Эффекты синхронизации во взаимодействующих бистабильных системах с удвоением периода

Стальмахов, Петр Андреевич

Эффекты синхронизации во взаимодействующих бистабильных системах с удвоением периода тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Стальмахов, Петр Андреевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Саратов МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Эффекты синхронизации во взаимодействующих бистабильных системах с удвоением периода»

Автореферат диссертации на тему "Эффекты синхронизации во взаимодействующих бистабильных системах с удвоением периода"

На правах рукописи

Ож^лштсаЬ

СТАЛЬМАХОВ Петр Андреевич

ЭФФЕКТЫ СИНХРОНИЗАЦИИ ВО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ БИСТАБИЛЬНЫХ СИСТЕМАХ С УДВОЕНИЕМ ПЕРИОДА

01.04.03 - радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов - 2006

Работа выполнена на кафедре радиофизики и нелинейной динамики Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Астахов Владимир Владимирович

Официальные оппоненты:

член - корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Трубецков Дмитрий Иванович;

кандидат физико - математических наук, доцент Розанов Александр Владимирович.

Ведущая организация:

Саратовское отделение института радиотехники и электроники РАН

Защита состоится 29 июня 2006 года в ^ : ООна заседании диссертационного совета Д.212.243.01 в Саратовском Государственном Университете (410026, г.Саратов, ул. Астраханская, 83).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Саратовского госуниверситета.

Автореферат разослан "&6" мая 2006г.

Ученый секретарь диссертационного совета:

Аникин В.М.

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Исследование явления синхронизации в ансамблях взаимодействующих систем с периодическим, квазипериодическим и хаотическим поведением на протяжении многих лет является актуальной задачей радиофизики. Изучение эффектов синхронизации, условий и механизмов их возникновения в базовых моделях нелинейной динамики имеет большое фундаментальное и прикладное значение не только для современной радиофизики, но и многих других областей науки.

В последние десятилетия особенно интенсивно проводились исследования явления синхронизации хаоса и в этом направлении достигнут довольно высокий уровень понимания, существенный вклад в который внесли работы Т. Yamada, Н. Fujisaka, A.C. Пиковского, С.П. Кузнецова, B.C. Афраймовича, H.H. Веричева, М.И. Рабиновича, В.Д. Шалфеева, В.Н. Белых, B.C. Анищенко, Т.Е. Вадивасовой, Д.Э. Постнова, М.А. Сафоновой, A.C. Дмитриева, С.О. Старкова, Б.П. Безручко, Е.П. Селезнева, В.И. Пономаренко, Ю.Л. Майстренко, М. Hasler, Т. Kapitaniak, В.И. Некоркииа, L.Pecora, Т. Carroll, Н. Рулькова, П.С. Ланда, Ю.И. Ней-марка, М. Розенблюма, J. Kurths, Г. Осипова, М. Закса, В.Б. Казанцева. P.Grassberger, Р. Ashwin, E.Ott, Y.-C. Lai, С. Grebogi, J. Alexander, J. Yorke, L. Kocarev.

Среди различных видов синхронизации взаимодействующих хаотических систем наиболее простым является полная синхронизация хаоса. Она наблюдается в полностью идентичных связанных системах и характеризуется полным совпадением состояний систем во времени. Для данного типа синхронизации хаоса были выявлены условия возникновения и типичные бифуркационные механизмы потери синхронизации, обнаружены эффекты «пузыренияз- аттрактора и «изрешечивания» бассейнов притяжения, сопровождающие процесс потери синхронизации. Для связанных систем с бифуркациями удвоения периода было установлено, что потеря синхронизации хаоса и формирование фазовой мульти-стабильности происходит в результате последовательности одинаковых бифуркаций на базе одного и того же семейства седловых циклов, расположенных в симметричном подпространстве полного фазового пространства связанных систем. Не смотря на достаточно детальное изучение явлений полной синхронизации хаоса и фазовой мультистабильности в связанных системах с бифуркациями удвоения периода, ряд вопросов остается не исследованным в полной мере. В основном данные явления

исследовались во взаимодействующих системах с одним состоянием равновесия. Однако имеется достаточно важный класс бистабильных систем, обладающих симметрией относительно преобразования координат (I : х —х), применительно к которым явление полной синхронизации хаоса и фазовой мультистабильности исследовано значительно хуже. Примерами таких систем является ряд хорошо известных базовых моделей нелинейной динамики - одномерное дискретное кубическое отображение, двумерное дискретное отображение Холмса, осциллятор Дуф-финга, генератор Чуа. Подобные бистабильные системы широко использовались, например, при изучении эффекта стохастического резонанса, при исследовании вынужденной и взаимной синхронизации времен переключений между бистабильными состояниями. Вместе с тем является важным и актуальным исследование эффектов синхронизации в таких взаимодействующих бистабильных системах с удвоениями периода. Их поведение является более сложным и разнообразным, по сравнению со связанными системами, имеющими одно состояние равновесия. В них возможны режимы не только полной синфазной, но и полной противофазной синхронизации хаоса, более развитой является фазовая муль-тистабильность. Системы с подобным поведением интересны не только с фундаментальной, но и с прикладной точки зрения: при разработке новых методов скрытой передачи информации. Для связанных бистабильных систем с удвоениями периода плохо изучены вопросы управляемой синфазной и противофазной синхронизации хаоса, задачи реализации того или иного режима синхронизации в зависимости от типа связи. Не выявлены бифуркационные механизмы формирования симметричных хаотических предельных множеств, соответствующих режимам противофазной синхронизации, и возможные бифуркационные сценарии потери противофазной синхронизации хаоса. Не рассматривались режимы полной и частичной синхронизации в цепочках бистабильных систем с удвоением периода. Не ставилась задача о синхронизации времен переключения между бистабильными состояниями методами управления хаосом.

Таким образом, цель диссертационной работы заключается в изучении эффектов синхронизации и фазовой мультистабильности во взаимодействующих бистабильных системах с удвоением периода. Приоритетными задачами являются:

1) изучение полной синфазной и полной противофазной синхронизации хаоса в диффузионно связанных кубических отображениях;

2) исследование бифуркационных механизмов потери управляемой противофазной синхронизации хаоса;

3) изучение полной и частичной синхронизации хаоса в; цепочке связанных бистабильных систем с удвоением периода;

4) исследование стохастической синхронизации переключений между бистабильными состояниями в связанных осцилляторах Дуффинга при внешнем периодическом и шумовом воздействии с помощью периодической модуляции параметра связи.

