Влияние внешних воздействий на смену режимов в бистабильной динамической системе тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Введение

1 Одномерная бистабильная система

1.1 Введение.

1.2 Невозмущенная система. Модель.

1.3 Воздействие типа белого шума.

1.3.1 Аналитическое исследование методом'кумулянтов

1.3.2 Численное моделирование и сравнение результатов

1.4 Периодическое воздействие

1.4.1 Аналитическое исследование для воздействий малой амплитуды.

1.4.2 Примеры периодических воздействий и результаты численного моделирования.

1.5 Воздействие типа динамического хаоса. Аналогия с периодическим воздействием и результаты численного эксперимента

1.6 Выводы.

2 Двумерная бистабильная система Ван-дер-Поля

2.1 Введение.

2.2 Невозмущенная система. Модель.

2.3 Воздействие динамического происхождения.

2.3.1 Аналитическое исследование общего случая методом усреднения.

2.3.2 Генератор Ван-дер-Поля с мягким режимом возбуждения

2.3.3 Генератор Ван-дер-Поля с жестким режимом возбуждения

2.3.4 Генератор Ван-дер-Поля со сложно-жестким режимом возбуждения

2.3.5 Численный эксперимент и область применимости теории.

2.4 Воздействие типа белого шума.

2.4.1 Аналитическое исследование. Примеры.

2.4.2 Результаты численного моделирования.

2.5 Выводы.,.

3 Трехмерная бистабильная система Чуа

3.1 Введение.

3.2 Невозмущенная система. Модель.

3.3 Воздействие динамического происхождения.

3.3.1 Аналитическое исследование для воздействий с высокочастотным спектром

3.3.2 Сравнение результатов численного счета и теории

3.4 Численное моделирование воздействия типа белого шума

3.5 Выводы.

Актуальность темы.

Исследование влияния внешних возмущений на динамику систем является актуальной проблемой современной радиофизики. Внешние и внутренние воздействия различной природы являются неотъемлемой частью реальных физических систем, что обуславливает давний и непрекращающийся интерес к исследованию результатов таких воздействий. Исследование любой реальной системы включает в себя не только написание и изучение ее математической модели, но и моделирование возмущений, которые могут влиять на динамику системы в реальности. В строгом смысле описание диссипативных систем с помощью детерминированных операторов эволюции без учета флуктуаций не корректно и не является полным.

Задача о внешнем возмущении динамических систем необычайно емкая и ее решению посвящено огромное число исследований, начиная с классических работ Ван-дер-Поля, А.А. Андронова и т.д. К настоящему времени данную проблему можно условно разделить на несколько самостоятельных направлений. Среди основных можно выделить статистическое рассмотрение динамических систем, включая статистический анализ цепей и сигналов; вопросы грубости и робаст-ной устойчивости динамических систем; регулярное воздействие на динамические системы, включая вопросы синхронизации, резонансов, хаотизации колебаний и т.д. В последние годы проявляется большой интерес к проблемам хаотической синхронизации, включая вопросы управления хаосом и анализ возможности использования данных эффектов в задачах передачи информации. Изучение и сравнение результатов воздействий разных типов интересно тем, что в конкретных ситуациях не всегда является очевидным, какое воздействие считать статистическим, а какое динамическим.

Воздействие, в зависимости от вида, величины и способа внесения, а также в зависимости от состояния системы, может привести к различным физическим эффектам. Классическая постановка задачи о статистическом рассмотрении динамических систем была дана в [1] и получила развитие применительно к радиофизическим системам в [24]. Статистическое возмущение, например, может привести к фазовым переходам, индуцированным воздействующим шумом и не имеющим места в детерминированной системе [5-9]. Возможен также эффект исчезновения определенной мелкомасштабной структуры бифуркационной диаграммы невозмущенной системы или эффект смещения границ режимов [10-14, 7]. В настоящее время широкое развитие получила теория стохастического резонанса [15-22], а последние исследования подтвердили существование эффекта стохастической синхронизации

23-27, 22].

