Фазовая мультистабильность в диффузионно связанных нелинейных осцилляторах

Некрасов, Александр Михайлович

Фазовая мультистабильность в диффузионно связанных нелинейных осцилляторах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Некрасов, Александр Михайлович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Саратов МЕСТО ЗАЩИТЫ

2007 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Фазовая мультистабильность в диффузионно связанных нелинейных осцилляторах»

Автореферат диссертации на тему "Фазовая мультистабильность в диффузионно связанных нелинейных осцилляторах"

На правах рукописи

НЕКРАСОВ Александр Михайлович

--^ио^удд

ФАЗОВАЯ МУЛЬТИСТАБИЛЬНОСТЬ В ДИФФУЗИОННО СВЯЗАННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ОСЦИЛЛЯТОРАХ

01.04.03 - радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов - 2007

003053998

Работа выполнена на кафедре радиофизики и нелинейной динамики Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

до ктор физи ком атемати ческ их наук, профессор Постной Дмитрий Эн геле вин.

доктор физико-математических паук, профессор Безручко Воркс Петрович;

доктор технических наук, профессор Жу су бал йен Жаныбай Турсупбасшич.

Саратовский госуд арсп! сн н ы й технический университет

Защита состоится 1 марта 2007 года в 17 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д.212.243.01 при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского но адресу: -110012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Саратовского государственного университета.

Автореферат разослан января 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Аникин В.М.

Общая характеристика работы

Актуальность работы.

Синхронизация автоколебаний - одно из фундаментальных явлений в естествознании, оно присуще системам самой разнообразной физической природы. Эффект синхронизации периодических автоколебаний был открыт Гюйгенсом еще в XVII веке. Классические представления о явлении синхронизации в теории колебаний включают понятие захвата разности фаз и (как следствие) захвата частот периодических колебаний взаимодействующих автоколебательных систем.

Различают внешнюю (вынужденную) и взаимную синхронизацию периодических колебаний. В первом случае управляемый генератор находится под воздействием внешнего периодического сигнала (например, порождаемого управляющим генератором), во втором - эффект синхронизации реализуется при взаимной связи между генераторами.

В спектре регулярных (периодических и квазипериодических) колебаний легко выделить основные частоты, однозначно связанные с характерными временами и фазой колебаний. При захвате частот и фаз происходит стабилизация фазового сдвига между взаимодействующими модами. Характерные времена также становятся равными или кратными.

В отсутствие синхронизации колебательный режим взаимодействующих автогенераторов являются квазипериодическим. Фазовая траектория представляет собой эргодическую «обмотку» на поверхности двумерного тора. Эффекту синхронизации периодических колебаний с точки зрения теории динамических систем соответствует седло-узловая бифуркация циклов на двумерном торе, в результате которой аттрактор (устойчивый колебательный режим) претерпевает качественную перестройку: вместо эргодического движения на двумерном торе возникает устойчивый предельный цикл. На плоскости управляющих параметров (расстройка частот - сила связи) областям синхронизации соответствуют клювообразные области с рациональными значениями числа вращения, также называемые «языками Арнольда»

Как правило, при изучении задач синхронизации изучается собственно переход от асинхронных колебаний к режиму, когда их характеристики (частота и фаза) согласованы. При этом считается, что при не слишком сильной связи колебательный режим в области синхронизации соответствует индивидуальной динамике каждого из взаимодействую-

щих однотипных осцилляторов. Однако в ряде случаев имеет место более сложное поведение. А именно, даже при простой динамике каждого из взаимодействующих осцилляторов (единственный предельный цикл) возможно наличие нескольких одновременно устойчивых синхронных режимов, т.е., имеет место режим мультистабильности, возникающий как результат перехода к синхронным колебаниям.

Мультистабильность вообще, понимаемая как сосуществование при заданном наборе управляющих параметров нескольких устойчивых режимов, является одним из типичных эффектов в нелинейных динамических системах. При синхронизации колебаний связанных осцилляторов имеет место так называемая фазовая мультистабильность, при которой сосуществующие синхронные режимы характеризуются практически одной и той же формой колебаний в каждом из взаимодействующих осцилляторов, но различаются величиной сдвига фаз колебаний между ними.

Эффект фазовой мультистабильности впервые был обнаружен применительно к системам с удвоениями периода. Как было установлено Астаховым В.В., Безручко Б.П., Селезневым Е.П. и др., субгармонический каскад бифуркаций в идентичных связанных системах сопровождается ростом числа устойчивых режимов, как регулярных, так и хаотических, которые различаются между собой величиной сдвига фаз колебаний. А именно, для исходных (порождающих) периодических колебаний с периодом То разность фаз фо между парциальными системами составляет фо ± 2пк, к = 1,2,... Однако колебаниям удвоенного периода 27о, в спектре которых появилась субгармоника с^о/2, разности фаз фо и фо ± 2л- соответствуют два различных предельных цикла в фазовом пространстве взаимодействующих осцилляторов. Количество возможных предельных циклов для режимов колебаний с периодом 2*То возрастает до 2к. Они отличаются фазовым сдвигом между парциальными осцилляторами, который может принимать значения фо + 2-пт, где 7п = 0,1,2,...,2^-1.

Эффект фазовой мультистабильности сохраняется и для слабого хаоса, соответствующего т.н. ленточным хаотическим аттракторам. Иерархия колебательных режимов при фазовой мультистабильности в идентичных системах с диссипативной связью была подробно исследована В.В. Астаховым и др. при численном моделировании динамики связанных логистических отображений и в экспериментах с синфазно возбуждаемыми нелинейными радиотехническими контурами. Благодаря иссле-

дованиям Анищенко B.C., Вадивасовой Т.Е., и др. установлено, что обнаруженная иерархия режимов обладает определенными чертами универсальности, которые проявляются также и при безынерционном взаимодействии автоколебательных систем.

В последующих работах Анищенко B.C., Вадивасовой Т.Е., Постнова Д.Э., Сосновцевой О.В., Баланова А.Г. и др. была изучена структура разбиения пространства параметров и типичные бифуркации сосуществующих семейств режимов. Постнов Д.Э., Вадивасова Т.Е., Сос-новцева О.В., Баланов А.Г. и Е. Mosekilde показали, что на плоскости параметров расстройка-степень связи явлению фазовой мультистабиль-ности для систем с удвоениями отвечает структура вложенных областей синхронизации, берущих начало в одной и той же точке по параметрам.

Перечисленные выше результаты «работают» в поддержку гипотезы, согласно которой при заданных характеристиках связи количество сосуществующих синхронных режимов определяется прежде всего формой колебаний взаимодействующих осцилляторов, а именно, числом локальных максимумов на периоде колебаний, совпадение которых при некоторых значениях сдвига фаз между взаимодействующими осцилляторами и порождает синхронный режим. Спектр таких колебаний характеризуется наличием субгармоник основной (базовой) частоты, имеющих меньшую амплитуду. При синхронизации на основном тоне все частоты субгармоник в каждом из взаимодействующих осцилляторов также оказываются синхронизованы, будучи привязаны к основной частоте. Таким образом, фиксированному фазовому сдвигу на основном тоне колебаний отвечает набор различных фазовых сдвигов на субгармониках. Число таких вариантов сдвига фаз определяется субгармоникой наименьшей частоты, которая и определяет период колебаний. В силу вышесказанного, можно говорить о субгармоническом механизме формирования фазовой мулътистпабилъности.