Научная новизна:

• установлено, что динамика диффузионно связанных кубических отображений в противофазном подпространстве (х — —у) имеет существенные отличия от динамики в синфазном подпространстве: бифуркации удвоения орбит в трансверсальном направлении к подпространству (х — —у) происходят раньше, чем бифуркации удвоения орбит в тангенциальном направлении; вследствие этого в диффузионно связанных дискретных бистабильных отображениях устойчивыми могут быть только периодические орбиты, у хаотического предельного множества трансверсальный ляпуновский показатель всегда будет больше нуля и режимы собственной противофазной синхронизации хаоса наблюдаться не могут; на плоскости управляющих параметров области устойчивости регулярных синхронных противофазных режимов разделены областями неустойчивости последних;

• показано, что во взаимодействующих бистабильных системах потеря режима полной синфазной синхронизации хаоса, которому соответствует объединенный синхронный хаотический аттрактор в подпространстве х = у, ведет к появлению режимов полной противофазной синхронизации, что соответствует образованию предельных множеств в антисимметричном подпространстве х = —у;

• установлено, что в двух диффузионно связанных бистабильных отображениях устойчивый режим полной противофазной синхронизации хаоса можно обеспечить, используя методы управления хаосом, а именно, с помощью дополнительной управляющей связи;

• обнаружен новый бифуркационный сценарий потери синхронизации, а именно, показано, что при небольшой асимметрии управляющих воздействий на подсистемы бифуркационный сценарий, в результате которого режим противофазной синхронизации хаоса становится негрубым, существенно отличается от уже известных сценариев;

• показано, что в кольце из трех кубических отображений режим ча-

стичной синхронизации хаоса соответствует режиму обобщенной синхронизации, когда колебания в двух осцилляторах идентичны друг другу, а в третьем связаны с ними через некоторую детерминированную функцию;

• показано, что параметрическая накачка на элемент связи в двух взаимодействующих осцилляторах Дуффинга под внешним периодическим воздействием в присутствие шума приводит к взаимной синхронизации процессов переключений между двумя бистабильными хаотическими аттракторами.

Достоверность научных выводов работы подтверждается использованием при численных расчетах отработанных численных методов и стандартных программ, а также их воспроизводимостью. Результаты проведенных экспериментов соответствуют теоретическим предпосылкам и исследованиям, проводимых по смежным работам.

Положения и результаты, выносимые на защиту.

1. Выход из режима управляемой противофазной синхронизации хаоса происходит по тому же бифуркационному сценарию, что и разрушение синфазной синхронизации в системах с диффузионной связью: через последовательность бифуркаций удвоения периода и субкритической бифуркации вил.

2. Асимметрия управляющей связи существенным образом меняет сценарий разрушения противофазной синхронизации, который в этом случае происходит через последовательность седло - репеллерной и транскритической бифуркации. При сильной асимметрии связи эта последовательность бифуркаций приводит к явлению изрешечивания бассейна притяжения синхронного хаотического аттрактора.

Научно-практическая значимость результатов.

В работе выполнено исследование, относящееся к фундаментальным вопросам современной радиофизики и нелинейной динамики. Научно-практическая значимость состоит в том, что полученные результаты детального описания режимов и бифуркационных переходов в базовых моделях нелинейной динамики представляют интерес в радиофизике и могут найти применение при решении задач, связанных с анализом сложных и практически важных систем и ансамблей хаотических генераторов. Полученные результаты также могут быть использованы при создании радиофизических устройств, в которых используются эффекты синхронизации и методы управления хаотическими колебаниями. Опи-

санные в работе эффекты и новые бифуркационные механизмы имеют методическое значение и могут быть использованы в курсах лекций по теории синхронизации и теории динамического хаоса.

Исследования, проведенные в ходе выполнения диссертационной работы были частично поддержаны грантами РФФИ 00-02-17512-а и CRDF REC-006.

Апробация работы и публикации.

Основные результаты работы докладывались на конференции «CHAOS'Ol» (Саратов, 2001), конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (Саратов, 2003), конференции «CHAOS'04» (Саратов, 2004), конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (Саратов, 2005), а также на научных семинарах лаборатории нелинейной динамики СГУ. Материалы диссертационной работы обсуждались на научных семинарах кафедры радиофизики и нелинейной динамики СГУ. По теме диссертации опубликовано 8 работ (4 статей и 4 тезисов докладов).

Личный вклад автора.

Основные результаты, на которых базируется диссертация, получены лично автором. В указанных работах автору принадлежит проведение численного моделирования и анализ результатов, а также частично постановка задач и проведение теоретического анализа. При проведении моделирования использовались не только стандартные программные пакеты, но и программы написанные автором.

Содержание работы

Материалы диссертации изложены на 154 страницах, содержат 49 рисунков и список цитированной литературы из 150 наименований. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитированной литературы.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели и задачи исследования, а также достоверность, научная новизна и практическая значимость полученных результатов. Приводятся положения выносимые на защиту.

В первой главе рассматриваются явления полной синхронизации и фазовой мультистабильности во взаимодействующих одномерных кубических.

Исследование динамики двух диффузионно связанных бистабильных отображений с бифуркациями удвоения периода показало, что их пове-

дение является более сложным и разнообразным, по сравнению с взаимодействующими системами,не обладающими указанной симмерией. В них наблюдаются явления полной синфазной и полной противофазной синхронизации, более развитая фазовая мультистабильность. Здесь имеет место уже не одно, а четыре различных семейства мультистабильных регулярных и хаотических состояний. Два из них формируются в окрестности синфазного, симметричного подпространства, и еще два - в окрестности противофазного подпространства. Последовательности бифуркаций, которые ведут к появлению мультистабильных состояний в окрестности противофазного подпространства, несколько отличаются от бифуркационных сценариев формирования мультистабильности в окрестности синфазного подпространства.

Исследования проведены на примере системы диффузионно связанных кубических отображений вида:

где /(х) = (а — 1)х — ах3, о - управляющий параметр парциальной системы, 7 - коэффициент связи.

В диффузионно связанных кубических отображениях наблюдаются режимы полной синфазной синхронизации хаоса, которым соответствуют хаотические аттракторы, расположенные в симметричном подпространстве х = у. Анализ ляпуновских показателей для синфазных колебаний показал, что тангенциальный и трансверсальный показатель Ляпунова связаны выражением:

из которого видно, что для малой положительной связи (0 < 7 < 0.5) трансверсальный Ляпуновский показатель значительно меньше, чем тангенциальный показатель Ляпунова. Следовательно, любое периодическое движение в симметричном подпространстве устойчиво в трансвер-сальном направлении. Хаотические колебания в симметричном подпространстве также будут устойчивы, но при значениях связи выше некоторого порогового значения.

