Мультистабильность, синхронизация и управление хаосом в связанных системах с бифуркациями удвоения периода тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Саратовский государственный университет имени Н.Г.Чернышевского

МУЛЬТИСТАБИЛЬНОСТЬ, СИНХРОНИЗАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ ХАОСОМ В СВЯЗАННЫХ СИСТЕМАХ С БИФУРКАЦИЯМИ УДВОЕНИЯ ПЕРИОДА

01.04.03 - радиофизика

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико - математических наук

Научный консультант: Заслуженный деятель науки РФ, доктор физико - математических наук, член - корреспондент РАЕН, профессор АНИЩЕНКО B.C.

Саратов - 1998

Содержание

Введение 3

1. Синхронизация хаоса и мультистабильность в связанных системах с бифуркациями удвоения периода 31

1.1. Два связанных логистических отображения 32

1.2. Связанные отображения Хенона 50

1.3. Экспериментальные исследования динамики двух резистивно связанных ЛЬ-диод цепей 64

1.4. Классификация и схема эволюции мультистабильных состояний 71

1.5. Динамика двух ЫЬ-диод цепей, связанных через емкость 74

1.6. Два резистивно связанных генератора Чуа 78

1.6.1. Исследуемая система 78

1.6.2. Виды колебаний и мультистабильность

в связанных генераторах 82

1.6.3. Исследование синхронизации хаоса 98

1.7. Динамика двух связанных через емкость

генераторов Чуа 109

1.7.1. Численные исследования динамики

связанных генераторов 110

1.7.2. Экспериментальные исследования колебательных режимов 124

1.8. Спектральные закономерности при формировании мультистабильности в связанных системах с удвоением периода 128

1.9. Выводы 141

2. Бифуркационный сценарий потери синхронизации хаоса

и формирования мультистабильности 146

2.1. Потеря синхронизации хаоса в связанных логистических отображениях 146

2.2. Влияние неидентичности на механизм потери синхронизации хаоса 156

2.2.1. Динамика системы в окрестности области синхронизации 157

2.2.2. Поведение неустойчивых периодических

орбит при потери синхронизации хаоса 167

2.2.3. Сравнение с симметричным случаем 176

2.3. Двупараметрический бифуркационный анализ.

Сценарий формирования мультистабильности 184

2.4. Эволюция структуры бассейнов притяжения

при формировании мультистабильности 196

2.5. Потеря синхронизации хаоса в связанных отображениях Хенона 210

2.6. Потеря синхронизации хаоса в связанных

системах Ресслера 224

2.7. Выводы 236

3. Управление хаосом и управляемая синхронизация 239

3.1. Управление и синхронизация хаоса в системе

взаимно связанных осцилляторов 239

3.1.1. Условия стабилизации симметричных режимов 242

3.1.2. Численные исследования управляемых переходов 248

3.1.3. Исследования управляемых переходов

в натурном эксперименте 260

3.2. Управляемая синхронизация хаоса методом периодической модуляции параметра связи 265

3.2.1. Стабилизация синфазных движений в двух связанных неавтономных осцилляторах 266

3.2.2. Стабилизация синфазных колебаний в

связанных через емкость генераторах Чуа 273

3.3. Выводы 284

4. Управление пространственно - временным хаосом 286

4.1. Управление хаосом в решетках связанных отображений 286

4.1.1. Управление пространственно - временным хаосом

в цепочках связанных логистических отображений 287

4.1.2. Управление пространственно - временным хаосом

в двумерной решетке отображений 301

4.2. Стабилизация пространственно-однородных режимов в цепочке осцилляторов методом

параметрического воздействия 308

4.3. Выводы 313 Заключение 315 Литература 319

В ведение

В настоящее время многие традиционные задачи классической ра-дифизики и нелинейной теории колебаний такие, например, как о синхронизации колебаний [1]-[12], о поведении управляемых систем [13]-[15], о влиянии шума на динамическую систему [16]-[23], вновь оказались в центре внимания. Их постановка применительно к системам с

» ,

хаотическим поведением привела к формированию и развитию новых направлений в теории динамического хаоса таких, как синхронизация хаоса, управление хаосом, стохастический резонанс и синхронизация стохастических систем [26].