Как известно, негрубым состояниям, то есть бифуркациям динамической системы, отвечают границы грубых динамических режимов в пространстве параметров. Если некоторое возмущение способно повлиять на негрубые состояния, то одним из результатов воздействия может быть смещение тех или иных бифуркационных границ или всей бифуркационной диаграммы, которое, в свою очередь, может привести и к исчезновению какого-либо режима; с другой стороны, может рассматриваться задача робастной устойчивости системы [28]. Динамическая система, находящаяся вблизи точек бифуркации, обладает повышенной чувствительностью к действию флуктуаций, и если в условиях устойчивого грубого режима возмущение приводит, как правило, лишь к некоторым отклонениям от детерминированного решения, то в негрубых случаях наличие даже малых флуктуаций того или иного типа может существенно изменить режим системы, и в этом случае учет флуктуаций становится принципиальным. Задаче о возмущении негрубых состояний динамических систем и посвящена настоящая диссертационная работа,.

В качестве моделей внешнего возмущения в работе рассматриваются белый шум и динамическое воздействие, включающее в себя периодические, квазипериодические и детерминированные хаотические сигналы. Указанные типы возмущений моделируют широкий класс реальных шумов и помех, имеющих различную природу возникновения.

Что касается периодического возбуждения динамических систем, то данная проблема изучена и представлена в литературе настолько широко, что даже перечисление основных публикаций становится невозможным. Можно лишь отметить, что изучены вопросы синхронизации, захвата частоты, резонансов [29-43], хаотизации периодических колебаний [44-54, 9] и синхронизации хаотических колебаний [5564, 53, 9] при периодическом возмущении системы. Рассмотрение периодических воздействий в настоящей работе ограничивается только нерезонансными случаями, исключающими из рассмотрения указанные колебательные явления. Основное направление настоящего исследования - это хаотические воздействия разных типов, а периодические сигналы, в этой связи, представляют не самостоятельный интерес, а рассматриваются лишь как начальный этап исследования более сложных сигналов. Благодаря исследованиям последних лет явление синхронизации было обобщено на случай хаотической синхронизации [65-76, 22] и установлена возможность применения данного эффекта к задаче передачи информации [77-80]. Однако, как и в случае периодических воздействий, данные явления в настоящей работе не рассматриваются.

Наиболее простыми системами, на примере которых возможно провести исследование смещения бифуркационных границ, являются би-стабильные динамические системы. Здесь предполагается изучение смещения границы моно- и бистабильного режимов в зависимости от типа возмущения и вида бифуркации. В качестве моделей для изучения выбраны следующие бистабильные системы, в том числе и способные генерировать колебания: одномерная бистабильная система с кубической нелинейностью, двумерная система Ван-дер-Поля [81] и трехмерная система Чуа [82-84]. Интерес к изучению бистабильных систем не случаен. Системы подобного типа являются базовыми элементами для построения сетей взаимосвязанных активных элементов [85-91], большой интерес к которым, в свою очередь, связан с разработкой в настоящее время на их базе различных систем обработки информации, изучением динамики нейронных ансамблей [92-94] и т.д. Динамика таких решеточных систем напрямую зависит от динамики базового элемента, который в зависимости от условий задачи может быть подвержен воздействиям той или иной природы. Наряду с этим, данный выбор обусловлен возможностью исследовать смещение границ, соответствующих разным типам бифуркаций: слияния устойчивого и неустойчивого состояний равновесия (однойерный случай); Андронова-Хопфа и двукратного предельного цикла (двумерный случай) ; хаотических аттракторов (трехмерный случай).

Вопросы и проблемы, связанные с внешним воздействием на динамические системы, естественным образом возникают при изучении определенных классов колебательных моделей. Задача расширения имеющихся представлений о явлениях, связанных с влиянием внешних воздействий на динамические системы, как фундаментальных явлениях, есть актуальная проблема современной радиофизики. Приведенный обзор основных направлений исследований позволяет сформулировать цель диссертационной работы, которая заключена в изучении влияния аддитивных возмущений типа белого шума и шума динамического происхождения на смещение бифуркационных границ, разделяющих моно- и бистабильный режимы в динамических системах, на примерах: одномерной системы с кубической нелинейностью, двумерной системы Ван-дер-Поля с полиномиальной нелинейностью и трехмерной системы Чуа.

Научная новизна результатов диссертационной работы заключается в следующем.

1. Применением кумулянтного анализа в гауссовом приближении аналитически построена бифуркационная граница, разделяющая области моно- и бистабильного режимов аддитивно возмущенной белым шумом одномерной бистабильной системы с кубической нелинейностью, проведено сравнение теоретического и численного результатов.

2. Получена аналитическая формула смещенной границы режимов для слабого периодического воздействия произвольной формы и для прямоугольного периодического воздействия произвольной амплитуды. Установлена эквивалентность, по отношению к смещению границы режимов в одномерной бистабильной системе, возмущенной динамическим хаотическим сигналом, динамического хаотического воздействия и периодического воздействия, составленного из отрезков реализации хаотического сигнала определенной временной длины.