Потеря синхронизации хаоса обусловлена бифуркациями основного семейства седловых периодических орбит, встроенных в синхронный хаотический аттрактор. Цепочки бифуркаций на базе этих орбит ведут не

Я?п+1 = /(хп) +7(/(Уп) - /(хп)) Уп+1 = Дг/п) +7(/(яп) - /(у«)),

(1)

А± = Ат + /п|(1 — 27)1,

(2)

только к потери полной синфазной синхронизации хаоса, но и к формированию мультистабильных состояний в окрестности синфазного, симметричного подпространства. Во взаимодействующих бистабильных системах потеря режима полной синфазной синхронизации хаоса, которому соответствует объединенный синхронный хаотический аттрактор в подпространстве х = у, ведет к появлению режимов полной противофазной синхронизации, что соответствует образованию предельных множеств в антисимметричном (противофазном) подпространстве х = —у. Динамика диффузионно связанных кубических отображений в противофазном подпространстве (ж = —у) имеет существенные отличия от динамики в синфазном подпространстве: бифуркации удвоения периода орбит в транс-версалыюм направлении к подпространству (х = —у) происходят раньше, чем бифуркации удвоения периода орбит в тангенциальном направлении. На плоскости управляющих параметров области устойчивости регулярных синхронных противофазных режимов разделены областями неустойчивости последних.

Проведен анализ устойчивости синхронных противофазных движений и найдена связь между тан-

Рис. 1: Зависимость тангенциалыюго по-генциальным и трансверсальным казатадя Ляпунова (а) и бифуркационная

показателем Ляпунова: диаграмма (б) для режимов в антисим-

метричном подпространстве в зависимо-А± = Л,, - 1п\1 - 2Т|, (3) сти от значений коэффициента связи 7 при

о = 3.8.

Следствием данного соотношения является тот факт, что линии потери устойчивости в трансверсальном направлении идут на плоскости параметров ниже линий потери устойчивости в тангенциальном направлении. Выше линии перехода к хаосу, в антисимметричном подпространстве формируется хаотическое предельное множество, тангенциальный показатель Ляпунова для которого всегда больше нуля. При этом, со-

(

гласно соотношению (3), трансверсальный показатель Ляпунова также больше нуля (рис.1). Поэтому противофазные хаотические колебания в системе диффузионно связанных отображений не могут быть трансвер-сально устойчивыми. Режим противофазной самосинхронизации хаоса в них не существует.

Вторая глава посвящена исследованию возможностей осуществления управляемых переходов к режимам противофазной синхронизации хаоса и выявлению бифуркационных механизмов стабилизации симметричных хаотических множеств в трансверсальных направлениях. С этой целью используется метод управления с помощью дополнительной обратной связи. Рассмотрено несколько способов управляющего воздействия на исходную систему, а именно, однонаправленного и взаимного воздействия между подсистемами. Выявлены существенные различия в бифуркационных механизмах стабилизации синхронных противофазных движений при первом и втором способе управления. Обнаружен новый бифуркационный сценарий потери полной противофазной синхронизации хаоса.

В результате проведенных исследований установлено, что в двух диффузионно связанных бистабильных отображениях устойчивый режим полной противофазной синхронизации хаоса можно обеспечить, используя методы управления хаосом, а именно, с помощью дополнительной управляющей связи. Уравнения системы в этом случае имеют следующий вид:

х„+1 = f{xn) + l{f{yn)~ f{xn)) + r{f(xn) +f(yn)),

уп+1 -■= ДУп) + 7(/Ы-/Ы)+МД*п) + /Ы) (4)

где г - коэффициент дополнительной управляющей связи, 5 - параметр асимметрии дополнительной управляющей связи.

Стабилизация синхронных колебаний происходит в ограниченной области значений управляющего параметра. Устойчивый режим противофазной синхронизации хаоса возникает как в случае симметричных управляющих воздействий на подсистемы (при взаимной управляющей связи), так и в случае различных асимметричных управляющих воздействий S ф 1 (вплоть до однонаправленной управляющей связи, случай так называемой «master - slave system», когда 6 = 0). При взаимной, симметричной связи и при однонаправленной управляющей связи имеются различия в размерах области противофазной синхронизации хаоса: при переходе к однонаправленной связи область синхронизации увели-

чивается.

Показано, что при симметричной управляющей связи потеря полной противофазной синхронизации хаоса происходит по тому же бифуркационному сценарию, что и потеря синфазной синхронизации хаоса. Наблюдается такал же последовательность бифуркаций и также на базе основного семейства седловых периодических орбит, формирующих скелет синхронного хаотического аттрактора. Однако в случае потери полной противофазной синхронизации хаоса до бифуркации прорыва наблюдается только «пузырящееся» поведение, изрешечивания бассейна притяжения хаотического аттрактора не происходит. В то время как при потери синфазной синхронизации хаоса до бифуркации прорыва наблюдаются и пузырящий, и изрешечивающие бифуркационные переходы. Объясняется это тем, что в случае потери противофазной синхронизации бифуркация прорыва происходит еще до бифуркации седловой периодической орбиты, индуцирующей изрешечивающий переход.

При исследовании явления полной противофазной синхронизации хаоса в бистабильных системах с асимметричной, невзаимной управляющей связью обнаружен новый бифуркационный сценарий потери синхронизации. При небольшой асимметрии управляющих воздействий на подсистемы с уменьшением управляющего параметра г процесс потери полной противофазной синхронизации хаоса происходит через пузырящийся переход. Изрешечивания бассейна притяжения синхронного хаотического аттрактора не наблюдается.

В этом случае бифуркационный сценарий, в результате которого режим синхронизации хаоса становится негрубым, существенно отличается от уже известных сценариев, и выглядит следующим образом. Вначале в окрестности синхронного противофазного подпространства рождается седло-репеллер. С уменьшением параметра г седло удаляется от синхронного хаотического аттрактора, а репеллер приближается к седловой неподвижной точки Сю, встроенной в хаотический аттрактор. Затем они взаимодействуют и в результате транскритической бифуркации обмениваются устойчивостью. Седловая точка Сю превращается в репеллер, а репеллер Су - в седло. Такая последовательность бифуркаций неустойчивых неподвижных точек ведет к пузырящемуся переходу. Однако по мерю увеличения асимметрии управляющих воздействий на подсистемы эта же последовательность бифуркаций неустойчивых неподвижных точек может вместо пузырящегося перехода индуцировать изрешечивающий переход. Здесь дело в том, что, начиная с некоторого значения парамет-

ра асимметрии связи, неподвижная точка седло-репеллер рождается не внутри бассейна притяжения синхронного хаотического аттрактора, а на его границе. Репеллер, перемещаясь к хаотическому аттрактору, «тянет» за собой границу бассейна притяжения. В этом случае транскритическая бифуркация при взаимодействии репеллера с седлом, встроенным в хаотический аттрактор, ведет к изрешечиванию бассейна притяжения.

