Синхронизация колебаний в стохастических и хаотических системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского

На правах рукописи

СИЛЬЧЕНКО Александр Николаевич

УДК 538.56: 517.33: 621.373

Синхронизация колебаний в стохастических и хаотических

системах

01.04.03 - радиофизика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Научный руководитель: Заслуженный деятель науки РФ, член корреспондент РАЕН, доктор физико - математических наук, профессор АНИЩЕНКО B.C.

Саратов - 1998

Введение

4

Глава 1. Вынужденная синхронизация переключений в стоха-

стических и хаотических бистабильных системах 29

1.1 Мгновенная фаза колебаний в стохастических и хаотических бистабильных системах............... 31

1.2 Фазовая синхронизация переключений в стохастической бистабильной системе, возмущаемой внешним периодическим сигналом....................... 34

1.3 Фазовая синхронизация переключений в стохастической бистабильной системе при апериодическом воздействии 47

1.4 Фазовая синхронизация переключений в хаотической бистабильной системе с дискретным временем....... 61

Глава 2. Взаимная синхронизация переключений в связанных стохастических и хаотических бистабильных системах 67

2.1 Фазовая синхронизация переключений в связанных стохастических бистабильных системах........... 67

2.2 Взаимная синхронизация хаотических бистабильных систем .............................. 69

2.2.1 Исследуемая модель и результаты численных экспериментов ...................... 73

2.2.2 Бифуркационный анализ взаимной синхронизации систем Лоренца................. 87

Глава 3. Синхронизация хаотических систем посредством управления 104 3.1 Нелинейная динамика двух связанных через емкость цепей Чуа............................ 105

3.2 Синхронизация как управляемый переход........ 113

Заключение 124

Литература 126

Благодарности 142

Введение

Явление синхронизации, открытое в начале XVII века Х.Гюйгенсом [1], является одним из первых классических примеров самоорганизации в нелинейных колебательных системах и благодаря своей фундаментальности оно и по сей день вызывает неослабевающий интерес исследователей. С момента открытия данного явления представителями различных областей знания пройден большой путь к пониманию его механизма и возможностей использования в различных приложениях. Как показали результаты исследований, явление синхронизации наблюдается не только в случае взаимодействия простейших автоколебательных систем, демонстрирующих регулярные периодические колебания [2], но также в случаях, когда взаимодействующие подсистемы совершают сложные хаотические колебания [3, 4, 5]. На сегодняшний день синхронизация является одним из основных явлений, рассматриваемых нелинейной динамикой, и проявляющимся в режимах функционирования широкого класса колебательных систем [6].

В соответствии с определением - "синхронизация колебаний есть установление и поддержание такого режима колебаний двух или нескольких связанных систем, при котором их частоты равны, кратны или находятся в рациональном отношении друг с другом" [7]. Различают взаимную синхронизацию колебаний связанных систем, при которой каждая из систем действует на другие и частота синхронных колебаний отличается от исходных частот, и принудительную (внешнюю) синхронизацию, при которой устанавливается колебание, управляемое синхронизирующим воздействием. Из приведенного определения ясно, что наличие у подсистем собственных временных масштабов (некоторых собственных частот) является необходимым условием для наблюдения синхронизации. С наиболее общих позиций синхро-

низация может быть определена как появление некоторых функционалов, характеризующих корреляции во временной эволюции двух и более процессов [6, 8]. В классической теории колебаний роль такого функционала традиционно играет мгновенная фаза колебаний. В случае взаимодействия двух регулярных автоколебательных систем синхронизация определяется как взаимный (вынужденный) захват мгновенных фаз </>i(i) и 02 (t), разность которых остается ограниченной во времени \тф\{Ь) — пф2^)\ < const. Частоты парциальных подсистем и 0,2 связаны в этом случае соотношением i^i = чт0 позво-

