Динамические процессы в неавтономных автостохастических системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

553 0 2. В I

шошвжий ордвна денина, ордена сщябеьской

РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА. ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСГВЩЩЙ УНИВЕРСИТЕТ им .М.В.ЛОМОНОСОВА.

Физический факультет

На правах рукописи

УДК 621.373

ГРИБКОВ Дмитрий Анатольевич

ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В НЕАВТОНОМНЫХ АВТОСТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

01.04.03 - радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1991

Работа выполнена на кафедре физика колебаний физического факультета МГУ

Научный руководитель : кандидат физико-математичеоких наук,

доцент Ю.И.Кузнецов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ю.А.Кравцов

кандидат физико-математических наук В.Ф.Марченко

Ведущая организация: ИРЭ АН СССР

Защита состоится " ЯО " сре&р&ЛЯ 1992 г. в

часов на заседании специализированного совета К 053.05.92 физического факультета МГУ по адресу:

119899, Москва, Ленинские горл, физический факультет МГУ им.М,В.Ломоносова, ауд ^Г'/У

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан " 1993£г.

Ученый секретарь специализированного оовета кандидат фиэнко-матемагичвоких наук

Лебедева И.В.

ОБЩАЯ ХАРЖГЕРИСТИКА РАБОТЫ

... тлел

дртациД [ссертационная работа посвящена исследованию колебательных процессов в неавтономных автостохастических системах. Тема диссертации непосредственно связана с исследованиями, проводимыми по межкафедральной тематике "Детерминированная и хаотическая динамика автоколебательных систем".

Актуальность теш. Активное развитие хаотической динамики детерминированных систем позволяет выделить ряд основных направлений исследований, проводимых в этой области.

Одним из них является изучение процессов в автостохастических системах. В настоящее время особый интерес исследователей вызывает изучение поведения неавтономных автостохастических систем. Этот интерес обусловлен следующими основными причинами.

1. В неавтономных автостохастических системах наблюдаются совершенно новые бифуркационные явления, не встречающиеся в автономных, исследование которых позволяет достигнуть более глубокого понимания механизмов стохастичности.

2. Исследования в области неавтономных автостохастических систем имеет практическую значимость с точки зрения возможности управления спектрами процессов в генерирующих системах различной природа в достаточно широких пределах.

Цель, дкосертаджонной работы

1. Изучение аналитическими и численными методами бифуркационных явлений в шзтостохастнческих системах при регулярном силовом и параметрическом внешнем воздействии. Выяснение ггэханизмов переходов к хаосу и изучение свойств хаоса вне областей синхронизации в неавтономных автостохастических системах.

2. Создание и исследование сосредоточенной динамической шдолп, которая позволяла бы описывать хаотическую автомоду~ ляцшо излучения в автономном однополосковом инфекционном лазера.

3. Исследование численными методами влияния внешнего периодического сигнала, модулирующего ток накачки, на характер излучения инфекционного лазера.

Научная новизна заключается в следующем:

На основе аналитических и численных методов с учетом да» ных физического эксперимента проведено достаточно полное исследование ряда неавтономных автостохастических систем. При этом изучены свойства хаооа вне областей синхронизации и обна ружен ряд новых бифуркационных явлений при переходах к хаосу.

Предложена сосредоточенная динамическая модель с запазда ванием, описывающая хаотическую автомодуляцто излучения в автономном однополосковом инжекционном лазере. Дана физическая интерпретация этого явления. На основе предложенной модели проведено исследование инфекционного лазера как в автономном режиме, так и при модуляции тока накачки внешним периодическим сигналом.

Практическая ценность работы определяется тем, что ее результаты могут быть применены для других автостохастическш систем данного класса. Кроме этого, полученные результаты дают практические рекомендации по управлению спектрами процессов в генерирующих системах в достаточно широких пределах.