3. Обнаружено, что при аддитивном воздействии на систему Ван-дер-Поля сигнала динамического происхождения, область параметров, при которых применимо аналитическое определение границ режимов, шире, чем область применимости метода усреднения для аппроксимации точного решения. Исследованы бифуркационные механизмы в модели, описывающей возмущенный динамическим сигналом генератор Ван-дер-Поля со сложно-жестким режимом возбуждения.

4. Применен метод усреднения Боголюбова к исследованию закона смещения границы, разделяющей области существования двух аттракторов (бистабильный режим) и единого аттрактора (моностабильный режим) в возмущенной динамическим сигналом с высокочастотным спектром асимметричной системе Чуа. Теоретические результаты проверены численным моделированием.

Теоретическая и практическая значимость результатов.

В работе исследовано влияние внешних возмущений различных типов на смену динамических режимов в бистабильных системах на примерах одномерной бистабильной системы, двумерной системы Ван-дер-Поля и трехмерной системы Чуа.

Проведенные исследования интересны с точки зрения развития теории динамических систем при действии внешних возмущений и позволяют дать практические рекомендации по выбору параметров возмущенной бистабильной системы для получения определенного динамического режима в зависимости от вида нелинейности системы и типа внешнего воздействия. Результаты диссертации могут быть полезными при изучении прикладных задач динамики возмущенных биста-бильных систем не только из области радиофизики, но и из области биологии, экономики и др. Полученные результаты использованы в учебном процессе на радиофизическом факультете ННГУ.

Достоверность и обоснованность научных положений и выводов, полученных в диссертации, обеспечивается строгостью применяемого аппарата качественной теории нелинейных колебаний и волн. Достоверность результатов работы подтверждается сопоставлением аналитических результатов и выводов, полученных прямым численным моделированием, а также согласованием некоторых положений и выводов с результатами других авторов.

Апробация результатов и публикации.

Основные результаты диссертации докладывались на: семинарах кафедры теории колебаний ННГУ, научных конференциях ННГУ (19992000), сессиях молодых ученых (Нижний Новгород, 1999-2000 гг.); Международной Школе-Семинаре "Дни Нелинейной Динамики в Нижнем Новгороде-98" (Нижний Новгород, 1998); Научно-технической конференции "Проблемы синхронизации третьего тысячелетия" (Ярославль, 2000). Основные результаты диссертации опубликованы в работах [95103, 112, 113].

Личный вклад автора.

Диссертанту принадлежит участие в постановке задачи, непосредственное проведение теоретических и компьютерных исследований и интерпретация результатов.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации составляет 131 страницу, включая 24 страницы с рисунками. Библиография содержит 113 ссылок на литературные источники.

3.5 Выводы

В данной главе сделана попытка исследования влияния внешних возмущений на смену режимов в трехмерной бистабильной системе Чуа. В данном случае при любом типе внешнего воздействия (белый шум, динамическое возмущение) не представляет труда отождествить режимы возмущенной и невозмущенной систем и рассматривать задачу о смещении границ динамических режимов. Несмотря на различие типов возмущений для всех случаев можно выделить общий и основной принцип смещения бифуркационной границы: при возмущении асимметричной системы Чуа область бистабильности сужается до полного исчезновения при увеличении интенсивности воздействия. Появляется такая область параметров, находясь в которой, система ведет себя как моностабильная в присутствии внешнего воздействия и как бистабильная в отсутствии воздействия.

В основу аналитического исследования системы Чуа, возмущенной динамическим сигналом, был положен метод усреднения Боголюбова. Теоретическое исследование показывает, что влияние высокочастотного сигнала эквивалентно эффективному изменению нелинейности системы Чуа. Теоретические выводы были подтверждены численным моделированием. В численном эксперименте установлена возможность использования усредненной системы, моделирующей решения точной лишь на конечном промежутке времени, для нахождения границ динамических режимов системы Чуа, возмущенной динамическим сигналом с высокочастотным спектром.

В численном эксперименте с воздействием белого шума на систему Чуа показана аналогия смещения границ режимов с низкочастотным динамическим воздействием.