Явление синхронизации периодических колебаний известно со времен Гюйгенса [1]. Оно хорошо изучено [2] - [4], [7] и имеет много разнообразных приложений [8]. Фундаментальное свойство взаимодействующих систем подстраиваться к общему ритму движений свойственно для объектов не только с регулярной, но и с более сложной, с хаотической собственной динамикой. Различные виды взаимного согласования движений в связанных хаотических системах определяют как явление синхронизации хаоса. В неидентичных системах согласование хаотических движений может проявляться различным образом. Наиболее близким к классическому представлению о синхронизации является эффект захвата базовых частот в спектрах мощности хаотических колебаний подсистем, который впервые был описан в работах B.C. Анищенко, Т.Е. Вадивасовой, Д.Э. Постнова, М.А. Сафоновой [79], [25]. В работах М. Розенблюма, А. Пиковского, Ю. Куртса [80], [81] был показан эффект фазовой синхронизации, когда между фазами связанных подсистем возникает определенное соотношение, в то время как амплитуды могут оставаться хаотическими и некоррелированными. Начиная с не-

которой величины связи могут стать одинаковыми топология проекций хаотических аттракторов на фазовые подпространства парциальных систем, что впервые было продемонстрировано в работах B.C. Афрай-мовича, H.H. Веричева, М.И. Рабиновича [104], [143]. Взаимное согласование движений может также проявляться в изменении размерности аттрактора системы, о чем свидетельствуют работы П.С. Ланда и М. Розенблюма [82]. В ряде работ различных авторов [83], [84], [85] анализируются более общие случаи существования функциональной связи между временными реализациями подсистем (обобщенная синхронизация хаоса).

Наиболее простой случай представляет собой так называемая полная синхронизация хаоса. Взаимодействующие идентичные системы могут демонстрировать совершенно одинаковые хаотические движения: в любой момент времени состояния подсистем полностью совпадают [89], [91], [93], [104], [105]. Такой режим кооперативного поведения определяют как один из видов синхронизации хаоса. Подобное поведение является довольно типичным и встречается в системах самой различной природы, причем не только в ансамблях с небольшим числом взаимодействующих элементов, но и в пространственно распределенных системах. Например, пространственно однородные хаотические колебания наблюдались в реакции Белоусова - Жаботинского [86]-[88].

Первыми работами, в которых была поставлена задача о взаимодействии хаотических аттракторов и проводились исследования режима полной синхронизации хаоса, являются статьи Ямада и Фуджисака [89], A.C. Пиковского [90],[91] и С.П. Кузнецова [92],[93]. Авторами установлено, что однородные хаотические колебания наблюдаются при

диффузионном (или диссипативном в классификации С.П.Кузнецова [92]) типе связи. Определен критерий устойчивости синхронного режима через ляпуновскую характеристическую экспоненту хаотических движений индивидуальной системы и коэффициент связи. Данный критерии часто называют трансверсальнои ляпуновскои экспонентои. Выяснено, что полная синхронизация хаоса возникает только при сильной связи, выше некоторого порогового значения. Граница области синхронизации на плоскости управляющих параметров имеет очень сложный характер. В ее окрестности наблюдается процесс перемежаемости Ямада - Фуджисака: близкие к однородным хаотические колебания чередуются с несинфазными хаотическими. движениями. При дальнейшем изменении параметра связи происходит переход к несинфазным колебаниям.

Представленная картина в основном базировалась на результатах исследования простейшей модели взаимодействующих хаотических аттракторов - двух связанных логистических отображений. В дальнейшем основные результаты были подтверждены на более сложных хаотических системах.