На защиту выносятся следующие основные положения:

I. Установлено, что перехода к хаосу в неавтономных автостохастических системах осуществляются, как правило, через разрушение поверхности инвариантного тора в фазовом пространстве системы. При этом наряду с известными механизмами (удвоение и потеря гладкости поверхности инвариантного тора) впервые наблюдались следующие перехода:

а) через исчезновение инвариантного тора за счет образования на его поверхности области сгущения фазовых траекторий;

б) через образование и разрушение тороидальной поверхности с кангоровой структурой.

2. Внешее регулярное воздействие на автостохастические системы вне областей синхронизации увеличивает глубину хаоса. При этом спектр движений в системе становится более равномерным.

•

3. При параметрическом воздействии на классическую систему Лоренца имеет место степенная зависимость порога синхронизации от энтропии Колмогорова с показателем степени

К а 0,23±0,П.

4. Создана и исследована сосредоточенная динамическая модель с запаздыванием автономного однополоскового инжекцион-ного лазера, позволяющая описывать хаотическую автомодуляцию излучения. Переход к хаосу в автономном инжакционном лазере осуществляется через перемежаемость. Одним из основных физических механизмов, приводящих к хаотической автомодуляции излучения в инкекционном лазере, является инерционный процесс диффузии носителей в область, обедненную ими после выжигания.

5. Полученная бифуркационная диаграмма неавтономного ин-жекцконного лазера позволяет определить области значений параметров внешнего воздействия, при которых возможна модуляция светового сигнала с частотой внешнего воздействия.

Апробация работн. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах кафедры физики колебаний физического факультета МГУ и МПШ, на Всесоюзной конференции по нелинейным колебаниям (Горький, 1987) и на международном семинаре по системам и устройствам синхронизации (Созопоя, 1990).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы представлены в 8 печатных работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объец диеоертатщ. Диссертация состоит из введения, литературного обзора, четырех глав, заключения, прило-

женил и списка цитируемой литературы, содержит 116 страниц, включая 36 страниц рисунков и список литературы из 78 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введекщ обоснована актуальность исследования неавтономный: автостохастических систем, с^оргдулироваяа цель работы и дано краткое содержание работы по главам.

В литературном обзоре рассматривается современное состояние исследований в области хаотической динамики. Основное внимание уделяется автостохастическим системам. Дается классификация типов странных аттракторов, 'указываются необходимые условия их существования и критерии стохастичности.

Рассматриваются известные механизмы переходов к хаосу в автономных и неавтономных автостохастических системах. Указываются основные направления: исследований неавтономных аатосго-хастических систем. Рассматриваются основные результаты, полученные рядом исследователей в этой области, и поднимаются вопрс сы, которые остаются невыясненными.

Наконец, в обзоре дается перечисление существующих моделей, описывающих хаофтичеокую автомодулящш излучения в иннэк-ционнах лазерах и указывается их основной недостаток - принципиальная невозможность описания хаотической автомодуляции излучения в автономном однопоиосковом енеокцеошом лазере.

В первой главе проводятся аналитическое и численное исследования поведения известного автогенератора хаотических колебаний с туннельным диодом (ТД) в цепи контура при действии на него периодической внешней силы.

Система уравнений, описывающая неавтономный автогенератор, имеет вид:

«И*. (1)

где х - нормированный ток в контуре, у - нормированное напряжение на емкости контура, z - нормированное напряжение на

ТД; S , k t § ~ параметры автогенератора; А , р - амплитуда и частота внешнего воздействия, соответственно; ¡(z) -нормированная характеристика ТД.

Аппроксимация характеристики ТД была выбрана таким образом, чтобы она полностью соответствовала реальной характеристике ТД для возможности сравнения данных физического и численного экспериментов. В связи с этим была выбрана кусочно-гладкая аппроксимация, состоящая из пяти частей, сшитых по координатам и первым производным.

На основе численного эксперимента были построены бифуркационные диаграммы неавтономной оистемы (I) для различных значений инкремента h автономной системы. Если автономная система находится в состоянии хаоса, области синхронизации неавтономной оистемы не достигают координатной оси Ор (А=0), т.е. существует отличный от нуля амплитудный порог синхронизации. Если в автономной системе существует регулярное движение, амплитудный порог синхронизации равен нулю.

