнего сигнала. Однако в них основное внимание уделялось воздействию на генератор в режиме хаотических колебаний. Было обнаружено, что внешнее воздействие может подавить хаотические колебания в генераторе и привести к переходу в периодический режим, а также стимулировать появление хаоса при воздействии на систему, генерирующую одноча-стотные колебания. Однако бифуркационные механизмы установления режимов синхронизации изучены не были.

ципиальных отличий от известной картины синхронизации в системе с одной степенью свободы [1-5]. Отметим, что в работах [23-28] главным образом рассматривался случай, когда собственные частоты колебательной системы близки друг к другу либо приближенно соотносятся как 1:3. При этом взаимодействие мод носит резонансный характер, т.е. в автономной системе происходит образование резонансного предельного цикла на торе, а синхронизация происходит посредством захвата собственных частот внешним сигналом. Однако не исследованным остается влияние амплитудного взаимодействия (конкуренции мод), что более характерно для систем с запаздыванием.

Специфическим классом систем с запаздыванием являются системы, в которых запаздывание обусловлено отражением сигнала от удаленной нагрузки. Хотя динамика различных генераторов под воздействием запаздывающего сигнала, отраженного от нагрузки, изучалась ранее во многих работах (см., например, [2,31-33]), основное внимание уделялось таким нестационарным явлениям как автомодуляция и переход к хаосу. В то же время, такие вопросы, как устойчивость собственных мод, характер процессов установления колебаний, возможности переключения между различными модами изучены недостаточно, хотя они важны для ряда практических приложений. В частности, в ряде экспериментальных работ [34,35] было обнаружено, что достаточно малое отражение от удаленной нагрузки заметно влияет на спектр выходного излучения гиротрона. Кроме того, для ряда приложений (нагрев плазмы, радиолокация и др.) требуются источники с переключаемой частотой генерации. В последние годы появился ряд работ, посвященных проблеме переключения мод [36-38] и захвату фазы [39] мощных генераторов внешним сигналом.

Отметим, что в генераторах миллиметрового и субмиллиметрового диапазонов время запаздывания много больше, чем время установления колебаний в системе без отражений. С математической точки зрения именно случай большого запаздывания представляет наибольшие трудности, поскольку имеет место гипермультистабильность, т.е. сосуществование большого числа стационарных состояний (см., например, [40]). Следует ожидать, что в таком случае

будут ярко выражены процессы конкуренции мод. Исходя из этого, исследование нестационарных процессов в генераторе с запаздывающим отражением от нагрузки представляется весьма актуальной задачей.

Для достижения поставленных целей в работе решаются следующие основные задачи:

Основные положения, выносимые на защиту

синхронизации ограничен линией возникновения автомодуляции, инициированной внешним сигналом. В окрестности частот высших собственных мод установление синхронного режима происходит жестко.

3. Если в кольцевой автоколебательной системе с запаздыванием возможно возбуждение нескольких собственных мод, в зависимости от начальных условий синхронизация устанавливается при различных значениях амплитуды воздействия. На плоскости частота-амплитуда внешнего воздействия имеется несколько частично перекрывающихся языков синхронизации, каждый из которых касается горизонтальной оси на частоте соответствующей собственной моды.

1. Для моделей автоколебательных систем типа «усилитель-фильтр-линия задержки», описывающихся дифференциальным уравнением первого порядка с запаздыванием, выявлены основные особенности устройства резонансных кривых и языков синхронизации, связанные с распределенной природой данного класса систем, т.е. с наличием большого числа собственных мод. Подробно изучена картина синхронизации при приближении к порогу автомодуляции в автономной системе и вблизи границы зон генерации.

Научная и практическая значимость. Результаты диссертации развивают и дополняют теоретические представления о вынужденной синхронизации в мно-гомодовых системах. Выявлены принципиальные отличия от известной картины синхронизации системы с одной степенью свободы, обусловленные распределенной природой системы с запаздыванием, которые присутствуют даже в случае воздействия на систему, генерирующую периодические автоколебания.

Автогенераторы с запаздывающей обратной связью используются для генерации электромагнитных колебаний различных диапазонов (например, генераторы сверхвысоких частот на основе ламп бегущей волны и клистронов). В диссертации определяются условия и закономерности синхронизации подобных систем, что представляет очевидный практический интерес.

Результаты диссертации, касаю