У С

- ——-------

С АН оГ tw 1 .Г— 1 ^ds 1 1 1 ----1-1- СТ 1 Г.1

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005

Рис. 3.10:

Заключение

В настоящей диссертационной рабрте проведено исследование влияния внешних возмущений на смену режимов в бистабильных динамических системах. В качестве моделей использованы одномерная бистабильная система, бистабильная система Ван-дер-Поля и трехмерная бистабильная система Чуа. Данные системы подвергались воздействию аддитивного белого шума и сигналов динамического происхождения (периодические, динамические хаотические). По итогам работы можно сформулировать основные результаты и выводы.

1. Для всех типов воздействующих сигналов и всех типов используемых моделей существует возможность отождествления динамических режимов возмущенных и невозмущенных систем и, следовательно, возможность постановки задачи о смещении границ динамических режимов.

2. Для любого типа внешнего воздействия при возмущении одномерной бистабильной системы граница моно- и бистабильного режимов смещается в сторону бистабильной области, то есть существует такая область параметров, находясь в которой, система ведет себя как моностабильная в присутствии внешнего воздействия и как бистабильная в отсутствии воздействия. Установлено, что для всех типов внешних воздействий результат смещения бифуркационной границы режимов в бистабильной системе может быть обобщен на случай мультистабильной системы, где данная граница будет разделять области с отличающейся на единицу мерой мультистабильности.

3. Для случая возмущения одномерной бистабильной системы белым шумом показана применимость гауссова приближения на начальных этапах движения при использовании кумулянтного анализа к решению подобных задач. При возмущении системы динамическим воздействием установлена эквивалентность, по отношению к смещению границы режимов, динамического хаотического воздействия и периодического воздействия, составленного из отрезков динамической хаотической реализации временной длины равной периоду возвращаемости точки на хаотическом аттракторе.

4. Возмущение системы Ван-дер-Поля сигналом динамического происхождения эквивалентно, по отношению к смещению границ динамических режимов, эффективному изменению нелинейности и приводит к стягиванию и исчезновению области бистабильности при увеличении мощности воздействия, что физически эквивалентно переходу генератора Ван-дер-Поля в мягкий режим возбуждения. При этом установлено, что область параметров, при которых применимо аналитическое определение границ режимов, шире, чем область применимости метода усреднения для аппроксимации точного решения.

5. Установлено, что область бистабильности системы Ван-дер-Поля при ее возмущении белым шумом уменьшается. Показана близость экспериментальных и аналитических результатов, полученных последовательным применением метода усреднения стохастического дифференциального уравнения и кумулянтного анализа t в гауссовом приближении.

6. Показано, что возмущение системы Чуа любым типом внешнего воздействия приводит к смещению границы моно- и бистабильного режимов, при котором область бистабильности сужается до полного исчезновения при увеличении интенсивности воздействия.

7. При возмущении системы Чуа динамическим сигналом с высокочастотным спектром, показана эквивалентность внешнего воздействия, по отношению к смещению границ динамических режимов, эффективному изменению нелинейности системы. Для динамических сигналов с менее высокочастотным спектром найдена аналогия по смещению границ режимов с воздействием белого шума.

1. Понтрягин J1.C., Андронов АА., Витт А А. О статистическом рассмотрении динамических систем // ЖЭТФ, 1933, т. 3, N 3, сс. 165-180.

2. Стратонович P.JT. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. М.: Наука, 1961.

3. Малахов А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. М.: Наука, 1968.

4. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. Случайные процессы. М.: Наука, 1976.

5. Диментберг М.Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний. М.: Наука, 1980.

6. Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы. М.: Мир, 1987.

7. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.

8. Ланда П.С., Заикин А.А. Шумоиндуцированные фазовые переходы в простых системах // ЖЭТФ, 1997, т. 111, сс. 356-364.

9. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, 1997.

10. Бочков Г.Н., Цветов М.А., Шалфеев В.Д. Исследование статистических свойств системы ФАПЧ методом кумулянтов // Динамика систем. Фазовая синхронизация / Под. ред. Ю.И. Неймарка. Горький: Изд-во ГГУ, 1976, сс. 68-75.

11. Кравцов Ю.А., Эткин B.C. К вопросу о роли флуктуационных сил в динамике автостохастических систем: ограниченность времени предсказуемости и разрушение слабых периодических режимов // Изв. вузов. Радиофизика, 1981, т. 24, N 8, сс. 992-999.

12. Кравцов Ю.А., Полянина Г.Д., Эткин B.C. Экспериментальное исследование поведения стохастического генератора под действием внешних шумов // Радиотехника и электроника, 1984, т. 29, N 3, сс. 479-483.