Однако попытка проанализировать с таких позиций синхронизацию т.н. bursting- колебаний, которые представляют собой периодически повторяющиеся цуги быстрых импульсов - спайков, потерпела неудачу. Главный вывод работы Постнова Д.Э., Сосновцевой О.В., Маловой С.Ю. и Е. Mosekilde, по сути, в том, что нельзя подходить к анализу взаимодействия bursting-колебаний с учетом одной их формы (спектрального состава).

С другой стороны, из работ ряда исследователей (A. Sherman, J. Rinzel, С. Kurrer, Y. Kuramoto, S.K.Han, H.Kook, E.Izhikevich и др.)

следует, что даже при простой форме колебаний и слабой диффузионной связи модели нейронных осцилляторов могут синхронизоваться в противофазе, либо могут иметь два одновременно устойчивых режима, что обусловлено рядом эффектов, порожденных неоднородностью поля фазовой скорости, или иными словами, высокой степенью релак-сационности колебаний в таких моделях. Очевидно, такие свойства взаимодействующих автоколебательных систем могут влиять на характеристики фазовой мультистабильности, существенно изменяя количество, фазовые сдвиги и устойчивость синхронных режимов.

Таким образом, эффект фазовой мультистабильности важен для понимания проявлений синхронизации в самых разнообразных случаях, особенно - при исследовании взаимодействия моделей автоколебательных систем из различных прикладных областей (сложная форма колебаний, большая размерность). В то же время, этот эффект требует дальнейшего исследования: имеется ряд открытых вопросов, как по степени общности уже выявленных механизмов, так и по особенностям формирования множественных синхронных режимов при взаимодействии осцилляторов различных типов. Вышесказанное обосновывает актуальность исследований в этой области и послужило основанием для постановки цели и задач диссертационного исследования.

Цель диссертационной работы заключается в изучении механизмов формирования фазовой мультистабильности и исследовании характеристик сосуществующих синхронных режимов взаимодействующих осцилляторов различных типов.

Для достижения указанной цели необходимо решить следующие основные задачи:

1. Разработать набор средств для исследования фазовой мультистабильности путем адаптации известных и разработки специальных численных методов, провести их тестирование на ранее изученных задачах.

2. Исследовать степень общности субгармонического механизма фазовой мультистабильности и применимость для различных типов колебательных режимов. Установить его связь с известными механизмами синхронизации и интерпретацию с точки зрения бифуркаций торов в фазовом пространстве.

3. Выявить основные типы влияния неизохронных свойств ос-

цилляторов на формирование множественных синхронных режимов, исследовать их зависимость от параметров диффузионной связи.

Научная новизна результатов работы заключается в следующем:

1. Впервые эффект фазовой мультистабильности обнаружен и исследован применительно к взаимодействующим осцилляторам в режиме резонансной автомодуляции.

2. Впервые показано, что при конечной (не исчезающей слабой) степени связи взаимодействующих осцилляторов в режиме фазовой мультистабильности устойчивые и неустойчивые многообразия набора предельных циклов объединены в гетероклиническую замкнутую поверхность, совпадающую с сечением Пуанкаре резонансного тора.

3. Впервые найдена и исследована ситуация, при которой семейство языков Арнольда для основного резонанса имеет помимо вложенной (что было известно ранее) также и перекрывающуюся структуру. Предложено объяснение в виде различных сценариев перемещения и бифуркаций различных пар предельных циклов на поверхности резонансного тора.

4. Впервые показано, что количество сосуществующих колебательных режимов в модели парных нефронов при васкулярной связи определяется соотношением частот быстрой и медленной моды колебаний.

5. Обнаружен новый эффект формирования дополнительной пары устойчивых синхронных режимов при взаимодействии сильнонелинейных осцилляторов Ван-дер-Поля, обусловленный формированием т.н. «медленного канала» в окрестности двух асимптотически сближающихся нульклин.

6. Впервые исследованы особенности синхронизации трехмерных моделей осцилляторов при плавном изменении направления вектора диффузионной связи и выявлены закономерности изменения числа устойчивых режимов.

Достоверность научных выводов работы подтверждается соответствием результатов аналитических исследований и численного моделирования, а также сопоставлением ряда полученных выводов с известными из литературы данными.

На защиту выносятся следующие положения и результаты:

1. Режиму резонансной автомодуляции в каждом из взаимодействующих осцилляторов отвечает формирование набора сосуществующих колебательных режимов, различающихся сдвигом фаз между осцилляторами. На плоскости управляющих параметров расстройка частот - степень связи имеет место структура из вложенных и частично перекрывающихся областей синхронизации.

2. Для связанных осцилляторов в режиме фазовой мультистабиль-ности типичной является ситуация, когда сосуществующие синхронные режимы лежат на поверхности резонансного тора. При этом изменению параметра расстройки частот взаимодействующих осцилляторов в пределах области резонанса отвечает перемещение и попарное исчезновение циклов на поверхности тора, а зависимость значения старшего нетривиального мультипликатора цикла от параметра расстройки имеет вид многооборотной петли.

3. Наряду с субгармоническим механизмом фазовой мультиста-бильности, локальная неизохронность колебаний является важным фактором, определяющим количество сосуществующих синхронных режимов при взаимодействии идентичных автоколебательных систем в условиях слабой диффузионной связи. Совместное действие двух упомянутых механизмов приводит к изменению количества устойчивых синхронных режимов и их характеристик при вариации действия связи.

Научно-практическая значимость результатов.

1. Разработан набор программных методов для исследования фазовой мультистабильности, применимый в том числе для многомерных систем, что делает его полезным при исследовании реалистичных математических моделей из различных прикладных областей (в частности, для моделей авторегуляции почечного кровотока и для моделей спайк-берст нейронов).

2. В силу своей общности, установленные закономерности и механизмы призваны облегчить понимание сложной динамики, наблюдаемой при взаимодействии осцилляторов различных типов, в том числе в режиме динамического хаоса, а также в присутствии шума.

3. Проведенные исследования дают дополнительные аргументы в пользу включения материалов по фазовой мультистабильности в про-

граммы соответствующих лекционных курсов и учебных пособий, что призвано способствовать лучшему пониманию явления синхронизации во всех его аспектах.

Апробация работы и публикации. Основные результаты работы докладывались на: международной конференции «Contemporary problems of microwave electronics and radiophysics» (Саратов, 2001); международной конференции «Nonlinear science festival III» (Дания, 2001); шестой международной конференции «Chaos'2001» (Саратов, 2001); пятой научной конференции студентов-радиофизиков (Санкт-Петербург, 2001); международной конференции «Synchro'2002» (Саратов, 2002); международной конференции «Physics AND Control - PhysCon 2003» (Санкт-Петербург, 2003); конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых - NDSY'03» (Саратов, 2003); седьмой международной конференции «Chaos'2004» (Саратов, 2004); международной конференции «Complex Dynamics and Fluctuations in Biomedical Photonics II» (Сан-Хосе, США, 2005), а также на научных семинарах; кафедры радиофизики и нелинейной динамики СГУ.

По теме диссертации опубликовано 9 работ. Из них 4 статей в рецензируемых журналах, 2 статьи в рецензируемых трудах конференций и 5 - в тезисах докладов. Исследования, проведенные в ходе выполнения диссертационной работы были частично поддержаны грантами РФФИ 01-02-16709, РФФИ 04-02-16769, INTAS 01-2061 и CRDF REC-006.