ляет определить синхронизацию как взаимный (вынужденный) захват частот. Следует особо подчеркнуть, что характерной чертой явления синхронизации является наличие на плоскости парамеров "расстройка - связь" так называемых "языков Арнольда" - конечных областей, внутри которых фазы и частоты подсистем захвачены. Бифуркационный механизм синхронизации регулярных осцилляторов также хорошо известен: вхождение, при изменении параметра связи или расстройки, в область синхронизации сопровождается рождением в объединенном фазовом пространстве системы резонансного цикла, лежащего на поверхности эргодического тора, существующего вне области. Подобное описание синхронизации является чисто детерминистским и не учитывает один важный аспект, а именно, наличие флуктуаций, влияющих на динамику синхронизуемых систем. Случайные флуктуации являются принципиально неустранимой компонентой динамики любой системы, будь то автогенератор, живая клетка, биологическая популяция или любая другая система. Их учет необходим на всех уровнях описания систем от микроскопического, построенного на представлениях о дискретности материи, до макроскопического, рассматривающего взаимодействие системы со средой [9, 10, 11]. Влияние флуктуа-

А 1

0 Ф

-4к -2к \ 4 к

Рис.0.1 Потенциальный профиль в котором диффундирует мгновенная разность фаз для классического случая вынужденной синхронизации в присутствии шума. Параметры А = 0.06, е = 0.15.

Рис.0.2 Временная эволюция мгновенной разности фаз для различных значений параметра расстройки А. Интенсивность шума О = 0.07, параметр нелинейности б = 0.15.

ций на синхронизированный автогенератор хорошо изучено в ставших уже классическими работах С.М.Рытова [12], Р.Л.Стратоновича [13] и А.Н.Малахова [14]. Как показано в [13, 14], действие шума приводит к появлению медленных флуктуаций амплитуды и фазы колебаний, которые существенным образом влияют на синхронизацию и при большой интенсивности ф.тухтуаций способны приводить к ее срыву. Особенно важными для дальнейшего рассмотрения являются классические результаты, связанные с изучением динамики мгновенной разности фаз синхронизуемого генератора типа Ван-дер-Поля и внешнего периодического воздействия. Как известно, медленные флуктуации разности фаз описываются, в этом случае, следующим стохастическим дифференциальным уравнением (СДУ) [13, 14]:

ф = A-€G($ + \/2Z>£(t), (0.1)

где А - расстройка между собственной частотой генератора и частотой синхронизирующего воздействия, б - параметр нелинейности, - 27Г-периодическая функция, £(£) - белый гауссов шум интенсивность которого равна D. В простейшем случае G((j)) = sin(ф) и СДУ (0.1) описывает движение передемпфированной броуновской частицы в наклоненном периодическом потенциале U [ф) — —А ф — е cos ф ( Рис.0.1). Величина расстройки А определяет наклон потенциала, а параметр нелинейности е - высоту потенциальных барьеров. В случае А < е минимумы потенциала фь = arcsin(A/e) + 2тгк соответствуют синхронизации, т.к мгновенная разность фаз остается постоянной во времени. Наличие шума приводит к диффузии разности фаз в потенциале U(ф): ф{Ь) флуктуирует вблизи минимумов потенциала фи и более или менее часто совершает переходы из одной потенциальной ямы в другую, меняясь на 2тх. На Рис.0.2. показаны реализации разности фаз для различных значений расстройки в (0.1). Как хорошо видно из рисунка,

изменение наклона потенциального профиля в ту или другую сторону приводит к характерным 27г-скачкам, которые соответствуют переходам между метастабильными состояниями. Очевидно, что чем больше наклон (расстройка), чем мельче ямы (чем меньше амплитуда синхронизирующего сигнала) и чем больше интенсивность шума, тем меньше время в течение которого фазы генератора и воздействия захвачены и тем чаще имеют место переходы из одного метастабильного состояния в другое, что в свою очередь приводит к увеличению разности фаз, обуславливающему изменение средней частоты колебаний.