13. Езерский А.В., Кияшко С.В., Реутов В.П. О хаотизации автоколебаний собственными шумами системы // Изв. вузов. Радиофизика, 1985, т. 28, N 9, сс. 1126-1135.

14. Пиковский А.С. О влиянии шумов на статистику хаотических автоколебаний // Изв. вузов. Радиофизика, 1986, т. 29, N 5, сс. 526-530.

15. Benzi R., Sutera A., Vulpiani A. The mechanism of stochastic resonance //J. Phys. A: Math. Gen., 1981, vol. 14, pp. 453-457.

16. Nicolis C. Stochastic aspects of climatic transitions responce to a periodic forcing // Tellus, 1982, vol. 34, pp. 1-9.

17. Benzi R., Parisi G., Sutera A., Vulpiani A. Stochastic resonance in climatic change // Tellus, 1982, vol. 34, pp. 10-16.

18. Gammaitoni L., Marchesoni F., Menichella-Saetta E., Santucci S. Stochastic resonance in bistable systems // Phys. Rev. Lett., 1989, vol. 62, pp. 349-352.

19. Anishchenko V.S., Safonova M.A., Chua L.O. Stochastic resonance in Chua's circuit // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 1992, vol. 2, N 2, pp. 397-401.

20. Anishchenko V.S., Neiman А.В., Safonova M.A. Stochastic resonance in a chaotic systems //J. Stat. Phys., 1993, vol. 70, N 1/2, pp. 183196.

21. Анищенко B.C., Нейман А.Б., Мосс Ф., Шиманский-Гайер JI. Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка // УФН, 1999, т. 169, N 1, сс. 7-39.

22. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика стохастических и хаотических систем. Саратов: Изд-во СГУ, 1999.

23. Neiman A. Synchronizationlike phenomena in coupled stochastic bistable systems // Phys. Rev. Б, 1994, vol. 49, pp. 3484-3488.

24. Shulgin B.V., Neiman А.В., Anishchenko V.S. Mean switching frequency locking in stochastic bistable system driven by a periodic force // Phys. Rev. Lett., 1995, vol. 75, N 23, pp. 4157-4161.

25. Anishchenko V., Neiman A. Stochastic Synchronization // Stochastic dynamics / Eds. L. Schimansky-Geyer and T. Poschel. Berlin: Springer, 1997, pp. 155-166.

26. Анищенко B.C., Нейман А.Б. Стохастический резонанс и стохастическая синхронизация // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 1997, т. 5, N 1, сс. 5-Ю.

27. Neiman A., Silchenko A., Anishchenko V. and Schimansky-Geier L. Stochastic resonance: Noise Enhansed Phase Coherence // Phys. Rev. E, 1998, vol. 58, N 6, pp. 7118-7125.

28. Неймарк Ю.И. Робастная устойчивость линейных непрерывных, дискретных и распределенных систем // Динамика систем. Динамика и управление / Под. ред. Ю.И. Неймарка. Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 1991, сс. 5-20.

29. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. М.: Мир, 1968.

30. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем. М.: Наука, 1971.

31. Белюстина JI.H., Белых В.Н. О неавтономной фазовой системе уравнений с малым параметром, содержащей инвариантные торы и грубые гомоклинические кривые // Изв. вузов. Радиофизика, 1972, т. 15, N 7, сс. 1039-1048.

32. Белюстина JT.H., Белых В.Н. О глобальной структуре разбиения цилиндрического фазового пространства одной неавтономной системы // Дифференциальные уравнения, 1973, т. 9, N 4, сс. 595608.

33. Белых В.Н. О качественном исследовании неавтономного уравнения второго порядка // Дифференциальные уравнения, 1975, т. И, N 10, сс. 1738-1753.

34. Белых В.Н. Рождение грубой двоякоасимптотической траектории в системе с медленно меняющейся переменной // Дифференциальные уравнения, 1975, т. 11, N 11, сс. 2083-2085.

35. Белых В.Н. Динамика автономных и неавтономных систем фазовой автоподстройки частоты // Фазовая синхронизация. М.: Связь, 1975, сс. 83-96.

36. Демьянченко А.Г. Синхронизация генераторов гармонических колебаний. М.: Энергия, 1976.

37. Белых В.Н., Чертков Ю.С. О сложных структурах неавтономной периодической кусочно-линейной системы на цилиндре // Прикладная математика и механика, 1977, т. 41, N 1, сс. 173-178.