Начиная с 1990 года к задачам, связанным с явлением полной синхронизации хаоса, появился повышенный интерес, который был вызван работой Л. Пекора и Т. Керролла [105]. В статье была высказана идея о возможности использования явления полной синхронизации хаоса для создания систем скрытой передачи информации. В настоящее время данное прикладное направление теории динамического хаоса активно развивается многими научными коллективами [94] - [162], среди которых следует особо выделить группы, возглавляемые А.С.Дмитриевым (ИРЭ РАН, Москва), В.Д.Шалфеевым (Нижегородский госуниверси-

тет), М.Хаслером (университет Лозанны, Швейцария), Л.Кокаревым (Македония), У.Парлитцем (Германия).

Изучение различных проявлений синхронизации хаоса способствует продвижению в понимании механизмов образования структур в ансамблях взаимодействующих осцилляторов и средах. Знание основных закономерностей явлений самоорганизации позволяет перейти к созданию распределенных динамических систем, которые формируют те или иные пространственные структуры. Одним из основных приложений при этом являются задачи аналоговой обработки информации. Данные вопросы подробно обсуждаются в монографии [101].

Задачи синхронизации хаоса имеют не только прикладное, но и большое фундаментальное значение. Этот эффект встречается в системах самой различной природы. Сегодня имеется большое количество экспериментальных и теоретических результатов, которые свидетельствуют о том, что явление синхронизации играет ключевую роль в деятельности нейронных ансамблей. Построение динамической теории нервных систем является одной из важнейших и актуальнейших проблем современной науки [102].

Определение условий возникновения синхронизации хаоса во взаимодействующих системах различной природы, глубокое понимание бифуркационных механизмов, приводящих к ее потери, являются основными в теории синхронизации. В большей степени эти вопросы проработаны применительно к явлению полной синхронизации хаоса.

Режим полной синхронизации соответствует хаотическому аттрактору, расположенному в симметричном подпространстве Хх = х2 полного фазового пространства связанных систем. Когда при изменении связи система выходит из области синхронизации, хаотический ат-

трактор теряет свою устойчивость в нормальном к симметричному подпространству направлении. В качестве практического критерия транс версальной устойчивости синхронных хаотических движений обычно используются трансверсальные ляпуновские экспоненты [89], [105]. Данные характеристики вычисляются вдоль достаточно длинных типичных хаотических траекторий на симметричном хаотическом множе-

♦

стве. Режим синхронизации устойчив, если трансверсальные ляпуновские экспоненты отрицательны, и неустойчив, если положительны. Однако недавно было установлено [106], [107], [108], [109], [110], [111], что на практике отрицательность численно оцененных ляпуновских экспонент не всегда гарантирует наличие устойчивого и грубого режима синхронизации хаоса. В этих работах было показано, что даже в том случае, когда все трансверсальные ляпуновские экспоненты отрицательны, могут существовать нетипичные фазовые траектории в малой окрестности синхронного хаотического аттрактора, которые уходят от симметричного подпространства. Это ведет к трансверсальной неустойчивости синхронных движений. Синхронные хаотические движения становятся неустойчивыми в том смысле, что добавление слабого шумового воздействия на систему или введение малой расстройки между параметрами подсистем приводит к потери синхронизации. Режим хаотической синхронизации становится негрубым. Как правило, подобные эффекты возникают при движении по параметру связи к границе области синхронизации. Процесс потери синхронизации хаоса протекает довольно сложным образом и по определенным сценариям [107], [112]. В качестве промежуточных этапов потери синхронизации могут наблюдаться так называемые "пузырящий" [107] и "изрешечивающий" [106], [113], [108] переходы.

Рассмотрим возможные ситуации, которые могут возникнуть в процессе потери синхронизации хаоса, более детально [107], [112]. Для параметра связи е взаимодействующих идентичных систем существуют критические значения

е8 < ес < €ь,

такие что „

1. При б > еь существует хаотический аттрактор А, лежащий в симметричном подпространстве. Фазовые траектории, стартующие из окрестности симметричного подпространства близкой к А, остаются вблизи А и притягиваются к А.