В третья главе рассмотрена цепочка кубических отображений с периодическими граничным условиями состоящая из трех звеньев:

Хп+1 = /(х п) + т{1{Уп

Уп+1 = /Ы + 7(/Ы - 2/Ы + /(*„)) (5)

= /Ы +7(/(®„) - 2/(г„) + /(у«))

В ходе исследования было обнаружено, что в кольце из трех кубических отображений в зависимости от величины связи существуют как режимы полной синфазной синхронизации хаоса, при которых колебания во всех трех осцилляторах идентичны, так и режимьгчастичной синхронизации, когда колебания в двух осцилляторах идентичны друг другу, а в третьем отличаются от первых двух.

Исследование бифуркационного механизма разрушения режима полной синхронизации хаоса показало, что потеря трансверсалыюй устойчивости синхронным хаотическим аттрактором происходит в результате вырожденной бифуркации прорыва, при которой сразу два трансвер-сальных показателя Ляпунова становятся положительными. Эта бифуркация предваряется серией вырожденных бифуркаций удвоения периода седловых периодических орбит основного семейства, результатом которых является формирование в аттракторе областей локальной транс-версальной неустойчивости, что в свою очередь приводит к негрубости режима хаотической синхронизации.

Наблюдаемые в подпространстве частичной симметрии многоленточные хаотические аттракторы соответствуют определению частично синхронного хаоса, поскольку переменные х, у и г демонстрируют хаотическое поведение и удовлетворяют соотношениям (х = у, х ф — г, х ф у), (у = г, у ф х). Однако, переменные х и г, хотя и не являются синхронными с точки зрения определения полной синхронизации, тем не менее и не являются независимыми друг от друга. По виду фазовых портретов можно предположить, что между ними существует некоторая функциональней взаимосвязь гп = д(хп), и данный режим представля-

0 0,1 0,2 0.3 0,4 0,5 f

0,1 0.2 0,3 0,4 0,5 f

Рис. 2: Спектры мощности (а) и функция взаимной когерентности (б) построенные для режима четырехленточного хаотического аттрактора (7 = 0.112) по временным реализациям х„ и г„.

ет собой режим обобщенной синхронизации хаоса1. Чтобы проверить это предположение, была построна функция взаимной когерентности между колебаниями х и z, а также их спектры мощности. Анализ хаотической синхронизации с использованием функции когерентности дает количественную оценку синхронизации от 0 (для несинхронных колебаний) до 1 (для полностью синхронных). На рис, 2 приведены спектры мощности колебаний Рх и Гг, построенные по реализациям хп и zn:

Р*.. = (FX,M

(здесь FXtZ(f) - преобразование Фурье от х и z, (...)- усреднение по ансамблю реализаций), а также функция когерентности:

с = (ШЩШ у/ШШ)

Таким образом, анализ спектральных характеристик сигналов х и z показывает, что в результате каскада бифуркаций удвоения периода в подпространстве частичной симметрии формируется хаотический аттрактор, соответствующий режиму обобщенной синхронизации хаоса. Поскольку независимой переменной в этом случае является только одна, а остальные две выражаются через нее посредством детерминированных функций, пространство вложения для хаотического аттрактора остается одномерным, как и в случае полной синхронизации хаоса. Можно сказать, что с точки зрения согласованности колебаний подсистем данный

'Abarbanel H.D.I., Rulkov N.F., Sushchik M.M., Generalized synchronization of chaos: The auxiliary system approach, Phys. Rev. E, v. S3, p. 4528, 1996.

режим является не менее синхронным, чем режим полной синхронизации хаоса. Нарушение трансверсальной к подпространству 1\ устойчивости (бифуркация прорыва) ведет сразу как к рассинхронизации между осцилляторами х и у, так и между х и г, то есть пространство вложения становится трехмерным.

В четвертой главе рассмотрено явление взаимной синхронизации процессов переключений в связанных хаотических системах. В главе показано, что модуляция параметра связи приводит к взаимной синхронизации процессов переключений между двумя хаотическими аттракторами. В качестве модели была выбрана система связанных осцилляторов Дуффинга под внешним периодическим воздействием в присутствие шума, которая имеет следующий вид:

¿1 = Ш

У1 = —&У1 + ах1 — (Зх\ + 7(3:2 - х{) + Асоз(^) +

¿2 = У2 ' (6)

2/2 = —<5г/2 + ах2 - + 7(2:1 - х2) + А соя(и>^ +

Здесь, 5 - параметр диссипации, параметры а и /3 определяют динамику парциального нелинейного осциллятора, А и ш амплитуда и частота внешней периодической силы, соответственно. £1,2 - это некоррелированный источник Гауссового шума интенсивностью В. Коэффициент связи 7 меняется периодически во времени и имеет постоянную составляющую То:

7 = 70 + «т(Ш)

В ходе исследования было найдено, что модуляция коэффициента связи приводит к синхронизации случайных процессов переключений между двумя хаотическими аттракторами системы. Данный эффект наблюдается в ограниченной области управляющих параметров (рис. 3) на плоскости частота модуляции - амплитуда модуляции. Внутри это области бистабильная система демонстрирует высоко когерентный процесс переключений между состояниями системы. Размер этой области зависит от амплитуды шума, и с увеличением амплитуды шума область сокращается. Области синхронизации для различных значений интенсивности шума выделены оттенками серого цвета.

Основные результаты и выводы.

1. Показано, что поведение диффузионно связанных бистабильных

2.0 -

_I_1_I_1_I_1_I_'''I_' '_I

0.0 2.0 4.0 6.0 80 10.0 12.0 П

Рис. 3: Область устойчивых синхронных колебаний (б = 0.75, а = 1.0 /3 = 1.0, А = 0.87, и = 0.9, 7о = 0.05).

отображений с удвоением периода, каждое из которых симметрично относительно преобразования координат

/ : х «->■ —х,

является более сложным и разнообразным, по сравнению с взаимодействующими системами, не обладающими указанной симметрией. При взаимодействии парциальных бистабильных систем наблюдаются явления полной синфазной и полной противофазной синхронизации, а также явление фазовой мультистабильности, которое является более развитым, по сравнению с взаимодействующими моностабильными системами.

2. Динамика диффузионно связанных кубических отображений в противофазном подпространстве (х = —у) имеет существенные отличия от динамики в синфазном подпространстве: бифуркации удвоения орбит в трансверсальном направлении к подпространству (х = —у) происходят раньше, чем бифуркации удвоения орбит в тангенциальном направлении. На плоскости управляющих параметров области устойчивости регулярных синхронных противофазных режимов разделены областями неустойчивости последних.

3. Проведен анализ устойчивости синхронных противофазных движе-

ний и найдена связь между тангенциальным и трансверсальным показателем Ляпунова. Показано, что в антисимметричном подпространстве трансверсально устойчивыми могут быть только периодические орбиты. У хаотического предельного множества трансверсальный ляпуновский показатель всегда будет больше нуля. Поэтому в диффузионно связанных дискретных бистабильных отображениях режимы собственной противофазной синхронизации хаоса наблюдаться не могут.