38. Belykh V.N., Pedersen N.F., Soerensen О.Н. Shunted Josephson Junction Model. Part II. Nonautonomouse case // Phys. Rev. B, 1977, vol. 16, N 11, pp. 4860-4871.

39. Белых B.H. Качественные методы теории нелинейных колебаний сосредоточенных систем. Учебное пособие. Горький: Изд-во ГГУ,1980.

40. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом стеSпеней свободы. М.: Наука, I960.

41. Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике. М.: Наука,1981.

42. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.

43. Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю.С., Шильников Л.П. Теория бифуркаций // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления / Под ред. В.И. Арнольда. М.: ВИНИТИ, 1986, т. 5, сс. 5-128.

44. Levi М. Qualitative analysis of the periodically forced relaxation oscillations // Mem. of Amer. Math, soc., 1980, vol. 32, N 244.

45. Дмитриев А.С., Кислов В.Я. Странный аттрактор в неавтономном уравнении Ван-дер-Поля // Радиотехника и электроника, 1982, т. 27, N 12, сс. 2454-2456.

46. Parker S., Chua L.O. A computer-assisted study of'forced relaxation oscillations // IEEE Trans, on Circuits and Systems, 1983, CAS-30, N 8, pp. 518-533.

47. Анищенко B.C., Астахов В.В. Бифуркационные явления в автостохастическом генераторе при внешнем регулярном воздействии // ЖТФ, 1983, т. 53, N 11, сс. 2165-2170.

48. Kaneko К. Doubling of torus // Progr. Theor. Phys. Japan, 1983, vol. 69, N 6, pp. 1806-1810.

49. Kaneko K. Oscillations and doubling of torus // Progr. Theor. Phys. Japan, 1984, vol. 72, N 2, pp. 202-215.

50. Анищенко B.C., Летчфорд Т.Е., Сафонова M.A. Эффекты синхронизации и бифуркации синхронных и квазипериодических колебаний в неавтономном генераторе // Изв. вузов. Радиофизика, 1985, т. 28, N 9, сс. 1112-1125.

51. Базаева Л.Г., Капцов JT.H., Ланда П.С. Порог синхронизации как критерий стохастичности в генераторе с инерционной нелинейностью // ЖТФ, 1986, т. 56, N 9, сс. 1849-1853.

52. Базаева JI.Г., Капцов Л.Н., Ланда П.С. Исследование хаотической модуляции колебаний в генераторе с инерционной нелинейностью при параметрическом внешнем воздействии // Радиотехника и электроника, 1987, т. 32, N 3, сс. 647-650.

53. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.

54. Дмитриев А.С., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 1989.

55. Дудник Е.Н., Кузнецов Ю.И., Минакова И.И., Романовский Ю.М. Синхронизация в системах: со странным аттрактором // Вестник МГУ. Сер. Физика, астрономия, 1983, т. 24, N 4, сс. 8487.

56. Кузнецов Ю.И., Мигулин В.В., Минакова И.И., Сильнов Б.А. Синхронизация хаотических автоколебаний / / ДАН СССР, 1984, т. 275, N 6, сс. 1388-1391.

57. Кузнецов Ю.И., Ланда П.С., Ольховой А.Ф., Перминов С.М. Связь между амплитудным порогом синхронизации и энтропией в стохастических автоколебательных системах // ДАН СССР, 1985, т. 281, N 2, сс. 291-294.

58. Кузнецов Ю.И., Ланда П.С., Ольховой А.Ф., Перминов С.М. Амплитудный порог синхронизации как мера хаоса в стохастических автоколебательных системах // ДАН СССР, 1985, т. 281, N 2, сс. 1164-1169.

59. Кузнецов Ю.И., Минакова И.И., Сильнов Б.А. Поведение генератора хаотических колебаний при внешнем периодическом воздействии // Вестник МГУ. Сер. Физика, астрономия, 1986, т. 27, N 2, сс. 44-46.

60. Ланда П.С., Перминов С.М. Взаимодействие периодических и стохастических автоколебаний // Изв. вузов. Радиофизика, 1985, т. 28, N 4, сс. 424-428.

61. Ланда П.С., Перминов С.М. Синхронизация хаотических колебаний в системе Маккея-Гласса // Изв. вузов. Радиофизика, 1987, т. 30, N 4, сс. 437-439.