Личный вклад автора. В указанных работах автору принадлежит разработка алгоритмов, проведение численного моделирования, анализ результатов, а также частично постановка задач и проведение теоретического анализа.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Материалы диссертации изложены на 163 страницах, содержат 57 рисунков и список цитированной литературы из 83 наименований на 11 страницах.

Краткое содержание работы

Во Введении обосновывается актуальность работы, определяются цели исследования, ставятся основные задачи, раскрывается научная новизна полученных результатов и формулируются положения, выносимые на защиту.

В первой главе обсуждаются методы исследования фазовой муль-тистабильности. Описывается алгоритм расчета функции фазовой чувствительности, основанный на методе Курамото и его применение для анализа фазовой мультистабильности. Метод применим в приближении слабой связи между осцилляторами. В этих условиях ее действие вызывает пренебрежимо малые возмущения предельного цикла, который поэтому принимается тем же, что и в автономном случае. Анализ динамики связанных осцилляторов производится посредством вычисления антисимметричной части </>) от т.н. эффективной функции связи,

1 Г2п

Г"(АФ) = Ъ(ф)Р{ф,Аф)Аф,

где Аф обозначает фазовый сдвиг между колебаниями осцилляторов, а р{ф, Аф) имеет смысл возмущения вследствие действия связи, величина которого зависит как от разности фаз, так и от абсолютного значения (позиции на предельном цикле). Функция чувствительности, Z{ф), задает величину отклика на возмущение (также зависящую от фазы). Возможные синхронные режимы, как устойчивые, так и неустойчивые, определяются по количеству нулей Г^(Дф) и по знаку ее производной в этих точках.

Для численного исследования характеристик набора синхронных режимов в условиях конечной силы связи, в рамках диссертационного исследования была разработана и применялась методика численного построения отображения разности фаз, основанная на введении в качестве начального условия некоторого временного сдвига между колебаниями подсистем и последующего анализа изменения во времени разности фаз генераторов. Результатом вычислений являлась зависимость Аф{1 + г) от Аф{1) (где т- интервал времени между измерениями фазы), получаем одномерное отображение сдвига фаз, соответствующее дискретному временному шагу. Каждая устойчивая точка полученного отображения соответствовала устойчивому синхронному режиму колебаний, а их бифуркации отражали изменения в количестве и устойчивости синхронных режимов.

Также, в тексте главы описана разработанная авторов программа для анализа взаиморасположения набора устойчивых предельных циклов (как образа сосуществующих синхронных режимов) и инвариантной кривой в сечении резонансного тора. Особенностью алгоритма является совместное использование метода фазовой редукции для начального поиска набора седловых циклов и алгоритма Ньютона-Рафсона для «протяжки» по параметру связи в область его конечных значений, что позволило автоматизировать выявление всех седловых циклов на поверхности тора.

Во второй главе диссертационной работы приводятся результаты по исследованию степени общности и особенностей действия субгармонического механизма фазовой мультистабильности.

Численные методы, описанные в первой главе, тестировались применительно к ранее исследованной задаче о фазовой мультистабильности при последовательности бифуркаций удвоения периода. Показана адекватность получаемых результатов на примере двух модельных систем: генератора Анищенко-Астахова и осциллятора Ресслера.

Далее, исследовался случай, когда каждый из взаимодействующих осцилляторов находился в режиме резонансной автомодуляции. Данным термином в рамках работы обозначается режим индивидуального осциллятора, при котором амплитуда основного тона колебаний модулирована по квазигармоническому закону более низкой частотой, при этом количество максимумов основного тона колебаний на периоде медленной частоты постоянно, то есть, соотношение быстрой и медленной частот задается целым числом. Следует отметить, что наличие такого колебательного режима не обязательно означает наличие резонансного тора в фазовом пространстве индивидуального осциллятора.

В рамках проведенных исследований, установлена связь между характеристиками режима резонансной автомодуляции в индивидуальном осцилляторе и количеством сосуществующих синхронных режимов при взаимодействии таких систем. Построены множественные области синхронизации для соотношения частот основного тона осцилляторов 1:1 и выявлены особенности их взаиморасположения (см. Рис. 1).

Как удалось установить, в исследованном случае имеет место частичное перекрытие языков Арнольда различных синхронных режимов, соответствующих области синхронизации 1:1. Такое расположение областей устойчивости обуславливает сценарий смены синхронных режимов при вариации расстройки частот, который существенно отличается от наблю-

, 1

I 1.П01

<а

Рис, 1: Режим резонансной автомодуляцая в генераторе с инерционной нелинейность» при т = 2.90328, д = 0.012505, о = 0.00005 , (а) - фазовый портрет (б) - рву-нарам стри чсская диаграмма устойчивости на плоскости параметров т (диссипация) и д (инерционное ограничение амплитуды (в) - зависимость старшего нетривиального (не единичного) мультипликатора цикла ц от расстройки ик Ветпи ниже уровня ц- < 1.0 соответствуют устойчивым циклам, ныше ц > 1.0 - седловым.

дасмого для связанных систем с удвоениями периода.

Факторы, ответственные за различия в структуре вложенных и перекрывающихся языков Арнольда, исследовались с точки зрения взаиморасположения устойчивых предельных циклов, каждый из которых соответствует определенному синхронному режиму, и поверхности резонансного тора. С помощью численных методов проанализирована эволюция точек (как образов циклов) и замкнутой инвариантной кривой в сечении Пуанкаре. Построены зависимости значений старшего Нетривиального (не равного единице) мультипликатора циклов от соотношения частот взаимодействующих осцилляторов. Как удалось установить, для всей исследованной области параметров, предельные циклы, являющиеся образами сосуществующих синхронных режимов, лежат на поверхности резонансного тора. При этом, инвариантная кривая в сечении тора образована замыканием двух ветвей неустойчивого многообразия каждой из еедловых точек на различные устойчивые точки в сечении. Таким образом, границы области существования того или иного устойчивого синхронного режима определяются особенностями перемещения и бифуркаций отдельных пар циклов па поверхности тора при вариации параметра, ответственного за расстройку частот. Различные сценарии такого перемещения приводят к различному взаиморасположению языков Арнольда.

В рамках приложений полученных результатов к практически важ-

ным задачам из прикладных областей, изучались механизмы формирования сосуществующих синхронных режимов в математической модели парных нефронов. Проведено сопоставление с результатами, полученными при исследовании фазовой мультистабильности в режиме резонансной автомодуляции. Выявлены особенности, связанные со структурой уравнений модели.

Третья глава диссертационной работы посвящена исследованию механизмов появления дополнительных режимов синхронизации при сильной нелинейности взаимодействующих осцилляторов ( релаксационные колебания), а проявлений таких механизмов при вариации характеристик диффузионной связи.

В частности, исследован эффект появления противофазного синхронного режима в связанных нейронных моделях ФитцХью-Нагумо. Построены области устойчивости дополнительных синхронных режимов на плоскости управляющих параметров индивидуального осциллятора. Установлена зависимость проявления исследуемых эффектов от близости к точке бифуркации Андронова-Хопфа. Как удалось установить, при определенной комбинации управляющих параметров синхронизация в противофазе наблюдается при относительно малой степени релаксаци-онности колебаний. Предложено объяснение наблюдаемых эффектов в терминах геометрической интерпретации действия диффузионной связи.

Для связанных генераторов Ван-дер-Поля выявлен и исследован механизм формирования дополнительной пары синхронных режимов с ненулевым сдвигом фаз. Предложена геометрическая интерпретация обнаруженного эффекта в терминах формирования т.н. «медленного канала», который представляет собой область замедления фазовой траектории в окрестности двух асимптотически сближающихся нульклин на фазовой плоскости.