Средняя частота колебаний (ш) может быть найдена по стационарной плотности вероятности:

где - частота синхронизирующего воздействия, а стационарная плотность вероятности д(ф) определяется следующим равенством [13]:

где N - постоянная нормировки. Зависимость разности средней частоты и частоты воздействия от величины параметра расстройки при различных значениях интенсивности шума представлена на Рис.0.3. Как видно из рисунка, в некоторой области значений расстройки средняя частота колебаний генератора совпадает с частотой воздействия, т.е имеет место синхронизация или захват частоты внешнего сигнала. Увеличение интенсивности шума, как уже отмечалось выше, приводит к необратимой диффузии фазы синхронизируемого генератора, обуславливая тем самым изменение средней частоты и сужая область синхронизации.

Знания стационарной плотности вероятности q(ф), однако, недостаточно для решения вопросов связанных с оценкой скорости изменения

(0.2)

йф, (0.3)

Д

Рис.0.3 Зависимость разности средней частоты стохастических колебаний в системе (0.1) и частоты синхроннизиру-ющего воздействия от величины параметра расстройки для указанных значений интенсивности шума О.

Рис.0.4 Зависимость эффективного коэффициента диффузии мгновенной разности фаз (0.4) от интенсивности шума в предположении нулевой расстройки.

фазы во времени. Для определения скорости расплывания распределения разности фаз с течением времени в работе [13] было предложено использовать такую характеристику как эффективный коэффициент диффузии мгновенной разности фаз:

Эта величина показывает сколько 27г-скачков совершает мгновенная разность фаз в единицу времени и связана, таким образом, со средним временем, в течение которого имеет место фазовый захват. В приближении слабого шума коэффициент диффузии определяется следующим выражением:

Зависимость эффективного коэффициента диффузии от интенсивности шума при нулевой расстройке показана на Рис.0.4. Как видно из рисунка, увеличение интенсивности шума обуславливает рост коэффициента диффузии, что означает уменьшение длительности интервалов времени в течение которых колебания генератора синхронизованы внешним сигналом.

Из приведенных результатов с очевидностью следует, что шум оказывает отрицательное воздействие на синхронизированный автогенератор, сужая область синхронизации и обуславливая диффузионную нестабильность частоты. В связи с этим возникает следующий вопрос: возможны ли ситуации, когда случайные флуктуации оказывают "конструктивное" воздействие на динамику системы, увеличивая степень порядка в ней? Положительный ответ на этот вопрос противоречит интуитивным представлениям, однако результаты исследований, про-

(0.4)

(0.5)

водившихся в течение двух последних десятилетий убедительно свидетельствуют, что действие шума на нелинейные системы может приводить к появлению новых режимов, не реализующихся в соответствующей детерминированной системе, а также к возникновению новых когерентных структур, индуцируя тем самым ее самоорганизацию [15, 16, 17]. Одним из наиболее ярких примеров конструктивного действия шума, привлекших к себе большое внимание исследователей, является эффект стохастического резонанса.

Термин "стохастический резонанс" (СР) был введен учеными Р.Бенци, А.Сутерой, А.Вульпиани и К.Николис, исследовавшими закономерности наступления периодов обледенения на Земле [18, 19, 20]. Для изучения имевших место глобальных климатических изменений ими анализировалось содержание изотопов кислорода в окаменевшем планктоне, взятом со дна Тихого океана, которое отражает изменения толщины ледяного покрова за последние 700000 лет [21, 19]. В результате исследований было обнаружено, что глобальные климатические изменения носят почти периодический характер, с периодом порядка 100000 лет. По своей продолжительности этот временной масштаб близок к периоду колебаний эксцентриситета Земной орбиты, поэтому было сделано вполне логичное предположение о том, что именно эти колебания, приводящие к изменению количества падающей на Землю солнечной энергии, обуславливают глобальные климатические изменения. Для описания климатических явлений ими была предложена простая одномерная модель, которая, по сути, является уравнением энергетического баланса [19]:

С,~ = цР[ 1 - а(Ге;)] - схТе4, (0.6)

где Те - глобальная температура Земли, Р - средняя мощность падающего на Землю излучения, Се - теплоемкость Земли, а{Те) - сред-