62. Ланда П.С., Рендель Ю.С., Шер В.Ф. Синхронизация колебаний в системе Лоренца // Изв. вузов. Радиофизика, 1989, т. 32, N 9, сс. 1172-1174.

63. Dykman G.I., Landa P.S., Neimark Yu.I. Synchronizing of chaotic oscillations by external force // Chaos, Solitons and Fractals, 1992, vol. 1, N 4, pp. 339-353.

64. Rosenblum M.G. A characteristic frequency of chaotic dynamical system // Chaos, Solitons and Fractals, 1993, vol. 3, N 6, pp. 617-626.

65. Аншценко B.C., Постнов Д.Э. Эффект захвата базовой частоты хаотических автоколебаний. Синхронизация странных аттракторов // Письма в ЖТФ, 1988, т. 14, N 6, с. 569.

66. Афраймович B.C., Веричев Н.Н., Рабинович М.И. Стохастическая синхронизация колебаний в диссипативных системах / / Изв. вузов. Радиофизика, 1986, т. 29, N 9, сс. 1050-1060.

67. Волковский А.Р., Рульков Н.Ф. Экспериментальное исследование бифуркаций на пороге стохастической синхронизации / / Письма в ЖТФ, 1989, т. 15, N 7, сс. 5-10.

68. Pecora L., Carrol Т. Synchronization of chaotic systems // Phys. Rev. Lett., 1990, vol. 64, pp. 821-823.

69. Аншценко B.C., Вадивасова Т.Е., Постнов Д.Э., Сафонова M.A. Вынужденная и взаимная синхронизация хаоса // Радиотехника и электроника, 1991, т. 36, N 2, сс. 338-351.

70. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Postnov D.E., Safonova M.A. Synchronization of chaos // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 1992, vol. 2, N 3, pp. 633-644.i

71. Chua L., Itoh M., Kocarev L., Eckert K. Chaos synchronization in Chua's circuit // Chua's circuit: A Paradigm for Chaos / Ed. by R.N. Madan. Singapore: World Scientific, 1993, pp. 309-324.

72. Rulkov N.F., Sushchik M.M., Tsimring L.S., Abarbanel H.D.I. Generalized synchronization of chaos in unidirectionally coupled chaotic systems // Phys. Rev. A, 1995, vol. 51, pp. 980-995.

73. Abarbanel H.D.I., Rulkov N.F., Sushchik M.M. Generalized synchronization of chaos. The auxiliary system approach // Phys. Rev. E,1996, vol. 53, pp. 4528-4535.

74. Rosenblum M., Pikovsky A., Kurths J. Phase synchronization of chaotic oscillators // Phys. Rev. Lett., 1996, vol. 76, pp. 1804-1807.

75. Pikovsky A., Rosenblum M., Kurths J. Effects of phase synchronization of chaotic oscillators // IEEE Trans, on Circuits and Systems,1997, CAS-I.

76. Шалфеев В.Д., Осипов Г.В., Козлов А.К., Волковский А.Р. Хаотические колебания генерация, синхронизация, управление // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники, 1997, N 10, сс. 27-49.

77. Дмитриев А.С. Хаос и обработка информации в нелинейных динамических системах // Радиотехника и электроника, 1993, т. 38, N 1, сс. 1-24.

78. Вельский Ю.Л., Дмитриев А.С. Передача информации с использованием детерминированного хаоса // Радиотехника и электроника, 1993, т. 38, N 7, сс. 1310-1315.

79. Дмитриев А.С., Панас А.И., Старков С.О. Динамический хаос как парадигма современных систем связи // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники, 1997, N 10, сс. 4-26.

80. Андреев Ю.В., Дмитриев А.С., Куминов Д.А. Хаотические процессоры // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники, 1997, N 10, сс. 50-79.

81. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981.

82. Chua L.O., Komuro М., Matsumoto Т. The double scroll family // IEEE Trans, on Circuits and Systems, 1986, CAS-33, N 1-2, pp. 10731118.

83. Мацумото Т. Хаос в электронных схемах // IEEE Trans, on Circuits and Systems (пер. с англ.), 1987, т. 75, N 8, Тематический выпуск. Хаотические системы, сс. 66-87.

84. Chua's circuit: A Paradigm for Chaos / Ed. by R.N. Madan.

85. Singapore: World Scientific, 1993.t

86. Арансон И.С., Гапонов-Грехов А.В., Рабинович М.И., Рогальский А.В., Сагдеев Р.В. Решеточные модели в нелинейной динамике неравновесных сред // Препринт N 163, Горький, ИПФ АН СССР, 1987.