В рамках гипотезы о влиянии описанных выше эффектов на изменение числа синхронных режимов, изучались характерные особенности синхронизации модельных систем при вариации направления вектора диффузионной связи, что достигалось изменением относительного вклада связи по каждой из динамических переменных. Выявлена связь наблюдаемого изменения числа сосуществующих синхронных режимов с проявлением эффектов локальной неизохронности (локальная неоднородность поля фазовой скорости) индивидуального осциллятора (см. Рис. 2).

Рис. 2: Фрагмент диаграммы на плоскости управляющих параметров (а. щ, характеризующий изменение числа сосуществующих режимов в режиме резонансной автомодуляции. На вставках; характерный вид графика Г^(До) для различны* областей диаграммы.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Основные результаты и выводы:

1. Охарактеризован метод фазовой редукции применительно к исследованию фазовой мультистабилытости. Показано, что анализ количества устойчивых и неустойчивых режимов удобно проводить путем вычисления антисимметричной части функции эффективной связи.

2. Для характеристики взаимодействия осцилляторов в условиях конечной силы связи предложен и программно реализован метод вычисления одномерного отображения фазового сдвига, основанный на анализе эволюции разности фаз для всего множества начальных услоний, отвечающих различным позициям взаимодействующих осцилляторов на траектории предельного цикла.

3. Для изучения вопроса о соотношении наличия множественных синхронных состояний и эволюции двумерного тора, программно реализован модифицированный метод расчета неустойчивых многообразий еедловых цикле®, отличающийся автоматизированным поиском начальных условий, соответствующих неустойчивом синхронным режимам, в приближении исчезающе слабой связи и последующей их программной «протяжкой» в область конечных значений параметра связи.

4. Показано, что эффект фазовой мультистабильности в системах с удвоениями периода уверенно диагностируется методом эффективной связи и методом отображения разности фаз.

5. Установлено, что режим резонансной автомодуляции порождает фазовую мультистабильность, при которой сосуществуют N синхронных режимов. При этом, зоны их устойчивости с различными фазовыми сдвигами образуют структуру из N областей синхронизации на плоскости параметров расстройка - степень связи. В отличие от аналогичной структуры для систем с удвоениями периода, указанные области могут перекрываться.

6. Показано, что для исследованных режимов и диапазона изменения степени связи наборы резонансных циклов для устойчивых и неустойчивых синхронных режимов лежат на резонансном торе, при изменении расстройки по частотам их перемещения и бифуркации определяют границы языка Арнольда

7. Продемонстрировано, что эволюции пар циклов на торе отвечает петлеобразный вид зависимости значения старшего нетривиального мультипликатора от параметра, ответственного за расстройку по частотам.

8. Выявлено, что для системы ФитцХью-Нагумо область сосуществования синхронизации в фазе и противофазе занимает конечную часть пространства параметров и наблюдается при достаточной "степени релаксационности" системы

9. Установлено, что по мере увеличения "степени релаксационности" системы, область значения параметров, где устойчив противофазный синхронный режим, увеличивается.

10. Увеличение параметра нелинейности в связанных по переменной у осцилляторах Ван-дер-Поля приводит к появлению пары дополнительных синхронных режимов. Вскрыт механизм этого эффекта, основанный на формировании т.н. медленных каналов на фазовой плоскости каждого из осцилляторов, которые представляют собой область близкого расположения обоих нульклин без их пересечения. Показано, каким образом прохождение изображающей точки каждой из подсистем через упомянутые медленные каналы приводит

к формированию пары почти противофазных устойчивых колебательных режимов.

11. Установлено, что изменение направления вектора диффузионной связи в связанных генераторах с инерционной нелинейностью существенно меняет число и фазовые соотношения сосуществующих синхронных режимов. В рамках проведенных исследований была сформулирована гипотеза об определяющей роли в этом эффекте модуляции фазовой скорости вдоль траектории вследствие локальной неизохронности. Указанная гипотеза подтверждена с помощью численного эксперимента.

Список публикаций по теме диссертации

1. O.V. Sosnovtseva, D.E. Postnov, A.M. Nekrasov, E. Mosekilde, and N.-H. Holstein-Rathlou, "Phase Multistability of Self-Modulated Oscillations" // Phys. Rev. E, 2002, 66, 0362.

2. Д.Э. Постное, A.M. Некрасов "Механизмы фазовой мультистабиль-ности при синхронизации 3D осцилляторов" // Известия ВУЗов, Прикладная нелинейная динамика, 2005, т .13, N 1-2, с. 47-62.

3. S. Postnova, A. Nekrasov, and О. Sosnovtseva Noise induced effects in dynamics of coupled bursters // Proceeding of SPIE, Mar 2005, Vol.5696, p.183-192.

4. A.Nekrasov,0. Sosnovtseva Phase Multistability of Oscillations with Complex Waveform" // Proceedings of international conference PhysCon 2003, p. 611-616.

5. Некрасов A.M., Постнов Д.Э., Сосновцева О.В. "Фазовая мульти-стабильность при синхронизации колебаний в различных системах" // Тезисы докладов шестой международной конференции хаотических колебаний и образования структур Chaos 2001, Саратов, с. 103-104.

6. Некрасов A.M., Постнов Д.Э., Сосновцева О.В. "Развитие фазовой мультистабилъности в диффузионно связанных осцилляторах." // Тезисы докладов пятой научной конференции студентов-радиофизиков, 2001, Санкт-Петербург.

7. A.Nekrasov, О. Sosnovtseva, D.Postnov "Phase multistability of self-modulated oscillations" // Тезисы докладов международной конферен-4HH"Synchronization of Chaotic and Stochastic Oscillations. Applications in Physics, Biology and Medicine (SYNCHRO-2002), Саратов, с. 40.

8. Некрасов A.M., Постнов Д.Э. "Исследование фазовой мультиста-бильности при синхронизации на гармониках и субгармониках" // Тезисы докладов научной конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых"(NDSY'03), СГУ, 2003, с. 171-174.

9. A.M. Некрасов, Д.Э. Постнов, "Фазовая мультистабильность на гармониках и субгармониках. Построение модельных систем." // Тезисы докладов седьмой международной конференции хаотических колебаний и образования структур Chaos 2004, Саратов, с. 53-54.

Некрасов Александр Михайлович

ФАЗОВАЯ МУЛЬТИСТАБИЛЬНОСТЬ В ДИФФУЗИОННО СВЯЗАННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ОСЦИЛЛЯТОРАХ

Специальность 01.04.03 — радиофизика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата _физико-математических наук_

Подписано в печать 23.01.07. Формат 60x84 1/16. Объем 1,0 п. л. Тираж 100 экз. Заказ ¿Ц..

Типография Издательства Саратовского университета. 410012, Саратов, Астраханская, 83.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Некрасов, Александр Михайлович

Введение

1 Методы исследования фазовой мультистабильности

1.1 Метод фазовой редукции Курамото применительно к анализу фазовой мультистабильности.

1.2 Метод отображения разности фаз.

1.3 Численный метод построения замкнутой кривой в сечении резонансного тора при множественности синхронных режимов

1.4 Геометрическая и силовая интерпретация связи.

1.5 Выводы по главе 1.