Исследования показали, что перехода к хаосу из областей синхронных режимов осуществляются через разрушение инвариантных торов.

Со стороны левых низкочастотных границ областей синхронизации переход к хаосу осуществляется через конечное число бифуркаций удвоения инвариантного тора с последующей потерей гладкости его поверхности. Со стороны нижних границ областей синхронизации переход к хаосу происходит через потерю гладкости инвариантного тора без бифуркаций удвоения его поверхности.

При действии внешней периодической силы вне областей синхронизации, с увеличением амплитуда внешнего воздействия, точечное отображение системы (I) размывается и максимальный по-лошггельный ляпуновский показатель Х+ неавтономной системы возрастает по сравнению с автономной при фиксированном значении инкремента h . (например, при Zk - 0,01665, для автономной системы - \f — IQ~3, для неавтономной - 5-Ю"2, при А я 0,005, р = 1,02). При этом, в соответствии с данными физического эксперимента, спектр колебаний становится более равномерным, теряет характерную окраску.

Таким образом, внешнее периодическое воздействие на автостохастическую систему вне областей синхронизации приводит к

увеличении глубины хаоса в системе.

До второй главе изучаются бифуркационные явления в неавтономной системе Лоренца.

В случае силового внешнего воздействия система уравнений записывается в виде:

' y^ZX-Y-XZ+A^hp.t, (2)

где X , У , Z - динамические переменные; é , t , é - параметры система; k,, р0 - параметры внешнего воздействия.

При достаточно больших значениях параметра t удается получить аналитическое выражение для точечного отображения системы (2). Это отображение в полярной системе координат имеет следующий вид.

Для полярного радиуса:

^«МЫ^™«- + < (3а)

Для полярного угла: Q - а*сЦ (ая & I • cas A >f- (У-aoslg) + 4г ees g )+ 7Гъ,

B^atcfyfa & c*s2 <?■ afcjg) + А £ Ч>+ Тгсм *г), (ЗЙ>

где ~ некоторые константы, выража-

ющиеся через параметры систеш (2); V - параметр отображения

{ ¥ф1ГгУ] ), ^ = 0,1.....

Анализ этого отображения показывает, что возможны следующие основные случаи:

I. Существует одна (кроме нулевой) неподвижная точка ото ражекия (За). В зависимости от параметра € отображения она может быть как устойчивой ( R* ), так и неустойчивой ( &Г ) В первом случае устойчивой неподвижной точке Rt , и неустой чивой нулевой неподвижной точке 0' соответствует устойчивое тороидальное многообразие в фазовом пространстве системы (2). Во втором случае ( R", , ó* ) - неустойчивое тороидальное многообразие.

2. Существуют три отличные от нуля неподвижные точки , Rît Rj и нулевая неподвижная точка О. Особый интерес вызывает ситуация, когда две неподви&ные точки и R2~ являются неустойчивыми, а две другие - Я* и 0*" - устойчивыми. 3 этом случае в фазовом пространстве точечного отображения (3) существует нетривиальное непржтягиващее гиперболическое инонество &' , соответствующее неустойчивым инвариантным многообразиям W," и Wf и устойчивое инвариантное многообразие W/ . Расположение инвариантных многообразий свидетельствует о том, что в фазовом пространстве системы может существовать необычное тороидальное многообразие. Тороидальная поверхность содержит область, которую разовые траектории не заполняют.

Расположение точек на инвариантной кривой Wg задается следующим отображением:

лё^К^лЭ, (4)

где 9 - угловая переменная, Ке = Cos /cos Щ; ■

В зависимости от (Г I К£1 может быть как меньше единицы (сжимающее отображение), так и больше единицы (растягивающее отображение). Так как фазовое пространство системы (2) четырехмерно, то возможна ситуация, когда отображение (4) растягивающее, но при этом инвариантная кривая W/ сохраняется. Тогда инвариантная кривая отображения будет иметь канторову структуру. Соответственно, в фазовом пространстве системы (2) будет существовать разрывная тороидальная поверхность с канто-ровой структурой.