4. В результате проведенных исследований установлено, что в двух диффузионно связанных бистабильных отображениях устойчивый режим полной противофазной синхронизации хаоса можно обеспечить, используя методы управления хаосом, а именно, с помощью дополнительной управляющей связи. Стабилизация синхронных колебаний происходит в ограниченной области значений управляющего параметра.

5. Показано, что при симметричной управляющей связи потеря полной противофазной синхронизации хаоса происходит по тому же бифуркационному сценарию, что и потеря синфазной синхронизации хаоса. Наблюдается такая же последовательность бифуркаций и также на базе основного семейства седловых периодических орбит, формирующих скелет синхронного хаотического аттрактора. Однако в случае потери полной противофазной синхронизации хаоса до бифуркации прорыва наблюдается только пузырящийся переход, изрешечивания бассейна притяжения хаотического аттрактора не происходит.

6. При исследовании явления полной противофазной синхронизации хаоса в бистабильных системах с несимметричной, управляющей связью обнаружен новый бифуркационный сценарий потери синхронизации.

7. Показано, что несимметричность управляющей связи существенным образом меняет сценарий разрушения противофазной синхронизации, который в этом случае происходит через последовательность седло -репсллерной и транскритической бифуркации. При сильной асимметрии связи эта последовательность бифуркаций приводит к явлению изрешечивания бассейна притяжения синхронного хаотического аттрактора.

8. В ходе исследования было обнаружено, что в кольце из трех кубических отображений в зависимости от связи существуют как режимы полной синфазной синхронизации хаоса, при которых колебания во всех трех осцилляторах идентичны, так и режимы обобщенной синхронизации, когда колебания в двух осцилляторах идентичны друг другу, а в третьем - связаны с ними через некоторую детерминированную функцию. Последний случай также представляет собой режим частичной син-

хронизации хаоса, поскольку соответствующие хаотические аттракторы располагаются в одном из подпространств частичной симметрии.

9. Разрушение режима обобщенной синхронизации хаоса происходит также как и разрушение режима полной синхронизации хаоса - через бифуркацию прорыва. После этой бифуркации в системе наблюдаются только несинхронные колебания. Описанные механизмы разрушения полной синхронизации хаоса и формирования частичной синхронизации отличаются от соответствующих механизмов в ансамбле с несимметричной связью. Существование в подпространствах частичной симметрии режимов обобщенной синхронизации является особенностью выбранного типа связи и не наблюдается в ансамбле осцилляторов с однонаправленной связью.

10. В ходе исследования было обнаружено, что высокочастотная модуляция коэффициента связи приводит к синхронизации случайных процессов переключений между двумя хаотическими аттракторами системы. Данный эффект наблюдается в ограниченной области управляющих параметров. Размер этой области зависит от амплитуды шума, и с увеличением амплитуды шума область сокращается.

Список публикаций по теме диссертации

1. В.В. Астахов, А.В. Шабунин, П.А. Стальмахов А.В. Климшин "Управляемая противофазная синхронизация хаоса в связанных кубических отображениях Изв. вузов - Прикладная нелинейная динамика, Том 8, 4, 2000.

2. V. Astakhov, A. Shabunin, P. Stalmakhov "Multistability, In-phaseand Anti-phase Chaos Synchronization in period-doubling systems Изв. вузов -Прикладная нелинейная динамика, Том 10, 3, 2002.

3. O.V. Sosnovtseva, V.V. Astakhov, A.V. Shabunin, P.A. Stalmakhov, "Parametrically induced stochastic synchronization 2003 Internetional conference "Physics and Controls. Petersburg, Russia, Aug. 20-22, pp. 577581, 2003.

4. А.В. Шабунин, C.M. Николаев, В.В. Астахов, П.А. Стальмахов "Полная и обобщеная хаотическая синхронизация в системе трех взаимодействующих отображений Радиотехника и электроника, Том 51, 11, 2006.

5. В.В. Астахов, А.В. Шабунин, П.А. Стальмахов "Бифуркационные механизмы потери противофазной синхронизации хаоса в связанных ку-

бических отображениях 6-th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation "CHAOS'Ol Saratov, Russia, October 2-7, p. 50, 2001.

6. Стальмахов П.А. "Бифуркационный анализ режимов синхронизации в связанных осцилляторах ван-дел-Поля Нелинейные дни для молодых, Саратов, 2003.

7. Стальмахов П.А. "Бифуркационные переходы к управляемой противофазной синхронизации в связанных кубических отображениях VII Международная школа "Хаотические автоколебания и образование структур" ХАОС-2004, 1-6 октября 2004, Саратов, Россия.

8. Стальмахов П.А., Николаев С.М. "Полная и кластерная синхронизация в кольце трех отображений Нелинейные дни для молодых, Саратов, 2005.

СТАЛЬМАХОВ Петр Андреевич

ЭФФЕКТЫ СИНХРОНИЗАЦИИ ВО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ БИСТАБИЛЬНЫХ СИСТЕМАХ С УДВОЕНИЕМ ПЕРИОДА

01.04.03 - радиофизика

Автореферат

Подписано в печать 25.05.06. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать офсетная. Усл. печ. л.1. Тираж 100. Заказ

Организационно - научный и редакционно - издательский отдел Саратовского юридического института МВД России 410034, Саратов, Соколовая, 339

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Стальмахов, Петр Андреевич

Введение

1 Синхронизация и фазовая мультистабильность во взаимодействующих бистабильных системах с удвоением периода

1.1 Введение.

1.2 Исследуемая система связанных бистабильных отображений

1.3 Синфазная синхронизация хаоса.

1.4 Бифуркационные механизмы разрушения полной синфазной синхронизации хаоса.

1.5 Бифуркационные механизмы формирования мультистабильности в окрестности синфазного подпространства.

1.6 Полная противофазная синхронизация

1.7 Формирование мультистабильности в окрестности антисимметричного подпространства.

1.8 Выводы.

2 Управляемая противофазная синхронизация хаоса

2.1 Введение.

2.2 Управляемая противофазная синхронизация хаоса.

2.3 Бифуркационный механизм потери управляемой противофазной синхронизации хаоса при симметричной дополнительной обратной связи.

2.4 Влияние асимметрии дополнительной управляющей связи на бифуркационный механизм потери противофазной синхронизации хаоса.

2.5 Эволюция структуры бассейна притяжения хаотического аттрактора с увеличением асимметрии управляющей связи

2.6 Выводы.

3 Полная и частичная синхронизация хаоса в цепочке связанных бистабильных систем с удвоением периода

3.1 Введение.

3.2 Полная и обобщенная хаотическая синхронизация в системе трех взаимодействующих кубических отображений

3.2.1 Исследуемая система. Виды синхронных режимов и их устойчивость.