2 Субгармонический механизм фазовой мультистабильности

2.1 Фазовая мультистабильность при взаимодействии систем, демонстрирующих бифуркации удвоения периода.

2.1.1 Генератор с инерционной нелинейностью.

2.1.2 Результаты по системе Ресслера.

2.2 Фазовая мультистабильность в режиме резонансной автомодуляции

2.3 Фазовая мультистабильность с точки зрения резонансов на торе

2.4 Фазовая мультистабильность в математической модели парных нефронов.

2.4.1 Устройство нефрона и упрощенная схема его работы.

2.4.2 Уравнения математической модели нефрона.

2.4.3 Типы связи и математическая модель парных нефронов

2.4.4 Сосуществующие синхронные режимы.

2.5 Выводы по главе 2.

3 Роль локальной неизохронности в формировании множественных синхронных режимов

3.1 Режимы синхронизации нейронных осцилляторов на пороге рождения колебаний.

3.2 Механизм формирования дополнительных синхронных режимов в связанных сильнонелинейных осцилляторах Ван-дер-Поля117 3.3 Фазовая мультистабильность при субгармоническом каскаде: влияние вектора связи.

3.4 Выводы по главе 3.

Введение диссертация по физике, на тему "Фазовая мультистабильность в диффузионно связанных нелинейных осцилляторах"

Синхронизация автоколебаний - одно из фундаментальных явлений в естествознании оно присуще системам самой разнообразной физической природы [1-3]. Эффект синхронизации периодических автоколебаний был открыт Гюйгенсом еще в XVII веке [4,5] .

Классические представления о явлении синхронизации в теории колебаний включают понятие захвата разности фаз ( и как следствие захвата частот) периодических колебаний взаимодействующих автоколебательных систем [1,6]

В спектре регулярных (периодических и квазипериодических) колебаний легко выделить основные частоты, однозначно связанные с характерными временами (периодом, квазипериодом) и фазами колебаний. При захвате частот происходит стабилизация фазового сдвига между взаимодействующими модами. Характерные времена также становятся равными или кратными.

- 5В отсутствие синхронизации общий колебательный режим взаимодействующих автогенераторов является квазипериодическим. Фазовая траектория представляет собой эргодическую «обмотку» на поверхности двумерного тора. Эффекту захвата частот и фаз при синхронизации периодических колебаний с точки зрения теории динамических систем соответствует седло-узловая бифуркация циклов на двумерном торе, в результате которой аттрактор (устойчивый колебательный режим) претерпевает качественную перестройку: вместо эргодического движения на двумерном торс возникает устойчивый предельный цикл.

Число вращения Пуанкаре в режиме синхронизации рационально и равно отношению двух целых чисел. Области существования устойчивого резонансного цикла в пространстве управляющих параметров называются областями синхронизации. На плоскости управляющих параметров (расстройка частот - сила связи) резонансным областям соответствуют клювообразпые области с рациональными значениями числа вращения, также называемые «языками Арнольда» [7,8].

Открытие хаотических колебаний в детерминированных динамических системах различной природы послужило поводом для множества теоретических и экспериментальных работ, в том числе и по синхронизации хаотических колебаний. При исследовании подобных систем наблюдаются как вынужденная синхронизация хаотических колебаний, так и их взаимная синхронизация. Понимание сложного поведения неавтономных и связанных систем с хаотической динамикой затруднялось отсутствием единого подхода к проблеме синхронизации хаоса. У различных исследователей под хаотической синхронизацией понимался либо переход в результате внешнего воздействия от хаотических колебаний к регулярным [9-11], либо установление [12-14] синфазных колебаний в каждом из парциальных связанных генераторов, либо их топологическая эквивалентность. Однако, в [15] было предложено обобщить классическое понимание синхронизации (захват или подавление собственных колебаний) на хаотические колебания. Было показано, что эти классические механизмы синхронизации хорошо «работают» для аттракторов седло-фокусного типа ( аттрактора, возникшего в результате каскада бифуркаций удвоения, в спектре которого ярко выражен пик на основной частоте). В [16-18] в рамках классического подхода к явлению синхронизации развивается представление о захвате фаз хаотических осцилляторов.

В последние годы круг представлений о синхронизации был существенно пополнен открытием стохастической синхронизации [19,20]. В отличие от синхронизации детерминированных систем при взаимодействии стохастических осцилляторов разность фаз не может быть постоянной в течение сколь угодно долгого времени. В этом случае необходимо использовать понятие эффективной синхронизации с учетом ограничений на флуктуации фазы и частоты [21]. Наиболее жесткое определение эффективной синхронизации накладывает условие значительно большего среднего времени захвата фаз синхронизуемых колебаний по сравнению с их периодом [22]. В обзоре [23] была показана непосредственная взаимосвязь эффекта стохастической синхронизации и стохастического резонанса. Отмечалось, что благодаря эффекту стохастической синхронизации переключений бистабильной системы и периодического сигнала воздействия наблюдается область значений интенсивности шума в пределах которой которой средняя частота переключений постоянна и равна частоте модуляции.

Принципиальная возможность синхронизации стохастических колебаний возбудимых систем была недавно показана в работах [24-26]. Затем, в работе [27] было экспериментально показано, что две диффузионно связанные возбудимые системы способны демонстрировать явление синхронизации, выражающееся как в виде захвата пиков в их Фурье-спектрах, так и захвата (на конечных временах) мгновенной разности фаз этих стохастических осцилляторов.

Благодаря проведенным в [23] исследованиям стало ясно, что эффект стохастической синхронизации неразрывно связан с увеличением степени порядка в динамике системы. В случае синхронизации переключений бистабильиой системы именно эта взаимосвязь обуславливает эффект стохастического резонанса.

Как правило, при изучении задач синхронизации изучается собственно переход от асинхронных колебаний к режиму, когда их характеристики (частота и фаза) согласованы. При этом структура колебательных режимов в области сиихронизации (по крайней мере при не слишком сильной связи) считается относительно простой и соответствующей индивидуальной динамике каждого из осцилляторов (которые обычно однотипны). Однако, это справедливо далеко не всегда. В ряде случаев может наблюдается несколько одновременно устойчивых синхронных режимов, т.е., имеет место режим мультистабильно-сти.

Мультистабильность вообще, как одновременная устойчивость нескольких режимов является одним из типичных эффектов в нелинейных динамических системах. При синхронизации колебаний связанных осцилляторов имеет место так называемая фазовая мультистабильность, при которой сосуществующие синхронные режимы характеризуются практически одним и тем же колебательным режимом в каждом из взаимодействующих осцилляторов, но различаются величиной сдвига фаз колебаний между ними.

Эффект фазовой мультистабильности впервые был обнаружен в системах с удвоениями периода. Как было установлено [28,29], каскад бифуркаций удвоения периода в идентичных связанных системах сопровождается ростом числа устойчивых режимов, как регулярных, так и хаотических, которые различаются между собой величиной сдвига фаз колебаний. А именно, для исходных (порождающих) периодических колебаний с периодом То разность фаз фо между парциальными системами составляет фо ± 2жк, к = 1,2,. Однако, для колебаний удвоенного периода 2То, в спектре которых появилась субгармоника ljq/2, разности фаз фо и фо±2п соответствуют два различных предельных цикла в фазовом пространстве взаимодействующих осцилляторов. Количество возможных предельных циклов для режимов колебаний с периодом 2кТо возрастает до 2к. Они отличаются фазовым сдвигом между парциальными осцилляторами, который может принимать значения фо + 2ттт, где т = 0,1,2,., 2к — 1.