Результаты численного эксперимента показали, что при увеличении амплитуды внешнего периодического воздействия, аттрактор в системе Лоренца становится винтовым, переходит в тор-аттрактор, который, в свою очередь, превращается в однолистную тороидальную поверхность, на которой существует вырез. Область существования этой поверхности в пространстве параметров ( р., Ае ) достаточно мала. Вычисленная фрактальная размерность соответствующего канторова множества на кривой сечения Пуанкаре оказалась приблизительно равной 0,8.

При изменении параметров внешнего воздействия происходит разрушение тороидальной поверхности и образование тор-аттрактора с маштабно-инвариантной структурой.

В ряде динамических систем с хаосом экспериментальная реализация внешнего силового периодического воздействия может представлять определенные трудности и более доступным может оказаться параметрическое воздействие на систему.

Методами численного эксперимента исследовалась система Лоренца, в которой параметрическое воздействие предсгавлялооь в виде: Ъ = mcos.pt) , где - параметр автономно! системы, т - глубина модуляции параметра £ , р •

частота параметрического воздействия.

На бифуркационной диаграмме ( р, т ) неавтономной системы Лоренца основную долю областей синхронизации занимают области, для которых отношение частоты внешнего воздействия к частоте вынужденных колебаний равно четному числу или единице, Можно предположить, что этот факт определяется симметрией аттрактора Лоренца в фазовом пространстве системы.

Перехода к хаосу из областей синхронизации осуществляются через разрушение тороидальной поверхности. Механизм разрушения инвариантных торов при параметрическом воздействии йдэн-тичен механизму разрушения при силовом воздействии.

В численном эксперименте получена степенная зависимость минимальной пороговой глубины модуляции тп от энтропии Колмогорова И автономной системы. Эта зависимость имеет вид;

та = С-Г\, (5)

где С - масштабный коэффициент , К = 0,23 ±0,11

Величина показателя степени в пределах ошибок совпадает с величиной, полученной ранее другими авторами для той не системы, но при силовом воздействии.

Третья глава содержит вывод уравнений сосредоточенной динамической модели с запаздыванием, описывающей хаотическую автомодуляцию излучения в автономном, однополосковом инфекционном лазере. В качестве основного физического механизма.

приводящего к хаотической автомодуляции из лучения,рассматривается инерционный процесс диффузии носителей в область обедненную ими после выжигания.

Окончательно система уравнений записывается в виде:

где X , У - нормированные средние концентрации фотонов и носителей, соответственно;Хс = Х(±-г) ? г - харак-

терное время выжигания, сравнимое с длительностью импульса автомоду ляции; Л - коэффициент линейной зависимости усиления;

X - коэффициент пропорциональности, величина которого определяется инерционностью процесса диффузии и размером канала генерации; Г - ток накачки; 9 - нормированное время жизни фотонов в резонаторе; р - фактор спонтанного излучения;

К + I.

Запаздывающий член во втором уравнении системы (6) учитывает вклад носителей в результате инерционного процесса диффузии.

Проведенный анализ линеаризованной системы уравнений (6) показал, что о увеличением тока накачки возникающая после переходного процесса стационарная генерация инжекционного лазера устойчива до некоторого граничного значения тока накачки I &1П •

При дальнейшем увеличении тока накачки стационарное решение системы (б) теряет устойчивость и возникает автомодуляция излучения.

Методом й -разбиений была построена диаграмма устойчивости стационарного решения системы (6) в пространстве параметров ( Г, I ).

в четвертой главе на основе полученной в главе 3 математической модели численйыми'методами исследуются регулярные и хаотические процессы, имеющие меото в ишхекционном лазере в автономном и неавтономном режимах.

I. Автономный режим генерации.

{

(6)

Выяснялось, что с увеличением тока накачки I от порогового значения 1-у, до некоторого граничного значения Хе-да инфекционный лазер находится в состоянии стационарной генерации после переходного процесса длительностью порядка 10... 20 не. В фазовом пространстве системы существует только устойчивый фокус.