2. При ес < е < еь большинство фазовых траекторий с начальными условиями близкими к А остаются вблизи А и притягиваются к нему. Однако также имеются траектории, которые уходят от симметричного подпространства. Если глобальная динамика системы такова, что отталкивающиеся от А фазовые траектории притягиваются к какому -либо аттрактору расположенному вне симметричного подпространства, то бассейн притяжения хаотического множества А будет изрешеченным. В бассейне притяжения, включая малую окрестность аттрактора, появляется множество 'дырок", которые принадлежат бассейну притяжения другого аттрактора, расположенного вне симметричного подпространства. Такой переход при е — ль называют изрешечивающим переходом. Если глобальная динамика системы ограничена и не существует другого аттрактора кроме А, то орбита отталкивающаяся от А в конце концов вернется в окрестность симметричного подпространства и притянется к синхронному аттрактору. В переходном процессе может наблюдаться несколько выбросов фазовой траектории от симметричного подпространства, но в итоге траектории остаются

на аттракторе. В этой ситуации переход при е = еь называют пузырящимся переходом. Низкий уровень шума или малая растройка между параметрами подсистем приводит к пузырению аттрактора. Пузырящееся поведение представляет собой перемежающийся процесс, в котором эволюция изображающей точки в окрестности симметричного подпространства (ламинарная фаза) прерывается случайными турбу-летными всплесками, что соответствует уходу фазовой траектории от хаотического множества А.

3. При es < е < ес почти при любых начальных условиях близких к симметричному подпространству фазовые траектории отталкиваются от А. Однако в А существует множество, которое является локально притягивающим в трансверсальном направлении. Если глобальная динамика системы такова, что движение фазовых траекторий ограничено и существует только один аттрактор А, то вблизи точки ес система будет демонстрировать режим перемежающейся синхронизации. Если А при е > ес имел изрешеченный бассейн, то практически все траектории притянутся к аттрактору, расположенному вне симметричного подпространства. Переход при е — ес называется бифуркацией 'прорыва" [108].

4. При б < es каждая точка в А является локально отталкивающей в трансверсальном направлении. Множество А становится хаотическим седлом. Оно является притягивающим в симметричном подпространстве и отталкивающим в трансверсальном направлении. Этот этап завершает процесс потери синхронизации хаоса.

В большинстве работ по данной тематике поведение системы рассматривается в небольшой окрестности границы области синхронизации, причем как правило ограничиваются однопараметрическим би-

фуркационным анализом. Переход к режиму полной синхронизации происходит при достаточно сильной связи, выше некоторого порогового значения. Здесь возникает ряд довольно важных вопросов. Как при уменьшении уровня диссипативной связи происходит переход от режима полной синхронизации хаоса к режиму независимых колебаний

осцилляторов? Происходит ли это сразу после потери полной синхрони-

* «

зации или это осуществляется через последовательность каких-то промежуточных этапов? Имеют ли колебательные режимы на этих этапах какие - либо свойства частичной синхронизации хаоса? Какие виды колебательных режимов могут наблюдаться в области слабой связи? Имеются какие - либо закономерности в переходах между ними, или это полностью неупорядоченный процесс? Появляются ли при слабом взаимодействии новые нелинейные эффекты, которые отсутствуют в парциальных подсистемах? Существуют ли общие характерные черты в поведении различных взаимодействующих систем, принадлежащих одному классу (например, классу систем с переходом к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода)?

Вернемся к обсуждению механизма разрушения режима синхронизации. Потеря синхронизации хаоса непосредственно связана с бифуркациями седловых циклов встроенных в хаотический аттрактор [106], [114], [115], [116]. Например, в работе [116] было продемонстрировано, что потеря фазовой синхронизации начинается с седло - узловой бифур-

V о Т»

кации неустойчивого цикла, встроенного в хаотическии аттрактор. В результате возникает специфический режим перемежаемости. В работе [114] было обнаружено, что субкритическая бифуркация "вил" седло-вой точки встроенной в симметричный хаотический аттрактор индуцирует изрешечивающий переход. Авторам удалось отыскать те сед-

ловые циклы, с бифуркаций которых начинается процесс потери синхронизации. Однако хоро