Эффект фазовой мультистабильности сохраняется и для слабого хаоса, соответствующего т.н. ленточным хаотическим аттракторам. Иерархия колебательных режимов при фазовой мультистабильности в идентичных системах с диссипативпой связью была подробно исследована В.В. Безручко с соавторами при численном моделировании динамики связанных логистических отображений [28,29] и в экспериментах с синфазно возбуждаемыми нелинейными радиотехническими контурами [30]. Обнаруженная иерархия режимов обладает определенными чертами универсальности, которые проявляются также и при безынерционном взаимодействии автоколебательных систем [31].

В последующих работах [15,32,33] была изучена структура разбиения пространства параметров и типичные бифуркации сосуществующих семейств режимов. В [34] показано, что па плоскости параметров расстройка-степень связи явлению фазовой мультистабильиости для систем с удвоениями отвечает структура вложенных областей синхронизации, берущих начало в одной и той же точке по параметрам.

Перечисленные выше результаты «работают» в поддержку гипотезы, согласно которой при заданных характеристиках связи количество сосуществующих синхронных режимов определяется прежде всего формой колебаний взаимодействующих осцилляторов, а именно, числом локальных максимумов на периоде колебаний, совпадение которых при некоторых значениях сдвига фаз между взаимодействующими осцилляторами и порождает синхронный режим. Спектр таких колебаний характеризуется наличием субгармоник основной (базовой) частоты, имеющих меньшую амплитуду. При синхронизации на основном тоне все частоты субгармоник в каждом из взаимодействующих осцилляторов также оказываются синхронизованы, будучи привязаны к основной частоте. Таким образом, фиксированному фазовому сдвигу на основном топе колебаний отвечает набор различных фазовых сдвигов на суб-гармопиках. Число таких вариантов сдвига фаз определяется субгармоникой наименьшей частоты, которая и определяет период колебаний. В силу вышесказанного, можно говорить о субгармоническом механизме формирования фазовой мулътистабилъности.

Однако, попытка проанализировать с этих позиций синхронизацию т.н. bursting- колебаний, которые представляют собой периодически повторяющиеся цуги быстрых импульсов - спайков, потерпела неудачу [35]. Главный вывод работы [36], по сути, в том, что нельзя подходить к анализу взаимодействия bursting-колебаний с учетом одной их формы или спектрального состава. Такой подход к анализу фазовой мультистабильности далеко не всегда допустим.

С другой стороны, имеется информация о том, что даже при простой форме колебаний и слабой диффузионной связи модели нейронных осцилляторов могут синхронизоваться в противофазе [37-39], либо иметь два одновременно устойчивых режима [40,41], что обусловлено рядом эффектов, порожденных неоднородностью поля фазовой скорости, которая, в свою очередь, определяется высокой степенью релаксационности колебаний в таких моделях либо особенностями их нелинейных свойств (локальная неизохронность). Очевидно, такие свойства взаимодействующих автоколебательных систем могут влиять на характеристики фазовой мультистабильности, существенно изменяя количество, фазовые сдвиги и устойчивость синхронных режимов.

Для достижения указанной цели необходимо решить следующие основные задачи:

3. Выявить основные типы влияния неизохронных свойств осцилляторов на формирование множественных синхронных режимов, исследовать их зависимость от параметров диффузионной связи.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех

Заключение диссертации по теме "Радиофизика"

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем.

Путем модификации известных и разработки специализированных методов сформирован набор инструментов для численного исследований фазовой мультистабильности.

При исследовании субгармонического механизма было показано, что эффект фазовой мультистабильности в системах с удвоениями периода уверенно диагностируется методом эффективной связи и методом отображения разности фаз.

Впервые установлено, что режим резонансной автомодуляции 1:N порождает фазовую мультистабилыюсть, при которой сосуществуют N синхронных режимов. При этом, зоны их устойчивости с различными фазовыми сдвигами образуют структуру из N вложенных и перекрывающихся областей синхронизации на плоскости параметров расстройка - степень связи.

В результате численного построения гетероклинической структуры многообразий сосуществующих предельных циклов показано, что для исследованных режимов и диапазона изменения степени связи наборы резонансных циклов для устойчивых и неустойчивых синхронных режимов лежат на резонансном торе, при изменении расстройки по частотам их перемещения и бифуркации определяют границы набора языков Арнольда в пределах общей области синхронизации. Этому соответствует зависимость значений мультипликатора цикла от параметра расстройки имеющая вид многооборотной петли.

Применение разработанного подхода к математической модели авторегуляции почечного кровотока в парных нефронах показало, что несмотря на значительно более сложный характер взаимодействия нефронов, характеристики фазовой мультистабильности также отражают свойства временной реализации колебаний. А именно, режиму 1:4 соотношения мод колебаний одиночного нефрона соответствует 4 устойчивых синхронных режима при их взаимодействии.

При исследовании основных эффектов, связанных с неизохронностыо взаимодействующих осцилляторов, показано, что:

1)Асимметричный характер распределения фазовой скорости вдоль предельного цикла приводит к формированию устойчивого противофазного синхронного режима колебаний. На примере идентичных связанных систем ФитцХыо-Нагумо была построена область устойчивости противофазной синхронизации в зависимости от параметров, ответственных за возбуждение автоколебаний и за соотношение их временных масштабов (степень релаксаци-онности).

2) Увеличение параметра нелинейности в связанных по переменной у осцилляторах Ван-дер-Поля приводит к появлению пары дополнительных синхронных режимов. Вскрыт механизм этого эффекта, основанный на формировании т.н. медленных каналов на фазовой плоскости каждого из осцилляторов, которые представляют собой область близкого расположения обоих нульклин без их пересечения. Показано, каким образом прохождение изображающей точки каждой из подсистем через упомянутые медленные каналы приводит к формированию пары почти противофазных устойчивых колебательных режимов.

3) Изменение направления вектора диффузионной связи в связанных генераторах с инерционной нелинейностью существенно меняет число и фазовые соотношения сосуществующих синхронных режимов. В рамках проведенных исследований была сформулирована гипотеза об определяющей роли в этом эффекте модуляции фазовой скорости при связи по переменной 2. Указанная гипотеза подтверждена с помощью численного эксперимента.

В целом, запланированный объем работ по диссертации выполнен, а поставленные задачи решены.

Заключение

В соответствии со сформулированными во Введении задачами диссертационной работы, проведенные в ее рамках работы включали:

1) Модификацию известных и разработку новых методов численного исследования фазовой мультистабильности.

2) Исследование т.н. субгармонического механизма фазовой мультистабильности, под которым понимается формирование множественных устойчивых синхронных состояний вследствие сложной формы колебаний

3) Исследование механизмов формирования дополнительных синхронных режимов вследствие пеизохронных свойств взаимодействующих осцилляторов.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Некрасов, Александр Михайлович, Саратов

1. Блехман И. И. Синхронизация в природе и технике. М.: Наука, 1981.

2. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем. М.: Наука, 1971.

3. Пиковский А., Розепблюм М., Курте Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление Москва: Техносфера, 2003. 496с.

4. Hugenii С. Horoloqium Oscilatorium. Parisiis, France, 1673.

5. Гюйгенс X. Три мемуара по механике. М.: Изд-во ПН СССР, 1951.

6. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.: Наука, 1980.

7. Арнольд В.И. Потеря устойчивости колебаний вблизи резопансов // Нелинейные волны / Под ред. А.В. Гапонова-Грехова. М.: Наука, 1979. С. 116.

8. Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю.С., Шилышков Л.П. Теория бифуркаций // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления / Под ред. В.И. Арнольда. М.: ВИНИТИ, 1986. Т. 5. С. 5-218.

9. Дудник Е.Н., Кузнецов Ю.И., Минакова И.И., Романовский Ю.М. Синхронизация в системах со странным аттрактором // Вестник Моск. Унта. 1983. - Сер.З, т.24, N 4. - с.84-87.

10. Кузнецов Ю.И., Ланда П.С., Ольховой А.Ф., Перминов С.М. Порог синхронизации как характеристика фазового перехода хаос-порядок. Препринт/ Физический факультет МГУ. - М., 1984. - N9/1984.

11. И. Кузнецов Ю.И., Ланда П.С., Ольховой А.Ф. Амплитудный порог синхронизации как мера хаоса в стохастических автоколебательных системах // ДАН СССР. 1985. - т.281, N.2. - с.1164-1169.

12. Pecora L.M. Caroll T.L. Synchronization in Chaotic Systems // Phys. Rev. Lett. 1990. - v.64, N8. - p.821-824

13. L.O. Chiia, Maroto Iton, L. Kocarev, K.Echert. Chaotic synchronization in Chua's circuit // Journal of Circuits, Systems, and Computers, 1993. - v.3, N.l. - p.93-108.

14. Волковский А.П, Рульков Н.Ф. Экспериментальное исследование бифуркаций на пороге стохастической синхронизации // Письма в ЖТФ. -1989. т. 15, вып. 7. - с. 5-10.

15. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Postnov D.E., Safonova М.А. Synchronization of Chaos // Int. Journal of Bifurcation and Chaos. 1992. -N.2(3).- p.633-644.

16. Rosemblum M., Pikovsky A., Kurths J. Phase synchronization of chaotic oscillators // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76. P. 1804-1807.

17. Pikovsky A., Rosemblum M., Kurths J. Effect of phase synchronization in driven chaotic oscillators // IEEE Trans. CAS-I. 1997.

18. Shalfecv V.D., Osipov G.V. Chaotic phase synchronization of coupled PLLS // Proc. of 5-th Int. Specialist Workshop on Nonlinear Dinamics of Electronic Systems, Moscow, Russia, June 26-27, 1997. P. 139 144.

19. B.V. Shulgin, A.B. Neiman, and V.S. Anishchenko. Mean Switching Frequency Locking in Stochastic Bistable Systems Driven by a Periodic Force // Phys. Rev. Lett., 1995. V. 75. P. 4157-4160.

20. A. Neiman, A. Silchenko, V. Anishchenko and L. Schimansky-Geier. Stochastic resonance: Noise-enhanced phase coherence // Phys. Rev. E, 1998. V. 58. No. 6. P. 7118-7125.

21. Малахов A.H. Флуктуации в автоколебательных системах. М.: Наука, 1968.

22. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: Издательство Саратовского Университета, 1999.

23. Анищенко B.C., Нейман А.В., Мосс Ф., Шиманский-Гайер JI. Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка // УФН 1999. Т. 169. М. С. 7-39.

24. Tanabe S., Shimokawa Т., Sato S., Pakdaman К. Response of coupled noisy excitable systems to weak stimulation // Phys. Rev. E, 1999. V. 60. P. 21822185.

25. Neiman A., Schimansky-Geier L., Cornell-Bell A., and Moss F. Noise-enhanced phase synchronization in excitable media. // Phys. Rev. Lett., 1999. V. 83. P. 4896-4899.

26. Ни В., Zhou C. Phase synchronization in coupled nonidentical excitable systems and array-enhanced coherent resonance. // Phys. Rev. E, 2000. V. 61. P. R1001-R1004.

27. Han S.K., Yim T.G., Postnov D.E., Sosnovtseva O.V. Interacting coherent resonance oscillators. // Phys. Rev. Lett., 1999. V.83. P. 1771-1774.

28. Астахов В.В., Безручко Б.П., Гуляев Ю.В., Селезнев Е.П. Мультиста-бильные состояния диссипативпо связанных фейгенбаумовских систем // Письма в ЖТФ. 1988. Т. 15, вып. 3. С. 60-64.

29. Астахов В.В., Безручко Б.П., Ерастова Е.Н., Селезнев Е.П. Виды колебаний и их эволюция в диссипативно связанных фейгенбаумовских системах// ЖТФ. 1990. Т. 60, вып 10. С. 19-26.

30. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Квазиод-иородиые стохастические движения и их разрушение в системе связанных нелинейных осцилляторов // Изв. вузов. Сер. Радиофизика. 1988. Т. 31, 5. С. 627-630.

31. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., V.V.Astakhov, O.V.Sosnovtseva, C.W.Wu, L.O.Chua. Dynamics of two coupled Chua's circuits. Int. J. Bifurcation and Chaos, 1995, v.5, N 6, pp. 1677-1699.

32. V.S. Anishchenko, Dynamical Chaos Models and Experiments: Appearance Routes and Structure of Chaos in Simple Dynamical Systems (World Scientific, Singapore, 1995).

33. Т.Е. Vadivasova, O.V. Sosnovtscva, A.G. Balanov, and V.V. Astakhov, "Phase multistability of Synchronous Chaotic Oscillations"// Discrete Dynamics in Nature and Society, 2000, 4, p. 231.

34. D.E. Postnov, Т.Е. Vadivasova, O.V. Sosnovtseva, A.G. Balanov, and E. Mosekilde, Role of Multistability in the Transition to Chaotic Phase Synchronization // Chaos, 1999, 9, p. 227.

35. S. Postnova, A. Nekrasov, and 0. Sosnovtseva Noise induced effects in dynamics of coupled bursters // Proceeding of SPIE, Mar 2005, Vol. 5696, p. 183-192.

36. D. E. Postnov, О. V. Sosnovtseva, S. Y. Malova, and E. Mosekilde Comlex phase dynamics in coupled bursters // Phys. Rev. E, 2003, 67, p. 016215.

37. A. Sherman and J. Rinzel, Rhythmogenic effects of weak clectrotonic coupling in neuronal models. // Proc. Nat. Acad. Sci. (USA), 1992, 89, p. 2471.

38. S.K. Han, C. Kurrer, and Y. Kuramoto, Dephasing and bursting in coupled neural oscillators // Phys. Rev. Lett., 1995, 75 p. 3190.

39. D.Postnov, S.K.Han, H.Kook., Synchronization of diffusively coupled oscillators near the homoclinic bifurcation. // Phys. Rev. E, 1999., Vol.60. P. 2799.

40. Д.Э. Постиов, С.К. Хан. Механизм противофазной синхронизации в моделях нейронов. // Письма в ЖТФ, 1999. Т. 25, N 4. С. 11-18.

41. Eugene М. Izhikevich, Phase equations forrelaxation oscillators // SIAM J. Appl. Math., 2000, v. 60 5 pp. 1989-1805.

42. Y. Kuramoto, Chemical Oscillations, Waves, and Turbulence (Springer-Verlag, New York, 1984).

43. Мэтьюз, Джон, Г., Финк, Куртис, Д. Численные методы. Использовапи MATLAB, 3-е издание.: Пер. с англ. М.: Издательский дом "Вильяме", 2001. - 720 с.

44. Тсодорчик К.Ф. Автоколебательные системы с инерционной нелинейностью. ЖТФ. 1946. Т. 16, вып. 7. С. 845-854.