При 1 > 1ет происходит бифуркация рождения устойчивого предельного цикла, что соответствует регулярному исковому режиму с частотой порядка 3 ГГц. С увеличением тока накачки возникает регулярная автомодуляция пичкового регана, Пе риод этой автомодуляцшг лекпт в диапазоне от долей до десяти наносекунд и выше, в зависимости от тока накачки. При дальнейшем увеличении I автомодуляция пичкового режима усложняется, в ней начинает прослеживаться уне несколько периодов и при некотором критическом значении тока накачки Ici система переходит к хаосу. Энтропия Колмогорова становится поло-аительной. В разовом пространстве системы происходит рожденж странного аттрактора. Анализ точечных отображений, получению методом сечения Пуанкаре, показал, что переход к хаосу в автономном ннжэкцлонном лазере осуществляется через переметаемое!

Физическое объяснение причин хаотической автомодуляции излучения сводится к следующему. С ростом тока накачки растет усиление, растет кривизна профиля распределения концентр? ции носителей в области выжигания, что, в свою очередь, определяет большую интенсивность диффузионного процесса заполнения носителями обедненной области. Инерционность процесса дис фузш, учитываемая запаздывающим членом, определяет возиоено« самовозбуждения системы. Процесс диффузии играет роль дополнительного вклада энергии в систему, увеличивающего степень ее нэравновесносги, а запаздывание делает систему бесконечномерной, что определяет возможность появления хаотической авт< модуляции излучения.

2. Неавтономный режим генерации

При рассмотрении неавтономного режима генерации ток накачки инжекционного лазера представлялся в вщв:1=10 +Acospi где 10 - постоянная составляющая тока накачки; А, р - ампл: туда и частота внешнего воздействия, соответственно.

В зависимости от величины тока накачки представляют интерес следующие основные случаи*

а) 10 соответствует области стационарной генерации автономного лазера,

б) 1„ соответствует области автомодуляции излучении автономного лазера.

Первый случай вызывает интерес с точки зрения возможности передачи информации с помощью инжекционного лазера. На основе численного эксперимента была получена бифуркационная диаграмма неавтономного лазера на плоскости параметров внешнего воздействия. Из бифуркационной диаграммы следует, что модуляцию светового сигнала можно осуществить в большом диапазоне частот внешнего воздействия при условии, что амплитуда переменной составляющей тока накачки не будет превышать определенного уровня. Кроме того, модуляция тока накачки может быть осуществлена вблизи характерной частоты пичкового режима инфекционного лазера. Пря этом возникающий тиковый режим имеет частоту внешнего воздействия.

В рассматриваемом случае, когда 10 соответствует стационарной генерации автономного лазера,перехода к хаосу в неавтономном лазере осуществляются по следующим сценариям.

Со стороны низких частот внешнего воздействия переход к хаосу происходит через перемежаемость.

Со стороны высоких частот переход к хаосу осуществляется через последовательность бифуркаций удвоения периода и режим квазиаттрактора.

Если автономный инфекционный лазер находится в' состоянии регулярного пичкового рекит (случай (б)), то переходы к хаосу в неавтономном лазере осуществляются через разрушение инвариантных торов в |азовом пространстве системы.

Со стороны низких частот внешнего воздействия тор постепенно исчезает за счет образования на его поверхности области сгущения фазовых траекторий.

Со стороны высоких частот разрушение тора происходит через потерю Едкости его поверхности с образованием тор-аттрактора.

В приложении описаны методы и программные средства, использованные в численном эксперименте.

Наиболее значительные результаты диссертационной работа состоят в следующем:

1. Показано, что внешнее воздействие на автостохасгичес кие система вне областей синхронизации увеличивает глубину хаоса. При этом спектр движений становится более равномерны!