3.2.2 Бифуркационный анализ разрушения полной синхронизации

3.2.3 Формирование режимов частичной синхронизации

3.3 Режим объединенного хаотического аттрактора.

3.4 Формирование режимов частичной синхронизации.

3.5 Вывод.

4 Параметрически индуцированная стохастическая синхронизация

4.1 Введение.

4.2 Исследуемая система.

4.3 Управление динамикой переключений с помощью периодической силы.

4.4 Шумовое управление динамикой переключений

4.5 Выводы.

Введение диссертация по физике, на тему "Эффекты синхронизации во взаимодействующих бистабильных системах с удвоением периода"

Синхронизация автоколебаний - одно из фундаментальных нелинейных явлений в естествознании. Исследование синхронизации в ансамблях взаимодействующих систем с периодическим, квазипериодическим и хаотическим поведением на протяжении многих лет является актуальной задачей радиофизики [1]- [7]. Изучение эффектов синхронизации, условий и механизмов их возникновения в базовых моделях нелинейной динамики имеет большое фундаментальное и прикладное значение не только для современной радиофизики, но и многих других областей науки.

В последние десятилетия особенно интенсивно проводились исследования явления синхронизации хаоса и в этом направлении достигнут довольно высокий уровень понимания, существенный вклад в который внесли работы Т. Yamada, Н. Fujisaka [59], A.C. Пиковского [60,66], С.П. Кузнецова [62,63], B.C. Афраймовича, H.H. Веричева, М.И. Рабиновича [64,98], В.Д. Шалфеева [5], В.Н. Белых, B.C. Анищенко, Т.Е. Вадивасовой [91]- [97], Д.Э. Постнова [18]-[21], М.А. Сафоновой, A.C. Дмитриева, С.О. Старкова, Б.П. Безручко, Е.П. Селезнева, В.И. Пономаренко, Ю.Л. Майстренко, М. Hasler, Т. Kapitaniak, В.И. Некоркина, L.Pecora, Т. Carroll [65], Н. Рулькова [81], П.С. Ланда [7], Ю.И. Неймарка, М. Розенблюма, J. Kurths, Г. Осипова, М. Закса, В.Б. Казанцева. P.Grassberger, P. Ashwin [67,68], E.Ott [42], Y.-C. Lai, С. Grebogi [47], J. Alexander, J. Yorke, L. Kocarev.

Согласно наиболее часто встречающейся в литературе [14]- [21] концепции, синхронизация хаоса, имеющий место при взаимодействии идентичных хаотических осцилляторов, состоит в том, что с ростом связи временные реализации соответствующих динамических переменных парциальных систем полностью повторяют друг друга без какого-либо сдвига во времени. Т.е. осцилляторы колеблются «синфазно». В работах [22]- [25] предложено обобщение классических представлений о синхронизации как о захвате или подавлении частот на случай взаимодействия осцилляторов в режиме спирального хаотического аттрактора. Рассматриваются случаи взаимной и вынужденной синхронизации хаоса, в том числе синхронизации хаоса гармонической внешней силой. В [26]- [28] в рамках классического подхода к явлению синхронизации развивается представление о захвате фаз хаотических осцилляторов. Кроме того, в работах некоторых авторов под синхронизацией хаотических автоколебаний понимается возникновение функциональной взаимосвязи между мгновенными состояниями парциальных систем (обобщенная синхронизация) [29]- [31].

Среди различных видов синхронизации взаимодействующих хаотических систем наиболее простой является полная синхронизация хаоса [59], [61], [63], [64], [65]. Она наблюдается в полностью идентичных связанных системах и характеризуется полным совпадением состояний систем во времени. Подобное поведение является довольно типичным и встречается в системах самой различной природы, причем не только в ансамблях с небольшим числом взаимодействующих элементов, но и в пространственно распределенных системах. Например, пространственно однородные хаотические колебания наблюдались в реакции Белоусова - Жаботинского [56]- [58]. Начиная с 1990 года к задачам, связанным с явлением полной синхронизации хаоса, появился повышенный интерес, который был вызван работой Л. Пекора и Т. Керролла [65]. В статье была высказана идея о возможности использования явления полной синхронизации хаоса для создания систем скрытой передачи информации.

Для данного типа синхронизации хаоса были выявлены условия возникновения и типичные бифуркационные механизмы потери синхронизации, обнаружены эффекты «пузырения» аттрактора и «изрешечивания» бассейнов притяжения, сопровождающие процесс потери синхронизации. Для связанных систем с бифуркациями удвоения периода было установлено, что потеря синхронизации хаоса и формирование фазовой мультистабильности происходит в результате последовательности одинаковых бифуркаций на базе одного и того же семейства седловых циклов, расположенных в симметричном подпространстве полного фазового пространства связанных систем [66], [70], [81], [82]. Например, в работе [82] было продемонстрировано, что потеря фазовой синхронизации начинается с седло - узловой бифуркации неустойчивого цикла, встроенного в хаотический аттрактор. Бифуркация основного седлового цикла, встроенного в хаотический аттрактор, приводит к потери грубости и возникновению пузырящегося поведения. В результате возникает специфический режим перемежаемости. В работе [70] показано, что субкритическая бифуркация «вил» седловой точки встроенной в симметричный хаотический аттрактор индуцирует изрешечивающий переход. Явление изрешече-вания бассейна притяжения хаотического аттрактора подробно изучается в работах [70]- [80].

Не смотря на достаточно детальное изучение явлений полной синхронизации хаоса и фазовой мультистабильности в связанных системах с бифуркациями удвоения периода, ряд вопросов остается не исследованным в полной мере. В основном данные явления исследовались во взаимодействующих системах с одним состоянием равновесия.

Однако имеется достаточно важный класс бистабильных систем, обладающих симметрией относительно преобразования координат (I : х «-» —х), применительно к которым явление полной синхронизации хаоса и фазовой мультистабильности исследовано значительно хуже. Примерами таких систем является ряд хорошо известных базовых моделей нелинейной динамики - одномерное дискретное кубическое отображение, двумерное дискретное отображение Холмса, осциллятор Дуффинга, генератор Чуа. Подобные би-стабильные системы широко использовались, например, при изучении эффекта стохастического резонанса [121,122], при исследовании вынужденной и взаимной синхронизации времен переключений между бистабильными состояниями. В подобных системах существует два симметричных подпространства. Поэтому для таких систем возможны два вида полной синхронизации хаоса, каждому из которых соответствует движение в своем симметричном подпространстве. Движения в первом из них соответствуют режиму полной синфазной синхронизации, а во втором - режиму полной противофазной синхронизации [89]. Более развитой является фазовая мультистабильность.