45. Капцов JI.H., Сенаторов К.Я. О работе RC-генератора пилообразных колебаний с инерционным активным двухполюсником. Радиотехника и электроника, 1964, т.9, в.Ю, с. 1757.

46. Капцов JI.H. Возникновение пичкового режима в неавтономном генераторе с инерционной нелинейностью. Радиотехника и электроника, 1975, т.20, в.12, с.2496.

47. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.:Наука, 1980.

48. Анищенко B.C., Сложные колебания в простых системах. Механизмы возникновения, структура и свойства хаоса в радиофизических системах// М.: Наука, 1990.

49. Ф.Мун. "Хаотические колебания", Москва,"Мир", 1990, с. 285.

50. Rossler О.Е. An equation for continuous chaos. // Phys. Lett. A, 1976, 57, pp. 397-398.

51. A.Nekrasov,0. Sosnovtseva Phase Multistability of Oscillations with Complex Waveform" // Proceedings of international conference PhysCon 2003, p. 611-616.

52. O.V. Sosnovtseva, D.E. Postnov, A.M. Nekrasov, E. Mosekilde, and N.-H. Holstein-Rathlou, 'Phase Multistability of Self-Modulated Oscillations" // Phys. Rev. E, 2002, 66, 0362.

53. A.Despopoulos, S.Silbernagl, Color Atlas of Physiology, Georg Thieme Verlag Stuttgart, New York, 1991.

54. West, John B. (ed.), Best and Taylor's Physiological Basis of Medical Practice, 12th ed., Williams к Wilkins, Baltimore, USA, 1991.

55. Karlsen, F. M., N.-H. Holstein-Rathlou, and P. P. Leyssac, A re-evaluation of the determinants of glomerular filtration rate, // Acta Physiologica Scandinavica, 1995, 155, pp. 335 350.

56. Schnermann, J., D.W. Ploth, M. Hermle, Activation of tubulo-glomerular feedback by chloride transport // Pflugers Archiv, 1976, 362(3), p. 229 240.

57. Holstein-Rathlou, Niels-Henrik and Donald J. Marsh, Oscillations of tubular pressure, flow, and distal chloride concentration in rats // Am. J. of Physiology, 1989, 256, p. F1007.

58. Leyssac, P. P. and L. Baumbach, An oscillating intratubular pressure response to alterations in Henle loop flow in the rat kidney // Acta Physiologica Scandinavica, 1983, 117(3), p. 415 419.

59. Yip, Kay-Pong, Niels-Henrik Holstein-Rathlou, and Donald J. Marsh, Chaos in blood flow control in genetic and renovascular hypertensive rats // Am. J. of Physiology, 1991, 261(3 pt. 2), p. F400 408.

60. Holstein-Rathlou, Niels-Henrik and Paul P. Leyssac, Oscillations in the proximal intratubular pressure: a mathematical model // Am. J. of Physiology, 1987, 252(3 Pt 2), p. F560 572.

61. Jensen, Klaus Skovbo, Erik Mosekilde, and Niels-Henrik Holstein-Rathlou, Self-sustained oscillations and chaotic behavior in kidney pressure regulation // Modes Develop., 1986, 54/55, p. 91 109.

62. Holstcin-Rathlou, Niels-Henrik and Donald J. Marsh, A dynamic model of renal blood flow autoregulation // Bulletin of Mathematical Biology, 1994, 56(3), p. 441 429.

63. Barfred, Mikael, Ikke-lineser dynamik i en model af nefronen // M. Sc. thesis, Dept. of Physics, DTU, Denmark, 1995.

64. Andersen, Morten D and Niklas Carlsson, Mathematical modelling of nephrons // M.Sc. thesis, Dept. of Physics, DTU, Denmark, 1999.

65. Casellas, D., M. Dupont, N. Bouriquet, L. C. Moore, A. Artuso, and A. Mimran, Anatomic pairing of afferent arterioles and renin cell distribution in rat kidneys // Am. J. of Physiology, 1994, 267, p. F931 936.

66. Holstein-Rathlou, Niels-Henrik, Synchronization of proximal intratubular pressure oscillations: Evidence of interaction between nephrons // Pflugers Archiv, May 1987, 408(5), p. 438 443.

67. Chen, Yu-Ming, Kay-Pong Yip, Donald J. Marsh, and Niels-Henrik Holstein-Rathlou, Magnitude of TGF-initiated nephron-nephron interactions is increased in SHR // Am. J. of Physiology, 1995, 269, p. F198 204.

68. Chen, Yu-Ming, and Niels-Henrik Holstein-Rathlou, Differences in dynamic autoregulation of renal blood flow between SHR and WKY rats // Am. J. of Physiology, 1993, 264, p. F166 174.

69. D.E. Postnov, O.V. Sosnovtseva, E. Mosekilde, and N.-H. Holstein-Rathlou, Cooperative phase dynamics of in coupled nephrons // Int. J. Mod. Phys. B, 2001, 15, 3079.

70. E. Mosekildc, Topics in Nonlinear Dynamics: Applications to Physics, Biology and Economic Systems (World Scientific, Singapore, 1996).

71. Некрасов A.M., Постнов Д.Э. 'Исследование фазовой мультистабильности при синхронизации на гармониках и субгармониках" // Тезисы докладов научной конференции "Нелинейные дни в Саратове для моло-flbix"(NDSY'03), СГУ, 2003, с. 171-174.

72. A.M. Некрасов, Д.Э. Постиов, 'Фазовая мультистабильность иа гармониках и субгармониках. Построение модельных систем." // Тезисы докладов седьмой международной конференции хаотических колебаний и образования структур Chaos 2004, Саратов, с. 53-54.

73. Hodgkin A.L., Huxley A.F., A Quantitative Description of Membrane Current and its Application to Conduction and Excitation in Nerve// J. Physiol. London. 1952. V.117. P.500-544.

74. R.A. FitzHugh, Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane, // Biophys. J., 1961, 1, 445.

75. A.C. Scott, The electrophysics of a nerve fiber // Rev. Mod. Phys., 1975, 47, 487.

76. James Keener, James Sneyd, "Mathematical Physiology", Springer, 594-607 (1998).

77. Pikovsky A., Kurths J. Coherent resonance in a noise driving excitable system. // Phys. Rev. Lett. 1997. V.78. P. 775-778.

78. J. Moehlis,"Canards in a Surface Oxidation Reaction", Nonlinear Scicnce, 2002, 12, 319-345.

79. Некрасов A.M., Постнов Д.Э., Сосновцева О.В. 'Развитие фазовой муль-тистабильности в диффузионно связанных осцилляторах." // Тезисы докладов пятой научной конференции студентов-радиофизиков, 2001, Санкт-Петербург.

80. Д.Э. Постнов, A.M. Некрасов 'Механизмы фазовой мультистабильности при синхронизации 3D осцилляторов" // Известия ВУЗов, Прикладная нелинейная динамика, 2005, т .13, N 1-2, с. 47-62.

81. Hindmarsh J., Rose М., A Model of Neuronal Bursting Using Three Coupled First Order Differential Equations// Proc. R. Soc. London. V.B221. 1984. P.87-102.- 160-Благодарности

82. Я благодарен Павлову Алексею Николаевичу, Шабунину Алексею Владимировичу, и всем сотрудникам кафедры радиофизики и нелинейной динамики за постоянную помощь в решении вопросов, возникающих в ходе выполнения работы.