2. Установлено, что переходы к хаосу в неавтономных автостохастических системах осуществляются, как правило, черег разрушение поверхности инвариантного тора в фазовом простра! стве системы. При этом наряду с известными механизмами (удвс ние и потеря гладкости поверхности инвариантного тора) впервые наблюдались следующие переходы:

а) через исчезновение инвариантного тора за счет образ! вания на его поверхности области сгущения фазовых траектории

б) через образование и разрушение тороидальной поверхности с канторовой структурой.

3. На пршера классической системы Лоренца показано, ч1 при параметрическом воздействии на автостохастическую систе: имеет место степенная зависимость порога оинхронизациж от э ропии Колмогорова. Величина показателя степени в пределах о; бок совпадает с величиной, полученной ранее при силовом воз действии на ту же систему.

4. Усовершенствована математическая модель автогенерат ра хаотических колебаний с туннельным диодом в цепи контура Результаты ее исследования: находятся в хорошем соответствии в данными физического эксперимента.

5. Создана и исследована сосредоточенная динамическая модель с задаздаванием автономного однополоскового иннекцио ного лазера, позволяющая описывать хаотическую автомоду лявд излучения. Показано, что переход к хаосу в автономном ннжек ционном лазере осуществляется через перемежаемость. Дана

физическая интерпретация причин возникновения хаотической автомодуляции излучения в автономном инжекционном лазере. Результаты исследования математической модели качественно подтверждаются данными физического эксперимента.

6.. На основе созданной модели проведено исследование поведения инжекционного лазера при модуляции тока накачки внешним периодическим воздействием. Полученная бифуркационная диаграмма неавтономного инжекционного лазера позволяет определить области значений параметров внешнего воздействия, при которых возмогла модуляция светового сигнала с частотой внешнего воздействия.

7. Созданы прикладные программы и алгоритмы для численного исследования динамических систем с хаосом.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТШЕ- ДИССЕРТАЦИИ

1. Грибков Д.А, Кузнецов Ю.И., Минакова И.И. Синхронизация и хаотизация процессов в неавтономных автостохастических системах. Всесоюзная конференция "Нелинейные колебания механических систем". - Горький, 1987. Тез.докл., часть I. -

С.144-145.

2. Афанасьев O.A., Грибков Д.А., Кузнецов Ю.И. Исследование процессов в неавтономной автоотохастической системе. Вестн. Моск. Ун-та. сер.З. физика. Астрономия, 1988. т.29. - JS 6. -

С.16-20.

3. Грачева И.Ю., Грибков Д.А., Кузнецов Ю.И., Минакова И.И. синхронные, многочастотные и хаотические процессы в системах связанных генераторов. Электричество, 1987. - й 7. - С.50-56.

4. Грибков Д.А., Кузнецов Ю.И., Минакова И.И., Щедрина М.В. Эволюция спектров процессов в оистемах синхронизации. Меаду-народный семинар по опстемаы и устройствам синхронизации "Син-хронизация-90" '-Созопол, Болгария, 1-5 октября, 1990. Сб.докл.

5. Грибков Д.А., Кузнецов Ю.И. Образование и разрушение торов с канторовой структурой в неавтономной оиотеме Лоренца.

Межвуз.сб. Динамика систем. - Горький: Изд.ПУ, 1991 (находится в печати).

6. Грибков Д.А. .Кузнецов Ю.И. Поведение система Лоренца при параметрическом воздействии. Вестн. Моек .Ун-та, сер.З. Физика. Астрономия, 1989. Т.ЗО. - № I. - С.83-84.

7. Грибков Д.А., Кузнецов Ю.И. Моделирование процессов хаотической автомодуляции излучения в автономном иннекционно! лазере. Вестн.Моск.Ун-та. сер.З.Физика. Астрономия, 1990. Т.; - № 6. - С.83-86.

8. Грибков Д.А., Кузнецов Ю.И. Моделирование процессов хаотической автомодуляции излучения инжекционного лазера в автономном и неавтономном режимах. Изв.ВУЗов. Радиоэлектрони ка, 1991. - & II (находится в печати).