На сегодняшний день является важным и актуальным исследование эффектов синхронизации в таких взаимодействующих бистабильных системах с удвоением периода. Их поведение является более сложным и разнообразным, по сравнению со связанными системами, имеющими одно состояние равновесия. Системы с подобным поведением интересны не только с фундаментальной, но и с прикладной точки зрения: при разработке новых методов скрытой передачи информации. По сравнению с взаимодействующими системах с одним состоянием равновесия, для связанных бистабильных систем с удвоениями периода плохо изучены вопросы управляемой синфазной и противофазной синхронизации хаоса, задачи реализации того или иного режима синхронизации в зависимости от типа связи.

Известно, что устойчивые и грубые режимы полной синхронизации хаоса во взаимодействующих системах с одним состоянием равновесия могут быть реализованы только при определенных типах связи выше некоторого порогового значения. Часто, независимо от величины коэффициента связи в системе существуют синхронные хаотические движения, которые являются неустойчивыми к несимметричным возмущениям. В этих случаях в системе можно осуществить переход из режима несинхронных хаотических колебаний к режиму синхронизации, используя методы управления хаосом [37]- [45]. Под управлением хаосом обычно понимают целенаправленное воздействие на систему. С его помощью различные ненритягивающие предельные множества можно превратить в устойчивые по определенным собственным направлениям.

Не выявлены бифуркационные механизмы формирования симметричных хаотических предельных множеств, соответствующих режимам противофазной синхронизации, и возможные бифуркационные сценарии потери противофазной синхронизации хаоса во взаимодействующих бистабильных системах. Не рассматривались режимы полной и частичной синхронизации в цепочках бистабильных систем с удвоением периода. Не ставилась задача о синхронизации времен переключения между бистабильными состояниями методами управления хаосом.

Сформулированные выше вопросы и проблемы определили цель диссертационной работы, которая заключается в изучении эффектов синхронизации и фазовой мультистабильности во взаимодействующих бистабильных системах с удвоением периода.

Приоритетными задачами являются:

1. Изучение полной синфазной и полной противофазной синхронизации хаоса в диффузионно связанных кубических отображениях.

2. Исследование бифуркационных механизмов потери управляемой противофазной синхронизации хаоса.

3. Изучение полной и частичной синхронизации хаоса в цепочке связанных бистабильных систем с удвоением периода.

4. Исследование стохастической синхронизации переключений между бистабильными состояниями в связанных осцилляторах Дуффинга при внешнем периодическом и шумовом воздействии с помощью периодической модуляции параметра связи.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитированной литературы.

Заключение диссертации по теме "Радиофизика"

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем.

1. Показано, что поведение диффузионно связанных бистабильных отображений с удвоением периода, каждое из которых симметрично относительно преобразования координат

I X 4 ^ Д/, является более сложным и разнообразным, по сравнению с взаимодействующими системами, не обладающими указанной симметрией. При взаимодействии парциальных бистабильных систем наблюдаются явления полной синфазной и полной противофазной синхронизации, а также явление фазовой мультистабильности, которое является более развитым, по сравнению с взаимодействующими моностабильными системами.

2. Динамика диффузионно связанных кубических отображений в противофазном подпространстве (х = —у) имеет существенные отличия от динамики в синфазном подпространстве: бифуркации удвоения орбит в транс-версалыюм направлении к подпространству (х = —у) происходят раньше, чем бифуркации удвоения орбит в тангенциальном направлении. На плоскости управляющих параметров области устойчивости регулярных синхронных противофазных режимов разделены областями неустойчивости последних.

3. Проведен анализ устойчивости синхронных противофазных движений и найдена связь между тангенциальным и трансверсальным показателем Ляпунова. Показано, что в антисимметричном подпространстве трансверсально устойчивыми могут быть только периодические орбиты. У хаотического предельного множества траисверсальный ляпуновский показатель всегда будет больше нуля. Поэтому в диффузионно связанных дискретных бистабильных отображениях режимы собственной противофазной синхронизации хаоса наблюдаться не могут.

7. Показано, что несимметричность управляющей связи существенным образом меняет сценарий разрушения противофазной синхронизации, который в этом случае происходит через последовательность седло - репеллерной и транскритической бифуркации. При сильной асимметрии связи эта последовательность бифуркаций приводит к явлению изрешечивания бассейна притяжения синхронного хаотического аттрактора.

Заключение

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Стальмахов, Петр Андреевич, Саратов

1. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.:Физматгиз, 1959.

2. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем, Москва, Наука, 1971.

3. Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике, Москва, Наука, 1981.

4. Мигулин В.В;, Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. М.: Наука, 1978.

5. Афраймович B.C., Некоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации. Горький, ИПФ РАН, 1989.

6. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.

7. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.: Наука, 1980.

8. Гноенский Л.С., Каменский Г.А., Эльсгольц Л.Э. Математические основы теории управляемых систем. М.: Наука, 1969.

9. Понтрягин Л.С, Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976.

10. Беллман Р., Гликсберг И., Гросс О., Некоторые вопросы математической теории процессов управления, ИЛ, 1962.

11. Рытов СМ., Введение в статистическую радиофизику, ч.1, М.:Наука, 1976.

12. Рытов СМ., Введение в статистическую радиофизику, ч.П, М.:Наука, 1978.

13. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С, Введение в статистическую радиофизику и оптику. М.: Наука, 1981.

14. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. М.: Наука, 1982.

15. Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуации в радиотехнике. М.: Сов. радио, 1961.

16. Малахов А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. М.:Наука, 1968.

17. Голубенцев А.Ф., Денисов Ю.И., Мникин Л.М. Введение в статистическую электронику. Саратов: Изд. СГУ, 1990.

18. Анищенко B.C. Введение в статистическую радиофизику, ч.1-И,Саратов: СГУ, 1979.

19. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах: Механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. М.: Наука, 1990.

20. Anishchenko V.S. Dynamical chaos Models and experiments. World Scientific, 1995.

21. Анищенко В.С, Нейман A.B., Мосс Ф., Шиманский Гайер Л. Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка.// УФН, 1999, N 1.

22. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967, 639с.

23. Hubler A.W., Luscher E. Resonant stimulation and control of nonlinear oscillations./ / Naturwissenschaft, 1989, V.76, P.67.

24. Jackson E.A. On the control of complex dynamic systems.// Physica, 1991, V.D50, P.341-366.

25. Jackson E.A. The entrainrnent and migration controls of multiple-attractor systems.// Physics Letters A, 1990, V.151, P.478-484.

26. Jackson E.A. On the control of complex dynamic systems. // PhysicaD, 1991, V. 50, P. 341-366.

27. Jackson E.A., Kodogeorgiou A. Entrainmant and migration controls of two-dimentionals maps. // Physica D, 1992, V. 54, P. 253-265.

28. Рождественский B.B. Синхронизация гладких периодических отображений внешним периодическим сигналом. //Радиотехника и электроника, 1997, Т.42, N 3, С. 307-312.