нее альбедо Земли, а - средняя, нормализованная константа Стефана-Больцмана, которая описывает охлаждение земной поверхности за счет инфракрасного излучения. Параметр /л характеризует эксцентриситет Земной орбиты, который, как уже отмечалось, меняется периодически во времени, с периодом 2тг/Ое и 105 лет,

ц = /Ф) = 1 + АсояП^. (0.7)

Уравнение (0.6) может быть переписано как уравнение движения передемпфированной частицы с координатой Те в "климатическом потенциале" и{Те) [20]:

5 = " Й' и(Те) = Г - а(Те)] + О йте. (0.8)

Потенциал и{Те) имеет три состояния равновесия, два из которых устойчивы, а одно неустойчиво. Устойчивые состояния равновесия соответствуют двум качественно различным ситуациям: при температуре Те 1, соответствующей первому состоянию равновесия, Северное Полушарие свободно от ледяного покрова (нормальные климатические условия), тогда как при температуре Те2, соответствующей второму состоянию равновесия, Северное Полушарие покрыто льдом (обледенение). Разница между температурами Те1 и Те2, по сути определяющая величину потенциального барьера, невелика и составляет порядка 10К. Как показали оценки амплитуды модуляции эксцентриситета А, она является недостаточной для того, чтобы обуславливать чисто детерминированные переходы из одного состояния в другое. Авторами [18, 19, 20] была выдвинута гипотеза о том, что упомянутые переходы могут быть индуцированны совокупным действием колебаний эксцентриситета и случайных флуктуаций температуры Земной поверхности, которые имеют сравнительно малое время корреляции (порядка

года) и обусловлены атмосферными вихрями, вулканическими извержениями и прочими катаклизмами. Для учета флуктуации температуры, в уравнение (0.8) был введен источник гауссова шума £(£):

^ = + т, {№ = 0. тт) = 2Щ« - о, (0.9)

где - интенсивность шума. Шум полагается слабым и лишь изредка порождает флуктуации, способные перевести систему из одного состояния в другое. Более того, вполне логичным является предположение о малости шума по сравнению с периодической компонентой воздействия, ибо вклад в изменения климата периодических колебаниий Земной оси должен быть гораздо большим, чем влияние атмосферных флуктуаций. Первоначально, эффект был описан в рамках теории активации переходов, развитой Крамерсом [22]. Было показано, что периодический сигнал модулирует вероятности переходов из одного ме-тастабильного состояния в другое, меняя глубину потенциальных ям и их населенности. Это, собственно, и является причиной появления большого пика в спектре мощности процесса на частоте периодического воздействия [19].

Немного позднее, в 1983 году С. Фаув и Ф. Хесло впервые экспериментально исследовали СР в триггере Шмитта [23]. Ими была предложена новая мера для стохастического резонанса - отношение сигнал/шум. Зависимость этой характеристики на выходе триггера Шмитта от интенсивности шума носит резонансный характер, что является яркой демонстрацией конструктивного действия шума, увеличение интенсивности которого приводит к росту периодической компоненты в спектре мощности. Дальнейшие исследования показали, что стохастический резонанс может наблюдаться в кольцевом лазере [24], в пассивных оптических бистабильных системах [25], в эксперименте с бро-

уновскими частицами [26], в туннельном диоде [27], в сверхпроводящих квантовых интерферометрах [28], в эксперименте с магнито-эластичной лентой [29], в автогенераторе с жестким возбуждением [30], в хаотических цепях [31], в моностабильных системах [32, 33]. Более того, СР наблюдался в химических системах [34], в системах с цветным внутренним шумом [35], в биологических системах [36, 37, 38, 39, 40], в сенсорных нейронах [41, 42] и даже в социологической модели формирования общественного мнения [43]. Стохастическому резонансу были посвящены две специальные конференции: в Сан Диего (1992 г.,США) [44] и на о.Эльба (1994 г. Италия) [45]. Приведенный перечень экспериментальных результатов является далеко неполным и увеличивается с каждым днем (более полную библиографическую информацию можно найти в Интернете на специально созданном сервере [46]). Фактически, огромное количество экспериментальных результатов, подтверждающих возможность наблюдения стохастического резонанса в системах самой различной природы, гово