87. Nekorkin V.I., Chua L.O. Spatial disorder and wave fronts in a chain of coupled Chua's circuits // Int. J. Bifurcation and Chaos, 1993, vol. 3, pp. 1281-1291.

88. Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации / Афраймович B.C., Некоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Горький: Изд-во ИПФ АН СССР, 1989.

89. Хакен Г. Информация и самоорганизация. Макроскопический подход к сложным системам. М.: Мир, 1991.

90. CNNA'96 // 1996 Fourth IEEE International Workshop on Cellular Neural Networks and their Applications. Proceedings, Sevilla, Spain, 1996.

91. Nekorkin V.I., Makarov V.A. Spatial chaos in a chain of coupled bistable oscillators // Phys. Rev. Lett., 1995, vol. 74, N 24, pp. 48194822.

92. Marquie P., Binczak S., Comte J.C., Michaux B. and Bilbault J.M. Diffusion effects in a nonlinear electrical lattice // Phys. Rev. C, 1998.

93. Борисюк Г.Н., Борисюк P.H., Казанович Я.Б., Лузянина Т.Б., Ту-рова Т.С., Цембалюк Г.С. Осцилляторные нейронные сети. Математика и приложения // Математическое моделирование, 1992, т. 4, N 1, сс. 65-77.

94. Абарбанель Г.Д.И., Рабинович М.И., Селверстон А., Баженов М.И., Хуэрта Р., Сущик М.М., Рубчинский JI.J1. Синхронизация в нейронных ансамблях // УФН, 1996, т. 166, N 4, сс. 363-390.

95. Murray J.D. Mathematical Biology. Berlin: Springer, 1993.

96. Сергеев О.С. О смене режимов в бистабильной системе с шумом // Вестник ННГУ. Сер. Радиофизика, 1998, N 1, сс. 151-154.

97. Сергеев О.С. О влиянии шума на смену режимов в бистабильной системе // Тезисы докладов Четвертой нижегородской сессии молодых ученых, Нижний Новгород, 1999, сс. 72-73.

98. Сергеев О.С., Шалфеев В.Д., Матросов В.В. О влиянии шума на динамику системы вблизи бифуркации слияния состояний равновесия // Труды Третьей научной конференции по радиофизике, ННГУ, 1999, сс. 107-108.

99. Sergeev O.S., Shalfeev V.D., Forti G.L. Bistable dynamical system with external periodic influence // Preprint, Univ. of Milano, Dept. of mathematics, 2000.

100. Sergeev O.S., Shalfeev V.D., Forti G.L. Bistable dynamical system with external white noise and dynamical chaos influence // Preprint, Univ. of Milano, Dept. of mathematics, 2000.

101. Сергеев О.С. О влиянии внешнего периодического сигнала на смену режимов в бистабильной системе // Тезисы докладов Пятой нижегородской сессии молодых ученых, Нижний Новгород, 2000, сс. 41-42.

102. Sergeev O.S. About dynamical influence on bistable dynamical system // Труды Четвертой научной конференции по радиофизике, ННГУ, 2000, сс. 120-121.

103. Сергеев О.С. Влияние внешнего динамического воздействия на бистабильную систему // Тезисы докладов Научно-технической конференции " Проблемы синхронизации третьего тысячелетия", Ярославль, 2000, сс. 86-87.

104. Сергеев О.С. Бистабильная система с внешним динамическим воздействием // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2000, N 5, сс. 48-56.

105. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований. М.: Советское радио, 1978.

106. Никитин Н.Н., Разевиг В.Д. Методы цифрового моделирования стохастических дифференциальных уравнений и оценка их погрешностей // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1978, т. 18, N 1, сс. 106-117.

107. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. М.: Радио и связь, 1991.

108. Камке Е. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1978.

109. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972.

110. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. M.-JL: Гостехиздат, 1947.

111. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: Наукова думка, 1971.

112. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972.

113. Sergeev O.S., Shalfeev Y.D., Forti G.L. Bistable dynamical system with external influence // International Conference dedicated to the 100th Anniversary of A. A. Andronov, Nizhny Novgorod, Russia, July 2-6, 2001, pp. 321-322.

114. Сергеев О.С. Влияние шума на смену режимов в системе Ван-дер-Поля // Изв. вузов. Радиофизика (в печати).