29. Ott Е., Grebogi С, Yorke J.A. Controlling Chaos.// Physical Review Letters, 1990, V.64, P.1196-1199.

30. Shinbrot Т., Grebogi C, Ott E., and Yorke A. Using small perturbations to control chaos.// Nature, 1993, V.363, P. 411-417.

31. Ditto W.L., Rauseo S.N., Spano M.L. Experimental control of chaos.// Physical Review Letters, 1990, V.65, P.3211-3214.

32. Shinbrot Т., Ott E., Grebogi С, Yorke J.A. Using chaos to directs trajectories to targets.// Physical Review Letters, 1990, V.65, P.3215-3218.

33. Singer J., Wang Y., Bau H. Controlling chaotic systems.// Physical Review Letters, 1991, V.66, P.1123.

34. Romeiras F.J., Grebogi C, Ott E., Dayawasn W.P. Controlling chaotic dynamical systems.// Physica, 1992, V.D58, P. 165-192.

35. Shinbrot T., Ditto W., Grebogi C, Ott E., Spano M., Yorke J.A. Using the sensitive dependence of chaos (the 'butterfly effect") to direct trajectories in experimental chaotic system.// Physical Review Letters, 1992, V.68, P.2863-2866.

36. Shinbrot T., Ott E., Grebogi C, Yorke J.A. Using chaos to direct orbits to targets in systems describable by a one-dimensional map.// Physical Review A, 1992, V.45, P.4165 -4168.

37. Garfinkel A., Spano M., Ditto W., Weiss J. Controlling cardiac chaos.// Science, 1992, V.257, P.1230.

38. Petrov V., Gaspar V., Masere J., Showalter K. Controlling chaos in the Belousov-Zhabotinsky reaction.// Nature, 1993, V.361, P.240.

39. Lay Y.C., Grebogi C. Converting transient chaos into susteined chaos by feedback contrail.// Physical Review E, 1994, V.49, N2, P.1094-1098.

40. Schiff S.J., Jerger K., Duong D.H., Chang T., Spano M.L., Ditto W.L. Controlling chaos in the brain.// Nature, 1994, V.370, P.615-620.

41. Hayes S., Grebogi C, Ott E., Mark A. Experimental control of chaos for communication.// Physical Review Letters, 1994, V.73, N13, P. 1781-1784.

42. Ott E., Spano M. Controlling chaos.// Physics Today, May 1995, P.34-40.

43. In V., Ditto W.L. Adaptive control and tracking of chaos in a magnetoelastic ribbon.// Physical Review E, 1995, V.51, N4, P.2689-2692.

44. Ott E., Spano M. Controlling chaos.// In: Chaotic, fractal and nonlinear signal processing. Mystic, CT July 10-14, (Ed. by R.A.Katz),1995, P.92-103.

45. Baretto E., Grebogi C Multiparameter control of chaos.// Physical Review E, 1995, V.52, N4, P.3553-3557.

46. Poon L., Grebogi C. Controlling complexity.// Physical Review Letters, 1995, V.75, N22, P.4023-4026.

47. Lay Y., Grebogi C. Synchronization of chaotic trajectories using control.// Physical Review E, 1993, V.47, N4, P.2357-2360.

48. Newell T.C., Aising P.M., Gavrielides A., Kovanis V. Synchronization of chaos using proportional feedback.// Physical Review E, 1994, V.49, N1, P.313-319.

49. Bernardo M. An adaptive approach to the control and synchronization of continuos-time chaotic systems. Int. J. of Bif. and Chaos, 1995,V.6, N3,P.557-568.

50. Suykens J.A.K., Curran P.F., Chua L.O. Master-slave synchronization using dynamic output feedback.// Int. J. of Bif. and Chaos,1996, V.7, N3, P.671-679.

51. Peng J.H., Ding E.J., Ding M., Yang W. Synchronization hyper-chaos with a scalar transmitted signal.// Phys. Rev. Let., 1996, V.76, N6, P.904-907.

52. Malescio G. Synchronization of chaotic systems by continuous control.// Physical Review E, 1996, V.53, N3, P.2949-2952.

53. Duan C.K., Yang S.S. Synchronization hyperchaos with a scalar signal by parameter controlling.// Physics Letters A, 1997, V.229, P. 151-155.

54. Yang J., Hu G., Xiao J. Chaos synchronization in coupled oscillators with multiple positive Lyapunov exponents.// Phys. Rev. Let., 1998, V.80, N3, P.496-499.

55. Капица П.JI. Маятник с вибрирующим подвесом.// УФЫ. 1951. Т.44. С.7.

56. Hudson T.L., Hart М., Marinko D., An experimental dtudy of multiple peak periodic and nonperiodic oscillations in the Belousov Zhabotinsky reaction.// J.Chem. Phys., 1979, V.71, No.4, P.1601.

57. Turnen J.S., Raux J.-C, McCormick W.D., Swinney H.L., Alternating periodic and chaotic regimes in a chemical reaction experiment anf theory.// Phys. Lett. A, 1981, V.85, No.l, P.9.

58. Simoyi R.H., Wolf A., Swinney H.L. One dimensional dynamics in a multi-component chemical reaction.// Phys. Rev. Lett., 1982, V.49, No.4, P.245.

59. Fujisaka H., Yamada T. Stability theory of synchronized motion in coupled-oscillator systems.// Prog. Theor. Phys., 1983, V.69, P.32.

60. Пиковский А.С, О взаимодействии странных аттракторов. N 79, ИПФ АН СССР, Горький, 1983.

61. Pikovsky A.S. On the interaction of strange attractors.// Z. Phys., 1984, V. 55 B, P. 149.

62. Кузнецов СП., О критическом поведении одномерных цепочек.// Письма в ЖТФ, 1983, Т.9, N 2, С.94-98.

63. Кузнецов СП. Универсальность и подобие в поведении связанных систем Фейгенбаума.// Изв. вузов Радиофизика, 1985, Т.28, N 8, С.991.

64. V.S, Afraimovich, N.N. Verichev, M.I. Rabinovich, Stochastic synchronization of oscillations in dissipative systems// Radiofizika 29, 1050-1060, 1986.

65. L.M. Pecora, T.L. Caroll, Synchronization in chaotic systems// Physical Review Letters 64, 821-824, 1990.

66. Pikovsky A.S., Grassberger P., Symmetry breaking bifurcation for coupled chaostic attractors// J.Phys. A: Math., v.24, pp.4587-4597, 1991.

67. P. Ashvin, J. Buescu, I. Stewart, "Bubbling of attractors and synchronisation of chaotic oscillators", Physics Letters A, No. 193, pp. 126-139,1994.

68. P. Ashvin, J. Buescu, I. Stewart, From attractors to chaotic saddle: a tale of transverse instability.// Nonlinearity, 9, 703- 737, 1996.70